RANCANGAN ACAK

KELOMPOK TAK LENGKAP

(Incomplete Block Design)

Dr.Ir. I Made Sumertajaya, M.Si

Departemen Statistika-FMIPA IPB

2007

Review Rancangan Acak

Kelompok

• Kita ingin membandingkan t perlakuan

• Pengelompokan N = bt unit percobaan kedalam

b kelompok berukuran t yang homogen.

• Dalam setiap kelompok, kita acak t perlakuan

terhadap t unit percobaan.

• Kemampuan mendeteksi perbedaan antar

perlakuan sangat tergantung pada keragaman

dalam blok (within block variability).

Beberapa Komentar

• Keragaman dalam blok secara umum meningkat seiring dengan makin besarnya ukuran blok.

• Untuk jumlah perlakuan yang besar (t), memungkinkan terjadi tidak mampu menyiapkan ukuran blok (k) yang sama dengan jumlah perlakuan.

• Jika ukuran blok (k) lebih kecil dari jumlah perlakuan (k<t) maka semua perlakuan tidak muncul sekali pada setiap blok. Rancangan ini disebut sebagai rancangan kelompok tidak lengkap (Incomplete Block Design).

Beberapa Komentar

• Ketika dua perlakuan muncul bersama-sama dalam blok yang sama maka memungkinkan untuk melakukan pendugaan perbedaan pengaruh perlakuan.

• Dengan kata lain perbedaan pengaruh perlakuan bersifat dapat diduga (estimable)

• Jika dua perlakuan tidak muncul secara bersama-sama dalam blok yang sama maka tidak mungkin menduga perbedaan pengaruh perlakuan.

• Dengan kata lain perbedaan pengaruh perlakuan bersifat tidak dapat diduga (not be estimable)

Ilustrasi • Perhatikan rancangan kelompok dengan 6 perlakuan

dan 6 kelompok berukuran 2, berikut:

• Perbedaan antar perlakuan berikut 1 vs 2, 1 vs 3, 2

vs 3, 4 vs 5, 4 vs 6, 5 vs 6) dapat diduga (estimable).

• Perbedaan perlakuan dalam kelompok perlakuan

{1,2,3} dengan perlakuan dalam kelompok perlakuan

{4,5,6} tidak dapat diduga (not estimable).

1

2

2

3

1

3

4

5

5

6

4

6

Definisi

• Dua perlakuan i and i* disebut terhubungkan (connected) jika ada deret dari perlakuan i0 = i, i1, i2, … iM = i* sehingga setiap pasangan perlakuan (ij and ij+1) muncul dalam blok yang sama.

• Dalam kasus ini perbedaan perlakuan bersifat estimable.

• Rancangan tak lengkap disebut connected jika semua pasangan perlakuan bersifat estimable

Ilustrasi

• Perhatikan rancangan kelompok dengan 5

perlakuan dan 5 blok berukuran 2 berikut:

• Rancangan kelompok tak lengkap ini bersifat

connected.

• Semua perbedaan perlakuan bersifat estimable.

• Tetapi beberapa perbedaan perlakuan dapat

didduga dengan presisi yang lebih tinggi

dibandingkan dengan yang lainnya. Kenapa?

1

2

2

3

1

3

4

5

1

4

Definisi

Rancangan tak lengkap disebut Rancangan blok tak lengkap seimbang (Balanced Incomplete Block Design), jika

1. Semua perlakuan muncul dalam r blok

• Kondisi ini mengakibatkan setiap perlakuan memiliki presisi yang sama

2. Semua pasangan perlakuan i and i* muncul bersama-sama dalam l blok.

• Kondisi ini menunjukkan bahwa setiap perbedaan perlakuan dapat diduga dengan presisi yang sama.

Notasi b = Jumlah blok

t = Jumlah perlakuan

k = Ukuran blok

r = Ulangan setiap perlakuan

l = Frekuensi munculnya setiap pasangan perlakuan dalam percobaan

1. bk = rt

• Both sides of this equation are found by counting the total number of experimental units in the experiment.

2. r(k-1) = l (t – 1)

• Both sides of this equation are found by counting the total number of experimental units that appear with a specific treatment in the experiment.

Ilustrasi Lay-out BIB Design A Balanced Incomplete Block Design

(b = 15, k = 4, t = 6, r = 10, l = 6)

Block Block Block

1 1 2 3 4 6 3 4 5 6 11 1 3 5 6

2 1 4 5 6 7 1 2 3 6 12 2 3 4 6

3 2 3 4 6 8 1 3 4 5 13 1 2 5 6

4 1 2 3 5 9 2 4 5 6 14 1 3 5 6

5 1 2 4 6 10 1 2 4 5 15 2 3 4 5

Contoh Kasus Suatu perusahaan pengolah makanan tertarik membandingkan 6

brand baru (A, B, C, D, E and F) produk gandum (cereal)

Untuk menjawab tujuan ini dilakukan tahapan penelitian sebagai berikut:

• Setiap subjek diminta merasakan dan membandingkan produk tersebut dengan memberi skor antara 0 - 100.

• Untuk lebih praktisnya setiap subjek paling banyak membandingkan 4 dari 6 brand dari produk gandum tersebut.

• Untuk tujuan ini digunakan b = 15 subjek dengan balanced incomplete block design

• Coba Anda buat Lay-out dari rancangan tersebut!!

Analisis Rancangan Tak Lengkap Seimbang

(BIB Design)

• Model Linier

• Penguraian

Keragaman Total

Catatan: nij bernilai 1 jika

blok ke-j memuat

perlakuan ke-i, dan

bernilai 0 jika blok ke-j

tidak memuak

perlakuan ke-i

ijjiijy

adj

b

j

jijii

a

i

i

adj

b

j

j

adj

i j

ij

JKPJKBJKTJKG

ynk

yQa

Qk

JKP

N

y

k

yJKB

JKGJKBJKPJKT

N

yyJKT

1

..1

2

2

..

1

2

.

2

..

1 1

2

1 ,

kbarN ,

l

Struktur Tabel Sidik Ragam Rancangan BIB

Sumber Db JK KT F-hitung

Blok b-1 JKB KTB KTB/

KTG

Perlakuan

terkoreksi

t-1 JKPadj KTPadj KTPadj/

KTG

Galat N-b-

t+1

JKG KTG

Total N-1 JKT

Misal data perbandingan antar brand produk gandum pada

kasus sebelumnya diperoleh sebagai berikut:

Parameter dari rancangan BIB, yaitu:

b = 15, k = 4, t = 6, r = 10, l = 6 Block Totals

j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 G

Bj 258 213 258 198 170 245 225 311 168 245 199 247 228 241 316 3522

Treat Totals and Estimates of Treatment Effects

Treat Treat Total (Ti) j(i) Bj/k Diff = Qi Treat Effects (i)

(A) 501 572 -71 -7.89

(B) 600 578.25 21.75 2.42

(C) 795 624.5 170.5 18.94

(D) 821 603.5 217.5 24.17

(E) 571 595.25 -24.25 -2.69

(F) 234 548.5 -314.5 -34.94

)(ij denotes summation over all blocks j containing treatment i.

t

kQii

l treatment i effects.

Anova Table for Incomplete Block Designs

Sums of Squares

yij2 = 234382

Bj2/k = 213188

Qi2 = 181388.88

Anova Sums of Squares

SStotal = yij2 –G2/bk = 27640.6

SSBlocks = Bj2/k – G2/bk = 6446.6

SSTr = k( Qi2 )/lt = 20154.319

SSError = SStotal - SSBlocks - SSTr = 1039.6806

Anova Table for Incomplete Block Designs

Source SS df MS F

Blocks 6446.60 14 460.47 17.72

Treat 20154.32 5 4030.86 155.08

Error 1039.68 40 25.99

Total 27640.60 59

Uji lanjutan untuk Perbandingan Perlakuan

• Kontras

– Kontras disusun untuk

perbandingan

perlakuan terkoreksi

– Jumlah kuadrat

kontras (JKC) dapat

dihitung sebagai

berikut:

a

i

i

a

i

ii

ca

Qck

JKC

1

2

2

1

l

• Pengaruh Perlakuan

diduga sebagai

berikut:

• Standard Error bagi

pengaruh perlakuan

adalah: a

kxKTGSE

a

kQ

i

ii

l

l

)ˆ(

ˆ

Perbandingan Semua Kombinasi Perlakuan

(Duncan, Tukey)

Alternatif Analisis

• Dalam uraian sebelumnya keragaman total

diuraikan menjadi jumlah kuadrat perlakuan

terkoreksi, jumlah kuadrat blok dan jumlah

kuadrat galat

• Disisi lain perhatian juga dapat ditujukan pada

pengaruh blok, dengan kata lain keragaman

total dapat juga diuraikan menjadi jumlah

kuadrat perlakuan, jumlah kuadrat blok

terkoreski dan jumlah kuadrat galat

Analisis Rancangan Tak Lengkap Seimbang

(BIB Design)

• Penguraian

Keragaman Total

Catatan: nij bernilai 1

jika blok ke-j

memuat perlakuan

ke-i, dan bernilai 0

jika blok ke-j tidak

memuak perlakuan

ke-i

JKGJKBJKPJKT adj

JKPJKBJKTJKG

ynr

yQb

Qr

JKB

N

yyJKP

N

yyJKT

adj

a

i

iijji

b

j

j

adj

a

i

i

i j

ij

1

..

1

2

2

..

1

2

.

2

..

1 1

2

1 ,

kbarN ,

l

Struktur Tabel Sidik Ragam Rancangan BIB

Sumber Db JK KT F-hitung

Blok

terkoreksi

b-1 JKBadj

KTBadj

KTBadj/

KTG

Perlakuan t-1 JKP KTP KTP/

KTG

Galat N-b-t+1 JKG KTG

Total N-1 JKT

Pendugaan Parameter

• Intrablock analysis: perbedaan antar blok tidak dianalisis dan semua perbandingan perlakuan dapat ditunjukan sebagai perbandingan antar observasi dalam blok yang sama. Pengaruh blok dapat acak atau tetap

• Interblok analysis: Pengaruh blok dianggap acak dengan rata-rata nol dan ragam

2.

Perbedaan Kedua Kajian

• Intrablock Analysis

• Interblock Analysis

2

2

)1()ˆ(

ˆ

l

l

a

akV

a

kQ

i

ii

22

..

1

.

)(

)1()ˆ(

ˆ

l

l

kra

akV

r

ykryn

i

b

j

jij

i