Post on 16-Jul-2015
Lia Yuliana, S.Si., MT.
2011/2012
INTEGRAL LIPAT TIGA
Integral Lipat Tiga pada Balok
1. Partisi balok B menjadi n bagian; B1, B2, ... , Bk, ... , Bn
2. Definisikan = diagonal terpanjang dari Bk
3. Ambil
4. Bentuk jumlah Riemann
5. Jika diperoleh limit jumlah Riemann
kkkk Bzyx ),,(
k
n
k
kkk zyxf V),,(1
0
k
n
k
kkk zyxf V),,(lim1
0
Integral Lipat Tiga pada Balok
Jika limit ada, maka fungsi w=f(x,y,z) terintegralkan Riemann
pada balok B, ditulis
Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius
dzdydxdVzyxV kkkk
BB
dzdydxzyxfdVzyxf ),,(),,(
k
n
k
kkk
B
zyxfdVzyxf V),,(lim),,(1
0
Integral Lipat Tiga pada Balok
Theorema
Misal B suatu kotak persegi panjang yang didefinisikan
dengan pertidaksamaan
jika f(x,y,z) kontinu atas daerah B, maka
lzkdycbxa ,,
b
a
d
c
l
kB
dxdydzzyxfdVzyxf ),,(),,(
Integral Lipat Tiga pada Balok
Contoh
Hitung dimana B adalah balok dengan ukuran
B ={(x,y,z)| 1 x 2, 0 y 1, 1 z 2}
G
dVyzx2
Integral Lipat Tiga pada Daerah Sebarang
Pandang S suatu benda padat yang terdapat pada
balok B, dan didefinisikan nilai f nol untuk luar S
Integral Lipat Tiga pada Daerah Sebarang
Jika S suatu benda padat yang dibatasi oleh permukaan z=2(x,y) dan z= 1(x,y), dan misal R adalah proyeksi S pada bidang xy. Jika f(x,y,z) kontinu pada S pada tipe I, maka
Catatan:
Jika f(x,y,z)=1, maka menyatakan volume benda pejal S.
b
aS
dxdydzzyxfdVzyxf2
1
2
1
),,(),,(
S
dVzyxf ),,(
Integral Lipat Tiga pada Daerah Sebarang
Contoh
Hitung
dengan w=f(x,y,z)=2xyz dan S benda padat yang
dibatasi oleh tabung parabola z=2-(x2/2) dan
bidang-bidang z=0, y=x, y=0
S
dVzyxf ),,(
Sifat-Sifat Integral Lipat Tiga
, c suatu konstan
Jika daerah G merupakan gabungan dari beberapa daerah,
yaitu maka
GG
dVzyxfcdVzyxcf ),,(),,(
GGG
dVzyxgdVzyxfdVzyxgzyxf ),,(),,()],,(),,([
GGG
dVzyxgdVzyxfdVzyxgzyxf ),,(),,()],,(),,([
nGGGGG ...321
nGGGG
dVzyxgdVzyxgdVzyxfdVzyxf ),,(...),,(),,(),,(
21