Lia Yuliana, S.Si., MT.

2011/2012

INTEGRAL LIPAT TIGA

Integral Lipat Tiga pada Balok

1. Partisi balok B menjadi n bagian; B1, B2, ... , Bk, ... , Bn

2. Definisikan = diagonal terpanjang dari Bk

3. Ambil

4. Bentuk jumlah Riemann

5. Jika diperoleh limit jumlah Riemann

kkkk Bzyx ),,(

k

n

k

kkk zyxf V),,(1

0

k

n

k

kkk zyxf V),,(lim1

0

Integral Lipat Tiga pada Balok

Jika limit ada, maka fungsi w=f(x,y,z) terintegralkan Riemann

pada balok B, ditulis

Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius

dzdydxdVzyxV kkkk

BB

dzdydxzyxfdVzyxf ),,(),,(

k

n

k

kkk

B

zyxfdVzyxf V),,(lim),,(1

0

Integral Lipat Tiga pada Balok

Theorema

Misal B suatu kotak persegi panjang yang didefinisikan

dengan pertidaksamaan

jika f(x,y,z) kontinu atas daerah B, maka

lzkdycbxa ,,

b

a

d

c

l

kB

dxdydzzyxfdVzyxf ),,(),,(

Integral Lipat Tiga pada Balok

Contoh

Hitung dimana B adalah balok dengan ukuran

B ={(x,y,z)| 1 x 2, 0 y 1, 1 z 2}

G

dVyzx2

Integral Lipat Tiga pada Daerah Sebarang

Pandang S suatu benda padat yang terdapat pada

balok B, dan didefinisikan nilai f nol untuk luar S

Integral Lipat Tiga pada Daerah Sebarang

Jika S suatu benda padat yang dibatasi oleh permukaan z=2(x,y) dan z= 1(x,y), dan misal R adalah proyeksi S pada bidang xy. Jika f(x,y,z) kontinu pada S pada tipe I, maka

Catatan:

Jika f(x,y,z)=1, maka menyatakan volume benda pejal S.

b

aS

dxdydzzyxfdVzyxf2

1

2

1

),,(),,(

S

dVzyxf ),,(

Integral Lipat Tiga pada Daerah Sebarang

Contoh

Hitung

dengan w=f(x,y,z)=2xyz dan S benda padat yang

dibatasi oleh tabung parabola z=2-(x2/2) dan

bidang-bidang z=0, y=x, y=0

S

dVzyxf ),,(

Sifat-Sifat Integral Lipat Tiga

, c suatu konstan

Jika daerah G merupakan gabungan dari beberapa daerah,

yaitu maka

GG

dVzyxfcdVzyxcf ),,(),,(

GGG

dVzyxgdVzyxfdVzyxgzyxf ),,(),,()],,(),,([

GGG

dVzyxgdVzyxfdVzyxgzyxf ),,(),,()],,(),,([

nGGGGG ...321

nGGGG

dVzyxgdVzyxgdVzyxfdVzyxf ),,(...),,(),,(),,(

21