Post on 16-Oct-2021
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONENSIAL
Sri Rahmadhanningsih
SMA NEGERI 1 PONTIANAK
BENTUK 1 : ππ π = ππ
Jika ππ π = ππ , π > π dan π β π, maka π π = πPerhatikan !
Basisnya SAMA, maka eksponennya harus SAMA, sehingga f(x)=m
Dalam kasus ini, eksponen pertama berbentuk sebuah fungsi, sedangkan eksponen kedua konstanta
Contoh Soal : Tentukan nilai x yang memenuhi dari persamaan:
1. 4π₯ = 8
2. 4π₯+1 = 0,25
Penyelesaian Soal No 1 : 4π₯ = 8
4π₯ = 8 (Samakan bentuk basisnya, TIPS : Ambil basis terkecil)
22π₯ = 23 (Perhatikan basisnya)
Karena nilai basis telah sama, yaitu sama-sama 2, maka hubungkan kedua eksponen dengan tanda sama dengan, sehingga diperoleh
2π₯ = 3
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 3
2
Penyelesaian Soal No 2 : 4π₯+1 = 0,25
4π₯+1 = 0,25 (Ubah 0,25 dalam bentuk pecahan)
4π₯+1 =1
4(Ingat sifat eksponen
1
π= πβ1
4π₯+1 = 4β1 (Perhatikan Basisnya)
Karena nilai basis telah sama, yaitu sama-sama 4, maka hubungkan kedua eksponen dengan tanda sama dengan, sehingga diperoleh
π₯ + 1 = β1 (Tambahkan kedua ruas dengan -1)
π₯ = β1 β 1 (Selesaikan)
π₯ = β2
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = -2
BENTUK 2 : ππ π = ππ π
Jika ππ π = ππ(π) , π > π dan π β π, maka π π = π(π)
Perhatikan !
Basisnya SAMA, maka nilai eksponennya harus SAMA, sehingga f(x)=g(x)
Dalam kasus ini, eksponen pertama dan eksponen kedua sama-sama sebuah fungsi, tetapi bentuk fungsinya berbeda
Contoh Soal : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut:
1. 100π₯2β3π₯β4 = 10π₯
2β2π₯β3
2.33π₯+7 =
1
27
3β2π₯
Penyelesaian No 1 : 100π₯2β3π₯β4 = 10π₯
2β2π₯β3
100π₯2β3π₯β4 = 10π₯
2β2π₯β3 (Samakan basis kedua ruas, yaitu jadikan 10)
(102)π₯2β3π₯β4 = 10π₯
2β2π₯β3 (Ingat ! (ππ)π= πππ )
102 π₯2β3π₯β4 = 10π₯2β2π₯β3 (Perhatikan eksponen di ruas kiri ! Kalikan 2 ke
π₯2 β 3π₯ β 4
102π₯2β6π₯β8 = 10π₯
2β2π₯β3 (Perhatikan basis kedua ruas )
Karena basis telah sama, maka hubungkan kedua eksponen dengan tanda sama dengan, sehingga diperoleh
2π₯2 β 6π₯ β 8 = π₯2 β 2π₯ β 3 (Selesaikan, buat salah satu ruas bernilai 0)
2π₯2 β π₯2 β 6π₯ + 2π₯ β 8 + 3 = 0
π₯2 β 4π₯ β 5 = 0 (Faktorkan persamaan yang diperoleh)
Lanjutan No 1 :
Faktorkan π₯2 β 4π₯ β 5 = 0β π₯ β 5 π₯ + 1 = 0β π₯ = 5 ππ‘ππ’ π₯ = β1
Jadi, π»π = {β1, 5}
Penyelesaian No 2 : 33π₯+7 =
1
27
3β2π₯
33π₯+7 =
1
27
3β2π₯(Ubah bentuk akar jadi pangkat pecahan)
3π₯+71
3 =1
33
3β2π₯(Ubah bentuk basis
1
33= 3β3
3π₯+71
3 = 3β3 3β2π₯ ( Ingat ! πππ= πππ
3π₯+7
1
3 = 3 β3 3β2π₯ (Perhatikan basis kedua ruas )
Karena basis telah sama, maka hubungkan kedua eksponen dengan tanda sama dengan, sehingga diperoleh
π₯ + 71
3= β3 3 β 2π₯
π₯ + 7 = β9 3 β 2π₯π₯ + 7 = β27 + 18π₯
7 + 27 = 18π₯ β π₯34 = 17π₯π₯ = 2
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x=2
BENTUK 3 : ππ π = ππ π
Jika ππ π = ππ(π) , π > π, π β π, π > π, π β π, dan π β π, maka π π = πPerhatikan !Basisnya BEDA, maka eksponennya harus bernilai NOL, sehingga f(x)=0
Dalam kasus ini, eksponen pertama dan eksponen kedua mempunyai bentuk fungsi yang SAMA
Contoh Soal :
1. 52π₯β6 = 32π₯β6
2. 5π₯2βπ₯β2 = 7π₯
2βπ₯β2
Penyelesaian No 1 : 52π₯β6 = 32π₯β6
52π₯β6 = 32π₯β6
Karena basisnya berbeda, namun eksponennya sama, maka diperoleh
2π₯ β 6 = 02π₯ = 6π₯ = 3
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 3
Penyelesaian No 2 : 5π₯2βπ₯β2 = 7π₯
2βπ₯β2
5π₯2βπ₯β2 = 7π₯
2βπ₯β2
Karena basisnya berbeda, namun eksponennya sama, maka diperoleh
π₯2 β π₯ β 2 = 0π₯ β 2 π₯ + 1 = 0π₯ = 2 ππ‘ππ’ π₯ = β1
Jadi, HP = {-1, 2}
BENTUK 4 : π(π)π π = π(π)π π
Jika π π π π = π π π π ,ππππ ππ π ππππππππ πππππππππππ, πππππ:
1. Eksponen : π π± = π π±
2. Basis βΆ π‘ π± = π, sebab ππ π± = ππ π± = π3. Basis βΆ π‘ π± = π, dengan syarat π π± dan π π± keduanya bernilai positif4. Basis βΆ π π = βπ, dengan syarat π(π) dan π(π) keduanya genap atau
keduanya ganjil
Catatan : Basis mempunyai bentuk fungsi yang SAMA, tetapi Eksponennya mempunyai bentuk fungsi yang BEDA
Contoh :Tentukan himpunan penyelesaian persamaan π₯ + 3 2π₯β1 = π₯ + 3 π₯+2
Penyelesaian : π₯ + 3 2π₯β1= π₯ + 3 π₯+2
Ada beberapa kemungkinan penyelesaian, yaitu :
1. Eksponen : π π± = π π±
2π₯ β 1 = π₯ + 2
2π₯ β π₯ = 2 + 1
π₯ = 3
2. Basis βΆ π‘ π± = π, sebab ππ π± = ππ π± = π
π₯ + 3 = 1
π₯ = 1 β 3
π₯ = β2
3. Basis βΆ π‘ π± = π, dengan syarat π π± dan π π± keduanya bernilai positif
π₯ + 3 = 0
π₯ = β3
Karena ada syarat f(x) dan g(x) keduanya bernilai positif, maka nilai x yang diperoleh harus di substitusikan ke f(x) dan g(x) untuk mengecek apakah hasilnya bernilai positif atau negatif
π₯ = β3 β π π₯ = 2π₯ β 1
π β3 = 2 β3 β 1
= β6 β 1
= β7
Karena didapat salah satu nilainya negatif, yaitu π π₯ = β7 < 0
Maka, untuk nilai x = -3 tidak memenuhi penyelesaian yang dicari
Basis βΆ π π = βπ, dengan syarat π(π) dan π(π) keduanya genap atau keduanya ganjil
π + π = βππ = βπ β ππ = βπ
Karena ada syarat f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil, maka nilai x yang diperoleh harus di substitusikan ke f(x) dan g(x) untuk mengecek apakah hasilnya bilangan genap atau ganjil.
π₯ = β4 β π π₯ = 2π₯ β 1
π β4 = 2 β4 β 1
= β8 β 1
= β9
Perhatikan! π βπ bilangan ganjil dan π(βπ) bilangan genap, maka tidak memenuhi syarat, sehingga x = -4 tidak memenuhi penyelesaian
π₯ = β4 β π π₯ = π₯ + 2π β4 = β4 + 2
= β2
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah π₯ = β2 dan π₯ = 3, sehingga himpunan penyelesaiannya : HP = {-2, 3}
BENTUK 5 : π(π)π π = π(π)π π
Jika π π± π‘ π± = π π± π‘ π± ,ππππ ππππππππππππππππππππππππππ ππππ πππππππ βΆ
1. Eksponen : π π = π, dengan syarat Basis : π(π) β π dan π π β π2. Samakan kedua basis: π π = π(π)
Catatan : Basis mempunyai bentuk fungsi yang BEDA, tetapi Eksponennya mempunyai bentuk fungsi yang SAMA
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan
π₯2 β 5π₯ + 9 π₯2β4π₯+3 = 2π₯ + 3 π₯2β4π₯+3
Penyelesaian : π₯2 β 5π₯ + 9 π₯2β4π₯+3 = 2π₯ + 3 π₯2β4π₯+3
Bentuk diatas, termasuk persamaan eksponensial dengan
π π₯ = π₯2 β 5π₯ + 9
π π₯ = 2π₯ + 3
β π₯ = π₯2 β 4π₯ + 3
Penyelesaian dapat dilakukan dengan cara berikut:
1. Eksponen : π π = π, dengan syarat Basis : π(π) β π dan π π β π
β π₯ = 0 β x2 β 4x + 3 = 0
π₯ β 3 π₯ β 1 = 0
π₯ = 3 ππ‘ππ’ π₯ = 1
Karena ada syarat f(x) dan g(x) keduanya tidak nol maka nilai x yang diperoleh harus di substitusikan ke f(x) dan g(x) untuk mengecek apakah hasilnya nol atau tidak
π₯ = 3 β π π₯ = π₯2 β 5π₯ + 9
π 3 = 3 2 β 5 3 + 9
= 9 β 15 + 9
= 3
Karena π 3 β 0 πππ π 3 β 0, maka x = 3 memenuhi penyelesaian
π₯ = 1 β π π₯ = π₯2 β 5π₯ + 9
π 1 = 1 2 β 5 1 + 9
= 1 β 5 + 9
= 5
Karena π 1 β 0 πππ π 1 β 0, maka x = 1 memenuhi penyelesaian
π₯ = 3 β π π₯ = 2π₯ + 3
π 3 = 2 3 + 3= 6 + 3
= 9
π₯ = 1 β π π₯ = 2π₯ + 3
π 1 = 2 1 + 3= 2 + 3
= 5
2. Samakan kedua basis: π π = π(π)
π π = π π
π₯2 β 5π₯ + 9 = 2π₯ + 3
π₯2 β 5π₯ β 2π₯ + 9 β 3 = 0
π₯2 β 7π₯ + 6 = 0
π₯ β 6 π₯ β 1 = 0
π₯ = 6 ππ‘ππ’ π₯ = 1
Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi persamaan eksponensial tersebut adalah π = π, π = π, π ππ π = π
BENTUK 6 : π¨ ππ π π+ π© ππ π + πͺ = π
Jika π¨ ππ π π+ π© ππ π + πͺ = π, dengan π > π, π β π, π¨ β π, dan π¨,π©, πͺ β πΉ, maka penyelesaiannya dapat
menggunakan langkah berikut:
1. Gunakan pemisalan π = ππ π , sehingga persamaan eksponen berubah bentuk menjadi persamaan kuadrat
dalam variabel y , yaitu
π¨ππ + π©π + πͺ = π
ππππππππππ πππππππ πππππππππππππ
2. Faktorkan π¨ππ + π©π + πͺ = π, untuk menentukan nilai y
3. Substitusikan nilai y yang diperoleh ke π = ππ π , sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan
22π₯+1 + 2π₯ β 3 = 0
Penyelesaian: 22π₯+1 + 2π₯ β 3 = 0
22π₯+1 + 2π₯ β 3 = 0 (Ingat ! ππ+π = ππ . ππ
β 22π₯ 2 + 2π₯ β 3 = 0 (Sifat komutatif / pertukaran : ππ = ππ)
β 2. 22π₯ + 2π₯ β 3 = 0 (Ingat ! πππ = πππ
β 2. 2π₯ 2 + 2π₯ β 3 = 0 (Gunakan pemisalan)
Misalkan π¦ = 2π₯, maka diperoleh
2π¦2 + π¦ β 3 = 0
2π¦ + 3 π¦ β 1 = 0
π¦ = β3
2atau π¦ = 1
Substitusikan nilai y yang diperoleh ke π¦ = 2π₯
π¦ = β3
2β π¦ = 2π₯
β3
2= 2π₯
Tidak ada nilai x yang memenuhi
2π₯ = β3
2
Jadi, HP = {0}
π¦ = 1 β π¦ = 2π₯
1 = 2π₯
Nilai x yang memenuhi 2π₯ = 1 adalah x = 0
SIFAT-SIFAT DASAR PERTIDAKSAMAAN EKSPONENSIAL
Diketahui eksponen ππ(π₯), dengan π > 0 dan π β 1
Jika π > 1, maka βTanda Pertidaksamaan Tetapβ
ππ π₯ β₯ ππ π₯ β π π₯ β₯ π π₯ππ π₯ β€ ππ π₯ β π π₯ β€ π(π₯)
Jika 0 < π < 1, maka βTanda Pertidaksamaan Dibalikβ
ππ π₯ β₯ ππ π₯ β π π₯ β€ π π₯ππ π₯ β€ ππ π₯ β π π₯ β₯ π(π₯)
Contoh Soal :
Tentukan HP dari setiap pertidaksamaan berikut :
1. 3x < 1
2. 1
3xβ4β₯
1
3 3
3. 32π₯+1 β 4 . 3π₯+2 + 34
PENYELESAIAN SOAL NOMOR 1
3x < 1β 3π < 30
Karena basisnya 3 dan 3 > 0, maka tanda pertidaksamaan tetap, sehingga diperoleh
π₯ < 0
Jadi, HP = {π₯|π₯ < 0, π₯ β π )
PENYELESAIAN SOAL NOMOR 21
3xβ4β₯
1
3 3
β1
3xβ4β₯
1
3 312
β1
3xβ4β₯
1
31+12
β1
3xβ4β₯
1
3112
β1
3
π₯β4β₯
1
3
1
2
Karena basisnya 1
3dan 0 <
1
3< 1, maka
βTanda Pertidaksamaan Dibalikβ, Sehingga diperoleh
π₯ β 4 β€ 11
2
π₯ β€ 11
2+ 4
π₯ β€ 51
2
Jadi, HP = {π₯|π₯ < 51
2, π₯ β π }
PENYELESAIAN SOAL NOMOR 3