PENGGUNAAN

INTEGRAL TAK TENTU

Agustina Pradjaningsih, M.Si.

Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

tinapradja.math@gmail.com

Integral tak tentu

digunakan dalam penyelesaian

persamaan diferensial

[dibahas peubahnya dapat

dipisah]. Banyak masalah riil

yang model matematikanya

berbentuk persamaan

diferensial ini.

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Persamaan

0,,,,,2

2

n

n

dx

yd

dx

yd

dx

dyyxf

yang menghubungkan x, y (sbg

fungsi x) dan derivatifnya

terhadap x disebut persamaan

diferensial

Orde persamaan

diferensial dimaksud orde

tertinggi dari derivatif yang

timbul dalam persamaan.

Sedang derajat suatu

persamaan diferensial

ditentukan oleh pangkat

tertinggi dari derivatif orde

tertinggi dalam persamaan.

Fungsi y=g(x) dinamakan

penyelesaian persamaan diferensial

0,,,,, )()2()1( nyyyyxf

jika

0)(,),(),(),(, )()2()1( xgxgxgxgxf n

yaitu jika y dan derivatif-

derivatifnya yang telah dinyatakan

dalam x disubtitusikan ke dalam

persamaan diferensial.

Penyelesaian umum suatu

persamaan diferensial dimaksudkan

penyelesaian yang paling umum

dimana penyelesaian umum suatu

persamaan diferensial orde n akan

memuat n konstanta sebarang. Jika

semua konstanta ini diberikan

harga-harga tertentu maka akan

diperoleh penyelesaian khusus suatu

persamaan diferensial.

Cari persamaan dari kurva yang

melalui (1,2) yang kemiringannya

pada setiap titik pada kurva sama

dengan dua kali absis (koordinat-

x) titik itu.

CONTOH 1

Jawab

Keadaan yang harus berlaku di setiap

titik (x,y) pada kurva adalah

xdx

dyy 2'

Dicari suatu fungsi y=f(x) yang

memenuhi persamaan ini dengan

syarat y=2 jika x=-1.

xdxdyxdx

dy22

)(

2

12

2

12

2

2

2

1

ccccxy

ccxy

cxcy

dxxdy

y=2 jika x=-1.

1122 cccxy

Penyelesaian

umum

Penyelesaian khusus

12 xy

Percepatan suatu obyek yang

bergerak sepanjang suatu garis

koordinat diberikan oleh

a(t)=(2t+3)-3 dalam meter

perdetik. Jika kecepatan pada t=0

adalah 4 meter perdetik, cari

kecepatan 2 detik kemudian.

CONTOH 2

Jawab 3)32()( tdt

dvta

ct

ct

dttdttv

2

2

33

)32(4

1

2

)32(

2

12)32(

2

1 )32(

Karena v=4 saat t=0

36

145

)3(4

14

2 cc

sehingga

36

145

)32(4

12

tv

Saat t=2

det023,436

145

)49(4

1mv

Selesaikan persamaan diferensial

CONTOH 3

di titik y=1 jika x=0

422 )2( xxydx

dy

Jawab

cxy

cxy

ccxy

cxcy

dxxxy

dy

dxxxy

dyxxy

dx

dy

52

101

52

12

52

2

52

1

42

2

42

2

422

)2(

1

)2(10

11)2(

10

11

)2(10

11)2(

)2()2(

5215

101

5

10152

101

1)2(

)2(

11

)2(

1

cc

ccxy

y=1 di x=0

sehingga

52

52152

101 )2(42

10

)2(

1

xxy