Post on 17-Feb-2015
MODUL 4
MODEL-MODEL UNTUK TIME SERIES YANG
NONSTASIONER
1. Pengantar
Pada modul ini kita akan mempelajari beberapa model linier khusus
untuk time series yang nonstasioner. Time series macam inilah yang
sebenarnya lebih banyak kita jumpai dalam praktek sehari-hari. Pokok
bahasan kita adalah time series nonstasioner yang mempunyai sifat yakni
time series selisih atau difference (derajat tertentu) dari time series aslinya
(yang dinotasikan ) adalah stasioner. Sehingga model ARMA yang kita
pelajari dalam modul-modul sebelumnya berlaku untuk . Jika model
ARMA untuk ini selanjutnya kita kembalikan ke , maka model untuk
dinamakan model ARIMA. Jadi sebenarnya model ARMA dapat
dipandang sebagai kasus khususnya, yakni apabila time series aslinya
sudah stasioner (atau derajat selisihnya sama dengan nol).
Dalam modul ini juga akan kita pelajari tentang beberapa cara
menuliskan model ARIMA. Selain itu kita juga akan mempelajari tentang
grafik time series aslinya dan selisihnya (hasil differencing), beserta grafik
ACF dan PACFnya.
2. Tujuan Instruksional Umum
Setelah mempelajari modul ini, mahasiswa diharapkan dapat :
a. mengenali time series nonstasioner dari grafik time series aslinya dan
grafik ACFnya,
b. memahami berbagai sifat time series nonstasioner yang dapat di-
stasionernkan melalui operasi tertentu.
– 69 –
– 70 –
3. Tujuan Instruksional Khusus
Setelah mempelajari modul ini, mahasiswa diharapkan dapat :
a. menuliskan model ARIMA dalam beberapa bentuk,
b. menentukan hubungan antara satu model dengan model yang lain,
c. menghitung variansi model ARIMA yang sederhana.
4. Kegiatan Belajar
Modul 4 ini meliputi empat kegiatan belajar yang berisi tentang
uraian time series yang nonstasioner, uraian stasioneritas melalui
differencing, uraian proses ARIMA, dan uraian tentang transformasi untuk
menstasionerkan data time series yang nonstasioner.
4.1. Kegiatan Belajar 1
TIME SERIES YANG NONSTASIONER
Time series yang nonstasioner lebih sering akan kita jumpai
dibanding time series yang stasioner, namun stasioneritas merupakan
asumsi yang sangat bermanfaat dalam mempelajari time series. Ada
banyak hal menyebabkan suatu time series tidak stasioner, tetapi yang
paling banyak kita jumpai adalah time series yang tidak mempunyai mean
tetap. Secara umum ketidakstasioneran dalam time series mengandung
dua unsur, yaitu mean dan varians. Dalam hal ini pembahasan akan
diawali pada time series yang tidak stasioner dalam mean.
Nonstasioneritas yang ditunjukkan oleh suatu time series dikarak-
terisasikan sebagai nonstasioneritas homogen apabila time series selisih
hasil differencing adalah stasioner. Sehingga, model untuk time series
stasioner yang telah kita pelajari dalam modul 3 sebelumnya merupakan
– 71 –
kelas model yang sangat fleksibel bagi time series yang nonstasioner,
apabila kita mengikuti langkah kerja yang tepat dengan selisih-selisih itu.
4.2. Kegiatan Belajar 2
STASIONERITAS MELALUI DIFFERENCING
Motivasi untuk memusatkan perhatian pada pengambilan selisih
(difference) nilai yang berturutan dari time series nonstasioner homogen
sebagai cara untuk membuatnya stasioner menjadi jelas dengan me-
mandang contoh proses autoregresif tingkat 1
, (4.1)
dan nilai-nilai yang mungkin dari parameter . Jika nilai mutlak kurang
dari 1, maka proses itu stasioner seperti yang telah ditunjukkan pada
modul 3 sebelumnya. Sebaliknya, jika lebih besar dari 1, maka tingkah
gerak runtun waktu itu menjadi eksplosif. Yakni, jika kita memulai gerak
proses itu misalnya dari 0, maka suku gangguan menjadi penting dalam
menentukan beberapa nilai pertama time series itu. Tetapi, setelah
beberapa saat time series akan “tinggal landas”, dan berkembang secara
eksponensial. Suku gangguan (sesatan) menjadi kecil dapat diabaikan
relatif terhadap tingkat time series itu, sehingga time series menjadi
deterministik (pada dasarnya) dalam perkembangannya.
Perhatikan suatu proses random walk (autoregresif tingkat 1
dengan = 1) yang didefinisikan sebagai berikut
. (4.2)
– 72 –
Proses ini merupakan time series yang tidak stasioner yang homogen
karena nilai-nilai selisih dalam proses itu tidak berubah, yakni time series
selisih hasil differencing tingkat 1 adalah stasioner karena selisih-selisih
itu adalah
, (4.2)
dan distribusi dari tertentu (tetap).
Suatu generalisasi yang wajar dari keadaan proses random walk ini
adalah untuk memandang seluruh kelas proses ARMA yang stasioner
sebagai mekanisme pembentuk yang penting proses selisih hasil
differencing suatu time series nonstasioner. Jadi, jika kita definisikan
sebagai barisan selisih
(4.3)
maka proses umum ARMA dapat kita tulis
. (4.4)
Jika kita ganti dengan , kita lihat bahwa time series penga-
matan dapat ditulis sebagai
. (4.5)
Dapat kita catat bahwa dari (4.3), dapat kita tulis sebagai :
, dan selanjutnya
,
Sehingga kita peroleh
– 73 –
. (4.6)
Ini berarti bahwa dapat dipandang sebagai integrasi time series ,
dan proses (4.4) kita pandang sebagai integrated autoregressive – moving
average process (ARIMA).
Dalam banyak kasus dapat terjadi bahwa selisih (difference)
pertama suatu time series masih nonstasioner, tetapi selisih yang kedua
stasioner. Selisih tingkat dua adalah selisih pertama dari series hasil
selisih pertama untuk time series asli, jadi jika adalah selisih (hasil
difference) tingkat dua dari , dan adalah selisih pertama dari ,
maka
. (4.7)
Dengan menuliskan derajat selisih dengan d, maka suatu proses
ARIMA dapat digambarkan dengan dimensi p, d dan q. Jadi ARIMA(p,d,q)
berarti suatu time series nonstasioner yang setelah diambil selisih ke d
menjadi stasioner yang mempunyai model Autoregresif tingkat p dan
Moving average tingkat q. Selanjutnya proses ARIMA yang tidak mempu-
nyai bagian moving average ditulis sebagai ARI(p,d), dan ARIMA tanpa
bagian autoregresif ditulis sebagai IMA(d,q).
Dalam modul terdahulu kita tulis selisih nilai time series dengan
. Di sini akan kita tulis selisih derajat d dengan ,
sehingga
– 74 –
, dan seterusnya.
Jika kita tulis , maka proses ARIMA(p,d,q) untuk meru-
pakan proses ARMA(p,q) untuk , sehingga teori untuk tim series
stasioner yang telah dibicarakan dalam model sebelumnya berlaku pula
untuk time series . Jika , kita gunakan , sehingga
.
Time series yang kita tulis dalam (4.5) dapat kita tulis kembali
menjadi
, (4.8)
atau
(4.9)
atau
. (4.10)
di sini dinamakan operator autoregresif terubah, dan merupakan
polynomial derajat p+1 dengan satu nilai nol sama dengan 1 dan nilai nol
yang lain di luar lingkaran satuan. Untuk selisih derajat d, yakni ,
maka merupakan polynomial derajat (p+d) dengan d nilai nol sama
dengan 1, dan nilai nol yang lain di luar lingkaran satuan. Jadi
, (4.11)
dengan adalah operator autoregresif stasioner tingkat p.
4.3. Kegiatan Belajar 3
– 75 –
PROSES ARIMA(p,d,q)
Suatu time series yang dihasilkan oleh proses ARIMA(p,d,q) dapat
dinyatakan dalam bentuk observasi yang lalu dan sesatan yang lalu dan
sekarang, seperti dalam (4.8) untuk d=1, yakni
, (4.12)
yang dikenal sebagai bentuk persamaan diferensi model ARIMA(p,1,q).
Bentuk inilah yang nanti kita gunakan untuk menghitung ramalan.
Sebagai contoh, kita pandang bentuk persamaan diferensi proses
ARIMA(1,1,1)
, (4.13)
yang kelihatan seperti proses ARMA(2,1) dengan
dan dan yang tidak
memenuhi syarat-syarat stasioneritas (lihat syarat stasioneritas AR(2)
pada modul 3 sebelumnya). Selanjutnya akan diberikan uraian berkaitan
dengan beberapa model nonstasioner dan akibat dari sifat-sifat
ketidakstasionerannya.
4.3.1. Model IMA(1,1)
Model sederhana IMA(1,1) banyak digunakan untuk merepresenta-
sikan banyak data time series, khususnya yang ada di bidang ekonomi
dan bisnis. Dalam bentuk persamaan diferensi, model ini didefinisikan
. (4.14)
– 76 –
Untuk menuliskan sebagai fungsi dari nilai masa lalu dan nilai sekarang
dari , kita gunakan persamaan (4.6) yaitu
.
Karena proses nonstasioner tidak dalam keseimbangan statistik (statistical
equilibrium), kita tidak dapat mengasumsikan proses sampai pada tak
berhingga. Dalam hal ini, kita asumsikan proses berjalan mulai dan
untuk kemudahan kita asumsikan untuk , sehingga kita
dapatkan
. (4.15)
Dari persamaan (4.14) diperoleh bahwa , maka
dengan menggunakan persamaan (4.15) diperoleh
. (4.15)
Jelaslah bahwa kontras dengan model ARMA yang stasioner, bobot-bobot
(weight) pada suku sesatan tidak turun secara cepat seiring
bertambahnya waktu ke masa lalu.
Dari persamaan (4.15) kita dapat dengan mudah menurunkan
variansi dan korelasi, yaitu
(4.16)
dan
untuk besar dan moderat.
– 77 –
Jelaslah terlihat bahwa untuk , akan cukup besar dan
akan bernilai positif besar untuk beberapa lag .
4.3.2. Model ARI(1,1)
Model ARI(1,1) mempunyai bentuk persamaan diferensi yang
didefinisikan
.
atau
(4.17)
dimana .
Untuk mendapatkan bobot-bobot pada model ini, kita akan
menggunakan suatu teknik yang akan mengeneralisasi model ARIMA
sebarang. Dapat ditunjukkan bahwa bobot-bobot dapat diperoleh
persamaan
(4.17)
Dalam kasus model ARI(1,1), hubungan ini akan tereduksi menjadi
persamaan
atau
.
– 78 –
Dengan menyelesaikan kedua sisis dari persamaan di atas untuk
koefisien-koefisien , diperoleh
dan secara umum diperoleh
untuk (4.18)
dengan dan .
Gambar 4.1 berikut ini adalah contoh plot data time series hasil
simulasi (proses) yang mengikuti proses ARI(1,1) dengan , beserta
taksiran ACF dan PACF dari data aslinya. Dari gambar ini dapat dilihat
bahwa pola ACF dari data yang tidak stasioner dalam mean cenderung
bernilai positif yang mendekati 1 dan turun secara lambat menyerupai
garis lurus. Hal ini berbeda dengan pada data yang stasioner yang
cenderung turun cepat.
Setelah melalui proses differencing tingkat 1 diperoleh plot data
time series, taksiran ACF dan PACF seperti yang terlihat pada gambar
4.2. Dari sini dapat dilihat secara jelas bahwa data hasil differencing
adalah stasioner dan bentuk pola ACF dan PACF dari data hasil
difference ini adalah menyerupai pola model AR(1), dan sesuai seperti
yang telah dijelaskan dari aspek teoritiknya pada modul sebelumnya.
– 79 –
0 50 100 150 200 250 30040
60
80
100
120
140
160
180
200
Zt
t = time period
21111
1.00.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0
Aut
ocor
rela
tion
LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag
4031.70
3926.603815.91
3699.113575.89
3445.743307.98
3161.88
3006.672841.82
2666.882481.37
2284.862076.83
1857.08
1625.551382.26
1127.17 860.52
583.02 295.67
1.92
2.00 2.09
2.19 2.29
2.41 2.53
2.68
2.84 3.02
3.22 3.45
3.71 4.02
4.39
4.85 5.45
6.26 7.51
9.8017.11
0.57
0.580.60
0.620.64
0.660.68
0.70
0.720.75
0.770.79
0.820.84
0.87
0.890.91
0.930.95
0.970.99
21
2019
1817
1615
14
1312
1110
9 8
7
6 5
4 3
2 1
Autocorrelation Function for Zt
21111
1.00.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0
Par
tial A
utoc
orre
latio
n
TPACLagTPACLagTPACLag
0.32
-0.31 0.03 0.31 0.37 0.55 0.05
-0.04
-0.02 -0.01 0.22 -0.23 -0.37 -0.40
-0.14
-0.38 -0.88 -1.13 -1.84 -2.55 17.11
0.02
-0.02 0.00 0.02 0.02 0.03 0.00
-0.00
-0.00-0.00 0.01-0.01-0.02-0.02
-0.01
-0.02-0.05-0.06-0.11-0.15 0.99
21
201918171615
14
13121110 9 8
7
6 5 4 3 2 1
Partial Autocorrelation Function for Zt
Gambar 4.1. Plot data, ACF dan PACF dari simulasi proses ARI(1,1)
– 80 –
0 50 100 150 200 250 300
-6
-4
-2
0
2
4
6
Wt
t = time period
21111
1.00.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0
Aut
ocor
rela
tion
LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag
507.03
506.64506.49
506.49506.13
505.05504.10
502.64
501.98501.41
499.94498.19
494.88489.99
480.07
465.69444.42
410.05365.70
293.55182.23
-0.29
-0.17 -0.01
0.28 0.48
0.45 0.56
0.38
0.35 0.57
0.62 0.86
1.06 1.52
1.85
2.29 3.01
3.57 4.91
7.05 13.43
-0.04
-0.02-0.00
0.03 0.06
0.05 0.07
0.05
0.04 0.07
0.07 0.10
0.13 0.18
0.22
0.26 0.34
0.38 0.49
0.61 0.78
21
2019
1817
1615
14
1312
1110
9 8
7
6 5
4 3
2 1
Autocorrelation Function for Wt
21111
1.00.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0
Par
tial A
utoc
orre
latio
n
TPACLagTPACLagTPACLag
0.28
-0.35 -0.76
-0.94 0.42
-0.72 0.67
1.26
-1.04 0.68
-0.32 0.45
-0.77 -0.09
0.52
-1.23 1.61
-0.42 0.62
0.12 13.43
0.02
-0.02-0.04
-0.05 0.02
-0.04 0.04
0.07
-0.06 0.04
-0.02 0.03
-0.04-0.01
0.03
-0.07 0.09
-0.02 0.04
0.01 0.78
21
2019
1817
1615
14
1312
1110
9 8
7
6 5
4 3
2 1
Partial Autocorrelation Function for Wt
Gambar 4.2. Plot data, ACF dan PACF dari simulasi proses ARI(1,1)
setelah melalui proses differencing tingkat 1.
– 81 –
4.4. Kegiatan Belajar 4
TRANSFORMASI
Pada bagian sebelumnya kita telah melihat bagaimana proses
difference dapat digunakan sebagai suatu transformasi yang bermanfaat
untuk mencapai stasioneritas dari time series yang tidak stasioner dalam
mean. Bagaimanapun, transformasi yang lain juga bermanfaat untuk
menangani time series yang tidak stasioner dalam varians. Hal ini di-
sebabkan kita seringkali mendapatkan time series yang variansinya
meningkat seiring dengan peningkatan level (mean) dari series, yaitu
semakin besar level dari suatu series, semakin besar pula variansinya dan
sebaliknya.
Suatu kelompok transformasi yang fleksibel, yaitu transformasi
kuasa (power transformations), telah diperkenalkan oleh Box dan Cox
(1964). Untuk suatu nilai parameter , transformasi ini didefinisikan
sebagai
. (4.19)
Perhatikan bahwa untuk menghasilkan transformasi akar kuadrat dan
ini bermanfaat untuk data yang berdistribusi Poisson, sedangkan untuk
adalah transformasi kebalikan (reciprocal). Bagaimanapun,
transformasi ini dalam praktek sering digunakan untuk menstabilkan
variansi data time series yang tidak stasioner.