MODUL 4

MODEL-MODEL UNTUK TIME SERIES YANG

NONSTASIONER

1. Pengantar

Pada modul ini kita akan mempelajari beberapa model linier khusus

untuk time series yang nonstasioner. Time series macam inilah yang

sebenarnya lebih banyak kita jumpai dalam praktek sehari-hari. Pokok

bahasan kita adalah time series nonstasioner yang mempunyai sifat yakni

time series selisih atau difference (derajat tertentu) dari time series aslinya

(yang dinotasikan ) adalah stasioner. Sehingga model ARMA yang kita

pelajari dalam modul-modul sebelumnya berlaku untuk . Jika model

ARMA untuk ini selanjutnya kita kembalikan ke , maka model untuk

dinamakan model ARIMA. Jadi sebenarnya model ARMA dapat

dipandang sebagai kasus khususnya, yakni apabila time series aslinya

sudah stasioner (atau derajat selisihnya sama dengan nol).

Dalam modul ini juga akan kita pelajari tentang beberapa cara

menuliskan model ARIMA. Selain itu kita juga akan mempelajari tentang

grafik time series aslinya dan selisihnya (hasil differencing), beserta grafik

ACF dan PACFnya.

2. Tujuan Instruksional Umum

Setelah mempelajari modul ini, mahasiswa diharapkan dapat :

a. mengenali time series nonstasioner dari grafik time series aslinya dan

grafik ACFnya,

b. memahami berbagai sifat time series nonstasioner yang dapat di-

stasionernkan melalui operasi tertentu.

– 69 –

– 70 –

3. Tujuan Instruksional Khusus

Setelah mempelajari modul ini, mahasiswa diharapkan dapat :

a. menuliskan model ARIMA dalam beberapa bentuk,

b. menentukan hubungan antara satu model dengan model yang lain,

c. menghitung variansi model ARIMA yang sederhana.

4. Kegiatan Belajar

Modul 4 ini meliputi empat kegiatan belajar yang berisi tentang

uraian time series yang nonstasioner, uraian stasioneritas melalui

differencing, uraian proses ARIMA, dan uraian tentang transformasi untuk

menstasionerkan data time series yang nonstasioner.

4.1. Kegiatan Belajar 1

TIME SERIES YANG NONSTASIONER

Time series yang nonstasioner lebih sering akan kita jumpai

dibanding time series yang stasioner, namun stasioneritas merupakan

asumsi yang sangat bermanfaat dalam mempelajari time series. Ada

banyak hal menyebabkan suatu time series tidak stasioner, tetapi yang

paling banyak kita jumpai adalah time series yang tidak mempunyai mean

tetap. Secara umum ketidakstasioneran dalam time series mengandung

dua unsur, yaitu mean dan varians. Dalam hal ini pembahasan akan

diawali pada time series yang tidak stasioner dalam mean.

Nonstasioneritas yang ditunjukkan oleh suatu time series dikarak-

terisasikan sebagai nonstasioneritas homogen apabila time series selisih

hasil differencing adalah stasioner. Sehingga, model untuk time series

stasioner yang telah kita pelajari dalam modul 3 sebelumnya merupakan

– 71 –

kelas model yang sangat fleksibel bagi time series yang nonstasioner,

apabila kita mengikuti langkah kerja yang tepat dengan selisih-selisih itu.

4.2. Kegiatan Belajar 2

STASIONERITAS MELALUI DIFFERENCING

Motivasi untuk memusatkan perhatian pada pengambilan selisih

(difference) nilai yang berturutan dari time series nonstasioner homogen

sebagai cara untuk membuatnya stasioner menjadi jelas dengan me-

mandang contoh proses autoregresif tingkat 1

, (4.1)

dan nilai-nilai yang mungkin dari parameter . Jika nilai mutlak kurang

dari 1, maka proses itu stasioner seperti yang telah ditunjukkan pada

modul 3 sebelumnya. Sebaliknya, jika lebih besar dari 1, maka tingkah

gerak runtun waktu itu menjadi eksplosif. Yakni, jika kita memulai gerak

proses itu misalnya dari 0, maka suku gangguan menjadi penting dalam

menentukan beberapa nilai pertama time series itu. Tetapi, setelah

beberapa saat time series akan “tinggal landas”, dan berkembang secara

eksponensial. Suku gangguan (sesatan) menjadi kecil dapat diabaikan

relatif terhadap tingkat time series itu, sehingga time series menjadi

deterministik (pada dasarnya) dalam perkembangannya.

Perhatikan suatu proses random walk (autoregresif tingkat 1

dengan = 1) yang didefinisikan sebagai berikut

. (4.2)

– 72 –

Proses ini merupakan time series yang tidak stasioner yang homogen

karena nilai-nilai selisih dalam proses itu tidak berubah, yakni time series

selisih hasil differencing tingkat 1 adalah stasioner karena selisih-selisih

itu adalah

, (4.2)

dan distribusi dari tertentu (tetap).

Suatu generalisasi yang wajar dari keadaan proses random walk ini

adalah untuk memandang seluruh kelas proses ARMA yang stasioner

sebagai mekanisme pembentuk yang penting proses selisih hasil

differencing suatu time series nonstasioner. Jadi, jika kita definisikan

sebagai barisan selisih

(4.3)

maka proses umum ARMA dapat kita tulis

. (4.4)

Jika kita ganti dengan , kita lihat bahwa time series penga-

matan dapat ditulis sebagai

. (4.5)

Dapat kita catat bahwa dari (4.3), dapat kita tulis sebagai :

, dan selanjutnya

,

Sehingga kita peroleh

– 73 –

. (4.6)

Ini berarti bahwa dapat dipandang sebagai integrasi time series ,

dan proses (4.4) kita pandang sebagai integrated autoregressive – moving

average process (ARIMA).

Dalam banyak kasus dapat terjadi bahwa selisih (difference)

pertama suatu time series masih nonstasioner, tetapi selisih yang kedua

stasioner. Selisih tingkat dua adalah selisih pertama dari series hasil

selisih pertama untuk time series asli, jadi jika adalah selisih (hasil

difference) tingkat dua dari , dan adalah selisih pertama dari ,

maka

. (4.7)

Dengan menuliskan derajat selisih dengan d, maka suatu proses

ARIMA dapat digambarkan dengan dimensi p, d dan q. Jadi ARIMA(p,d,q)

berarti suatu time series nonstasioner yang setelah diambil selisih ke d

menjadi stasioner yang mempunyai model Autoregresif tingkat p dan

Moving average tingkat q. Selanjutnya proses ARIMA yang tidak mempu-

nyai bagian moving average ditulis sebagai ARI(p,d), dan ARIMA tanpa

bagian autoregresif ditulis sebagai IMA(d,q).

Dalam modul terdahulu kita tulis selisih nilai time series dengan

. Di sini akan kita tulis selisih derajat d dengan ,

sehingga

– 74 –

, dan seterusnya.

Jika kita tulis , maka proses ARIMA(p,d,q) untuk meru-

pakan proses ARMA(p,q) untuk , sehingga teori untuk tim series

stasioner yang telah dibicarakan dalam model sebelumnya berlaku pula

untuk time series . Jika , kita gunakan , sehingga

.

Time series yang kita tulis dalam (4.5) dapat kita tulis kembali

menjadi

, (4.8)

atau

(4.9)

atau

. (4.10)

di sini dinamakan operator autoregresif terubah, dan merupakan

polynomial derajat p+1 dengan satu nilai nol sama dengan 1 dan nilai nol

yang lain di luar lingkaran satuan. Untuk selisih derajat d, yakni ,

maka merupakan polynomial derajat (p+d) dengan d nilai nol sama

dengan 1, dan nilai nol yang lain di luar lingkaran satuan. Jadi

, (4.11)

dengan adalah operator autoregresif stasioner tingkat p.

4.3. Kegiatan Belajar 3

– 75 –

PROSES ARIMA(p,d,q)

Suatu time series yang dihasilkan oleh proses ARIMA(p,d,q) dapat

dinyatakan dalam bentuk observasi yang lalu dan sesatan yang lalu dan

sekarang, seperti dalam (4.8) untuk d=1, yakni

, (4.12)

yang dikenal sebagai bentuk persamaan diferensi model ARIMA(p,1,q).

Bentuk inilah yang nanti kita gunakan untuk menghitung ramalan.

Sebagai contoh, kita pandang bentuk persamaan diferensi proses

ARIMA(1,1,1)

, (4.13)

yang kelihatan seperti proses ARMA(2,1) dengan

dan dan yang tidak

memenuhi syarat-syarat stasioneritas (lihat syarat stasioneritas AR(2)

pada modul 3 sebelumnya). Selanjutnya akan diberikan uraian berkaitan

dengan beberapa model nonstasioner dan akibat dari sifat-sifat

ketidakstasionerannya.

4.3.1. Model IMA(1,1)

Model sederhana IMA(1,1) banyak digunakan untuk merepresenta-

sikan banyak data time series, khususnya yang ada di bidang ekonomi

dan bisnis. Dalam bentuk persamaan diferensi, model ini didefinisikan

. (4.14)

– 76 –

Untuk menuliskan sebagai fungsi dari nilai masa lalu dan nilai sekarang

dari , kita gunakan persamaan (4.6) yaitu

.

Karena proses nonstasioner tidak dalam keseimbangan statistik (statistical

equilibrium), kita tidak dapat mengasumsikan proses sampai pada tak

berhingga. Dalam hal ini, kita asumsikan proses berjalan mulai dan

untuk kemudahan kita asumsikan untuk , sehingga kita

dapatkan

. (4.15)

Dari persamaan (4.14) diperoleh bahwa , maka

dengan menggunakan persamaan (4.15) diperoleh

. (4.15)

Jelaslah bahwa kontras dengan model ARMA yang stasioner, bobot-bobot

(weight) pada suku sesatan tidak turun secara cepat seiring

bertambahnya waktu ke masa lalu.

Dari persamaan (4.15) kita dapat dengan mudah menurunkan

variansi dan korelasi, yaitu

(4.16)

dan

untuk besar dan moderat.

– 77 –

Jelaslah terlihat bahwa untuk , akan cukup besar dan

akan bernilai positif besar untuk beberapa lag .

4.3.2. Model ARI(1,1)

Model ARI(1,1) mempunyai bentuk persamaan diferensi yang

didefinisikan

.

atau

(4.17)

dimana .

Untuk mendapatkan bobot-bobot pada model ini, kita akan

menggunakan suatu teknik yang akan mengeneralisasi model ARIMA

sebarang. Dapat ditunjukkan bahwa bobot-bobot dapat diperoleh

persamaan

(4.17)

Dalam kasus model ARI(1,1), hubungan ini akan tereduksi menjadi

persamaan

atau

.

– 78 –

Dengan menyelesaikan kedua sisis dari persamaan di atas untuk

koefisien-koefisien , diperoleh

dan secara umum diperoleh

untuk (4.18)

dengan dan .

Gambar 4.1 berikut ini adalah contoh plot data time series hasil

simulasi (proses) yang mengikuti proses ARI(1,1) dengan , beserta

taksiran ACF dan PACF dari data aslinya. Dari gambar ini dapat dilihat

bahwa pola ACF dari data yang tidak stasioner dalam mean cenderung

bernilai positif yang mendekati 1 dan turun secara lambat menyerupai

garis lurus. Hal ini berbeda dengan pada data yang stasioner yang

cenderung turun cepat.

Setelah melalui proses differencing tingkat 1 diperoleh plot data

time series, taksiran ACF dan PACF seperti yang terlihat pada gambar

4.2. Dari sini dapat dilihat secara jelas bahwa data hasil differencing

adalah stasioner dan bentuk pola ACF dan PACF dari data hasil

difference ini adalah menyerupai pola model AR(1), dan sesuai seperti

yang telah dijelaskan dari aspek teoritiknya pada modul sebelumnya.

– 79 –

0 50 100 150 200 250 30040

60

80

100

120

140

160

180

200

Zt

t = time period

21111

1.00.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Aut

ocor

rela

tion

LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag

4031.70

3926.603815.91

3699.113575.89

3445.743307.98

3161.88

3006.672841.82

2666.882481.37

2284.862076.83

1857.08

1625.551382.26

1127.17 860.52

583.02 295.67

1.92

2.00 2.09

2.19 2.29

2.41 2.53

2.68

2.84 3.02

3.22 3.45

3.71 4.02

4.39

4.85 5.45

6.26 7.51

9.8017.11

0.57

0.580.60

0.620.64

0.660.68

0.70

0.720.75

0.770.79

0.820.84

0.87

0.890.91

0.930.95

0.970.99

21

2019

1817

1615

14

1312

1110

9 8

7

6 5

4 3

2 1

Autocorrelation Function for Zt

21111

1.00.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Par

tial A

utoc

orre

latio

n

TPACLagTPACLagTPACLag

0.32

-0.31 0.03 0.31 0.37 0.55 0.05

-0.04

-0.02 -0.01 0.22 -0.23 -0.37 -0.40

-0.14

-0.38 -0.88 -1.13 -1.84 -2.55 17.11

0.02

-0.02 0.00 0.02 0.02 0.03 0.00

-0.00

-0.00-0.00 0.01-0.01-0.02-0.02

-0.01

-0.02-0.05-0.06-0.11-0.15 0.99

21

201918171615

14

13121110 9 8

7

6 5 4 3 2 1

Partial Autocorrelation Function for Zt

Gambar 4.1. Plot data, ACF dan PACF dari simulasi proses ARI(1,1)

– 80 –

0 50 100 150 200 250 300

-6

-4

-2

0

2

4

6

Wt

t = time period

21111

1.00.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Aut

ocor

rela

tion

LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag

507.03

506.64506.49

506.49506.13

505.05504.10

502.64

501.98501.41

499.94498.19

494.88489.99

480.07

465.69444.42

410.05365.70

293.55182.23

-0.29

-0.17 -0.01

0.28 0.48

0.45 0.56

0.38

0.35 0.57

0.62 0.86

1.06 1.52

1.85

2.29 3.01

3.57 4.91

7.05 13.43

-0.04

-0.02-0.00

0.03 0.06

0.05 0.07

0.05

0.04 0.07

0.07 0.10

0.13 0.18

0.22

0.26 0.34

0.38 0.49

0.61 0.78

21

2019

1817

1615

14

1312

1110

9 8

7

6 5

4 3

2 1

Autocorrelation Function for Wt

21111

1.00.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Par

tial A

utoc

orre

latio

n

TPACLagTPACLagTPACLag

0.28

-0.35 -0.76

-0.94 0.42

-0.72 0.67

1.26

-1.04 0.68

-0.32 0.45

-0.77 -0.09

0.52

-1.23 1.61

-0.42 0.62

0.12 13.43

0.02

-0.02-0.04

-0.05 0.02

-0.04 0.04

0.07

-0.06 0.04

-0.02 0.03

-0.04-0.01

0.03

-0.07 0.09

-0.02 0.04

0.01 0.78

21

2019

1817

1615

14

1312

1110

9 8

7

6 5

4 3

2 1

Partial Autocorrelation Function for Wt

Gambar 4.2. Plot data, ACF dan PACF dari simulasi proses ARI(1,1)

setelah melalui proses differencing tingkat 1.

– 81 –

4.4. Kegiatan Belajar 4

TRANSFORMASI

Pada bagian sebelumnya kita telah melihat bagaimana proses

difference dapat digunakan sebagai suatu transformasi yang bermanfaat

untuk mencapai stasioneritas dari time series yang tidak stasioner dalam

mean. Bagaimanapun, transformasi yang lain juga bermanfaat untuk

menangani time series yang tidak stasioner dalam varians. Hal ini di-

sebabkan kita seringkali mendapatkan time series yang variansinya

meningkat seiring dengan peningkatan level (mean) dari series, yaitu

semakin besar level dari suatu series, semakin besar pula variansinya dan

sebaliknya.

Suatu kelompok transformasi yang fleksibel, yaitu transformasi

kuasa (power transformations), telah diperkenalkan oleh Box dan Cox

(1964). Untuk suatu nilai parameter , transformasi ini didefinisikan

sebagai

. (4.19)

Perhatikan bahwa untuk menghasilkan transformasi akar kuadrat dan

ini bermanfaat untuk data yang berdistribusi Poisson, sedangkan untuk

adalah transformasi kebalikan (reciprocal). Bagaimanapun,

transformasi ini dalam praktek sering digunakan untuk menstabilkan

variansi data time series yang tidak stasioner.