MATRIKS

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat

menentukan penyelesaiansuatu persamaan matrikdengan menggunakan

sifat dan operasi matrik

Perhatikan Tabel: Absensi siswa kelas IIIBulan: Februari 2006

Nama

Siswa

Sakit Ijin Alpa

Agus 0 1 3

Budi 1 2 0

Cicha 5 1 1

Jika judul baris dan kolomdihilangkan

Nama

Siswa

Sakit Ijin Alpa

Agus 0 1 3

Budi 1 2 0

Cicha 5 1 1

Judul kolom

Judul baris

Maka terbentuksusunan bilangansebagai berikut:

0 1 31 2 05 1 1

disebut matriks

Matriksadalah

Susunan bilangan berbentukpersegipanjang yang diatur

dalam baris dan kolom,ditulis diantara kurung kecil

atau siku

Bilangan yang disusundisebut elemen.

Banyak baris x banyak kolomdisebut ordo matriks.

Sebuah matriksditulis dengan huruf besar

Contoh:

Matriks A =654

321 baris ke 1

baris ke 2

kolom ke 1kolom ke 2

kolom ke 3

•matriks A berordo 2 x 3

•4 adalah elemen baris ke 2 kolom ke 1

Matriks persegiAdalah matriks yang

banyak baris dan kolom sama

Contoh:

Banyak baris 4, banyak kolom 4A adalah matriks berordo 4

A =

2409

8765

1052

4321

500

710

321

A =

A adalah matriks segitiga atasyaitu matriks yang elemen-elemen

di bawah diagonal utamanyabernilai nol

Perhatikan matriks berikut:

B =

B adalah matriks segitiga bawahyaitu matriks yang elemen-elemen

di atas diagonal utamanyabernilai nol

Perhatikan matriks berikut:

534

017

001

C =

C adalah matriks diagonalyaitu matriks persegi yang elemen-

elemen di bawah dan di atasdiagonal utama bernilai nol

Perhatikan matriks berikut:

500

010

003

I =

I adalah matriks Identitasyaitu matriks diagonal yang

elemen-elemen padadiagonal utama bernilai satu

Perhatikan matriks berikut:

100

010

001

Transpos Matriks

Transpos matriks A, ditulis At

adalah matriks baru dimanaelemen baris matriks At

merupakan kolom matriks A

Transpos matriks A

A =654

321

63

52

41

adalah At =

Kesamaan Dua Matriksmatriks A = matriks B

jika ordo matriks A = ordo matriks Belemen yang seletak sama

dan B =

A = 107

321

x

Jika matriks A = matriks B, maka x – 7 = 6 x = 13

2y = -1 y = -½

y206

321

Contoh 1:

113

342

85

q

r

p

Diketahui K =

dan L =

1123

442

856

p

q

Jika K = L, maka r adalah….

Bahasan: K = L

1123

442

856

p

q

=

113

342

85

q

r

p

p = 6; q = 2p q = 2.6 = 123r = 4q 3r = 4.12 = 48

jadi r = 48 : 3 = 16

yxy

xyxMisalkan A =

dan B =32

12

1

y

x

Jika At adalah transpos matriks Amaka persamaan At = B

dipenuhi bila x = ….

Contoh 2:

Bahasan:

yxy

xyxA =

=

yxx

yyx

At = B

yxx

yyx

At =

32

12

1

y

x

x + y = 1x – y = 32x = 4Jadi x = 4 : 2 = 2

Operasi PadaMatriks

PenjumlahanPenguranganPerkalian:

perkalian skalardengan matriks

perkalian matriksdengan matriks

Penjumlahan/pengurangan

Matriks A dan B dapat dijumlahkan/dikurangkan,

jika ordonya sama.

Hasilnya merupakanjumlah/selisih

elemen-elemen yang seletak

Contoh 1:

dan B =A =

7 43

3 -21

9 03

1 -52

A + B =

+

16 40

4 -71=

7 43

3 -21

9 03

1 -52

Jika A =

43

21 , B =

03

52

dan C =

40

71

Maka (A + C) – (A + B) =….

Contoh 2:

(A + C) – (A + B) = A + C – A – B

C – B

40

71

03

52

0430

5721

43

21

Bahasan

Perkalian skalar dengan matriks

Jika k suatu bilangan (skalar)maka perkalian k dengan matriks A

ditulis k.A,adalah matriks yang elemennya

diperoleh dari hasil kalik dengan setiap elemen

matriks A

Matriks A =

5

1 43

3 -21

Tentukan elemen-elemenmatriks 5A!Jawab:

5A =

5

1 43

3 -21.5

Contoh 1:

1 2015

15 -105

Matriks A =

43

2a, B =

ba0

51

dan C =

27

31

Jika A – 2B = 3C, maka a + b = ….

Contoh 2:

–

A – 2B = 3C

43

2a

ba0

51

27

31

43

2a

– 2

ba 220

102

621

93

Bahasan

–

43

2a

ba 220

102

621

93

ba

a

2243

122

621

93

ba

a

2243

122

621

93

a – 2 = -3 a = -1

4 – 2a – 2b = 6

4 + 2 – 2b = 6

6 – 2b = 6

-2b = 0 b = 0

Jadi a + b = -1 + 0 = -1

Matriks A =ml

k

32

4

dan B =

7

1232

lk

klm

Supaya dipenuhi A = 2Bt,dengan Bt adalah matriks transpos

dari B maka nilai m = ….

Contoh 3:

B =

7

1232

lk

klm

berarti Bt =

712

32.2

lk

klm

A = 2Bt

ml

k

32

4 =

712

32

lk

klm

Bahasan

712

32.2

lk

klm

A = 2Bt

ml

k

32

4=

ml

k

32

4=

)7(2)12(2

2)32(2

lk

klm

ml

k

32

4

14224

264.

lk

klm=

m3l2

4k =

14l22k4

k2l6m4

4 = 2k k = 2

2l = 4k + 2 2l = 4.2 + 2

2l = 10 l = 5

3m = 2l + 14

3m = 2.5 + 14 = 24

Jadi m = 8

Bubble Sort

• Metode sorting termudah

• Diberi nama “Bubble” karena proses pengurutansecara berangsur-angsur bergerak/berpindah keposisinya yang tepat, seperti gelembung yang keluardari sebuah gelas bersoda.

• Bubble Sort mengurutkan data dengan cara membandingkan elemen sekarang dengan elemen berikutnya.

Bubble Sort (2)

• Pengurutan Ascending :Jika elemen sekarang lebih besar dari elemen berikutnya maka kedua elemen tersebut ditukar.

• Pengurutan Descending: Jika elemen sekarang lebih kecil dari elemen berikutnya, maka kedua elemen tersebut ditukar.

• Algoritma ini seolah-olah menggeser satu per satu elemen dari kanan ke kiri atau kiri ke kanan, tergantung jenis pengurutannya, asc atau desc.

• Ketika satu proses telah selesai, maka bubble sort akan mengulangi proses, demikian seterusnya sampai dengan iterasi sebanyak n-1.

• Kapan berhentinya? Bubble sort berhenti jika seluruh array telah diperiksa dan tidak ada pertukaran lagi yang bisa dilakukan, serta tercapai perurutan yang telah diinginkan.

banyaknya data: nData diurutkan/disorting dari yang bernilai besar

Prosesstep 1 : Periksalah nilai dua elemen mulai dari urutan ke-n

sampai urutan ke-1. Jika nilai kiri<kanan, tukarkankedua data itu.

step 2 : Periksalah nilai dua elemen mulai dari urutan ke-n sampai urutan ke-2. Jika nilai kiri<kanan, tukarkankedua data itu.

step n-1 : Periksalah nilai dua elemen mulai dari urutan ke-nsampai urutan ke-n-1. Jika nilai kiri<kanan, tukarkankedua data itu.

…

Contoh Algoritma: BUBBLE SORT

7 4 5 8 10Awal

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

7 4 5 8 10Step-1

Awal

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

7 4 5 10 8Step-1

Awal

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

7 4 10 5 8Step-1

Awal

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

7 10 4 5 8Step-1

Awal

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

10 7 4 5 8Step-1

Awal

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

10 7 4 5 8

10 7 4 5 8

Step-1

Awal

Step-2

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

10 7 4 5 8

10 7 4 8 5

Step-1

Awal

Step-2

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

10 7 4 5 8

10 7 8 4 5

Step-1

Awal

Step-2

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

10 7 4 5 8

10 8 7 4 5

Step-1

Awal

Step-2

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

10 7 4 5 8

10 8 7 4 5

10 8 7 4 5

Step-1

Awal

Step-2

Step-3

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

10 7 4 5 8

10 8 7 4 5

10 8 7 5 4

Step-1

Awal

Step-2

Step-3

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

10 7 4 5 8

10 8 7 4 5

10 8 7 5 4

Step-1

Awal

Step-2

Step-3

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

10 7 4 5 8

10 8 7 4 5

10 8 7 5 4

10 8 7 5 4

Step-1

Awal

Step-2

Step-3

Step-4

Bubble Sort: tahap demi tahap

Bubble Sort (3)

Bubble Sort (4)

Bubble Sort (5)

Bubble Sort (6)

• Versi 1

• Versi 2

Bubble Sort (6)

• Dengan prosedur diatas, data terurut naik (ascending), untuk urut turun (descending) silahkan ubah bagian:

if (data[j]<data[j-1]) tukar(&data[j],&data[j-1]);

Menjadi:

if (data[j]>data[j-1]) tukar(&data[j],&data[j-1]);

• “The bubble sort is an easy algorithm to program, but it is slower than many other sorts”

Exchange Sort

• Sangat mirip dengan Bubble Sort• Banyak yang mengatakan Bubble Sort sama dengan Exchange

Sort• Pebedaan : dalam hal bagaimana membandingkan antar

elemen-elemennya.– Exchange sort membandingkan suatu elemen dengan elemen-elemen

lainnya dalam array tersebut, dan melakukan pertukaran elemen jika perlu. Jadi ada elemen yang selalu menjadi elemen pusat (pivot).

– Sedangkan Bubble sort akan membandingkan elemen pertama/terakhir dengan elemen sebelumnya/sesudahnya, kemudian elemen tersebut itu akan menjadi pusat (pivot) untuk dibandingkan dengan elemen sebelumnya/sesudahnya lagi, begitu seterusnya.

Exchange Sort (2)

Exchange Sort (3)

Exchange Sort (4)

Exchange Sort (5)

• Prosedur Exchange Sort

Selection Sort

• Merupakan kombinasi antara sorting dan searching• Untuk setiap proses, akan dicari elemen-elemen yang belum

diurutkan yang memiliki nilai terkecil atau terbesar akan dipertukarkan ke posisi yang tepat di dalam array.

• Misalnya untuk putaran pertama, akan dicari data dengan nilai terkecil dan data ini akan ditempatkan di indeks terkecil (data[0]), pada putaran kedua akan dicari data kedua terkecil, dan akan ditempatkan di indeks kedua (data[1]).

• Selama proses, pembandingan dan pengubahan hanya dilakukan pada indeks pembanding saja, pertukaran data secara fisik terjadi pada akhir proses.

Selection Sort: contoh

5 2 4 6 1 3

1 2 3 4 5 6

1 2

3 4

5 6

1 2 4 6 5 3

1 2 4 6 5 3

1 2 3 6 5 4

1 2 3 4 5 6

Carilah elemen terkecil &

tukar dengan “5”

1 fixed. Carilah elemen terkecil

& tukar dengan “2”

1,2 fixed. Carilah elemen

terkecil & tukar dengan “4”

1,2,3 fixed. Carilah elemen

terkecil & tukar dengan “6”

1,2,3,4 fixed. Carilah elemen

terkecil & tukar dengan “5”

1,2,3,4,5 fixed, otomatis elemen

terakhir sudah pada posisi yang

benar

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

Selection Sort (2)

Beberapa Algoritma Sorting

1. Bubble Sort

2. Selection Sort

3. Insertion Sort

4. Merge Sort

5. Quick Sort

Bubble Sort: pseudocode

BUBBLESORT(A)

1 for i←1 to length[A]

2 do for j←length[A] downto i+1

3 do if A[j] < A[j-1]

4 then exchange A*j+ ↔ A*j-1]