MATRIKS

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat

menentukan penyelesaiansuatu persamaan matrikdengan menggunakan

sifat dan operasi matrik

Perhatikan Tabel: Absensi siswa kelas IIIBulan: Februari 2006

Nama Siswa

Sakit Ijin Alpa

Agus 0 1 3

Budi 1 2 0

Cicha 5 1 1

Jika judul baris dan kolomdihilangkan

Nama Siswa

Sakit Ijin Alpa

Agus 0 1 3

Budi 1 2 0

Cicha 5 1 1

Judul kolom

Judul baris

Maka terbentuksusunan bilangansebagai berikut:

0 1 3 1 2 0 5 1 1

disebut matriks

Matriks adalah

Susunan bilangan berbentukpersegipanjang yang diatur

dalam baris dan kolom,ditulis diantara kurung kecil

atau siku

Bilangan yang disusun disebut elemen.

Banyak baris x banyak kolomdisebut ordo matriks.

Sebuah matriksditulis dengan huruf besar

Contoh:

Matriks A =

654

321 baris ke 1

baris ke 2

kolom ke 1kolom ke 2

kolom ke 3

•matriks A berordo 2 x 3

•4 adalah elemen baris ke 2 kolom ke 1

Matriks persegi

Adalah matriks yang banyak baris dan kolom sama

Contoh:

Banyak baris 4, banyak kolom 4A adalah matriks berordo 4

A =

2409

8765

1052

4321

diagonal utama

500

710

321

A =

A adalah matriks segitiga atasyaitu matriks yang elemen-elemen

di bawah diagonal utamanya bernilai nol

Perhatikan matriks berikut:

B =

B adalah matriks segitiga bawahyaitu matriks yang elemen-elemen

di atas diagonal utamanya bernilai nol

Perhatikan matriks berikut:

534

017

001

C =

C adalah matriks diagonalyaitu matriks persegi yang elemen-

elemen di bawah dan di atas diagonal utama bernilai nol

Perhatikan matriks berikut:

500

010

003

I =

I adalah matriks Identitasyaitu matriks diagonal yang

elemen-elemen pada diagonal utama bernilai satu

Perhatikan matriks berikut:

100

010

001

Transpos Matriks

Transpos matriks A, ditulis At

adalah matriks baru dimana elemen baris matriks At

merupakan kolom matriks A

Transpos matriks A

A =

654

321

63

52

41adalah At =

Kesamaan Dua Matriksmatriks A = matriks B

jika ordo matriks A = ordo matriks B

elemen yang seletak sama

dan B =

A =

107

321

x

Jika matriks A = matriks B, maka x – 7 = 6 x = 13

2y = -1 y = -½

y206

321

Contoh 1:

113

342

85

q

r

p

Diketahui K =

dan L =

1123

442

856

p

q

Jika K = L, maka r adalah….

Bahasan: K = L

1123

442

856

p

q=

113

342

85

q

r

p

p = 6; q = 2p q = 2.6 = 123r = 4q 3r = 4.12 = 48 jadi r = 48 : 3 = 16

yxy

xyxMisalkan A =

dan B =

32

1 21

y

x

Jika At adalah transpos matriks Amaka persamaan At = B

dipenuhi bila x = ….

Contoh 2:

Bahasan:

yxy

xyxA =

=

yxx

yyx

At = B

yxx

yyx

At =

32

1 21

y

x

x + y = 1x – y = 32x = 4Jadi x = 4 : 2 = 2

Operasi Pada Matriks

PenjumlahanPenguranganPerkalian:

perkalian skalardengan matriks

perkalian matriksdengan matriks

Penjumlahan/pengurangan

Matriks A dan B dapat dijumlahkan/dikurangkan,

jika ordonya sama.

Hasilnya merupakanjumlah/selisih

elemen-elemen yang seletak

Contoh 1:

dan B =A =

7 43

3 -21

9 03

1 -52

A + B =

+

16 40

4 -71=

7 43

3 -21

9 03

1 -52

Jika A =

43

21 , B =

03

52

dan C =

40

71

Maka (A + C) – (A + B) =….

Contoh 2:

(A + C) – (A + B) = A + C – A – B

= C – B

=

40

71

03

52

=

0430

5721

=

43

21

Bahasan

Perkalian skalar dengan matriks

Jika k suatu bilangan (skalar)maka perkalian k dengan matriks A

ditulis k.A,adalah matriks yang elemennya

diperoleh dari hasil kalik dengan setiap elemen

matriks A

Matriks A =

51 43

3 -21

Tentukan elemen-elemen matriks 5A!Jawab:

5A =

51 43

3 -21.5

Contoh 1:

1 2015

15 -105

Matriks A =

43

2a, B =

ba0

51

dan C =

27

31

Jika A – 2B = 3C, maka a + b = ….

Contoh 2:

= 3

– =

A – 2B = 3C

43

2a

ba0

51

27

31

43

2a

– 2

ba 220

102

621

93

Bahasan

– =

=

43

2a

ba 220

102

621

93

ba

a

2243

122

621

93

ba

a

2243

122=

621

93

a – 2 = -3 a = -14 – 2a – 2b = 64 + 2 – 2b = 6 6 – 2b = 6 -2b = 0 b = 0Jadi a + b = -1 + 0 = -1

Matriks A =

ml

k

32

4

dan B =

7

1232

lk

klm

Supaya dipenuhi A = 2Bt,dengan Bt adalah matriks transpos

dari B maka nilai m = ….

Contoh 3:

B =

7

1232

lk

klm

berarti Bt =

712

32.2

lk

klm

A = 2Bt

ml

k

32

4 =

712

32

lk

klm

Bahasan

712

32.2

lk

klm

A = 2Bt

ml

k

32

4=

ml

k

32

4=

)7(2)12(2

2)32(2

lk

klm

ml

k

32

4

14224

264.

lk

klm=

m3l2

4k =

14l22k4

k2l6m4

4 = 2k k = 2

2l = 4k + 2 2l = 4.2 + 2

2l = 10 l = 5

3m = 2l + 14

3m = 2.5 + 14 = 24

Jadi m = 8

Bubble Sort

• Metode sorting termudah• Diberi nama “Bubble” karena proses pengurutan

secara berangsur-angsur bergerak/berpindah ke posisinya yang tepat, seperti gelembung yang keluar dari sebuah gelas bersoda.

• Bubble Sort mengurutkan data dengan cara membandingkan elemen sekarang dengan elemen berikutnya.

Bubble Sort (2)• Pengurutan Ascending :Jika elemen sekarang lebih besar dari

elemen berikutnya maka kedua elemen tersebut ditukar.• Pengurutan Descending: Jika elemen sekarang lebih kecil dari

elemen berikutnya, maka kedua elemen tersebut ditukar.• Algoritma ini seolah-olah menggeser satu per satu elemen dari

kanan ke kiri atau kiri ke kanan, tergantung jenis pengurutannya, asc atau desc.

• Ketika satu proses telah selesai, maka bubble sort akan mengulangi proses, demikian seterusnya sampai dengan iterasi sebanyak n-1.

• Kapan berhentinya? Bubble sort berhenti jika seluruh array telah diperiksa dan tidak ada pertukaran lagi yang bisa dilakukan, serta tercapai perurutan yang telah diinginkan.

banyaknya data: nData diurutkan/disorting dari yang bernilai besar

Prosesstep 1 : Periksalah nilai dua elemen mulai dari urutan ke-n sampai

urutan ke-1. Jika nilai kiri<kanan, tukarkan kedua data itu.step 2 : Periksalah nilai dua elemen mulai dari urutan ke-n sampai

urutan ke-2. Jika nilai kiri<kanan, tukarkan kedua data itu.

step n-1 : Periksalah nilai dua elemen mulai dari urutan ke-n sampai urutan ke-n-1. Jika nilai kiri<kanan, tukarkan kedua data itu.

…

Contoh Algoritma: BUBBLE SORT

7 4 5 8 10Awal

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

7 4 5 8 10Step-1

Awal

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

7 4 5 10 8Step-1

Awal

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

7 4 10 5 8Step-1

Awal

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

7 10 4 5 8Step-1

Awal

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

10 7 4 5 8Step-1

Awal

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

10 7 4 5 8

10 7 4 5 8

Step-1

Awal

Step-2

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

10 7 4 5 8

10 7 4 8 5

Step-1

Awal

Step-2

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

10 7 4 5 8

10 7 8 4 5

Step-1

Awal

Step-2

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

10 7 4 5 8

10 8 7 4 5

Step-1

Awal

Step-2

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

10 7 4 5 8

10 8 7 4 5

10 8 7 4 5

Step-1

Awal

Step-2

Step-3

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

10 7 4 5 8

10 8 7 4 5

10 8 7 5 4

Step-1

Awal

Step-2

Step-3

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

10 7 4 5 8

10 8 7 4 5

10 8 7 5 4

Step-1

Awal

Step-2

Step-3

Bubble Sort: tahap demi tahap

7 4 5 8 10

10 7 4 5 8

10 8 7 4 5

10 8 7 5 4

10 8 7 5 4

Step-1

Awal

Step-2

Step-3

Step-4

Bubble Sort: tahap demi tahap

Bubble Sort (3)

Bubble Sort (4)

Bubble Sort (5)

Bubble Sort (6)

• Versi 1

• Versi 2

Bubble Sort (6)

• Dengan prosedur diatas, data terurut naik (ascending), untuk urut turun (descending) silahkan ubah bagian: if (data[j]<data[j-1]) tukar(&data[j],&data[j-1]); Menjadi: if (data[j]>data[j-1]) tukar(&data[j],&data[j-1]);

• “The bubble sort is an easy algorithm to program, but it is slower than many other sorts”

Exchange Sort• Sangat mirip dengan Bubble Sort• Banyak yang mengatakan Bubble Sort sama dengan Exchange

Sort• Pebedaan : dalam hal bagaimana membandingkan antar

elemen-elemennya.– Exchange sort membandingkan suatu elemen dengan elemen-elemen

lainnya dalam array tersebut, dan melakukan pertukaran elemen jika perlu. Jadi ada elemen yang selalu menjadi elemen pusat (pivot).

– Sedangkan Bubble sort akan membandingkan elemen pertama/terakhir dengan elemen sebelumnya/sesudahnya, kemudian elemen tersebut itu akan menjadi pusat (pivot) untuk dibandingkan dengan elemen sebelumnya/sesudahnya lagi, begitu seterusnya.

Exchange Sort (2)

Exchange Sort (3)

Exchange Sort (4)

Exchange Sort (5)

• Prosedur Exchange Sort

Selection Sort• Merupakan kombinasi antara sorting dan searching• Untuk setiap proses, akan dicari elemen-elemen yang belum

diurutkan yang memiliki nilai terkecil atau terbesar akan dipertukarkan ke posisi yang tepat di dalam array.

• Misalnya untuk putaran pertama, akan dicari data dengan nilai terkecil dan data ini akan ditempatkan di indeks terkecil (data[0]), pada putaran kedua akan dicari data kedua terkecil, dan akan ditempatkan di indeks kedua (data[1]).

• Selama proses, pembandingan dan pengubahan hanya dilakukan pada indeks pembanding saja, pertukaran data secara fisik terjadi pada akhir proses.

Selection Sort: contoh5 2 4 6 1 3

1 2 3 4 5 6

1 2

3 4

5 6

1 2 4 6 5 3

1 2 4 6 5 3

1 2 3 6 5 4

1 2 3 4 5 6

Carilah elemen terkecil &tukar dengan “5”

1 fixed. Carilah elemen terkecil & tukar dengan “2”

1,2 fixed. Carilah elemen terkecil & tukar dengan “4”

1,2,3 fixed. Carilah elemen terkecil & tukar dengan “6”

1,2,3,4 fixed. Carilah elemen terkecil & tukar dengan “5”

1,2,3,4,5 fixed, otomatis elementerakhir sudah pada posisi yangbenar

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

Selection Sort (2)

Beberapa Algoritma Sorting

1. Bubble Sort2. Selection Sort3. Insertion Sort4. Merge Sort5. Quick Sort

Bubble Sort: pseudocode

BUBBLESORT(A)1 for i←1 to length[A]2 do for j←length[A] downto i+13 do if A[j] < A[j-1]4 then exchange A[j] ↔ A[j-1]