Post on 01-Jan-2020
MA1101 MATEMATIKA 1A
Hendra GunawanSemester I, 2019/2020
6 September 2019
Limit Trigonometri Khusus
Bukti (1) diperoleh dengan menunjukkan bahwa untuk t ≠ 0, berlaku
Karena , maka dengan Teorema Apit
kita simpulkan bahwa
9/5/2019 (c) Hendra Gunawan 2
.1sin
lim.10
t
t
t.0
cos1lim.2
0
t
t
t
.1sin
cos t
tt
1coslim0
tt
.1sin
lim0
t
t
t
KULIAH SEBELUMNYA:
GAMBAR LINGKARAN UNTUK MEMBUKTIKAN KETAKSAMAAN INI.
Latihan
1. Menggunakan fakta bahwa hitunglah:
a. b.
2. Buktikan bahwa
9/5/2019 (c) Hendra Gunawan 3
,1sin
lim0
t
t
t
ttt
2cot.sinlim0 xx
xx
x
2
2
0 2
)2sin(lim
.0cos1
lim0
t
t
t
Sasaran Kuliah Hari Ini
1.5 Limit di Tak Hingga dan Limit Tak Hingga
Menghitung limit di tak hingga dan limit takhingga.
1.6 Kekontinuan
Memeriksa kekontinuan fungsi danmenggunakan Teorema Nilai Antara untukmemecahkan masalah yang relevan.
9/5/2019 4(c) Hendra Gunawan
1.5 LIMIT DI TAK HINGGA & LIMIT TAK HINGGAMenghitung limit di tak hingga dan limit takhingga
MA1101 MATEMATIKA 1A
9/5/2019 (c) Hendra Gunawan 5
Apa yang Terjadi Bila x → ∞ atau –∞?
9/5/2019 (c) Hendra Gunawan 6
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
x/(x^2+1)
Limit di Tak Hingga
Misalkan f terdefinisi pada [c,∞). Kita tuliskan
apabila: untuk setiap ε > 0 terdapat M > c sehingga: jika x > M, maka |f(x) – L| < ε.
[Secara intuitif, “limit f di tak hingga” sama dgn L jika untuk x cukup besar, nilai f(x) dekat ke L.]
Contoh 1. [jika x > ??, maka |1/x|<ε.]
9/5/2019 (c) Hendra Gunawan 7
Lxfx
)(lim
.01
lim xx
Contoh 2
Buktikan bahwa
Bukti. Diberikan ε > 0 sembarang, pilih M ≥ 1/ε. Kita periksa: jika x > M, maka
Ini membuktikan bahwa
9/5/2019 (c) Hendra Gunawan 8
.01
lim2
x
x
x
.11
12
Mxx
x
.01
lim2
x
x
x
Limit di Minus Tak Hingga
Misalkan f terdefinisi pada (-∞,d]. Kita tuliskan
apabila: untuk setiap ε > 0 terdapat N < d sehingga: jika x < N, maka |f(x) – L| < ε.
[Secara intuitif, “limit f di minus tak hingga” samadgn L jika utk x minus besar, nilai f(x) dekat ke L.]
Contoh 3. [jika x < ??, maka |1/x|<ε.]
9/5/2019 (c) Hendra Gunawan 9
Lxfx
)(lim
.01
lim xx
Contoh 4
Buktikan bahwa
Bukti. Coba sendiri.
9/5/2019 (c) Hendra Gunawan 10
.01
lim2
x
x
x
Catatan
Selain Teorema Substitusi, teorema-teoremalimit dan Teorema Apit berlaku pula untuk limit di tak hingga.
Sebagai contoh,
lim𝑥→∞
𝑥 − 1
𝑥 + 1= lim
𝑥→∞
1 −1𝑥
1 +1𝑥
=lim𝑥→∞
1 − 1𝑥
lim𝑥→∞
(1 + 1𝑥)=1
1= 1.
9/5/2019 (c) Hendra Gunawan 11
Limit Tak Hingga
Tinjau fungsi f(x) = 1/x, dengan x ≠ 0.
Apa yang terjadi di dekat x = 0?
Berapakah nilai limit f di 0, bila ada?
Misalkan f terdefinisi di sekitar x = c. Kita tuliskan
apabila: untuk setiap M > 0 terdapat δ > 0 sehingga: jika 0 < x – c < δ, maka f(x) > M.
9/5/2019 (c) Hendra Gunawan 12
)(lim xfcx
Limit Tak Hingga
Misalkan f terdefinisi di sekitar x = c. Kita tuliskan
apabila: untuk setiap M > 0 terdapat δ > 0 sehingga: jika 0 < c – x < δ, maka f(x) > M.
Catatan: dandidefinisikan secara analog. [Rumuskan sendiridefinisinya, atau lihat buku.]
9/5/2019 (c) Hendra Gunawan 13
)(lim xfcx
)(lim xfcx
)(lim xfcx
Contoh
1. [jika 0 < x < ??, maka 1/x > M.]
2. [jika 0 < -x < ??, maka 1/x < N.]
9/5/2019 (c) Hendra Gunawan 14
xx
1lim
0
xx
1lim
0
Latihan
1. Hitunglah:
a. b.
c. d.
2. Hitunglah dan
9/5/2019 15(c) Hendra Gunawan
1
1lim
2
4
x
x
x1
1lim
2
2
x
x
x
)1(lim xxx
22 4
limx
x
x
.4
lim2
2 x
x
x
2 1limx
x
x
1.6 KEKONTINUANMemeriksa kekontinuan fungsi danmenggunakan Teorema Nilai Antara untukmemecahkan masalah yang relevan
MA1101 MATEMATIKA 1A
9/5/2019 (c) Hendra Gunawan 16
Fungsi Kontinu di Suatu Titik
Misalkan f terdefinisi disekitar c, termasuk di c.
Fungsi f dikatakankontinu di c apabila
yakni: untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga: jika |x – c|< δ, maka
|f(x) – f(c)|< ε.9/5/2019 (c) Hendra Gunawan 17
),()(lim cfxfcx
c
f(c)
Fungsi f dikatakankontinu pada (a,b) apabila f kontinu disetiap titik c є (a,b).
Keluarga Fungsi Kontinu
1. Fungsi polinom kontinu di setiap titik padaR. Demikian pula fungsi rasional kontinu disetiap titik pada daerah asalnya. [IngatTeorema Substitusi.]
2. Fungsi nilai mutlak f(x) = |x| kontinu pada R.
3. Fungsi akar f(x) = √x kontinu pada (0,∞). Fungsi ini kontinu kanan di c = 0.
4. Fungsi f(x) = sin x dan g(x) = cos x kontinupada R.
9/5/2019 (c) Hendra Gunawan 18
Teorema
Jika f dan g kontinu di c dan k konstanta, makakf, f + g, f – g, fg, f/g, fn, dan kontinu di c.
Jika dan f kontinu di L, maka
Jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c), makaf ◦ g kontinu di c.
9/5/2019 (c) Hendra Gunawan 19
n f
Lxgcx
)(lim
).())((lim Lfxgfcx
Contoh
1. f(x) = x sin x kontinu di setiap titik karenamerupakan hasilkali dua buah fungsi yang kontinu di setiap titik (pada R).
2. F(x) = |x2 – 1| kontinu di setiap titik (pada R) karena h(x) = x2 – 1 kontinu di setiap titik, g(x) = |x| juga kontinu di setiap titik, danF(x) = g(h(x)) = (g ◦ h)(x).
9/5/2019 (c) Hendra Gunawan 20
Fungsi Kontinu pada Selang Tutup
Fungsi f dikatakan kontinu pada [a,b] apabilaf kontinu pada (a,b), kontinu kanan di a, dankontinu kiri di b.
Contoh: f(x) = x3 – x2 + 1 kontinu pada [-1,2].
Grafik fungsi f yang kontinu pada selang tutup[a,b] tidak terputus dari titik (a,f(a)) ke (b,f(b)).
9/5/2019 (c) Hendra Gunawan 21
Teorema Nilai Antara
Jika f kontinu pada [a,b], f(a) < 0 dan f(b) > 0 (atau sebaliknya, f(a) > 0 dan f(b) < 0), makaterdapat c є (a,b) sehingga f(c) = 0.
Contoh: f(x) = x3 – x2 + 1 kontinu pada [-1,2],
f(-1) = -1 dan f(2) = 5. Menurut Teorema NilaiAntara, terdapat c є (-1,2) sehingga
f(c) = c3 – c2 + 1 = 0
(yakni, f mempunyai akar pada [-1,2]).9/5/2019 (c) Hendra Gunawan 22
Ilustrasi TNA
9/5/2019 (c) Hendra Gunawan 23
c
y
a b x
Latihan1. Tentukan nilai L agar f kontinu di 1.
f(x) =
=
2. Tentukan a dan b agar f kontinu di setiap titik.
3. Buktikan bahwa p(x) = x5 – x – 1 mempunyaiakar positif.
9/5/2019 (c) Hendra Gunawan 24
3 1, 1
1
, 1.
xx
x
L x
.1,2
11,
1,1)(
3
x
xbax
xxf