KS091206KS091206KS091206KS091206

KALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

Ruang VektorRuang VektorRuang VektorRuang Vektor

TIM KALIN

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Setelah menyelesaikan pertemuan ini

mahasiswa diharapkan :

– Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari

ruang vektor

Page 2Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

RUANG VEKTOR 2

ruang vektor

– Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari

subruang vektor

– Dapat menghitung kombinasi linier dan span

– Dapat mengetahui contoh aplikasinya

Ruang Vektor

RUANG VEKTOR 3

(bentuk Umum)

Ruang VektorV adalah himpunan tidak kosong

Didefinisikan 2 operasi terhadap obyek-obyek di V:

penjumlahan, notasi u + v

RUANG VEKTOR 4

penjumlahan, notasi u + v

perkalian skalar, notasi kv

Catatan:perlu diingat bahwa

•penjumlahan tidak selalu seperti (2, 1) + (1, 3) = (3, 4)

•perkalian skalar tidak selalu seperti5( 2, 1) = (10, 5)

Ruang VektorV disebut ruang vektor jika dipenuhi 10 (sepuluh) aksioma berikut:

1. Jika u, v ∈∈∈∈ V maka (u + v) ∈∈∈∈ V

2. u + v = v + u

3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w

4. Ada vektor nol 0 ∈∈∈∈ V sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u

5. Untuk tiap u ∈∈∈∈ V, ada vektor –u ∈∈∈∈ V yang dinamakan negatif u sedemikian sehingga u + (– u) = (– u) + u = 0

RUANG VEKTOR 5

sedemikian sehingga u + (– u) = (– u) + u = 0

6. Jika k adalah skalar dan u ∈∈∈∈ V, maka ku ∈∈∈∈ V

7. k (u + v) = ku + kv

8. (k+m)u = ku + mu

9. k(mu) = (km) u

10. 1u = u

Ruang Vektor

perhatikan aksioma 1, 4, 5, 6 berikut:

1. Jika u, v ∈∈∈∈ V maka (u + v) ∈∈∈∈ V

4. Ada vektor nol 0 ∈∈∈∈ V sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u

5. Untuk tiap u ∈∈∈∈ V, ada vektor –u ∈∈∈∈ V yang dinamakan negatif u sedemikian sehingga u +(-u) = (-u) + u = 0

6. Jika k adalah skalar dan u ∈∈∈∈ V, maka k u ∈∈∈∈ V

ruang vektor bukan ruang vektor ruang vektor bukan ruang vektor

RUANG VEKTOR 6

u

v

0

u

ku

u

u

v

u+v

1 6kuu+v

ruang vektor bukan ruang vektor ruang vektor bukan ruang vektor

0

-v

-u

0 0

Teorema 5.1.1:

V merupakan ruang vektor, u ∈ V dan k adalah skalar.

Maka

1) 0u = 0

2) k0 = 0

3) (–1)u = -u

RUANG VEKTOR 7

3) (–1)u = -u

4) Jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0

Subruang

(subspace)

RUANG VEKTOR 8

(subspace)

Subruang :

W merupakan subset dari V.

W disebut subruang dari V jika dan hanya jika

W adalah ruang vektor, di bawah operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan di V, artinya

RUANG VEKTOR 9

perkalian skalar yang didefinisikan di V, artinya

1. Jika u, v ∈∈∈∈ W maka (u + v) ∈∈∈∈ W

6. Jika k adalah skalar dan u ∈∈∈∈ W, maka ku ∈∈∈∈ W

V

u0 u

– u

0v

W W

V

RUANG VEKTOR 10

– u v

– v

0(u+v)

– (u+v)

u

(u+v)

v

– v

– (u+v)

W subspaceV W bukan subspace V

Catatan:

Setiap Ruang Vektor memiliki paling sedikit 2 subruang yakni; V sendiri adalah sebuah subruang, dan himpunan {0} yang merupakan vektor 0 yang dinamakan sebagai subruang nol.

RUANG VEKTOR 11

Contoh Subruang (1)

RUANG VEKTOR 12

(Sumber: Howard Anton, Aljabar Linear 5e, “Subspace”, 1997)

Contoh Subruang (2)

RUANG VEKTOR 13

Contoh Subruang (3)

RUANG VEKTOR 14

Contoh Subruang (4)

Tinjaulah vektor-vektor u = (1, 2, -1) dan v = (6, 4, 2) di R3. Perlihatkan bahwa w = (9, 2, 7) adalah kombinasi linear u dan v serta w, = (4, -1, 8) bukanlah kombinasi linear u dan v.

Pemecahan:

RUANG VEKTOR 15

Pemecahan: Kombinasi

Linear?

Sub Ruang Hasil Jawaban SPL

Himpunan dari semua vektor yang merupakanjawaban dari sistem persamaan homogenmerupakan subruang di Rn, dengan orde A adalahm x n.

Page 16Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

RUANG VEKTOR 16

m x n.

Contoh :

Diberikan SPL homogin,

x1 + 3x2 – 5x3 + 7x4 = 0

x1 + 4 x2 – 19x3 + 10x4 = 0

2x1 + 5x2 – 26x3 + 11x4 = 0

Matriks Eselon-nya : 1 0 3 2

0 1 4 3

0 0 0 0

− − −

3

4

x

x

1 3 2 3 2x s t+

variable bebas, misal : x3 = s dan x4 = t� x2 = 4s – 3t dan

x1 = 3s + 2t

Page 17Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

RUANG VEKTOR 17

1

2

3

4

3 2 3 2

4 3 4 3

1 0

0 1

x

u (3,4,1,0) dan v (2, 3,0,1)

x s t

x s tx s t

x s

tx

su tv

+ − − = = = +

= +

= = −

Subruang dari jawaban SPL Homogin disebutRuang Jawab.

Jawaban dalam bentuk vektor :

Kombinasi Linier (Linear Combination)

&

RUANG VEKTOR 18

&

Rentang(Span)

Definisi:

Vektor w disebut kombinasi linier dari v1, v2, …, vn jika

w = k1 v1 + k2 v2 + ….. + kn vn

k1 , k2 , ….. kn adalah skalar

RUANG VEKTOR 19

Teorema 5.2.3.:

Jika v1, v2, …, vn merupakan himpunan vektor di V, maka

1. Himpunan dari semua kombinasi linier dari v1, v2, …, vn, disebut himpunan W, adalah subspace V

2. W adalah subspace terkecil yang berisi v1, v2, …, vn

Teorema 5.2.3.:

Jika v1, v2, …, vr merupakan himpunan vektor di V, maka

1. Himpunan dari semua kombinasi linier dari v1, v2, …, vr, disebut himpunan W, adalah subspace V

2. W adalah subspace terkecil yang berisi v1, v2, …, vr

Bukti 1: W adalah subspace

jika u, v ∈ W, maka (u + v) ∈ W

RUANG VEKTOR 20

jika u, v ∈ W, maka (u + v) ∈ W

Vektor u, v ∈ W; ki, ci, ai adalah skalar

u = c1 v1 + c2 v2 + ….. + cr vr kombinasi linier dari v1, v2, …, vr

v = k1 v1 + k2 v2 + ….. + kr vr kombinasi linier dari v1, v2, …, vr

(u + v) = (c1 + k1)v1 + (c2 + k2)v2 + ….. + (cr + kr)vr

= a1 v1 + a2 v2 + ….. + ar vr

kombinasi linier dari v1, v2, …, vr

Teorema 5.2.3.:

Jika v1, v2, …, vr merupakan himpunan vektor di V, maka

1. Himpunan dari semua kombinasi linier dari v1, v2, …, vr, disebut himpunan W, adalah subspace V

2. W adalah subspace terkecil yang berisi v1, v2, …, vr

Bukti 1: W adalah subspace

jika u ∈ W, maka ku ∈ W

RUANG VEKTOR 21

jika u ∈ W, maka ku ∈ W

Vektor u ∈ W; k, ci, di adalah skalar

u = c1 v1 + c2 v2 + ….. + cr vr kombinasi linier dari v1, v2, …, vr

ku = kc1 v1 + kc2 v2 + ….. + kcr vr

= d1 v1 + d2 v2 + ….. + dr vr

kombinasi linier dari v1, v2, …, vr

Contoh Subruang (4)

Penyelesaian:

(9,2,7) = k1 (1,2,-1) + k2 (6,4,2)

SPL nya :

k1 + 6 k2 = 9

2k + 4 k = 2

Page 22Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

RUANG VEKTOR 22

2k1 + 4 k2 = 2

-k1 + 2 k2 = 7

Jika diselesaikan, didapatkan k1 = -3 dan k2 = 2

Sehingga w = -3u + 2v

Bagaimana dengan w’?

Contoh :

Nyatakanlah a=(7,7,9,11) sebagai kombinasi linier dari

u1=(2,0,3,1), u2 = (4,1,3,2) dan u3 = (1,3,-1,3)

1 1 2 1 3 3a s u s u s u= + +Jawab :

Tentukanlahs1,s2, dans3 yang memenuhi :

Page 23Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

RUANG VEKTOR 23

1 2 3

2 4 1 7

0 1 3 7

3 3 1 9

1 2 3 11

s s s

+ + = −

Dalam bentuk matriks dinyatakanlah sebagai :

2s1 + 4s2 + s3 = 74s2 + 3s3 = 7

3s1+ 3s2 – s3 = 9s1 + 2s2 + 3s3 = 11

ATAU

Matriks lengkapnya : 2 4 1 7

0 1 3 7

3 3 1 9

1 2 3 11

−

2 4 1 7

0 1 3 7

Matriks Eselonnya :

Page 24Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

RUANG VEKTOR 24

13 390 0 2 20 0 0 0

1 1 36 2 6a u u u= − +

s3 = 3, s2 = -2, dan s1 = 6

Dengan demikian dapat dinyatakan sebagai kombinasilinear dari :

Rentang:

Jika masing-masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear v1, v2, …, vr maka kita mengatakan bahwa vektor-vektor tersebut merentangV

DiketahuisuatuRuangVektorV

RUANG VEKTOR 25

DiketahuisuatuRuangVektorV

S = {v1, v2, …, vr } dan S ⊆ V

W = { x | x merupakan kombinasi linier vektor-vektor S

artinya: x = k1 v1 + k2 v2 + ….. + kn vr }

maka S adalah rentang (span) W

Contoh (1):

Tentukan apakah v1=(1,1,2), v2=(1,0,1), dan v3=(2,1,3)

merentang pada R3

Contoh (2):

Misalkan u=(2,0,-1,4) dan v=(2,-1,0,2). Tentukan

apakah w=(-2,4,-3,4) merupakan span {u,v}

RUANG VEKTOR 26

apakah w=(-2,4,-3,4) merupakan span {u,v}

Contoh (3):

Diketahui u1=(2,0,-1,2,4), u2=(1,0,0,-1,2), dan

u3=(0,1,0,0,-1). Apakah vektor-vektor tersebut span

(merentang) w=(1,12,3,-14,-1)?

Latihan:1. Nyatakanlah persamaan berikut sebagai Kombinasi Linear:

p1=2 + x + 4x2, p2=1 – x + 3x2, p3=3 + 2x + 5x2

a. 5x2 + 9x + 5 b. 3x2 + 2x + 2

2. Nyatakanlah vektor berikut sebagai kombinasi linear dari:

RUANG VEKTOR 27

3. Tunjukkan apakah polinomial berikut merentang P2

p1=1 + 2x- x2 p2=3 + x2

p3=5 + 4x -x2 p4=-2 + 2x - 2x2