Post on 04-Jun-2018
INTERPOLASI: METODE
POLINOMIAL NDD
(NEWTON’S DIVIDED
DIFFERENCE)
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Dr.Eng. Agus S. Muntohar 1
Pertemuan ke-11: 13 Desember 2012
Apa Interpolasi?
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
2
Diberikan data (x0,y0), (x1,y1), …… (xn,yn), nilai “y” diperoleh pada “x” yang tidak diketahui nilainya.
Gambar 1 Interpolasi data diskrit.
Interpolan
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
3
Bentuk polinomial merupakan interpolan yang
paling sering dipilih karena mudah untuk
melakukan:
Evaluasi
Turunan, dan
Integral
Interpolasi Linier Metode NDD
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
4
Diberikan data (x0,y0), (x1,y1), dan bentuk
interpolan linier yang melalui data tersebut adalah
dengan
)()( 0101 xxbbxf
)( 00 xfb
01
01
1
)()(
xx
xfxfb
Contoh 1
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
5
0 0
10 227.04
15 362.78
20 517.35
22.5 602.97
30 901.67
Table 1 Data kecepatan dan waktu
Gambar 2 Plot data kecepatan dan waktu untuk Contoh 1
s ,t m/s ,tv
Kecepatan dorong sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu pada Tabel 1. Tentukan
kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode Interpolasi Linier
Metode NDD.
Interpolasi Linier Metode NDD
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
6
10 12 14 16 18 20 22 24350
400
450
500
550517.35
362.78
y s
f range( )
f x de sire d
x s1
10x s0
10 x s range x de sire d
)()( 010 ttbbtv
0 0
1 1
15; ( ) 362.78
20; ( ) 517.35
t v t
t v t
0 0( ) 362.78b v t
1 01
1 0
( ) ( )30.914
v t v tb
t t
Interpolasi Linier Metode NDD
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
7
10 12 14 16 18 20 22 24350
400
450
500
550517.35
362.78
y s
f range( )
f x de sire d
x s1
10x s0
10 x s range x de sire d
)()( 010 ttbbtv
),15(914.3078.362 t 2015 t
At 16t
)1516(914.3078.362)16( v
69.393 m/s
Interpolasi Quadratic Metode NDD
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
8
))(()()( 1020102 xxxxbxxbbxf
)( 00 xfb
01
01
1
)()(
xx
xfxfb
02
01
01
12
12
2
)()()()(
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
b
Diberikan data (x0,y0), (x1,y1), dan (x2,y2), bentuk interpolan kuadrat yang melalui data tersebut adalah
Contoh 2
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
9
0 0
10 227.04
15 362.78
20 517.35
22.5 602.97
30 901.67
Table 1 Data kecepatan dan waktu
Gambar 2 Plot data kecepatan dan waktu untuk Contoh 1
s ,t m/s ,tv
Kecepatan dorong sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu pada Tabel 1. Tentukan
kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode Interpolasi Kuadrat
Metode NDD.
Interpolasi KuadratMetode NDD
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
10
10 12 14 16 18 20200
250
300
350
400
450
500
550517.35
227.04
y s
f range( )
f x de sire d
2010 x s range x de sire d
,100 t 04.227)( 0 tv
,151 t 78.362)( 1 tv
,202 t 35.517)( 2 tv
Interpolasi KuadratMetode NDD
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
11
)( 00 tvb
04.227
01
01
1
)()(
tt
tvtvb
1015
04.22778.362
148.27
02
01
01
12
12
2
)()()()(
tt
tt
tvtv
tt
tvtv
b
1020
1015
04.22778.362
1520
78.36235.517
10
148.27914.30
37660.0
Quadratic Interpolation (contd)
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
12
))(()()( 102010 ttttbttbbtv
),15)(10(37660.0)10(148.2704.227 ttt 2010 t
At ,16t
)1516)(1016(37660.0)1016(148.2704.227)16( v 19.392 m/s
Nilai kesalahan perkiraan dari hasil interpoasi linier dan kuadrat yaitu :
a 100 x
19 . 392
69 . 393 19 . 392
= 0.38502 %
Bentuk Umum: Interpolasi Kuadrat
Metode NDD
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
13
))(()()( 1020102 xxxxbxxbbxf
dimana
Ditulis kembali menjadi
))(](,,[)](,[][)( 1001200102 xxxxxxxfxxxxfxfxf
)(][ 000 xfxfb
01
01
011
)()(],[
xx
xfxfxxfb
02
01
01
12
12
02
0112
0122
)()()()(
],[],[],,[
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
xx
xxfxxfxxxfb
Bentuk Umum
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
14
Untuk )1( n titik data, nnnn yxyxyxyx ,,,,......,,,, 111100
yang dituliskan sebagai
))...()((....)()( 110010 nnn xxxxxxbxxbbxf
dimana
][ 00 xfb
],[ 011 xxfb
],,[ 0122 xxxfb
],....,,[ 0211 xxxfb nnn
],....,,[ 01 xxxfb nnn
Bentuk Umum
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
15
Bentuk polinomial derjat tiga dari ),,( 00 yx ),,( 11 yx ),,( 22 yx dan ),,( 33 yx adalah
))()(](,,,[
))(](,,[)](,[][)(
2100123
1001200103
xxxxxxxxxxf
xxxxxxxfxxxxfxfxf
0b
0x )( 0xf 1b
],[ 01 xxf 2b
1x )( 1xf ],,[ 012 xxxf 3b
],[ 12 xxf ],,,[ 0123 xxxxf
2x )( 2xf ],,[ 123 xxxf
],[ 23 xxf
3x )( 3xf
Contoh 3
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
16
0 0
10 227.04
15 362.78
20 517.35
22.5 602.97
30 901.67
Table 1 Data kecepatan dan waktu
Gambar 2 Plot data kecepatan dan waktu untuk Contoh 1
s ,t m/s ,tv
Kecepatan dorong sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu pada Tabel 1. Tentukan
kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode Interpolasi Kubik
Metode NDD.
Contoh 3
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
17
Profil kecepatan untuk polinomial derajat tiga
))()(())(()()( 2103102010 ttttttbttttbttbbtv
Diperlukan 4 titik data yang terdekat dengan t = 16
,100 t 04.227)( 0 tv ,151 t 78.362)( 1 tv ,202 t 35.517)( 2 tv ,5.223 t 97.602)( 3 tv Diperoleh nilai dari konstanta yaitu:
b0 = 227.04; b1 = 27.148; b2 = 0.37660; b3 = 5.4347×10−3
Contoh 3
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
18
b0 = 227.04; b1 = 27.148; b2 = 0.37660; b3 = 5.4347×10−3
0b
100 t 04.227 1b
148.27 2b
,151 t 78.362 37660.0 3b
914.30 3104347.5
,202 t 35.517 44453.0
248.34
,5.223 t 97.602
Contoh 3
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
19
The absolute relative approximate error a obtained is
a 100x06.392
19.39206.392
= 0.033427 %
Maka
) )( )( ( ) )( ( ) ( ) ( 2 1 0 3 1 0 2 0 1 0 t t t t t t b t t t t b t t b b t v
) 20 )( 15 )( 10 ( 10 * 4347 . 5
) 15 )( 10 ( 37660 . 0 ) 10 ( 148 . 27 04 . 227 3
t t t
t t t
Pada t = 16
) 20 16 )( 15 16 )( 10 16 ( 10 * 4347 . 5
) 15 16 )( 10 16 ( 37660 . 0 ) 10 16 ( 148 . 27 04 . 227 ) 16 ( 3
v
06 . 392 m/s
Perbandingan Hasil
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
20
Pangkat
Polinomial:
1 2 3
v (t=16) m/s 393.69 392.19 392.06
Kesalahan relatif ---------- 0.38502 % 0.033427 %
Distance from Velocity Profile
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
21
Find the distance covered by the rocket from t=11s to
t=16s ?
)20)(15)(10(10*4347.5
)15)(10(37660.0)10(148.2704.227)(
3
ttt
ttttv 5.2210 t
32 0054347.013204.0265.212541.4 ttt 5.2210 t
So
16
11
1116 dttvss
dtttt )0054347.013204.0265.212541.4( 32
16
11
16
11
432
40054347.0
313204.0
2265.212541.4
tttt
m 1605
Acceleration from Velocity Profile
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
22
Find the acceleration of the rocket at t=16s given that
32 0054347.013204.0265.212541.4)( ttttv
32 0054347.013204.0265.212541.4)()( tttdt
dtv
dt
dta
2016304.026408.0265.21 tt
2)16(016304.0)16(26408.0265.21)16( a
2/ 664.29 sm