Post on 22-Oct-2019
Buku Ajar
Geometri Analitik
UU No 28 tahun 2014 tentang Hak Cipta Fungsi dan sifat hak cipta Pasal 4 Hak Cipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 3 huruf a merupakan hak eksklusif yang terdiri atas hak moral dan hak ekonomi. Pembatasan Pelindungan Pasal 26 Ketentuan sebagaimana dimaksud dalam Pasal 23, Pasal 24, dan Pasal 25 tidak berlaku terhadap: i. penggunaan kutipan singkat Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait untuk pelaporan
peristiwa aktual yang ditujukan hanya untuk keperluan penyediaan informasi aktual; ii. Penggandaan Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait hanya untuk kepentingan penelitian
ilmu pengetahuan; iii. Penggandaan Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait hanya untuk keperluan pengajaran,
kecuali pertunjukan dan Fonogram yang telah dilakukan Pengumuman sebagai bahan ajar; dan
iv. penggunaan untuk kepentingan pendidikan dan pengembangan ilmu pengetahuan yang memungkinkan suatu Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait dapat digunakan tanpa izin Pelaku Pertunjukan, Produser Fonogram, atau Lembaga Penyiaran.
Sanksi Pelanggaran Pasal 113 1. Setiap Orang yang dengan tanpa hak melakukan pelanggaran hak ekonomi sebagaimana
dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf i untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 1 (satu) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp100.000.000 (seratus juta rupiah).
2. Setiap Orang yang dengan tanpa hak dan/atau tanpa izin Pencipta atau pemegang Hak Cipta melakukan pelanggaran hak ekonomi Pencipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf c, huruf d, huruf f, dan/atau huruf h untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 3 (tiga) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah).
Buku Ajar
Geometri Analitik
Mulia Suryani
BUKU AJAR GEOMETRI ANALITIK
Mulia Suryani
Desain Cover : Nama
Tata Letak Isi : Haris Ari Susanto Sumber Gambar : Sumber
Cetakan Pertama: Bulan 2017
Hak Cipta 2017, Pada Penulis
Isi diluar tanggung jawab percetakan
Copyright © 2017 by Deepublish Publisher All Right Reserved
Hak cipta dilindungi undang-undang
Dilarang keras menerjemahkan, memfotokopi, atau memperbanyak sebagian atau seluruh isi buku ini
tanpa izin tertulis dari Penerbit.
PENERBIT DEEPUBLISH (Grup Penerbitan CV BUDI UTAMA)
Anggota IKAPI (076/DIY/2012)
Jl.Rajawali, G. Elang 6, No 3, Drono, Sardonoharjo, Ngaglik, Sleman Jl.Kaliurang Km.9,3 – Yogyakarta 55581
Telp/Faks: (0274) 4533427 Website: www.deepublish.co.id www.penerbitdeepublish.com E-mail: cs@deepublish.co.id
Katalog Dalam Terbitan (KDT)
SURYANI, Mulia
Buku Ajar Geometri Analitik/oleh Mulia Suryani.--Ed.1, Cet. 1--Yogyakarta: Deepublish, November 2017.
viii, 211 hlm.; Uk:17.5x25 cm ISBN 978-Nomor ISBN 1. Klasifikasi Buku I. Judul
No.DDC
v
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah
memberikan karunia serta nikmat yang tiada terhingga. Alhamdulillah
berkat izin-Nya, penulis dapat menyelesaikan buku ajar ini. Semoga
Allah senantiasa memberikan ridho dan Maghfirah-Nya.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan banyak terima kasih
kepada Bapak Prof. Turmudi, M.Ed, M.Sc, Ph.D dan Ibu Dr. Elah
Nurlaelah, M.Si yang telah memberikan bimbingan kepada penulis
dalam penulisan buku ajar ini. Semoga ilmu yang diberikan menjadi
amalan yang baik.
Buku Ajar ini memuat materi Geometri Analitik Bidang dan Ruang
yang meliputi sistem koordinat di bidang dan di ruang, persamaan
garis lurus di bidang dan di ruang, bidang datar, persamaan lingkaran
dan bola, dan irisan kerucut berupa parabola, elips dan hiperbola.
Buku ajar ini dikembangkan supaya dapat membantu mahasiswa
dalam menentukan sistem koordinat di bidang dan di ruang,
persamaan garis lurus di bidang dan di ruang, bidang datar,
persamaan lingkaran dan bola, dan irisan kerucut berupa parabola,
elips dan hiperbola.
Akhir kata penulis ucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang
telah membantu dalam penyusunan buku ini. Harapan penulis,
semoga buku ini bermanfaat bagi kita semua terutama bagi
mahasiswa yang mengambil mata kuliah geometri bidang. Kritik dan
saran selalu penulis harapkan.
vi
PRAKATA
Geometri analitik merupakan salah satu mata kuliah yang wajib
dipelajari oleh mahasiswa pada Program Studi Pendidikan
Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat. Mata kuliah ini memiliki
bobot 3 SKS. Mata kuliah Geometri analitik merupakan salah satu
mata kuliah yang menjadi prasyarat bagi mata kuliah lainnya, seperti
kalkulus peubah banyak dan analisis vektor. Materi perkuliahan pada
mata kuliah Geometri Analitik mencakup teori tentang geometri
analitik bidang dan geometri analitik ruang.
Mata kuliah ini membahas tentang sistem koordinat di bidang dan
di ruang, jarak dua titik di bidang dan di ruang; persamaan garis di
bidang dan di ruang, persamaan bidang rata (persamaan vektoris,
persamaan parameter, persamaan linier, persamaan vektor normal,
persamaan normal, menggambar persamaan bidang rata dalam
koordinat cartesius, sudut antara dua buah bidang rata, jarak titik ke
bidang rata, jarak bidang yang sejajar, garis lurus berpotongan dua
bidang rata, berkas bidang rata dan jaringan bidang rata); persamaan
lingkaran dan bola (garis dan lingkaran, bidang rata dan bola);
parabola (persamaan parabola, melukis, dan garis singgung parabola);
elips (persamaan elips, melukis, dan persamaan garis singgung elips)
dan hiperbola (persamaan hiperbola, melukis, dan persamaan garis
singgung hiperbola). Bahan ajar ini dikembangkan untuk membantu
mahasiswa dalam memahami materi dengan baik sehingga
perkuliahan bisa berjalan dengan lancar. Penyajian materi dalam
bahan ajar ini diharapkan dapat dengan mudah dipahami oleh
mahasiswa STKIP PGRI Sumatera Barat.
Akhir kata penulis ucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang
telah membantu dalam penyusunan buku ini. Harapan penulis,
semoga buku ini bermanfaat bagi kita semua terutama bagi
mahasiswa yang mengambil mata kuliah geometri bidang. Kritik dan
saran selalu penulis harapkan.
Padang, Oktober 2017
Penulis
vii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ............................................................................................................ v
PRAKATA ................................................................................................................................ vi
DAFTAR ISI .......................................................................................................................... vii
BAB 1 PENDAHULUAN ............................................................................. 1
BAB 2 VEKTOR ........................................................................................... 4
Kegiatan Pembelajaran 2.1 vektor ......................................................... 4
LATIHAN ........................................................................................................... 11
BAB 3 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS .......................................... 12
Kegiatan Pembelajaran 3.1 Sistem Koordinat Tegak
Lurus ................................................................................................................... 12
LATIHAN ........................................................................................................... 20
Kegiatan Pembelajaran 3.2 Jarak Antara Dua Titik .................... 21
LATIHAN ........................................................................................................... 28
BAB 4 GARIS LURUS .............................................................................. 29
Kegiatan Pembelajaran 4.1 Gradien atau
Kemiringan Suatu Garis ............................................................................ 29
LATIHAN ........................................................................................................... 38
Kegiatan Pembelajaran 4.2 Kedudukan antara Dua
Buah Garis Lurus .......................................................................................... 39
LATIHAN ........................................................................................................... 50
BAB 5 BIDANG DATAR .......................................................................... 51
Kegiatan Pembelajaran 5.1 Bentuk Persamaan
Bidang Datar ................................................................................................... 51
LATIHAN ........................................................................................................... 58
Kegiatan Pembelajaran 5.2 Jarak Titik Ke Bidang
Datar dan Bidang Datar yang Sejajar ................................................. 59
LATIHAN ........................................................................................................... 68
viii
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA ............................................................ 69
Kegiatan Pembelajaran 6.1 Persamaan Lingkaran
dan Bola............................................................................................................. 69
LATIHAN ........................................................................................................... 83
Kegiatan Pembelajaran 6.2 Garis Singgung
Lingkaran dan Kuasa Lingkaran ........................................................... 84
LATIHAN ........................................................................................................... 97
Kegiatan Pembelajaran 6.3 Bola dan Bidang Rata ...................... 98
LATIHAN ......................................................................................................... 107
BAB 7 IRISAN KERUCUT .....................................................................108
Kegiatan Pembelajaran 7.1 Persamaan Parabola ...................... 108
LATIHAN ......................................................................................................... 121
Kegiatan Pembelajaran 7.2 Persamaan Garis
Singgung Parabola ..................................................................................... 123
LATIHAN ......................................................................................................... 139
Kegiatan Pembelajaran 7.3 Persamaan elips ............................... 140
LATIHAN ......................................................................................................... 159
Kegiatan Pembelajaran 7.4 Persamaan Garis
Singgung Pada Elips .................................................................................. 160
LATIHAN ......................................................................................................... 174
Kegiatan Pembelajaran 7.5 Persamaan Hiperbola ................... 175
LATIHAN ......................................................................................................... 194
Kegiatan Pembelajaran 7.6 Persamaan Garis
Singgung Pada Hiperbola ....................................................................... 195
LATIHAN ......................................................................................................... 209
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................ 210
PROFIL ................................................................................................................................. 211
BAB 1 PENDAHULUAN 1
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
BAB 1
PENDAHULUAN
1. Ahli Geometri Analitik
Salah satu ahli matematika dalam
bidang geometri analitik adalah Rene
Descartes (1596-1650). Rene
Descartes lahir di Desa La Haye tahun
1596. Waktu mudanya dia bersekolah
di Yesuit, College La Fleche. Pada
umur 20 tahun, dia mendapat gelar ahli
hukum dari Universitas Poitiers.
Descartes meyakini bahwa tidak ada
ilmu apapun yang bisa dipercaya tanpa
matematika.
Pemikiran Descartes mengenai geometri analitik dituangkan
dalam tulisannya yang berjudul La Geometrie. Karyanya yaitu
koordinat cartesius. Uraian geometri pada bagian pertama dari
karya ini diuraikan mengenai aljabar geometri sebagai
pengembangan dari aljabar geometri sebagai pengembangan
aljabar geometri gerik purbakala. Saat Descartes mempelajari
bentuk-bentuk dengan menggunakan sumbu-sumbu, Descartes
menemukan hasil yang mengejutkan yaitu semua bentuk
mempunyai kategori persamaan umum seperti halnya garis lurus.
Temuan lainnya, dalam menentukan suatu titik. Untuk menentukan
suatu titik harus memenuhi relasi x dan y. Pada suatu sumbu
dilukiskan x, mengapit sudut tertentu dengan sumbu yang
dilukiskan y, maka terbentuk (x,y).
2. Sejarah Geometri Analitik
Geometri analitik merupakan kajian terhadap objek-objek geometri
dengan menggunakan sistem koordinat yang diulas menggunakan
konsep dan prinsip aljabar dan analisis. Perkembangan geometri
analitik dimulai dengan kehadiran bentuk baru persamaan
(equation). Bentuk baru persamaan tersebut memungkinkan untuk
mengklarifikasikan kurva berdasarkan derajat (degree). Kurva
Rene Descartes
BAB 1 PENDAHULUAN 2
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
berderajat satu adalah garis lurus (straight lines), kurva berderajat
dua merupakan irisan kerucut (conic sections) dan kurva berderajat
tiga dinamakan kurva kubik (cubic curves).
Rene Descartes (1596-1650) menggunakan bentuk baru
persamaan tersebut untuk mengubah masalah-masalah geometri
menjadi masalah aljabar menggunakan koordinat sehingga dapat
diselesaikan dengan manipulasi aljabar. Pengubahan tersebut
dilakukan berdasarkan relasi antara himpunan titik-titik yang
berkorespondensi satu-satu dengan himpunan bilangan rill. Sebuah
titik dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan rill (x,y).
Descartes dalam bukunya Geometry (La Geometrie) menggunakan
pertama kali bentuk sumbu koordinat untuk menganalisis sebuah
kurva secara aljabar.
Dalam bukunya, Descartes (Smith dan Latham, 1957)
menuliskan “I Choose a straight line, as AB, ti attach to refer all its
points....and in AB I choose a point A at which to begin the
investigation... Then I draw throught C the line CB parallel to GA.
Since CB and BA are unknown and indeteminate quantities, I shall
call one of them y and the other x”. Pernyataan Descartes tersebut
mendeskripsikan mengenai sumbu koordinat x dan y. Selanjutnya,
Descartes menggunakan persamaan aljabar yaitu:
Untuk mengidentifikasikan kurva tersebut. Terlihat pada
Gambar 1, kurva EC yang dinyatakan oleh persamaan tersebut
memiliki bentuk hiperbola. Diagram tersebut menjadi awal
penggunaan sistem koordinat cartesius. Penamaan sistem
koordinat ini dilakukan untuk menghormati karya pemikiran Rene
Descartes.
Ide awal geometri analitik adalah penyajian kurva sebagai
persamaan, yang selanjutnya dikembangkan untuk memperluas
berbagai teknik manipulasi aljabar hingga dari persamaan tersebut
diperoleh informasi tentang kurva. Descartes telah menunjukkan
bahwa setelah suatu masalah geometri diubah menjadi masalah
aljabar maka persamaan tersebut diselesaikan untuk memperoleh
penyelesaian masalah geometri. Perkembangan tersebut
memungkinkan penyelesaian berbagai masalah kompleks dan
menghasilkan bidang kajian barudalam matematika, yaitu kalkulus
BAB 1 PENDAHULUAN 3
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
dan trigonometri, yang selanjutnya menjadi dasar perkembangan
sains dan teknologi modern.
Geometri anlitik diaplikasikan dalam berbagai ilmu
pengetahuan sains dan teknologi. Sejak tahun 1985, geometri
analitik digunakan oleh para ilmuwan untuk menyelesaikan masalah
kriptografi yaitu untuk menuliskan pesan dalam kode rahasia.
Ilmuwan biologi menggunakan geometri analitik dalam bidang
spektroskopi. Di bidang geografi, geometri digunakan untuk
membuat peta, pengidentifikasian latitude dan longitude serta
pengembangan Global Positioning System (GPS). Para ahli di
bidang teknik sipil menggunakan geometri analitik untuk
menggambarkan bangunan atau jembatan serta melakukan
perhitungan berkaitan dengan bobot yang dapat ditanggung
bangunan atau jembatan tersebut. Di bidang pemprograman
komputer juga menggunakan geometri analitik untuk
mengembangkan perangkat mouse, permainan video, animasi dan
pengolahan citra digital.
BAB 2 VEKTOR 4
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
BAB 2
VEKTOR
Pada BAB 2 ini akan dibahas tentang pengertian dan notasi
vektor, kesamaan dua vektor, vektor dan sistem koordinat, dot
product, dan cross product.
vektor
2.1.1 Pengertian dan Notasi Vektor
Misalnya titik A kita pindahkan ke posisi yang lain menjadi titik B.
Pada perpindahan itu terkandung dua makna, yaitu berapa jauh
perpindahannya (jarak) dan ke arah mana perpindahannya.
Perpindahan dari titik A ke titik B tersebut dapat digambarkan
dengan suatu anak panah yang berpangkal di A dan berujung di B
seperti ditunjukkan pada Gambar 2.1 berikut.
Gambar 2.1 Perpindahan dari titik A ke titik B
Panjang ruas garis AB menyatakan jauh perpindahannya,
sedangkan mata panah menyatakan arah perpindahan. Anak
panah yang menyatakan perpindahan itu disebut vektor. Jadi,
vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Besaran
seperti ini misalnya kecepatan, gaya, momen, dan sebagainya.
Suatu vektor secara geometri disajikan dengan ruas garis
berarah. Panjang ruas garis berarah menyatakan panjang (besar
vektor), sedangkan arah panah menunjukkan arah vektor. Vektor
Kegiatan Pembelajaran 2.1
BAB 2 VEKTOR 5
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
diberi nama menurut pangkal dan ujungnya, misalnya AB. AB dapat
dituliskan dengan menggunakan lambang huruf kecil yang dicetak
tebal atau dengan huruf kecil yang dibubuhi tanda panah di atas
huruf itu, misalnya a atau , seperti ditunjukkan pada gambar 2.2
berikut
Gambar 2.2 Notasi Vektor
Untuk vektor AB dari Gambar 2.2, titik A disebut titik pangkal
(titik asal), sedangkan titik B disebut titik ujung (titik terminal).
2.1.2 Kesamaan Dua Vektor
A. Vektor u dan v dikatakan sebagai dua vector yang sama
apabila keduanya segaris dan mempunyai panjang dan arah
yang sama. Apabila u dan v adalah dua vektor yang sama,
maka hubungan kedua vektor ini kita tulis dengan notasi u = v.
Perhatikan Gambar 2.3 !
Gambar 2.3 Vektor u dan v
u
v
BAB 2 VEKTOR 6
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
B. Pandang dua buah vektor yang arahnya sama, tetapi
panjangnya berlainan. Dalam hal ini, salah satu vektor dapat
dinyatakan dengan vektor yang lain. Perhatikan Gambar 2.4.
Gambar 2.4 vektor dan
Pada Gambar 2.4 terlihat bahwa = 2 atau =
C. Perhatikan Gambar 2.5. Tampak bahwa sama dengan ,
tapi arahnya berlawanan. Dua buah vektor disebut berlawanan
apabila panjangnya sama tetapi arahnya berlawanan. = -
atau = -
Gambar 2.5 Dua buah vektor yang berlawanan
D. Jika dua buah vektor yang arahnya berlawanan dan
panjangnya tidak sama maka vektor yang satu dapat
dinyatakan dengan yang lain. Pada Gambar 2.6 tampak bahwa
= -3 atau = -
𝐀𝐁
𝐄𝐅
𝐀𝐁
𝐂𝐃
BAB 2 VEKTOR 7
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Gambar 2.6 Dua vektor yang berlawanan dengan panjang yang berbeda
2.1.3 Vektor dan Sistem Koordinat
Suatu vektor disebut vektor satuan bila panjangnya satu satuan.
Bila a vektor dengan panjang |a| ≠0 maka
| | adalah vektor satuan
yang searah dengan a. Perhatikan sistem koordinat pada Gambar
2.7.
Gambar 2.7 Vektor Satuan
𝐀𝐁
𝐄𝐅
𝑖
𝑗
��
BAB 2 VEKTOR 8
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Perlu Anda ketahui bahwa:
a. Vektor satuan memiliki titik awal (0,0,0) dan arahnya searah
dengan sumbu x positif.
b. Vektor satuan memiliki titik awal (0,0,0) dan arahnya searah
dengan sumbu y positif.
c. Vektor satuan memiliki titik awal (0,0,0) dan arahnya searah
dengan sumbu z positif.
d. Ketiga vektor satuan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.
i = 1i + 0j + 0k atau i = [1,0,0]
j = 0i + 1j + 0k atau j = [0,1,0]
k = 0i + 0j + 1k atau k = [0,0,1]
2.1.4 Dot Product
Bila a dan b adalah vector-vektor, θ adalah sudut antara a dan b
0 θ π , maka dot product yaitu:
Bila a, b dan c adalah vektor-vektor dan m adalah skalar, maka
berlaku aturan sebagai berikut.
1) a.b = b.a
2) a.(b+c) = a.b + a.c
3) m(a.b) = (ma).b = a.(mb) = (a.b)m
4) Bila a = [a1, a2, a3] dan b = [b1, b2, b3], maka a.b = a1b1 + a2b2 +
a3b3
5) a.a = |a|2
6) a.b = 0 (a ≠ 0, b ≠ 0), ini berarti, a tegak lurus b
2.1.5 Cross Product
Bila a dan b adalah vektor-vektor dan θ adalah sudut antara a dan
b 0 θ π , maka cross product yaitu:
a.b = |a| |b| cos θ
a x b = {|a| |b| sin θ} u
BAB 2 VEKTOR 9
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
dimana u adalah vektor satuan yang tegak lurus dengan bidang
(a,b) serta a, b, dan u memenuhi sistem tangan kanan.
Gambar 2.8 Vektor satuan yang tegak lurus dengan bidang
Bila a, b dan c adalah vektor-vektor dan m adalah skalar, maka
berlaku aturan sebagai berikut.
1) a x b = -b x a
2) a x (b+c) = a x b + a x c
3) m(a x b) = (ma) x b = a x (mb) = (a x b)m
4) i × i = j × j = k × k = 0
, i × j = k, j k = i k i j
5) Bila a = [a1, a2, a3] dan b = [b1, b2, b3], maka
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
1 2 3
1 2 3
a a a a a aa × b = , ,
b b b b b b
i j k
= a a a
b b b
6) Panjang dari a x b yaitu | a x b |= |a||b| sin θ menyatakan luas
jajaran genjang yang dua buah sisinya a dan b.
7) Jika a x b = 0 dan a ≠ 0 dan b ≠ 0 maka a sejajar dengan b.
Contoh:
Tentukan cos θ jika diketahui a = 3i + 4j + 5k dan b = 2i + 6j !
BAB 2 VEKTOR 10
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Penyelesaian:
Untuk menentukan nilai cos θ kita dapat menggunakan aturan
sebagai berikut.
a.b
a.b =|a||b|cosθ cosθ =|a||b|
Oleh karena itu, kita terlebih dahulu menentukan a.b, |a| dab |b|.
a.b = 3.2 + 4.6 + 5.0 = 30
|a| = 2 2 23 + 4 + 5 = 50
|b| = 2 2 22 + 6 + 0 = 40
Jadi, a.b 3 3 5
cosθ = = =|a||b| 10050 40
BAB 2 VEKTOR 11
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
LATIHAN
1. Tentukan panjang dari vector p = 2i + 3j + 4k !
2. Tentukan panjang dari vector a = - 3i - 4j - k !
3. Diketahui u = 2i +3j + 5k dan v = 3i - j + 2k . Tentukan hasil
penjumlahan dari u + v !
4. Diketahui u dan v pada nomor 3. Tentukan hasil dari u - v !
5. Diketahui u dan v pada nomor 3. Tentukan hasil dari 3u + v !
6. Diketahui u dan v pada nomor 3. Tentukan hasil dari |u + v| !
7. Diketahui x = 3i - j - 4k . Tentukan besar dari |2x| !
8. Diketahui r = 3i -2j + 4k dan s = 6i + j - 2k . Tentukan hasil dari
r.s !
9. Diketahui x = - 4i +2j - 2k dan y = - i - j - 2k . x dan y
membentuk sudut θ= 60o. Tentukan hasil dari x.y !
10. Diketahui a = - 2i + j + 4k , b = 3i +2j - k dan c = 3i -2j + 4k .
Tentukan hasil dari a.(b + c) !
11. Diketahui m = 3i +2j + 4k dan n = 2i + 3j - 3k . θ adalah sudut
yang dibentuk oleh m dan n. Tentukan nilai cos θ !
12. θ adalah sudut yang dibentuk oleh vector p dab q. Jika
diketahui p = 4i -2j + 2k dan q = 3i -3j maka tentukan besar
sudut θ !
13. Diketahui a = [2,1,1] dan b = [-3,6,7]. Tentukan hasil dari a x b !
BAB3 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS 12
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
BAB 3
SISTEM KOORDINAT KARTESIUS
Pada BAB 3 ini akan dibahas tentang sistem koordinat tegak
lurus pada bidang dan ruang, menentukan posisi titik dalam
kartesius di bidang dan di ruang, persamaan bidang khusus, jarak
antara dua titik di bidang dan di ruang dan titik pada ruas garis
dengan perbandingan.
Sistem Koordinat Tegak Lurus
3.1.1 Sistem Koordinat Tegak Lurus pada Bidang dan Ruang
Arena permainan pasar malam di suatu daerah dibuka untuk
umum. Beragam permainan meramaikan suasana di pasar malam
tersebut. Salah satu permainan yang tersedia adalah tembak bola
keberuntungan. Cara bermainnya yaitu si pemain harus
menentukan bola yang akan dibidik terlebih dahulu. Selanjutnya,
dengan menggunakan alat khusus yang disediakan di stand
permainan, si pemain menembak bola tersebut hingga pecah. Dari
dalam bola akan keluar gulungan kertas yang berisikan keterangan
tentang hadiah apa yang diperoleh oleh si pemain tersebut.
Gambar 3.1 Arena Permaianan Pasar Malam
Untuk mempermudah si pemain menunjukkan bola yang akan
dibidik, selain menyebutkan warna, si pemain dapat menunjukkan
posisi bola tersebut dengan menggunakan bingkai besi berwarna
biru. Seperti, bola berwarna biru dengan posisi 2 ke kanan dan 5 ke
Kegiatan Pembelajaran 3.1
BAB3 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS 13
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
atas. Setelah dicermati, ilustrasi di atas menggambarkan tentang
aplikasi dari sistem koordinat cartesius.
Suatu sistem koordinat tegak lurus di dalam bidang ditentukan
dengan memilih suatu satuan panjang serta dua buah garis lurus
yang masing-masingnya saling tegak lurus dan berpotongan di satu
titik. Perhatikan Gambar 3.2 berikut.
Gambar 3.2 Sistem Koordinar Kartesius R2 di 4 Kuadran
Letak suatu titik pada sistem koordinat R2 dinotasikan dengan
(x,y) dimana x disebut absis dan y disebut ordinat.
Suatu sistem koordinat tegak lurus di dalam ruang ditentukan
dengan memilih suatu satuan panjang serta tiga buah garis lurus
yang masing-masingnya saling tegak lurus dan berpotongan di satu
titik. Perhatikan Gambar 3.3 berikut. Letak suatu titik pada sistem
koordinat 3
R dinotasikan dengan (x,y,z) dimana x disebut absis, y
disebut ordinat dan z disebut aplikat.
Gambar 3.3 Sistem Koordinat Kartesius R3
BAB3 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS 14
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Sumbu x, y dan z berpotongan pada satu titik yaitu titik O(0,0,0)
dan membagi ruang itu atas 3 bidang koordinat, yaitu bidang XOY,
bidang YOZ dan bidang XOZ. Perhatikan Gambar 3.4 berikut.
Gambar 3.4 Bidang-bidang pada R3
Bidang XOY, YOZ dan bidang XOZ membagi ruang tersebut
atas 8 oktan, yaitu:
a. Oktan I : berisi titik-titik dengan x > 0, y > 0, dan z > 0
b. Oktan II : berisi titik-titik dengan x < 0, y > 0, dan z > 0
c. Oktan III : berisi titik-titik dengan x < 0, y < 0, dan z > 0
d. Oktan IV : berisi titik-titik dengan x > 0, y < 0, dan z > 0
e. Oktan V : berisi titik-titik dengan x > 0, y > 0, dan z < 0
f. Oktan VI : berisi titik-titik dengan x < 0, y > 0, dan z < 0
g. Oktan VII : berisi titik-titik dengan x < 0, y < 0, dan z < 0
h. Oktan VIII : berisi titik-titik dengan x > 0, y < 0, dan z < 0
Perlu Anda ketahui bahwa:
a. Semua titik yang terletak pada bidang XOY mempunyai aplikat = 0
b. Semua titik yang terletak pada bidang YOZ mempunyai absis = 0
c. Semua titik yang terletak pada bidang XOZ mempunyai ordinat = 0
d. Semua titik yang terletak pada sumbu X mempunyai ordinat = 0 dan
aplikat = 0
e. Semua titik yang terletak pada sumbu Y mempunyai absis = 0 dan
aplikat = 0
f. Semua titik yang terletak pada sumbu Z mempunyai absis = 0 dan
ordinat = 0
BAB3 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS 15
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
3.1.2 Menentukan Posisi Titik dalam Kartesius di Bidang dan
di Ruang
a. Menentukan Posisi Titik dalam Kartesius di Bidang
Bidang koordinat Cartesius digunakan untuk menentukan letak
sebuah titik yang dinyatakan dalam pasangan bilangan. Letak titik
pada bidang koordinat Cartesius ditulis dalam bentuk pasangan
bilangan (x, y) dimana x disebut absis dan y disebut ordinat.
Perhatikan Gambar 3.5 berikut.
Gambar 3.5 Titik A, B dan C pada Koordinat Kartesius R2
Perhatikan titik A, B, dan C pada Gambar 3.5. Untuk
menentukan letaknya, mulailah dari titik pusat koordinat. Kemudian,
bergerak mendatar ke arah kanan (sumbu X), lalu bergerak ke atas
(sumbu Y). Pada bidang koordinat tersebut, titik A terletak pada
koordinat (2,3), ditulis A(2,3), titik B terletak pada koordinat (6,5),
ditulis B(6,5), dan titik C terletak pada koordinat (7,1), ditulis dengan
C(7,1).
b. Menentukan Posisi Titik dalam Kartesius di Ruang
Letak titik pada koordinat Cartesius dalam ruang ditulis dalam
bentuk (x, y,z) dimana x disebut absis, y disebut ordinat dan z
disebut aplikat. Perhatikan Gambar 3.6 berikut.
BAB3 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS 16
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Gambar 3.6 Titik A dan B pada R3
Perhatikan titik A dan B pada Gambar 3.6. Untuk menentukan
letaknya, mulailah dari titik O. Pada bidang koordinat tersebut, titik
A terletak pada koordinat (2,5,0), ditulis A(2,5,0), titik B terletak
pada koordinat (2,5,5), ditulis B(2,5,5).
3.1.3 Persamaan Bidang Khusus
Berikut ini akan dijelaskan arti dari suatu persamaan yang hanya
mengandung satu peubah.
1. Persamaan bidang rata dari sebuah bidang yang sejajar
dengan bidang YOZ (dapat dilihat pada Gambar 3.7) dan
berjarak |a| adalah x = a . Jadi, semua titik yang terletak pada
x = a mempunyai absis = a.
Gambar 3.7 Bidang yang Sejajar dengan bidang YOZ
BAB3 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS 17
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
2. Persamaan bidang rata dari sebuah bidang yang sejajar
dengan bidang XOZ (dapat dilihat pada Gambar 3.8) dan
berjarak |b| adalah y = b . Jadi, semua titik yang terletak pada
y = b mempunyai ordinat = b.
Gambar 3.8 Bidang yang sejajar dengan bidang XOZ
3. Persamaan bidang rata dari sebuah bidang yang sejajar
dengan bidang XOY (dapat dilihat pada Gambar 3.9) dan
berjarak |c| adalah z = c . Jadi, semua titik yang terletak pada
z = c mempunyai aplikat = c.
Gambar 3.9 Bidang yang sejajar dengan bidang XOY
BAB3 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS 18
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Perhatikan Gambar 3.10 berikut!
Gambar 3.10 Bangun ruang dengan titik A, C dan H yang diketahui
Pada Gambar 3.10 tampak sebuah bangun ruang dengan
titik A, C dan H yang diketahui koordinatnya. Dengan
mempedomani materi, kita dapat menentukan koordinat bagi
titik-titik lainnya. Koordinat tersebut adalah sebagai berikut
koordinat titik B (p,q,0), koordinat titik D (0,0,0), koordinat titik E
(p,r,0), koordinat titik F (p,q,r), dan koordinat titik G (0,q,r).
Contoh 3.1:
Perhatikan bangun ruang pada Gambar 3.11 berikut! Pada
Gambar 3.11 diketahui koordinat titik Q(5,9,0) dan koordinat
titik T(5,0,6). Tentukanlah koordinat untuk titik-titik lainnya!
Gambar 3.11
BAB3 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS 19
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Penyelesaian:
Dengan memperhatikan posisi titik pada gambar, kita
dapat mengetahui bahwa koordinat titik P (5,0,0), R(0,9,0),
S(0,0,0), U(5,9,6), V(0,9,6), dan W(0,0,6).
Contoh 3.2:
Klasifikasikan persamaan berikut berdasarkan arti dari suatu
persamaan yang telah dijelaskan pada materi sebelumnya.
a. x = 2
b. z2 – 4 = 0
c. y3 – 2y2- 8y = 0
Penyelesaian:
a. Persamaan x = 2 merupakan sebuah bidang rata yang
sejajar dengan bidang YOZ dan berjarak 2 (kea rah sumbu
X positif).
b. Persamaan z2 – 4 = 0 menyatakan dua buah bidang rata z
= 2 dan z = -2 yang sejajar dengan bidang XOY dan
berjarak 3.
c. Persamaan y3 – 2y2- 8y = 0 menyatakan tiga buah bidang
rata y = 0, y = 4, y = -2 yang sejajar dengan bidang XOZ.
BAB3 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS 20
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
LATIHAN
1. Plotlah dua buah titik yang masing-masing berada pada
kuadran II dan IV di bidang R2 koordinat kartesius!
2. Tentukanlah pada kuadran berapa titik-titik berikut di bidang
R2!
a. A(4,-7)
b. B(-5,-2)
c. C(-6,4)
d. D(-2,0)
3. Gambarlah titik-titik berikut di bidang R2 koordinat kartesius!
a. P(-3,4)
b. Q(1,0)
c. R(2,-9)
d. S(-6,-8)
4. Diketahui segiempat ABCD dengan koordinat titik A(-2,5), B(-
2,1), C(4,1), D(4,5). Berbentuk apakah segiempat ABCD
tersebut?
5. Gambarlah titik-titik berikut di bidang R3 koordinat kartesius!
a. A(1,3,5)
b. B(-3,0,-7)
c. C(6,8,-9)
d. D(-2,-5,-1)
BAB3 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS 21
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Jarak Antara Dua Titik
3.2.1 Jarak Antara Dua Titik di Bidang dan di ruang
a. Jarak Antara Dua Titik di Bidang
Misalkan kita pandang jarak dua titik pada koordinat garis.
Misalkan P1 dan P2 dua titik pada garis, dengan jarak x1 dan x2
dari titik O seperti ditunjukkan pada Gambar 3.12 berikut.
Gambar 3.12 P1 dan P2 dua titik pada garis
Jarak titik P1 dan P2 adalah 121221 xxOPOPPP
Perhatikan Gambar 3.13 untuk menentukan jarak antar dua
titik pada bidang datar.
Gambar 3.13 Titik P1 dan P2 di bidang R2
Kegiatan Pembelajaran 3.2
P1(x1,x2)
P2(x1,x2)
BAB3 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS 22
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Garis vertikal yang melalui P1 dan garis horizontal yang
melalui P2 berpotongan pada titik Q(x1, y2). Seperti terlihat pada
Gambar 3.13.
Gambar 3.14 P1P2Q membentuk segitiga siku-siku
Asumsikan P1 dan P2 tidak berada pada garis vertikal atau
horizontal yang sama. P1P2Q membentuk segitiga siku-siku
dengan sudut siku-siku pada Q. Sekarang kita gunakan
teorema pythagoras untuk menghitung panjang P1P3. Dari
gambar 3.14 terlihat bahwa 121122 yyQPxxQP dan .
Dengan teorema pythagoras diperoleh,
2
21
2
12
2
2
2
121
2
2
2
1
2
21
yyxxQPQPPP
QPQPPP
Karena 2
21
2
12
2
12 xxxxxx maka nilai mutlak
boleh dihilangkan sehingga diperoleh:
Contoh 3.3:
Tentukan jarak antara titik P1 (1,4) dan P2 (-3,-2)!
P1(x1,x2)
P2(x1,x2) Q(x1,y2)
BAB3 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS 23
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Penyelesaian:
52
3616
421322
2
21
2
1221
yyxxPP
Jadi jarak antara titik P1 (1,4) dan P2 (-3,-2) adalah 52 .
b. Jarak Antara Dua Titik di Ruang
Misalkan kita hendak menentukan jarak antara titik D(x1, y1, z1)
dan F(x2, y2, z2) seperti terlihat pada Gambar 3.14.
Gambar 3.14
Untuk menentukan jarak titik D ke F, Anda dapat menggunakan
konsep Pythagoras. Ikuti langkah-langkah sebagai berikut!
Perhatikan ∆ABD! oA = 90 .
2 1AD =|x - x |
2 1AB =|y - y |
Dengan menggunakan konsep Pythagoras maka
diperoleh: 2 2BD = AD + AB
2 22 1 2 1=|x - x | +|y - y |
2 22 1 2 1= (x - x ) + (y - y )
BAB3 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS 24
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Perhatikan ∆BDF! oB = 90
Dengan menggunakan konsep Pythagoras, Anda dapat
menentukan jarak titik D ke F sebagai berikut. 2 2DF =BD + BF
2 2 2
2 1 2 1 2 1= x - x + y - y + z -z
Jadi, jarak titik D ke F adalah sebagai berikut.
Contoh 3.4:
Tentukan jarak antara titik P(3,1,4) dan titik Q(5,0,2)!
Penyelesaian:
2 1 2 1 2 1PQ = x - x + y - y + z - z
2 2 2
= 5 - 3 + 0 - 1 + 2 - 4
= 3
Jadi, jarak antara titik P dan Q adalah 3.
3.2.2 Koordinat Titik yang Membagi Ruas Garis PQ atas
Perbandingan m:n
Misalkan P(x1, y1, z1) dan Q(x2, y2, z2) . R (x, y, z) membagi garis
PQ atas perbandingan m : n. Perhatikan Gambar 3.15 berikut!
Gambar 3.15 Ruas Garis PQ
BAB3 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS 25
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Koordinat titik R dapat ditentukan dengan mengikuti langkah-
langkah sebagai berikut.
Proyeksikan garis PQ ke bidang XOY sehingga diperoleh garis
P1Q1 dengan P1(x1, y1, 0) dan Q1 (x2, y2, 0).Buat garis ARB
sejajar P1R1Q1 seperti ditunjukkan pada Gambar 3.16 !
Gambar 3.16 Garis PQ ke bidang XOY
Berdasarkan Gambar 3.16 diperoleh
AP1 = RR1 = z → AP = z – z1
QQ1 = RR1 = z → BQ = z2 – z
∆APR sebangun dengan ∆BQR, akibatnya:
AP PR=
BQ RQ
1
2
z - z m=
z - z n
1 2nz -nz =mz -mz
2 1mz+ nz =mz + nz
2 1z(m+n) =mz +nz
2 1mz + nzz =
m + n
Dengan cara yang sama, jika PQ diproyeksikan ke bidang XOZ
maka diperoleh:
2 1my + nyy =
m + n
BAB3 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS 26
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Dengan cara yang sama, jika PQ diproyeksikan ke bidang YOZ
maka diperoleh:
2 1mx + nxx =
m + n
Jadi, koordinat titik R yang membagi ruas garis PQ atas
perbandingan m : n adalah sebagai berikut.
Koordinat titik R dapat kita tentukan dengan
memperhatikan posisi dari titik R terhadap ruas garis PQ.
Perhatikan rumusan berikut.
Titik R membagi ruas garis PQ dengan perbandingan m : n
Koordinat titik R dapat ditentukan dengan menggunakan
rumus berikut.
Titik R sebagai titik tengah ruas garis PQ
Jika R adalah titik tengah ruas garis PQ maka R membagi
PQ atas perbandingan m : n = 1 : 1. Oleh karena itu,
koordinat titik R dapat ditentukan dengan menggunakan
rumus sebagai berikut.
Catatan:
Anda dapat menentukan posisi titik R dengan memperhatikan
nilai dari m : n = k sebagai berikut.
Jika k > 0 maka R terletak di antara P dan Q
2 1 2 1 2 1mx + nx my + ny mz + nz
R , ,m + n m + n m + n
2 1 2 1 2 1mx + nx my + ny mz + nz
R , ,m + n m + n m + n
BAB3 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS 27
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Jika -1 < k < 0 maka R terletak di perpanjangan QP (pada
pihak P)
k = -1 menunjukkan suatu titik di tak berhingga
Jika k < -1 maka R terletak di perpanjangan PQ (pada
pihak Q)
Contoh 3.5:
Misalkan P(-4,5,-6) dan Q(2,-4,3). Koordinat titik R membagi
PQ atas perbandingan -4 : 1. Tentukanlah koordinat dari titik R
tersebut!
Penyelesaian:
Perhatikan gambar berikut!
Gambar 3.17 Ruas Garis PR
Koordinat titik R dapat ditentukan sebagai berikut.
-4 2 - 4 -4 -4 + 5 -4 3 - 6R , ,
1 - 4 1 - 4 1 - 4
Jadi, koordinat titik R adalah R 4,- 7, 6 .
BAB3 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS 28
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
LATIHAN
1. Tentukan jarak antara dua titik yang diberikan
a. (1,-3) dan (2,5)
b.
2
1,
2
3dan,2
2
1
2. Jarak titik (x,-5) ke titik (-5,4) adalah tiga kali terhadap jarak titik
itu ke titik (10,-1). Tentukan x !
3. Tunjukkan bahwa ketiga titik berikut segaris.
a. (2,5,-4), (1,4,-3), dan (4,7,-6)
b. (5,4,2), (6,2,-1), dan (8,-2,-7)
4. Alas suatu segitiga samakaki adalah segmen garis yang
menghubungkan titik (6,1) dengan (-1,2). Absis dari titik sudut
yang lain adalah 3. Tentukan ordinat dari titik sudut itu!
5. Diketahui segitiga ABC dengan A(2,3,0), B(6,-9,-3) dan
C(3,5,2). Titik D adalah titik potong garis bagi yang ditarik dari
A dengan sisi BC. Tentukan koordinat titik D!
BAB 4 GARIS LURUS 29
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
BAB 4
GARIS LURUS
Pada BAB 4 ini akan dibahas tentang gradient, persamaan
garis (vektoris, parameter, umum, normal) di bidang dan di ruang,
kedudukan antara dua buah garis lurus di bidang dan di ruang,
garis lurus memotong dua garis lain di bidang dan di ruang sudut
antara dua garis lurus di bidang dan di ruang, jarak titik ke garis di
bidang dan di ruang dan jarak antara dua buah garis lurus di ruang.
Gradien atau Kemiringan Suatu Garis
4.1.1 Gradien atau Kemiringan Suatu Garis
Kemiringan garis atau gradien garis adalah konstanta atau bilangan
yang menentukan kedudukan/posisi garis tertentu. Gradien suatu
garis dikelompokkan ke dalam tiga kategori, yaitu (1) kemiringan
garis positif, (2) kemiringan garis nol, (3) kemiringan garis negatif.
Suatu garis memiliki kemiringan positif apabila posisi garis itu miring
ke kanan (jatuh ke arah kanan), kemiringan garis nol apabila garis
tersebut sejajar sumbu x, dan garis negatif apabila posisi garis itu
miring ke kiri (jatuh ke kiri). Sebuah garis tegak lurus sumbu x atau
sejajar sumbu y didefinisikan tidak memiliki kemiringan/gradien.
Gambar 4.1 berikut menunjukkan keadaan/posisi yang mungkin
dari sebuah garis lurus.
Gambar 4.1 Gradien garis
Kegiatan Pembelajaran 4.1
BAB 4 GARIS LURUS 30
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Perhatikan Gambar 4.2 berikut untuk menentukan gradien
garus lurus yang terbentuk dari dua titik.
Gambar 4.2 Bidang ABC di R2
Kemiringan garis AB dengan A(x1,y1) dan B(x2,y2) ditentukan
oleh tangen sudut BAC yaitu BC dibagi oleh AC, atau kemiringan
Ab dapat ditulis dengan AC
BCm . Karena panjang BC = y2 – y1
dan panjang Ac = x2 – x1, sehingga kemiringan garis AB adalah
sebagai berikut.
4.1.2 Persamaan Garis di Bidang dan di Ruang
a. Persamaan Garis Lurus Pada Bidang
1) Persamaan Garis y = mx + b
Y = mx + b adalah persamaan garis dengan
kemiringan m dan b adalah bilangan konstanta. Berikut
adalah proses pembuktian bahwa a adalah kemiringan (m)
dari garis g. Misalkan terletak titik A (x1,y1) dan titik
B(x2,y2). Apabila titik-titik itu disubstitusikan ke persamaan
garis y = mx + b maka diperoleh y1 = mx1 + b dan y2 = mx2
B(x2,y2)
C(x2,y1) A(x1,y1)
BAB 4 GARIS LURUS 31
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
+ b. Selanjutnya, dilakukan pengurangan sehingga
diperoleh y2 – y1 = mx2 – mx1 atau mxx
yy
12
12. Jadi
garis dengan persamaan y = mx + b mempunyai
kemiringan m.
2) Persamaan Garis dengan Kemiringan m dan Melalui
Sebuah titik
Misalkan sebuah garis dengan kemiringan m dan
melalui titik A (x1,y1). Karena garis tersebut memiliki
kemiringan m maka persamaan garisnya adalah y = mx +
b. Apabila garis tersebut melalui titik A (x1,y1) maka
diperoleh y1 = mx1 + b. Karena x1 dan y1 adalah konstanta
maka b dapat dinyatakan ke dalam b = y1 – mx1. Jadi,
persamaan garisnya adalah:
Persamaan tersebut adalah rumus persamaan garis
dengan kemiringan m dan melalui titik titik (x1,y1).
Contoh 4.1:
Tentukan persamaan garis dengan gradien 2 dan melalui
titik (4,5)!
Penyelesaian:
32
582
825
)4(25
)( 11
xy
xy
xy
xy
xxmyy
Jadi, persamaan garis dengan m = 2 dan melalui titik
(4,5) adalah y - 2x = -4.
3) Persamaan Garis Melalui Dua Buah Titik
Apabila sebuah garis melalui dua titik yang diketahui
koordinatnya maka persamaan garis tersebut dapat dicari
y = mx + y1 – mx1 atau y – y1 = m (x –x1)
BAB 4 GARIS LURUS 32
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
persamaannya. Misalkan sebuah garis melalui dua buah
titik, yaitu titik A(x1,y1) dan titik B(x2,y2). Persamaan
garisnya adalah sebagai berikut:
Substitusi titik A(x1,y1) dan titik B(x2,y2) ke persamaan y =
mx + b sehingga diperoleh,
y1 = mx1 + b b = y1 - mx1
y2 = mx2 + b b = y2 – mx2
Dari dua persamaan di atas, digunakan metode substitusi
sehingga diperoleh,
y1 - mx1 = y2 – mx2
mx2 - mx1 = y2 – y1
m(x2 – x1) = y2 – y1
12
12
xx
yym
Karena b = y1 - mx1 maka
12
1211
xx
yyxyb
Apabila disubstitusikan ke persamaan y = mx + b maka
diperoleh,
12
1
12
1
12
12
1
1
1
12
121
12
121
12
121
12
1211
12
12
)(
xx
xx
yy
yy
xx
yy
xx
yy
xxxx
yyyy
xx
yyxx
xx
yyyy
xx
yyxyx
xx
yyy
Jadi, persamaan garis lurus yang melalui dua buah titik
adalah
BAB 4 GARIS LURUS 33
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Contoh 4.2:
Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (1,-2)
dan (3,5)!
Penyelesaian:
372
7472
)1(7)2(2
2
1
7
2
13
1
25
2
13
1
)2(5
)2(
12
1
12
1
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xx
xx
yy
yy
Jadi, persamaan garis lurus yang melalui titik (1,-2) dan
(3,5) adalah 2y – 7x = -3
4) Persamaan Garis Melalui Sebuah Titik dan Sejajar dengan
Garis lain
Gambar 4.3 berikut adalah gambar garis l yang melalui
titik A(x1,y1) dan sejajar garis g.
Gambar 4.3 Garis l yang melalui titik A(x1,y1) dan sejajar garis g
g
l
A(x1,y1)
BAB 4 GARIS LURUS 34
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Setiap garis memiliki kemiringan yang biasa
dilambangkan dengan m. Karena l sejajar dengan g maka
kemiringan l sama dengan g atau m1 = m2. Sehingga
persamaan l adalah y – y1 = ml (x – x1). Kemiringan l sama
dengan g atau m1 = m2, sehingga rumus persamaan garis l
yang melalui titik A(x1,y1) dan sejajar garis g adalah,
Contoh 4.3:
Tentukan persamaan garis p yang melalui titik (3,-6) dan
sejajar dengan garis q dengan persamaan y = 2x + 3!
Penyelesaian:
Kemiringan garis p sama dengan garis q sehingga berlaku
mp = mq
mp = 2
Jadi, persamaan garis p yang melalui titik (3,-6) dan
sejajar dengan garis q dengan persamaan y = 2x + 3
adalah
y – (-6) = 2 (x – 3)
y + 6 = 2x – 6
y – 2x = -12
5) Persamaan Garis Melalui Sebuah Titik dan Tegal Lurus
dengan Garis lain
Gambar 4.4 berikut adalah gambar garis a tegak lurus
garis b dan melalui titik (x1,y1).
y – y1 = mg(x – x1)
BAB 4 GARIS LURUS 35
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Gambar 4.4 Garis a tegak lurus garis b dan melalui titik (x1,y1)
Garis a memotong sumbu x sebesar α sedangkan
garis b memotong sumbu x sebesar β, sehingga diperoleh
tg β = tg (90 + α). Menurut rumus trigonometri didapat
bahwa
tg
1
sin
cos
sin90sincos90cos
sin90coscos90sin
) + (90 cos
) + (90sin = ) + (90 Tg
Ini berarti,
tg
tg1
atau tg β = tg α. Karena tg β =
mb dan tg α = ma maka diperoleh mb.ma = -1. Jadi,
persamaan garis a tegak lurus garis b dan melalui titik
(x1,y1) adalah
a b
α β
BAB 4 GARIS LURUS 36
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
b. Persamaan Garis Lurus pada Ruang
Suatu garis lurus akan tertentu bila diketahui dua titik pada
garis tersebut. Misalkan, Titik P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z2) terletak
pada garis lurus g.
Gambar 4.5 Titik P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z2) terletak pada
garis lurus g
Pada Gambar 4.5, OP = [x1,y1,z1], OQ = [x2,y2,z2] dan PQ = [x2-
x1, y2-y1, z2-z1]. Titik sebarang X (x,y,z) berada pada garis g,
seperti terlihat pada Gambar 4.6.
Gambar 4.6 Titik sebarang X (x,y,z) berada pada garis g
Untuk titik sebarang X (x,y,z) pada garis g, berlaku PQPX
dimana . Jelas bahwa:
P(x1,y1,z1)
Q(x2,y2,z2
)
O
g
P(x1,y1,z1)
Q(x2,y2,z2)
O
X(x,y,z)
g
BAB 4 GARIS LURUS 37
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Persamaan ini disebut juga dengan persamaan vektoris garis
lurus melalui dua titik P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z2). Persamaan ini
dapat diubah ke bentuk berikut ini.
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
Persamaan ini berlaku apabila x2 – x1 ≠ 0, y2 – y1 ≠ 0, dan
z2 – z1 ≠ 0.
Vektor PQ (atau vektor lain ≠ 0 yang terletak pada garis g)
disebut vektor arah garis lurus. Jadi apabila garis lurus melalui
satu titik P(x1,y1,z1) dan mempunyai vektor arah a = [a,b,c],
maka diperoleh persamaan sebagai berikut.
Persamaan tersebut dapat ditulis menjadi tiga persamaan :
Persamaan tersebut disebut persamaan parameter garis
lurus g. Apabila persamaan tersebut diubah ke dalam bentuk
lain dengan melakukan eliminasi sehingga diperoleh
persamaan sebagai berikut.
c
zz
b
yy
a
xx 111 ,,
(jika a≠0, b≠0, dan c≠0)
Persamaan tersebut dapat disederhanakan dalam bentuk
persamaan berikut.
c
zz
b
yy
a
xx 111
Persamaan ini adalah persamaan garis lurus yang melalui
titik P(x1,y1,z1) dengan vektor arah a = [a,b,c].
BAB 4 GARIS LURUS 38
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
LATIHAN
1. Tentukan persamaan garis dalam bentuk y = ax + b apabila,
a. Kemiringannya -2 dan melalui titik (-2,3)
b. Kemiringannya 2
1 dan melalui titik (-4,-5)
2. Tentukan persamaan garis dalam bentuk ax + by + c = 0
apabila,
a. Kemiringannya 3 dan melalui titik (3,4)
b. Kemiringannya 3
2 dan melalui titik (6,-9)
3. Tentukan persamaan garis,
a. Dengan m = 2 dan melalui titik (4,5)
b. Dengan m = 2
1 dan melalui titik (3,-5)
4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik,
a. A(2,7) dan B(-2,5)
b. C(8,9) dan D(4,4)
5. Tentukan kemiringan garis yang melalui titik
a. P(5,6) dan Q(-4,-6)
b. R(0,-4) dan S(5,0)
6. Tentukan persamaan vektoris dan persamaan-persamaan linier
garis lurus melalui titik-titik:
a. (1,2,1) dan (-2,3,2)
b. (1,-3,2) dan (4,1,0)
BAB 4 GARIS LURUS 39
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Kedudukan antara Dua Buah Garis Lurus
4.2.1 Kedudukan antara Dua Buah Garis Lurus di Bidang dan
di Ruang
A. Garis
Garis adalah himpunan titik-titik yang anggotanya adalah dua
titik atau lebih. Titik-titik tersebut berderet ke kedua arah yang
berlawanan sampai jauh tak terhingga. Model atau representasi
suatu garis misalnya seutas benang kecil lurus yang dapat
diperpanjang kedua arah yang berlawanan sampai jauh tak
terhingga. Garis hanya mempunyai ukuran panjang. Garis diberi
nama dengan menggunakan huruf kecil seperti g, h, k, dan
seterusnya, atau AB, AC, BC, dan seterusnya. Pada Gambar 4.7
diperlihatkan dua buah garis, yaitu garis g dan garis AB.
Gambar 4.7 Garis g dan garis AB
a. Kedudukan Garis dan Bidang
1. Garis Terletak Pada Bidang
Sebuah garis dikatakan terletak pada bidang, jika setiap titik
pada garis tersebut juga terletak pada bidang. Perhatikan
Gambar 4.8 berikut.
Kegiatan Pembelajaran 4.2
BAB 4 GARIS LURUS 40
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Gambar 4.8 Garis terletak pada bidang
2. Garis Sejajar Bidang
Sebuah garis dikatakan sejajar bidang, jika garis dan bidang
tidak mempunyai satu pun titik persekutuan. Perhatikan
Gambar 4.9.
Gambar 4.9 Garis sejajar bidang
3. Garis Memotong (Menembus) Bidang
Sebuah garis dikatakan memotong (menembus) bidang, jika
garis dan bidang mempunyai satu titik persekutuan yang
dinamakan titik potong atau titik tembus. Perhatikan Gambar
4.10.
α
α
BAB 4 GARIS LURUS 41
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Gambar 4.10 Garis memotong bidang
b. Kedudukan Antara Dua Buah Garis Lurus di Bidang
1. Dua Garis Sejajar
Dua buah garis dikatakan sejajar, jika dua buah garis tersebut
sebidang dan tidak mempunyai titik persekutuan. Perhatikan
Gambar 4.11.
Gambar 4.11 Dua garis sejajar pada bidang
2. Dua Garis Berpotongan
Dua buah garis dikatakan berpotongan, jika dua buah garis
tersebut sebidang dan mempunyai satu titik persekutuan, yang
dinamakan titik potong. Perhatikan Gambar 4.12.
α
α
BAB 4 GARIS LURUS 42
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Gambar 4.12 Dua garis berpotongan pada bidang
3. Dua Garis Berimpit
Dua garis dikatakan berimpit, jika jarak antara kedua garis
tersebut adalah nol. Perhatikan Gambar 4.14.
Gambar 4.13 Dua garis berimpit pada bidang
4. Dua Garis Bersilangan
Dua buah garis dikatakan bersilangan, jika dua buah garis
tersebut tidak sebidang atau melalui kedua garis tersebut tidak
dapat dibuat sebuah bidang datar. Perhatikan Gambar 4.14.
Gambar 4.14 Dua garis bersilangan pada bidang
α
α
α
BAB 4 GARIS LURUS 43
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
c. Kedudukan Antara Dua Buah Garis Lurus Di Ruang
Pada ruang, kedudukan dua buah garis lurus terbagi menjadi
beberapa kedudukan, yaitu:
1) Dua garis sejajar
Dua garis sejajar pada ruang memiliki jarak yang selalu
sama. Apabila kedua garis tersebut diperpanjang, maka
kedua garis tersebut tidak akan berpotongan.
Gambar 4.15 Garis sejajar pada ruang
Pada Gambar 4.15, dua garis dengan kedudukan sejajar
ditunjukkan oleh ruas garis AB dan EF, AE dan BF, FG
dan BC, BF dan CG, DC dan HG, CG dan DH, AD dan EH,
AE dan DH, dll.
2) Dua garis tegak lurus
Dua buah garis dikatakan tegak lurus apabila kedua garis
tersebut berpotongan dan membentuk sudut 90o. Seperti
ditunjukkan pada gambar berikut.
EF //HG AB //EF
BF//CG EH //FG
BAB 4 GARIS LURUS 44
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Gambar 4.16 Dua garis tegak lurus pada ruang
Pada Gambar 4.16, dua garis dengan kedudukan tegak
lurus ditunjukkan oleh ruas garis AE dan AB,EH dan HG,
BF dan FG, FG dan CG, dll.
3) Dua garis bersilangan
Dua garis memiliki kedudukan bersilangan apabila kedua
garis tersebut tidak sebidang dan tidak dapat dibentuk
sebuah bidang dari kedua garis tersebut. Perhatikan
Gambar 4.17.
AE AB EH HG
BF FG
FG CG
BAB 4 GARIS LURUS 45
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Gambar 4.17 Dua garis bersilangan pada ruang
Pada Gambar 4.17, dua garis dengan kedudukan
bersilangan ditunjukkan oleh ruas garis AE dan HG, AB
dan CG, AE dan DC, BC dan DH, dll.
4.2.2 Jarak Titik Ke Garis di Bidang dan di Ruang
a. Jarak Titik ke Garis di Bidang
Jarak titik ke garis adalah jarak terdekat sebuah titik ke garis.
Perhatikan gambar garis g dan titik A berikut.
Gambar 4.18 Jarak Titik ke Garis di Bidang
Jarak terdekat antara titik A dan garis g diperoleh dengan
menarik garis tegak lurus dengan garis yang dimaksud. Jarak titik A
ke garis g adalah AA’. Seperti terlihat pada Gambar 4.19.
BAB 4 GARIS LURUS 46
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Gambar 4.19 Jarak terdekat antara titik A dan garis g
Untuk menentukan panjang ruas garis tersebut, dapat dibuat
segitiga ABC sebagai berikut.
Gambar 4.20 Segitiga ABC
Segitiga ABC tersebut merupakan segitiga sembarang yang
diketahui panjang sisi-sisinya. Perhatikan bahwa segitiga ABA’
merupakan segitiga siku-siku. Panjang AA’ bisa diperoleh dengan
menggunakan teorema Pythagoras sebagai berikut.
22 '' BAABAA
Panjang A’B belum diketahui, berarti tugas kita adalah
mencari panjang A’B tersebut. Pada segitiga ABC berlaku aturan
cosinus sebagai berikut.
BCAB
ACBCABBCos
2
222
BAB 4 GARIS LURUS 47
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Dan dari segitiga ABA’ kita peroleh perbandingan cosinus
sebagai berikut.
AB
BACosB
'
Dari kedua persamaan tersebut, apabila disubstitusikan akan
diperoleh bentuk sebagai berikut.
BC
ACBCABBA
AB
BA
BCAB
ACBCAB
2'
'
2222
222
Jadi panjang AA’ adalah 22 '' BAABAA dengan
BC
ACBCABBA
2'
222
b. Jarak Titik Ke Garis Di Ruang
Jarak P (x1, y1, z1) ke garis g dapat ditentukan sebagai berikut.
1. Buat bidang W melalui P tegak lurus garis g, seperti Gambar
4.21.
Gambar 4.21 Bidang W melalui P tegak lurus garis g
2. Cari titik Q, yaitu titik tembus garis g pada bidang W.
3. Garis PQ adalah suatu garis yang tegak lurus terhadap garis g
dan melalui titik P sehingga panjang PQ adalah jarak titik P ke
Garis g.
BAB 4 GARIS LURUS 48
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Contoh 4.2.1:
Tentukan Jarak titik P(1.0.2) ke garis g dengan persamaan
x = y = z!
Penyelesaian:
Bidang W yang melalui P(1,0,2) dan tegak lurus garis x = y = z
adalah:
03
0)2(1)0(1)1(1
zyx
zyx
Titik tembus garis g pada bidang W diperoleh dengan
mensubstitusikan x = y = z = ke persamaan di atas sehingga
diperoleh =1 atau titik tembus Q(1,1,1). Jadi, jarak antara titik P
dengan garis g adalah:
2
210111222
PQ
PQ
4.2.3 Jarak antara Dua Buah Garis Lurus yang Sejajar di
Bidang dan di Ruang
Apabila ada dua garis, yaitu garis g dan garis h dengan kedudukan
sejajar, maka untuk menghitung jarak antara kedua garis tersebut
adalah sebagai berikut.
1) Pilihlah sebarang titik P pada garis g
2) Buat bidang rata W melalui P dan tegak lurus garis g, yang
dengan sendirinya juga tegak lurus terhadap garis h.
Gambar 4.22 Bidang rata W melalui P dan tegak lurus garis g
BAB 4 GARIS LURUS 49
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
3) Tentukan titik Q sebagai titik tembus pada garis h di bidang W.
4) Panjang PQ adalah jarak garis g dan garis h.
Contoh 4.2.2:
Tentukan jarak garis lurus g dengan persamaan
1
2
32
2
zyxdan garis lurus h dengan persamaan
1
8
3
4
2
zyx !
Penyelesaian:
Dari persamaan g dan h pada soal, teridentifikasi bahawa garis
g // garis h. Untuk menghitung jarak dari kedua garis tersebut, dapat
dilakukan langkah sebagai berikut.
1) Ambil suatu titik P pada garis g, yaitu P(2,0,2)
2) Buat persamaan bidang W yang melalui P(2,0,2) dan tegak
lurus garis g
0632
020322
zyxW
zyxW
3) Menentukan titik tembus garis h yaitu titik Q pada bidang W:
Persamaan garis h dalam bentuk persamaan parameter adalah
2x , 34y , dan 8z , disubstitusikan ke
persamaan bidang W, diperoleh:
1
01414
06834322
Substitusikan 1 ke persamaan garis h, sehingga diperoleh
titik Q(-2,1,7).
4) Jadi jarak garis g dan garis h adalah
42
270122222
PQ
PQ
BAB 4 GARIS LURUS 50
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
LATIHAN
1. Tentukan jarak titik tembus garis lurus
12
2
4
1
3
2
zyx dan bidang rata x – y + z = 5 ke titik
(-1, -5, -10).
2. Tentukan koordinat titik tembus garis lurus
2
2
3
3)1(
zyx dan bidang rata 3x + 4y + 5z = 5
3. Tunjukkan bahwa kedua garis lurus x + 2y =6, z – 2 = 0 dan x +
2y = 9, z = 0
BAB 5 BIDANG DATAR 51
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
BAB 5
BIDANG DATAR
Pada BAB 5 ini akan dibahas tentang bentuk persamaan
bidang datar (vektoris, parameter, liniar, vektor normal, persamaan
normal), sudut antara dua buah bidang datar, jarak titik ke bidang
datar dan bidang datar yang sejajar, garis lurus sebagai
perpotongan dua bidang datar, dan berkas bidang datar dan
jaringan bidang datar
Bentuk Persamaan Bidang Datar
5.1.1 Bentuk Persamaan Bidang Datar
a. Persamaan Vektoris Bidang Datar
Suatu bidang datar akan dapat ditentukan apabila diketahui
tiga buah titik (yang tidak segaris) yang terletak pada bidang datar
tersebut. Misalkan tiga titik pada bidang datar V adalah titik P(x1, y1,
z1), Q(x2, y2, z2), dan R(x3, y3, z3). Perhatikan gambar berikut.
Untuk tiap titik sebarang X(x, y, z) pada bidang datar V, berlaku:
PRPQPX (- ),(
Terlihat jelas pada gambar bahwa
OX = OP + PX
Persamaan ini disebut persamaan vektoris bidang datar melalui
tiga buah titik. Kedua vektor PQ dan PR disebut vektor-vektor arah
bidang (setiap dua vektor yang tidak segaris pada bidang
merupakan vektor-vektor arah bidang tersebut). Sehingga
persamaan vektoris bidang datar melalui titik P(x1, y1, z1),dan
diketahui kedua vektor arahnya aaa zyxa ,, dan bbb zyxb ,,
adalah:
Kegiatan Pembelajaran 5.1
BAB 5 BIDANG DATAR 52
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Persamaan di atas dapat ditulis menjadi tiga persamaan
sebagai berikut:
)3.......
)2.....
)1.......
1
1
1
ba
ba
ba
zzzz
yyyy
xxxx
Persamaan ini disebut persamaan parameter bidang datar.
b. Persamaan Linier Bidang Datar
Apabila dan pada persamaan (1) dan (2) di eliminasi,
diperoleh:
C
yyxxxy bb 11 dan
C
xxyyyx aa 11 dimana
bb
aa
babayx
yxxyyxC dan misalkan C≠0. Kemudian apabila
dan di atas disubstitusikan ke persamaan (3), diperoleh:
0}{})({ 11111 xxyyyxzyyxxxyzzzC aabbba
0111 zzCyyxzxzxxyzzy abbababa ........(4)
Bxz
xzzxxz
Azy
zyyzzy
bb
aa
baba
bb
aa
baba
DCzByAx 111
Persamaan (4) menjadi
Persamaan ini merupakan Persamaan Linier (umum) dari suatu
bidang datar.
BAB 5 BIDANG DATAR 53
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
c. Vektor Normal Bidang Datar
Perhatikan vektor [A,B,C] berikut.
kyx
yxj
xz
xzi
zy
zyCBA
bb
aa
bb
aa
bb
aa,,
baCBA
zyx
zyx
kji
CBA
bbb
aaa
,,
,,
[A,B,C] merupakan vektor yang tegak lurus pada bidang datar yang
dibentuk oleh a dan b, dalam hal ini bidang datar V = Ax + By + Cz
+ D = 0. n= [A, B, C] disebut vektor normal dari bidang datar V = 0
tersebut. Vektor normal ini akan memegang peranan penting dalam
pembahasan suatu bidang datar. Dari persamaan (4), suatu bidang
datar yang diketahui melalui satu titik (x1, y1, z1) dengan vektor
normal n= [A, B, C] berbentuk:
Hal-hal khusus dari bidang datar V = Ax + By + Cz + D = 0
adalah sebagai berikut.
1. Bila D = 0 maka bidang datar akan melalui titik asal O(0,0,0)
dan sebaliknya, setiap bidang datar yang melalui titik asal,
persamaan akan mempunyai harga D = 0.
2. Apabila D ≠ 0, persamaan V = Ax + By + Cz + D = 0 dapat
ditulis menjadi 1
D
Cz
D
By
D
Axdan sebut berturut turut
rD
Cq
D
Bp
D
A
,, didapat persamaan 1
r
z
q
y
p
x
yang mana memotong sumbu X di titik (p,0,0), sumbu Y di titik
(0,q,0) dan sumbu Z di titik (0,0,r).
3. Bila A = 0, bidang datar sejajar sumbu X
Bila B = 0, bidang datar sejajar sumbu Y
Bila C = 0, bidang datar sejajar sumbu Z
4. Bila A = B = 0, bidang datar sejajar bidang XOY
Bila A = C = 0, bidang datar sejajar bidang XOZ
Bila B = C = 0, Bidang datar sejajar bidang YOZ
BAB 5 BIDANG DATAR 54
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Contoh 5.1:
Tentukan persamaan vektoris bidang datar melalui titik (1,1,2),
(2,3,5) dan (1,3,7)!
Penyelesaian:
5,2,03,2,12,1,1,,
27,13,1125,13,122,1,1,,
zyx
zyx
Persamaan parameternya adalah 1x , 221 y , dan
532 z . Untuk mengubahnya ke persamaan linier, dapat
kita lakukan dengan mencari vektor normal sebagai hasil cross
product.
2,5,45,2,03,2,1
Jadi, persamaan bidang datar dengan vektor normal [4,-5,2] adalah:
03254
0221514
0111
zyx
zyx
zzCyyBxxA
d. Persamaan Normal Bidang datar
Misalkan n = [A, B, C] adalah vektor normal bidang V = Ax
+By+Cz +D =0, α, β dan ϒ berturut-turut sudut antara n dengan
sumbu-sumbu koordinat (yang arahnya ditentukan oleh vektor i, j
dan k).
Gambar 5.1 Vektor normal pada bidang V
BAB 5 BIDANG DATAR 55
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Ternyata bahwa:
n
A
in
in
.cos
n
B
jn
jn
.cos
n
C
kn
kn
.cos
Bentuk di atas dapat juga ditulis dalam bentuk:
n
n
n
CBA
,,cos,cos,cos
Bentuk di atas merupakan bentuk satuan yang searah dengan n. Ini
juga berarti bahwa 1coscoscos 222 atau cos,cos,cosn
disebut vektor cosinus dari bidang datar V atau boleh juga disebut
vektor normal yang panjangnya satu.
Misalkan p sama dengan jarak titik (0,0,0) ke bidang V = 0,
dimana p ≥ 0 dan X(x,y,z) titik sebarang pada bidang datar V, maka
p adalah proyeksi OX =[x,y,z] pada n yaitu:
p = OX.n = [x,y,z]. cos,cos,cos
atau
Persamaan ini disebut persamaan normal dari bidang V = 0.
Untuk mengubah bentuk V = Ax + By + Cz + D = 0 kebentuk
normal maka diperoleh:
Dzyxn coscoscos
Kita selalu menghendaki bahwa pn
D
positif. Jadi, apabila
D negatif, maka jika masing-masing ruas persamaan di atas dibagi
222 CBAn dan apabila D positif, masing-masing ruas
dibagi dengan n
BAB 5 BIDANG DATAR 56
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Contoh 5.2:
Carilah bentuk normal dari 3x + 6y – 2z + 6 = 0!
Penyelesaian:
D = 6 (positif), sedangkan 74369 n . Jadi, persamaan
normal bidang datar adalah 7
6
7
2
7
6
7
3
zyx .
5.1.2 Sudut Antara Dua Buah Bidang Datar
Kita definisikan sudut antara dua buah bidang
01111 dzcybxa dan bidang 02222 dzcybxa
adalah sudut antara vektor normal bidang dengan vektor normal
atau antara 111 ,, cba dan 222 ,, cba atau 111 ,, cba dan
222 ,, cba .
Jadi sudut antara bidang dan yang kita misalkan
kemungkinannya sebagai berikut oo 1800 dalam hal vektor
normal kedua bidang di atas tidak saling tegak lurus, maka
mungkin dipilih lancip atau tumpul. Dari cos
vuvu kita
diperoleh
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121coscbacba
ccbbaa
Catatan: Tanda positif atau negatif diambil tergantung kepada
keadaan. Jika kita mengambil tanda positif maka sudut
yang dibentuk adalah lancip (ukuran oo 900 ), jika
mengambil tanda negatif maka sudut yang dibentuk
adalah tumpul (ukuran oo 18090 ), sedangkan jika
sama dengan nol, maka sudut antara dua bidang di atas
adalah siku-siku (ukurannya o90 ).
Contoh 5.3:
carilah sudut lancip antara bidang 0432 zyx dan
bidang 063 zyx
BAB 5 BIDANG DATAR 57
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Penyelesaian:
Vektor normal bidang di atas berturut-turut adalah 1,3,2
dan 3,1,1 . Jika kita ambil tanda positif, maka kita dapatkan:
1114
332cos
154
4
Karena perhitungan di atas menghasilkan sudut tumpul
sedangkan yang kita inginkan adalah sudut lancip, maka haruslah
kita mengambil tanda negatif. Jadi jika diambil tanda negatif kita
peroleh:
1114
332cos
154
4
atau arc
154
4cos
Dengan menggunakan kalkulator dapat diperoleh adalah
lancip (oo 900 )
BAB 5 BIDANG DATAR 58
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
LATIHAN
1. Tentukan persamaan vektoris dan persamaan linier bidang
datar melalui tiga titik (3, 4, 1), (-1, -2, 5) dan (1, 7, 1)!
2. Tentukan persamaan linier bidang datar yang melalui (3, -2, -4)
yang horizontal.
3. Tentukan persamaan linier bidang datar melalui (-1,2,4) dan
sejajar bidang datar 2x – 3y – 5z + 6 = 0!
4. Tentukan persamaan bidang datar yang tegak lurus bidang-
bidang datar 7x – 3y + z – 5 = 0 dan 4x – y – z + 9 = 0 !
5. Tentukan vektor arah kemudia persamaan vektoris garis lurus
perpotongan bidang datar 2x + 3y – 2 = 0, y – 3z + 4 = 0 !
6. Bidang-bidang datar dibuat sehingga sudutnya dengan garis
lurus x=y=z adalah 60o dan sudutnya dengan garis lurus
x=0=y-z adalah 45o. Tunjukkan bahwa semua bidang datar itu
membuat sudut 60o dengan bidang x=0!
7. Tentukan persamaan bidang datar yang memuat gari-garis
lurus x=y=z dan (x-3) = (y+1)=z !
BAB 5 BIDANG DATAR 59
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Jarak Titik Ke Bidang Datar dan Bidang Datar yang Sejajar
5.2.1 Jarak Titik Ke Bidang Datar dan Bidang Datar yang
Sejajar
Untuk memperoleh persamaan jarak antara sebuah titik dan sebuah
bidang datar tersebut, perhatikan dan pahami langkah-langkah
dibawah ini.
1. Misalkan persamaan bidang datar
, dengan adalah jarak titik ke bidang
datar . Ambil sebarang titik , dimana
.
2. Untuk menentukan jarak titik ke bidang
dengan cara membuat bidang datar melalui titik
yang sejajar dengan . Berarti vektor normal
dan sama. Seperti yang terlihat pada Gambar 5.2 di
bawah ini.
Gambar 5.2 Bidang dan sejajar
3. Misalkan adalah jarak bidang datar dengan titik
maka jarak ke adalah artinya
(a) jika di antara di maka jarak
ke adalah , dan (b) jika tidak
Kegiatan Pembelajaran 5.2
BAB 5 BIDANG DATAR 60
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
di antara dan maka jarak ke
adalah .
4. Akibat dari pernyataan no. 3 di peroleh suatu persamaan
bidang datar . Karena
titik pada berarti terpebuhi persamaan
Atau
Jadi, jarak sebuah titik ke bidang datar
adalah
| |
5. Jika , maka jarak titik ke
adalah
|
√ |
Contoh 5.3
Hitunglah jarak antara bidang datar
dengan titik .
Penyelesaian:
Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di
bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda
punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan
dalam lembar kegiatan kelompok anda.
Untuk menyelesaikan persoalan di atas, dengan menggunakan
persamaan:
|
√ |
Subtitusikan nilai dan titik ke dalam persamaan
tersebut sehingga diperoleh,
|
√ |
|
√ |
|
|
BAB 5 BIDANG DATAR 61
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Jadi, jarak titik ke bidang datar
adalah 5.
Sedangkan untuk menentukan jarak antara dua bidang datar
yang sejajar, maka perhatikan langkah-langkah berikut.
1. Misalkan dan
2. Jika bidang datar sejajar dengan bidang datar maka jarak
antara dan dapat dihitung dengan cara mencari
sebuah titik pada , misalkan titiknya adalah
Kemudian kita dapat menghitung jarak titik
ke bidang datar .
3. Begitu juga sebaliknya jika kita mencari sebuah titik pada
misalkan titiknya adalah . Kemudian kita dapat
menghitung jarak titik ke bidang datar .
4. Perlu diingat bahwa, jarak titik ke bidang datar
dan jarak titik ke bidang datar , akan memiliki
jarak yang sama, karena kedua bidang datar tersebut sejajar.
Contoh 5.4
Hitung jarak antara bidang datar dan bidang
datar
Penyelesaian:
Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di
bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda
punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan
dalam lembar kegiatan kelompok anda.
Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, pertama sekali kita
buktikan apakah kedua bidang datar tersebut sejajar atau tidak?
1. Syarat dari bidang datar adalah memiliki vektor normal
yang sama atau . Perhatikan vektor normal kedua
bidang datar yaitu [ ] dan [ ], karena
berarti .
2. Ambil sebarang titik pada bidang datar yaitu .
Subtitusikan titik tersebut ke bidang datar sehingga di
peroleh nilai . Jadi, titik
3. Kemudian carilah jarak titik ke bidang datar
dengan menggunakan persamaan (19) yaitu:
BAB 5 BIDANG DATAR 62
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
|
√ |
Subtitusikan nilai
dan ke dalam persamaan yaitu:
|
√ |
|
√ |
√
Jadi, jarak antara bidang datar dan bidang
datar adalah √ .
5.2.2 Garis Lurus sebagai Perpotongan Dua Bidang Datar
Di dalam Ilmu Ukur Analitik Ruang, garis lurus dinyatakan sebagai
perpotongan dua buah bidang datar yang tidak sejajar. Suatu
garis lurus dapat dinyatakan sebagai perpotongan sebarang dua
bidang datar yang melalui garis lurus tersebut. Untuk mengubah
bentuk persamaan garis lurus dari perpotongan dua buah bidang
datar ke bentuk umumlakukan lanhkah berikut.
1. Kita misalkan garis lurus adalah perpotongan dua buah
bidang datar dan
seperti yang terlihat pada Gambar 6.2 di
bawah ini.
Gambar 5.3 Garis lurus adalah perpotongan dua buah bidang datar
BAB 5 BIDANG DATAR 63
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Berdasarkan Gambar 5.3, maka bentuk persamaan garis lurus
dapat di tulis menjadi:
{
2. Untuk menentukan vektor arah dari garis lurus perpotongan
dua buah bidang datar, perhatikan Gambar 5.4 berikut:
Gambar 5.4 Garis lurus perpotongan dua buah bidang datar
3. Dari Gambar 5.4, terlihat vektor normal bidang datar adalah
[ ] dan [ ]. Jelas bahwa
merupakan vektor arah dari garis adalah:
[ ] |
|
[|
| |
| |
|]
4. Untuk mengubah bentuk persamaan menjadi
bentuk persamaan umum garis lurus yaitu:
Dan menentukan koordinat titik .
5. Untuk menentukan koordinat titik , ambil sebarang
titik pada garis lurus. Biasanya titik yang diambil adalah titik
potong dengan bidang berkoordinat, misalnya pada bidang
maka , diperoleh persamaan:
{
BAB 5 BIDANG DATAR 64
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
6. Untuk mencari nilai dan dari persamaan di atas, dapat
diselesaikan dengan menggunakan determinan atau dengan
cara eliminasi dan subtitusi. Jika persamaan di atas diselesai-
kan dengan cara determinan dapat dilakukan dengan cara:
|
|
|
|
dan |
|
|
|
Jadi, diperoleh titik .
Contoh 5.4
Persamaan dan adalah persamaan-
persamaan garis lurus yang merupakan perpotongan bidang-bidang
dan
Penyelesaian:
Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di
bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda
punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan
dalam lembar kegiatan kelompok anda.
Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, pertama sekali
kita cari vektor arah dari persamaan dan
adalah:
Dimana |
|
|
|
|
|
Jadi, vektor arah garis lurus adalah [ ]
Sekarang kita cari titik dengan cara determinan. Ambil
maka diperoleh suatu persamaan dan .
|
|
|
|
|
|
|
|
BAB 5 BIDANG DATAR 65
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Jadi, titik yang melalui garis lurus tersebut merupakan
perpotongan ke dua buah bidang datar dan adalah .
Sehingga diperoleh persamaan garis lurus adalah:
[ ] [ ] [ ].
5.2.3 Berkas Bidang Datar dan Jaringan Bidang Datar
Untuk memperoleh persamaan berkas bidang datar dan jaringan
bidang datar, perhatikan dan pahami langkah-langkah dibawah ini.
1. Misalkan ada 2 buah bidang datar
berpotongan dengan , maka
perpotongannya berbentuk garis lurus seperti yang terlihat
pada Gambar 6.4 di bawah ini.
Gambar 5.6 Dua buah bidang berpotongan membentuk garis lurus
2. Setiap titik pada garis potong tersebut akan memenuhi
persamaan , dimana dan adalah
parameter. Persamaan di atas merupakan himpunan bidang-
bidang yang melalui garis potong dan bila ,
sehingga dapat kita tulis menjadi:
Jadi, persamaan berkas bidang melalui garis potong antara
bidang datar dan adalah
Jika bidang datar sejajar dengan bidang datar
maka persamaan berkas bidang datar dapat di tulis menjadi:
atau
BAB 5 BIDANG DATAR 66
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Contoh 5.7
Carilah persamaan bidang yang melalui titik dan melalui
garis potong bidang-bidang dan .
Penyelesaian:
Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di
bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda
punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan
dalam lembar kegiatan kelompok anda.
Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, pertama sekali
kita tentukan persamaan bidang datar dengan menggunakan
persamaan di atas yaitu:
............................................ (1)
Dari persamaan (1) kita kelompokkan berdasarkan variabelnya
(variabel yana sama) seperti
. Karena bidang datar melalui titik maka
kita substitusikan titik tersebut ke persamaan
sehingga diperoleh nilai .
Setelah di peroleh nilai , kita subsitusikan ke persamaan
(1) diperoleh persamaan . Jadi dapat disimpulkan
persamaan bidang datar adalah .
Sedangkan untuk memperoleh persamaan jaringan bidang
datar perhatikan dan pahami langkah-langkah dibawah ini.
1. Pandang bidang-bidang dan yang tidak
melalui satu garis lurus yang sama (bukan dalam satu berkas).
Seperti yang terlihat pada Gambar 5.6
Gambar 5.6 Bidang-bidang yang tidak melalui garis lurus yang sama
BAB 5 BIDANG DATAR 67
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
2. Bentuk yang menyatakan kumpulan bidang-
bidang yang melalui titik potong ke 3 bidang tersebut. Pada
Gambar 6.7 titik potong ke 3 bidang tersebut adalah titik . Dan
kumpulan bidang-bidang tersebut disebut dengan jaringan
bidang.
Contoh 5.7
Tentukan persamaan bidang datar yang sejajar dengan
bidang dan melalui titik potong bidang-bidang
dan .
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dengan
memisalkan persamaan bidang datar
subsitusikan ketiga bidang datar tersebut kepersamaan
sehingga diperoleh suatu persamaan,
..................................................... (1)
Karena bidang datar sejajar dengan bidang datar
maka vektor normal bidang datar sama dengan vektor
normal bidang datar yaitu [ ] [ ]. Sehingga diperoleh
nilai dan . Nilai dan tersebut kita
substitusikan ke persamaan (1) menjadi .
Jadi dapat disimpulkan persamaan bidang datar adalah
BAB 5 BIDANG DATAR 68
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
LATIHAN
1. Carilah persamaan bidang datar yang melalui titik:
a. dan tegak lurus dengan bidang datar
b. dan tegak lurus dengan kedua bidang datar
dan .
2. Tentukan jarak:
a. Titik ke bidang datar
b. Titik ke bidang datar
c. Antara dua bidang datar dan bidang
datar .
3. Tentukanlah persamaan bidang datar yang sejajar dengan
bidang datar berjarak dari titik
4. Tentukanlah persamaan bidang datar yang melalui titik potong
bidang-bidang , dan
dan sejajar dengan bidang datar
5. Tentukan sudut antara bidang dengan bidang
6. Tentukan persamaan bidang datar yang melalui garis
potong bidang datar dan
serta tegak lurus dengan bidang datar
.
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 69
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
BAB 6
LINGKARAN DAN BOLA
Pada BAB 6 ini akan dibahas tentang merumuskan persamaan
lingkaran dan bola, menentukan persamaan garis singgung
lingkaran, bola dan bidang rata serta kuasa titik.
Persamaan Lingkaran dan Bola
6.1.1 Persamaan Lingkaran dan Bola
a. Persamaan Lingkaran
Bisakah Anda menyebutkan benda-benda yang berbentuk
lingkaran yang Anda temukan dalam kehidupan sehari-hari? Dan
sudah berapa banyak bangun datar berbentuk lingkaran yang
pernah Anda lihat? Tentu Anda akan mengatakan banyak sekali
benda-benda berbentuk lingkaran yang pernah Anda lihat dan
temukan dalam kehidupan sehari-hari. Beberapa diantaranya
adalah Roda delman, Roda sepeda, gelang, cincin, hula hoop,
kincir angin dan lain-lain.
Gambar 6.1 Contoh lingkaran dalam kehidupan sehari-hari
Tahukah Anda kenapa benda-benda di atas dibuat dalam
bentuk lingkaran? Benda-benda di atas dibuat dalam bentuk
lingkaran karena bertujuan untuk keeleganan, kecantikan,
kepraktisan, dan kenyamanan. Tentu Anda tidak akan nyaman
menaiki sepeda jika roda sepeda tidak berbentuk lingkaran.
Lingkaran-lingkaran tersebut mempunyai ukuran dan letak yang
berbeda-beda. Ukuran lingkaran ditentukan oleh panjang jari-jarinya
sedangkan letaknya ditentukan oleh posisi titik pusatnya. Lingkaran
Kegiatan Pembelajaran 6.1
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 70
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap
sebuah titik tertentu. Dalam hal ini, jarak dan titik yang dimaksud
berturut-turut disebut dengan jari-jari dan titik pusat lingkaran.
Persamaan lingkaran dapat dibentuk dengan mengetahui tempat
kedudukan titik pusat dari lingkaran tersebut. Rincian mengenai
persamaan lingkaran adalah sebagai berikut.
1. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0)
Untuk menentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik
O(0,0) perhatikan Gambar 6.2.
Gambar 6.2 Lingkaran yang berpusat di titik O(0,0)
Pada Gambar 6.2 diketahui O(0,0) adalah titik pusat lingkaran,
r adalah jari-jari lingkaran dan titik P(x,y) adalah titik pada
lingkaran. Persamaan lingkarannya adalah:
OP = r
(OP)2 = r2
(x - 0)2 + (y - 0)2 = r2
x2 + y2 = r2
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) adalah
x2 + y2 = r2
Contoh 6.1
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0)
dengan jari-jari 4 cm!
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 71
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Penyelesaian:
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dengan jari-
jari 4 cm adalah: x2 + y2 = (4)2
x2 + y2 = 16
Contoh 6.2
Diketahui persamaan lingkaran x2 + y2 = 48. Tentukan jari-jari
dari lingkaran tersebut!
Penyelesaian:
Persamaan x2 + y2 = 48 memiliki bentuk umum x2 + y2 = r2.
Dengan demikian diperoleh r2= 48, maka r = 4√ . Jadi jari-jari
dari lingkaran tersebut adalah r = 4√ .
2. Persamaan lingkaran yang berpusat di A(p,q)
Untuk menentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik
A(p,q) perhatikan Gambar 6.3.
Gambar 6.3 Lingkaran yang berpusat di titik A(p,q)
Pada Gambar 6.3 diketahui A(p,q) adalah titik pusat lingkaran, r
adalah jari-jari lingkaran dan titik B(x,y) adalah titik pada
lingkaran. Persamaan lingkarannya adalah:
AB = r
(AB)2 = r2
(x-p)2 + (y-q)2 = r2
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di titik A(p,q) adalah
(x - p)2 + (y - q)2 = r2
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 72
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Contoh 6.3:
Tentukan persamaan lingkaran berikut.
a. berpusat dan berjari-jari 5
b. berpusat dan berjari-jari √
Penyelesaian:
a. Persamaan lingkaran yang berpusat dan berjari-jari 5
adalah:
(x-p)2 + (y-q)2 = r2
(x-1)2 + (y-2)2 = 52
b. Persamaan lingkaran yang berpusat dan berjari-jari
√
(x-p)2 + (y-q)2 = r2
(x-(-2))2 + (y-3)2 = r2
(x+2)2 + (y-3)2 = r2
3. Bentuk umum persamaan lingkaran
Pada uraian di atas telah dinyatakan bahwa lingkaran yang
berpusat di titik A dan berjari-jari mempunyai persamaan
. Jika persamaan ini dijabarkan, maka
akan di peroleh:
Jika kita misalkan , , dan ,
maka kita peroleh persamaan
Persamaan tersebut disebut persamaan umum lingkaran.
Dari persamaan di atas kita dapatkan dan ,
sehingga
Dengan demikian, bentuk umum persamaan lingkaran di atas
dapat kita ubah menjadi
𝑥 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 73
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
.
.
Dengan memperhatikan bentuk terakhir ini, dapat kita
simpulkan bahwa lingkaran
Mempunyai titik pusat dan jari-jari √ .
Dengan memperhatikan nilai ini, maka lingkaran tersebut
hanya ada apabila .
Catatan:
Jika , maka panjang jari-jari lingkaran adalah 0
(nol). Dalam hal ini, lingkarannya disebut lingkaran titik.
Contoh 6.4:
Carilah persamaan lingkaran dalam bentuk umum, untuk lingkaran
dengan titik pusat dan jari-jarinya berturut-turut adalah sebagai
berikut.
a. Titik pusat (2, 5), jari-jari 3.
b. Titik pusat (5, -4), jari-jari √ .
c. Titik pusat (-2, -1), jari-jari √ .
Penyelesaian:
a. Lingkaran yang berpusat di (2, 5) dan berjari-jari 3 mempunyai
persamaan
.
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di (2, 5) dan berjari-
jari 3 adalah .
b. Lingkaran yang berpusat di (5, -4) dan berjari-jari √
mempunyai persamaan
.
.
.
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 74
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di (5, -4) dan berjari-
jari √ adalah .
c. Lingkaran yang berpusat di (-2, -1) dan berjari-jari √
mempunyai persamaan
.
.
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di (-2, -1) dan berjari-
jari √ adalah .
Contoh 6.5
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (3,-1), (5,3) dan
(6,2). Kemudian tentukan pula pusat dan jari-jari dari lingkaran
tersebut!
Penyelesaian:
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah
.
Untuk titik (3,-1) dibentuk persamaan (1) sebagai berikut.
6a – 2b + c = -10
Untuk titik (5,3) dibentuk persamaan (2) sebagai berikut.
10a + 6b + c = -34
Untuk titik (6,2) dibentuk persamaan (3) sebagai berikut.
12a + 4b + c = -40
Penyelesaian dari persamaan (1), (2), dan (3) dapat ditentukan
dengan menggunakan metode eliminasi, eliminasi-substitusi dan
matriks. Berikut ini akan diselesaikan dengan mengguna-kan
metode eliminasi-substitusi.
Eliminasi persamaan (1) dengan (2):
6a – 2b + c = -10
10a + 6b + c = -34
-------------------------- -
-4a – 8b = 24
-a – 2b = 6 .................................................................... (4)
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 75
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Eliminasi persamaan (1) dengan (3):
6a – 2b + c = -10
12a + 4b + c = -40
-------------------------- -
-6a – 6b = 30
-a – b = 5 ......................................................................5)
Eliminasi persamaan (4) dengan (5):
-a – 2b = 6
-a – b = 5
----------------------- -
-b = 1
b = -1
Substitusi b = -1 pada persamaan (4):
-a – 2b = 6
-a – 2 (-1) = 6
-a + 2 = 6
a = -4
Substitusi a = -4 dan b = -1 ke persamaan (1):
6a – 2b + c = -10
6(-4) – 2(-1) + c = -10
-24 + 2 + c = -10
-22 + c = -10
c = 12
Persamaan lingkaran dengan a = -4, b = -1 dan c = 12 adalah:
.
.
.
Pusat lingkaran adalah P(-a,-b),
diperoleh P(4,1).
Jari-jari lingkaran adalah:
√
√
√
b. Posisi Suatu Titik Terhadap Suatu Lingkaran
Untuk mengetahui posisi suatu titik tertentu terhadap
suatu lingkaran , kita hitung jarak titik
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 76
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
ke pusat lingkaran . Misalkan jarak tersebut adalah d,
yaitu √ . Selanjutnya kita bandingkan jarak
ini dengan jari-jari lingkaran r.Kemungkinan-kemungkinan
hubungan dengan adalah sebagai berikut.
1. yang berarti atau
sesuai dengan definisi lingkaran (lihat Gambar 2.10 (i)), maka
titik terletak pada lingkaran.
2. (lihat Gambar 2.10 (ii)), yang berarti atau
. Untuk keadaan ini, kita katakan titik
terletak di dalam lingkaran.
3. (lihat Gambar 2.10 (iii)), yang berarti atau
. Untuk keadaan ini, kita katakan titik
terletak diluar lingkaran.
Contoh :
Tuliskan posisi masing-masing titik berikut terhadap lingkaran yang
diberikan.
a. Titik terhadap lingkaran .
b. Titik terhadap lingkaran
c. Titik terhadap lingkaran
Penyelesaian:
a.
Pusat lingkaran: Kuadrat jarak titik ke pusat
lingkaran adalah . Karena , maka titik
terletak di dalam lingkaran .
b.
Pusat lingkaran: Kuadrat jarak titik ke pusat
lingkaran adalah . Karena
, maka terletak di luar
lingkaran
c.
Pusat lingkaran: . Kuadrat jarak titik ke pusat
lingkaran adalah . Karena
, maka titik terletak pada
lingkaran .
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 77
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
c. Persamaan Bola
Dalam kehidupan sehari-hari, Anda tentunya sering menjumpai
benda-benda berbentuk bola seperti ditunjukkan pada gambar 6.3
berikut.
Gambar 6.3
Bola (permukaan bola) adalah himpunan titik-titik di ruang
dimensi tiga yang berjarak sama dari suatu titik tertentu.
Selanjutnya jarak yang sama itu disebut dengan jari-jari bola
sedangkan titik tertentu itu dinamakan dengan titik pusat bola.
Permukaan bola merupakan tempat kedudukan titik-titik ujung
vektor di dalam ruang yang titik awalnya tertentu dan panjang
vektor tersebut konstan. Perhatikan Gambar 6.4 berikut.
Gambar 6.4
Gambar 6.4 menunjukkan gambar sebuah bola pada ruang.
Bola tersebut berpusat di titik A(a,b,c) dan berjari-jari r. Untuk
menentukan persamaan bola perhatikan uraian berikut.
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 78
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
1. Persamaan bola yang berpusat di titik O(0,0,0) dan berjari-
jari r
Untuk menentukan persamaan bola yang berpusat di titik
A(a,b,c), pelajari langkah-langkah berikut.
a. Buatlah gambar sebuah bola pada ruang dimensi tiga,
dengan titik pusat O(0,0,0) dan jari-jari .
b. Buatlah sebuah titik sebarang pada permukaan
bola tersebut.
c. Vektor ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ dengan
, dengan demikian diperoleh
| | ⟨ ⟩
| | √
d. Karena adalah sebarang titik pada permukaan
bola, maka persamaan merupakan
persamaan bola dengan pusat O(0,0,0) dan jari-jari = .
Jadi dapat disimpilkan bahwa persamaan bola dengan
pusat O(0,0,0) dan jari-jari = adalah:
𝑥 𝑦 𝑧 𝑟
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 79
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
2. Persamaan bola yang berpusat di titik A(a,b,c) dan berjari-
jari r
a. Buatlah gambar sebuah bola pada ruang dimensi tiga,
dengan titik pusat dan jari-jari .
b. Buatlah sebuah titik sebarang pada permukaan
bola tersebut.
Gambar 6.5
c. Vektor ⟨ ⟩ dengan ,
| | ⟨ ⟩, kemudian kuadratkan vektor
tersebut, sehingga persamaannya menjadi:
| | √ , | |
jari-jari bola
d. Karena adalah sebarang titik pada permukaan
bola, maka persamaan
merupakan persamaan bola dengan pusat dan
jari-jari = .
Jadi persamaan bola dengan pusat dan jari-jari =
adalah:
𝒙 𝒂 𝟐 𝒚 𝒃 𝟐 𝒛 𝒄 𝟐 𝒓𝟐
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 80
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Contoh 6.4:
Tentukan persamaan bola yang berpusat di titik (1,2,3) dan
melalui titik (2,4,1).
Penyelesaian:
Jari-jari bola adalah jarak dua titik yang diketahui tersebut, yaitu
√ √
persamaan bola yaitu
Selanjutnya dengan menggunakan persamaan tersebut
substitusikan jari-jari 3 dan titik pusat (1,2,3) sehingga
diperoleh:
Sehingga diperoleh persamaan bola yaitu:
3. Bent uk Umum Persamaan Bola
Untuk menentukan bentuk umum persamaan bola, pelajari
langkah-langkah berikut.
1. Tulis kembali bentuk persamaan bola yang berpusat di titik
A , yaitu
2. Jabarkan persamaan tersebut, sehingga diperoleh
3. Kemudian lakukan pemisalan.
dan
Maka persamaan bola tersebut dapat ditulis menjadi,
Selanjutnya, akan ditentukan koordinat titik pusat dan jari-jari
dari bola dari persamaan .
Persamaan ini diubah dalam bentuk kuadrat sempurna dari ,
dan sebagai berikut:
(
) (
) (
)
Selanjutnya, persamaan tersebut dijadikan ke dalam bentuk
(
)
(
)
(
)
z z
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 81
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Dari persamaan tersebut diperoleh titik pusat bola yaitu
(
) dan jari-jarinya adalah
√
.
atau
Dari persamaan umum bola
,
dengan , , dan
,
maka diperoleh
,
, dan
.
Berarti pusat bola itu adalah
Kemudian , atau
(
)
(
)
(
)
Maka √
, ini merupakan rumus untuk
menghitung jari-jari bola.
Dari persamaan dan jari-jari di atas, dapat disimpulkan tiga
kemungkinan, yaitu:
(i) Jika
maka . Kondisi ini
memperlihatkan bentuk bola yang disebut bola nyata
(sejati).
(ii) Jika
, maka . Kondisi ini
memperlihatkan bentuk bola yang disebut dengan bola
titik.
(iii) Jika
, maka imajiner. Kondisi ini
memperlihatkan bentuk bola yang disebut dengan bola
khayal (imajiner).
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 82
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Contoh 6.6:
Jika diketahui tiga buah titik ,
dan yang tidak sebidang pada suatu persamaan umum
bola, yaitu
yang mengandung empat parameter yaitu , dan D
bagaimanakah bentuk persamaan bola tersebut?.
Penyelesaian:
Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah
ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya
temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam
lembar kegiatan kelompok anda.
untuk menentukan persamaan umum bola tersebut dapat
digunakan cara determinan dan cara subsitusi-eliminasi.
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 83
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
LATIHAN
1. Perhatikan gambar berikut.
Tentukan:
a. Koordinat titik pusat lingkaran
b. Jari-jari lingkaran
c. Persamaan lingkaran
2. Tentukan persamaan lingkaran dengan titik pusat dan jari-jari
sebagai berikut.
a. O (0,0) dan r = 9 cm
b. A(3,6) dan r = 5 cm
c. C(-5,7) dan r = 4 cm
3. Diketahui persamaan lingkaran x2 + y2 -2x + 4y + 1 = 0. Jika
pusat lingkaran adalah P(a,b) maka tentukan nilai dari 10a –
5b!
4. Diberikan persamaan lingkaran x2 + y2 -4x + 2y - 4= 0. Titik A
memiliki koordinat (2,1). Tentukan posisi titik tersebut, apakah
di dalam lingkaran, di luar lingkaran, atau pada lingkaran!
5. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik A(0,2), B(3,3)
dan C(6,2)!
6. Tentukan persamaan bola yang:
a. Berpusat di titik (2,3,-1) dan berjari-jari 4 cm
b. Mempunyai diameter ruas garis yang menghubungkan (6,
2, -5) dan (-4, 0, 7)
7. Tentukan persamaan bola yang melalui titik (1,1,1), (1,2,1),
(1,1,2), (2,1,1)!
8. Tentukan koordinat pusat dan jari-jari dari bola dengan
persamaan x2 + y2 + z2 - 2x + 4y – 6z + 5 = 0!
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 84
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Garis Singgung Lingkaran dan Kuasa Lingkaran
6.2. Garis Singgung Lingkaran dan Kuasa Lingkaran
6.2.1 Garis Singgung Lingkaran
Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran
pada satu titik. Gambar realistik dan narasi
a. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik
1. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di O(0,0)
melalui titik (x1, y1)
Garis singgung lingkaran yang berpusat di O(0,0) melalui titik
(x1, y1) dapat ditunjukkan pada Gambar berikut.
Gambar 6.8
Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang
berpusat di O(0,0) melalui titik (x1, y1) pelajari langkah-langkah
berikut.
a) Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) adalah x2 +
y2 = r2.
b) Titik A(x1, y1) berada pada lingkaran. Titik A memenuhi
persamaan
.
c) Persamaan garis k yang melalui titik A(x1, y1) dengan
gradien m adalah . Gradien garis k yang
Kegiatan Pembelajaran 6.2
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 85
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
melalui titik (x1, y1) adalah
. Dengan demikian,
persamaan garis k menjadi:
d) Diperoleh kesimpilan:
Jika titik A(x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2 maka garis
singgung lingkaran yang melalui titik A adalah
Contoh 6.5
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25
melalui titik (4,-3)!
Penyelesaian:
Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 melalui titik
(4,-3) adalah:
2. Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik A (x1, y1) pada
lingkaran yang berpusat di P(a,b)
Garis singgung lingkaran melalui titik A(x1, y1) pada lingkaran
yang berpusat di P(a,b) ditunjukkan pada Gambar 6.9 berikut.
Gambar 6.9
𝑦 𝑦 𝑥 𝑥 𝑟
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 86
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang
berpusat di P(a,b) melalui titik A(x1, y1) pelajari langkah-
langkah berikut.
a) Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a,b) adalah
b) Titik A(x1, y1) berada pada lingkaran. Titik A memenuhi
persamaan
c) Persamaan garis k yang melalui titik A(x1, y1) dengan
gradien m adalah . Gradien garis k yang
melalui titik (x1, y1) adalah
. Dengan demikian,
persamaan garis k menjadi:
d) Diperoleh kesimpulan:
Jika titik A(x1, y1) pada lingkaran
maka garis singgung lingkaran yang melalui titik A
adalah
Contoh 6.8
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran
melalui titik (2,-2)!
Penyelesaian:
Persamaan garis singgung lingkaran
melalui titik (2,-2) adalah:
𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 𝑦 𝑏 𝑟
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 87
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
b. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien
Tertentu.
1. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Berpusat di (0,0)
dengan gradien m
Garis singgung lingkaran yang berpusat di (0,0) dengan
gradien m dapat dilihat pada gambar berikut.
Gambar 6.6
Untuk menentukan garis singgung lingkaran yang berpusat di
(0,0) dengan gradien m pelajari langkah-langkah berikut.
a) Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) adalah x2 +
y2 = r2 dan persamaan garis dengan gradien m adalah
b) Substitusi ke persamaan lingkaran, diperoleh:
c) Nilai diskriminan dari
adalah:
d) Karena garis menyinggung lingkaran maka nilai
diskriminan D=0.
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 88
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
√
e) Substitusi √ ke persamaan garis y = mx+n,
diperoleh
√
f) Jadi diperoleh kesimpulan, persamaan garis singgung
lingkaran yang berpusat di (0,0) dengan gradien m adalah:
Contoh 6.10
2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Berpusat di P(a,b)
dengan gradien m
Garis singgung lingkaran yang berpusat di P(a,b) dengan
gradien m ditunjukkan pada Gambar berikut.
Gambar 6.6
Untuk menentukan garis singgung lingkaran yang berpusat di
P(a,b) dengan gradien m pelajari langkah-langkah berikut.
a) Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a,b) adalah
dan persamaan garis dengan
gradien m adalah
𝑦 𝑚𝑥 𝑟√ 𝑚
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 89
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
b) Substitusi ke persamaan lingkaran, diperoleh:
( )
c) Nilai diskriminannya adalah:
( )
d) Karena garis menyinggung lingkaran maka nilai
diskriminan D=0.
√
√
e) Substitusi √ ke persamaan garis y
= mx+n, diperoleh
√
√
f) Jadi diperoleh kesimpulan, persamaan garis singgung
lingkaran yang berpusat di P(a,b) dengan gradien m adalah:
c. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui
Sebuah Titik di Luar Lingkaran
Garis singgung lingkaran yang melalui sebuah titik di luar
lingkaran O(0,0) ditunjukkan pada Gambar berikut.
𝑦 𝑏 𝑚 𝑥 𝑎 𝑟√ 𝑚
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 90
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Gambar 6.11
Persamaan garis singgung yang melalui titik tersebut
dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut denagn langkah-
langkahnya adalah:
1. Titik berada di luar lingkaran .
2. Dari titik dapat dibuat 2 buah garis singgung lingkaran yaitu
dan . Garis menyinggung lingkaran di ; garis
menyinggung lingkaran di . Jadi, titik merupakan titik
potong garis singgung dan .
3. Tentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan
persamaan garis singgung yang melalui titik yaitu
. Titik pada , sehingga diperoleh
. Itu berarti pada garis
4. Tentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan
persamaan garis singgung diperoleh . Itu berarti
pada persamaan
5. Diperoleh persamaan garis (garis penghubung antara titik
dan yaitu , yang juga di sebut garis kutub atau
garis polar dari titik terhadap lingkaran
adalah
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 91
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Berdasarkan langkah di atas berlaku:
1. Persamaan garis kutub (polar) dari titik terhadap
lingkaran adalah
2. Persamaan garis kutub (polar) dari titik terhadap
lingkaran adalah
Untuk menentukan persamaan garis singgung dari titik
di luar lingkaran baik yang berpusat di maupun
yang berpusat di pelajari langkah-langkah sebagai berikut:
1. Membuat garis kutub (polar) dari titik terhadap lingkaran.
2. Mencari koordinat titik potong garis kutub dengan lingkaran.
3. Menentukan persamaan garis singgung di titik potong antara
garis kutub (polar) dan lingkaran tersebut.
6.2.2 Kuasa Lingkaran
1. Kuasa Titik Terhadap Lingkaran
Definisi:
Misalkan persamaan lingkaran dan titik
. Kuasa titik terhadap lingkaran adalah
suatu konstanta dengan
.
Ada tiga jenis kemungkinan nilai , yaitu:
a. , berarti titik di luar lingkaran
b. , berarti titik pada lingkaran
c. , berarti titik di dalam lingkaran
Untuk menentukan kuasa titik terhadap lingkaran, pelajari
langkah-langkah berikut.
1) Gambarlah sebuah lingkaran dengan pusat , jari-jari ,
satu titik diluar lingkaran dan 4 titik berada pada lingkaran
yang terlihat pada gambar di bawah ini.
b b
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 92
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Gambar 6.13
2) Perhatikan gambar 6.13, melalui titik dapat ditarik
banyak sekali garis-garis yang memotong lingkaran
masing-masing di dua titik, dan menyinggung lingkaran
dititik dan .
Gambar di atas dalam geometri berlaku bahwa:
| || | | || | | || | | | | |
| | . Maka hasil kali ini disebut kuasa titik terhadap
lingkaran. Sekarang akan dihitung besarnya kuasa titik
terhadap lingkaran tersebut. Misalkan dan
persamaan lingkaran adalah
dengan pusat (
)dan kuadrat jari-jarinya
adalah
.
Kuasa titik T terhadap lingkaran tersebut adalah
| || | | | | |
| |
(
)
(
)
Jadi, kuasa titik pada lingkaran adalah
adalah
Kuasa
suatu titik dapat bernilai positif, nol atau negatif berturut-
turut apabila titik itu di luar, pada atau di dalam lingkaran.
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 93
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Jika persamaan lingkaran dalam bentuk
, maka kuasa titik terhadap
adalah:
2. Garis Kuasa
Definisi
Garis kuasa adalah tempat kedudukan titik-titik yang
mempunyai kuasa yang sama terhadap dua buah lingkaran.
Sudut perpotongan dua lingkaran adalah sudut antara garis
singgung-garis singgung pada salah satu titik potong ke dua
lingkaran itu, atau sudut antara jari-jari yang mengarah ke titik
potong tersebut.
Gambarkan dua lingkaran dan yang masing-masing
berpusat di dan . Misalkan ke dua lingkaran itu
berpotongan di titik dan .
Gambar 6.14
adalah sentral ke dua lingkaran. Garis (atau garis )
adalah garis singgung lingkaran dan garis (atau garis
) adalah garis singgung lingkaran . Misalkan adalah
sudut antara dan (yaitu sudut yang dibentuk oleh
perpotongan garis singgung dan ).
𝑘 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 𝑟
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 94
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Beberapa sifat dari garis kuasa adalah sebagai berikut:
1. Garis kuasa dari dua buah lingkaran selalu tegak lurus
terhadap garis sentralnya.
2. Apabila kedua lingkarannya saling bersinggungan, maka garis
kuasanya adalah garis singgung di titik singgungnya.
3. Jika kedua lingkaran saling berpotongan, maka garis kuasanya
adalah tali busur persekutuannya.
4. Tiga buah lingkaran hanya mempunyai satu kuasa, yaitu titik
potong dari garis kuasa setiap dua buah lingkaran.
Contoh 6.14
Tentukan garis kuasa lingkaran dengan
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, kita dapat
menggunakan persamaan sehingga diperoleh,
Jadi, persamaan garis kuasa lingkaran adalah
3. Titik Kuasa
Misalkan adalah tiga lingkaran yang pusat-pusatnya
tidak berada pada satu garis lurus (konsentris). Ketiga
lingkaran tersebut mempunyai tiga garis kuasa yang saling
berpotongan di satu titik. Titik potong ketiga garis ini disebut
titik kuasa seperti yang terlihat pada Gambar 6.15 dan
dilambangkan dengan:
atau {
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 95
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Gambar 6.15
Jika ketiga lingkaran adalah konsentris maka garis-garis
kuasanya sejajar, dan ini berarti titik kuasa ketiga lingkaran
berada di titik tak hingga.
4. Berkas Lingkaran
Misalnya diketahui 2 buah lingkaran dan sembarang yang
saling berpotongan, maka kumpulan dari semua lingkaran yang
melalui titik potong kedua lingkaran tersebut dinamakan
dengan berkas lingkaran. Persamaan dari berkas lingkaran
yang melalui titik potong dan adalah:
Di mana adalah konstanta.
Contoh 6.16
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik potong
lingkaran dan
dan pusatnya terletak pada garis
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali
kita misalkan
dan
𝐿 𝜆𝐿
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 96
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Lingkaran yang melalui titik potong dan akan membentuk
berkas lingkaran dengan persamaan sehingga
diperoleh,
Adalah persamaan lingkaran yang berpusat di titik :
(
)
(
{
}
{
})
Selanjutnya, karena pusat lingkaran terletak pada garis
sehingga diperoleh nilai dengan
mensubstitusikan titik pusat lingkaran ke persamaan garis
tersebut, menjadi:
(
) (
)
Jadi, diperoleh nilai .
Setelah diperoleh nilai , substitusikan ke persamaan (1)
menjadi,
Jadi, persamaan lingkaran adalah
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 97
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
LATIHAN
1. Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran yang melalui
titik O(0,0) pada lingkaran
2. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
yang melalui titik (6,8)
3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran
di titik (1, 2)
4. Tentukan harga k, agar dan lingkaran
.
a. berpotongan di dua titik
b. bersinggungan
c. tidak berpotongan.
5. Tentukan kuasa titik A(1,4) terhadap lingkaran
dan tentukan pulaletak titik A terhadap lingkaran.
6. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik P(1,1), Q(1,-1)
dan R(2,0)
7. Tentukan sebuah titik yang mempunyai kuasa yang sama
terhadap ketiga lingkaran ,
dan .
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 98
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Bola dan Bidang Rata
6.3.1 Bola dan Bidang Rata
1. Kedudukan Bola dan Bidang Rata
Langkah-langkahnya:
a. Lukislah suatu lingkaran dengan , berarti bola
berpotongan dengan bidang rata , seperti yang terlihat
pada Gambar 6.18 di bawah ini.
Gambar 6.19
b. Perpotongan Bola dengan bidang rata akan
membentuk sebuah lingkaran dengan persamaan lingkaran
adalah:
,
Untuk menentukan pusat dan jari-jari lingkaran
berpotongan tersebut lakukanlah langkah-langkah di bawah ini.
a. Perhatikan siku-siku di . adalah titik pusat
lingkaran.
b. Untuk menentukan jari-jari lingkaran kita dapat
menggunakan dalil pythagoras yaitu
sehingga diperoleh:
Kegiatan Pembelajaran 6.3
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 99
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
√
Jadi, jari-jari lingkaran yang disimbolkan dengan adalah:
√ ................................... (25)
c. Untuk menyatakan persamaan lingkaran di dalam ruang,
kita dapat mengambil sebuah bola dan sebuah
bidang rata yang saling berpotongan menurut
lingkaran tersebut. Jadi, persamaan lingkaran dinyatakan
dengan dua persamaan yaitu:
,
........................................ (26)
d. Selain berpotongan bola dan bidang rata, suatu lingkaran
dapat pula dinyatakan sebagai berikut:
(1) Perpotongan antara bola dengan bola
(2) Perpotongan silinder (tabung) atau kerucut lingkaran
tegak lurus dengan bidang paralelnya(=bidang yang
tegak lurus poros) seperti yang terlihat pada Gambar
9.2 (a) dan (b) di bawah ini.
Gambar 9.2 (a) Bidang Rata dan Tabung
Gambar 9.2 (b) Bidang Rata dan Kerucut
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 100
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
e. Dari persamaan (26) di atas, kita dapat menentukan titik
pusat lingkaran tersebut yaitu dengan cara:
(1) Pusat lingkaran adalah titik tembus antara garis
dengan bidang rata . Garis tegak lurus
dengan bidang rata , berarti vektor arah garis
sama dengan vektor normal bidang rata atau
dapat ditulis menjadi [ ] [ ].
Persamaan garis {
...................... (1)
(2) Subsitusikan persamaan (1) ke persamaan bola
sehingga diperoleh nilai .
(3) Setelah nilai didapatkan maka substitusikan nilai
tersebut ke persamaan (1) sehingga diperoleh titik
pusat lingkaran.
c. berarti bola menyinggung bidang rata ,
seperti yang terlihat pada Gambar 9.3 di bawah ini.
Gambar 6.20
Jika bidang rata menyinggung bola maka
bidang rata disebut juga dengan bidang singgungnya.
Untuk menentukan bidang singgung tersebut lakukanlah
langkah-langkah di bawah ini dan diskusikanlah dengan teman
Anda.
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 101
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
a. Misalkan dengan
pusat bola
dan adalah titik
singgung bola dan bidang rata .
b. Vektor tegak lurus terhadap bidang rata , berarti
vektor arah garis sama dengan vektor normal bidang rata
yaitu:
[ ] [ ] sehingga diperoleh:
*
+
Bidang rata melalui titik maka persamaan bidang
rata adalah:
c. Subsitusikan persamaan di atas sehingga diperoleh persamaan
bidang singgung bola di titik adalah:
(
) (
) (
)
Berdasarkan proses di atas, dapat di simpulkan bahwa:
1) Jika , maka persama-
an bidang singgung di titik adalah:
(
) (
) (
)
2) Jika , maka persamaan
bidang singgung di titik adalah:
3) Jika , maka persamaan bidang singgung
di titik adalah:
Persamaan bidang singgung di atas mengikuti kaidah “Membagi
Adil” yaitu pergantian:
menjadi , menjadi , menjadi
menjadi
, menjadi
, menjadi
menjadi
.
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 102
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
d. berarti bola tidak memotong dan tidak
menyinggung bidang rata seperti yang terlihat pada
Gambar 9.4 di bawah ini.
Gambar 6.21
Kuasa Titik
Misalkan bola dan
misalkan titik .
Definisi:
Kuasa titik terhadap bola di defenisikan
sebagai:
ada 3 kemungkinan nilai yaitu:
Titik di luar bola jika dan hanya jika
Titik pada bola jika dan hanya jika
Titik di dalam bola jika dan hanya jika
Anti Geometri dari Kuasa Titik
Misalkan bola dan
titik adalah titik sebarang. Bagaimana cara menentukan
persamaan garis singgung bola jika titiknya di luar bola. Untuk
menentukan persamaan garis lurus tersebut lakukanlah kegiatan di
bawah ini dengan langkah-langkah sebagai berikut:
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 103
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
1. Perhatikan Gambar 6.22 di bawah ini.
Gambar 6.21
2. Tarik garis melalui . Misalkan cosinus arah garis
adalah: [ ] sehingga persamaan parameter
garis adalah:
{
Garis ada yang menembus bola, ada yang menyinggung
bola, dan ada yang tidak menyinggung atau tidak menembus
bola.
3. Andaikan garis tersebut menembus bola pada titik dan
untuk mencari titik tembus, subsitusikan persamaan (1) ke
dalam persamaan bola sehingga di peroleh:
,(
) (
) (
) -
Persamaan di atas adalah persamaan kuadrat dalam , ada
beberapa ketentuan persamaan kuadrat tersebut yaitu:
(1) Jika maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai
2 buah akar dan yang berbeda.
(2) Jika maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai
2 buah akar dan yang konstan (sama).
(3) Jika maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai
2 buah akar dan yang imaginer.
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 104
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
4. Andaikan persamaan kuadrat (1) mempunyai dua akar yang
berbeda yaitu dan . Berarti garis menembus bola pada
dua titik. Misalkan titik itu adalah titik dan dengan:
dan
√
√
√
√
| | ……………. Akar dari persamaan kuadrat (1)
√
√
√
√
| | ……………. Akar dari persamaan kuadrat (1)
| || |
|
|
|
|
Jadi, | |
||
||
harga mutlak kuasa titik terhadap Bola
Atau :
Bila dari titik tertentu ditarik garis sebarang yang memotong bola
di dan maka harga adalah konstan. Kalau di luar
bola maka harganya = kuasa , dan kalau di dalam bola maka
harga negatifnya = kuasa .
Bidang Kutub
Misalkan persamaan Bola
dan sebarang titik . Bagaimanakah
persamaan bidang kutubnya?
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 105
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Untuk menentukan persamaan bidang kutub, lakukanlah kegiatan di
bawah ini.
Persamaan Bidang Kutub
Langkah-langkahnya adalah:
1. Perhatikan Gambar 6.22 di bawah ini.
Gambar 6.22
2. Tarik garis melalui titik ) sehingga menembus bola
di dan .
3. Misalkan titik pada garis sehingga titik dan
sekawan haromonis dengan titik dan . Artinya jika
maka . Seperti yang terlihat pada
Gambar 6.23 di bawah ini.
Gambar 6.23
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 106
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
4. Jika garis digunakan, maka tempat kedudukan titik
merupakan suatu bidang rata, yang disebut dengan bidang
kutub (bidang polar) bola , dengan titik kutubnya adalah
titik .
5. Misalkan persamaan Bola , dengan
titik kutubnya maka koordinat titik adalah
(
)
Agar maka
6. Subsitusikan persamaan diatas, sehingga diperoleh persamaan
bidang kutub adalah
BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 107
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
LATIHAN
1. Carilah persamaan bola yang bersinggungan yang titik-titik
pusatnya berturut-turut (-3, 1, 2) dan (5, -3, 6) dan jari-jarinya
sama
2. Carilah persamaan bola dengan pusat (1, 1, 4) dan
menyinggung bidang .
3. Tentukan persamaan bola yang melalui titik-titik ,
dan yang titik pusatnya terletak pada
bidang .
4. Tentukan persamaan bola yang berjari-jari 3 dan menyinggung
bidang di titik
5. Tentukan persamaan bidang singgung pada bola
yang sejajar dengan bidang
.
Tes Formatif 10
BAB 7 IRISAN KERUCUT 108
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
BAB 7
IRISAN KERUCUT
Pada BAB 7 ini akan dibahas irisan kerucut dengan materi
yang mencakup tentang persamaan parabola, menggambar para-
bola, persamaan garis singgung parabola, persamaan elips, meng-
gambar elips, persamaan garis singgung pada elips, persamaan
hiperbola, menggambar hiperbola dan persamaan garis singgung
pada hiperbola.
Persamaan Parabola
7.1. Persamaan Parabola
Parabola merupakan suatu bentuk irisan kerucut yang sangat
populer karena erat kaitannya dengan kehidupan sehari-hari.
Aplikasi utama parabola berkaitan dengan fungsinya sebagai
pemantul sinar dan gelombang radio. Sifat-sifat parabola ini
dimanfaatkan dalam teleskop, radar, antena, dan gelombang mikro.
7.1.1 Pengertian Parabola
Parabola merupakan irisan kerucut dengan nilai eksentrisitas
. Sebagai akibat dari hal ini, maka parabola dapat
didefinisikan sebagai berikut. Parabola adalah himpunan titik-titik
yang berjarak sama terhadap suatu titik dan suatu garis tertentu.
Gambar 7.1 Parabola
Kegiatan Pembelajaran 7.1
BAB 7 IRISAN KERUCUT 109
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Perhatikan Gambar 7.1. titik dan garis berturut-turut
merupakan fokus dan direktriks parabola. Apabila titik terletak
pada parabola, maka | | | |. Garis tegak lurus garis .
Dalam hal ini, garis merupakan sumbu simetri parabola.
Dengan demikian, karena merupakan titik pada parabola maka
juga terletak pada parabola. Titik merupakan titik potong sumbu
simetri dengan parabola dan disebut titik puncak parabola. Garis
yang sejajar direktriks dan melalui titik fokus memotong parabola
di titik dan seringkali disebut dengan latus rektrum.
Panjang latus rektum | | | | | | | |.
Persamaan parabola diantaranya:
a. Persamaan Kanonik Parabola
Gambar 7.2 Parabola dengan titik fokus dan puncak parabola adalah
Perhatikan Gambar 7.2, kita pilih titik fokus dan puncak
parabola adalah . Sehubungan dengan hal ini, maka titik
berkoordinat . Dengan demikian, direktriksnya mempunyai
persamaan atau . Apabila adalah parabola dan
adalah sembarang anggota , maka kita dapatkan:
{ || | | |}
{ || | | | }
{ | }
{ | }
{ | }
BAB 7 IRISAN KERUCUT 110
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Dengan demikian, parabola mempunyai persamaan .
Persamaan ini disebut persamaan kanonik parabola, dan
merupakan bentuk persamaan parabola yang paling sederhana.
Sehubungan dengan uraian di atas, dapat kita katakan bahwa:
adalah persamaan parabola dengan
a. Titik puncak
b. Titik fokus
c. Sumbu (garis dengan persamaan ) sebagai sumbu
simetri,
d. Persamaan direktriks atau , dan
e. Panjang latus rektum | |.
Contoh 7.1
Carilah persamaan parabola yang berpuncak di dan
mempunyai fokus:
a. b.
Untuk masing-masing parabola, carilah panjang latus rektum dan
persamaan direktriksnya.
Penyelesaian:
Gambar 7.3
a. Perhatikan Gambar 7.3
Sesuai dengan uraian sebelumnya, persamaan parabola
yang berpuncak di dan mempunyai fokus
adalah , maka persamaan parabola yang
berpuncak di dan berfokus di adalah:
BAB 7 IRISAN KERUCUT 111
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Panjang latus rektum | |
Persamaan direktriks:
b. Fokus , maka .
Persamaan parabola:
Panjang latus rektum | | | |
Persamaan direktriks:
b. Parabola dengan Persamaan
Gambar 7.4
Perhatikan Gambar 7.4 pada gambar tersebut tampak parabola
dengan puncak , fokus dan direktriks yang
mempunyai persamaan . Apabila adalah
sembarang titik pada parabola, maka:
| | | |
| | | |
BAB 7 IRISAN KERUCUT 112
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Dengan memperhatikan uraian di atas dapat kita katakan
bahwa:
Parabola dengan persamaan mempunyai:
a. Titik puncak
b. Titik fokus
c. Sumbu simetri dengan persamaan
d. Garis direktriks dengan persamaan , dan
e. Panjang latus rektum | |.
Untuk membuktikan bahwa panjang latus rektum parabola di
atas adalah | |, perhatikan Gambar 7.4 serta uraian berikut.
| | | |
| |
| |
| |
| |
Contoh 6.3
Carilah persamaan parabola yang mempunyai titik puncak dan titik
fokus berturut-turut dibawah ini, kemudian tentukan pula panjang
latus rektum dan persamaan direktriksnya.
a. dan .
b. dan .
c. dan
Penyelesaian:
a. Diketahui titik puncak dan titik fokus , maka
Persamaan parabola:
Panjang latus rektum | | | | .
Persamaan direktriks:
BAB 7 IRISAN KERUCUT 113
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
b. Diketahui dan , maka .
Persamaan parabola tersebut adalah
Panjang latus rektum | | | |
Persamaan direktriks:
c. Diketahui dan , maka
.
Persamaan parabola:
Panjang latus rektum | | | | .
Persamaan direktriks:
Contoh 6.4:
Carilah persamaan parabola yang fokus dan direktriksnya berturut-
turut adalah
a. dan garis
b. dan garis
Penyelesaian:
a. Misalkan adalah sembarang titik pada parabola dan
adalah titik pada direktriks sehingga | | | |, maka kita
dapatkan koordinat titik adalah dan
| | | |
Jadi, persamaan parabolanya adalah
BAB 7 IRISAN KERUCUT 114
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
b. Misalkan adalah sembarang titik pada parabola dan
adalah titik pada direktriks sehingga | | | |, maka kita
dapatkan koordinat titik adalah dan
| | | |
Catatan:
Untuk menentukan persamaan parabola yang berpuncak di
dan titik fokusnya dapat pula di lakukan dengan
cara sebagai berikut.
Perhatikan Gambar 7.5 jika parabola . Kita
transformasikan dengan translasi ( ), yaitu translasi sejauh
satuan ke kanan dan satuan ke atas, maka akan kita dapatkan
parabola baru dengan puncak dan fokus .
Misalkan adalah sembarang titik pada parabola
dan adalah bayangan titik oleh translasi di atas,
maka akan kita dapatkan:
dan
Dengan demikian, kita peroleh hubungan
................................................... 1)
................................................... 2)
Jika (1) dan (2) kita substitusikan pada persamaan , maka
kita peroleh :
BAB 7 IRISAN KERUCUT 115
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Karena dan merupakan peubah, maka lambangnya
dapat kita ganti dengan lambang lain. Untuk kemudahan, kita dapat
mengganti dengan dan dengan , sehingga kita peroleh
Yang merupakan persamaan parabola yang mempunyai titik
puncak dan fokus .
c. Persamaan parabola dalam bentuk lain
Pada bagian b, telah dikemukakan bahwa
merupakan persamaan parabola yang mempunyai puncak
dan fokus . Bentuk persamaan tersebut dapat kita ubah.
dengan dan .
Untuk menentukan titik puncak, titik fokus, persamaan
direktriks, dan panjang latus rektum parabola dengan persamaan
. Dapat kita lakukan dengan mengubah
persamaan bentuk .
Contoh 14:
Untuk masing-masing persamaan parabola berikut, carilah titik
puncak, titik fokus, persamaan direktriks, panjang latus rektum, dan
persamaan sumbu simetrinya.
a.
b.
Jawab:
a.
Persamaan ini berbentuk dengan
dan Jadi,
(i) titik puncak parabola
(ii) titik fokus:
(iii) persamaan direktriks:
(iv) panjang latus rektum
(v) persamaan sumbu simetri:
BAB 7 IRISAN KERUCUT 116
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
b.
Persamaan ini berbentuk
dengan , dan . Jadi
(i) Titik puncak parabola:
(ii) Titik fokus parabola:
(iii) Persamaan direktriks:
(iv) Panjang latus rektum
(v) Persamaan sumbu simetri:
Pada uraian sebelumnya kita jumpai parabola dengan sumbu
simetri sumbu atau garis yang sejajar dengan sumbu . Pada ba-
gian berikut ini akan kita pelajari parabola dengan sumbu simetri .
Perhatikan Gambar 7.5 jika pada parabola dilakukan
rotasi yang berpusat di sejauh , maka akan kita dapatkan
hal-hal berikut.
1) Jika adalah peta/bayangan titik oleh
transformasi tersebut, maka terdapat hubungan dan
. Apabila kedua hal ini kita substitusikan pada parabola
, maka kita peroleh . Kita ganti
dengan dan dengan , sehingga kita peroleh .
2) Apabila adalah bayangan titik oleh transformasi itu,
maka koordinat adalah .
BAB 7 IRISAN KERUCUT 117
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
3) Apabila adalah bayangan direktriks oleh transformasi
tersebut, maka kita peroleh persamaan garis adalah .
Dengan demikian, dapat kita katakan bahwa
merupakan persamaan parabola yang mempunyai:
(1) Titik puncak
(2) Titik fokus
(3) Direktriks dengan persamaan
(4) Panjang latus rektum | |
(5) Sumbu simetri dengan persamaan
Dengan cara yang sama, akan kita dapatkan bahwa
merupakan persamaan parabola yang mempunyai:
(1) Titik puncak
(2) Titik fokus
(3) Direktriks dengan persamaan
(4) Panjang latus rektum | |
(5) Sumbu simetri dengan persamaan
Contoh 15:
Carilah persamaan parabola yang mempunyai fokus dan
direktriks berturut-turut:
a. dan garis
b. dan garis
c. dan garis
Tentukan pula titik puncak dan sumbu simetri masing-masing
parabola tersebut.
Jawab:
Secara umum, kita akan menentukan persamaan suatu
parabola dengan fokus dan direktriks .
a. Karena titik fokus dan direktriks maka ,
sehingga persamaan parabolanya adalah
Titik puncak parabola adalah
Sumbu simetri parabola adalah garis
b. Karena titik fokus dan direktriks ,
Maka:
BAB 7 IRISAN KERUCUT 118
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Sehingga
Persamaan parabola:
Titik puncak:
Sumbu simetri: .
c. Karena titik fokus dan direktriks ,
Maka : dan
Sehingga
Persamaan parabola:
b
Titik puncak: .
Sumbu simetri: .
7.1.2 Menggambar sketsa parabola
Langkah-langkah yang diperlukan untuk menggambar sketsa
parabola adalah
a. Tentukan koordinat titik puncak parabola,
b. Tentukan koordinat titik fokus,
c. Tentukan sumbu simetri
d. Tentukan panjang latus rektum
e. Tentukan beberapa titik bantu, dan
f. Buat sketsa grafik
Contoh 16:
Gambarlah sketsa grafik dari parabola berikut.
a.
b.
Jawab:
a. Persamaan parabola
Kita ketahui bahwa , sehingga kita peroleh .
(1) Puncak
(2) Fokus:
BAB 7 IRISAN KERUCUT 119
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
(3) Sumbu simetri: atau sumbu
(4) Panjang latus rektum | | | |
Sehingga titik-titik ujung latus rektum adalah dan .
(5) Titik bantunya
(6) Sketsa grafik
b. Persamaan Parabola
Mengacu pada bentuk , maka
atau , sehingga
(a) Titik puncak: (ingat titik puncak ),
(b) Titik fokus: (ingat titik fokus )
(c) Sumbu simetri: (ingat sumbu simetri )
(d) Panjang latus rektum | | | |
Dengan demikian titik-titik ujung latus rektum adalah
dan
BAB 7 IRISAN KERUCUT 120
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
(e) Beberapa titik bantu
(f) Sketsa grafik
BAB 7 IRISAN KERUCUT 121
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
LATIHAN
Carilah persamaan parabola yang mempunyai titik fokus F dan
direktriks g di bawah ini, kemudian tentukan pula titik puncak,
sumbu simetridan panjang latus rektum parabola tersebut.
1. F(-5,0), g: x = 5
2. F(-4,-2), g: y = -4
Carilah persamaan parabola yang mempunyai titik fokus F dan titik
puncak P di bawah ini, kemudian tentukan pula direktriks, sumbu
simetri dan panjang latus rektum.
3. F(-1,-5) dan P(-3,-5)
4. F(3,-2) dan P(3,-4)
Carilah persamaan parabola yang mempunyai titik puncak P dan
titik-titik ujung latus rektum Q dan R di bawah ini.(Petunjuk: carilah
koordinat titik fokus terlebih dahulu).
5. P(2,3), Q(4,7) dan R(4,-1)
6. P(1,-2), Q(-1,-1) dan R(3,-1)
Tentukan persamaan parabola yang mempunyai titik-titik ujung
latus rektum Q dan R serta direktriks g.
7. Q(1,3), R(1,-1) dan g: x = -1
8. Q(-2,1), R(5,1) dan g: y = 4
Tentukan persamaan parabola yang mempunyai titik puncak dan
direktriks sebagai berikut.
9. P(1,3) dan x = 5
10. P(-3, -5) dan y = 2
11. Diketahui persamaan parabola .
Tentukan:
a. Koordinat titik puncak
b. Koordinat titik fokus
c. Persamaan direktriks
d. Persamaan sumbu simetri
e. Panjang latus rektum
12. Titik (2,-1) terletak pada parabola .
Tenukan:
a. Nilai k
b. Koordinat titik puncak
BAB 7 IRISAN KERUCUT 122
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
c. Koordinat titik fokus
d. Persamaan direktriks
e. Persamaan sumbu simetri
f. Panjang latus rektum
Gambarlah sketsa masing-masing parabola berikut.
13.
14.
15.
BAB 7 IRISAN KERUCUT 123
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Persamaan Garis Singgung Parabola
7.3.1 Persamaan Garis Singgung Parabola
Pada bagian ini akan kita pelajari cara menentukan persamaan
garis singgung pada parabola yang meliputi:
(1) Menentukan persamaan garis singgung yang melalui suatu titik
tertentu pada parabola
(2) Menentukan persamaan garis singgung yang memiliki gradien
tertentu, dan
(3) Menentukan persamaan garis singgung yang melalui suatu titik
tertentu di luar parabola
a. Garis singgung di suatu titik pada parabola
Untuk menentukan persamaan garis singgung di suatu titik
pada parabola, dapat dilakukan dengan menggunakan:
(1) Fungsi turunan
(2) Rumus
Menentukan persamaan garis singgung menggunakan fungsi
turunan
Seperti telah diuraikan pada pembahasan fungsi turunan (lihat
buku jilid 2B), gradien garis singgung pada suatu kurva
di titik adalah nilai titik tersebut. Oleh karenanya, langkah-
langkah yang diperlukan untuk menentukan persamaan garis
singgung di titik pada suatu parabola adalah sebagai
berikut.
(1) Tentukan
(2) Tentukan nilai di titik
(3) Tentukan persamaan garis singgung yang dimaksud dengan
memperhatikan bahwa persamaan garis yang bergradien
dan melalui titik adalah
Kegiatan Pembelajaran 7.2
BAB 7 IRISAN KERUCUT 124
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Contoh 17:
Carilah persamaan garis singgung pada masing-masing parabola
berikut, di titik yang diberikan.
a. Parabola ; titik
b. Parabola ; titik .
c. Parabola ; titik .
d. Parabola ; titik .
Jawab:
a. Garis singgung pada di
Pertama-tama kita akan mencari gradien garis singgung di titik
.
Di titik
Garis singgung tersebut mempunyai gradien dan melalui titik
, maka persamaan garis singgung itu adalah
b. Garis singgung pada di
Pertama-tama, kita cari gradien garis singgung
Di titik
Jadi, garis singgung tersebut mempunyai gradien
dan melalui
titik . Dengan demikian, persamaan garis singgungnya
adalah
c. Garis singgung pada di titik
Pertama-tama kita cari gradien garis singgung
BAB 7 IRISAN KERUCUT 125
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Di titik ,
Garis singgung tersebut mempunyai gradien
dan melalui
titik . Persamaan garis singgung:
d. Garis singgung pada di titik .
Pertama-tama kita cari gradien garis singgung tersebut.
Di titik ,
Garis singgung mempunyai gradien dan melalui titik ,
maka persamaan garis singgung tersebut adalah
Menentukan Persamaan Garis Singgung Menggunakan Rumus
Untuk menentukan persamaan garis singgung pada suatu
parabola, dapat kita gunakan salah satu dari rumus berikut.
(1) Persamaan garis singgung pada parabola di titik
adalah .
(2) Persamaan garis singgung pada parabola
di titik adalah .
(3) Persamaan garis singgung pada parabola
di titik adalah
.
BAB 7 IRISAN KERUCUT 126
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Bukti dari rumus-rumus tersebut di atas adalah sebagai berikut.
(1)
Di titik
.
Karena terletak pada parabola , maka
.
Persamaan garis singgungnya:
.......................................... (terbukti)
(2)
Di titik , nilai
Karena terletak pada parabola ,
maka sehingga
Persamaan garis singgung:
........................... (terbukti)
BAB 7 IRISAN KERUCUT 127
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
(3)
Di titik ,
. karena titik terletak pada
parabola
, maka
Persamaan garis singgung:
....................... (terbukti)
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa:
(1) Persamaan garis singgung pada parabola di
adalah .
(2) Persamaan garis singgung pada parabola
di adalah
.
(3) Persamaan garis singgung pada parabola
di adalah
.
Contoh 18:
Soal-soal pada contoh 17 dapat dikerjakan dengan cara berikut.
a. Persamaan garis singgung pada parabola di titik
adalah
BAB 7 IRISAN KERUCUT 128
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
b. Persamaan garis singgung pada parabola
di titik adalah
c. Persamaan garis singgung pada parabola
di titik adalah
d. Persamaan garis singgung pada parabola
di titik .
b. Garis Singgung Dengan Gradien Tertentu Pada Suatu
Parabola
Untuk menentukan persamaan garis singgung bergradien
tertentu pada suatu parabola dapat kita lakukan dengan:
(1) Memisalkan persamaan garis singgung
(2) Menggunakan fungsi turunan
(3) Menggunakan rumus
Menentukan Persamaan Garis Singgung dengan Cara
Pemisalan
Langkah-langkah yang diperlukan untuk menentukan
persamaan garis singgung dengan gradien tertentu, misalnya
menggunakan cara pemisalan adalah sebagai berikut.
(1) Lakukan pemisalan persamaan garis singgung, misalnya
BAB 7 IRISAN KERUCUT 129
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
(2) Cari persamaan kuadrat yang diperoleh dengan memotongkan
garis dengan parabola
(3) Tentukan nila-nilai dengan mengingat bahwa syarat garis
menyinggung parabola adalah persamaan kuadrat
hasil (2) mempunyai determinan sama dengan nol.
(4) Tentukan persamaan garis singgung dengan mensubstitusikan
nilai yang diperoleh pada
Contoh 19:
Carilah persamaan garis singgung dengan gradien yang diberikan
pada masing-masing parabola berikut.
a. Parabola , gradien garis singgung .
b. Parabola , gradien garis singgung .
c. Parabola , gradien garis singgung .
Jawab:
a. Garis singgung dengan gradien pada parabola .
Misalkan persamaan garis singgung adalah
Jika garis ini dipotongkan dengan parabola , maka
akan didapat
Agar garis menyinggung parabola, maka diskriminan
persamaan ini harus nol.
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah .
b. Garis singgung dengan gradien pada parabola
Misalkan persamaan garis singgung tersebut adalah
BAB 7 IRISAN KERUCUT 130
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Jika garis ini dipotongkan dengan parabola
, maka kita peroleh
Agar garis menyinggung parabola, maka harus dipenuhi
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
c. Garis singgung dengan gradien pada parabola
. Misalkan persamaan garis singgung adalah
Jika garis ini dipotongkan dengan parabola akan diperoleh:
Agar garis menyinggung parabola, maka
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
Menentukan Persamaan Garis Singgung Menggunakan Fungsi
Turunan
Langkah-langkah yang diperlukan untuk menentukan persamaan
garis singgung bergradien pada suatu parabola adalah sebagai
berikut.
(1) Menentukan , yang dinyatakan dalam dan .
(2) Memisalkan titik singgung dengan dengan mengingat
bahwa nilai di titik adalah .
(3) Menentukan persamaan garis singgung pada parabola di titik
.
BAB 7 IRISAN KERUCUT 131
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Contoh 20:
Soal-soal pada contoh 19 dapat dikerjakan dengan cara berikut.
a. Garis singgung dengan gradien pada parabola
Misalkan titik singgungnya adalah , maka kita
memperoleh sistem persamaan
dan
maka
, maka
Dengan demikian, titik singgungya adalah . Selanjutnya
kita peroleh persamaan garis singgung
b. Garis singgung bergradien pada parabola
Misalkan titik singgungnya , maka kita peroleh sistem
persamaan
dan
.
maka
, maka
Dengan demikian, kita peroleh titik singgungnya:
Persamaan garis singgungnya:
BAB 7 IRISAN KERUCUT 132
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
c. Garis singgung bergradien pada parabola
Misalkan titik singgungnya , maka kita peroleh sistem
persamaan
dan
.
, maka
maka
Kita peroleh titik singgungnya adalah . Dengan
demikian, persamaan singgung tersebut adalah:
Menentukan Persamaan Garis Singgung Menggunakan rumus
Untuk menentukan persamaan garis singgung bergradien
pada suatu parabola, dapat kita gunakan salah satu dari rumus
berikut.
(1) Persamaan garis singgung bergradien pada parabola
adalah
.
(2) Persamaan garis singgung bergradien pada parabola
adalah
.
BAB 7 IRISAN KERUCUT 133
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
(3) Persamaan garis singgung bergradien pada parabola
adalah .
(4) Persamaan garis singgung bergradien pada parabola
adalah .
Bukti dari rumus-rumus tersebut di atas adalah sebagai berikut.
(1) Garis singgung bergradien pada parabola .
Misalkan titik singgungnya adalah , maka akan kita
peroleh sistem persamaan
dan
.
, maka
(
)
Dengan demikian, kita peroleh
Persamaan garis singgung tersebut adalah
)
............................................................ (terbukti)
(2) Garis singgung bergradien pada parabola
.
Misalkan titik singgungnya maka akan kita peroleh
sistem persamaan
dan
maka
.
BAB 7 IRISAN KERUCUT 134
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Dengan demikian, kita peroleh persamaan garis singgung
(
)
(
)
.................... (terbukti)
Dengan cara yang sama dapat pula dibuktikan rumus (3) dan
(4).
Contoh 21:
Soal-soal pada contoh 19 dapat dikerjakan dengan cara berikut.
a. Garis singgung bergradien pada parabola .
Dengan memperhatikan gradien garis singgung dan
persamaan parabola, berarti bahwa: dan
Persamaan garis singgungnya adalah:
b. Garis singgung bergradien pada parabola
.
Dengan memperhatikan gradien garis singgung dan
persamaan parabola kita peroleh:
dan
Persamaan garis singgungnya adalah:
BAB 7 IRISAN KERUCUT 135
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
c. Garis singgung bergradien pada parabola
.
Dengan memperhatikan gradien garis singgung dan
persamaan parabola dalam bentuk terakhir ini, maka kita
dapatkan:
dan
Persamaan garis singgungnya:
c. Garis Singgung Yang Melalui Suatu Titik Di Luar Parabola
Gambar 7.6.
Perhatikan Gambar 7.6. Titik terletak di luar parabola
. Garis singgung yang melalui titik
adalah garis dan . Misalkan titik singgung parabola dengan
garis adalah dan dengan garis adalah ,
maka persamaan garis adalah
BAB 7 IRISAN KERUCUT 136
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Dan persamaan garis adalah
Karena garis dan melalui titik . Maka
memenuhi persamaan dan .
Sehubungan dengan hal ini, maka kita peroleh bahwa peroleh
persamaan
Dipenuhi oleh titik dan . Dengan demikian,
persamaan garis adalah
.
Dalam hal ini, garis disebut garis kutub, dan titik
disebut dengan titik kutub.
Dengan cara yang sama akan dapat diperoleh persamaan
garis kutub dengan titik kutub . Tabel berikut menunjukkan
persamaan garis kutub yang dimaksud.
No Parabola Grafik Kutub
1. 2. 3.
4. 5. 6.
Sehubungan dengan hal tersebut di atas, maka langkah-
langkah yang perlu dilakukan untuk mencari persamaan garis
singgung pada suatu parabola yang melalui suatu titik di luar
parabola adalah sebagai berikut.
(1) Tentukan persamaan garis kutub
(2) Tentukan titik potong garis kutub dengan parabola, yang
merupakan titik singgung
(3) Tentukan persamaan garis singgung di titik singgung yang
diperoleh pada langkah (2).
BAB 7 IRISAN KERUCUT 137
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Contoh 22:
Carilah persamaan garis singgung pada masing-masing
parabola berikut yang melalui titik yang ditentukan:
a. Parabola titik
b. Parabola titik
Jawab:
a. Garis singgung pada parabola yang melalui titik
.
Persamaan garis kutub:
Jika garis kutub dipotongkan dengan parabola, maka akan kita
peroleh:
atau
(1) Untuk , kita peroleh , maka
merupakan titik singgung. Persamaan garis singgung
parabola di titik adalah
(2) Untuk , kita peroleh , maka titik
merupakan titik singgung. Persamaan garis singgung
parabola di titik adalah
BAB 7 IRISAN KERUCUT 138
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
b. Garis singgung pada parabola yang
melalui titik .
Persamaan garis kutubnya:
Jika garis ini dipotongkan dengan parabola, maka akan kita
peroleh
atau
(1) Untuk
, kita peroleh , sehingga titik
merupakan titik singgung. Persamaan garis
singgung yang melalui titik
adalah
(2) Untuk , kita peroleh , sehingga
titik merupakan titik singgung. Persamaan garis
singgung yang melalui titik adalah
BAB 7 IRISAN KERUCUT 139
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
LATIHAN
Carilah persamaan garis singgung pada parabola dititik yang
diberikan.
1. di titik (2,-2)
2. di titik (-2,2)
3. di titik (-1,4)
4. di titik (-3,2)
5. di titik (-3,-4)
Carilah persamaan garis singgung parabola dengan gradien
tertentu.
6. , m = 2
7. , m = -3
8. , m = -5
9. , m = 1
10.
Carilah persamaan garis singgung lingkaran melalui titik yang
diberikan.
11. , titik (3,3)
12. , titik (1,2)
13. , titik (1,-4)
BAB 7 IRISAN KERUCUT 140
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Persamaan elips
A. Pengertian Elips dan Unsur-unsurnya
Gambar 7.7.
Perhatikan Gambar 7.7 Garis dan titik berturut-turut
merupakan direktriks dan fokus elips, dan adalah proyeksi
pada garis .
Titik dan terletak pada sedemikian rupa sehingga
| | | | dan | | | |, dengan demikian, dan
terletak pada elips. Dalam hal ini, titik dan disebut titik
puncak elips, garis disebut sumbu mayor. Jarak | |
disebut dengan panjang sumbu mayor dan biasa dinotasikan
dengan , sehingga | | | | titik tengah , yaitu
disebut titik pusat elips.
Perhatikan bahwa:
| | | | | | | | | | | |
| | | | .............................................................(1)
|| | | | | | | | | | | | |
| | | | ......................(2)
Kegiatan Pembelajaran 7.3
BAB 7 IRISAN KERUCUT 141
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
| | | | (1) | | | |
(2) | | | | (2) | | | |
| | | |
| |
| |
Elips simetri terhadap sumbu mayor. Jika kita buat garis yang
tegak lurus sumbu mayor dan melalui titik , dan garis ini
menotong elips di dan , maka juga merupakan titik tengah
garis . Dalam hal ini disebut sumbu minor, | | disebut
panjang sumbu minor dan seringkali dinotasikan dengan ,
sehingga | | | | . Dengan demikian
| | | | | |
Sehingga | | | |
| | .
Jika garis yang melalui dan tegak lurus sumbu mayor
memotong elips di titik dan , maka disebut dengan latus
rektum elips dan | | disebut dengan panjang latus rektum
elips.
| | | | | |
| | | |
| | | |
(
)
(ingat bahwa )
| |
Perhatikan Gambar 7.8 Berdasarkan definisi elips, dapat kita
katakan bahwa jika merupakan fokus elips dan | | | |,
maka juga merupakan fokus elips. Dengan demikian, dan
merupakan titik fokus elips.
BAB 7 IRISAN KERUCUT 142
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Gambar 7.8
Sehubungan dengan hal ini, salah satu sifat penting dari elips
adalah:
Jika adalah sembarang titik pada elips dengan dan
merupakan titik fokus serta panjang sumbu mayor , maka
| | | | .
Bukti dari sifat ini adalah sebagai berikut.
Perhatikan Gambar 7.8 dan merupakan fokus elips. Garis
adalah hasil pencerminan direktriks terhadap sumbu minor
. (dalam hal ini garis juga merupakan direktriks). Jika dan
berturut-turut merupakan proyeksi titik pada garis dan ;
maka
| | | | | | | |
| |
| |
| |
.............................(terbukti)
Berdasarkan sifat ini, maka elips seringkali didefinisikan
sebagai himpunan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik
tertentu adalah tetap.
BAB 7 IRISAN KERUCUT 143
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
7.3.1 Persamaan Elips
a. Persamaan Kanonik Elips
Gambar 7.9
Perhatikan Gambar 7.9 kita ambil sumbu dan sumbu
melalui titik pusat elips. Berdasarkan uraian sebelumnya, maka
dapat kita katakan bahwa (
) .
Apabila titik adalah sembarang titik pada elips, maka akan
kita dapatkan
| | | |
| | | |
Karena , maka
.
Dengan demikian kita peroleh:
Persamaan
disebut dengan persamaan kanonik elips.
Persamaan elips di atas dapat pula kita peroleh dengan cara
berikut.
BAB 7 IRISAN KERUCUT 144
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Gambar 7.10
Perhatikan Gambar 7.10 sesuai dengan uraian sebelumnya,
maka dan . Misalkan , maka
Serta koordinat fokus adalah
dan .
Karena | | | | maka
√ √
√ √
√
√
√
√
BAB 7 IRISAN KERUCUT 145
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Gambar 7.11
Sehubungan dengan uraian di atas, berikut ini adalah beberapa
sifat penting yang dimiliki elips
dengan (lihat
Gambar 7.11).
(1) Pusat: .
(2) Puncak:
(3) Nilai eksentrisitas
√ atau
(Karena dan ).
(4) Fokus:
dan atau
dan
(5) Panjang sumbu mayor
dan
Panjang sumbu minor
.
(6) Sumbu simetri: Sumbu dan sumbu .
(7) Panjang latus rektum | |
.
(8) Persamaan direktriks:
dan
atau
dan
.
BAB 7 IRISAN KERUCUT 146
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
(9) Apabila terletak pada elips, maka titik dan
juga terletak pada elips.
Contoh 23:
Diketahui
.
Maka:
a. Pusat elips: .
b.
Puncak: dan .
c. √ √ √ .
Fokus: √ dan √ .
d. Sumbu simetri: sumbu dengan persamaan dan sumbu
dengan persamaan .
e. Panjang sumbu mayor .
Panjang sumbu minor .
f. Nilai eksentrisitas:
√ .
g. Persamaan direktriks:
√
√ dan
√ .
Pada uraian di atas kita jumpai elips dengan persamaan
dan fokusnya terletak pada sumbu . Hal ini hanya
berlaku apabila . Elips ini kita rotasikan searah putaran jarum
jam dengan pusat sejauh (Lihat Gambar 7.12).
Gambar 7.12
(ingat, a dan b bilangan positif)
BAB 7 IRISAN KERUCUT 147
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Misalkan adalah peta dari , maka
.............................(1)
.............................(2)
Jika (1) dan (2) disubstitusikan pada persamaan
, maka diperoleh
Apabila lambang dan kita ganti dengan lambang dan ,
maka kita peroleh persamaan
atau
yang
merupakan persamaan peta dari elips
oleh rotasi
searah putaran jarum jam yang berpusat di sejauh .
Sehubungan dengan uraian di atas, berikut ini adalah beberapa
sifat penting yang dimiliki elips
dengan (lihat
Gambar 7.13).
Gambar 7.13
(1) Pusat:
(2) Puncak: dan .
(3) Nilai eksentrisitas:
√ atau
,
(4) Fokus: dan .
BAB 7 IRISAN KERUCUT 148
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
(5) Panjang sumbu mayor | | dan panjang sumbu
minor | |
(6) Sumbu simetri: sumbu dan sumbu .
(7) Panjang latus rektum | |
.
(8) Persamaan direktris
dan
, kalau dinyatakan dalam
,
dan
.
Contoh 24:
Diketahui elips
.
Maka:
a. Pusat: .
b.
Puncak: dan .
c. √ √ √
Fokus: dan .
d. Sumbu simetri: sumbu dan sumbu .
e. Panjang sumbu mayor
Panjang sumbu minor
f. Nilai eksentrisitas
.
g. Persamaan direktriks:
dan
b. Persamaan Elips yang Berpusat di
Perhatikan Gambar 2.29. elips
ditransformasikan
oleh vektor translasi ( ). Misalkan adalah peta titik
pada elips oleh translasi tersebut. Kita peroleh
.................................................(1)
.................................................(2)
BAB 7 IRISAN KERUCUT 149
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Gambar 7.14
Jika persamaan (1) dan (2) kita substitusikan pada
,
maka kita peroleh
Dengan mengganti nama peubah dan dengan dan y,
kita peroleh persamaan
yang merupakan
persamaan elips dari hasil translasi elips
oleh vektor
translasi ( ).
Sehubungan dengan uraian di atas, maka dapat kita katakan
bahwa beberapa sifat penting elips dengan persamaan
dan adalah sebagai berikut.
(1) Pusat:
(2) Puncak: dan .
(3) Nilai eksentrisitas:
√ atau
, dan
(4) Fokus: dan
Atau dan
(5) Panjang sumbu mayor
Panjang sumbu minor
(6) Sumbu simetri: garis dan garis .
(7) Panjang latus rektum
.
BAB 7 IRISAN KERUCUT 150
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
(8) Persamaan direktris:
dan
, kalau dinyatakan dalam ,
dan
.
Contoh 25:
Beberapa sifat penting yang dimiliki elips
adalah:
a. maka pusat: .
b.
Puncak: dan .
c. Nilai eksentrisitas:
√
√
√
d. Nilai (
) .
Absis fokus: .
Fokus: dan
e. Panjang sumbu mayor .
Panjang sumbu minor .
f. Sumbu simetri: dan .
g. Panjang latus rektum
h.
Persamaan direktriks:
dan
dan
.
Dengan cara yang sama dengan uraian pada awal subbab ini,
akan kita dapatkan bahwa elips
dengan
memiliki sifat-sifat sebagai berikut.
(1) Pusat elips: .
(2) Puncak: dan .
(3) Nilai eksentrisitas:
√ atau
, dengan
√
(4) Fokus: dan , atau kalau dinyatakan dalam
menjadi dan .
BAB 7 IRISAN KERUCUT 151
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
(5) Panjang sumbu mayor
Panjang sumbu minor
(6) Sumbu simetri: garis dan garis .
(7) Panjang latus rektum
.
(8) Persamaan direktris:
dan
, atau kalau dinyatakan dalam menjadi
dan
Contoh 26:
Beberapa sifat penting yang dimiliki elips
adalah
a.
Pusat: .
b.
Puncak: dan .
c. Nilai eksentrisitas:
√
√
√
d. Nilai (
√ ) √ .
Fokus: ( √ ) dan ( √ )
e. Panjang sumbu mayor .
Panjang sumbu minor .
f. Sumbu simetri: dan .
g. Panjang latus rektum
√
√
√
Persamaan direktriks:
√ dan
√ .
c. Persamaan Elips dalam Bentuk Lain
Perhatikan salah satu elips yang berpusat di , misalnya
. Bentuk ini dapat kita ubah menjadi sebagai
berikut.
BAB 7 IRISAN KERUCUT 152
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Bentuk terakhir ini dapat kita tuliskan sebagai
dengan
, dan
Untuk menentukan syarat-syarat yang harus dipenuhi oleh
dan agar merupakan
persamaan elips, perhatikan uraian berikut.
(
) (
)
.
(
)
(
)
/ .
(
)
/
(
)
(
)
(
)
(
)
Agar persamaan di atas merupakan persamaan elips, maka
ketentuan-ketentuan berikut ini harus dipenuhi.
(1) dan bertanda sama,
dan keduanya positif atau keduanya negatif)
(2)
BAB 7 IRISAN KERUCUT 153
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Untuk dapat mengetahui sifat-sifat elips
, terlebih dahulu bentuk ini kita ubah ke bentuk persamaan
.
Contoh 27:
Diketahui elips .
Tentukanlah:
a. Koordinat pusat elips
b. Koordinat puncak
c. Koordinat fokus
d. Panjang sumbu mayor dan panjang sumbu minor
e. Persamaan sumbu simetri
f. Nilai eksentrisitas
g. Persamaan direktriks
Jawab:
Pertama-tama, kita ubah bentuk persamaan elips.
Dengan memperhatikan bentuk terakhir ini, maka dapat kita
simpulkan bahwa
a. Pusat elips .
b.
Puncak: dan .
c. √ √ √
Fokus: dan
d. Panjang sumbu mayor .
Panjang sumbu minor .
e. Sumbu simetri: dan .
BAB 7 IRISAN KERUCUT 154
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
f. Nilai eksentrisitas
g. Persamaan direktriks:
dan
Contoh 28:
Diketahui persamaan elips .
Tentukanlah:
a. Koordinat pusat elips
b. Koordinat puncak
c. Koordinat fokus
d. Panjang sumbu mayor dan panjang sumbu minor
e. Persamaan sumbu simetri
f. Persamaan direktriks
Jawab:
Dengan memperhatikan bentuk terakhir ini, maka dapat kita
katakan bahwa:
a. Pusat elips .
b.
Puncak: dan .
c. √ √ √
Fokus: √ dan √
d. Panjang sumbu mayor .
Panjang sumbu minor .
e. Persamaan Sumbu simetri: dan .
f. Persamaan direktriks:
√ dan
√
BAB 7 IRISAN KERUCUT 155
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
d. Menentukan Persamaan Elips Yang Beberapa Unsurnya
Diketahui
Pada subbab 2.4.2.1 dan 2.4.2.2 telah diuraikan bahwa kita dapat
mengetahui sifat-sifat dan unsur-unsur suatu elips jika
persamaannya diketahui. Sebaliknya, kita dapat menentukan
persamaan elips apabila beberapa unsurnya diketahui.
Contoh 29:
Diketahui suatu elips mempunyai titik pusat , panjang
sumbu mayor dan panjang sumbu minornya berturut-turut adalah
dan . Tentukan persamaan elips, apabila sumbu mayor
berimpit dengan:
a. Sumbu
b. Sumbu
Jawab:
Panjang sumbu mayor maka , sehingga .
Panjang sumbu minor , maka
Pusat .
a. Persamaan elips:
b. Persamaan elips:
Contoh 30:
Jarak kedua fokus suatu elips adalah dan nilai
eksentrisitasnya adalah
. Tentukan persamaan elips, apabila:
a. Titik pusat elips dan sumbu mayor sejajar dengan sumbu
;
b. Titik pusat elips dan sumbu mayor sejajar dengan
sumbu ;
BAB 7 IRISAN KERUCUT 156
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Jawab:
Jarak kedua fokus , maka .
a. Persamaan elips:
b. Persamaan elips:
Contoh 31:
Titik pusat suatu elips adalah . Salah satu titik fokus
dan titik puncak pada sumbu minor berturut-turut adalah
dan . Carilah persamaan elips tersebut.
Jawab:
Jarak titik pusat dan titik fokus , maka | |
Jarak titik pusat dan titik puncak pada sumbu minor , maka
| |
Dengan demikian, kita peroleh persamaan elips
7.3.2 Menggambar Sketsa Elips
Langkah-langkah yang diperlukan untuk menggambar sketsa elips
adalah sebagai berikut.
(1) Tentukan koordinat pusat.
(2) Tentukan koordinat puncak.
(3) Tentukan sumbu simetri.
BAB 7 IRISAN KERUCUT 157
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
(4) Tentukan koordinat beberapa titik bantu.
(5) Buat sketsa elips.
Contoh 32:
Gambar sketsa elips
.
Jawab:
a. Koordinat pusat: .
b.
Puncak: , dan .
c. Sumbu simetri: garis dan (sumbu dan sumbu ).
d. Beberapa titik bantu:
√
√
e. Sketsa elips
Contoh 33:
Gambarlah sketsa elips
.
BAB 7 IRISAN KERUCUT 158
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Jawab:
a. Koordinat pusat: .
b.
Puncak: , dan .
c. Sumbu simetri: garis dan .
d. Beberapa titik bantu:
√ atau
√
√
√
e. Sketsa elips
BAB 7 IRISAN KERUCUT 159
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
LATIHAN
Tentukan :
a. Koordinat pusat
b. Koordinat puncak
c. Nilai Eksentrisitas
d. Koordinat Fokus
e. Panjang sumbu mayor
f. Panjang sumbu minor
g. Panjang latus rektum
h. Persamaan sumbu simetri
i. Persamaan direktriks
Untuk masing-masing persamaan elips (pada soal 1-3) berikut.
1.
2.
3.
Carilah persamaan elips apabila diketahui:
4. Koordinat pusat O(0,0), panjang sumbu mayor 12, panjang
sumbu minor 8 dan titik fokus terletak pada sumbu x
5. Koordinat pusat (3,5), panjang sumbu mayor 16, panjang
sumbu minor 12 dan titik fokus terletak pada garis y = 5
6. Koordinat pusat O(0,0), jarak kedua fokus adalah 8 dan
persamaan direktriks y = 9
7. Koordinat puncak dan , panjang sumbu minor
8
8. Koordinat puncak dan , panjang sumbu mayor
16
9. Koordinat fokus dan , nilai eksentrisitas
Buatlah gambar sketsa elips dengan persamaan berikut
10.
11.
BAB 7 IRISAN KERUCUT 160
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Persamaan Garis Singgung Pada Elips
7.4.1 Persamaan Garis Singgung Pada Elips
Pada bagian ini akan kita pelajari persamaan garis singgung pada
elips, yang meliputi:
(1) Garis singgung yang melalui suatu titik tertentu pada elips.
(2) Garis singgung dengan gradien tertentu.
(3) Garis singgung yang melalui suatu titik tertentu di luar elips.
a. Garis singgung di suatu titik pada elips
Untuk menentukan persamaan garis singgung di suatu titik
pada elips, dapat kita lakukan dengan menggunakan:
(1) Fungsi turunan.
(2) Rumus.
Menentukan persamaan garis singgung di suatu titik pada
elips menggunakan fungsi turunan
Langkah-langkah yang diperlukan untuk menentukan
persamaan garis singgung di titik pada elips dengan
menggunakan fungsi turunan adalah sebagai berikut.
(1) Tentukan (yang dinyatakan dalam dan ).
(2) Tentukan gradien garis singgung, misalkan , yang merupakan
nilai dari (hasil pada langkah pada titik .
(3) Tentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan
rumus persamaan garis bergradien yang melalui titik ,
yaitu .
Contoh 34:
Carilah persamaan garis singgung pada
a. Elips
di titik .
b. Elips
di titk .
Kegiatan Pembelajaran 7.4
BAB 7 IRISAN KERUCUT 161
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Jawab:
a. Garis singgung pada elips
di titik .
Di titik , gradien garis singgung adalah
.
Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah
b. Garis singgung pada elips
di titik .
Di titik , gradien garis singgung adalah
Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah
BAB 7 IRISAN KERUCUT 162
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Menentukan Persamaan Garis Singgung di Suatu Titik
pada Elips dengan Menggunakan Rumus
Untuk menentukan persamaan garis singgung di suatu titik
pada elips, dapat kita gunakan salah satu dari rumus berikut.
(1) Garis singgung pada elips
di titik adalah
.
(2) Garis singgung pada elips
di titik
adalah
Bukti:
Gradien garis singgung di titik adalah
Gradien garis singgung di titik
Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah
Jika kedua ruas ditambah dengan
, maka
diperoleh
BAB 7 IRISAN KERUCUT 163
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Oleh karena titik terletak pada elips, maka
, sehingga kita dapatkan
Apabila titik pusat elips adalah , maka ,
sehingga kita dapatkan persamaan garis singgung berikut.
Contoh 35:
Soal pada contoh 34 dapat kita kerjakan dengan cara sebagai
berikut.
a. Garis singgung pada elips
di titik .
b. Garis singgung pada elips
di titik .
BAB 7 IRISAN KERUCUT 164
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
b. Persamaan Garis Singgung Bergradien Tertentu pada
Suatu Elips
Untuk menentukan persamaan garis singgung dengan gradien
tertentu pada suatu elips dapat kita lakukan menggunakan
(1) Fungsi turunan;
(2) Rumus.
Menentukan Persamaan Garis Singgung Bergradien Tertentu
Dengan Menggunakan Fungsi Turunan
Langkah-langkah yang diperlukan untuk menentukan
persamaan garis singgung bergradien tertentu, misalnya , adalah
sebagai berikut.
(1) Tentukan
(2) Misalkan titik singgung adalah , kemudian tentukan nilai
dan dengan mengingat bahwa nilai di titik
adalah dan titik terletak pada elips.
(3) Tentukan persamaan garis singgung di titik dengan
menggunakan hasil dari langkah (2).
Contoh 36:
Carilah persamaan garis singgung dengan gradien garis
singgung yang diberikan pada masing-masing elips berikut.
a. Persamaan elips
, gradien garis singgung .
b. Persamaan elips
, gradien garis singgung
.
Jawab:
a. Garis singgung bergradien pada elips
.
BAB 7 IRISAN KERUCUT 165
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Misalkan koordinat titik singgung adalah , maka kita
dapatkan sistem persamaan
.................................(1)
.................................(2)
Dari (2) kita peroleh
Dengan mensubstitusikan nilai ini ke dalam (1) kita peroleh
(
)
Untuk
, maka
(
)
Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah
(
) (
) (
)(
)
BAB 7 IRISAN KERUCUT 166
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
b. Garis singgung bergradien
pada elips
.
Misalkan koordinat titik singgung tersebut adalah , maka
kita dapatkan sistem persamaan
..................................................(1)
..................................................(2)
Dari persamaan (2) kita peroleh
Dengan mensubstitusikan nilai yang kita peroleh dari
persamaan (2) ke dalam persamaan (1), kita peroleh
(
)
(
)
atau
BAB 7 IRISAN KERUCUT 167
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Untuk , kita peroleh
Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah
Menentukan Persamaan Garis Singgung Bergradien dengan
Menggunakan Rumus
Untuk menentukan persamaan garis singgung bergradien
tertentu pada suatu elips dapat kita gunakan rumus berikut.
Tertentu
(1) Garis singgung bergradien pada elips
adalah
√
(2) Garis singgung bergradien pada elips
adalah
√ .
Bukti dari rumus-rumus tersebut di atas sebagai berikut.
(1) Garis singgung bergradien pada elips
.
Misalkan persamaan garis singgung tersebut adalah
. Jika garis ini dipotongkan dengan elips, maka kita peroleh
Dengan mensubstitusikan persamaan ke dalam
persamaan elips, kita peroleh
BAB 7 IRISAN KERUCUT 168
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Agars garis menyinggung elips, syaratnya adalah
√
Jadi, persamaan garis singgung bergradien adalah
√ (terbukti)
(2) Garis singgung bergradien pada elips
.
Pada subbab sebelumnya, telah kita pelajari bahwa elips
merupakan hasil translasi ( ) dari elips
. Dengan demikian, garis singgung bergradien
pada elips
merupakan hasil translasi ( ) dari
garis √ . Misalkan titik adalah
sembarang titik pada √ dan
merupakan peta dari oleh translasi ( ), maka kita
dapatkan dan sehingga dan
. Dengan demikian, kita peroleh
√ √
Apabila tanda aksen kita hilangkan, maka kita peroleh
√ , yang merupakan persamaan
garis singgung bergradien pada elips
(terbukti).
Contoh 37:
Soal pada contoh dapat kita kerjakan dengan cara berikut.
a. Garis singgung bergradien pada elips
.
, maka persamaan garis singgungnya
adalah
√
BAB 7 IRISAN KERUCUT 169
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
√
√
√
Jadi, persamaan garis singgung bergradien pada elips
adalah dan
b. Garis singgung bergradien
pada elips
.
√
√ (
)
√
Jadi, persamaan garis singgung bergradien
pada elips
adalah dan
c. Persamaan Garis Singgung pada Elips yang dibuat Melalui
Suatu Titik di Luar Elips
Perhatikan Gambar 7.6 Titik adalah titik di luar elips
garis dan adalah garis singgung pada elips
BAB 7 IRISAN KERUCUT 170
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
yang dibuat melalui titik . Misalkan titik singgungnya adalah
dan , maka persamaan garis dan berturut-
turut adalah
dan
.
Karena titik terletak pada garis dan , maka
koordinat titik memenuhi persamaan garis dan .
Dengan demikian, kita peroleh
Dengan memperhatikan kedua kesamaan ini, tampak bahwa
koordinat titik dan memenuhi persamaan
. Dengan demikian, persamaan garis
adalah
, yang disebut persamaan
garis kutub. Sedangkan titik disebut titik kutub.
Dengan cara yang sama, apabila kita buat garis singgung dari
titik pada elips
, maka akan kita peroleh garis
kutub
.
Sehubungan dengan hal tersebut di atas, langkah-langkah
yang diperlukan untuk mencari persamaan garis singgung yang
dibuat dari titik di luar elips adalah sebagai berikut.
(1) Tentukan persamaan garis kutub yaitu
(2) Cari titik potong garis kutub dengan elips, misalkan ,
yang merupakan titik singgung.
(3) Tentukan persamaan garis singgung di titik singgung hasil
langkah (2), yaitu
BAB 7 IRISAN KERUCUT 171
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Contoh 38:
Carilah persamaan garis singgung pada masing-masing elips
berikut, yang dibuat melalui titik yang diberikan.
a. Persamaan elips
, titik .
b. Persamaan elips
, titik .
Jawab:
a. Garis singgung pada elips
, yang melalui titik .
Persamaan garis kutub:
.....................(1)
Jika garis (1) kita potongkan dengan elips ,akan kita peroleh
sistem persamaan
Dengan mensubsitusikan
ke dalam persamaan
elips kita peroleh
(
)
atau
BAB 7 IRISAN KERUCUT 172
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
(1) Untuk
. Dengan demikian, titik
singgungnya adalah dan persamaan garis
singgungnya adalah
b. Untuk
, maka
(
)
.
Dengan demikian, kita peroleh titik singgung
dan
persamaan garis singgung
(
) (
) (
) (
)
c. Garis singgung pada elips
, di titik .
Persamaan garis kutub:
…….........(1)
Jika garis (1) dipotongkan dengan elips, akan kita peroleh
BAB 7 IRISAN KERUCUT 173
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Persamaan ini dipenuhi oleh
, atau .
(1) Untuk
, maka
.
Jadi, titik singgungnya adalah (
).
Dengan demikian, kita peroleh persamaan garis singgung
( )
( )
(
)
( )
(2) Untuk maka
Jadi titik singgungnya adalah
Dengan demikian, kita peroleh persamaan garis singgung
BAB 7 IRISAN KERUCUT 174
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
LATIHAN
Carilah persamaan garis singgung pada masing-masing elips di titik
yang diberikan.
1.
; di titik (-2,6)
2.
; di titik (6,5)
3. ;di titik (-3,2)
4. ; di titik (1,3)
Carilah persamaan garis singgung bergradien m pada masing-
masing elips untuk nilai m yang diberikan.
5.
;
6.
;
7.
;
8. ; m = -2
BAB 7 IRISAN KERUCUT 175
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Persamaan Hiperbola
7.5.1 Persamaan Hiperbola
Gambar 7.23
Pada bagian ini, kita akan mempelajari suatu bentuk irisan
kerucut, yaitu hiperbola, secara lebih jauh. Perhatikan Gambar
7.23. Garis dan titik berturut-turut merupakan direktriks dan
titik fokus hiperbola, dan merupakan proyeksi titik pada garis
. Titik dan terletak pada ruas garis sedemikian rupa
sehingga| | | | dan | | | |. Dengan demikian,
dan terletak pada hiperbola. Dalam hal ini titik dan
disebut titik puncak hiperbola. Garis disebut sumbu
transversal dan | | disebut panjang sumbu transversal.
Perhatikan bahwa
| | | | | | | | | | | |
| | | | ............................................... (1)
| | | | | | | | | | | |
| | | | .............................................. (2)
(1) | | | | (2) | | | |
(2) | | | | + (1) | | | |
| | | |
| | | |
Kegiatan Pembelajaran 7.5
BAB 7 IRISAN KERUCUT 176
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Berdasarkan definisi hiperbola dapat kita katakan bahwa
hiperbola simetris terhadap sumbu transversal. Apabila kita buat
garis tegak lurus sumbu transversal melalui titik , maka hiperbola
juga akan simetris terhadap garis tersebut.
Apabila kita buat garis tegak lurus sumbu transversal melalui
fokus , dan garis ini memotong hiperbola di titik dan , maka
ruas garis disebut latus rektum dan | | disebut panjang
latus rektum.
| | | | | |
| | | |
(
)
Misalkan , maka | |
.
Perhatikan Gambar 7.23. Berdasarkan definisi hiperbola dapat
kita katakan bahwa jika merupakan fokus hiperbola dan
sebuah titik pada perpanjangan garis dengan | | | |,
maka merupakan fokus hiperbola. Selain itu, jika garis
merupakan direktriks serta dan simetris terhadap sumbu
tegak, maka juga merupakan direkrriks.
Sehubungan dengan hal tersebut di atas, salah satu sifat
penting dari hiperbola adalah sebagai berikut.
Jika adalah sembarang titik pada hiperbola yang fokusnya
dan , panjang sumbu transversalnya , dan | | | |, maka
| | | | .
Perhatikan Gambar 7.23.
| | | | | | | |
| |
| |
(
)
................................................ (terbukti)
Berdasarkan sifat ini, seringkali hiperbola didefinisikan sebagai
himpunan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu
adalah tetap.
BAB 7 IRISAN KERUCUT 177
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
7.5.2 Persamaan Hiperbola
a. Persamaan Kanonik Hiperbola
Perhatikan Gambar 7.24. Kita ambil sumbu dan sumbu
melalui titik pusat hiperbola. Berdasarkan uraian sebelumnya, dapat
kita katakan bahwa koordinat adalah (
)
dan (
).
Apabila titik adalah sembarang titik pada hiperbola,
maka akan kita peroleh
| | | |
| | | |
(
)
.
/
(ingat bahwa )
Persamaan
disebut persamaan kanonik
hiperbola.
Persamaan hiperbola di atas dapat pula kita peroleh dengan
cara berikut.
BAB 7 IRISAN KERUCUT 178
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Gambar 7.25
Perhatikan Gambar 7.25 sesuai dengan uraian sebelumnya
maka dan . Misalkan , maka
dan ,dan .
Mengingat sifat hiperbola bahwa | | | | .
Maka
√ √
√ √
√
√
√
√
Perhatikan bahwa hiperbola
tidak memotong
sumbu . Apabila kita ambil titik dan (lihat
BAB 7 IRISAN KERUCUT 179
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Gambar 2.26). biasa disebut sumbu sekawan, | | disebut
panjang sumbu sekawan, hiperbola
disebut hiperbola
sekawan dari
.
Catatan: sumbu transversal seringkali disebut pula sumbu real
atau sumbu utama. Sedangkan sumbu sekawan kadang-
kadang disebut pula sumbu imajiner.
Gambar 7.26
Sehubungan dengan uraian di atas, berikut ini adalah beberapa
sifat penting yang dimiliki oleh hiperbola
(lihat Gambar
2.26).
(1) Pusat:
(2) Puncak: dan ( )
(3) Nilai eksentrisitas:
√ atau
, (diperoleh dari hubungan
dan .
(4) Fokus: dan atau sama dengan dan
.
(5) Panjang sumbu transversal | |
panjang sumbu sekawan | |
(6) Sumbu simetri: sumbu dan sumbu .
(7) Panjang latus rektum | |
.
BAB 7 IRISAN KERUCUT 180
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
(8) Persamaan direktris
dan
, atau sama dengan
dan
.
(9) Apabila titik terletak pada hiperbola, maka titik
, dan juga terletak pada hiperbola.
(10) Hiperbola dengan persamaan
disebut hiperbola
sekawan.
Contoh 39:
Diketahui hiperbola
, maka:
a. Pusat hiperbola: .
b. , maka (diambil harga yang positif)
, maka (diambil harga yang positif)
Dengan demikian, kita peroleh titik puncak: dan .
c.
(diambil harga yang positif).
Dengan demikian, kita peroleh fokus : dan .
d. Nilai eksentrisitas
.
e. Panjang sumbu transversal .
Panjang sumbu sekawan .
f. Sumbu simetri: sumbu dan sumbu .
g. Panjang latus rektum
.
h. Persamaan direktriks:
dan
Dengan cara yang sama dengan yang diuraikan pada subbab
sebelumnya maka persamaan hiperbola hasil rotasi hiperbola
sejauh dengan pusat rotasi adalah
atau
.
Sehubungan dengan hal ini, maka ciri-ciri grafik hiperbola
adalah sebagai berikut.
(1) Pusat:
(2) Puncak: dan
(3) Nilai eksentrisitas:
BAB 7 IRISAN KERUCUT 181
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
√ atau
, dengan .
(4) Fokus: dan atau dan .
(5) Panjang sumbu transversal
panjang sumbu sekawan
(6) Sumbu simetri: sumbu dan sumbu .
(7) Panjang latus rektum
.
(8) Persamaan direktris:
dan
atau
dan
.
(9) Apabila titik terletak pada hiperbola, maka
, dan juga terletak pada hiperbola.
Contoh 40:
Ciri-ciri yang dimiliki oleh grafik hiperbola
adalah
sebagai berikut.
a. Pusat hiperbola: .
b. , maka
, maka
Sehingga kita dapatkan puncak: dan .
c. , maka dan fokus: dan
.
d. Nilai eksentrisitas:
.
e. Panjang sumbu transversal .
Panjang sumbu sekawan .
f. Sumbu simetri: sumbu dan sumbu .
g. Panjang latus rektum
.
h. Persamaan direktriks:
dan
b. Persamaan Hiperbola dengan Pusat
Sejalan dengan uraian pada subbab sebelumnya, maka
persamaan peta hiperbola
oleh translasi ( ) adalah
.
BAB 7 IRISAN KERUCUT 182
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Sesuai dengan uraian bagian a, maka sifat-sifat penting dari
hiperbola
adalah sebagai berikut.
(1) Pusat:
(2) Puncak: dan ( )
(3) Nilai eksentrisitas:
√ (atau
, dengan √ .
(4) Fokus: dan ( atau sama dengan
dan .
(5) Panjang sumbu transversal
(6) panjang sumbu sekawan
(7) Sumbu simetri: garis dan garis .
(8) Panjang latus rektum | |
.
(9) Persamaan direktriks :
dan
. (atau
dan
)
Sedangkan hiperbola sekawan dari
adalah
hiperbola
yang mempunyai sifat-sifat berikut.
(1) Pusat:
(2) Puncak: dan
(3) Nilai eksentrisitas:
√ (atau
, dengan √ ) .
(4) Fokus: dan (atau sama dengan
dan .
(5) Panjang sumbu transversal:
(6) panjang sumbu sekawan:
(7) Sumbu simetri: garis dan garis .
(8) Panjang latus rektum
.
(9) Persamaan direktriks :
dan
.
(atau
dan
)
BAB 7 IRISAN KERUCUT 183
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Contoh 41:
Unsur-unsur yang dimiliki grafik hiperbola
adalah sebagai berikut.
a. Pusat : .
b. , maka
, maka
Puncak: dan .
c. Fokus: dan .
d. Nilai eksentrisitas:
.
e. Panjang sumbu transversal .
Panjang sumbu sekawan .
f. Sumbu simetri:
garis dan garis .
g. Panjang latus rektum
.
h. Persamaan direktriks:
dan
Contoh 42:
Tentukan unsur-unsur grafik hiperbola sekawan dari hiperbola
dengan persamaan
.
Jawab:
Hiperbola sekawan mempunyai
a. Pusat : .
b. , maka
, maka
Puncak: dan .
c. Fokus: dan .
d. Nilai eksentrisitas:
.
e. Panjang sumbu transversal .
BAB 7 IRISAN KERUCUT 184
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Panjang sumbu sekawan .
f. Sumbu simetri: garis dan garis .
g. Panjang latus rektum
.
h. Persamaan direktriks:
dan
c. Persamaan Hiperbola dalam Bentuk Lain
Perhatikan persamaan hiperbola yang berpusat di titik .
Bentuk persamaan tersebut dapat kita ubah ke dalam bentuk lain
seperti berikut ini.
Misalkan:
Maka akan kita peroleh: dengan
dan berlainan tanda, yang merupakan bentuk lain persamaan
hiperbola.
Contoh 43:
Diketahui hiperbola
Carilah:
a. Titik pusat
b. Titik puncak
c. Titik fokus
d. Nilai eksentrisitas
e. Sumbu simetri
f. Persamaan direktriks
BAB 7 IRISAN KERUCUT 185
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Jawab:
Dengan demikian, hiperbola tersebut mempunyai unsur-unsur
sebagai berikut.
a. Pusat : .
b. , maka
, maka
Titik Puncak: dan
c. . Dengan demikian,titik fokus:
dan .
d. Nilai eksentrisitas:
e. Sumbu simetri: garis dan garis .
f. Persamaan direktriks:
dan
d. Menentukan Persamaan Hiperbola yang Beberapa
Unsurnya Diketahui
Kita telah mempelajari cara menentukan sifat-sifat (unsur-
unsur) suatu hiperbola yang persamaannya kita ketahui. Pada
bagian ini akan kita pelajari cara menentukan persamaan suatu
hiperbola yang beberapa unsurnya diketahui.
Contoh 44:
Suatu hiperbola yang berpusat di mempunyai panjang
sumbu transversal dan panjang sumbu sekawan . Apabila
sumbu transversal berimpit dengan sumbu , carilah persamaan
hiperbola tersebut.
BAB 7 IRISAN KERUCUT 186
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Jawab:
Panjang sumbu transversal
, maka
Panjang sumbu sekawan
, maka
Persamaan hiperbola
Contoh 45:
Diketahui hiperbola dengan fokus dan berpusat
.
Tentukan persamaan hiperbola tersebut.
Jawab:
Karena titik pusatnya dan fokus maka kita
peroleh .
Dengan demikian, kita peroleh persamaan hiperbola:
Contoh 46:
Diketahui sebuah hiperbola berpusat di . Titik
dan berturut-turut merupakan puncak dan fokus hiperbola.
Carilah persamaan hiperbola tersebut.
Jawab:
| | , maka
| | , maka
BAB 7 IRISAN KERUCUT 187
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Dengan demikian kita peroleh persamaan hiperbola:
7.5.3 Menggambar Sketsa Hiperbola
Salah satu materi penting yang perlu kita pahami dalam
menggambar sketsa hiperbola adalah asimtot. Untuk memahami
pengertian asimtot, perhatikan uraian berikut.
Definisi
Asimtot suatu hiperbola adalah suatu garis lurus yang jaraknya
dari hiperbola semakin kecil menuju nol apabila jarak dari titik asal
membesar menuju tak hingga.
Untuk mendapatkan persamaan asimtot suatu hiperbola, dapat
kita lakukan dengan cara berikut.
Gambar 7.27
Perhatikan Gambar 7.27. Persamaan hiperbola Gambar 7.27
adalah
. Apabila kedua ruas persamaan dibagi dengan
, maka kita peroleh
BAB 7 IRISAN KERUCUT 188
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
√
Pada ruas kanan bentuk terakhir ini, apabila nilai semakin
besar , nilai
akan semakin kecil mendekati nol
.
Dengan demikian, akan kita peroleh
√
Persamaan
adalah persamaan asimtot hiperbola
. Sekedar untuk memudahkan kita, persamaan asimtot
hiperbola
dapat diperoleh
. Dari persamaan
kita peroleh
√
Dengan cara yang sama, asimtot hiperbola
dapat kita peroleh dari
seperti berikut.
Contoh 47:
Carilah persamaan asimtot untuk masing-masing hiperbola berikut.
BAB 7 IRISAN KERUCUT 189
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
a.
b.
Jawab:
a.
Asimtot hiperbola dapat diperoleh dari persamaan
,
sehingga kita peroleh
b.
Asimtot hiperbola dapat diperoleh dari persamaan
. Dari persamaan itu kita peroleh
Kita peroleh
atau
atau
atau
Jadi, persamaan asimtot hiperbola tersebut adalah
dan
Hiperbola Ortogonal
Suatu hiperbola yang asimtot-asimtotnya saling tegak lurus
disebut hiperbola ortogonal. Perhatikan asimtot hiperbola
dan
.
BAB 7 IRISAN KERUCUT 190
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Berdasarkan uraian sebelumnya, gradien asimtot kedua
hiperbola tersebut adalah
dan
. kita ketahui bahwa hasil
perkalian gradien dua garis yang saling tegak lurus adalah . Oleh
karena itu, agar hiperbola
dan hiperbola
merupakan hiperbola ortogonal, maka harus dipenuhi syarat
berikut.
(
)(
)
Contoh 48:
Masing-masing hiperbola berikut merupakan hiperbola ortogonal.
a.
b.
Menggambar sketsa hiperbola
Langkah-langkah yang diperlukan untuk menggambar sketsa
suatu hiperbola adalah sebagai berikut.
a. Tentukan koordinat titik pusat
b. Tentukan koordinat titik puncak
c. Tentukan koordinat titik fokus
d. Tentukan sumbu simetri
e. Tentukan asmtot
f. Tentukan beberapa titik bantu
g. Buat sketsa grafik
Contoh 49:
Gambarlah sketsa hiperbola berikut.
a.
b.
BAB 7 IRISAN KERUCUT 191
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Jawab:
a.
(1) Pusat :
(2)
Titik puncak: dan .
(3) Fokus: dan
(4) Sumbu simetri: sumbu dan sumbu .
(5) Asimtot didapat dari
.
(6) Beberapa titik bantu
√
(7) Sketsa hiperbola
BAB 7 IRISAN KERUCUT 192
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
b.
(1) Pusat :
(2)
Titik puncak: dan .
(3) Fokus: dan .
(4) Sumbu simetri: garis dan garis .
(5) Asimtot didapat dari
Dengan demikian, persamaan asimtot hiperbola tersebut
adalah
dan
dan
(6) Beberapa titik bantu
√
dan
√ dan √
BAB 7 IRISAN KERUCUT 193
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
(7) Sketsa hiperbola
BAB 7 IRISAN KERUCUT 194
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
LATIHAN
1. Diketahui persamaan hiperbola
. Tentukan titik fokus
dari hiperbola tersebut!
2. Tentukan titik puncak dari hiperbola dengan persamaan
!
3. Diketahui persamaan hiperbola . Tentukanlah:
a. Koordinat pusat
b. Koordinat titik puncak
c. Koordinat titik fokus
d. Persamaan garis direktriks
e. Persamaan garis asimtot
f. Panjang latus rektum
g. Eksentrisitas
h. Sketsa grafik
BAB 7 IRISAN KERUCUT 195
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Persamaan Garis Singgung Pada Hiperbola
7.6.1 Persamaan Garis Singgung Pada Hiperbola
Persamaan Garis Singgung pada Hiperbol
Pada bagian ini kita akan mempelajari cara menentukan garis
singgung Pada hiperbol yang meliputi:
(1) Menentukan persamaan garis singgung yang melalui suatu titik
tertentu pada hiperbol,
(2) Menentukan persamaan garis singgung yang mempunyai
gradien tertentu, dan
(3) Menentukan persamaan garis singgung yang melalui suatu titik
di luar hiperbol.
a. Garis Singgung Di Suatu Titik Pada Hiperbol
Persamaan garis singgung di suatu titik pada hiperbol dapat
ditentukan dengan menggunakan:
(1) Fungsi turunan
(2) Rumus
Menentukan Persamaan Garis Singgung Di Suatu Titik Pada
Hiperbol Dengan Menggunakan Fungsi Turunan
Langkah-langkah yang diperlukan untuk menentukan
persamaan garis singgung di titik pada hiperbol adalah
sebagai berikut.
(1) Menentukan yang dinyatakan dengan dan .
(2) Menentukan gradien garis singgung, misalkan , yang
merupakan nilai di titik .
(3) Menentukan persamaan garis singgung, yaitu garis yang
bergradien dan melalui titik , dengan menggunakan
rumus
Contoh 50:
Carilah persamaan garis singgung pada masing-masing
hiperbol berikut.
a. Hiperbol
; di titik .
Kegiatan Pembelajaran 7.6
BAB 7 IRISAN KERUCUT 196
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
b. Hiperbol
; di titik
Jawab :
a. Garis singgung pada hiperbol
di titik .
Di titik , nilai adalah
.
Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah
b. Garis singgung pada hiperbol
; di titik
Di titik nilai adalah
Dengan demikian, kita peroleh persamaan garis singgung:
BAB 7 IRISAN KERUCUT 197
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Menentukan Persamaan Garis Singgung Di Suatu Titik Pada
Hiperbol Dengan Menggunakan Rumus
Persamaan garis singgung di titik pada hiperbol dapat kita
tentukaan dengan menggunakan rumus.
(1) Garis singgung pada hiperbol
adalah
.
(2) Garis singgung pada hiperbol
adalah
.
Bukti rumus-rumus di atas adalah sebagai berikut.
Di titik , gradien garis singgung adalah
.
Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah:
Tambahkan kedua ruas persamaan di atas dengan
Dengan demikian kita peroleh
BAB 7 IRISAN KERUCUT 198
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Karena terletak pada hiperbola, maka
, sehingga persamaan garis singgung di atas menjadi
(terbukti).
Apabila pusat hiperbola adalah , maka ,
sehingga persamaan garis singgung pada hiperbola
di
titik adalah
(terbukti).
Contoh 51:
Soal pada contoh 53 dapat pula kita kerjakan dengan cara berikut.
a. Garis singgung pada hiperbola
di titik adalah
b. Garis singgung pada hiperbola
di titik
adalah
BAB 7 IRISAN KERUCUT 199
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
b. Garis Singgung Dengan Gradien Tertentu
Persamaan garis singgung bergradien tertentu pada
suatuhiperbol dapat kita tentukan dengan menggunakan fungsi
turunan dan rumus.
Menentukan Persamaan Garis Singgung Bergradien Tertentu
Pada Suatu Hiperbol Dengan Menggunakan Fungsi Turunan.
Langkah-langkah yang diperlukan untuk menentukan
persamaan garis singgung bergradien tertentu, misalnya dengan
menggunakan fungsi turunan adalah sebagai berikut.
(1) Tentukan yang dinyatakan dalam dan
(2) Namai titik singgungnya, misalnya dengan kemudian
cari nilai dan dengan mengingat bahwa nilai di
adalah dan terletak pada hiperbola
(3) Tentukan persamaan garis singgung di berdasarkan
hasil yang diperoleh dari langkah .
Contoh 52:
Cari persamaan garis singgung yang memnpunyai gradien
yang diberikan pada masing-masing hiperbol berikut.
a. Hiperbola
, gradien .
b. Hiperbola
, gradien
Jawab:
a. Garis singgung bergradien pada hiperbola
Misalkan koordinat titik singgungnya adalah , maka kita
mempunyai sistem persamaan
.......................................................................... (1)
.............................................................. (2)
BAB 7 IRISAN KERUCUT 200
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Dari persamaan (2), kita peroleh
, maka
Kita substitusikan nilai ini ke dalam persamaan (1).
Untuk , maka . Dengan demikian kita peroleh titik
singgungnya: dan persamaan garis singgungnya adalah
Untuk , maka . Dengan demikian, kita peroleh
titik singgungnya: dan persamaan garis singgungnya
adalah
b. Garis singgung bergradien pada hiperbola
.
Misalkan adalah koordinat titik singgung, maka kita
mempunyai sistem persamaan
BAB 7 IRISAN KERUCUT 201
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
..........................................................(1)
..........................................................(2)
Dari persamaan (2) kita peroleh
Selanjutnya kita substitusikan nilai ini ke dalam persamaan
(1).
(
)
Untuk , maka
.
Dengan demikian, kita peroleh titik singgung hiperbola tersebut
adalah dan persamaan garis singgungnya adalah
BAB 7 IRISAN KERUCUT 202
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Untuk , maka
.
Dengan demikian, kita peroleh titik singgung hiperbola tersebut
adalah dan persamaan garis singgungnya adalah
Menentukan Persamaan Garis singgung Bergradien tertentu
dengan Menggunakan Rumus
Untuk mencari persamaan garis singgung bergradien tertentu,
dapat kita gunakan rumus berikut.
(1) Persamaan garis singgung bergradien pada hiperbola
adalah √ .
(2) Persamaan garis singgung bergradien pada hiperbola
adalah
√ .
Bukti rumus-rumus di atas adalah sebagai berikut.
(1) Misalkan persamaan garis singgung tersebut adalah
.
Apabila garis ini kita potongkan dengan hiperbola, akan kita
peroleh:
BAB 7 IRISAN KERUCUT 203
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Persamaan berikut ini merupakan persamaan kuadrat. Agar
garis menyinggung parabola maka determinannya harus nol,
sehingga
√
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
√ (terbukti)
(2) Untuk menentukan persamaan garis singgung bergradien
pada hiperbola
dapat dilakukan dengan cara
berikut.
Telah kita ketahui bahwa hiperbola
merupakan hasil translasi hiperbola
oleh vektor
translasi ( ). Dengan demikian, garis singgung bergradien
merupakan hasil translasi garis singgung bergradien pada
hiperbola
, yaitu garis √ oleh
vektor ( ). Misalkan adalah hasil translasi sembarang
titik pada garis √ oleh vektor
translasi ( ). Dengan demikian, dan ,
sehingga dan jika kedua persamaan
terakhir kita substitusikan pada persamaan
√ akan kita peroleh
√
Yang merupakan persamaan garis singgung dalam sistem
koordinat . Dengan mengganti lambang dan
dengan lambang yang lebih umum, yaitu dan , kita
dapatkan persamaan √ yang
merupakan persamaan garis singgung bergradien pada
suatu kurva yang berpusat di titik .
BAB 7 IRISAN KERUCUT 204
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Contoh 53:
Saat pada contoh 55 dapat kita kerjakan dengan cara berikut.
a. Tentukan garis singgung pada hiperbola
yang
bergradien
, dan
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
√
√
atau .
b. Garis singgung pada hiperbola
yang
bergradien . Kita ketahui , dan
.
Jadi, persamaan garis singgung:
√
√
atau
c. Garis Singgung yang Melalui suatu titik tertentu di luar
hiperbola
Perhatikan Gambar 7.29. Titik adalah titik di luar
hiperbola
.
Gambar 2.29
BAB 7 IRISAN KERUCUT 205
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Titik dan merupakan titik singgung. Sejalan
dengan uraian pada irisan suatu garis kutub yang persamaannya
adalah
dan titik disebut titik
kutub.
Sehubungan dengan hal tersebut, maka langkah-langkah yang
diperlukan untuk mencari persamaan garis singgung yang dibuat
melalui suatu titik di luar hiperbola adalah sebagai berikut.
(1) Tentukan persamaan garis kutub, yaitu:
atau
(2) Cari koordinat titik singgung, yaitu titik potong garis kutub
dengan hiperbola.
(3) Tentukan persamaan garis singgung di titik yang diperoleh
pada langkah (2)
Contoh 54:
Carilah persamaan garis singgung yang melalui titik yang
diberikan pada masing-masing hiperbola berikut.
a. Hiperbola
; titik .
b. Hiperbola
; titik
Jawab:
a. Garis singgung pada hiperbola
yang melalui titik
.
Persamaan garis kutub:
............................................(1).
BAB 7 IRISAN KERUCUT 206
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Jika garis persamaan (1) dipotongkan dengan hiperbola, maka
akan kita peroleh
(
)
atau
Untuk , maka
, sehingga titik
singgungnya adalah . Dengan demikian, persamaan garis
singgungnya adalah
Untuk , maka
, sehingga titik
singgungnya adalah .
Dengan demikian, persamaan garis singgung tersebut adalah
b. Garis singgung pada hiperbola
yang melalui
titik .
Persamaan garis kutub:
BAB 7 IRISAN KERUCUT 207
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
.................(1)
Jika garis (1) dipotongkan dengan hiperbola, maka akan kita
peroleh
(
)
( )
atau .
Untuk , maka
sehingga kita peroleh
koordinat titik singgung adalah
Dengan demikian persamaan garis singgungnya adalah
BAB 7 IRISAN KERUCUT 208
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Untuk , maka
, sehingga koordinat
titik singgungnya adalah
Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah
BAB 7 IRISAN KERUCUT 209
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
Latihan
1. Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien m di titik
(-1,1) pada hiperbola !
2. Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola
yang tegak lurus garis x – 2y + 3 = 0!
3. Dari titik T(2,-5) ditarik garis-garis singgung pada hiperbola
. Tentukan jarak T ke garis yang menghubungkan
titik-titik singgung!
4. Tentukan nilai a supaya garis 4x + y + a = 0 menyinggung
hiperbola
!
BAB 7 IRISAN KERUCUT 210
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
DAFTAR PUSTAKA
Morril, W. K. 1969. Analytic Geometry. Scranton, Pennysylvania
Rawuh, dkk. 1972. Ilmu Ukur Analitik. Jilid 1 dan 2. Ternate
Bandung
Suherman, Maman. 1986. Geometri Analitik Datar. Karunika
Jakarta
Sukirman. 2009. Geometri Anlitik Bidang dan Ruang. Universitas
Terbuka
Suryadi D.H.S. 1986. Ilmu Ukur Analitik Ruang. Ghalia Indonesia
DAFTAR PUSTAKA 211
GEOMETRI ANALITIK
BUKU
AJAR
PROFIL
Mulia Suryani, M.Pd dilahirkan di Padang pada
tanggal 12 November 1987. Penulis merupakan
lulusan Program Studi Pendidikan Matematika
STKIP PGRI Sumatera Barat (2005-2009) dan
melanjutkan Program Master di Pascasarjana
Universitas Negeri Padang (UNP) (2010-2012).
Penulis merupakan dosen tetap Program Studi
Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera
Barat semenjak tahun 2009. Pengalaman mengajar penulis anatara
lain sebagai pembina mata kuliah Geometri Analitik, Aljabar Dasar,
Program Linier, Evaluasi Pembelajaran Matematika, Matematika
Dasar dan Pengembangan Program Pengajaran Matematika. Buku
yang penulis pernah terbitkan adalah Buku ajar Program Linier
yang diterbitkan di Deepublish Yogyakarta.
Email: muliasuryani@gmail.com
Melisa, M.Pd kelahiran Padang pada tanggal 15
September 1987. Penulis merupakan lulusan
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP
PGRI Sumatera Barat (2005-2009) dan
melanjutkan Program Master di Pascasarjana
Universitas Negeri Padang (UNP) (2010-2012).
Penulis merupakan dosen tetap Program Studi
Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera
Barat semenjak tahun 2010. Pengalaman mengajar penulis antara
lain sebagai pembina mata kuliah Kalkulus Peubah Banyak, Telaah
Kurikulum Matematika, Geometri Analitik, Media Pembelajaran
Matematika, dan Matematika Dasar.
Email: icamelisa87@gmail.com