Buku Ajar - repo.stkip-pgri-sumbar.ac.idrepo.stkip-pgri-sumbar.ac.id/id/eprint/3893/1/dummy Buku...

Buku Ajar

Geometri Analitik

UU No 28 tahun 2014 tentang Hak Cipta Fungsi dan sifat hak cipta Pasal 4 Hak Cipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 3 huruf a merupakan hak eksklusif yang terdiri atas hak moral dan hak ekonomi. Pembatasan Pelindungan Pasal 26 Ketentuan sebagaimana dimaksud dalam Pasal 23, Pasal 24, dan Pasal 25 tidak berlaku terhadap: i. penggunaan kutipan singkat Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait untuk pelaporan

peristiwa aktual yang ditujukan hanya untuk keperluan penyediaan informasi aktual; ii. Penggandaan Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait hanya untuk kepentingan penelitian

ilmu pengetahuan; iii. Penggandaan Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait hanya untuk keperluan pengajaran,

kecuali pertunjukan dan Fonogram yang telah dilakukan Pengumuman sebagai bahan ajar; dan

iv. penggunaan untuk kepentingan pendidikan dan pengembangan ilmu pengetahuan yang memungkinkan suatu Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait dapat digunakan tanpa izin Pelaku Pertunjukan, Produser Fonogram, atau Lembaga Penyiaran.

Sanksi Pelanggaran Pasal 113 1. Setiap Orang yang dengan tanpa hak melakukan pelanggaran hak ekonomi sebagaimana

dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf i untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 1 (satu) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp100.000.000 (seratus juta rupiah).

2. Setiap Orang yang dengan tanpa hak dan/atau tanpa izin Pencipta atau pemegang Hak Cipta melakukan pelanggaran hak ekonomi Pencipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf c, huruf d, huruf f, dan/atau huruf h untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 3 (tiga) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah).

Buku Ajar

Geometri Analitik

Mulia Suryani

BUKU AJAR GEOMETRI ANALITIK

Mulia Suryani

Desain Cover : Nama

Tata Letak Isi : Haris Ari Susanto Sumber Gambar : Sumber

Cetakan Pertama: Bulan 2017

Hak Cipta 2017, Pada Penulis

Isi diluar tanggung jawab percetakan

Copyright © 2017 by Deepublish Publisher All Right Reserved

Hak cipta dilindungi undang-undang

Dilarang keras menerjemahkan, memfotokopi, atau memperbanyak sebagian atau seluruh isi buku ini

tanpa izin tertulis dari Penerbit.

PENERBIT DEEPUBLISH (Grup Penerbitan CV BUDI UTAMA)

Anggota IKAPI (076/DIY/2012)

Jl.Rajawali, G. Elang 6, No 3, Drono, Sardonoharjo, Ngaglik, Sleman Jl.Kaliurang Km.9,3 – Yogyakarta 55581

Telp/Faks: (0274) 4533427 Website: www.deepublish.co.id www.penerbitdeepublish.com E-mail: [email protected]

Katalog Dalam Terbitan (KDT)

SURYANI, Mulia

Buku Ajar Geometri Analitik/oleh Mulia Suryani.--Ed.1, Cet. 1--Yogyakarta: Deepublish, November 2017.

viii, 211 hlm.; Uk:17.5x25 cm ISBN 978-Nomor ISBN 1. Klasifikasi Buku I. Judul

No.DDC

v

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah

memberikan karunia serta nikmat yang tiada terhingga. Alhamdulillah

berkat izin-Nya, penulis dapat menyelesaikan buku ajar ini. Semoga

Allah senantiasa memberikan ridho dan Maghfirah-Nya.

Pada kesempatan ini penulis mengucapkan banyak terima kasih

kepada Bapak Prof. Turmudi, M.Ed, M.Sc, Ph.D dan Ibu Dr. Elah

Nurlaelah, M.Si yang telah memberikan bimbingan kepada penulis

dalam penulisan buku ajar ini. Semoga ilmu yang diberikan menjadi

amalan yang baik.

Buku Ajar ini memuat materi Geometri Analitik Bidang dan Ruang

yang meliputi sistem koordinat di bidang dan di ruang, persamaan

garis lurus di bidang dan di ruang, bidang datar, persamaan lingkaran

dan bola, dan irisan kerucut berupa parabola, elips dan hiperbola.

Buku ajar ini dikembangkan supaya dapat membantu mahasiswa

dalam menentukan sistem koordinat di bidang dan di ruang,

persamaan garis lurus di bidang dan di ruang, bidang datar,

persamaan lingkaran dan bola, dan irisan kerucut berupa parabola,

elips dan hiperbola.

Akhir kata penulis ucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang

telah membantu dalam penyusunan buku ini. Harapan penulis,

semoga buku ini bermanfaat bagi kita semua terutama bagi

mahasiswa yang mengambil mata kuliah geometri bidang. Kritik dan

saran selalu penulis harapkan.

vi

PRAKATA

Geometri analitik merupakan salah satu mata kuliah yang wajib

dipelajari oleh mahasiswa pada Program Studi Pendidikan

Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat. Mata kuliah ini memiliki

bobot 3 SKS. Mata kuliah Geometri analitik merupakan salah satu

mata kuliah yang menjadi prasyarat bagi mata kuliah lainnya, seperti

kalkulus peubah banyak dan analisis vektor. Materi perkuliahan pada

mata kuliah Geometri Analitik mencakup teori tentang geometri

analitik bidang dan geometri analitik ruang.

Mata kuliah ini membahas tentang sistem koordinat di bidang dan

di ruang, jarak dua titik di bidang dan di ruang; persamaan garis di

bidang dan di ruang, persamaan bidang rata (persamaan vektoris,

persamaan parameter, persamaan linier, persamaan vektor normal,

persamaan normal, menggambar persamaan bidang rata dalam

koordinat cartesius, sudut antara dua buah bidang rata, jarak titik ke

bidang rata, jarak bidang yang sejajar, garis lurus berpotongan dua

bidang rata, berkas bidang rata dan jaringan bidang rata); persamaan

lingkaran dan bola (garis dan lingkaran, bidang rata dan bola);

parabola (persamaan parabola, melukis, dan garis singgung parabola);

elips (persamaan elips, melukis, dan persamaan garis singgung elips)

dan hiperbola (persamaan hiperbola, melukis, dan persamaan garis

singgung hiperbola). Bahan ajar ini dikembangkan untuk membantu

mahasiswa dalam memahami materi dengan baik sehingga

perkuliahan bisa berjalan dengan lancar. Penyajian materi dalam

bahan ajar ini diharapkan dapat dengan mudah dipahami oleh

mahasiswa STKIP PGRI Sumatera Barat.

Akhir kata penulis ucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang

telah membantu dalam penyusunan buku ini. Harapan penulis,

semoga buku ini bermanfaat bagi kita semua terutama bagi

mahasiswa yang mengambil mata kuliah geometri bidang. Kritik dan

saran selalu penulis harapkan.

Padang, Oktober 2017

Penulis

vii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ............................................................................................................ v

PRAKATA ................................................................................................................................ vi

DAFTAR ISI .......................................................................................................................... vii

BAB 1 PENDAHULUAN ............................................................................. 1

BAB 2 VEKTOR ........................................................................................... 4

Kegiatan Pembelajaran 2.1 vektor ......................................................... 4

LATIHAN ........................................................................................................... 11

BAB 3 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS .......................................... 12

Kegiatan Pembelajaran 3.1 Sistem Koordinat Tegak

Lurus ................................................................................................................... 12

LATIHAN ........................................................................................................... 20

Kegiatan Pembelajaran 3.2 Jarak Antara Dua Titik .................... 21

LATIHAN ........................................................................................................... 28

BAB 4 GARIS LURUS .............................................................................. 29

Kegiatan Pembelajaran 4.1 Gradien atau

Kemiringan Suatu Garis ............................................................................ 29

LATIHAN ........................................................................................................... 38

Kegiatan Pembelajaran 4.2 Kedudukan antara Dua

Buah Garis Lurus .......................................................................................... 39

LATIHAN ........................................................................................................... 50

BAB 5 BIDANG DATAR .......................................................................... 51

Kegiatan Pembelajaran 5.1 Bentuk Persamaan

Bidang Datar ................................................................................................... 51

LATIHAN ........................................................................................................... 58

Kegiatan Pembelajaran 5.2 Jarak Titik Ke Bidang

Datar dan Bidang Datar yang Sejajar ................................................. 59

LATIHAN ........................................................................................................... 68

viii

BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA ............................................................ 69

Kegiatan Pembelajaran 6.1 Persamaan Lingkaran

dan Bola............................................................................................................. 69

LATIHAN ........................................................................................................... 83

Kegiatan Pembelajaran 6.2 Garis Singgung

Lingkaran dan Kuasa Lingkaran ........................................................... 84

LATIHAN ........................................................................................................... 97

Kegiatan Pembelajaran 6.3 Bola dan Bidang Rata ...................... 98

LATIHAN ......................................................................................................... 107

BAB 7 IRISAN KERUCUT .....................................................................108

Kegiatan Pembelajaran 7.1 Persamaan Parabola ...................... 108

LATIHAN ......................................................................................................... 121

Kegiatan Pembelajaran 7.2 Persamaan Garis

Singgung Parabola ..................................................................................... 123

LATIHAN ......................................................................................................... 139

Kegiatan Pembelajaran 7.3 Persamaan elips ............................... 140

LATIHAN ......................................................................................................... 159


Singgung Pada Elips .................................................................................. 160

LATIHAN ......................................................................................................... 174

Kegiatan Pembelajaran 7.5 Persamaan Hiperbola ................... 175

LATIHAN ......................................................................................................... 194


Singgung Pada Hiperbola ....................................................................... 195

LATIHAN ......................................................................................................... 209

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................ 210

PROFIL ................................................................................................................................. 211

BAB 1 PENDAHULUAN 1

GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

BAB 1

PENDAHULUAN

1. Ahli Geometri Analitik

Salah satu ahli matematika dalam

bidang geometri analitik adalah Rene

Descartes (1596-1650). Rene

Descartes lahir di Desa La Haye tahun

1596. Waktu mudanya dia bersekolah

di Yesuit, College La Fleche. Pada

umur 20 tahun, dia mendapat gelar ahli

hukum dari Universitas Poitiers.

Descartes meyakini bahwa tidak ada

ilmu apapun yang bisa dipercaya tanpa

matematika.

Pemikiran Descartes mengenai geometri analitik dituangkan

dalam tulisannya yang berjudul La Geometrie. Karyanya yaitu

koordinat cartesius. Uraian geometri pada bagian pertama dari

karya ini diuraikan mengenai aljabar geometri sebagai

pengembangan dari aljabar geometri sebagai pengembangan

aljabar geometri gerik purbakala. Saat Descartes mempelajari

bentuk-bentuk dengan menggunakan sumbu-sumbu, Descartes

menemukan hasil yang mengejutkan yaitu semua bentuk

mempunyai kategori persamaan umum seperti halnya garis lurus.

Temuan lainnya, dalam menentukan suatu titik. Untuk menentukan

suatu titik harus memenuhi relasi x dan y. Pada suatu sumbu

dilukiskan x, mengapit sudut tertentu dengan sumbu yang

dilukiskan y, maka terbentuk (x,y).

2. Sejarah Geometri Analitik

Geometri analitik merupakan kajian terhadap objek-objek geometri

dengan menggunakan sistem koordinat yang diulas menggunakan

konsep dan prinsip aljabar dan analisis. Perkembangan geometri

analitik dimulai dengan kehadiran bentuk baru persamaan

(equation). Bentuk baru persamaan tersebut memungkinkan untuk

mengklarifikasikan kurva berdasarkan derajat (degree). Kurva

Rene Descartes

BAB 1 PENDAHULUAN 2

GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

berderajat satu adalah garis lurus (straight lines), kurva berderajat

dua merupakan irisan kerucut (conic sections) dan kurva berderajat

tiga dinamakan kurva kubik (cubic curves).

Rene Descartes (1596-1650) menggunakan bentuk baru

persamaan tersebut untuk mengubah masalah-masalah geometri

menjadi masalah aljabar menggunakan koordinat sehingga dapat

diselesaikan dengan manipulasi aljabar. Pengubahan tersebut

dilakukan berdasarkan relasi antara himpunan titik-titik yang

berkorespondensi satu-satu dengan himpunan bilangan rill. Sebuah

titik dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan rill (x,y).

Descartes dalam bukunya Geometry (La Geometrie) menggunakan

pertama kali bentuk sumbu koordinat untuk menganalisis sebuah

kurva secara aljabar.

Dalam bukunya, Descartes (Smith dan Latham, 1957)

menuliskan “I Choose a straight line, as AB, ti attach to refer all its

points....and in AB I choose a point A at which to begin the

investigation... Then I draw throught C the line CB parallel to GA.

Since CB and BA are unknown and indeteminate quantities, I shall

call one of them y and the other x”. Pernyataan Descartes tersebut

mendeskripsikan mengenai sumbu koordinat x dan y. Selanjutnya,

Descartes menggunakan persamaan aljabar yaitu:

Untuk mengidentifikasikan kurva tersebut. Terlihat pada

Gambar 1, kurva EC yang dinyatakan oleh persamaan tersebut

memiliki bentuk hiperbola. Diagram tersebut menjadi awal

penggunaan sistem koordinat cartesius. Penamaan sistem

koordinat ini dilakukan untuk menghormati karya pemikiran Rene

Descartes.

Ide awal geometri analitik adalah penyajian kurva sebagai

persamaan, yang selanjutnya dikembangkan untuk memperluas

berbagai teknik manipulasi aljabar hingga dari persamaan tersebut

diperoleh informasi tentang kurva. Descartes telah menunjukkan

bahwa setelah suatu masalah geometri diubah menjadi masalah

aljabar maka persamaan tersebut diselesaikan untuk memperoleh

penyelesaian masalah geometri. Perkembangan tersebut

memungkinkan penyelesaian berbagai masalah kompleks dan

menghasilkan bidang kajian barudalam matematika, yaitu kalkulus

BAB 1 PENDAHULUAN 3

GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

dan trigonometri, yang selanjutnya menjadi dasar perkembangan

sains dan teknologi modern.

Geometri anlitik diaplikasikan dalam berbagai ilmu

pengetahuan sains dan teknologi. Sejak tahun 1985, geometri

analitik digunakan oleh para ilmuwan untuk menyelesaikan masalah

kriptografi yaitu untuk menuliskan pesan dalam kode rahasia.

Ilmuwan biologi menggunakan geometri analitik dalam bidang

spektroskopi. Di bidang geografi, geometri digunakan untuk

membuat peta, pengidentifikasian latitude dan longitude serta

pengembangan Global Positioning System (GPS). Para ahli di

bidang teknik sipil menggunakan geometri analitik untuk

menggambarkan bangunan atau jembatan serta melakukan

perhitungan berkaitan dengan bobot yang dapat ditanggung

bangunan atau jembatan tersebut. Di bidang pemprograman

komputer juga menggunakan geometri analitik untuk

mengembangkan perangkat mouse, permainan video, animasi dan

pengolahan citra digital.

BAB 2 VEKTOR 4

GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

BAB 2

VEKTOR

Pada BAB 2 ini akan dibahas tentang pengertian dan notasi

vektor, kesamaan dua vektor, vektor dan sistem koordinat, dot

product, dan cross product.

vektor

2.1.1 Pengertian dan Notasi Vektor

Misalnya titik A kita pindahkan ke posisi yang lain menjadi titik B.

Pada perpindahan itu terkandung dua makna, yaitu berapa jauh

perpindahannya (jarak) dan ke arah mana perpindahannya.

Perpindahan dari titik A ke titik B tersebut dapat digambarkan

dengan suatu anak panah yang berpangkal di A dan berujung di B

seperti ditunjukkan pada Gambar 2.1 berikut.

Gambar 2.1 Perpindahan dari titik A ke titik B

Panjang ruas garis AB menyatakan jauh perpindahannya,

sedangkan mata panah menyatakan arah perpindahan. Anak

panah yang menyatakan perpindahan itu disebut vektor. Jadi,

vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Besaran

seperti ini misalnya kecepatan, gaya, momen, dan sebagainya.

Suatu vektor secara geometri disajikan dengan ruas garis

berarah. Panjang ruas garis berarah menyatakan panjang (besar

vektor), sedangkan arah panah menunjukkan arah vektor. Vektor

Kegiatan Pembelajaran 2.1

BAB 2 VEKTOR 5

GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

diberi nama menurut pangkal dan ujungnya, misalnya AB. AB dapat

dituliskan dengan menggunakan lambang huruf kecil yang dicetak

tebal atau dengan huruf kecil yang dibubuhi tanda panah di atas

huruf itu, misalnya a atau , seperti ditunjukkan pada gambar 2.2

berikut

Gambar 2.2 Notasi Vektor

Untuk vektor AB dari Gambar 2.2, titik A disebut titik pangkal

(titik asal), sedangkan titik B disebut titik ujung (titik terminal).

2.1.2 Kesamaan Dua Vektor

A. Vektor u dan v dikatakan sebagai dua vector yang sama

apabila keduanya segaris dan mempunyai panjang dan arah

yang sama. Apabila u dan v adalah dua vektor yang sama,

maka hubungan kedua vektor ini kita tulis dengan notasi u = v.

Perhatikan Gambar 2.3 !

Gambar 2.3 Vektor u dan v

u

v

BAB 2 VEKTOR 6

GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

B. Pandang dua buah vektor yang arahnya sama, tetapi

panjangnya berlainan. Dalam hal ini, salah satu vektor dapat

dinyatakan dengan vektor yang lain. Perhatikan Gambar 2.4.

Gambar 2.4 vektor dan

Pada Gambar 2.4 terlihat bahwa = 2 atau =

C. Perhatikan Gambar 2.5. Tampak bahwa sama dengan ,

tapi arahnya berlawanan. Dua buah vektor disebut berlawanan

apabila panjangnya sama tetapi arahnya berlawanan. = -

atau = -

Gambar 2.5 Dua buah vektor yang berlawanan

D. Jika dua buah vektor yang arahnya berlawanan dan

panjangnya tidak sama maka vektor yang satu dapat

dinyatakan dengan yang lain. Pada Gambar 2.6 tampak bahwa

= -3 atau = -

𝐀𝐁

𝐄𝐅

𝐀𝐁

𝐂𝐃

BAB 2 VEKTOR 7

GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Gambar 2.6 Dua vektor yang berlawanan dengan panjang yang berbeda

2.1.3 Vektor dan Sistem Koordinat

Suatu vektor disebut vektor satuan bila panjangnya satu satuan.

Bila a vektor dengan panjang |a| ≠0 maka

| | adalah vektor satuan

yang searah dengan a. Perhatikan sistem koordinat pada Gambar

2.7.

Gambar 2.7 Vektor Satuan

𝐀𝐁

𝐄𝐅

𝑖

𝑗

��

BAB 2 VEKTOR 8

GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Perlu Anda ketahui bahwa:

a. Vektor satuan memiliki titik awal (0,0,0) dan arahnya searah

dengan sumbu x positif.

b. Vektor satuan memiliki titik awal (0,0,0) dan arahnya searah

dengan sumbu y positif.

c. Vektor satuan memiliki titik awal (0,0,0) dan arahnya searah

dengan sumbu z positif.

d. Ketiga vektor satuan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.

i = 1i + 0j + 0k atau i = [1,0,0]

j = 0i + 1j + 0k atau j = [0,1,0]

k = 0i + 0j + 1k atau k = [0,0,1]

2.1.4 Dot Product

Bila a dan b adalah vector-vektor, θ adalah sudut antara a dan b

0 θ π , maka dot product yaitu:

Bila a, b dan c adalah vektor-vektor dan m adalah skalar, maka

berlaku aturan sebagai berikut.

1) a.b = b.a

2) a.(b+c) = a.b + a.c

3) m(a.b) = (ma).b = a.(mb) = (a.b)m

4) Bila a = [a1, a2, a3] dan b = [b1, b2, b3], maka a.b = a1b1 + a2b2 +

a3b3

5) a.a = |a|2

6) a.b = 0 (a ≠ 0, b ≠ 0), ini berarti, a tegak lurus b

2.1.5 Cross Product

Bila a dan b adalah vektor-vektor dan θ adalah sudut antara a dan

b 0 θ π , maka cross product yaitu:

a.b = |a| |b| cos θ

a x b = {|a| |b| sin θ} u

BAB 2 VEKTOR 9

GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

dimana u adalah vektor satuan yang tegak lurus dengan bidang

(a,b) serta a, b, dan u memenuhi sistem tangan kanan.

Gambar 2.8 Vektor satuan yang tegak lurus dengan bidang

Bila a, b dan c adalah vektor-vektor dan m adalah skalar, maka

berlaku aturan sebagai berikut.

1) a x b = -b x a

2) a x (b+c) = a x b + a x c

3) m(a x b) = (ma) x b = a x (mb) = (a x b)m

4) i × i = j × j = k × k = 0

, i × j = k, j k = i k i j

5) Bila a = [a1, a2, a3] dan b = [b1, b2, b3], maka

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

1 2 3

1 2 3

a a a a a aa × b = , ,

b b b b b b

i j k

= a a a

b b b

6) Panjang dari a x b yaitu | a x b |= |a||b| sin θ menyatakan luas

jajaran genjang yang dua buah sisinya a dan b.

7) Jika a x b = 0 dan a ≠ 0 dan b ≠ 0 maka a sejajar dengan b.

Contoh:

Tentukan cos θ jika diketahui a = 3i + 4j + 5k dan b = 2i + 6j !

BAB 2 VEKTOR 10

GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Penyelesaian:

Untuk menentukan nilai cos θ kita dapat menggunakan aturan

sebagai berikut.

a.b

a.b =|a||b|cosθ cosθ =|a||b|

Oleh karena itu, kita terlebih dahulu menentukan a.b, |a| dab |b|.

a.b = 3.2 + 4.6 + 5.0 = 30

|a| = 2 2 23 + 4 + 5 = 50

|b| = 2 2 22 + 6 + 0 = 40

Jadi, a.b 3 3 5

cosθ = = =|a||b| 10050 40

BAB 2 VEKTOR 11

GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

LATIHAN

1. Tentukan panjang dari vector p = 2i + 3j + 4k !

2. Tentukan panjang dari vector a = - 3i - 4j - k !

3. Diketahui u = 2i +3j + 5k dan v = 3i - j + 2k . Tentukan hasil

penjumlahan dari u + v !

4. Diketahui u dan v pada nomor 3. Tentukan hasil dari u - v !

5. Diketahui u dan v pada nomor 3. Tentukan hasil dari 3u + v !

6. Diketahui u dan v pada nomor 3. Tentukan hasil dari |u + v| !

7. Diketahui x = 3i - j - 4k . Tentukan besar dari |2x| !

8. Diketahui r = 3i -2j + 4k dan s = 6i + j - 2k . Tentukan hasil dari

r.s !

9. Diketahui x = - 4i +2j - 2k dan y = - i - j - 2k . x dan y

membentuk sudut θ= 60o. Tentukan hasil dari x.y !

10. Diketahui a = - 2i + j + 4k , b = 3i +2j - k dan c = 3i -2j + 4k .

Tentukan hasil dari a.(b + c) !

11. Diketahui m = 3i +2j + 4k dan n = 2i + 3j - 3k . θ adalah sudut

yang dibentuk oleh m dan n. Tentukan nilai cos θ !

12. θ adalah sudut yang dibentuk oleh vector p dab q. Jika

diketahui p = 4i -2j + 2k dan q = 3i -3j maka tentukan besar

sudut θ !

13. Diketahui a = [2,1,1] dan b = [-3,6,7]. Tentukan hasil dari a x b !

BAB3 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS 12

GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

BAB 3

SISTEM KOORDINAT KARTESIUS

Pada BAB 3 ini akan dibahas tentang sistem koordinat tegak

lurus pada bidang dan ruang, menentukan posisi titik dalam

kartesius di bidang dan di ruang, persamaan bidang khusus, jarak

antara dua titik di bidang dan di ruang dan titik pada ruas garis

dengan perbandingan.

Sistem Koordinat Tegak Lurus

3.1.1 Sistem Koordinat Tegak Lurus pada Bidang dan Ruang

Arena permainan pasar malam di suatu daerah dibuka untuk

umum. Beragam permainan meramaikan suasana di pasar malam

tersebut. Salah satu permainan yang tersedia adalah tembak bola

keberuntungan. Cara bermainnya yaitu si pemain harus

menentukan bola yang akan dibidik terlebih dahulu. Selanjutnya,

dengan menggunakan alat khusus yang disediakan di stand

permainan, si pemain menembak bola tersebut hingga pecah. Dari

dalam bola akan keluar gulungan kertas yang berisikan keterangan

tentang hadiah apa yang diperoleh oleh si pemain tersebut.

Gambar 3.1 Arena Permaianan Pasar Malam

Untuk mempermudah si pemain menunjukkan bola yang akan

dibidik, selain menyebutkan warna, si pemain dapat menunjukkan

posisi bola tersebut dengan menggunakan bingkai besi berwarna

biru. Seperti, bola berwarna biru dengan posisi 2 ke kanan dan 5 ke



GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

atas. Setelah dicermati, ilustrasi di atas menggambarkan tentang

aplikasi dari sistem koordinat cartesius.

Suatu sistem koordinat tegak lurus di dalam bidang ditentukan

dengan memilih suatu satuan panjang serta dua buah garis lurus

yang masing-masingnya saling tegak lurus dan berpotongan di satu

titik. Perhatikan Gambar 3.2 berikut.

Gambar 3.2 Sistem Koordinar Kartesius R2 di 4 Kuadran

Letak suatu titik pada sistem koordinat R2 dinotasikan dengan

(x,y) dimana x disebut absis dan y disebut ordinat.

Suatu sistem koordinat tegak lurus di dalam ruang ditentukan

dengan memilih suatu satuan panjang serta tiga buah garis lurus

yang masing-masingnya saling tegak lurus dan berpotongan di satu

titik. Perhatikan Gambar 3.3 berikut. Letak suatu titik pada sistem

koordinat 3

R dinotasikan dengan (x,y,z) dimana x disebut absis, y

disebut ordinat dan z disebut aplikat.

Gambar 3.3 Sistem Koordinat Kartesius R3


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Sumbu x, y dan z berpotongan pada satu titik yaitu titik O(0,0,0)

dan membagi ruang itu atas 3 bidang koordinat, yaitu bidang XOY,

bidang YOZ dan bidang XOZ. Perhatikan Gambar 3.4 berikut.

Gambar 3.4 Bidang-bidang pada R3

Bidang XOY, YOZ dan bidang XOZ membagi ruang tersebut

atas 8 oktan, yaitu:

a. Oktan I : berisi titik-titik dengan x > 0, y > 0, dan z > 0

b. Oktan II : berisi titik-titik dengan x < 0, y > 0, dan z > 0

c. Oktan III : berisi titik-titik dengan x < 0, y < 0, dan z > 0

d. Oktan IV : berisi titik-titik dengan x > 0, y < 0, dan z > 0

e. Oktan V : berisi titik-titik dengan x > 0, y > 0, dan z < 0

f. Oktan VI : berisi titik-titik dengan x < 0, y > 0, dan z < 0

g. Oktan VII : berisi titik-titik dengan x < 0, y < 0, dan z < 0

h. Oktan VIII : berisi titik-titik dengan x > 0, y < 0, dan z < 0

Perlu Anda ketahui bahwa:

a. Semua titik yang terletak pada bidang XOY mempunyai aplikat = 0

b. Semua titik yang terletak pada bidang YOZ mempunyai absis = 0

c. Semua titik yang terletak pada bidang XOZ mempunyai ordinat = 0

d. Semua titik yang terletak pada sumbu X mempunyai ordinat = 0 dan

aplikat = 0

e. Semua titik yang terletak pada sumbu Y mempunyai absis = 0 dan

aplikat = 0

f. Semua titik yang terletak pada sumbu Z mempunyai absis = 0 dan

ordinat = 0


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

3.1.2 Menentukan Posisi Titik dalam Kartesius di Bidang dan

di Ruang

a. Menentukan Posisi Titik dalam Kartesius di Bidang

Bidang koordinat Cartesius digunakan untuk menentukan letak

sebuah titik yang dinyatakan dalam pasangan bilangan. Letak titik

pada bidang koordinat Cartesius ditulis dalam bentuk pasangan

bilangan (x, y) dimana x disebut absis dan y disebut ordinat.

Perhatikan Gambar 3.5 berikut.

Gambar 3.5 Titik A, B dan C pada Koordinat Kartesius R2

Perhatikan titik A, B, dan C pada Gambar 3.5. Untuk

menentukan letaknya, mulailah dari titik pusat koordinat. Kemudian,

bergerak mendatar ke arah kanan (sumbu X), lalu bergerak ke atas

(sumbu Y). Pada bidang koordinat tersebut, titik A terletak pada

koordinat (2,3), ditulis A(2,3), titik B terletak pada koordinat (6,5),

ditulis B(6,5), dan titik C terletak pada koordinat (7,1), ditulis dengan

C(7,1).

b. Menentukan Posisi Titik dalam Kartesius di Ruang

Letak titik pada koordinat Cartesius dalam ruang ditulis dalam

bentuk (x, y,z) dimana x disebut absis, y disebut ordinat dan z

disebut aplikat. Perhatikan Gambar 3.6 berikut.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Gambar 3.6 Titik A dan B pada R3

Perhatikan titik A dan B pada Gambar 3.6. Untuk menentukan

letaknya, mulailah dari titik O. Pada bidang koordinat tersebut, titik

A terletak pada koordinat (2,5,0), ditulis A(2,5,0), titik B terletak

pada koordinat (2,5,5), ditulis B(2,5,5).

3.1.3 Persamaan Bidang Khusus

Berikut ini akan dijelaskan arti dari suatu persamaan yang hanya

mengandung satu peubah.

1. Persamaan bidang rata dari sebuah bidang yang sejajar

dengan bidang YOZ (dapat dilihat pada Gambar 3.7) dan

berjarak |a| adalah x = a . Jadi, semua titik yang terletak pada

x = a mempunyai absis = a.

Gambar 3.7 Bidang yang Sejajar dengan bidang YOZ


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR


dengan bidang XOZ (dapat dilihat pada Gambar 3.8) dan

berjarak |b| adalah y = b . Jadi, semua titik yang terletak pada

y = b mempunyai ordinat = b.

Gambar 3.8 Bidang yang sejajar dengan bidang XOZ


dengan bidang XOY (dapat dilihat pada Gambar 3.9) dan

berjarak |c| adalah z = c . Jadi, semua titik yang terletak pada

z = c mempunyai aplikat = c.

Gambar 3.9 Bidang yang sejajar dengan bidang XOY


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Perhatikan Gambar 3.10 berikut!

Gambar 3.10 Bangun ruang dengan titik A, C dan H yang diketahui

Pada Gambar 3.10 tampak sebuah bangun ruang dengan

titik A, C dan H yang diketahui koordinatnya. Dengan

mempedomani materi, kita dapat menentukan koordinat bagi

titik-titik lainnya. Koordinat tersebut adalah sebagai berikut

koordinat titik B (p,q,0), koordinat titik D (0,0,0), koordinat titik E

(p,r,0), koordinat titik F (p,q,r), dan koordinat titik G (0,q,r).

Contoh 3.1:

Perhatikan bangun ruang pada Gambar 3.11 berikut! Pada

Gambar 3.11 diketahui koordinat titik Q(5,9,0) dan koordinat

titik T(5,0,6). Tentukanlah koordinat untuk titik-titik lainnya!

Gambar 3.11


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Penyelesaian:

Dengan memperhatikan posisi titik pada gambar, kita

dapat mengetahui bahwa koordinat titik P (5,0,0), R(0,9,0),

S(0,0,0), U(5,9,6), V(0,9,6), dan W(0,0,6).

Contoh 3.2:

Klasifikasikan persamaan berikut berdasarkan arti dari suatu

persamaan yang telah dijelaskan pada materi sebelumnya.

a. x = 2

b. z2 – 4 = 0

c. y3 – 2y2- 8y = 0

Penyelesaian:

a. Persamaan x = 2 merupakan sebuah bidang rata yang

sejajar dengan bidang YOZ dan berjarak 2 (kea rah sumbu

X positif).

b. Persamaan z2 – 4 = 0 menyatakan dua buah bidang rata z

= 2 dan z = -2 yang sejajar dengan bidang XOY dan

berjarak 3.

c. Persamaan y3 – 2y2- 8y = 0 menyatakan tiga buah bidang

rata y = 0, y = 4, y = -2 yang sejajar dengan bidang XOZ.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

LATIHAN

1. Plotlah dua buah titik yang masing-masing berada pada

kuadran II dan IV di bidang R2 koordinat kartesius!

2. Tentukanlah pada kuadran berapa titik-titik berikut di bidang

R2!

a. A(4,-7)

b. B(-5,-2)

c. C(-6,4)

d. D(-2,0)

3. Gambarlah titik-titik berikut di bidang R2 koordinat kartesius!

a. P(-3,4)

b. Q(1,0)

c. R(2,-9)

d. S(-6,-8)

4. Diketahui segiempat ABCD dengan koordinat titik A(-2,5), B(-

2,1), C(4,1), D(4,5). Berbentuk apakah segiempat ABCD

tersebut?

5. Gambarlah titik-titik berikut di bidang R3 koordinat kartesius!

a. A(1,3,5)

b. B(-3,0,-7)

c. C(6,8,-9)

d. D(-2,-5,-1)


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Jarak Antara Dua Titik

3.2.1 Jarak Antara Dua Titik di Bidang dan di ruang

a. Jarak Antara Dua Titik di Bidang

Misalkan kita pandang jarak dua titik pada koordinat garis.

Misalkan P1 dan P2 dua titik pada garis, dengan jarak x1 dan x2

dari titik O seperti ditunjukkan pada Gambar 3.12 berikut.

Gambar 3.12 P1 dan P2 dua titik pada garis

Jarak titik P1 dan P2 adalah 121221 xxOPOPPP

Perhatikan Gambar 3.13 untuk menentukan jarak antar dua

titik pada bidang datar.

Gambar 3.13 Titik P1 dan P2 di bidang R2


P1(x1,x2)

P2(x1,x2)


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Garis vertikal yang melalui P1 dan garis horizontal yang

melalui P2 berpotongan pada titik Q(x1, y2). Seperti terlihat pada

Gambar 3.13.

Gambar 3.14 P1P2Q membentuk segitiga siku-siku

Asumsikan P1 dan P2 tidak berada pada garis vertikal atau

horizontal yang sama. P1P2Q membentuk segitiga siku-siku

dengan sudut siku-siku pada Q. Sekarang kita gunakan

teorema pythagoras untuk menghitung panjang P1P3. Dari

gambar 3.14 terlihat bahwa 121122 yyQPxxQP dan .

Dengan teorema pythagoras diperoleh,

2

21

2

12

2

2

2

121

2

2

2

1

2

21

yyxxQPQPPP

QPQPPP

Karena 2

21

2

12

2

12 xxxxxx maka nilai mutlak

boleh dihilangkan sehingga diperoleh:

Contoh 3.3:

Tentukan jarak antara titik P1 (1,4) dan P2 (-3,-2)!

P1(x1,x2)

P2(x1,x2) Q(x1,y2)


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Penyelesaian:

52

3616

421322

2

21

2

1221

yyxxPP

Jadi jarak antara titik P1 (1,4) dan P2 (-3,-2) adalah 52 .

b. Jarak Antara Dua Titik di Ruang

Misalkan kita hendak menentukan jarak antara titik D(x1, y1, z1)

dan F(x2, y2, z2) seperti terlihat pada Gambar 3.14.

Gambar 3.14

Untuk menentukan jarak titik D ke F, Anda dapat menggunakan

konsep Pythagoras. Ikuti langkah-langkah sebagai berikut!

Perhatikan ∆ABD! oA = 90 .

2 1AD =|x - x |

2 1AB =|y - y |

Dengan menggunakan konsep Pythagoras maka

diperoleh: 2 2BD = AD + AB

2 22 1 2 1=|x - x | +|y - y |

2 22 1 2 1= (x - x ) + (y - y )


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Perhatikan ∆BDF! oB = 90

Dengan menggunakan konsep Pythagoras, Anda dapat

menentukan jarak titik D ke F sebagai berikut. 2 2DF =BD + BF

2 2 2

2 1 2 1 2 1= x - x + y - y + z -z

Jadi, jarak titik D ke F adalah sebagai berikut.

Contoh 3.4:

Tentukan jarak antara titik P(3,1,4) dan titik Q(5,0,2)!

Penyelesaian:

2 1 2 1 2 1PQ = x - x + y - y + z - z

2 2 2

= 5 - 3 + 0 - 1 + 2 - 4

= 3

Jadi, jarak antara titik P dan Q adalah 3.

3.2.2 Koordinat Titik yang Membagi Ruas Garis PQ atas

Perbandingan m:n

Misalkan P(x1, y1, z1) dan Q(x2, y2, z2) . R (x, y, z) membagi garis

PQ atas perbandingan m : n. Perhatikan Gambar 3.15 berikut!

Gambar 3.15 Ruas Garis PQ


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Koordinat titik R dapat ditentukan dengan mengikuti langkah-

langkah sebagai berikut.

Proyeksikan garis PQ ke bidang XOY sehingga diperoleh garis

P1Q1 dengan P1(x1, y1, 0) dan Q1 (x2, y2, 0).Buat garis ARB

sejajar P1R1Q1 seperti ditunjukkan pada Gambar 3.16 !

Gambar 3.16 Garis PQ ke bidang XOY

Berdasarkan Gambar 3.16 diperoleh

AP1 = RR1 = z → AP = z – z1

QQ1 = RR1 = z → BQ = z2 – z

∆APR sebangun dengan ∆BQR, akibatnya:

AP PR=

BQ RQ

1

2

z - z m=

z - z n

1 2nz -nz =mz -mz

2 1mz+ nz =mz + nz

2 1z(m+n) =mz +nz

2 1mz + nzz =

m + n

Dengan cara yang sama, jika PQ diproyeksikan ke bidang XOZ

maka diperoleh:

2 1my + nyy =

m + n


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Dengan cara yang sama, jika PQ diproyeksikan ke bidang YOZ

maka diperoleh:

2 1mx + nxx =

m + n

Jadi, koordinat titik R yang membagi ruas garis PQ atas

perbandingan m : n adalah sebagai berikut.

Koordinat titik R dapat kita tentukan dengan

memperhatikan posisi dari titik R terhadap ruas garis PQ.

Perhatikan rumusan berikut.

Titik R membagi ruas garis PQ dengan perbandingan m : n

Koordinat titik R dapat ditentukan dengan menggunakan

rumus berikut.

Titik R sebagai titik tengah ruas garis PQ

Jika R adalah titik tengah ruas garis PQ maka R membagi

PQ atas perbandingan m : n = 1 : 1. Oleh karena itu,

koordinat titik R dapat ditentukan dengan menggunakan

rumus sebagai berikut.

Catatan:

Anda dapat menentukan posisi titik R dengan memperhatikan

nilai dari m : n = k sebagai berikut.

Jika k > 0 maka R terletak di antara P dan Q

2 1 2 1 2 1mx + nx my + ny mz + nz

R , ,m + n m + n m + n

2 1 2 1 2 1mx + nx my + ny mz + nz

R , ,m + n m + n m + n


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Jika -1 < k < 0 maka R terletak di perpanjangan QP (pada

pihak P)

k = -1 menunjukkan suatu titik di tak berhingga

Jika k < -1 maka R terletak di perpanjangan PQ (pada

pihak Q)

Contoh 3.5:

Misalkan P(-4,5,-6) dan Q(2,-4,3). Koordinat titik R membagi

PQ atas perbandingan -4 : 1. Tentukanlah koordinat dari titik R

tersebut!

Penyelesaian:

Perhatikan gambar berikut!

Gambar 3.17 Ruas Garis PR

Koordinat titik R dapat ditentukan sebagai berikut.

-4 2 - 4 -4 -4 + 5 -4 3 - 6R , ,

1 - 4 1 - 4 1 - 4

Jadi, koordinat titik R adalah R 4,- 7, 6 .


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

LATIHAN

1. Tentukan jarak antara dua titik yang diberikan

a. (1,-3) dan (2,5)

b.

2

1,

2

3dan,2

2

1

2. Jarak titik (x,-5) ke titik (-5,4) adalah tiga kali terhadap jarak titik

itu ke titik (10,-1). Tentukan x !

3. Tunjukkan bahwa ketiga titik berikut segaris.

a. (2,5,-4), (1,4,-3), dan (4,7,-6)

b. (5,4,2), (6,2,-1), dan (8,-2,-7)

4. Alas suatu segitiga samakaki adalah segmen garis yang

menghubungkan titik (6,1) dengan (-1,2). Absis dari titik sudut

yang lain adalah 3. Tentukan ordinat dari titik sudut itu!

5. Diketahui segitiga ABC dengan A(2,3,0), B(6,-9,-3) dan

C(3,5,2). Titik D adalah titik potong garis bagi yang ditarik dari

A dengan sisi BC. Tentukan koordinat titik D!

BAB 4 GARIS LURUS 29

GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

BAB 4

GARIS LURUS

Pada BAB 4 ini akan dibahas tentang gradient, persamaan

garis (vektoris, parameter, umum, normal) di bidang dan di ruang,

kedudukan antara dua buah garis lurus di bidang dan di ruang,

garis lurus memotong dua garis lain di bidang dan di ruang sudut

antara dua garis lurus di bidang dan di ruang, jarak titik ke garis di

bidang dan di ruang dan jarak antara dua buah garis lurus di ruang.

Gradien atau Kemiringan Suatu Garis

4.1.1 Gradien atau Kemiringan Suatu Garis

Kemiringan garis atau gradien garis adalah konstanta atau bilangan

yang menentukan kedudukan/posisi garis tertentu. Gradien suatu

garis dikelompokkan ke dalam tiga kategori, yaitu (1) kemiringan

garis positif, (2) kemiringan garis nol, (3) kemiringan garis negatif.

Suatu garis memiliki kemiringan positif apabila posisi garis itu miring

ke kanan (jatuh ke arah kanan), kemiringan garis nol apabila garis

tersebut sejajar sumbu x, dan garis negatif apabila posisi garis itu

miring ke kiri (jatuh ke kiri). Sebuah garis tegak lurus sumbu x atau

sejajar sumbu y didefinisikan tidak memiliki kemiringan/gradien.

Gambar 4.1 berikut menunjukkan keadaan/posisi yang mungkin

dari sebuah garis lurus.

Gambar 4.1 Gradien garis



GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Perhatikan Gambar 4.2 berikut untuk menentukan gradien

garus lurus yang terbentuk dari dua titik.

Gambar 4.2 Bidang ABC di R2

Kemiringan garis AB dengan A(x1,y1) dan B(x2,y2) ditentukan

oleh tangen sudut BAC yaitu BC dibagi oleh AC, atau kemiringan

Ab dapat ditulis dengan AC

BCm . Karena panjang BC = y2 – y1

dan panjang Ac = x2 – x1, sehingga kemiringan garis AB adalah

sebagai berikut.

4.1.2 Persamaan Garis di Bidang dan di Ruang

a. Persamaan Garis Lurus Pada Bidang

1) Persamaan Garis y = mx + b

Y = mx + b adalah persamaan garis dengan

kemiringan m dan b adalah bilangan konstanta. Berikut

adalah proses pembuktian bahwa a adalah kemiringan (m)

dari garis g. Misalkan terletak titik A (x1,y1) dan titik

B(x2,y2). Apabila titik-titik itu disubstitusikan ke persamaan

garis y = mx + b maka diperoleh y1 = mx1 + b dan y2 = mx2

B(x2,y2)

C(x2,y1) A(x1,y1)


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

+ b. Selanjutnya, dilakukan pengurangan sehingga

diperoleh y2 – y1 = mx2 – mx1 atau mxx

yy

12

12. Jadi

garis dengan persamaan y = mx + b mempunyai

kemiringan m.

2) Persamaan Garis dengan Kemiringan m dan Melalui

Sebuah titik

Misalkan sebuah garis dengan kemiringan m dan

melalui titik A (x1,y1). Karena garis tersebut memiliki

kemiringan m maka persamaan garisnya adalah y = mx +

b. Apabila garis tersebut melalui titik A (x1,y1) maka

diperoleh y1 = mx1 + b. Karena x1 dan y1 adalah konstanta

maka b dapat dinyatakan ke dalam b = y1 – mx1. Jadi,

persamaan garisnya adalah:

Persamaan tersebut adalah rumus persamaan garis

dengan kemiringan m dan melalui titik titik (x1,y1).

Contoh 4.1:

Tentukan persamaan garis dengan gradien 2 dan melalui

titik (4,5)!

Penyelesaian:

32

582

825

)4(25

)( 11

xy

xy

xy

xy

xxmyy

Jadi, persamaan garis dengan m = 2 dan melalui titik

(4,5) adalah y - 2x = -4.

3) Persamaan Garis Melalui Dua Buah Titik

Apabila sebuah garis melalui dua titik yang diketahui

koordinatnya maka persamaan garis tersebut dapat dicari

y = mx + y1 – mx1 atau y – y1 = m (x –x1)


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

persamaannya. Misalkan sebuah garis melalui dua buah

titik, yaitu titik A(x1,y1) dan titik B(x2,y2). Persamaan

garisnya adalah sebagai berikut:

Substitusi titik A(x1,y1) dan titik B(x2,y2) ke persamaan y =

mx + b sehingga diperoleh,

y1 = mx1 + b b = y1 - mx1

y2 = mx2 + b b = y2 – mx2

Dari dua persamaan di atas, digunakan metode substitusi

sehingga diperoleh,

y1 - mx1 = y2 – mx2

mx2 - mx1 = y2 – y1

m(x2 – x1) = y2 – y1

12

12

xx

yym

Karena b = y1 - mx1 maka

12

1211

xx

yyxyb

Apabila disubstitusikan ke persamaan y = mx + b maka

diperoleh,

12

1

12

1

12

12

1

1

1

12

121

12

121

12

121

12

1211

12

12

)(

xx

xx

yy

yy

xx

yy

xx

yy

xxxx

yyyy

xx

yyxx

xx

yyyy

xx

yyxyx

xx

yyy

Jadi, persamaan garis lurus yang melalui dua buah titik

adalah


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Contoh 4.2:

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (1,-2)

dan (3,5)!

Penyelesaian:

372

7472

)1(7)2(2

2

1

7

2

13

1

25

2

13

1

)2(5

)2(

12

1

12

1

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xx

xx

yy

yy

Jadi, persamaan garis lurus yang melalui titik (1,-2) dan

(3,5) adalah 2y – 7x = -3

4) Persamaan Garis Melalui Sebuah Titik dan Sejajar dengan

Garis lain

Gambar 4.3 berikut adalah gambar garis l yang melalui

titik A(x1,y1) dan sejajar garis g.

Gambar 4.3 Garis l yang melalui titik A(x1,y1) dan sejajar garis g

g

l

A(x1,y1)


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Setiap garis memiliki kemiringan yang biasa

dilambangkan dengan m. Karena l sejajar dengan g maka

kemiringan l sama dengan g atau m1 = m2. Sehingga

persamaan l adalah y – y1 = ml (x – x1). Kemiringan l sama

dengan g atau m1 = m2, sehingga rumus persamaan garis l

yang melalui titik A(x1,y1) dan sejajar garis g adalah,

Contoh 4.3:

Tentukan persamaan garis p yang melalui titik (3,-6) dan

sejajar dengan garis q dengan persamaan y = 2x + 3!

Penyelesaian:

Kemiringan garis p sama dengan garis q sehingga berlaku

mp = mq

mp = 2

Jadi, persamaan garis p yang melalui titik (3,-6) dan

sejajar dengan garis q dengan persamaan y = 2x + 3

adalah

y – (-6) = 2 (x – 3)

y + 6 = 2x – 6

y – 2x = -12

5) Persamaan Garis Melalui Sebuah Titik dan Tegal Lurus

dengan Garis lain

Gambar 4.4 berikut adalah gambar garis a tegak lurus

garis b dan melalui titik (x1,y1).

y – y1 = mg(x – x1)


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Gambar 4.4 Garis a tegak lurus garis b dan melalui titik (x1,y1)

Garis a memotong sumbu x sebesar α sedangkan

garis b memotong sumbu x sebesar β, sehingga diperoleh

tg β = tg (90 + α). Menurut rumus trigonometri didapat

bahwa

tg

1

sin

cos

sin90sincos90cos

sin90coscos90sin

) + (90 cos

) + (90sin = ) + (90 Tg

Ini berarti,

tg

tg1

atau tg β = tg α. Karena tg β =

mb dan tg α = ma maka diperoleh mb.ma = -1. Jadi,

persamaan garis a tegak lurus garis b dan melalui titik

(x1,y1) adalah

a b

α β


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

b. Persamaan Garis Lurus pada Ruang

Suatu garis lurus akan tertentu bila diketahui dua titik pada

garis tersebut. Misalkan, Titik P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z2) terletak

pada garis lurus g.

Gambar 4.5 Titik P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z2) terletak pada

garis lurus g

Pada Gambar 4.5, OP = [x1,y1,z1], OQ = [x2,y2,z2] dan PQ = [x2-

x1, y2-y1, z2-z1]. Titik sebarang X (x,y,z) berada pada garis g,

seperti terlihat pada Gambar 4.6.

Gambar 4.6 Titik sebarang X (x,y,z) berada pada garis g

Untuk titik sebarang X (x,y,z) pada garis g, berlaku PQPX

dimana . Jelas bahwa:

P(x1,y1,z1)

Q(x2,y2,z2

)

O

g

P(x1,y1,z1)

Q(x2,y2,z2)

O

X(x,y,z)

g


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Persamaan ini disebut juga dengan persamaan vektoris garis

lurus melalui dua titik P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z2). Persamaan ini

dapat diubah ke bentuk berikut ini.

12

1

12

1

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx

Persamaan ini berlaku apabila x2 – x1 ≠ 0, y2 – y1 ≠ 0, dan

z2 – z1 ≠ 0.

Vektor PQ (atau vektor lain ≠ 0 yang terletak pada garis g)

disebut vektor arah garis lurus. Jadi apabila garis lurus melalui

satu titik P(x1,y1,z1) dan mempunyai vektor arah a = [a,b,c],

maka diperoleh persamaan sebagai berikut.

Persamaan tersebut dapat ditulis menjadi tiga persamaan :

Persamaan tersebut disebut persamaan parameter garis

lurus g. Apabila persamaan tersebut diubah ke dalam bentuk

lain dengan melakukan eliminasi sehingga diperoleh

persamaan sebagai berikut.

c

zz

b

yy

a

xx 111 ,,

(jika a≠0, b≠0, dan c≠0)

Persamaan tersebut dapat disederhanakan dalam bentuk

persamaan berikut.

c

zz

b

yy

a

xx 111

Persamaan ini adalah persamaan garis lurus yang melalui

titik P(x1,y1,z1) dengan vektor arah a = [a,b,c].


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

LATIHAN

1. Tentukan persamaan garis dalam bentuk y = ax + b apabila,

a. Kemiringannya -2 dan melalui titik (-2,3)

b. Kemiringannya 2

1 dan melalui titik (-4,-5)

2. Tentukan persamaan garis dalam bentuk ax + by + c = 0

apabila,

a. Kemiringannya 3 dan melalui titik (3,4)

b. Kemiringannya 3

2 dan melalui titik (6,-9)

3. Tentukan persamaan garis,

a. Dengan m = 2 dan melalui titik (4,5)

b. Dengan m = 2

1 dan melalui titik (3,-5)

4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik,

a. A(2,7) dan B(-2,5)

b. C(8,9) dan D(4,4)

5. Tentukan kemiringan garis yang melalui titik

a. P(5,6) dan Q(-4,-6)

b. R(0,-4) dan S(5,0)

6. Tentukan persamaan vektoris dan persamaan-persamaan linier

garis lurus melalui titik-titik:

a. (1,2,1) dan (-2,3,2)

b. (1,-3,2) dan (4,1,0)


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Kedudukan antara Dua Buah Garis Lurus

4.2.1 Kedudukan antara Dua Buah Garis Lurus di Bidang dan

di Ruang

A. Garis

Garis adalah himpunan titik-titik yang anggotanya adalah dua

titik atau lebih. Titik-titik tersebut berderet ke kedua arah yang

berlawanan sampai jauh tak terhingga. Model atau representasi

suatu garis misalnya seutas benang kecil lurus yang dapat

diperpanjang kedua arah yang berlawanan sampai jauh tak

terhingga. Garis hanya mempunyai ukuran panjang. Garis diberi

nama dengan menggunakan huruf kecil seperti g, h, k, dan

seterusnya, atau AB, AC, BC, dan seterusnya. Pada Gambar 4.7

diperlihatkan dua buah garis, yaitu garis g dan garis AB.

Gambar 4.7 Garis g dan garis AB

a. Kedudukan Garis dan Bidang

1. Garis Terletak Pada Bidang

Sebuah garis dikatakan terletak pada bidang, jika setiap titik

pada garis tersebut juga terletak pada bidang. Perhatikan

Gambar 4.8 berikut.



GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Gambar 4.8 Garis terletak pada bidang

2. Garis Sejajar Bidang

Sebuah garis dikatakan sejajar bidang, jika garis dan bidang

tidak mempunyai satu pun titik persekutuan. Perhatikan

Gambar 4.9.

Gambar 4.9 Garis sejajar bidang

3. Garis Memotong (Menembus) Bidang

Sebuah garis dikatakan memotong (menembus) bidang, jika

garis dan bidang mempunyai satu titik persekutuan yang

dinamakan titik potong atau titik tembus. Perhatikan Gambar

4.10.

α

α


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Gambar 4.10 Garis memotong bidang

b. Kedudukan Antara Dua Buah Garis Lurus di Bidang

1. Dua Garis Sejajar

Dua buah garis dikatakan sejajar, jika dua buah garis tersebut

sebidang dan tidak mempunyai titik persekutuan. Perhatikan

Gambar 4.11.

Gambar 4.11 Dua garis sejajar pada bidang

2. Dua Garis Berpotongan

Dua buah garis dikatakan berpotongan, jika dua buah garis

tersebut sebidang dan mempunyai satu titik persekutuan, yang

dinamakan titik potong. Perhatikan Gambar 4.12.

α

α


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Gambar 4.12 Dua garis berpotongan pada bidang

3. Dua Garis Berimpit

Dua garis dikatakan berimpit, jika jarak antara kedua garis

tersebut adalah nol. Perhatikan Gambar 4.14.

Gambar 4.13 Dua garis berimpit pada bidang

4. Dua Garis Bersilangan

Dua buah garis dikatakan bersilangan, jika dua buah garis

tersebut tidak sebidang atau melalui kedua garis tersebut tidak

dapat dibuat sebuah bidang datar. Perhatikan Gambar 4.14.

Gambar 4.14 Dua garis bersilangan pada bidang

α

α

α


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

c. Kedudukan Antara Dua Buah Garis Lurus Di Ruang

Pada ruang, kedudukan dua buah garis lurus terbagi menjadi

beberapa kedudukan, yaitu:

1) Dua garis sejajar

Dua garis sejajar pada ruang memiliki jarak yang selalu

sama. Apabila kedua garis tersebut diperpanjang, maka

kedua garis tersebut tidak akan berpotongan.

Gambar 4.15 Garis sejajar pada ruang

Pada Gambar 4.15, dua garis dengan kedudukan sejajar

ditunjukkan oleh ruas garis AB dan EF, AE dan BF, FG

dan BC, BF dan CG, DC dan HG, CG dan DH, AD dan EH,

AE dan DH, dll.

2) Dua garis tegak lurus

Dua buah garis dikatakan tegak lurus apabila kedua garis

tersebut berpotongan dan membentuk sudut 90o. Seperti

ditunjukkan pada gambar berikut.

EF //HG AB //EF

BF//CG EH //FG


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Gambar 4.16 Dua garis tegak lurus pada ruang

Pada Gambar 4.16, dua garis dengan kedudukan tegak

lurus ditunjukkan oleh ruas garis AE dan AB,EH dan HG,

BF dan FG, FG dan CG, dll.

3) Dua garis bersilangan

Dua garis memiliki kedudukan bersilangan apabila kedua

garis tersebut tidak sebidang dan tidak dapat dibentuk

sebuah bidang dari kedua garis tersebut. Perhatikan

Gambar 4.17.

AE AB EH HG

BF FG

FG CG


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Gambar 4.17 Dua garis bersilangan pada ruang

Pada Gambar 4.17, dua garis dengan kedudukan

bersilangan ditunjukkan oleh ruas garis AE dan HG, AB

dan CG, AE dan DC, BC dan DH, dll.

4.2.2 Jarak Titik Ke Garis di Bidang dan di Ruang

a. Jarak Titik ke Garis di Bidang

Jarak titik ke garis adalah jarak terdekat sebuah titik ke garis.

Perhatikan gambar garis g dan titik A berikut.

Gambar 4.18 Jarak Titik ke Garis di Bidang

Jarak terdekat antara titik A dan garis g diperoleh dengan

menarik garis tegak lurus dengan garis yang dimaksud. Jarak titik A

ke garis g adalah AA’. Seperti terlihat pada Gambar 4.19.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Gambar 4.19 Jarak terdekat antara titik A dan garis g

Untuk menentukan panjang ruas garis tersebut, dapat dibuat

segitiga ABC sebagai berikut.

Gambar 4.20 Segitiga ABC

Segitiga ABC tersebut merupakan segitiga sembarang yang

diketahui panjang sisi-sisinya. Perhatikan bahwa segitiga ABA’

merupakan segitiga siku-siku. Panjang AA’ bisa diperoleh dengan

menggunakan teorema Pythagoras sebagai berikut.

22 '' BAABAA

Panjang A’B belum diketahui, berarti tugas kita adalah

mencari panjang A’B tersebut. Pada segitiga ABC berlaku aturan

cosinus sebagai berikut.

BCAB

ACBCABBCos

2

222


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Dan dari segitiga ABA’ kita peroleh perbandingan cosinus

sebagai berikut.

AB

BACosB

'

Dari kedua persamaan tersebut, apabila disubstitusikan akan

diperoleh bentuk sebagai berikut.

BC

ACBCABBA

AB

BA

BCAB

ACBCAB

2'

'

2222

222

Jadi panjang AA’ adalah 22 '' BAABAA dengan

BC

ACBCABBA

2'

222

b. Jarak Titik Ke Garis Di Ruang

Jarak P (x1, y1, z1) ke garis g dapat ditentukan sebagai berikut.

1. Buat bidang W melalui P tegak lurus garis g, seperti Gambar

4.21.

Gambar 4.21 Bidang W melalui P tegak lurus garis g

2. Cari titik Q, yaitu titik tembus garis g pada bidang W.

3. Garis PQ adalah suatu garis yang tegak lurus terhadap garis g

dan melalui titik P sehingga panjang PQ adalah jarak titik P ke

Garis g.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Contoh 4.2.1:

Tentukan Jarak titik P(1.0.2) ke garis g dengan persamaan

x = y = z!

Penyelesaian:

Bidang W yang melalui P(1,0,2) dan tegak lurus garis x = y = z

adalah:

03

0)2(1)0(1)1(1

zyx

zyx

Titik tembus garis g pada bidang W diperoleh dengan

mensubstitusikan x = y = z = ke persamaan di atas sehingga

diperoleh =1 atau titik tembus Q(1,1,1). Jadi, jarak antara titik P

dengan garis g adalah:

2

210111222

PQ

PQ

4.2.3 Jarak antara Dua Buah Garis Lurus yang Sejajar di

Bidang dan di Ruang

Apabila ada dua garis, yaitu garis g dan garis h dengan kedudukan

sejajar, maka untuk menghitung jarak antara kedua garis tersebut

adalah sebagai berikut.

1) Pilihlah sebarang titik P pada garis g

2) Buat bidang rata W melalui P dan tegak lurus garis g, yang

dengan sendirinya juga tegak lurus terhadap garis h.

Gambar 4.22 Bidang rata W melalui P dan tegak lurus garis g


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

3) Tentukan titik Q sebagai titik tembus pada garis h di bidang W.

4) Panjang PQ adalah jarak garis g dan garis h.

Contoh 4.2.2:

Tentukan jarak garis lurus g dengan persamaan

1

2

32

2

zyxdan garis lurus h dengan persamaan

1

8

3

4

2

zyx !

Penyelesaian:

Dari persamaan g dan h pada soal, teridentifikasi bahawa garis

g // garis h. Untuk menghitung jarak dari kedua garis tersebut, dapat

dilakukan langkah sebagai berikut.

1) Ambil suatu titik P pada garis g, yaitu P(2,0,2)

2) Buat persamaan bidang W yang melalui P(2,0,2) dan tegak

lurus garis g

0632

020322

zyxW

zyxW

3) Menentukan titik tembus garis h yaitu titik Q pada bidang W:

Persamaan garis h dalam bentuk persamaan parameter adalah

2x , 34y , dan 8z , disubstitusikan ke

persamaan bidang W, diperoleh:

1

01414

06834322

Substitusikan 1 ke persamaan garis h, sehingga diperoleh

titik Q(-2,1,7).

4) Jadi jarak garis g dan garis h adalah

42

270122222

PQ

PQ


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

LATIHAN

1. Tentukan jarak titik tembus garis lurus

12

2

4

1

3

2

zyx dan bidang rata x – y + z = 5 ke titik

(-1, -5, -10).

2. Tentukan koordinat titik tembus garis lurus

2

2

3

3)1(

zyx dan bidang rata 3x + 4y + 5z = 5

3. Tunjukkan bahwa kedua garis lurus x + 2y =6, z – 2 = 0 dan x +

2y = 9, z = 0

BAB 5 BIDANG DATAR 51

GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

BAB 5

BIDANG DATAR

Pada BAB 5 ini akan dibahas tentang bentuk persamaan

bidang datar (vektoris, parameter, liniar, vektor normal, persamaan

normal), sudut antara dua buah bidang datar, jarak titik ke bidang

datar dan bidang datar yang sejajar, garis lurus sebagai

perpotongan dua bidang datar, dan berkas bidang datar dan

jaringan bidang datar

Bentuk Persamaan Bidang Datar

5.1.1 Bentuk Persamaan Bidang Datar

a. Persamaan Vektoris Bidang Datar

Suatu bidang datar akan dapat ditentukan apabila diketahui

tiga buah titik (yang tidak segaris) yang terletak pada bidang datar

tersebut. Misalkan tiga titik pada bidang datar V adalah titik P(x1, y1,

z1), Q(x2, y2, z2), dan R(x3, y3, z3). Perhatikan gambar berikut.

Untuk tiap titik sebarang X(x, y, z) pada bidang datar V, berlaku:

PRPQPX (- ),(

Terlihat jelas pada gambar bahwa

OX = OP + PX

Persamaan ini disebut persamaan vektoris bidang datar melalui

tiga buah titik. Kedua vektor PQ dan PR disebut vektor-vektor arah

bidang (setiap dua vektor yang tidak segaris pada bidang

merupakan vektor-vektor arah bidang tersebut). Sehingga

persamaan vektoris bidang datar melalui titik P(x1, y1, z1),dan

diketahui kedua vektor arahnya aaa zyxa ,, dan bbb zyxb ,,

adalah:



GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Persamaan di atas dapat ditulis menjadi tiga persamaan

sebagai berikut:

)3.......

)2.....

)1.......

1

1

1

ba

ba

ba

zzzz

yyyy

xxxx

Persamaan ini disebut persamaan parameter bidang datar.

b. Persamaan Linier Bidang Datar

Apabila dan pada persamaan (1) dan (2) di eliminasi,

diperoleh:

C

yyxxxy bb 11 dan

C

xxyyyx aa 11 dimana

bb

aa

babayx

yxxyyxC dan misalkan C≠0. Kemudian apabila

dan di atas disubstitusikan ke persamaan (3), diperoleh:

0}{})({ 11111 xxyyyxzyyxxxyzzzC aabbba

0111 zzCyyxzxzxxyzzy abbababa ........(4)

Bxz

xzzxxz

Azy

zyyzzy

bb

aa

baba

bb

aa

baba

DCzByAx 111

Persamaan (4) menjadi

Persamaan ini merupakan Persamaan Linier (umum) dari suatu

bidang datar.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

c. Vektor Normal Bidang Datar

Perhatikan vektor [A,B,C] berikut.

kyx

yxj

xz

xzi

zy

zyCBA

bb

aa

bb

aa

bb

aa,,

baCBA

zyx

zyx

kji

CBA

bbb

aaa

,,

,,

[A,B,C] merupakan vektor yang tegak lurus pada bidang datar yang

dibentuk oleh a dan b, dalam hal ini bidang datar V = Ax + By + Cz

+ D = 0. n= [A, B, C] disebut vektor normal dari bidang datar V = 0

tersebut. Vektor normal ini akan memegang peranan penting dalam

pembahasan suatu bidang datar. Dari persamaan (4), suatu bidang

datar yang diketahui melalui satu titik (x1, y1, z1) dengan vektor

normal n= [A, B, C] berbentuk:

Hal-hal khusus dari bidang datar V = Ax + By + Cz + D = 0


1. Bila D = 0 maka bidang datar akan melalui titik asal O(0,0,0)

dan sebaliknya, setiap bidang datar yang melalui titik asal,

persamaan akan mempunyai harga D = 0.

2. Apabila D ≠ 0, persamaan V = Ax + By + Cz + D = 0 dapat

ditulis menjadi 1

D

Cz

D

By

D

Axdan sebut berturut turut

rD

Cq

D

Bp

D

A

,, didapat persamaan 1

r

z

q

y

p

x

yang mana memotong sumbu X di titik (p,0,0), sumbu Y di titik

(0,q,0) dan sumbu Z di titik (0,0,r).

3. Bila A = 0, bidang datar sejajar sumbu X

Bila B = 0, bidang datar sejajar sumbu Y

Bila C = 0, bidang datar sejajar sumbu Z

4. Bila A = B = 0, bidang datar sejajar bidang XOY

Bila A = C = 0, bidang datar sejajar bidang XOZ

Bila B = C = 0, Bidang datar sejajar bidang YOZ


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Contoh 5.1:

Tentukan persamaan vektoris bidang datar melalui titik (1,1,2),

(2,3,5) dan (1,3,7)!

Penyelesaian:

5,2,03,2,12,1,1,,

27,13,1125,13,122,1,1,,

zyx

zyx

Persamaan parameternya adalah 1x , 221 y , dan

532 z . Untuk mengubahnya ke persamaan linier, dapat

kita lakukan dengan mencari vektor normal sebagai hasil cross

product.

2,5,45,2,03,2,1

Jadi, persamaan bidang datar dengan vektor normal [4,-5,2] adalah:

03254

0221514

0111

zyx

zyx

zzCyyBxxA

d. Persamaan Normal Bidang datar

Misalkan n = [A, B, C] adalah vektor normal bidang V = Ax

+By+Cz +D =0, α, β dan ϒ berturut-turut sudut antara n dengan

sumbu-sumbu koordinat (yang arahnya ditentukan oleh vektor i, j

dan k).

Gambar 5.1 Vektor normal pada bidang V


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Ternyata bahwa:

n

A

in

in

.cos

n

B

jn

jn

.cos

n

C

kn

kn

.cos

Bentuk di atas dapat juga ditulis dalam bentuk:

n

n

n

CBA

,,cos,cos,cos

Bentuk di atas merupakan bentuk satuan yang searah dengan n. Ini

juga berarti bahwa 1coscoscos 222 atau cos,cos,cosn

disebut vektor cosinus dari bidang datar V atau boleh juga disebut

vektor normal yang panjangnya satu.

Misalkan p sama dengan jarak titik (0,0,0) ke bidang V = 0,

dimana p ≥ 0 dan X(x,y,z) titik sebarang pada bidang datar V, maka

p adalah proyeksi OX =[x,y,z] pada n yaitu:

p = OX.n = [x,y,z]. cos,cos,cos

atau

Persamaan ini disebut persamaan normal dari bidang V = 0.

Untuk mengubah bentuk V = Ax + By + Cz + D = 0 kebentuk

normal maka diperoleh:

Dzyxn coscoscos

Kita selalu menghendaki bahwa pn

D

positif. Jadi, apabila

D negatif, maka jika masing-masing ruas persamaan di atas dibagi

222 CBAn dan apabila D positif, masing-masing ruas

dibagi dengan n


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Contoh 5.2:

Carilah bentuk normal dari 3x + 6y – 2z + 6 = 0!

Penyelesaian:

D = 6 (positif), sedangkan 74369 n . Jadi, persamaan

normal bidang datar adalah 7

6

7

2

7

6

7

3

zyx .

5.1.2 Sudut Antara Dua Buah Bidang Datar

Kita definisikan sudut antara dua buah bidang

01111 dzcybxa dan bidang 02222 dzcybxa

adalah sudut antara vektor normal bidang dengan vektor normal

atau antara 111 ,, cba dan 222 ,, cba atau 111 ,, cba dan

222 ,, cba .

Jadi sudut antara bidang dan yang kita misalkan

kemungkinannya sebagai berikut oo 1800 dalam hal vektor

normal kedua bidang di atas tidak saling tegak lurus, maka

mungkin dipilih lancip atau tumpul. Dari cos

vuvu kita

diperoleh

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121coscbacba

ccbbaa

Catatan: Tanda positif atau negatif diambil tergantung kepada

keadaan. Jika kita mengambil tanda positif maka sudut

yang dibentuk adalah lancip (ukuran oo 900 ), jika

mengambil tanda negatif maka sudut yang dibentuk

adalah tumpul (ukuran oo 18090 ), sedangkan jika

sama dengan nol, maka sudut antara dua bidang di atas

adalah siku-siku (ukurannya o90 ).

Contoh 5.3:

carilah sudut lancip antara bidang 0432 zyx dan

bidang 063 zyx


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Penyelesaian:

Vektor normal bidang di atas berturut-turut adalah 1,3,2

dan 3,1,1 . Jika kita ambil tanda positif, maka kita dapatkan:

1114

332cos

154

4

Karena perhitungan di atas menghasilkan sudut tumpul

sedangkan yang kita inginkan adalah sudut lancip, maka haruslah

kita mengambil tanda negatif. Jadi jika diambil tanda negatif kita

peroleh:

1114

332cos

154

4

atau arc

154

4cos

Dengan menggunakan kalkulator dapat diperoleh adalah

lancip (oo 900 )


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

LATIHAN

1. Tentukan persamaan vektoris dan persamaan linier bidang

datar melalui tiga titik (3, 4, 1), (-1, -2, 5) dan (1, 7, 1)!

2. Tentukan persamaan linier bidang datar yang melalui (3, -2, -4)

yang horizontal.

3. Tentukan persamaan linier bidang datar melalui (-1,2,4) dan

sejajar bidang datar 2x – 3y – 5z + 6 = 0!

4. Tentukan persamaan bidang datar yang tegak lurus bidang-

bidang datar 7x – 3y + z – 5 = 0 dan 4x – y – z + 9 = 0 !

5. Tentukan vektor arah kemudia persamaan vektoris garis lurus

perpotongan bidang datar 2x + 3y – 2 = 0, y – 3z + 4 = 0 !

6. Bidang-bidang datar dibuat sehingga sudutnya dengan garis

lurus x=y=z adalah 60o dan sudutnya dengan garis lurus

x=0=y-z adalah 45o. Tunjukkan bahwa semua bidang datar itu

membuat sudut 60o dengan bidang x=0!

7. Tentukan persamaan bidang datar yang memuat gari-garis

lurus x=y=z dan (x-3) = (y+1)=z !


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Jarak Titik Ke Bidang Datar dan Bidang Datar yang Sejajar

5.2.1 Jarak Titik Ke Bidang Datar dan Bidang Datar yang

Sejajar

Untuk memperoleh persamaan jarak antara sebuah titik dan sebuah

bidang datar tersebut, perhatikan dan pahami langkah-langkah

dibawah ini.

1. Misalkan persamaan bidang datar

, dengan adalah jarak titik ke bidang

datar . Ambil sebarang titik , dimana

.

2. Untuk menentukan jarak titik ke bidang

dengan cara membuat bidang datar melalui titik

yang sejajar dengan . Berarti vektor normal

dan sama. Seperti yang terlihat pada Gambar 5.2 di

bawah ini.

Gambar 5.2 Bidang dan sejajar

3. Misalkan adalah jarak bidang datar dengan titik

maka jarak ke adalah artinya

(a) jika di antara di maka jarak

ke adalah , dan (b) jika tidak



GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

di antara dan maka jarak ke

adalah .

4. Akibat dari pernyataan no. 3 di peroleh suatu persamaan

bidang datar . Karena

titik pada berarti terpebuhi persamaan

Atau

Jadi, jarak sebuah titik ke bidang datar

adalah

| |

5. Jika , maka jarak titik ke

adalah

|

√ |

Contoh 5.3

Hitunglah jarak antara bidang datar

dengan titik .

Penyelesaian:

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di

bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda

punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan

dalam lembar kegiatan kelompok anda.

Untuk menyelesaikan persoalan di atas, dengan menggunakan

persamaan:

|

√ |

Subtitusikan nilai dan titik ke dalam persamaan

tersebut sehingga diperoleh,

|

√ |

|

√ |

|

|


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Jadi, jarak titik ke bidang datar

adalah 5.

Sedangkan untuk menentukan jarak antara dua bidang datar

yang sejajar, maka perhatikan langkah-langkah berikut.

1. Misalkan dan

2. Jika bidang datar sejajar dengan bidang datar maka jarak

antara dan dapat dihitung dengan cara mencari

sebuah titik pada , misalkan titiknya adalah

Kemudian kita dapat menghitung jarak titik

ke bidang datar .

3. Begitu juga sebaliknya jika kita mencari sebuah titik pada

misalkan titiknya adalah . Kemudian kita dapat

menghitung jarak titik ke bidang datar .

4. Perlu diingat bahwa, jarak titik ke bidang datar

dan jarak titik ke bidang datar , akan memiliki

jarak yang sama, karena kedua bidang datar tersebut sejajar.

Contoh 5.4

Hitung jarak antara bidang datar dan bidang

datar

Penyelesaian:





Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, pertama sekali kita

buktikan apakah kedua bidang datar tersebut sejajar atau tidak?

1. Syarat dari bidang datar adalah memiliki vektor normal

yang sama atau . Perhatikan vektor normal kedua

bidang datar yaitu [ ] dan [ ], karena

berarti .

2. Ambil sebarang titik pada bidang datar yaitu .

Subtitusikan titik tersebut ke bidang datar sehingga di

peroleh nilai . Jadi, titik

3. Kemudian carilah jarak titik ke bidang datar

dengan menggunakan persamaan (19) yaitu:


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

|

√ |

Subtitusikan nilai

dan ke dalam persamaan yaitu:

|

√ |

|

√ |

√

Jadi, jarak antara bidang datar dan bidang

datar adalah √ .

5.2.2 Garis Lurus sebagai Perpotongan Dua Bidang Datar

Di dalam Ilmu Ukur Analitik Ruang, garis lurus dinyatakan sebagai

perpotongan dua buah bidang datar yang tidak sejajar. Suatu

garis lurus dapat dinyatakan sebagai perpotongan sebarang dua

bidang datar yang melalui garis lurus tersebut. Untuk mengubah

bentuk persamaan garis lurus dari perpotongan dua buah bidang

datar ke bentuk umumlakukan lanhkah berikut.

1. Kita misalkan garis lurus adalah perpotongan dua buah

bidang datar dan

seperti yang terlihat pada Gambar 6.2 di

bawah ini.

Gambar 5.3 Garis lurus adalah perpotongan dua buah bidang datar


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Berdasarkan Gambar 5.3, maka bentuk persamaan garis lurus

dapat di tulis menjadi:

{

2. Untuk menentukan vektor arah dari garis lurus perpotongan

dua buah bidang datar, perhatikan Gambar 5.4 berikut:

Gambar 5.4 Garis lurus perpotongan dua buah bidang datar

3. Dari Gambar 5.4, terlihat vektor normal bidang datar adalah

[ ] dan [ ]. Jelas bahwa

merupakan vektor arah dari garis adalah:

[ ] |

|

[|

| |

| |

|]

4. Untuk mengubah bentuk persamaan menjadi

bentuk persamaan umum garis lurus yaitu:

Dan menentukan koordinat titik .

5. Untuk menentukan koordinat titik , ambil sebarang

titik pada garis lurus. Biasanya titik yang diambil adalah titik

potong dengan bidang berkoordinat, misalnya pada bidang

maka , diperoleh persamaan:

{


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

6. Untuk mencari nilai dan dari persamaan di atas, dapat

diselesaikan dengan menggunakan determinan atau dengan

cara eliminasi dan subtitusi. Jika persamaan di atas diselesai-

kan dengan cara determinan dapat dilakukan dengan cara:

|

|

|

|

dan |

|

|

|

Jadi, diperoleh titik .

Contoh 5.4

Persamaan dan adalah persamaan-

persamaan garis lurus yang merupakan perpotongan bidang-bidang

dan

Penyelesaian:





Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, pertama sekali

kita cari vektor arah dari persamaan dan

adalah:

Dimana |

|

|

|

|

|

Jadi, vektor arah garis lurus adalah [ ]

Sekarang kita cari titik dengan cara determinan. Ambil

maka diperoleh suatu persamaan dan .

|

|

|

|

|

|

|

|


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Jadi, titik yang melalui garis lurus tersebut merupakan

perpotongan ke dua buah bidang datar dan adalah .

Sehingga diperoleh persamaan garis lurus adalah:

[ ] [ ] [ ].

5.2.3 Berkas Bidang Datar dan Jaringan Bidang Datar

Untuk memperoleh persamaan berkas bidang datar dan jaringan

bidang datar, perhatikan dan pahami langkah-langkah dibawah ini.

1. Misalkan ada 2 buah bidang datar

berpotongan dengan , maka

perpotongannya berbentuk garis lurus seperti yang terlihat

pada Gambar 6.4 di bawah ini.

Gambar 5.6 Dua buah bidang berpotongan membentuk garis lurus

2. Setiap titik pada garis potong tersebut akan memenuhi

persamaan , dimana dan adalah

parameter. Persamaan di atas merupakan himpunan bidang-

bidang yang melalui garis potong dan bila ,

sehingga dapat kita tulis menjadi:

Jadi, persamaan berkas bidang melalui garis potong antara

bidang datar dan adalah

Jika bidang datar sejajar dengan bidang datar

maka persamaan berkas bidang datar dapat di tulis menjadi:

atau


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Contoh 5.7

Carilah persamaan bidang yang melalui titik dan melalui

garis potong bidang-bidang dan .

Penyelesaian:





Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, pertama sekali

kita tentukan persamaan bidang datar dengan menggunakan

persamaan di atas yaitu:

............................................ (1)

Dari persamaan (1) kita kelompokkan berdasarkan variabelnya

(variabel yana sama) seperti

. Karena bidang datar melalui titik maka

kita substitusikan titik tersebut ke persamaan

sehingga diperoleh nilai .

Setelah di peroleh nilai , kita subsitusikan ke persamaan

(1) diperoleh persamaan . Jadi dapat disimpulkan

persamaan bidang datar adalah .

Sedangkan untuk memperoleh persamaan jaringan bidang

datar perhatikan dan pahami langkah-langkah dibawah ini.

1. Pandang bidang-bidang dan yang tidak

melalui satu garis lurus yang sama (bukan dalam satu berkas).

Seperti yang terlihat pada Gambar 5.6

Gambar 5.6 Bidang-bidang yang tidak melalui garis lurus yang sama


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

2. Bentuk yang menyatakan kumpulan bidang-

bidang yang melalui titik potong ke 3 bidang tersebut. Pada

Gambar 6.7 titik potong ke 3 bidang tersebut adalah titik . Dan

kumpulan bidang-bidang tersebut disebut dengan jaringan

bidang.

Contoh 5.7

Tentukan persamaan bidang datar yang sejajar dengan

bidang dan melalui titik potong bidang-bidang

dan .

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dengan

memisalkan persamaan bidang datar

subsitusikan ketiga bidang datar tersebut kepersamaan

sehingga diperoleh suatu persamaan,

..................................................... (1)

Karena bidang datar sejajar dengan bidang datar

maka vektor normal bidang datar sama dengan vektor

normal bidang datar yaitu [ ] [ ]. Sehingga diperoleh

nilai dan . Nilai dan tersebut kita

substitusikan ke persamaan (1) menjadi .

Jadi dapat disimpulkan persamaan bidang datar adalah


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

LATIHAN

1. Carilah persamaan bidang datar yang melalui titik:

a. dan tegak lurus dengan bidang datar

b. dan tegak lurus dengan kedua bidang datar

dan .

2. Tentukan jarak:

a. Titik ke bidang datar

b. Titik ke bidang datar

c. Antara dua bidang datar dan bidang

datar .

3. Tentukanlah persamaan bidang datar yang sejajar dengan

bidang datar berjarak dari titik

4. Tentukanlah persamaan bidang datar yang melalui titik potong

bidang-bidang , dan

dan sejajar dengan bidang datar

5. Tentukan sudut antara bidang dengan bidang

6. Tentukan persamaan bidang datar yang melalui garis

potong bidang datar dan

serta tegak lurus dengan bidang datar

.

BAB 6 LINGKARAN DAN BOLA 69

GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

BAB 6

LINGKARAN DAN BOLA

Pada BAB 6 ini akan dibahas tentang merumuskan persamaan

lingkaran dan bola, menentukan persamaan garis singgung

lingkaran, bola dan bidang rata serta kuasa titik.

Persamaan Lingkaran dan Bola

6.1.1 Persamaan Lingkaran dan Bola

a. Persamaan Lingkaran

Bisakah Anda menyebutkan benda-benda yang berbentuk

lingkaran yang Anda temukan dalam kehidupan sehari-hari? Dan

sudah berapa banyak bangun datar berbentuk lingkaran yang

pernah Anda lihat? Tentu Anda akan mengatakan banyak sekali

benda-benda berbentuk lingkaran yang pernah Anda lihat dan

temukan dalam kehidupan sehari-hari. Beberapa diantaranya

adalah Roda delman, Roda sepeda, gelang, cincin, hula hoop,

kincir angin dan lain-lain.

Gambar 6.1 Contoh lingkaran dalam kehidupan sehari-hari

Tahukah Anda kenapa benda-benda di atas dibuat dalam

bentuk lingkaran? Benda-benda di atas dibuat dalam bentuk

lingkaran karena bertujuan untuk keeleganan, kecantikan,

kepraktisan, dan kenyamanan. Tentu Anda tidak akan nyaman

menaiki sepeda jika roda sepeda tidak berbentuk lingkaran.

Lingkaran-lingkaran tersebut mempunyai ukuran dan letak yang

berbeda-beda. Ukuran lingkaran ditentukan oleh panjang jari-jarinya

sedangkan letaknya ditentukan oleh posisi titik pusatnya. Lingkaran



GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap

sebuah titik tertentu. Dalam hal ini, jarak dan titik yang dimaksud

berturut-turut disebut dengan jari-jari dan titik pusat lingkaran.

Persamaan lingkaran dapat dibentuk dengan mengetahui tempat

kedudukan titik pusat dari lingkaran tersebut. Rincian mengenai

persamaan lingkaran adalah sebagai berikut.

1. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0)

Untuk menentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik

O(0,0) perhatikan Gambar 6.2.

Gambar 6.2 Lingkaran yang berpusat di titik O(0,0)

Pada Gambar 6.2 diketahui O(0,0) adalah titik pusat lingkaran,

r adalah jari-jari lingkaran dan titik P(x,y) adalah titik pada

lingkaran. Persamaan lingkarannya adalah:

OP = r

(OP)2 = r2

(x - 0)2 + (y - 0)2 = r2

x2 + y2 = r2

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) adalah

x2 + y2 = r2

Contoh 6.1

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0)

dengan jari-jari 4 cm!


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Penyelesaian:

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dengan jari-

jari 4 cm adalah: x2 + y2 = (4)2

x2 + y2 = 16

Contoh 6.2

Diketahui persamaan lingkaran x2 + y2 = 48. Tentukan jari-jari

dari lingkaran tersebut!

Penyelesaian:

Persamaan x2 + y2 = 48 memiliki bentuk umum x2 + y2 = r2.

Dengan demikian diperoleh r2= 48, maka r = 4√ . Jadi jari-jari

dari lingkaran tersebut adalah r = 4√ .

2. Persamaan lingkaran yang berpusat di A(p,q)

Untuk menentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik

A(p,q) perhatikan Gambar 6.3.

Gambar 6.3 Lingkaran yang berpusat di titik A(p,q)

Pada Gambar 6.3 diketahui A(p,q) adalah titik pusat lingkaran, r

adalah jari-jari lingkaran dan titik B(x,y) adalah titik pada

lingkaran. Persamaan lingkarannya adalah:

AB = r

(AB)2 = r2

(x-p)2 + (y-q)2 = r2

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di titik A(p,q) adalah

(x - p)2 + (y - q)2 = r2


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Contoh 6.3:

Tentukan persamaan lingkaran berikut.

a. berpusat dan berjari-jari 5

b. berpusat dan berjari-jari √

Penyelesaian:

a. Persamaan lingkaran yang berpusat dan berjari-jari 5

adalah:

(x-p)2 + (y-q)2 = r2

(x-1)2 + (y-2)2 = 52

b. Persamaan lingkaran yang berpusat dan berjari-jari

√

(x-p)2 + (y-q)2 = r2

(x-(-2))2 + (y-3)2 = r2

(x+2)2 + (y-3)2 = r2

3. Bentuk umum persamaan lingkaran

Pada uraian di atas telah dinyatakan bahwa lingkaran yang

berpusat di titik A dan berjari-jari mempunyai persamaan

. Jika persamaan ini dijabarkan, maka

akan di peroleh:

Jika kita misalkan , , dan ,

maka kita peroleh persamaan

Persamaan tersebut disebut persamaan umum lingkaran.

Dari persamaan di atas kita dapatkan dan ,

sehingga

Dengan demikian, bentuk umum persamaan lingkaran di atas

dapat kita ubah menjadi

𝑥 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

.

.

Dengan memperhatikan bentuk terakhir ini, dapat kita

simpulkan bahwa lingkaran

Mempunyai titik pusat dan jari-jari √ .

Dengan memperhatikan nilai ini, maka lingkaran tersebut

hanya ada apabila .

Catatan:

Jika , maka panjang jari-jari lingkaran adalah 0

(nol). Dalam hal ini, lingkarannya disebut lingkaran titik.

Contoh 6.4:

Carilah persamaan lingkaran dalam bentuk umum, untuk lingkaran

dengan titik pusat dan jari-jarinya berturut-turut adalah sebagai

berikut.

a. Titik pusat (2, 5), jari-jari 3.

b. Titik pusat (5, -4), jari-jari √ .

c. Titik pusat (-2, -1), jari-jari √ .

Penyelesaian:

a. Lingkaran yang berpusat di (2, 5) dan berjari-jari 3 mempunyai

persamaan

.

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di (2, 5) dan berjari-

jari 3 adalah .

b. Lingkaran yang berpusat di (5, -4) dan berjari-jari √

mempunyai persamaan

.

.

.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di (5, -4) dan berjari-

jari √ adalah .

c. Lingkaran yang berpusat di (-2, -1) dan berjari-jari √

mempunyai persamaan

.

.

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di (-2, -1) dan berjari-

jari √ adalah .

Contoh 6.5

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (3,-1), (5,3) dan

(6,2). Kemudian tentukan pula pusat dan jari-jari dari lingkaran

tersebut!

Penyelesaian:

Bentuk umum persamaan lingkaran adalah

.

Untuk titik (3,-1) dibentuk persamaan (1) sebagai berikut.

6a – 2b + c = -10

Untuk titik (5,3) dibentuk persamaan (2) sebagai berikut.

10a + 6b + c = -34

Untuk titik (6,2) dibentuk persamaan (3) sebagai berikut.

12a + 4b + c = -40

Penyelesaian dari persamaan (1), (2), dan (3) dapat ditentukan

dengan menggunakan metode eliminasi, eliminasi-substitusi dan

matriks. Berikut ini akan diselesaikan dengan mengguna-kan

metode eliminasi-substitusi.

Eliminasi persamaan (1) dengan (2):

6a – 2b + c = -10

10a + 6b + c = -34

-------------------------- -

-4a – 8b = 24

-a – 2b = 6 .................................................................... (4)


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR


6a – 2b + c = -10

12a + 4b + c = -40

-------------------------- -

-6a – 6b = 30

-a – b = 5 ......................................................................5)


-a – 2b = 6

-a – b = 5

----------------------- -

-b = 1

b = -1

Substitusi b = -1 pada persamaan (4):

-a – 2b = 6

-a – 2 (-1) = 6

-a + 2 = 6

a = -4

Substitusi a = -4 dan b = -1 ke persamaan (1):

6a – 2b + c = -10

6(-4) – 2(-1) + c = -10

-24 + 2 + c = -10

-22 + c = -10

c = 12

Persamaan lingkaran dengan a = -4, b = -1 dan c = 12 adalah:

.

.

.

Pusat lingkaran adalah P(-a,-b),

diperoleh P(4,1).

Jari-jari lingkaran adalah:

√

√

√

b. Posisi Suatu Titik Terhadap Suatu Lingkaran

Untuk mengetahui posisi suatu titik tertentu terhadap

suatu lingkaran , kita hitung jarak titik


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

ke pusat lingkaran . Misalkan jarak tersebut adalah d,

yaitu √ . Selanjutnya kita bandingkan jarak

ini dengan jari-jari lingkaran r.Kemungkinan-kemungkinan

hubungan dengan adalah sebagai berikut.

1. yang berarti atau

sesuai dengan definisi lingkaran (lihat Gambar 2.10 (i)), maka

titik terletak pada lingkaran.

2. (lihat Gambar 2.10 (ii)), yang berarti atau

. Untuk keadaan ini, kita katakan titik

terletak di dalam lingkaran.

3. (lihat Gambar 2.10 (iii)), yang berarti atau

. Untuk keadaan ini, kita katakan titik

terletak diluar lingkaran.

Contoh :

Tuliskan posisi masing-masing titik berikut terhadap lingkaran yang

diberikan.

a. Titik terhadap lingkaran .

b. Titik terhadap lingkaran

c. Titik terhadap lingkaran

Penyelesaian:

a.

Pusat lingkaran: Kuadrat jarak titik ke pusat

lingkaran adalah . Karena , maka titik

terletak di dalam lingkaran .

b.

Pusat lingkaran: Kuadrat jarak titik ke pusat

lingkaran adalah . Karena

, maka terletak di luar

lingkaran

c.

Pusat lingkaran: . Kuadrat jarak titik ke pusat

lingkaran adalah . Karena

, maka titik terletak pada

lingkaran .


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

c. Persamaan Bola

Dalam kehidupan sehari-hari, Anda tentunya sering menjumpai

benda-benda berbentuk bola seperti ditunjukkan pada gambar 6.3

berikut.

Gambar 6.3

Bola (permukaan bola) adalah himpunan titik-titik di ruang

dimensi tiga yang berjarak sama dari suatu titik tertentu.

Selanjutnya jarak yang sama itu disebut dengan jari-jari bola

sedangkan titik tertentu itu dinamakan dengan titik pusat bola.

Permukaan bola merupakan tempat kedudukan titik-titik ujung

vektor di dalam ruang yang titik awalnya tertentu dan panjang

vektor tersebut konstan. Perhatikan Gambar 6.4 berikut.

Gambar 6.4

Gambar 6.4 menunjukkan gambar sebuah bola pada ruang.

Bola tersebut berpusat di titik A(a,b,c) dan berjari-jari r. Untuk

menentukan persamaan bola perhatikan uraian berikut.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

1. Persamaan bola yang berpusat di titik O(0,0,0) dan berjari-

jari r

Untuk menentukan persamaan bola yang berpusat di titik

A(a,b,c), pelajari langkah-langkah berikut.

a. Buatlah gambar sebuah bola pada ruang dimensi tiga,

dengan titik pusat O(0,0,0) dan jari-jari .

b. Buatlah sebuah titik sebarang pada permukaan

bola tersebut.

c. Vektor ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ dengan

, dengan demikian diperoleh

| | ⟨ ⟩

| | √

d. Karena adalah sebarang titik pada permukaan

bola, maka persamaan merupakan

persamaan bola dengan pusat O(0,0,0) dan jari-jari = .

Jadi dapat disimpilkan bahwa persamaan bola dengan

pusat O(0,0,0) dan jari-jari = adalah:

𝑥 𝑦 𝑧 𝑟


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

2. Persamaan bola yang berpusat di titik A(a,b,c) dan berjari-

jari r

a. Buatlah gambar sebuah bola pada ruang dimensi tiga,

dengan titik pusat dan jari-jari .

b. Buatlah sebuah titik sebarang pada permukaan

bola tersebut.

Gambar 6.5

c. Vektor ⟨ ⟩ dengan ,

| | ⟨ ⟩, kemudian kuadratkan vektor

tersebut, sehingga persamaannya menjadi:

| | √ , | |

jari-jari bola

d. Karena adalah sebarang titik pada permukaan

bola, maka persamaan

merupakan persamaan bola dengan pusat dan

jari-jari = .

Jadi persamaan bola dengan pusat dan jari-jari =

adalah:

𝒙 𝒂 𝟐 𝒚 𝒃 𝟐 𝒛 𝒄 𝟐 𝒓𝟐


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Contoh 6.4:

Tentukan persamaan bola yang berpusat di titik (1,2,3) dan

melalui titik (2,4,1).

Penyelesaian:

Jari-jari bola adalah jarak dua titik yang diketahui tersebut, yaitu

√ √

persamaan bola yaitu

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan tersebut

substitusikan jari-jari 3 dan titik pusat (1,2,3) sehingga

diperoleh:

Sehingga diperoleh persamaan bola yaitu:

3. Bent uk Umum Persamaan Bola

Untuk menentukan bentuk umum persamaan bola, pelajari

langkah-langkah berikut.

1. Tulis kembali bentuk persamaan bola yang berpusat di titik

A , yaitu

2. Jabarkan persamaan tersebut, sehingga diperoleh

3. Kemudian lakukan pemisalan.

dan

Maka persamaan bola tersebut dapat ditulis menjadi,

Selanjutnya, akan ditentukan koordinat titik pusat dan jari-jari

dari bola dari persamaan .

Persamaan ini diubah dalam bentuk kuadrat sempurna dari ,

dan sebagai berikut:

(

) (

) (

)

Selanjutnya, persamaan tersebut dijadikan ke dalam bentuk

(

)

(

)

(

)

z z


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Dari persamaan tersebut diperoleh titik pusat bola yaitu

(

) dan jari-jarinya adalah

√

.

atau

Dari persamaan umum bola

,

dengan , , dan

,

maka diperoleh

,

, dan

.

Berarti pusat bola itu adalah

Kemudian , atau

(

)

(

)

(

)

Maka √

, ini merupakan rumus untuk

menghitung jari-jari bola.

Dari persamaan dan jari-jari di atas, dapat disimpulkan tiga

kemungkinan, yaitu:

(i) Jika

maka . Kondisi ini

memperlihatkan bentuk bola yang disebut bola nyata

(sejati).

(ii) Jika

, maka . Kondisi ini

memperlihatkan bentuk bola yang disebut dengan bola

titik.

(iii) Jika

, maka imajiner. Kondisi ini

memperlihatkan bentuk bola yang disebut dengan bola

khayal (imajiner).


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Contoh 6.6:

Jika diketahui tiga buah titik ,

dan yang tidak sebidang pada suatu persamaan umum

bola, yaitu

yang mengandung empat parameter yaitu , dan D

bagaimanakah bentuk persamaan bola tersebut?.

Penyelesaian:

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah

ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya

temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam

lembar kegiatan kelompok anda.

untuk menentukan persamaan umum bola tersebut dapat

digunakan cara determinan dan cara subsitusi-eliminasi.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

LATIHAN

1. Perhatikan gambar berikut.

Tentukan:

a. Koordinat titik pusat lingkaran

b. Jari-jari lingkaran

c. Persamaan lingkaran

2. Tentukan persamaan lingkaran dengan titik pusat dan jari-jari

sebagai berikut.

a. O (0,0) dan r = 9 cm

b. A(3,6) dan r = 5 cm

c. C(-5,7) dan r = 4 cm

3. Diketahui persamaan lingkaran x2 + y2 -2x + 4y + 1 = 0. Jika

pusat lingkaran adalah P(a,b) maka tentukan nilai dari 10a –

5b!

4. Diberikan persamaan lingkaran x2 + y2 -4x + 2y - 4= 0. Titik A

memiliki koordinat (2,1). Tentukan posisi titik tersebut, apakah

di dalam lingkaran, di luar lingkaran, atau pada lingkaran!

5. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik A(0,2), B(3,3)

dan C(6,2)!

6. Tentukan persamaan bola yang:

a. Berpusat di titik (2,3,-1) dan berjari-jari 4 cm

b. Mempunyai diameter ruas garis yang menghubungkan (6,

2, -5) dan (-4, 0, 7)

7. Tentukan persamaan bola yang melalui titik (1,1,1), (1,2,1),

(1,1,2), (2,1,1)!

8. Tentukan koordinat pusat dan jari-jari dari bola dengan

persamaan x2 + y2 + z2 - 2x + 4y – 6z + 5 = 0!


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Garis Singgung Lingkaran dan Kuasa Lingkaran

6.2. Garis Singgung Lingkaran dan Kuasa Lingkaran

6.2.1 Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran

pada satu titik. Gambar realistik dan narasi

a. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik

1. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di O(0,0)

melalui titik (x1, y1)

Garis singgung lingkaran yang berpusat di O(0,0) melalui titik

(x1, y1) dapat ditunjukkan pada Gambar berikut.

Gambar 6.8

Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang

berpusat di O(0,0) melalui titik (x1, y1) pelajari langkah-langkah

berikut.

a) Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) adalah x2 +

y2 = r2.

b) Titik A(x1, y1) berada pada lingkaran. Titik A memenuhi

persamaan

.

c) Persamaan garis k yang melalui titik A(x1, y1) dengan

gradien m adalah . Gradien garis k yang



GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

melalui titik (x1, y1) adalah

. Dengan demikian,

persamaan garis k menjadi:

d) Diperoleh kesimpilan:

Jika titik A(x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2 maka garis

singgung lingkaran yang melalui titik A adalah

Contoh 6.5

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25

melalui titik (4,-3)!

Penyelesaian:

Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 melalui titik

(4,-3) adalah:

2. Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik A (x1, y1) pada

lingkaran yang berpusat di P(a,b)

Garis singgung lingkaran melalui titik A(x1, y1) pada lingkaran

yang berpusat di P(a,b) ditunjukkan pada Gambar 6.9 berikut.

Gambar 6.9

𝑦 𝑦 𝑥 𝑥 𝑟


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang

berpusat di P(a,b) melalui titik A(x1, y1) pelajari langkah-

langkah berikut.

a) Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a,b) adalah

b) Titik A(x1, y1) berada pada lingkaran. Titik A memenuhi

persamaan

c) Persamaan garis k yang melalui titik A(x1, y1) dengan

gradien m adalah . Gradien garis k yang

melalui titik (x1, y1) adalah

. Dengan demikian,

persamaan garis k menjadi:

d) Diperoleh kesimpulan:

Jika titik A(x1, y1) pada lingkaran

maka garis singgung lingkaran yang melalui titik A

adalah

Contoh 6.8

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran

melalui titik (2,-2)!

Penyelesaian:

Persamaan garis singgung lingkaran

melalui titik (2,-2) adalah:

𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 𝑦 𝑏 𝑟


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

b. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien

Tertentu.

1. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Berpusat di (0,0)

dengan gradien m

Garis singgung lingkaran yang berpusat di (0,0) dengan

gradien m dapat dilihat pada gambar berikut.

Gambar 6.6

Untuk menentukan garis singgung lingkaran yang berpusat di

(0,0) dengan gradien m pelajari langkah-langkah berikut.

a) Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) adalah x2 +

y2 = r2 dan persamaan garis dengan gradien m adalah

b) Substitusi ke persamaan lingkaran, diperoleh:

c) Nilai diskriminan dari

adalah:

d) Karena garis menyinggung lingkaran maka nilai

diskriminan D=0.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

√

e) Substitusi √ ke persamaan garis y = mx+n,

diperoleh

√

f) Jadi diperoleh kesimpulan, persamaan garis singgung

lingkaran yang berpusat di (0,0) dengan gradien m adalah:

Contoh 6.10

2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Berpusat di P(a,b)

dengan gradien m

Garis singgung lingkaran yang berpusat di P(a,b) dengan

gradien m ditunjukkan pada Gambar berikut.

Gambar 6.6

Untuk menentukan garis singgung lingkaran yang berpusat di

P(a,b) dengan gradien m pelajari langkah-langkah berikut.

a) Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a,b) adalah

dan persamaan garis dengan

gradien m adalah

𝑦 𝑚𝑥 𝑟√ 𝑚


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

b) Substitusi ke persamaan lingkaran, diperoleh:

( )

c) Nilai diskriminannya adalah:

( )

d) Karena garis menyinggung lingkaran maka nilai

diskriminan D=0.

√

√

e) Substitusi √ ke persamaan garis y

= mx+n, diperoleh

√

√

f) Jadi diperoleh kesimpulan, persamaan garis singgung

lingkaran yang berpusat di P(a,b) dengan gradien m adalah:

c. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui

Sebuah Titik di Luar Lingkaran

Garis singgung lingkaran yang melalui sebuah titik di luar

lingkaran O(0,0) ditunjukkan pada Gambar berikut.

𝑦 𝑏 𝑚 𝑥 𝑎 𝑟√ 𝑚


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Gambar 6.11

Persamaan garis singgung yang melalui titik tersebut

dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut denagn langkah-

langkahnya adalah:

1. Titik berada di luar lingkaran .

2. Dari titik dapat dibuat 2 buah garis singgung lingkaran yaitu

dan . Garis menyinggung lingkaran di ; garis

menyinggung lingkaran di . Jadi, titik merupakan titik

potong garis singgung dan .

3. Tentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan

persamaan garis singgung yang melalui titik yaitu

. Titik pada , sehingga diperoleh

. Itu berarti pada garis

4. Tentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan

persamaan garis singgung diperoleh . Itu berarti

pada persamaan

5. Diperoleh persamaan garis (garis penghubung antara titik

dan yaitu , yang juga di sebut garis kutub atau

garis polar dari titik terhadap lingkaran

adalah


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Berdasarkan langkah di atas berlaku:

1. Persamaan garis kutub (polar) dari titik terhadap

lingkaran adalah

2. Persamaan garis kutub (polar) dari titik terhadap

lingkaran adalah

Untuk menentukan persamaan garis singgung dari titik

di luar lingkaran baik yang berpusat di maupun

yang berpusat di pelajari langkah-langkah sebagai berikut:

1. Membuat garis kutub (polar) dari titik terhadap lingkaran.

2. Mencari koordinat titik potong garis kutub dengan lingkaran.

3. Menentukan persamaan garis singgung di titik potong antara

garis kutub (polar) dan lingkaran tersebut.

6.2.2 Kuasa Lingkaran

1. Kuasa Titik Terhadap Lingkaran

Definisi:

Misalkan persamaan lingkaran dan titik

. Kuasa titik terhadap lingkaran adalah

suatu konstanta dengan

.

Ada tiga jenis kemungkinan nilai , yaitu:

a. , berarti titik di luar lingkaran

b. , berarti titik pada lingkaran

c. , berarti titik di dalam lingkaran

Untuk menentukan kuasa titik terhadap lingkaran, pelajari

langkah-langkah berikut.

1) Gambarlah sebuah lingkaran dengan pusat , jari-jari ,

satu titik diluar lingkaran dan 4 titik berada pada lingkaran

yang terlihat pada gambar di bawah ini.

b b


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Gambar 6.13

2) Perhatikan gambar 6.13, melalui titik dapat ditarik

banyak sekali garis-garis yang memotong lingkaran

masing-masing di dua titik, dan menyinggung lingkaran

dititik dan .

Gambar di atas dalam geometri berlaku bahwa:

| || | | || | | || | | | | |

| | . Maka hasil kali ini disebut kuasa titik terhadap

lingkaran. Sekarang akan dihitung besarnya kuasa titik

terhadap lingkaran tersebut. Misalkan dan

persamaan lingkaran adalah

dengan pusat (

)dan kuadrat jari-jarinya

adalah

.

Kuasa titik T terhadap lingkaran tersebut adalah

| || | | | | |

| |

(

)

(

)

Jadi, kuasa titik pada lingkaran adalah

adalah

Kuasa

suatu titik dapat bernilai positif, nol atau negatif berturut-

turut apabila titik itu di luar, pada atau di dalam lingkaran.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Jika persamaan lingkaran dalam bentuk

, maka kuasa titik terhadap

adalah:

2. Garis Kuasa

Definisi

Garis kuasa adalah tempat kedudukan titik-titik yang

mempunyai kuasa yang sama terhadap dua buah lingkaran.

Sudut perpotongan dua lingkaran adalah sudut antara garis

singgung-garis singgung pada salah satu titik potong ke dua

lingkaran itu, atau sudut antara jari-jari yang mengarah ke titik

potong tersebut.

Gambarkan dua lingkaran dan yang masing-masing

berpusat di dan . Misalkan ke dua lingkaran itu

berpotongan di titik dan .

Gambar 6.14

adalah sentral ke dua lingkaran. Garis (atau garis )

adalah garis singgung lingkaran dan garis (atau garis

) adalah garis singgung lingkaran . Misalkan adalah

sudut antara dan (yaitu sudut yang dibentuk oleh

perpotongan garis singgung dan ).

𝑘 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 𝑟


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Beberapa sifat dari garis kuasa adalah sebagai berikut:

1. Garis kuasa dari dua buah lingkaran selalu tegak lurus

terhadap garis sentralnya.

2. Apabila kedua lingkarannya saling bersinggungan, maka garis

kuasanya adalah garis singgung di titik singgungnya.

3. Jika kedua lingkaran saling berpotongan, maka garis kuasanya

adalah tali busur persekutuannya.

4. Tiga buah lingkaran hanya mempunyai satu kuasa, yaitu titik

potong dari garis kuasa setiap dua buah lingkaran.

Contoh 6.14

Tentukan garis kuasa lingkaran dengan

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, kita dapat

menggunakan persamaan sehingga diperoleh,

Jadi, persamaan garis kuasa lingkaran adalah

3. Titik Kuasa

Misalkan adalah tiga lingkaran yang pusat-pusatnya

tidak berada pada satu garis lurus (konsentris). Ketiga

lingkaran tersebut mempunyai tiga garis kuasa yang saling

berpotongan di satu titik. Titik potong ketiga garis ini disebut

titik kuasa seperti yang terlihat pada Gambar 6.15 dan

dilambangkan dengan:

atau {


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Gambar 6.15

Jika ketiga lingkaran adalah konsentris maka garis-garis

kuasanya sejajar, dan ini berarti titik kuasa ketiga lingkaran

berada di titik tak hingga.

4. Berkas Lingkaran

Misalnya diketahui 2 buah lingkaran dan sembarang yang

saling berpotongan, maka kumpulan dari semua lingkaran yang

melalui titik potong kedua lingkaran tersebut dinamakan

dengan berkas lingkaran. Persamaan dari berkas lingkaran

yang melalui titik potong dan adalah:

Di mana adalah konstanta.

Contoh 6.16

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik potong

lingkaran dan

dan pusatnya terletak pada garis

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali

kita misalkan

dan

𝐿 𝜆𝐿


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Lingkaran yang melalui titik potong dan akan membentuk

berkas lingkaran dengan persamaan sehingga

diperoleh,

Adalah persamaan lingkaran yang berpusat di titik :

(

)

(

{

}

{

})

Selanjutnya, karena pusat lingkaran terletak pada garis

sehingga diperoleh nilai dengan

mensubstitusikan titik pusat lingkaran ke persamaan garis

tersebut, menjadi:

(

) (

)

Jadi, diperoleh nilai .

Setelah diperoleh nilai , substitusikan ke persamaan (1)

menjadi,

Jadi, persamaan lingkaran adalah


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

LATIHAN

1. Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran yang melalui

titik O(0,0) pada lingkaran

2. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran

yang melalui titik (6,8)

3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran

di titik (1, 2)

4. Tentukan harga k, agar dan lingkaran

.

a. berpotongan di dua titik

b. bersinggungan

c. tidak berpotongan.

5. Tentukan kuasa titik A(1,4) terhadap lingkaran

dan tentukan pulaletak titik A terhadap lingkaran.

6. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik P(1,1), Q(1,-1)

dan R(2,0)

7. Tentukan sebuah titik yang mempunyai kuasa yang sama

terhadap ketiga lingkaran ,

dan .


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Bola dan Bidang Rata

6.3.1 Bola dan Bidang Rata

1. Kedudukan Bola dan Bidang Rata

Langkah-langkahnya:

a. Lukislah suatu lingkaran dengan , berarti bola

berpotongan dengan bidang rata , seperti yang terlihat

pada Gambar 6.18 di bawah ini.

Gambar 6.19

b. Perpotongan Bola dengan bidang rata akan

membentuk sebuah lingkaran dengan persamaan lingkaran

adalah:

,

Untuk menentukan pusat dan jari-jari lingkaran

berpotongan tersebut lakukanlah langkah-langkah di bawah ini.

a. Perhatikan siku-siku di . adalah titik pusat

lingkaran.

b. Untuk menentukan jari-jari lingkaran kita dapat

menggunakan dalil pythagoras yaitu

sehingga diperoleh:



GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

√

Jadi, jari-jari lingkaran yang disimbolkan dengan adalah:

√ ................................... (25)

c. Untuk menyatakan persamaan lingkaran di dalam ruang,

kita dapat mengambil sebuah bola dan sebuah

bidang rata yang saling berpotongan menurut

lingkaran tersebut. Jadi, persamaan lingkaran dinyatakan

dengan dua persamaan yaitu:

,

........................................ (26)

d. Selain berpotongan bola dan bidang rata, suatu lingkaran

dapat pula dinyatakan sebagai berikut:

(1) Perpotongan antara bola dengan bola

(2) Perpotongan silinder (tabung) atau kerucut lingkaran

tegak lurus dengan bidang paralelnya(=bidang yang

tegak lurus poros) seperti yang terlihat pada Gambar

9.2 (a) dan (b) di bawah ini.

Gambar 9.2 (a) Bidang Rata dan Tabung

Gambar 9.2 (b) Bidang Rata dan Kerucut


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

e. Dari persamaan (26) di atas, kita dapat menentukan titik

pusat lingkaran tersebut yaitu dengan cara:

(1) Pusat lingkaran adalah titik tembus antara garis

dengan bidang rata . Garis tegak lurus

dengan bidang rata , berarti vektor arah garis

sama dengan vektor normal bidang rata atau

dapat ditulis menjadi [ ] [ ].

Persamaan garis {

...................... (1)

(2) Subsitusikan persamaan (1) ke persamaan bola

sehingga diperoleh nilai .

(3) Setelah nilai didapatkan maka substitusikan nilai

tersebut ke persamaan (1) sehingga diperoleh titik

pusat lingkaran.

c. berarti bola menyinggung bidang rata ,

seperti yang terlihat pada Gambar 9.3 di bawah ini.

Gambar 6.20

Jika bidang rata menyinggung bola maka

bidang rata disebut juga dengan bidang singgungnya.

Untuk menentukan bidang singgung tersebut lakukanlah

langkah-langkah di bawah ini dan diskusikanlah dengan teman

Anda.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

a. Misalkan dengan

pusat bola

dan adalah titik

singgung bola dan bidang rata .

b. Vektor tegak lurus terhadap bidang rata , berarti

vektor arah garis sama dengan vektor normal bidang rata

yaitu:

[ ] [ ] sehingga diperoleh:

*

+

Bidang rata melalui titik maka persamaan bidang

rata adalah:

c. Subsitusikan persamaan di atas sehingga diperoleh persamaan

bidang singgung bola di titik adalah:

(

) (

) (

)

Berdasarkan proses di atas, dapat di simpulkan bahwa:

1) Jika , maka persama-

an bidang singgung di titik adalah:

(

) (

) (

)

2) Jika , maka persamaan

bidang singgung di titik adalah:

3) Jika , maka persamaan bidang singgung

di titik adalah:

Persamaan bidang singgung di atas mengikuti kaidah “Membagi

Adil” yaitu pergantian:

menjadi , menjadi , menjadi

menjadi

, menjadi

, menjadi

menjadi

.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

d. berarti bola tidak memotong dan tidak

menyinggung bidang rata seperti yang terlihat pada

Gambar 9.4 di bawah ini.

Gambar 6.21

Kuasa Titik

Misalkan bola dan

misalkan titik .

Definisi:

Kuasa titik terhadap bola di defenisikan

sebagai:

ada 3 kemungkinan nilai yaitu:

Titik di luar bola jika dan hanya jika

Titik pada bola jika dan hanya jika

Titik di dalam bola jika dan hanya jika

Anti Geometri dari Kuasa Titik

Misalkan bola dan

titik adalah titik sebarang. Bagaimana cara menentukan

persamaan garis singgung bola jika titiknya di luar bola. Untuk

menentukan persamaan garis lurus tersebut lakukanlah kegiatan di

bawah ini dengan langkah-langkah sebagai berikut:


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

1. Perhatikan Gambar 6.22 di bawah ini.

Gambar 6.21

2. Tarik garis melalui . Misalkan cosinus arah garis

adalah: [ ] sehingga persamaan parameter

garis adalah:

{

Garis ada yang menembus bola, ada yang menyinggung

bola, dan ada yang tidak menyinggung atau tidak menembus

bola.

3. Andaikan garis tersebut menembus bola pada titik dan

untuk mencari titik tembus, subsitusikan persamaan (1) ke

dalam persamaan bola sehingga di peroleh:

,(

) (

) (

) -

Persamaan di atas adalah persamaan kuadrat dalam , ada

beberapa ketentuan persamaan kuadrat tersebut yaitu:

(1) Jika maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai

2 buah akar dan yang berbeda.


2 buah akar dan yang konstan (sama).


2 buah akar dan yang imaginer.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

4. Andaikan persamaan kuadrat (1) mempunyai dua akar yang

berbeda yaitu dan . Berarti garis menembus bola pada

dua titik. Misalkan titik itu adalah titik dan dengan:

dan

√

√

√

√

| | ……………. Akar dari persamaan kuadrat (1)

√

√

√

√

| | ……………. Akar dari persamaan kuadrat (1)

| || |

|

|

|

|

Jadi, | |

||

||

harga mutlak kuasa titik terhadap Bola

Atau :

Bila dari titik tertentu ditarik garis sebarang yang memotong bola

di dan maka harga adalah konstan. Kalau di luar

bola maka harganya = kuasa , dan kalau di dalam bola maka

harga negatifnya = kuasa .

Bidang Kutub

Misalkan persamaan Bola

dan sebarang titik . Bagaimanakah

persamaan bidang kutubnya?


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Untuk menentukan persamaan bidang kutub, lakukanlah kegiatan di

bawah ini.

Persamaan Bidang Kutub

Langkah-langkahnya adalah:

1. Perhatikan Gambar 6.22 di bawah ini.

Gambar 6.22

2. Tarik garis melalui titik ) sehingga menembus bola

di dan .

3. Misalkan titik pada garis sehingga titik dan

sekawan haromonis dengan titik dan . Artinya jika

maka . Seperti yang terlihat pada

Gambar 6.23 di bawah ini.

Gambar 6.23


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

4. Jika garis digunakan, maka tempat kedudukan titik

merupakan suatu bidang rata, yang disebut dengan bidang

kutub (bidang polar) bola , dengan titik kutubnya adalah

titik .

5. Misalkan persamaan Bola , dengan

titik kutubnya maka koordinat titik adalah

(

)

Agar maka

6. Subsitusikan persamaan diatas, sehingga diperoleh persamaan

bidang kutub adalah


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

LATIHAN

1. Carilah persamaan bola yang bersinggungan yang titik-titik

pusatnya berturut-turut (-3, 1, 2) dan (5, -3, 6) dan jari-jarinya

sama

2. Carilah persamaan bola dengan pusat (1, 1, 4) dan

menyinggung bidang .

3. Tentukan persamaan bola yang melalui titik-titik ,

dan yang titik pusatnya terletak pada

bidang .

4. Tentukan persamaan bola yang berjari-jari 3 dan menyinggung

bidang di titik

5. Tentukan persamaan bidang singgung pada bola

yang sejajar dengan bidang

.

Tes Formatif 10

BAB 7 IRISAN KERUCUT 108

GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

BAB 7

IRISAN KERUCUT

Pada BAB 7 ini akan dibahas irisan kerucut dengan materi

yang mencakup tentang persamaan parabola, menggambar para-

bola, persamaan garis singgung parabola, persamaan elips, meng-

gambar elips, persamaan garis singgung pada elips, persamaan

hiperbola, menggambar hiperbola dan persamaan garis singgung

pada hiperbola.

Persamaan Parabola

7.1. Persamaan Parabola

Parabola merupakan suatu bentuk irisan kerucut yang sangat

populer karena erat kaitannya dengan kehidupan sehari-hari.

Aplikasi utama parabola berkaitan dengan fungsinya sebagai

pemantul sinar dan gelombang radio. Sifat-sifat parabola ini

dimanfaatkan dalam teleskop, radar, antena, dan gelombang mikro.

7.1.1 Pengertian Parabola

Parabola merupakan irisan kerucut dengan nilai eksentrisitas

. Sebagai akibat dari hal ini, maka parabola dapat

didefinisikan sebagai berikut. Parabola adalah himpunan titik-titik

yang berjarak sama terhadap suatu titik dan suatu garis tertentu.

Gambar 7.1 Parabola



GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Perhatikan Gambar 7.1. titik dan garis berturut-turut

merupakan fokus dan direktriks parabola. Apabila titik terletak

pada parabola, maka | | | |. Garis tegak lurus garis .

Dalam hal ini, garis merupakan sumbu simetri parabola.

Dengan demikian, karena merupakan titik pada parabola maka

juga terletak pada parabola. Titik merupakan titik potong sumbu

simetri dengan parabola dan disebut titik puncak parabola. Garis

yang sejajar direktriks dan melalui titik fokus memotong parabola

di titik dan seringkali disebut dengan latus rektrum.

Panjang latus rektum | | | | | | | |.

Persamaan parabola diantaranya:

a. Persamaan Kanonik Parabola

Gambar 7.2 Parabola dengan titik fokus dan puncak parabola adalah

Perhatikan Gambar 7.2, kita pilih titik fokus dan puncak

parabola adalah . Sehubungan dengan hal ini, maka titik

berkoordinat . Dengan demikian, direktriksnya mempunyai

persamaan atau . Apabila adalah parabola dan

adalah sembarang anggota , maka kita dapatkan:

{ || | | |}

{ || | | | }

{ | }

{ | }

{ | }


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Dengan demikian, parabola mempunyai persamaan .

Persamaan ini disebut persamaan kanonik parabola, dan

merupakan bentuk persamaan parabola yang paling sederhana.

Sehubungan dengan uraian di atas, dapat kita katakan bahwa:

adalah persamaan parabola dengan

a. Titik puncak

b. Titik fokus

c. Sumbu (garis dengan persamaan ) sebagai sumbu

simetri,

d. Persamaan direktriks atau , dan

e. Panjang latus rektum | |.

Contoh 7.1

Carilah persamaan parabola yang berpuncak di dan

mempunyai fokus:

a. b.

Untuk masing-masing parabola, carilah panjang latus rektum dan

persamaan direktriksnya.

Penyelesaian:

Gambar 7.3

a. Perhatikan Gambar 7.3

Sesuai dengan uraian sebelumnya, persamaan parabola

yang berpuncak di dan mempunyai fokus

adalah , maka persamaan parabola yang

berpuncak di dan berfokus di adalah:


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Panjang latus rektum | |

Persamaan direktriks:

b. Fokus , maka .

Persamaan parabola:

Panjang latus rektum | | | |


b. Parabola dengan Persamaan

Gambar 7.4

Perhatikan Gambar 7.4 pada gambar tersebut tampak parabola

dengan puncak , fokus dan direktriks yang

mempunyai persamaan . Apabila adalah

sembarang titik pada parabola, maka:

| | | |

| | | |


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Dengan memperhatikan uraian di atas dapat kita katakan

bahwa:

Parabola dengan persamaan mempunyai:

a. Titik puncak

b. Titik fokus

c. Sumbu simetri dengan persamaan

d. Garis direktriks dengan persamaan , dan

e. Panjang latus rektum | |.

Untuk membuktikan bahwa panjang latus rektum parabola di

atas adalah | |, perhatikan Gambar 7.4 serta uraian berikut.

| | | |

| |

| |

| |

| |

Contoh 6.3

Carilah persamaan parabola yang mempunyai titik puncak dan titik

fokus berturut-turut dibawah ini, kemudian tentukan pula panjang

latus rektum dan persamaan direktriksnya.

a. dan .

b. dan .

c. dan

Penyelesaian:

a. Diketahui titik puncak dan titik fokus , maka

Persamaan parabola:

Panjang latus rektum | | | | .



GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

b. Diketahui dan , maka .

Persamaan parabola tersebut adalah

Panjang latus rektum | | | |


c. Diketahui dan , maka

.

Persamaan parabola:

Panjang latus rektum | | | | .


Contoh 6.4:

Carilah persamaan parabola yang fokus dan direktriksnya berturut-

turut adalah

a. dan garis

b. dan garis

Penyelesaian:

a. Misalkan adalah sembarang titik pada parabola dan

adalah titik pada direktriks sehingga | | | |, maka kita

dapatkan koordinat titik adalah dan

| | | |

Jadi, persamaan parabolanya adalah


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

b. Misalkan adalah sembarang titik pada parabola dan

adalah titik pada direktriks sehingga | | | |, maka kita

dapatkan koordinat titik adalah dan

| | | |

Catatan:

Untuk menentukan persamaan parabola yang berpuncak di

dan titik fokusnya dapat pula di lakukan dengan

cara sebagai berikut.

Perhatikan Gambar 7.5 jika parabola . Kita

transformasikan dengan translasi ( ), yaitu translasi sejauh

satuan ke kanan dan satuan ke atas, maka akan kita dapatkan

parabola baru dengan puncak dan fokus .

Misalkan adalah sembarang titik pada parabola

dan adalah bayangan titik oleh translasi di atas,

maka akan kita dapatkan:

dan

Dengan demikian, kita peroleh hubungan

................................................... 1)

................................................... 2)

Jika (1) dan (2) kita substitusikan pada persamaan , maka

kita peroleh :


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Karena dan merupakan peubah, maka lambangnya

dapat kita ganti dengan lambang lain. Untuk kemudahan, kita dapat

mengganti dengan dan dengan , sehingga kita peroleh

Yang merupakan persamaan parabola yang mempunyai titik

puncak dan fokus .

c. Persamaan parabola dalam bentuk lain

Pada bagian b, telah dikemukakan bahwa

merupakan persamaan parabola yang mempunyai puncak

dan fokus . Bentuk persamaan tersebut dapat kita ubah.

dengan dan .

Untuk menentukan titik puncak, titik fokus, persamaan

direktriks, dan panjang latus rektum parabola dengan persamaan

. Dapat kita lakukan dengan mengubah

persamaan bentuk .

Contoh 14:

Untuk masing-masing persamaan parabola berikut, carilah titik

puncak, titik fokus, persamaan direktriks, panjang latus rektum, dan

persamaan sumbu simetrinya.

a.

b.

Jawab:

a.

Persamaan ini berbentuk dengan

dan Jadi,

(i) titik puncak parabola

(ii) titik fokus:

(iii) persamaan direktriks:

(iv) panjang latus rektum

(v) persamaan sumbu simetri:


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

b.

Persamaan ini berbentuk

dengan , dan . Jadi

(i) Titik puncak parabola:

(ii) Titik fokus parabola:

(iii) Persamaan direktriks:

(iv) Panjang latus rektum

(v) Persamaan sumbu simetri:

Pada uraian sebelumnya kita jumpai parabola dengan sumbu

simetri sumbu atau garis yang sejajar dengan sumbu . Pada ba-

gian berikut ini akan kita pelajari parabola dengan sumbu simetri .

Perhatikan Gambar 7.5 jika pada parabola dilakukan

rotasi yang berpusat di sejauh , maka akan kita dapatkan

hal-hal berikut.

1) Jika adalah peta/bayangan titik oleh

transformasi tersebut, maka terdapat hubungan dan

. Apabila kedua hal ini kita substitusikan pada parabola

, maka kita peroleh . Kita ganti

dengan dan dengan , sehingga kita peroleh .

2) Apabila adalah bayangan titik oleh transformasi itu,

maka koordinat adalah .


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

3) Apabila adalah bayangan direktriks oleh transformasi

tersebut, maka kita peroleh persamaan garis adalah .

Dengan demikian, dapat kita katakan bahwa

merupakan persamaan parabola yang mempunyai:

(1) Titik puncak

(2) Titik fokus

(3) Direktriks dengan persamaan

(4) Panjang latus rektum | |

(5) Sumbu simetri dengan persamaan

Dengan cara yang sama, akan kita dapatkan bahwa

merupakan persamaan parabola yang mempunyai:

(1) Titik puncak

(2) Titik fokus

(3) Direktriks dengan persamaan


(5) Sumbu simetri dengan persamaan

Contoh 15:

Carilah persamaan parabola yang mempunyai fokus dan

direktriks berturut-turut:

a. dan garis

b. dan garis

c. dan garis

Tentukan pula titik puncak dan sumbu simetri masing-masing

parabola tersebut.

Jawab:

Secara umum, kita akan menentukan persamaan suatu

parabola dengan fokus dan direktriks .

a. Karena titik fokus dan direktriks maka ,

sehingga persamaan parabolanya adalah

Titik puncak parabola adalah

Sumbu simetri parabola adalah garis

b. Karena titik fokus dan direktriks ,

Maka:


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Sehingga

Persamaan parabola:

Titik puncak:

Sumbu simetri: .

c. Karena titik fokus dan direktriks ,

Maka : dan

Sehingga

Persamaan parabola:

b

Titik puncak: .

Sumbu simetri: .

7.1.2 Menggambar sketsa parabola

Langkah-langkah yang diperlukan untuk menggambar sketsa

parabola adalah

a. Tentukan koordinat titik puncak parabola,

b. Tentukan koordinat titik fokus,

c. Tentukan sumbu simetri

d. Tentukan panjang latus rektum

e. Tentukan beberapa titik bantu, dan

f. Buat sketsa grafik

Contoh 16:

Gambarlah sketsa grafik dari parabola berikut.

a.

b.

Jawab:

a. Persamaan parabola

Kita ketahui bahwa , sehingga kita peroleh .

(1) Puncak

(2) Fokus:


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

(3) Sumbu simetri: atau sumbu

(4) Panjang latus rektum | | | |

Sehingga titik-titik ujung latus rektum adalah dan .

(5) Titik bantunya

(6) Sketsa grafik

b. Persamaan Parabola

Mengacu pada bentuk , maka

atau , sehingga

(a) Titik puncak: (ingat titik puncak ),

(b) Titik fokus: (ingat titik fokus )

(c) Sumbu simetri: (ingat sumbu simetri )

(d) Panjang latus rektum | | | |

Dengan demikian titik-titik ujung latus rektum adalah

dan


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

(e) Beberapa titik bantu

(f) Sketsa grafik


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

LATIHAN

Carilah persamaan parabola yang mempunyai titik fokus F dan

direktriks g di bawah ini, kemudian tentukan pula titik puncak,

sumbu simetridan panjang latus rektum parabola tersebut.

1. F(-5,0), g: x = 5

2. F(-4,-2), g: y = -4

Carilah persamaan parabola yang mempunyai titik fokus F dan titik

puncak P di bawah ini, kemudian tentukan pula direktriks, sumbu

simetri dan panjang latus rektum.

3. F(-1,-5) dan P(-3,-5)

4. F(3,-2) dan P(3,-4)

Carilah persamaan parabola yang mempunyai titik puncak P dan

titik-titik ujung latus rektum Q dan R di bawah ini.(Petunjuk: carilah

koordinat titik fokus terlebih dahulu).

5. P(2,3), Q(4,7) dan R(4,-1)

6. P(1,-2), Q(-1,-1) dan R(3,-1)

Tentukan persamaan parabola yang mempunyai titik-titik ujung

latus rektum Q dan R serta direktriks g.

7. Q(1,3), R(1,-1) dan g: x = -1

8. Q(-2,1), R(5,1) dan g: y = 4

Tentukan persamaan parabola yang mempunyai titik puncak dan

direktriks sebagai berikut.

9. P(1,3) dan x = 5

10. P(-3, -5) dan y = 2

11. Diketahui persamaan parabola .

Tentukan:

a. Koordinat titik puncak

b. Koordinat titik fokus

c. Persamaan direktriks

d. Persamaan sumbu simetri

e. Panjang latus rektum

12. Titik (2,-1) terletak pada parabola .

Tenukan:

a. Nilai k

b. Koordinat titik puncak


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

c. Koordinat titik fokus

d. Persamaan direktriks

e. Persamaan sumbu simetri

f. Panjang latus rektum

Gambarlah sketsa masing-masing parabola berikut.

13.

14.

15.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Persamaan Garis Singgung Parabola

7.3.1 Persamaan Garis Singgung Parabola

Pada bagian ini akan kita pelajari cara menentukan persamaan

garis singgung pada parabola yang meliputi:

(1) Menentukan persamaan garis singgung yang melalui suatu titik

tertentu pada parabola

(2) Menentukan persamaan garis singgung yang memiliki gradien

tertentu, dan


tertentu di luar parabola

a. Garis singgung di suatu titik pada parabola

Untuk menentukan persamaan garis singgung di suatu titik

pada parabola, dapat dilakukan dengan menggunakan:

(1) Fungsi turunan

(2) Rumus

Menentukan persamaan garis singgung menggunakan fungsi

turunan

Seperti telah diuraikan pada pembahasan fungsi turunan (lihat

buku jilid 2B), gradien garis singgung pada suatu kurva

di titik adalah nilai titik tersebut. Oleh karenanya, langkah-

langkah yang diperlukan untuk menentukan persamaan garis

singgung di titik pada suatu parabola adalah sebagai

berikut.

(1) Tentukan

(2) Tentukan nilai di titik

(3) Tentukan persamaan garis singgung yang dimaksud dengan

memperhatikan bahwa persamaan garis yang bergradien

dan melalui titik adalah



GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Contoh 17:

Carilah persamaan garis singgung pada masing-masing parabola

berikut, di titik yang diberikan.

a. Parabola ; titik

b. Parabola ; titik .

c. Parabola ; titik .

d. Parabola ; titik .

Jawab:

a. Garis singgung pada di

Pertama-tama kita akan mencari gradien garis singgung di titik

.

Di titik

Garis singgung tersebut mempunyai gradien dan melalui titik

, maka persamaan garis singgung itu adalah

b. Garis singgung pada di

Pertama-tama, kita cari gradien garis singgung

Di titik

Jadi, garis singgung tersebut mempunyai gradien

dan melalui

titik . Dengan demikian, persamaan garis singgungnya

adalah

c. Garis singgung pada di titik

Pertama-tama kita cari gradien garis singgung


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Di titik ,

Garis singgung tersebut mempunyai gradien

dan melalui

titik . Persamaan garis singgung:

d. Garis singgung pada di titik .

Pertama-tama kita cari gradien garis singgung tersebut.

Di titik ,

Garis singgung mempunyai gradien dan melalui titik ,

maka persamaan garis singgung tersebut adalah

Menentukan Persamaan Garis Singgung Menggunakan Rumus

Untuk menentukan persamaan garis singgung pada suatu

parabola, dapat kita gunakan salah satu dari rumus berikut.

(1) Persamaan garis singgung pada parabola di titik

adalah .

(2) Persamaan garis singgung pada parabola

di titik adalah .


di titik adalah

.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Bukti dari rumus-rumus tersebut di atas adalah sebagai berikut.

(1)

Di titik

.

Karena terletak pada parabola , maka

.

Persamaan garis singgungnya:

.......................................... (terbukti)

(2)

Di titik , nilai

Karena terletak pada parabola ,

maka sehingga

Persamaan garis singgung:

........................... (terbukti)


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

(3)

Di titik ,

. karena titik terletak pada

parabola

, maka

Persamaan garis singgung:

....................... (terbukti)

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa:

(1) Persamaan garis singgung pada parabola di

adalah .


di adalah

.


di adalah

.

Contoh 18:

Soal-soal pada contoh 17 dapat dikerjakan dengan cara berikut.

a. Persamaan garis singgung pada parabola di titik

adalah


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

b. Persamaan garis singgung pada parabola

di titik adalah

c. Persamaan garis singgung pada parabola

di titik adalah

d. Persamaan garis singgung pada parabola

di titik .

b. Garis Singgung Dengan Gradien Tertentu Pada Suatu

Parabola

Untuk menentukan persamaan garis singgung bergradien

tertentu pada suatu parabola dapat kita lakukan dengan:

(1) Memisalkan persamaan garis singgung

(2) Menggunakan fungsi turunan

(3) Menggunakan rumus

Menentukan Persamaan Garis Singgung dengan Cara

Pemisalan

Langkah-langkah yang diperlukan untuk menentukan

persamaan garis singgung dengan gradien tertentu, misalnya

menggunakan cara pemisalan adalah sebagai berikut.

(1) Lakukan pemisalan persamaan garis singgung, misalnya


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

(2) Cari persamaan kuadrat yang diperoleh dengan memotongkan

garis dengan parabola

(3) Tentukan nila-nilai dengan mengingat bahwa syarat garis

menyinggung parabola adalah persamaan kuadrat

hasil (2) mempunyai determinan sama dengan nol.

(4) Tentukan persamaan garis singgung dengan mensubstitusikan

nilai yang diperoleh pada

Contoh 19:

Carilah persamaan garis singgung dengan gradien yang diberikan

pada masing-masing parabola berikut.

a. Parabola , gradien garis singgung .

b. Parabola , gradien garis singgung .

c. Parabola , gradien garis singgung .

Jawab:

a. Garis singgung dengan gradien pada parabola .

Misalkan persamaan garis singgung adalah

Jika garis ini dipotongkan dengan parabola , maka

akan didapat

Agar garis menyinggung parabola, maka diskriminan

persamaan ini harus nol.

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah .

b. Garis singgung dengan gradien pada parabola

Misalkan persamaan garis singgung tersebut adalah


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Jika garis ini dipotongkan dengan parabola

, maka kita peroleh

Agar garis menyinggung parabola, maka harus dipenuhi

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah

c. Garis singgung dengan gradien pada parabola

. Misalkan persamaan garis singgung adalah

Jika garis ini dipotongkan dengan parabola akan diperoleh:

Agar garis menyinggung parabola, maka


Menentukan Persamaan Garis Singgung Menggunakan Fungsi

Turunan

Langkah-langkah yang diperlukan untuk menentukan persamaan

garis singgung bergradien pada suatu parabola adalah sebagai

berikut.

(1) Menentukan , yang dinyatakan dalam dan .

(2) Memisalkan titik singgung dengan dengan mengingat

bahwa nilai di titik adalah .

(3) Menentukan persamaan garis singgung pada parabola di titik

.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Contoh 20:


a. Garis singgung dengan gradien pada parabola

Misalkan titik singgungnya adalah , maka kita

memperoleh sistem persamaan

dan

maka

, maka

Dengan demikian, titik singgungya adalah . Selanjutnya

kita peroleh persamaan garis singgung

b. Garis singgung bergradien pada parabola

Misalkan titik singgungnya , maka kita peroleh sistem

persamaan

dan

.

maka

, maka

Dengan demikian, kita peroleh titik singgungnya:



GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

c. Garis singgung bergradien pada parabola

Misalkan titik singgungnya , maka kita peroleh sistem

persamaan

dan

.

, maka

maka

Kita peroleh titik singgungnya adalah . Dengan

demikian, persamaan singgung tersebut adalah:

Menentukan Persamaan Garis Singgung Menggunakan rumus


pada suatu parabola, dapat kita gunakan salah satu dari rumus

berikut.

(1) Persamaan garis singgung bergradien pada parabola

adalah

.


adalah

.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR


adalah .


adalah .

Bukti dari rumus-rumus tersebut di atas adalah sebagai berikut.

(1) Garis singgung bergradien pada parabola .

Misalkan titik singgungnya adalah , maka akan kita

peroleh sistem persamaan

dan

.

, maka

(

)

Dengan demikian, kita peroleh

Persamaan garis singgung tersebut adalah

)

............................................................ (terbukti)

(2) Garis singgung bergradien pada parabola

.

Misalkan titik singgungnya maka akan kita peroleh

sistem persamaan

dan

maka

.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Dengan demikian, kita peroleh persamaan garis singgung

(

)

(

)

.................... (terbukti)

Dengan cara yang sama dapat pula dibuktikan rumus (3) dan

(4).

Contoh 21:


a. Garis singgung bergradien pada parabola .

Dengan memperhatikan gradien garis singgung dan

persamaan parabola, berarti bahwa: dan

Persamaan garis singgungnya adalah:

b. Garis singgung bergradien pada parabola

.


persamaan parabola kita peroleh:

dan

Persamaan garis singgungnya adalah:


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

c. Garis singgung bergradien pada parabola

.


persamaan parabola dalam bentuk terakhir ini, maka kita

dapatkan:

dan


c. Garis Singgung Yang Melalui Suatu Titik Di Luar Parabola

Gambar 7.6.

Perhatikan Gambar 7.6. Titik terletak di luar parabola

. Garis singgung yang melalui titik

adalah garis dan . Misalkan titik singgung parabola dengan

garis adalah dan dengan garis adalah ,

maka persamaan garis adalah


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Dan persamaan garis adalah

Karena garis dan melalui titik . Maka

memenuhi persamaan dan .

Sehubungan dengan hal ini, maka kita peroleh bahwa peroleh

persamaan

Dipenuhi oleh titik dan . Dengan demikian,

persamaan garis adalah

.

Dalam hal ini, garis disebut garis kutub, dan titik

disebut dengan titik kutub.

Dengan cara yang sama akan dapat diperoleh persamaan

garis kutub dengan titik kutub . Tabel berikut menunjukkan

persamaan garis kutub yang dimaksud.

No Parabola Grafik Kutub

1. 2. 3.

4. 5. 6.

Sehubungan dengan hal tersebut di atas, maka langkah-

langkah yang perlu dilakukan untuk mencari persamaan garis

singgung pada suatu parabola yang melalui suatu titik di luar

parabola adalah sebagai berikut.

(1) Tentukan persamaan garis kutub

(2) Tentukan titik potong garis kutub dengan parabola, yang

merupakan titik singgung

(3) Tentukan persamaan garis singgung di titik singgung yang

diperoleh pada langkah (2).


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Contoh 22:

Carilah persamaan garis singgung pada masing-masing

parabola berikut yang melalui titik yang ditentukan:

a. Parabola titik

b. Parabola titik

Jawab:

a. Garis singgung pada parabola yang melalui titik

.

Persamaan garis kutub:

Jika garis kutub dipotongkan dengan parabola, maka akan kita

peroleh:

atau

(1) Untuk , kita peroleh , maka

merupakan titik singgung. Persamaan garis singgung

parabola di titik adalah

(2) Untuk , kita peroleh , maka titik

merupakan titik singgung. Persamaan garis singgung

parabola di titik adalah


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

b. Garis singgung pada parabola yang

melalui titik .

Persamaan garis kutubnya:

Jika garis ini dipotongkan dengan parabola, maka akan kita

peroleh

atau

(1) Untuk

, kita peroleh , sehingga titik

merupakan titik singgung. Persamaan garis

singgung yang melalui titik

adalah

(2) Untuk , kita peroleh , sehingga

titik merupakan titik singgung. Persamaan garis

singgung yang melalui titik adalah


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

LATIHAN

Carilah persamaan garis singgung pada parabola dititik yang

diberikan.

1. di titik (2,-2)

2. di titik (-2,2)

3. di titik (-1,4)

4. di titik (-3,2)

5. di titik (-3,-4)

Carilah persamaan garis singgung parabola dengan gradien

tertentu.

6. , m = 2

7. , m = -3

8. , m = -5

9. , m = 1

10.

Carilah persamaan garis singgung lingkaran melalui titik yang

diberikan.

11. , titik (3,3)

12. , titik (1,2)

13. , titik (1,-4)


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Persamaan elips

A. Pengertian Elips dan Unsur-unsurnya

Gambar 7.7.

Perhatikan Gambar 7.7 Garis dan titik berturut-turut

merupakan direktriks dan fokus elips, dan adalah proyeksi

pada garis .

Titik dan terletak pada sedemikian rupa sehingga

| | | | dan | | | |, dengan demikian, dan

terletak pada elips. Dalam hal ini, titik dan disebut titik

puncak elips, garis disebut sumbu mayor. Jarak | |

disebut dengan panjang sumbu mayor dan biasa dinotasikan

dengan , sehingga | | | | titik tengah , yaitu

disebut titik pusat elips.

Perhatikan bahwa:

| | | | | | | | | | | |

| | | | .............................................................(1)

|| | | | | | | | | | | | |

| | | | ......................(2)



GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

| | | | (1) | | | |

(2) | | | | (2) | | | |

| | | |

| |

| |

Elips simetri terhadap sumbu mayor. Jika kita buat garis yang

tegak lurus sumbu mayor dan melalui titik , dan garis ini

menotong elips di dan , maka juga merupakan titik tengah

garis . Dalam hal ini disebut sumbu minor, | | disebut

panjang sumbu minor dan seringkali dinotasikan dengan ,

sehingga | | | | . Dengan demikian

| | | | | |

Sehingga | | | |

| | .

Jika garis yang melalui dan tegak lurus sumbu mayor

memotong elips di titik dan , maka disebut dengan latus

rektum elips dan | | disebut dengan panjang latus rektum

elips.

| | | | | |

| | | |

| | | |

(

)

(ingat bahwa )

| |

Perhatikan Gambar 7.8 Berdasarkan definisi elips, dapat kita

katakan bahwa jika merupakan fokus elips dan | | | |,

maka juga merupakan fokus elips. Dengan demikian, dan

merupakan titik fokus elips.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Gambar 7.8

Sehubungan dengan hal ini, salah satu sifat penting dari elips

adalah:

Jika adalah sembarang titik pada elips dengan dan

merupakan titik fokus serta panjang sumbu mayor , maka

| | | | .

Bukti dari sifat ini adalah sebagai berikut.

Perhatikan Gambar 7.8 dan merupakan fokus elips. Garis

adalah hasil pencerminan direktriks terhadap sumbu minor

. (dalam hal ini garis juga merupakan direktriks). Jika dan

berturut-turut merupakan proyeksi titik pada garis dan ;

maka

| | | | | | | |

| |

| |

| |

.............................(terbukti)

Berdasarkan sifat ini, maka elips seringkali didefinisikan

sebagai himpunan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik

tertentu adalah tetap.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

7.3.1 Persamaan Elips

a. Persamaan Kanonik Elips

Gambar 7.9

Perhatikan Gambar 7.9 kita ambil sumbu dan sumbu

melalui titik pusat elips. Berdasarkan uraian sebelumnya, maka

dapat kita katakan bahwa (

) .

Apabila titik adalah sembarang titik pada elips, maka akan

kita dapatkan

| | | |

| | | |

Karena , maka

.

Dengan demikian kita peroleh:

Persamaan

disebut dengan persamaan kanonik elips.

Persamaan elips di atas dapat pula kita peroleh dengan cara

berikut.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Gambar 7.10

Perhatikan Gambar 7.10 sesuai dengan uraian sebelumnya,

maka dan . Misalkan , maka

Serta koordinat fokus adalah

dan .

Karena | | | | maka

√ √

√ √

√

√

√

√


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Gambar 7.11

Sehubungan dengan uraian di atas, berikut ini adalah beberapa

sifat penting yang dimiliki elips

dengan (lihat

Gambar 7.11).

(1) Pusat: .

(2) Puncak:

(3) Nilai eksentrisitas

√ atau

(Karena dan ).

(4) Fokus:

dan atau

dan

(5) Panjang sumbu mayor

dan

Panjang sumbu minor

.

(6) Sumbu simetri: Sumbu dan sumbu .


.

(8) Persamaan direktriks:

dan

atau

dan

.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

(9) Apabila terletak pada elips, maka titik dan

juga terletak pada elips.

Contoh 23:

Diketahui

.

Maka:

a. Pusat elips: .

b.

Puncak: dan .

c. √ √ √ .

Fokus: √ dan √ .

d. Sumbu simetri: sumbu dengan persamaan dan sumbu

dengan persamaan .

e. Panjang sumbu mayor .

Panjang sumbu minor .

f. Nilai eksentrisitas:

√ .

g. Persamaan direktriks:

√

√ dan

√ .

Pada uraian di atas kita jumpai elips dengan persamaan

dan fokusnya terletak pada sumbu . Hal ini hanya

berlaku apabila . Elips ini kita rotasikan searah putaran jarum

jam dengan pusat sejauh (Lihat Gambar 7.12).

Gambar 7.12

(ingat, a dan b bilangan positif)


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Misalkan adalah peta dari , maka

.............................(1)

.............................(2)

Jika (1) dan (2) disubstitusikan pada persamaan

, maka diperoleh

Apabila lambang dan kita ganti dengan lambang dan ,

maka kita peroleh persamaan

atau

yang

merupakan persamaan peta dari elips

oleh rotasi

searah putaran jarum jam yang berpusat di sejauh .


sifat penting yang dimiliki elips

dengan (lihat

Gambar 7.13).

Gambar 7.13

(1) Pusat:

(2) Puncak: dan .

(3) Nilai eksentrisitas:

√ atau

,

(4) Fokus: dan .


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

(5) Panjang sumbu mayor | | dan panjang sumbu

minor | |

(6) Sumbu simetri: sumbu dan sumbu .


.

(8) Persamaan direktris

dan

, kalau dinyatakan dalam

,

dan

.

Contoh 24:

Diketahui elips

.

Maka:

a. Pusat: .

b.

Puncak: dan .

c. √ √ √

Fokus: dan .

d. Sumbu simetri: sumbu dan sumbu .

e. Panjang sumbu mayor

Panjang sumbu minor

f. Nilai eksentrisitas

.


dan

b. Persamaan Elips yang Berpusat di

Perhatikan Gambar 2.29. elips

ditransformasikan

oleh vektor translasi ( ). Misalkan adalah peta titik

pada elips oleh translasi tersebut. Kita peroleh

.................................................(1)

.................................................(2)


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Gambar 7.14

Jika persamaan (1) dan (2) kita substitusikan pada

,

maka kita peroleh

Dengan mengganti nama peubah dan dengan dan y,

kita peroleh persamaan

yang merupakan

persamaan elips dari hasil translasi elips

oleh vektor

translasi ( ).

Sehubungan dengan uraian di atas, maka dapat kita katakan

bahwa beberapa sifat penting elips dengan persamaan

dan adalah sebagai berikut.

(1) Pusat:

(2) Puncak: dan .


√ atau

, dan

(4) Fokus: dan

Atau dan


Panjang sumbu minor

(6) Sumbu simetri: garis dan garis .

(7) Panjang latus rektum

.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

(8) Persamaan direktris:

dan

, kalau dinyatakan dalam ,

dan

.

Contoh 25:

Beberapa sifat penting yang dimiliki elips

adalah:

a. maka pusat: .

b.

Puncak: dan .

c. Nilai eksentrisitas:

√

√

√

d. Nilai (

) .

Absis fokus: .

Fokus: dan



f. Sumbu simetri: dan .

g. Panjang latus rektum

h.


dan

dan

.

Dengan cara yang sama dengan uraian pada awal subbab ini,

akan kita dapatkan bahwa elips

dengan

memiliki sifat-sifat sebagai berikut.

(1) Pusat elips: .

(2) Puncak: dan .


√ atau

, dengan

√

(4) Fokus: dan , atau kalau dinyatakan dalam

menjadi dan .


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR


Panjang sumbu minor



.


dan

, atau kalau dinyatakan dalam menjadi

dan

Contoh 26:

Beberapa sifat penting yang dimiliki elips

adalah

a.

Pusat: .

b.

Puncak: dan .

c. Nilai eksentrisitas:

√

√

√

d. Nilai (

√ ) √ .

Fokus: ( √ ) dan ( √ )



f. Sumbu simetri: dan .


√

√

√


√ dan

√ .

c. Persamaan Elips dalam Bentuk Lain

Perhatikan salah satu elips yang berpusat di , misalnya

. Bentuk ini dapat kita ubah menjadi sebagai

berikut.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Bentuk terakhir ini dapat kita tuliskan sebagai

dengan

, dan

Untuk menentukan syarat-syarat yang harus dipenuhi oleh

dan agar merupakan

persamaan elips, perhatikan uraian berikut.

(

) (

)

.

(

)

(

)

/ .

(

)

/

(

)

(

)

(

)

(

)

Agar persamaan di atas merupakan persamaan elips, maka

ketentuan-ketentuan berikut ini harus dipenuhi.

(1) dan bertanda sama,

dan keduanya positif atau keduanya negatif)

(2)


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Untuk dapat mengetahui sifat-sifat elips

, terlebih dahulu bentuk ini kita ubah ke bentuk persamaan

.

Contoh 27:

Diketahui elips .

Tentukanlah:

a. Koordinat pusat elips

b. Koordinat puncak

c. Koordinat fokus

d. Panjang sumbu mayor dan panjang sumbu minor



g. Persamaan direktriks

Jawab:

Pertama-tama, kita ubah bentuk persamaan elips.

Dengan memperhatikan bentuk terakhir ini, maka dapat kita

simpulkan bahwa

a. Pusat elips .

b.

Puncak: dan .

c. √ √ √

Fokus: dan

d. Panjang sumbu mayor .


e. Sumbu simetri: dan .


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR



dan

Contoh 28:

Diketahui persamaan elips .

Tentukanlah:

a. Koordinat pusat elips

b. Koordinat puncak

c. Koordinat fokus

d. Panjang sumbu mayor dan panjang sumbu minor


f. Persamaan direktriks

Jawab:

Dengan memperhatikan bentuk terakhir ini, maka dapat kita

katakan bahwa:

a. Pusat elips .

b.

Puncak: dan .

c. √ √ √

Fokus: √ dan √

d. Panjang sumbu mayor .


e. Persamaan Sumbu simetri: dan .

f. Persamaan direktriks:

√ dan

√


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

d. Menentukan Persamaan Elips Yang Beberapa Unsurnya

Diketahui

Pada subbab 2.4.2.1 dan 2.4.2.2 telah diuraikan bahwa kita dapat

mengetahui sifat-sifat dan unsur-unsur suatu elips jika

persamaannya diketahui. Sebaliknya, kita dapat menentukan

persamaan elips apabila beberapa unsurnya diketahui.

Contoh 29:

Diketahui suatu elips mempunyai titik pusat , panjang

sumbu mayor dan panjang sumbu minornya berturut-turut adalah

dan . Tentukan persamaan elips, apabila sumbu mayor

berimpit dengan:

a. Sumbu

b. Sumbu

Jawab:

Panjang sumbu mayor maka , sehingga .

Panjang sumbu minor , maka

Pusat .

a. Persamaan elips:

b. Persamaan elips:

Contoh 30:

Jarak kedua fokus suatu elips adalah dan nilai

eksentrisitasnya adalah

. Tentukan persamaan elips, apabila:

a. Titik pusat elips dan sumbu mayor sejajar dengan sumbu

;

b. Titik pusat elips dan sumbu mayor sejajar dengan

sumbu ;


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Jawab:

Jarak kedua fokus , maka .

a. Persamaan elips:

b. Persamaan elips:

Contoh 31:

Titik pusat suatu elips adalah . Salah satu titik fokus

dan titik puncak pada sumbu minor berturut-turut adalah

dan . Carilah persamaan elips tersebut.

Jawab:

Jarak titik pusat dan titik fokus , maka | |

Jarak titik pusat dan titik puncak pada sumbu minor , maka

| |

Dengan demikian, kita peroleh persamaan elips

7.3.2 Menggambar Sketsa Elips

Langkah-langkah yang diperlukan untuk menggambar sketsa elips


(1) Tentukan koordinat pusat.

(2) Tentukan koordinat puncak.

(3) Tentukan sumbu simetri.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

(4) Tentukan koordinat beberapa titik bantu.

(5) Buat sketsa elips.

Contoh 32:

Gambar sketsa elips

.

Jawab:

a. Koordinat pusat: .

b.

Puncak: , dan .

c. Sumbu simetri: garis dan (sumbu dan sumbu ).

d. Beberapa titik bantu:

√

√

e. Sketsa elips

Contoh 33:

Gambarlah sketsa elips

.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Jawab:

a. Koordinat pusat: .

b.

Puncak: , dan .

c. Sumbu simetri: garis dan .

d. Beberapa titik bantu:

√ atau

√

√

√

e. Sketsa elips


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

LATIHAN

Tentukan :

a. Koordinat pusat

b. Koordinat puncak

c. Nilai Eksentrisitas

d. Koordinat Fokus

e. Panjang sumbu mayor

f. Panjang sumbu minor


h. Persamaan sumbu simetri

i. Persamaan direktriks

Untuk masing-masing persamaan elips (pada soal 1-3) berikut.

1.

2.

3.

Carilah persamaan elips apabila diketahui:

4. Koordinat pusat O(0,0), panjang sumbu mayor 12, panjang

sumbu minor 8 dan titik fokus terletak pada sumbu x

5. Koordinat pusat (3,5), panjang sumbu mayor 16, panjang

sumbu minor 12 dan titik fokus terletak pada garis y = 5

6. Koordinat pusat O(0,0), jarak kedua fokus adalah 8 dan

persamaan direktriks y = 9

7. Koordinat puncak dan , panjang sumbu minor

8

8. Koordinat puncak dan , panjang sumbu mayor

16

9. Koordinat fokus dan , nilai eksentrisitas

Buatlah gambar sketsa elips dengan persamaan berikut

10.

11.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Persamaan Garis Singgung Pada Elips

7.4.1 Persamaan Garis Singgung Pada Elips

Pada bagian ini akan kita pelajari persamaan garis singgung pada

elips, yang meliputi:

(1) Garis singgung yang melalui suatu titik tertentu pada elips.

(2) Garis singgung dengan gradien tertentu.

(3) Garis singgung yang melalui suatu titik tertentu di luar elips.

a. Garis singgung di suatu titik pada elips


pada elips, dapat kita lakukan dengan menggunakan:

(1) Fungsi turunan.

(2) Rumus.

Menentukan persamaan garis singgung di suatu titik pada

elips menggunakan fungsi turunan


persamaan garis singgung di titik pada elips dengan

menggunakan fungsi turunan adalah sebagai berikut.

(1) Tentukan (yang dinyatakan dalam dan ).

(2) Tentukan gradien garis singgung, misalkan , yang merupakan

nilai dari (hasil pada langkah pada titik .

(3) Tentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan

rumus persamaan garis bergradien yang melalui titik ,

yaitu .

Contoh 34:

Carilah persamaan garis singgung pada

a. Elips

di titik .

b. Elips

di titk .



GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Jawab:

a. Garis singgung pada elips

di titik .

Di titik , gradien garis singgung adalah

.

Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah

b. Garis singgung pada elips

di titik .




GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Menentukan Persamaan Garis Singgung di Suatu Titik

pada Elips dengan Menggunakan Rumus


pada elips, dapat kita gunakan salah satu dari rumus berikut.

(1) Garis singgung pada elips

di titik adalah

.

(2) Garis singgung pada elips

di titik

adalah

Bukti:

Gradien garis singgung di titik adalah

Gradien garis singgung di titik


Jika kedua ruas ditambah dengan

, maka

diperoleh


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Oleh karena titik terletak pada elips, maka

, sehingga kita dapatkan

Apabila titik pusat elips adalah , maka ,

sehingga kita dapatkan persamaan garis singgung berikut.

Contoh 35:

Soal pada contoh 34 dapat kita kerjakan dengan cara sebagai

berikut.


di titik .

b. Garis singgung pada elips

di titik .


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

b. Persamaan Garis Singgung Bergradien Tertentu pada

Suatu Elips

Untuk menentukan persamaan garis singgung dengan gradien

tertentu pada suatu elips dapat kita lakukan menggunakan

(1) Fungsi turunan;

(2) Rumus.

Menentukan Persamaan Garis Singgung Bergradien Tertentu

Dengan Menggunakan Fungsi Turunan


persamaan garis singgung bergradien tertentu, misalnya , adalah

sebagai berikut.

(1) Tentukan

(2) Misalkan titik singgung adalah , kemudian tentukan nilai

dan dengan mengingat bahwa nilai di titik

adalah dan titik terletak pada elips.

(3) Tentukan persamaan garis singgung di titik dengan

menggunakan hasil dari langkah (2).

Contoh 36:

Carilah persamaan garis singgung dengan gradien garis

singgung yang diberikan pada masing-masing elips berikut.

a. Persamaan elips

, gradien garis singgung .

b. Persamaan elips

, gradien garis singgung

.

Jawab:

a. Garis singgung bergradien pada elips

.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Misalkan koordinat titik singgung adalah , maka kita

dapatkan sistem persamaan

.................................(1)

.................................(2)

Dari (2) kita peroleh

Dengan mensubstitusikan nilai ini ke dalam (1) kita peroleh

(

)

Untuk

, maka

(

)


(

) (

) (

)(

)


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

b. Garis singgung bergradien

pada elips

.

Misalkan koordinat titik singgung tersebut adalah , maka

kita dapatkan sistem persamaan

..................................................(1)

..................................................(2)

Dari persamaan (2) kita peroleh

Dengan mensubstitusikan nilai yang kita peroleh dari

persamaan (2) ke dalam persamaan (1), kita peroleh

(

)

(

)

atau


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Untuk , kita peroleh


Menentukan Persamaan Garis Singgung Bergradien dengan

Menggunakan Rumus


tertentu pada suatu elips dapat kita gunakan rumus berikut.

Tertentu

(1) Garis singgung bergradien pada elips

adalah

√


adalah

√ .

Bukti dari rumus-rumus tersebut di atas sebagai berikut.


.

Misalkan persamaan garis singgung tersebut adalah

. Jika garis ini dipotongkan dengan elips, maka kita peroleh

Dengan mensubstitusikan persamaan ke dalam

persamaan elips, kita peroleh


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Agars garis menyinggung elips, syaratnya adalah

√

Jadi, persamaan garis singgung bergradien adalah

√ (terbukti)


.

Pada subbab sebelumnya, telah kita pelajari bahwa elips

merupakan hasil translasi ( ) dari elips

. Dengan demikian, garis singgung bergradien

pada elips

merupakan hasil translasi ( ) dari

garis √ . Misalkan titik adalah

sembarang titik pada √ dan

merupakan peta dari oleh translasi ( ), maka kita

dapatkan dan sehingga dan

. Dengan demikian, kita peroleh

√ √

Apabila tanda aksen kita hilangkan, maka kita peroleh

√ , yang merupakan persamaan

garis singgung bergradien pada elips

(terbukti).

Contoh 37:

Soal pada contoh dapat kita kerjakan dengan cara berikut.

a. Garis singgung bergradien pada elips

.

, maka persamaan garis singgungnya

adalah

√


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

√

√

√

Jadi, persamaan garis singgung bergradien pada elips

adalah dan

b. Garis singgung bergradien

pada elips

.

√

√ (

)

√

Jadi, persamaan garis singgung bergradien

pada elips

adalah dan

c. Persamaan Garis Singgung pada Elips yang dibuat Melalui

Suatu Titik di Luar Elips

Perhatikan Gambar 7.6 Titik adalah titik di luar elips

garis dan adalah garis singgung pada elips


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

yang dibuat melalui titik . Misalkan titik singgungnya adalah

dan , maka persamaan garis dan berturut-

turut adalah

dan

.

Karena titik terletak pada garis dan , maka

koordinat titik memenuhi persamaan garis dan .

Dengan demikian, kita peroleh

Dengan memperhatikan kedua kesamaan ini, tampak bahwa

koordinat titik dan memenuhi persamaan

. Dengan demikian, persamaan garis

adalah

, yang disebut persamaan

garis kutub. Sedangkan titik disebut titik kutub.

Dengan cara yang sama, apabila kita buat garis singgung dari

titik pada elips

, maka akan kita peroleh garis

kutub

.

Sehubungan dengan hal tersebut di atas, langkah-langkah

yang diperlukan untuk mencari persamaan garis singgung yang

dibuat dari titik di luar elips adalah sebagai berikut.

(1) Tentukan persamaan garis kutub yaitu

(2) Cari titik potong garis kutub dengan elips, misalkan ,

yang merupakan titik singgung.

(3) Tentukan persamaan garis singgung di titik singgung hasil

langkah (2), yaitu


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Contoh 38:

Carilah persamaan garis singgung pada masing-masing elips

berikut, yang dibuat melalui titik yang diberikan.

a. Persamaan elips

, titik .

b. Persamaan elips

, titik .

Jawab:


, yang melalui titik .


.....................(1)

Jika garis (1) kita potongkan dengan elips ,akan kita peroleh

sistem persamaan

Dengan mensubsitusikan

ke dalam persamaan

elips kita peroleh

(

)

atau


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

(1) Untuk

. Dengan demikian, titik

singgungnya adalah dan persamaan garis

singgungnya adalah

b. Untuk

, maka

(

)

.

Dengan demikian, kita peroleh titik singgung

dan

persamaan garis singgung

(

) (

) (

) (

)

c. Garis singgung pada elips

, di titik .


…….........(1)

Jika garis (1) dipotongkan dengan elips, akan kita peroleh


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Persamaan ini dipenuhi oleh

, atau .

(1) Untuk

, maka

.

Jadi, titik singgungnya adalah (

).


( )

( )

(

)

( )

(2) Untuk maka

Jadi titik singgungnya adalah



GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

LATIHAN

Carilah persamaan garis singgung pada masing-masing elips di titik

yang diberikan.

1.

; di titik (-2,6)

2.

; di titik (6,5)

3. ;di titik (-3,2)

4. ; di titik (1,3)

Carilah persamaan garis singgung bergradien m pada masing-

masing elips untuk nilai m yang diberikan.

5.

;

6.

;

7.

;

8. ; m = -2


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Persamaan Hiperbola

7.5.1 Persamaan Hiperbola

Gambar 7.23

Pada bagian ini, kita akan mempelajari suatu bentuk irisan

kerucut, yaitu hiperbola, secara lebih jauh. Perhatikan Gambar

7.23. Garis dan titik berturut-turut merupakan direktriks dan

titik fokus hiperbola, dan merupakan proyeksi titik pada garis

. Titik dan terletak pada ruas garis sedemikian rupa

sehingga| | | | dan | | | |. Dengan demikian,

dan terletak pada hiperbola. Dalam hal ini titik dan

disebut titik puncak hiperbola. Garis disebut sumbu

transversal dan | | disebut panjang sumbu transversal.

Perhatikan bahwa

| | | | | | | | | | | |

| | | | ............................................... (1)

| | | | | | | | | | | |

| | | | .............................................. (2)

(1) | | | | (2) | | | |

(2) | | | | + (1) | | | |

| | | |

| | | |



GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Berdasarkan definisi hiperbola dapat kita katakan bahwa

hiperbola simetris terhadap sumbu transversal. Apabila kita buat

garis tegak lurus sumbu transversal melalui titik , maka hiperbola

juga akan simetris terhadap garis tersebut.

Apabila kita buat garis tegak lurus sumbu transversal melalui

fokus , dan garis ini memotong hiperbola di titik dan , maka

ruas garis disebut latus rektum dan | | disebut panjang

latus rektum.

| | | | | |

| | | |

(

)

Misalkan , maka | |

.

Perhatikan Gambar 7.23. Berdasarkan definisi hiperbola dapat

kita katakan bahwa jika merupakan fokus hiperbola dan

sebuah titik pada perpanjangan garis dengan | | | |,

maka merupakan fokus hiperbola. Selain itu, jika garis

merupakan direktriks serta dan simetris terhadap sumbu

tegak, maka juga merupakan direkrriks.

Sehubungan dengan hal tersebut di atas, salah satu sifat

penting dari hiperbola adalah sebagai berikut.

Jika adalah sembarang titik pada hiperbola yang fokusnya

dan , panjang sumbu transversalnya , dan | | | |, maka

| | | | .

Perhatikan Gambar 7.23.

| | | | | | | |

| |

| |

(

)

................................................ (terbukti)

Berdasarkan sifat ini, seringkali hiperbola didefinisikan sebagai

himpunan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu

adalah tetap.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

7.5.2 Persamaan Hiperbola

a. Persamaan Kanonik Hiperbola

Perhatikan Gambar 7.24. Kita ambil sumbu dan sumbu

melalui titik pusat hiperbola. Berdasarkan uraian sebelumnya, dapat

kita katakan bahwa koordinat adalah (

)

dan (

).

Apabila titik adalah sembarang titik pada hiperbola,

maka akan kita peroleh

| | | |

| | | |

(

)

.

/

(ingat bahwa )

Persamaan

disebut persamaan kanonik

hiperbola.

Persamaan hiperbola di atas dapat pula kita peroleh dengan

cara berikut.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Gambar 7.25

Perhatikan Gambar 7.25 sesuai dengan uraian sebelumnya

maka dan . Misalkan , maka

dan ,dan .

Mengingat sifat hiperbola bahwa | | | | .

Maka

√ √

√ √

√

√

√

√

Perhatikan bahwa hiperbola

tidak memotong

sumbu . Apabila kita ambil titik dan (lihat


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Gambar 2.26). biasa disebut sumbu sekawan, | | disebut

panjang sumbu sekawan, hiperbola

disebut hiperbola

sekawan dari

.

Catatan: sumbu transversal seringkali disebut pula sumbu real

atau sumbu utama. Sedangkan sumbu sekawan kadang-

kadang disebut pula sumbu imajiner.

Gambar 7.26


sifat penting yang dimiliki oleh hiperbola

(lihat Gambar

2.26).

(1) Pusat:

(2) Puncak: dan ( )


√ atau

, (diperoleh dari hubungan

dan .

(4) Fokus: dan atau sama dengan dan

.

(5) Panjang sumbu transversal | |

panjang sumbu sekawan | |



.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

(8) Persamaan direktris

dan

, atau sama dengan

dan

.

(9) Apabila titik terletak pada hiperbola, maka titik

, dan juga terletak pada hiperbola.

(10) Hiperbola dengan persamaan

disebut hiperbola

sekawan.

Contoh 39:

Diketahui hiperbola

, maka:

a. Pusat hiperbola: .

b. , maka (diambil harga yang positif)

, maka (diambil harga yang positif)

Dengan demikian, kita peroleh titik puncak: dan .

c.

(diambil harga yang positif).

Dengan demikian, kita peroleh fokus : dan .

d. Nilai eksentrisitas

.

e. Panjang sumbu transversal .

Panjang sumbu sekawan .

f. Sumbu simetri: sumbu dan sumbu .


.

h. Persamaan direktriks:

dan

Dengan cara yang sama dengan yang diuraikan pada subbab

sebelumnya maka persamaan hiperbola hasil rotasi hiperbola

sejauh dengan pusat rotasi adalah

atau

.

Sehubungan dengan hal ini, maka ciri-ciri grafik hiperbola


(1) Pusat:

(2) Puncak: dan



GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

√ atau

, dengan .

(4) Fokus: dan atau dan .

(5) Panjang sumbu transversal

panjang sumbu sekawan



.


dan

atau

dan

.

(9) Apabila titik terletak pada hiperbola, maka

, dan juga terletak pada hiperbola.

Contoh 40:

Ciri-ciri yang dimiliki oleh grafik hiperbola

adalah

sebagai berikut.

a. Pusat hiperbola: .

b. , maka

, maka

Sehingga kita dapatkan puncak: dan .

c. , maka dan fokus: dan

.

d. Nilai eksentrisitas:

.



f. Sumbu simetri: sumbu dan sumbu .


.


dan

b. Persamaan Hiperbola dengan Pusat

Sejalan dengan uraian pada subbab sebelumnya, maka

persamaan peta hiperbola

oleh translasi ( ) adalah

.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Sesuai dengan uraian bagian a, maka sifat-sifat penting dari

hiperbola


(1) Pusat:

(2) Puncak: dan ( )


√ (atau

, dengan √ .

(4) Fokus: dan ( atau sama dengan

dan .

(5) Panjang sumbu transversal

(6) panjang sumbu sekawan



.

(9) Persamaan direktriks :

dan

. (atau

dan

)

Sedangkan hiperbola sekawan dari

adalah

hiperbola

yang mempunyai sifat-sifat berikut.

(1) Pusat:

(2) Puncak: dan


√ (atau

, dengan √ ) .

(4) Fokus: dan (atau sama dengan

dan .

(5) Panjang sumbu transversal:

(6) panjang sumbu sekawan:



.

(9) Persamaan direktriks :

dan

.

(atau

dan

)


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Contoh 41:

Unsur-unsur yang dimiliki grafik hiperbola


a. Pusat : .

b. , maka

, maka

Puncak: dan .

c. Fokus: dan .


.



f. Sumbu simetri:

garis dan garis .


.


dan

Contoh 42:

Tentukan unsur-unsur grafik hiperbola sekawan dari hiperbola

dengan persamaan

.

Jawab:

Hiperbola sekawan mempunyai

a. Pusat : .

b. , maka

, maka

Puncak: dan .

c. Fokus: dan .


.



GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR


f. Sumbu simetri: garis dan garis .


.


dan

c. Persamaan Hiperbola dalam Bentuk Lain

Perhatikan persamaan hiperbola yang berpusat di titik .

Bentuk persamaan tersebut dapat kita ubah ke dalam bentuk lain

seperti berikut ini.

Misalkan:

Maka akan kita peroleh: dengan

dan berlainan tanda, yang merupakan bentuk lain persamaan

hiperbola.

Contoh 43:

Diketahui hiperbola

Carilah:

a. Titik pusat

b. Titik puncak

c. Titik fokus

d. Nilai eksentrisitas

e. Sumbu simetri

f. Persamaan direktriks


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Jawab:

Dengan demikian, hiperbola tersebut mempunyai unsur-unsur

sebagai berikut.

a. Pusat : .

b. , maka

, maka

Titik Puncak: dan

c. . Dengan demikian,titik fokus:

dan .


e. Sumbu simetri: garis dan garis .

f. Persamaan direktriks:

dan

d. Menentukan Persamaan Hiperbola yang Beberapa

Unsurnya Diketahui

Kita telah mempelajari cara menentukan sifat-sifat (unsur-

unsur) suatu hiperbola yang persamaannya kita ketahui. Pada

bagian ini akan kita pelajari cara menentukan persamaan suatu

hiperbola yang beberapa unsurnya diketahui.

Contoh 44:

Suatu hiperbola yang berpusat di mempunyai panjang

sumbu transversal dan panjang sumbu sekawan . Apabila

sumbu transversal berimpit dengan sumbu , carilah persamaan

hiperbola tersebut.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Jawab:

Panjang sumbu transversal

, maka

Panjang sumbu sekawan

, maka

Persamaan hiperbola

Contoh 45:

Diketahui hiperbola dengan fokus dan berpusat

.

Tentukan persamaan hiperbola tersebut.

Jawab:

Karena titik pusatnya dan fokus maka kita

peroleh .

Dengan demikian, kita peroleh persamaan hiperbola:

Contoh 46:

Diketahui sebuah hiperbola berpusat di . Titik

dan berturut-turut merupakan puncak dan fokus hiperbola.

Carilah persamaan hiperbola tersebut.

Jawab:

| | , maka

| | , maka


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Dengan demikian kita peroleh persamaan hiperbola:

7.5.3 Menggambar Sketsa Hiperbola

Salah satu materi penting yang perlu kita pahami dalam

menggambar sketsa hiperbola adalah asimtot. Untuk memahami

pengertian asimtot, perhatikan uraian berikut.

Definisi

Asimtot suatu hiperbola adalah suatu garis lurus yang jaraknya

dari hiperbola semakin kecil menuju nol apabila jarak dari titik asal

membesar menuju tak hingga.

Untuk mendapatkan persamaan asimtot suatu hiperbola, dapat

kita lakukan dengan cara berikut.

Gambar 7.27

Perhatikan Gambar 7.27. Persamaan hiperbola Gambar 7.27

adalah

. Apabila kedua ruas persamaan dibagi dengan

, maka kita peroleh


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

√

Pada ruas kanan bentuk terakhir ini, apabila nilai semakin

besar , nilai

akan semakin kecil mendekati nol

.

Dengan demikian, akan kita peroleh

√

Persamaan

adalah persamaan asimtot hiperbola

. Sekedar untuk memudahkan kita, persamaan asimtot

hiperbola

dapat diperoleh

. Dari persamaan

kita peroleh

√

Dengan cara yang sama, asimtot hiperbola

dapat kita peroleh dari

seperti berikut.

Contoh 47:

Carilah persamaan asimtot untuk masing-masing hiperbola berikut.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

a.

b.

Jawab:

a.

Asimtot hiperbola dapat diperoleh dari persamaan

,

sehingga kita peroleh

b.

Asimtot hiperbola dapat diperoleh dari persamaan

. Dari persamaan itu kita peroleh

Kita peroleh

atau

atau

atau

Jadi, persamaan asimtot hiperbola tersebut adalah

dan

Hiperbola Ortogonal

Suatu hiperbola yang asimtot-asimtotnya saling tegak lurus

disebut hiperbola ortogonal. Perhatikan asimtot hiperbola

dan

.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Berdasarkan uraian sebelumnya, gradien asimtot kedua

hiperbola tersebut adalah

dan

. kita ketahui bahwa hasil

perkalian gradien dua garis yang saling tegak lurus adalah . Oleh

karena itu, agar hiperbola

dan hiperbola

merupakan hiperbola ortogonal, maka harus dipenuhi syarat

berikut.

(

)(

)

Contoh 48:

Masing-masing hiperbola berikut merupakan hiperbola ortogonal.

a.

b.

Menggambar sketsa hiperbola

Langkah-langkah yang diperlukan untuk menggambar sketsa

suatu hiperbola adalah sebagai berikut.

a. Tentukan koordinat titik pusat

b. Tentukan koordinat titik puncak

c. Tentukan koordinat titik fokus

d. Tentukan sumbu simetri

e. Tentukan asmtot

f. Tentukan beberapa titik bantu

g. Buat sketsa grafik

Contoh 49:

Gambarlah sketsa hiperbola berikut.

a.

b.


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Jawab:

a.

(1) Pusat :

(2)

Titik puncak: dan .

(3) Fokus: dan


(5) Asimtot didapat dari

.

(6) Beberapa titik bantu

√

(7) Sketsa hiperbola


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

b.

(1) Pusat :

(2)

Titik puncak: dan .

(3) Fokus: dan .


(5) Asimtot didapat dari

Dengan demikian, persamaan asimtot hiperbola tersebut

adalah

dan

dan

(6) Beberapa titik bantu

√

dan

√ dan √


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

(7) Sketsa hiperbola


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

LATIHAN

1. Diketahui persamaan hiperbola

. Tentukan titik fokus

dari hiperbola tersebut!

2. Tentukan titik puncak dari hiperbola dengan persamaan

!

3. Diketahui persamaan hiperbola . Tentukanlah:

a. Koordinat pusat

b. Koordinat titik puncak

c. Koordinat titik fokus

d. Persamaan garis direktriks

e. Persamaan garis asimtot

f. Panjang latus rektum

g. Eksentrisitas

h. Sketsa grafik


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Persamaan Garis Singgung Pada Hiperbola

7.6.1 Persamaan Garis Singgung Pada Hiperbola

Persamaan Garis Singgung pada Hiperbol

Pada bagian ini kita akan mempelajari cara menentukan garis

singgung Pada hiperbol yang meliputi:


tertentu pada hiperbol,

(2) Menentukan persamaan garis singgung yang mempunyai

gradien tertentu, dan


di luar hiperbol.

a. Garis Singgung Di Suatu Titik Pada Hiperbol

Persamaan garis singgung di suatu titik pada hiperbol dapat

ditentukan dengan menggunakan:

(1) Fungsi turunan

(2) Rumus

Menentukan Persamaan Garis Singgung Di Suatu Titik Pada

Hiperbol Dengan Menggunakan Fungsi Turunan


persamaan garis singgung di titik pada hiperbol adalah

sebagai berikut.

(1) Menentukan yang dinyatakan dengan dan .

(2) Menentukan gradien garis singgung, misalkan , yang

merupakan nilai di titik .

(3) Menentukan persamaan garis singgung, yaitu garis yang

bergradien dan melalui titik , dengan menggunakan

rumus

Contoh 50:

Carilah persamaan garis singgung pada masing-masing

hiperbol berikut.

a. Hiperbol

; di titik .



GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

b. Hiperbol

; di titik

Jawab :

a. Garis singgung pada hiperbol

di titik .

Di titik , nilai adalah

.


b. Garis singgung pada hiperbol

; di titik

Di titik nilai adalah

Dengan demikian, kita peroleh persamaan garis singgung:


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Menentukan Persamaan Garis Singgung Di Suatu Titik Pada

Hiperbol Dengan Menggunakan Rumus

Persamaan garis singgung di titik pada hiperbol dapat kita

tentukaan dengan menggunakan rumus.

(1) Garis singgung pada hiperbol

adalah

.

(2) Garis singgung pada hiperbol

adalah

.

Bukti rumus-rumus di atas adalah sebagai berikut.


.

Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah:

Tambahkan kedua ruas persamaan di atas dengan

Dengan demikian kita peroleh


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Karena terletak pada hiperbola, maka

, sehingga persamaan garis singgung di atas menjadi

(terbukti).

Apabila pusat hiperbola adalah , maka ,

sehingga persamaan garis singgung pada hiperbola

di

titik adalah

(terbukti).

Contoh 51:

Soal pada contoh 53 dapat pula kita kerjakan dengan cara berikut.

a. Garis singgung pada hiperbola

di titik adalah

b. Garis singgung pada hiperbola

di titik

adalah


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

b. Garis Singgung Dengan Gradien Tertentu

Persamaan garis singgung bergradien tertentu pada

suatuhiperbol dapat kita tentukan dengan menggunakan fungsi

turunan dan rumus.

Menentukan Persamaan Garis Singgung Bergradien Tertentu

Pada Suatu Hiperbol Dengan Menggunakan Fungsi Turunan.


persamaan garis singgung bergradien tertentu, misalnya dengan

menggunakan fungsi turunan adalah sebagai berikut.

(1) Tentukan yang dinyatakan dalam dan

(2) Namai titik singgungnya, misalnya dengan kemudian

cari nilai dan dengan mengingat bahwa nilai di

adalah dan terletak pada hiperbola

(3) Tentukan persamaan garis singgung di berdasarkan

hasil yang diperoleh dari langkah .

Contoh 52:

Cari persamaan garis singgung yang memnpunyai gradien

yang diberikan pada masing-masing hiperbol berikut.

a. Hiperbola

, gradien .

b. Hiperbola

, gradien

Jawab:

a. Garis singgung bergradien pada hiperbola

Misalkan koordinat titik singgungnya adalah , maka kita

mempunyai sistem persamaan

.......................................................................... (1)

.............................................................. (2)


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Dari persamaan (2), kita peroleh

, maka

Kita substitusikan nilai ini ke dalam persamaan (1).

Untuk , maka . Dengan demikian kita peroleh titik

singgungnya: dan persamaan garis singgungnya adalah

Untuk , maka . Dengan demikian, kita peroleh

titik singgungnya: dan persamaan garis singgungnya

adalah

b. Garis singgung bergradien pada hiperbola

.

Misalkan adalah koordinat titik singgung, maka kita

mempunyai sistem persamaan


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

..........................................................(1)

..........................................................(2)

Dari persamaan (2) kita peroleh

Selanjutnya kita substitusikan nilai ini ke dalam persamaan

(1).

(

)

Untuk , maka

.

Dengan demikian, kita peroleh titik singgung hiperbola tersebut

adalah dan persamaan garis singgungnya adalah


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Untuk , maka

.

Dengan demikian, kita peroleh titik singgung hiperbola tersebut

adalah dan persamaan garis singgungnya adalah

Menentukan Persamaan Garis singgung Bergradien tertentu

dengan Menggunakan Rumus

Untuk mencari persamaan garis singgung bergradien tertentu,

dapat kita gunakan rumus berikut.

(1) Persamaan garis singgung bergradien pada hiperbola

adalah √ .

(2) Persamaan garis singgung bergradien pada hiperbola

adalah

√ .

Bukti rumus-rumus di atas adalah sebagai berikut.

(1) Misalkan persamaan garis singgung tersebut adalah

.

Apabila garis ini kita potongkan dengan hiperbola, akan kita

peroleh:


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Persamaan berikut ini merupakan persamaan kuadrat. Agar

garis menyinggung parabola maka determinannya harus nol,

sehingga

√


√ (terbukti)

(2) Untuk menentukan persamaan garis singgung bergradien

pada hiperbola

dapat dilakukan dengan cara

berikut.

Telah kita ketahui bahwa hiperbola

merupakan hasil translasi hiperbola

oleh vektor

translasi ( ). Dengan demikian, garis singgung bergradien

merupakan hasil translasi garis singgung bergradien pada

hiperbola

, yaitu garis √ oleh

vektor ( ). Misalkan adalah hasil translasi sembarang

titik pada garis √ oleh vektor

translasi ( ). Dengan demikian, dan ,

sehingga dan jika kedua persamaan

terakhir kita substitusikan pada persamaan

√ akan kita peroleh

√

Yang merupakan persamaan garis singgung dalam sistem

koordinat . Dengan mengganti lambang dan

dengan lambang yang lebih umum, yaitu dan , kita

dapatkan persamaan √ yang

merupakan persamaan garis singgung bergradien pada

suatu kurva yang berpusat di titik .


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Contoh 53:

Saat pada contoh 55 dapat kita kerjakan dengan cara berikut.

a. Tentukan garis singgung pada hiperbola

yang

bergradien

, dan


√

√

atau .


yang

bergradien . Kita ketahui , dan

.

Jadi, persamaan garis singgung:

√

√

atau

c. Garis Singgung yang Melalui suatu titik tertentu di luar

hiperbola

Perhatikan Gambar 7.29. Titik adalah titik di luar

hiperbola

.

Gambar 2.29


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Titik dan merupakan titik singgung. Sejalan

dengan uraian pada irisan suatu garis kutub yang persamaannya

adalah

dan titik disebut titik

kutub.

Sehubungan dengan hal tersebut, maka langkah-langkah yang

diperlukan untuk mencari persamaan garis singgung yang dibuat

melalui suatu titik di luar hiperbola adalah sebagai berikut.

(1) Tentukan persamaan garis kutub, yaitu:

atau

(2) Cari koordinat titik singgung, yaitu titik potong garis kutub

dengan hiperbola.

(3) Tentukan persamaan garis singgung di titik yang diperoleh

pada langkah (2)

Contoh 54:

Carilah persamaan garis singgung yang melalui titik yang

diberikan pada masing-masing hiperbola berikut.

a. Hiperbola

; titik .

b. Hiperbola

; titik

Jawab:

a. Garis singgung pada hiperbola

yang melalui titik

.


............................................(1).


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Jika garis persamaan (1) dipotongkan dengan hiperbola, maka

akan kita peroleh

(

)

atau

Untuk , maka

, sehingga titik

singgungnya adalah . Dengan demikian, persamaan garis

singgungnya adalah

Untuk , maka

, sehingga titik

singgungnya adalah .

Dengan demikian, persamaan garis singgung tersebut adalah


yang melalui

titik .



GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

.................(1)

Jika garis (1) dipotongkan dengan hiperbola, maka akan kita

peroleh

(

)

( )

atau .

Untuk , maka

sehingga kita peroleh

koordinat titik singgung adalah

Dengan demikian persamaan garis singgungnya adalah


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Untuk , maka

, sehingga koordinat

titik singgungnya adalah



GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

Latihan

1. Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien m di titik

(-1,1) pada hiperbola !

2. Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola

yang tegak lurus garis x – 2y + 3 = 0!

3. Dari titik T(2,-5) ditarik garis-garis singgung pada hiperbola

. Tentukan jarak T ke garis yang menghubungkan

titik-titik singgung!

4. Tentukan nilai a supaya garis 4x + y + a = 0 menyinggung

hiperbola

!


GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

DAFTAR PUSTAKA

Morril, W. K. 1969. Analytic Geometry. Scranton, Pennysylvania

Rawuh, dkk. 1972. Ilmu Ukur Analitik. Jilid 1 dan 2. Ternate

Bandung

Suherman, Maman. 1986. Geometri Analitik Datar. Karunika

Jakarta

Sukirman. 2009. Geometri Anlitik Bidang dan Ruang. Universitas

Terbuka

Suryadi D.H.S. 1986. Ilmu Ukur Analitik Ruang. Ghalia Indonesia

DAFTAR PUSTAKA 211

GEOMETRI ANALITIK

BUKU

AJAR

PROFIL

Mulia Suryani, M.Pd dilahirkan di Padang pada

tanggal 12 November 1987. Penulis merupakan

lulusan Program Studi Pendidikan Matematika

STKIP PGRI Sumatera Barat (2005-2009) dan

melanjutkan Program Master di Pascasarjana

Universitas Negeri Padang (UNP) (2010-2012).

Penulis merupakan dosen tetap Program Studi

Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera

Barat semenjak tahun 2009. Pengalaman mengajar penulis anatara

lain sebagai pembina mata kuliah Geometri Analitik, Aljabar Dasar,

Program Linier, Evaluasi Pembelajaran Matematika, Matematika

Dasar dan Pengembangan Program Pengajaran Matematika. Buku

yang penulis pernah terbitkan adalah Buku ajar Program Linier

yang diterbitkan di Deepublish Yogyakarta.

Email: [email protected]

Melisa, M.Pd kelahiran Padang pada tanggal 15

September 1987. Penulis merupakan lulusan

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP

PGRI Sumatera Barat (2005-2009) dan

melanjutkan Program Master di Pascasarjana

Universitas Negeri Padang (UNP) (2010-2012).

Penulis merupakan dosen tetap Program Studi

Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera

Barat semenjak tahun 2010. Pengalaman mengajar penulis antara

lain sebagai pembina mata kuliah Kalkulus Peubah Banyak, Telaah

Kurikulum Matematika, Geometri Analitik, Media Pembelajaran

Matematika, dan Matematika Dasar.

Email: [email protected]

Buku Ajar - repo.stkip-pgri-sumbar.ac.idrepo.stkip-pgri-sumbar.ac.id/id/eprint/3893/1/dummy Buku...

Documents

Transcript of Buku Ajar - repo.stkip-pgri-sumbar.ac.idrepo.stkip-pgri-sumbar.ac.id/id/eprint/3893/1/dummy Buku...