Post on 07-Jul-2018
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
1/39
BAB II
MATRIK
Tujuan Intruksional Khusus
Tujuan Pokok bahasan ini adalah menekankan pemahaman mengenai matrik.
Setelah membaca pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan mampu untuk:
• Memahami definisi dan dapat menyelesaikan Penjumlahan dan
Pengurangan Matrik
• Memahami definisi dan dapat menyelesaikan Perkalian Matrik
•
Memahami definisi dan dapat menyelesaikan dari Transpose suatu Matrik • Memahami definisi dan dapat menyelesaikan dari Matrik Simestris
• Memahami definisi dan dapat menyelesaikan dari Determinan suatu
matrik
• Memahami definisi dan dapat menyelesaikan dari Iners suatu matrik
• Memahami definisi dan dapat menyelesaikan dari !djoint Matrik "ujur
Sangkar
• Memahami definisi dan dapat menyelesaikan dari eigen #alue dan $igen
#ektor suatu matrik
Definisi Matrik
%aitu suatu elemen yang disusun dengan adanya Baris dan Kolom aij , dimana
i= nomor baris dan j= nomor kolom.
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
2/39
2.1. enjumlahan! en"uran"an
#ontoh$
&ika : ! '
((
)* + " '
(,
-)
Dit : a. ! "
b. ! / "
en%elesaian $
a. ! " '
((
)*
(,
-)
'
++
++
((,(
-))*
'
*-
0-
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
3/39
b. ! 1 " '
((
)* 1
(,
-)
'
−−−−((,(
-))*
'
−
−−
2)
*(
2.2. erkalian Matrik
Misal : A&2 ' B2& = #22
Baris ' Kolom = erkalian Matrik
#ontoh$
&ika : ! '
(((
()* + " '
((
,(
)*
Dit : ! 3 "
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
4/39
en%elesaian$
! 3 " '
(((
()* 3
((
,(
)*
'
++++
++++
(.(,.().((.((.(*.(
(.(,.)).*(.((.)*.*
'
0,
(40
#ontoh $
&ika : ! '
,*
)( + " '
**
()
Dit : ! 3 " 5 " 3 !
en%elesaian $
A ' B ≠ B ' A
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
5/39
! 3 " '
,*
)( 3
**
()
! 3 " '
'
(2(,
64
" 3 ! '
**
() 3
,*
)(
'
++++
,.*).**.*(.*
,.().)*.((.)
++
++
*.,(.**.,).*
*.)(.(*.)).(
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
6/39
'
(,7
()-
&adi+ Terbukti Matrik ! 3 " ≠ " 3 !
(2(,
64
≠
(,7
()-
2.&. Trans(ose )uatu Matrik
Transpose suatu matrik adalah matrik yang merubah kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom.
B =
ih g
f ed
cba
Bt =
i f c
heb
g d a
Dimana$ Bt = Trans(ose dari matrik B
#ontoh $
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
7/39
&ika : ! '
,((
*7)
(-,
Dit : a. !t
b. ! !t ' Matrik Simetris
c. 8!t9t ' !
en%elesaian $
a. ! '
,((
*7)
(-,
!t
=
,((
*7)
(-,
!t '
,*(
(7-
(),
t
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
8/39
b. ! !t '
,((
*7)
(-,
,*(
(7-
(),
'
0)*
)(*0
*00
A * At = Matrik simetris, bukti A12 = A21
c. +At t = A
! '
,((*7)
(-,
t
,*(
(7-
(),
'
,((
*7)
(-,
&adi terbukti +A
t
t
= A
#ontoh $
A * B t = At * B t
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
9/39
&ika : ! '
(*)
)6-
-7,
+ " '
(*(
,)7
-,)
Dit : 8! "9
t
' !
t
"
t
en%elesaian $
!t '
(*)
)6-
-7,
!t '
()-
*67
)-,
" t '
(*(
,)7
-,)
t
t
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
10/39
" t '
(,-
*),
(7)
! " '
(*)
)6-
-7,
(*(
,)7
-,)
+++
++++++
=
((**()
,))67-
--,7),
'
*,,
6(2((
(2(26
8! "9t '
t
*,,
6(2((
(2(26
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
11/39
'
*6(2
,(2(2
,((6
! t " t '
()-
*67
)-,
(,-
*),
(7)
'
*6(2
,(2(2
,((6
&adi Terbukti 8! "9t ' ! t " t
*6(2
,(2(2
,((6
'
*6(2
,(2(2
,((6
+A * Bt = B t ' A t - At ' Bt
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
12/39
#ontoh $
&ika : ! '
((7
,*-
*),
+ " '
**)
(-*
,*(
Dit : 8! "9
t
' "
t
3 !
t
5 !
t
3 "
t
en%elesaian $
! t '
((7
,*-
*),
'
(,*
(*)
7-,
t
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
13/39
" t '
**)
(-*
,*(
" t '
*(,
*-*
)*(
! 3 " '
((7
,*-
*),
3
**)
(-*
,*(
! 3 " '
++++++
++++++
++++++
*.((.(,.7*.(-.(*.7).(*.((.7
*.,(.*,.-*.,-.**.-).,*.*(.-
*.*(.),.,*.*-.)*.,).**.)(.,
t
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
14/39
'
*6(4((
)2*0*(
*)*6(7
8! 3 "9t '
*6(4((
)2*0*(
*)*6(7
'
*6)2*)
(4*0*6
((*((7
" t 3 ! t '
*(,
*-*
)*(
3
(,*
(*)
7-,
'
++++++
++++++
++++++
(.*(.(7.,,.**.(-.,*.*).(,.,
(.*(.-7.*,.**.--.**.*).-,.*
(.)(.*7.(,.)*.*-.(*.)).*,.(
t
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
15/39
'
*6)2*)
(4*0*6
((*((7
!t 3 "t '
(,*
(*)
7-,
'
*(,
*-*
)*(
'
++++++ ++++++
++++++
*.(*.,).*(.(-.,*.*,.(*.,(.*
*.(*.*).)(.(-.**.),.(*.*(.)
*.7*.-).,(.7-.-*.,,.7*.-(.,
'
(7*-(,
(-(6((
),)4)0
&adi terbukti 8! "9t ' " t 3 ! t 5 !t 3 "t
(7*-(,
(-(6((
),)4)0
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
16/39
*6)2*)
(4*0*6
((*((7
' 5
2.. Matrik )imetris
aij = a ji
#ontoh $
−
−
7-)
-,*
)*(
07)
70*
)*,
0(7
()*
7*,
Kun/in%a $ Dikatakan matrik simetris jika :
a12 = a21
a1& = a&1
a&2 = a2&
2.0. Determinan
*6)2*)
(4*0*6
((*((7
Matrik )imetris dari A = A * At
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
17/39
ara mencari determinan dari suatu matrik ada beberapa cara+ yaitu :
• ara ;ofaktor
• ara Sarrus
2.0.1 #ara Kofaktor
&ika+ ! '
***(
(*((
aa
aa
#ontoh $
&ika : ! '
6(
)*
Dit : det !
en%elesaian $
det ! ' A '6(
)*
' 8*.6 / ).(9
' 8(, / ()9
det A = A =*((***((
aaaa −
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
18/39
' ((
#ontoh $
&ika : ! '
-*,
)))
(-(
Dit : det !
en%elesaian $
#ara 1 $
det ! ' A '
-*,
)))
(-(
det ! ' A '*,
))(
-,
))-
-*
))( +−
' ( 8).- / ).*9 / - 8).- / ).,9 ( 8).* / ,.)9
' ( 8(- / 79 / - 8(- / (*9 ( 87 / (*9
' 4 / (- / 7
' 1(*
#ara 2 $
Rumus Determinan
! '
-*,
)))
(-(
det A = A =()()(*(*((((
K a K a K a +−
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
19/39
Kolom 1
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
20/39
&ika : ! '
-*,
)))
(-(
Dit : det !
en%elesaian $
A '
*,
))
-(
-*,
)))
(-(
' (.).- -.)., (.*.) / -.).-
' (- 72 7 / (* / 7 / 6-
' 1(*
2.. Iners Matrik
Dimana
A Kofaktor =
)))*)(
*)***(
()(*((
K K K
K K K
K K K
A31 =
A
A kofaktor t
A31 = A
A kofaktor t
= A
adjA
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
21/39
At Kofaktor =
))*)()
)***(*
)(*(((
K K K
K K K
K K K
#ontoh $
&ika : ! '
2,(
7(,
-)*
Dit : !1(
en%elesaian $
! '
2,(
7(,
-)*
Kolom 1
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
22/39
' *2
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
23/39
' (-
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
24/39
A
31
= A
A kofaktor t
!1( ',-
(
−−
−
−
(2-(-
0-7
()*2*,
!1( '
−−
−
−
,->(2,->-,->(-
,->0,->-,->7
,->(),->*2,->*,
!1( '
−−
−−
4>*4>((->-
,->04>((->*
,->()4>,(->0
2.4. Adjoint Matrik Bujur )an"kar
Tetapkan ! ' ij A suatu matrik bujur sangat n 3 n dan 3 ij adalah faktor aij+
maka menurut definisi:
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
25/39
5ika A=
)))*)(
*)***(
()(*((
aaa
aaa
aaa
#ontoh $
&ika ! '
,))
*)*
)*(
Dit : !dj ! dan !1(
en%elesaian $
Kolom 1
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
26/39
' 7
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
27/39
' 1 -
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
28/39
! ;ofaktor '
)))*)(
*)***(
()(*((
K K K
K K K
K K K
'
−−
−
−−
()-
)-(
)*7
!dj ! ' At kofaktor '
)))*)(
*)***(
()(*((
K K K
K K K
K K K
'
−−
−−
−
())
,-*
-(7
Iners matrik ! adalah :
!1( ' A
adjA
A '()()(*(*((((
K a K a K a ++
' 8(9879 8*9 8(9 8)9 81-9
' 7 * 1(-
' 1 6
!1( ' 16
(
−−−−
−
())
,-*
-(7
!1( '
−−
−−
6>(6>)6>)
6>,6>-6>*
6>-6>(6>7
2.6. 7i"en 8alue dan 7i"en 8ektor
))*)()
)***(*
)(*(((
K K K
K K K
K K K
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
29/39
#ontoh $
&ika : ! '
)*
,( I '
(2
2( I = matrik Identitas
Dit : $igen #alue dan $igen #ektor dari Matrik !
en%elesaian $
( ) A I −λ '
λ
λ
2
2 1
)*
,(
'
−−
−−)*
,(
λ
λ
A I −λ
' )*
,(
−−
−−
λ
λ
' [ ]9,98*89)898 −−−−− λ λ I
' *λ 1 ,λ ) 1 0
' *λ 1 ,λ 1 -
' 8λ 1-9 8λ (9 = λ ' - dan λ ' 1(
7i"en alue adalah akar1akar dari λ
Maka eigen aluenya adalah λ ' -+ λ ' 1(
7i"en ektorn%a $
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
30/39
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
31/39
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
32/39
•
λ = 31
98 A I −λ '
−−
−−)*
,(
λ
λ
98 A I −λ '
−−−
−−−
)(*
,((
'
−−−−,*
,*
=
−−−−
2
2
,*
,*
y
x
1*31 ,y ' 2 3 ' *
1*3 1 ,y ' 2 y ' 1(
5adi, 7i"en ektorn%a (ada λ = 31 adalah +2,31
2.9. Ran"kuman Matrik
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
33/39
Definisi Matrik
%aitu suatu elemen yang disusun dengan adanya baris dan kolom aij
Dimana : i ' nomor baris dan j ' nomor kolom.
1. enjumlahan dan en"uran"an Matrik
Penjumlahan dan pengurangan antara dua matrik dilakukan pada anggota
baris kolom yang sama.
2. erkalian Matrik
Misal+ A&2 ' B2& = #22
Baris ' Kolom = erkalian Matrik
Didalam matrik+ ! 3 " 5 " 3 !
&. Trans(ose )uatu Matrik
Transpose suatu matrik adalah Matrik yang merubah kolom menjadi baris
dan baris menjadi kolom.
A * At = Matrik simetris, bukti A12 = A21
+At
t
= A
+A * B t = At * B t
+A ' B t = Bt ' A t
. Matrik )imetris aij = a ji
Kun/in%a $ dikatakan matrik simetris jika:
a12 = a21
a1& = a&
a&2 = a2&
Matrik )imetris dari A = A * At
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
34/39
0. Determinan
ara mencari determinan dari suatu matrik ada beberapa cara+ yaitu :
• ara ;ofaktor
• ara Sarrus
. Iners Matrik
Dimana ! ;ofaktor '
)))*)(
*)***(
()(*((
K K K
K K K
K K K
4. Adjoint Matrik Bujur )an"kar
6. 7i"en 8alue dan 7i"en 8ektor
A31 = A
A kofaktor t
A31 = A
A kofaktor t= A
adjA
Adjoint A = adj A =
)*(
***(*
(*(((
...
............
...
...
nnn
n
n
K K K
K K K
K K K
= At kofaktor
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
35/39
$igen alue adalah akar1akar dari λ + dengan cara mancari harga A I −λ +
dimana I '
(2
2( dan I ' Matrik Identitas. Sedangkan eigen ektor didapatkan
dari hasil mencari eigen alue+ lalu dari nilai1nilai λ didapatkan harga 3 dan y
nya itulah eigen ektornya.
2.1:. )oal ;atihan
1. enjumlahan dan en"uran"an Matrik
a. &ika ! ' " '8i9 ! "
8ii9 ! / "
b. &ika !
8i9 ! "
8ii9 ! / "
2. erkalian Matrik
a. &ika ! ' + " '
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
36/39
Ditanya : ! ? "
b. &ika ! ' + "'
Ditanya : ! ? "
c. &ika ! ' + " '
Ditanya : ! ? " 5 " ? !
d. &ika ! '
Ditanya : ! ? " 5 " ? !
&. Tran(ose )uatu Matrik
a. &ika ! '
8i9
8ii9 ! ' Matrik Simetris
8iii9 8 ' !
b. &ika ! '
8i9
8ii9 ! ' Matrik Simetris
8iii9 8 ' !
c. &ika ! ' " '
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
37/39
Ditanya : 8! "9t ' !t !t
d. &ika ! ' + " '
Ditanya : '
e. &ika ! ' " '
Ditanya :
f. &ika ! ' + " '
Ditanya : ' 5 ?
. Matrik )imetris
a. &ika ! '
Ditanya : Matrik simetris !
b. &ika ! '
Ditanya : Matrik Simetris !
9.0. Determinan
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
38/39
a. &ika ! '
8i9 Menggunakan cara kofaktor
8ii9 Menggunakan cara sarrus
b. &ika ! '
8i9 Menggunakan ara ;ofaktor
8ii9 Menggunakan ara Sarrus
9.. Iners Matrik
a. &ika ! '
Ditanyakan :
b. &ika ! '
Ditanyakan :
9.4. Adjoint Matrik
a. &ika ! '
Ditanyakan : !dj !
8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc
39/39
9.6. 7i"en 8alue dan 7i"en 8ektor
a. &ika diketahui ! ' dan I '
Tentukan $igen #alue dan $igen #ektor
b. &ika diketahui ! ' dan I '
Tentukan $igen#alue dan $igen#ektor
)umber ustaka
!yres+ @rank+ &r. (40-. Matriks+ $rlangga. &akarta
Margha+ M Ismail ". (402. Matematika Universitas $d ). !rmico. "andung
Mursita+ Danang. *22-. Matematika untuk Perguruan Tinggi (Vektor dan
Persamaan ifferensia! 9. "ina Ilmu Afset. Surabaya
Purcell+ $dwin Dale #arberg. (40,. Ka!ku!us dan "eometri Ana!itis+ &ilid *. $d ).
$rlangga. &akarta