BAB II Matrik 2.doc

8/18/2019 BAB II Matrik 2.doc

1/39

BAB II

MATRIK

Tujuan Intruksional Khusus

Tujuan Pokok bahasan ini adalah menekankan pemahaman mengenai matrik.

Setelah membaca pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan mampu untuk:

• Memahami definisi dan dapat menyelesaikan Penjumlahan dan

Pengurangan Matrik

• Memahami definisi dan dapat menyelesaikan Perkalian Matrik

•

Memahami definisi dan dapat menyelesaikan dari Transpose suatu Matrik • Memahami definisi dan dapat menyelesaikan dari Matrik Simestris

• Memahami definisi dan dapat menyelesaikan dari Determinan suatu

matrik

• Memahami definisi dan dapat menyelesaikan dari Iners suatu matrik

• Memahami definisi dan dapat menyelesaikan dari !djoint Matrik "ujur

Sangkar

• Memahami definisi dan dapat menyelesaikan dari eigen #alue dan $igen

#ektor suatu matrik

Definisi Matrik

%aitu suatu elemen yang disusun dengan adanya Baris dan Kolom aij , dimana

i= nomor baris dan j= nomor kolom.


2/39

2.1. enjumlahan! en"uran"an

#ontoh$

&ika : ! '

((

)* + " '

(,

-)

Dit : a. ! "

b. ! / "

en%elesaian $

a. ! " '

((

)*

(,

-)

'

++

++

((,(

-))*

'

*-

0-


3/39

b. ! 1 " '

((

)* 1

(,

-)

'

−−−−((,(

-))*

'

−

−−

2)

*(

2.2. erkalian Matrik

Misal : A&2 ' B2& = #22

Baris ' Kolom = erkalian Matrik

#ontoh$

&ika : ! '

(((

()* + " '

((

,(

)*

Dit : ! 3 "


4/39

en%elesaian$

! 3 " '

(((

()* 3

((

,(

)*

'

++++

++++

(.(,.().((.((.(*.(

(.(,.)).*(.((.)*.*

'

0,

(40

#ontoh $

&ika : ! '

,*

)( + " '

**

()

Dit : ! 3 " 5 " 3 !

en%elesaian $

A ' B ≠ B ' A


5/39

! 3 " '

,*

)( 3

**

()

! 3 " '

'

(2(,

64

" 3 ! '

**

() 3

,*

)(

'

++++

,.*).**.*(.*

,.().)*.((.)

++

++

*.,(.**.,).*

*.)(.(*.)).(


6/39

'

(,7

()-

&adi+ Terbukti Matrik ! 3 " ≠ " 3 !

(2(,

64

≠

(,7

()-

2.&. Trans(ose )uatu Matrik

Transpose suatu matrik adalah matrik yang merubah kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom.

B =

ih g

f ed

cba

Bt =

i f c

heb

g d a

Dimana$ Bt = Trans(ose dari matrik B

#ontoh $


7/39

&ika : ! '

,((

*7)

(-,

Dit : a. !t

b. ! !t ' Matrik Simetris

c. 8!t9t ' !

en%elesaian $

a. ! '

,((

*7)

(-,

!t

=

,((

*7)

(-,

!t '

,*(

(7-

(),

t


8/39

b. ! !t '

,((

*7)

(-,

,*(

(7-

(),

'

0)*

)(*0

*00

A * At = Matrik simetris, bukti A12 = A21

c. +At t = A

! '

,((*7)

(-,

t

,*(

(7-

(),

'

,((

*7)

(-,

&adi terbukti +A

t

t

= A

#ontoh $

A * B t = At * B t


9/39

&ika : ! '

(*)

)6-

-7,

+ " '

(*(

,)7

-,)

Dit : 8! "9

t

' !

t

"

t

en%elesaian $

!t '

(*)

)6-

-7,

!t '

()-

*67

)-,

" t '

(*(

,)7

-,)

t

t


10/39

" t '

(,-

*),

(7)

! " '

(*)

)6-

-7,

(*(

,)7

-,)

+++

++++++

=

((**()

,))67-

--,7),

'

*,,

6(2((

(2(26

8! "9t '

t

*,,

6(2((

(2(26


11/39

'

*6(2

,(2(2

,((6

! t " t '

()-

*67

)-,

(,-

*),

(7)

'

*6(2

,(2(2

,((6

&adi Terbukti 8! "9t ' ! t " t

*6(2

,(2(2

,((6

'

*6(2

,(2(2

,((6

+A * Bt = B t ' A t - At ' Bt


12/39

#ontoh $

&ika : ! '

((7

,*-

*),

+ " '

**)

(-*

,*(

Dit : 8! "9

t

' "

t

3 !

t

5 !

t

3 "

t

en%elesaian $

! t '

((7

,*-

*),

'

(,*

(*)

7-,

t


13/39

" t '

**)

(-*

,*(

" t '

*(,

*-*

)*(

! 3 " '

((7

,*-

*),

3

**)

(-*

,*(

! 3 " '

++++++

++++++

++++++

*.((.(,.7*.(-.(*.7).(*.((.7

*.,(.*,.-*.,-.**.-).,*.*(.-

*.*(.),.,*.*-.)*.,).**.)(.,

t


14/39

'

*6(4((

)2*0*(

*)*6(7

8! 3 "9t '

*6(4((

)2*0*(

*)*6(7

'

*6)2*)

(4*0*6

((*((7

" t 3 ! t '

*(,

*-*

)*(

3

(,*

(*)

7-,

'

++++++

++++++

++++++

(.*(.(7.,,.**.(-.,*.*).(,.,

(.*(.-7.*,.**.--.**.*).-,.*

(.)(.*7.(,.)*.*-.(*.)).*,.(

t


15/39

'

*6)2*)

(4*0*6

((*((7

!t 3 "t '

(,*

(*)

7-,

'

*(,

*-*

)*(

'

++++++ ++++++

++++++

*.(*.,).*(.(-.,*.*,.(*.,(.*

*.(*.*).)(.(-.**.),.(*.*(.)

*.7*.-).,(.7-.-*.,,.7*.-(.,

'

(7*-(,

(-(6((

),)4)0

&adi terbukti 8! "9t ' " t 3 ! t 5 !t 3 "t

(7*-(,

(-(6((

),)4)0


16/39

*6)2*)

(4*0*6

((*((7

' 5

2.. Matrik )imetris

aij = a ji

#ontoh $

−

−

7-)

-,*

)*(

07)

70*

)*,

0(7

()*

7*,

Kun/in%a $ Dikatakan matrik simetris jika :

a12 = a21

a1& = a&1

a&2 = a2&

2.0. Determinan

*6)2*)

(4*0*6

((*((7

Matrik )imetris dari A = A * At


17/39

ara mencari determinan dari suatu matrik ada beberapa cara+ yaitu :

• ara ;ofaktor

• ara Sarrus

2.0.1 #ara Kofaktor

&ika+ ! '

***(

(*((

aa

aa

#ontoh $

&ika : ! '

6(

)*

Dit : det !

en%elesaian $

det ! ' A '6(

)*

' 8*.6 / ).(9

' 8(, / ()9

det A = A =*((***((

aaaa −


18/39

' ((

#ontoh $

&ika : ! '

-*,

)))

(-(

Dit : det !

en%elesaian $

#ara 1 $

det ! ' A '

-*,

)))

(-(

det ! ' A '*,

))(

-,

))-

-*

))( +−

' ( 8).- / ).*9 / - 8).- / ).,9 ( 8).* / ,.)9

' ( 8(- / 79 / - 8(- / (*9 ( 87 / (*9

' 4 / (- / 7

' 1(*

#ara 2 $

Rumus Determinan

! '

-*,

)))

(-(

det A = A =()()(*(*((((

K a K a K a +−


19/39

Kolom 1


20/39

&ika : ! '

-*,

)))

(-(

Dit : det !

en%elesaian $

A '

*,

))

-(

-*,

)))

(-(

' (.).- -.)., (.*.) / -.).-

' (- 72 7 / (* / 7 / 6-

' 1(*

2.. Iners Matrik

Dimana

A Kofaktor =

)))*)(

*)***(

()(*((

K K K

K K K

K K K

A31 =

A

A kofaktor t

A31 = A

A kofaktor t

= A

adjA


21/39

At Kofaktor =

))*)()

)***(*

)(*(((

K K K

K K K

K K K

#ontoh $

&ika : ! '

2,(

7(,

-)*

Dit : !1(

en%elesaian $

! '

2,(

7(,

-)*

Kolom 1


22/39

' *2


23/39

' (-


24/39

A

31

= A

A kofaktor t

!1( ',-

(

−−

−

−

(2-(-

0-7

()*2*,

!1( '

−−

−

−

,->(2,->-,->(-

,->0,->-,->7

,->(),->*2,->*,

!1( '

−−

−−

4>*4>((->-

,->04>((->*

,->()4>,(->0

2.4. Adjoint Matrik Bujur )an"kar

Tetapkan ! ' ij A suatu matrik bujur sangat n 3 n dan 3 ij adalah faktor aij+

maka menurut definisi:


25/39

5ika A=

)))*)(

*)***(

()(*((

aaa

aaa

aaa

#ontoh $

&ika ! '

,))

*)*

)*(

Dit : !dj ! dan !1(

en%elesaian $

Kolom 1


26/39

' 7


27/39

' 1 -


28/39

! ;ofaktor '

)))*)(

*)***(

()(*((

K K K

K K K

K K K

'

−−

−

−−

()-

)-(

)*7

!dj ! ' At kofaktor '

)))*)(

*)***(

()(*((

K K K

K K K

K K K

'

−−

−−

−

())

,-*

-(7

Iners matrik ! adalah :

!1( ' A

adjA

A '()()(*(*((((

K a K a K a ++

' 8(9879 8*9 8(9 8)9 81-9

' 7 * 1(-

' 1 6

!1( ' 16

(

−−−−

−

())

,-*

-(7

!1( '

−−

−−

6>(6>)6>)

6>,6>-6>*

6>-6>(6>7

2.6. 7i"en 8alue dan 7i"en 8ektor

))*)()

)***(*

)(*(((

K K K

K K K

K K K


29/39

#ontoh $

&ika : ! '

)*

,( I '

(2

2( I = matrik Identitas

Dit : $igen #alue dan $igen #ektor dari Matrik !

en%elesaian $

( ) A I −λ '

λ

λ

2

2 1

)*

,(

'

−−

−−)*

,(

λ

λ

A I −λ

' )*

,(

−−

−−

λ

λ

' [ ]9,98*89)898 −−−−− λ λ I

' *λ 1 ,λ ) 1 0

' *λ 1 ,λ 1 -

' 8λ 1-9 8λ (9 = λ ' - dan λ ' 1(

7i"en alue adalah akar1akar dari λ

Maka eigen aluenya adalah λ ' -+ λ ' 1(

7i"en ektorn%a $


30/39


31/39


32/39

•

λ = 31

98 A I −λ '

−−

−−)*

,(

λ

λ

98 A I −λ '

−−−

−−−

)(*

,((

'

−−−−,*

,*

=

−−−−

2

2

,*

,*

y

x

1*31 ,y ' 2 3 ' *

1*3 1 ,y ' 2 y ' 1(

5adi, 7i"en ektorn%a (ada λ = 31 adalah +2,31

2.9. Ran"kuman Matrik


33/39

Definisi Matrik

%aitu suatu elemen yang disusun dengan adanya baris dan kolom aij

Dimana : i ' nomor baris dan j ' nomor kolom.

1. enjumlahan dan en"uran"an Matrik

Penjumlahan dan pengurangan antara dua matrik dilakukan pada anggota

baris kolom yang sama.

2. erkalian Matrik

Misal+ A&2 ' B2& = #22

Baris ' Kolom = erkalian Matrik

Didalam matrik+ ! 3 " 5 " 3 !

&. Trans(ose )uatu Matrik

Transpose suatu matrik adalah Matrik yang merubah kolom menjadi baris

dan baris menjadi kolom.

A * At = Matrik simetris, bukti A12 = A21

+At

t

= A

+A * B t = At * B t

+A ' B t = Bt ' A t

. Matrik )imetris aij = a ji

Kun/in%a $ dikatakan matrik simetris jika:

a12 = a21

a1& = a&

a&2 = a2&

Matrik )imetris dari A = A * At


34/39

0. Determinan

ara mencari determinan dari suatu matrik ada beberapa cara+ yaitu :

• ara ;ofaktor

• ara Sarrus

. Iners Matrik

Dimana ! ;ofaktor '

)))*)(

*)***(

()(*((

K K K

K K K

K K K

4. Adjoint Matrik Bujur )an"kar

6. 7i"en 8alue dan 7i"en 8ektor

A31 = A

A kofaktor t

A31 = A

A kofaktor t= A

adjA

Adjoint A = adj A =

)*(

***(*

(*(((

...

............

...

...

nnn

n

n

K K K

K K K

K K K

= At kofaktor


35/39

$igen alue adalah akar1akar dari λ + dengan cara mancari harga A I −λ +

dimana I '

(2

2( dan I ' Matrik Identitas. Sedangkan eigen ektor didapatkan

dari hasil mencari eigen alue+ lalu dari nilai1nilai λ didapatkan harga 3 dan y

nya itulah eigen ektornya.

2.1:. )oal ;atihan

1. enjumlahan dan en"uran"an Matrik

a. &ika ! ' " '8i9 ! "

8ii9 ! / "

b. &ika !

8i9 ! "

8ii9 ! / "

2. erkalian Matrik

a. &ika ! ' + " '


36/39

Ditanya : ! ? "

b. &ika ! ' + "'

Ditanya : ! ? "

c. &ika ! ' + " '

Ditanya : ! ? " 5 " ? !

d. &ika ! '

Ditanya : ! ? " 5 " ? !

&. Tran(ose )uatu Matrik

a. &ika ! '

8i9

8ii9 ! ' Matrik Simetris

8iii9 8 ' !

b. &ika ! '

8i9

8ii9 ! ' Matrik Simetris

8iii9 8 ' !

c. &ika ! ' " '


37/39

Ditanya : 8! "9t ' !t !t

d. &ika ! ' + " '

Ditanya : '

e. &ika ! ' " '

Ditanya :

f. &ika ! ' + " '

Ditanya : ' 5 ?

. Matrik )imetris

a. &ika ! '

Ditanya : Matrik simetris !

b. &ika ! '

Ditanya : Matrik Simetris !

9.0. Determinan


38/39

a. &ika ! '

8i9 Menggunakan cara kofaktor

8ii9 Menggunakan cara sarrus

b. &ika ! '

8i9 Menggunakan ara ;ofaktor

8ii9 Menggunakan ara Sarrus

9.. Iners Matrik

a. &ika ! '

Ditanyakan :

b. &ika ! '

Ditanyakan :

9.4. Adjoint Matrik

a. &ika ! '

Ditanyakan : !dj !


39/39

9.6. 7i"en 8alue dan 7i"en 8ektor

a. &ika diketahui ! ' dan I '

Tentukan $igen #alue dan $igen #ektor

b. &ika diketahui ! ' dan I '

Tentukan $igen#alue dan $igen#ektor

)umber ustaka

!yres+ @rank+ &r. (40-. Matriks+ $rlangga. &akarta

Margha+ M Ismail ". (402. Matematika Universitas $d ). !rmico. "andung

Mursita+ Danang. *22-. Matematika untuk Perguruan Tinggi (Vektor dan

Persamaan ifferensia! 9. "ina Ilmu Afset. Surabaya

Purcell+ $dwin Dale #arberg. (40,. Ka!ku!us dan "eometri Ana!itis+ &ilid *. $d ).

$rlangga. &akarta

BAB II Matrik 2.doc

Documents

Transcript of BAB II Matrik 2.doc