Matrik Alih

7/25/2019 Matrik Alih

1/25

Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Surabaya

Matrik Alih


2/25

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Latihan

Asesmen

Ringkasan


3/25

RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar Asesmen

Pengantar

Dalam Persamaan Ruang Keadaan berdimensi n,

teradapat n variable keadaan saat t = to, dan saat t

sebarang.

Sebuah fungsi dalam t, yang berfungsimentransformasikan variable keadaan untuk setiap

waktu t.

Fangsi transformasi ini dinamakan sebagai Matriks

Alih


4/25

Matrik Alih

Materi


Konsep matrik alih merupakan perluasan dari konsep fungsi alih.

Terlebih dahulu mari kita perhatikan persamaan ruang keadaan dan

persamaan keluaran sebagai berikut,

DuCxyBuAxx

(Pers.1)

dimana,x = vektor keadaan (n-vektor)

u = vektor pengendali (r-vektor)

y = vektor keluaran (m-vektor)

A = matrik n x n.

B = matrik n x r.

C = matrik m x n.

D = matrik m x r.


5/25

Materi


Matrik Alih

Transformasi persamaan 1 adalah

sX(s)-x(0) =AX(s) +BU(s)

Y(s) =CX(s) +DU(s)

Dengan mengambil kondisi awalx(0)=0 dan mensubtitusikan kedalam kedua

persamaan tersebut, diperoleh

Y(s) = [C(sI-A)-1B+D]U(s)

Dengan demikian diperoleh matrik alih sebagai berikut,

DBAICU

YG

1)()(

)()( s

s

s

s (Pers. 2)


6/25

Materi


Matrik Alih

Perhatikan bahwa ruas kanan dari persamaan 2 melibatkan (sI-A)-

1. Oleh karena itu Matriks Alih G(s) dapat dituliskan sebagaiberikut,

AIG

ssQs )()(

dimanaQ(s) adalah polynomial dalams. Oleh karena itu, sI-A

sama dengan polynomial karakteristik dariG(s). Dengan kata lain

eigenvalue dariA identik dengan pole-pole dariG(s).

(Pers. 3)


7/25

Matrik Alih Sistem Loop

Materi


Sistem multi-masukan-multi-keluaran (MIMO) seperti yang

diperlihatkan pada gambar di bawah ini

Matrik alih lintasan umpan maju adalah Go(s), sedangkan pada

lintasan umpan baliknya adalah H(s).


8/25

Materi


Matrik alih antara vektor sinyal umpan balik B(s) dan vektor

kesalahan E(s) diperoleh sebagai berikut,

B(s) = H(s)Y(s)

= H(s)Go(s)E(s)

Matrik alih antara B(s) dan E(s) adalah H(s)Go(s).



9/25

Materi


Matrik alih elemen-elemen yang terhubung seri (cascade)merupakan hasil perkalian dari matrik alih masing-masing

elemennya.

Matrik lup tertutup :

Y(s) =Go(s)[U(s) -B(s)] = Go(s)[U(s) -H(s)Y(s)]

atau, [I + Go(s)H(s)]Y(s) = Go(s)U(s)

Kedua ruas persamaan terakhir dikalikan dengan [I +

Go(s)H(s)]-1, dihasilkan

Y(s) = [I + Go(s)H(s)]-1 Go(s)U(s)

Matrik Alih Loop Tertutup

(( = + ((


10/25

Materi



Maka matrik alih lup tertutup diperoleh,

G(s) = [I + Go(s)H(s)]-1Go(s)

G(s)


11/25

Materi


Non-interaksi dalam Sistem Multi-Input-Multi-Output (MIMO)

Beberapa sistem pengendalian pada proses

mempunyai multi-masukan-multi keluaran (MIMO)

Sering digunakan bahwa perubahan pada satumasukan acuan hanya mempengaruhi satu keluaran.

Jika non-interaksi tersebut dapat dicapai, maka akan

mempermudah dalam menjaga tiap harga keluaran

pada harga konstan yang diinginkan tanpa adanya

gangguan-gangguan eksternal.


12/25

Materi


Non-interaksi dalam Sistem Multi-Input-

Multi-Output (MIMO)

Perhatikan matrik alih plantGp(s) (matriknxn) dan dirancang

suatu kompensator seriGc(s) (matriknxn) sehinggan masukan

dann keluaran sistem tidak berinteraksi. Jika diinginkan non-

interaksi antaran masukan dann keluaran, maka matrik alihlup tertutup harus merupakan matrik diagonal, atau dinyatakan

dalam bentuk berikut

)(00

00)(

00)(

)( 22

11

sG

sG

sG

s

nn

G


13/25

Materi


Non-interaksi dalam Sistem Multi-Input-

Multi-Output (MIMO) Matrik umpan balikH(s) merupakan matrik satuan, H(s) = I

Persamaan G(s) = [I +Go(s)H(s)]-1Go(s)

Maka, persamaan

G(s) = [I + Go(s)]-1Go(s)

Dimana,

G(s) = Gp(s)Gc(s)

[I + Go

(s)]G(s) =Go

(s)

Go(s) [I- G(s)] =G(s)


14/25

Materi


Non-interaksi dalam Sistem Multi-Input-Multi-Output

(MIMO)

Jika kedua ruas persamaan terakhir dikalikan dengan [I + Go(s)]-1 , maka

diperoleh

Go(s) = G(s)[I - G(s)]-1

Bentuk G(s) adalam matrik diagonal, maka [I - G(s)] juga merupakan matrik

diagonal.

Selanjutnya Go(s), hasil kali dua buah matrik diagonal, juga merupakan

matrik diagonal.

Kondisi yang diharapkan agar tidak terjadi interaksi, harus dibuat agar

Go(s) merupakan matrik diagonal, dengan syarat bahwa matrik umpan balik

H(s) merupakan matrik satuan.


15/25

Contoh Soal 1

Cari fungsi alih sistem yang ditunjukan pada gambar dibawah.

Soal 1



16/25

Contoh Soal 1

Penyelesaian


Dari gambar dibawah diperoleh persamaan keadaan dan keluaran sebagai

berikut,

dalam bentuk matrik-vektor, dapat dituliskan

21

212

211

2

53

25

xxy

uxxx

uxxx

2

1

2

1

2

1

21

5

2

13

15

x

xy

ux

x

x

x


17/25

Contoh Soal 1

Penyelesaian


Selanjutnya fungsi alih sistem adalah,

)4)(2(

5912

5

221

5

2

13

1521

)()(

)4)(2(5

)4)(2(3

)4)(2(1

)4)(2(1

1

1

ss

s

s

s

ss

sss

ss

sssss

BAICG


18/25

Contoh Soal 2

Soal 2


Tinjau sistem seperti Gambar sistem loop tertutup di bawah ini.

Tentukan matrik alih dari kompensator seri tersebut, sedemikian rupa

sehingga matrik alih lup tertutup sistem tersebut adalah,

151

11

0

0)(

s

ssG


19/25

Contoh Soal 2

Penyelesaian


Matrik alih lintasan umpan maju,

s

s

s

s

ss

s

s

5

1

1

5

15

1

15

1

11

1

0

0

0

0

0

0

0)( GIGG

)(

)(

1

0

)(

)(

2

1

11

121

2

1

sU

sU

sY

sY

s

s

(s)Y(s)R(s)Y(s)R

sGsGsGsG

sUsU 11

cc

cc

222221

1211

2

1

)()()()(

)()(

dan

i ki ih


20/25

Contoh Soal

Penyelesaian


Gc11

Gc21

Gc12

Gc22

1/(2s+1)

1

1/(s+1)

Plant

r1

r2

u1 y1

u2 y2

+

+

+

+

-

-

+

+ +

+

Gambar Blok diagram sistem multi-masukan-multi-keluaran (MIMO).

Ri kM t i L tihP t


21/25

Contoh Soal

Penyelesaian


Selanjutnya diperoleh

(s)Y(s)R

sYsR

(s)Y(s)R

sYsR

sGsG

sGsG

sY

sY

s

s

cc

cc

s

s

22

11

5

1

1

22

11

2221

1211

1

1

121

2

1 )()(

0

0)()(

)()(

)()(

1

0

)(

)(

dengan demikian matrik alih kompensator adalah,

ss

sss

ss

s

s

s

s

cc

cc

c sGsG

sGsG

s51)12)(1(

12

51

1

11

121

2221

1211 0

0

0

1

0

)()(

)()(

)(G

Ri kM t i C t h S l L tihP t A


22/25

Contoh Soal

Penyelesaian


Persamaan terakhir adalah merupakan matrik alih kompensator seri. Perhatikan

bahwa Gc11(s) dan Gc22(s) adalah p e n g e n d a l i p r o p o r s i o n a l- p l u s - i n t eg r a l dan

Gc21(s) adalah p e n g e n d al i p r o p o r s i o n al -p l u s - i n t e g r a l -p l u s - t u r u n a n .

Dalam analisis ini belum ditinjau gangguan eksternal. Dalam pendekatan kali ini,pada umumnya, terjadi penghapusan pada pembilang dan penyebut.

Oleh karena itu beberapaeigenvalue dariGp(s)Gc(s) akan hilang. Ini berarti bahwa

sekalipun pendekatan ini akan memberikan hasil yang diinginkan, yakni non-

interaksi pada respon terhadap masukan-masukan acuan tanpa adanya gangguan

eksternal, akan tetapi jika sistem diganggu oleh gaya eksternal, maka sistem

menjadi tidak terkendali karena setiap gerakan yang ditimbulkan oleh eigevalueyang terhapus tidak dapat dikendalikan.



23/25

Ringkasan


1. Matriks alih merupakan matrik yang mempunyai

fungsi sebagai transformator variable keadaan saat

t dari t sebelumnya2. Matriks alih mempunyai fungsi yang sama sebagai

fungsi alih / fungsi transfer.



24/25

Latihan


Perhatikan sistem yang dinyatakan dalam persamaan

keadaan berikut ini :

Tentukan keluaran sistem dengan masukan fungsi step.

2

1

2

1

2

1

01

11

05,6

11

u

u

x

x

x

x

2

1

2

1

2

1

00

00

10

01

u

u

x

x

y

y


25/25

SEKIAN

&

TERIMAKASIH

Matrik Alih

Documents

Transcript of Matrik Alih