PERKALIAN MATRIK ELEMENTERTulus

Setyawan

Hitung invers matrik AA = Jawab :Menghitung E1A1 = 2 = A3 =

E1 =

= Menghitung E2N2 = E1A2 =

E2 =

E2E1 =

=

CONTOH PERKALIAN MATRIK ELEMENTER Tulus

Setyawan

DEFINISI PERKALIAN MATRIK ELEMENTER 1. Matrikelementeradalahmatrik yang

diperolehdarioperasielementer yang dikenakanpadamatrikidentitas.

2. Setiapmatrikelementermempunyai invers, dansetiapmatrikbujursangkarberordo (nxn) yang mempunyai invers ekivalenbaristerhadapmatrikidentitas I.

3. Akibatnyajika :

EkEk-1Ek-2…E2E1A = I,

maka,

A-1 = EkEk-1Ek-2…E2E1

Matrikelementer E diperolehdaritransformasimatrikidentitasdimanapadakolomke-I digantidengannormalitas vector kolom :

Ei =

Nk,I = dimana: Nk,I = Ei-1Ei-2…E1IAi

Tulus Setyawan

Menghitung E3 dan Invers MatrikN3 = E2E1A3 =

E3 =

Jadi Invers Matriknya

A-1 = E3E2E1 = =

CONTOH PERKALIAN MATRIK ELEMENTER Tulus

Setyawan

Devinisi Partisi Matriks

Dalam teori pengolahan citra digital, sebuah citra direpresentasikan sebagai matriks yang ukurannya sangat besar. Mengolah citra digital, berarti mengolah matriks tersebut. Untuk mempermudah perhitungan terkadang sebuah matriks yang besar perlu dipartisi (disekat)

terlebih dahulu. Partisi dilakukan dengan cara membagi matriks yang besar menjadi sub-sub matriks yang lebih kecil.

Sebagai contoh, diketahui dua buah citra berukuran 10000 X 10000 piksel yang dinyatakan sebagai matriks berukuran 10000 X 10000 berikut :

Tulus Setyawan

Contoh Partisi Matriks

a 11a 21

a 10000 1

a 12a 22

a 10000 1

a 1 10000a 2 10000

a 10000 10000

A=

b 11b 21

b 10000 1

b 12b 22

b 10000 1

b 1 10000b 2 10000

b 10000 10000

B=

Untuk memproses kedua citra tersebut dibutuhkan waktu sangat lama dan seringkali tidak mungkin untuk mengalikan kedua matriks karena terbatasnya memori computer untuk menyimpan kedua

matriks tersebut.

Tulus Setyawan

Penyelesaian

A11A21

A100 1

A12A22

A100 2

A1 100A2 100

A100 100

B =

B11B21

B100 1

B12B22

B100 2

B1 100B2 100

B100 B100

Untuk meyelesaikan permasalahan ini kedua matriks tersebut dipecah-pecah (dipartisi) menjadi matriks yang berukuran lebih kecil, misalnya menjadi matriks berukuran 100 X100.

Dimana Aij, Bij, i=1,2,…,100, adalah matriks ordo 100 X 100 . Bila dilakukan operasi perkalian matriks, maka

Tulus Setyawan

A11A21

A100 1

A12A22

A100 2

A1 100A2 100

A100 100

B11B21

B100 1

B12B22

B100 2

B1 100B2 100

B100 100

=

C11C21

C100 1

C12C22

C100 2

C1 100C2 100

C100 100

= C

Dimana Cij = ∑ Aik Bkj = Ai1 B1j + Ai2 B2j + …. + Ai100 B100j, i = 1,2,…,100; j =

1,2,….,100.

Sebagai contoh,

C12 = ∑ A1k BK2 = A11B12+A12B22+….+A1 100B100 2

Jadi, kita hanya perlu untuk menghitung perkalian matriks 100 X 100 .

Kasus Umum

100

K=1

100

K=1

a11a21

amq

a 12a 22

a mq

a1 npa2 np

amq np

B =

b11b21

bnp 1

b12b22

bnp2

b1 srb2 sr

bnp sr

A =

Misalkan Matriks mq x np dan

Matriks np x sr . Kita bisa mempartisi kedua matriks menjadi

A11A21

Aq 1

A =

A12A22

Aq 2

A1 pA2 p

Aqp

B =

B11B21

Bp 1

B21B22

Bp 2

B1 rB2 r

B pr

Di mana A ij adalah matriks m x n dan B jk adalah matriks n x s , i =1,2,….,q; j =1,2,….,p, k=1,2,….,r.

Tulus Setyawan

Matriks A4x4 disekat dengan satu dipartisi horizontal menjadi A1;2x4 dan A2;2x4.

A=A1---A2

=

1 2 3 45 6 7 8----------------8 7 6 54 3 2 1

AT =A1 A2

--- =1 5 8 42 6 7 33 7 6 24 8 5 1

------------Jika sebuah matriks berorde m x n dipartisi dengan satu sekatan vertical, maka akan diperoleh dua buah matriks berorde m x n1 dan m x n2, dimana n1+n2=nMatriks B3x4 dipartisi dengan satu partisi vertical menjadi B1; 3x2 dan B2; 3x2.

Tulus Setyawan

Biasanya partisi yang dilakukan adalah sekali secara horizontal dan sekali secara vertical.

B=B1 B2=1 2 3 48 7 6 59 2 3 7

---

---------

B =T B

B

T

T1

2

--- =

1 8 92 7 2

3 6 34 5 7

------------

C=C11

C12

C21

C22

--------

--------

=

1 2 34 5 6

7 8 93 2 1

---------------

------------ C =T

T

T

C C

C C

T

T11

12

21

22

-----------

----------- =1 4 7 32 5 8 2

3 6 9 1-----------------

------------

Tulus Setyawan

C11 berorde m1 x n1 C12 berorde m1 x n2C21 berorde m2 x n2 C22 berorde m2 x n2(perhatikan perpindahan sekat antara C12 dan C21!)

OPERASI PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN• Partisi VertikalA mxn =A1 A2

--- B mxn =B1 B2---

(A1 dan B1 berorde mxn1; A2 dan B2 berorde mxn2) maka:

A±B =A1 A2

--- ±B1 B2

--- = A1 ± B1A2 ± B2

Tulus Setyawan

A =

2 7 11 92

4 5 08 48

7 6 10 25

8 2 35 36

2 1 11 122

---------------

B=

2 8 11 92

3 6 66 34

4 1 77 25

5 2 35 35

2 1 11 72

---------------

A – B =

0 -1 00 00

1 -1 -62 14

3 5 -6-7 00

3 0 00 01

0 0 00 50

---------------

Partisi Horizontal

A mxn =A1---A2

B mxn =B1---B2

Tulus Setyawan

(A1 dan B1 berorde m1 x n ; A2 dan B2 berorde m2 x n)

A1 ± B1A±B =

A1---A2

±B1---B2

= A2 ± B2--------

A=

1 10 7 19 6 3 17 0 0 4

3 0 0 78 12 6 41 6 1 1

---------------- B=

1 2 3 14 5 6 87 0 0 9

3 0 0 106 7 8 11 4 3 1

----------------

maka

:

maka

A + B =

2 12 10 213 11 9 914 0 0 13

6 0 0 1714 19 14 52 10 4 2

-----------------

Tulus Setyawan

OPERASI PERKALIAN

0perasi perkalian terhadap dua matriks A dan B adalah sebagai berikut:

AB =

A11A21

Aq 1

A12A22

Aq 2

A1 pA2 p

Aqp

B11B21

Bp 1

B21B22

Bp 2

B1 rB2 r

B pr

=

C11C21

Cq 1

C21C22

Cq 2

C1 rC2 r

C qr

=C mqxsr

dimana

Cij = ∑ Aij Bkj = Ai 1 B1 j + Ai 2 B2 j + …. + Aip Bpj , i =1,2,…,q; j =1,2,…,r, adalah matriks mxsK=1

p

Tulus Setyawan

Misalkan

A 4x4 =

1 0 1 00 2 3 -1

2 0 -4 00 1 0 3

----------------

----------------

=A11 A12A21 A22

dan

A 4x6 =

2 0 0 1 1 -10 1 1 -1 2 2

1 3 0 0 1 0-3 -1 2 1 0 -1

--------------------------

----------------

=B11 B12B21 B22

Tulus Setyawan

dimana A111 00 2= , A12=1 0

3 -1, A21=2 00 1, A22=-4 0

0 3

danB11=1 0 0

0 2 1, B12=1 1 -1-1 2 2, B21=1 3 0

-3 -1 2, B22=0 1 01 0 -1

Maka perkalian matriks A dan B adalah

A 4x4B 4x6=

A11 A12A21 A22

B11 B12B21 B22=

A11B11+A12B21 A11B12+A12B22A21B11+A22B21 A21B12+A22B22

=C 4x6

=C11 C12C21 C22

=

3 3 0 1 2 -16 12 0 -3 7 5

0 -12 0 2 -2 -2-9 -2 7 2 2 -1

--------------------------

----------------

Tulus Setyawan

Contoh 1

A =1 2 5 3 4 73 4 8 1 2 62 3 6 1 5 8

---------

A1 A2

--- = B =B1---B2

=

1 33 55 27 62 44 3

------

A1B1=1 2 53 4 82 3 6

1 33 55 2

=1.1+2.3+5.5 1.3+2.5+5.23.1+4.3+8.5 3.3+4.5+8.22.1+3.3+6.5 2.3+3.5+6.2

=32 2355 4541 33

A2B23 4 71 2 61 5 8

7 62 44 3

=3.7+4.2+7.4 3.6+4.4+7.31.7+2.2+6.4 1.6+2.4+6.31.7+5.2+8.4 1.6+5.4+8.3

=57 5535 3249 50

AB

=

= A1B1+ A2B2 =89 7890 7790 83

Tulus Setyawan

Contoh 2

A =3 1 2 56 4 8 3

9 5 7 2----------------

-------------

B =

5 3 1 2 4 67 2 4 1 5 8

2 5 8 3 4 74 3 1 6 7 12

--------------------------

----------------

A11B11+A12B21=3 16 4

5 3 17 2 4+

2 58 3

2 5 84 3 1

=22 11 758 26 22+24 25 21

28 49 67

=46 36 2886 75 89

A11B12+A12B22=3 16 4

2 4 61 5 8+

2 58 3

3 4 76 7 12

Tulus Setyawan

7 17 2616 44 68= +36 43 74

42 53 92

=43 60 10058 97 160

A21B11+A22B21=9 5

2 4 61 5 8

+7 2

=80 37 29+22 41 58

=102 78 87

A21B12+A22B22=9 5 +7 23 4 76 7 12

5 3 17 2 4

2 5 84 3 1

=23 61 94+33 42 73

=56 103 167

Tulus Setyawan

AB =A11B11+A12B21 A11B12+A12B22

A21B11+A22B21 A21B12+A22B22----------------------------------------

---------

AB =

46 36 28 43 60 10086 75 89 58 97 160

102 78 87 56 103 167-----------------------------

-------------

Contoh 3

Toyes adalah dokter ahli penyakit cinta di Indonesia. Ia mempunyai pasien seorang wanita warga Virgnia bernama Sylvi yang mengeluhkan bahwa selama 10 tahun ini hatinya sakit karena ditinggal pacarnya. Untuk mengetahui adanya penyakit – penyakit lain yang ditimbulkan oleh sakit hati tersebut, Toyes memutuskan pergi ke Virginia untuk melakukan CT Scan pada kepala Sylvi dan mengambil citra iris matanya untuk mengetahui kemungkinan adanya penyakit yang lain.

Tulus Setyawan

Dari proses foto CT Scan dan pengambilan citra iris mata dihasilkan citra berukuran 20 M dan 15 M. Kedua citra tersebut akan dikirim ke Indonesia segera, untuk kebutuhan analisis dan hasilnya harus dikirim ke Virginia dalam waktu 2 hari. Bagaimana cara mengirim data sebesar ini, agar tidak putus di tengah jalan dan cepat sampai di tempat tujuan?

JAWAB

Pengiriman data yang terlalu besar mengakibatkan data mudah putus di tengah jalan, kalaupun tidak sampai putus, data tiba di tempat dalam waktu yang sangat lama. Untuk mengatasi hal ini data citra disimpan dalam bentuk matriks, kemudian dilakukan partisi menjadi data – data kecil misalnya berukuran 1 M.

Tulus Setyawan

Data kecil ini dikirim secara bertahap hingga lengkap. Sampai di tempat, data ini digabung lagi menjadi matriks yang besar, dan menghasilkan citra semula yang berukuran 20 M dan 15 M.

Partisi matrik A yang berordo (mxn) adalah sub matrik-sub matrik yang diperoleh dari A dengan cara memberikan batasan-batasan garis horisontal diantara dua baris dan atau memberikan batasan-batasan garis vertikal diantara dua kolom.

Tulus Setyawan

CONTOH

6863475355324321

A

6847

A6353

A

5543

A3221

A

: adalah A matrik Partisi

2221

1211

Andaikan A matrik bujur sangkar berordo (nxn) yang mempunyai invers, yaitu : A–1 = B, dan partisinya masing-masing adalah :

Karena, AB=BA=I maka diperoleh :

2221

1211

2221

1211BBBB

B ;AAAA

A

I00I

AAAA

BBBB

I00I

BBBB

AAAA

2221

1211

2221

1211

2221

1211

2221

1211

Tulus Setyawan

Dari perkalian matrik diperoleh hasil :(1). A11 B11 + A12 B21 = I(2). A11 B12 + A12 B22 = 0(3). B21 A11 + B22 A21 = 0(4). B21 A12 + B22 A22 = I

Dengan asumsi, A11–1 ada, dan

B22 = L–1 adaMaka rumus untuk menghitung inver matriknya adalah :(1). B12 = –(A 11

–1 A12)L–1 (2). B21 = – L–1(A21 A11

–1)(3). B11 = A11

–1+(A11–1A12)L–1(A21

A11–1)

(4). L = A22 – (A21A11–1A12)

CONTOH : Kasus n=4. Hitunglah invers matrik berikut ini

Jawab :

6863475355324321

A

6847

A6353

A

5543

A3221

A

: adalah A matrik Partisi

2221

1211

Tulus Setyawan

Menghitung L

1-156-

1-(-1)-(-5)-6-

5-61L Jadi,

6-1-5-1-

12998

-6847

312-1

6353

-6847

AAAAL

0311

1-223-

6353

AA

312-1

5543

1-2

23-AA

1-2

23-12-2-3

)43(1A

1-

121-

112122

1-1121

121-

11

1-11

Menghitung Invers Matrik

4-56-13

3-38-13

1-223-

12-6-9

312-1

1-223-

)A(AL)AA(AB

1-269-

0311

1-1

56- -

)A(A-LB

2-37-8

1-156-

312-1

-

L)A-(AB

1-1121

1-12

1-11

1-1111

1-1121

1-21

1-12

1-1112

Tulus Setyawan

1-11256-69-2-34-57-86-10

BBBB

A2221

12111-

CONTOH :Hitung invers matrik A berikut :

Jawab : Partisi matrik A

3155413343536322344334532

A

315133536

A544332

A

234345

A4332

A

2221

1211

Tulus Setyawan

Menghitung L

21-1001

2-334-

544332

AA

5676-7-8-

234345

2-334-

A A

2-3

34-

23-3-4

981A

1-1121

121-

11

1-11

1-1-11-2-0101-

1)-(02)(-1-0)-(12)(-1-4)-(22)(-2-

0)-(12)(-2-1)-(0

11L

Jadi,21-21-01-

21-1

123234345

-315133536

5676-7-8-

544332

-315133536

AAAAL

1-

121-

112122

Tulus Setyawan

Menghitung Invers Matrik

27-5337-

25-2303-

2-334-

3-24-122-

5676-7-8-

2-334-

)A(AL)AA(AB

32-41-2-2

21-1001

1-1-11-2-0101-

-

)A(A-LB

41725-20-2-

1-1-11-2-0101-

5676-7-8-

-

L)A-(AB

1-1121

1-12

1-11

1-1111

1-1121

1-21

1-12

1-1112

1-1-132-1-2-041-101-2-2417227-55-20-2-337-

BBBB

AJadi, 2221

12111-

Tulus Setyawan

Sumber :1. Buku Teori dan Aplikasi Aljabar Linier & Matriks

Diterbitkan oleh ANDY Yogyakarta dan Universitas Dian Nuswantoro Semarang Tahun 2009

2. Buku Perhitungan Matriks Dengan Quick BasicDiterbitkan oleh ANDI OFFSET Tahun 1994

T ERIMAKASIHSALAM SEJAHTERA

Tulus Setyawan