DETERMINAN MATRIKS

dan

TRANSFORMASI ELEMENTER

Agustina Pradjaningsih, M.Si.

Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

agustina.fmipa@unej.ac.id

Untuk setiap matriks

bujursangkar berordo nxn dapat

dikaitkan dengan tunggal suatu

bilangan real yang dinamakan

determinan. Untuk matriks A

dilambangkan determinannya

dengan det(A) atau │A│.

DEFINISI

Sehingga dapat dikatakan

bahwa determinan adalah

fungsi dengan domainnya

merupakan himpunan

matriks-matriks berordo nxn

dan dengan range himpunan

bilangan riil.

nnnn

n

n

nxn

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

Pandang suatu unsur aij dari

matriks

EKSPANSI KOFAKTORD

E

T

E

R

M

I

N

A

N

Jika pada matriks A baris ke-i

kolom ke-j dihilangkan maka

diperoleh submatriks berordo

(n-1)x(n-1). Determinan

submatriks ini disebut minor

unsur aij (=Mij) sedang

(-1)i+jMij (=Cij) disebut

kofaktornya.

Jika Anxn dengan maka2n

)(1 untuk )det( b.1

njjCaAn

i

ijij

ekspansi kofaktor menurut kolom j

)(1 untuk )det( a.1

niiCaAAn

j

ijij

ekspansi kofaktor menurut baris i

Determinan : EKSPANSI KOFAKTOR

21122211

1122

22

2112

12

2221

1211

)1()1(

2untuk

aaaa

aaaaaa

aaA

n

312213322113312312332112322311332211

312232211331233321123223332211

3331

2321

13

31

3331

2321

12

21

3332

2322

11

11

333231

232221

131211

)1()1()1(

3untuk

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaa

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

n

Khusus untuk matriks A3x3 menghitung nilai

determinan-nya dapat digunakan ATURAN

SARRUS sbb :

I. Tulis lagi kolom ke-1 dan kolom ke-2disebelah kolom ke-3.

III. Tarik garis diagonal dari kiri bawah kekanan atas dua garis lagi yang sejajar. Ketigagaris menghasilkan tiga suku bertanda (-).

II. Tarik garis diagonal dari kiri atas ke kananbawah & dua garis lagi yang sejajar. Ketigagaris menghasilkan tiga suku bertanda (+),

333231

232221

131211

)det(

aaa

aaa

aaa

AA

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

122133112332132231

322113312312332211

)det(

aaaaaaaaa

aaaaaaaaaAA

CONTOH

Hitunglah determinan-determinan

berikut

162

963

510

b. 41

32 a.

Jawab

5(-3)-841

32 a.

165(39)23(-29)-0(-60)

96

512

16

513

16

960)det(

A

(b1) Ekspansi kofaktor sepanjang kolom 1

6513-0-(-60)-90180

62

63

10

162

963

510

)det(

A

(b2) Aturan Sarrus

S I F A T - S I F A T

1• Jika A adalah matriks bujursangkar,

maka det(A) =det(At)

2

• Jika semua unsur suatu baris/kolommatriks sama dengan nol makadet(A)=0

3

• Jika dua baris/dua kolom matriks Asebanding maka det(A) = 0

D

E

T

E

R

M

I

N

A

N

4

• Jika A, A*, A** sebarang matriks-matriks bujursangkar yang hanyaberbeda dalam baris tunggal(misal r), dan anggap bahwa bariske r dari A** dapat diperolehdengan menambahkan entri-entriyang bersesuaian dalam baris ke rdari A dan dalam baris ke r dariA*makadet(A**) = det (A) + det(A*)

5

• Jika B matriks yang didapat darimatriks A dengan mempertukarkandua baris/dua kolom makadet(B)=- det(A)

6

• Jika B matriks yang didapat darimatriks A dengan mengalikansuatu baris/kolom denganbilangan k kemudianmenambahkannya pada suatubaris/kolom yang lain makadet(B)=det(A)

7

• Jika matriks B didapat dr matriks A dgnmenggandakan semua unsur pd suatubaris/kolom dengan k makadet(B)=kdet(A)

8

• Jika A dan B adalah sebarang matriksbujursangkar yang ukurannya sama, makadet(AB) = det (A)det(B)

9

• Jika A adalah matriks segitiga nxn, makadet(A) adalah hasil kali entri-entri padadiagonal utama, yaitudet(A)=a11a22…ann.

Karena sebuah faktor bersama

dari sebarang baris matriks dapat

dipindahkan melalui tanda det,

dan jika setiap baris n dalam kA

mempunyai faktor bersama

sebesar k maka det(kA)=kndet(A)

AKIBAT

1. Menukar vektor baris/kolom

dengan vektor baris/kolom

lainnya

Transformasi Elementer

2. Menggandakan suatu vektor

baris/kolom dengan skalar k≠0

3. Menambahkan suatu vektor

baris/kolom dengan kelipatan

suatu vektor baris/kolom lainnya

D

E

F

I

N

I

S

I

1101

7512

4031

A

CONTOH

13923

7512

4031

)2(32

H

)4(2

H

4031

7512

1101

13H

1101

282048

4031

1. Jika baris pada matriks tidak seluruhnya nol

maka bilangan tak nol pertama dalam baris

tersebut adalah 1 (satu utama)

Matriks Eselon Baris

2. Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang

seluruhnya tidak nol, maka satu utama dalam

baris berikutnya terdapat lebih jauh kekanan

dari satu utama dalam baris sebelumnya

3. Jika terdapat baris yang seluruhnya nol, maka

semua baris tersebut dikelompokkan bersama-

sama dibawah matriks

D

E

F

I

N

I

S

I

(a)

5100

2610

7341

(b)

000

010

011

(c)

10000

01100

06210

CONTOH

Bentuk matriks eselon baris

ini tidak tunggal karena dengan

mengubah urutan dasar

transformasi elementer baris

tersebut maka kemungkinan

sampai pada bentuk matriks

eselon baris yang berbeda.

Bentuk matriks eselon baris ter-

reduksi diperoleh jika matriks

mempunyai sifat matriks eselon

baris ditambah dengan sifat

Matriks Eselon Baris Terreduksi[MATRIKS KANONIK]

D

E

F

I

N

I

S

I

“Masing-masing kolom yang

mengandung satu utama

mempunyai nol ditempat

lain”

(a)

1100

7010

4001

(b)

100

010

001

(d)

00000

00000

31000

10210

(c)

00

00

CONTOH

Bentuk matriks eselon baris

tereduksi ini tunggal karena

dengan mengubah urutan dasar

transformasi elementer baris

tersebut maka akan selalu sampai

pada bentuk matriks eselon baris

terreduksi yang sama.

Determinan matriks dapat pula

diperoleh dengan membawa matriks

tersebut menjadi bentuk matriks

eselon baris tereduksi. Bentuk matriks

eselon baris tereduksi adalah matriks

segitiga atas, sehingga determinan

matriks dapat dihitung dengan

menggunakan sifat-sifat determinan

Determinan : REDUKSI BARIS

Metode reduksi baris sangat

sesuai untuk menghitung

determinan dengan komputer

karena sistematis dan mudah

diprogramkan. Akan tetapi untuk

perhitungan manual, maka

metode ekspansi kofaktor lebih

mudah diterapkan.

162

963

510

A

Misalkan

CONTOH

Hitunglah det(A) dengan

reduksi baris/sifat determinan

Baris pertama & baris kedua A dipertukarkan

(sifat 5)

162

510

963

)det(

A

Faktor bersama dari baris pertama matriks

yaitu 3 diambil (sifat 7)

162

510

321

3)det(

A

-2 kali baris pertama dari matriks terdahulu

ditambahkan pada baris ketiga (sifat 6)

5100

510

321

3)det(

A

-10 kali baris kedua dari matriks terdahulu

ditambahkan pada baris ketiga (sifat 6)

5500

510

321

3)det(

A

Faktor bersama dari baris terakhir matriks

yaitu –55 diambil (sifat 7)

100

510

321

)55)(3()det(

A

Merupakan matriks segitiga atas (sifat 9)

165)1)(55)(3()det( A