Post on 06-Jul-2015
BAB IV
APLIKASI INTEGRAL TERTENTU
Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat
memahami penggunaan integral tertentu dalam masalah-masalah praktis.
Kompetensi Dasar
1. Mahasiswa dapat menentukan luas suatu luasan dengan menggunakan integral
tertentu.
2. Mahasiswa dapat menentukan volume benda putar dengan menggunakan
integral tertentu.
3. Mahasiswa dapat menentukan luas permukaan benda dengan menggunakan
integral tertentu.
4. Mahasiswa dapat menentukan panjang busur dengan menggunakan integral
tertentu.
Bab V dalam buku ini membahas aplikasi integral tertentu untuk: (1) luas
suatu luasan, (2) volume benda putar (3) luas permukaan, dan (4) menentukan
panjang busur.
5.1 Luas Suatu Luasan
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-107
a. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat.
Perhatikan gambar daerah rata dibawah ini
R
adalah
bidang datar yang dibatasi oleh grafik-grafik 0,,),( ==== ydanbxaxxfy
Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan R dinyatakan dengan
dxxfRAb
a∫= )()(
Jika luasan terletak dibawah sumbu X maka integral tertentu di atas bernilai
negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai
integral tersebut dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan
dalam bentuk
∫∫ =−=b
a
b
a
dxxfdxxfRA )()()(
Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-
langkah sebagai berikut :
a) Gambar daerah yang bersangkutan
b) Potong daerah menjadi jalur-jalur dan beri nomor pada satu jalur tertentu
c) Hampiri luas jalur tertentu tersebut dengan luas persegi panjang
d) Jumlahkan luas jalur-jalur pada daerah tersebut
e) Ambil limit dari jumlah diatas dengan lebar jalur menuju 0, maka diperoleh
integral tertentu.
Perhatikan contoh-contoh berikut:
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-108
1. Segitiga ABC terletak pada XOY, titik-titik sudutnya dinyatakan dalam
koordinat Cartesius. Titik A(0,0), B(3,0) dan C(3,7). Dengan menggunakan
integral tertentu tentukan luas segitiga ABC.
Persamaan garis AC dapat dinyatakan dengan rumus
Ac
Ac
A
A
xx
yy
xx
yy
−−=
−−
Diperoleh persamaan 03070
−−=
−−xy
37
73x
yatauxy ==
Sehingga luas yang dicari dinyatakan den dxxfRAb
a∫= )()(
5,1096
7
6
7
3
73
0
23
0
=
=
=⇔ ∫ xdx
x
2. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva 24 xy −= dan sumbu-sumbu
koordinat.
Jawab
3. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva 2yx = dan garis 4=x
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-109
y
x)0,0(A
)7,3(C
)0,3(B
x
y
Selanjutnya, perhatikan gambar luasan berikut ini :
Luasan R dibatasi oleh grafik-grafik
0,,),( ==== xdandycyygx .
Dengan integral tertentu luas luasan R yang berada disebelah kanan sumbu x
dinyatakan dalam bentuk dyygRAd
c∫= )()(
Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu x maka integral tertentu di atas
bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai
integral tersebut dimutlakkan, sehingga diperoleh:
∫∫ =−=d
c
d
c
dyygdxygRA )()()(
Perhatikan contoh-contoh berikut:
1. Segitiga ABC terletak pada XOY, titik-titik sudutnya dinyatakan dalam
koordinat Cartesius. Titik A(0,0), B(-3,0) dan C(-3,-7). Dengan menggunakan
integral tertentu tentukan luas segitiga ABC.
2. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva 24 xy −= dan sumbu-sumbu
koordinat.
3. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva 2yx = dan garis 4=x
b. Daerah antara 2 Kurva
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-110
Perhatikan kurva-kurva )(xfy = dan )(xgy = dengan )()( xgxf ≥ pada
selang [ ]ba, , seperti gambar berikut :
( ) xxgxfA ∆−≈∆ )()(
Sehingga luas luasannya dinyatakan dengan:
∫ −=b
a
dxxgxfRA ))()(()(
Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu x, jika luasannya disebelah
kanan sumbu y, maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan dengan
∫ −=d
c
dyygyfRA ))()(()(
Soal-soal
1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 22 −x dan
y = 42 2 −+ xx
2. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva y = x, y = 2x dan
y = 5 – x
3. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x dan y = -x + 6
4. Gambarlah daerah R yang dibatasi oleh kurva-kurva y = x + 6, y = x3 dan
2y + x = 0. Kemudian hitunglah luasnya.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-111
4.2 Volume Benda Putar
a. Pemutaran mengelilingi sumbu X
b. Pemutaran mengelilingi sumbu Y
1. dyxVd
c∫= 2π
2. dyxxVd
c
)( 211
21∫ −=π
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-112
Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan
besar volume adalah hasilkali luas alas ( luas lingkaran ) dan tinggi tabung.
Volume dari benda putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas
alas dan tinggi. Bila luas alas dinyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar
adalah panjang selang [ a,b ] maka volume benda putar dapat dihitung
menggunakan integral tentu sebagai berikut :
dxxAVb
a∫= )(
Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah
diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode
yaitu metode cakram dan kulit tabung.
Metode Cakram
Misal daerah dibatasi oleh bxdanxyxfy ==== ,1,0),( diputar dengan sumbu
putar sumbu x. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan
memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga
cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [ ]ba, .
Misal pusat cakram ( )0,0x dan jari-jari ( )0xfr = . Maka luas cakram
dinyatakan :
( ) ( )02
0 xfxA π=
Oleh karena itu, volume benda putar :
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-113
( )∫=b
a
dxxfV 2)(π
Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan dydancyxygx ==== ,0),(
diputar mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :
( )∫=d
c
dyygV 2)(π
Bila daerah yang dibatasi oleh ( ) 0≥= xfy , ( ) )()(,0 xgxfxgy ≥≥= untuk
setiap [ ] bxdanaxbax ==∈ ,, diputar dengan sumbu putar sumbu X maka
volume:
( )∫ −=b
a
dxxgxfV )()( 22π
Bila daerah yang dibatasi oleh ( ) ( ) )()(,0,0 ygyfygxyfx ≥≥=≥= untuk
setiap [ ] dydancydcy ==∈ ,, diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka
volume :
( )∫ −=d
c
dyygyfV )()( 22π
Contoh :
1. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh : 2xy = dan
xy 82 = diputar mengelilingi
a. sumbu X.
b. sumbu Y
Jawab :
Kedua kurva berpotongan di titik ( 0,2 ) dan ( 2,4 ).
a. Pada selang [ ] 28,2,0 xx ≥ .
Volume benda diputar mengelilingi sumbu x dinyatakan oleh
( ) ( ) ππ5
488
2
0
222=
−= ∫ dxxxV
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-114
b. Pada selang [ ]8
,4,02y
y ≥
Volume benda diputar mengelilingi sumbu y dinyatakan oleh
( ) ππ5
48
8
2
0
222
=
−= ∫ dyy
yV
2. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva :
xyxy −=−= ,2 2 dan sumbuY bila diputar mengelilingi garis 2−=y
Jawab :
Kedua kurva berpotongan di ( )1,1− dan ( ).2,2 − Pada selang [ ]0,1−
berlaku xx −≥− 22 .
Jarak kurva xyxy −=−= ,2 2 terhadap sumbu putar (garis y = -2) dapat
dipandang sebagai jari-jari dari cakram, berturut-turut adalah ( )x−4 dan
( )x−2 .
Sehingga volume benda putarnya adalah:
( ) ( )( ) ππ5
3624
0
1
222 =−−−= ∫−
dxxxV
Metode Kulit Tabung
Metode kulit tabung sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume
benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan
metode cakram. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan
jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung
adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian
berikut.
Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut
1r dan 2r , tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :
( ) rrhhrrV ∆=−=∆ πππ 212
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-115
( ) rrrjarijarirataratarrr
dengan ∆=−−−=−
1212 ,,
2:
Bila daerah yang dibatasi oleh bxaxyxfy ==== ,,0),( diputar mengelilingi
sumbu Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari xrdanxr ∆=∆= dan
tinggi tabung )(xfh = Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah
( )dxxxfVb
a∫= π2
Misal daerah dibatasi oleh kurva
( ) ( ) [ ] bxdanaxbaxxgxfxgyxfy ==∈≥== ,,),()(,, diputar mengelilingi
sumbu Y. Maka volume benda putar
( ) dxxgxfxVb
a∫ −= )()(2π
Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan
dycyxyfx ==== ,,0),( diputar mengelilingi sumbu X, maka volume =
( ) dyyfyVd
c∫= )(2π
Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh
( ) ( ) [ ] dydancydandcyygyfygxyfx ==∈≥== ,,),()(,, diputar
mengelilingi sumbu X. Maka volume benda putar yang didapat dinyatakan
dengan
( ) dxygyfyVd
c∫ −= )()(2π
Contoh :
1. Hitung volume benda putar bila daerah yang terletak di kuadran pertama
dibawah parabola
Jawab 22 xy −= dan di atas parabola 2xy = diputar mengelilingi sumbu Y.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-116
( )[ ] ππ =−−= ∫ dxxxxV1
0
2222
Bila kita gunakan metode cakram, maka daerah kita bagi menjadi dua bagian
yaitu : pada selang 10 ≤≤ y dibatasi yx −= 2 dan sumbu Y sedang pada
selang dibatasi 21 ≤≤ y
dan sumbu Y. Oleh karena itu volume =
( ) ( ) πππ =−+= ∫∫ dyydxyV22
1
1
0
22
2. Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh 21 xy −= ,
sumbu X dan sumbu Y bila diputar mengelilingi garis x = 1
Jawab
Misal di ambil sembarang nilai x pada daerah D maka didapatkan tinggi
benda pejal, ( )21 x− dan jari-jari ( jarak x terhadap sumbu putar / garis x =
1 ), ( 1 + x ). Oleh karena itu,
volume benda putar :
( )( ) ππ6
5112 2
0
1
=−+= ∫−
dxxxV
4.3 Luas Permukaan Benda Putar
4.4 Panjang Busur
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-117
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-118