APLIKASI INTEGRAL UNTUK

MENENTUKAN VOLUME BOTOL

Disusun oleh:

Nama : Kuswati

NIM : 082143293

Prodi : Program Studi Pendidikan Matematika

Fakultas : Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Dosen Pembimbing,

Teguh Wibowo, M. Pd.

NIDN. 0614097401

Purworejo, Agustus 2012

Mahasiswa,

Kuswati

NIM. 082143293

MAKALAH SEMINAR

Dosen: Teguh Wibowo, M. Pd.

Oleh:

Kuwati

NIM 082143292

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOREJO

2012

APLIKASI INTEGRAL UNTUK

MENENTUKAN VOLUME BOTOL

Kuswati

NIM. 082143293

Email: enqztctx17@gmail.com

Fakultas Pendidikan Matematika

Universitas Muhammadiyah Purworejo

Abstrak

Integral adalah salah satu operasi perhitungan matematika. Operasi ini dapat

digunakan untuk menghitung volume benda putar yang diketahui persamaan kurva

dan batas-batasnya. Sedangkan benda putar itu sendiri adalah suatu benda ruang

yang diperoleh dari hasil pemutaran suatu daerah di bidang datar terhadap garis

tertentu (sumbu rotasi). Sehingga operasi integral ini dapat digunakan untuk

menghitung volume benda ruang seperti botol.

Kata Kunci: aplikasi, integral, volume

Pendahuluan

Dalam pembelajaran matematika, integral merupakan salah satu materi yang

cukup sulit. Namun, disamping itu, integral juga merupakan materi yang

menakjubkan. Karena aplikasi dari operasi ini cukup banyak. Diantaranya adalah

untuk menentukan persamaan garis atau kurva yang diketahui gradien garis

singgungnya, menentukan persamaan gerak benda yang diketahui persamaan laju

benda, menghitung luas suatu kurva yang diketahui persamaan kurva dan batas-

batasnya, menghitung volume benda putar dan masih banyak lagi. Dalam hal ini kita

akan membahas tentang penggunaan integral dalam penentuan volume benda putar.

Saat duduk di bangku SMA, kita diajarkan untuk menghitung volume benda

putar yang diketahui persamaan garis atau kurva dan batas-batasnya. Namun, dalam

kenyataannya kita belum mampu menggunakannya dalam kehidupan nyata. Padahal

dalam materi tersebut jelas diterangkan bagaimana caranya menghitung volume pada

benda putar atau dalam kehidupan nyata disebut benda ruang. Sehingga materi yang

kita pelajari dengan susah payah tidak berguna dalam kehidupan nyata. Padahal

berhasil atau tidaknya suatu ilmu terlihat dari seberapa besar kita dapat

menggunakannya dalam kehidupan.

Atas dasar uraian di atas, penulis tertarik untuk menguraikan bagaimana cara

mengaplikasikan operasi integral untuk mengitung volume benda ruang, seperti

botol.

Pembahasan

A. Definisi Integral

Setiap operasi perhitungan matematika mempunyai invers. Seperti halnya

penjumlahan mempunyai invers pengurangan, perkalian mempunyai invers

pembagian, perpangkatan mempunyai invers akar pangkat dan logaritma

mempunyai invers antilogaritma. Atas dasar itulah para ahli mencari invers dari

operasi peritungan diferensial atau sering disebut turunan. Kemudian para ahli,

seperti Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz menemukan hubungan

antara diferensial dan integral sebagai operasi saling invers. Menurut Wilson

Simangunson (1998: 425) mendefinisikan integral sebagai “kebalikan turunan.

Jika turunan suatu fungsi diintegralkan, maka hasilnya adalah fungsi semula.

Integral dinotasikan dengan ∫…dx”. Hubungan ini kemudian dikembangkan oleh

Georg Feiedrick Bernhard Riemann, sehingga ditemukannya definisi integral

tentu. Oleh karena inilah integral tentu sering disebut integral Riemann. Wilson

Simangunson (1998: 5) integral didefinisikan dengan “misal F(x) adalah suatu

fungsi umum yang bersifat F’(x) = f(x) atau F(x) dapat didiferensialkan sehingga

F’(x) = f(x). Dalam hal demikian, maka F(x) dinamakan sebagai himpunan anti-

pendiferensialan (anti-turunan) atau himpunan pengintegralan dari fungsi F’(x)

= f(x)”

B. Integral tak Tentu

Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x yang ditulis dalam bentuk ∫ f(x) dx

dinamakan sebagai integral tak tentu dari fungsi f(x) tehadap x. integral tak tentu

dari fungsi f(x) terhadap x adalah sebagai fungsi umum yang ditentukan melalui

hubungan∫ ( ) ( ) .

Adapun rumus-rumus integral adalah sebagai berikut (Edwin J. Purcell,

Dale Dale Varberg, edisi 5 jilid 2: 505)

1. ∫ ∫ rumus integral ini disebut rumus integral parsial

2. ∫

3. ∫

4. ∫

5. ∫

6. ∫

7. ∫

8. ∫

9. ∫

10. ∫

11. ∫

12. ∫

13. ∫

14. ∫

15. ∫

16. ∫

√

17. ∫

18. ∫

|

|

19. ∫

√

|

|

C. Integral Tentu

Berbeda dengan integral tak tentu, integral tentu memiliki batas-batas

integral, yaitu ∫ ( )

(dibaca: integral f(x) dari a ke b). a disebut batas

bawah dan b batas atas. Jika F’(x) = f(x), maka ∫ ( ) ( )-

( )

( )

Salah satu penggunaan integral tentu adalah untuk menghitung volume

benda putar. Dimana, menurut Wilson Simangunson (1998; 85) “benda putar

adalah suatu benda ruang yang diperoleh dari hasil pemutaran suatu daerah di

bidang datar terhadap garis tertentu (sumbu rotasi)”. Untuk memahami rumus

dan cara menghitung volume benda putar dari suatu daerah yang diputar

terhadap sumbu tertentu, simaklah uraian berikut.

1. Penggunaan Integral Tentu untuk Menghitung Volume Benda Putar

Perhatikan gambar di atas, misalkan D dibatasi oleh kurva y = f(x),

sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, sebagaimana diperlihatkan pada

gambar di atas. Jika daerah D diputar 360° mengelilingi sumbu X, maka

diperoleh suatu benda putar. Volume atau isi benda putar ini dapat

dirumuskan dengan menggunakan proses limit jumlah.

Mula-mula diambil elemen daerah persegi panjang dengan dan

tinggi y= f(x). jika persegi panjang itu diputar sejauh 360° mengelilingi

sumbu X, maka diperoleh elemen silinder lingkaran tegak dengan jari-jari y

= f(x) dan tinggi . Volume dari elemen silinder ini adalah

* ( )+ .

Dengan menggunakan proses limit suatu jumlah, volume benda putar

adalah:

∑

∑

∑ * ( )+

b x

y= f(x)

a0

y

D

Bentuk di atas jika ditulis dengan notasi integral akan menjadi

∫

∫ * ( )+

Begitu juga untuk daerah D yang dibatasi oleh kurva x = g(y), sumbu Y,

garis y = c, dan garis y = d, serta daerah D diputar mengelilingi sumbu Y.

Dengan cara yang sama dengan cara di atas, maka akan kita dapatkan

volume benda putar seluruhnya dirumuskan

∑

∑

∑ * ( )+

Dan jika bentuk limit jumlah di atas ditulis dengan menggunakan notasi

integral tentu akan menjadi sebagai berikut:

∫

∫ * ( )+

2. Penggunaan Integral Tentu untuk Menghitung Volume Benda Putar dari

Daerah Dua Kurva

Perhatikan gambar di bawah ini

Misalkan daerah R dibatasi oleh kurva y1 = f(x), kurva y2 = g(x), garis

x = a, dan garis x = b sebagaimana diperlihatkan pada gambar di atas. Jika

R diputar sejauh 360° mengelilingi sumbu X, maka akan diperoleh suatu

a b x0

yy= f(x)

y= g(x)

A B

D

R C

F

E

benda putar. Volume atau isi benda putar dapat dirumuskan dengan

menggunakan analisis sebagai berikut.

Misalkan V1 dan V2 masing-masing adalah volume benda putar. Jika

daerah ABDE dan daerah ABCF masing-masing diputar sejauh 360°

terhadap sumbu X. berdasarkan rumus volume benda putar di atas, volume

V1 dan V2 dirumuskan sebagai berikut.

∫ ( ) ∫

( )

Jika daerah FCDE diputar sejauh 360° terhadap sumbu X, maka volume

benda putar yang terjadi adalah selisih antara volume V1 dan V2.

∫ ( )

∫ ( )

∫* ( ) ( )+

Dengan demikian rumus integral tentu untuk volume benda putar dari

daerah antara dua kurva yang diputar terhadap sumbu X adalah

∫*

+

atau

∫* ( ) ( )+

Dengan cara yang sama akan kita peroleh rumus integral untuk mencari

volume daerah antara dua kurva dengan daerah R dibatasi oleh kurva x1 =

f(y), kurva x2 = g(y), garis y = c, dan garis y = d. Jika R diputar sejauh 360°

mengelilingi sumbu Y, maka akan diperoleh suatu benda putar. Sehingga

rumus volume benda putar yang didapat adalah sebagai berikut.

∫*

+

Atau

∫* ( ) ( )+

D. Membentuk Fungsi Kuadrat

Dalam matematika terdapat beberapa macam jenis persamaan, diantaranya

ada persamaan linier, persamaan geometri, persamaan parabola, persamaan

hiperbola, persamaan trigonometri, dan masih banyak persamaan-persamaan

garis atau kurva yang lainnya. Namun dalam hal ini yang sering kita gunakan

adalah persamaan kuadrat yang termasuk persamaan geometri,

Untuk menyusun persamaan persamaan kuadrat terdapat tiga rumus yang

dapat digunakan. Berikut adalah rumus untuk menyusun persamaan kuadrat

(Marwan, 2009: 20).

1. Menyusun fungsi kuadrat jika grafiknya memotong sumbu X di (x1,0) dan

(x2,0), serta melalui titik tertentu

Jika suatu grafik fungsi kuadrat y=ax2+bx+c memotong sumbu X di

titik (x1,0) dan (x2,0), maka x1 dan x2 disebut pembuat nol fungsi. Dengan

demikian, fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut

Y=a(x-x1)(x-x2)

Nilai a dapat ditentukan dengan mensubstitusikan nilai x dan y dari satu

titik lain yang diketahui ke dalam persamaan di atas.

2. Menyusun fungsi kuadrat jika grafiknya melalui titik puncak (xp,yp) dan

melalui sebuah titik tertentu.

Jika grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak (xp,yp), maka rumus

fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai berikut.

Y = a(x – xp)2 + yp

Nilai a dapat ditentukan dengan mensubstitusikan nilai x dan y dari titik

lain yang dilalui grafik ke dalam rumus tersebut.

3. Menyusun fungsi kuadrat jika grafiknya melalui tiga buah titik (x1,y1),

(x2,y2), dan (x3,y3)

Rumus kuadrat dapat dinyatakan sebagai berikut

Y = ax2 + bx +c

Nilai a dapat ditentukan dengan mensubstitusikan nilai x dan y dari titik

tersebut ke rumus di atas sedemikian sehingga diperoleh tiga buah

persamaan dengn tiga variabel dan melakukan operasi subtitusi dan

eliminasi pada persamaan-persamaan tersebut.

E. Menentukan volume botol

Untuk mentukan volume sebuah botol, terdapat beberapa langkah. Berikut

adalah langkah-langkah tersebut.

1. Gambar botol di atas kertas dengan cara menjiplaknya atau menggambar

dengan skala.

2. Tentukan sumbu X dan sumbu Y. Letakkan titik (0,0) pada perpotongan

sumbu simetri botol.

3. Tentukan potongan-potongan kurva yang dikira berbeda persamaan

4. Tentukan titik dan batas pada masing-masing kurva

5. Rumuskan masing-masing persamaan kurva

6. Gunakan rumus integral untuk menentukan volume benda putar yang

diperoleh dari masing-masing kurva

7. Jumlahkan seluruh volume dari kurva-kurva tersebut.

F. Contoh

1. Tentukan volume botol berikut, jika ukurannya dalam satu-satuan cm.

Jawab

a. Gambar botol di atas kertas

b. Tentukan sumbu X, sumbu Y dan titik pusat

Y

100

80

70

60

40

20

X -40 -20 0 20 40

c. Tentukan potongan-potongan kurva yang dikira berbeda persamaan

Y

100

80

70

60

40

20

X -40 -20 20 40

d. Tentukan titik dan batas pada masing-masing kurva

Y

100

80

70

60

40

20

X 0 20 40

Kurva I

melewati titik (0,10) dan (20,20), dibatasi oleh y = 0 dan y = 10

Kurva II

melewati titik (20,20) dan (20,40), dibatasi oleh y = 10 dan y =80

Kurva III

melewati titik (20,80) dan (0,90), dibatasi oleh y = 80 dan y = 90

III

I

II

I

III

II

e. Rumuskan masing-masing persamaan kurva

Kurva I

Anggap titik (20,10) adalah titik puncak, sehingga (xp,yp) = (20,10).

Untuk persamaan kuadrat yang diketahui titik puncak dan salah satu

titiknya yaitu (0,0) gunakan rumus kedua.

x = a(y – yp)2 + xp

Dengan (xp,yp) = (20,10),

x = a(y-10)2 + 20

(x,y) = (0,0)

0 = a(0-10)2 + 20

-100a = 20, maka a =

Sehingga persamaan kurva I adalah

x =

(y – 10)

2 +20

x =

y

2 +4y - 20 + 20

x =

x =

Kurva II

Kurva II adalah sebuah garis yang jika diperpanjang akan memotong

tegak lurus sumbu X di titik (20,0). Sehingga kurva ini adalah sebuah

garis dengan persamaan x = 20

X = 20

Kurva III

Anggap titik (20,80) adalah titik puncak, sehingga (xp,yp) = (20,80).

Untuk persamaan kuadrat yang diketahui titik puncak dan salah satu

titiknya yaitu (0,90) gunakan rumus kedua.

x = a(y –yp)2 + xp

Dengan (xp,yp) = (20,80),

x = a(y-80)2 +20

(x,y) = (0,90)

0 = a(90-80)2 +20

-100a = 20, maka a =

Sehingga persamaan kurva III adalah

x =

(y – 80)

2 +20

x =

(y

2 - 160y +6400) + 20

x =

y

2 + 32y -3000

x =

y

2 + 32y -3000

f. Gunakan rumus integral untuk menentukan volume benda putar yang

diperoleh dari masing-masing kurva

Volume kurva I

∫

∫ * ( )+

∫ (

)

∫ (

)

[

]

[

] ( )

Volume kurva II

∫

∫ * ( )+

∫ ( )

∫

, -

Volume kurva III

∫

∫ * ( )+

∫ (

)

∫ [

]

[

]

,

-

[

]

g. Jumlahkan seluruh volume dari kurva-kurva tersebut

Volume botol = volume kurva I + volume kurva II + volume kurva III

Kesimpulan

Dengan cara menentukan persamaan garis pelukis pada botol, kemudian

menggunakan rumus integral, kita dapat menentukan volume botol tersebut.

Sehingga tidak perlu mengukurnya dengan alat ukur. Dengan langkah-langkah

berikut

1. Gambar botol di atas kertas dengan cara menjiplaknya.

2. Tentukan sumbu X dan sumbu Y. Letakkan titik (0,0) pada perpotongan

sumbu simetri botol.

3. Tentukan potongan-potongan kurva yang dikira berbeda persamaan

4. Tentukan titik pada masing-masing kurva

5. Rumuskan masing-masing persamaan kurva

6. Gunakan rumus integral untuk menentukan volume benda putar yang

diperoleh dari masing-masing kurva

7. Jumlahkan seluruh volume dari kurva-kurva tersebut

Daftar Pustaka

Marwanto. 2009. Mathematics For Senior High School Year X. yudhistira

Simangunsong, Wilson. 1998. Soal dan Penyelesaian Matematika Dasar. Erlangga:

Jakarta

Purcell, J, Edwin. Dan Varberg, Dale. Edisi lima. Kalkulus dan Geometri Analitis

Jilid 2.