Bab 4-aplikasi-integral-tertentu

BAB IV

APLIKASI INTEGRAL TERTENTU

Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat

memahami penggunaan integral tertentu dalam masalah-masalah praktis.

Kompetensi Dasar

1. Mahasiswa dapat menentukan luas suatu luasan dengan menggunakan integral

tertentu.

2. Mahasiswa dapat menentukan volume benda putar dengan menggunakan

integral tertentu.

3. Mahasiswa dapat menentukan luas permukaan benda dengan menggunakan

integral tertentu.

4. Mahasiswa dapat menentukan panjang busur dengan menggunakan integral

tertentu.

Bab V dalam buku ini membahas aplikasi integral tertentu untuk: (1) luas

suatu luasan, (2) volume benda putar (3) luas permukaan, dan (4) menentukan

panjang busur.

5.1 Luas Suatu Luasan

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-107

a. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat.

Perhatikan gambar daerah rata dibawah ini

R

adalah

bidang datar yang dibatasi oleh grafik-grafik 0,,),( ==== ydanbxaxxfy

Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan R dinyatakan dengan

dxxfRAb

a∫= )()(

Jika luasan terletak dibawah sumbu X maka integral tertentu di atas bernilai

negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai

integral tersebut dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan

dalam bentuk

∫∫ =−=b

a

b

a

dxxfdxxfRA )()()(

Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-

langkah sebagai berikut :

a) Gambar daerah yang bersangkutan

b) Potong daerah menjadi jalur-jalur dan beri nomor pada satu jalur tertentu

c) Hampiri luas jalur tertentu tersebut dengan luas persegi panjang

d) Jumlahkan luas jalur-jalur pada daerah tersebut

e) Ambil limit dari jumlah diatas dengan lebar jalur menuju 0, maka diperoleh

integral tertentu.

Perhatikan contoh-contoh berikut:


1. Segitiga ABC terletak pada XOY, titik-titik sudutnya dinyatakan dalam

koordinat Cartesius. Titik A(0,0), B(3,0) dan C(3,7). Dengan menggunakan

integral tertentu tentukan luas segitiga ABC.

Persamaan garis AC dapat dinyatakan dengan rumus

Ac

Ac

A

A

xx

yy

xx

yy

−−=

−−

Diperoleh persamaan 03070

−−=

−−xy

37

73x

yatauxy ==

Sehingga luas yang dicari dinyatakan den dxxfRAb

a∫= )()(

5,1096

7

6

7

3

73

0

23

0

=

=

=⇔ ∫ xdx

x

2. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva 24 xy −= dan sumbu-sumbu

koordinat.

Jawab

3. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva 2yx = dan garis 4=x


y

x)0,0(A

)7,3(C

)0,3(B

x

y

Selanjutnya, perhatikan gambar luasan berikut ini :

Luasan R dibatasi oleh grafik-grafik

0,,),( ==== xdandycyygx .

Dengan integral tertentu luas luasan R yang berada disebelah kanan sumbu x

dinyatakan dalam bentuk dyygRAd

c∫= )()(

Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu x maka integral tertentu di atas

bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai

integral tersebut dimutlakkan, sehingga diperoleh:

∫∫ =−=d

c

d

c

dyygdxygRA )()()(

Perhatikan contoh-contoh berikut:

1. Segitiga ABC terletak pada XOY, titik-titik sudutnya dinyatakan dalam

koordinat Cartesius. Titik A(0,0), B(-3,0) dan C(-3,-7). Dengan menggunakan

integral tertentu tentukan luas segitiga ABC.

2. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva 24 xy −= dan sumbu-sumbu

koordinat.

3. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva 2yx = dan garis 4=x

b. Daerah antara 2 Kurva


Perhatikan kurva-kurva )(xfy = dan )(xgy = dengan )()( xgxf ≥ pada

selang [ ]ba, , seperti gambar berikut :

( ) xxgxfA ∆−≈∆ )()(

Sehingga luas luasannya dinyatakan dengan:

∫ −=b

a

dxxgxfRA ))()(()(

Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu x, jika luasannya disebelah

kanan sumbu y, maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan dengan

∫ −=d

c

dyygyfRA ))()(()(

Soal-soal

1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 22 −x dan

y = 42 2 −+ xx

2. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva y = x, y = 2x dan

y = 5 – x

3. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x dan y = -x + 6

4. Gambarlah daerah R yang dibatasi oleh kurva-kurva y = x + 6, y = x3 dan

2y + x = 0. Kemudian hitunglah luasnya.


4.2 Volume Benda Putar

a. Pemutaran mengelilingi sumbu X

b. Pemutaran mengelilingi sumbu Y

1. dyxVd

c∫= 2π

2. dyxxVd

c

)( 211

21∫ −=π


Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan

besar volume adalah hasilkali luas alas ( luas lingkaran ) dan tinggi tabung.

Volume dari benda putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas

alas dan tinggi. Bila luas alas dinyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar

adalah panjang selang [ a,b ] maka volume benda putar dapat dihitung

menggunakan integral tentu sebagai berikut :

dxxAVb

a∫= )(

Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah

diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode

yaitu metode cakram dan kulit tabung.

Metode Cakram

Misal daerah dibatasi oleh bxdanxyxfy ==== ,1,0),( diputar dengan sumbu

putar sumbu x. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan

memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga

cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [ ]ba, .

Misal pusat cakram ( )0,0x dan jari-jari ( )0xfr = . Maka luas cakram

dinyatakan :

( ) ( )02

0 xfxA π=

Oleh karena itu, volume benda putar :


( )∫=b

a

dxxfV 2)(π

Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan dydancyxygx ==== ,0),(

diputar mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :

( )∫=d

c

dyygV 2)(π

Bila daerah yang dibatasi oleh ( ) 0≥= xfy , ( ) )()(,0 xgxfxgy ≥≥= untuk

setiap [ ] bxdanaxbax ==∈ ,, diputar dengan sumbu putar sumbu X maka

volume:

( )∫ −=b

a

dxxgxfV )()( 22π

Bila daerah yang dibatasi oleh ( ) ( ) )()(,0,0 ygyfygxyfx ≥≥=≥= untuk

setiap [ ] dydancydcy ==∈ ,, diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka

volume :

( )∫ −=d

c

dyygyfV )()( 22π

Contoh :

1. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh : 2xy = dan

xy 82 = diputar mengelilingi

a. sumbu X.

b. sumbu Y

Jawab :

Kedua kurva berpotongan di titik ( 0,2 ) dan ( 2,4 ).

a. Pada selang [ ] 28,2,0 xx ≥ .

Volume benda diputar mengelilingi sumbu x dinyatakan oleh

( ) ( ) ππ5

488

2

0

222=

−= ∫ dxxxV


b. Pada selang [ ]8

,4,02y

y ≥

Volume benda diputar mengelilingi sumbu y dinyatakan oleh

( ) ππ5

48

8

2

0

222

=

−= ∫ dyy

yV

2. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva :

xyxy −=−= ,2 2 dan sumbuY bila diputar mengelilingi garis 2−=y

Jawab :

Kedua kurva berpotongan di ( )1,1− dan ( ).2,2 − Pada selang [ ]0,1−

berlaku xx −≥− 22 .

Jarak kurva xyxy −=−= ,2 2 terhadap sumbu putar (garis y = -2) dapat

dipandang sebagai jari-jari dari cakram, berturut-turut adalah ( )x−4 dan

( )x−2 .

Sehingga volume benda putarnya adalah:

( ) ( )( ) ππ5

3624

0

1

222 =−−−= ∫−

dxxxV

Metode Kulit Tabung

Metode kulit tabung sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume

benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan

metode cakram. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan

jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung

adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian

berikut.

Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut

1r dan 2r , tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :

( ) rrhhrrV ∆=−=∆ πππ 212


( ) rrrjarijarirataratarrr

dengan ∆=−−−=−

1212 ,,

2:

Bila daerah yang dibatasi oleh bxaxyxfy ==== ,,0),( diputar mengelilingi

sumbu Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari xrdanxr ∆=∆= dan

tinggi tabung )(xfh = Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah

( )dxxxfVb

a∫= π2

Misal daerah dibatasi oleh kurva

( ) ( ) [ ] bxdanaxbaxxgxfxgyxfy ==∈≥== ,,),()(,, diputar mengelilingi

sumbu Y. Maka volume benda putar

( ) dxxgxfxVb

a∫ −= )()(2π

Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan

dycyxyfx ==== ,,0),( diputar mengelilingi sumbu X, maka volume =

( ) dyyfyVd

c∫= )(2π

Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh

( ) ( ) [ ] dydancydandcyygyfygxyfx ==∈≥== ,,),()(,, diputar

mengelilingi sumbu X. Maka volume benda putar yang didapat dinyatakan

dengan

( ) dxygyfyVd

c∫ −= )()(2π

Contoh :

1. Hitung volume benda putar bila daerah yang terletak di kuadran pertama

dibawah parabola

Jawab 22 xy −= dan di atas parabola 2xy = diputar mengelilingi sumbu Y.


( )[ ] ππ =−−= ∫ dxxxxV1

0

2222

Bila kita gunakan metode cakram, maka daerah kita bagi menjadi dua bagian

yaitu : pada selang 10 ≤≤ y dibatasi yx −= 2 dan sumbu Y sedang pada

selang dibatasi 21 ≤≤ y

dan sumbu Y. Oleh karena itu volume =

( ) ( ) πππ =−+= ∫∫ dyydxyV22

1

1

0

22

2. Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh 21 xy −= ,

sumbu X dan sumbu Y bila diputar mengelilingi garis x = 1

Jawab

Misal di ambil sembarang nilai x pada daerah D maka didapatkan tinggi

benda pejal, ( )21 x− dan jari-jari ( jarak x terhadap sumbu putar / garis x =

1 ), ( 1 + x ). Oleh karena itu,

volume benda putar :

( )( ) ππ6

5112 2

0

1

=−+= ∫−

dxxxV

4.3 Luas Permukaan Benda Putar

4.4 Panjang Busur


Bab 4-aplikasi-integral-tertentu

Education

Transcript of Bab 4-aplikasi-integral-tertentu