Post on 24-May-2018
ANALISIS NUMERIK
Inter polasi
SPL simultan
AkarPersamaan Non linear
INTERPOLASI
Tujuan• Interpolasi berguna untuk menaksir harga-harga
tengah antara titik data yang sudah tepat.
• Interpolasi mempunyai orde atau derajat.
Macam Interpolasi
Interpolasi Beda Terbagi Newton
Interpolasi Lagrange
Interpolasi Spline
Interpolasi Beda Terbagi Newton
•Interpolasi Linier Derajat/orde 1 memerlukan 2 titik
x f(x)
1 4,5
2 7.6
3 9.8
4 11.2
Berapa f(x = 1,325) = ?
Memerlukan 2 titik awal :
x = 1
x = 2
•Interpolasi Kuadratik Derajat/orde 2 memerlukan 3 titik
x = 1 f(x = 1) = . . . .
x = 2 f(x = 2) = . . . .
x = 3 f(x = 3) = . . . .f (x = 1,325) = ?
Interpolasi Beda Terbagi Newton
• Interpolasi KubikDerajat/orde 3 memerlukan 4 titik
…
• Interpolasi derajat/orde ke-n memerlukan n+1 titik
• “Semakin tinggi orde yang digunakan untuk interpolasi hasilnya akan semakin baik (teliti).”
Interpolasi Beda Terbagi Newton
Interpolasi Linier • Cara: menghubungkan 2 titik dengan sebuah garis lurus
• Pendekatan formulasi interpolasi linier sama dengan persamaan garis lurus.
•Prosentase kesalahan pola interpolasi linier :
narnyaHarga_sebe
narnyaHarga_sebeganl_perhitunHarga_hasiε t
Interpolasi Linier
Contoh : Interpolasi Linier (1)
•Diketahui suatu nilai tabel distribusi ‘Student t’ sebagai berikut :
t5% = 2,015
t2,5% = 2,571
Berapa t4% = ?
• Penyelesaian
x0 = 5 f(x0) = 2,015
x1 = 2,5 f(x1) = 2,571
x = 4 f(x) = ?
Dilakukan pendekatan dengan orde 1 :
001
0101 xx
xx
xfxfxfxf
237,22374,2
5455,2
015,2571,2015,2
Contoh : Interpolasi Linier (1)
•Diketahui:
log 3 = 0,4771213
log 5 = 0,698700
•Harga sebenarnya:
log (4,5) = 0,6532125 (kalkulator).
•Harga yang dihitung dengan interpolasi:
log (4,5) = 0,6435078
%49,1%1006532125,0
6532125,06435078,0
t
Contoh : Interpolasi Linier (2)
• Pendekatan interpolasi dengan derajat 1, pada kenyataannya sama dengan mendekati suatu harga tertentu melalui garis lurus.
• Untuk memperbaiki kondisi tersebut dilakukan sebuah interpolasi dengan membuat garis yang menghubungkan titik yaitu melalui orde 2, orde 3, orde 4, dst, yang sering juga disebut interpolasi kuadratik, kubik, dst.
Interpolasi Linier
• Interpolasi orde 2 sering disebut sebagai interpolasi kuadratik, memerlukan 3 titik data.
•Bentuk polinomial orde ini adalah :
f2(x) = a0 + a1x + a2x2
dengan mengambil:
a0 = b0 – b1x0 + b2x0x1
a1 = b1 – b2x0 + b2x1
a2 = b2
Interpolasi Kuadratik
•Sehingga
f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1)
dengan
Pendekatan dengan
kelengkungan
Pendekatan dengan
garis linier
012
02
01
01
12
12
2
01
01
011
00
,,
,
xxxfxx
xx
xfxf
xx
xfxf
b
xxfxx
xfxfb
xfb
Interpolasi Kuadratik
Interpolasi Kubik
• f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) + b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)
dengan:
0123
03
0121233
012
02
01
01
12
12
02
01122
01
01
011
00
,,,],,[],,[
,,],[],[
,
xxxxfxx
xxxfxxxfb
xxxfxx
xx
xfxf
xx
xfxf
xx
xxfxxfb
xxfxx
xfxfb
xfb
Interpolasi Beda Terbagi Newton
•Secara umum:f1(x) = b0 + b1(x-x0)f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1)f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) +
b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)…fn(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) +
b3(x-x0)(x-x1)(x-x2) + … + bn(x-x1)(x-x2)…(x-xn-1)
Dengan:
•b0 = f(x0)
•b1 = f[x1, x0]
•b2 = f[x2, x1, x0]
…
•bn = f[xn, xn-1, xn-2, . . . ., x0]
Interpolasi Beda Terbagi Newton
Contoh : Interpolasi Beda Terbagi Newton
•Hitung nilai tabel distribusi ‘Student t’ pada derajat bebas dengan = 4%, jika diketahui:
t10% = 1,476 t2,5% = 2,571
t5% = 2,015 t1% = 3,365
dengan interpolasi Newton orde 2 dan orde 3!
Penyelesaian:Interpolasi Newton Orde 2: butuh 3 titik• x0 = 5 f(x0) = 2,015
x1 = 2,5 f(x1) = 2,571x2 = 1 f(x2) = 3,365
• b0 = f(x0) = 2,015
02
01
01
12
12
2xx
xx
xfxf
xx
xfxf
b
077,051
55,2
015,2571,2
5,21
571,2365,3
222,055,2
015,2571,2
01
011
xx
xfxfb
Contoh : Interpolasi Beda Terbagi Newton
•f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1)
= 2,015 + (-0,222) (4-5) +
0,077 (4-5)(4-2,5)
= 2,121
Contoh : Interpolasi Beda Terbagi Newton
Interpolasi Newton Orde 3: butuh 4 titik
• x0 = 5 f(x0) = 2,015
x1 = 2,5 f(x1) = 2,571
x2 = 1 f(x2) = 3,365
x3 = 10 f(x3) = 1,476
Contoh : Interpolasi Beda Terbagi Newton
• b0 = f(x0) = 2,015
b1 = -0,222 f[x1,x0]
b2 = 0,077 f[x2,x1,x0]
007,0
5
077,0043,0
510
077,05,210
5,21
571,2365,3
110
365,3476,1
3
b
Contoh : Interpolasi Beda Terbagi Newton
• f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) +
b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)
= 2,015 + (-0,222)(4-5) +
0,077 (4-5)(4-2,5) +
(-0,007)(4-5)(4-2,5)(4-1)
= 2,015 + 0,222 + 0,1155 + 0,0315
= 2,153
Contoh : Interpolasi Beda Terbagi Newton
Kesalahan Interpolasi Beda Terbagi Newton
•Rn = |f[xn+1,xn,xn-1,…,x0](x-x0)(x-x1)…(x-xn)|
•Menghitung R1
Perlu 3 titik (karena ada xn+1)
R1 = |f[x2,x1,x0](x-x0)(x-x1)|
•Menghitung R2
Perlu 4 titik sebagai harga awal
R2 = |f[x3,x2,x1,x0](x-x0)(x-x1)(x-x2)|
Contoh : Kesalahan Interpolasi Beda Terbagi Newton
•Berdasarkan contoh diatas:
R1 = |f[x2,x1,x0](x-x0)(x-x1)|
= |0.077 (4-5)(4-2.5)|
= 0.1155
R2 = |f[x3,x2,x1,x0](x-x0)(x-x1)(x-x2)|
= |-0.007 (4-5)(4-2.5)(4-1)|
= 0.0315
Interpolasi Lagrange
• Interpolasi Lagrange pada dasarnya dilakukan untuk menghindari perhitungan dari differensiasi terbagi hingga (Interpolasi Newton)
•Rumus:
dengan
n
iiin xfxLxf
0
.
n
ijj ji
j
ixx
xxxL
0
•Pendekatan orde ke-1
f1(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1)
10
10
xx
xxxL
01
01
xx
xxxL
101
00
10
11 xf
xx
xxxf
xx
xxxf
Interpolasi Lagrange
•Pendekatan orde ke-2
f2(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) + L2(x)f(x2)
20
2
10
1
200
xx
xx
xx
xxxL
ijni
21
2
01
0
211
xx
xx
xx
xxxL
ijni
12
1
02
0
222
xx
xx
xx
xxxL
ijni
212
1
02
01
21
2
01
00
20
2
10
12 xf
xx
xx
xx
xxxf
xx
xx
xx
xxxf
xx
xx
xx
xxxf
Interpolasi Lagrange
• Pendekatan orde ke-3
f3(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) + L2(x)f(x2) + L3(x)f(x3)
1
31
3
21
2
01
00
30
3
20
2
10
12 xf
xx
xx
xx
xx
xx
xxxf
xx
xx
xx
xx
xx
xxxf
323
2
13
1
03
02
32
3
12
1
02
0 xfxx
xx
xx
xx
xx
xxxf
xx
xx
xx
xx
xx
xx
Interpolasi Lagrange
Contoh : Interpolasi Lagrange
•Berapa nilai distribusi t pada = 4 %?
= 2,5 % x0 = 2,5 f(x0) = 2,571
= 5 % x1 = 5 f(x1) = 2,015
= 10 % x2 = 10 f(x2) = 1,476
•Penyelesaian
•Pendekatan orde ke-1
f1(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1)
101
00
10
11 xf
xx
xxxf
xx
xxxf
237,2
015,25,25
5,24571,2
55,2
54
Contoh : Interpolasi Lagrange
• Pendekatan orde ke-2
f2(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) + L2(x)f(x2)
212
1
02
01
21
2
01
00
20
2
10
12 xf
xx
xx
xx
xxxf
xx
xx
xx
xxxf
xx
xx
xx
xxxf
214,2
476,1510
54
5,210
5,24015,2
105
104
5,25
5,24571,2
105,2
104
55,2
54
Contoh : Interpolasi Lagrange
Interpolasi Spline
•Metode numeric yang dapat digunakan untuk pencarian interpolasi.
•Interpolasi spline merupakan polinom sepotong-potong.
Interpolasi Spline linear
-xi
Contoh :diberikan table berisi 5 himpunan data algoritma natural
• Cari nilai interpolasi saat x = [1.11 1.22 1.33 1.44 1.49]
i xi F(xi)
12345
1.11.21.31.41.5
0.09530,18230.26240.33650.4055
Penyelesaian:
x F(x)
1.111.221.331.441.49
0.1040.19830.28460.36410.3986
Interpolasi Spline kuadratik
Contoh :diberikan table berisi 5 himpunan data algoritma natural
• Cari nilai interpolasi saat x = [1.11 1.22 1.33 1.44 1.49]
i xi F(xi)
12345
1.11.21.31.41.5
0.09530,18230.26240.33650.4055
Penyelesaian :
• Persamaan 1 menghasilkan
1.21a1+1.1b1+c1=0.0953
1.44a2+1.2b2+c2=0.1823
1.69a3+1.3b3+c3=0.2624
1.961a4+1.4b4+c4=0.3365
• Persamaan 2 menghasilkan :
1.44a1+1.2b1+c1=0.1823
1.69a2+1.3b2+c2=0.2624
1.96a3+1.4b3+c3=0.3365
2.2a4+1.5b4+c4=0.4055
• Persamaan 3 menghasilkan
2.4a1+b1=2.4a2+b2
2.6a2+b2=2.6a3+b3
2.8a3+b3=2.8a4+b4
• Persamaan 4 Menghasilkan :
a1=0
x F(x)
1.111.221.331.441.49
0.1040.19940.28440.36550.3991
Polinom Newton
• Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek karena :• Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali interpolasi adalah
besar. Interpolasi untuk nilai x yang lain memerlukan jumlah komputasi yang sama karena tidak ada bagian komputasi sebelumnya yang dapat digunakan.
• Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan. Karena tidak ada hubungannya antara pn-1(x) dan pn(x) pada polinom Lagrange
• Polinom yang dibentuk sebelumnya dapat digunakan untuk membentuk polinom derajat yang lebih tinggi.
Polinom Newton
• Persamaan Polinom Linier
• Bentuk pers ini dapat ditulis :
• Yang dalam hal ini (1)
• Dan (2)
• Pers ini mrpk bentuk selish terbagi (divided-difference)
)()(
)()( 0
01
0101 xx
xx
yyyxp
)()( 0101 xxaaxp )( 000 xfya
)(
)()(
)(
)(
01
01
01
011
xx
xfxf
xx
yya
],[ 011 xxfa
Polinom Newton
• Polinom kuadratik
• Atau
• Dari pers ini menunjukkan bahwa p2(x) dapat dibentuk dari pers sebelumnya p1(x). Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2 untuk mendapatkan (3)
• Nilai a0 dan a1 pada pers 1 dan 2 dimasukkan pada pers 3
))(()()( 1020102 xxxxaxxaaxp
))(()()( 10212 xxxxaxpxp
))((
)()(
1202
021022
xxxx
xxaaxfa
12
01
01
02
02
2
)()()()(
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
a
Polinom Newton
•Dengan melakukan utak-atik aljabar, pers ini lebih disukai
02
0112
02
01
01
12
02
2
],[],[
)()()()(
xx
xxfxxf
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
a
Polinom Newton
• Jadi tahapan pembentukan polinom Newton :
)()()( 0101 xxaxpxp
)()( 0101 xxaaxp
))(()()( 1020102 xxxxaxxaaxp
))(()()( 10212 xxxxaxpxp
))()(()()( 210323 xxxxxxaxpxp
))()(())(()()( 21031020103 xxxxxxaxxxxaxxaaxp
Polinom Newton
• Nilai konstanta a0, a1, a2,…, an, merupakan nilai selisih terbagi , dg nilai
• Yang dalam hal ini ],,...,,[
],,[
],[
)(
011
0122
011
00
xxxxfa
xxxfa
xxfa
xfa
nnn
0
012111011
),,...,,[],...,,[],,...,,[
],[],[],,[
)()(],[
xx
xxxxfxxxfxxxxf
xx
xxfxxfxxxf
xx
xfxfxxf
n
nnnnnn
ki
kjji
kji
ji
ji
ji
Polinom Newton
•Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai :• Rekurens
• basis
•Atau dalam bentuk polinom yang lengkap sbb :
],,...,,[))...()(()()( 0111101 xxxxfxxxxxxxpxp nnnnn
)()( 00 xfxp
],,...,,[))...()((
],,[))((],[)()()(
011110
012100100
xxxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxxfxp
nnn
n
Contoh Soal :
• Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tiga dan empat yang menghampiri f(x)=cos(x) dalam range[0.0, 4] dan jarak antar titik adalah 1.0. Lalu taksirlah f(x) dengan x=2.5 dengan Polinom Newton derajat 3.
xi yi ST-1 ST-2 ST-3 ST-4
0.0 1 -0.4597 -0.2484 0.1466 -0.0147
1.0 0.5403 -0.9564 0.1913 0.0880
2.0 -0.4161 -0.5739 0.4551
3.0 -0.99 0.3363
4.0 -0.6536
Contoh Soal :
•Contoh cara menghitung nilai selisih terbagi pada tabel :
2484.002
4597.09564.0
)(
],[],[],,[
9564.012
5403.04161.0
)(
)()(],[
4597.001
15403.0
)(
)()(],[
02
0112012
12
1212
01
0101
xx
xxfxxfxxxf
xx
xfxfxxf
xx
xfxfxxf
Contoh Soal :
• Maka polinom Newton derajat 1,2 dan 3 dengan x0 = 0 sebagai titik pertama :
• Nilai sejati f(2.5) adalah• F(2.5) = cos(2.5)=-0.8011
)0.3)(0.2)(0.1)(0.0(0147.0)0.2)(0.1)(0.0(1466.0
)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(
)0.2)(0.1)(0.0(1466.0
)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(
)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(
)0.0(4597.00.1)()cos(
4
3
2
1
xxxxxxx
xxxxpx
xxx
xxxxpx
xxxxpx
xxpx
The end….