ANALISIS NUMERIK •Interpolasi berguna untuk menaksir harga-harga tengah antara titik data yang...

ANALISIS NUMERIK

Inter polasi

SPL simultan

AkarPersamaan Non linear

INTERPOLASI

Tujuan• Interpolasi berguna untuk menaksir harga-harga

tengah antara titik data yang sudah tepat.

• Interpolasi mempunyai orde atau derajat.

Macam Interpolasi

Interpolasi Beda Terbagi Newton

Interpolasi Lagrange

Interpolasi Spline


•Interpolasi Linier Derajat/orde 1 memerlukan 2 titik

x f(x)

1 4,5

2 7.6

3 9.8

4 11.2

Berapa f(x = 1,325) = ?

Memerlukan 2 titik awal :

x = 1

x = 2

•Interpolasi Kuadratik Derajat/orde 2 memerlukan 3 titik

x = 1 f(x = 1) = . . . .

x = 2 f(x = 2) = . . . .

x = 3 f(x = 3) = . . . .f (x = 1,325) = ?


• Interpolasi KubikDerajat/orde 3 memerlukan 4 titik

…

• Interpolasi derajat/orde ke-n memerlukan n+1 titik

• “Semakin tinggi orde yang digunakan untuk interpolasi hasilnya akan semakin baik (teliti).”


Interpolasi Linier • Cara: menghubungkan 2 titik dengan sebuah garis lurus

• Pendekatan formulasi interpolasi linier sama dengan persamaan garis lurus.

•Prosentase kesalahan pola interpolasi linier :

narnyaHarga_sebe

narnyaHarga_sebeganl_perhitunHarga_hasiε t

Interpolasi Linier

Contoh : Interpolasi Linier (1)

•Diketahui suatu nilai tabel distribusi ‘Student t’ sebagai berikut :

t5% = 2,015

t2,5% = 2,571

Berapa t4% = ?

• Penyelesaian

x0 = 5 f(x0) = 2,015

x1 = 2,5 f(x1) = 2,571

x = 4 f(x) = ?

Dilakukan pendekatan dengan orde 1 :

001

0101 xx

xx

xfxfxfxf

237,22374,2

5455,2

015,2571,2015,2


•Diketahui:

log 3 = 0,4771213

log 5 = 0,698700

•Harga sebenarnya:

log (4,5) = 0,6532125 (kalkulator).

•Harga yang dihitung dengan interpolasi:

log (4,5) = 0,6435078

%49,1%1006532125,0

6532125,06435078,0

t


• Pendekatan interpolasi dengan derajat 1, pada kenyataannya sama dengan mendekati suatu harga tertentu melalui garis lurus.

• Untuk memperbaiki kondisi tersebut dilakukan sebuah interpolasi dengan membuat garis yang menghubungkan titik yaitu melalui orde 2, orde 3, orde 4, dst, yang sering juga disebut interpolasi kuadratik, kubik, dst.

Interpolasi Linier

• Interpolasi orde 2 sering disebut sebagai interpolasi kuadratik, memerlukan 3 titik data.

•Bentuk polinomial orde ini adalah :

f2(x) = a0 + a1x + a2x2

dengan mengambil:

a0 = b0 – b1x0 + b2x0x1

a1 = b1 – b2x0 + b2x1

a2 = b2

Interpolasi Kuadratik

•Sehingga

f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1)

dengan

Pendekatan dengan

kelengkungan

Pendekatan dengan

garis linier

012

02

01

01

12

12

2

01

01

011

00

,,

,

xxxfxx

xx

xfxf

xx

xfxf

b

xxfxx

xfxfb

xfb

Interpolasi Kuadratik

Interpolasi Kubik

• f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) + b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)

dengan:

0123

03

0121233

012

02

01

01

12

12

02

01122

01

01

011

00

,,,],,[],,[

,,],[],[

,

xxxxfxx

xxxfxxxfb

xxxfxx

xx

xfxf

xx

xfxf

xx

xxfxxfb

xxfxx

xfxfb

xfb


•Secara umum:f1(x) = b0 + b1(x-x0)f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1)f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) +

b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)…fn(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) +

b3(x-x0)(x-x1)(x-x2) + … + bn(x-x1)(x-x2)…(x-xn-1)

Dengan:

•b0 = f(x0)

•b1 = f[x1, x0]

•b2 = f[x2, x1, x0]

…

•bn = f[xn, xn-1, xn-2, . . . ., x0]


Contoh : Interpolasi Beda Terbagi Newton

•Hitung nilai tabel distribusi ‘Student t’ pada derajat bebas dengan = 4%, jika diketahui:

t10% = 1,476 t2,5% = 2,571

t5% = 2,015 t1% = 3,365

dengan interpolasi Newton orde 2 dan orde 3!

Penyelesaian:Interpolasi Newton Orde 2: butuh 3 titik• x0 = 5 f(x0) = 2,015

x1 = 2,5 f(x1) = 2,571x2 = 1 f(x2) = 3,365

• b0 = f(x0) = 2,015

02

01

01

12

12

2xx

xx

xfxf

xx

xfxf

b

077,051

55,2

015,2571,2

5,21

571,2365,3

222,055,2

015,2571,2

01

011

xx

xfxfb


•f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1)

= 2,015 + (-0,222) (4-5) +

0,077 (4-5)(4-2,5)

= 2,121


Interpolasi Newton Orde 3: butuh 4 titik

• x0 = 5 f(x0) = 2,015

x1 = 2,5 f(x1) = 2,571

x2 = 1 f(x2) = 3,365

x3 = 10 f(x3) = 1,476


• b0 = f(x0) = 2,015

b1 = -0,222 f[x1,x0]

b2 = 0,077 f[x2,x1,x0]

007,0

5

077,0043,0

510

077,05,210

5,21

571,2365,3

110

365,3476,1

3

b


• f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) +

b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)

= 2,015 + (-0,222)(4-5) +

0,077 (4-5)(4-2,5) +

(-0,007)(4-5)(4-2,5)(4-1)

= 2,015 + 0,222 + 0,1155 + 0,0315

= 2,153


Kesalahan Interpolasi Beda Terbagi Newton

•Rn = |f[xn+1,xn,xn-1,…,x0](x-x0)(x-x1)…(x-xn)|

•Menghitung R1

Perlu 3 titik (karena ada xn+1)

R1 = |f[x2,x1,x0](x-x0)(x-x1)|

•Menghitung R2

Perlu 4 titik sebagai harga awal

R2 = |f[x3,x2,x1,x0](x-x0)(x-x1)(x-x2)|

Contoh : Kesalahan Interpolasi Beda Terbagi Newton

•Berdasarkan contoh diatas:

R1 = |f[x2,x1,x0](x-x0)(x-x1)|

= |0.077 (4-5)(4-2.5)|

= 0.1155

R2 = |f[x3,x2,x1,x0](x-x0)(x-x1)(x-x2)|

= |-0.007 (4-5)(4-2.5)(4-1)|

= 0.0315


• Interpolasi Lagrange pada dasarnya dilakukan untuk menghindari perhitungan dari differensiasi terbagi hingga (Interpolasi Newton)

•Rumus:

dengan

n

iiin xfxLxf

0

.

n

ijj ji

j

ixx

xxxL

0

•Pendekatan orde ke-1

f1(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1)

10

10

xx

xxxL

01

01

xx

xxxL

101

00

10

11 xf

xx

xxxf

xx

xxxf



f2(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) + L2(x)f(x2)

20

2

10

1

200

xx

xx

xx

xxxL

ijni

21

2

01

0

211

xx

xx

xx

xxxL

ijni

12

1

02

0

222

xx

xx

xx

xxxL

ijni

212

1

02

01

21

2

01

00

20

2

10

12 xf

xx

xx

xx

xxxf

xx

xx

xx

xxxf

xx

xx

xx

xxxf


• Pendekatan orde ke-3

f3(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) + L2(x)f(x2) + L3(x)f(x3)

1

31

3

21

2

01

00

30

3

20

2

10

12 xf

xx

xx

xx

xx

xx

xxxf

xx

xx

xx

xx

xx

xxxf

323

2

13

1

03

02

32

3

12

1

02

0 xfxx

xx

xx

xx

xx

xxxf

xx

xx

xx

xx

xx

xx


Contoh : Interpolasi Lagrange

•Berapa nilai distribusi t pada = 4 %?

= 2,5 % x0 = 2,5 f(x0) = 2,571

= 5 % x1 = 5 f(x1) = 2,015

= 10 % x2 = 10 f(x2) = 1,476

•Penyelesaian


f1(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1)

101

00

10

11 xf

xx

xxxf

xx

xxxf

237,2

015,25,25

5,24571,2

55,2

54


• Pendekatan orde ke-2

f2(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) + L2(x)f(x2)

212

1

02

01

21

2

01

00

20

2

10

12 xf

xx

xx

xx

xxxf

xx

xx

xx

xxxf

xx

xx

xx

xxxf

214,2

476,1510

54

5,210

5,24015,2

105

104

5,25

5,24571,2

105,2

104

55,2

54


Interpolasi Spline

•Metode numeric yang dapat digunakan untuk pencarian interpolasi.

•Interpolasi spline merupakan polinom sepotong-potong.

Interpolasi Spline linear

-xi

Contoh :diberikan table berisi 5 himpunan data algoritma natural

• Cari nilai interpolasi saat x = [1.11 1.22 1.33 1.44 1.49]

i xi F(xi)

12345

1.11.21.31.41.5

0.09530,18230.26240.33650.4055

Penyelesaian:

x F(x)

1.111.221.331.441.49

0.1040.19830.28460.36410.3986

Interpolasi Spline kuadratik

Contoh :diberikan table berisi 5 himpunan data algoritma natural

• Cari nilai interpolasi saat x = [1.11 1.22 1.33 1.44 1.49]

i xi F(xi)

12345

1.11.21.31.41.5

0.09530,18230.26240.33650.4055

Penyelesaian :

• Persamaan 1 menghasilkan

1.21a1+1.1b1+c1=0.0953

1.44a2+1.2b2+c2=0.1823

1.69a3+1.3b3+c3=0.2624

1.961a4+1.4b4+c4=0.3365

• Persamaan 2 menghasilkan :

1.44a1+1.2b1+c1=0.1823

1.69a2+1.3b2+c2=0.2624

1.96a3+1.4b3+c3=0.3365

2.2a4+1.5b4+c4=0.4055

• Persamaan 3 menghasilkan

2.4a1+b1=2.4a2+b2

2.6a2+b2=2.6a3+b3

2.8a3+b3=2.8a4+b4

• Persamaan 4 Menghasilkan :

a1=0

x F(x)

1.111.221.331.441.49

0.1040.19940.28440.36550.3991

Polinom Newton

• Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek karena :• Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali interpolasi adalah

besar. Interpolasi untuk nilai x yang lain memerlukan jumlah komputasi yang sama karena tidak ada bagian komputasi sebelumnya yang dapat digunakan.

• Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan. Karena tidak ada hubungannya antara pn-1(x) dan pn(x) pada polinom Lagrange

• Polinom yang dibentuk sebelumnya dapat digunakan untuk membentuk polinom derajat yang lebih tinggi.

Polinom Newton

• Persamaan Polinom Linier

• Bentuk pers ini dapat ditulis :

• Yang dalam hal ini (1)

• Dan (2)

• Pers ini mrpk bentuk selish terbagi (divided-difference)

)()(

)()( 0

01

0101 xx

xx

yyyxp

)()( 0101 xxaaxp )( 000 xfya

)(

)()(

)(

)(

01

01

01

011

xx

xfxf

xx

yya

],[ 011 xxfa

Polinom Newton

• Polinom kuadratik

• Atau

• Dari pers ini menunjukkan bahwa p2(x) dapat dibentuk dari pers sebelumnya p1(x). Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2 untuk mendapatkan (3)

• Nilai a0 dan a1 pada pers 1 dan 2 dimasukkan pada pers 3

))(()()( 1020102 xxxxaxxaaxp

))(()()( 10212 xxxxaxpxp

))((

)()(

1202

021022

xxxx

xxaaxfa

12

01

01

02

02

2

)()()()(

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

a

Polinom Newton

•Dengan melakukan utak-atik aljabar, pers ini lebih disukai

02

0112

02

01

01

12

02

2

],[],[

)()()()(

xx

xxfxxf

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

a

Polinom Newton

• Jadi tahapan pembentukan polinom Newton :

)()()( 0101 xxaxpxp

)()( 0101 xxaaxp

))(()()( 1020102 xxxxaxxaaxp

))(()()( 10212 xxxxaxpxp

))()(()()( 210323 xxxxxxaxpxp

))()(())(()()( 21031020103 xxxxxxaxxxxaxxaaxp

Polinom Newton

• Nilai konstanta a0, a1, a2,…, an, merupakan nilai selisih terbagi , dg nilai

• Yang dalam hal ini ],,...,,[

],,[

],[

)(

011

0122

011

00

xxxxfa

xxxfa

xxfa

xfa

nnn

0

012111011

),,...,,[],...,,[],,...,,[

],[],[],,[

)()(],[

xx

xxxxfxxxfxxxxf

xx

xxfxxfxxxf

xx

xfxfxxf

n

nnnnnn

ki

kjji

kji

ji

ji

ji

Polinom Newton

•Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai :• Rekurens

• basis

•Atau dalam bentuk polinom yang lengkap sbb :

],,...,,[))...()(()()( 0111101 xxxxfxxxxxxxpxp nnnnn

)()( 00 xfxp

],,...,,[))...()((

],,[))((],[)()()(

011110

012100100

xxxxfxxxxxx

xxxfxxxxxxfxxxfxp

nnn

n

Contoh Soal :

• Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tiga dan empat yang menghampiri f(x)=cos(x) dalam range[0.0, 4] dan jarak antar titik adalah 1.0. Lalu taksirlah f(x) dengan x=2.5 dengan Polinom Newton derajat 3.

xi yi ST-1 ST-2 ST-3 ST-4

0.0 1 -0.4597 -0.2484 0.1466 -0.0147

1.0 0.5403 -0.9564 0.1913 0.0880

2.0 -0.4161 -0.5739 0.4551

3.0 -0.99 0.3363

4.0 -0.6536

Contoh Soal :

•Contoh cara menghitung nilai selisih terbagi pada tabel :

2484.002

4597.09564.0

)(

],[],[],,[

9564.012

5403.04161.0

)(

)()(],[

4597.001

15403.0

)(

)()(],[

02

0112012

12

1212

01

0101

xx

xxfxxfxxxf

xx

xfxfxxf

xx

xfxfxxf

Contoh Soal :

• Maka polinom Newton derajat 1,2 dan 3 dengan x0 = 0 sebagai titik pertama :

• Nilai sejati f(2.5) adalah• F(2.5) = cos(2.5)=-0.8011

)0.3)(0.2)(0.1)(0.0(0147.0)0.2)(0.1)(0.0(1466.0

)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(

)0.2)(0.1)(0.0(1466.0

)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(

)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(

)0.0(4597.00.1)()cos(

4

3

2

1

xxxxxxx

xxxxpx

xxx

xxxxpx

xxxxpx

xxpx

The end….

ANALISIS NUMERIK •Interpolasi berguna untuk menaksir harga-harga tengah antara titik data yang...

Documents

Transcript of ANALISIS NUMERIK •Interpolasi berguna untuk menaksir harga-harga tengah antara titik data yang...