Amat Mudzakir Jefry Latu Handarko

INTERPOLASI KEBELAKANG Interpolasi adalah perkiraan suatu nilai tengah dari satu set nilai yang diketahui. Interpolasi dengan pengertian yang lebih luas merupakan upaya mendefinisikan suatu fungsi dekatan suatu fungsi analitik. Masalah umum interpolasi adalah menjabarkan data-data untuk fungsi dalam suatu fungsi dekatan. Untuk interpolasi ke belakang, yaitu mencari nilai fungsi sekitar ujung akhir segmen dilakukan perubahan susunan fungsi dekatan polinom () sebagai: = 0 + 1 + 2 1 +3 1 2 +4 1 2 3 +5 1 2 3 4 + + 1 1 (1) dan ditentukan koefisien-koefisien 0 , 1 , 3 , , sedemikian rupa sehingga = , 1 = 1 , , = dan seterusnya.

Mengganti nilai = dan dimasukkan ke persamaan (1), diperoleh 0 = . Bagi nilai = 1 ; 1 = 0 + 1 1 = + 1 1 , sehingga 1 1 1 = = Mengingat perbedaan horizontal, dan 2 = 0 + 1 2 + 2 2 2 1 = + 1

2 + 2 (2)() , sehingga

2 = 3 =

2 1 + 2 2 2 3 3! 3

=

2 2 2

, yang selanjutnya melalui prosedur serupa !

; 4 =

4 4! 4

; ; =

Mengganti koefisien 0 , 1 , 3 , , dalam persamaan (1): = + + 1 2 + 1 22 1 2 1 2 3 1 2 3 4 + 1 1

3 3! 3 4 + 4! 4 5 + 5! 5 + !

Merubah variabel untuk menyederhanakan rumusan (2): = + , atau = 1 2 1 ( )

,

dan diketahui 1 = ; 2 = 2 dan seterusnya, maka:

= =

=

+ 1 = + 1 + 2 = + 2 + 1

( 2 )

=

=

( ( 1))

=

= + 1

Masukkan harga-harga ini pada persamaan (2): P = + + 1 + 1 + 2 = + + 2 + 3 2 3! + 1 + 2 + + 3 + 4 + 4! + 1 + 2 ( + 1) + ! (3)

Rumus (3) dikenal sebagai rumusan Newton untuk interpolasi kebelakang. Rumusan Newton untuk interpolasi kebelakang menggunakan perbedaan horizontal, dan digunakan untuk mendapatkan nilai interpolasi suatu fungsi dekat sebelah kiri atau ekstrapolasi fungsi sebelah kanan . Berikut merupakan illustrasi interpolasi kebelakang. Yekstrapolasi

interpolasi

2

2

X

Contoh 1Hitung hampiran dari fungsi Bessel 0 () untuk = 1,72 berdasarkan empat nilai dalam tabel berikut, dengan memakai rumus interpolasi kebelakang! 3 2 1 0 1,7 1,8 1,9 2,0 0 ( ) 0,3979849 0,0579985 0,3399864 0,0581678 0,2818186 0,0579278 0,2238908 0,000240 0,0001693 0,0004093 1 2 3

Penyelesaian:Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, digunakan rumus berikut: P = + = 0 + 1 + + 1 + 1 + 2 2 + 3 2! 3!

Karena = 1,72 dan =

=

1,722,0 0,1

= 2,8 , maka,

J0 1,72 = 0,2238908 + 2,8 . 0,0579278+ 2,8 . 2,8 + 1 2,8 . 2,8 + 1 2,8 + 2 . 0,00024 + . 0,0004093 2! 3!

= 0,2238908 + 2,8 . 0,0579278+ 2,8 . 1,8 2,8 . 2,8 + 1 0,8 . 0,00024 + . 0,0004093 2! 3!

= 0,2238908 + 0,1621978 + 0,0006048 0,0002750 = 0,3864184 Jadi, diperoleh hampiran 0 () untuk = 1,72 adalah 0,3864184.

Contoh 2Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan. Data percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang dibutuhkan untuk menghentikan kendaraan. Kecepatan (mil/jam) 15 20 25 30 35 40 45 50 Jarak henti (feet) 15 21 35 46 65 90 111 148

Perkirakan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan kecepatan 33 mil/jam.

Penyelesaian: 7 6 5 4 15 20 25 30 ( ) 15 6 21 14 35 11 46 19 3 2 35 40 65 25 90 21 1 45 111 37 0 50 148 16 4 20 6 10 30 8 2 8 38 3 11 13 5 33 8 11 22 35 40 7 1 2 3 4 5 6 7

Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, digunakan rumus berikut: P = + + 1 + 1 + 2 = 0 + 1 + 2 + 3 2! 3! + 1 + 2 + 3 + 4 4! + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 5! + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 6! + 1 + 2 + 3 + 4 ( + 5)( + 6 + + 7 7!

Karena = 33 dan =

=

3350 5

= 3,4 , maka,2 . 16

33 = 148 + 3,4 . 37 ++

3,4 . 3,4 + 1

3,4 . 3,4 + 1 3,4 + 2 . 20 6 3,4 . 3,4 + 1 3,4 + 2 3,4 + 3 + . 30 24 3,4 . 3,4 + 1 3,4 + 2 3,4 + 3 (3,4 + 4) + . 38 120 3,4 . 3,4 + 1 3,4 + 2 3,4 + 3 3,4 + 4 3,4 + 5 + . 33 720+ 3,4 . 3,4 + 1 3,4 + 2 3,4 + 3 3,4 + 4 3,4 + 5 (3,4 + 6) . (7) 5040

= 148 125,8 + 65,28 38,08 + 5,712 + 0,868224 + 0,2010624 0,01584128

= 56,1654451 Jadi, jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan kecepatan 33 mil/jam adalah 56,1654451 feet.

ALGORITMA PROGRAM Algoritma program untuk interpolasi Newton kebelakang adalah sebagai berikut: a. Dapatkan argumen b. Inisialisasi: Sum = 1 = 1

c. Lakukan iterasi proses berikut ini untuk = 1 sampai 1: Product = 1 Untuk = 0 sampai 1 lakukan perhitungan Product = Product *+ +1

.

Lakukan penjumlahan Sum = sum + product * 1 d. Kembalikan nilai sum sebagai hasil perhitungan.

A. BAGAN ALIRNewton ( MULAI

Sum =Baca Jumlah data:

v to

to

Product = 1

Baca

to

product = product*

Baca

Sum = sum+product*Del

P =Newton (

Del

YaTulis hasil P TidakDel = Del - Del Del =

KEMBALI

SELESAI

KEMBALI

RUMUSAN PERBEDAAN TENGAH Apabila = adalah suatu fungsi dengan nilai-nilai: 0 untuk 0 1 2 . . 1 2 . . Apabila 0 , 1 , 2 , , merupakan satu set nilai dari sebarang fungsi = , maka: 0 = 1 0 1 = 2 1 2 = 3 2 = +1 , disebut perbedaan pertama fungsi = ()

Perbedaan derajat dua adalah perbedaan dari perbedaan pertama : 20 = 1 0 = 2 21 + 0 21 = 2 1 = 3 22 + 1 dst. Dengan cara serupa, perbedaan derajat ketiga: 30 = 21 20 = 3 + 32 + 31 0 31 = 22 21 = 4 + 33 + 32 1, dst. Untuk perbedaan derajat yang lebih tinggi, dapat disusun tabel-tabel menurut susunan perbedaan tengah.

Tabel 1. Perbedaan Tengah . . 2 1 0 1 . . . . 2 1 0 1 . . 2 3 4

2 1 0 1

2 2 2 1 2 0

3 2 3 1

4 2

Tabel 2. Rumus Perbedaan Tengah 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 0 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 2 3 4 5

2 21 + 0 3 22 + 1 4 23 + 2 5 24 + 3 6 25 + 4 7 26 + 5 8 27 + 6

3 32 + 31 0 4 33 + 32 1 5 34 + 33 2 6 35 + 34 3 7 36 + 35 4 8 37 + 36 7

4 43 + 62 41 + 0 5 44 + 63 42 + 1 6 45 + 64 43 + 2 7 46 + 65 44 + 3 8 47 + 66 45 + 4

5 54 + 103 102 + 51 0 6 55 + 104 103 + 52 1 7 56 + 105 104 + 53 2 8 57 + 106 105 + 54 3

Tabel 3. Contoh Perbedaan Tengah 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 4,5678 4,6789 0,2111 4,8900 0,319 5,0219 0,2137 5,2356 0,858 5,3214 0,1353 5,4567 0,0495 0,1279 0,1774 0,0818 0,2097 0,3871 0,0792 0,161 0,3707 0,7578 1 0,1111 0,1000 0,1792 0,3402 0,7109 1,4687 2 3 4 5 6

Rumusan perbedaan tengah ini digunakan untuk

menghitung: 1. Interpolasi kedepan 2. Interpolasi Stirling 3. Interpolasi Bessel 4. Interpolasi Invers

TERIMA KASIH