Post on 01-Jul-2015
Nama Kelompok1. Agus Wibowo
(3200916007)2. Gusti Juliandy
(3200916025)3. Rio Pratomo
(3200916018)4. Joice Siahaan
(3200916044)
MENENTUKAN DETERMINAN DAN CRAMER
TUGAS MID SEMESTER
POLITEKNIK NEGERI PONTIANAK
Jurusan : Teknik Elektro
Prodi : Teknik Informatika
ALGORTIMA UNTUK MENENTUKAN DETERMINAN DARI MATRIK DENGAN DIMENSI m x n
DeterminanDeterminan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.
Sebagai contoh, kita ambil matriks A2x2
A = tentukan determinan Auntuk mencari determinan matrik A maka,detA = ad - bc
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
MATRIK A= a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
Sebagai contoh
PERUBAHAN MATRIK A DARI 4 X 4 MENJADI 3X3
a11 a12 a11 a13 a11 a14
a21 a22 a21 a23 a21 a24
a11 a12 a11 a13 a11 a14
a31 a32 a31 a33 a31 a34
a11 a12 a11 a13 a11 a14
a41 a42 a41 a43 a41 a44
Cara menghitungnya(1)
• '- looping baris dimulai dari nilai awal = 2• '- looping kolom dimulai dari nilai awal = 2 • '- satu kali looping baris di ikuti dengan tiga kali looping
kolom• '- jumlah looping adalah sama dengan jumlah dimensi.
jika kita misalkan untuk looping baris adalah j maka j = 2 to dimensijika kita misalkan untuk looping kolom adalah k maka k = 2 to dimensimaka di dapat for j = 2 to dimensi do
for k = 2 to dimensi do....a(j,k)....end
End
perhitungan baris 1
C11 =(a11 x a22)-(a12 x a21)
C12 =(a11 x a23)-(a13 x a21)
C13 =(a11 x a24)-(a14 x a21)perhitungan baris
2
C21 =(a11 x a32)-(a12 x a31)
C22 =(a11 x a33)-(a13 x a31)
C23 =(a11 x a34)-(a14 x a31)perhitungan baris
3
C31 =(a11 x a42)-(a12 x a41)
C32 =(a11 x a43)-(a13 x a41)
C33 =(a11 x a44)-(a14 x a41)
perhatikan nilai a11 tetap untuk seluruh perhitungan dari dimensi 4 x 4 ke 3 x 3di dapatlah
untuk nilai yang berwarna merah
Cara menghitungnya(2)
for j = 2 to dimensi dofor k = 2 to dimensi do....a(1,k)....end
end
perhitungan baris 1
C11 =(a11 x a22)-(a12 x a21)
C12 =(a11 x a23)-(a13 x a21)
C13 =(a11 x a24)-(a14 x a21)perhitungan baris
2
C21 =(a11 x a32)-(a12 x a31)
C22 =(a11 x a33)-(a13 x a31)
C23 =(a11 x a34)-(a14 x a31)perhitungan baris
3
C31 =(a11 x a42)-(a12 x a41)
C32 =(a11 x a43)-(a13 x a41)
C33 =(a11 x a44)-(a14 x a41)
untuk nilai yang berwarna biru
'- dari rumus terlihat bahwa baris adalah tetap yaitu 1'- untuk kolom perubahan yang erjadi adalah sama dengan kolom pada warna merah sehingga
di dapat
Cara menghitungnya(3)
for j = 2 to dimensi dofor k = 2 to dimensi do....a(j,1)....end
End
sehingga secara lengkap dari algoritma reduksi matrik adalah
for j = 2 to dimensi dofor k = 2 to dimensi doabaru = a(1,1) x a(j,k) - a(1,k) x a( j,1)end
end
perhitungan baris 1
C11 =(a11 x a22)-(a12 x a21)
C12 =(a11 x a23)-(a13 x a21)
C13 =(a11 x a24)-(a14 x a21)perhitungan baris
2
C21 =(a11 x a32)-(a12 x a31)
C22 =(a11 x a33)-(a13 x a31)
C23 =(a11 x a34)-(a14 x a31)perhitungan baris
3
C31 =(a11 x a42)-(a12 x a41)
C32 =(a11 x a43)-(a13 x a41)
C33 =(a11 x a44)-(a14 x a41)
untuk nilai yang berwarna hijau
'- terlihat bahwa kolom adalah tetap 1'- sedangkan baris sama dengan baris yang berwarna merah sehingga di dapat
perhitungan baris 1
C11 =(.....x a22)-(.....x....)
C12 =(......x a23)-(.....x .....)
C13 =(.... x a24)-(....x .....)
j=2 ; k = 2
j=2 ; k = 3
j=2 ; k = 4untuk nilai kolom dari
AC..1 k-1
C..2 k-1
C..3 k-1
Untuk nilai baris dari C
C1.. j-1
C1.. j-1
C1.. j-2
perhitungan baris 2
C21 =(..... x a32)-(..... x .....)
C22 =(..... x ......)-(.... X......)
C23 =(..... x a34)-(..... X......)
j=3 ; k = 2
j=3 ; k = 3
j=3 ; k = 4
C..1 k-1
C..2 k-1
C..3 k-1
untuk nilai kolom dari A
C2.. j-1
C2.. j-1
C2.. j-2
Untuk nilai baris dari C
perhitungan baris 3
C31 =(......x a42)-(......x......)
c32 =(.......x a43)-(..... X.....)
C33 =(....... x a44)-(.....x .....)
j=4 ; k = 2
j=4 ; k = 3
j=4 ; k = 4C..1 k-1
C..2 k-1
C..3 k-1
C3.. j-1
C3.. j-1
C3.. j-1
untuk nilai kolom dari A
Untuk nilai baris dari C
LISTING PROGRAM
dimensi:=dimensi-1;
konstanta:=konstanta*pangkatI(1/c[1,1],dimensi-2);
for g := 1 to dimensi do
for h := 1 to dimensi do
begin
a[g,h]:=c[g,h];
end;
until dimensi=2;
determinan:=(a[1,1]*a[2,2]-a[1,2]*a[2,1])*konstanta;
konstanta:=pangkatI(1/a[1,1],dimensi-2);
repeat
for j:= 2 to dimensi do
begin
for k:= 2 to dimensi do
begin
c[j-1,K-1]:=a[1,1]*a[j,k]-a[1,k]*a[j,1];
end;
end;
Metode Cramer
jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik
dimana A j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik b
Aturan Cramer
Salah satu metode untuk menentukan solusi dari persamaan linier adalah dengan
menggunakan metode cramer.
Untuk mempermudah memahami metode cramer perhatikan contoh berikut a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = y1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = y2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = y3
persamaan di atas dapat di ubah dalam bentuk matrik sebagai berikut :
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
x1
x2
x3
y1
y2
y3
tahap pertama dari metode cramer adalah :
menentukan determinan dari matrik A
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33=
det a
yang bersesuaian dengan nilai x dan setelah itu mencari determinan dari matrik baru tersebut
nilai dari x diperoleh dengan membagi determinan dari matrik baru dengan determinan dari matrik A
tahap kedua dari metode cramer adalah mengganti setiap kolom dari matrik a dengan matrik y
sehingga di peroleh
x1
=
y1 a12 a13
y2 a22 a23
y3 a32 a33
det a
x2
=
a11 y1 a13
a21 y2 a23
a31 y3 a33
det a
=x3
a11 a12 y1
a21 a22 y2
a31 a32 y3
det a
algortima dari metode cramer adalah sebagai berikut :
Dari pola yang muncul terlihat bahwa satu kali kolom ( yang berwarna hitam ) terjadi perubahan baris sebanyak dimensi ( yang berwarna merah )sehingga dapat kita tulis dalam bentuk looping adalah sebagai berikut :
for kolom = 1 to dimensi dofor baris = 1 to dimensi doa[baris,kolom]:= y[baris]end;
end;
penggantian kolom 1 dengan nilai matrik Y
a11 = y1a21 = y2a31 = y3
penggantian kolom 2 dengan nilai matrik Y
a12 = y1a22 = y2a32 = y3
penggantian kolom 3 dengan nilai matrik Y
a13 = y1a23 = y2a33 = y3