METODE MATRIK

download METODE  MATRIK

of 83

  • date post

    26-Feb-2018
  • Category

    Documents

  • view

    528
  • download

    47

Embed Size (px)

Transcript of METODE MATRIK

  • 7/25/2019 METODE MATRIK

    1/83

    DIDAPAT DARI DOSEN UNIVERSITAS GUNADARMA

    SULARDI., ST., MT.

    METODE MATRIK

    APLIKASI METODE MATRIK

    UNTUK ANALISA STRUKTUR BALOK

    1. PENGERTIAN UMUMMetode matrik adalah suatu pemikiran baru pada analisa struktur, yang berkembang

    bersamaan dengan populernya penggunaan computer otomatis untuk operasi perhitungan

    aritmatika.

    Hal utama dalam analisa untuk menenentukan baik itu deformasi ataupun stress pada

    struktur, ialah sampai jauh mana sudah diketahui sifat karakteristik hubungan gaya dan

    deformasi dari elemen-elemen struktur, dan memaksakan terpenuhinya syarat-syarat

    kompatibiliti dan kesetimbangan, ada tiga hal yang mendasari analisis ini, yaitu :

    1. kesetimbangan

    2. hubungan stress dan strain, atau gaya dalam dan deformasi

    3. kompatibiliti,atau kontinuitas dari deformasi

    dalam analisis matrik dikenal ada dua cara :

    1. metode kekakuan (stiffness method, atau displacement method )

    2. metode fleksibilitas (flexibility method, atau force method)

    1. 1 METODE KEKAKUAN

    engan metode kekakuan ini sebenarnya dicari hubungan gaya dengan lendutan,

    dinyatakan secara matematis :

    { } [ ]{ }DKQ = !1.1"

  • 7/25/2019 METODE MATRIK

    2/83

    dimana :

    { }Q # gaya yang timbul pada titik-titik diskrit akibat adanya lendutan.

    { }D # lendutan pada titik-titik diskrit

    [ ]K # menyatakan kekakuan dari struktur

    metode kekakuan ini juga disebut metode lendutan (displacement method), karena analisa

    dimulai dengan $ lendutan% sehingga dengan demikian urutan kerjanya secara garis besar

    adalah sebagai berikut :

    1. kompabiliti& yaitu mencari hubungan antara deformasi dengan lendutan, atau

    secara tegasnya mencari deformasi apa yang terjadi pada elemen-elemen

    dititik-titik diskrit akibat diberikannya lendutan pada struktur dititik-titik

    tersebut.

    2. persamaan hubungan stress dan strain, yaitu mencari hubungan mengenai

    gaya-gaya dalam yang timbul sebagai akibat adanya deformasi pada elemen-

    elemen pada struktur tersebut.

    3. kesetimbangan, langkah terakhir yang menyatakan hubungan gaya luar dititik

    diskrit dengan gaya-gaya dalam atau mencari berapa besar gaya luar di ujung

    elemen-elemen yang tepat diimbangi oleh gaya-gaya dalam elemen titik-titik

    diskrit.

    Metode kekakuan ialah suatu cara untuk analisa struktur dimana dalam proses

    perumusan dari analisanya diambil lendutan di titik-titik diskrit sebagai besaraan $anu%

    yang hendak dicari.dalam proses menganalisa akan mengenal beberapa matri' yang

    penting sebagai berikut :

    1. matrik deformasi [ ]A suatu matyrik yang menyatakan hubungan

    kompatibiliti atau hubungan deformasi dan lendutan :

    { } [ ]{ }DAd = !1.2"

    dimana :

    { }d # menyatakan deformasi dari elemen struktur

    [ ]A # adalah matrik deformasi

    [ ]D # menyatakan lendutan ditik diskrit

  • 7/25/2019 METODE MATRIK

    3/83

    2. matrik kekokohan internen [ ]S , suatu matri' yang memenuhi hokum hooke

    dalam mana dinyatakan hubungan antara gaya dan deformasi :

    { } [ ]{ }dS = !1.3"

    dimana :

    { } # menyatakan gaya dalam elemen

    [ ]S # adalah matri' kekokohan intern elemen

    { }d # menyatan deformasi elemen

    3. matri' satis [ ]! , suatu matri' yang menyatakan kesetimbangan antara gaya

    luar dan gaya dalam :

    { }Q # [ ]{ }! !1.("

    dimana :

    { }Q # menytakan gaya luar yang bekerja dititik diskrit

    [ ]! # matri' statis

    { } # gaya dalam elemen

    Maka ketiga matri' di atas digabungkan, maka akan didapatkan hubungan :

    { } [ ]{ }{ } [ ][ ]{ }{ } [ ][ ] [ ]{ }( ){ } [ ][ ][ ]{ }

    { } [ ]{ }DKQDAS!Q

    dAS!Q

    dS!Q

    !Q

    =

    =

    =

    =

    =

    ").1!

    "*.1!

    "+.1!

    ",.1!

    "-.1!

    ersamaan !1.)" merupakan persamaan inti dari metode kekakuan ini, dimana [ ]K

    adalah matri' kekakuan struktur, dengan pengertian :

  • 7/25/2019 METODE MATRIK

    4/83

    [ ] [ ][ ][ ]AS!K = !1.1/"

    0adi salah satu tujuan terminal yang penting adalah proses analisa ini ialah dapat

    menurunkan matrik kekakuan struktur [ ]K menurut persamaan !1.1/". elanjutnya akan

    mudah dicapai tujuan akhir, yaitu analisa lendutan dan gaya dalam elemen.

    1.2 DERAJAT KETIDAKTENTUAN KINEMATIS

    ntuk analisa ini akan dimulai dengan mengambil lendutan di titik-titik diskrit sebagai

    sasaran yanmg harus dihitung.

    ntuk mengetahui dimana harus $dipasang% besaran lendutan yang akan dicari tersebut,

    maka harus diketahui dahulu beberapa derajat ketidak tentuan kinematis atau istilah

    lainnya derajat kebebasan (de"ree of freedom)dari struktur.erajat ketidak-tentuan kinematis ialah suatu besaran yang menytakan jumlah komponen

    bebas dari lendutan dititik diskrit yang mungkin terjadiyang berhubungan dengan

    diberikannya suatu pembebanan pada struktur. i baah ini diberikan beberapa macam

    struktur bidang yang akan ditujukkan berapa derajat ketidak-tentuan kinematisnya.

  • 7/25/2019 METODE MATRIK

    5/83

  • 7/25/2019 METODE MATRIK

    6/83

    4ambar 1.1 derajat ketidak-tentuan kinematis dari struktur ditunjukkan oleh banyaknya

    5ector lendutan yang mungkin terjadi di titik bebas, dimana arah 5ector pada gambar

    menunjukkan arah 5ector yang positif.

  • 7/25/2019 METODE MATRIK

    7/83

    1.! DASAR PER"ITUNGAN

    alam pasal ini, akan dijelaskan secara mendetail urut-urutan analisa dari suatu

    konstruksi bidang !dua dimensi" dengan berdasarkan pada metode kekakuan.

    ekarang terlihat satu konstruksi seperti seperti ditunjukkan pada gambar 2.!a"

    selanjutnya akan diikuti urutan dari proses analisa.

    !a" gambar konstruksi statis tak tentu

    !b" derajat ketidak-tentuan kinematis : 3

    !c" diagram gaya luar eki5alen Q yang koresponding dengan lendutan

    sebagai pengganti darisistem pembebanan pada gambar !a"

    !d" truktur dasar yang merupakan struktur yang dikekang

  • 7/25/2019 METODE MATRIK

    8/83

    !e" diberikan 1D # 1 satuan

    !f" diberikan 2D #1 satuan

    !g" diberikan 3D #1 satuan

    !h" diagram H-d, dimana { } merupakan reaksi elemen yang dikekang

    terhadap diberikannya deformasi.

    !i" diagram kesetimbangan

    4ambar 1. 2 6nalisa balok di atas beberapa perletakan.

  • 7/25/2019 METODE MATRIK

    9/83

    7onstruksi ini ialah balok menerus di atas empat perletakan, satu jepit dan tiga sendi,

    merupakan suatu konstruksi dengan derajat ketidak-tentuan kinematis sebesar 3 !gambar

    2.b"

    8angkah pertama ialah menyelidiki kompatibilitas dari struktur, dengan jalan

    memberikan berturut-turut lendutan 1,1 21 == DD dan 13 =D !gambar 2.e, 2.f, dan 2.g".

    Mudah dapat kita lihat, baha :

    /1

    3,

    2-(

    132

    =

    =

    ==

    ==

    d

    Dd

    Ddd

    Ddd

    atau disusun secara sistematis :

    3

    2-

    2(

    13

    12

    1 /

    Dd

    Dd

    Dd

    Dd

    Dd

    d

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    bila dinyatakan dalam hubungan matri' :

    =

    3

    2

    1

    ,

    -

    (

    3

    2

    1

    1//

    /1/

    /1/

    //1

    //1/1/

    D

    D

    D

    d

    d

    d

    d

    d

    d

    !1.11"

    atau

    { } [ ]{ }DAd = !1.12"

  • 7/25/2019 METODE MATRIK

    10/83

    { }

    111

    1//

    /1/

    /1/

    //1

    //1

    ///

    321

    -

    (

    3

    3

    2

    1

    ===

    =

    DDD

    d

    d

    d

    d

    d

    d

    A!1.13"

    8angkah keduaialah menyelidiki hubungan gaya dalam dan deformasi dengan melihat

    tiap-tiap elemen sebagai bagian yang diskrit, seperti pada gambar 2.h.

    ari sifat elastis elemen, didapatkan hubungan :

    1

    12

    1

    112

    1

    12

    1

    111

    3

    1

    ,

    1

    ,

    1

    3

    1

    #$

    %

    #$

    %d

    #$

    %

    #$

    %d

    +=

    =

    !1.1("

    dimana :

    1d # menyatakan deformasi yang terjadi di ujung elemen

    # menyatakan gaya dalam yang ada di ujung elemen, dalam hal ini

    momen lentur

    sebenarnya pers.! 1.1( " ini sudah bukan hal yang asing lagi karena sudah sering dijumpai

    dalam analisa struktur dengan metode perputaran sudut !sloop deflection method".

    9ila pers. ! 1.1( " diin5erskan, akan didapat :

    2

    1

    11

    1

    11

    2(d

    %

    #$d

    %

    #$ +=

    2

    1

    11

    1

    12

    (2d

    %

    #$d

    %

    #$ += , !1.1"

    6nalog dengan pers !!1.1", akan didapatkan :

    (

    2

    23

    2

    13

    2(

    d%

    #$

    d%

    #$

    += !1.1"

    (

    2

    23

    2

    2(

    (2d

    %

    #$d

    %

    #$ +=

    ,

    3

    3-

    3

    3-

    2(d

    %

    #$d

    %

    #$ +=

  • 7/25/2019 METODE MATRIK

    11/83

    ,

    3

    3-

    3

    3,

    (2d

    %

    #$d

    %

    #$ += !1.1+"

    9ila hubungan ini dinyatakan dalam bentuk matri', maka :

    =

    ,

    -

    (

    3

    2

    1

    3

    3

    3

    3

    3

    3

    3

    3

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    ,

    -

    (

    3

    2

    1

    (2////

    2(

    ////

    //(2

    //

    //2(

    //

    ////(2

    ////2(

    d