METODE MATRIK

7/25/2019 METODE MATRIK

1/83

DIDAPAT DARI DOSEN UNIVERSITAS GUNADARMA

SULARDI., ST., MT.

METODE MATRIK

APLIKASI METODE MATRIK

UNTUK ANALISA STRUKTUR BALOK

1. PENGERTIAN UMUMMetode matrik adalah suatu pemikiran baru pada analisa struktur, yang berkembang

bersamaan dengan populernya penggunaan computer otomatis untuk operasi perhitungan

aritmatika.

Hal utama dalam analisa untuk menenentukan baik itu deformasi ataupun stress pada

struktur, ialah sampai jauh mana sudah diketahui sifat karakteristik hubungan gaya dan

deformasi dari elemen-elemen struktur, dan memaksakan terpenuhinya syarat-syarat

kompatibiliti dan kesetimbangan, ada tiga hal yang mendasari analisis ini, yaitu :

1. kesetimbangan

2. hubungan stress dan strain, atau gaya dalam dan deformasi

3. kompatibiliti,atau kontinuitas dari deformasi

dalam analisis matrik dikenal ada dua cara :

1. metode kekakuan (stiffness method, atau displacement method )

2. metode fleksibilitas (flexibility method, atau force method)

1. 1 METODE KEKAKUAN

engan metode kekakuan ini sebenarnya dicari hubungan gaya dengan lendutan,

dinyatakan secara matematis :

{ } [ ]{ }DKQ = !1.1"


2/83

dimana :

{ }Q # gaya yang timbul pada titik-titik diskrit akibat adanya lendutan.

{ }D # lendutan pada titik-titik diskrit

[ ]K # menyatakan kekakuan dari struktur

metode kekakuan ini juga disebut metode lendutan (displacement method), karena analisa

dimulai dengan $ lendutan% sehingga dengan demikian urutan kerjanya secara garis besar

adalah sebagai berikut :

1. kompabiliti& yaitu mencari hubungan antara deformasi dengan lendutan, atau

secara tegasnya mencari deformasi apa yang terjadi pada elemen-elemen

dititik-titik diskrit akibat diberikannya lendutan pada struktur dititik-titik

tersebut.

2. persamaan hubungan stress dan strain, yaitu mencari hubungan mengenai

gaya-gaya dalam yang timbul sebagai akibat adanya deformasi pada elemen-

elemen pada struktur tersebut.

3. kesetimbangan, langkah terakhir yang menyatakan hubungan gaya luar dititik

diskrit dengan gaya-gaya dalam atau mencari berapa besar gaya luar di ujung

elemen-elemen yang tepat diimbangi oleh gaya-gaya dalam elemen titik-titik

diskrit.

Metode kekakuan ialah suatu cara untuk analisa struktur dimana dalam proses

perumusan dari analisanya diambil lendutan di titik-titik diskrit sebagai besaraan $anu%

yang hendak dicari.dalam proses menganalisa akan mengenal beberapa matri' yang

penting sebagai berikut :

1. matrik deformasi [ ]A suatu matyrik yang menyatakan hubungan

kompatibiliti atau hubungan deformasi dan lendutan :

{ } [ ]{ }DAd = !1.2"

dimana :

{ }d # menyatakan deformasi dari elemen struktur

[ ]A # adalah matrik deformasi

[ ]D # menyatakan lendutan ditik diskrit


3/83

2. matrik kekokohan internen [ ]S , suatu matri' yang memenuhi hokum hooke

dalam mana dinyatakan hubungan antara gaya dan deformasi :

{ } [ ]{ }dS = !1.3"

dimana :

{ } # menyatakan gaya dalam elemen

[ ]S # adalah matri' kekokohan intern elemen

{ }d # menyatan deformasi elemen

3. matri' satis [ ]! , suatu matri' yang menyatakan kesetimbangan antara gaya

luar dan gaya dalam :

{ }Q # [ ]{ }! !1.("

dimana :

{ }Q # menytakan gaya luar yang bekerja dititik diskrit

[ ]! # matri' statis

{ } # gaya dalam elemen

Maka ketiga matri' di atas digabungkan, maka akan didapatkan hubungan :

{ } [ ]{ }{ } [ ][ ]{ }{ } [ ][ ] [ ]{ }( ){ } [ ][ ][ ]{ }

{ } [ ]{ }DKQDAS!Q

dAS!Q

dS!Q

!Q

=

=

=

=

=

").1!

"*.1!

"+.1!

",.1!

"-.1!

ersamaan !1.)" merupakan persamaan inti dari metode kekakuan ini, dimana [ ]K

adalah matri' kekakuan struktur, dengan pengertian :


4/83

[ ] [ ][ ][ ]AS!K = !1.1/"

0adi salah satu tujuan terminal yang penting adalah proses analisa ini ialah dapat

menurunkan matrik kekakuan struktur [ ]K menurut persamaan !1.1/". elanjutnya akan

mudah dicapai tujuan akhir, yaitu analisa lendutan dan gaya dalam elemen.

1.2 DERAJAT KETIDAKTENTUAN KINEMATIS

ntuk analisa ini akan dimulai dengan mengambil lendutan di titik-titik diskrit sebagai

sasaran yanmg harus dihitung.

ntuk mengetahui dimana harus $dipasang% besaran lendutan yang akan dicari tersebut,

maka harus diketahui dahulu beberapa derajat ketidak tentuan kinematis atau istilah

lainnya derajat kebebasan (de"ree of freedom)dari struktur.erajat ketidak-tentuan kinematis ialah suatu besaran yang menytakan jumlah komponen

bebas dari lendutan dititik diskrit yang mungkin terjadiyang berhubungan dengan

diberikannya suatu pembebanan pada struktur. i baah ini diberikan beberapa macam

struktur bidang yang akan ditujukkan berapa derajat ketidak-tentuan kinematisnya.


5/83


6/83

4ambar 1.1 derajat ketidak-tentuan kinematis dari struktur ditunjukkan oleh banyaknya

5ector lendutan yang mungkin terjadi di titik bebas, dimana arah 5ector pada gambar

menunjukkan arah 5ector yang positif.


7/83

1.! DASAR PER"ITUNGAN

alam pasal ini, akan dijelaskan secara mendetail urut-urutan analisa dari suatu

konstruksi bidang !dua dimensi" dengan berdasarkan pada metode kekakuan.

ekarang terlihat satu konstruksi seperti seperti ditunjukkan pada gambar 2.!a"

selanjutnya akan diikuti urutan dari proses analisa.

!a" gambar konstruksi statis tak tentu

!b" derajat ketidak-tentuan kinematis : 3

!c" diagram gaya luar eki5alen Q yang koresponding dengan lendutan

sebagai pengganti darisistem pembebanan pada gambar !a"

!d" truktur dasar yang merupakan struktur yang dikekang


8/83

!e" diberikan 1D # 1 satuan

!f" diberikan 2D #1 satuan

!g" diberikan 3D #1 satuan

!h" diagram H-d, dimana { } merupakan reaksi elemen yang dikekang

terhadap diberikannya deformasi.

!i" diagram kesetimbangan

4ambar 1. 2 6nalisa balok di atas beberapa perletakan.


9/83

7onstruksi ini ialah balok menerus di atas empat perletakan, satu jepit dan tiga sendi,

merupakan suatu konstruksi dengan derajat ketidak-tentuan kinematis sebesar 3 !gambar

2.b"

8angkah pertama ialah menyelidiki kompatibilitas dari struktur, dengan jalan

memberikan berturut-turut lendutan 1,1 21 == DD dan 13 =D !gambar 2.e, 2.f, dan 2.g".

Mudah dapat kita lihat, baha :

/1

3,

2-(

132

=

=

==

==

d

Dd

Ddd

Ddd

atau disusun secara sistematis :

3

2-

2(

13

12

1 /

Dd

Dd

Dd

Dd

Dd

d

=

=

=

=

=

=

bila dinyatakan dalam hubungan matri' :

=

3

2

1

,

-

(

3

2

1

1//

/1/

/1/

//1

//1/1/

D

D

D

d

d

d

d

d

d

!1.11"

atau

{ } [ ]{ }DAd = !1.12"


10/83

{ }

111

1//

/1/

/1/

//1

//1

///

321

-

(

3

3

2

1

===

=

DDD

d

d

d

d

d

d

A!1.13"

8angkah keduaialah menyelidiki hubungan gaya dalam dan deformasi dengan melihat

tiap-tiap elemen sebagai bagian yang diskrit, seperti pada gambar 2.h.

ari sifat elastis elemen, didapatkan hubungan :

1

12

1

112

1

12

1

111

3

1

,

1

,

1

3

1

#$

%

#$

%d

#$

%

#$

%d

+=

=

!1.1("

dimana :

1d # menyatakan deformasi yang terjadi di ujung elemen

# menyatakan gaya dalam yang ada di ujung elemen, dalam hal ini

momen lentur

sebenarnya pers.! 1.1( " ini sudah bukan hal yang asing lagi karena sudah sering dijumpai

dalam analisa struktur dengan metode perputaran sudut !sloop deflection method".

9ila pers. ! 1.1( " diin5erskan, akan didapat :

2

1

11

1

11

2(d

%

#$d

%

#$ +=

2

1

11

1

12

(2d

%

#$d

%

#$ += , !1.1"

6nalog dengan pers !!1.1", akan didapatkan :

(

2

23

2

13

2(

d%

#$

d%

#$

+= !1.1"

(

2

23

2

2(

(2d

%

#$d

%

#$ +=

,

3

3-

3

3-

2(d

%

#$d

%

#$ +=


11/83

,

3

3-

3

3,

(2d

%

#$d

%

#$ += !1.1+"

9ila hubungan ini dinyatakan dalam bentuk matri', maka :

=

,

-

(

3

2

1

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

,

-

(

3

2

1

(2////

2(

////

//(2

//

//2(

//

////(2

////2(

d

d

d

d

d

d

%

#$

%

#$

%

#$

%

#$

%

#$

%

#$

%

#$

%

#$

%

#$

%

#$

%

#$

%

#$

atau :

{ } [ ]{ }dS = !1.1*"

dimana matri' [ ]S merupakan band matri' :

[ ]S #

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

(2////

2(////

//(2

//

//2(

//

////(2

////

2(

%

#$

%

#$%

#$

%

#$

%

#$

%

#$

%

#$

%

#$

%

#$

%

#$

%

#$

%

#$

,

-

(

3

2

1

,-(321dddddd

!1.1)"


12/83

0adi sebenarnya matri' [ ]S ialah suatu matri' yang menyatakan berapa besar gaya dalam

[ ] yang timbul diujung elemen bila di titik-titik tersebut diberikan satu satuan

deformasi { }d .

8angkah ketiga adalah menyelidiki tentang kesetimbangan gaya luar dan gaya dalam :

Melihat gambar

,3

-(2

-21

Q

Q

Q

=

+=

+=

!1.2/"

9ila dinyatakan secara matrik :

=

,

-

(

3

2

1

3

2

1

1/////

/11///

///11/

Q

Q

Q

!1.21"

atau :

{ } [ ]{ }!Q = !1.22"

dimana :

[ ] =!

-(321

3

2

1

1/////

/11///

///11/

Q

Q

Q

!1.23"

atu hubungan terminal, adalah mendapatkan hubungan :

{ } [ ]{ }DKQ = !1.2("

dimana menurut persamaan !1.1/" dapat dinyatakan :

[ ] [ ][ ]{ }AS!K = !1.2"

untuk mendapatkan lendutan, maka persamaan ! 1.2( " dapat diin5erskan sebagai :

{ } [ ] { }QKD 1= !1.2"

dimana :


13/83

{ }Q # menyatakan gaya-gaya luar yang bekerja di titik-titik diskrit.

{ }=D menyatakan lendutan di titik bersangkutan yang berkoresponding dengan

gaya { }Q .

ari persamaan ! 1.13" dan ! 1.23", ternyata didapatkan :

[ ] [ ]&A! = !1.2"

persamaan ! 1.2"" ini dapat dibuktikan dengan prinsip kerja 5irtual.

a. gaya luar 5irtual

b. lendutan aktuil

4amabar 1.3 konstruksi balok menerus pada mana dikerjakan gaya 5irtual.

Misalnya pada konstruksi yang sedang dibahas tersebut dikerjakan gaya 5irtual Q

gambar !1.3a " sehingga timbul gaya dalam pada elemennya, maka dari prinsip kerja

5irtuil akan didapatkan hubungan !yang dinyatakan dalam perkalian matri'".

{ } { } { } { }dDQ && = !1.2+"

dengan melihat :


14/83

{ } [ ]{ }

{ } [ ]{ }

{ } { } [ ]&&& !Q

!Q

DAd

=

=

=

"3/.1!

"2).1!"2*.1!

maka persamaan ! " bisa ditulis &

{ } [ ] { } { } [ ]{ }DAD! &&& = !1.31"

9ila disederhanakan, akan memberikan :

[ ] [ ]

[ ] [ ]&

&

A!

A!

=

=

"33.1!

"32.1!

engan demikian persamaan ! 1.33", bisa ditulis :

[ ] [ ] [ ][ ]ASAK &= !1.3("

engan demikian persamaan ! 1.1/" telah dipermudahkan, yaitu untuk menurunkan

matri' kekakuan [ ]K , cukup hanya menurunkan dua matrik penbentuknya, yaitu matri'

deformasi [ ]A dan matri' kekokohan intern elemen [ ]S .

ntuk menghitung gaya dalam digunakan hubungan :

[ ] [ ]{ }dS = !1.3"

atau { } [ ][ ]{ }DAS = !1.3"

dimana :

{ }D # matrik lendutan dititik diskrit yang diperoleh perhitungan

berdasarkan persamaan ! 1.2".

!.# APLIKASI

!.#.1 KONSTRUKSI BALOK MENERUS

selanjutnya akan diberikan beberapa contoh pemakaian metode kekakuan ini pada analisa

struktur.


15/83

ontoh 3.1

ibaah ini akan dibahas secara singkat analisa dengan metode kekakuan dengan derajat

ketidak-tentuan kinematik tingkat 1.

!a" konstruksi yang akan dianalisa

!b" konstruksi dasar yang dikekang

!c" mopmen primer (fixed'end moment)

Momen primer :m("))

m("))

*!!*

!AA!

.32//(.//.12

1

.-///.//.12

1

2

2

===

===

!d" derajat ketidak-pastian kinematis : 1

// kg;m6

9


16/83

!e" gaya luar eki5alen dititik diskrit yang koresponding dengan lendutan 1D .

".!32//-///1 m("Q =

!f" diberikan 11 =D satuan

!g" diagram H - d

!h" diagram kesetimbangan

4ambar 1.( balok diatas tiga tumpuan


17/83

Melihat gambar 1.( !f", dengan mudah akan didapatkan :

[ ]

1

1

(

3

2

1

/

1

1

/

=

=

D

d

d

d

d

A

gari gambar 1.( !g" :

[ ]

(321

*

(

*

2//

*

2

*

(//

//1/

(

1/

2

//1/

2

1/

(

dddd

#$#$

#$#$

#$#$

#$#$

S

=


18/83

[ ]

=

-./2-.///

2-./-.///

//(./2./

//2./(./

S

dari persamaan !1.3(" :

[ ] [ ] [ ][ ]ASAK &=

# { }/11/

-./2-.///

2-./-.///

//(./2./

//2./(./

#$

/

1

1

/

# { }2-./-./(./2./ #$

/

1

1

/

[ ] [ ]

[ ]

=

=

#$K

#$K

)./

1

)./

1

engan mengubah gaya < menjadi gaya titik eki5alen di ujung elemen !gambar 1.(.c dan

e" dan dengan melihat persamaan !1.2" :

{ } [ ] { }

[ ] { }

#$D

#$D

QKD

2///

1*//)./

1

1

1

1

=

=

=

dari persamaan !1.3" :

{ } [ ][ ]{ }DAS =

{ }

=

-./2-.///2-./-.///

//(./2./

//2./(./

#$

#$ 2///.

/1

1

/

# 2///.

2-./

-./

(./

2./


19/83

=

-//

1///

*//

(//

(

3

2

1

m("

m("

m("

m("

.-//

.1///

.*//

.(//

(

3

2

1

=

=

=

=

4ambar 1. istribusi gaya dalam

hasil yang ditunjukkan oleh gambar 1. ialah menytakan besarnya momen lentur !dalam

hal ini sebagai momen batang, bukan sebagai momen titik" yang didistribusikan ke

batang elemen 69 dan 9 sesuai dengan kekakuan masing-masing . jadi gaya dalam

{ } yang didapat dari hasil perhitungan ini bukan merupakan memen lentur yang

sebenarnya bekerja.

Momen lentur yang sebenarnya bekerja bisa diperoleh dengan mengurangi gaya dalam

{ } dengan momen primer elemen struktur.

m(")

m(")

m(")

m(")

*

!*

!A

A

.2+//"32//!-//

.(2//"32//!1///

.(2//"-///!*//

.-(//"-///!(//

=++=

+=+=

=++=

+=+=

enting untuk dicatat pula di sini, baha hasil momen akhir ini juga menyatakan momen

batang bukan momen titik.

ontoh 1.2


20/83

ebagai contoh kedua akan dibahas suatau konstruksi kinematis tertentu seperti pada

gambar 1. !a".

!a" konstruksi yang akan dianalisa dengan beban Q

!b" struktur dasar yang dikekang

!c" derajat ketidak-tentuan kinematis : 2

!d" diberikan 1D # 1 satuan

!e" diberikan 2D # 1 satuan


21/83

!f" diagram H-d

!g" diagram kesetimbangan

4ambar 1. balok di atas 2 tumpuan

8angkah pertama yang dilakukan ialah menganggap konstruksi ini terdiri atas dua elemen

diskrit. 6 dan 9 ! gambar 3. b". titik segai titik diskrit mempunyai dua derajat

kebebasan, yaitu translasi dan rotasi.

Melihat gambar 3., akan didapat hubungan-hubungan sebagai berikut :


22/83

[ ]

12

1

(

3

2

1

/(

1

1(

1

1

,

1

/,

1

==

=

DD

d

d

d

d

A

=

,

-

(

3

2

1

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

,

-

(

3

2

1

(2////

2(////

//(2//

//2(

//

////(2

////2(

d

d

d

d

d

d

%

#$

%

#$

%

#$

%

#$

%#$

%#$

%

#$

%

#$

%

#$

%

#$

%

#$

%

#$


23/83

[ ]

=

(

(

(

2//

(

2

(

(//

//,

(

,

2

//,

2

,

(

#$S { } [ ]{ }dS =

(321

(

3

2

1

12

1//

2

11//

//

3

2

3

1

//3

1

3

2

= #$

selanjutnya dihitung matri' kekakuan [ ]K :

[ ] [ ] [ ][ ]ASAK &=


24/83

#

12

1//

2

11//

//3

2

3

1

//3

1

3

2

/11/

(

1

(

1

,

1

,

1

/(

1

1(

1

1,

1

/,

1

=>

# #$

/(

1

1(

1

1,

1

/,

1

2

11

3

2

3

1*

3

*

3

,

1

,

1

[ ] #$K

=

+.12/*3./

2/*3./2(3/./

[ ]

=

2(3/./2/*3./

2/*3./+.1

31+./

11

#$K

=

#$

#$

D

D

*).-+-

*-.(,/+

2

1

selanjutnya akan bisa dihitung gaya dalam :

{ } [ ][ ]{ }DAS =

# =>

12

1//

211//

//3

2

3

1

//3

1

3

2

/(

1

1(1

1,

1

/,

1

#$

#$

*).-+-

*-.(,/+


25/83

# =>

2

1

*

3

1*

33

2

,

13

1

,

1

#$

#$*).-+-

*-.(,/+

=

1((/

11-2

11-2

),/

(

3

2

1

4ambar 1.+ istribusi gaya dalam

Maka didapatkan hasil analisa &

m("))

m(")m(")

*!*A

!

A

.11-2

.1((/.)/

==

==

9ila dibandingka hasil ini dengan rumus yang sudah diketahui :

m(")

m(")

!

A

.1((/1/

(.,.1///

.),/1/

(.,.1///

2

2

2

2

==

==

?ernyata hasilnya sama

ontoh 1.3

ada contoh soal selanjutnya ini, akan diperlihatkan bagaimana proses analisa bila

konstruksi pada contoh 1.2 dikombinasikan dengan suatu perletakan elastis di titik .


26/83

!a" konstruksi yang akan dianalisa, dengan satu perletakan elastis dimana k # /. =>

!b" derajat ketidak-tentuan kinematsi : 2


27/83

!c" deberikan 1D # 1 satuan

!d" gaya eki5alen dititik diskrit yang koresponding dengan lendutan 1D

!e" penyederhanaan dari gambar !d"

4ambar 1.* konstruksi balok menerus di atas perletakan elastis.


28/83

ersoalan pada contoh ini sebenarnya sama dengan contoh 1.2, karena memunyai elemen

batang yang sama dengan derajat kebebasan yang sama pula . maka proses analisa tidal

akan mendetail dibahas lagi disini, dan langsung akan matrik kekakuan :

[ ] #$K

= +.12/*3./

2/*3./2(3/./

[ ]

=

2(3/./2/*3./

2/*3./+.1

31+./

11

#$K

roses selanjutnya akan terlihat adanya perbedaan dengan analisa contoh soal yang lalu,

yaitu dalam menetapklan 5ector gaya yang bekerja, yang disamping ditentukan oleh gaya

luar yang dikethui ,1///("Q= juga dipengaruhi oleh gaya pegas 1(D .

{ } [ ] { }QKD 1=

=

2

1

D

D

2(3/./2/*3./

2/*3./+.1

31+./

1

#$

/

"1///! 1(D

=1

D#$31+./

1"1///!+.1. 1(D

11

11

3/(.2(/*

"-./1///!31+./

+.1

D#$

D

#$D#$

D

=

=

#$D

#$D

+.13)(

(/*3/(.3

1

1

=

=

""+.13)(

-./1///!2/*3./!31+./

12

#$#$

#$D +=

#$D

3.1+(2 =

berdasarkan hasil lendutan 1D dan 2D yang didapat, bisa dihitung gaya dalam yang

timbul pada elemen struktur.


29/83

{ } #=>

2

1

*

3

1*

33

2

,

13

1

,

1

#$

#$3.1+(

+.13)(

=

).(3-

+.3*(

+.3(*

-.2)/

(

3

2

1

engan demikian didapatkan hasil analisa :

m(")

m(")

m(")

m(")

!

*!

*A

A

.).(3-

.+.3(*

.+.3(*

.-.2)/

=

=

=

=

1.! KONSTRUKSI PORTAL BIDANG TANPA PENGGO$ANGAN PADA MANA

DI%ORMASI AKSIAL DIABAIKAN

alam hal ini akan dibahas analisa dari konstruksi portal bidang. iketahui dua

macam konstruksi portal bidang , yaitu portal tanpa penggoyangan dan portal dengan

penggoyangan, seperti ditunjukkan oleh gambar 1.2.

alam pasal ini akan dicoba dibahas analisa portal bidang tanpa pergoyangan,

dimana deformasi aksial dari elemen-elemennya diabaikan.

!a" ortal tanpa penggoyangan.


30/83

!b" portal menerus tanpa pergoyangan

!c" portal dengan penggoyangan

4ambar 1.2 konstruksi portal dengan titik hubung kaku

ontoh 1.1

alam pasal ini akan dibahas analisa portal bidang tanpa pergoyangan, dimana deformasi

aksial dari elemen-elemennmya diabaikan.


31/83

!a" portal bidang yang akan dianalisa, dengan bentuk konstruksi dan system pembebanan

yang simetris

! b" struiktur dasar yang dikekang

Momen primer :

m(")A! .2**-

2.3.,//2

2

==

=!A) m(".(32-

2.3.//2

2

+=


32/83

m("))*!!* .,2--.3//.

12

1 2 ===

m(")) !A*D .(32==

m("))A!*D

.2**+==

!c" Momen primer

!d" derajat ketidak-pastian kinematis : 2


33/83

!e" gaya eki5alen dititik yang koresponding dengan lendutan

m("Q

m("Q

.1)3(322-

.1)32-(32

2

1

==

==

!f" diberikan #1 satuan


34/83

!g" diberikan 2D # 1 satuan

!h" iagram H-d

!i " diagram kesetimbangan

4ambar 1.3 ortal simetris


35/83

engan memperhatikan gambar 1.3 akan didapatkan :

[ ]

11

//

1/

1/

/1

/1

//

21

,

-

(

3

2

1

=

=

=

DD

d

d

d

d

d

d

A

[ ]

=

-

(

-

2////

-

2

-

(////

//-

"2!(

-

"2!2//

//-

"2!2

-

"2!(//

////-

(

-

2

////-

2

-

(

#$S

#-

2#$

-

(

3

2

1

21////

12////

//(2//

//2(//

////21

////12

-(321

engan demikian :

[ ] [ ] [ ][ ]ASAK &=


36/83

#

/11///

///11/

-

2#$

21////

12////

//(2//

//2(//

////21

////12

//

1/

1/

/1

/1

//

#-

2#$

12(2//

//2(21

//

1/

1/

/1

/1

//

[ ]K #-

2#$

2

2

engan mengubah gaya-gaya luar menjadi gaya eki5alen terpusat di ujung

elemen atau di titik-titik diskrit ! 1. 3.c dan e ", dan dengan melihat persamaan :

{ } [ ] { }QKD 1=

(3,

1.

2

-

2

1

=

#$D

D

1)3

1)3

2

2

#

1-((

1-((

(

-

#$

2

1

D

D#

#$

#$

*

),-*

),-

0adi putaran sudut dititik 9 dan ialah sebesar :

#$DD

*

),-21

==

ari persamaan ! 1.3"

{ } [ ][ ]{ }DAS =


37/83

##$2

-

21////

12////

//(2//

//2(//

////21

////12

//

1/

1/

/1

/1

//

+

#$

#$

*

),-*

),-

#

(

1)3(

1)3

1/

2/

(2

2(

/2

/1

,

-

(

3

2

1

#

2-.(*

-.)

-.)

-.)

-.)

2-.(*

Melihat momen primernya pada gambar !1.3.c", maka akan didapat :

m(")

m(")

m(")m(")

m(")

m(")

D

*D

*!

!*

!A

A!

.+-.23)"2**!2-.(*

.-/.-2*"(32!-/.)

.-/.-2*"2-!-/.)

.-/.-2*"2-!-/.)

.-/.-2*"(32!-/.)

.+-.23)"2**!2-.(*

=++=

+=+=

=++=+==

=+=

+==

ontoh 1.2 :

Momer .primer


38/83

ekarang akan dibahas analisa portal pada gambar !1.(" di baah ini :

!a" ortal yang dianalisa

!b" truktur dasar yang dikekang

Momen primer :m(")

#D

.*//2.(// ==

m(")) +##+ .12-/-.*//.12

1 2 ===

m(")) *++* .12-/-.//.12

1 2 ===


39/83

m(")) !++! .-//(.1///.*

1 ===

!c" Momen primer

!d" erajat ketidak-tentuan kinematsi : 2 !deformasi aksial diabaikan"


40/83

!e" 4aya eki5alen @ dititik diskrit yang koresponding dengan lendutan

!f" iberikan 1D # 1 satuan

!g" iberikan 2D # 1 satuan


41/83

!h" iagram H-d

4ambar 1.( ortal menerus tanpa penggoyangan

imulai dengan menghitung matrik [ ]A dan [ ]S

[ ]

11

//

1/

//

1/

1/

/1

/1

//

21

*

+

,

-

(

3

2

1

=

=

=

DD

d

d

d

d

d

d

d

d

A


42/83

[ ]

=

-

"2!(

-

"2!2//////

-

"2!2

-

"2!(//////

//((

(2////

//(

2

(

(////

////-

"2!(

-

"2!2//

////-

"2!2

-

"2!(//

//////-

(

-

2

//////-

2

-

(

#$S

#

*

+

-(

3

2

1

1**//////

*1//////

//-1/////

//-1/////////*1//

////*1//

//////*(

//////(*

1/

#$

Matrik kekakuan struktur dapat dihitung berdasarkan persamaan :

[ ] [ ] [ ][ ]ASAK &=


43/83

#

/1/11///

/////11/

1/

#$

1**//////

*1//////

//-1/////

//-1/////

////*1//

////*1//

//////*(

//////(*

//

1/

//

1/

1/

/1

/1

//

#

*1-1/1*//

////*1*(

1/

#$

//

1/

//

1/

1/

/1

/1

//

[ ] =K1/

#$

(2*

*2(

=1K1/

#$

)((

1x

2(*

*(2

#

12((21

23-#$

=

2

1

D

D

12(

(21

23

-

#$

-//

(-/


44/83

=

2

1

D

D

#$23

-

(2//

+(-/

#$D

#$D

2321///

23

3+2-/

2

1

=

=

{ } [ ][ ]{ }DAS =

#1/

#$

1**//////

*1//////

//-1/////

//-1/////

////*1//

////*1//

//////*(

//////(*

//

1/

//

1/

1/

/1

/1

//

#$

#$

23,

21///23,

3+2-/

#

*/1/

-/

1//

1*

*1

/*

/(

23,

21///23,

3+2-/

{ }

=

1).+1

3*.1(2

().((

)*.**

(.2*

+3.323

2+.12

1(.3

engan memperhatikan momen primer dari elemen-elemen struktur maka akan didapat :

m(")A

.1(.3/1(.3 ==

m(")#A .2+.12/2+.12 ==

m(")#D .*//"*//!/ =+=


45/83

m(")#+ ..2+.)2,"12-/!+3.323 ==

m(")+# .,(.1-1*"12-/!,(.2,* =+=

m(")+! ./2.(11"-//!)*.** ==

m(")+* .2.11/+"12-/!3*.1(2 ==m(")! .().-(("-//!().(( =+=

m(")* .1).1321"12-/!1).+1 =+=

ekarang ditinjau apakah kesetimbangan dititik-titik pertemuhan terpenuhi :

#+#D#A# )))) ++=

# -12.2+-*//A)2.2+

# / !terpenuhi"

+*+!+## )))) ++=

# -11*.( A (11./2 A 11/+.2

# / !terpenuhi"

KONSTRUKSI PORTAL BIDANG DENGAN PERGO$ANGAN DIMANA

DE%ORMASI AKSIAL DIABAIKAN

etelah pada pasal yang lalu dibahas analisa portal tanpa penggoyangan, sekarang akan

dicoba menganalisa kostruksi portal dengan pergoyangan, dimana deformasi aksial masih

diabaikan.

ontoh 1 :

i baah ini diberikan satu contoh analisa portal sederhana dengan penggoyangan

kesamping. engan memperhatikan gambar ! ", selanjutnya diturunkan [ ]A dan [ ]S


46/83


47/83


48/83


49/83

[ ]

321

,

-

(

3

2

1

//(

1

1/(

1

1//

/1/

/1(

1

//(

1

DDD

d

d

d

d

d

d

A

=

[ ]

=

(

(

(

2////

(

2

(

(////

//(

"2!(

(

"2!2//

//(

"2!2

(

"2!(//

////((

(2

////(

2

(

(

#$S


50/83


51/83

#*

#$

2(*3

*2(3

333

[ ]

=

31-(*1-3(*

(*(*-12

12(*

1

.

*1

#$K

[ ]

=

31-(*

1-3(*

(*(*-12

1-

11

#$K

etelah [ ]K dan [ ] 1K dihitung, maka besar lendutan dan gaya-gaya dalam akan dapat

dengan mudah ditentukan.

{ }D [ ] { }QK 1=

=

3

2

1

D

D

D

31-(*

1-3(*

(*(*-12

1-

1

#$

-//

-//

1///

=

3

2

1

D

D

D

#$1-

1

)///

*+///

-12///

#$D ;/-.32*21=

#$D ;,).--+2 =

#$D ;).-+3 =

{ }2

#$ =

21////

12////

//(2//

//2(//

////21

////12

//(

1

1/(

11//

/1/

/1(

1

//(

1

#$

#$

#$

;).-+

;).--+

;/-.32*2


52/83

# 2

1

1/(

1

2/(

1(2/

2(/

/2(

3

/1(

3

).-+).--+

/-.32*2

{ }

-

(

3

2

1

)2.12/1

/+.11+3

/+.+3

/+.11+3

/+.+3

)2.)-1

=

engan memperhatikan momen primer dari elemen-elemen struktur, maka akan didapat :

m(")A

.)2.)-1/)2.)-1 ==

m(")*A ./+.+3//+.+3 ==

m(")*D ./+.+3"-//!/+.11+3 ==

m(")D* ./+.11+3"-//!/+.+3 =+=

m(")D! ./+.11+3//+.11+3 ==

m(")! .)2.12/1/)2.12/1 ==

ontoh 2

ibaah ini akan dicoba menganalisa satu portal sederhana dengan pergoyangan satu

arah yaitu mendataryang dikombinasikan dengan pegas, dengan kontanta pegas k. 9eban-

beban dan ukuran konstruksi diambil sama dengan contoh : 1.


53/83


54/83

ersoalan kekakuan struktur pada contoh soal ini adalah sama dengan contoh 1, jadi

proses menghitung kekakuan [ ]K adalah sama dengan contoh tersebut.

[ ] =K #*

#$

2(*3

*2(3

333

[ ]

=

31-(*

1-3(*

(*(*-12

1-11#$

K

{ }D [ ] { }QK 1=


55/83

=

3

2

1

D

D

D

31-(*

1-3(*

(*(*-12

1-

1

#$

-//

-//

.1/// 1D(

{ }D [ ] { }QK 1=

=

3

2

1

D

D

D

+

+

1

1

1

.(*)///

(*3+///

.-12-12///

1-,

1

D(

(D

D(

#$

".-12-12///!1-

111 D(

#$D =

untuk #$((

1=

11 /*2/-;/-.32*2 D#$D =

#$D ;/-.32*2*2/-.11=

#$D ;*2.1*/21= ("(D +/.(-/1=

2D # ";*2.1*/2.

(

1.(**+///!

1-

1#$#$

#$+

#$D ;/1.(1)2 =

";*2.1*/2.(

1.(*)///!

1-

13

#$#$#$

D +=

#$D ;)*.*/3=

{ } [ ][ ]{ }DAS =

#

#$

#$

#$#$

;)*,.*/

;/1.(1)

;*2.1*/2

1/(

3

2/(

3(2/

2(/

/2(

3

/1(

3

2


56/83

{ }

=

--.+1

/(.+-+

/(.2-+

/(.+-+

/(.2-+

--.(

engan memperhatikan momen primer dari elemen-elemen struktur , maka akan

didapatkan :

m(")A .--.(=

m(")*A ./(.2-+=

m(")*D ./(.2-+"-//!/(.+-+ ==

m(")D* ./(.+-+"-//!/(.2-+ =+=

m(")D! ./(.+-+=

m(")! .--.+1=

ontoh 3

4ambar 3.1( menunjukkan satu portal yang dapat bergoyang pada arah mendatar, dimana

satu kakinya 9 miring, dengan sudut kemiringan .

engan memperhatikan gambar 3,1( dan memperhatikan baha deformasi aksial

akibat diberikannya lendutan 2D dan 3D adalah sama dengan contoh-contoh yang lalu,

maka akan dapat menurunkan matrik [ ]A dan matrik [ ]S .


57/83


58/83


59/83


60/83

[ ]

21

/

"-"!3!

-

/"-"!3!

-

/"("!3!

(

1"("!3!

(

1(

1

/(1

DD

A

=


61/83

#

//3

1

1/3

1

1/3

1

/13

1

/1(

1

//(

1

[ ]

=

-

(

-

2////

-

2

-

(////

//(

"2!(

(

"2!2//

//(

"2!2

(

"2!(//

////(

(

(

2

////

(

2

(

(

#$S

#1/

#$

-(321

-

(

3

2

1

*(////

(*////

//2/1///

//1/2///

////1/-

////-1/

elanjutnya :

[ ] [ ] [ ][ ]ASAK &=


62/83


63/83

[ ]

=

1*.2)+-*.+(-.11+

-*.+(*2.2++11-

-.11+11-+(/

1+.*+/

1.

1/1

#$K

#

(33./1/)./1+1./1/)./(/(./1+./

1+1./1+.///+.11

#$

{ } [ ] { }QKD 1=

=

3

2

1

D

D

D

(33./1/)./1+1./

1/)./(/(./1+./

1+1./1+.///+.11

#$

-//

1//

3(.333

=

3

2

1

D

D

D

#$

#$

#$

;1-2.2*(

;)21.3*

;*23.(2+

{ } [ ][ ]{ }DAS =

#

//3

1

1/3

1

1/31

/13

1

/1(

1

//(

1

*(////

(*//////2/1///

//1/2///

////1/-

////-1/

1/

#$

#$

#$

#$

;1-2.2*(

;)21.3*

;*23.(2+

#

(/(

*/(

2/1/1/

1/2/1/

/1/(

1-

/-(

1-

1/#$

#$

#$

#$

;1-2.2*(

;)21.3*

;*23.(2+


64/83

{ }

=

+)/.2*(

(-1.3)*

-,/.1/1

-1(.122

-13.121

)+3.1(/

Momen akhir :


65/83

primer

)omen

m("

m("

m("

m("

m("m("

m("

)

)

)

)

))

)

!

D!

D*

*D

*#

*A

A

=

=

=

=

==

=

+

=

=

=

=

==

=

.+)/.2*(

.((/.3*)

.((/.3*)

.(*+.2+*

.(//.-13.121

.)+3.1(/

"-//!

"-//!

"(//!

+)/.2*(

(-1.3)*

-,/.1/1

-1(.221

-13.121

)+3.1(/

!. KONSTRUKSI RANGKA BATANG DENGAN TITIK "UBUNG ENGSEL

ada pasal-pasal yang lalu, telah dibahas analisa struktur dengan sambungan kaku

dimana deformasi normal masih diabaikan.ekarang akan dapat dianalisa konstruksi rangka batang yang justru dianggap

hanya mengalami deformasi normal !aksial" saja.

ebenarnya proses analisanya adalah sama dengan yang tealah dilakuakan pada

pasal-pasal yang lalu, hanya berbeda pada cara memberikan 5ector lendutan, dimana

hanya ada 5ector lendutan translasi saja, dan matrik yang meyatakan hubungan gaya


66/83

dalam dan deformasi, baik gaya dalam maupun deformasi yang timbul hanyalah bersifat

aksial saja. ontoh terliha di baah ini.


67/83


68/83

4amnbar 3.1 7onstruksi Bangka 9atang

Memperhatikan gambar 3.1, akan dengan mudah dapat ditentukan matrik [ ]A , yaitu

matrik yang menyatakan hubungan deformasi dan lendutan.

ari gambar 3.1 e, untuk 11=D

/

/

1

/

/

-

(

3

2

1

=

=

=

=

=

d

d

d

d

d

ari gambar (.1.f, untuk 12 =D

/

/

/

1

/

-

(

3

2

1

=

=

==

=

d

d

d

d

d

ari gambar (.1.g, untuk 13 =D

-

3.1

-3.1

1

/

-

(

3

2

1

==

==

=

=

=

Sind

Sind

d

d

d

ari gambar (.1.h, untuk 1( =D


69/83

-

(.1

-

(.1

/

/

/

-

(

3

2

1

==

==

=

=

=

*osd

*osd

d

d

d

0adi matrik [ ]A :

[ ]

1111

-

(

-

3//

-

(

-

3//

/1/1//1/

////

(321

-

(

3

2

1

=

=

=

=

=

DDDD

d

d

d

d

d

A


70/83

esuai dengan apa yang telah disinggung di bagian depan pada pasal ini, maka elemen-

elemen pada konstruksi rangka batang ini hanya menderita deformasi aksial saja, yanmg

dengan demikian hanya menimbulkan gaya dalam normal saja. 7arena disini membahas

konstruksi yang elastis, maka hokum Hooke akan berlaku karenanya.

4ambar 3.1 9atang yang menderita gaya normal H dan mengalami deformasi aksial d

Melihat 4ambar 3.1,

A#

%d=

engan demikian :

d%

A#=

dimana%

A#menyatakan kekakuan aksial dari batang pada gambar.

engan melihat persamaan ! ", maka jelas dapat diketahui baha matrik [ ]S , akan

terdirin dari elemen-elemen kekakuan aksial, yaitu :


71/83

[ ]

111

///

///

//

//

//

321

(

3

33

2

22

1

11

=

=

=

=

ddd

%

A

%

#A

%

#A

%

#A

S

engan demikian sekaran sudah dapat dihitung matrik kekakuan [ ]K , yaitu:

[ ] [ ] [ ][ ]ASAK &=


72/83

( )

=

-

(

-

3//

-

(

-

3//

///1

//1/

//1/

-

2////

/-

2///

//3

2//

///

2

1/

////2

1

-

(

-

(///

-

3

-

31//

///11

//1//

A#

=

2-

*

2-

*///

2-

,

2-

,

3

2//

///21

21

//3

2//

A#

[ ]

=

12-

,(///

/3+-

3-*/

3

2//1/

/3

2/

3

2

A#K

[ ]

=

,(

12-///

/

3,

12-/

3,

12-//1/

/3,

12-/

3,

1+)

11

A#K

untuk menghitung lendutan dipakai persamaan :

{ } [ ] { }QKD 1=


73/83

[ ]

=

(

3

2

1

1

(

3

2

1

Q

Q

Q

Q

K

D

D

D

D

=

2///

/

/

1///

,(

12-///

/3,

12-/

3,

12-//1/

/3,

12-/

3,

1+)

1

(

3

2

1

A#

D

D

D

D

=

2-.3)/,

22.3(+2

/

22.()+2

1

(

3

2

1

A#

D

D

D

D

elanjutnya

[ ] [ ][ ]{ }DAS =

=

,+.(1,

33.2/*3

1///

/

/

-

(

3

2

1

0adi gaya batang nomor :

=

2-.3)/,

22.3(+2

/

22.()+2

2-

*

2-

,//

2-*

2-,//

/3

2/

3

2

//2

1/

//2

1/

-

(

3

2

1


74/83

("

("

("

+.(1:(

33.2/*3:(

1///:3

/:2

/:1

-

(

3

2

1

=

=

=

=

=

&onto' !.1(


75/83


76/83


77/83

Memperhatikan gambar di atas, akan didapat matrik matrik deformasi[ ]A

4ambar d, untuk 11 =D

1

*./

/

/

*./

-

(

3

2

1

=

=

=

=

=

d

d

d

d

d

4ambar e, untuk 12 =D

/

./

/

/

./

-

(

3

2

1

=

=

=

=

=

d

d

d

d

d


78/83

4ambar f, untuk 13 =D

1

/

3*-./

3*-./

/

-

(

3

2

1

==

=

=

=

d

d

d

d

d

4ambar g, untuk 1( =D

/

/

)23./

)23./

/

-

(

3

2

1

=

=

=

=

=

d

d

d

d

d

4ambar h, untuk 1- =D

/

./

/23./

/

/

-

(

3

2

1

=

=

=

=

=

d

d

d

d

d

0adi atrik [ ]A :

[ ]

=

//1/1

.///./*./

)23./)23./3*-.///

/)23./3*-.///

///./*./

A

Matrik [ ]S terdiri dari elemen-elemen kekakuan aksial, yaitu :


79/83

[ ]

=

-

--

(

((

3

33

2

22

1

11

////

////

////

////

////

%

#A

%

#A

%

#A

%

#A

%

#A

S

[ ]

=

--/.,

--////

////

//,-/.(

,-//

///,-/.(

,-/

////1///.2

2-

#

#

#

#

S

[ ]

=

33.33////

/2-///

//-///

///-//

////2-

2///

#$S

Matrik kekakuan [ ]K :

[ ] [ ] [ ][ ]ASAK &=


80/83

=

/./)23.///

//)23./)23.//

1/3*-./3*-././

/.///./

1*.///*./

2///

33.33////

/2-///

//-///

///-//

////2-

#$

//1/1

.///./*./

)23./)23./3*-.///

/)23./3*-.///

///./*./

[ ]

=

.-2/.(2++.++)12

/.(21).*-///

++.++/1-.(*/33.33

)//1*/

12/33.33/33.-

2///

#K

[ ]

=

2.3+*(.1*)(.2)/(.1*).21+

2.11*2.1(-.)(*.1/*

2.2*+2.1(-*.1))

*.2/-*.1/*

.1+2

11symetris

#K j

8endutan yang terjadi :

{ } [ ] { }QKD 1=

{ } [ ]

=

/

/

/

/

1///

1KD

{ }

+

+

+

=

.21+

*.1/*

*.1))

*.1/*

.1+2

1////

#D


81/83

elanjutnya :

{ } [ ][ ]{ }DAS =

#

# 1////

.21+

*.1/**.1))

*.1/*

.1+2

//33.33/33.33

1-//1-2/1-.(1-.(2-.1)//

/1-.(2-.1)//

///1-2/

2///

=

{ }

-

(

3

2

1

(-33

)1//

*.-*+(

*.-*+(

1)//

=

0adi dapat gaya-gaya &

"!

"!

"!

"!

"!

(-33

)1//

*.-*+(

*.-*+(

)1///

-

(

3

2

1

tari(

te(an

tari(

tari(

te(an

("

("

("

("

("

=

=

=

=

=

SOAL UJIAN TENGA" ) AK"IR SEMESTER

Mata 7uliah : Methode Matrik ?anggal :Cakultas : C? Daktu : 1*/ menit

0enjang; jurusan : 1; ?eknik ipil osen : ulardi, ?, M?

?ingkat ; 7elas : 3 ?6 /1 ifat jian : 9uka 9ukuemester ; ?ahun : E> ; 2//*;2//) 0mlh oal : 1 soal


82/83

Soa* +

iketahui portal bidang tanpa pergoyangan kesamping pada gambar di atas, dimana

deformasi aksial diabaikan dari elemen-elemennya.

Petan-aan +

Hitung momen akhir dari masing-masing elemen, dengan methode matrik


83/83

Soa* +2

iketahui portal bidang dengan pergoyangan kesamping pada gambar di atas, dimana

deformasi aksial diabaikan dari elemen-elemennya.

Petan-aan +

Hitung momen akhir dari masing-masing elemen, dengan methode matrik

METODE MATRIK

Documents

Transcript of METODE MATRIK