MODUL 4: MATRIK DAN DETERMINAN

Pengertian MatrikMatrik adalah susunan bilangan real (kompleks) berbentuk empat persegi panjang yang dibatasi oleh tanda kurung, ditulis dengan :

)(

...

............

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

nma

aaaa

a

aaaa

aaaa

aaaa

A

ij

mnmmm

ij

n

n

n

Istilah-istilah :Lambang matrik digunakan huruf besar, A, B, CElemen matrik digunakan lambang huruf kecil, a. b , c …Bagian mendatar disebut barisBagian tegak disebut kolomIndeks-I menyatkan baris, indeks-j menyatakan kolomJumlah baris=m, jumlah kolom=nUkuran matrik disebut ordoMatrik dengan jumlah baris=m, jumlah kolom=n diebut dengan ukuran (mxn) atau matrik berordo (mxn)

CONTOH

3145.023

223001.023.0

4333.022

5667.0221

j

j

A

Beberapa istilah yang perlu diketahui ;

Elemen matrik A dapat berupa bilangan bulat, desimal, rel atau bilangan kompleks Jumlah baris A=4, jumlah kolom a=5, A berukuran (4x5)a32 : elemen baris ke-3 kolom-2 adalah 0.001Elemen-elemen diagonal matrik A : 1, , 3, 1

CONTOHPerhatikan jaringan berikut :

1 2 4

3

terbubung tidak j dan i node jika ,

terhubung j dan i node jika ,

0

1ija

0110

1011

1101

0110

A

Matrik jaringannya adalah sebagai berikut

MATRIK-MATRIK KHUSUS

Matrik Bujur SangkarA dikatakan matrik bujur sangkar jika jumlah baris dan jumlah kolom A sama. Matrik A dikatakan berordo n

)(

...

............

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

nna

aaaa

a

aaaa

aaaa

aaaa

A

ij

nnnnn

ij

n

n

n

Elemen-elemen diagonal utama A adalah a11, a22, a33, a44 ….

CONTOH

0110

1011

1101

0110

A

Matrik A berordo 4, elemen-elemen diagonal utama A adalah 0, 0, 0, 0

81.0925

1283.04.0

54.0713

42342

5.01251

A

Matrik Segitiga Atas

A dikatakan matrik segitiga atas, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen dibawah diagonal utama 0

Matrik Segitiga Bawah

A dikatakan matrik segitiga atas, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen diatas diagonal utama 0

81.0925

0283.04.0

0.0713

00042

00001

A

Elemen-elemen diagonal utama : 1, 4, 7, 2, 8Elemen-elemen diatas diagonal utama 0, maka A matrik segitiga bawah

80000

2000

.700

90

3

j

ih

gfe

dcba

A

Elemen-elemen diagonal utama : 3, 9, -7, 2, 8Elemen-elemen dibawah diagonal utama 0, maka A matrik segitiga atas

Matrik Diagonal = D

A dikatakan matrik diagonal, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen selain diagonal utama 0, dan elemen diagonal utama tak nol. Matrik demikian diberi lambang D.

Matrik Identitas = I

A dikatakan matrik identitas, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen selain diagonal utama 0, dan elemen diagonal utama 1. Matrik identitas diberi lambang I.

1000

0400

0030

0002

300

020

002

;40

02

4

32

D

DD

1000

0100

0010

0001

100

010

001

;10

01

4

32

I

II

Transpose Matrik= AT

Transpose matrik A ditulis AT

adalah sebuah matrik yang diperoleh dari A dimana baris AT adalah kolam A, dan kolom AT adalah baris A. Bila A berukuran (mxn), AT berukuran (nxm)

CONTOH

2468

7654

6421

;

276

464

652

841

TA

A

Matrik Simetris, A=AT

A dikatakan matrik simetris, bilamana A adalah matrik bujur sangkar dimana, AT=A

CONTOH

73000

35200

021010

00161.0

0001.05

543

431

312

; 31

12

A

A

A

Matrik tridiagonal

OPERASI ARITMATIK MATRIK (1)

(1) Kesamaan, A=B

Matrik, A=[aij] dan B=[bij] dikatakan sama ditulis A=B jika hanya jika(1) A dan B berukuran sama(2) Setiap elemen yang seletak

nilainya sama, aij = aij ;

Contoh :

463

512 dan

643

512BA

A dan B berukuran sama (2x3), tetapi AB, karena terdapat elemen seletak nilainya tidak sama

(2) Perkalian dng skalar, kA

Perkalian matrik, A=[aij] dengan skalar tak nol k ditulis kA, didefinisikan bahwa setiap elemen A dikalikan dengan konstanta tak nol k, yakni :

kA=k[aij]= [kaij]

Contoh :

18129

1536

)6(3)4(3)3(3

)5(3)1(3)2(3

643

51233A

643

512

A

(3) Penjumlahan, A+B

(1) Matrik, A=[aij] dan B=[bij] dikatakan dapat dijumlahkan ditulis A+B bilamana A dan B berukuran sama.

(2) Bilamana, A+B=C, maka elemen matrik C diberikan,

cij = aij + bij

(elemen yang seletak dijumlahkan)

OPERASI ARITMATIK MATRIK (2)

Contoh :Diberikan :

2605

11112

818121249

4152384

8124

428

18129

1534

462

2142-

643

51232B-3A

:maka

462

214 dan

643

512BA

OPERASI ARITMATIK MATRIK (3)

(4) Perkalian Matrik, AB=C

(1) Matrik, A=[aij](m=n) dan B=[bij](pxq) dikatakan dapat dikalikan ditulis AB bilamana jumlah kolom A dan jumlah baris B sama [n=p].

(2) Bilamana, AB=C, maka matrik C=[cij](mxq) dimana elemen cij diberikan oleh :

njinjiji

n

kkjikij

bababa

bac

... 2211

1

(mxq)(pxq)(mxn) CBA

643

512

13

42

61

BA

813

1315

13

42

61

643

512AB

maka

13

42

61

dan 643

512BA

Contoh : Diberikan :

Soal Latihan

12

21

23

12

dan

132

22

141

;324

213 ).1( C

a

ba

b

BA

Hitunglah (a). AB ; BC dan CA(b). (AB)C = A(BC)(c). (BC)(A)=B(CA)(d). (CA)B = C(AB)

ab

b

ba

b

a

C

ba

ab

ab

ba

B

ba

ab

ba

A

1

22

1

21

12

211

111

232

321

;

24

42

31

).2(

DETERMINAN MATRIKFungsi determinan matrik bujur sangkar A dinyatakan dengan det(A)=|A|, didefinisikan sebagai jumlahan hasil kali elementer elemen-elemen bertanda A

Kasus n=1

A=[a], det(A) =|a| = a

Kasus n=2

10)6(412-

34

bc-addet(A)

dc

ba |A| maka ,

dc

ba A

Kasus, n=3, Metode Sarrus

3231

2221

1211

333231

232221

131211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

|A|

: |A|det(A) Sarrus, metode dengan

aaa

aaa

aaa

A

(–) (–) (–) (+) (+) (+)

7412248916

423

121

432

aaaaaaaaa-

aaaaaaaaa

312213332112322311

322113312312332211

METODE EKSPANSI LAPLACE

Andaikan, A=[aij] (nxn) adalah

matrik bujur sangkar berordo (nxn).

(1). Minor elemen matrik A baris ke-i

dan kolom ke-j (a-ij) ditulis Mij

didefinisikan sebagai determinan matrik berordo (n-1)x(n-1) yang diperoleh dari A dengan cara menghilangkan baris ke-I dan kolom ke-j

(2). Kofaktor elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j ditulis C-ij didefinisikan sebagai :

ijji

ij MC )1(

CONTOH :

63-4

523

212-

A

173-4

231)(

M)1(C

: untuk dan

-12(-1)(12)

M(-1)C

12)6(663-

21M

1331

13

2112

21

21

M21 baris ke-2

dan kolom ke-1 dihilangkan

CONTOH : Minor

124-5

2-324

25-13

4132-

A

124-5

2-324

25-13

4132-

A

M23 determinan matrik berordo (3x3) baris ke-2 dan kolom ke-3 dari matrik A dihilangkan

M32 determinan matrik berordo (3x3) baris ke-3 dan kolom ke-2 dari matrik A dihilangkan

134

(-16)-12-40-

(-64)(-30)(-4)

14-5

2-24

432-

M23

149

(-8)-3-(-100)- 240110

125

25-3

412-

M32

DETERMINAN METODE EKSPANSI LAPLACE

Andaikan, A=[aij] (nxn) adalah

matrik bujur sangkar berordo (nxn),

dan Cij = (-1)i+j Mij adalah kofaktor

elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j.

)i-ke baris kofaktor Ekspansi(

Ca...CaCa

n1,2,...,i;Cadet(A) ).2(

oleh, diberikan

Amatrik determinan 2 n Untuk,

aa|A|det(A)

1,n Untuk ).1(

inini2i2i1i1

n

1kikik

1111

)j-ke kolom kofaktor Ekspansi(

Ca...CaCa

n1,2,...,j ;Cadet(A) ).3(

njnj2j2j1j1j

n

1kkjkj

CONTOH Hitung det (A) dengan ekspansi kofaktor

1494(31)1(-7)--2(-9)

25

5-34

15

231-

12

25-(-2)

MaMa-Ma

CaCaCa

125

25-3

412-

det(A)

131312121111

131312121111

CONTOH Hitunglah determinan matrik A

Ekspnasi kofaktor baris

4165

3244

5423

7612

A

19()7()6()()2

165

244

423

7-

465

344

523

6

415

324

543

1-

416

324

542

2

Ma-MaMa-Ma

CaCa

CaCadet(A)

1414131312121111

14141313

12121111

CONTOH Hitunglah determinan matrik A

Ekspansi kofaktor kolom

4165

3244

5423

7612

A

196()4()-2()-1()

324

543

762

6

415

543

762

4

415

324

762

2

415

324

543

-1

MaMa-MaM-a

CaCa

CaCadet(A)

4242323222221212

42423232

22221212

DETERMINAN : METODE CHIO

Andaikan, A=[aij](nxn), dan a110, maka :

aa

aa...

aa

aa

aa

aa

...aa

aa......

aa

aa...

aa

aa

aa

aa

aa

aa...

aa

aa

aa

aa

)(a

1det(A)

nnn1

1n11

n2n1

1211

n2n1

1211

iji1

1j11

3n31

1n11

3331

1311

3231

1211

2n21

1n11

2321

1311

2221

1211

2-n11

Rumus diatas dikenal pula dengan, rumus menghitung determinan dengan mereduksi orde / ukuran matrik. Reduksi ordenya dapat pula menggunakan elemen matrik yang lain, tidak harus a11.

CONTOHHitunglah, det(A) dari :

Jawab :

Karena, a11= –2, dan n=3, maka :

125

25-3

412-

A

1492

298

)144154(21

22-9-

16-7

21

15

42-

25

12-23

42-

5-3

12-

(-2)

1det(A)

2-3

4165

3244

5423

7612

A

CONTOHHitunglah, det(A) dari :

Jawab :

Karena, a11= 2, dan n=4, maka :

194

764

9241000

5042

2220

41

)7727()7028(

)4422()4020(

)1(

1x

41

27287

22204

11101

41

35)-(830)-(25)-(12

28)-(624)-(44)-(8

21)-(1018)-(83)-(4

(2)

1det(A)

23

2-4

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

(1). Jika A matrik bujur sangkar maka

det(A) = det(AT)

Contoh :

623

154

432

A

614

253

342

A

T

Menurut sifat (1), maka :

det(A) = det(AT) = –42

(2). Jika A dan B adalah matrik bujur sangkar yang berordo sama maka det(AB) = det(A) det(B)

Contoh :

8 det(B) 60det(A)

200

3-20

21-2

B dan

602

051

002

A

480860)det()det(det(AB)

1624

1392

424

200

3-20

21-2

602

051

002

AB

BA

(3). Jika A matrik bujur sangkar yang memuat baris atau kolom dimana elemennya 0 atau sebanding, maka

det(A) = 0

Contoh :

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

023

054

032

A

614

000

342

ABaris-2 matrik A elemennya 0, maka det(A)=0

Kolom-3 matrik A elemennya 0, maka det(A)=0

(4). Jika A matrik segitiga atas (bawah) yang berordo (nxn) dimana elemen diagonal utama tak nol, maka :

det(A) = a11a22a33 … ann

Contoh :

4000

3500

5430

7612

A

A matrik segitiga atas, maka :

det(A) = (2)(3)(4)(5) = 120

(5). Jika A dan B matrik bujur sangkar yang berordo sama. Jika matrik B diperoleh dari A dengan cara mengalikan sembarang baris (kolom) dengan konstanta k tak nol, maka :

det(B) = k det(A)

Operasi elementarnya adalah :

Hi k Hi : Baris ke-i baru =

kx baris ke-i lama

Kj k Kj : Kolom ke-j baru =

kxkolom ke-j lama

SIFAT-SIFAT DETERMINANCONTOH :

18312

642

342

B

614

321

342

A det(A)=21

H2 2 H2 k1= 2

H2 3 H2 k2=3

det(B) = k1 k2 det (A) = (2) (3) 21 = 126

(6). Jika A dan B matrik bujur sangkar yang berordo sama. Jika matrik B diperoleh dari A dengan cara menukarkan semua elemen sembarang baris (kolom) , maka :

det(B) = – det(A)

Operasi elementarnya adalah :

Hi Hj : Baris ke-i baru =

baris ke-j lama

Ki Kj : Kolom ke-i baru =

kolom ke-j lama

SIFAT-SIFAT DETERMINANCONTOH :

231

164

432

C

321

614

342

B

614

321

342

A det(A)=21

H2 H3

K2 K3

det(B)= –det(A) = –21

det(C)= –det(B) = –(–21)=21

(7). Jika A dan B matrik bujur sangkar yang berordo sama. Jika matrik B diperoleh dari A dengan cara mengalikan sembarang baris (kolom) dengan konstanta k tak nol dan hasilnya dijumlahkan pada baris (kolom) yang lain, maka : det(B) = det(A)

Operasi elementarnya adalah :

Hi Hi+kHj :

Baris ke-i baru = Baris ke-i lama + k baris ke-j lama

Kj Kj+k Kj :

Kolom ke-j baru = kolom ke-j lama + k kolom ke-i lama

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

400

3-2-0

321

C

2-4-0

3-2-0

321

B

723

322

321

A

CONTOH :

a11 = pivota21 dan a31 direduksi menjadi 0

H2 H2 – 2 H1H3 H3 – 3 H1

a22 = pivota32 = direduksi – 0

H3 H3 – 2H2

Jadi, det(A) = (1)(-2)(4) = -8

Matrik Awal2 2 4 0 403 2 0 12 4 6 32 4 4 6

Iterasi 1 PIVOT = a112 2 4 00 -1 -6 1 H2=H2-(a21/a11)H10 2 2 3 H3=H3-(a31/a11)H10 2 0 6 H4=H4-(a41/a11)H1

Iterasi 2 PIVOT=a222 2 4 00 -1 -6 10 0 -10 5 H3=H3-(a32/a22)H20 0 -12 8 H4=H4-(a42/a22)H2

Iterasi 3 PIVOT=a332 2 4 00 -1 -6 10 0 -10 50 0 0 2 H4=H4-(a43/a33)H3

Matrik Awal2 4 8 8 84 4 6 8 24 4 7 7 54 8 14 14 82 2 6 9 12

CONTOH :

Iterasi 12 4 8 8 8 -640 -4 -10 -8 -14 H2=H2-(a21/a11)H10 -4 -9 -9 -11 H3=H3-(a31/a11)H10 0 -2 -2 -8 H4=H4-(a41/a11)H10 -2 -2 1 4 H5=H5-(a51/a11)H1

Iterasi 22 4 8 8 8 -640 -4 -10 -8 -140 0 1 -1 3 H3=H3-(a32/a22)H20 0 -2 -2 -8 H4=H4-(a42/a22)H20 0 3 5 11 H5=H5-(a52/a22)H2

Iterasi32 4 8 8 80 -4 -10 -8 -140 0 1 -1 30 0 0 -4 -2 H4=H4-(a43/a33)H30 0 0 8 2 H5=H5-(a53/a33)H3

Iterasi42 4 8 8 80 -4 -10 -8 -140 0 1 -1 30 0 0 -4 -20 0 0 0 -2

H5=H5-(a54/a44)H4

DEKOMPOSISI MATRIK DAN DETERMINAN

Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didekomposisi, jika terdapat matrik segitiga bawah L dan matrik segitiga atas U sedemikian rupa sehingga : A = LU Akibatnya : det(A) = det(L) det (U)

CONTOH

24)det(

1462

951

642

LUA

100

210

321

U;

422

031

002

L

A

TEKNIK MENGHITUNG DEKOMPOSISI, A=LU

(1) Metode Crout, mendekomposisi matrik yang menghasilkan elemen diagonal utama matrik segitiga atas U adalah satu.

(2) Metode Doollite, mendekomposisi matrik yang menghasilkan elemen diagonal utama matrik segitiga bawah L adalah 1

(3) Metode Cholesky mendekomposisi matrik diagonal utama L dan U sama. Metode ini hanya untuk matrik simetris.

(4) Metode Operasi Elementer, mendekomposisi matrik menjadi segitiga atas atau segitiga bawah

DEKOMPOSISI : METODE CROUTKasus n=3

Rumus perhitungannya :

333231

232221

131211

23

1312

333231

2221

11

aaa

aaa

aaa

100

u10

uu1

lll

0ll

00l

233213313333

22

13212323

12313232

12212222

11

1313

11

1212

313121211111

:5 Iterasi

: 4 Iterasi

;: 3 Iterasi

; : 2 Iterasi

;; : 1 Iterasi

ululal

l

ulau

ulal

ulal

a

au

a

au

alalal

Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Crout adalah :

n2,..., j j,i

l

ula

u

n1,...,ii,j

ulal

ii

1i

1kikikij

ij

1j

1kkjikijij

1624

1392

424

A

CONTOH :Hitunglah determinan matrik berikut dengan metode dekomposisi

Jawab :

144

5.0-42-

: 2 Iterasi

4;2;4

: 1 Iterasi

13

12

312111

u

u

lll

120(-1.5)-4(1)-16 :5 Iterasi

-1.510

2(1)-13- : 4 Iterasi

04(-0.5)--2

;10(2)(-0.5)-9: 3 Iterasi

33

23

32

22

l

u

l

l

480U)det(L)det(det(A)

1)det(

100

1.5-10

10.5-1

U

480)12)(10(4)det(

1204

0102

004

L

Jadi,

U

L

KASUS n=4 : METODE CROUT

Rumus iterasi perhitungannya adalah :

44434241

34333231

24232221

14131211

34

2423

141312

44434241

333231

2221

11

1000

100

10

1

0

00

000

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

u

uu

uuu

llll

lll

ll

l

22

14212424

22

13212323

12414242

12313232

12212222

11

1414

11

1313

11

1212

41413131

21211111

: 4 Iterasi

;: 3 Iterasi

;; : 2 Iterasi

;;

;; : 1 Iterasi

l

ulau

l

ulau

ulal

ulal

ulal

a

au

a

au

a

au

alal

alal

3443244214414444

33

243214313434

234213414343

233213313333

: 7 Iterasi

: 6 Iterasi

:5 Iterasi

ulululal

l

ululau

ululal

ululal

CONTOH :Hitunglah determinan matrik berikut dengan metode dekomposisi

Jawab :

6442

3642

1023

0422

A

2)1(24

2)1(24

;1)1(32: 3 Iterasi

020

;224

;122

: 2 Iterasi

;2;2

;3;2 : 1 Iterasi

42

32

22

14

1312

4131

2111

l

l

l

u

uu

ll

ll

-1(-1)

)0(3)(-1u

6(-1)3(2)-0

u : 4 Iterasi

24

23

212(0.5)-2(-1)-2(0)-6

: 7 Iterasi

5.010

2(-1)-2(0)-3

: 6 Iterasi

-122(6)-2(2)-4

-102(6)-2(2)-6 :5 Iterasi

44

34

43

33

l

u

l

l

1000

0.5100

1-610

0211

U ;

21222

01022

001-3

0002

L

Jadi,

DEKOMPOSISI : METODE DOOLITTLE

Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Doolittle adalah :

n,...,2ii,j

u

ula

l

n1,...,j j,i

ulau

ii

1j

1kikikij

ij

1i

1kkjikijij

Kasus n=3

Rumus perhitungannya :

333231

232221

131211

33

2322

131211

3231

21aaa

aaa

aaa

u00

uu0

uuu

1ll

01l

001

233213313333

22

12313232

13212323

12212222

11

3131

11

2121

131312121111

:5 Iterasi

l : 4 Iterasi

u

;: 3 Iterasi

;l : 2 Iterasi

;;u : 1 Iterasi

ululau

u

ula

ula

ulau

a

al

a

a

auaua

KASUS n=4 : METODE DOOLITTLE

Rumus iterasi perhitungannya adalah :

44434241

34333231

24232221

14131211

44

3433

242322

14131211

434241

3231

21

000

00

0

1

01

001

0001

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

u

uu

uuu

uuuu

lll

ll

l

22

12414242

22

12313232

12414224

13212323

12212222

11

4141

11

3131

11

2121

14141313

12121111

l

l : 4 Iterasi

u

;: 3 Iterasi

;;l : 2 Iterasi

;;

;;u : 1 Iterasi

u

ula

u

ula

ulau

ula

ulau

a

al

a

al

a

a

auau

aua

3443244214414444

33

234213414343

243214313434

233213313333

: 7 Iterasi

: 6 Iterasi

u

u

:5 Iterasi

ulululau

u

ululal

ulula

ulula

TUGAS II,III dan IV

3a1a3b1b

1a1a1b1b

1b2b1a2a

1bba1a

A

Hitunglah det(A) dengan cara :a. Ekspansi kofaktor baris (genap/ganjil)b. Ekspansi kofaktor kolom (ganjil/genap)c. Sifat-sifat determinan (reduksi menjadi

matrik segitiga)d. Metode CHIOe. Dekomposisi matrik (CROUT dan

Doolite)

4121

42121

11212

1121

211

aaabb

aaabb

aaabb

bbbaa

bbbaa

A

Hitunglah det (A) dengan cara :a) sifat-sifat determinanb) Metode CHIOc) Dekomposisi matrik

(Crout dan Doolite)