Post on 04-Dec-2015
description
LENTURAN (DEFLECTION)
Pada perencanaan balok (beam) untuk suatu konstruksi perlu diperhatikan lenturan akibat pembebanan disamping tegangan yang terjadi.
Besarnya lenturan pada balok tidak boleh melebihi harga batas tertentu untuk suatu konstruksi pada keperluan tertentu.
A B x
y
y
Y = lenturan pada suatu titik berjarak x dari titik A
= sudut lentur pada titik yang berjarak x dari titik A1
MENGHITUNG LENTURAN
Ada beberapa metode untuk menghitung lenturan pada suatu balok, antara lain :
Metode Integral Ganda (Double Integral Method) Metode Singularite (Singularity Method) Discontinuity
Functions Metode Luasan Bidang Momen (Moment Area
Method) Metode Balok-Balok Kecil Metode Energi Regangan Elastis (Elastic Strain Energy
Method) Metode Tiga Momen
2
METODE INTEGRAL GANDA(Double Integral Method)
A B
d
O
mm’ds
x
y
Gambar 1. Balok AB melentur akibat beban momen
Balok AB mengalami lenturan karena momen bending M
Momen bending disebabkan oleh gaya melintang (shearing force)
3
Elemen m-m’ = ds
ds = r dr = jari-jari kelengkungan balok m-m’O = pusat kelengkungan balok m-m’
= sudut antara garis singgung di m dengan sumbu x
Harga semakin kecil bila titik m bergeser kearah
B (dari A) dan akan = 0 di titik terendah dari lenturan pertambahan positif ds sebanding dengan pertambahan negatif dari ds
Maka :
ds
d -
r
1atau dr - ds
(1)
4
Lenturan balok pada suatu konstruksi cukup kecil, harga dalam hal ini menjadi kecil sekali.
Untuk keadaan ini dapat dianggap bahwa :
dx dsdan dx
dy tg (2)
Dari persamaan (1 ) dan (2) :
2dx
2d -
dx
d(dy/dx) -
r
1 y (3)
5
Pada elemen ds diambil daerah sejauh dari sumbu netral (gambar 2) :
O
p p’
m’m
n n’
s1s s’
r
M M
Sumbu netral
d
d
Gambar 2. Elemen ds dari balok AB yang melentur
6
n – n’ = sumbu netral tegangannya nols – s’ = daerah berjarak (eta) dari sumbu netral
n’ – s1 // n – s , maka panjang n – n’ = s – s1 dan s1 – s’
= pertambahan panjang pada daerah sejauh dari sumbu netral.
Dalam hal ini regangan (strain) yang terjadi :
n' - ns' - s
1 (4)
7
Sedangkan harga-harga :
dr n' - n
d s's1
(5)
Dari persamaan (5) dan (4) :
r
dr d
Dalam daerah elastis berlaku hukum HOOKE :
E x
(6)
(7)
8
Tegangan yang tejadi pada balok sejauh dari sumbu netral akibat momen bending M adalah :
zI
M x
(8)
Dari persamaan (7) dan (8) :
zI
Mη E
Dari persamaan (9) dan (6) :
(9)
zz EI
M
r
1atau
I
Mη
r
Eη (10)
9
Dari persamaan (3) dan (10) diperoleh :
zEI
M -
dx
yd2
2 (11)
Dimana :M = momen bendingE = modulus elastisitas bahan
Iz = Momen kelembaman luasan
penampang balok terhadap sumbu zY = lenturanX = jarak titik yang ditinjau terhadap titik
awal
10
Bila persamaan (11) didiferensialkan terhadap x :
L = gaya melintang pada penampang balok
(12)
Bila persamaan (12) didiferensialkan terhadap x :
q = beban melintang per satuan panjang pada balok
z3
3
EI
L -
dx
yd
z4
4
EI
q -
dx
yd (13)
11
LENTURAN BALOK AKIBAT BEBAN MERATA
A B x
y
m
n
x
L
ByAy
Reaksi tumupuan di A dan B :2L q
BR AR
Momen bending pada penampang m – n yg berjarak x dari tumpuan A :
2
xq -x
2
L q M
2
(x) (14)
12
Persamaan lenturan balok (11) :
) 2
xq - x
2
L q (
EI
1 -
EI
M -
dx
yd
2
z
z
(x)2
2
22
2
z qx 2
1 qLx
2
1 -
dx
yd EI (15)
Integral persamaan (15 ) :
1C xq 6
1 xL q
4
1 -
dx
dy EI 32
z (16)
13
dx
dy θ tg
= sudut antara grs. singgung lenturan balok dgn sb. x
Untuk x = ½ L = 0 , maka persamaan (16) menjadi :
24
L q C
0 C )2
L( q
6
1)
2
L( L q
4
1 -
3
32
1
1
14
Harga C1 masuk ke persamaan (16) :
332z L q
24
1 xq
6
1 xL q
4
1 -
dx
dy EI (17)
Integral persamaan (17 ) :
2C x L q24
1 xq
24
1 xL q
12
1 - y EI 343
z (18)
15
Pada ujung-ujung balok lenturan = 0 , maka C2 dapat dihitung dgn memasukkan y = 0 untuk x = 0 pada pers (18).
Didapat : C2 = 0
Persamaan (18 ) menjadi :
) x xL 2 xL ( EI
q
24
1 y 433
z (19)
Pers (19) dapat digunakan untuk menghitung lenturan balok akibat beban merata sebagai fungsi x
16
Lenturan maksimum terjadi di tengah-tengah balok dengan memasukkan harga x = L/2 pada pers (19) akan diperoleh :
z
4
EI
L q
384
5 y
Sudut lentur maksimum terjadi di ujung A dengan memasukkan harga x = 0 pada pers (16) akan diperoleh :
z
3
zmaks EI
L q
24
1
EI
C
dx
dy 1
17
LENTURAN PADA CANTILEVER BEAM AKIBAT BEBAN MERATA
A B
L
n
m
q
xq = beban per
satuan panjang
Momen bending pd penampang m – n yg berjarak x dari ujung bebas pada balok AB :
2
qx - M
2
(x) (20)
18
Dari Pers (20) dan (11) :
2
2 xq
2dx
y2dzEI (21)
Integral persamaan (21 ) :
1C 6 x3q
dxdy
zEI (22)
Harga C1 dapat ditentukan dgn kondisi balok sudut lentur pada jepitan = 0
19
Untuk x = L dy/dx = 0, masukkan ke dalam pers (22) diperoleh :
6
3L q - C 1
Persamaan (22 ) menjadi :
6
3L q
6
3 xq
dxdy
zEI (23)
20
Integral persamaan (23 ) :
2C x 6
3L q
24
4 xq y zEI (24)
Harga C2 dapat ditentukan dgn kondisi balok lenturan pada jepitan = 0
Untuk x = L y = 0 , masukkan ke dalam pers (24) diperoleh :
8
4L q - 2C
21
Persamaan (24 ) menjadi :
8
4L q x
6
3L q
24
4 xq y zEI
Atau :
)4L 3 x3L 4 - 4 x( zEI 24
q y (25)
22
PERSAMAAN GARIS ELASTISITAS UNTUK
BALOK LENGKUNG
AA’P1
P2
d
B
B’
Rd
R
R cos
R (1 – sin
R
Momen potongan =
)sin1(cos 12 RPRP
x
y
perubahan sudut
Tanda momen :
M +
M -
23
Rd
Rd
Rd
B
B’
d
R
d
dy = (Rd)cos
''1
'
yd
d
R
dx
dyy
EI
MR
d
d
(26)
Pers grs elastisitas utk balok lengkung :
112 )cos(
2sin
2C
EI
RP
EI
RP
dx = (Rd)sin 24
dy = (Rd)cos
dx = (Rd)sin
sin
cos
Rd
dx
Rd
dy
RCEI
RP
EI
RP
d
dy.cos)2coscos(
3cossin
31
12
RCEI
RP
EI
RP
d
dx.sin)cossinsin(
33sin
31
12
25
2112 sin)
2
cossin
4cossin(
3
2
2sin3CRC
EI
RP
EI
RPy
3112 cos)
2
2sinsincos(
3)
2
cossin
2(
3CRC
EI
RP
EI
RPx
Syarat batas :
1. y ( = 0 ) = 02. x (= 0 ) = 03. (= 0 ) = 0
didapat :
EI
RPC
21
1
EI
RPC
31
2
EI
RPC
31
3 26
Sebagai contoh :
)24
3(
33)90( 12
EI
RP
EI
RPy o
EI
RP
EI
RPx
2
3
4
3)90( 12 o
)12
(22
)90( 12
EI
RP
EI
RPo
27
CONTOH SOAL( METODE INTEGRAL GANDA)
Ditanyakan :
Lenturan dan sudut lentur maksimum pada balok AB akibat beban P
A B
P
xy = ?
x
y
LSOAL 1 :
y’ = ?
28
Penyelesaian :
A B
P
xy = ?
x
y
L
MAAx
Ay
Momen bending pd jarak x dari A adalah :
)()( xLPxM (1)
29
)(2
2xM
dx
ydzEI
)(2
2xLP
dx
ydzEI
PxPLdx
ydzEI
2
2
Persamaan diferensial lenturan pd balok AB :
(2)
30
Integral persamaan (2) :
12
2C
PxPLx
dx
dyzEI
Syarat batas :
00)0(
1
C
xdx
dy
C1 = 0 masuk ke pers (3) didapat :
2
2PxPLx
dx
dyzEI
Pers (4) merupakan persamaan sudut lentur balok AB.
(3)
(4)
31
Integral pers (4) :
26
3
2
2C
PxPLxyzEI
Syarat batas :
020)0( Cxy
Harga C2 = 0 masuk ke pers (5), maka persamaan lenturan menjadi :
6
3
2
2 PxPLxyzEI
(5)
(6)
(7)
32
Lenturan maksimum terjadi pada ujung B, maka :
)6
3
2
3(
1)(
PLPL
zEILxymaksy
zEI
PLPL
zEI 3
3
3
31
Sudut lentur maksimum terjadi pada ujung B, maka :
zEI
PL
PLPL
zEILxdx
dymaks
2
2
)2
22(
1
)(
33
SOAL 2 :P = 50 kN
y = ?
L = 3mBA
z y
x
Sebuah balok yg dijepit pada ujung A mempunyai panjang L = 3m dan mendapat beban sebesar P = 50 kN. Balok terbuat dari baja
yang mempunyai momen inersia Iz = 300 x 106 mm4 terhadap
sumbu netralnya dan modulus elastisitas E = 200 GN/m2.
Tentukan : lenturan maksimum dan sudut lentur maksimum pada balok tersebut.
34
Penyelesaian :
Dari hasil perhitungan pada soal no. 1, didapat :
zEI
PLmaksy
3
3
mmxx
xmaksy 5,7
)610300)(910200(3
6)10(3)3000)(31050(
zEI
PL
Lxdx
dymaks 2
2
)(
radxx
x
Lxdx
dymaks 00375,0
)610300)(910200(2
)610(2)3000)(31050(
)(
35
SOAL 3 :
Ditanyakan :
a.Persamaan lenturan dan sudut lentur balok AB akibat beban momen bending Mb.Lenturan dan sudut lentur maksimum balok AB akibat beban momen M
A B
MxyB = ?
x
y
L
y’B = ?
36
Penyelesaian :
A B
Mxy = ?
x
y
L
MAAx
Ay
Reaksi tumpuan di A dan B :
A
0yA
0xA
MAMAMM 037
Persamaan diferensial lenturan :
)(" xMyzEI
MyzEI "
MAMxM )(
1' CxMyzEI
Integral persamaan (1) :
(1)
(2)
38
Syarat batas : sudut lentur di jepitan A = 0:
xMyzEI '
Harga C1 = 0 masuk ke persamaan (2) menjadi :
0000)0(' 11 CCM.xy
Integral persamaan (3) :
22
2C
xMyzEI
(3)
(4)
39
00)0( 2 Cxy
Harga C2 = 0 masuk ke persamaan (4) menjadi :
2
2xMyzEI
Syarat batas : lenturan di jepitan A = 0:
(5)
40
Jadi :
zEI
xMxM
zEIy
2
2
2
21
a) Persamaan lenturan balok AB :
b) Persamaan sudut lentur balok AB :
zEI
MxMx
zEIy
1"
41
c) Lenturan maksimum balok AB :
zLxB EI
MLy )('
zLxB EI
MLy2
2
)(
d) Sudut lentur maksimum balok AB :
42
SOAL 4 :
A B
M = 150 kNm
x
yB = ?
x
y
L= 3m
y’B = ?
zz
y
300 mm
200 mm
Ditanyakan :
Lenturan maksimum dan sudut lentur maksimum balok AB akibat beban momen M = 150 kNm, bila modulus elastisitas bahan E = 200 GPa
Penampang balok
43
Penyelesaian :
Momen inersia luasan penampang balok thd sb x :
z
y
300 mm
200 mm
4733
10.4512
)300)(200(
12mm
bhzI
233 )10200()10200(200mm
NxMPaxGPaE
Modulus Elastisitas bahan :
44
Dari hasil perhitungan soal 4 didapat :
a) Lenturan maksimum balok AB :
mmxx
xx
zEI
MLmaksy 5,7
)71045)(310200(2
2)3000)(310310150(
2
2
b) Sudut lentur maksimum balok AB :
radxx
xx
zEI
MLmaksy 005,0
)71045)(310200(
)3000)(310310150('
45
SOAL 5 :
A B
x
yB = ?
x
y
Ly’B = ?
q
Ditanyakan :
Lenturan maksimum dan sudut lentur maksimum balok AB akibat beban merata q
46
Penyelesaian :
MA
Ax
Ay
A B
x
yB = ?
x
y
Ly’B = ?
q
Momen bending pd jarak x dari A :
2
2
2
2
)222(2
)2
)(()(
qxqLx
qL
xLxLqxL
xLqxM
47
Pers diferensial lenturan balok AB :
)(" xMyzEI
2
2
2
2"
qxqLx
qLyzEI
Integral persamaan (1) :
16
3
2
2
2
2' C
qxqLxxqLyzEI
Syarat batas : sudut lentur di jepitan A = 0:
00)0(' 1 Cxy
48
(1)
(2)
Harga C1 = 0 masuk ke persamaan (2) :
6
3
2
2
2
2'
qxqLxxqLyzEI
Integral persamaan (4) :
224
4
6
3
4
22C
qxqLxxqLyzEI
Syarat batas : lenturan di jepitan A = 0:
00)0( 2 Cxy
49
(4)
(3)
Harga C2 = 0 masuk ke persamaan (4) :
24
4
6
3
4
22 qxqLxxqLyzEI
Jadi :
zEI
qLqLqLqL
zEILxBymaksy
8
4)
24
4
6
4
4
4(
1)(
6
3)
6
3
2
3
2
3(
1)(''
qLqLqLqL
zEILxBymaksy
50
(5)