12/7/2015
1
Sesi XIII
INTEGRAL
e-Mail : [email protected]
www.zacoeb.lecture.ub.ac.id
Hp. 081233978339
Mata Kuliah : Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb
Integral Garis
Dari Gambar 6.1, sebuah obyek bergerak dengan lintasan
tidak lurus dari titik A ke titik B. Jika gaya yang diberikan
berubah nilai dan arahnya, maka usaha yang dilakukan
adalah seperti Pers. (6.1).
Gambar 6.1. Obyek dengan lintasan tidak lurus
12/7/2015
2
Integral Garis (lanjutan)
πΎ = ππ. π«πππ (6.1)
Jika perubahannya kontinu untuk perpindahan dari titik a ke
titik b sepanjang lintasan C, maka Pers. (6.1) berubah
menjadi bentuk integral seperti Pers. (6.2).
πΎ = π. π ππ
π (6.2)
Usaha yang dihasilkan merupakan integral garis dari fungsi
vektor F.
Integral Garis (lanjutan)
Integral garis dari suatu fungsi vektor A(t) sepanjang kurva
C yang terdefinisi pada a t b, dapat didefinisikan seperti
Pers. (6.3).
π¨. π ππͺ
= π¨. π ππ
π
= π΄1π’ + π΄2π£ + π΄3π€ . π’ππ₯ + π£ππ¦ + π€ππ§π
π
= π΄1dx + π΄2ππ¦ + π΄3ππ§π
π (6.3)
12/7/2015
3
Integral Garis (lanjutan)
Untuk obyek yang bergerak dengan lintasan tertutup dimana
A = B seperti ditunjukkan Gambar 6.2, maka digunakan
Pers. (6.4).
Gambar 6.2. Obyek dengan lintasan tertutup
π¨. π ππͺ
= π΄1π’ + π΄2π£ + π΄3π€ . π’ππ₯ + π£ππ¦ + π€ππ§πͺ
= π΄1dx + π΄2ππ¦ + π΄3ππ§πΆ
(6.4)
Integral Garis (lanjutan)
Contoh : Hitung usaha yang dihasilkan sebuah obyek yang
bergerak dalam vektor F = yi + x2j, sepanjang kurva x = 2t,
y = t2 β 1 dari t = 0 hingga t = 2.
Penyelesaian :
π. π ππͺ
= ππ’ + πππ£ . π ππ’ + π ππ£πͺ
= ππ π + πππ ππ
π
= ππ β π ππ π + ππ ππππ ππ
π
= πππ β π + πππ π ππ
π
=π
πππ β ππ + πππ π
π=
πππ
π satuan panjang
12/7/2015
4
Integral Permukaan
Definisi : Jika S suatu permukaan 2 sisi yang demikian
mulus dan n adalah vektor normal satuan positif, maka fluks
(massa yang mengalir per satuan waktu) dari A(x,y,z)
melalui permukaan S adalah seperti Pers. (6.5) yang disebut
dengan integral permukaan.
Fluks π yang melintasi πΊ = π¨. π. π πΊπΊ
(6.5)
Untuk menghitung integral permukaan akan lebih sederhana
dengan memproyeksikan S pada salah satu bidang
koordinat, kemudian menghitung integral lipat 2 dari
proyeksinya.
Integral Permukaan (lanjutan)
Jika permukaan S memiliki proyeksi pada bidang xy, maka
integral permukaan diberikan oleh Pers. (6.6).
π¨. π. π πΊπΊ
= π¨. π.π π.π π
π.π€πΊ (6.6)
Sedangkan jika proyeksi pada bidang xz, maka integral
permukaan diberikan oleh Pers. (6.7).
π¨. π. π πΊπΊ
= π¨. π.π π.π π
π.π£πΊ (6.7)
Dan proyeksi pada bidang yz, maka integral permukaan
diberikan oleh Pers. (6.8).
π¨. π. π πΊπΊ
= π¨. π.π π.π π
π.π’πΊ (6.8)
12/7/2015
5
Integral Permukaan (lanjutan)
Contoh :
Hitunglah π¨. π. π πΊπΊ
dimana A = 18zi β 12j + 3yk, S
adalah bagian dari bidang 2x + 3y + 6z = 12 yang terletak
pada oktan pertama dan n adalah normal satuan pada S.
Penyelesaian :
Suatu normal untuk S adalah π ππ + ππ + ππ β ππ =ππ’ + ππ£ + ππ€, sehingga :
π =ππ’+ππ£+ππ€
ππ+ππ+ππ=
ππ’+ππ£+ππ€
π
Integral Permukaan (lanjutan)
maka :
π¨. π = ππππ’ β πππ£ + πππ€ .ππ’+ππ£+ππ€
π
=πππβππ+πππ
π
=ππ
ππβππβππ
πβππ+πππ
π
=ππβπππ
π
12/7/2015
6
Integral Permukaan (lanjutan)
Permukaan S proyeksi R nya terhadap bidang xy. Sehingga
integral permukaan yang diinginkan adalah seperti gambar
berikut :
Integral Permukaan (lanjutan)
π¨. π. π πΊ =πΊ
π¨. π.π π.π π
π.π€πΉ
= ππβπππ
π.
π π.π πππ’+ππ£+ππ€
π.π€πΉ
= ππβπππ
π.π π.π π
π
ππΉ
= π β ππππβππ
ππ=π
π
π=ππ π. π π
= ππ β πππ ππβππ
ππ
π
π=ππ π
= πππβππ
πβ ππ
ππβππ
π
π
π=ππ π
= ππ β πππ +πππ
π
π
π=ππ π
= πππ β πππ +πππ
π π
π= ππ satuan luas
12/7/2015
7
Integral Volume (lanjutan)
Pandang sebuah permukaan tertutup dalam ruang yang
menutup volume V, maka :
π¨ π π½π½
= π¨ π ππ ππ ππ½
(6.9)
dan
π π π½π½
= π π ππ ππ ππ½
(6.10)
Pers. (6.10) dapat dinyatakan sebagai limit dari jumlah.
Untuk lebih jelasnya lihat Gambar 6.3 yang membagi
ruang V ke dalam M buah kubus-kubus dengan volume
π«π½π = π«πππ«πππ«ππ, π = π, π, β¦ , π΄.
Integral Volume (lanjutan)
Gambar 6.3. Integral volume
Jika ππ, ππ, ππ sebuah titik
dalam kubus, dapat didefnisikan
π ππ, ππ, ππ = ππ . Pandang
jumlah :
ππβπ½π
π
π=π
yang diambil untuk semua
kubus yang ada dalam ruang
yang ditinjau.
12/7/2015
8
Integral Volume (lanjutan)
Limit dari jumlah tersebut, jika π΄ β β, sehingga kuantitas-
kuantitas terbesar βπ½π akan mendekati nol, dan jika limit ini
ada, yang dinyatakan oleh Pers. (6.10) adalah integral
volume.
Integral Volume (lanjutan)
Contoh :
Hitung π(π)π π½π½
dengan V
adalah ruang yang dibatasi oleh
permukaan-permukaan x + y +
z = 5, x = 0, y = 0, dan z = 0,
jika π π = ππ + ππ + ππ.
Penyelesaian :
12/7/2015
9
Integral Volume (lanjutan)
ππ + ππ + πππ½
= ππ + ππ + πππβπβπ
π=π
πβπ
π=ππ ππ ππ π
π
π=π
= πππ + πππ +π
πππ πβπβπ
π
πβπ
π=π
π
π=ππ ππ π
= ππ + ππ π β π β π +πβπβπ π
π
πβπ
π=π
π
π=ππ ππ π
= ππ π β π βππππ
π+
πβπ
πππ β
ππ
π
π
π=π
βπβπβπ π
ππ πβπ
ππ π
= ππ πβπ π
π+
πβπ π
ππ π
π
π
=ππππ
πβ
πππ
π+
ππ
ππβ
(πβπ)π
ππ π
π=
πππ
π satuan volume
Teorema Gauss
Definisi :
Jika V adalah volume yang dibatasi oleh suatu permukaan
tertutup S dan A sebuah fungsi vektor dengan turunan-turunan
yang kontinu, maka :
π.ππππ
= π. π§πππ
= π. πππ
(7.1)
Dari Pers. (7.1), integral permukaan dari sebuah vektor A
yang mengelilingi sebuah permukaan tertutup sama dengan
integral dari divergensi A dalam volume yang diselubungi oleh
permukaan di atas. Jadi, dalam mencari integral permukaan
dapat juga digunakan Teorema Gauss.
12/7/2015
10
Teorema Gauss (lanjutan)
Agar lebih memahami teorema Gauss, lihat contoh soal berikut :
Contoh Soal :
Hitunglah π.π§. πππ
dengan π = 2π₯ β π§ π’ + π₯2π¦π£ β π₯π§2π€
dan S adalah permukaan kubus yang dibatasi oleh x = 0, x = 1,
y = 0, y = 1, z = 0, z = 1.
Penyelesaian :
Teorema Gauss (lanjutan)
Menurut teorema divergensi Gauss :
π. π§πππ
= π. ππππ
Maka,
π. ππππ
= π
ππ₯π’ +
π
ππ¦π£ +
π
ππ§π€
1
0
1
0. 2π₯ β π§ π’ + π₯2π¦π£ β π₯π§2π€
1
0ππ₯ππ¦ππ§
= 2 + π₯2 β 2π₯π§1
0
1
0ππ₯ππ¦ππ§
1
0
= 2π₯ +π₯3
3β π₯2π§ 1
0
1
0ππ¦ππ§
1
0=
7
3β π§
1
0ππ¦ππ§
1
0
= 7
3π¦ β π§π¦ 1
0ππ§
1
0=
7
3β π§ ππ§
1
0
=7
3π§ β
1
2π§2 1
0=
ππ
π
Jadi,
π. π§πππ
= π. ππππ
=ππ
π satuan
12/7/2015
11
Teorema Stokes
Definisi :
Jika S adalah permukaan berarah dalam ruang dengan batas-
batasnya adalah kurva C yang tertutup, dan misalkan F(x,y,z)
adalah fungsi vektor kontinu yang mempunyai turunan parsial
pertama yang kontinu dalam domain yang memuat S, maka :
π . ππ«π
= π Γ π π
. π§. ππ (7.2)
Dari Pers. (7.2) dapat disimpulkan, integral garis dari sebuah
vektor yang mengelilingi sebuah kurva tertutup sederhana C
sama dengan integral permukaan dari curl melalui sembarang
permukaan S dengan C sebagai batasnya.
Teorema Stokes (lanjutan)
Agar lebih memahami teorema Stokes, lihat contoh soal berikut :
Contoh Soal :
Hitunglah π Γ π .πππ
dengan π = 2π₯ β π¦ π’ + π¦π§2π£ β
π¦2π§π€ dimana S adalah separuh dari permukaan bola π₯2 + π¦2 +
π§2 = 1 bagian atas dan C batasnya.
Penyelesaian :
12/7/2015
12
Teorema Stokes (lanjutan)
Batas C dari S adalah suatu lingkaran dengan persamaan π₯2 + π¦2 = 1, π§ = 0
dan persamaan parameternya adalah π₯ = cos π‘ , π¦ = sin π‘ , π§ = 0, dimana 0 t
2. Berdasarkan teorema Stokes π Γ ππ
. π§. ππ = π. ππ«π
.
π. ππ«π
= 2π₯ β π¦ π’ β π¦π§2π£ β π¦2π§π€C
. π π₯π’ + π¦π£ + π§π
= 2π₯ β π¦ ππ₯ β π¦π§2ππ¦ β π¦2π§ππ§2π
0
= 2 cos π‘ β sin π‘ β sin π‘ ππ‘2π
0
= β2 sin π‘ cos π‘ + π ππ2 π‘ ππ‘2π
0
= β sin 2π‘ +1
2β
cos 2π‘
2ππ‘
2π
0
=1
2cos 2π‘ +
1
2π‘ +
1
4sin 2π‘ 2π
0= π
Jadi, π Γ ππ
. π§. ππ = π. ππ«π
= π satuan
Teorema Green
Teorema Stokes berlaku untuk permukaan-permukaan S dalam
ruang yang memiliki kurva C sebagai batasnya, sedangkan
teorema Green berlaku pada daerah tertutup dalam bidang xy
yang dibatasi oleh kurva tertutup C. Istilahnya, teorema Green
dalam bidang adalah hal khusus dari teorema Stokes. Jadi ada
satu cara lagi untuk mencari besar usaha dalam bidang, yaitu
dengan menggunakan teorema Green.
12/7/2015
13
Teorema Green (lanjutan)
Definisi :
Jika R adalah suatu daerah tertutup dalam bidang xy yang
dibatasi oleh sebuah kurva tertutup sederhana C. M dan N
adalah fungsi-fungsi kontinu dari x dan y yang memiliki
turunan-turunan kontinu dalam R, maka :
πππ±π
+ πππ² = ππ
ππ±β
ππ
ππ²ππ±ππ²
π (7.3)
Teorema Green (lanjutan)
Jika A menyatakan medan gaya yang bekerja pada sebuah
partikel dimana A = Mi + Nj, maka π.ππ«π
adalah usaha yang
dilakukan dalam menggerakkan partikel tersebut mengelilingi
suatu lintasan tertutup C β integral garis, yaitu :
π.ππ«π
= Mπ’ + Nπ£π
. ππ₯π’ + ππ¦π£ + ππ§π€
= Mππ₯ + Nππ¦π
Dengan menggunakan teorema Green, maka usaha yang
dilakukan adalah :
= ππ
ππβ
ππ
ππππ₯ππ¦
π
12/7/2015
14
Teorema Green (lanjutan)
Agar lebih memahami teorema Green, lihat contoh soal berikut :
Contoh Soal :
Periksa teorema Green pada bidang untuk 2π₯π¦ β π₯2 ππ₯ +π
π₯ + π¦2 ππ¦, dimana C adalah kurva tertutup yang dibatasi oleh
π¦ = π₯2 dan π¦2 = π₯.
Penyelesaian :
Kurva-kurva bidang tersebut
berpotongan di (0, 0) dan
(1,1), arah positif dalam
menjalani C ditunjukkan
pada gambar di samping.
Teorema Green (lanjutan)
Sepanjang π¦ = π₯2, integral garisnya adalah :
2π₯ π₯2 β π₯2 ππ₯1
π₯=0+ π₯ + π₯2 2 π π₯2
= 2π₯3 + π₯2 + 2π₯5 ππ₯1
π₯=0=
7
6
Sepanjang π¦2 = π₯, integral garisnya adalah :
2π¦2 π¦ β π¦2 2 π π¦20
π¦=1+ π¦2 + π¦2 πy
= 4π¦4 β 2π¦5 + 2π¦2 ππ₯0
π¦=1= β
17
15
Maka integral garis yang diinginkan adalah :
=7
6β
17
15=
π
ππ satuan
12/7/2015
15
Teorema Green (lanjutan)
Dengan teorema Green :
ππ
ππβ
ππ
ππππ₯ππ¦
π=
π π+ππ
ππβ
π πππβππ
ππππ₯ππ¦
π
= π β ππ ππ₯ππ¦π
= π β ππ ππ₯ππ¦π₯
π¦=π₯2
1
π₯=0
= π¦ β 2π₯π¦ π₯π₯2 ππ₯
1
π₯=0
= π₯1
2 β 2π₯3
2 β π₯2 + 2π₯3 ππ₯1
π₯=0
=π
ππ satuan
(Pemeriksaan selesai dan terbukti sama!)
Latihan
1. Teorema Gauss :
Hitunglah π. π§. πππ
denganπ = 2π₯π¦ β π§ π’ + π¦2π£ β π₯ + 3π¦ π€ pada
daerah yang dibatasi oleh 2x + 2y + z = 6, x = 0, y = 0, z = 0.
2. Teorema Stokes :
Hitunglah π Γ π . π§. πππ
dengan π = 3π¦π’ β π₯π§π£ + π¦π§2π€, dimana S
adalah permukaan paraboloida 2π§ = π₯2 + π¦2 yang dibatasi oleh z = 2 dan
C sebagai batasnya.
3. Teorema Green :
Hitunglah π₯2 β π₯π¦3 ππ₯ + π¦3 β 2π₯π¦ ππ¦π
dengan C adalah suatu
bujursangkar dengan titik sudut (0,0), (0,2), (2,2), (2,0).
12/7/2015
16
Thanks for your kind attention!
Top Related