V BLANCHOTB C D A GX YF FF H{ } G G FHF FFF HFHF{ } G G FHF TF FF CF TEntre A et B : Entre B et C :...
-
Upload
independent -
Category
Documents
-
view
0 -
download
0
Transcript of V BLANCHOTB C D A GX YF FF H{ } G G FHF FFF HFHF{ } G G FHF TF FF CF TEntre A et B : Entre B et C :...
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
47
Chapitre 2 :
Torseur des efforts intérieurs
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
48
Objet du chapitre
2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs
2.2. Dénomination des composantes de ce torseur
2.3. Diagrammes de sollicitation
2.4. Application : tir à la corde
2.5. Application : potence de perceuse
Sommaire du chapitre
Détermination et identification des sollicitations dans
les poutres. Diagrammes associés.
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
49
Définition générale
Le torseur des efforts intérieurs représente les actions de cohésion au niveau
de la section de la poutre.
Il rend compte de l’état et du niveau de sollicitation d’une section.
Torseur des efforts intérieurs
=
Torseur de cohésion
=
Torseur de section
Vocabulaire
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
50
2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs2.1.1. Coupure artificielle
Figure 2.1 : Représentation de la coupure artificielle
x
y
z
O
E1 E2
(S)
Partie amont Partie avale
G
E = E1 U E2
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
51
2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs2.1.1. Coupure artificielle
Figure 2.1 : Représentation de la coupure artificielle
Equilibre de l’ensemble E :
PFS { } { }GGEExt 0T =→
Puisque E = E1 U E2 :
{ } { } { }G2EExtGEExtGEExt TTT1 →→→ +=
Soit :
{ } { } { }GG2EExtGEExt 0TT1
=+ →→
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
52
E2
Partie avale
2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs2.1.1. Coupure artificielle
x
y
z
O
E1
(S)
Partie amont
G
Figure 2.2 : Poutre séparée artificiellement en 2 par la coupure en G
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
53
partie des actions mécaniques extérieures sur E1 :
actions de E2 sur E1 à travers la section (S).
2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs2.1.2. Equilibre de l’amont (E1)
{ }GEExt 1
T →
Bilan des actions mécaniques sur E1 :
La liaison entre E2 et E1 est un encastrement.
{ }GEET
12→
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
54
Le torseur des actions mécaniques de E2 sur E1 est appelé torseur des efforts
intérieurs ou torseur de cohésion ou encore torseur de section. C’est en effet cette
liaison (les efforts et moments qu’elle transmet) qui assure la cohésion des deux
éléments E1 et E2 de la poutre E.
Le choix de prendre les actions de la partie avale E2 sur la partie amont E1 est
une convention. Il dépend donc du choix de l’orientation de fait précédemment !!!
2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs2.1.2. Equilibre de l’amont (E1)
Définition du torseur des efforts intérieurs :
{ } { } { }GEEGamontavalGint TTT
12→→ ==
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
55
{ } { } { }GamontExt,G
amontExt
GamontExt,G
amontExtGEExtGaExtGint M
FMF
TTT1 ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−=−=∑∑
∑∑
→
→
→
→ r
r
r
r
→mont→
2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs2.1.2. Equilibre de l’amont (E1)
PFS appliqué au tronçon de poutre E1 :
{ } { } { }GGintGEExt 0TT1
=+→
D’où la relation suivante du torseur des efforts intérieurs :
Résultante du torseur des efforts intérieurs
Moment du torseur des efforts intérieurs
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
56
partie des actions mécaniques extérieures sur E2 :
actions de E1 sur E2 à travers la section (S).
2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs2.1.3. Equilibre de l’aval (E2)
{ }GEExt 2
T →
Bilan des actions mécaniques sur E2 :
{ } { } { }GintGavalamontGEE TTT −== →→ 21
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
57
{ } { } { }GavalExt,G
avalExtGEExtGalaExtGint M
FTTT
2 ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
===∑∑
→
→r
r
→v→
2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs
PFS appliqué au tronçon de poutre E2 :
D’où la relation suivante du torseur des efforts intérieurs :
Résultante du torseur des efforts intérieurs
Moment du torseur des efforts intérieurs
2.1.3. Equilibre de l’aval (E2)
{ } { } { }GGintGEExt 0TT2
=−→
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
58
2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs
Par convention, le torseur des efforts intérieurs est le torseur des actions mécanique de l’aval sur l’amont (ici E2 sur E1).
Il s’exprime au point G et peut donc se calculer de 2 manières :
en passant par l’amont (voir 2.1.1)
en passant par l’aval (voir 2.1.2)
Synthèse :
{ } { } { } { }GaExtGaExtGamontavalGint TTTT mont→val→→ −===
2.1.3. Bilan et règle de calcul
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
59
2.1. Expression du torseur des efforts intérieurs
Le torseur des efforts intérieurs évolue en fonction de la position du point G qui peut bouger.
2.1.3. Bilan et règle de calcul
On peut être amené à considérer plusieurs coupures pour une même poutre, en
particulier lorsqu’on rencontre :
une discontinuité d’ordre géométrique (changement de direction de la
ligne moyenne), cas d’une poutre en équerre par exemple,
une discontinuité liée à des efforts concentrés ou à une liaison.
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
60
2.2. Dénomination des composantes du torseur de section
X
YZ
2.1.3. Repère global et repère local
Une fois le torseur des efforts intérieurs calculé, il est intéressant de l’exprimer dans le repère local à la section droite.
Conventions du repère local :origine sur la fibre moyenne, en G,
est porté par la fibre moyenne de la poutre.xr
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
61
Repères locaux
x
yz
2.2. Dénomination des composantes du torseur de section
X
YZ
zxy G
xyz G
B
C
D
AGX
YZ
2.1.3. Repère global et repère local
Figure 2.3 : poutre dans l'espace, repère global et repère localRepère global
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
62
2.2. Dénomination des composantes du torseur de section2.1.3. Composantes du torseur de section
{ }Gz
y
z
yGint
MfMfMt
TTN
T⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
Expression du torseur des efforts intérieurs dans le repère local :
Nom des composantes :
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
63
2.2. Dénomination des composantes du torseur de section2.1.3. Composantes du torseur de section
Semestre 1
Semestre 2
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
64
2.3. Diagrammes de sollicitation
Ils consistent à tracer l’évolution de chacune des composantes du torseur de section en fonction de la position de la coupure en G.
Intérêt : localiser la section la plus sollicitée (voir applications)
zy T=
x∂Mf∂
yz T
xMf
−=∂∂
On démontre les relations suivantes entre les diagrammes d’effort tranchant et de moment de flexion :
Elles permettent de vérifier les résultats !!!!
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
65
2.4. Application : tir à la corde2.4.1. Présentation du problème, modélisation
2 équipes de 7 joueurs
Figure 2.4 : tir à la corde au pays basque
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
66
2.4. Application : tir à la corde2.4.1. Présentation du problème, modélisation
1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m
A B C D E F H
FA=1kN FB=1kN FC=1kN FD=1kN FE=1kN FF=1kN FH=1kN
O
x
y
Simplification du modèle par symétrie
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
67
2.4. Application : tir à la corde2.4.2. Torseur des efforts intérieurs
1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m
A B C D E F H
FA=1kN FB=1kN FC=1kN FD=1kN FE=1kN FF=1kN FH=1kN
O
x
y
6 discontinuités (6 forces ponctuelles)
7 torseurs de section à exprimer :OA – AB – BC – CD – DE – EF – FH
Nombre de coupures
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
68
2.4. Application : tir à la corde2.4.2. Torseur des efforts intérieurs
1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m
A B C D E F H
FA=1kN FB=1kN FC=1kN FD=1kN FE=1kN FF=1kN FH=1kN
O
x
y
Torseur de cohésion entre F et H (soit 6<x<7)
G
Partie amont Partie avale
Rappel : { } { } { } { }GaExtGaExtGamontavalGint TTTT mont→val→→ −===
Le plus judicieux
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
69
2.4. Application : tir à la corde2.4.2. Torseur des efforts intérieurs
Torseur de cohésion entre F et H (soit 6<x<7)
Calcul par l’aval :
{ } { } { } { }GGHExt,G
GHExtGHExtGaExtGamontavalGint M
FTTTT
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
====∑∑
→
→→ r
r
val→→
Bilan des actions mécaniques extérieures sur le tronçon GH :
seulement la force FH au point H
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
70
Moment en G du torseur de cohésion : 2 méthodes de calcul
- Calcul vectoriel :
- Calcul algébrique :
2.4. Application : tir à la corde2.4.2. Torseur des efforts intérieurs
Torseur de cohésion entre F et H (soit 6<x<7)
Résultante du torseur de cohésion :00
N1000
00F
FFH
HGHExt ===∑ →
rr
000F
00
x70FGH)F(M)F(MM
H
HHHHGGHExt,G
rrrrrrrr=∧
−+=∧+==
→
→∑
0r
HFr
car la distance GH est parallèle à la force
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
71
2.4. Application : tir à la corde2.4.2. Torseur des efforts intérieurs
Torseur de cohésion entre F et H (soit 6<x<7)
Commentaires :
Le tronçon FH est soumis à un effort normal N = 1000N.
N>0 c’est donc de la traction d’une intensité de 1000N.
Finalement on a pour le torseur de cohésion entre F et H (6<x<7) :
{ }G
GFH
int
000
00
N1000T
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
72
2.4. Application : tir à la corde2.4.2. Torseur des efforts intérieurs
1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m
A B C D E F H
FA=1kN FB=1kN FC=1kN FD=1kN FE=1kN FF=1kN FH=1kN
O
x
Torseur de cohésion entre E et F (soit 5<x<6)
G
y Partie amont Partie avale
Rappel : { } { } { } { }GaExtGaExtGamontavalGint TTTT mont→val→→ −===
Le plus judicieux
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
73
2.4. Application : tir à la corde2.4.2. Torseur des efforts intérieurs
Calcul par l’aval :
Bilan des actions mécaniques extérieures sur le tronçon GH :
toujours la force FH au point H
et en plus la force FF au point F
{ } { } { } { }GGHExt,G
GHExtGHExtGaExtGamontavalGint M
FTTTT
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
====∑∑
→
→→ r
r
val→→
Torseur de cohésion entre E et F (soit 5<x<6)
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
74
Moment en G du torseur de cohésion : 2 méthodes de calcul
- Calcul vectoriel :
- Calcul algébrique :
2.4. Application : tir à la corde2.4.2. Torseur des efforts intérieurs
Résultante du torseur de cohésion :
0r
car les bras de levier sont // aux forces
00
N2000
00
FF
00F
00F
FFFHFHF
HFGHExt =+
=+=+=∑ →
rrr
0FGH)F(MFGF)F(M)F(M)F(MM HHHFFFHGFGGHExt,G
rrrrrrrrrrrr=∧++∧+=+=
→→
→∑
Torseur de cohésion entre E et F (soit 5<x<6)
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
75
2.4. Application : tir à la corde2.4.2. Torseur des efforts intérieurs
Commentaires :
Le tronçon EF est soumis à un effort normal N = 2000N.
N>0 c’est donc de la traction d’une intensité de 2000N.
Finalement on a pour le torseur de cohésion entre E et F (5<x<6) :
{ }G
GFH
int
000
00
N2000T
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
Torseur de cohésion entre E et F (soit 5<x<6)
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
76
2.4. Application : tir à la corde2.4.2. Torseur des efforts intérieurs
Synthèse des 7 torseurs de cohésion
1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m
A B C D E F H
FA=1kN FB=1kN FC=1kN FD=1kN FE=1kN FF=1kN FH=1kN
O
x
y
G000
00
N7000
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
G000
00
N6000
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
G000
00
N5000
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
G000
00
N4000
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
G000
00
N3000
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
G000
00
N2000
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
G000
00
N1000
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
Chaque tronçon de corde entre 2 joueurs n’est donc pas sollicité de la même manière.
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
77
2.4. Application : tir à la corde2.4.3. Diagrammes de sollicitation
Seule la composante d’effort normal est non nulle.
Figure 2.9 : diagramme de sollicitation en traction
Diagramme d’effort normal :
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
78
600 mm
800
mm
A
B C
2.5. Application : potence de perceuse
Support de perceuse constitué de 2 profilés alu montés en équerre
2.5.1. Présentation du problème, modélisation
Figure 2.10 : potence de perceuse
FC = 100N
X
Y
Figure 2.11 : support perceuse, modélisation
modélisation600 mm
800
mm
10 kg
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
79
2.5. Application : potence de perceuse2.5.2. Réaction de liaison
Potence encastrée en A Déterminons ses réactions
Bilan des actions mécaniques
{ }CC
CCABCF
000
0N100
0
000
0F0
TC
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
→r
Soit sous la forme d’un torseur :
{ }AA
A
A
AABCntencastreme
N00
0YX
T⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=→
Encastrement en A :
0N100
0
0F0
F CC −=−=r
Force ponctuelle en C :
Le problème est plan !
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
80
2.5. Application : potence de perceuse2.5.2. Réaction de liaison
PFS
Résultante :⎩⎨⎧
=+−=+
⇒=∑ → 0YF:y0X0:x
0FAC
AABCExt r
rrr
Moment en A : 0MM0M ABCntencastreme,AABCF,AABCExt,A C
rrrrrr =+⇒= →→→∑
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
81
2.5. Application : potence de perceuse2.5.2. Réaction de liaison
PFS
ABCF,A CM
→r
rCalcul de
Vectoriellement : CABCF,CABCF,A FACMMCC
rrrrr ∧+=
→
→→
= 0r
+C
C
xF60000
0F0
0800600
−=−∧
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
82
2.5. Application : potence de perceuse2.5.2. Réaction de liaison
PFS
ABCF,A CM
→r
rCalcul de
Algébriquement :
le moment est suivant Z
le bras de levier de A à C est égal seulement à
la distance BC car la distance AB est parallèle à
la direction de la force
le moment tourne de Y vers X, sens anti trigo
donc le moment est négatif
800
mm
A
B C
FC = 100N
X
Y
Figure 2.12
d
MA,Fc
Ainsi :
C
CABCF,A
xF60000
zFdMC
−=×−=
→
rrr
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
83
2.5. Application : potence de perceuse2.5.2. Réaction de liaison
Torseur des actions mécaniques de l’encastrement en A
800
mm
A
B C
FC = 100N
X
Y60 Nm
{ }AAC
CAABCntencastreme
Nm6000
0N100
0
F60000
0F0
T⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅=→
100 NV BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
84
2.5. Application : potence de perceuse2.5.3. Torseur des efforts intérieurs
Nombre de coupures
A
B C
FC = 100N
X
Y
1 discontinuitégéométrique
2 torseurs de section à exprimer :entre AB et entre BC
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
85
2.5. Application : potence de perceuse2.5.3. Torseur des efforts intérieurs
Repères
A
B C
FC = 100N
XY
Repère global (A, X, Y, Z)
x
y
Repère local à la poutre AB : (A, x, y, z)
xy
Repère local à la poutre BC : (B, x, y, z)
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
86
2.5. Application : potence de perceuse2.5.3. Torseur des efforts intérieurs
Torseur de cohésion entre B et C
A
B C
FC = 100N
xy
Repère local à la poutre BC : (B, x, y, z)
G(x)x
Figure 2.14
avalamont
Résultante du torseur de cohésion :
0N100
0
0F0
FF CCGCExt −=−==∑ →
rr
Calcul par l’aval :
{ } { } { } { }GGCExt,G
GCExtGCExtGaExtGamontavalGint M
FTTTT
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
====∑∑
→
→→ r
r
val→→
Bilan des actions mécaniques ext sur la partie avale :Seul la force FC agit sur l’aval, en C
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
87
2.5. Application : potence de perceuse2.5.3. Torseur des efforts intérieurs
Torseur de cohésion entre B et C
A
B C
FC = 100N
xy
Repère local à la poutre BC : (B, x, y, z)
G(x)x
Figure 2.14
avalamont
Moment en G du torseur de cohésion :Calcul vectoriel :
Calcul par l’aval :
{ } { } { } { }GGCExt,G
GCExtGCExtGaExtGamontavalGint M
FTTTT
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
====∑∑
→
→→ r
r
val→→
C
CCCCCGGCExt,G
F)x600(00
0F0
00
x6000FGC)F(M)F(MM
−−=∧
−+=∧+==
→
→∑rrrrrrr
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
88
2.5. Application : potence de perceuse2.5.3. Torseur des efforts intérieurs
Torseur de cohésion entre B et C
A
B C
FC = 100N
xy
Repère local à la poutre BC : (B, x, y, z)
G(x)x
Figure 2.14
avalamont
Moment en G du torseur de cohésion :Calcul algébrique :
Calcul par l’aval :
{ } { } { } { }GGCExt,G
GCExtGCExtGaExtGamontavalGint M
FTTTT
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
====∑∑
→
→→ r
r
val→→
C
CF,G
F)x600(00
zFGCMC
⋅−−=×−=
rrr
d
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
89
2.5. Application : potence de perceuse2.5.3. Torseur des efforts intérieurs
Torseur de cohésion entre B et C
A
B C
FC = 100N
xy
Repère local à la poutre BC : (B, x, y, z)
G(x)x
Figure 2.14
avalamont
Torseur de cohésion entre B et C, dans le repère local
{ }GGC
CGBC
int
100)x600(00
0N100
0
F)x600(00
0F0
T⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅−−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅−−−=
Flexion simple suivant z
zr
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
90
2.5. Application : potence de perceuse2.5.3. Torseur des efforts intérieurs
Torseur de cohésion entre A et B
A
B C
FC = 100N
xy
Repère local à la poutre AB : (A, x, y, z)
G(x)
x
Figure 2.15
aval
amon
t
Calcul par l’amont :{ } { } { } { }
GAGExt,G
AGExtAGExtGontaExtGamontavalGint M
FTTTT
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−=−==∑∑
→
→→ r
r
m→→
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
91
2.5. Application : potence de perceuse2.5.3. Torseur des efforts intérieurs
Torseur de cohésion entre A et B
A
B C
FC = 100N
xy
Repère local à la poutre AB : (A, x, y, z)
G(x)
x
Figure 2.15
aval
amon
t
Rappel dans le repère global (A, X, Y, Z) :
{ }AAC
CAABCntencastreme
Nm6000
0N100
0
F60000
0F0
T⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅=→
Bilan des actions mécaniques sur la partie amont :Seul l’encastrement en A agit sur l’amont
XY
Soit dans le repère local (A, x, y, z) :
{ }AAC
C
AABCntencastreme
Nm6000
00
N100
F60000
00
FT
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅=→
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
92
2.5. Application : potence de perceuse2.5.3. Torseur des efforts intérieurs
Torseur de cohésion entre A et B
A
B C
FC = 100N
xy
Repère local à la poutre AB : (A, x, y, z)
G(x)
x
Figure 2.15
aval
amon
t
XY
Calcul par l’amont :{ } { } { } { }
GAGExt,G
AGExtAGExtGontaExtGamontavalGint M
FTTTT
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−=−==∑∑
→
→→ r
r
m→→
Résultante du torseur de cohésion :
00
N100
00F
FFC
ABCntencastremeAGExt
−=
−=−=− →→∑
rr
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
93
2.5. Application : potence de perceuse2.5.3. Torseur des efforts intérieurs
Torseur de cohésion entre A et B
A
B C
FC = 100N
xy
Repère local à la poutre AB : (A, x, y, z)
G(x)
x
Figure 2.15
aval
amon
t
XY
Calcul par l’amont :{ } { } { } { }
GAGExt,G
AGExtAGExtGontaExtGamontavalGint M
FTTTT
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−=−==∑∑
→
→→ r
r
m→→
Moment en G du torseur de cohésion :⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∧+→−=→−=− →
→
→∑ ABCntencastremeAGAGExt,G FGA)ABCenc(M)ABCenc(MMrrrr
C
C
C F60000
00
F
00x
F60000
⋅−=∧
−−
⋅−=
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
94
2.5. Application : potence de perceuse2.5.3. Torseur des efforts intérieurs
Torseur de cohésion entre A et B
A
B C
FC = 100N
xy
Repère local à la poutre AB : (A, x, y, z)
G(x)
x
Figure 2.15
aval
amon
t
Torseur de cohésion entre A et B, dans le repère local
En passant par l’aval, on obtiendrait la même chose
{ }GGC
C
GAB
int
Nm6000
00
N100
F60000
00F
T⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅−
−=
Effort normal : N Flexion pure autour de z
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
95
2.5. Application : potence de perceuse2.5.3. Torseur des efforts intérieurs
Bilan des torseurs
A
B C
FC = 100N
xy
Figure 2.15
xy
Entre A et B : Entre B et C :
{ }G
GAB
int
Nm6000
00
N100T
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−= { }
G
GBC
int
100)x600(00
0N100
0T
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅−−−=
V BLANCHOT
Chapitre 2 : Torseur des efforts intérieurs
96
2.5. Application : potence de perceuse2.5.4. Diagrammes de sollicitation
Entre A et B : Entre B et C :
{ }G
GAB
int
Nm6000
00
N100T
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−= { }
G
GBC
int
100)x600(00
0N100
0T
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅−−−=