UNIDAD I: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

UNIDAD I:FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

EJEMPLOS DEL METODO DE LAGRANGE

Profesor:

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSAUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

DE LA FUERZA ARMADANÚCLEO ZULIA

DIVISIÓN ACADÈMICA

CICLO BÁSICO

Pedro Colina

Maracaibo, 2.008

Matemática III Prof. P. Colina2

2

METODO DE LOS MULTIPICADORES DE LAGRANGE

Este es un método que permite encontrarvalores extremos, máximos o mínimos (maximizaro minimizar) de una función general sometida o sujeta a alguna condición orestricción de la forma .

El método establece una ecuación en funciónde las condiciones o restricciones que debecumplir la función, en todo caso se resuelveuna ecuación vectorial de la forma:

, para cuando hay una sola condicióna cumplir y para cualquier n variables.

Para cuando la función debe cumplir dosrestricciones se tiene: , lasrestricciones son: .Entonces la ecuación queda:

, para cuando hay dos condicionesa cumplir.

Se debe resolver el sistema de ecuacionesdadas a través de la ecuación vectorial yademás la condición o condiciones formaránparte de ese sistema a resolver.

Cuando se tiene una función de tres variablesrestringida por , el procedimientogeneral se puede establecer así:


3

Identificar la función de donde se deseahallar el valor máximo o mínimo, esta sellama función a optimizar, a la que sedesea hallar los valores extremos.

Identificar la o las restricciones acumplir por la función.

Hallar el gradiente de la función: Hallar el gradiente de la restricción:

Formar la ecuación vectorial: Formar el sistema de ecuaciones que incluyalas condiciones las condiciones.

Determinar todos los valores x, y, z y λque satisfagan y .

Evaluar todos los puntos delresultado anterior en la función . Elmayor de los valores será el valor máximode la función y el más pequeño es el valormínimo de la función.

EJEMPLOS DEL METODO DE LAGRANGE

Ejemplo 1:¿Cuál es el área máxima que puede tener unrectángulo si la longitud de su diagonal es 4?

Solución:Represente un rectángulo con lados x e y, basey altura respectivamente.


4

La longitud de la diagonal es 4, fíjese que seforma un triangulo rectángulo.Función a optimizar: maximizar en este caso: Área.Área de un rectángulo: A = x.yCondición a cumplir: : De una manera más fácil:

Al tener identificadas la función y lacondición, se determinan los gradientes.

Así las ecuaciones de Lagrange son:

…. (1)….. (2) …(3)

Al resolver el sistema, una de las formas puedeser:Multiplicar la ecuación (1) por x, y tambiénla ecuación (2) por y,

…. (4) ….. (5)

Matemática III Prof. P. Colina

x

y4

5

5

Se igualan las ecuaciones (4) y (5) Al simplificar queda:

; Queda: Luego una variable se expresa en función de laotra y se sustituye en la ecuación (3).

Si y = x

Como estamos midiendo distancias, x solo puede tomar valoresno negativos, así que se tiene un único punto que es para x= ,la altura y también vale.Así se concluye que las dimensiones del rectángulocorresponden con un cuadrado de lado . Su área será: A=* =8

Ejemplo 2:¿Cuáles son los valores máximos y mínimos quepuede tener una la función , sobreel círculo ?

Solución:Se pide calcular los valores extremos de lafunción sujeta a la restricción

Calculamos los gradientes:

Las ecuaciones de Lagrange pueden escribirse:Matemática III Prof. P. Colina6

6

……ec nº 1 ……ec nº 2……ec nº3

Partiendo de la ecuación Nº 1 se tiene:

y , entonces se verifican estos dosvalores en las otras ecuaciones.

Si x=0 en la ec nº4 se obtiene:

Luego si , en la ec nº2 se tiene y=0, y luegoen la ec nº3,

Como consecuencia, tal vez tiene valoresextremos en los puntos:

(0,1) (0,-1) (1,0) (-1,0)

Al evaluar a en esos cuatro puntos seencuentra que:

o


7

Por consiguiente, hay dos valores máximos enlos puntos (0,1); (0,-1) y dos valores mínimosen los puntos: (1,0) y (-1,0).

Ejemplo 3:

Determine las dimensiones de un cilindrocircular recto con volumen máximo si el área desu superficie es de 24π (unidades de longitudcuadradas).

Solución: Del enunciado se saca que la función que se

quiere maximizar, en este caso, es la funciónvolumen del cilindro circular recto. Laexpresión de volumen para un cilindro circularrecto es:

V(h,r) = πhr²

h: es la altura del cilindror: es el radio del cilindro

La restricción o la condición que debecumplir la caja es que la superficie de la cajaserá igual a 24π (unidades de longitudcuadradas), escribimos la expresión de lasuperficie del envase cilindro circular rectoconsiderando el fondo del recipiente y su“tapa”.

S(h,r)= 2 πr² + 2 πhr = 24 πMatemática III Prof. P. Colina8

8

Observe que las expresiones del volumen yde la superficie están dadas respecto a lasmismas dos variables: h y r.

Determinamos los gradientes.a) primero de la función a maximizar, la función volumen

Vh = πr²Vr = 2 πhr

b) luego el gradiente de la restricciónSh =2πr Sr = 4πr + 2 πh

La ecuación de Lagrange se escribe:

=

Se forma el siguiente sistema de ecuaciones apartir de la igualación de cada componente:

πr² = λ 2πr …ec nº 12 πhr = λ (4πr + 2 πh) …ec nº 2, además de

2 πr² + 2 πhr = 24 π …ec nº 3

Despejando λ de las ecuaciones nº 1 y nº 2, setiene:Matemática III Prof. P. Colina9

9

Al igualar ambas se obtiene:

, se sustituye en la ecuación nº 3 y seobtiene:

2 πr² + 2 π2rr = 24 π

2 πr² + 4πr² = 24 π 6 πr² = 24 π r² = 4 r = ± 2, pero solo se considera el valor positivo ya

que r representa una distancia, así que el valor del radio r es 2, la altura h=4.

Finalmente se concluye que lasdimensiones que producen el volumen máximode un cilindro circular recto para unasuperficie de 24 π son: h = 4 ; r = 2

Ejemplo 4:


10

Se desea fabricar una caja de cartón dondeel material de los lados y la tapa es de Bs1/metro cuadrado y el costo del material delfondo es de Bs 3/ metro cuadrado. Determine lasdimensiones que debe tener la caja para que suvolumen sea de 2 metros cúbicos y su costo seamínimo.

Solución: Primero dibujamos la caja donde sus lados

sean paralelos al sistema de referencia xyz.

Del enunciado se saca que la función que sequiere minimizar, en este caso, es la funcióncosto. Entonces debemos escribir la llamadafunción costo, veamos, hay dos preciosdiferentes involucrados en la fabricación de lacaja: el fondo por un lado y las paredes olados laterales y la tapa. Entonces:

Costo total = costo total fondo caja + costo total lados-tapa,Además:

Costo total fondo caja= costo unitario fondo*área de fondoCosto total lados-tapa = costo unitario lados-tapa*área lados-tapa.

Así que se puede escribir el costo total de la siguiente manera:

Si Identificamos:Costo total: CT.


11

Costo unitario fondo: Cf. Donde Cf = 3 Bs/m²Área de fondo: Af. Donde Af = x*yCosto unitario lados-tapa: Cl-t . Donde Cl-t =1 Bs/m²Área lados-tapa: A l-t. Donde Al-t = x*y + 2x*z + 2y*z

Entonces: CT = Cf*Af + Cl-t*Al-t

Escribiéndolo en formulas se tiene:CT = 3 Bs/m²* x*y + 1 Bs/m² (x*y + 2x*z + 2y*z)

Asumiendo que las unidades son correspondientes: CT = 3 x*y + (x*y + 2x*z + 2y*z)

CT = 4 x*y + 2x*z + 2y*z

Finalmente esa es la formula a optimizar,de aquí vamos a hallar el costo mínimo de lacaja con esas condiciones.

La restricción o la condición que debecumplir la caja es que el volumen de la cajaserá:

V= xyz = 2

Determinamos los gradientes.CTx = 4 y + 2z CTy = 4x + 2zCTz = 2x + 2y


12

Vx= yzVy= xzVz= xy


=


4 y + 2z =λyz …ec nº 1 4x + 2z = λxz …ec nº 2 2x + 2y= λxy …ec nº 3, y además xyz = 2 …ec nº4

Se resuelve el sistema de ecuaciones linealespor cualquiera de los métodos conocidos paraestos casos.En particular, en este caso se multiplicara laec nº 1 por x, la ec nº 2 por y, la ec nº 3 porz. quedan así las ecuaciones:

4 xy + 2xz =λxyz …ec nº 54xy + 2yz = λxyz …ec nº 62xz + 2yz= λxyz …ec nº 7, y aun se tiene la ec nº 4.


13

Fíjese que las tres ecuaciones poseen igual lossegundos términos (λxyz), así que losigualaremos a través de ellos.

Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 6:4 xy + 2xz = 4xy + 2yz, luego2xz = 2yz, entoncesx = y, ….ec nº8

Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 7:4 xy + 2xz = 2xz + 2yz , luego 4 xy = 2yz , entonces 2x =z, …ec nº9

Luego se sustituyen las expresiones encontradasen las ecuaciones nº8 y nº9 en la ecuación nº4,de esa manera queda una sola ecuación con una sola incógnita que es la x.

xx2x = 2, entonces quedax³=1 y finalmente se obtienex= 1

Ahora por las ecuaciones nº 8 y nº 9 se obtiene que lasdimensiones de la caja son:x = 1, y = 1, z = 2.

Note que efectivamente el volumen de la caja es de 2 m³.

El costo minimote la caja a construir será:CT = 4(1)(1) + 2(1)(2) + 2(1)(2) = 4+4+4=12 bolívares


14

Comentario: En el costo del valor final de la caja, 12 bolívares, parecealto para la realidad, pero es que se usaron valores enterospara que los valores a calcular fuesen fáciles de ver.Luego se resolverán ejemplos mas complicados.

Ejemplo 5:

El material para el fondo de una cajarectangular cuesta el triple por metro cuadradoque el material para los lados y la tapa.Determine la máxima capacidad (volumen) que lacaja puede tener si la cantidad total de dineroa gastar es de 6 bolívares y el material delfondo cuesta Bs 0.90/metro cuadrado.

Solución: Primero dibujamos una caja donde sus lados seanparalelos a los ejes del sistema de referenciaxyz.

Del enunciado se saca que la función que sequiere maximizar, en este caso, es la funcióncapacidad o volumen. Entonces debemos escribirla llamada función del volumen de la caja deacuerdo a su expresión geométrica.

V= xyz


15

Ahora identifiquemos la restricción: el costofijo de la caja es de 6 bolívares, peroobservemos que hay dos precios diferentesinvolucrados en la fabricación de la caja: elfondo por un lado y las paredes o ladoslaterales y la tapa. Escribamos la expresióndel costo que es fijo e igual a 6 bolívares,entonces:

Costo total =6 Bs = costo total fondo caja + costo total lados-tapa,

Además:

Costo total fondo caja= costo unitario fondo*área de fondoCosto total lados-tapa = costo unitario lados-tapa*área lados-tapa.

Así que se puede escribir el costo total de la siguiente manera:

Si Identificamos:Costo total: CT. Costo unitario fondo: Cf. Donde Cf = 3 Bs/m²Área de fondo: Af. Donde Af = x*yCosto unitario lados-tapa: Cl-t . Donde Cl-t =1 Bs/m²Área lados-tapa: A l-t. Donde Al-t = x*y + 2x*z + 2y*z

Entonces: CT = 6 = Cf*Af + Cl-t*Al-t

Escribiéndolo en formulas se tiene:Matemática III Prof. P. Colina16

16

6 = 0.9 Bs/m²* x*y + 0.3 Bs/m² (x*y + 2x*z + 2y*z)

Si decimos que las unidades son correspondientes, escribimosla expresión de manera más sencilla:

6 = 0.9 x*y + 0.3 (x*y + 2x*z + 2y*z)

6 = 1.2 x*y + 0.6x*z + 0.6y*z


Vx= yzVy= xzVz= xy

b) luego el gradiente de la restricciónCTx = 1.2 y + 0.6z CTy = 1.2x + 0.6zCTz = 0.6x + 0.6y


=λ

Se forma el siguiente sistema de ecuaciones apartir de la igualación de cada componente:Matemática III Prof. P. Colina17

17

yz = λ( 1.2 y + 0.6z) …ec nº 1xz = λ (1.2x + 0.6z) …ec nº 2xy=λ(0.6x + 0.62y) …ec nº 3, y además6 = 1.2 x*y + 0.6x*z + 0.6y*z …ec nº4


xyz = λ 1.2 xy + 0.6 zx λ …ec nº 5yxz = 1.2x λ y + 0.6 yz λ …ec nº 6xyz = 0.6 xz λ + 0.6 yz λ …ec nº 7, y además6 = 1.2 x*y + 0.6x*z + 0.6y*z …ec nº4

Fíjese que las tres ecuaciones poseen igual losprimeros términos (xyz), así que los igualaremosa través de ellos.

Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 6:

1.2 λ xy + 0.6zx λ = 1.2 λ x y + 0.6yz λ 0.6zx λ = 0.6yz λ x = y

Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 7:1.2 λ xy + 0.6 zx λ = 0.6 xz λ + 0.6 yz λ 1.2 λ xy = 0.6 yz λ


18

1.2 x = 0.6 z 2 x = z

Se escribe la ec nº 4 respecto de una variable

6 = 1.2 xx + 0.6 x2x + 0.6 x2x

6 = 1.2 x² + 1.2 x² + 1.2 x²

6 = 3.6 x²

,

Como x representa una distancia se toma el valor positivo.

Así que:

Entonces los valores de las dimensiones de la caja son:

; ;

La capacidad total será

V= * * = 2 .

Ejemplo 6:

Determine las dimensiones de una cajarectangular con la capacidad máxima, es decirMatemática III Prof. P. Colina19

19

con el máximo volumen, si el área de lasuperficie total será 64 cm. cuadrados.

Solución: Primero dibujamos una caja donde sus lados

sean paralelos a los ejes del sistema dereferencia xyz.

Del enunciado se saca que la función que sequiere maximizar, en este caso, es la funcióncapacidad o volumen de una caja rectangular ode un paralelepípedo rectangular.

Entonces debemos escribir la llamadafunción del volumen de la caja de acuerdo a suexpresión geométrica.

V= xyz

Además, se identifica la condición acumplir o la restricción, dada por lasuperficie que debe poseer dicha caja, que esde 64 cm. cuadrados. Escribimos el área de lasuperficie (S):

S= 2xy + 2yz + 2xz = 64


Vx= yzVy= xzVz= xy


20

b) luego el gradiente de la restricciónSx = 2y + 2z Sy = 2x + 2zSz = 2x + 2y


=λ


yz = λ( 2 y + 2z) …ec nº 1xz = λ (2x + 2z) …ec nº 2xz = λ (2x + 2y) …ec nº 3 y además2xy + 2yz + 2xz = 64…ec nº4


xyz = 2 λx y + 2 λx z …ec nº 5xyz = 2 λ xy + 2 λy z …ec nº 6xyz =2 λ xz + 2 λ yz …ec nº7


21

Fíjese que las tres ecuaciones poseen igual losprimeros términos (xyz), así que los igualaremosa través de ellos.

Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 6:

2 λx y + 2 λx z = 2 λ xy + 2 λy z 2 λx y + 2 λx z = 2 λ xy + 2 λy z 2 λx z = 2 λy z, se obtiene: x = y

Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 7:2 λx y + 2 λx z = 2 λ xz + 2 λ yz 2 λx y = 2 λ yz x = z Así que se tiene: x =y = z

Se escribe la ecuación nº4 en función de una sola variable: 2xy + 2yz + 2xz = 64…ec nº4, respecto de x por ejemplo, queda:

, por representar x una distancia setoma el valor positivo, así que:

, entonces:


22

y el volumen máximo para la condición dada

es: .

Ejemplo 7:

Determine cual es la distancia más corta entreel plano cuya ecuación es y el puntoorigen del sistema .

Solución:

Del enunciado se obtiene que la función que sequiere minimizar, en este caso, es la funcióndistancia entre dos puntos de . Fíjese que elenunciado establece: la distancia más corta,eso se refiere a la menor de las distancias, ala mínima distancia entre dos puntos, donde unode los puntos es el origen y el otro punto debeestar sobre la superficie dada. Se deseaoptimizar la distancia.

Entonces debemos escribir la llamadafunción distancia (d).

Además, se identifica la condición acumplir o la restricción, eso es que el punto


23

debe estar contenido en el plano dado por:.

Una observación muy importante y que nosahorraría mucho tiempo y esfuerzo es quepodemos trabajar con la distancia al cuadrado,es decir la función a minimizar se puedeescribir como: , el alumno deberádemostrar que esto es cierto. Para ello deberátrabajar con la ecuación normal de la distancia

y/o revisar bibliografías para llegara comprender y concluir que se obtienen losmismos valores.

Determinamos los gradientes.a) primero de la función a minimizar, la función distancia:

dx= 2xdy= 2ydz= 2z

b) luego el gradiente de la restricciónSx = 1 Sy = 2Sz = 3


=


24


……ec nº1 ……ec nº2

……ec nº3, y además……ec nº4

Se resuelve el sistema de ecuaciones a partir de la igualación de .Al igualar las ecuaciones nº 1 y nº 2:

, y queda: …ec nº 5

Al igualar las ecuaciones nº 1 y nº 3:, y queda: …ec nº 6

Se sustituyen las expresiones de restas dos variables en la ec nº 4 para que quede respecto de una variable.

, así que

Se obtienen los valores de los otras dos variables:

Además: .

Así que la distancia mas corta entre el punto (0,0,0) y el plano dado es:


25

Ejemplo 8:

Determine la mínima distancia entre el origen yla superficie .

Solución:

Del enunciado se obtiene que la función que sequiere minimizar, en este caso, es la funcióndistancia entre dos puntos de , donde uno delos puntos es el origen y el otro punto debeestar sobre la superficie dada. Se deseaoptimizar la distancia.

Entonces la ecuación la llamada funcióndistancia (d).

Además, se identifica la condición acumplir o la restricción, eso es que el puntodebe estar contenido en la superficie dada por.

. Es decir, debe satisfacer laecuación de esa superficie.

Una observación muy importante y que nosahorraría mucho tiempo y esfuerzo es que, denuevo, al igual que en el ejemplo anterior, sepuede trabajar con la distancia al cuadrado, esMatemática III Prof. P. Colina26

26

decir la función a minimizar se puede escribircomo: , el alumno deberá demostrar queesto es cierto. Para ello deberá trabajar conla ecuación normal de la distancia y/o revisar bibliografías para llegar acomprender y concluir que se obtienen losmismos valores.

Determinamos los gradientes.a) primero de la función a minimizar, la función distancia:

dx= 2xdy= 2ydz= 2z

b) luego el gradiente de la restricciónSx = 2xy Sy = x²Sz = -2z


=


……ec nº 1 ……ec nº 2

……ec nº 3, y además


27

……ec nº 4

Se resuelve el sistema de ecuaciones, veamos como se hace en este caso:

De la ecuacion nº 1 se tiene, al hacer cero deun lado:

, , de aquí salen dos situaciones:

i. . Entonces si x=0, de la ec nº 2 queday=0 , y al sustituir en ec nº 4 se obtiene: . Se obtienen los puntos: :(0,0,3) y : (0,0,-3).

ii. , se despeja λ, se tiene: , se sustituye en la ec nº 3, se observa: se sustituye en la ec nº 2 y queda: ,entones

luego al sustituir los valores , ambos en la ec nº 4: que al resolver se obtiene: .

De esta parte se han obtenido los siguientes puntos: :

: : :

Seguimos analizando las opciones planteadas del sistema de ecuaciones, de la ec nº 3.


28

de aquí también salen dos situaciones:

i. , pero esta opción ya fue considerada en la parte anterior, así que no se estudiará de nuevo.

ii. . De la ec nº 4 se obtiene: ,.. ec nº 5

además, se puede comentar aquí que y debe

ser negativo.Si multiplico la ec nº 1 por x , la nº 2 por y se obtiene:

así que ……ec nº 6 así que ……ec nº 7

Que al igualar estas dos últimas ecuaciones se obtiene: … … ec nº 8que al sustituirla en la ec nº 5 se obtiene:

,,

,Esto representa otro valor probable para y.

Entonces de , se obtienen dos valores para x.

,

, de igual forma

,


29

Se forman dos puntos posibles más:

:

.Con esta parte damos por terminada la

búsqueda de los puntos críticos, hemosobtenido ocho puntos críticos al analizartodas las posibles condiciones que sepueden dar en este caso.

Finalmente vamos a hallar las distancias para saber cual es la menor de todas, que es el objetivo del ejercicio.

Fíjese que la distancia a los puntos: :(0,0,3) y :(0,0,-3), es la misma: .

También la distancia a los puntos: , , , es la misma y es igual a:

Además la distancia a los puntos y , también es igual:

Concluimos que la distancia mínima del origen a la superficie es igual a 2,33 unidadesde longitud.


30

Ejercicios propuestos y tarea a realizar.

1) Determine las dimensiones de una caja rectangular de volumen 2 m³ para que la suma de las longitudes de las aristas sea mínima.

2) Determine las dimensiones de una caja rectangular de volumen máximo si la superficie total deberá ser 220 cm².

3) Se desea fabricar una caja donde el costo del material para los lados y la tapaes de Bsf 1,2/m² y el costo de la parte inferior es de Bsf 2,4/m². determine las dimensiones de la caja con volumen 2 m³.

4) El material para la fabricación del fondo de una caja rectangular cuesta el doble por cada metro cuadrado que el material para los lados y la tapa. Determine la máxima capacidad que puede tener la caja si la cantidad total de dinero disponible es de Bsf 6 y el materialdel fondo cuesta Bsf 0,80 por metro cuadrado.

5) Determine cual es el punto del plano que es más cercano al origen

¿Cuál es la distancia más corta? 6) Un tanque metálico rectangular sin tapa debe contener 4,2 m³ de líquido. ¿Cuáles son las dimensiones del tanque que requieren menos material para su construcción?


31

7) Determine la mínima distancia entre el punto (1,2,0) y el cono cuadrático

.8) Determine el volumen máximo de una caja rectangular cerrada con caras paralelas a los planos coordenados inscrita en el elipsoide de ecuación:

9) Se desea hallar los dos números positivos cuya suma sea 16 y donde el cuadrado del primero sumado al cubo del segundo den el valor máximo posible.

10) Determine la mínima distancia entre el punto (1,2) y la parábola

11) El material para la fabricación del fondo y la tapa de una caja rectangular cuesta el triple por cada metro cuadrado que el material para los lados. Determine la máxima capacidad que puede tener la cajasi la cantidad total de dinero disponible es de Bsf 6 y el material del fondo cuesta Bsf 0,90 por metro cuadrado.

12) Se desea construir una pecera de secciónrectangular, el fondo de esquisto y las paredes de vidrio, si el esquisto cuesta 4 veces el costo del vidrio por metro cuadrado. Cuales serán las dimensiones de la pecera si el volumen es 0.8 m³ si se desea que el costo sea mínimo.

13) Una caja rectangular cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas, se


32

inscribe en un elipsoide de ecuación: ¿Cuál es el mayor volumen

posible para la caja?14) Determine el mínimo de la función

, sujeta a la restricción:


33

Actividad Grupal

1)Se deberán agrupar en equipos de tresintegrantes.

2)Cada grupo deberá entregar un ejercicio resueltola próxima clase del día jueves30 de octubre.

3)No se aceptarán ejercicios repetidos.4)En caso de que dos o más equipos resuelvan un

mismo ejercicio la nota correspondiente a laactividad de esos equipos, TODOS, será CEROPUNTOS.

5)El grupo de la clase, como grupo de adultos ypersonas decentes, sortearán los Ejerciciospropuestos y la tarea a realizar.

6)La misma deberá ser entregada al inicio de laclase.

7)El ejercicio deberá estar coherentementedesarrollado y explicado el procedimiento amedida que desarrolla el ejercicio, tendrá suconclusión que será responder lo pedido. En letralegible y ordenado.

8)El responsable de cada grupo deberá estar alinicio de la clase y entregará de inmediato elejercicio que le corresponda. Todos losintegrantes deberán firmar el trabajo.


34

9)No se aceptarán trabajos individuales, aquellaspersonas que pretendan entregarindividualmente tendrá una puntuación de CEROPUNTOS.

10) No se aceptarán excusas a menos que estede reposo médico durante toda la semana, mejoraún desde el domingo 26/10 al 30/10. de resto nose aceptaran. Asi que ténganlo listo antes de lafecha para evitar inconvenientes.

NOTA: hoy es viernes 24 de octubre.


35

UNIDAD I: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Documents

Transcript of UNIDAD I: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES