Algebra de Funciones 2013 Nov

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHILPANCINGODepartamento de Ciencias de la Tierra

Departamento de Ciencias Básicas

Graciela Castañón Alfaro

Jorge Edgardo Alcaraz Vega

Noviembre de 2013

CÁLCULO DIFERENCIAL Unidad II 4 Álgebra de funciones

Álgebra de funciones

Operaciones entre funciones

Las operaciones elem entales de sum a, resta, m ultiplicación y división -establecidas en principio para relacionar cantidades constantes y posteriorm ente para tratar con cantidades variables- se utilizan tam bién para operar funciones de distinto tipo y obtener por resultado otras nuevas, am pliando de m anera im portante las posibilidades de definición de funciones.

Sean xf y xg dos funciones con dom inios fD y gD respectivam ente. I) La sum a de las dos funciones es otra función cuyo dom inio es el conjunto intersección de los dom inios de los sum andos:

xhxgfxgxf 1 de dom inio gfh DDD1

II) La diferencia de las dos funciones es otra función cuyo dom inio es el conjunto intersección de los dom inios del m inuendo y el sustraendo:


2


Operaciones entre funciones III) El producto de las dos funciones es otra función cuyo dom inio es el conjunto intersección de los dom inios de los factores:


IV) El cociente de las dos funciones es otra función cuyo dom inio es el conjunto intersección de los dom inios del dividendo y el divisor:

xhx

gf

xgxf

4

, con 0xg ; es decir, su dom inio no com prende los

valores de x que hacen que g(x) sea cero.

En la representación gráfica de funciones, definiendo a xfy1 y xgy2 , la sum a de am bas funciones resulta 213 yyy ; cuyo significado es que cada elem ento

gf DDx constituye la abscisa de un punto de la gráfica de la función cuya ordenada es el valor correspondiente de 3y .

3

xcosxy5 X,D5 Y,R5

xcosxy4 X,D4 Y,R4


Funciones: Dom inio: Rango:

xcosy2 X,D1 Y1,1R1

xy1 X,D2 Y,R2

xcosxy3 X,D3 Y,R3

xcosxy6 X

25,

23

2,

2D6

Y,R6

Ejem. 1)

Ejem. 2)

Ejem. 3)

Ejem. 4)

4

213 yyy xcosxy3

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

xcosy2

xy1

xcosxy3

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

Ejem. 1)

5

214 yyy xcosxy4

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

xcosy2

xy1

xcosxy4

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

Ejem. 2)

6

215 yyy xcosxy5

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

xcosy2

xy1

xcosxy5

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

Ejem. 3)

7

2

16 y

yy xcos

xy6

xcosy2

xy1

xcosxy6

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

X

Y

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

X

Y

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

X

Y

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

X

Y

Ejem. 4)

8

x234 exy X,D4

Y21,R4

x22 ey X,D1 Y,0R1


31 xy X,D2 Y,R2

x233 exy X,D3

Y,R3


2xexy 35 X,D5

Y,R5

x2

36 e

xy X,D6

Y154.0,R6

Ejem. 5)

Ejem. 6)

Ejem. 7)

Ejem. 8)

9

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

X

Y

213 yyy x233 exy

x22 ey

31 xy

x233 exy

Ejem. 5)

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

X

Y

10

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

X

Y

213 yyy x233 exy

x22 ey

31 xy

x233 exy

Ejem. 6)

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

X

Y

11

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

X

Y

213 yyy x233 exy

x22 ey

31 xy

x233 exy

Ejem. 7)

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

X

Y

12

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

X

Y

2

13 y

yy x2

3

3 exy

x22 ey

31 xy

x2

3

3 exy

Ejem. 8)

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

X

Y

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

X

Y

13

Composición de funciones

Sean xf y xg dos funciones con dom inios fD y gD respectivam ente.

La función xgfxgf recibe el nom bre de función compuesta de f con g, o bien función f compuesta g. El dom inio de gf es el conjunto de todas las x del dom inio de g tales que xg esté en el dom inio de f.

A

x

xg

g f

xgf

B

C

gf 14

1x2xf X,D2 Y,R2



xcosxg X,D1 Y1,1R1

La función f compuesta g. se sim boliza gf y se define con la expresión: 1xcos2xcosfxgfxgfxh1

Ejem. 9)

1xcos2xh1 X,D 1h Y1,3R 1h

15

Composición de funciones Ejem. 9)

xcosxg

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

1xcos2xcosfxgfxgf

1x2xf

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

16

1x2xf X,D2 Y,R2



xcosxg X,D1 Y1,1R1

La función g compuesta f. se sim boliza fg y se define con la expresión: 1x2cos1x2gxfgxfgxh2

Ejem. 10)

1x2cosxh1 X,D 1h Y1,1R 1h

17

Composición de funciones Ejem. 10)

xcosxg -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

1x2xf

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

1x2cos1x2gxfgxfgxh2

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

18

F unciones inversas

Al establecerse clasificaciones de funciones se m encionó la existencia de una función inversa de alguna función biyectiva.

Dada una función inyectiva f con dom inio XD f . codom inio YC f y rango YR f , puede definirse la función g con dom inio fg RD , codom inio XC g y rango XRg com o una función inversa de f . La expresión analítica de la definición de

función inversa es xxff 1 .

1b1

b11

b1 xffyfx

2b1

b21

b2 xffyfx

11b yxf

22b yxf

X

Y

bf

1bf

19

F unciones inversas Determ inar la función inversa de 3xxf 3

Dada la función: 3xxf 3 [1]

De la definición de funciones inversas se tiene: xxff 1 [2]

Sustitución en [1] del valor de x dado por [2]: x3xf 31 [3]

Sum a de (3) en am bos m iem bros de [3]: 3xxf 31 [4] Extracción de raíz cúbica en am bos m iem bros de [4] 31 3xxf [5]

Ejem. 11)

Denom inando xfxg 1 : 3 3xxg

20

F unciones inversas

Ejem. 11)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

3xxf 3

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

3 3xxg

21

Sustitución en [1] del valor de x dado por [2]: xxfln 1 [3]

Sim plificación de térm inos de [4] x1 exf [5]

Exponenciando con base e am bos m iem bros de [3]: xx1flnee

[4]

De la definición de funciones inversas se tiene: xxff 1 [2]

F unciones inversas Determ inar la función inversa de xlnxf

Dada la función: xlnxf [1]

Ejem. 12)

Denom inando xfxg 1 : xexg

22

F unciones inversas

Ejem. 11)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

xlnxf

xexg

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

23

La definición de funciones inversas im plica, en principio, que no existen funciones inversas para funciones no inyectivas y no Sobreyectivas; sin em bargo, bajo situaciones de restricciones para el dom inio y codom inio de algunas funciones que no son biyectivas, es posible definir funciones inversas en el contexto de dichas restricciones. La función senxxf , cuyo dom inio es XD f y rango Y1,1R f , evidentem ente no es una función biyectiva por no ser sobreyectiva. Por lo tanto no puede existir para este caso una función inversa. Sin em bargo, considerarse la función senxxg con dom inio X

2,

2Dg

, y

codominio Y1,1C g en cuyo caso arcsenxxg 1 es la función inversa de g. Para la relación xgy se tiene, entonces, que senxy y arcsenyx cuyo significado es que el valor de x es la m edida del arco del ángulo cuyo seno vale y .

F unciones inversas

Debe considerarse que el concepto de función inversa no es equivalente al de función

recíproca, pues si bien la función senx

1xcsc es función recíproca de senx , no es la función inversa de senx. 24

25

senxy -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

F unciones inversas

arcsenxy

1x,senxy 1-

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

26

xcosy -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

F unciones inversas

xarccosy

1x,xcosy 1-

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

27

xtany -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

F unciones inversas

xarctany

2x,xtany 2-

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

28

xsecy -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

F unciones inversas

xsecarcy

2x,xsecy 2-

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

29

xcscy -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

F unciones inversas

xcscarcy

x,xcscy -

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

Una función xf se considera una función explícita en tanto su definición exhibe el conjunto de operaciones y el orden en que éstas deban realizarse sobre la variable x para determ inar la correspondiente variable y. Se trata, por ello, de una función de dos variables, x y y, que puede denotarse com o y,xF donde la variable ubicada en prim er térm ino tiene carácter de independiente y de dependiente la colocada en segunda instancia. Una función implícita, por lo tanto, es aquella contenida en una expresión m atem ática de igualdad que sí bien perm ite identificar operaciones y orden de realización de éstas sobre una cierta variable, esa identificación no llega a explicar por com pleto, con las relaciones entre las variables, la definición de la variable dependiente. En el caso de una expresión m atem ática que com prenda de m anera im plícita una función, ésta puede definirse de m anera explícita m ediante procedim ientos m atem áticos de transform ación

F unciones implícitass

30

Determ inar xfy de la ecuación 1xy2xcosy .

Factorización de y: 1xcosx21y

Sum a de xcos en am bos m iem bros: xcos1x21y

M ultiplicación de x21

1

en am bos m iem bros: x211xcosy

x211xcosy

, con X,21

21,D y

y Y,00,R y

Ejem. 12)


31


Ejem. 12)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

x211xcosy

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

32

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