Objetivos: Interpretar, definir y graficar distintos tipos de funciones que modelicen situaciones problemáticas numéricas, experimentales o geométricas, tanto en el campo de la matemática como en otras áreas del conocimiento.

Conocer y saber usar símbolos y representaciones gráficas para expresar relaciones, en especial las funcionales, reconociendo el valor y los límites que encierra la modelización matemática en relación con fenómenos de la vida real o con aquellos que surjan de conexiones con otras disciplinas.

Reconocer situaciones en las que existan problemas susceptibles de ser modelizados mediante una función matemática.

Contenidos:

Función. Definición. Clasificación de funciones. Función inversa.

Composición de funciones. Funciones escalares. Función par, impar, creciente, decreciente y periódica.

Gráfica de las funciones según las distintas transformaciones.

Aplicaciones.

Tema 1: FUNCIONES ESCALARES

Función constante. Función identidad.

Función valor absoluto. Función de proporcionalidad directa.Función de proporcionalidad inversa. Función de primer grado. Función de segundo grado. Función polinomial. Función racional fraccionaria. Ecuaciones e inecuaciones. Aplicaciones.

Tema 2: FUNCIONES ESCALARES ALGEBRAICAS

Función exponencial.Función logarítmica. Función logística. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Funciones trigonométricas. Funciones trigonométricas inversas. Aplicaciones.

Tema 3: FUNCIONES ESCALARES TRASCENDENTES

Sistema de Evaluación: Pruebas de Evaluación a Distancia.

Evaluación Final

• Primera Evaluación: fecha límite de entrega Jueves 20 de junio.

• Segunda Evaluación: fecha límite de entrega Jueves 25 de julio.

Pruebas de Evaluación a Distancia

(Ambas de realización y envío obligatorios)

Evaluación a Distancia. Fecha límite de entrega: jueves 22 de agosto

Evaluación Final

Todas las evaluaciones deben realizarse de manera individual

Certificación a otorgar:

Aprobación:

Envío de las 2 Evaluaciones a distancia

Aprobación de la Evaluación Final

Asistencia:

Envío de las 2 Evaluaciones a distancia

NO Aprobación de la Evaluación Final

Formas de comunicación y Tutorías:

Por E-mail: matemati@fca.unl.edu.ar Asunto o Subject: Curso Funciones

Por teléfono: 03496 – 420639 (interno 261) Miércoles de 14:30 a 16:30 Viernes de 9 a 11

Clase Satelital Nº 1

Funciones.

Funciones Escalares.

Funciones

¿Qué son?

¿Para qué sirven?

Modelos Matemáticos

La función como modelo:El costo de un viaje en taxi se calcula teniendo en cuenta la bajada de bandera de $1,20 y $0,50 por cada kilómetro recorrido. ¿Cómo se puede modelizar esta situación mediante una expresión matemática que permita calcular el costo de recorrer x kilómetros?

Km recorridos Costo

2 1,20 + 0,50 . 2 = 2,20

0 1,201 1,20 + 0,50 . 1 = 1,70

1,20 + 0,50 . x

x

5 1,20 + 0,50 . 5 = 3,7012 1,20 + 0,50 . 12 = 7,20

x: cantidad de kilómetros recorridos y: costo total del viaje

Km recorridos

Costo

x 1,20 + 0,50 . x

y = 1,20 + 0,50 x

km

$

¿Qué necesitamos para definir una función?

Dos conjuntos no vacíos A y B

Dominio Conjunto de llegada

Una regla o ley que haga corresponder a cada elemento del dominio un único elemento del conjunto de llegada.A B

Variable independiente Variable

dependiente

leyx y

A Bx yley

Notación:

f: A B / y = f(x)

f: A B x y

Todo elemento del dominio tiene un único correspondiente o imagen en el conjunto de llegada.

El conjunto que contiene a todos los valores que puede tomar la función (imágenes), se llama conjunto de imágenes (CI).

Definición:f es una función de A (dominio) en B (conjunto de llegada), sí y sólo sí la ley de correspondencia que relaciona los elementos de A con los elementos de B satisface las siguientes condiciones:• Existencia

: x A, y B / y f(x)

• Unicidad

: si y f(x) z f(x) y z

f: R R

g: R R

h: R R

+

?

SÍ NO

NO

¿Cómo podemos expresar una función?

Enunciado o texto. Tabla de valores. Ley o expresión matemática. Representación gráfica.

f: R R x

2x –1 si x 34 si x > 3

Representación gráfica de funciones:

y =

2x + 4 xLa expresión:

¿define una función?

Clasificación de funciones: Una función es inyectiva si a elementos distintos del dominio le corresponden distintas imágenes.

Una función es sobreyectiva si todo elemento del conjunto de llegada es imagen de algún elemento del dominio.

f: R Rf: R ( , 3] biyectiva

Funciones escalares:

f : A B es una función escalar A R B R

Clasificación según las operaciones que afectan a la variable independiente:

Funciones

Escalares

Algebraicas

Trascendentes

Racionales

Irracionales

EnterasFraccionarias

TrigonométricasExponencialesLogarítmicasHiperbólicasTrigonométricas inversasHiperbólicas inversas

Función Par:f : R R es par x R, f(x) f(–x)

f(2) f(–2)

f(3) f(–3)

La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje de ordenadas.

Función Impar:f : R R es impar x R, f(x) –f(–x)

f(1) –f(–1)

f(2) –f(–2)La gráfica de una función impar

es simétrica respecto al origen de coordenadas.

La función como modelo:Los científicos han descubierto un planeta en el cual las temperaturas se repiten cíclicamente. Aproximaron la temperatura en función de los meses transcurridos desde el inicio de la experiencia por la ley t f(m) representada gráficamente por:

meses

temperatura

meses

temperatura

c) ¿Cuál es la temperatura mínima del planeta?

b) ¿Cuándo la temperatura llega a los 10º?d) ¿Cuándo la temperatura llega a los -10º?e) ¿Cuándo la temperatura alcanza los 0º?

a) ¿Cuál es la temperatura máxima del planeta?

¿Cada cuánto tiempo se repiten esas temperaturas?

meses

temperatura

¿Cuándo la temperatura llega a los 10º?

¿Cómo podemos escribir en forma genérica estos valores?

x = 21x = 10 = 2 + 8.12x = 18 = 2 + 8.2 3

x = 2 + 8.k , k Z

8 8

. . . . . .

. . . . . .

¿Cada cuánto tiempo se repiten esas temperaturas?

meses

temperatura

¿Cuándo la temperatura llega a los –10º?

¿Cómo podemos escribir en forma genérica estos valores?

8 8

x = 61x = 14 = 6 + 8.12x = 22 = 6 + 8.2 3

x = 6 + 8.k , k Z

. . . . . .

. . . . . .

¿Cada cuánto tiempo se repiten esas temperaturas?

meses

temperatura

¿Cuándo la temperatura llega a los 0º?

¿Cómo podemos escribir en forma genérica estos valores?x = 0 + 8.k , k Z x = 4.k ,

k Z

8 8 8

8 8

x = 4 + 8.k , k Z

meses

temperatura

Función Periódica:f : es periódica de período c x Df, f(x + c) f(x)

8 8 8

La función como modelo en economía:Función de oferta: relaciona la cantidad de productos que está dispuesta a ofrecer una empresa en el mercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad. Cuanto mayor es el precio, mayor será la cantidad de productos que la empresa está dispuesta a ofrecer. Al reducirse el precio, se reduce la cantidad ofrecida.

p: precio unitarioq: cantidad de productos que, a ese precio, se ofrece en el mercado

Función Creciente:f : A B es creciente x1 A, x2 A:

si x1 < x2 f(x1) < f(x2 )y = f(x)

f(x )

2

x1 x2

f(x )

1

Función de demanda: relaciona la cantidad de productos demandada por los consumidores, con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad, de acuerdo con la demanda. En general, si el precio aumenta, se produce una disminución de la cantidad demandada del artículo porque no todos los consumidores están dispuestos a pagar un precio mayor por adquirirlo.

p: precio unitarioq: cantidad de productos que, a ese precio, se demanda en el mercado

Función Decreciente:f :A B es decreciente x1 A, x2 A:

si x1 < x2 f(x1) > f(x2 )y = f(x)

f(x )

2

f(x )

1

x1 x2

Problema:Una fábrica estima que el costo y (en pesos) para producir u ladrillos semanales está dado por y 0,1u + 50. El número de ladrillos producidos por semana depende a su vez del número de obreros x empleados en la producción, siendo u 5000x – 4000.a) Exprese el costo como función del número de obreros. b) Si la fábrica cuenta con 25 obreros, ¿cuántos ladrillos se producen por semana?, ¿a qué costo?

Sean f : A B y g : B* C donde el conjunto de llegada de la primera función está incluido en el dominio de la segunda.

Dadas las funciones f : A B y g : B* C la composición se define como la función gof : A C dada por (gof)(x) = g f(x) x A

f

A

x

B

f(x) g

C

g[f(x)]

B*

gof

El dominio de gof es el conjunto de todas las x en el dominio de f tales que f(x) esté en el dominio de g.