TUGAS KALKULUS

M.FARIS ALFARISI ILHAMI

201043501267

UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI

KATA PENGANTAR

Pertama-tama penulis mengucapkan rasa syukur pada Allah SWT yang telahmemberikan kesehatan dan kesempatan pada penulis untuk menyelesaikan makalahbidang studi Kalkulus 2 dengan judul “Bilangan Kompleks”.

Makalah ini berjudul “Bilangan Kompleks“. Dengan makalah ini pembaca bisamengetahui pengertian Bilangan Kompleks, Bentuk Polar, Eksponensial dan penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks.

Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang turutmembantu menyelesaikan Makalah ini, khususnya kepada Dosen bidang studi Kalkulus yangtelah memberikan teori-teori dan pengalaman dalam bidang studi Kalkulus,sehingga banyaknya masukan-masukan yang penulis terima. Walaupun penulis sudahberusaha sesuai dengan pengetahuan, pengalaman atau kemampuan penulis, namun penulismasih merasakan adanya kekurangan-kekurangan, sehingga saran-saran atau masukanmasukan sangat penulis harapkan.

Mudah-mudahan Makalah ini bermanfaat bagi pembaca terutama penulis.

Penulis

1.BILANGAN KOMPLEKS

Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya yaitu sistem bilangan real, tetapi sistem

bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk persamaan. Oleh

karena itu, perlu suatu jenis bilangan baru yang disebut bilangan kompleks. Pengertian bilangan

kompleks, bidang kompleks dan sifat aljabar bilangan kompleks yang diuraikan dalam bab ini

diharapkan dapat menjadi dasar untuk mempelajari bab-bab selanjutnya. Oleh karena itu, setelah

membaca Bab I, mahasiswa diharapkan dapat

ÿ mengerti definisi bilangan kompleks.

ÿ mengerti sifat aljabar dan tafsiran geometri bilangan kompleks.

ÿ menuliskan bilangan kompleks dalam bentuk kutub, eksponen, pangkat dan akar.

1.1 Pengertian Bilangan Kompleks

Mengapa perlu bilangan kompleks ?

∑ 012 -x mempunyai penyelesaian dengan ¬Œx .

∑ 012 +x € 12 -x tidak mempunyai penyelesaian jika ¬Œx .

Sehingga perlu mengidentifikasi suatu bilangan sehingga 012 +x mempunyai penyelesaian.

Selanjutnya perlu dikembangkan suatu sistem bilangan yaitu bilangan kompleks.

Definisi Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks z :

∑ merupakan pasangan berurut ( )yx, dengan ¬Œyx , .

Ditulis : ( )yxz , .

∑ merupakan bilangan yang berbentuk iyx + dengan ¬Œyx , dan

( ) 11,0 -i .Ditulis : iyxz + .

Jika ( ) iyxyxz +, maka

( )zx Re = bagian riil z,

( )zy Im = bagian imajiner z,

i = satuan imajiner dan 12 -i .

Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam bilangan kompleks yaitu

1. C = himpunan bilangan kompleks

= { }1&,, 2 -¬Œ+ iyxiyxzz .

2. Jika ( ) 0Re z dan ( ) 0Im πz maka z dinamakan bilangan imajiner murni.

3. Jika ( ) 0Re πz dan ( ) 0Im z maka z merupakan bilangan riil.

4. Kesamaan bilangan kompleks.

Misalkan 111 iyxz + dan 222 iyxz + .

21 zz jika dan hanya jika 21 xx dan 21 yy .

Contoh 1 a. iz 210-

( ) 10Re z dan ( ) 2Im -z .

b. iz -

( ) 0Re z dan ( ) 1Im -z . □□

1.2 Bidang Kompleks

Bilangan kompleks merupakan pasangan berurut ( )yx, , sehingga secara geometri dapat

disajikan sebagai titik ( )yx, pada bidang kompleks (bidang xy), dengan sumbu x (sumbu riil) dan

sumbu y (sumbu imajinair). Selain itu, bilangan kompleks ( )yxiyxz ,+ juga dapat disajikan

sebagai vektor dalam bidang kompleks dengan titik pangkal pada titik asal dan ujung vektor

merupakan titik ( )yx, .

y (sumbu imajinair)

• iyxyxz +),(

O x (sumbu riil)

Gambar 1. Bidang kompleks

1.3 Operasi Aljabar

Operasi aljabar pada bilangan kompleks sesuai dengan operasi aljabar pada bilangan riil.

Operasi Aljabar pada bilangan kompleks

Misalkan 111 iyxz + dan 222 iyxz + .

a. Penjumlahan : ( ) ( )212121 yyixxzz ++++b. Pengurangan : ( ) ( )212121 yyixxzz -+--c. Perkalian :

( ) ( )( ) ( )12212121

221121

yxyxiyyxx

iyxiyxzz

++-++

d. Pembagian :

0, 222

22

21122

22

2

2121121

2

1 π+

-+

+

+- zyx

yxyxi

yx

yyxxzz

z

z

Perlu diperhatikan :

1. z- ( negatif z ).

Jika iyxz + maka iyxz --- .

2.z

z11- ( kebalikan z )

Jika iyxz + maka 2222

1

yx

yi

yx

xz

+-

+- .

Sifat Operasi Aljabar

a. Hukum komutatif

1221 zzzz ++

1221 zzzz

b. Hukum asosiatif

( ) ( )321321 zzzzzz ++++

( ) ( )321321 zzzzzz

c. Hukum distributif

( ) 3121321 zzzzzzz ++

d. Elemen netral dalam penjumlahan ( i000 + )

zzz ++ 00

e. Elemen netral dalam perkalian ( i011 + )

zzz .11.

1.4 Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan

Penyajian bilangan kompleks sebagai vektor dapat digunakan untuk mengembangkan konsep

nilai mutlak bilangan riil pada bilangan kompleks.

Definisi modulus (nilai mutlak)

∑ Modulus (nilai mutlak) iyxz + didefinisikan sebagai bilangan riil

non negatif 22 yx + dan ditulis sebagai

Modulus z = z = 22 yx + .

Secara geometri, z menyatakan jarak antara titik ( )yx, dan titik asal.

Misalkan 111 iyxz + dan 222 iyxz + . Jarak antara 1z dan 2z didefinisikan dengan

( ) ( )221

22121 yyxxzz -+-- .

Selanjutnya, persamaan Rzz - 0 menyatakan bilangan kompleks z yang bersesuaian dengan

titik-titik pada lingkaran dengan pusat 0z dan jari-jari R.

Definisi bilangan kompleks sekawan

∑ Bilangan kompleks sekawan dari iyxz + didefinisikan sebagai

bilangan kompleks iyxz - .

Secara geometri, bilangan kompleks sekawan iyxz - dinyatakan dengan titik ( )yx -, dan

merupakan pencerminan titik ( )yx, terhadap sumbu riil.

Contoh 2 a. 5)4(343 22 -+- i .

b. 233-+ iz menyatakan lingkaran dengan pusat ( )3,30 -z dan jari-

jari 2R .

c. Jika iz 43- maka iz 43+ . □□

Sifat Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan

a. 2121 zzzz

b. ( ) ( ) zzz ££ ReRe

c. ( ) ( ) zzz ££ ImIm

d.2

1

2

1

z

z

z

z

e. zz

f. zz

g. 2121 zzzz ++

h. 2121 zzzz --

i. 2121 zzzz

j.2

1

2

1

z

z

z

z˜̃¯

ˆÁÁË

Ê

k. ( )2

Rezz

z+

, ( )i

zzz

2Im

-

l.2

zzz

m. Pertidaksamaan Segitiga : 2121 zzzz +£+

n. 2121 zzzz -≥+

o. 2121 zzzz -≥-

p. nn zzzzzz +++£+++ LL 2121 .

1.5 Bentuk Kutub

Bentuk kutub bilangan kompleks

Bilangan kompleks iyxz + dapat disajikan dalam koordinat kutub

( )q,r . Misalkan qcosrx dan qsinry maka iyxz + dapat dinyatakan dalam bentuk kutub

( )q

qqqqcisr

irrirz ++ sincossincos

dengan

r = modulus (nilai mutlak) z = z = 22 yx + .

q = argumen dari z = zarg

= 0, πxx

ytgarc .

y • z = x+ iyr

θ

x

Nilai argumen dari z (arg z) tidak tunggal tetapi merupakan kelipatan p2 (sesuai dengan kuadran

dimana titik z berada). Sedangkan, nilai utama (principal value) dari zarg ditulis zArg dengan

pp £<- zArg adalah tunggal.

Jelas, L,2,1,0,2arg ±±+ nnzArgz p . Perlu diperhatikan bahwa :

( )q

qqcisr

irz + sincos ( )( )q

qq--

cisr

irz sincos

qzarg q-zarg

Operasi aljabar bentuk kutub dan sifat argumen

Misalkan ( )1111 sincos qq irz + dan ( )2222 sincos qq irz +dengan 22112211 arg,arg,, qq zzzrzr .

a. Perkalian( )( )2121

212121

qqqq+

+

ciszz

cisrrzz

2121 argargarg zzzz + .

b. Pembagian ( )02 πz

( ) ( )212

121

2

1

2

1 qqqq -- cisz

zcis

r

r

z

z.

212

1 argargarg zzz

z- .

c. Invers sebarang bilangan kompleks qierz yaitu

( )q-- cisrz

z111 .

zz

arg1

arg - .

Contoh 3Diketahui

i

iiz

+-++

1

)31()1(. Tentukan bentuk kutub dari z dan z .

Penyelesaian :

Menggunakan sifat argumen diperoleh :

˜¯ˆ

ÁËÊ-˜

¯ˆ

ÁËÊ -+

62

4

3

342

4

32

)3

2()4

2( ppppp

pp

cisciscis

ciscisz .

˜¯ˆ

ÁËÊ

62

pcisz . □□

Selain dalam bentuk umum iyxz + dan bentuk kutub ( )qq sincos irz + , bilangan kompleks

z juga dapat dinyatakan dalam bentuk eksponen.

Bentuk eksponen

Bentuk eksponen bilangan kompleks iyxz + yaitu

qierz

dengan qqq sincos iie + dinamakan rumus Euler.

Operasi aljabar bentuk eksponen

Misalkan 111

qierz dan 2

22qi

erz .

a. Perkalian

)( 2121

212121

qqqq +ierr

ie

ierrzz

b. Pembagian

)( 21

2

1

2

1 qq -ie

r

r

z

z

c. Invers sebarang bilangan kompleks qierz yaitu

qierz

z -- 111

Bentuk pangkat

Misalkan qierz , maka menggunakan aturan pangkat seperti pada bilangan

riil diperoleh

qq nienrniernz )( , K,2,1,0 ±±n

Rumus Moivre

Jika 1r , maka bentuk pangkat di atas menjadi qq nienienz )( , atau

qq nienie )( , K,2,1,0 ±±n . Selanjutnya dapat ditulis dalam bentuk

qqqq ninni sincos)sin(cos ++ yang disebut Rumus Moivre .

1.6 Bentuk Akar

Bentuk akar Misalkan qcisrz , akar pangkat n dari bilangan kompleks z ditulis nz

1

atau n z . Jika diberikan bilangan kompleks 0πz dan n bilangan bulat

positif, maka diperoleh n buah akar untuk nz

1

yaitu

˙̊˘

ÍÎÈ +

++

n

ki

n

kn rk

zpqpq 2

sin2

cos , )1(,,2,1,0 -nk K .

Secara geometri, n buah akar tersebut merupakan titik-titik sudut segi n

beraturan pada suatu lingkaran dengan pusat titik O dan jari-jari n r .

Contoh 4Tentukan semua akar dari 3 8i- dan gambarkan akar-akar tersebut dalam

bidang kompleks.

Penyelesaian :

Misalkan iz 8- , maka 8zr dan 20

8 pq --

arctg ,

˙˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍÍ

Î

È +-+

+--

3

22sin

3

22cos3 83 8

ppppk

ik

ik

z , .2,1,0k

Sehingga diperoleh

iiiz -˙̊˘

ÍÎÈ -+-

˙˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍÍ

Î

È +-+

-3)

6sin()

6(cos2

32sin

32cos3 8

0pp

pp

.

iiz 2)2

sin()2

(cos21 ˙̊

˘ÍÎÈ +

pp.

iiz --˙̊˘

ÍÎÈ + 3)

6

7sin()

6

7(cos2

2pp

.

y

2 1z

x . □□

2z 0z

2.NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET

I. Notasi Sigma

A. Tujuan

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan :

1. Dapat menggunakan notasi sigma sebagai penjumlahan n suku.

2. Dapat merubah suatu penjumlahan bilangan ke dalam notasi sigma.

B. Uraian Materi

Konsep Notasi Sigma

Perhatikan jumlah 6 bilangan ganjil pertama berikut,

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 ………………………………….. (1)

Pada bentuk (1) 1 disebut suku pertama, 3 disebut suku ke-2, 5 disebut suku ke-3 dan seterusnya.

Perhatikan juga suku-suku bentuk (1) tersebut membentuk pola.

Suku ke-1 = 1 = 2.1 – 1

Suku ke-2 = 3 = 2.2 – 1

Suku ke-3 = 5 = 2.3 – 1

Suku ke-4 = 7 = 2.4 – 1

Suku ke-5 = 9 = 2.5 – 1

Suku ke-6 = 11 = 2.6 – 1

Secara umum suku ke-k pada (1) dapat dinyatakan dalam bentuk 2k – 1 dengan k = { 1,

2, 3, 4, 5, 6 }

Cara untuk menuliskan secara singkat bentuk jumlahan (1) adalah dengan tanda S (dibaca

“sigma”) yang disebut dengan notasi sigma. Notasi sigma berasal dari huruf Yunani untuk abjad

S dari perkataan “sum” yang berarti jumlah. Notasi ini diperkenalkan pertama kali oleh

Leonhard Euler pada tahun 1755 dalam buku “Institutiones Calculi Differentialis”.

6 suku

Dengan notasi sigma bentuk jumlahan (1) dapat ditulis :

 -+++++6

1

)12(1197531k

k

Bentuk  -6

1

)12(k

k dibaca “sigma k=1 sampai 6 dari 2k – 1” atau “jumlah 2k – 1 untuk k

= 1 sampai k = 6”. Pada notasi sigma di atas 1 dan 6 masing-masing disebut batas bawah dan

batas atas, lambang k dinamakan indeks (ada pula yang menyebut k sebagai variable). Sebarang

huruf kecil dapat digunakan sebagai indeks.

Secara umum n1n32

n

1k1k aa...aaaa +++++ -Â

Contoh :

1. 5343332313k35

1k

◊+◊+◊+◊+◊Â

1512963 ++++

2. )142)132()122()112()12(4

1

+◊++◊++◊++◊+Âk

k

9753 +++

3. )12(...)12()12()12()12()12( 1043210

1

1 -++-+-+-+--Âk

k

1023...15731 +++++

C. Rangkuman.

“” dibaca sigma yang diartikan jumlah.

Secara umum n1n32

n

1k1k aa...aaaa +++++ -Â

D. Tugas 1

Kerjakan soal berikut ini secara berkelompok !

1. Nyatakan dengan menggunakan notasi sigma!

a. 3 + 5 + 7 + … + 51

b.32

1

16

1

8

1

4

1

2

1++++

c. 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64

d. 2 - 4 + 8 - 16 + 32 - 64

e. 9 + 27 + 81 + 243

f. 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + … + 10000

g. (2 ¥ 3) + (3 ¥ 4) + (4 ¥ 5) + (5 ¥ 6) + … + (16 ¥ 17)

h. 2n

24

23

22

21 a...aaaa +++++

i. ab + a2b2 + a3b3 + a4b4 + … + anbn

j. a + a2b + a3b2 + a4b3 + … + a10b9

2. Nyatakan notasi sigma berikut ke dalam bentuk lengkap

a. )1k(5

1k

2 +Â c. i

6

1i

ia)1(Â -

b. Â -5

1n

)1n3( d. Â +n

1r 2

)1r(r

3. Sebuah tumpukan pipa disusun membentuk segitiga

sama sisi dengan n buah pipa pada tiap sisinya.

Nyatakan banyaknya pipa dalam notasi sigma jika

terdiri atas n tumpukan.

Sifat-sifat Notasi Sigma

A. Tujuan

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan :

1. Mengerti tentang sifat-sifat notasi sigma.

2. Dapat menggunakan sifat-sifat notasi sigma untuk mengerjakan soal-soal.

3. Dapat membuktikan kebenaran rumus dengan menggunakan sifst-sifst notasi sigma

yang ada.

B. Uraian Materi

Berikut ini adalah beberapa sifat notasi sigma.

a. Â Ân

1i

n

1jji aa

b. Ân

1k

ncc , c konstanta.

c. ÂÂn

1kk

n

1kk aca.c , c konstanta.

d. Â ÂÂ ++n

1k

n

kkk

n

1kk ba)ba(

e. Â Â Â+

+n

1k

m

1k

n

1mkkkk aaa dengan 1 < m < n

f. ÂÂ+

+-

pn

pmipi

n

mii xa

Contoh soal:

1. Buktikan dengan menggunakan sifat-sifat notasi sigma.

cnxbxa)cbxax(n

1x

n

1x

2n

1x

2 ++++ ÂÂÂ

Jawab:

ÂÂÂÂ ++++n

1x

n

1x

n

1x

2n

1x

2 cbxax)cbxax(

ncxbxan

1x

n

1x

2 ++ ÂÂ

2. Nyatakan  +

20

8k 1k

k2dalam notasi sigma dengan 1 sebagai batas bawah.

Jawab:

Dengan menggunakan sifat ÂÂ+

+-

pn

pmipi

n

mii xa diperoleh:

ÂÂÂ-

- ++

+----

+

13

1k

720

78k

20

8k 8k

)7k(2

1))7(k(

))7(k(2

1k

k2

C. Rangkuman

Sifat-sifat notasi sigma adalah :

a. Â Ân

1i

n

1jji aa

b. Ân

1k

ncc , c konstanta.

c. ÂÂn

1kk

n

1kk aca.c , c konstanta.

d. Â ÂÂ ++n

1k

n

kkk

n

1kk ba)ba(

e. Â Â Â+

+n

1k

m

1k

n

1mkkkk aaa dengan 1 < m < n

f. ÂÂ+

+-

pn

pmipi

n

mii xa

D. Tugas

1. Buktikan sifat-sifat notasi sigma di atas!

2. Buktikan bahwa nk2k)1k(n

1k

n

1k

n

1k

22 +++ ÂÂ Â

Bentuk ruas kanan pada soal nomor 2 di atas disebut “Jumlah Monomial”

Kerjakan secara berkelompok!

E. Tes Formatif.

1. Nyatakan notasi sigma berikut ke dalam bentuk jumlah monomial

a. Â +n

1kkk )b3a4( c. Â +-

10

1j

2j )j2j()1(

b. Â -n

1k

2 )k4k3( d. Â +k

1n

3)1n(

2. Ubahlah notasi sigma berikut dengan bilangan 1 sebagai batas bawah.

a. Â15

5k

k b. Â +10

0p

)1p2(

c. Â- -

+5

5a ba

bad. )1k3(

30

8k

2 +Â

II. Barisan dan Deret Bilangan

A. Tujuan

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan :

i. Mengerti tentang barisan bilangan.

ii. Menentukan rumus suku ke n dari suatu barisan.

iii. Mengerti tentang deret bilangan.

B. Uraian Materi

1. Pengertian Barisan

Perhatikan gambar dan urutan bilangan di bawah,

∑ Banyak lingkaran pada pola di bawah.

11, 3, 6, 10, 15, … ………………. (2)

∑ Urutan bilangan pada kolom ke-3 kalender.

2, 22, 9, 16, 23, 30

………………. (3)

∑ Banyak bujursangkar satuan pada urutan gambar

berikut.

1, 4, 9, 16, 25, … ………..………(4)

Urutan bilangan-bilangan pada (2), (3) dan (4) masing-masing mempunyai aturan tertentu.

Urutan bilangan yang mempunyai aturan tertentu disebut barisan bilangan. Setiap bilangan

pembentuk barisan disebut suku barisan. Dalam barisan secara umum suku pertama dinyatakan

dengan U1, suku ke-2 dinyatakan dengan U2, suku ke-3 dinyatakan dengan U3 dan seterusnya

sehingga suku ke-n dinyatakan dengan Un. Sebagai contoh pada barisan (2), U1 = 1, U2 = 3, U3

= 6, U4 = 10, dan seterusnya.

Barisan biasanya didefinisikan sebagai suatu fungsi yang mempunyai domain (daerah asal)

bilangan asli. Pada barisan (2), fungsi untuk menyatakan suku ke-n barisan tersebut

adalah 2

)1n(nUn

+ dengan n Œ { 1, 2, 3, 4, 5, … }. Pendefinisian seperti ini dinamakan

dengan definisi eksplisit.

Cara lain untuk mendefinisikan barisan bilangan adalah dengan definisi rekursif. Contoh:

diberikan barisan bilangan dengan definisi rekursif sebagai berikut,

U1 = 3

Un = 2Un-1 + 1, n > 1

Suku-suku berikutnya dapat dicari dengan cara :

U2 = 2.U1 + 1 = 2.3 + 1 = 7

U3 = 2.U2 + 1 = 2.7 + 1 = 15

U4 = 2.U3 + 1 = 2.15 + 1 = 31

dan seterusnya.

Sebuah definisi rekursif memuat dua bagian, pertama adalah kondisi awal untuk memulai barisan

dan yang kedua adalah sebuah persamaan rekursif (rumus rekursif) untuk menentukan hubungan

antara setiap suku barisan dengan suku berikutnya. Definisi rekursif ini banyak dipakai dalam

aplikasi-aplikasi komputer.

2. Menentukan Rumus Suku ke-n Suatu Barisan

Jika suatu barisan diberikan beberapa suku pertama, kadang-kadang bisa ditentukan rumus untuk

suku ke-n.

Contoh :

Tentukan rumus suku ke-n barisan berikut

a. 1, 3, 5, 7, …

b. 3, 9, 27, 81, …

Jawab :

a. U1 = 1 = 2.1 - 1 b. U1 = 3 = 31

U2 = 3 = 2.2 - 1 U2 = 9 = 32

U3 = 5 = 2.3 - 1 U3 = 27 = 33

U4 = 7 = 2.4 - 1 U4 = 81 = 34

….. …..

Un = 2.n - 1 Un = 3n

Perlu diperhatikan juga bahwa jawaban rumus suku ke-n tidak selalu tunggal, sebagai contoh

barisan berikut.

2, 4, 8, …

Terlihat sekilas bahwa rumus suku ke-n barisan di atas adalah Un = 2n. Akan tetapi ternyata

rumus Un = n2 – n + 2, juga sesuai untuk barisan diatas.

Tidak semua barisan dapat ditentukan rumus untuk suku ke-n. Sebagai contoh adalah barisan

bilangan prima. Bilangan prima ke 100 bisa dicari, tetapi tidak ada rumus umum untuk

menghasilkan bilangan prima ke-n.

C . Tugas 2

Kerjakan secara berkelompok !

1. Carilah 4 suku pertama dan suku ke sepuluh dari barisan bilangan dengan rumus umum

berikut.

a. Un 3n + 1 d. 1n

nUn +

b.n

)1(U

n

n

-e. ( ) 1n

21

nU --

c. Un (n – 1)(n – 2)(n – 3)

2. Untuk setiap barisan bilangan berikut tentukan rumus untuk suku ke-n.

a. 2, 4, 6, 8, 10, …

b. 1, 2, 3, 4, 5, …

c. -2, 1, 4, 7, 10, …

d. ...,4

x,

3

x,

2

xx,

432

e. -15, -5, 5, 15, …

f. 1, 2, 4, 8, 16, …

g. ...1,,22,,22,4

h. 2, -4, 8, -16, …

i. 2, 6, 12, 20, …

3. Carilah lima suku pertama dari barisan dengan definisi rekursif berikut.

a. U1 2

Un 3(Un-1 – 1), untuk n > 1

b. U1 -3

)2U2()1(U 1nn

n +◊- - , untuk n > 1

4. Carilah definisi rekursif untuk barisan bilangan berikut.

a. 9, 13, 17, 21, …

b. 1, 3, 7, 15, 31, …

c. 81, 27, 9, 3, …

d. 1, 3, 6, 10, 15, 21, …

3. Deret Bilangan

Konsep tentang deret bilangan telah dikenal sejak abad ke-5 sebelum Masehi yang dikenal dengan

nama paradoks Zeno. Dalam paradoks tersebut dikisahkan Achilles berpacu dengan kura-kura.

Karena kecepatan Achilles 12 kali kecepatan kura-kura maka waktu start kura-kura diletakkan di

depan Achilles sejauh 1 stadion (suatu ukuran jarak pada masa itu, kira-kira 200 yard). Untuk

dapat melampaui kura-kura maka Achilles harus menempuh jarak 1 stadion terlebih dahulu

(tempat kura-kura semula). Pada saat yang bersamaan kura-kura telah merangkak maju sejauh

121 stadion. Saat Achilles menempuh jarak

121 stadion, kura-kura telah bergerak maju

2121

stadion. Berikutnya saat Achilles menempuh jarak 212

1 stadion, kura-kura telah bergerak maju

sejauh 312

1 stadion. Begitu seterusnya proses ini berulang-ulang sampai tak hingga sehingga

disimpulkan bahwa Achilles tidak mungkin melampaui kura-kura.

Kalau dituliskan maka jarak yang ditempuh oleh Achilles adalah

1 + 121 +

2121 +

3121 + … …………………… (5)

Tanda titik-titik ini menunjukkan bahwa pola tersebut berulang untuk setiap bentuk k12

1selalu

diikuti oleh bentuk 1k12

1+

.

Bentuk penjumlahan pada (5) dalam matematika dikenal sebagai deret bilangan atau dengan kata

lain deret bilangan adalah penjumlahan dari barisan bilangan.

Jika Sn melambangkan jumlah dari n suku pertama suatu barisan bilangan maka Sn dapat

dinyatakan dalam dua cara yaitu :

- Definisi eksplisit untuk Sn : Sn = U1 + U2 + U3 + … + Un

- Definisi rekursif untuk Sn S1 = U1

Sn = Sn-1 + Un untuk n > 1

Dari sini diperoleh hubungan Un Sn - Sn-1 untuk n > 1

Contoh:

1. Jumlah n suku pertama suatu deret adalah Sn 2n - 1, tentukan U1, U2, U3, U4 dan U5.

Jawab:

U1 S1 21 - 1 2 - 1 1

U2 S2-S1 (22 - 1) - (21 - 1) 3 - 1 2

U3 S3 - S2 (23 - 1) - (22 - 1) 7 - 3 4

U4 S4 - S3 (24 - 1) - (23 - 1) 15 - 7 8

U5 S5 - S4 (25 - 1) - (24 - 1) 31 - 15 16

2. Hitung jumlah 5 suku pertama dari setiap deret bilangan jika diketahui rumus suku ke-n

berikut.

a. Un 2n + 3

b. Un n2 + 2

c. Un log 10n

Jawab:

a. S5 (2.1 + 3) + (2.2 + 3) + (2.3 + 3) + (2.4 + 3) + (2.5 + 3)

5 + 7 + 9 + 11 + 13 45

b. S5 (12 + 2) + (22 + 2) + (32 + 2) + (42 + 2) + (52 + 2)

3 + 6 + 11 + 18 + 27 65

c. S5 log 101 + log 102 + log 103 + log 104 + log 105

1 + 2 + 3 + 4 + 5 15

Cara lain untuk menentukan jumlah n suku pertama deret adalah dengan mencari pola dari barisan

S1, S2, S3, S4, …, Sn. Sebagai contoh pada contoh 2a di atas,

S1 5 5 1.5 1.(1 + 4)

S2 5 + 7 12 2.6 2.(2 + 4)

S3 5 + 7 + 9 21 3.7 3.(3 + 4)

S4 5 + 7 + 9 + 11 32 4.8 4.(4 + 4)

….

Sn n(n+4)

D. Rangkuman

Barisan adalah urutan bilangan yang mempunyai aturan tertentu.

Un adalah suku ke- n dari suatu barisan dan Sn adalah jumlah n suku pertama dari suatu barisan atau dapat ditulis Sn = U1 + U2 + U3 + … + Un

E. Tes Formatif 2

1. Tentukan bentuk umum jumlah n suku pertama dari setiap deret bilangan berikut.

a. 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + …

b. 4 + 8 + 16 + 32 + …

c. – 5 – 3 – 1 + 1 + 3 + …

d. 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + …

e. 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + …

2. Tulislah tiga suku pertama dan suku ke sepuluh dari setiap deret bilangan berikut.

a. Sn n2 + 2n

b. Sn n3 – 2

III. Barisan dan Deret Aritmetika

A. Tujuan

Setelah mempelajari keguatan belajar ini, Anda diharapkan:

1. Dapat menentukan beda dari suku-suku barisan aritmetika.

2. Dapat menentukan suku ke n

3. Dapat menentukan rumus suku ke n dari barisan aritmetika

4. Dapat menentukan jumlan n suku pertama dari deret aritmetika

B. Uraian Materi

1. Barisan Aritmetika

Misalkan Un menyatakan suku ke-n suatu barisan, maka barisan itu disebut barisan aritmetika jika

Un - Un-1 selalu tetap untuk setiap n. Un - Un-1 yang selalu tetap ini dinamakan beda dan

dilambangkan dengan b.

Jadi :

Contoh :

2, 6, 10, 14, … beda = 6 - 2 = 10 - 6 = 14 – 10 = 4

10, 3, -4, -11, … beda = 3 – 10 = -4 - 3 = -11 - (-4) = -7

2. Suku ke-n Barisan Aritmetika

Misalkan a adalah suku pertama barisan aritmetika, b adalah beda dan Un adalah suku ke-n,

Un - Un-1 = b Un = Un-1 + b

U2 = U1 + b = a + b = a + 1b

U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b

U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b

b = Un - Un-1

U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b

U6 = U5 + b = (a + 4b) + b = a + 5b

………

sehingga Un = a + (n-1)b

Nama barisan aritmetika diberikan karena setiap suku (kecuali suku pertama) dari barisan ini

merupakan rata-rata aritmetik dari suku sebelum dan sesudahnya. Dengan kata lain untuk setiap

Uk, dengan k ≥ 2 berlaku 2

UUU 1k1k

k+- +

.

3. Deret Aritmetika

Rumus untuk menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika dibuat berdasarkan metode

yang dipakai oleh matematikawan Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ketika ia masih kecil.

Dikisahkan suatu ketika salah satu guru Gauss menyuruh murid-muridnya untuk menghitung

jumlah 100 bilangan asli yang pertama, atau 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100.

Murid-murid yang lain di kelas memulai dengan menjumlah bilangan satu per satu, tetapi Gauss

menemukan metode yang sangat cepat. Ia menuliskan jumlahan dua kali, salah satunya dengan

urutan yang dibalik kemudian dijumlahkan secara vertikal.

1 + 2 + 3 + … + 99 + 100

100 + 99 + 98 + … + 2 + 1

101 + 101 + 101 + … + 101 + 101

Dari jumlahan ini diperoleh 100 suku yang masing-masing bernilai 101, sehingga 1 + 2 + 3 + …

+ 100 2

101100¥ 5050.

Jika a adalah suku pertama deret aritmetika, Un suku ke-n, Sn jumlah n suku pertama dan b = beda

maka rumus untuk jumlah n suku pertama deret aritmetika bisa dicari dengan cara sebagai

berikut.

Sn a + (a+b) + (a+2b) + …. + (Un-2b) + (Un-b) + Un

Sn Un + (Un-b) + (Un-2b) + ….. + (a+2b) + (a+b) + a

2Sn (a+Un) + (a+Un) + (a+Un) +… + (a+Un) + (a+Un)

+

n suku

2Sn n(a + Un)

2

)Un(aS n

n+

karena Un a + (n – 1)b maka [ ]

2

1)b-(n2anSn

+

Contoh:

1. Tentukan suku ke-20 barisan bilangan berikut :

a. 2, 5, 8, 11, …

b. 9, 6, 3, 0, …

Jawab :

a. b 5 - 2 8 - 5 11 - 8 3

a 2

Un a + (n-1)b

U20 2 + (20-1)3 2 + 19.3 63

b. b 6 - 9 3 - 6 0 - 3 -3

a 9

Un a + (n-1)b

U20 9 + (20-1).-3 9 + 19(-3) 9 - 57 -48

2. Suku ke -10 suatu barisan aritmetika adalah 24, sedangkan suku pertamanya 6. Tentukan :

a. beda

b. rumus suku ke-n

Jawab :

a. U10 24, a 6

Un a + (n-1)b

24 6 + (10-1)b

24 - 6 9b

18 9b

b 2

b. Un a + (n-1)b

Un 6 + (n-1)2

Un 4 + 2n

3. Diketahui suatu barisan aritmetika dengan U2 6 dan U11 24

a. Carilah suku pertama dan beda

b. Tentukan U40

c. Hitung jumlah 40 suku pertama dari deret aritmetika yang bersesuaian

Jawab:

a. U2 6 U11 24

a + b 6 ….. (1) a + 10b 24 ….. (2)

(2) dan (1) a + 10b 24

a + b 6

9b 18

b 2

a + b 6

a + 2 6

a 4

Suku pertama 4, beda 2

b. Suku ke-40 dicari dengan rumus Un a + (n-1)b

U40 4 + (40-1).2 4 + 39.2 82

c. 2

)Un(aS n

n+

1720)86(202

)824(40

2

)U40(4S 40

40

++

C. Rangkuman

Rumus suku ke- n dan Jumlah n suku pertama adalah :

Un a + (n-1)b

2

)Un(aS n

n+

D. Tes Formatif 3

1. Tentukan rumus umum setiap barisan aritmetika berikut dan tentukan suku ke-25.

a. 10, 15, 20, 25, …

b. 2, –1, –4, –7, …

c. 8, 14, 20, …

2. Tentukan n (banyak suku) dari barisan aritmetika berikut.

a. 6, 3, 0, … , 81

b. 20, 18, 16, … , -98

c. 5, 10, 15, 20, …, 205

3. Tentukan beda, suku pertama dan rumus umum suku ke-n barisan aritmetika berikut ini jika

diketahui:

a. U4 17 dan U7 29

b. U2 11 dan U9 32

c. U3 + U5 60 dan U4 + U7 81

4. Tentukan banyaknya bilangan asli yang merupakan kelipatan 5 antara 21 dan 99

5. Hitunglah deret aritmetika berikut ini:

a. 3 + 7 + 11 + 15 + … (sampai 12 suku)

b. 20 + 23 + 26 + 29 + … (sampai 15 suku)

c. 100 + 95 + 90 + 85 …(sampai 16 suku)

IV. Barisan dan Deret Geometri

A. Tujuan

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan :

1. Dapat menentukan bilangan pembending atau rasio dari barisan geometri

2. Dapat menentukan suku ke- n

3. Dapat menentukan rumur suku ke- n

4. Dapat menentukan jumlan n suku pertama dari deret geometri

5. Dapat menentukan Jumlah tak hingga dari deret geometri konvergen.

B. Uraian Materi

1. Barisan Geometri

Misalkan Un menyatakan suku ke-n suatu barisan, maka barisan itu disebut barisan geometri jika

Un : Un-1 selalu tetap untuk setiap n. Un : Un-1 yang selalu tetap ini dinamakan rasio dan

dilambangkan dengan r.

Sehingga rU

U

1-n

n

Contoh :

1, 3, 9, 27, … rasio 3 : 1 9 : 3 27 : 9 3

16, -8, 4, -2, … rasio -8 : 16 4 : -8 -2 : 4 -1/2

2. Suku ke-n barisan geometri

Misalkan a adalah suku pertama barisan geometri, r adalah rasio dan Un adalah suku ke-n,

rU

U

1-n

n rUU 1n-n

U2 U1.r ar ar1

U3 U2.r (ar)r ar2

U4 U3.r (ar2)r ar3

U5 U4.r (ar3)r ar4

…….

Sehingga Un = arn-1

Barisan dengan sifat ini disebut barisan geometri karena untuk setiap Uk dengan k ≥ 2 merupakan

rata-rata geometrik dari suku sebelum dan sesudahnya. Dengan kata lain untuk k ≥ 2 berlaku

1k1kk U.UU +- .

3. Deret geometri

Jika Sn adalah jumlah n suku pertama, r adalah rasio dan a adalah suku pertama suatu deret

geometri, maka :

Sn a + ar + ar2 + … + arn-2 + arn-1

rSn ar + ar2 + … + arn-2 + arn-1 + arn (semua ruas dikali r)

Sn - rSn a + 0 + 0 + … + 0 + 0 - arn

(1 - r)Sn a - arn

r1

)ra(1S

n

n --

4. Deret Geometri Tak Hingga

Contoh deret geometri tak hingga:

a. ...8

1

4

1

2

11 ++++ r

2

1

b. ...3

1139 +-+- r

3

1-

Perhatikan kembali rumus jumlah n suku pertama deret geometri r1

)ra(1S

n

n --

. Untuk nilai -

1 < r < 1, jika n mendekati tak hingga (n Æ•) maka rn mendekati nol, sehingga

r1

)ra(1limS

n

n --

= r

a

-1

1. Pada paradoks Zeno, tentang Achilles dan kura-kura yang dibicarakan di depan, tentukan

jawaban yang benar setelah menempuh jarak berapa Achilles melampaui kura-kura ?

Jawab : Jarak yang ditempuh Achilles ...12

1

12

1

12

11

32++++ stadion.

a = 1

r = 12

1

12

1:

12

1

12

1:

12

11:

12

1232

11

121

1

1

r1

aS

1211

121n --

stadion.

-

2. Ubah bentuk decimal berulang berikut ke dalam pecahan

a. 0,33333…

b. 0,353535…

Jawab :

a. 0,33333… = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + …

a = 0,3

r = 0,03 : 0,3 = 0,003 : 0,03 = 0,0003 : 0,003 = 0,1

0,33333… = 3

1

9,0

3,0

1,01

3,0

r1

a

--

b. 0,35353535… = 0,35 + 0,0035 + 0,000035 + …

a = 0,35

r = 0,0035 : 0,35 = 0,000035 : 0,0035 = 0,01

0,35353535… = 99

35

99,0

35,0

01,01

35,0

r1

a

--

C. Rangkuman

Un = a.rn – 1

r1

)ra(1S

n

n --

untuk –1 < r < 1

1-r

)1a(rS

n

n

-untuk r < -1 atau r > 1

r

aS

-• 1

D. Tes Formatif 4.

1. Tentukan bentuk umum (Un) dari barisan berikut:

a. 64, 16, 4, …

b. 3, 9, 27, 81, …

c. 1, -3, 9, -27, 81, …

d....,20,139,6,

41

21

e. 1000, -100, 10, -1, …

2. Tentukan lima suku pertama dari setiap barisan geometri berikut jika diketahui:

a. a 4 dan r 2

b. U3 27 dan U7 2187

c. U2 512 dan U8 8

d. U6 -4 dan U8 -1

e. 18Udan32a 4

3. Tentukan x jika 2, 8, 3x + 5 membentuk barisan geometri

4. Hitunglah jumlah setiap deret geometri berikut:

a. 1 + 2 + 4 + 8 + … (sampai 12 suku)

b. ...1271

91

31 ++++ (sampai 6 suku)

c. 1 - 3 + 9 - 27 + … (sampai 8 suku)

d. 64...2222 ++++

5. Untuk derat ...5551 2 33 23 ++++ , buktikan bahwa 15

3124S

3115

-

DAFTAR PUSTAKA

∏ http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_kompleks∏ http://mariefh.lecture.ub.ac.id/files/2010/10/bilangan-kompleks.ppt∏ http://bambanghgmathunsoed.files.wordpress.com/2008/09/bab-1-lecture-note.doc