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Thermo-Poro-Elasticité

Cours Géomécanique et Géotechnique Avancée

Ecole des Ponts Paris Tech –2020

Amade Pouya

ENPC – Novembre 2020

Dilatation thermique libre :

Déformations thermiques des matériaux

ε = αT ∆Τ δ

αL : coefficient de dilatation linéaire

Matériau anisotrope : ε = ∆Τ αT

Ordre de grandeur :

Matériau Acier Béton Granite

αL (1/°C) 11. 10-6 10. 10-6 5 à 9. 10-6

Déformation thermique: εΤ = ∆Τ αT

Déformation: somme des déformations

d’origines mécanique et thermique

Matériau Thermo-Elastique

ε = εΜ + εΤ

Déformation thermique : εΤ = ∆Τ αT

Déformation mécanique résulte de l’application d’une contrainte.

Elasticité linéaire :εM = : σσ = : εM

ε = : σ + ∆Τ αTMatériau thermoélastique linéaire

σ = : (ε – εT)

Thermoélasticité

linéaire et isotrope :

1 3m T

TE E

+ ν ν= − σ + α ∆ε σ δ δ

vol T= ε + 2 -3K Tλ µ α ∆σ δ ε δ

Quand la déformation thermique n’est pas libre, elle

génère des contraintes dite thermiques.

Contraintes thermiques

Dans un matériau hétérogène, comme une roche cristalline composée de minéraux

différents avec des coefficients de dilatations différents, un échauffement (ou

refroidissement) crée des contraintes thermiques qui peuvent causer une fissuration.

Quand la déformation thermique n’est pas libre, elle

génère des contraintes dite thermiques.

Contraintes thermiques

Contrainte thermique : σT = -E αT ∆Τ

Exemple:

barre encastrée aux extrémités et chauffée

, εT = αT ∆Τ →

Modèle unidimensionnel :

∆L = 0

εT = 0

∆T

M

E

σε = 0 TE T σ = − α ∆=

T TE

σε + α ∆=

vol T= ε + 2 -3K Tλ µ α ∆σ δ ε δ Cas 3D :

Si la déformation est complètement bloquée :

ε=0 → σT = -3K αT ∆Τ δ

Matériau formé des deux phases, une solide et une fluide. On peut considérer qu’il s’agit

d’un solide comprenant des pores remplis par un fluide.

Matériaux poreux

Représentation mécanique: superposition de deux milieux différents et en interaction.

Exemples: sols, roches, béton…

Solid (non poreux)

Milieu Poreux : représentation simplifiée

p

p

σ

r

R

3

3

vV r

V Rφ ==

Déformation :

Variation de la porosité : δφ

σ R

R

R

δε =Déformation : ε ↔ σ

Changements de géométrie :

Porosité :

p

ε σ ↔ δφ

R

R

δε =

Matériau poreux:

A la déformation totale s’ajoute un degré de liberté de changement géométrique qui est la

variation de l’espace poral.

A la contrainte totale s’ajoute un degré de liberté de chargement qui est la pression de pore.

Changements de géométrie :

Equations constitutives:

Milieu Poroélastique Linéaire Isotrope

vol

vol

bp

pb

N

λε µ −

δφ = ε +

σ = δ + 2 ε δ

1 3

3m

bp

E E K

+ ν ν= − σ +ε σ δ δ

b : coefficient de Biot, 0≤ b≤1. Ce coefficient exprime

l’interaction entre la phase fluide et le solide.

N: Module de Coussy

mvol

pb

K K

σε = +

p

σm r

R

3vol

R

R

δε =

3(1 2 )

EK =

− νK : module de compressibilité :

λ, µ, Ε, ν, K : paramètres d’élasticité drainés

Ils décrivent les relations entre σ et ε pour une (variation de) pression nulle.

On peut établir pour b et N les relations suivantes:

01

1 ,s s

bKb

K N K

− φ= − = φ0 : porosité Lagrangienne (initiale)

Ks : Module de compressibilité des grains solides

Ks

Comportement non drainé

σ

p

L’espace poral est rempli d’un fluide de compressibilité Kf

f

vol

f

m pb

M

δ= ε +

ρ

1 1

fM N K

φ= +

La masse de fluide ne peut échapper l’espace poral soit du

fait des conditions limites étanches soit du fait d’un

chargement instantané.

Masse de fluide : Mf = ρf Vf = ρf φ V0

Masse de fluide par unité de volume du squelette : mf = φ ρf

Equation d’état du fluide compressible : Mf=cste→δVf /Vf = -p/Kf → δρf /ρf = p/Kf

Soit donc: δmf /mf = δ φ / φ + δρf /ρf = δ φ / φ +p/Kf

On en déduit : δmf /mf = δ φ / φ + δρf /ρf

Ou encore : δmf /ρf = δ φ + φ p/Kf

vol

pb

Nδφ = ε +

Trajet non drainé : δmf = 0→ p = -Mb εvol

vol bpλε µ −σ = δ + 2 ε δ→ Relations (σ ↔ ε) non drainées

Paramètres non drainés

Coefficient de Skempton:

pression développé sous chargement non

drainé par une contrainte isotrope unitaire

p = -Mb εvol

σ = λu εvol δ + 2µu ε

λu = λ + Mb2 , µ u = µ

K u = K + Mb2

Bs = -p/ σm

σm = K u εvol

2

2

(1 )(1 2 )

2(1 )(1 2 )

1

1

u

uu

E Mb

E Mb

E E

ν + + ν − νν = + + ν − ν

+ ν = + ν

σm = (3λu + 2µu ) = Ku εvol

1 3u u

mu uE E

+ ν ν= − σε σ δ

Bs = Mb/K u

Relations d’élasticité non drainée

σm

p

Contrainte effective

σ ' = σ + bp δ

vol volbp bpλε µ − → + λε µσ = δ + 2 ε δ σ δ = δ + 2 ε

Loi de comportement : σ ' ↔ εElasticité liéaire σ ' = : εCritère de résistance : f (σ ' ) ≤ 0

f v

Ω ∂u Ω ∂f Ω

T d

u d n

' ; ' volbp+ λε µσ = σ δ σ = δ + 2 ε

Contrainte effective :

∀ x∈Ω; div σ (x)+ f v(x) = 0

∀ x∈ ∂fΩ ; σ.n = Td

∀ x∈Ω; div σ' (x)+ f v(x) -b∇p= 0

∀ x∈ ∂fΩ ; σ '.n = Td+ bpn

Mais l’équilibre est vérifiée par la contrainte totale: