1  

 

 The  Theory  of  Calibration  and  measurement  discontinuity  

Ken  Krechmer  15  April  2015  

Abstract:  An  experimental  measurement  system  consists  of  a  variable,  a  measuring  instrument  and  a  reference.    In  linear  algebra  a  reference  may  be  formally  described  as  a  basis.    Calibration  correlates  this  basis  of  the  reference  with  the  basis  of  the  measuring  instrument.  Prior  to  calibration,  the  measuring  instrument's  results  cannot  be  correlated  to  other  measuring  instruments.  A  formal  theory  of  calibration  is  developed.  Calibration  is  proven  to  make  a  small  change  in  the  entropy  of  a  distribution  of  experimental  measurement  results  of  a  continuous  variable.    This  small  entropy  change  (calibration  entropy)  is  unintentionally  ignored  in  quantum  measurement  theories.    In  experimental  measurement  results  the  effect  of  calibration  entropy  is  intentionally  ignored  when  it  is  less  than  the  measurement  precision.    Calibration  entropy  is  proven  to  be  the  cause  of  the  measurement  discontinuity  that  appears  both  in  quantum  measurement  theory  and  between  the  theory  and  experimental  measurement  results.      

 I  INTRODUCTION  TO  CALIBRATION  

Neither  classical  nor  quantum  mechanics  provide  a  theory  of  calibration.    Representational  measurement,1  the  currently  applied  theory  of  measurement,  is  based  upon  the  representation  of  a  variable  by  a  measuring  instrument  and  does  not  consider  a  reference.2  Metrology,  the  science  of  experimental  measurement,  is  where  the  practice  of  calibration  to  a  reference  is  defined.    Based  upon  the  practical  definitions  used  in  metrology,3  this  paper  develops  a  formal  theory  of  calibration  and  applies  it  to  quantum  measurement  theory  (as  described  in  Section  V)  to  verify  the  theory  of  calibration.    

 Calibration  is  the  process  of  adjusting  an  experimental  measuring  instrument  to  correlate  its  results  with  defined  measurement  units.4    Without  calibration  it  is  not  possible  to  validate  experimental  results  or  compare  measurement  results  between  two  measuring  instruments,  which  is  the  purpose  of  a  measurement.    Experimental  measurements  of  continuous  variables  require  calibration  adjustments.      

Consider  a  voltmeter  (measuring  instrument)  before  a  voltage  (continuous  variable)  measurement  is  made.    The  metrology  practice  is  to  calibrate  the  voltmeter  to  a  voltage  source  (reference,  e.g.,  3.00V)    which  is  correlated  (applying  metrology)  to  a  voltage  standard  [5.4].  The  calibration  process  consists  of:  the  0.00  voltage  of  the  voltmeter  is  set,  the  3.00  volt  source  is  applied  and  then  the  voltmeter  is  adjusted  until  300 0.01  volt  increments  are  indicated,  where  0.01  is  the  smallest  magnitude  measurement  increment  of  this  voltmeter.    When  the  calibration  adjustment  is  fixed,  multiple  voltmeter  measurement  results  of  the  same  source  are  expected  to  be  within  +/- 1%,  which  is  the  measurement  precision  [2.15]  of  the  voltmeter.  The  calibration  adjustment  of  the  voltmeter  must  have  a  finer  resolution  [4.14]  than  the  measurement  precision.      

2  

 

This  example  makes  clear  that  any  calibration  adjustment  must  cause  a  change  in  the  entropy  of  a  distribution  of  measurement  results  of  the  same  variable.    When  this  change  is  not  recognized  in  theoretical  measurement  calculations,  entropy  is  not  conserved  and  a  measurement  discontinuity  appears.    This  discontinuity  appears  in  von  Neumann's  process  15  calculations,  and  Heisenberg  uncertainty  relations  (equation  17)  when  compared  with  experimental  measurement  results.  

II  THE  PRACTICE  OF  CALIBRATION      Another  example  of  calibration,  based  upon  a  metre  measuring  stick,  introduces  the  

necessary  metrology  terms.    The  metre  stick,  an  experimental  measuring  instrument  [3.1],  is  divided  into  a  set  of  n = 1000  measurement  increments  (not  defined  in  VIM).    By  metrology  processes,  these  measurement  increments  may  be  calibrated  [2.39]  to  be  between: 0.990  -­‐  1.010  of  1/1000  of  a  standard  metre.    In  this  example,  there  are  20  resolution  increments  (r)  in  the  ±1%  precision  range.    Here  the  standard  metre  is  the  measurement  standard  [5.1],  and  1/1000 of  the  standard  metre  is  the  minimum  measurement  unit  [1.9]  applied  as  a  reference.  When  each  measurement  increment  is  compared  to  the  reference,  calibration  corrections  [2.53]  are  generated  and  each  measurement  increment  of  the  measurement  instrument  becomes  a  calibrated  measurement  increment.  Then,  the  magnitude  of  a  variable  [2.3,  measurand  in  VIM]  expressed  in  calibrated  measurement  increments  represents  a  measurement  result  [2.9]  correlated  to  a  measurement  standard.      

One  measurement  result  using  the  metre  measuring  stick  defined  above  is  500 millimetres.    Where,  500  is  the  magnitude,  millimetre  is  the  referenced  measurement  unit,  the  range  of  precision  of  a  measurement  is  +/-1%,  therefore  the  resolution  of  each  calibrated  measurement  increment  is  +/- 1 % and  the  minimum  calibration  adjustment  (r)  is 0.1%  of  an  increment.    Graphing  the  500 x 20 = 10000  possible  variations  of  measurement  results  (many  of  equal  magnitude)  forms  a  Gaussian  distribution.  

Consider  the  initial  calibration  (by  the  instrument  maker)  of  the  voltmeter's  smallest  increments  of  0.01  volt  measurement  units  or  multiples  thereof.    Prior  to  this  calibration  the    measurement  increments  are  uncorrelated  and  a  measurement  indication    [4.1]  (a  magnitude  of    measurement  increments)  cannot  be  compared  to  a  measurement  result  from  other  calibrated  measuring  instruments.  The  measurement  unit,  while  arbitrary,  establishes  a  measurement  result  that  is  correlated  externally.    It  is  well  known  that  calibration  often  is  responsible  for  a  small  change  in  an  experimental    measurement  result.    Both  to  take  into  account  such  small  changes  and  for  experimental  verification,  calibrated  measurement  increments  must  be  included  in  any  measurement  theory.    This  requires  a  relational  measurement  theory.6  

   Relational  measurement  theory  allows  measurement  results  that  are  comparable,  as  it  includes  a  reference  (which  has  a  defined  statistical  correlation  to  a  measurement  standard),  a  measuring  instrument  and  a  variable.    The  reference  and  the  measuring  instrument  interact  and  the  measuring  instrument  and  the  variable  interact.  Both  independent  interactions  are  necessary  to  correlate  the  variable  to  the  reference  and  are  part  of  the  metrology  definition  of  a  measurement  [2.1].    

3  

 

In  relational  measurement  theory,  a  variable  lacks  both  magnitude  and  basis  until  correlated  to  a  reference.    When  a  calibrated  measuring  instrument  is  applied  to  a  variable,  the  resulting  magnitude  of  calibrated  measurement  increments  correlates  the  measurement  of  the  variable  to  a  reference  (basis).  In  relational  measurements,  position  is  measured  over  a  reference  distance  (e.g.,  metre)  and  momentum  is  measured  over  a  reference  time  (e.g.,  second).  

   One  quantum  measurement  example  of  momentum  measurements  over  time  is  the  single  slit  or  hole  experiments.7    In  these  experiments  a  measuring  instrument  (with  source,  mask  and  plate)  is  used.    The  source  provides  the  variables,  the  mask  presents  the  diameter  of  a  hole  or  width  of  the  slit  to  establish  the  measurement  increment  (wavelength)  and  the  plate  collects  the  projection  over  time  (an  Airy  pattern8)  which  is  the  momentum  measurement  results.    A  formal  demonstration  of  the  relation  between  position  and  momentum  precision  is:  the  Fourier  transform  of  a  distribution  of  measurements  of  one  position  (a  Gaussian  distribution)  is  an  Airy  pattern  of  momentum  measurements.      

III  THE  THEORY  OF  CALIBRATION    The  metre  measuring  stick  is  a  physical  example  of  a  one  dimension  basis  in  linear  algebra.  

In  a  representational  measurement  a  variable  is  correlated  to  the  metre  stick.    This  correlation    is  formalized  as  a  linear  transform  (3)  between  the  measuring  instrument  and  the  variable.9  In    this  paper,  calibration,  the  statistical  correlation  between  the  measuring  instrument  and  the  reference,  is  also  formalized  as  a  transform  (2).  Together  the  two  processes,  calibration  and  representational  measurement,  formalize  a  relational  measurement  (4).      

 Consider  the  calibration  matrix  A  consisting  of  two  basis,  the  reference  column  Xi  and  the  measuring  instrument  row Xj with n  different  increments  xi  (all  xi  are  statistically  correlated  to  a  measurement  standard)  and  xj  (the  smallest  measuring  instrument  increment)  respectively.  In  matrix  A,  the  matrix  operator  (1)  defines  the  calibration  ratios aij  :  

     where i, j = 1 to n  (1)    

Matrix  A  is  a  square n x n  diagonal  matrix,  where  the  non-­‐zero  elements  are  on  the  main  diagonal,  a11 - ann.  These  calibration  ratios,  aij  represent  the  ratio  of  xi to xj',  where  the  prime  (')  indicates  xj'  includes  calibration  corrections.    The  magnitude  of  xj'  is  similar  to  xj  but  has  greater  resolution.  Then  calibration  formally  is  the  transformation  in  (2):  

    (2)  

         A  representational  measurement,  in  a  one  dimension  formalism,  is mxj  (3),  where  m  ( )  is  the  magnitude  of  the  variable  in xj uncorrelated units.    As  a  representational  measurement  does  not  include  calibration,  mxj  is  a  measurement  indication  that  is  uncorrelated  externally.    

        (3)  

4  

 

A  relational  measurement,  shown  in  (4),  includes  the  calibration  transformation  (2)  to  change  a  measurement  indication  (3)  into  a  measurement  result.    After  calibration,  each  xj'  is  within  the  defined  precision  relative  to  a  measurement  standard.    The  calibrated  measurement  increments  (xj')  are  correlated  to  xi,  wherever  and  whenever  xi  is  applied.  Equation  (4)  formalizes  the  metrology  definition  of  an  experimental  measurement.  

       (4)  

IV  CALIBRATION  ENTROPY    

Based  upon  (1)  above,  each  aij  in  (4)  statistically  varies  from  0.990 to 1.010.    This  statistical  variance  identifies  that  (1)  is  not  a  linear  operator  as  each  aij  is  not  a  constant.    Then  Xi  and  Xj  are  linearly  independent  and  A  must  be  a  nonsingular  matrix.    When  a  square  matrix  (m x m  is  a  square  matrix)  is  nonsingular,  its  determinate  is  not  zero,  which  means  any  non-­‐zero  calibration  (2),  causes  a  positive  entropy  change.    This  calibration  entropy  is  calculated  using  Shannon  entropy  as  the  m  states  are  mutually  exclusive.10  

The  measuring  instrument's  entropy  change  caused  by  a  basis  transformation  due  to  calibration  is  calculated  from  the  determinate  of  A  (shown  in  (5)  as  |aij|).  Since  matrix  A  is  diagonal,  the  determinate  is  calculated  by:  

    (5)  

Then  the  Jacobian,  the  reciprocal  of  the  determinate  in  this  case,  is   .    This  is  used  to  

calculate  the  calibration  entropy,  H(aij),  which  is  the  natural  log  of  this  Jacobian:           (6)  

When  calibration  changes  aij there  is  an  entropy  change.  This  entropy  change  may  be  so  small  as  to  be  close  to  changes  due  to  other  sources  of  experimental  measurement  uncertainty  [2.26].    But  the  calibration  entropy  is  greater  than  zero,  as  the  above  proves.    When  calibration  is  expressed  as  entropy,  the  two  calibration  effects,  adjustment  and  an  external  basis, appear  as  H(aij)  and ln r  -­‐  H(aij) respectively.11    Where  ln r  is  the  maximum  entropy  caused  by  changes  in  the  precision  of  the  measurement  increments  when  correlated  to  measurement  standard  units.   ln r is  usually  significantly  smaller  than  ln n,  the  maximum  entropy  of  the  measuring  instrument.      

V  CALIBRATION  IN  QUANTUM  MEASUREMENT  THEORY  Quantum  measurement  theory  is  formalized  in  a  complex  vector-­‐space  (Hilbert  space).  

Consistent  with  the  application  of  relational  measurement  theory,  relational  quantum  mechanics  theory  is  also  applied.12  Then,  "the  discontinuous,  non-­‐causal  and  instantaneously  acting"13  change  (unrelated  to  any  interactions  between  the  variable  and  the  measuring  instrument),  which  is  described  by  von  Neumann  process  1,  is  calibration.  Reviewing  von  Neumann's  process  1  function  in  matrix  form14  identifies  it  is  identical  to  (2),  calibration.    This  

5  

 

explains  why  the  von  Neumann  process  1  is  time  independent  and  the  von  Neumann  process  2  (the  Schrödinger  wave  equation)  is  not.      

In  quantum  measurement  theory  von  Neumann's  process  1  transforms  a  state  vector  (representing  a  variable)  into  an  eigenvector,  which  is  a  magnitude  of  complex  unit  vectors  relative  to  an  eigenbasis  set  (measuring  instrument).    The  square  modulus  of  this  eigenvector  is  the  probability  of  a  specific  eigenvalue  in  unit  vectors  and  the  quantum  measurement  result.      

von  Neumann  process  1  is  the  calibration  process  and  the  square  modulus  is  the  representational  measurement  process.    A  representational  measurement  is  an  inner  product  in  vector  space,  the  angle  (θ)  between  the  eigenvector  representing  the  variable  and  the  eigenbasis  set  representing  the  measuring  instrument  is  zero  and  xi  =  xj  =  x,  a  complex  unit  increment  without  an  external  basis.    Then  the  inner  product  of  the  eigenvector  and  eigenbasis  set  increments  is  x2  cos  θ  where  θ  =  0°,  cos  θ  =  1  which  identifies  the  complex  square  in  Hilbert  space  (square  modulus)  is  a  representational  measurement  process.    In  this  representational  measurement  the  complex  unit  vectors  (x)  are  exactly  equal  and  not  correlated  to  an  external  basis.    Lacking  an  external  basis  the  sum  of  n  unit  vectors  (nx)  can  only  be  one.  That  is,  x = 1/n or nx = 1,  which  defines  a  probability  distribution,  and  x'  (calibrated)  does  not  exist  because  there  is  no  correlation  to  an  external  basis.      

It  is  beautiful  to  recognize  that  quantum  measurement  theory  includes  calibration  before  a  measurement,  but  the  effect  of  calibration  in  Hilbert  space  is  uncorrelated  to  experimental  results.  This  identifies  why  a  specific  measurement  result  in  Hilbert  space  appears  indeterminate,  but  is  not  random.  

VI  CALIBRATION  ENTROPY  IN  A  VECTOR  SPACE.    Since  the  eigenvalue  probability  magnitude  in  unit  vectors  and  experimental  results  in  

calibrated  measurement  increments  are  fundamentally  different,  the  effect  of  calibration  on  quantum  measurement  theory  is  developed  using  entropy  forms.  In  the  position  measurement  matrix  A,  H(xj)  is  the  entropy  of  a  measuring  instrument  based  upon  the  position  measurement  increments.  The  entropy  after  the  basis  change  caused  by  calibration  is  H(x')  where:  15  

  (7)  

Consider  a  momentum  measurement  matrix  B  where  H(pj)  is  the  entropy  of  a  measuring  instrument  based  upon  the  momentum  measurement  increments.  The  entropy  after  a  basis  change  caused  by  calibration  is  H(p') where:  

   (8)  

The  entropic  Heisenberg  Uncertainty  Relation  (HUR)  between  position  and  the  related  momentum  is  well  known.16    Equations  (10)  and  (9)  present  this  relation  before  and  after  calibration.    c  is  a  constant  positive  magnitude.      

    (9)  

  (10)  

In  a  Gaussian  distribution  of  entropy  case,  (9)  and  (10)  may  be  combined:  

6  

 

     (11)    

Substituting  (7)  and  (8)  in  the  left  hand  side  of  (11)  produces:  

   (12)  

Combining  terms  in  (12)  produces:  

        (13)    

Equation  (13)  proves  that  a  change  in  the  entropy  of  the  position  measurement  increments  distribution,  due  to  calibration,  becomes  an  equal  and  opposite  change  in  the  entropy  of  the  momentum  measurement  increments  distribution.    Applying  (6)  in  both  position  and  momentum  forms  to  (13),  (14)  proves  (Gaussian  entropy  distribution  only)  that  the  distributions  of  aij  and  bij  are  the  same  (although  aij  and bij  are  order  independent).          

   (14)  

VII  CALIBRATION  ENTROPY  IN  UNCERTAINTY  RELATIONS  The  calibration  entropy  appears  as  a  difference  from  the  expected  experimental  results  via  

the  HUR  (17).  17      HUR  formalizes  how  a  change  in  the  distribution  of  one  variable  causes  a  change  in  the  distribution  of  a  second  variable  related  by  a  Fourier  transform.    Such  variables  are  termed  complementary.    The  HUR  operates  at  all  scales  and  applies  to  distributions  when  the  calibration  ratios  change.    The  aspect  of  HUR  that  has  been  unclear  occurs  when  the  calibration  entropy  is  not  included  in  quantum  measurement  theory  and  the  effect  of  the  calibration  entropy  of  the  first  variable  appears  (without  recognized  cause)  in  experiments  measuring  the  complementary  variable.18  This  aspect  of  HUR  is  formalized  below:    

 Based  upon  (2),  the  standard  deviation  (σ)  of  the  calibration  ratios  related  to  a  measurement  m  is:    

   (15)  

In  (15)  σa ≠ 1  except  when  all  aij = 1.  In  (15),  uniform  distributions  of  calibration  ratios  do  not  cancel  as  in  (4),  the  one  dimension  form.      

  (16)  

The  calibrated  measurement  increments  (xj')  change,  via  the  HUR,  the  measurement  increments  of  the  complementary  variable  (pj).    Equation  (16)  for  both  xi,  a  position    measurement  unit  (with  aij)  and  pi,  a  momentum  measurement  unit (with  bij),  is  applied  to  (17)  and  results  in  (18).      In  (17)  h  is  the  Planck  constant.      

                           (17)  19      

7  

 

      (18)    

The  two  standard  deviation  terms  in  (18)  are  based  upon  aij  and  bij which are order  independent.    Applying  (14)  to  (18)  proves  that  the  calibration  which  causes  xj' (16)  is  the  origin  of  the  momentum  distribution  change,  σbpi.    The  HUR  is  not  uncertain,  but  a  change  must  be  greater  than  one  half  the  Planck  constant  (h),  the  minimum  quantum  measurement  unit.    

VIII  WHY  CALIBRATION  IS  NOT  CONSIDERED  1.  One  assumption  is  that  calibration  only  effects  experimental  measurements.    That  is,  

calibration  makes  an  experimental  measurement  indication  (where  the  xj  vary)  more  closely  correlate  with  the  theory  (where  the  xj  are  fixed).    Recognizing  that  entropy  must  be  conserved,  (6)  makes  this  assumption  problematic.      

2.  In  one  dimensional  measurements  ( )  these  assumptions  are  often  made:     a)  the  distribution  of  calibration  corrections (aj)  is  uniform  about  the  mean  (e.g.,  

Gaussian).      

  b)    m >> xj.  

    c)    xj >> precision.      

  Applying  a)  and  b),  the  mean  of  aj is  very  close  to  one.  Applying  c),  the  change  due  to  calibration  is  less  than  the  smallest  measurement  increment.    These  assumptions  are  not  valid  when  measuring  the  magnitude  of  variables  near  to  Planck's  constant.  

3.  Considering  calibration  one  dimensional  supports  the  mean  as  the  parameter  of  the  calibration  distribution.    Calibration  corrections  are  at  least  two  dimensional  (e.g.,  matrix  A)  which  requires  the  standard  deviation  (15)  as  the  parameter  of  the  calibration  distribution.  

4.  Hilbert  space  calculations  cannot  correlate  with  experimental  results.  

5.    Currently,  formal  measurements  (3)  are  based  upon  representational  measurement  theory,  which  does  not  apply  calibration  independently.  Two  representational  measurements  (one  being  calibration)  can  model  a  relational  measurement  system.      

IX  CORROBORATING  EVIDENCE  1)  The  calibration  entropy  occurs  when  calibration  adjustments  are  applied  to  a  set  of  

experimental  measurement  indications.    This  entropy  change  does  not  occur  again  and  additional  measurement  results  of  an  unchanged  variable  are  unchanged  until  the  next  calibration  adjustment.  This  initializing  property  of  the  calibration  entropy  is  identified  in  experiments,  e.g.,    the  Compton  and  Simons  experiments  (endnote  19).      

2)  Calibration  establishes  a  distribution  of  non-­‐linear  measurement  increments.    This  is  in  agreement  with  the  theory  presented  by  E.  P.  Wigner  who  proved  that  the  cause  of  the  discontinuity  could  not  be  described  by  the  linear  laws  of  quantum  mechanics.20  

8  

 

3)  In  quantum  measurement  theory,  a  discrete  variable  allows  measurements  without  a  discontinuity.21    In  experimental  measurements,  the  equivalent  is  a  variable  with  discrete  equal  increments.  As  an  example,  counting  the  teeth  of  a  gear  to  measure  rotation.    In  these  cases  there  is  no  calibration  (all  gear  teeth  are  assumed  to  be  equal)  and  therefore  no  calibration  entropy.      

4)  Experimental  quantum  weak  measurements  (QWM)  reduce  H(aij)  by  addressing  measurements  with  small  n  (e.g.,  spin,  where  n = 2).22    In  equation  (6)  when  |aij| > 1, H(aij)  increases  and  when  |aij|< 1, H(aij)  decreases.    Then  distributions  of  spin  elements  almost  zero  H(aij),  which  makes  QWM  practical.    

5)  Section  V  identifies  the  Born  Rule23  (square  modulus)  as  the  representational  measurement  part  of  a  relational  measurement.    

6)  The  Schrödinger's  cat  thought  experiment  is  an  example  of  how  representational  measurements  alone,  uncorrelated  to  a  reference  (alive/dead),  do  not  represent  experimental  results.24  

7)  Calibration  is  a  basis  transformation  representing  changes  nearer  the  Planck  constant.      The  Lorentz  transform,  in  relativistic  mechanics,  is  a  basis  transformation  representing  changes  nearer  the  velocity  of  light.25    

8)  The  unacknowledged  calibration  entropy  is  the  reason  that  quantum  measurement  theories  do  not  describe  experimental  results,  which  was  proven  in  the  Einstein,  Podolsky  and  Rosen  paper.26    

X  CONCLUSIONS  Calculating  calibration  separately  from  a  measurement  assumes  a  one  dimension  

representational  measurement  system.    This  assumption  is  valid  in  many  classical  measurement  calculations,  but  not  in  Hilbert  space  calculations.  While  metrology  identifies  that  calibration  is  part  of  a  measurement,  relational  measurement  theory  is  necessary  to  include  calibration.    In  relational  measurement  theory,  external  references  are  required  to  compare  experimental  results.  Calibration  correlates  the  measuring  instrument  to  the  external  reference.      

Without  a  correlated  external  reference,  quantum  measurement  theory  represents  experimental  measurement  results  probabilistically.  Including  the  effect  of  calibration  to  references  in  quantum  measurement  theory  removes  the  measurement  discontinuity  and  unifies  quantum  and  classical  measurements.  

                                                                                                                         1  D.  H.  Krantz,  R.  D.  Luce,  P.  Suppes,  A.  Tversky,  Foundations  of  Measurement,  Academic  Press,  New  York,  1971.    This  three  volume  work  is  the  foundational  text  on  representational  measurement.      

2  D.  J.  Hand,  Measurement  Theory  and  Practice,  Oxford  University  Press,  New  York,  NY,  2004.    This  book,  as  one  example  of  many,  does  not  formalize  a  calibration  process  or  quantify  a  calibration  result  to  a  measurement.    

3  When  metrology   terms  are   first  used,   they  are   referenced   [x.x]   to   the  practical  definitions   in   the   International  Vocabulary   of   Metrology   (VIM)   3rd   edition,   BIPM   JCGM   200:2012,  http://www.bipm.org/en/publications/guides/vim.html  

9  

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       4  A.E.   Fridman,  The  Quality  of  Measurements:  A  Metrological  Reference,   Springer   Science+Business  Media,  page  132,  (metrological  definition  of  calibration),  2012  

5   J.   von  Neumann,  Mathematical   Foundations  of  Quantum  Mechanics,   Princeton  University  Press,  Princeton,  NJ,  USA,  1955,  page  351,  formula  1.          

6   L.   Mari,   S.   Sartori,   A   relational   theory   of   measurement:   Traceability   as   a   solution   to   the   non-­‐transitivity   of  measurement  results,  Measurement,  Vol  40,  page  233-­‐242,  2007.    This  develops  relational  measurement  theory  as  complementary  to  representational  measurement  theory.      

7   T.   Young,   The   Bakerian   Lecture:   On   the   Theory   of   Light   and   Colours.   Philosophical   Transactions   of   the   Royal  Society  of  London,  Vol  92,  1802,  pages  12–48.  

8   G.   B.   Airy,   On   the   Diffraction   of   an   Object-­‐glass   with   Circular   Aperture,   Transactions   of   the   Cambridge  Philosophical  Society,  Vol.  5,  Part  III,  1835,  page  283-­‐291.  

9   N.   R.   Campbell,   Foundations   of   Science,   Dover   Publications   Inc.   New   York,   NY,   Chapter   X   Foundations   of  Measurement,  1957  

10  C.  E.  Shannon,  The  Mathematical  Theory  of  Communications,  University  of  Illinois  Press,  Chicago,  IL,  1963,  pages  90-­‐91.    Here,  the  determinant  and  its  Jacobian  are  applied  to  calculate  the  entropy  of  a  basis  transformation.  11  C.  E.  Shannon,  page  56.    He  applies  the  term  redundancy  rather  than  external  basis.  

12  C.  Rovelli,  Relational  Quantum  Mechanics,  arXiv:quant-­‐ph/9609002v2  24  Feb  1997  

13  J.  von  Neumann,  page  349.      

14    J.  von  Neumann,  page  21.    Eigenvalue  equation  E1.  

15  C.E.  Shannon,  pages  90-­‐91.    Equation  (7)  is  derived  here.      

16  M.  Ohya  &  D.  Petz,  Quantum  Entropy  and  Its  Use,  Springer-­‐Verlag,  Berlin,  1993,  page  281.      

17  J.  Erhart,  S.  Sponar,  G.  Sulyok,  G.  Badurek,  M.  Ozawa,  Y.  Hasegawa.    Experimental  demonstration  of  a  universally  valid  error-­‐disturbance  uncertainty  relation  in  spin-­‐measurements,  arXiv:1201.1833v1  [quant-­‐ph]  9  Jan  2012.    This  paper   assumes   measurement   "back   action/recoil"   is   responsible   for   all   discontinuous   changes,   rather   than  calibration  being  responsible  for  some.      

18  J.  von  Neumann,  pages  212-­‐215  describes  the  Compton  and  Simons  experiment.  

19   W.   Heisenberg,   The   Physical   Principles   of   the   Quantum   Theory,   Dover   Publications,   Mineola,   NY,   1949,   The  uncertainty   relations,   page   13.     Equation   (17)   assumes   that   any   correlations   between   the   variable   and   the  measuring  instrument  (related  to  interactions  between  the  variable  and  the  measuring  instrument)  are  canceled.      

20  E.  P.  Wigner,  II.4  The  Problem  of  Measurement,  Quantum  Theory  and  Measurement,  eds:  J.  A.  Wheeler  and  W.  H.  Zurek,  Princeton  University  Press,  Princeton,  NJ,  1983,  page  335.      

21  J.  von  Neumann,  page  334-­‐335  describes  five  properties  of  a  measurement.  

22  B.  Tamir  &  E.  Cohen,  Introduction  to  Weak  Measurements  and  Weak  Values,  Quanta,  V2,  No.  1,  May  2013,  page  7.      

23  M.  Born,  On  the  Quantum  Mechanics  of  Collisions,  Quantum  Theory  and  Measurement,  eds.  J.  A.  Wheeler  and  W.  H.  Zurek,  Princeton  University  Press,  Princeton,  NJ,  1983,  note  at  the  bottom  of  page  54.      

10  

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       24  E.  Schrödinger,  Die  gegenwärtige  Situation  in  der  Quantenmechanik,    Naturwissenschaften  23  (49),  pages  807–812,  November  1935.    

25  A.  Einstein,  Relativity,  the  special  and  general  theory,  Crown  Trade  Paperbacks,  New  York,  1961.      

26  A.  Einstein,  B.  Podolsky  and  N.  Rosen  (EPR),  Can  the  Quantum-­‐Mechanical  Description  of  Reality  Be  Considered  Complete?,  Physical  Review,  Vol  47,  May  15,  1935,  page  780.