UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE EL SALVADORFACULTAD DE INFORMATICA Y CIENCIAS APLICADAS

ESCUELA DE CIENCIAS APLICADAS

“ING JULIO C. ORANTES” COORDINACION DE MATEMATICAS Y CIENCIAS

MATEMATICAS I

Ingeniería

SECCION: 06

Catedrático: Ing. Juan Antonio Reyes Mina

Instructor: Wilber Serrano

TEMA:

Construcción de un manual de aplicación para GeoGebra

TERCERA INVESTIGACION 20/10/2012

No Carnet Integrantes Firma

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17-6403-2012 ORELLANA RAMIREZ RUBEN ANDRES

25-6401-2012 BORJA BENITEZ DARWIN ELVIS

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INDICE

INTRODUCCION……………………………………………………. PAG 3

OBJETIVOS…………………………………………………………. PAG 4

MARCO TEORICO CONCEPTUAL………………………………. PAG 5 – 15

DESARROLLO DEL TEMA ………………………………………. PAG 16 – 30

CONCLUSIONES…………………………………………………… PAG 31

FUENTES DE CONSULTA………………………………………….. PAG 32

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INTRODUCCION

GeoGebra, una herramienta para la Enseñanza de la Matemática

En el año 2002 salió la primera versión del programa GeoGebra, su

creador y actual director del equipo es Markus Hohenwarter (ver figura

1.1) quien trabaja en la Universidad Linz Johannes Kepler en Austria.

Actualmente en el proyecto trabajan cerca de ocho personas de diversos

países del mundo: Inglaterra, Hungría, Francia, Luxemburgo, Estados

Unidos y Alemania. Además del apoyo que reciben de algunas personas de

la comunidad, traductores, instituciones y proyectos asociados.

Tal como su nombre lo dice, Geogebra es un programa que mezcla la

geometría con el álgebra. En este sentido, para la parte geométrica se

puede ubicar dentro de los programas dinámicos de geometría los

cuales, en general, permiten realizar construcciones geométricas, con

la ventaja de poder mover los puntos de la construcción y observar sus

invariantes y características. Sin embargo, Geogebra presenta

características adicionales que los programas dinámicos de geometría

por lo general no poseen y que lo hace especial, conforme se realizan

las construcciones geométricas en una ventana se van mostrando las

expresiones algebraicas que representan a las líneas, los segmentos,

círculos y puntos de la construcción; también permite trabajar con las

funciones al poderlas graficar y manipular de una manera sencilla.

Geogebra también puede calcular la derivada de las funciones, posee su

propia hoja de cálculo y además ya tiene implementadas muchas

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funciones de manera interna lo que ahorra mucho trabajo (por ejemplo,

la aproximación del área bajo la curva utilizando rectángulos).

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OBJETIVOS

GENERAL

El objetivo general es aplicar el software GeoGebra como recurso

didáctico, dinámico y metodológico para el proceso de enseñanza –

aprendizaje de la matemática.

ESPECIFICOS

Los objetivos específicos son: experimentar con la interfaz gráfica,

las herramientas y el entorno interactivo del programa mediante

construcciones base para otras más elaboradas; construir simulaciones

y animaciones que se pueden realizar con el programa; y diseñar

lecciones asistidas por computadora utilizando GeoGebra.

GeoGebra cubre todos los aspectos básicos del software GeoGebra

matemáticas dinámico. Por otro lado, se puede utilizar este documento

para aprender el uso del mismo software.

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MARCO TEORICO CONCEPTUAL

¿Qué es GeoGebra?

GeoGebra es un software interactivo de matemática que reúnedinámicamente geometría, álgebra y cálculo. Lo ha elaborado MarkusHohenwarter junto a un equipo internacional de desarrolladores, parala enseñanza de matemática escolar.

1.1 Vistas Múltiples de los Objetos Matemáticos

GeoGebra ofrece tres perspectivas diferentes de cada objetomatemático: una Vista Gráfica, una, numérica, Vista Algebraica y además, unaVista de Hoja de Cálculo. Esta multiplicidad permite apreciar los objetosmatemáticos en tres representaciones diferentes: gráfica (como en elcaso de puntos, gráficos de funciones), algebraica (como coordenadasde puntos, ecuaciones), y en celdas de una hoja de cálculo. Cadarepresentación del mismo objeto se vincula dinámicamente a las demásen una adaptación automática y recíproca que asimila los cambiosproducidos en cualquiera de ellas, más allá de cuál fuera la que locreara originalmente.

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1.1.1 Vista Gráfica Con el ratón o mouse1, empleando las herramientas de construccióndisponibles en la Barra de Herramientas, pueden realizarse construccionesgeométricas en la Vista Gráfica.

Todo objeto creado en la Vista Gráfica, tiene también su correspondienterepresentación en la Vista Algebraica. Atención: Tras activar la herramienta que Elige y Mueve se puedendesplazar objetos en la Vista Gráfica, arrastrándolos con el ratón o mouse.Simultáneamente, las representaciones algebraicas se actualizandinámicamente en la Vista Algebraica. Basta con elegir alguna herramienta de construcción de la Barra deHerramientas y seguir las indicaciones de la Ayuda de la Barra de Herramientas (a continuaciónde la Barra de Herramientas) para averiguar cómo usarla.

Atención: Si el nombre de la herramienta y/o laexplicación de su empleo fueran demasiado extensos, sóloaparecerá en el extremo derecho de la Barra, el nombre encuestión. La explicación de su empleo, se podrá leer enel cuadrito emergente al pasar con el ratón o mouse por encimade la herramienta activa.

Cada ícono de la barra, representa una caja de herramientas quecontiene una selección de útiles similares, que se despliegan con unclic sobre la flechita del vértice inferior derecho del recuadro delícono.

Ojo: Las herramientas se organizan según su función o la índole de objeto resultante. A la Caja de Herramientas de Puntos (el ícono por omisiónes ) se recurre para diversas creaciones de diferentes puntos y las que aplican transformaciones geométricas se agrupan en la Caja de Herramienta de Transformación (su ícono por omisión es ).

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1.1.2 Vista AlgebraicaDesde la Barra de Entrada de GeoGebra pueden ingresarse directamenteexpresiones algebraicas. Después de pulsar la tecla Enter, lo ingresadoaparece en la Vista Algebraica y, automáticamente, su representación gráficaen la Vista Gráfica. Por ejemplo, al ingresar f(x)= x^2 aparece la función cuadrática en la Vista Algebraica y el gráfico dela parábola en laVista Gráfica.

En la Vista Algebraica, se distinguen los objetos matemáticos libres delos dependientes. Es libre todo nuevo objeto creado sin emplearninguno de los ya existentes y, viceversa, será dependiente, el quederivara de alguno previo.

Atención: Para que en la Vista Algebraica no aparezca la representación deun objeto, basta con establecerlo como Objeto Auxiliar: un clic derecho (en MacOS: Ctrl!clic) sobre el objeto correspondiente de la Vista Algebraica, permite seleccionar ‘Propiedades’ en el Menú Contextual desplegado para designarlo Objeto Auxiliar en la pestaña ‘Básico’ de la Caja de Diálogo de Propiedades. Por omisión, los objetos auxiliares no aparecen en la Vista Algebraica pero esposible revertir este comportamiento, tildando Objetos Auxiliares en el Menú Vista. Es posible, además, modificar los objetos en la Vista Algebraica: hay que controlar que la herramienta que Elige y Mueve esté activada antesde hacer doble clic sobre un objeto libre en la Vista Algebraica. En la caja de texto emergente, se puede editar directamente la representación algebraica del objeto. Después de pulsar la tecla Enter, la representación gráfica del objeto se ajustará automáticamente a los cambios efectuados. Un doble clic sobre un objeto dependiente de la Vista Algebraica, despliega una caja de diálogo en la que se lo Redefine. GeoGebra ofrece también una amplia gama de comandos que se pueden ingresar en la Barra de Entrada. La lista de Comandos, disponible en la esquina derecha de la Barra de Entrada, se despliega

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con un clic sobre la flechita en el vértice inferior derecho del botón Comando. Después de seleccionar el comando de la lista (o de anotar su nombre directamente en el Campo de Entrada), aparece información sobre su sintaxis y ayuda sobre los datos necesarios para aplicarlo, al pulsar la tecla F1

1.1.3 Vista de Hoja de Cálculo Cada celda de la Vista de Hoja de Cálculo de GeoGebra tiene una denominación específica que permite dirigirse a cada una. Por ejemplo,la celda en la fila 1 de la columna A se llama A1. Atención: El nombre de una celda puede usarse en expresiones y comandos para referir a su contenido. En las celdas de una hoja de cálculo, pueden ingresarse tanto números como cualquier otro tipo de objeto matemático tratado por GeoGebra (sean coordenadas de puntos, funciones, comandos). Cuando corresponde, también aparece de inmediato, en la Vista Gráfica, la representación del objeto ingresado en la celda, cuyo nombre coincide con el de la celda de la hoja de cálculo a partir de la cual fue creado (por ejemplo: A5, C1, D3, etc.). Atención: Por omisión, quedan establecidos como Objetos Auxiliares en la Vista Algebraica, los creados en una hoja de cálculo. Aparecerán o no según Objetos Auxiliares esté o no tildado en el menú Vista.

1.2 GeoGebra: Medio para Enseñar y Aprender Matemáticas

1.2.1 Personalizando la Interfaz de Uso

Para personalizar la interfaz de uso de GeoGebra, desde el Menú Vista, se decide qué diferentes partes mostrar o ocultar, segúnse tilde o no, por ejemplo, la Vista Algebraica, la Vista de Hoja de Cálculo o Barra de Entrada.

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Exponiendo y Ocultando Objetos Se pueden exponer u ocultar objetos en la Vista Gráfica de diferentes maneras:

Empleando la herramienta Expone / Oculta Objeto para operar en tal sentido.

Abriendo el Menú Contextual y seleccionando el ítem Expone Objetopara cambiar el estado de visibilidad del objeto seleccionado.

En la Vista Algebraica, el ícono a la izquierda de cada objeto exponesu estado de visibilidad actual ( ‘expuesto’ o ‘oculto’). Unclic sobre el ícono redondito cambia el estado de visibilidad deun objeto.

Empleando la herramienta Casilla para Exponer / Ocultar Objetos paraoperar de tal modo sobre varios objetos.

Personalizar la Vista Gráfica Para ajustar la parte visible de la Vista Gráfica, su fondo puede desplazarse con la herramienta Desplaza Vista Gráfica y, además,se puede acercar o alejar el punto de mira (“zoom” mediante) de alguna de estas maneras:

Con las herramientas Zoom de Acercamiento y Zoom de Alejamiento que dan “zoom” en la Vista Gráfica Nota: La posición del clic, determina el centro del “zoom”

Con la rueda del mouse o ratón se maneja el “zoom” en la Vista Gráfica (de ampliación o reducción según el sentido de giro)

Con las teclas de atajo se realiza el “zoom” de acercamiento (Ctrl +) y el de alejamiento (Ctrl !).

Un clic derecho (MacOS: Ctrl ! clic) en una zona vacía de la Vista Gráfica despliega un Menú Contextual que ofrece la opción de Zoom.

Al encuadrar un Zoom Rectangular Se establece un extremo del área aenfocar en un lugar vacío de la Vista Gráfica, con un clic derecho(MacOS: Cmd ! clic) que se sostiene mientras se arrastra elratón o mouse hasta soltarlo cuando se haya establecido el marcode Zoom Rectangular deseado. La Vista Gráfica se ajustaráautomáticamente a tal recuadro.

El menú Vista permite decidir si van o mostrarse o ocultarse los Ejes Coordenados y la Cuadrícula de Coordenadas en la Vista Gráfica.

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Atención: Otro modo de mostrar o ocultar los ejes y la cuadrícula es con un clic derecho (MacOS: Ctrl!clic) sobre el fondo de la Vista Gráfica y seleccionado los ítems correspondientes del Menú Contextual emergente ‘Ejes’ o ‘Cuadrícula’.

Personalizar Ejes de Coordenadas y Cuadrícula Con la Caja de Diálogo de Propiedades de la Vista Gráfica, pueden personalizarselos ejes de coordenadas y la cuadrícula. Después de un clic derecho, (MacOS: Ctrl!clic) sobre el fondo de la Vista Gráfica, seleccionando ‘Propiedades’ del Menú Contextual emergente, puede abrirse la ventana de diálogo para establecer.

En la pestaña ’Ejes’, por ejemplo, el estilo de trazo y las unidades de los ejes de coordenadas, así como el valor de la distancia entre las marcas de graduación. Es de hacer notar que puede personalizarse cada eje individualmente, en las pestañas correspondientes ‘EjeX’ y ‘EjeY’. Además, también puede modificarse la relación entre los ejes y ocultar o mostrar cada uno de ellos, por separado.

En la pestaña Cuadrícula, se pueden modificar, por ejemplo, elcolor y estilo de la cuadrícula de coordenadas, y fijar ladistancia entre las líneas de la cuadrícula a un valordeterminado. Incluso, se puede establecer un trazado ‘Isométrico’de la cuadrícula.

Atención: En cualquier modo, se pueden escalar los ejes pulsando y sosteniendo la tecla Shift (Para PC: también tecla Ctrl) mientras se arrastran los ejes. Atención: La Caja de Diálogo de Propiedades de la Vista Gráfica es diferentea la Caja de Diálogo de Propiedades de los objetos.

Personalizando la Barra de Herramientas La Barra de Herramientas puede personalizarse seleccionando Personalizar Barra de Herramientas del menú Herramientas. En la lista que aparece a la izquierdade la ventana de

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diálogo, se selecciona la herramienta o caja de herramientas que sedesea eliminar de la Barra correspondiente y se pulsa sobre el botón ‘Eliminar >’. Atención: Se puede restablecer la Barra de Herramientas original pulsando sobre el botón correspondiente que aparece en la zonainferior izquierda de la ventana de diálogo ‘Restablecer Barra de Herramientas Original’.

1.2.2 La Caja de Diálogo de Propiedades

La Caja de Diálogo de Propiedades permite modificar las propiedades de los objetos. Como su medida el color, sombreado; estilo de trazo,, grosor de trazo, visibilitdad). Visibilidad. Se puede abrir la Caja de Diálogo de Propiedades de diferentes maneras. Por ejemplo, seleccionando…

… ‘Propiedades…’ del Menú Contextual que se despliega con un clic derecho (MacOS: Ctrl ! clic) sobre un objeto.

… el ítem Propiedades del menú Edita. … la herramienta que Elige y Mueve y dando doble clic sobre un

objeto en la Vista Gráfica para pulsar sobre el botón de ‘Propiedades…’ de la ventana emergente, la de Redefine.

En la lista que vemos a la izquierda en la Caja de Diálogo de Propiedades, los objetos aparecen organizados según su tipo (por ejemplo: puntos, rectas, circunferencias) facilitando la selección múltiple para el cambio de propiedades. Es preciso seleccionaruno o más objetos de la lista para cambiar sus propiedades.

Atención: Para seleccionar un conjunto de objetos del mismo tipo, basta con un clic sobre el correspondiente encabezado (por ejemplo, ‘Punto’) para pasar a cambiar las propiedades de ese conjunto. Según el tipo de propiedades que se desee modificar de los objetos seleccionados, se elige la

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correspondiente pestaña del encabezado del recuadro de la derecha (sea Básico, Color, Estilo, Avanzado).

Atención: Puede aparecer un juego de pestañas diferentes, acorde a la selección de objetos realizada. Cuando se completa el cambio de propiedades de los objetos, se debe cerrar la Caja de Diálogo de Propiedades.

1.2.3 Usando el Menú Contextual

El Menú Contextual proporciona una manera ágil de modificar el comportamiento o las propiedades avanzadas de un objeto. Un clic derecho (MacOS: Ctrl!clic) sobre un objeto despliega su Menú Contextual. Así, para cambiar la notación algebraica de un objeto (por ejemplo, coordenadas polares o cartesianas, ecuación implícita o explícita) y acceder directamente a opciones como Renombra, Borra, Activa Rastro, Animación Automática. O Copia en Campo de Entrada.

Atención: Si estuviese activa la Vista de Hoja de Cálculo al desplegarse elMenú Contextual de un punto en la Vista Gráfica, aparece la opción Registra en Hoja de Cálculo que opera registrando en la Vista de Hoja de Cálculo sus sucesivas coordenadas, a medida que se lo desplaza. Atención: Al seleccionar Propiedades… en el Menú Contextual se abre la Caja de Diálogo de Propiedades, para definir o cambiar las de todos los objetos en juego.

1.3 GeoGebra como Herramienta de Presentación

1.3.1 Usando la Barra de Navegación

GeoGebra ofrece una Barra de Navegación que permite recorrer los pasos de construcción del boceto elaborado. Al seleccionar Barra de Navegaciónpor Pasos de Construcción en el

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Menú Vista, la Barra de Navegación aparece al pie de la Vista Gráfica. La Barra de Navegación presenta una botonera y expone el número de Pasos de Construcción (por ejemplo., 2 / 7 significa que estamos frente al segundo de un total de siete Pasos de Construcción):

es el botón para: ‘retroceder al paso inicial’ es el botón para: ‘retroceder paso a paso’ es el botón para: ‘avanzar paso a paso’ es el botón para: ‘avanzar hasta el ultimo paso’ ‘Reproduce’: ‘automáticamente ejecuta la construcción paso a paso Atención: La caja de texto a la derecha del botón ‘Reproduce’

permite establecer la velocidad de ejecución automática. ‘Pausa’: establece una ‘pausa en la ejecución automática’ Atención: Este botón sólo aparece durante una ejecución iniciada

con ‘Reproduce’. es el botón para abrir el Protocolo de Construcción.

1.3.2 El Protocolo de Construcción

El ítem Protocolo de la Construcción del Menú Vista da acceso a una tabla interactiva que expone todos los Pasos de Construcción y permite rehacer el boceto realizado, paso a paso usando la Barra de Navegación que aparece al pie de la Caja de Diálogo del Protocolo de Construcción.

Navegando y Modificando el Protocolo de Construcción

Puede usarse el teclado para navegar por el Protocolo de Construcción: La ‘flecha ascendente’ ↑ del teclado lleva al paso de

construcción previo. La ‘flecha descendente’ ↓ ‘del teclado lleva al siguiente paso de

construcción. La tecla Home lleva al inicio del Protocolo de Construcción. La tecla End lleva al final del Protocolo de Construcción.

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La tecla Borra elimina el paso de construcción seleccionado. Atención: Esta acción puede afectar a otros objetos que dependen del eliminado y/o del paso de construcción seleccionado.

Puede emplearse el ratón o mouse para navegar por el Protocolo de Construcción:

Doble clic sobre una fila para seleccionar un paso de construcción. Doble clic sobre el encabezado de una columna para ir al inicio del

Protocolo de Construcción. Arrastrar y soltar una fila para desplazar un paso de

construcción a otra posición en el Protocolo de Construcción. Atención: Esto no siempre es posible debido a la dependencia entre los diferentes objetos involucrados en cada paso.

Clic derecho sobre una fila para abrir el Menú Contextual del objeto en esos paso de construcción.

Atención: Pueden intercalarse Pasos de Construcción en cualquier posición, seleccionando el paso bajo el cual se quiera insertar el nuevo. Si se deja la Ventana del Protocolo de Construcción abierta mientras se crea un nuevo objeto, vemos cómo este nuevo paso de construcción inmediatamente se intercala en la posición seleccionada del Protocolo de Construcción.

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Para que, al recorrer la construcción desde la Barra de Navegación, varios objetos se expongan en simultáneo, los agrupamos marcando sus correspondientes Pasos de Construcción como ‘Puntos de Ruptura’. La columna Punto de Ruptura se activa desde el Menú Vista de la Ventana del Protocolo de Construcción. Atención: Se pueden /des)activar las diferentes columnas del Protocolo de Construcción (des) tildándolas en el Menú Vista de la Ventana del Protocolo de Construcción.

Exportando el Protocolo de Construcción como Página!Web

Para exportar el Protocolo de Construcción como una página web, en primer lugar se debe abrir el Protocolo de Construcción desde el Menú Vista y luego recurrir al ítem ‘Exporta como Página Web (html)…’ del menú Archivo de la Ventana del Protocolo de Construcción.

En la Ventana de Exportación del Protocolo de Construcción se pueden anotar los datos correspondientes a ‘Título’, ‘Autoría’ y ‘Fecha’ dela construcción y elegir si se insertará o no la imagen de la VistaGráfica o la de la Vista Algebraica así como si se va a exportar el Protocolo de Construcción a Color’. Esto último implica queel color de los objetos en el protocolo de construcción coincidirá con el de los correspondientes del boceto. Atención: El archivo2 HTML exportado puede verse con cualquier navegador de Internet (por ejemplo. Firefox, Internet Explorer) y editarse con diversos sistemas de procesamiento de textos (por ejemplo. OpenOffice Writer).

1.3.3 Cambiando las Opciones de GeoGebra

GeoGebra permite cambiar y guardar los ajustes preferidos que se hubieran establecido en el menú de Opciones. Por ejemplo, cambiar la Unidad Angular de ‘Grados’a ‘Radianes’, o el Estilo de Punto,, Tamaño de Casilla de Control, y Estilo del Angulo Recto.

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Además, puede cambiarse el estilo de la notación de las Coordenadas y decidir qué objetos se van a rotular o el Rotulado. Se profundiza esta información en la sección sobre el Menú de Opciones. Se pueden guardar las opciones definidas, con el ítem Guardar Configuración del Menú de Opciones para que GeoGebra establezca tales ajustes de uso en cada nuevo boceto creado y archivado. Atención: Se pueden recuperar las opciones por omisión originales, seleccionando el ítem Restablecer la Configuración Original del menú de Opciones. Atención: Cuando se emplea GeoGebra como una herramienta de presentación, conviene aumentar la medida de tipografía (ítem Tamaño de Letra ‘del menú de Opciones) para que se aprecien con facilidad los textos y los rótulos de los objetos.

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1.4 GeoGebra como Herramienta de Autor

1.4.1 Imprimiendo Opciones

Imprimiendo la Vista Gráfica

Para imprimir la Vista Gráfica de las construcciones, es conveniente recurrir en primer lugar, al ítem Pre visualiza Impresión... del menú Archivo.En la Ventana de Diálogo de Pre visualiza Impresión, pueden anotarse datos correspondientes a ‘Título’, ‘Autoría’, y ‘Fecha’ de la construcción. Además, se puede fijar la Escala de impresión (en cm) y establecer la Orientación del papel (horizontal si se desea una impresión apaisada y vertical en caso contrario).

Atención: Para actualizar Previsualiza Impresión después de cada cambio en el texto o disposición de la impresión, debe pulsarse latecla Enter.

Imprimiendo el Protocolo de Construcción Para imprimir el Protocolo de Construcción, en primer lugar se debe abrir la Ventana del Protocolo de Construcción desde el Menú Vista y luego, abrir la ventana de Previsualiza Impresión del Protocolo de Construcción desde el Menú Archivo de esta nueva ventana. Nuevamente, pueden anotarse los datos correspondientes a ‘Título’, ‘Autoría’, y ‘Fecha’ de la construcción o cambiar Escala o la orientación del papel, antes de imprimir el Protocolo de Construcción. Atención: Es posible cambiar el orden de las diferentes columnas del Protocolo de Construcción y/o (des)activar cualquier de ellas, Nombre, Definición, Comando, Algebra y Punto de Ruptura usando el Menú Vista de la ventana de diálogo del Protocolo de Construcción.

1.4.2 Creando Imágenes de la Guardando la Vista Gráfica como Imagen Puede archivarse como imagen, la Vista Gráfica de cualquier construcción.

Atención: Se guarda la imagen completa de la Vista Gráfica. Por eso, cuando sólo interesa una zona de la construcción conviene, previamente, apelar a…

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… las herramientas pertinentes, Desplaza Vista Gráfica, Zoom de Acercamiento, Zoom de Alejamiento , hasta ubicar la construcción en la zonasuperior izquierda de la Vista Gráfica y entonces, reducir la ventana de GeoGebra arrastrando sus extremos y/o bordes con el ratón o mouse.

… a la selección rectangular para especificar qué parte quedará enfocada en la Vista Gráfica antes de guardarla como imagen.

… crear un par de puntos denominados Exporta_1 y Exporta_2, que determinarán sendos vértices opuestos del Rectángulo de Exportación Atención: Los puntos Exporta1 y Exporta2 deben marcarse en el área visible de la Vista Gráfica.

En el menú Archivo, la opción Vista Gráfica como Imagen del ítem Exporta despliega una ventana de diálogo en que se puede especificar el Formato, Escala (en cm) y Resolución (en dpi) de la imagen guardada en el archivo gráfico al que se la exporta Atención: La medida efectiva de la imagen aparece en la ventana de exportación, debajo de los botones mencionados, expresada tanto en centímetros como en pixels. Se profundiza en la información al respecto en la sección Exporta Vista Gráfica como Imagen.

Copiando la Vista Gráfica al Portapapeles

Hay diferentes maneras de copiar la Vista Gráfica al llamado portapapeles. Seleccionando, clic mediante…

… el ítem Copia la Vista Gráfica al Portapapeles del menú Edita … Copia la Vista Gráfica al Portapapeles, una de la opciones del ítem

Exporta del menú Archivo … el botón Portapapeles de la ventana de diálogo Exporta Vista Gráfica

como Imagen de Exporta Vista Gráfica como Imagen (png, eps)…) del ítem Exporta del menú Archivo.

Cualquiera de estas maniobras llevan al portapapeles del sistema unacopia de captura de pantalla de la Vista Gráfica como imagen con formato PNG (ver Formato PNG). Este imagen puede pegarse en otros documentos (por ejemplo. los elaborados con un procesador de textos).

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Atención: Para exportar una construcción fijando determinada escala (en cm), basta con seleccionar la opción Vista Gráfica comoImagen del ítem Exporta del menú Archivo (ver Exporta Vista Gráfica como Imagen).

1.4.3 Creando Páginas Web interactivas

Para crear, a partir de archivos de GeoGebra, páginas web interactivas, las así llamadas Hojas Dinámicas, basta con seleccionar la opción Hoja Dinámica como Página Web (html) del ítem Exporta del menú Archivo y desde la ventana de diálogo de Hojas Dinámicas, proseguir:

En la zona superior de la ventana de exportación, anotar los datos correspondientes a Título, Autoría y una Fecha de la Hoja Dinámica.

La pestaña General permite añadir texto antes y después de la construcción dinámica (por ejemplo., una descripción de la construcción y alguna propuesta o desafío). También se puede determinar si la construcción va a incluirse de por sí en la página web directamente o si se abrirá con un clic sobre un botón.

La pestaña Avanzado o permite cambiar la funcionalidad de la construcción dinámica (por ejemplo: mostrar un ícono de reinicio,si un doble clic abrirá la ventana de aplicación de GeoGebra) e incluso modificar la interfaz de uso expuesta en el applet interactivo (por ejemplo., si se cuenta o no con la Barra de Herramientas, cuál será la altura y el ancho). Atención: Si la medida del applet excede las dimensiones de pantalla cuando la resolución es la estándar (1024 x 768), conviene redimensionar antes de exportarla efectivamente como Hoja Dinámica.

Atención: Cuando se exporta una Hoja Dinámica: se crean varios archivos:

un archivo html (por ejemplo. circular.html) que incluye la hoja dinámica propiamente dicha

un archivo GGB (por ejemplo. circular.ggb) que incluye la construcción, el boceto de GeoGebra.

varios archivos JAR (como geogebra.jar) que incluye a GeoGebra y le otorga su tenor interactivo a la hoja dinámica.

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Todos estos archivos (por ejemplo. circular.html, circular.ggb y geogebra.jar) deben estar presentes en la misma carpeta (o directorio)para que el boceto funcione dinámicamente.

El archivo HTML exportado (por ejemplo. circular.html) puede apreciarse con cualquier navegador de Internet (por ejemplo. Mozilla, Internet Explorer, Safari). Para que el comportamiento de la construcción sea dinámico, el equipo de trabajo debe tener instalado Java (se lo puede bajar desde http://www.java.com gratuitamente). Paratrabajar sobre una Hoja Dinámica en uno de los equipos de una red, como la secular por ejemplo, quien administre la red local debe asegurarse de tener Java adecuadamente instalado. Atención: Para editar el texto de una Hoja Dinámica, basta con abrir el archivo HTML exportado con cualquier sistema de procesamiento de textos (porejemplo. FrontPage, OpenOffice Writer). También puede editarse el applet de la Hoja Dinámica abriendo el archivo GGB con GeoGebra y guardándolo después, con el mismo nombre.

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DESARROLLO DEL TEMA

GeoGebra Una guía de referencia rápida para GeoGebra

Geometría dinámica, álgebra y cálculo se asocian para formar GeoGebra,

un programa educativo, galardonado en numerosas ocasiones, que combina

geometría y álgebra como componentes de igual importancia.

De manera muy sencilla, se pueden construir figuras con puntos,

segmentos, rectas, vectores, cónicas y también gráficas de funciones

que pueden ser fácil y dinámicamente modificadas mediante el ratón. El

programa también admite expresiones como: g: 3x + 4y = 7 o: c: (x – 2)² + (y – 3)²

= 25 y ofrece una gama de comandos entre los que cabe destacar la

derivación y la integración.

La característica más destacable de GeoGebra es la doble percepción de

los objetos: cada expresión de la Ventana de Álgebra se corresponde

con un objeto de la Zona Gráfica y viceversa.

En lo que sigue podrás familiarizarte con GeoGebra examinando seis

ejemplos. Están pensados para ser seguidos sucesivamente, sin olvidar

la experimentación y la comprobación de los trucos propuestos.

Ejemplo 1: Circunferencia circunscrita a un triángulo.

Ejemplo 2: Tangentes a una circunferencia.

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Ejemplo 3: Derivada y tangente a la gráfica de una función.

Ejemplo 4: Construcción de un cuadrado.

Ejemplo 5: Crecimiento decrecimiento de funciones.

Ejemplo 6: Función cuadrática con parámetros.

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Al arrancar el programa aparece una ventana con el siguiente aspecto:

Utilizando las herramientas de construcción (modos) desde la Barra de

herramientas se pueden construir figuras, usando el ratón, sobre la Zona

gráfica. Simultáneamente aparecerán en la Ventana de Álgebra las

coordenadas o ecuaciones correspondientes. El Campo de entradas o Campo

de texto se utiliza para introducir directamente coordenadas,

ecuaciones, comandos y funciones; los objetos o gráficas

correspondientes aparecerán en la Zona gráfica nada más pulsar la tecla

Intro.

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Ejemplo 1: Circunferencia circunscrita a un triánguloTarea: Construir un triángulo ABC y su circunferencia circunscrita utilizando GeoGebra.

Construcción mediante el ratón

Seleccionar el modo u opción “Polígono” en la Barra deherramientas (clic sobre la flechita del tercer icono para desplegarel menú correspondiente). Luego hacer clic en tres puntos de la zonagráfica para crear los vértices A, B y C. Cerrar el triángulo haciendoclic de nuevo sobre A.

Seleccionar el modo “Mediatriz” (del cuarto icono/menú) yconstruir dos mediatices haciendo clic sobre dos de los lados deltriángulo.

El modo “Intersección entre dos objetos” (segundo icono) permiteobtener el circuncentro, punto de corte de las mediatrices y centro dela circunferencia circunscrita. Para llamarlo “M”, clic derecho sobreel punto y seleccionar “Renombrar” en el menú que aparece.

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Para terminar la construcción, elegir “Circunferencia … (centro-punto)” (primera opción del quinto icono) y hacer clic primero sobreel circuncentro y luego sobre cualquiera de los vértices deltriángulo.

Seleccionar ahora el modo “Desplaza” (primera opción del primericono) y cambiar la posición de cualquiera de los vértices(arrastrándolo con el ratón) para comprobar el funcionamiento de la“Geometría dinámica”.

Algunos trucos El ítem “Deshacer” del menú “Editar” es una herramienta muy útil

para rectificar y anular la(s) última(s) operación(es). Cualquier objeto se puede convertir invisible haciendo clic

derecho sobre él y desactivando la opción “Expone objeto”. El aspecto de los objetos (color, grosor, estilo, etc.) puede

modificarse fácilmente: elegir “Propiedades” en el menúcontextual que aparece al hacer nuevamente clic derecho sobre elobjeto que se desea modificar.

El menú “Ver” permite ocultar o mostrar la Ventana de Álgebra,los ejes de coordenadas y la grilla o cuadrícula.

Para modificar la posición de la zona gráfica, seleccionar elmodo “Desplaza zona gráfica” y arrastrar (con el botónizquierdo del ratón)

El ítem “Ver -- Protocolo de construcción” muestra todas lasetapas de la construcción. Permite la revisión paso a paso eincluso cambiar el orden o modificar la secuencia de algunasetapas. Dentro de él, el menú “Vista” permite mostrar máscolumnas de datos relativos a cada etapa de construcción.

En la sección “Entrada geométrica” del menú “Ayuda” puedenencontrarse explicaciones más detalladas sobre la construcción defiguras usando el ratón.

Construcción utilizando el campo de entradasVeamos como construir la misma figura anterior utilizando el campo deentradas o campo de texto. Comenzamos por abrir una nueva hoja detrabajo (“Archivo – Nuevo”)

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Introducir los siguientes comandos en el campo de entradas situado enla parte inferior de la pantalla, pulsando Intro al final de cadalínea.A = (2, 1)B = (12, 5)C = (8, 11)Polígono [A, B, C]m_a = Mediatriz[a]m_b = Mediatriz [b]M = Intersección [m_a, m_b]Círculo [M, A]

Algunos trucos Auto completado de comandos: después de teclear las dos primeras

letras de un comando, aparece una sugerencia. Si se trata delcomando deseado, pulsar Intro. Si no es así, continuarintroduciendo el nombre del comando.

No es necesario teclear el nombre de cada comando: es posibleseleccionarlos de la lista situada a la derecha del campo deentradas.

Haciendo clic sobre el botón “Ingresa” (a la izquierda) se activael modo “Campo de entradas”. En este modo se introducedirectamente un objeto, simplemente haciendo clic sobre él en laventana de Álgebra o bien en la zona gráfica.

Para leer explicaciones más detalladas, hacer clic en el botón deayuda de la izquierda.

Combinando las ventajas de las dos formas de trabajo posibles,mediante el ratón y con la introducción de comandos, se obtendránlos mejores resultados con GeoGebra.

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Ejemplo 2: Tangentes a una circunferencia

Objetivo: Representar con GeoGebra la circunferencia de ecuación (x - 3)² + (y - 2)² = 25 y sus tangentes que pasan por el punto A de coordenadas (11, 4).

Construcción utilizando el campo de entradas y el ratónIntroducir la ecuación de la circunferencia c: (x - 3)² + (y - 2)² = 25 en elcampo de entradas y pulsar Intro (truco: el signo ² está disponible enel menú desplegable situado inmediatamente a la derecha del campo deentradas).Introducir el comando C = Centro[c] en el campo de entradas.Dibujar el punto A tecleando A = (11, 4).

Seleccionar ahora el modo “Tangentes“ (cuarto icono/menú) y hacerclic sobre el punto A y sobre la circunferencia c.

Tras seleccionar el modo “Desplaza“, arrastrar con el ratón elpunto A y observar el movimiento de las tangentes.También se puede arrastrar la circunferencia c y observar su ecuaciónen la ventana de álgebra.

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Algunos trucos Acercar o alejar la imagen mediante el Zoom: hacer clic derecho

sobre un área libre de la zona gráfica y seleccionar el factor dezoom deseado o bien obtener una ventana de zoom arrastrando conel botón derecho del ratón.

Es posible cambiar la ecuación de la circunferencia en la ventanade álgebra haciendo clic sobre ella.

En la sección “Entrada Algebraica” del menú “Ayuda” se puedenencontrar explicaciones más detalladas sobre las posibilidades delcampo de entradas.

Ejemplo 3: Derivada y tangente de una función

Objetivo: Representar gráficamente la función seno, su derivada y su tangente en un punto, así como el triángulo ilustrativo de la pendiente de la misma.

Versión 1: El punto está sobre la gráfica de la funciónTeclear en el campo de entradas la función f(x) = sin(x) y pulsar Intro.

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Seleccionar el modo “Nuevo Punto” y hacer clic sobre larepresentación gráfica de la función f. Así se crea un punto A sobrela gráfica de f.

Luego activar el modo “Tangentes” y hacer clic sobre el punto A ysobre la gráfica de f. Renombrar t a la tangente (clic derecho sobreella y “Renombrar”)Teclear el comando m=Pendiente[t].

Seleccionar el modo “Desplaza” y arrastrar el punto A observandoel movimiento de la tangente.Teclear B = (x(A), m) y activar la traza de este punto (clic derecho sobreB y “Activa trazo”).

Seleccionar el modo “Desplaza” y arrastrar el punto A observandoel trazado provocado por B.Teclear el comando Derivada[f].

Algunos trucos Insertar una función diferente, por ejemplo f(x) = x³ - 2x² en el

campo de entradas; inmediatamente aparecerán su derivada y sutangente.

Seleccionar el modo “Desplaza” y arrastrar la gráfica de f con elratón. Observar los cambios en las expresiones de la función y desu derivada

Versión 2: Punto en x = aVamos a realizar la misma construcción anterior pero de otro modo.Para empezar, seleccionar “Archivo – Nuevo” para abrir una nueva hojade trabajo. Luego introducir en el campo de entradas los comandossiguientes, tecleando Intro al final de cada línea:

f(x) = sin(x)a = 2A = (a, f(a))t = Tangente [a, f]m = Pendiente[t]B = (x(A), m)Derivada[f]

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Seleccionar el modo “Desplaza“ y hacer clic sobre el número a. Pulsarlas teclas de las flechas para modificar su valor. Inmediatamente elpunto A y la tangente se desplazarán a lo largo de la gráfica de f.Deslizadores: También puede controlarse el valor del número autilizando un deslizador: clic derecho sobre a en la ventana deálgebra y activar “Expone objeto”.Truco: los deslizadores y las teclas de flechas son especialmenteútiles para trabajar con parámetros, por ejemplo p et q en la funcióncuadrática y = x² + p x + q.Tangente sin el comando proveídoGeoGebra también trabaja con vectores y con ecuaciones paramétricas.Así será posible construir una tangente t sin necesidad de recurrir alcomando Tangente []. Para comprobarlo, suprimir la tangente de la figura,haciendo clic derecho sobre la recta y seleccionando “Borra”. Luegointroducir los comandos siguientes:

v = (1, f'(a))t: X = A + r v

v es un vector direccional de la tangente t. Se pude utilizar, enlugar de r, cualquier otra letra como parámetro.

Algunos trucos Hay otra posibilidad más para construir la tangente a partir del

vector direccional: t = Recta [A, v]. Probar también el comando Integral[f] En la sección “Edición algebraica – comandos“ del menú “Ayuda” se

puede encontrar amplia información relativa a los comandos deGeoGebra. El documento de Ayuda (en formato pdf) puede serdescargado desde www.geogebra.at.

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Ejemplo 4: Construcción de un cuadrado

Construcción paso a paso: 1. Abra un documento nuevo. 2. Seleccione Segmento entre Dos Puntos y realice un segmento, con puntosextremos A y B.

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3. Elija Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos y realice unacircunferencia que tenga por centro A y radio AB, y realice otracircunferencia con centro B y radio BA. 4. Seleccione la herramienta Recta Perpendicular y realice una que seaperpendicular a AB pase por A, y otra que pase por B. 5. Seleccione la herramienta Intersección de Dos Objetos y obtenga laintersección de la circunferencia de centro A con la perpendicular de ABque pasa por el punto A, este punto será el punto C. (Existen dos formasde utilizar la herramienta de Intersección de Dos Objetos, marcando lacircunferencia y la perpendicular, con lo que se generaran los dos puntosen que se intersecan, o bien, dando clic cerca de la intersección dearriba). 6. Repita el paso con la otra circunferencia y la otra perpendicular aAB, se creara el punto D. 7. Utilice la herramienta Expone / Oculta objeto para ocultar lascircunferencias y las rectas perpendiculares. 8. Seleccione la herramienta Segmento entre Dos Puntos y construya lossegmentos AD, DF y FB para terminar de construir el cuadrado. 9. Utilice la herramienta Polígono y seleccione en sentido antihorario loscuatro vértices del cuadrado y para cerrar el polígono seleccione denuevo el primer punto, esto calculará el área de la figura y pintará suinterior. 10. Para medir sus ángulos internos, con la herramienta Ángulo elija ensentido antihorario los tres vértices que forman el ángulo. Repita elprocedimiento para los otros tres ángulos. 11. Con la herramienta Elige y Mueve seleccione con clic derecho cualquierade los segmentos del cuadrado y del menú elija la opción y luego en elcuadro de diálogo elija la pestaña Decoración y en la lista desplegableelija la decoración que más le guste y finalmente haga clic en el botónCierra, luego proceda de la misma forma para el resto de los lados delcuadrado.

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Ejemplo 5: Crecimiento y Decrecimiento de Funciones

Construcción paso a paso: 1. Abra un nuevo archivo en GeoGebra. 2. En la Entrada Algebraica escriba una función no lineal, como por ejemplof(x) = x*cos(x)/3. 3. Utilizando la herramienta Nuevo Punto coloque un punto sobre la

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gráfica de la función y asegúrese que elpunto se llame A, de lo contrariorenómbrelo como A. 4. Escriba en la Entrada Algebraica el comando: B = (x(A), 0). 5. Con la herramienta Segmento entre Dos Puntos trace el segmento que une elpunto A con el punto B. 6. Escriba en la Entrada Algebraica el comando: u = VectorUnitario[Tangente[A, f]].7. Seleccione con el clic derecho el punto A con la herramienta Elige yMueve y del menú escoja la opción.8. En la pestaña Avanzado del cuadro de diálogo de Propiedades se edita enlos campos de texto de Colores Dinámicos las siguientes códigos, según seindica:

Tabla #1 Colores dinámicos

9. Seleccione con el clic derecho el segmento AB con la herramienta Elige yMueve y del menú escoja la opción , en la pestaña Básico active lacasilla Muestra Rastro, luego seleccione la pestaña Estilo y cambie elestilo de trazo por una línea discontinua, finalmente realice nuevamenteel paso 8 para el segmento AB. 10. Seleccione ahora con el clic derecho el vector u con la herramientaElige y Mueve y del menú escoja la opción y realice nuevamente el paso 8pero ahora para el vector u. 11. Utilizando la herramienta Inserta Imagen haga clic en la Zona Gráfica yen la carpeta del taller que se encuentra en el escritorio seleccione laimagen carro.png, esto importará la imagen a la Zona Gráfica luego deseleccionar el botón Abre del cuadro de diálogo. 12. Con la herramienta Elige y Mueve seleccione con clic derecho laimagen del automóvil importada y escoja del menú la opción y luego delcuadro de diálogo elija la pestaña Posición y en los campos de textoedite los siguientes códigos, según se indica:

Tabla #2 Posiciones para la imagen

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Esquina 1: A - u - (0, 0.1)Esquina 2: A + u - (0,

Rojo: Si[f ' (x(A)) < 0, 1, 0]Verde: Si[f ' (x(A)) > 0, 1, 0]

Luego presione el botón Cierra. 13. Utilice la herramienta Expone / Oculta objeto para ocultar el punto B. 14. Con la herramienta Expone / Oculta rótulo oculte las etiquetas y rótulosque no desea que aparezcan. 15. Seleccione la herramienta Inserta Texto y luego haga clic en la ZonaGráfica, en el área de texto edite el siguiente código: "f(x) es: " + (Si[f'(x(A)) >0, " Creciente", Si[f'(x(A)) < 0, " Decreciente", "Constante"]]) y finalmente presione elbotón OK 16. Finalmente para observar la animación seleccione el punto A con laherramienta Elige y Mueve y luego presione las teclas de + o – del teclado obien utilice las teclas direccionales del teclado. 17. Para borrar el rastro presione Ctrl F o del menú dinámico seleccione laopción Vista y luego Actualiza Vista Gráfica.

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Ejemplo 6: Función Cuadrática con Parámetros

1. Abra un documento nuevo. 2. Seleccione la herramienta Deslizador y haga clic en la Zona Gráfica,nombre este deslizador con la letra “a” y defínalo en el intervalo de -5 a5 y mantenga el incremento en 0.1. 3. Realice el paso anterior dos veces más pero en estos casos nombre losdeslizadores como “b” y “c” respectivamente. 4. En la Entrada Algebraica escriba el siguiente código: f(x) = a*x² + b* x + c yluego presione la tecla de Entrada.5. Con la herramienta Inserta Texto haga clic en la Zona Gráfica y escriba elsiguiente código: " f es " + (Si[a > 0, "cóncava hacia arriba", Si[a < 0, "cóncava haciaabajo", "lineal"]]).

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6. Escriba en la Entrada Algebraica el siguiente código: I_x = raíz[f(x)] estograficará la o las intersecciones de la función con el eje x.

Nota: si el usuario desea puede mostrar otros puntos como la interseccióncon el eje y, el vértice, el eje de simetría, entre otras más, utilizandoprocedimientos similares a los descritos anteriormente.

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Para una mayor informaciónOs invitamos a visitar la página web de GeoGebra www.geogebra.at.En ella puede encontrarse diversa información complementaria así como la última versión del programa.

GeoGebra también permite crear fácilmente páginas web dinámicas que pueden ser vistas e interactuar desde cualquier navegador (por ejemploFirefox, Netscape,Safari o Internet Explorer). En la web de GeoGebra se encuentran ejemplos de ello además de otras informaciones y recursos.

Nota: si el usuario desea puede mostrar otros puntos como la interseccióncon el eje y, el vértice, el eje de simetría, entre otras más, utilizandoprocedimientos similares a los descritos anteriormente.

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CONCLUSIONES

En conclusión las herramientas tecnológicas brindan una oportunidad de

abrir paso al constructivismo en la educación matemática. El uso

adecuado de programas educativos como el GeoGebra permite modelar o

visualizar problemas o situaciones matemáticas, ayudando a comprender

a superar obstáculos presentes en el proceso de enseñanza-

aprendizaje.

Entonces podemos decir ¿Qué es GeoGebra?

Software dinámico de Matemáticas en uno fácil de usar paquete Para que el aprendizaje y la enseñanza en todos los niveles de la

educación unen a la geometría interactiva, álgebra, tablas, gráficas, cálculo y estadística

Software de código abierto y de libre acceso de www.geogebra.org

Datos rápidos

GeoGebra facilita la creación de estructuras y modelos matemáticos porlos estudiantes. Permite exploraciones interactivas arrastrando objetos y cambiar los parámetros.

GeoGebra es también una herramienta de creación para los maestros paracrear interactivo hojas de trabajo. Encontrar materiales gratuitos en el aula y compartir su propia www.geogebratube.org. 

Búsqueda de Ayuda en GeoGebra• En Línea: Búsqueda de Ayuda en GeoGebraPágina Web: http://www.geogebra.org

Búsqueda de Ayuda: http://www.geogebra.org/ayuda/search.htm

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FUENTES DE CONSULTA

Geogebra. Web oficial (www.geogebra.org)

Instituto GeoGebra de Cantabria (www.geogebra.es)

Page Web de GeoGebra www.geogebra.at

Foro de Usuarios de GeoGebra www.geogebra.at/forum

GeoGebraWiki – banco de ficheros educativos www.geogebra.at/en/wiki

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