Unidad 5. Matrices

Pensemos en una empresa como Bimbo, por ejemplo, que maneja cientos de productos y que cada producto necesita de muchos ingredientes:

Nota: cada número indica la cantidad de ingredientes.

A esta disposición de números en filas y en columnas se le llama matriz, la cual se define de modo formal la disposición en filas y columnas de números.

Fila: serie de números, uno al lado de otro:

Columna: serie de números, uno debajo de otro:

Si una matriz tiene las mismas filas y las mismas columnas es una matriz cuadrada:

Si la matriz es cuadrada y tiene sólo ceros, se llama matriz nula.

Una matriz tiene algunos componentes especiales:

Fila, también llamada vector fila.

Columna, también llamada vector columna.

Una matriz tiene un nombre que debe ser una letra mayúscula y debe ir entre corchetes.

Una matriz tiene un tamaño definido por las filas y las columnas así:

Primero se escriben las filas, después las columnas, luego A es de tamaño 3 x 5.

¿Qué tamaño tendrá B?

Exacto: 2 x 3.

Si una matriz cumple dos condiciones:

1. Es cuadrada F = C. 2. La diagonal principal está hecha de unos (1) y los demás elementos son ceros (0).

Entonces, la matriz se llama matriz identidad o matriz unitaria, la cual se denota con la letra I.

Las matrices tienen su propio sistema numérico (es decir define sus operaciones de un modo particular).

Suma de matrices

Condición necesaria para la suma: las matrices que se sumarán deben tener el mismo tamaño. Ejemplo:

A y B tienen el mismo tamaño, por lo tanto se pueden sumar.

Ejemplo:

Suma A + B

1. Verificar que A y B tengan el mismo tamaño:

A: (2x3) B: (2x3)

Observamos que A B, por lo tanto sí se pueden sumar.

1. Para operar sumamos entrada a entrada:

quiere decir fila 1, columna 1 de la matriz A; significa fila 3, columna 1 de la matriz B.

Sumemos teóricamente:

Ejemplo:

A = 2x3 B = 2x3, entonces podemos sumar:

Ejemplo:

Resta de matrices

Para poder realizar la resta de matrices, la condición es que A y B tengan el mismo tamaño.

Es importante recordar que en la resta algebraica el signo – afecta a todos los signos del sustraendo, así:

En la teoría de las matrices sucede lo mismo, un signo – afecta a los signos internos de la matriz, así:

Ejemplo:

Nota: cambiemos los signos de B.

Ahora sumemos entrada a entrada:

Existe un segundo método para la resta de matrices. Veamos la solución directa:

Aplicación de las matrices

FEMSA tiene tres productoras de refrescos, la producción de cada una de ellas se muestra más bajo:

Planta Nogales

Medidas en unidades

Planta Querétaro

Medidas en unidades

Planta Tlalnepantla

Medidas en unidades

¿Cuál es la producción actual de FEMSA?

Debido a la situación económica por la que pasa México, la administración de FEMSA ha decidido realizar los siguientes ajustes:

1. Planta Nogales reduce su producción en todas sus líneas en 8%. 2. Planta Querétaro reduce su producción en todas sus líneas en 11%. 3. Planta Tlalnepantla reduce su producción en todas sus líneas en 8%.

Después de los ajustes, ¿cuál será la producción total de FEMSA?

Para responder la primera pregunta, debemos usar el concepto de suma de matrices, pues queremos acumular la producción de las tres plantas:

Producción en miles de botellas.

El segundo punto indica que las tres plantas disminuirán su producción para calcular lo cual podemos usar dos métodos:

Método 1.

Calcula primero la cantidad en que disminuirá la producción de cada una de las plantas:

Planta 1. Calcula el 8% de la planta 1

Ahora operemos

Método 2. Probemos calcular el mismo resultado razonando del siguiente modo: la

producción inicial equivale a 100%, la disminución en la producción equivale a 8%, al restar obtenemos 92%, que equivale a la producción actual; entonces multipliquemos N x .92

Cálculo de la nueva producción en Querétaro.

Cálculo de la nueva producción en Tlalnepantla

Ahora sumemos los resultados de las tres plantas. Reunamos todos los resultados en una sola matriz.

Multiplicación de matrices

Antes de multiplicar se debe verificar que las matrices son conformables, eso quiere decir que las columnas de A y las filas de B son iguales. Ejemplo:

Estos dos números no son iguales, por lo tanto A y B no son conformables y por ello no

se pueden multiplicar.

Ejemplo:

La cantidad de filas de A es igual al número de columnas de B:

FA = CB

Las matrices son conformables y por lo tanto se pueden multiplicar.

Hemos dicho que A y B si se pueden multiplicar. Hacerlo es muy sencillo. Observa con atención:

1. La matriz es conformable. 2. La matriz resultado tendrá un tamaño formado por las columnas de A y las filas

de B, es decir, 2x1 (dos filas, una columna). Esto lo escribimos en forma de matriz:

En este punto debemos prestar mucha atención, pues tiene una clave secreta:

Cómo leemos

Cómo leemos

Después de la digresión, regresemos a la multiplicación original:

Armemos la matriz:

Y ahora multiplicamos:

Con los dos resultados armemos la matriz resultado:

Ejemplo:

Se pueden multiplicar.

AxB tendrá tamaño 3x2:

Nota: método basado en una idea de Elizabeth Palma Rendón.

Un ejemplo más:

Multiplicar A x B.

¡Sorpresa! No se pueden multiplicar. Veamos por qué:

Ejemplo:

Si se pueden multiplicar:

Multiplicaciones especiales:

Multipliquemos A x B:

Nota: recordemos que se llama matriz identidad I.

Un teorema dice que si al multiplicar la matriz A por la matriz B, el resultado es la matriz identidad, esto es porque B es la matriz inversa. Simbólicamente, esto se escribe:

Es decir si

Esto quiere decir que la matriz inversa que buscamos es:

¿Cómo sabemos que está es la matriz buscada?

Teorema

Multipliquemos:

¿Qué es una matriz inversa ?

¿Es una matriz que al ser multiplicada por otra matriz llamada A, da como resultado la matriz identidad?

Demostrar que es la matriz inversa de .

El teorema dice que B es inversa si al multiplicar A x B obtenemos la matriz identidad (I)

Multipliquemos:

Obtuvimos I , por lo tanto B sí es la inversa de A.

La pregunta ahora es saber cómo se calcula la matriz inversa; por ejemplo, ¿Cuál es la matriz inversa de:

Vamos a estudiar el método Gauss-Jordan para fabricar la matriz inversa.

El método necesita tres teoremas importantes:

1. Teorema 1: Inverso de la suma.

Es decir, si deseo que un número se convierta en cero, le sumamos el mismo número pero con el signo contrario.

1. Teorema 2. Inverso de la multiplicación.

Esto quiere decir que si deseo convertir cualquier número en 1, basta con dividirlo entre sí mismo.

Teorema 3. Simetría.

Si tenemos una expresión y dividimos al 6 entre 2, debemos dividir a toda la expresión para no alterarla:

Veamos:

Hallar la matriz inversa de:

1. Recordemos el teorema

Esto quiere decir:

Podemos entenderlo mejor si hacemos un diagrama:

Esto quiere decir que el tres se debe convertir en 1. Aplicamos entonces el teorema 1 de los tres señalados como más importantes y dividimos 3 entre 1; igualmente, aplicamos el teorema de simetría

Primero armamos una matriz llamada adjunta:

Ahora por los teoremas 1 y 3: dividimos al 3 entre 3 para convertirlo en 1, y por el tercer teorema, dividimos toda la fila por 3.

Donde encontremos al primer 1, le llamaremos fila de ayuda. Es importante que observemos que al principio la fila era 4, 4, 1, 0 y que al dividirla

entre 3 se convirtió en , y ahora esta fila será la primera fila de una matriz nueva:

El 3 se transformó en 1.

Ahora recordemos que un sistema de ecuaciones se trabaja por columnas, esto significa que por columnas sigue el 8 que debe cambiar a cero.

Usemos los teoremas 2 y 3. Queremos que el 8 se vuelva cero , entonces necesitamos un -8 y lo vamos a construir del siguiente modo:

Tomemos la fila de ayuda:

Y la multiplicamos por -8:

Esto lo hacemos para poder sumarla a la segunda fila de la matriz original y se pueda obtener el cero buscado:

¡Atención! Observemos detalladamente la fila 2 original:

La que al transformarse quedaría:

Resultado que copiamos en la matriz nueva:

Observemos como la matriz se va modificando paulatinamente.

Recordemos ahora otro concepto importante: la diagonal principal.

La teoría Gauss-Jordan también indica que se debe construir la diagonal principal. Observemos la última matriz que construimos y veremos que ya tenemos el primer 1 de la diagonal principal, ¿qué falta para tener la diagonal completa? Por supuesto

el debe transformarse en … exacta, en 1. Para conseguirlo usamos los teoremas 2 y 3.

Dividimos toda la fila entre ¿para qué? Justamente para convertir

el en 1 con el fin de conseguir la diagonal principal.

Y queda:

Listo, ya tenemos el 1, y con ello la diagonal principal.

La fila donde está el 1, se vuelve fila de ayuda, y, al mismo tiempo, se vuelve la segunda

fila de una nueva matriz:

Ahora multipliquemos esta última fila por el teorema 1:

Y ahora lo sumamos con

Y lo escribimos en la nueva matriz

Versión 2.

Hallar la matriz inversa de .

1. Se arma la matriz adjunta:

El secreto es que la matriz original se debe transformar en :

Dividimos la fila (teorema 2):

Obtenemos así la fila de ayuda y primera fila de una nueva matriz.

1. Multiplicamos la fila de ayuda por -8 (teorema 1):

1. Fabricamos la diagonal principal de I

El se debe convertir en 1 (propiedad de la diagonal principal de I).

1. Para que se vuelva 1, dividimos entre (teorema 2):

Nueva matriz:

1. Multiplicamos el resultado del paso 5 por (ver paso 3):

Por lo tanto:

.