ERRORES EN LAS MATEMATICAS

ERRORES Y DIFICULTADES EN MATEMÁTICA

Análisis de causas y sugerencias de trabajo

RAQUEL S. ABRATE, MARCEL D. POCHULU, JOSÉ M. VARGAS

ERRORES Y DIFICULTADES EN MATEMÁTICA

Análisis de causas y sugerencias de trabajo Editado por la UNIVERSIDAD NACIONAL DE VILLA MARÍA

Abrate, R.; Pochulu, M. y Vargas, J. Errores y dificultades en Matemática Análisis de causas y sugerencias de trabajo 1ª ed. Buenos Aires: Universidad Nacional de Villa María, 2006 Dirección Nacional del Derecho de Autor: Expediente Nº 487607

198p.; 14.8x21 cm. ISBN-10: 987-98292-9-8 ISBN-13: 978-987-98292-9-5 Realizado en el marco del proyecto: La articulación entre la Escuela Media y la Universidad: Un camino posible para construir la "inclusión" de los estu-diantes y mejorar las prácticas educativas, específicamente en relación al Mó-dulo III: “La Enseñanza y el Aprendizaje de la Matemática”, que atiende a la Convocatoria 2004/2005 del Programa: “Apoyo a La Articulación Universidad- Escuela Media II”, del Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, Secretaría de Políticas Universitarias, Dirección Nacional de Coordi-nación Institucional, Evaluación y Programación Presupuestaria - Coordinación de Articulación Universitaria. © UNIVERSIDAD NACIONAL DE VILLA MARÍA, 2006 Arturo Jauretche 1550 5900 – Villa María, Provincia de Córdoba República Argentina Editor: Universidad Nacional de Villa María Diseño de cubierta: Franco Mondino Acevedo

Este libro se terminó de imprimir en el mes de Agosto de 2006 en DOCUPRINT S.A. Rivadavia 701 (1002), Buenos Aires, Argentina

Para sugerencias o comentarios acerca del contenido de ERRORES Y

DIFICULTADES EN MATEMÁTICA, escríbanos a: [email protected]; [email protected] o [email protected]

A nuestras familias, amigos y alumnos

PRESENTACIÓN

La aprobación del Proyecto “La articulación entre la Universi-dad y la Escuela Media: Un camino posible para construir la “inclu-sión” de los estudiantes y mejorar las prácticas educativas”, por el Ministerio de Educación, Ciencia y Técnología de la Nación, en diciem-bre de 2004, permitió desarrollar durante el año 2005 acciones que invo-lucraron a la Universidad Nacional de Villa María y a las Escuelas Me-dias de Villa María y Villa Nueva.

Hoy presentamos el resultado de algunos de los aspectos que se abordaron en el mencionado marco de acción, específicamente lo referi-do a “La enseñanza y el aprendizaje de la Matemática”.

La problemática de la articulación entre la Universidad y la Es-cuela Media se constituyó históricamente como uno de los temas centra-les en las definiciones de la política institucional de nuestra Universi-dad. Es por ello que se apuntó a la búsqueda de alternativas de acción en coparticipación con otras instituciones. Esto permitió la colaboración entre ambos niveles a fin de mejorar sus prácticas educativas.

La definición fundamental del Proyecto se asentó en el abordaje de contenidos y dificultades propios de la articulación.

En los distintos Módulos se trabajó esta problemática, con mo-dalidades diferentes, según los objetivos planteados y acorde al sentido integral del Proyecto. En el caso particular de la enseñanza y el aprendi-zaje de la Matemática, se realizó mediante el trabajo horizontal, coope-rativo y voluntario de los actores involucrados, a los fines de impactar sobre las prácticas pedagógicas, generando entornos de aprendizaje en-riquecedores, con estrategias consensuadas, forjando ámbitos de inter-cambio y sostén mutuo, a partir de las fortalezas y debilidades de cada institución.

El desarrollo de la experiencia, en este sentido, requirió de la comprensión de las lógicas particulares de ambos niveles, de sus reali-dades, necesidades y posibilidades. Fue imprescindible un compromiso

de trabajo sostenido y continuo, en un marco de corresponsabilidad y respeto por el “otro”, construyendo “implicaciones” para pensar y abor-dar las estrategias posibles en un ámbito de cooperación e intercambio.

El trabajo que hoy presentamos con mucho entusiasmo, es resul-tado de ello, y pone de relieve que resulta posible la producción compar-tida entre docentes de la Universidad –en este caso de la UNVM- y do-centes de las Escuelas Medias. También es de destacar el valioso aseso-ramiento que prestaron los profesionales que participaron en la tarea.

Sometemos esta publicación a la crítica y a la reflexión, siendo nuestro anhelo que se constituya en un aporte útil para docentes de am-bos niveles, estudiantes, directivos y supervisores.

Lic. Silvia B. Mellano Coordinadora General del Proyecto de Articulación

Universidad – Escuela Media

INDICE Introducción ............................................................................................................... 11

Definición del problema ..............................................................................12

Contexto de la investigación ........................................................................14

Importancia del estudio................................................................................16

Objetivos de la investigación .......................................................................17

El error en la educación matemática...................................................................... 21

Fundamentos filosóficos del error................................................................21

Antecedentes en el estudio de errores ..........................................................26

Dificultades en el aprendizaje de la Matemática..........................................31

Características fundamentales de los errores ...............................................34

Categorías de errores en el aprendizaje de la Matemática ...........................36

Sobre el diseño metodológico................................................................................... 41

El Módulo de Matemática del Curso de Ingreso..........................................41

Procedimientos de investigación..................................................................44 Entrevistas con Profesores de Matemática .............................................44 Análisis documental ................................................................................45 Diseño del instrumento ...........................................................................45 Aplicación del instrumento .....................................................................48 Entrevistas con los alumnos....................................................................48 Categorización de los errores .................................................................49

Análisis de los errores..................................................................................57

Los errores y dificultades de los alumnos que señalan los Profesores de Matemática ................................................................................................................. 59

Los errores más frecuentes en el aprendizaje de la Matemática ..................59 Análisis de respuestas correctas e incorrectas .......................................60 Análisis de los ítems sin respuesta ..........................................................87 Análisis de respuestas por categorías de error.......................................90

Causas y motivos posibles de la permanencia de errores y dificultades en Matemática ............................................................................................................... 105

En Números Enteros.................................................................................. 106

En Números Racionales............................................................................. 110

En Números Reales ................................................................................... 112

En Ecuaciones ........................................................................................... 114

En Funciones ............................................................................................. 118

En Polinomios y Expresiones Algebraicas ................................................ 120

En Geometría Plana ................................................................................... 122

En la Medida de Magnitudes ..................................................................... 124

Las actitudes afectivas y emocionales hacia la Matemática ...................... 125

Conclusiones generales en torno a los errores y dificultades en Matemática 127

Los errores en Matemática desde la perspectiva de los profesores............ 127

Los errores en Matemática en alumnos que ingresan a la Universidad. .... 135

La persistencia de los errores en el aprendizaje de la Matemática. ........... 140

Algunas cuestiones abiertas en la investigación ........................................ 143

Recomendaciones y sugerencias de trabajo para la clase de Matemática .... 145

Teoría de Números, una experiencia con alumnos del CBU ..................... 149

El análisis de gráficas: relaciones para deducir, modelar y diseñar................... 156

La tantas veces representada y no siempre interpretada función lineal ..... 165

Las ecuaciones y los dilemas con la “regla del pasa”................................ 178

Referencias bibliograficas....................................................................................... 193

Errores y dificultades en Matemática

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Introducción

Sabemos que los errores forman parte de las producciones de la mayoría de los alumnos, y constituyen, generalmente, un elemento esta-ble en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemática en todos los niveles del sistema educativo. Asimismo, si tenemos en cuenta que el correcto aprendizaje de la Matemática es un objetivo común en los procesos de enseñanza de la misma es claro que las respuestas inco-rrectas a las cuestiones que se les plantean a los estudiantes serán consi-deradas – por parte de quienes están a cargo de su instrucción – como señales de serias deficiencias, e incluso fracaso en el logro de los objeti-vos propuestos.

Si aceptamos que el conocimiento matemático es construido – al menos en parte – a través de un proceso de abstracción reflexiva, donde los errores son una posibilidad y una realidad permanente en el conoci-miento científico, resulta muchas veces necesaria la inclusión de un diagnóstico, detección, corrección y superación de los mismos mediante actividades que promuevan el ejercicio de la crítica sobre las propias producciones. Por otra parte, es notable observar que casi todas las re-comendaciones metodológicas acerca de la enseñanza y aprendizaje de la Matemática coinciden en la necesidad de señalar que se identifiquen los errores de los alumnos en el proceso de aprendizaje, determinando sus causas y organizando la enseñanza teniendo en cuenta esa informa-ción, donde el profesor tiene que ser sensible a las ideas previas de los estudiantes y debe valerse de estrategias adecuadas para lograr el pro-greso en el aprendizaje.

A su vez, no podemos olvidar que la detección de errores y pre-conceptos como parte de las ideas previas del alumno es un primer paso para la aplicación de un modelo constructivista de enseñanza de la Ma-temática, lo que permite identificar las áreas que son más susceptibles de errores graves y contribuye positivamente en el proceso de aprendi-zaje y construcción de conocimientos matemáticos en los alumnos.

Si bien el error puede tener procedencias diferentes, general-mente tiende a ser considerado como la presencia de un esquema cogni-

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tivo inadecuado en el alumno y no solamente como consecuencia de una falta específica de conocimientos. Es de destacar que los errores no apa-recen por azar sino que surgen en un marco conceptual consistente, ba-sado sobre conocimientos adquiridos previamente, y todo proceso de instrucción es potencialmente generador de errores, debido a diferentes causas, algunas de las cuales se presentan inevitablemente. También se debe tener en cuenta que las oportunidades de los estudiantes para aprender Matemática dependen del entorno y del tipo de tareas y discur-so en que participan, dependiendo lo que aprenden de cómo se implican en las actividades matemáticas, lo que marca, a su vez, las actitudes que tienen hacia esta ciencia.

Definición del problema

Hemos señalado que una actividad importante que deberíamos te-ner como profesores de Matemática es la identificación de los errores típicos que cometen los estudiantes, tratando, al mismo tiempo, de llevar acciones de corrección bajo un modelo constructivista de enseñanza. No obstante, para esta misión se hace imprescindible encontrar herramien-tas metodológicas que permitan identificar los errores, los cuales no sólo tienen lugar en una instancia de diagnóstico inicial, sino durante todo el proceso de enseñanza y aprendizaje que llevemos a cabo.

Analizar las dificultades del aprendizaje de la Matemática en tér-minos de la prevención y corrección, supone combinar estrategias gene-rales y específicas a largo plazo con estrategias particulares e inmedia-tas. El análisis de los errores sirve para ayudar al docente a organizar estrategias para un mejor aprendizaje insistiendo en aquellos aspectos que generan más dificultades, y contribuye a una mejor preparación de instancias de corrección.

Es importante aclarar que consideramos que los errores en Mate-mática pueden ser superados y aceptados, no como algo que no tendría que haber aparecido, sino como una instancia cuya aparición es útil e interesante, ya que permite la adquisición de un nuevo y mejor conoci-miento. De todos modos, numerosos trabajos de Educación Matemática como Rico (1995); Esteley y Villarreal (1996); Gamboa (1997); Villa-grán y Otros (1998); Caputo y Soto (2002); Hitt (2003); Di Blasi Regner y Otros (2003) coinciden en señalar errores que se reiteran en los distin-


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tos años y ciclos que conforman el sistema educativo, los que resultan ser básicamente los mismos para cada contenido de la currrrícula. El desafío estaría, por lo tanto, en generar estrategias que permitan ayudar a salvar estos errores reiterados en el tiempo y que suelen ser identifica-dos por la mayoría de los docentes de Matemática que desarrollan sus clases en niveles que van desde la educación primaria hasta la universi-taria.

Si bien la Matemática cuenta con un espacio curricular obligato-rio en el nivel primario y secundario del sistema educativo argentino, sólo está presente en algunas carreras del Nivel Terciario y/o Universita-rio, siendo los alumnos que egresan del Nivel Medio una fuente impor-tante de información sobre la formación matemática recibida en no me-nos de 13 años de enseñanza formal. Esta situación nos lleva a formular la primera pregunta directriz de la investigación del siguiente modo:

� ¿Qué errores detectan frecuentemente los Profesores de Matemática en el aprendizaje de sus alumnos durante la formación de Nivel Medio?

A su vez, resulta frecuente escuchar a los profesores universita-rios de Matemática emitir juicios acerca de la formación matemática recibida por sus alumnos en ciclos anteriores y sobre todas las deficien-cias que presentan en los aprendizajes logrados. Basándonos en esta apreciación, formulamos nuestra segunda pregunta directriz de investi-gación:

�

¿Cuáles son los errores, que han sido señalados por los Pro-fesores de Matemática, que aún persisten en el aprendizaje logrado por los alumnos cuando ingresan a la Universidad?

Por otro lado, investigadores como Ashlock, Reisman, Robitai-lle, Bell, Ginsburg, Erlwanger y otros – citados en Rico (1995, p.80) – consideran que los errores en Matemática no tienen un carácter acciden-tal, sino que surgen por las estrategias y reglas personales empleadas en la resolución de problemas, y devienen de experiencias particulares e interpretaciones realizadas con base en los conocimientos matemáticos iniciales. Así, surge como tercera pregunta directriz de la investigación:

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�

¿Cuáles son las causas y motivos posibles que pudieran hacer prevalecer en los alumnos ciertos errores en el apren-dizaje logrado en Matemática?

Sabemos que en muchas ocasiones la terminología utilizada en el ámbito educativo puede llegar a resultar confusa, ya que un mismo término es usado con sentidos diversos, y a veces, distintos términos se refieren al mismo o muy similar concepto. Esta razón nos lleva a preci-sar y clarificar qué entendemos en esta investigación por errores en el aprendizaje de la Matemática, puesto que la expresión ha de utilizarse a lo largo del trabajo y haremos alusión a ella en reiteradas ocasiones. Asumimos la definición dada por Godino, Batanero y Font (2003) cuan-do expresan:

Hablamos de error cuando el alumno realiza una práctica (acción, argumentación, etc.) que no es válida desde el punto de vista de la institución matemática escolar. (p. 69)

Contexto de la investigación

Para efectuar un reconocimiento y análisis de los errores que cometen los alumnos en el aprendizaje de la Matemática al egresar del Nivel Medio de enseñanza, hemos considerado como contexto particu-lar, los estudiantes que ingresan a la Universidad Nacional de Villa Ma-ría, fundamentalmente porque quienes llevamos a cabo la investigación somos docentes de esta casa de altos estudios –lo que permite acceder con mayor libertad a la información que requiere el trabajo– y por ser responsables del “Módulo Matemática” del Curso de Ingreso a la Uni-versidad.

En lo que respecta a la Institución, la Universidad Nacional de Villa María comienzó a gestarse hace poco más de una década. El Rec-tor organizador fue designado en septiembre de 1995 y el Proyecto Ins-titucional evaluado con dictamen favorable por parte de la CONEAU (Comisión Nacional de Evaluación y Acreditación Universitaria) duran-te el año 1996. La puesta en marcha de las actividades académicas se produjo en Abril de 1997, tras la aprobación del Estatuto General y del Proyecto Institucional por parte del Ministerio de Cultura y Educación de la Nación (hoy Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología).


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El entorno urbano cuenta con unos 90.000 habitantes (incluye las ciudades de Villa María y Villa Nueva) y con una zona de influencia de aproximadamente 300.000 habitantes, distribuidos en localidades en un radio de 60 km. La ciudad constituye un verdadero nodo en el campo de las comunicaciones, ya que pasan por ella las principales rutas del país.

De las veintidós carreras que imparte, nueve de ellas se dictan íntegramente en la Universidad y las otras trece son carreras que están articuladas con instituciones de Nivel Superior – no universitario – de Villa María. Una de las características del diseño curricular de la Uni-versidad es que cuenta con un Ciclo Básico Universitario cuyo objetivo es la formación personal e integral del futuro profesional, con una dura-ción aproximada de dos años. Este ciclo es común a todas las carreras que dicta la UNVM y se extiende a su término un certificado que no tiene alcances o incumbencias profesionales.

Entre las nueve carreras consideradas “propias” de la Universi-dad, cuatro de ellas tienen a la Matemática en su diseño curricular: Con-tador Público, Licenciatura en Economía, Licenciatura en Administra-ción y Profesorado en Matemática. Las tres primeras conforman en la UNVM un bloque denominado “Carreras de Ciencias Económicas”.

Nuestro interés estuvo centrado desde un principio en las carre-ras de Ciencias Económicas por varias razones, donde las dos más rele-vantes son las que enumeramos a continuación:

Entre trescientos y cuatrocientos alumnos escogen año a año es-tas carreras, en la Universidad Nacional de Villa María, por lo que resultan las únicas dentro de la institución con característi-cas de “cursado masivo”, lo cual es común en la mayoría de nuestras universidades nacionales.

El interés de los estudiantes de las carreras de Ciencias Econó-micas generalmente no está centrado en la Matemática, ni han elegido estas carreras por afinidad o predisposición hacia la misma, por lo cual encontramos alumnos que pueden sentirse cómodos y a gusto con esta ciencia, y otros que pueden sentir rechazo y resquemores.

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Estos motivos se convierten en los fundamentos para que la in-vestigación se circunscriba entonces al reconocimiento y análisis de los errores en las producciones escritas de Matemática, en los alumnos que egresaron del Nivel Medio de la enseñanza e ingresan en las carreras de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Villa María.

Importancia del estudio

La intención de esta investigación se encuentra no sólo en el análisis de los patrones de error que cometen los alumnos, los que pue-den revelar errores sistemáticos que sean síntomas de concepciones inadecuadas, sino también en determinar qué conviene que aprendan los profesores en formación en relación con los errores que cometen los alumnos, puesto que se podrían proporcionar claves sobre qué estrate-gias pueden resultar las más convenientes a la hora de llevar adelante los procesos de enseñanza y aprendizaje en Matemática.

Al respecto, cabe aclarar que la Universidad Nacional de Villa María cuenta con la carrera de Profesorado en Matemática, y se podría estar dando a los profesores en formación un conocimiento general de los esquemas teóricos de interpretación y desarrollo curricular derivado del diagnóstico, tratamiento y superación de los errores en el aprendiza-je de esta ciencia.

Asimismo, debe tenerse en cuenta que los profesores en forma-ción cometen errores en la realización de tareas matemáticas, muchos de ellos similares o debidos a las mismas causas que los que cometen los alumnos; y poner de manifiesto las concepciones deficientes y los erro-res cometidos resultaría una tarea formativa ineludible para ellos, en tanto obligaría a una reestructuración positiva de los esquemas previos.

Del mismo modo, consideramos que el análisis de los errores cometidos por los alumnos aspirantes a ingresar a la Universidad, y la posterior discusión y análisis con profesores en formación, pondrían de manifiesto las propias concepciones que se tienen con respecto al cono-cimiento matemático y la naturaleza de su aprendizaje. Esta compren-sión sobre las propias creencias permitiría asumir críticamente los plan-teamientos profesionales de cada profesor en formación, observando las incoherencias y aspectos olvidados y promoviendo una concepción más completa de las tareas docentes, al mismo tiempo que induciría a que


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ayuden a sus alumnos a superar el sentimiento negativo que tienen hacia los errores.

Finalmente, también pensamos que los errores pueden emplear-se como instrumento de motivación y como punto de partida para explo-raciones matemáticas creativas de los alumnos, lo que implicaría que se desarrollen actividades valiosas de planteamiento y resolución de pro-blemas. Además, pueden proporcionar una comprensión más completa y profunda del contenido matemático y de la propia naturaleza de la Ma-temática, ayudándonos a investigar cuestiones relativas a la enseñanza y aprendizaje de la misma, a las que generalmente resulta difícil acercarse por otra vía.

Objetivos de la investigación

Asumimos que los errores de los estudiantes no son casuales ya que están basados en conocimientos y experiencias previas, y pueden tener diferentes causas que los motivan. Así, pueden asociarse a dificul-tades didácticas, epistemológicas, cognitivas o de actitudes. Bajo estas consideraciones, se convierte en objetivo general de la investigación:

Analizar las dificultades y errores de conceptos y procesos matemáticos en las producciones escritas de los alumnos, durante su formación de Nivel Medio, al ingresar a la Uni-versidad.

Previo a la presentación de los objetivos específicos que persi-gue nuestra investigación, creemos conveniente, sin la intención de ser redundantes, rescatar las preguntas que dirigen y orientan nuestro traba-jo y que mencionáramos anteriormente. Así, en nuestra búsqueda por reconocer, analizar y categorizar los errores cometidos por los alumnos egresados del Nivel Medio, al resolver problemas y/o ejercicios corres-pondientes a contenidos matemáticos abordados en el Ciclo Básico Uni-ficado (CBU) y en el Ciclo de Especialización (CE) del Nivel Medio de enseñanza argentino, surgían como interrogantes:

¿Qué errores detectan frecuentemente los Profesores de Matemática en el aprendizaje de sus alumnos durante la formación de Nivel Medio?

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¿Cuáles son los errores, que han sido señalados por los Profesores de Matemática, que aún persisten en el aprendi-zaje logrado por los alumnos cuando ingresan a la Univer-sidad?

¿Cuáles son las causas y motivos posibles que pudieran hacer prevalecer en los alumnos ciertos errores en el aprendizaje logrado en Matemática?

Responder estas preguntas, en el contexto particular en el que delimitábamos la investigación; esto es, en alumnos que aspiran a ingre-sar en las carreras de ciencias económicas de la Universidad Nacional de Villa María, conduce al logro de los siguientes objetivos específicos:

1) Determinar los errores que aducen los Profesores de Mate-mática que son cometidos por los alumnos en el aprendizaje de esta ciencia durante su formación en el Nivel Medio de enseñanza.

2) Especificar las dificultades y errores que aún persisten en los alumnos que egresan del Nivel Medio e ingresan a la Universidad en carreras que tienen a la Matemática en su diseño curricular.

3) Categorizar los errores cometidos por los alumnos en el aprendizaje de la Matemática al ingresar al Nivel Universi-tario.

4) Analizar las causas y motivos posibles que pudieran hacer prevalecer en los alumnos los errores en el aprendizaje lo-grado en Matemática, a la luz de las investigaciones y pu-blicaciones actuales relacionadas con el tema.

Para terminar esta itroducción, presentamos brevemente el con-tenido de los 6 capítulos que constituyen el trabajo. En el Capítulo 1 describimos algunas problemáticas circunscriptas en torno a nuestro objeto de estudio y el estado actual de las investigaciones sobre errores.

En el Capítulo 2, dedicado a la Metodología de la Investigación, realizamos una descripción de la estructura general del contexto en el que se desarrolló el trabajo, los procedimientos de investigación que se


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emplearon, las dimensiones de análisis escogidas y el modo en que lle-vamos a cabo el análisis de los errores que cometen los alumnos.

En el Capítulo 3 presentamos y efectuamos un primer análisis de los resultados obtenidos en la evaluación administrada a los alumnos egresados del Nivel Medio, y que ingresan a las carreras de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Villa María, centrándonos en los errores más frecuentes que fueron hallados, a la luz de las catego-rías de errores construidas para tal fin.

En el Capítulo 4 discutimos y analizamos con mayor profundi-dad los resultados que presentamos en el Capítulo 3, exponiendo algu-nas de las causas de los errores que cometen los alumnos al resolver situaciones matemáticas, apoyados en las investigaciones consultadas sobre esta problemática.

En el Capítulo 5 presentamos las conclusiones de la investiga-ción donde sintetizamos los resultados obtenidos, señalamos las aporta-ciones, alcances y limitaciones que tuvo el trabajo, esbozamos algunas cuestiones que quedaron abiertas y darían lugar a una continuación de la investigación.

Finalmente, en el Capítulo 6 cerramos con sugerencias genera-les tendientes a producir una mejora en el tratamiento que podrían hacer de los errores los docentes de Matemática.

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El error en la educación matemática

No pretendemos efectuar en este capítulo un análisis exhaustivo de los antecedentes que presenta nuestro trabajo, más bien sí; introducir algunas reflexiones generales en torno al tema central de estudio y res-catar aquellos aspectos relevantes, que prevalecen en distintos trabajos empíricos sobre errores en la enseñanza y aprendizaje de la Matemática, con la intencionalidad de efectuar algunas reflexiones que pudieran ser útiles para la comprensión de las preguntas que dirigen nuestra investi-gación.

Con la intención de ofrecer un panorama general sobre la pro-blemática que circunda a nuestro objeto de estudio, realizaremos una revisión bibliográfica partiendo de los fundamentos filosóficos del error; posteriormente, analizaremos los antecedentes que presenta el estudio de errores desde principios del siglo XX hasta la actualidad, la dificulta-des que habitualmente se presentan en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemática y que son potencialmente productoras de errores, las características principales asignadas a los errores que come-ten los alumnos, y finalmente, exponemos algunas categorías de errores construidas por investigadores del tema.

Fundamentos filosóficos del error

A lo largo de la historia del desarrollo del conocimiento científi-co podemos encontrar que el error es un factor que ha contribuido al avance de las diferentes ciencias y que fue parte integrante del conoci-miento humano.

El estudio del conocimiento humano y de la capacidad del hom-bre para comprender ha sido siempre una preocupación constante de la Filosofía, determinando que el error es atribuible a la capacidad de con-siderar verdaderos conceptos y procedimientos que están deficientemen-te desarrollados, que incluyen ideas contradictorias o interpretaciones y justificaciones falsas. Esto se confirma, inclusive, en la misma historia de la Matemática, donde podemos encontrar proposiciones que se con-sideraron como verdaderas y que con el tiempo se demostró su falsedad.

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Así, por ejemplo, el famoso y controvertido matemático Pierre de Fer-

mat (1601–1665) planteó que todos los números de la forma 122 −n

, conocidos como números de Fermat, eran primos. Algún tiempo des-pués otro famoso matemático, Euler (1707–1783), demostró la falsedad de dicha proposición planteando un contraejemplo. Sin embargo, el trabajo alrededor del problema permitió a Euler intuir la existencia de infinitos números primos –lo cual pudo demostrar– y es posible que haya descubierto que la proposición de Fermat tenía “algo de cierto”, al reconocer que existen infinitos números de Fermat.

Por otra parte, son célebres los tres problemas de la antigüedad: “la cuadratura del círculo”, “la trisección del ángulo” y la “duplicación del cubo”. Dichos problemas fueron tratados por varias generaciones de matemáticos para ser resueltos. Paradójicamente, la solución es que ellos son insolubles bajo las condiciones que establecieron los griegos (sólo era permitido emplear regla y compás).

La importancia de estos tres problemas reside en que, gracias a la limitación de la regla y el compás, los matemáticos se han visto obli-gados a investigar nuevos campos en busca de otras herramientas que los resolviesen, o de más profundas teorías que explicasen su imposibi-lidad. No obstante, y a pesar que desde el año 1775 la Academia de Ciencias de París tomó el acuerdo – adoptado después por otras – de rechazar las pretendidas soluciones de estos tres problemas, siguen llo-viendo sobre las corporaciones científicas una gran cantidad de comuni-caciones acerca de su resolución, las que, naturalmente son rechazadas.

Otro ejemplo lo tenemos en el intento que llevaron a cabo, du-rante muchos años, matemáticos y no matemáticos, expertos y novatos por resolver el problema de los cuatro colores, esto es, demostrar que bastan cuatro colores para dar una coloración correcta a cualquier mapa. El problema de los cuatro colores se hizo tan famoso en el medio mate-mático, que en 1878 Arthur Cayley (1821–1895) lo propuso oficialmen-te a la Sociedad Matemática de Londres (London Mathematical Socie-ty), una de las sociedades de matemáticos más importantes del mundo en esa época, como un problema a resolver.

Varios matemáticos dieron demostraciones que resultaron tener errores con el tiempo, pero lo que sí se logró con el paso de los años y el


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trabajo de tanta gente, fue demostrar dos cosas fundamentales: 1) Tres colores son insuficientes para colorear cualquier mapa, esto es, existen mapas que no pueden colorearse de ningún modo usando únicamente tres colores, y 2) Con cinco colores se puede colorear cualquier mapa correctamente. De manera que aunque no se había probado nada respec-to a los cuatro colores por lo menos ya se sabía que con tres faltaba y con cinco sobraba, así el número cuatro era el candidato ideal y quedaba entonces por probarlo o refutarlo.

En el año 1976 (124 años después de haberse propuesto el pro-blema) dos matemáticos de la Universidad de Illinois – Kenneth Appel y Wolfgang Haken – usando una computadora Cray de segunda genera-ción, mostraron que el teorema era válido, pero muchos matemáticos argumentaron que eso no era una demostración matemática. La discu-sión continuó por veinte años más, hasta que en 1996, los matemáticos Neil Robertson, Daniel Sanders, Paul Seymour y Robin Thomas, de la Escuela de Matemáticas del Instituto Tecnológico de Georgia, publica-ron una demostración, aparentemente correcta, en tanto nadie la ha refu-tado hasta el momento.

Por otra parte, cabe recordar que durante dos milenios los ma-temáticos consideraron como una verdad absoluta que la geometría eu-clidiana era la única geometría posible, lo que los llevó a empeñarse, infructuosamente, en tratar de demostrar el quinto postulado de Euclides partiendo de los cuatro primeros.

El desarrollo del conocimiento científico, en consecuencia, ha estado acompañado de errores según puede constatarse al revisar su evolución en la historia. La identificación y análisis de estos errores ha permitido sustituir un conocimiento viejo e institucionalizado en la so-ciedad por uno nuevo que se revela lleno de fuerza y vigor, con el co-rrespondiente esfuerzo y sacrificio de quienes han tenido el valor de exponerlo y defenderlo ante cualquier adversidad. El problema del error está, entonces, vinculado al problema de la verdad y de la fuente última del conocimiento, y la historia de la Filosofía consta en gran parte de los intentos de respuesta a estos problemas, donde los más importantes son:

La doctrina de la falibilidad propuesta por Sócrates, según la cual el hombre puede errar individual y colectivamente; pero

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debe aspirar a la verdad objetiva examinando sus errores me-diante la autocrítica y la crítica racional.

El empirismo que considera la experiencia como el fundamento último del conocimiento. Los empiristas sostienen que los con-ceptos matemáticos tienen origen empírico y que las verdades matemáticas se derivan de observaciones del mundo físico. Esta última ha sido rechazada con el tiempo, pues sabemos que mu-chos conceptos matemáticos no se originan de observaciones del mundo físico, sino que se basan en conceptos abstractos.

El racionalismo, donde el fundamento último para obtener co-nocimientos verdaderos está dado por la intuición intelectual o razón.

Una especie de fusión entre las anteriores, que afirma que las fuentes del conocimiento están en el hombre mismo y se obtiene a través de su percepción e intuición.

El autoritarismo, que, en ausencia de una verdad, plantea como solución la aceptación de la autoridad.

La interpretación contemporánea de la fuente última del cono-cimiento propuesta por Popper (1983), quien analiza las postu-ras anteriores y sostiene que todas ellas están basadas en una teoría de la verdad manifiesta, donde la verdad es siempre reco-nocible como verdad; se descubre o se desvela. En consecuen-cia, al reflexionar sobre cómo puede aparecer el error si la ver-dad es manifiesta, Popper llega a la conclusión que la verdad puede encontrarse y perderse fácilmente, y atribuye a los errores un gran poder de supervivencia. Asimismo, el problema de la verdad se reduce –según el autor– a detectar y eliminar el error a través de la crítica permanente de las teorías propias y de otros. Sus conclusiones más importantes al respecto se resumen en las siguientes:

� No hay fuentes últimas de conocimiento. Toda fuente debe ser aceptada como posible y sometida al examen crítico.

� La cuestión epistemológica adecuada no es la relativa a las fuentes; más bien preguntarnos si la afirmación hecha es


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verdadera, si concuerda con los hechos. Esto se determina sometiendo a prueba la afirmación misma, de modo directo, o bien sometiendo a prueba sus afirmaciones.

� La fuente más importante de nuestro conocimiento es la tra-dición, pues aprendemos la mayoría de cosas a través del ejemplo, o la lectura, o la transmisión oral.

� Toda parte de nuestro conocimiento por tradición es suscep-tible de examen crítico y puede ser modificada o abandona-da.

� El conocimiento no puede partir de la nada. El avance del conocimiento consiste, principalmente, en la modificación del conocimiento anterior.

� No hay criterio alguno para reconocer la verdad (la claridad, la distinción y la coherencia no aseguran la verdad), pero sí hay criterios para detectar el error y la falsedad (la oscuri-dad, la confusión, la incoherencia y la inconsistencia, por ejemplo, sí indican error). Análogamente, la coherencia no basta para esclarecer la verdad pero la incoherencia y la in-consistencia permiten establecer la falsedad.

� El examen crítico de las conjeturas con las que se sondea lo desconocido debe ser apoyado por nuestras capacidades de observación, razonamiento, intuición e imaginación.

� Un problema resuelto plantea nuevos problemas por resol-ver, con una profundidad proporcional a la profundidad del problema original y de su solución.

La noción de obstáculo epistemológico planteada por Bachelard (1991), como explicación para esa aparición inevitable de erro-res que constituyen nuestro conocimiento. La noción de obstá-culo epistemológico y las sucesivas tipificaciones y caracteriza-ciones de la misma se ha utilizado como clave para el estudio, sistematización, análisis y explicación de los errores que se pre-sentan en el pensamiento científico.

Capítulo 1 26

La lógica del descubrimiento y la elaboración de conceptos en Matemática basados en los principios de la falsabilidad, tal co-mo lo propone Lakatos (1994). Para el autor, los matemáticos son falibles y sus productos –incluyendo conceptos y demostra-ciones– nunca pueden ser considerados finales o perfectos, sino que requieren de renegociaciones cuando emergen nuevos desa-fíos o significados. Uno de los denominadores comunes entre Popper y Lakatos es la idea de que hay que considerar como po-sible la retransmisión de la falsedad en un sistema deductivo, en oposición a la idea clásica de la retransmisión de la verdad co-mo única opción.

Aunque todas las consideraciones realizadas hacen referencia al co-nocimiento en general, podemos sintetizarlas para nuestro trabajo, en las siguientes:

� No hay fuentes últimas del conocimiento. Todo conoci-miento es humano y está mezclado con nuestros errores y prejuicios.

� El error forma parte constituyente de nuestra adquisición del conocimiento.

Antecedentes en el estudio de errores

El estudio de los errores en el aprendizaje de la Matemática ha sido de permanente interés para diferentes investigadores y se ha carac-terizado por aproximaciones e intereses muy disímiles. En las diferentes épocas el análisis y categorización de los errores se ha visto condiciona-do por las corrientes predominantes en Pedagogía y Psicología, como así también, condicionado por los objetivos y formas de organización del currículo en Matemática.

En las primeras décadas del siglo XX, los trabajos de investiga-ción se circunscribieron al análisis de errores cometidos en Aritmética por alumnos de los primeros años escolares. Una excepción, según Cury (1994), fue la investigación llevada a cabo por Smith – en Estados Uni-dos – en tanto trabajó con alumnos de la high school, sobre errores en demostraciones de Geometría Plana.


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En Alemania, por esa misma época y sin que mediaran inter-cambios entre investigadores americanos y europeos, también aparecie-ron los primeros trabajos sobre errores, los que posiblemente se vieron influenciados por la importancia que tuvo la Pedagogía Empírica, la cual empleaba técnicas de introspección propias de la Psicología Expe-rimental. Se ha considerado a Wiener como el fundador de la investiga-ción didáctica orientada al estudio de los errores, en tanto trató de esta-blecer patrones de errores que explicaban las equivocaciones individua-les de los alumnos en todas las materias y para todos los grupos de eda-des escolares (Rico, 1995).

Una segunda fase en el análisis de los errores aconteció a partir de los años 50, sobre el enfoque que se le dio al procesamiento de la información. La cibernética de Wiener, la teoría de la información de Shannon, los trabajos de Bruner y las experiencias de Newell y Simon, abrieron nuevas puertas para las investigaciones en diversas áreas del conocimiento y así surgieron nuevos métodos y abordajes para los pro-blemas que se venían estudiando. Estos teóricos del procesamiento de la información compartían el supuesto que la mente humana poseía una estructura semejante a la de una computadora, la cual procesa la infor-mación a través de una serie de memorias.

Sobre la óptica del procesamiento de la información, muchos investigadores utilizaron la técnica de protocolos verbales en sus traba-jos de análisis de errores. Esta técnica consiste en solicitar a los alumnos que “piensen en voz alta” cuando resuelven los problemas y, a través de ciertos protocolos, son analizadas las diversas estrategias de resolución que llevan a cabo los estudiantes o los patrones de errores.

Una de las investigaciones a destacar de esta fase fue realizada por Lankford, quien trabajó con alumnos del séptimo grado cuando resolvían problemas que involucraban las cuatro operaciones básicas con números enteros y racionales.

A partir de los estudios del procesamiento humano de la infor-mación, Brown y Burton desarrollaron un programa de ordenador de-nominado Buggy, con la finalidad de estudiar los errores sistemáticos cometidos por los alumnos en operaciones de sustracción. Cury (1994) destaca que el conocimiento de los tipos de errores de sustracción que

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cometen los estudiantes es ahora tan detallado que se han escrito pro-gramas de inteligencia artificial que cometen los mismos errores que los estudiantes, proporcionando al software sólo unos cuantos principios básicos. Asimismo, la teoría sobre la generación de bugs ha empezado a proporcionar ideas sobre las mejores y peores elecciones de ejemplos y sobre los métodos más eficaces para seleccionar material. La autora también señala que todas las experiencias en análisis de errores, utili-zando ordenadores, han influenciado notablemente muchas de las inves-tigaciones realizadas en Estados Unidos y América Latina, las que se divulgaron a través de numerosos Congresos.

Ya sea desde una perspectiva conductista o del procesamiento humano de la información, el análisis de los errores en Matemática es-tuvo limitado, hasta esa época, a una función diagnóstica y reparadora. Los investigadores se preocuparon por clasificar los errores para permi-tir a los profesores una modificación de las estrategias de enseñanza, con la intención de tornarlas más eficaces, y por ende, reforzar una vi-sión absolutista de la Matemática, en tanto se procuraba dotar a los alumnos de medios que permitieran alcanzar la verdad absoluta y se evitaran los errores.

Cury (1994) critica fuertemente esta preocupación de los inves-tigadores en pos de la eficacia y en detrimento de la comprensión, ar-gumentando que las experiencias son realizadas, la mayoría de las ve-ces, en laboratorios y en salas de clases bajo condiciones especiales y previamente planeadas, donde se les solicita a los alumnos dar respues-tas a un problema o hacer algunos cálculos, sin tener en cuenta si les resulta cotidiano o si tienen otras formas para resolver tales cuestiones. Bajo estas condiciones, según la autora, los investigadores pierden la oportunidad de verificar las reales capacidades que tiene el alumno co-mo ser humano, puesto que no se tiene en cuenta que es un sujeto inser-to en una determinada cultura y sociedad.

A partir de los años sesenta, comenzó a ser redescubierta la obra de Piaget en Estados unidos, debido básicamente a la revuelta cognosci-tiva y al interés existente por la búsqueda de innovaciones educativas y curriculares. Dentro de este contexto, se consideró que la Teoría Genéti-ca sin duda era especialmente atractiva por las posibilidades que abría en el campo de la educación, en tanto podía describir ampliamente cómo


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es que conocen y aprenden los sujetos, cuáles son los mecanismos inter-vinientes en dicho proceso, y proporcionar una explicación desplegada sobre los mecanismos del desarrollo intelectual.

A partir de esa década y en los años posteriores, las aplicaciones e implicaciones al campo de la educación comenzaron a proyectarse en forma notable y el abordaje del error tuvo una visión más constructivis-ta, en tanto se estimuló su ocurrencia puesto que brindaba posibilidades para el sujeto constructor de conocimiento.

Radatz (1980) lleva a cabo una revisión de gran parte de las in-vestigaciones realizadas sobre errores, tanto en Estados Unidos como en Europa, hasta finales de los años 70, encontrando que:

• La Aritmética constituye el área de contenidos dominante en la mayor parte de los estudios sobre errores.

• Los desarrollos teóricos en análisis de errores muestran cierta continuidad en Estados Unidos, mientras que en los países europeos las producciones han sido esporádicas y ca-recen de continuidad en el tiempo hasta fechas muy recien-tes.

• Existe una pluralidad de aproximaciones teóricas e intentos de explicación de las causas de los errores.

Rico (1995) argumenta que la mayor parte de los estudios sobre errores, realizados con anterioridad a 1960, han consistido en recuentos del número de soluciones incorrectas a una variedad de problemas y un análisis de los tipos de errores detectados, para proceder luego, a una clasificación que permita determinar cómo surgen los errores a partir de la solución correcta, en la que se hacen inferencias sobre qué factores pueden haber conducido al error.

Un abordaje más amplio sobre las posibilidades de la utilización del análisis de errores en los procesos de enseñanza y aprendizaje ha sido presentado por la investigadora italiana Raffaella Borasi. En sus trabajos, según Cury (1994), se incluyen las ideas de Kuhn, Lakatos, Piaget y Vergnaud, y la autora propone nuevos rumbos para el análisis de errores. Además del papel tradicional del análisis de errores, en el

Capítulo 1 30

sentido de identificar y clasificar los errores cometidos por los alumnos y proponer estrategias para eliminarlos, Borasi plantea otras posibilida-des: usar los errores como instrumentos para explorar el funcionamiento de la mente (Piaget, Vergnaud); aprovechar los errores como elementos fundamentales para el desarrollo de una disciplina (Kuhn, Lakatos); avanzar, partiendo de los errores que se cometen en la programación de ordenadores, en la comprensión del lenguaje de programación utilizado y en los propios contenidos trabajados (Papert1).

Borasi considera que los errores son analizados con dos objeti-vos fundamentales: para eliminarlos o para explorar sus potencialidades. En cualquiera de los dos casos, estaríamos centrándonos en el contenido técnico-matemático del error, en la naturaleza de la Matemática o en el proceso de aprendizaje de la propia disciplina.

Si el foco de interés es el contenido técnico-matemático del error y queremos eliminarlo, procuraremos diagnosticar sus causas pues representa una falla del proceso; si pretendemos explorarlo, el error será considerado un estadio necesario en el proceso de aprendizaje puesto que puede llevar a nuevos descubrimientos en Matemática.

Si nos centramos en la naturaleza de la Matemática, la elimina-ción del error estará ligada al entendimiento de la incomprensión del alumno sobre el concepto presentado y en retomar el tema con nuevos enfoques; si pretendemos explorar el error, este nos puede llevar a la reflexión sobre los límites y características de la propia Matemática.

Si estamos interesados en el proceso de aprendizaje de la Mate-mática, el error puede ser visto como instrumento de identificación de los problemas del currículo o de la metodología de enseñanza, y al ana-lizarlos, podrán ser eliminados; si, por otro lado, queremos explorar el

1 Papert, creador del lenguaje Logo, propone como cambio sustancial en la escuela, una modificación en los objetivos escolares acorde con el elemento innovador que supone la computadora. Su pretensión básica es que los sujetos lleguen a dominar los conceptos elementales de Geometría. Para Papert, la computadora reconfigura las condiciones de aprendizaje y supone nuevas for-mas de aprender. Una fuente importante de su obra son las teorías de Piaget, con quien estuvo estudiando durante 5 años en el Centro de Epistemología Genética de Ginebra.


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error, éste puede constituirse en un instrumento para la comprensión de los procesos cognitivos de los alumnos.

La idea de Borasi sobre el papel constructivo del error deriva de la teoría piagetiana, en tanto enfatiza la exploración y el descubrimiento como objetivos de las investigaciones y lo está considerando como un instrumento didáctico.

Sintetizando las ideas hasta aquí presentadas, podemos ver que las investigaciones en análisis de errores pueden ser agrupadas en torno a dos objetivos principales: la superación del error a través de su elimi-nación, o a través de la exploración de sus potencialidades. En la prime-ra categoría se encuentran las investigaciones realizadas por la influen-cia del conductismo y del procesamiento de la información. En segundo lugar, aparecen los trabajos más recientes de carácter constructivista. No obstante, cabe aclarar que esta división no es rígida y pueden ser encon-trados los dos objetivos en algunos trabajos.

Dificultades en el aprendizaje de la Matemática

Todas las teorías sobre la enseñanza y aprendizaje de la Mate-mática coinciden en la necesidad de identificar los errores de los alum-nos en el proceso de aprendizaje, determinar sus causas y organizar la enseñanza teniendo en cuenta esa información. En consecuencia, el pro-fesor debe ser sensible a las ideas previas de los alumnos y debería utili-zar las técnicas del conflicto cognitivo para lograr el progreso en el aprendizaje.

No obstante, debemos tener en cuenta que en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemática, nos encontramos con una gran variedad de dificultades que son potencialmente generadoras de errores, que sin llegar a una categorización exhaustiva, Di Blasi Regner y Otros (2003) las agrupan en los siguientes tópicos:

1) Dificultades asociadas a la complejidad de los objetos matemáticos.

La comunicación de los objetos matemáticos, principalmente de forma escrita, se realiza a través de los signos matemáticos con la ayuda del lenguaje habitual que favorece la interpretación de estos signos. Nos encontramos, de esta manera, con diferentes conflictos asociados a la

Capítulo 1 32

comprensión y comunicación de los objetos matemáticos. Uno de estos conflictos nace de la ayuda que la lengua común presta a la interpreta-ción de los signos matemáticos. El lenguaje habitual usado en la comu-nicación puede expresar su significado aunque se cometan abusos mor-fosintácticos, tales como roturas de reglas gramaticales o faltas de orto-grafía. El significado puede ser comunicado por alusión o asociación. Sin embargo, el lenguaje de la Matemática es más preciso, está someti-do a reglas exactas, y no comunica su significado, salvo por la interpre-tación exacta de sus signos. Este conflicto involucrado en el uso del lenguaje ordinario, dentro del contexto matemático, es un conflicto de precisión.

2) Dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemático.

Las dificultades asociadas a los procesos de pensamiento mate-mático se ponen de manifiesto en la naturaleza lógica de la Matemática y en las rupturas que se dan necesariamente en relación con los modos de pensamiento matemático.

Siempre se ha considerado como una de las principales dificul-tades en el aprendizaje de la Matemática, el aspecto deductivo formal. El abandono de las demostraciones formales en algunos programas de Matemática del Nivel Medio se ha estimado como adecuado, pero esto no incluye el abandono sobre el pensamiento lógico; es decir, la capaci-dad para seguir un argumento lógico, siendo esta incapacidad una de las causas que genera mayor dificultad en el aprendizaje de esta ciencia. El abandonar ciertas demostraciones formales en beneficio de una aplica-ción más instrumental de las reglas matemáticas, no debe implicar de ninguna manera el abandono del pensamiento lógico, por ser éste una destreza de alto nivel que resulta necesaria para alcanzar determinados niveles de competencia matemática.

El fomentar esta capacidad para seguir un argumento lógico no se debe contraponer a los métodos intuitivos, a las conjeturas, a los ejemplos y contraejemplos, que también permiten obtener resultados y métodos correctos, sino que, más bien, esta capacidad se desarrolla con la práctica de estos métodos informales. Sin embargo, sí se estaría en contra de la intención ingenua de los métodos rutinarios, de las conjetu-ras aleatorias, etc.


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3) Dificultades asociadas a los procesos de enseñanza.

Las dificultades asociadas a los procesos de enseñanza tienen que ver con la institución escolar, con el currículo de Matemática y con los métodos de enseñanza.

La institución escolar debe propiciar una organización escolar que tienda a reducir las dificultades del aprendizaje de la Matemática dependiendo de los materiales curriculares, de los recursos y de los esti-los de enseñanza. Esta organización afecta tanto a los elementos espa-cio-temporales como a los agrupamientos en clases homogéneas o hete-rogéneas, de acuerdo con sus habilidades en Matemática.

La organización curricular en Matemática puede originar dife-rentes dificultades en el aprendizaje de la misma. Cuatro serían los ele-mentos básicos a considerar como dificultades en el currículo de Mate-mática: las habilidades necesarias para desarrollar capacidades matemá-ticas que definen la competencia de un alumno en esta ciencia, la nece-sidad de contenidos anteriores, el nivel de abstracción requerido y la naturaleza lógica de la Matemática escolar.

Por último, los métodos de enseñanza deben estar ligados tanto a los elementos organizativos de la institución escolar, como a la orga-nización curricular. Varios son los aspectos a considerar, por ejemplo, el lenguaje, que debe adaptarse a las capacidades y comprensión de los alumnos; la secuenciación de las unidades de aprendizaje que debe estar adaptada a la lógica interna de la Matemática; el respeto a las individua-lidades que tiene que ver con los ritmos de trabajo en clase; los recursos y la representación adecuada.

4) Dificultades asociadas al desarrollo cognitivo de los alumnos.

La posibilidad de tener información sobre la naturaleza de los procesos de aprendizaje y conocimiento del desarrollo intelectual, per-mite conocer el nivel de dificultades, realizaciones y respuestas a cues-tiones esperadas de los alumnos. Conocer los estadios generales del desarrollo intelectual, representado cada uno de ellos por un modo ca-racterístico de razonamiento y por unas tareas específicas de Matemáti-ca que los alumnos son capaces de hacer, constituye una información valiosa para los profesores a la hora de diseñar el material de enseñanza.

Capítulo 1 34

Nos encontramos, sin embargo, con diferentes teorías generales sobre el desarrollo cognitivo que por distintas razones no han tenido un efecto claro y directo en las aulas de Matemática; también es verdad que muy pocas de estas teorías se han ocupado de manera específica de la Mate-mática.

Diferentes son los enfoques que podemos considerar: el enfoque jerárquico del aprendizaje, el enfoque evolutivo, el enfoque estructura-lista, el enfoque constructivista y el enfoque del procesamiento de la información, entre muchos otros.

5) Dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales.

Sabemos que a muchos estudiantes, incluyendo a algunos de los más capacitados, no les gusta la Matemática. Muchos alumnos tienen sentimientos de tensión y miedo hacia ella. Sin lugar a duda muchos son los aspectos que influyen en esta aversión. Por ejemplo, la naturaleza jerárquica del conocimiento matemático, la actitud de los profesores, estilos de enseñanza, y las actitudes y creencias hacia la Matemática que les son transmitidas.

Muchas de las actitudes negativas y emocionales hacia la Ma-temática están asociadas a la ansiedad y el miedo. La ansiedad por aca-bar una tarea, el miedo al fracaso, a la equivocación, etc, suelen generar bloqueos de origen afectivo que repercuten en la actividad matemática de los alumnos.

Características fundamentales de los errores

Brousseau, David y Werner (citados en Rico 1995) señalan cuatro vías mediante las cuales el error puede presentarse, las que enuncian del siguiente modo:

Los errores son a menudo el resultado de grandes concepciones inadecuadas acerca de aspectos fundamentales de las matemá-ticas.

Frecuentemente los errores se presentan como resultado de la aplicación correcta y crédula de un procedimiento imperfecto sistematizado, que se puede identificar con facilidad por el pro-fesor.


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También los errores pueden presentarse cuando el alumno utili-za procedimientos imperfectos y posee concepciones inadecua-das que no son reconocidas por el profesor.

Los alumnos con frecuencia inventan sus propios métodos, no formales pero altamente originales, para la realización de las tareas que se les proponen y la resolución de problemas.

No obstante, según lo expuesto por Rico (1995), la mayor parte de los investigadores y especialistas coinciden en considerar como ca-racterísticas generales de los errores cometidos por los alumnos, los siguientes:

Los errores surgen en la clase por lo general de una manera es-pontánea. Sorprenden al profesor, aunque pueden gestarse desde mucho antes.

Son persistentes y particulares de cada individuo. Son difíciles de superar porque requieren de una reorganización de los cono-cimientos en el alumno.

Hay un predominio de los errores sistemáticos con respecto a los errores por azar u ocasionales. Los errores sistemáticos re-velan los procesos mentales que han llevado al alumno a una comprensión equivocada.

Los alumnos en el momento no toman conciencia del error, pues no cuestionan lo que les parece obvio y no consideran el significado de los conceptos, reglas o símbolos con que traba-jan.

Los errores sistemáticos son en general el resultado de concep-ciones inadecuadas de los fundamentos de la Matemática, reco-nocibles o no reconocibles por el profesor.

Algunos errores se gestan en la comprensión o el procesamiento que hace el alumno de la información que da el profesor. Los alumnos, por ejemplo, recrean o inventan su propio método en base al método descrito por el profesor.

Capítulo 1 36

Categorías de errores en el aprendizaje de la Matemática

Es importante recordar que los errores, al igual que el fenómeno educativo, son la manifestación exterior de un proceso complejo en el que interactúan muchas variables; por ejemplo, profesor, alumno, currí-culo, contexto sociocultural. De allí la dificultad comprensible de aislar y delimitar las causas de un error con miras a su tratamiento.

No obstante, la investigación en torno a los errores en el proceso de aprendizaje ha sido una de las preocupaciones de la Educación Ma-temática de todos los tiempos, y los trabajos producidos se han centrado básicamente en cuatro líneas de investigación, las que son resumidas por Rico (1995) de la siguiente forma:

Estudios sobre análisis, causas, elementos, taxonomías de clasificación de los errores. Cada uno de estos estudios res-ponde a una determinada teoría psicopedagógica y a un planteamiento epistemológico particular del conocimiento y de la Matemática.

Trabajos acerca del tratamiento curricular de los errores. Ejemplos de esta línea son las propuestas didácticas que parten del error para la construcción de los conocimientos matemáticos correctos.

Estudios relativos a la formación de los docentes en cuanto a la capacidad para detectar, analizar, interpretar y tratar los errores de sus alumnos.

Investigaciones psicométricas que incluyen técnicas estadís-ticas como contrastaciones de hipótesis, para el análisis de los errores.

Asimismo, este autor consigna varias propuestas para la catego-rización de los errores. Cada una está inspirada en un modelo particular del procesamiento de información y otras clasificaciones que son el resultado de investigaciones empíricas sobre los errores.

Reseñaremos, a continuación, una categorización general de los errores propuesta por Radatz (1980), con un ejemplo ilustrativo tomado desde nuestra experiencia:


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Tipo de error Según la causa

Descripción Ejemplo ilustrativo

1. Dificultades

del lenguaje

Errores derivados del mal uso de los símbolos y términos matemáticos, debido a una falta de comprensión semántica del lenguaje matemático.

Si x denota la edad de María e y la edad de Juan, la expre-sión que traduce al lenguaje simbólico la frase: “María tiene el doble de la edad de Juan” suele ser identificada

con yx =2 .

2. Dificultades para obtener información

espacial

Errores provenientes de la producción de representaciones icónicas (imágenes espaciales) inadecuadas de situaciones matemáticas.

El triángulo de la izquierda

es identificado por los alum-nos como un triángulo rec-tángulo, sin embargo, una

rotación del mismo, como en el ejemplo de la derecha,

lleva a que no sea identifica-do como tal.

3. Aprendizaje deficiente de

hechos, destrezas y conceptos

previos

Errores originados por defi-ciencias en el manejo de con-ceptos, contenidos y procedi-mientos para la realización de una tarea matemática. Estas deficiencias incluyen la igno-rancia de los algoritmos, cono-cimiento inadecuado de hechos básicos, procedimientos inco-rrectos en la aplicación de técnicas y dominio insuficiente de símbolos y conceptos nece-sarios.

Identificación del intervalo continuo de números reales [–2, 3] con el conjunto dis-

creto {– 2, –1, 0, 1, 2}.

4. Asociaciones incorrectas o

rigidez del pensamiento

Son errores que en general son causados por la incapacidad del pensamiento para ser flexible, es decir, para adaptarse a situa-ciones nuevas. Dentro de esta clase de errores se tienen:

4.1. Por

perseveración

Predominan los elementos singulares de un problema.

Demostrar una propiedad sobre triángulos en general, usando un triángulo rectán-gulo (un caso particular).

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4.2. De asociación

Razonamientos o asociaciones incorrectas entre elementos singulares.

Usar por ejemplo:

7169169 =+=+

4.3. De interferencia

Cuando los conceptos u opera-ciones interfieren unos con otros.

La multiplicación de dos números negativos

( +=−−* ) interfiere en la resolución de una resta:

– 3 – 5 = 8

4.4. De asimilación

Cuando la información es mal procesada debido a fallas de percepción.

2x – x = 2

5. Aplicación de reglas o estrategias

irrelevantes.

Errores producidos cuando se aplican reglas o estrategias similares en contenidos dife-rentes. El razonamiento por analogía sabemos que no siem-pre funciona en Matemática.

El cálculo de las raíces de

062 =−+ xx arroja por resultados correctos a

21 =x y 32 −=x ; en tanto

que el cálculo de las raíces

de 462 −=−+ xx suele conducir erróneamente al

mismo resultado, siendo que corresponden a 11 =x y

22 −=x .

Tabla 1: Categorización de los errores

Mavshovitz–Hadar, Zaslavksy e Invar (citados en Rico, 1995) hacen una clasificación empírica de los errores, sobre la base de un aná-lisis constructivo de las soluciones de los alumnos realizadas por exper-tos. De esta forma, determinan 6 categorías descriptivas:

1. Datos mal utilizados. Se incluyen aquí aquellos errores que se han producido por alguna discrepancia entre los datos que aparecen en una cuestión y el tratamiento que le ha dado el alumno. Dentro de este apartado se encuentran los casos en los que: se añaden datos extraños; se olvida algún dato necesario para la solución; se contesta a algo que no es necesario; se asigna a una parte de la información un significado inconsis-tente con el enunciado; se utilizan los valores numéricos de una variable para otra distinta, o bien, se hace una lectura inco-rrecta del enunciado.


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2. Interpretación incorrecta del lenguaje. Se incluyen en este caso los errores debidos a una traducción incorrecta de hechos ma-temáticos descriptos en un lenguaje simbólico a otro lenguaje simbólico distinto. Esto ocurre al poner un problema en ecua-ciones expresando una relación diferente de la enunciada; tam-bién cuando se designa un concepto matemático mediante un símbolo distinto del usual y operando con él según las reglas usuales; a veces se produce también una interpretación inco-rrecta de símbolos gráficos como términos matemáticos y vice-versa.

3. Inferencias no válidas lógicamente. Esta categoría incluye aquellos errores que se producen por falacias de razonamiento, y no se deben al contenido específico. Encontramos dentro de esta categoría aquellos errores producidos por: derivar de un encunado condicional su recíproco o su contrario; derivar de un enunciado condicional y de su consecuente, el antecedente; concluir un enunciado en el que el consecuente no se deriva del antecedente, necesariamente; utilizar incorrectamente los cuan-tificadores; o también, realizar saltos injustificados en una infe-rencia lógica.

4. Teoremas o definiciones deformados. Se incluyen aquí aquellos errores que se producen por deformación de un principio, regla o definición identificable. Tenemos en este caso la aplicación de un teorema sin las condiciones necesarias; aplicar la propiedad distributiva a una función no lineal; realizar una valoración o desarrollo inadecuado de una definición, teorema o fórmula re-conocibles.

5. Falta de verificación en la solución. Se incluyen aquí los erro-res que se presentan cuando cada paso en la realización de la tarea es correcto, pero el resultado final no es la solución de la pregunta planteada; si el resolutor hubiese contrastado la solu-ción con el enunciado el error habría podido evitarse.

6. Errores técnicos. Se incluyen en esta categoría los errores de cálculo, errores al tomar datos de una tabla, errores en la ma-

Capítulo 1 40

nipulación de símbolos algebraicos y otros derivados de la eje-cución de algoritmos básicos.

Rico (1995) destaca que, si bien existe una cantidad considera-ble de categorizaciones de errores y se realizaron serios intentos por desarrollar un sistema de categorización de errores con base en una tipi-ficación de obstáculos y del análisis derivado correspondiente, hasta el momento, no se han superado los niveles generales, meramente descrip-tivos, y no existe un desarrollo teórico sistemático que permita clasifi-car, interpretar, y predecir los errores en términos de obstáculos, es de-cir, en función de argumentos fundamentalmente epistemológicos y con exclusión de categorías cognitivas. No obstante, creemos importante hacer notar que los métodos descriptivos desempeñan un papel funda-mental en la investigación educativa dado que pueden proporcionar hechos, datos, etc., y preparan el camino para la configuración de nue-vas teorías o nuevas investigaciones.


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Sobre el diseño metodológico El estudio realizado es de naturaleza diagnóstico-descriptivo y

se ubica en la línea de análisis de errores, en tanto se pretendió analizar y categorizar los errores cometidos por los alumnos egresados del Nivel Medio, al resolver problemas y/o ejercicios correspondientes a conteni-dos matemáticos abordados en el Ciclo Básico Unificado y Ciclo de Especialización de la escuela secundaria argentina.

Se trabajó con 273 estudiantes aspirantes a ingresar en las carre-ras de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Villa María, durante el año académico 2004, mientras cursaban el Módulo de Mate-mática del Curso de Ingreso.

El instrumento aplicado se elaboró considerando los errores que detectan frecuentemente los Profesores de Matemática en el aprendizaje de los alumnos, para lo cual se entrevistaron a 13 docentes que poseen una amplia experiencia en la enseñanza de esta ciencia y desarrollan sus actividades en centros educativos públicos y privados de la ciudad de Villa María. Asimismo, se realizaron entrevistas a una muestra de alum-nos seleccionados, entre los que cometieron los errores más frecuentes, para complementar algunos resultados del instrumento.

Realizamos a continuación una descripción de la estructura ge-neral del contexto en el que se desarrolló la investigación, el modo en que construimos y aplicamos el instrumento y los parámetros de inter-pretación que hemos tomado.

El Módulo de Matemática del Curso de Ingreso

El Curso de Ingreso a la UNVM constituye una unidad, com-puesta por un conjunto de módulos, todos los cuales deben ser aproba-dos individualmente. Para los alumnos aspirantes a las carreras de Cien-cias Económicas, esto es, Licenciatura en Administración, Licenciatura en Economía y Contador Público, está compuesto por los siguientes espacios curriculares: Problemática Universitaria con una carga horaria de 2 horas; Estrategias de Aprendizaje, con 4 horas, y Matemática, con

Capítulo 2 42

6 horas semanales. Para los aspirantes a la carrera de Contador Público se anexa el módulo de Contabilidad, también con 6 horas semanales.

La actividad académica es una propuesta de aprendizaje intensi-vo, de 45 días de duración, que se desarrolla en el mes de febrero y pri-mera quincena de marzo. La aprobación de todos los módulos da como resultado la aprobación del Curso de Ingreso para el ciclo lectivo co-rrespondiente, y si el aspirante cuenta con toda la documentación exigi-da por la Universidad, se lo considera alumno de la UNVM y se le en-trega la libreta de estudiante correspondiente.

En el momento de la inscripción, los aspirantes optan por uno de los turnos previstos para el cursado de los módulos del Curso de Ingre-so: mañana, tarde o noche, a excepción de los alumnos inscriptos en la sede de Laboulaye2, para los que existe un turno único de cursado. En base al turno elegido por el aspirante, el Sistema Académico de la Uni-versidad lo asigna a la comisión respectiva.

Cada uno de los módulos puede ser aprobado mediante sistemas de promoción sin examen final, con examen final con tribunal, o a tra-vés del examen libre. El aspirante que opta por la aprobación de los módulos mediante el sistema de promoción sin examen final debe cum-plir con el 75% de asistencia en cada uno de ellos y aprobar dos exáme-nes parciales con notas iguales o superiores a 6 en cada uno de ellos.

Cuando el aspirante tiene una calificación inferior a 6 en uno de los exámenes parciales puede realizar un examen parcial recuperatorio y la nueva nota se promedia con la anterior. En todos los casos los exáme-nes parciales son escritos y se llevan a cabo durante el lapso en el que se dicta el Curso de Ingreso. Para los aspirantes a la carrera de Contador Público, el sistema de evaluación para la promoción sin examen final no contempla la posibilidad de realizar exámenes parciales recuperatorios.

Cabe aclarar, asimismo, que son exceptuados de realizar el Cur-so de Ingreso a la UNVM los aspirantes que: han aprobado un mínimo de cuatro materias de una carrera universitaria; están en posesión de un

2 La sede Laboulaye se encuentra a 200 Km. de la ciudad de Villa María –

lugar este último donde se encuentra ubicada la UNVM – y en la localidad homónima.


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título obtenido del Nivel de Educación Superior No Universitario, ofi-cial o privado con aprobación oficial; o han aprobado el Curso de Ingre-so de una Universidad que puede ser considerado equivalente al realiza-do en la UNVM.

El Módulo de Matemática estuvo compuesto por seis unidades didácticas fundamentales: Lógica Matemática, Teoría de Conjuntos, Números y Operaciones, Análisis Combinatorio, Expresiones Algebrai-cas, Factorización de Polinomios, Ecuaciones y Sistema de Ecuaciones; y Funciones. El desarrollo de estas unidades ha tenido por finalidad revisar y reordenar los aprendizajes logrados por los alumnos en el Ni-vel Medio a fin de comprender los conceptos y formas de razonamiento matemático básico que se les presentará en las asignaturas de la carrera, intentando favorecer, al mismo tiempo, el desarrollo del razonamiento deductivo y la resolución de problemas.

Entre el material de trabajo con el que cuentan los alumnos, además de la bibliografía sugerida en el Módulo, se encuentra una Guía Teórico-Práctica que es utilizada para el desarrollo del curso y como base en las asignaturas posteriores referentes al área de Matemática.

Considerando los alumnos que optaron por el sistema de pro-moción sin examen final, el Módulo de Matemática del Curso de Ingre-so a las carreras de Ciencias Económicas de la UNVM contó – para el año académico 2004 – con un total de 273 aspirantes y fueron distribui-dos por el Sistema Académico de la Universidad de la siguiente manera:

Comisión 1 (turno mañana): 112 alumnos

Comisión 2 (turno tarde): 105 alumnos

Comisión 3 (turno noche): 30 alumnos

Comisión 4 (sede Laboulaye): 26 alumnos

Total aspirantes: 273 alumnos

Capítulo 2 44

Las edades de estos alumnos oscilaron entre los 17 y 45 años, aunque el 91% del grupo (248 estudiantes) se encontró entre los 17 y 19 años. De los 273 alumnos, 172 son mujeres (63 %) y 101 son varones (37%).

Procedimientos de investigación

Para realizar el análisis de los errores que con mayor frecuencia cometen los alumnos en el aprendizaje de la Matemática en el Nivel Medio, previo a ingresar en las carreras de Ciencias Económicas de la UNVM, seguimos los procedimientos de investigación que a continua-ción exponemos. En la descripción, haremos referencia tanto a las técni-cas utilizadas como a la manera en que se aplicaron.

Entrevistas con Profesores de Matemática

Para determinar los errores que habitualmente cometen los alumnos en Matemática, hemos entrevistado a profesores del área con amplia experiencia en la docencia – en tanto presentan una antigüedad en el ejercicio de sus funciones comprendida entre los 12 y 27 años – y desarrollan sus actividades en centros educativos públicos y privados de la ciudad de Villa María.

Los datos se recogieron mediante una entrevista personal con cada profesor. En total colaboraron 13 profesores, a quienes previamen-te se les explicó los objetivos del trabajo y se acordaron momentos pos-teriores para la entrevista, puesto que se intentó dar tiempo suficiente para que reorganizaran la información solicitada, y evitar, por otro lado, obtener respuestas triviales o fútiles.

En la entrevista se les solicitó a los profesores que detallaran cuáles eran los errores que con mayor frecuencia habían detectado en el aprendizaje de la Matemática de sus alumnos. Por otra parte, requerimos que situaran el error en un año de estudio particular del Nivel Medio, ya sea perteneciente al Ciclo Básico Unificado o al Ciclo de Especializa-ción, como así también, brindaran las respuestas alternativas que suelen dar los estudiantes ante la situación planteada.


45

Análisis documental

Hemos considerado apropiado tener en cuenta en la elaboración del instrumento aquellas investigaciones referentes a categorizaciones de errores, puesto que permitieron establecer relaciones con las respues-tas brindadas por los Profesores de Matemática durante las entrevistas.

Asimismo, trabajamos con los documentos curriculares elabora-dos desde el Ministerio de Cultura y Educación de la Nación: MCyE (1995), Saiz (1996) Y MCyE (1997), en tanto permitieron cotejar si los errores señalados por los Profesores de Matemática guardaban concor-dancia con los Contenidos Básicos Comunes establecidos para la Edu-cación General Básica y Educación Polimodal.

Diseño del instrumento

Con la información recabada durante las entrevistas realizadas a los Profesores de Matemática, se confeccionó el primer diseño del ins-trumento, el cual consistió básicamente en una serie de situaciones ma-temáticas de solución única a las que había que dar una respuesta.

La primera versión de la evaluación fue administrada a veinti-siete alumnos del sexto año del Nivel Medio. Esta evaluación tuvo por objetivo poner a prueba el instrumento para realizar los reajustes perti-nentes, como así también, constatar la presencia de las respuestas que mencionaban los profesores eran brindadas por los alumnos.

Culminada la fase de prueba del instrumento con los alumnos y posterior ajuste, se confeccionó una versión definitiva de la evaluación, la cual constó de 8 ejercicios con subapartados en la mayoría de ellos. Cada una de los ejercicios se obtuvo de los ejemplos que daban los pro-fesores en las entrevistas, adaptándolos, a su vez, a las situaciones que planteaban las diferentes investigaciones empíricas relativas al tema y que detallamos en la sección anterior.

En cada ejercicio y apartado se solicitó la resolución de una si-tuación matemática potencialmente generadora de error, la cual involu-cró algún contenido conceptual abordado en en el Ciclo Básico Unifica-do o Ciclo de Especialización.

Capítulo 2 46

En el siguiente cuadro se muestra la cantidad de apartados que integró cada ejercicio, indicándose el contenido conceptual involucrado –de acuerdo a la denominación sugerida por los profesores entrevistados y estipulada en los Contenidos Básicos Comunes– y el ciclo del Nivel Medio donde generalmente es abordado con mayor profundidad el tema.

Ejercicio Nº 1 a) y b) Suma y Resta de Números Enteros. c), d) y e) Potenciación de Números Enteros. f) y g) Operaciones con Números Racionales.

Ciclo Básico Unificado

h), i) y j) Potencias con Exponentes Racionales. Apa

rtad

os

k), l) y m) Operaciones con Radicales. Ciclo de

Especialización

Ejercicio Nº 2 Apartados a), b) y c)

Ecuaciones Lineales Ciclo Básico

Unificado

Ejercicio Nº 3

a) Operaciones con Polinomios. Ciclo de

Especialización

b) Simplificación de Números Racionales. Ciclo Básico

Unificado c) Valor numérico de un Polinomio. d) Operaciones con Polinomios. e) Operaciones con Radicales.

f) Operaciones con Expresiones Algebrai-cas.

g) Operaciones con Polinomios.

Ciclo de Especialización

h) Figuras en el Plano. i) Conversión de Decimales a Fracciones. j) Radicación con Números Enteros. k) Propiedades de los Triángulos.


l) Operaciones con Polinomios. m) Operaciones con Radicales. n) Operaciones con Polinomios.


ñ) Figuras en el Plano. o) Problemas con Ecuaciones Lineales.


Apa

rtad

os

p) Operaciones con Expresiones Algebrai- cas.



47

Ejercicio Nº 4 Apartados

a), b), c), d) y e) Operaciones con Números Enteros. Representación Gráfica sobre la Recta.


Ejercicio Nº 5

- - Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado. Ciclo de

Especialización

Ejercicio Nº 6 Apartados

a), b), c) y d) Aplicaciones Lineales.


Ejercicio Nº 7

- - Problemas con Ecuaciones Lineales. Ciclo de

Especialización

Ejercicio Nº 8

- - Áreas planas. Sistema Métrico Decimal.


Por último, cabe aclarar que en el instrumento se contemplaron sólo los errores que mencionaron los profesores entrevistados y no todos aquellos que revela la bibliografía sobre el tema. No obstante, justifica-mos la validez de contenido del mismo, en tanto estaría midiendo la presencia de los errores más significativos – de acuerdo a lo señalado por los profesores – que son cometidos por los alumnos en el aprendiza-je de la Matemática durante su formación en el Nivel Medio de ense-ñanza, tal como lo plantea el primer Objetivo Específico de nuestra in-vestigación3.

3 Determinar los errores que aducen los profesores de Matemática que son

cometidos por los alumnos en el aprendizaje de esta ciencia durante su forma-ción en el Nivel Medio de enseñanza.

Capítulo 2 48

Aplicación del instrumento

Al instrumento elaborado bajo las condiciones enunciadas ante-riormente se le dio la denominación de “Evaluación de Conocimientos Previos” y fue administrado en la tercera clase del Curso de Ingreso a la UNVM, la cual se correspondió con el viernes 6 de febrero de 2004.

A fin de evitar que los alumnos dieran respuestas poco pensadas o dejasen sin responder algunos de los ejercicios planteados, se le otorgó al instrumento la jerarquía de evaluación, la cual debía ser aprobada dentro del Curso de Ingreso.

El primer día de clases – lunes 2 de febrero de 2004 – se les comunicó a los estudiantes que serían evaluados sobre contenidos bási-cos desarrollados en el Nivel Medio, y se les sugirió la lectura del Capí-tulo 3 – referido a Números y Operaciones – de la Guía Teórico – Prác-tica del Curso de Ingreso.

Finalmente, la evaluación fue administrada el día prefijado, con una duración promedio de 50 minutos para su resolución.

Entrevistas con los alumnos

Después de haberse administrado la “Evaluación de Conoci-mientos Previos”, y con posterioridad al análisis realizado de las res-puestas brindadas por los alumnos a los diferentes ítems, se selecciona-ron aquellas evaluaciones que tenían desarrollos o manifestaciones dife-rentes a los esperados o estipulados por los Profesores de Matemática entrevistados.

Subsiguientemente, se realizaron entrevistas con los alumnos que habían realizado estas evaluaciones, con el propósito de profundizar los aspectos que no quedaron claros en las respuestas brindadas y com-plementar la información de algunas cuestiones que no fueron conside-radas en la misma. Asimismo, con la entrevista se intentó determinar los posibles patrones de error que contenían sus desarrollos.

Se trabajó con una entrevista semiestructurada, ya que a pesar de utilizar un guión de entrevistas para cada caso, se realizaron algunas modificaciones en la medida en que ésta se iba desarrollando, tomando como base las respuestas de los alumnos. Cada entrevista se realizó


49

individualmente a cada uno de los estudiantes seleccionados, y los guio-nes de entrevistas fueron planificados de acuerdo con los objetivos pro-puestos en la investigación. Por otra parte, se escuchó a los entrevista-dos con paciencia, procurando lograr un ambiente agradable y tranquilo, permitiendo, al mismo tiempo, que brindaran respuestas sin prejuicios a los interrogantes formulados.

Categorización de los errores

Si bien no partimos de una categorización de errores previamen-te establecida –puesto que la misma puede ser considerada como emer-gente del trabajo – no podemos desestimar que su construcción se halló condicionada por las categorías señaladas en las investigaciones consul-tadas sobre el tema.

Así, el proceso final de construcción de la categorización de errores devino de las convergencias realizadas entre las categorías que surgieron del análisis de las respuestas vertidas por los alumnos en la “Evaluación de Conocimientos Previos”, y las que se proponían en las investigaciones consultadas sobre el tema.

De esta manera, surgieron las categorías que detallamos a conti-nuación, las cuales describimos brevemente y citamos algunos ejemplos alusivos para su mejor comprensión.

�Errores debidos al lenguaje matemático: Son producidos por una traducción incorrecta de hechos matemáticos descriptos en un lenguaje natural a otro más formal en el lenguaje matemático, o de un lenguaje simbólico o icónico a otro simbólico o icónico distinto.

Al respecto, consideramos pertinente traer a colación las aclara-ciones realizadas por Peirce (1987) relativas al carácter icónico que tienen las fórmulas y expresiones matemáticas, en tanto señala que:

(…) una fórmula algebraica es un icono, que ha sido conver-tido en tal mediante las reglas de conmutación, asociación y distribu-ción de los símbolos. Puede parecer a primera vista que es una clasifi-cación arbitraria llamar icono a una expresión algebraica; que podría igualmente o más adecuadamente ser considerada como un signo con-vencional [símbolo] compuesto. Más no es así. Porque una gran pro-

Capítulo 2 50

piedad distintiva de los iconos es que mediante su observación directa se pueden descubrir otras verdades concernientes a su objeto que no son las que bastan para determinar su construcción. (…) Esta capaci-dad de revelar una verdad inesperada es precisamente aquello en que consiste la utilidad de las fórmulas algebraicas, por lo cual el carácter icónico es el predominante. (p. 263)

No obstante, es oportuna la aclaración realizada por Peralta García (2002), cuando expresa que al trabajar con problemas aritméticos de enunciado verbal, la traducción se realiza, generalmente, entre los significados que el alumno ha construido a través de su experiencia en los mundos correspondientes al lenguaje nativo y al lenguaje aritmético, y, como en cualquier proceso de traducción, los campos semánticos correspondientes no son isomorfos, por lo que ha de construir el sentido en el lenguaje al que traduce, moviéndose, si quiere que la traducción sea afortunada, dentro de los límites que señala la restricción semántica que impone el texto original.

Como ejemplos de esta categoría tenemos:

Situación Respuesta Frecuente

Descripción del procedimiento empleado

32 6 No se identifica la semántica de ab, y se la asocia con la multiplicación: ab = a b.

(x + 3)2 (x + 3)(x – 3) No se identifica la semántica de (a + b)2 y se la asocia con a2 – b2.

2x – x 1

No se identifica completamente la semántica de la expresión, ni el valor que tiene una variable en una estructura, puesto que se asume el valor numérico obtenido como representante de la misma.

�Errores debidos a dificultades para obtener información espa-cial: Son atribuidos a deficiencias en la capacidad para pensar mediante imágenes espaciales o visuales llevando a interpretaciones incorrectas de información o hechos matemáticos.

Al respecto, Duval (1998) plantea que las representaciones se-mióticas utilizadas normalmente en Matemática no se generan de mane-ra aislada, sino que pertenecen a sistemas de representación que tienen


51

su propia estructura interna, sus propias limitaciones de funcionamiento y de significado, y que pueden ser caracterizadas en función de las acti-vidades cognitivas que permiten desarrollar. Estas actividades cogniti-vas condicionan la estructura misma del sistema de representación y la transforman en otra representación de otro registro en la que se conserva la totalidad o parte del significado de la representación inicial. Las difi-cultades para convertir una representación en otra pueden interpretarse como resultado de una conceptualización deficiente del objeto bajo es-tudio.

Además, Peralta García (2002) sostiene que un problema clave en el aprendizaje de la Matemática es la distinción que debe hacerse entre un objeto y su representación. La confusión conduce a una especie de aprisionamiento del objeto por el registro donde se ha producido su representación y difícilmente puede aplicarse fuera del contexto donde ha sido generado. Asimismo, aclara que las consecuencias son graves en una ciencia como la Matemática, cuya fuerza reside precisamente en la amplia aplicabilidad de sus conocimientos.

Situación Respuestas Frecuentes


Si un triángulo rectán-gulo es aquel que tiene un ángulo recto ¿Cuál o cuáles de las siguientes figuras responden a la definición?

A, C ó

A y C.

La dificultad para obtener informa-ción espacial o para pensar median-te imágenes se manifiesta con ma-yor agudeza al no identificarse al triángulo B como rectángulo, en tanto se asume, además, que la condición incluye que sea presenta-do bajo determinada posición en el plano de la hoja. Quienes sólo iden-tifican la presencia de sólo un trián-gulo rectángulo lo hacen por aso-ciación con la posición relativa que asumieron estos triángulos en estu-dios previos.

B

D

A

C

Capítulo 2 52

�Errores debidos a inferencias o asociaciones incorrectas: Son generados por aplicar reglas y propiedades justificadas por esquemas similares o por inferir que son válidas en contextos parecidos o relacio-nados. En estas circunstancias, el alumno es conciente que la situación planteada es diferente de otras abordadas, no obstante, “inventa” nuevas reglas o deriva la validez de las que conoce de otras situaciones para el caso que está tratando. Como ejemplos de estos errores tendríamos:



0 Se infiere que a0 = 0, en tan-to se “multiplica cero veces

la base”.

– 1 Si a0 = 1, con a > 0, se infie-

re que (–a)0 = –1. ( )05−

– 5

Se infiere que a0 = a puesto que se debe multiplicar 0

veces la base, en consecuen-cia queda la misma base.

4

1

Se asocia el cero como re-presentante de la “nada” por lo que no debe incluirse en la respuesta. En su reemplazo

se utiliza al 1 como neutro de la multiplicación y división a

derecha.

26

532

−

−+

4 Se infiere de “0 + a = a” que

“0 : a = a”.

1

251

−

−

29

21

5)2(51 1

1

=−=−

−−

Se infiere la validez de

( ) ccc baba ∗=∗ en otro con-texto.

36100 − 4 Se infiere la validez de

baba ∗=∗ en otro contexto.


53

8 Se asocia que

aaaa ∗=+ . 88 +

4 Se infiere la validez de

baba +=+ .

Despejar x de

–3x + 5=17 4

Se asocian las reglas de transposición de términos:

“Si un número está con signo negativo, pasa con signo

positivo y si está multipli-cando, pasa dividiendo. En consecuencia, si el número

está multiplicando con signo negativo, pasa dividiendo

cambiado de signo”.

( )23+x 92 +x

Se infiere la validez de

( ) nnn baba ∗=∗ en otro con-texto.

�Errores debidos a la recuperación de un esquema previo: Son causados por la persistencia de algunos aspectos del contenido o del proceso de solución de una situación aún cuando las condiciones fun-damentales de la tarea matemática en cuestión se han modificado. En estas instancias, el alumno no es conciente que la situación es diferente a otras planteadas, por lo que no realiza inferencias de validez de las reglas o propiedades, sino más bien, las aplica por considerar que se encuentra en un contexto conocido.

Ejemplifican este tipo de error las siguientes situaciones:



– 13 + 20 –7 Se recupera el esquema: – * + = –

de la multiplicación cuando el contexto se ha modificado.

Capítulo 2 54

– 5 – 8 13 Se recupera el esquema: – * – = +

de la multiplicación cuando el contexto se ha modificado.

42−

16

Se recupera el esquema previo “todo número negativo elevado a una potencia par da por resultado

un número positivo” cuando el contexto se ha modificado.

543

52

++ 5

9

Se recupera el esquema

b

ca

b

c

b

a +=+ con b≠ 0 a pesar de

haberse modificado la condición en uno de los sumandos que in-

terviene.

−

21

9 81

Se recupera como esquema previo “el signo menos indica tomar un inverso multiplicativo”. Así, si

bb

aa

=− 1

con a∈Z+ y b>0 da por

resultado un racional no entero, entonces si b es un exponente

racional no entero precedido de un signo menos, debe tomarse su

inverso multiplicativo.

221232 +++ 28

Se recupera el esquema cbacbca )( +=+ cuando se modi-

ficó la condición en los sumandos que intervienen.

2

23

x 23

4

9xx ++

Se recupera el esquema: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 cuando

se modificó la condición entre los elementos que intervienen.

32

x

5x

Se recupera el esquema previo mnmn xxx +=∗ cuando el contexto

se ha modificado.


55

462 −=−+ xx {–3 ; 2} Se recupera el esquema previo de

cálculo de raíces aplicado a: ax2 + bx + c = 0.

3,2)

9

23

Se recupera el esquema previo

9,0

aa =)

cuando el contexto se ha

modificado.

�Errores debidos a cálculos incorrectos o accidentales: Son errores que se presentan cuando cada paso en la realización de la tarea es co-rrecto, o responde a la lógica interna del procedimiento esperado, pero el resultado final no es la solución debido a los errores de cálculo que se presentaron en la ejecución de operaciones básicas, o acarreados por la transferencia equivocada de símbolos y números involucrados en la situación. En estas circunstancias si el alumno llevara a cabo un análisis retrospectivo advertiría la presencia del error.

Situación Respuesta frecuente


45

20

5

4151==

++

5

43

5

2++

5

29

5

41510=

++

36100 − 74

El error técnico o de cálculo se presenta cuando en situaciones

semejantes no es cometido por el estudiante, o, ante la reflexión de

los pasos seguidos, es advertido por el mismo.

�Errores eventuales debidos a deficiencias en la construcción de conocimientos previos: Son causados por aprendizajes incorrectos o inadecuados de hechos, destrezas y conceptos previos que interfieren en un adecuado procesamiento de la información. De esta forma identifi-camos aquellas respuestas que se presentaron de manera aislada o ca-

Capítulo 2 56

sual, y de las que no fue posible establecer el patrón de error, aún des-pués de llevar a cabo una entrevista con el alumno.

Asimismo, incluimos en esta categoría aquellos errores que se han producido por alguna discrepancia entre los datos que aparecen en una cuestión y el tratamiento que le ha dado el alumno.

�Errores debidos a la ausencia de conocimientos previos: Son causados por la carencia de aprendizajes de hechos, destrezas y concep-tos previos, que inhiben totalmente el procesamiento de la información. De esta forma identificamos las instancias en las que no se dieron res-puestas a un ejercicio o situación por desconocimiento de la temática involucrada.

Cabe aclarar que consideramos como un error a la ausencia de respuesta, en tanto los contenidos planteados en las situaciones matemá-ticas de la evaluación guardan concordancia con los establecidos en los Contenidos Básicos Comunes para el Nivel Medio, y es de esperar que los alumnos tengan conocimientos sobre los mismos. Por otra parte, acordamos con las expresiones de Piaget, citado en Franchi y Hernández (2004), cuando argumenta que “equivocación” es no conseguir resolver el problema en el sistema cognitivo del hacer, relacionado este último con la construcción de medios y estrategias adecuados para la solución de un problema propuesto. Asimismo, esta concepción guarda relación con la definición de error de Godino, Batanero y Font (2003) que acep-tamos para nuestro trabajo, en tanto la acción de dejar sin respuesta a un ejercicio es considerada un error, pues no es válida desde el punto de vista de la institución matemática escolar.

Consideramos que la categorización propuesta resulta exhausti-va para los errores hallados bajo los objetivos que planteamos en la in-vestigación. No obstante, no lo es para todos los errores que pudieran cometer los alumnos en su aprendizaje de la Matemática, en tanto hemos considerado un subconjunto particular de este universo: los erro-res detectados en las prácticas docentes de los profesores entrevistados.

Por último, cabe aclarar que la categorización de cada uno de los errores adquiere sentido en el contexto particular de su extracción, en tanto si tomamos el mismo error de manera aislada podría llevarnos a que lo situemos en categorías diferentes.


57

Así, las respuestas erróneas a

−

2

1

9 podrá mostrar la presencia de cierta categoría de error cuando el mismo patrón se presenta en otras situaciones, tal como lo ejemplificamos a continuación:

Errores debidos al lenguaje matemático. Si 2

179 2

1

=

−

y

el alumno calcula 23 = 8, no está interpretando la semán-tica de la operación por lo que la asume como a –b=a –b;

Errores debidos a inferencias o asociaciones incorrectas.

Si 2

99 2

1

−=

−

y también calcula 23 = 6, en tanto está

asociando que ab = a.b para todo a y b.

Errores por recuperación de un esquema previo. Si

819 2

1

=

−

, pero el alumno calcula 9

5

5

91

=

−

, entonces

está recuperando como esquema previo cc

a

b

b

a

=

−

puesto que en otras instancias interpreta la

semántica de la potencia con exponente entero negativo;

Errores debidos a la ausencia de conocimientos sobre el tema. Si el alumno deja sin respuestas todas las poten-cias en las cuales aparecen exponentes negativos o frac-cionarios.

Análisis de los errores

Distinguimos en esta etapa dos grandes fases que dan lugar a dos niveles de análisis:

a) Descripción y análisis de los errores más frecuentes que come-ten los alumnos al resolver situaciones problemáticas.

b) Determinación de las posibles causas que llevan a los alumnos a cometer los errores que presentaron en la evaluación.

Capítulo 2 58

En la primera fase, sistematizamos los resultados globales de la “Evaluación de Conocimientos Previos” en cuadros, donde se indica, por un lado, los porcentajes de respuestas incorrectas para cada uno de los ítems que componían las situaciones matemáticas, y por el otro, las interpretaciones que realizamos de los patrones de error hallados. Para la descripción, hemos tenido en cuenta los procedimientos llevados a cabo por los estudiantes, los comentarios y aclaraciones aportados por los mismos durante las entrevistas, y las explicaciones brindadas tanto por los profesores entrevistados como las procedentes de las investiga-ciones referidas al tema.

Para cada uno de los ejercicios llevamos a cabo un estudio deta-llado de las respuestas correctas e incorrectas, como así también, de los ítems que quedaron sin respuestas. Además, realizamos un análisis más específico de algunas situaciones debido a la importancia que adquiere el contenido involucrado en la formación matemática del estudiante.

Para la segunda fase, que da lugar al segundo nivel de análisis, fuimos creando convergencias entre las categorías de errores construidas previamente, las conclusiones difundidas por los autores de los trabajos consultados sobre el tema, y las explicaciones aportadas por los Profeso-res de Matemática entrevistados. Este análisis permitió inferir algunas causas que podrían estar conduciendo a la persistencia o generación de errores en el aprendizaje de la Matemática en alumnos egresados del Nivel Medio.

En el próximo capítulo, presentamos los resultados obtenidos de la investigación y exponemos el primer análisis realizado.


59

Los errores y dificultades de los alumnos que señalan los Profesores de Matemática Nuestra búsqueda de errores en el aprendizaje de la Matemática

en alumnos que egresan del Nivel Medio, nos llevó a indagar sobre la presencia de los mismos entre quienes tuvieron un rol fundamental en su formación: los Profesores de Matemática. Así, llevando a cabo minucio-sas entrevistas pudimos dar respuestas a la primera pregunta directriz de nuestra investigación, la cual formulamos del siguiente modo:

¿Qué errores detectan frecuentemente los Profesores de Matemática en el aprendizaje de sus alumnos durante la formación de Nivel Medio?

La construcción del instrumento, tal como la detallamos en el capítulo precedente, sistematiza todos los errores que aducían los Profe-sores de Matemática eran cometidos por sus alumnos, los cuales son comentados en este primer análisis de los resultados obtenidos.

En el presente capítulo presentamos un primer análisis de las di-ferentes respuestas brindadas por los alumnos a cada uno de los ítems que conformaron la evaluación, con sus respectivas interpretaciones, las que se sustentan en la categorización de errores que sugerimos para el estudio.

Los errores más frecuentes en el aprendizaje de la Matemática

El análisis de los resultados de la evaluación administrada a los alumnos aspirantes a las carreras de Ciencias Económicas de la UNVM, viene a dar respuestas a muestra segunda pregunta directriz de investi-gación, la cual enunciamos del siguiente modo:

¿Cuáles son los errores, que han sido señalados por los Profesores de Matemática, que aún persisten en el aprendi-zaje logrado por los alumnos cuando ingresan a la Univer-sidad?

Hemos organizado la información procedente de los resultados de la evaluación en tres secciones. Por un lado, presentamos y analiza-

Capítulo 3 60

mos las respuestas incorrectas a los ejercicios planteados en la evalua-ción con las correspondientes explicaciones de los patrones de error hallados. Asimismo, en letra itálica transcribimos los comentarios, apre-ciaciones o justificaciones brindadas por los alumnos durante las entre-vistas.

En la segunda sección, en tanto, analizamos a la luz de los Con-tenidos Básicos Comunes para Matemática los ítems que quedaron sin respuestas de la Evaluación. Por último, en la tercera sección son anali-zadas las respuestas de la evaluación, teniendo en cuenta, en este caso, la categorización de errores propuesta para el estudio.

Análisis de respuestas correctas e incorrectas

Ejercicio Nº 1

El primer y segundo apartado del ejercicio 1 de la evaluación fue propuesto por los profesores entrevistados, en tanto argumentaban que los alumnos aplicaban la “regla de los signos” – de la multiplica-ción de números enteros – cuando llevaban a cabo sumas o restas en este campo numérico. Asimismo, detallaron que el problema se presen-taba, principalmente cuando a un número negativo se le suma uno posi-tivo, y no a la inversa. De esta manera, planteamos la resolución de:

a) – 13 + 20 =

b) – 5 – 8 =

A pesar de la sencillez de la operación planteada, 18 alumnos (7%) se equivocaron en el primer ejercicio y 22 (8%) lo hicieron en el segundo. En ambos casos, el 50% de los alumnos que erraron recupera-ron el esquema ( )−=∗+− y ( )+=∗−− de la multiplicación cuando el contexto de la situación se había modificado. Por otro lado, también se presentó como error, aunque en menor medida, una falta de identifica-ción de la semántica de la operación, llevando a los estudiantes a brindar variadas respuestas.

Para los apartados c y d se pretendió determinar el número de alumnos que aún no identifican la semántica de la potenciación con base entera y exponente natural, esencialmente cuando se involucra al 0 co-mo exponente. Así, se propusieron como situaciones la resolución de:


61

c) 23 + 30 =

d) (–5)0 =

En esta ocasión, 62 estudiantes (23%) se equivocaron en la si-tuación c, donde los patrones de error más notables devienen de inferir que:

• a0 = 0 en tanto se “multiplica cero veces la base” (45%), y que

• a0 = a puesto que “si se multiplica cero veces la base, que-da la misma base” (34%).

La situación se vio un tanto agravada en el apartado d, donde el número de alumnos que comete errores se elevó a 86 (32%) con patro-nes de error tales como:

• Se infiere que (– a)0 = –1, extrapolado de a0 = 1, con a > 0 (40%).

• Se infiere que a0 = 0 (24%).

• Se infiere que a0 = a (16%).

Para culminar con los errores frecuentes en el trabajo de poten-cias con enteros, se propuso resolver:

e) –24 =

El 92% (252 estudiantes) recuperaron el esquema previo: “Todo número negativo elevado a una potencia par da por resultado un núme-ro positivo”, siendo que el contexto se había modificado.

Otro error frecuente, marcado por los profesores entrevistados, hacía referencia a la dificultad que tienen los alumnos al operar con números racionales. El hincapié se hizo sobre la suma de racionales con enteros, por lo que planteamos resolver:

f) =++5

43

5

2

Si bien un total de 45 alumnos (17%) mostraron errores en la re-solución de la situación, el mayor porcentaje no se presentó sobre la

Capítulo 3 62

tipología señalada por los profesores, ya que el 40% de ellos dejó en blanco el ejercicio, sin ofrecer respuestas por no saber hacer la suma sin el uso de una calculadora. Sólo 11 estudiantes (24%) recuperaron el

esquema b

ca

b

c

b

a +=+ con b ≠ 0 – tal como lo predecían los profesores –

a pesar de haberse modificado la condición en uno de los sumandos de la expresión; y 10 estudiantes (22%) presentaron errores técnicos o de cálculos al efectuar algunas de las multiplicaciones que involucraba el algoritmo de la suma de fracciones.

En el ejercicio g, planteamos como situación generadora de error, presentar una división de números en el que se hallaba encubierto un dividendo igual a cero, y la expusimos del siguiente modo:

g) =−

−+

26

532

En este caso, 187 alumnos (68%) presentaron errores en la reso-lución de la misma, donde hallamos que un total de 76 estudiantes (41%) dejaron indicado el cociente 0/4 sin dar una respuesta final defi-nitiva, lo que denotó deficiencias en el aprendizaje de hechos, destrezas y conceptos previos que interfirieron en el procesamiento de la informa-ción. A esta situación debemos agregarle 25 estudiantes (13%) que al divisar la presencia del 0 en la estructura de la división, dejaron sin res-puesta al ejercicio.

Por otra parte, 53 estudiantes (28%) dieron por respuesta al nú-mero 4, asociando al 0 como representante de la “nada”, por lo que no debía incluirse en la respuesta, y 21 alumnos (11%) también realizaron la misma asociación, pero en su reemplazo utilizaron al 1, por lo que dieron de respuesta el 1/4.

Los 6 apartados siguientes que completaron el ejercicio 1 se centraron en contenidos que se desarrollan fundamentalmente en el Ci-clo de Especialización, y se hallan vinculados con la potenciación de exponente negativo y la radicación.

Así, en el apartado h proponíamos:

h) =

−

2

1

9


63

Esta situación involucró la relación entre los contenidos citados anteriormente, aunque su misión se encontró centrada en detectar si los alumnos recuperaban esquemas previos en la resolución. De los 244 alumnos (89%) que presentaron errores, 82 estudiantes (34%) no lo resolvieron por no identificar la semántica de la operación – esencial-mente por la presencia de un fraccionario en el exponente – y entre quienes lo resolvieron con algún patrón de error, hemos distinguido:

• 46 estudiantes (19%) que recuperaron como esquema previo “el signo menos indica tomar un inverso multiplicativo”, tal como lo predecían los profesores. Así, del esque-

macc

a

b

b

a

=

−

con c ∈ Z+, infieren que b

cc

b

aa =

−

, lo que

se refleja – en la situación planteada – del siguiente modo:

81999 21

22

1

===

−

• 33 estudiantes (14%) asocian el signo menos en un expo-nente fraccionario con invertir no sólo la base de la poten-cia, sino también el exponente. En la resolución de la situa-ción planteada quedó reflejado del siguiente modo:

81

1

9

1

9

19

21

2

2

1

=

=

=

−

La falta de interpretación de la semántica de la potencia con ex-ponente negativo también se visualizó notablemente cuando propusi-mos:

i) =−32

Ya que un total de 116 estudiantes (43%) mostraron algún tipo de error en la resolución, distinguiéndose, como patrones más importan-tes, los siguientes:

• 43 alumnos (37%) utilizaron el modelo de multiplicación reiterada asociando que el signo menos del exponente es el

Capítulo 3 64

signo que debe asignársele a cada factor, dando por válido

que )()).(( aaaa b −−−=−L .

• 25 estudiantes (22%) no identificaron la semántica de ( )ba − , con b > 0, por lo que desecharon el signo negativo y

la asociaron con ab.

• 23 estudiantes (20%) no dieron respuestas al ejercicio, de-notando deficiencias en el aprendizaje de hechos, destrezas y conceptos previos que inhibieron el procesamiento de la información.

Continuando con la potencia de exponente negativo, los profe-sores expresaron que la dificultad de los estudiantes se acrecentaba cuando debían resolver alguna suma o resta elevada a un exponente negativo, en tanto no lograban diferenciar la jerarquía que tienen las operaciones involucradas. Para esta instancia, presentamos como situa-ción:

j) =

−

−1

251

Un total de 208 estudiantes (76%) revelaron errores en la reso-lución, donde fue posible diferenciar los siguientes patrones:

• 83 alumnos (40%) no identifican correctamente la semánti-

ca de ( )ba − , con a < 0 y b > 0, asumiéndola, en su mayoría,

(47 estudiantes) como ( )b

b

aa

−=− 1

, y en menor medida

como: bb aa )()( −=− (17 estudiantes); bb aa =− )( (14 estu-diantes) o a–1 = a0 (5 estudiantes).

• 49 alumnos (24%) asumieron la validez de ccc baba +=+ )( y resolvieron la situación de la siguiente

manera:

29

2110

21

5251

251 1

11

=−

=−=−

=

− −

−−


65

• 38 alumnos (18%) no lo resolvieron, en tanto no supieron qué hacer frente a la situación que se les presentaba, lo que denotó deficiencias en el aprendizaje de hechos, destrezas y conceptos previos que inhibieron el procesamiento de la in-formación.

Buscando determinar si los estudiantes aplicaban distributiva de la radicación con respecto a la suma y/o resta, propusimos la resolución de:

k) =− 36100

Para esta situación, 64 estudiantes (23%) cometieron errores, donde 34 de ellos (53%) efectivamente infieren la validez de

baba +=+ . No obstante, también encontramos 15 alumnos (23%) que denotaron deficiencias en el aprendizaje de hechos, destrezas y conceptos previos que inhibieron el procesamiento de la información, por lo que dejaron sin respuesta al ejercicio.

Relacionado con la situación anterior, se propuso la resolución de:

l) =+ 88

Donde 206 estudiantes (76%) presentaron errores. De ellos, un total de 82 alumnos (40%) infiere la validez de baba +=+ , en tanto dieron como respuesta al número 4 obtenido co-mo 41688 ==+ . Por otra parte, 34 alumnos (17%) asociaron que

baba *=+ y llegaron a 8 como respuesta a través de los siguientes

caminos: 86488 ==+ ó ( ) 88882

==+ .

A diferencia del ejercicio k, el número de alumnos que dejó sin resolver la situación fue notablemente mayor, puesto que 59 estudiantes (29%) inhibieron el procesamiento de la información y no dieron res-puesta.

Para finalizar el ejercicio 1 se propuso combinar la suma de ra-dicales con números enteros, ya que los profesores entrevistados adver-

Capítulo 3 66

tían que en una secuencia de ejercicios con suma de radicales, si se in-corporaban números enteros o racionales a la expresión, los alumnos

recuperaban un esquema previo

=+++ ∑

=

nn

ii

nn

nn babababa1

121 L y

efectuaban la operación sumando los números enteros y/o racionales que hallaban en la misma, a pesar de haberse modificado las condicio-nes.

En la búsqueda de este error, planteamos resolver:

m) =+++ 221232

En este caso, 157 alumnos (58%) evidenciaron errores en la re-solución, donde destacamos los siguientes patrones:

• 69 estudiantes (44%) no respondieron en tanto no identifica-ron lo que debían realizar en la situación planteada.

• 42 estudiantes (27%) recuperaron el esquema previo previs-to por los profesores, cuando se había modificado la condi-ción en los sumandos que intervenían. A esta situación, de-bemos agregarle 11 alumnos (7%) que cometen el mismo error, pero incorporaron errores técnicos o de cálculo a la resolución.

Ejercicio Nº 2

El ejercicio 2 de la evaluación pretendió cuantificar la presencia de errores que cometen los alumnos en la resolución de ecuaciones li-neales; tema que se aborda tanto en el Ciclo Básico Unificado como en el Ciclo de Especialización, aunque por la simplicidad de las situaciones planteadas lo ubicamos en la primera.

Así, el primer apartado de este ejercicio planteaba lo siguiente:

a) Despeja el valor de “x” en yx

=+

6

5

De los 185 estudiantes (68%) que cometieron errores en la reso-lución de la situación, encontramos que:


67

• 93 alumnos (50%) no identifican la semántica de la expre-sión, en tanto no lograron determinar jerarquías o el tipo de operaciones que intervienen en el primer miembro de la igualdad, ni en los pasos posteriores a la resolución. De esta forma, transpusieron indiscriminadamente números y litera-les sin tener en cuenta las operaciones que los ligaban a la expresión.

• 68 alumnos (37%) revelaron deficiencias en el aprendizaje de hechos, destrezas y conceptos previos que inhibieron el procesamiento de la información, y dejaron sin hacer el ejercicio.

• 24 alumnos (13%) resolvieron el ejercicio con deficiencias en la identificación de la semántica de la expresión, asu-miendo que la variable “y” valía 1, por lo que no formó par-te de la respuesta y sólo dieron un valor numérico para la “x”.

La segunda ecuación propuesta intentó establecer el porcentaje de alumnos que presentan deficiencias en la transposición de factores negativos, en consecuencia, expusimos la siguiente situación:

b) Despeja el valor de “x” en 1753 =+− x

Si bien la ecuación puede ser considerada muy sencilla para un ingresante a la Universidad, 115 estudiantes (42%) no hallaron la res-puesta correcta, cuyos errores tuvieron las siguientes características:

• 47 alumnos (41%) asociaron las reglas de transposición de términos: “Si un número está con signo negativo, se trans-pone con signo positivo” y “si está multiplicando, se trans-pone dividiendo”, para inferir que: “Si un número está mul-tiplicando con signo negativo, se transpone dividiendo pero cambiado de signo”, tal como lo diagnosticaron los profeso-res entrevistados. De esta forma arriban a una solución de la siguiente manera: 43/12123 ==⇒=− xx .

Capítulo 3 68

• 24 alumnos (21%) no identificaron al (– 3) como un factor de la expresión y lo asociaron con un término de una suma algebraica, tal como habían señalado algunos profesores. En este caso arriban a la solución de la siguiente manera:

– 3x + 5 = 17 ⇒ x = 17 – 5 + 3 ⇒ x = 15

• 17 alumnos (15%) no resuelven el ejercicio, denotando de-ficiencias en el aprendizaje de hechos, destrezas y conceptos previos que inhiben el procesamiento de la información.

Para finalizar con el ejercicio 2, se propuso la resolución de una ecuación simple que involucraría la división entre una fracción y un entero, puesto que los profesores señalaban que los estudiantes la resol-verían, después de transponer los términos, como una multiplicación. Así, sugerimos:

c) Despeja el valor de “x” en 2

13 =x

En esta oportunidad, 87 alumnos (32%) resolvieron con errores la situación. Sorprendentemente, 21 alumnos (24%) arriban a los resul-tados más disímiles, sin la existencia de un patrón de error común en ellos. De todos modos, hemos distinguido:

• 29 alumnos (33%) que mostraron deficiencias en el apren-dizaje de hechos, destrezas y conceptos previos que inhiben el procesamiento de la información, en tanto no resolvieron la ecuación y no dieron respuesta alguna.

• 22 alumnos (25%) han recuperado el esquema de la multi-

plicación asumiendo que db

ca

d

c

b

a

*

*: = , llegando a una res-

puesta bajo el siguiente esquema:

3x =2

1 ⇒ x =

2

1:3⇒ x =

2

3


69

Ejercicio Nº 3

El ejercicio 3, a diferencia de los anteriores, se caracterizó por ser de múltiples opciones. Es decir, para cada apartado se proponían alternativas de solución, las que se obtuvieron de la prueba piloto reali-zada con alumnos del último año del Ciclo de Especialización. No obs-tante, entre las opciones dejamos la posibilidad para que el alumno co-locara otra respuesta o que indicara que no sabía resolverlo. Los conte-nidos involucrados en este ejercicio atraviesan los dos ciclos, con temas relativos a Aritmética, Álgebra y Geometría.

El primer apartado, involucró la resolución de la potencia de un producto entre un número y un literal, planteado de la siguiente manera:

a) =

2

23

x

� 234

9xx ++ � 2

2

3x � x

4

9 � Otra:....... � No lo sé

Una vez más los profesores pronosticaron acertadamente las res-puestas que darían los alumnos, en tanto de los 160 estudiantes (59%) que cometieron errores, 132 (83%) no identificaron la semántica de la operación y asociaron que el exponente de la potencia sólo afectaba a uno de los factores. De esta manera, marcaron mayoritariaente como

una respuesta correcta al x4

9, y un número reducido de ellos al 2

2

3x .

Estrechamente relacionado con el ejercicio anterior, planteamos identificar qué expresión correspondía al desarrollo, esta vez, del cua-drado de un binomio, puesto que los profesores señalaban que los alum-nos tendían a inferir la validez de la distributividad de la potencia con respecto a la suma algebraica. Al respecto, propusimos la resolución de:

l) ( ) =+23x

� 962 ++ xx � 92 +x � ( )( )3.3 −+ xx � Otra:....... � No lo sé

Capítulo 3 70

A pesar de encontrarse la respuesta correcta entre las opciones del ejercicio, 184 alumnos (67%) se equivocaron al señalarla, con patro-nes de errores tales como:

• 127 estudiantes (69%) dan por válida la distributiva de la potencia con respecto a la suma algebraica; esto es

( ) 222 baba +=+ .

• 47 estudiantes (46%) no identificaron la semántica de la operación y asumieron la equivalencia de (a + b)2 = (a – b) (a + b).

Apoyados en los señalamientos que realizaban los profesores re-lativos a las dificultades que presentaban los alumnos del Ciclo Básico Unificado para efectuar simplificaciones de fracciones, propusimos que hallaran una fracción irreducible de:

b) 12

6

� 6

1 �

3

2 �

2

1 � Otra:............. � No lo sé

De los 39 estudiantes (14%) que cometieron algún error, casi la totalidad (38 alumnos) asumen por válida la proposición “Si a = b y c ≠ d, entonces a*c = b*d”, en tanto marcaron como respuestas correctas,

principalmente al 6

1, y algunos al

3

2.

A esta situación debemos anexarle que no todos los alumnos comprenden cabalmente el significado que tiene un número racional, como lo expresan los profesores, y para constatar la manifestación de esta apreciación propusimos como ejercicio:

i) La expresión fraccionaria de 3,2)

ó de 2,333333... es:

� 3

2 �

9

23 �

9

21 � Otra:.......... � No lo sé


71

Con esta situación pretendíamos que si los alumnos no recorda-ban el algoritmo de transformación de un número decimal a fracciona-rio, al menos intentaran realizar el cociente entre numerador y denomi-nador de las respuestas para encontrar una expresión equivalente. No obstante, 135 estudiantes (49%) marcaron equivocadamente la respues-ta, donde distinguimos:

• 70 alumnos (52%) recuperan el esquema previo 9

,0a

a =)

,

con 90 ≤< a cuando el contexto se ha modificado. Así,

como 9

55,0 =)

, infieren que 9

233,2 =)

.

• 27 alumnos (20%) asumen la equivalencia entre la notación

decimal con la fraccionaria; es decir b

aba =, .

• 30 alumnos (22%) mostraron deficiencias en el aprendizaje de hechos, destrezas y conceptos previos que inhibieron el procesamiento de la información e indicaron que no sabían hacer el ejercicio.

El hecho de que los estudiantes simplifican expresiones sin con-servar la equivalencia de las mismas, fue marcado por varios de los pro-fesores entrevistados argumentando que la dificultad se hacía más evi-dente cuando trabajaban con expresiones algebraicas o ecuaciones con racionales. En la búsqueda de esta cuestión, planteamos un nuevo ejer-cicio, pero esta vez en una versión un poco más compleja que la plan-teada en el ejercicio b):

p) Después de realizar simplificaciones en 6

36 yx + ¿Cuál de las

siguientes expresiones es equivalente a ella?

� yx2

11 + � yx 31 + �

2

16 yx + � Otra:..... � No lo sé

Capítulo 3 72

Indiscutiblemente la dificultad se puso de manifiesto en tanto 204 alumnos (75%) desacertaron su respuesta. Entre ellos tenemos:

• 152 alumnos (75%) no identifican adecuadamente la semán-tica de la expresión y asumen que el denominador divide só-lo a uno de los sumandos. Así, marcaron como correctas a:

1x + 3y (102 estudiantes) y a 2

16 yx + (50 estudiantes).

• 38 alumnos (19%) denotaron deficiencias en el aprendizaje de hechos, destrezas y conceptos previos que inhibieron el procesamiento de la información, en tanto no pudieron arri-bar a la respuesta.

Para la siguiente situación, si bien la insertamos dentro del tema “valor numérico o especialización de un polinomio”, cabe aclarar que los estudiantes se enfrentan concretamente a ella en el primer año del Ciclo de Especialización cuando abordan la resolución de ecuaciones de segundo grado. No obstante, la problemática señalada por los profesores se remonta también a los primeros años de la Escuela Secundaria (tercer ciclo de la Educación General Básica o Ciclo Básico Unificado).

El propósito del ejercicio, en consecuencia, fue determinar el nivel de dificultad que aún prevalece en los estudiantes cuando operan con números enteros, esencialmente cuando se presenta un número ne-gativo en el sustraendo de una resta. Así propusimos:

c) Si a = –1, b = 3 y c = 2 entonces el valor de cab ⋅⋅− 42 es:

� 17 � –10 � 1 � Otra:............... � No lo sé

Un total de 122 estudiantes (45%) cometieron errores en la reso-lución, y nos fue posible diferenciar los siguientes patrones:

• 59 alumnos (48%) asumen que es una redundancia la pre-sencia de dos signos negativos contiguos (“sobra un me-nos”). Así:

189)8(92)1(432 =−=−−=∗−∗−


73

• 46 alumnos (38%) no identifican la semántica de la expre-sión, ni visualizan la jerarquía que tienen las operaciones que involucra la expresión, en tanto la resuelven del si-guiente modo:

( ) 102)1(52)1(492)1(492)1(432 −=∗−∗=∗−∗−=∗−∗−=∗−∗−

Otro error frecuente, especificado tanto por los profesores del Ciclo Básico Unificado como los del Ciclo de Especialización, aludía a la dificultad que tienen los alumnos para identificar la semántica de aquellas operaciones que vinculan números con letras. Planteamos al respecto las siguientes situaciones:

d) 3a + a =

� 23a � a4 � 24a � Otra:............... � No lo sé

n) 2x – x =

� 1 � 2 � x � Otra:.............. � No lo sé

En el apartado d, 97 estudiantes (35%) marcaron equivocada-mente la solución, donde los patrones de error fueron:

• 74 estudiantes (76%) no identifican la semántica de la ex-presión y asocian que a+a=a*a, brindando por respuesta a 3a2.

• 20 estudiantes (21%) dan por respuesta al 4a2, haciendo vá-lido que:

)(2121 )( tqp

nt

nqp xaaaxaxaxa +++++=++ L

LL

Por otra parte, 75 estudiantes (27%) tuvieron errores en la situa-ción n, con los siguientes patrones de error:

Capítulo 3 74

• 39 estudiantes (52%) no identifican la semántica de la ex-presión, en tanto asocian que nxxnxxn =−∗=−∗ )( , y consideran al 0 como representante de la “nada”, por lo que brindan como respuesta sólo al número 2.

• 31 estudiantes (41%) tampoco identifican por completo la semántica de la expresión, ni el valor que tiene una variable en una estructura, puesto que asumen como respuesta el va-lor numérico obtenido, en este caso, igual a 1.

Sin olvidar que la radicación fue un contenido que – de acuerdo a lo manifestado por los profesores – presenta muchas dificultades para los estudiantes, retomamos la problemática con una situación semejante a la planteada en el apartado k del ejercicio 1. Así, propusimos hallar una respuesta a:

e) =+14425

� 13 � 17 � 169 � Otra:........... � No lo sé

Esta vez, un mayor número de alumnos cometieron errores en la resolución, puesto que 98 estudiantes (36%) se equivocan, siendo que 64 alumnos (23%) habían errado cuando el ejercicio no presentaba múl-tiples opciones.

También se incrementó la cantidad de alumnos que dieron por válida la distributividad de la radicación con respecto a la suma, esto es

baba +=+ , en tanto 51 alumnos (52%) marcaron como respuesta válida al 17, obtenido como:

171251442514425 =+=+=+

Como caso notable, hallamos que 27 estudiantes (28%) no iden-tificaron la semántica de la operación y marcaron al 169 como respues-ta. No obstante, a través de las entrevistas pudimos rescatar que desco-nocen los cuadrados perfectos mayores a 100, lo que sumado a la impo-sibilidad de contar con una calculadora durante el desarrollo de la eva-luación, hizo perder de vista el objetivo del ejercicio.


75

Siguiendo la línea de las dificultades que presentan los alumnos cuando trabajan con la radicación, también planteamos la resolución de una raíz con radicando negativo e índice impar, en tanto buscábamos detectar si los estudiantes aún persisten en recuperar un esquema previo, como lo es la ausencia de solución en el campo de los reales para la radicación de índice par y radicando negativo. Así, propusimos resolver:

j) 3 27−

� 9− � 3± � No tiene solución en R � Otra:.... � No lo sé

Puesto que la respuesta a la situación no se encontraba entre las opciones presentadas y los alumnos debían indicar en “Otra” la solu-ción, encontramos que 197 alumnos (72%) desacertaron con la respues-ta. Como patrones de error más notables tenemos:

• 86 estudiantes (44%) no identifican la semántica de la ope-ración y la asocian con la radicación de índice par y radi-cando positivo, por lo que dieron por respuesta a ± 3.

• 80 estudiantes (41%) recuperan el esquema previo n a , con n par y a < 0 cuando el contexto se ha modificado, argu-mentando que no tiene solución en el conjunto de los núme-ros reales.

Para finalizar la búsqueda de errores presentes en la radicación, planteamos la búsqueda de una expresión equivalente a una raíz, donde mediaba la extracción de factores del signo radical. El ejercicio propues-to fue el siguiente:

m) Una expresión equivalente a 52

1es:

� 2

14 �

2

1

4

1 �

21

21

� Otra:.............. � No lo sé

Capítulo 3 76

Un total de 232 estudiantes (85%) se equivocaron en marcar una respuesta adecuada, y hallamos que:

• 114 estudiantes (49%) no dieron una respuesta, en tanto ca-recían de conocimientos previos suficientes para procesar la información.

• 46 estudiantes (20%) no lograron identificar la respuesta co-rrecta, evidenciando deficiencias en el aprendizaje de hechos, destrezas y conceptos previos que interfirieron en el procesamiento de la información, en tanto desconocían el algoritmo de extracción de factores de un radical y propu-

sieron como respuesta alternativa a 32

1.

• 27 estudiantes (12 %) brindaron la respuesta que pronosti-

caban los profesores, esto es: 2

14 , puesto que aplican la

extracción de factores del signo radical a 25, no percatándo-se que se encontraba en el denominador de la expresión.

También fue marcado insistentemente por los profesores entre-vistados, la dificultad que presentan los alumnos para “despejar” varia-bles de fórmulas o hallar expresiones equivalentes a una dada; en conse-cuencia, propusimos como situación el siguiente ejercicio:

f) Si 21

=+ yx

¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalen-

te a ella?

� 211

=+yx

� 2

1=+ yx � 1=2x+y � ( )yx +

=2

10 � No lo sé

De los 258 estudiantes (95%) que respondieron con errores, 180

(70%) infiere la validez dec

a

b

a

cb

a+=

+, presumiblemente derivada del

esquema previo c

b

c

a

c

ba+=

+. De esta forma, marcan como expresión

equivalente a: 211

=+yx

.


77

Centrándonos nuevamente en operaciones con polinomios – contenido que se encuentra en el Ciclo de Especialización – planteamos resolver una potencia de otra potencia, en tanto conjeturábamos que los estudiantes no interpretarían la semántica de la operación y la asociarían con productos de potencias de igual base. De esta forma, sugerimos resolver:

g) ( ) =32x

� 3x2 � 5x � 6x � Otra:............ � No lo sé

De los 59 (22%) estudiantes que marcaron respuestas equivoca-

das, el 86% (51 alumnos) dieron por válido que ( ) cbcbcb aaaa +== . , haciendo legítima nuestra conjetura.

Tomando los contenidos de Geometría, los profesores señalaron que los alumnos presentaban dificultades, esencialmente en la identifi-cación de figuras planas por sus propiedades, o en el reconocimiento de algunas líneas notables de los triángulos. Como actividades referentes a estos temas, propusimos las siguientes situaciones:

h) Si un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo rec-to ¿Cuál o cuáles de las siguientes figuras responden a la de-finición?

�

�

�

�

� No lo

sé

k) ¿En qué caso/s se ha tomado correctamente la altura (h) del triángulo?

�

�

�

�

� No lo

sé h

h h h

Capítulo 3 78

ñ) Si decimos que un rombo es el cuadrilátero que tiene sus cuatro lados congruentes. ¿Cuál o cuáles de las siguientes fi-guras responden a esta definición?

�

�

�

�

� No lo sé

Al tratar de reconocer una figura plana por definición o propie-dad (ejercicio h), encontramos que si bien sólo 9 alumnos (3%) no reco-nocieron como triángulo rectángulo a la primera figura presentada, 57 alumnos (21%) no identificaron a la tercera, siendo que los triángulos difieren en su posición relativa (el primero presenta el ángulo recto a la izquierda y el segundo lo tiene a la derecha).

Tal como era previsto por los profesores, 231 estudiantes (85%) no reconocieron al triángulo rectángulo que presentaba su ángulo recto en la parte superior, lo que denota dificultades en los alumnos para ob-tener información espacial o para pensar mediante imágenes. Asimismo, en las entrevistas pudimos constatar que los alumnos asumen que la condición de triángulo rectángulo no sólo incluye la presencia de un ángulo recto, sino también, que se encuentre presentado bajo determina-da posición en el plano de la hoja. Si bien 42 alumnos (15 %) reconocie-ron a este triángulo rectángulo, sólo 36 alumnos (13%) realizaron co-rrectamente el ejercicio, mientras que 237 (87%) lo hizo con errores.

Esta dificultad para obtener información a través de imágenes también se puso de manifiesto cuando en el ejercicio ñ se propuso reco-nocer a un rombo entre las figuras dadas, en tanto 210 alumnos (77%) no identificaron al cuadrado como tal. Asimismo, el número de alumnos que reconocen al rombo como figura aumentó gradualmente a medida que la posición relativa en la que se lo presentó se aproximó a la tradi-cional (con una diagonal mayor vertical y una diagonal menor horizon-tal). Así tenemos que 133 alumnos (49%) no lo reconocieron cuando adoptó la posición en la que tradicionalmente se dibuja a un paralelo-gramo y sólo 16 alumnos (6%) no lo reconocieron en esta posición es-tándar.


79

Coincidiendo casi con los resultados del ejercicio anterior, 31 alumnos (11%) son los que realizaron correctamente el reconocimiento de las figuras.

Cuando se pidió identificar en qué casos se había trazado ade-cuadamente una altura de un triángulo, aumentó la cantidad de alumnos que hicieron un reconocimiento correcto de la situación – con respecto a los dos ejercicios anteriores sobre Geometría – en tanto 78 estudiantes (29%) realizaron acertadamente el ejercicio. No obstante, es de destacar que 149 alumnos (55%) no reconocen la altura del triángulo cuando el segmento que la representa es exterior a la figura (caso 1), lo que se condice con los 115 alumnos (42%) que reconocieron la altura del trián-gulo sólo cuando el segmento que la representa es interior a la figura y los 33 estudiantes (12%) que señalaron correctamente las alturas cuando los segmentos sólo eran interiores (caso 3 y 4). Esta situación nos mues-tra que los alumnos perciben la altura de un triángulo no sólo como el segmento que une perpendicularmente un vértice y su lado opuesto (o su prolongación), sino también, como interior a la figura.

El último apartado que nos resta por analizar para este ejercicio, se relaciona estrictamente con la dificultad que presentan los alumnos para hacer traducciones de un lenguaje natural a otro más formal o ma-temático. Esta deficiencia fue señalada con mayor agudeza por los pro-fesores que ejercen en el Ciclo de Especialización, en tanto distinguían que la misma produce obstáculos cuando los estudiantes resuelven pro-blemas mediante ecuaciones. Como situación relativa al tema propusi-mos:

o) Si x denota la edad de María e y la edad de Juan ¿Qué expre-sión traduce al lenguaje simbólico la frase: “La edad de Ma-ría es el doble de la edad de Juan”?

� yx =2 � 2+= yx � yx 2= � Otra:........ � No lo sé

De los 139 alumnos (51%) que indicaron equivocadamente la respuesta, el 89% de ellos (124 estudiantes en total) señalan como co-rrecta a: “2x = y” en tanto traducen:

Capítulo 3 80

“La edad de María es el doble de la edad de Juan”

Esta respuesta mostró total coincidencia con las que formulaban los alumnos de sexto año del Ciclo de Especialización cuando pusimos a prueba el instrumento – el cual no tuvo múltiples opciones – y con las conjeturas realizadas por los profesores.

Ejercicio Nº 4

El ejercicio 4 tuvo por objetivo principal determinar el grado de dificultad que presenta para los alumnos obtener información a través de una imagen. Los profesores entrevistados argumentaban que era habi-tual que al estudiante se le diera información para representarla gráfica-mente, lo cual podía hacerse sin inconveniente en la mayoría de los ca-sos, pero la complicación aparecía cuando se solicitaba el camino inver-so. Con este objetivo, propusimos el siguiente ejercicio:

4) Representa en la siguiente recta graduada los puntos A, B, C, D y E que corresponden a los valores indicados. [Ayuda: Debes tener en cuenta la información suministrada en la recta gra-duada]

A = a/2 B = 2b C = a + b D = a – b E = b – a

El ejercicio propuesto, que es habitual encontrarlo en cursos del CBU asignando previamente el valor a cada constante – llevó a que 193 alumnos (71%) presentaran errores en las respuestas y sólo 80 alumnos (29%) lo resolvieran correctamente. Haciendo un análisis para cada uno de los puntos que debían localizar en la recta numérica tenemos:

• Para la localización de A = a/2, 101 estudiantes (37%) pre-sentaron errores, donde predominó la ausencia de respuesta,

2x y

0 a b


81

en tanto 59 de ellos (58%) no supieron qué hacer. Aparecie-ron algunos patrones de error que devienen de considerar el valor de “a” equivalente a una unidad de medida de la recta numérica, o la falta de interpretación de la semántica de la operación, asociándola con suma, resta o multiplicación, y no con una división.

• Para la localización de B = 2b, 113 estudiantes (41%) presen-taron errores, donde el 50 % (56 alumnos) no dieron respues-tas. Entre los restantes apareció como patrón de error más no-table la falta de interpretación de la semántica de la opera-ción, pues si bien extraen correctamente la información ( )4−=b , la operación se redujo a B = 2 – 4 = – 2, cuando en realidad correspondía a B = 2*(– 4) = – 8.

• Para la localización de C = a + b, 162 alumnos (59%) pre-sentaron errores, con 80 estudiantes (49%) que no responden y se reconoce como patrón de error más notable, en el 23% de los casos (37 estudiantes), el haber considerado el valor absoluto de las constantes a y b en la operación solicitada. Es decir, asumieron que la constante b tomaba el valor 4, cuando en realidad es el opuesto.

• Para la localización de D = a – b, 175 alumnos (64%) come-tieron errores, donde 82 estudiantes (47%) no dieron respues-tas y el 34 % (59 estudiantes) asumen nuevamente como vá-lido que la constante b era positiva.

• Para la localización de E = b – a, 163 alumnos (60%) come-tieron errores, donde 89 alumnos (55%) no responden, y se presentan errores que devienen de considerar a las constantes con valores positivos, y asumiéndose por válida la conmuta-tividad de la resta (a – b = b – a).

Ejercicio Nº 5

Con el ejercicio 5 se trató de determinar si los alumnos leen una consigna para un ejercicio, y si aplican fórmulas o algoritmos a estructu-

Capítulo 3 82

ras para las cuales no son válidas. De esta forma presentamos el siguien-te ejercicio:

5) Encuentra el o los valores de x que satisfacen la ecua-ción: 462 −=−+ xx . Ayuda: Recuerda que si ax2+bx+c=0 entonces las raíces

pueden obtenerse mediante la expresión a

acbb

2

42 −±−.

Sorprendentemente 210 alumnos (77%) no pudieron arribar a una respuesta para el ejercicio, donde se reconocieron los siguientes patrones de error:

• 80 alumnos (38%) denotaron deficiencias en el aprendizaje de hechos, destrezas y conceptos previos que inhibieron el procesamiento de la información, por lo que dejaron sin hacer el ejercicio. A esta cantidad de alumnos debemos agre-gar otros 23 estudiantes (11%) que dejaron incompleto el ejercicio, sin arribar a una solución concreta.

• 58 alumnos (28%) infieren la validez del cálculo de raíces en ecuaciones polinómicas de segundo grado mediante la fórmu-

la a

acbb

2

42 −±−, aún cuando el contexto se vio modificado

o no era válido ( 02 ≠++ cbxax ). En este caso, aplicaron la fórmula al primer miembro de la igualdad, descartando el segundo miembro.

• 49 alumnos (23%) llegan a los resultados más variados, mos-trando deficiencias en el aprendizaje de hechos, destrezas y conceptos previos que interfirieron en el procesamiento de la información. En la mayoría de los casos, también aplicaron la fórmula sugerida sólo al primer miembro de la ecuación y descartaron el segundo miembro, fusionando en la resolución las dificultades que presentan en la operatoria con números reales.

Es de destacar que en ninguno de los casos los alumnos realiza-ron un análisis retrospectivo de la solución, aún entre quienes lo resol-


83

vieron correctamente, que permitiera determinar si la respuesta era co-rrecta. Simplemente se limitaron a la aplicación de la fórmula propuesta.

Ejercicio Nº 6

Con un objetivo muy similar al planteado para el ejercicio 4, es-to es, determinar el grado de dificultad que presentan para los alumnos obtener información a través de una imagen, propusimos el análisis de información gráfica procedente de aplicaciones lineales; contenido que se encuentra ubicado principalmente en el Ciclo de Especialización. De esta manera, presentamos la siguiente situación problemática:

6) Observa la siguiente gráfica, la cual representa el costo en función del tiempo de 5 llamadas telefónicas interurbanas, y luego responde:

¿Quién ha llamado más lejos?

¿Quién ha llamado más cerca?

¿Qué llamadas se han reali-zado a una misma distancia o zona?

Explica dónde situarías una llamada telefónica efectuada al mismo lugar de llamada de D pero con un tiempo de duración el doble que ésta.

La elección de la situación devino del hecho que los alumnos aspiraban a ingresar a las Carreras de Ciencias Económicas y procedían de orientaciones relacionadas con las mismas, por lo que se esperaba hubiesen analizado información gráfica de este tipo en distintos espacios curriculares afines a la orientación, no solamente en Matemática.

Sólo el 10% de los alumnos (27 estudiantes) resolvieron correc-tamente la situación, y entre quienes equivocaron sus respuestas hemos distinguido: 129 alumnos (47%) que fallaron en todos los apartados que

A

D

C

B

E

Tiempo

Cos

to

Capítulo 3 84

proponía la situación problemática; 103 alumnos (38%) no ofrecieron una respuesta correcta para algunos ítems, y 14 alumnos (5%) dejaron sin hacer el ejercicio.

Haciendo un análisis más detallado de cada uno de los apartados del ejercicio hemos encontrado que:

• Cuando se les preguntó: “¿Quién ha llamado más lejos?”, 165 estudiantes (60%) no responden correctamente, identifi-cándose como patrones de error característicos:

o 75 alumnos (45%) asocian que el punto más alejado del origen de coordenadas corresponde a la condi-ción “llamó más lejos”.

o 72 alumnos (44%) asocian que los puntos más ale-jados de los ejes coordenados corresponden a la condición “llamó más lejos”, aunque mayoritaria-mente (47 estudiantes) lo piensan más alejado del eje de las abscisas.

• Cuando se les preguntó: “¿Quién ha llamado más cerca?”, se elevó a 199 (73%) el número de alumnos que no respon-den correctamente, con patrones de error tales como:

o 109 alumnos (55%) asocian que el punto más cer-cano al origen de coordenadas corresponde a la condición “llamó más cerca”.

o 68 alumnos (34%) asocian que los puntos más cer-canos a los ejes coordenados corresponden a la condición “llamó más cerca”, aunque la mayoría (46 estudiantes) lo piensan más cercano al eje de las abscisas.

• Cuando se les preguntó: “¿Qué llamadas se han realizado a una misma distancia o zona?”, 232 alumnos (85%) no res-pondieron correctamente, con una clara tendencia a locali-zar pares de puntos que se hallaban sobre una misma recta horizontal o vertical, tal como se detalla a continuación:


85

o 87 alumnos (38%) asocian que los pares de puntos localizados sobre una misma recta horizontal co-rresponden a la condición solicitada.

o 55 alumnos (24%) asocian que los pares de puntos localizados sobre una misma recta vertical corres-ponden a la condición solicitada.

o 33 alumnos (14%) asocian que corresponden a la condición indicada sólo un par de puntos, el cual se halla localizado sobre una misma recta horizontal o vertical.

• En la explicación del lugar donde situarían una llamada tele-fónica efectuada al mismo lugar de llamada de D, pero con un tiempo de duración el doble que ésta, un total de 209 alumnos (77%) dan respuestas erróneas a la situación. Entre ellos, 143 alumnos (68%) evaluaron la modificación de una sola de las coordenadas, con una importante tendencia (97 alumnos) a considerar solamente el doble de tiempo y el mismo costo.

Ejercicio Nº 7

Retomando la finalidad perseguida en el apartado “o” del ejerci-cio 3 sobre las dificultades que presentan los alumnos para hacer traduc-ciones de un lenguaje natural a otro más formal, propusimos una nueva frase para traducir, aunque en esta oportunidad con un mayor grado de libertad, puesto que no se brindaron respuestas alternativas.

7) Si x denota el importe por ventas de la compañía A e y el im-porte por ventas de la compañía B ¿Cuál sería la expresión que simboliza la frase: “La compañía A vendió un 25% más que la compañía B”?

Increíblemente el número de alumnos que dieron respuestas erróneas se elevó considerablemente y alcanzó el 96% del grupo (261 estudiantes) – anteriormente habían errado 139 alumnos (51%) – con respuestas muy variadas y disímiles.

Capítulo 3 86

También sorprendió que en las respuestas vertidas no todos los alumnos utilizaran las variables “x” e “y” como se sugería en la situa-ción y se limitaran estrictamente a relacionar sólo con los signos de menor o mayor a números, o expresiones que incluían las letras A y B que aparecían en la frase.

Algunos patrones de error los vislumbramos en la falta de com-prensión del concepto de porcentaje, puesto que los alumnos incluyeron en las respuestas al “25%”, tal como aparece en la frase y sin ser vincu-lado a una cantidad.

Ejercicio Nº 8

El último ejercicio propuesto en la evaluación apuntó a determi-nar si los alumnos resuelven las situaciones problemáticas utilizando todos los datos que aparecen en el problema, y si hacen un manejo ade-cuado de las unidades de medida. Así, planteamos el siguiente proble-ma:

8) A una habitación de 5 metros de largo, 4 metros de ancho y 3 metros de alto se le quiere colocar alfombra en el piso ¿Cuánto es necesario comprar?

La resolución de esta simple situación problemática dio como resultado que 139 alumnos (51%) no ofrecieran una respuesta adecuada, cuyos patrones de error habían sido previstos acertadamente por los profesores entrevistados, puesto que:

• 115 estudiantes (53%) hacen un manejo inadecuado de las unidades involucradas, ofreciendo como respuesta, casi la to-talidad de ellos, una cantidad que denota una longitud y no una superficie (20 m).

• 38 estudiantes (18%) mostraron deficiencias en la traducción del lenguaje natural a un esquema más formal en el lenguaje matemático, asumiendo que “todos” los datos de un proble-ma deben ser utilizados, por lo que brindaron respuestas tales como 60, 60 m, 60 m2 o 60 m3.


87

Análisis de los ítems sin respuesta

Es de destacar que no se presentaron evaluaciones o ejercicios totalmente sin respuestas. No obstante, si aceptamos como hecho que no responder a un ejercicio o situación problemática de la evaluación, el alumno estaría mostrando la ausencia de conocimientos previos – los cuales supuestamente estaban garantizados en su formación matemática pues han sido establecidos en los Contenidos Básicos Comunes para el Nivel Medio – resulta oportuno analizar este incidente en nuestra inves-tigación.

Para ello, hemos agrupado los diferentes ejercicios de la prueba administrada a los estudiantes por contenido matemático, de acuerdo a la clasificación que hicimos cuando diagramamos el instrumento, aun-que centramos nuestra atención en los ejercicios que no presentaron respuestas, y sistematizamos la información en un cuadro.

El cuadro contempla la cantidad de ejercicios relativos a cada tema que presentó la evaluación, el número de ejercicios que quedaron sin respuestas y los que presentaron errores. Asimismo, completamos la información indicando la razón, expresada en porcentaje, entre el núme-ro de ejercicios que no tuvieron respuestas y el total de ejercicios que presentaron errores; y el número de ejercicios que no tuvieron respues-tas con relación a la evaluación general. Estas razones estarían reflejan-do la incidencia que tuvieron los ejercicios sin respuestas – o errores debidos a la ausencia de conocimientos previos – sobre el total de erro-res cometidos por cada ejercicio, por un lado, y sobre el total de ejerci-cios que conformó la evaluación administrada a los estudiantes, por el otro.

A continuación, mostramos la información sistematizada de acuerdo a las pautas descriptas anteriormente:

Capítulo 3 88C

iclo

Contenido matemático del ejercicio

Can

tida

d de

eje

rcic

ios

rela

-ti

vos

a ca

da te

ma

y po

r ev

a-lu

ació

n

Tot

al d

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erci

cios

sin

res

-pu

esta

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toda

s la

s ev

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Tot

al d

e ej

erci

cios

con

err

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s en

toda

s la

s ev

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Rel

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n en

tre

ejer

cici

os s

in

resp

uest

as y

eje

rcic

ios

con

erro

res

Rel

ació

n en

tre

ejer

cici

os s

in

resp

uest

as y

eje

rcic

ios

pro-

pues

tos

Suma, resta y potenciación con Enteros 5 13 444 3% 1%

Radicación de Números Ente-ros 1 7 197 4% 3%

Representación gráfica de operaciones en Z 5 366 714 51% 27%

Operaciones con Números Racionales 2 43 232 19% 8%

Simplificación de Números Racionales 1 1 39 3% 0%

Conversión de Decimales a Fracciones 1 30 135 22% 11%

Figuras en el Plano 2 17 479 4% 3%

Propiedades de los Triángulos 1 9 195 5% 3%

Cic

lo B

ásic

o U

nifi

cado

Áreas y Sistema Métrico De-cimal 1 34 206 17% 12%

Potenciación con base y expo-nente racional 3 143 568 25% 17%

Operaciones con Radicales 5 267 757 35% 20%

Ecuaciones Lineales 3 114 387 29% 14%

Operaciones con Polinomios 6 36 697 5% 2%

Operaciones con Expresiones Algebraicas 2 76 462 16% 14%

Problemas con Ecuaciones Lineales 2 79 310 25% 14%

Aplicaciones Lineales 4 120 805 15% 11%

Cic

lo d

e E

spec

ializ

ació

n

Ecuaciones de Segundo Grado 1 80 210 38% 29%


89

Analizando los contenidos que quedaron sin respuestas, relati-vos al CBU, hallamos que la mayor dificultad se presentó en la decodi-ficación de información gráfica. En este sentido, el mayor obstáculo con el que se encontraron los alumnos se suscitó cuando no pudieron deter-minar el valor que simbolizaban distintas constantes en la representa-ción que incluía la situación; en este caso, una recta numérica donde se indicaba sólo la posición de dos literales, de las que se debía obtener su valor relativo y posteriormente efectuar una operación algebraica ele-mental.

Otro contenido que presentó dificultades a los alumnos, lleván-dolos a no responder a los ejercicios propuestos, deviene de la conver-sión de decimales a fracciones. La mayoría de los estudiantes entrevis-tados sobre este ejercicio argumentaron que no recordaban el algoritmo de transformación de decimales a fracciones, y justificaban de esa ma-nera la ausencia de respuesta. No obstante, consideramos que el mayor obstáculo se presentó por no identificarse el significado atribuido a un número racional – cociente entre dos números enteros– lo que imposibi-litó que hallaran equivalencias entre las opciones que se presentaban.

Finalmente, rescatamos como otro contenido que suscitó dificul-tades, la resolución de problemas en el que intervienen áreas de figuras planas y unidades de medida. De acuerdo a las entrevistas realizadas, el obstáculo se presentó cuando no se pudo identificar el tratamiento que debía efectuársele a los datos del problema, en tanto no se distinguía si se trataba de un “problema de volumen” o un “problema de áreas”, y fundamentalmente porque no se recordaban las “fórmulas” que involu-craba la situación.

En cuanto a contenidos matemáticos desarrollados esencialmen-te en el Ciclo de Especialización, el mayor número de ejercicios sin respuestas se presentó en la resolución de una ecuación de segundo gra-do. Si analizamos en detalles el ejercicio propuesto4, podemos constatar

4 Encuentra él o los valores de x que satisfacen la ecuación: x2 + x – 6 = – 4. Ayuda: Recuerda que si ax2+bx+c=0 entonces las raíces pueden obtenerse me-

diante la expresión a

acbb

2

42 −±− .

Capítulo 3 90

que solamente se pedía realizar una lectura comprensiva de una situa-ción y la aplicación de una fórmula de cálculo con operaciones básicas abordadas en años anteriores. No obstante, de acuerdo a las entrevistas realizadas, consideramos que la dificultad se presentó por actitudes ne-gativas y emocionales hacia la Matemática – asociadas fundamental-mente a la ansiedad y el miedo – en tanto argumentaban que el tema siempre les había resultado difícil de entender, que se equivocaban fre-cuentemente y que no lo entendían.

También, la falta de respuestas fue notable en los ejercicios que involucraron la potenciación con base y exponente racional, y las opera-ciones con radicales. Creemos que el obstáculo se debió fundamental-mente a la complejidad que presenta el propio contenido matemático, en tanto los ejercicios incluyeron intencionalmente diferentes formas de expresar una operación matemática (exponentes fraccionarios y/o nega-tivos, radicación de sumas y/o restas, etc.) que generaron diferentes conflictos asociados a la comprensión y comunicación de los objetos matemáticos. Estos conflictos, conjugados con la ausencia de algunos conocimientos previos – principalmente las equivalencias en la forma de representar una raíz – llevó a que muchos alumnos saltearan la situación propuesta.

Por último, también fue notable la falta de respuestas a las situa-ciones que implicaron el trabajo con ecuaciones lineales, y en las tra-ducciones a una ecuación lineal de expresiones dadas en lenguaje colo-quial. Nuevamente creemos que el obstáculo está asociado a la comple-jidad de los objetos matemáticos involucrados, en tanto los alumnos no comprenden el significado que tienen las expresiones que combinan el uso de números y letras, y el lenguaje matemático no les resulta fácil-mente homologable al lenguaje natural que utilizan, por lo que les gene-ra conflictos en la comunicación de significados.

Análisis de respuestas por categorías de error

Si consideramos los errores globales cometidos en la evalua-ción, podemos observar que prevalecieron aquellos que devienen por inferencias o asociaciones incorrectas, y los que emergen ante las difi-cultades que presentan los alumnos para obtener información espacial. Asimismo, la ausencia de respuestas tuvo una incidencia importante, en


91

tanto representó el 21% de la evaluación total. Por otra parte, la simpli-cidad de las situaciones propuestas condujo a que los errores causados por cálculos incorrectos o accidentales prácticamente no tuvieran inje-rencias en la prueba.

No obstante, si bien este análisis demasiado simplificado podría aportar algunos elementos para comenzar a interpretar algunas de las causas que conducen a los alumnos a cometer errores, consideramos apropiado efectuar un estudio más detallado por contenido matemático, tal como fue abordado en la sección anterior. Así, comenzamos por agrupar nuevamente los contenidos matemáticos por tema de estudio y expresamos el número de errores que hallamos por categoría de error, tal como lo mostramos en el siguiente cuadro:

9,14% Errores debidos a deficiencias en la construcción de

20,73% Errores debidos a la ausencia

de conocimientos previos

9,52% Errores debidos al lenguaje

matemático

0,49% Errores debidos a cálculos incorrectos o accidentales

27,43% Errores debidos a inferencias

o asociaciones incorrectas

24,28% Errores debidos a

dificultades para obtener información espacial

Distribución de errores por categoría de error

8,41% Errores debidos a la

recuperación de un esquema previo

Capítulo 3 92

Errores debidos:

Cic

lo

Contenido Matemático

Can

tidad

de

ejer

cici

os

rela

tivos

al t

ema

Al l

engu

aje

mat

emát

ico

A d

ific

ulta

des

para

ob

tene

r in

form

ació

n es

paci

al

A in

fere

ncia

s o

as

ocia

cion

es

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rrec

tas

A la

rec

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ació

n de

un

esqu

ema

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A c

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los

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rrec

tos

o ac

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es

A d

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ienc

ias

en la

co

nstr

ucci

ón d

e

cono

cim

ient

os p

revi

os

A la

aus

enci

a de

C

onoc

imie

ntos

pre

vios

Totales

Suma , resta y potenciación con Números Enteros

5 12 0 139 259 3 18 13 444

Radicación de Números Enteros 1 87 0 21 81 0 1 7 197

Representación gráfica de Números

Enteros 5 348 0 0 0 0 0 366 714

Operaciones con Números

Racionales 2 0 0 81 15 11 82 43 232

Simplificación de Números

Racionales 1 0 0 38 0 0 0 1 39

Conversión de decimales

A fracciones 1 0 0 27 78 0 0 30 135

Figuras en el plano 2 0 462 0 0 0 0 17 479

Propiedades de los Triángulos 1 0 186 0 0 0 0 9 195

Cic

lo B

ásic

o U

nifi

cado

Áreas planas Sistema Métrico

Decimal 1 0 0 0 0 0 172 34 206

Potenciación con base y exponente

racional 3 37 0 275 59 0 54 143 568

Operaciones con Radicales 5 27 0 239 58 20 146 267 757

Ecuaciones lineales 3 104 0 80 22 0 67 114 387

Operaciones con Polinomios 6 48 0 590 10 0 13 36 697

Operaciones con Expresiones Algebraicas

2 23 0 351 0 0 12 76 462

Problemas con Ecuaciones

Lineales 2 231 0 0 0 0 0 79 310

Aplicaciones Lineales 4 685 0 0 0 0 0 120 805

Cic

lo d

e E

spec

ializ

ació

n

Ecuaciones de Segundo Grado 1 0 0 58 0 0 72 80 210

Tabla Nº 2: Errores cometidos por categoría


93

Desagregando la información y analizando las categorías de error para cada uno de los temas que conformaron la evaluación, vemos que:

En el trabajo con números enteros, los errores más frecuente de-vienen de la recuperación de esquemas previos, como la regla de los signos de la multiplicación cuando se trataba de sumas y/o restas de números enteros y no de productos, o considerar que se tenía una base negativa con exponente par por lo que el resultado debía ser positivo (–24).

Asimismo, aparece un gran número de inferencias o asociacio-nes incorrectas en la potenciación con base entera y exponente cero, tales como: a0 = 0, a0 = a y (– a)0 = –1, cuando a es un entero positivo.

En cuanto a la radicación de números enteros, los errores más frecuentes se debieron al lenguaje matemático, por un lado, en tanto los estudiantes no identificaron correctamente la semántica de la operación propuesta ni el significado que tiene la misma, y a la recuperación de esquemas previos, por el otro, puesto que consideraron que se presenta-ba una raíz de índice par y radicando negativo.

Suma y resta con Números Enteros

3 % Errores debidos a la ausencia


1 % Errores debidos a cálculos incorrectos o accidentales

31 % Errores debidos a inferencias


3 % Errores debidos al lenguaje

matemático

58 % Errores debidos a la


4 % Errores debidos a deficiencias

en la construcción de conocimientos previos

Capítulo 3 94

En el trabajo de representación gráfica de números enteros, la dificultad se presentó por combinarse operaciones con letras por un lado, e interpretación de información codificada por el otro. Así, los errores más notables se presentaron por ausencia de conocimientos previos, lo que llevó a que los estudiantes no brindaran respuestas, y por el lenguaje matemático, en tanto no todos los alumnos comprenden que las letras representan números reales, las cuales están sometidas a las mismas leyes y propiedades de este cuerpo.

Radicación de Números Enteros






matemático





Representación gráfica de Números Enteros




matemático


95

En las operaciones con números racionales, se presentaron co-mo categorías de error más distintivas las inferencias o asociaciones incorrectas, las cuales devienen de considerarse al número cero como “representante de la nada” y se piensa que 0/4 = 4 ó 0/4 = 1/4; y a defi-ciencias en la construcción de conocimientos previos que inhibió dar una respuesta final a la fracción 0/4. También se presentaron errores causados por la ausencia de conocimientos previos, los cuales imposi-bilitaron la realización de los cálculos de suma entre números raciona-les, lo que fue justificado – por parte de los alumnos – con el hecho de no haberse permitido el uso de la calculadora para realizar las operacio-nes que proponía la evaluación.

Dentro de las “Operaciones con Números Racionales” tenemos la simplificación de fracciones como un subtema particular; y en el ejer-cicio propuesto encontramos que casi la totalidad de los errores cometi-dos fueron motivados por inferencias o asociaciones incorrectas, en tanto los alumnos asumieron que era posible dividir al numerador y denominador de una fracción por números distintos, perdiendo de esta manera la equivalencia entre las expresiones.

Operaciones con Números Racionales










Capítulo 3 96

Al planteárseles a los alumnos que buscaran equivalencias entre una expresión decimal y una fracción, los errores se presentaron esen-cialmente por la recuperación de un esquema previo, puesto que asu-

mieron que 9

233,2 =)

adquirido de 9

,0a

a =) ; ausencia de conocimientos

previos que inhibió la elaboración de una respuesta; y a inferencias o

asociaciones incorrectas derivadas de considerar que b

aba =, .

Con respecto a los contenidos de Geometría, sólo se plantearon ejercicios de reconocimiento de figuras geométricas planas teniendo en cuenta sus propiedades. El error más frecuente, y casi con exclusividad,

Simplificación de Números racionales








matemático



Conversión de decimales a fracciones


97

devino de dificultades para obtener información espacial, puesto que pareciera que los alumnos incluyen en la definición de cada construc-ción algo más que un ángulo recto para el triángulo rectángulo, o sus indefectibles lados iguales para el rombo. Daría la sensación, además, que junto a la definición de estas figuras ha quedado establecida una insólita condición que es totalmente ajena a ellas: la obligación de ser presentadas en una forma particular en el plano de la hoja, lo que es determinante, a su vez, para su clasificación y reconocimiento.

La dificultad para obtener información espacial también se pu-so de manifiesto cuando debieron identificar en qué casos el segmento trazado representaba correctamente la altura de un triángulo, puesto que asumieron implícitamente una condición extra a la definición: estar in-cluido en la figura.

Figuras en el plano



96 % Errores debidos a dificultades

para obtener información espacial

Propiedades de los triángulos



95 % Errores debidos a dificultades

para obtener información espacial

Capítulo 3 98

El último contenido que situamos en el CBU corresponde al cál-culo de áreas y su vinculación con el Sistema Métrico Decimal. Los errores que aparecieron en este ejercicio se presentaron por deficiencias en la construcción de conocimientos previos, donde apreciamos un manejo inadecuado en el tratamiento realizado a las unidades de medida y al cálculo de superficies planas. Estas dificultades no pudieron ser salvadas ni siquiera en las instancias de entrevistas que tuvimos con los alumnos, puesto que defendían sus respuestas argumentando que los cálculos eran correctos, restándole importancia a las unidades que invo-lucraba el problema presentado, o justificando que la multiplicación era correcta cuando estaban calculando un volumen y la situación pedía un área.

Situándonos en contenidos del Ciclo de Especialización, perci-bimos que ha ofrecido dificultad la potenciación con base y exponente racional, principalmente cuando el exponente es negativo. Como catego-ría de error predominante tenemos los errores por inferencias o asocia-ciones incorrectas, derivados de considerar que si el exponente es un entero negativo implica una multiplicación reiterada de factores negati-vos o la validez de la distributividad de la potencia con respecto a la suma o resta. Por otra parte, si el exponente de la potencia es una frac-ción negativa, se pensó que había que tomar inversos multiplicativos tanto de la base como del exponente.

Áreas planas y Sistema Métrico Decimal






99

A su vez, fue notable hallar errores debidos a la ausencia de conocimientos previos, derivados del desconocimiento que tenían los alumnos de las distintas representaciones que asume la potenciación

=

c bcb aa / , lo que imposibilitó la realización de los cálculos necesa-

rios que demandaba el ejercicio.

Cuando se plantearon situaciones que involucraron a la radica-ción, los errores más frecuentes se presentaron por inferencias o aso-ciaciones incorrectas, derivadas de considerarse válida la distributivi-dad de la raíz con respecto a la suma y/o resta, y por ausencia de cono-cimientos previos que interfirieron en el procesamiento de la informa-ción, ya sea para realizar una suma algebraica entre radicales y números enteros, o la extracción de factores del signo radical.

Potenciación con base y exponente racional






matemático





Operaciones con Radicales






matemático






Capítulo 3 100

Con respecto a Ecuaciones Lineales, si bien es un contenido que se aborda en el CBU, gran parte de los profesores entrevistados argu-mentaron que los desarrollos más importantes se presentan en el Ciclo de Especialización, razón por la cual situamos al tema en este último. Como categoría de error más distintiva encontramos la falta de respues-tas a las situaciones presentadas, derivada de la ausencia de conoci-mientos previos que inhibió el procesamiento de la información. Asi-mismo, fue notable la presencia de errores debidos al lenguaje matemá-tico, en tanto un número importante de estudiantes aún no logra identifi-car la semántica de las expresiones expuestas y confunden las operacio-nes que intervienen en cada término.

Al mismo tiempo, se presentó como una categoría de error apre-ciable las inferencias o asociaciones incorrectas, originadas por la creación por parte de los alumnos de nuevas “reglas” de transposición de términos a partir de las que conocían.

Trabajando con Polinomios, sobresalió como categoría de error más distintiva las inferencias o asociaciones incorrectas, las cuales se presentaron por considerarse que una potencia es distributiva con res-pecto a la suma y/o resta de expresiones; que afecta sólo a uno de los factores si se trata de una multiplicación; que los exponentes se suman en potencias de otras potencias; o que sumar literales es equivalente a multiplicarlos.

Ecuaciones lineales






matemático






101

Continuando con un tópico estrictamente relacionado con el an-

terior, como lo son las expresiones algebraicas, nuevamente se presentó como categoría destacada los errores debidos a inferencias o asociacio-nes incorrectas, que devienen, en este caso, de aceptarse como válida la distributividad a derecha de la división con respecto a la suma algebrai-ca. Asimismo, asumen que el denominador de una fracción sólo divide a uno de los sumandos que interviene en el numerador, y no a todos ellos.

Operaciones con Polinomios






matemático





Operaciones con Expresiones Algebraicas


matemático







Capítulo 3 102

Las situaciones problemáticas que involucraron ecuaciones li-neales produjeron, como categoría de error principal, errores derivados del lenguaje matemático, los cuales surgieron por intentar traducir hechos matemáticos descriptos en un lenguaje natural a otro más formal mediante expresiones que vinculaban números con literales.

Esta misma categoría de error se presentó en la situación pro-blemática que comprendió el análisis de información gráfica procedente de aplicaciones lineales. La tarea de interpretación obligó a los alumnos a salirse del gráfico y pensar en una situación real. Esto implicó una traducción, ya que exigió un cambio de código, pasando de uno gráfico a otro verbal. No obstante, los estudiantes no hicieron una interpretación global de la gráfica del problema y confundieron expresiones como “el punto más alejado” con “el que llamó más lejos”, o “el punto más cer-cano” con “el que llamó más cerca”, entre otras.

Problemas con Ecuaciones Lineales




matemático

Aplicaciones Lineales




matemático


103

Ante la resolución de ecuaciones de segundo grado, las catego-rías de errores que prevalecieron devienen de la ausencia de conoci-mientos previos que inhibieron todo tipo de respuesta, de las deficien-cias en la construcción de conocimientos previos que llevaron a las respuestas más inverosímiles, y a las inferencias o asociaciones inco-rrectas, producto de considerarse válida la fórmula utilizada para el cálculo de resolución, en contextos que se ven modificados (ecuaciones de segundo grado no igualadas a cero).

Finalmente, cabe aclarar que si tenemos en cuenta todas las res-puestas erróneas expuestas por los alumnos en la evaluación, vemos que no existieron evaluaciones que se despojaran de ellas, o que estuvieran totalmente erradas. Esta apreciación la podemos ver reflejada en la si-guiente gráfica que relaciona la cantidad de evaluaciones con el porcen-taje de error que tuvieron las mismas.

Ecuaciones de Segundo Grado







Std. Dev = 17,63 Mean = 56,1 N = 273,00

Porcentaje total de error en las evaluaciones

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

70

60

50

40

30

20

10

0

Can

tidad

de

eval

uaci

ones

C

anti

dad

de e

valu

acio

nes

Porcentaje total de error en las evaluaciones

Capítulo 3 104

En el próximo capítulo, retomamos el análisis efectuado hasta el momento, intentando establecer vínculos con las investigaciones de-sarrolladas sobre el tema, a fin de dar respuesta a nuestra tercera pregun-ta directriz, esto es, posibles causas que estarían conduciendo a cometer errores en Matemática a los alumnos egresados del Nivel Medio.


105

Causas y motivos posibles de la permanencia de errores y dificultades en Matemática

En el presente capítulo discutiremos los resultados que detalla-mos en la sección anterior, los cuales tuvieron por finalidad determinar los errores que habían sido señalados por los Profesores de Matemática y que aún persisten en el aprendizaje logrado por los alumnos cuando ingresan a la Universidad.

El análisis que llevamos a cabo de las categorías de errores que prevalecen en los diferentes contenidos matemáticos, abordados en el Ciclo Básico Unificado y Ciclo de Especialización del Nivel Medio, también nos permitió establecer una primera aproximación a las posi-bles causas que llevan a los alumnos a cometer sistemáticamente estas equivocaciones, tal como lo establece nuestra tercera pregunta directriz de investigación, la cual fue enunciada del siguiente modo:

¿Cuáles son las causas y motivos posibles que pudieran hacer prevalecer en los alumnos ciertos errores en el aprendizaje logrado en Matemática?

No obstante, el análisis realizado hasta el momento está incom-pleto, por lo que se hace necesario profundizarlo. Para ello, efectuare-mos algunas convergencias entre los resultados obtenidos en el capítulo precedente, las conclusiones difundidas en las investigaciones consulta-das sobre el tema, y las explicaciones aportadas por los Profesores de Matemática entrevistados.

Para el análisis de las causas y motivos que propician la apari-ción de errores en Matemática, hemos considerado los ejes temáticos abordados en cada uno de los diferentes ejercicios de la Evaluación de Conocimientos Previos – de acuerdo a la clasificación que hicimos cuando diagramamos el instrumento – los cuales fueron agrupados en contenidos matemáticos más generales. De esta manera, hemos diferen-ciado los siguientes tópicos:

Números Enteros.

Números Racionales.

Capítulo 4 106

Números Reales.

Ecuaciones.

Funciones.

Polinomios y Expresiones Algebraicas.

Geometría Plana.

Medida de Magnitudes.

Para cada contenido sintetizamos brevemente las categorías de error que predominaron en la evaluación administrada a los alumnos, estableciendo nexos con las reflexiones derivadas del análisis documen-tal y de las entrevistas llevadas a cabo con los Profesores de Matemáti-ca. Asimismo, dedicamos una sección a las actitudes negativas que pre-sentan muchos de los alumnos hacia la Matemática, como una causa más que desencadena errores y dificultades en el aprendizaje de la dis-ciplina.

En Números Enteros

Desde los inicios históricos de la Matemática podemos encon-trar reflexiones acerca de las dificultades que pueden generar los núme-ros enteros – esencialmente en lo que atañe a los números negativos – para su comprensión y total aceptación. El reconocimiento y la legiti-mación de este campo numérico sufrió marchas y contramarchas duran-te un larguísimo proceso, requiriendo de mucho tiempo para que los matemáticos reconocieran, aceptaran y legitimaran los números negati-vos, por lo que no debería resultar tan extraño que los alumnos presen-ten dificultades a la hora de construir conocimientos en torno a ellos.

Los números negativos fueron aceptados, en un principio, en ca-lidad de artificios de cálculo, considerados como números ficticios, va-lores negados o, en el caso de ser soluciones de ecuaciones, como raíces falsas. Matemáticos de gran notoriedad y prestigio han dado testimonio de ello, argumentando que:

Descartes: No pueden existir números menores que la nada. Citado en González (1991, p 32).


107

Pascal: He conocido a algunos que no podían entender que al restar cuatro de cero quede cero. Citado en González (1991, p 32).

Carnot: –3 será menor que 2, mientras que (–3)2 será más grande que 22, es decir que entre dos cantidades desiguales el cuadrado de la más grande será menor que el cuadrado de la más pequeña, lo que está en contra de todas las ideas claras que se pueden formar de cantidad. Citado en González (1991, p. 39).

Esta resistencia se debió a que los negativos no surgieron de las experiencias de conteo y de medición, sino de la resolución de ecuacio-nes; en otras palabras, hicieron su aparición en la manipulación formal y carecieron de referente material. Con la Geometría Analítica y la Mecá-nica se les pudo encontrar una interpretación concreta: para la primera, como coordenadas de puntos, y para la segunda, como herramienta para expresar cantidades orientadas en sentido opuesto a una determinada. En consecuencia, pensamos que es natural que los estudiantes presenten resquemores hacia los números negativos y no siempre acepten amplia-mente su existencia. Sin embargo, creemos que es a la hora de introducir la operatoria entre ellos donde comienzan a aparecer los obstáculos y dificultades.

La suma es la operación que, en un principio y mientras no se introduzca la multiplicación, presenta menos dificultades. Los primeros conflictos comienzan a surgir – de acuerdo a lo manifestado por los profesores entrevistados – cuando se introduce la resta, más aún si se realiza bajo el enfoque que tradicionalmente se le ha dado a este tema: establecer que “restar es sumar el opuesto”, lo que matemáticamente puede resultar correcto pero didácticamente crea un inconveniente, puesto que no tiene ninguna significación para el alumno.

Por otro lado, con la presentación de la resta se exacerba otra di-ficultad: la multiplicidad de significado del símbolo “–”, en tanto puede ser considerado como operación, como signo de un número o bien como indicador del opuesto de un número, lo que genera equivocaciones que

Capítulo 4 108

favorecen la aparición de inferencias o asociaciones incorrectas, tal co-mo aconteció en las evaluaciones administradas.

Estas dificultades las hemos encontrado cuando los alumnos ar-

gumentaban que 42− debía ser positivo, en tanto creían que el signo “–” correspondía a la base de la potencia y no como indicador del opuesto de un número, o suponían redundante la presencia de dos signos negati-vos cuando sustituían el valor b = – 4 en la expresión a – b.

También notamos, tal como lo predecían los profesores, que al-gunos alumnos aplicaron la regla de los signos cuando en realidad se trataba de sumas y/o restas de números enteros, y no de productos. Cabe aclarar al respecto que la regla de los signos de la multiplicación es in-troducida, en la enseñanza formal, usualmente como una convención arbitraria para preservar el formalismo del cálculo, por lo que resulta una imposición para el alumno que sólo le resta memorizarla. En conse-cuencia, la preocupación por recordarla y aplicarla adecuadamente lo lleva a que en ocasiones no distinga las operaciones que están involu-cradas en una expresión y sólo perciba el esquema de ( )+=∗−− ó

( )−=∗−+ como una estructura inherente a la suma algebraica presente.

Es interesante observar que matemáticos famosos y prestigiosos, como es el caso de Euler, hicieron esfuerzos por demostrar “las reglas de los signos” y en tales esfuerzos daban argumentos muy confusos y que hoy en día sorprenderían por inconsistentes. Asimismo, Euler no sólo recurrió a interpretaciones concretas para sus explicaciones sino también a supuestos no justificados para demostrar que los resultados de las operaciones con negativos estaban predeterminados de antemano. Posiblemente este camino haya sido el que transitaron muchos de nues-tros alumnos cuando se les presentó por primera vez el tema, lo que genera al día de hoy obstáculos sobre la validez de las construcciones realizadas y se convierten en una fuente potencial de errores.

También termina siendo sólo una convención, para muchos alumnos, el hecho de que una potencia con base no nula y exponente cero de por resultado uno, por lo que al intentar resolver una situación de esta naturaleza, no siempre recuerdan aquella regla “instituida” en algún momento de su formación matemática. Usualmente apelan a justi-ficaciones que guardan cierto grado de coherencia interna con el razo-


109

namiento seguido, como el considerar que a0 = 0 pues “se multiplica cero veces la base”, pero que son inconsistentes para las leyes y propie-dades establecidas para los números enteros.

Durante las entrevistas que llevamos a cabo con los alumnos, percibimos que presentan un fuerte apego a las reglas y leyes de la Aritmética, que si bien son correctas matemáticamente, pensamos que un abuso de ellas puede llegar a ser contraproducente, puesto que coar-tan el desarrollo autónomo y crítico de los estudiantes y atentan contra la reflexión de los propios razonamientos. Creemos, además, que este ha sido uno de los motivos para que intentaran resolver la 3 27− apelando a reglas de resolución y no al concepto de raíz n-ésima de un número, y de esta forma aceptaban por válidas respuestas como ± 3 o que no tenía solución en el campo de los números reales.

Otra dificultad importante la hallamos cuando se combinaron operaciones con literales, por un lado, e interpretación de información codificada por el otro. Los alumnos tendieron a asignarle a cada cons-tante el valor absoluto del número que la representaba y prescindieron del signo negativo. Es llamativo observar que en los propios trabajos de Euler se simbolizaban los números negativos con una letra que represen-taba un número precedida del signo menos, lo que era coherente con la época pues en ese momento histórico un número, para ser considerado como tal, necesariamente debía ser positivo. Actualmente, muchos de nuestros alumnos aceptan implícitamente esta concepción – asumen que “a” representa un número positivo cualquiera y “– a” un número negati-vo – la que fue utilizada en la resolución del ejercicio propuesto sobre esta temática.

Finalmente, queremos destacar que gran parte de los errores que cometen nuestros alumnos con números enteros se remontan a obstácu-los epistemológicos que los propios matemáticos se enfrentaron y su-peraron a través de siglos de historia, lo que nos invita a reflexionar sobre las dificultades que este tema conlleva para el alumno.

Capítulo 4 110

En Números Racionales

Es sabido y manifestado por los Profesores de Matemática que la operatoria con números racionales origina una serie de dificultades para los alumnos, las que se extienden a lo largo de todos los años del Nivel Medio.

Una de estas dificultades comienza cuando el estudiante se ve enfrentado a que un mismo número admite múltiples representaciones.

De esta forma, debería ser natural que reconozcan que 0,75; 100

75; 75%;

4

3;

8

6;

12

9; ... son distintas representaciones de un mismo número y que

ninguna de ellas es mejor que las otras en términos genéricos. No obs-tante, esta acepción no está del todo clara para aquellos alumnos que equivocaron sus respuestas cuando debían indicar una fracción simplifi-

cada de 12

6, y señalaron erróneamente a

6

1 o

3

2; o los que consideraron

como equivalentes a 4

0, a los números

4

1 ó 4.

Es obvio que esta dificultad radica en la conceptualización misma del número racional, donde muchos de los alumnos aún no tienen un concepto claro de fracción, ni siquiera en un contexto muy concreto. Este inconveniente lo hemos visto emerger cuando los alumnos no fue-

ron capaces de encontrar una fracción equivalente a 3,2)

, o cuando tení-

an que dar un resultado final para el ejercicio que los conducía a 4

0. En

el primer caso creemos que el principal obstáculo se presentó porque pretendían recordar el algoritmo de transformación de expresiones de-

cimales a fracciones

−=

9

2233,2)

, esto es, intentaban recurrir a una

“regla” más entre las que manejaban; y en el segundo caso, porque in-tuían que algo particular debía ocurrir en el cociente entre 0 y 4, pero no recordaban con exactitud qué resultado arrojaba por la presencia del 0, o no lograban determinar si había una “propiedad” subyacente.

Otro error hallado en las evaluaciones se presentó en la operato-ria con fracciones, lo cual constituye, según los profesores entrevistados,


111

uno de los temas que también produce fracasos en el Ciclo Básico Uni-ficado, y se convierte en un obstáculo para el desarrollo de nuevos con-tenidos en el Ciclo de Especialización. A esta apreciación debemos agregarle la pérdida de significación que tienen, para muchos alumnos, las distintas operaciones con fracciones, las cuales resuelven en la ma-yoría de los casos por medio de algoritmos mecánicos con escasa base conceptual, y con la percepción de que algo artificioso está detrás de ellos. Al respecto, Dickson, Brown y Gibson (1991) expresan que:

Parece verosímil que los procedimientos computacionales para la ma-nipulación de fracciones son, pues, introducidos bastante prematura-mente y antes de haberlos cimentado suficientemente en situaciones concretas (...) Como proponen J. S. Brown y Van Lehn parece verosí-mil que la mayoría de los alumnos olviden parte de los procedimientos que les han enseñado y tratan de “repararlos”. Dado que en muchos casos apenas si existe una comprensión conceptual que oriente y sirva de ayuda, las “reparaciones” suelen contener pasos incoherentes con la estructura matemática y, por tanto, provocan errores. (pp, 326–330)

Precisamente esta situación ha sido la que se presentó cuando los alumnos debían realizar una sencilla suma de fracciones y no llega-ron a una respuesta coherente. Muchos de ellos estaban acostumbrados a realizar los cálculos mediante una calculadora, cuyo uso prolongado, conjugado con la ausencia u olvido de contenidos conceptuales sobre el tema, imposibilitó la reconstrucción del algoritmo de resolución.

Una vez más consideramos que el factor que condujo a estos errores se encuentra en la memorización de algoritmos o rutinas sin fundamentos teóricos, y en apelar a reglas poco trascendentes como requisitos indispensables para la ejecución de cálculos aritméticos, pues-to que inhiben toda posibilidad para que un concepto se convierta en un instrumento de pensamiento y favorezca el razonamiento matemático y crítico de los alumnos.

Capítulo 4 112

En Números Reales

Se hace necesario aclarar que hemos incluido dentro de la de-nominación “Errores con Números Reales” a las dificultades que pre-sentaron los alumnos en los ejercicios que planteaban, explícita o implí-citamente, la potenciación con exponente no natural, y las situaciones que exponían operaciones con radicales cuyo resultado no era un núme-ro entero. Si bien durante el Ciclo Básico Unificado se trabaja con po-tencias de base entera y exponente natural, la extensión del conjunto de variabilidad a bases racionales y exponentes enteros se plantea dentro de los números reales en el Ciclo de Especialización, donde aparecen con-flictos cognitivos en los alumnos, en tanto no siempre les resulta posible una acomodación rápida al esquema inicial para el cual tenía sentido la potenciación (multiplicación reiterada).

En nuestro trabajo, una de las dificultades reveladas se debió a la incomprensión de la semántica de las potencias con exponentes frac-cionarios, lo que condujo a que los alumnos realizaran inferencias o asociaciones incorrectas. Sobre este hecho, Martínez (2002) argumenta que el universo de operaciones que realizan los alumnos está determina-do por las prácticas que llevan a cabo en las clases relacionadas a temas como: solución de ecuaciones de primero y segundo grado, operaciones con polinomios, evaluación y graficación de algunas funciones, etc. La mayoría de estos contenidos involucran esencialmente sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, y la rutina lleva a que los estudiantes in-

terpreten a la expresión xa en términos de operaciones simples, en tanto les resulta imposible hacerlo con el modelo de multiplicación reiterada puesto que su escritura no sugiere otra operación.

Asimismo, los profesores entrevistados destacan que la noción de exponente no natural es manejada principalmente en el contexto al-gebraico, donde se introducen propiedades o “leyes de los exponentes”

tales como: Si n es un natural y a distinto de cero, entonces n

n

aa

1=− y

nn aa1

= . Estas definiciones son practicadas a través de ejercicios –sobre todo transformaciones de expresiones algebraicas– que se resuelven en clase o bien se dejan como actividad complementaria. Sobre este hecho, Martínez es categórico al expresar que debido a las dificultades que


113

plantea esta sintaxis algebraica –tanto para que las aprenda el estudiante como para enseñarlas el profesor– el sistema didáctico evoluciona hacia la solución del conflicto mediante un proceso de algoritmización, en el sentido de la utilización repetitiva de las definiciones. A su vez, los ar-gumentos que presentan muchos profesores tienen la función de legiti-mar la noción de exponente no natural con un “su significado es éste y no otro”, sin que sean considerados como verdaderos objetos de apren-dizaje; lo cual explica, en parte, la ausencia de fundamentos teóricos en los estudiantes y la necesidad de recurrir a la memorización.

Lo anterior, a su vez, está fuertemente relacionado con la estra-tegia nemotécnica que utilizan muchos estudiantes para recordar los convencionalismos, como asociar el signo del exponente con una trans-formación, sintetizada en frases del tipo “el signo menos indica tomar un inverso multiplicativo” o “hay que dar vuelta al número”. Esta idea de transformación, conjugada con recordar equivocadamente las con-venciones relativas a los exponentes negativos y propiedades de la po-tenciación, llevaron a que los estudiantes aceptaran la validez de

b

cc

b

aa =

−

y ( )nn

n

baba

+

=+

− 11.

Con relación a los ejercicios que planteaban operaciones con ra-dicales, hallamos que los estudiantes cometieron errores por asociacio-nes incorrectas (infieren la validez de baba +=+ ), ausencia de conocimientos previos que llevó a inhibir una respuesta, y recuperacio-nes de esquemas previos relacionados con el tema. En este punto, que-remos destacar que los estudiantes están acostumbrados a dar respuestas únicas y numéricas en Matemática, y en esta estructura de pensamiento no siempre es aceptado como resultado válido a 253 + ó 82 , por lo que intentan reducirlos a su concepción de número, la cual generalmente se encuentra estrechamente relacionada con la estructura de un entero o racional. Por otro lado, es frecuente que los alumnos se sientan más seguros trabajando con representaciones decimales que con fracciones o irracionales, por lo que tienden a expresar las respuestas mediante aproximaciones numéricas.

Capítulo 4 114

Además, cabe aclarar que la operatoria con radicales difiere no-tablemente de lo que están familiarizados los estudiantes, puesto que sumar dos enteros o dos racionales implica una transformación notable en el resultado – rara vez aparece en la respuesta uno de los sumandos – cosa que no necesariamente ocurre de este modo en la suma algebraica de raíces, donde la mayoría de las veces vuelve a aparecer como resul-tado una cierta cantidad de ellas ( )26222523 =−+ .

Hay que tener en cuenta, asimismo, que el trabajo con radicales se circunscribe a un breve período de la formación matemática de los alumnos, en tanto desaparecen casi por completo en los demás temas de la currícula. Por otra parte, los resultados de las situaciones problemáti-cas que se proponen a lo largo del Ciclo de Especialización, usualmente eluden la presencia de números irracionales, dado que las soluciones son casi siempre números “redondos”, y si eventualmente aparecen, se susti-tuyen por aproximaciones.

Antes de cerrar esta sección, nos resta por destacar que si bien las convenciones matemáticas son producto de una organización teórica que busca conservar estructuras anteriores, suelen ser la fuente de ruptu-ras del discurso matemático escolar y causantes de errores en el apren-dizaje de los alumnos.

En Ecuaciones

Las ecuaciones integran los programas de Matemática de ense-ñanza media en casi todos los cursos, fundamentalmente por la impor-tancia que el contenido tiene en la formación matemática del estudiante. Sin embargo, la gran cantidad de errores que evidenciaron los alumnos en la “Evaluación de Conocimientos Previos” ha mostrado que el tema aún ofrece serias dificultades, y en muchos casos, falencias de conoci-mientos elementales sobre el mismo.

Un error frecuente, hallado en las evaluaciones, deviene de infe-rencias o asociaciones incorrectas realizadas por los alumnos, las que se originan por la creación de nuevas “reglas” de transposición de términos a partir de las que conocían.

Sabemos que existen fundamentos teóricos que sustentan las manipulaciones que permiten resolver determinado tipo de ecuaciones;


115

pero en general, son sustituidos por abundantes reglas de transformación de ecuaciones que no tienen la validez general que explícita e implíci-tamente se les asignan. Por otra parte, si bien las reglas válidas normal-mente son muy pocas, también es cierto que los alumnos tienden a so-brecargar la memoria con muchas de ellas, las que aplican mecánica-mente y no siempre las comprenden. Así, repiten como reglas nemotéc-nicas que “si está multiplicando hay que pasarlo dividiendo”, “si está sumando se pasa restando” o “si está como potencia se pasa como raíz”, ignorando que son una versión “simplificada” de las operaciones elementales aplicadas a igualdades, y se pierden en un sinnúmero de transposiciones de términos y cuentas cuando deben resolver ecuaciones

como: 061

12

=−+xx

; cuando multiplicando a ambos miembros por x2 se

obtendría x2 + x – 6 = 05.

Esta situación fue la que se presentó en la resolución de las ecuaciones lineales que se proponían en la evaluación, donde los alum-nos transpusieron indiscriminadamente los términos bajo estas reglas, no teniendo en cuenta las jerarquías de las operaciones y sin llegar a realizar un análisis retrospectivo de la solución a la que habían arribado, lo que muestra, asimismo, una falencia en la comprensión de los con-ceptos mismos de ecuación, variable y solución.

No obstante, es oportuno aclarar que el concepto de variable, representado mediante letras del alfabeto, no resulta fácil para los alum-nos, aunque haya sido abordado en varios años de su formación mate-mática previa. La conquista de este concepto deviene de un largo proce-so, con avances y retrocesos, y es esperable que se consolide en los úl-timos años del Ciclo de Especialización. En este sentido, Booth (1984) expresa que hay una tendencia en los alumnos a interpretar las letras como objetos en sí mismos – no como la representación de números – y cuando el estudiante accede realmente a interpretar la letra como núme-

5 Generalmente los alumnos no están habituados a trabajar con operaciones elementales, tales como: “multiplicar a ambos miembros de una igualdad por un mismo número o expresión”, “elevar a ambos miembros de una igualdad a una misma potencia”, entre otras, y por esta razón no tienen en cuenta estas propiedades cuando trabajan con ecuaciones.

Capítulo 4 116

ro, se inclina por interpretarla como un número específico desconocido -(la letra como incógnita) lo que acrecienta la dificultad para que se acep-te la posibilidad de que la letra pueda asumir cualquier valor dentro de su rango de variación (la letra como variable).

A su vez, Booth menciona que muchos de los estudiantes sus-tentan ideas como: “diferentes letras representan diferentes números”, “una misma letra representa siempre el mismo valor”, “las letras que en el alfabeto están después representan números mayores”, lo que muestra concepciones fuertemente ligadas a la interpretación de las le-tras como incógnitas. Afirma, además, que es frecuente por parte de los docentes introducir las letras en el marco de la acepción de números específicos desconocidos, con lo que se está exacerbando lo que es una tendencia natural y contribuye a estimular la aparición de estas ideas.

En su trabajo, Booth conjetura que una parte de las dificultades se pueden deber a estrategias de enseñanza inadecuadas, pero otra parte importante de las mismas tienen su explicación en factores cognitivos de desarrollo. De todos modos, creemos que el modo en que estos temas fueron abordados en la formación matemática del alumno – muy apega-do a lo algebraico y escasamente relacionado a la resolución de proble-mas – resulta decisivo para las dificultades y errores que acarrean en un futuro.

Llamó la atención que los alumnos redujeran a un resultado nu-mérico, sin variables de por medio, al valor de “x” obtenido de la expre-

sión: yx

=+

6

5. Algunos autores, entre ellos Booth, encuentran una ex-

plicación a esta situación argumentando que los alumnos se resisten a

dejar como punto final de un proceso expresiones del tipo 5

6−y, pues

ellos quisieran hallar el resultado que les pide ese signo menos y la divi-sión. La explicación se sustenta en el hecho que el primer encuentro que tiene el alumno con los símbolos “+”, “–”, “:” y “x”, se produce en los primeros años de la escuela primaria y está asociado a acciones físicas sobre los objetos: reunir, quitar, repartir, etc. Más adelante, cuando estos símbolos se liberan de este grado de concreción, siguen permaneciendo ligado a acciones, pero ahora no se trata de acciones físicas, puesto que dichos símbolos seguidos del signo “=” quedan asociados a un “pedido


117

de resultado”. Es probable, entonces, que en la mente del alumno se afiance este supuesto basado en su experiencia anterior: los signos ope-ratorios indican algo que se debe hacer y por lo tanto están solicitando que se halle un resultado.

Continuando con los errores encontrados en los ejercicios relati-vos a ecuaciones, tenemos aquellos derivados del lenguaje matemático, los cuales surgieron por intentar traducir hechos matemáticos descriptos en un lenguaje natural a otro más formal mediante expresiones que vin-culaban números con literales.

Al respecto, Booth expresa que muchas veces se realiza una in-troducción formalista y abstracta del Álgebra planteando posteriormente uno o varios problemas que admiten ser resueltos gracias a ecuaciones. Ingenuamente se cree que una vez cubiertos estos pasos, el alumno está en condiciones de transferir lo que aprendió en forma abstracta a la reso-lución de problemas, en particular a los problemas que no están plantea-dos desde un inicio en lenguaje algebraico. Sin embargo, hace falta comprender que la traducción del lenguaje cotidiano al algebraico no es una simple traducción de un lenguaje a otro, sino que requiere, para su realización, de una actividad mediadora, la cual incluye la identificación de los datos y de aquello que debe ser averiguado, así como las relacio-nes entre ellos; la comprensión del problema; la movilización de los conceptos y procedimientos matemáticos más diversos que puedan estar en juego (proporcionalidad, fracciones, números negativos, áreas, entre otros), etc. Recién entonces es que se podrá proceder a la codificación, en lenguaje algebraico, de toda esa información ya interpretada.

No obstante, creemos que en el Nivel Medio las ecuaciones ad-quieren un papel más destacado como técnica algorítmica que como una herramienta para resolver problemas, lo que se puso en evidencia, inclu-sive, a través del elevado porcentaje de alumnos que no lograron tradu-cir a un lenguaje matemático las expresiones formuladas en lenguaje natural. Esta dificultad, derivada, entre otras causas, de un énfasis en la enseñanza descontextualizada del Álgebra, se hizo más notoria en los alumnos que si bien fueron capaces de realizar un manejo operatorio correcto en ejercicios de relativa complejidad de la evaluación, no logra-

Capítulo 4 118

ron expresar en un lenguaje más formal las relaciones que se plantearon en las dos situaciones propuestas sobre el tema.

Por último, es de destacar que los errores detectados en una de las situaciones problemáticas planteadas en la evaluación, se vieron agravados por la falta de fluidez en el manejo de los porcentajes, lo que representa, sin lugar a dudas, una dificultad relacionada con las diferen-tes representaciones que presenta un número racional, lo que fue comen-tado en una sección anterior.

En Funciones

El concepto de función es unificador en la Matemática, ya que aparece en todas sus ramas relacionando variables: entre conjuntos de puntos, entre conjuntos numéricos, entre los sucesos y su probabilidad, etc. Las funciones se utilizan también como modelos de situaciones del mundo real, y tienen un sinnúmero de aplicaciones en la descripción de fenómenos de las demás ciencias.

No obstante, si bien el concepto de función – en el sentido de dependencia entre variables – aparece en la formación matemática de los alumnos desde muy temprana edad, no es un concepto sencillo. Al-gunas de las razones se deben a que con él aparecen vinculados no sólo distintos esquemas de conocimiento sino también otros conceptos, tales como: dominio, imagen, variable, dependencia, crecimiento, continui-dad; los que generan por sí mismos cierto grado de dificultad. Com-prender una función implica, además, vincular todos estos subconceptos entre sí.

Por otra parte, una misma función puede ser representada de di-versas maneras, tales como: descripción verbal, diagramas de flechas, tablas, gráficas, fórmulas; y acordamos con Janvier (1987) cuando ex-presa que los alumnos no han integrado el concepto de función hasta que no son capaces de pasar de una de estas representaciones a todas las demás en forma espontánea y flexible, realizando transferencias entre ellas, pero conservando su carácter global e inseparable. No obstante, Peralta García (2002) señala que frecuentemente los alumnos consideran al registro tabular como una herramienta intermedia que permite locali-zar puntos en un plano, a partir de una representación algebraica, y no como una representación por sí misma.


119

Numerosos autores se refieren a estas transferencias de una re-presentación a otra como traducciones y esto es en realidad lo que son, ya que es necesario pasar de un lenguaje verbal a uno gráfico o a uno algebraico. De las diferentes representaciones de una función, las más abstractas son, indudablemente, gráficas y expresiones algebraicas. Sin embargo, de esta forma se les suele presentar el concepto de función a los alumnos del CBU.

Evidentemente la interpretación de una gráfica es la acción por la que se da sentido a la misma o a una parte de ella, y es aquí donde hallamos un gran número de equivocaciones en los alumnos.

La dificultad para efectuar una lectura a través de representacio-nes gráficas – traducción que obliga a cambiar de código, pasando de uno gráfico a otro verbal – fue notable en la evaluación administrada, donde el 90% (246 estudiantes) erraron en algunos o en todos los apar-tados de la situación problemática planteada. Inclusive, en muchos casos impidió pasar de una interpretación “punto a punto” a una interpretación global de la gráfica, lo que se hizo evidente en los alumnos que tendie-ron a dar un punto como respuesta a cuestiones referidas a varios valo-res, o a confundir expresiones como “el punto más alejado” con “el que llamó más lejos”, “el punto más cercano” con “el que llamó más cerca”, entre otras.

Haciendo referencia a la lectura de representaciones gráficas, Curcio – citado en Batanero y Otros (1994) – describe tres niveles dis-tintos de comprensión de las mismas:

(a) “Leer los datos”: este nivel de comprensión requiere una lectura literal del gráfico; no se realiza interpretación de la información contenida en el mismo.

(b) “Leer dentro de los datos”: incluye la interpretación e in-tegración de los datos en el gráfico; requiere la habilidad para comparar cantidades y el uso de otros conceptos y destrezas matemáticas.

(c) “Leer más allá de los datos”: requiere que el lector realice predicciones e inferencias a partir de los datos sobre in-formaciones que no se reflejan directamente en el gráfico.

Capítulo 4 120

Es importante destacar que las dificultades que exteriorizaron los alumnos se presentaron en los dos niveles superiores – “leer dentro de los datos” y “leer más allá de los datos” – siendo que la interpreta-ción de distintos tipos de funciones – asociadas a situaciones numéricas, experimentales o geométricas – es una de las expectativas de logros estipuladas en MCyEN (1997) para los estudiantes que egresan del Ni-vel Medio.

Creemos que la dificultad radica, en gran parte, en el tratamien-to que ha recibido el tema durante la formación matemática de los alumnos, donde generalmente los profesores hacen hincapié en la reali-zación de gráficos a partir de expresiones algebraicas o fórmulas, y po-cas veces se explota el camino inverso – de un registro gráfico extraer información relevante – siendo que la destreza en la lectura crítica de datos, según Batanero y Otros (1994), es un componente de la alfabeti-zación cuantitativa y una necesidad en nuestra sociedad tecnológica.

En Polinomios y Expresiones Algebraicas

A diferencia de su tratamiento en el Ciclo Básico Unificado co-mo lenguaje, en el Ciclo de Especialización el Álgebra se trabaja en su marco lógico específico y desde sus potencialidades, es decir, no sólo como lenguaje sino también como método para la resolución de proble-mas. Con el Álgebra los alumnos amplían su visión tanto de los objetos matemáticos como de las operaciones que pueden estar representadas por sistemas formales. Esta comprensión de la representación algebraica es lo que posibilita un trabajo formal aplicable a todas las ramas de la Matemática o situaciones provenientes de otras ciencias.

El Álgebra, como medio de representación, encuentra su utili-dad inmediata en la traducción de relaciones cuantitativas a las ecuacio-nes y a los gráficos de las funciones involucradas, y por lo tanto, sabe-mos que se verán acrecentadas las dificultades y conflictos en los alum-nos. No obstante, en este marco es donde adquieren especial relevancia las funciones polinómicas, como herramientas para representar situacio-nes funcionales que describen situaciones de la vida real desde las ecua-ciones polinómicas. A su vez, los contenidos previos que demanda el Álgebra – muchos de ellos provenientes de la Aritmética – presentan un giro que deja atrás la preocupación exclusiva por los números específi-


121

cos de determinados contextos, y como tal, son algo nuevo para el estu-diante.

Examinando los errores que hallamos en las evaluaciones reali-zadas por los alumnos, sobresalió como categoría más distintiva los originados por inferencias o asociaciones incorrectas, los cuales ya habían sido señalados previamente por los profesores entrevistados. Así, pudimos constatar que aún continúan distribuyendo un exponente en sumas y restas de expresiones algebraicas, consideran que la potencia de un producto sólo incumbe a uno de los factores, multiplican literales cuando se trata sólo de sumas, fallan en aplicar la propiedad distributiva de la división o lo hacen cuando no corresponde, entre otros.

Creemos que muchos de los errores que los estudiantes cometen en Álgebra no se deben específicamente a este tema, sino a carencias en Aritmética, que, consecuentemente, se trasladan al Álgebra. La posibili-dad de realizar el paso al Álgebra requiere que el alumno conozca y reconozca los procedimientos que utiliza en Aritmética, los generalice, y los extienda más allá de las actividades con números concretos. Por esta razón, consideramos que los errores en Álgebra son consecuencias di-rectas de errores en Aritmética.

De todos modos, también creemos que algunos de estos errores devienen de los métodos de enseñanza empleados en la formación pre-via de los alumnos, y en este sentido acordamos con Mason (1996) cuando expresa que las serias dificultades que se oponen al aprendizaje del lenguaje simbólico y abstracto del Álgebra hacen difícil, para el docente, equilibrar el tiempo entre desarrollos de rutinas en forma co-rrecta y llevar a los estudiantes a pensar por sí mismos sobre lo que la rutina hace. Con frecuencia, acota el autor, ante los reiterados fracasos de los estudiantes, el docente se ve tentado a privilegiar la búsqueda del éxito desarrollando sólo las rutinas operatorias con expresiones alge-braicas y se descuidan otros aspectos de vital importancia tales como: favorecer la capacidad de generalizar y modelar situaciones recurriendo al Álgebra; estimular en el alumno una actitud positiva hacia el Álgebra que le permita valorarla como una herramienta muy poderosa en la reso-lución de problemas; estimular una comprensión más profunda de las operaciones y propiedades que ya son conocidas en el campo de la

Capítulo 4 122

Aritmética y que son permanentemente usadas en el trabajo algebraico, entre otras.

Por otro lado, cuando se privilegia en forma casi exclusiva la realización de rutinas algebraicas de un modo abstracto desde el inicio del tema, se puede caer en el riesgo de que los alumnos no sepan por qué hacen lo que hacen ni para qué les sirve. Comienzan así a manipular signos que para ellos no tienen sentido y van progresivamente generan-do una actitud muy negativa hacia la Matemática, lo que potencia las dificultades y contribuye a la aparición de errores en sus producciones.

En Geometría Plana

La especificidad del lenguaje matemático puede constituirse en un obstáculo para nuestros alumnos en algunos temas y la Geometría no escapa a ello. Desde un principio, el estudio de la Geometría demanda de una notación particular y de definiciones muy específicas, mucho más de lo que requiere la Aritmética y el Álgebra. Si el alumno no acce-de a una comprensión del significado de los términos y símbolos que usa el Profesor de Matemática en clase, habrá una inevitable distorsión de los mensajes que emite el docente. Ya sea porque el alumno emplea un código distinto al empleado por el profesor, o porque el alumno no posee elementos en los que apoyarse para decodificar ese mensaje.

Sabemos que el uso correcto del lenguaje geométrico está estre-chamente ligado al proceso de conceptualización, y ambos se retroali-mentan. La adquisición de un uso correcto del lenguaje geométrico, en su doble faceta de resultado y catalizador de la conceptualización, se puede indagar en las imágenes mentales que evocan los términos geo-métricos. Ciertamente este fue uno de los objetivos que nos propusimos en el trabajo con las situaciones planteadas en la “Evaluación de Cono-cimientos Previos” sobre Geometría, las que se circunscribieron al reco-nocimiento de figuras planas elementales como triángulos y cuadriláte-ros, con algunos de sus elementos y propiedades.

Los errores que hallamos en los alumnos devienen de las difi-cultades que tuvieron para obtener información espacial, cuya causa la atribuimos al modo en que ciertos conceptos han quedado atados a los ejemplos típicos que presentan los profesores para su enseñanza, y para los cuales aún no se ha logrado la abstracción de las relaciones geomé-


123

tricas verdaderamente esenciales. Es de destacar, por otra parte, que los errores que detectamos en el aprendizaje logrado por los alumnos en estos temas de Geometría, coincidieron con los resultados arrojados por la investigación llevada a cabo por Blanco (2001), en España, con alumnos de la Facultad de Educación de la Universidad de Extremadura.

De acuerdo con las teorías de Van Hiele y Vinner, un estudiante comienza a construir la imagen mental de un concepto de una manera global, a partir de ejemplos concretos, sin realizar un análisis matemáti-co de los elementos o propiedades del concepto, sino usando destrezas básicamente visuales. Por lo tanto, las ejemplificaciones presentadas en el momento que se abordó el tema juegan un papel fundamental, más que las definiciones verbales que las acompañan. Así, por ejemplo, si todos los cuadrados que ven los alumnos tienen un lado horizontal sobre el que se apoyan – denominada posición estándar por Jaime, Chapa y Gutiérrez (1992) – muchos de los estudiantes incluirán este atributo en su imagen conceptual y pensarán que debe cumplirse para que esa figura sea un cuadrado.

En este sentido, es frecuente ver en las clases de Geometría – y también en los libros de texto – que se hace un abuso de representacio-nes típicas de las figuras geométricas, lo que no es un error matemático, como lo aclaran Jaime, Chapa y Gutiérrez, pero sí un serio error didácti-co que entorpece el proceso de aprendizaje de la Geometría y el desarro-llo del nivel de razonamiento de los estudiantes. Asimismo, Socas y Palarea (1997) indican que resulta razonable aceptar que la apropiación de un objeto matemático difícilmente puede lograrse sin reunir las di-versas representaciones del mismo.

No obstante, la manipulación por parte de los alumnos de repre-sentaciones matemáticas les proporciona los medios para construir imá-genes mentales de un objeto matemático, donde la riqueza de la imagen del objeto construido dependerá de las representaciones que se hayan utilizado.

Capítulo 4 124

En la Medida de Magnitudes

Los sistemas de medición tienen relevancia en la formación del alumno, puesto que la noción de medida subyace en los distintos cam-pos científicos. Además, la posibilidad de estimar cantidades, resultados y medidas contribuye a desarrollar las capacidades relacionadas con la medición, lo cual es de esencial importancia para tratar y resolver situa-ciones sobre magnitudes, y ha sido establecido con este sentido en los Contenidos Básicos Comunes para el Nivel Medio.

Hay que reconocer, de todos modos, que el tratamiento que tie-ne este tema en la currícula de Matemática es casi teórico, en el sentido que se plantean problemas limitados a una actividad de manipulación de números que disfraza, en el fondo, una actividad aritmética bajo el título de “Medidas”. Al respecto, coincidimos con las expresiones de Chamo-rro (1995) cuando plantea que:

En la enseñanza habitual se evitan las prácticas efectivas de medición, lo que convierte la enseñanza de la medida en un discurso teórico, que versa fundamentalmente sobre cuestiones aritméticas más que de me-dida. (...) Esta invasión de la medida por parte de la aritmética, funda-mentalmente por razones de comodidad práctica: es más fácil manejar números, puede a nuestro juicio constituir un obstáculo en la concep-ción de la medida por parte de los alumnos y alumnas. (pp. 33 – 37)

Los errores que aparecieron sobre este contenido se relaciona-ron, a nuestro juicio, con deficiencias en la construcción de conocimien-tos previos de los alumnos, en tanto fue observable un manejo totalmen-te inadecuado de las unidades de medida. Como respuestas a la situación que se proponía sobre el tema, los alumnos proporcionaron sólo resulta-dos numéricos carentes de unidades, o cantidades relacionadas a longi-tudes o volúmenes, y no a una superficie. Al respecto, concordamos con la explicación que ofrece Chamorro a situaciones de esta naturaleza, en tanto argumenta que el tratamiento demasiado centrado en lo numérico, es una causa de las dificultades que muestran los alumnos para distin-guir diferentes magnitudes; en particular las clásicas confusiones entre perímetro y área y entre masa y volumen, como aclara la autora.


125

Las actitudes afectivas y emocionales hacia la Matemática

Muchos investigadores que han considerado como tema de es-tudio los errores que cometen los alumnos en Matemática, entre ellos Socas – en Franchi y Hernández (2004) – Di Blasi Regner y Otros (2003), coinciden en señalar que las dificultades asociadas a las actitu-des afectivas y emocionales se constituyen en un factor importante a tener en cuenta.

Es frecuente que encontramos en las aulas un importante núme-ro de estudiantes que hacen esfuerzos esporádicos porque se creen ne-gados hacia la disciplina, otros que sencillamente no trabajan porque no quieren trabajar, y aquellos, que si bien trabajan, perciben a la Matemá-tica como una ciencia fría y austera que le da poco espacio al juicio crítico y a la creatividad. Asimismo, también es habitual hallar alumnos que rechazan todo tipo de trabajo en Matemática argumentando que no les gusta, que no entienden o que no saben para qué sirve lo que están haciendo. Expresiones tales como “esto no es para mí”, “es muy difícil”, “yo nunca voy a entender estas cosas”, y un sinnúmero más de ellas, son conocidas por casi todos los Profesores de Matemática. Tales afirmacio-nes pueden ser consecuencia de la falta de confianza en el propio des-empeño, la cual lleva al alumno a paralizarse y a dejar caer los brazos antes de empezar.

Es lógico pensar que al existir una actitud negativa hacia la Ma-temática, acompañada de una falta de confianza en las posibilidades propias de “hacer Matemática”, hace que los logros que puedan obtener-se sean muy escasos en algunos alumnos, y en otros, prácticamente nu-los. Generalmente estos grupos de estudiantes prefieren llevar a cabo procedimientos, “recetas”, algoritmos y aplicar las reglas básicas que permiten resolver lo inmediato, en tanto pueden llegar a sentirse más seguros y considerar que de esta forma dominan el conocimiento mate-mático. De esta manera, y sin que lo perciban concientemente, sus pro-ducciones se vuelven vulnerables a la aparición de errores, en tanto han logrado mayor dependencia de su memoria y no de un pensamiento crítico. Rara vez se preguntan si lo que acaban de hacer es correcto, por lo que no buscan por sí mismos algún mecanismo que les permita verifi-car si lo que hicieron es correcto.

Capítulo 4 126

De todos modos, creemos que el cambio de actitudes y visiones que tienen los alumnos acerca de la Matemática es una responsabilidad que incumbe a los profesores. Son los docentes quienes deben ligar las posibilidades e intereses de cada estudiante con la forma de trabajo pro-pia de esta ciencia; enfocando sus enseñanzas, al mismo tiempo, en la comprensión conceptual, la utilidad y multiplicidad de usos de los con-tenidos a estudiar, y en el gusto por hacer Matemática.


127

Conclusiones generales en torno a los errores y dificultades en Matemática

Finalmente llegamos a la instancia de cierre de nuestra investiga-ción, la cual tuvo por objetivo analizar las dificultades y errores en el aprendizaje de conceptos y procesos matemáticos de los alumnos durante la formación de Nivel Medio – al ingresar en las carreras de Ciencias Econó-micas de la Universidad Nacional de Villa María – y de acuerdo a lo atesti-guado por los Profesores de Matemática que entrevistamos con esta inten-ción.

Hemos estructurado este capítulo final exponiendo las conclusiones de la investigación con respecto a los objetivos planteados, las aportacio-nes, alcances y limitaciones que tuvo el trabajo, y algunas cuestiones que quedaron abiertas.

Para ir cerrando la investigación, presentamos a continuación las conclusiones más importantes de nuestro estudio respecto a cada uno de los objetivos específicos que se plantearon en el Capítulo de Introducción.

La exposición la realizamos en cuatro secciones, donde las tres primeras corresponden a las conclusiones que formulamos con respecto a los objetivos específicos que planteamos para el trabajo; y la última, a los interrogantes y cuestiones que quedaron abiertos en la investigación, los que ofrecen, por otro lado, posibles líneas de profundización.

Los errores en Matemática desde la perspectiva de los profesores6.

Durante las entrevistas con los Profesores de Matemática fue posi-ble obtener información relevante sobre los errores que habitualmente co-meten los alumnos durante la formación de Nivel Medio. Las explicaciones que brindaron los docentes se hicieron, casi con exclusividad, a través de ejemplos concretos y alusivos a cada tema, lo que permitió realizar el pri-mer bosquejo del instrumento que se utilizaría, posteriormente, con los

6 Corresponde al Objetivo Específico: Determinar los errores que aducen los pro-

fesores de Matemática que son cometidos por los alumnos en el aprendizaje de esta ciencia durante su formación en el Nivel Medio de enseñanza.

Capítulo 5 128

alumnos que aspiraban a ingresar en las Carreras de Ciencias Económicas de la UNVM.

A modo de síntesis, enumeramos los errores y dificultades recaba-dos durante las entrevistas, los que expresamos genéricamente como situa-ciones típicas encontradas en las producciones de los estudiantes.

Así, en el tercer ciclo de la Educación General Básica, los Profeso-res de Matemática aducen que los errores más frecuentes de sus alumnos se encuentran cuando:

Aplican la “regla de los signos” de la multiplicación al efectuar sumas o restas de números enteros.

– 13 + 20 = – 7 – 5 – 8 = 13

Suman números racionales efectuando la adición de numeradores por un lado y denominadores por el otro.

Dividen números racionales aplicando el algoritmo de la multipli-cación.

Resuelven divisiones donde el dividendo es un 0, pensándolo como 1, o ignorando su presencia.

Simplifican fracciones dividiendo al numerador y denominador por números distintos.

3

2

12

6

12

6==

1

6

6

1

12

6

12

6==

2

3

4

1

26

532=

−

−+4

26

532=

−

−+

10

9

55

432

5

43

5

2=

+

++=++

5

9

5

432

5

43

5

2=

++=++

2

33:

2

1=


129

Consideran que tienen un número negativo elevado a cierto expo-nente cuando el signo menos se antepone a la potencia.

– 2 4 = 16

Recuperan el esquema de multiplicación reiterada, con factores ne-gativos, cuando el exponente de la potencia es un entero negativo.

Asumen que toda potencia de exponente nulo da por resultado cero o es igual a la base de la misma.

50 = 0 50 = 5

Aplican distributivas de la radicación con respecto a la suma y/o resta.

Estiman que la raíz con radicando negativo e índice impar tiene un doble resultado, o que no posee solución en el campo de los reales.

3273 ±=− 3 27− = No tiene soculicón en R

Decodifican incorrectamente los valores que representan los litera-les en una recta numérica.

No logran determinar jerarquías ni tipos de operaciones que inter-vienen en los términos de una ecuación.

8)2).(2).(2(2 3 −=−−−=−

46103610036100 =−=−=−

171251442514425 =+=+=+

0 a b

a + b a – b

b + a

6).5(6

5−=⇒=

+yxy

xyxyx

5

6

6

5=⇒=

+

Capítulo 5 130

Consideran que un factor negativo se transpone dividiendo y cam-biado de signo; o que forma parte de una resta por lo que se pasa sumando al otro miembro.

3x + 5 = 17 ⇒ x = 17 – 5 + 3 ⇒ x = 15

Transponen factores como dividendos, y no como divisores.

No identifican las figuras geométricas elementales cuando se pre-sentan en posiciones “no estándar”.

Suponen que la altura de un triángulo siempre es un segmento in-terior a la figura.

43

12123 ==⇒=− xx

¡No es un triángulo rectángulo!

¡No son rombos! Uno es un cuadrado y el otro un

paralelogramo.

62

1:3

2

13 =⇒=⇒= xxx

h

h

h

¡No es una altura!

Es una altura

¡Son alturas!


131

Brindan respuestas que prescinden de las unidades de medida en problemas que involucran magnitudes.

Por otra parte, para el Ciclo de Especialización, los Profesores de Matemática establecieron que los errores más comunes de los alumnos son los siguientes:

Identifican la semántica de potencias con base entera y exponente fraccionario negativo, con tomar el inverso multiplicativo del ex-ponente.

Asocian que si el exponente de una potencia es un entero negativo, y la base es una suma algebraica, se debe tomar en primera instan-cia los inversos multiplicativos de los sumandos.

Multiplican las raíces de igual índice y radicando cuando se tratan de adiciones, o aplican distributiva de la raíz con respecto a la suma algebraica.

A una habitación de 5 metros de largo, 4 metros de ancho y 3 metros de alto se le quiere colocar alfombra en el piso ¿Cuánto es necesa-rio comprar?

Rta: Se necesitan comprar 20

81999 212

21

===

−

2

9

2

110

2

152

5

12

5

1 111

=−

=−=−

=

− −

−−

( ) 88882

==+ 41688 ==+

Capítulo 5 132

Ofrecen como resultados a sumas algebraicas entre números racio-nales e irracionales, sólo una expresión que involucra una determi-nada cantidad de radicales.

Asocian que el exponente, en una potencia de un producto, sólo afecta a uno de los factores.

Distribuyen la potencia con respecto a la suma algebraica.

Asumen que el denominador de una fracción divide sólo a uno de los sumandos del numerador.

Encuentran redundante la presencia del signo “–” cuando se susti-tuyen números negativos en una expresión en las que aparecen res-tas.

Expresan como una potencia la suma de literales.

3a + a = 3a2

28221232 =+++

xx4

9

2

3 2

=

22

2

3

2

3xx =

( ) 93 22 +=+ xx

yxyx

36

36+=

+yx

yx

2

16

6

36+=

+

189)8(92)1(432 =−=−−=∗−∗−


133

Brindan sólo un resultado numérico cuando a cierta cantidad de li-terales se le resta sólo uno de ellos.

2x – x = 1 2x – x = 2

Extraen factores de un radical ajustándose a un algoritmo, no te-niendo en cuenta si están en el numerador o denominador de una fracción.

Aplican distributivas cuando tienen el cociente entre un número y

una suma algebraica.

Suman los exponentes de las potencias de otras potencias.

Realizan traducciones incorrectas de las expresiones que aparecen en las situaciones problemáticas.

“La edad de María es el doble de la edad de Juan”

Conciben que cualquier letra siempre representa a un número posi-tivo, y que simboliza un negativo si se le antepone el signo menos.

211

21

=+⇒=+ yx

yx

( ) 53232 xxx == +

2x y

a

acbbx

2

42 −±−=

“b” es negativa

“a” es positiva

5 2 2 1

2

1.4

2

1.2

2

1 25

==

Sale un 2 elevado al cuadrado y queda uno en la raíz

Capítulo 5 134

Aplican la fórmula para hallar las raíces de una ecuación de segun-do grado, sin cerciorarse que la expresión se encuentre igualada a cero.

No logran interpretar coherentemente la información que deviene de una gráfica.

Utilizan todos los datos que aparecen en un problema sin tener en cuenta si el cálculo realizado responde a la pregunta solicitada.

Cabe aclarar que los errores detallados por los Profesores de Ma-temática se circunscribieron, casi con exclusividad, a la Aritmética y al Álgebra, y sólo se citaron algunos de ellos en temas de Geometría. Por otro

−=

==

−−±−=

3

2

1.2

)6.(1.411

2

12

x

xx462 −=−+ xx ⇒

Observa la siguiente gráfica, la cual representa el costo en función del tiempo de 5 llamadas telefónicas interurbanas, y luego responde:

a) ¿Quién ha llamado más lejos? B

b) ¿Quién ha llamado más cerca? D

c) ¿Qué llamadas se han realizado a una misma distancia o zona? A y B, D y E, A y D, B y E

A

D

C

B

E

Tiempo

Cos

to

A una habitación de 5 metros de largo, 4 metros de ancho y 3 metros de alto se le quiere colocar alfombra en el piso ¿Cuánto es necesario comprar? Rta: Es necesario comprar 60 m3


135

lado, ningún docente puntualizó errores de sus alumnos en Estadística y Probabilidades.

Esta situación deja, al menos, dos caminos posibles para su inter-pretación: los alumnos no cometen errores significativos en áreas como Geometría, Estadística y Probabilidades; o, la Geometría, Estadística y Probabilidades ha sido relegada por los docentes de la currícula de Mate-mática del Nivel Medio, por lo que no les resultó posible reconocer errores en estos campos de conocimiento.

Consideramos, no obstante, que la segunda hipótesis guarda una relación más estrecha con lo que ocurre en la realidad, puesto que desde hace tiempo, diversos investigadores vienen denunciado el abandono que han tenido los contenidos de Geometría en el Nivel Medio; y, al mismo tiempo, el gran desarrollo que ha cobrado la enseñanza de la Estadística y Probabilidades, por lo que recién ahora se las están incorporando en las planificaciones escolares como áreas importantes para la formación mate-mática del alumno.

Por último, cabe señalar que en la bibliografía consultada sobre errores, surgen muchos otros que no fueron señalados por los Profesores de Matemática, llevándonos a conjeturar que posiblemente no ha sido una actividad importante de los docentes la identificación de los errores típicos que cometen los estudiantes.

Los errores en Matemática en alumnos que ingresan a la Universidad7.

Tradicionalmente se ha tenido una concepción de error, asociado a la enseñanza, como la diferencia entre lo que el profesor desea que el alumno brinde por respuesta y la que éste le suministra. En nuestro trabajo, nos obstante, adoptamos una visión más general y asumimos que estamos en presencia de un error cuando el alumno realiza una práctica, acción o

7 Corresponde a los Objetivos Específicos: Especificar las dificultades y errores que aún persisten en los alumnos que egresan del Nivel Medio e ingresan a la Universidad en carreras que tienen a la Matemática en su diseño curricular; y, Categorizar los errores cometidos por los alumnos en el aprendizaje de la Mate-mática al ingresar al Nivel Universitario.

Capítulo 5 136

argumentación que no es válida desde el punto de vista de la institución matemática escolar (Godino, Batanero y Font, 2003).

Con el trabajo de investigación que llevamos a cabo, hallamos que los errores que fueron señalados por los Profesores – durante la formación matemática de los alumnos en el Nivel Medio – aún persisten y, en muchos casos, son particulares de cada uno de ellos. Asimismo, encontramos que las vías mediante las cuales se presentaron los errores guardaron corres-pondencia con las estipuladas por Brousseau, David y Werner (citados en Rico 1995). Así, los errores aparecieron en las producciones de los alumnos debido a: concepciones inadecuadas sobre aspectos fundamentales de la Matemática; resultados de la aplicación correcta y crédula de un procedi-miento imperfecto sistematizado y totalmente identificable; utilización de procedimientos imperfectos y concepciones inadecuadas que no pudimos reconocer (agrupados en errores eventuales debidos a deficiencias en la construcción de conocimientos previos); y empleo de métodos y estrategias inventadas, no formales pero originales, para la realización de algunas de las situaciones propuestas.

No obstante, llama la atención que los errores señalados para dife-rentes ejes temáticos abordados en el CBU, aún prevalecen en las produc-ciones de los alumnos, siendo que en el Ciclo de Especialización se recupe-ran, amplían y profundizan los contenidos abordados previamente – tal como se establece en MCyEN (1997) – mejorando su organización, forma de comunicación o la aplicación a nuevos temas o problemas.

Es de destacar que la totalidad de los alumnos que participaron del estudio cometieron algún tipo de error en la evaluación administrada; en consecuencia, no existieron trabajos que prescindieran de equivocaciones y desaciertos. De todos modos, tampoco hubo evaluaciones completamente erradas. Esto nos estaría mostrando, en cierta forma, que los errores forman parte de las producciones de la mayoría de los alumnos, y constituyen un elemento estable en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemá-tica.

Rico (1995) argumenta que los errores sistemáticos son, en general, el resultado de concepciones inadecuadas de los fundamentos de la Mate-mática, reconocibles o no reconocibles por el profesor; y es a través de ellos que se pueden percibir las dificultades que presentan los alumnos. En este sentido, consideramos que algunos contenidos matemáticos planteados


137

en la evaluación, aún ofrecen serias dificultades a los estudiantes, en tanto más del 70% de los alumnos que participaron del estudio cometieron algún tipo de error en estos temas.

Así, las siguientes situaciones, presentadas en un orden decreciente de complejidad y sin que por ello deba restárseles importancia, se perfila-ron como generadoras de errores en las producciones de los alumnos:

- Plantear en términos de una ecuación lineal una expresión del len-guaje coloquial.

- Hallar expresiones algebraicas fraccionarias equivalentes a una da-da.

- Resolver potencias de índice par cuando se antepone un signo ne-gativo a la misma.

- Interpretar información procedente de una representación gráfica.

- Calcular potencias con exponente fraccionario y negativo.

- Extraer factores de un radical cuando los mismos se hallan en el denominador de una fracción.

- Reconocer figuras planas a través de sus definiciones formales.

- Encontrar las raíces de una ecuación de segundo grado aplicando una fórmula de resolución.

- Trabajar con ejercicios combinados que involucren potencias de sumas y/o restas con exponentes negativos.

- Determinar el valor de raíces de índice impar y radicando negativo.

- Distinguir el valor que simbolizan los literales en una recta numéri-ca.

También encontramos otras situaciones que llevaron a cometer muchas equivocaciones, aunque en menor cantidad si se comparan con las anteriores, las que potencialmente podrían conducir a que aparezcan errores en las producciones de los alumnos. Estas dificultades, expuestas en orden

Capítulo 5 138

decreciente en cuanto a la complejidad ocasionada para los estudiantes, devienen de:

- Expresar una variable de una ecuación lineal en términos de la otra.

- Determinar el valor del cociente en divisiones cuyo dividendo es un cero.

- Calcular raíces de sumas y/o restas de números enteros.

- Aplicar la propiedad distributiva de la potencia con respecto al producto entre números y literales.

- Reconocer alturas en un triángulo.

- Formular respuestas en términos de las magnitudes involucradas en un problema.

- Establecer equivalencias entre expresiones decimales periódicas y fraccionarias.

- Realizar operaciones combinadas con números enteros.

- Resolver potencias con exponentes enteros negativos.

- Hallar la solución a ecuaciones lineales de una variable.

Por otra parte, Rico (1995) también señala que existe un predomi-nio de los errores sistemáticos con respecto a los errores por azar u ocasio-nales. Esta aseveración pudo corroborarse en nuestro trabajo, puesto que nos fue posible distinguir para cada situación planteada la presencia de ciertos patrones de error, los que permitieron efectuar una categorización de ellos.

Hacemos notar que la categorización empleada para tipificar los errores cometidos por los alumnos, incorpora la establecida por Radatz (1980), aunque conformamos grandes categorías que incluyeron a las des-agregadas por el autor. Asimismo, la hemos complementado con otra cate-goría que consideramos necesaria: los errores debidos a la ausencia de co-nocimientos previos, que inhibieron las respuestas a las situaciones plan-teadas. Situación similar se presenta con las categorías propuestas por Mavshovitz–Hadar, Zaslavksy e Invar (citados en Rico, 1995), en tanto se integraron algunas de las que proponen los autores y desagregamos otras.


139

Con la categorización de errores conformada, hemos determinado que el 72% de las equivocaciones que presentaron las producciones de los alumnos se repartieron entre:

- Errores debidos a inferencias o asociaciones incorrectas, generados por la aplicación de reglas y propiedades justificadas en esquemas similares, o por inferirse que son válidas en contextos parecidos o relacionados.

- Errores debidos a dificultades para obtener información espacial, atribuidos a deficiencias en la capacidad para pensar mediante imá-genes espaciales o visuales, que llevan a interpretaciones incorrec-tas de información o hechos matemáticos.

- Errores debidos a la ausencia de conocimientos previos, causados por la carencia de aprendizajes relativos a hechos, destrezas y con-ceptos, que inhiben totalmente el procesamiento de la información e impiden dar una respuesta a la situación.

Del mismo modo, otro 27% de las situaciones resueltas incorrecta-mente presentaron patrones de error que se distribuyeron entre las siguien-tes categorías:

- Errores debidos al lenguaje matemático, producidos por una tra-ducción incorrecta de hechos descriptos en un lenguaje natural a otro más formal, o de un lenguaje simbólico o icónico a otro sim-bólico o icónico distinto.

- Errores eventuales debidos a deficiencias en la construcción de co-nocimientos previos, causados por aprendizajes incorrectos o in-adecuados de hechos, destrezas y conceptos que interfieren en un adecuado procesamiento de la información.

- Errores debidos a la recuperación de un esquema previo, causados por la persistencia de algunos aspectos del contenido o del proceso de solución de una situación, aún cuando las condiciones funda-mentales de la tarea matemática en cuestión se había modificado.

Capítulo 5 140

Cabe acotar que no tuvieron injerencias, en la evaluación adminis-trada a los alumnos, los errores debidos a cálculos incorrectos o accidenta-les. Este hecho lo atribuimos a que las situaciones planteadas demandaron desarrollos relativamente cortos, lo que aminoró la transferencia equivoca-da de símbolos y números involucrados en cada ejercicio, y por lo tanto, disminuyeron las posibilidades de cometer errores de esta naturaleza.

Por último, notamos que si bien en las situaciones relacionadas con ecuaciones los estudiantes tenían la posibilidad de realizar un análisis re-trospectivo de la solución, no encontramos ni un solo caso – aún entre quienes resolvieron correctamente los ejercicios planteados sobre el tema – que llevaran a cabo esta estrategia. Simplemente se limitaron a la aplica-ción de una fórmula o a efectuar las transformaciones que consideraron adecuadas, sin mediar otro proceso. Esto marca de por sí un fenómeno clá-sico interesante, puesto que la mirada retrospectiva permite soslayar mu-chos de los errores que se cometen en la resolución de problemas, y sin embargo, no parece ser pensado de esta manera por los alumnos.

La persistencia de los errores en el aprendizaje de la Matemática8.

El desarrollo del conocimiento científico ha estado acompañado de errores, según puede constatarse al revisar su evolución histórica. La identi-ficación y análisis de estos errores ha permitido sustituir un conocimiento institucionalizado en la sociedad por uno nuevo, el que generalmente se reveló lleno de fuerza y vigor. La revisión bibliográfica llevada a cabo, en este sentido, nos ha mostrado que gran parte de los errores que cometen los alumnos en Matemática se remontan a obstáculos epistemológicos que los propios matemáticos enfrentaron y superaron a través de siglos de historia. Al respecto, Godino, Batanero y Font (2003) expresan:

Por otro lado, la historia de las matemáticas muestra que las definiciones, propiedades y teoremas enunciados por matemáticos famosos también son falibles y están sujetos a evolución. De manera análoga, el aprendizaje y la enseñanza deben tener en cuenta que es natural que los alumnos tengan

8 Corresponde al Objetivo Específico: Analizar las causas y motivos posibles que pudieran hacer prevalecer en los alumnos los errores en el aprendizaje de la Ma-temática, a la luz de las investigaciones y publicaciones actuales relacionadas con el tema.


141

dificultades y cometan errores en su proceso de aprendizaje y que se pue-de aprender de los propios errores. (p. 16).

Esta situación nos advierte sobre las dificultades que pueden aca-rrearle al alumno la mayoría de los contenidos que se abordan en el Nivel Medio, los que de ninguna manera son triviales, y requieren, por otra parte, de mucho tiempo para su apropiación y consolidación.

De todos modos, pensamos que el error también está vinculado a los procesos de enseñanza y aprendizaje, en tanto el entendimiento huma-no, de alguna manera, es causa directa de él. Además, diversos investigado-res9 han señalado que parte de las dificultades que presentan los alumnos son debidas a estrategias de enseñanza inadecuadas llevadas a cabo por los profesores. En este sentido, acordamos con la apreciación, y del análisis llevado a cabo de los errores registrados en las producciones de los alum-nos, inferimos que gran parte de las equivocaciones cometidas tienen su origen en procesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemática con carac-terísticas como:

- Uso exacerbado de técnicas algorítmicas o rutinas sin funda-mentos teóricos,

- Utilización de reglas poco trascendentes como requisitos indis-pensables en la ejecución de cálculos aritméticos o resolución de ecuaciones,

- Desarrollos muy apegados a lo algebraico y escasamente rela-cionados con la resolución de problemas,

- Abordaje de contenidos completamente descontextualizados y poco articulados con los restantes,

- Escasa importancia otorgada al desarrollo de competencias re-lacionadas con la lectura crítica de datos y análisis de gráficas,

- Abuso de prototipos visuales que inhiben la formación de imá-genes conceptuales,

9 Booth (1984), Chamorro (1995), Di Blasi Regner y Otros (2003), Godino, Bata-nero y Font (2003), Jaime, Chapa y Gutiérrez (1992), Martínez (2002), entre otros.

Capítulo 5 142

- Tratamientos de problemas demasiado centrados en lo numéri-co.

Por otra parte, los Profesores de Matemática entrevistados han ar-gumentado que la mayoría de los errores que encuentran en el aprendizaje de esta ciencia se deben a que los alumnos no están acostumbrados a leer consignas, volver a realizar la lectura de un problema, reflexionar sobre lo realizado, buscar datos relevantes, preguntas o una estrategia de resolución, entre otras acciones. Valoración que guarda relación con la apreciación realizada por Rico (1995) cuando argumenta que los alumnos no toman conciencia del error, pues no cuestionan lo que les parece obvio y no consi-deran el significado de los conceptos, reglas o símbolos con que trabajan.

Asimismo, los profesores aducen que muchas veces los alumnos leen un enunciado – casi siempre en forma incompleta – y quieren tener la respuesta en forma instantánea. Si no la obtienen en pocos segundos, recu-rren de manera inmediata al docente o a un compañero que sabe resolver la situación. Gómez (1995) explica que esta actitud del estudiante tiene una causa natural, puesto que el profesor resuelve un ejercicio y la solución se presenta “en limpio”, sin que haya la menor indicación del proceso “de borrador” por medio del cual se llegó a la misma. En consecuencia, el estu-diante piensa que él también debe encontrar la solución “en limpio” y no es conciente de que, para solucionar un ejercicio, debe tener un método o es-trategia adecuada, por lo que busca atajos. Estos atajos lo desvían del cami-no apropiado y lo inducen a cometer errores.

Al mismo tiempo, también es frecuente ver que en muchos casos los alumnos desean saber simplemente el algoritmo que permite resolver un ejercicio, sin preocuparse por los conceptos subyacentes o las ideas involu-cradas en el tema. Cuando estas ideas son explicadas, es común observar que los alumnos se "desconectan" dejando pasar ese ruido molesto (la voz del docente) y esperan la llegada del momento en que se les dice “cómo se hace”, “cuál es la receta”, en tanto perciben a la Matemática como un con-junto fijo de conocimientos pulidos y acabados.

Lampert, citado en Vilanova y otros (2001), da una explicación a esta creencia que sustentan no sólo alumnos, sino muchas personas allega-das al entorno educativo, pues expresa que la visión que tienen de la Mate-mática está asociada con la certeza y el saber Matemática lo relacionan con seguir, recordar y aplicar las reglas que propone el docente – ya sea cuando


143

hace una pregunta o plantea una tarea – la que se adquiere en la escuela a través de años de mirar, escuchar y practicar. Una vez más, vemos que el problema queda centrado en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemática que son llevados a cabo en las aulas.

Finalmente, también debemos reconocer que muchos de los errores que los estudiantes cometen en Matemática, no se deben específicamente al tema que se está desarrollando, sino a carencias de conocimientos previos que se trasladan a los nuevos contenidos que se abordan. Tal vez debamos aceptar que siempre habrá alumnos cerrados a las ideas, a quienes sólo les interese aprobar estudiando y sabiendo lo indispensable, y debamos ale-grarnos, por lo tanto, con las pequeñas victorias. No obstante, creemos que es válido el intento por revertir estas actitudes y visiones que tienen los alumnos acerca de la Matemática, y en este sentido, el desafío y la respon-sabilidad les corresponde a los profesores.

Algunas cuestiones abiertas en la investigación

Muchas veces al profesor le resulta difícil trabajar con el error de sus alumnos para transformarlo en una situación de aprendizaje, especial-mente por el compromiso pedagógico que posee con la enseñanza de una ciencia, tal como la Matemática. Al respecto, creemos oportuno profundi-zar la investigación que llevamos a cabo teniendo en cuenta las concepcio-nes personales – tanto en docentes como en alumnos – e institucionales, sobre el error en Matemática. Esto daría pie, inclusive, a indagar sobre el nivel de percepción que tienen los profesores de los errores que cometen sus alumnos, y el tratamiento que realizan de los mismos.

Esta sugerencia sienta sus bases en el hecho que muchos de los errores señalados por las investigaciones realizadas sobre el tema, no fue-ron advertidos por los Profesores de Matemática entrevistados. Además, de las entrevistas se pudo inferir que los docentes consideran que los errores se relacionan únicamente con la motivación, desarrollo psicológico, falta de dominio de contenidos anteriores, y actitudes afectivas y emocionales que tienen los estudiantes acerca de la Matemática. En ningún momento se expusieron otras razones que estuviesen vinculadas con los contenidos ma-temáticos, secuenciación de las actividades propuestas o procesos de ense-ñanza llevados a cabo.

Capítulo 5 144

Centrando nuestra atención en los procesos de enseñanza y apren-dizaje de la Matemática, hemos analizado las recomendaciones que dieron numerosos investigadores sobre los graves riesgos que se corren cuando se privilegia en forma casi exclusiva la realización de rutinas algorítmicas de un modo abstracto. Esta situación pudo ser advertida, inclusive, en las pro-ducciones de aquellos alumnos que cometieron graves errores por ajustarse a un sinnúmero de reglas y algoritmos con escaso sustento conceptual; lo que nos lleva a considerar necesario que se indague sobre las influencias que tienen el conjunto de recetas, prescripciones, leyes y seudo propiedades – a las que muchas veces son sometidos los estudiantes durante su forma-ción – en la aparición de errores en el aprendizaje de la Matemática.

Por último, sería oportuno replicar el estudio analizando los errores cometidos en el aprendizaje de la Matemática considerando los alumnos que finalizan el CBU, y aquellos que egresan de las diferentes orientaciones planteadas para el Ciclo de Especialización: Ciencias Naturales, Economía y Gestión de las Organizaciones, Humanidades y Ciencias Sociales, Pro-ducción de Bienes y Servicios, Comunicación, Artes y Diseño. Esto permi-tiría determinar la manera en que los errores se propagan o disipan al final de cada ciclo de enseñanza, como así también, las influencias que tienen los intereses de los alumnos por los distintos campos del conocimiento y del quehacer social y productivo, en la generación de dificultades y errores en el aprendizaje de la Matemática.


145

Recomendaciones y sugerencias de trabajo para la clase de Matemática

En nuestra revisión bibliográfica acerca del error en Matemáti-ca, detallábamos que una de las hipótesis de Popper establece que toda parte de nuestro conocimiento por tradición es susceptible de examen crítico y puede ser modificada o abandonada. En consecuencia, esto nos lleva a pensar que deben existir formas más adecuadas que otras para tratar los errores que cometen los alumnos en el aprendizaje de la Ma-temática.

Sabemos que la enseñanza de la Matemática es una práctica compleja y por tanto no reducible a recetas o prescripciones. Si bien no creemos que se pueda encontrar una metodología para el tratamiento de los errores en Matemática que sea universalmente aplicable, no significa que no existan estrategias que podrían ser más o menos adecuadas o aconsejables para cada situación concreta.

Así, por ejemplo, creemos que si el error es calificado como no-civo o perjudicial por el docente, no producirá ningún efecto positivo en los alumnos, y sí muchos negativos, como inseguridad, pérdida de con-fianza, concepción de la Matemática como una ciencia austera y arbitra-ria, etc.

Estamos convencidos de que la corrección sistemática del error no favorece su eliminación, y esto puede verse reflejado en nuestro tra-bajo, en tanto no hallamos producciones de los alumnos que prescindie-ran de equivocaciones, a pesar de los intentos que pudieran haber reali-zado los Profesores de Matemática del Nivel Medio para superarlos. Por el contrario, creemos que un camino posible se encuentra intentando que los alumnos sean los que perciban los errores. Darle lugar al error en la clase es trabajarlo descubriendo las hipótesis falsas que llevaron a pro-ducirlo, buscando los posibles caminos hasta redescubrir los conceptos validados y matemáticamente aceptados, comparando versiones correc-tas con erróneas, etc.

El estudiante debe participar activamente en el proceso de supe-ración de sus propios errores; y apoyándonos en las palabras de Mante

Capítulo 6 146

(1992), no es suficiente decirle al alumno cuál es el camino correcto o cuál es la solución. Debe ser el alumno el que reconozca que su saber es insuficiente o inadaptado, pues de lo contrario continuará recurriendo a él. Por esta razón, el autor establece que es necesario encontrar situacio-nes que permitan al alumno:

- Usar su antiguo saber;

- Verificar la insuficiencia de sus conocimientos: debe ser el alumno el que reconozca tal insuficiencia y no el docente el que se la muestre;

- Construir nuevos conocimientos.

Si el error es descubierto como consecuencia de una interacción o debate entre profesor y alumno, promoverá la superación, puesto que los estudiantes pueden modificar sus viejas ideas cuando están conven-cidos de que hay otra que es mejor.

Las estrategias que podrían estar empleando los profesores, para hacer uso de los errores de los estudiantes como fuente de aprendizaje y su posterior superación por oposición a un nuevo conocimiento, depen-den del tipo de error que manifieste el alumno. Para ello, es imprescin-dible conocer la naturaleza de los errores que comenten los estudiantes en cada contenido a ser desarrollado.

Al respecto, consideramos conveniente tener en cuenta la reco-mendación efectuada por Godino, Batanero y Font (2003) cuando ex-presan que los profesores deberían tener un acercamiento a los errores y dificultades que la investigación didáctica ha documentado sobre cada tema. Es decir, los contenidos de cada unidad didáctica se deberían adaptar, ampliar o variar para tratar la diversidad de errores y dificulta-des que pueden presentar los alumnos.

Recordemos también que la detección de errores y preconcep-tos, como parte de las ideas previas del alumno, es el primer paso para la aplicación de un modelo constructivista en la enseñanza de la Matemáti-ca. Se puede, por ejemplo, analizar errores como:

baba +=+ , ó ( ) 222 baba +=+


147

motivando las siguientes cuestiones: ¿Qué regla alternativa se está apli-cando aquí? ¿En qué casos sí podría valer esa regla? ¿Bajo qué condi-ciones? ¿Por qué la regla es verdadera en algunos casos y falsa en otros? ¿Cómo entonces se puede saber si algo es verdadero o es falso en Ma-temática?

Estas alternativas para el manejo del error, van más allá de un diagnóstico y emplean el análisis y la reflexión como parte del proceso de construcción de los conceptos matemáticos, como así también, de la comprensión de la naturaleza y métodos propios de la Matemática.

Es cierto que es más fácil aprender conocimientos nuevos que desaprender errores viejos. También debemos reconocer que es mejor explicar el por qué de los errores antes que indicar el modo correcto de hacer las cosas. Pero si estamos interesados en el proceso de aprendizaje de la Matemática, el error puede ser visto como instrumento de identifi-cación de los problemas del currículo o de la metodología de enseñanza, y al analizarlos, podrán ser eliminados y superados.

Si, por otro lado queremos explorar el error, éste puede consti-tuirse en un instrumento sumamente interesante para la comprensión de los procesos cognitivos de los alumnos, tal como lo propone Borasi, en Cury (1994).

Como cierre final, describimos algunas actividades para la clase de Matemática que podrían estar orientando y ayudando a superar algu-nos errores en Matemática. Cada propuesta es considerada versión aún en proceso y resultado de una sucesión de etapas de diseño, cuyo detrás de escena vamos a compartir. Rastreando cómo el análisis propio o el que surge del intercambio con colegas, perfila alternativas e impulsa a repensar, justificar y develar criterios que llevan a decidir y revisar cada propuesta.

En nuestra experiencia, el intercambio de propuestas entre cole-gas, instala el diseño como tema y consecuente objeto de estudio, análi-sis y autocrítica. Diseñar cobra entidad y al sumarse al manifiesto reper-torio de tareas docentes, donde el trabajo colaborativo –en marcos de mutuo respeto de aportes y críticas– emerge como sustancial a nuestra profesión.

Capítulo 6 148

En un diálogo de mutua y auto indagación de motivos, interpe-lamos nuestra producción de oficio en una ínterconsulta profesional. Así, avistamos la compleja trama de razones afectada por costumbres enraizadas, límites y condiciones de nuestro campo y de la dinámica institucional que –habitus mediante– opera por nosotros en determina-ciones espontáneas. Se vislumbran, además, decisiones tomadas según anticipaciones y experiencias previas que tenemos como profesores, las cuales son improvisadas primero y reflexionadas tras el intercambio.

Asimismo, destacamos que cada uno de los diseños que presen-tamos a continuación presenta las condiciones sugeridas por Douady, en Saiz (1996) para seleccionar verdaderas situaciones problemáticas para los alumnos, tales como:

� El enunciado tiene sentido en el campo de conocimientos del alumno y de la currícula escolar;

� El alumno puede determinar lo que puede ser una respuesta al problema, siendo independiente de su capacidad para concebir una estrategia de respuesta o la validación de una propuesta;

� El alumno puede iniciar un procedimiento de resolución, aun-que la solución no es evidente, puesto que no puede proveer una respuesta completa sin desarrollar una argumentación que lo conduce a preguntas que no sabe responder inmediatamente;

� El problema es matemáticamente rico, en el sentido que involu-cra una red de conceptos bastante importante, pero no demasia-dos para que el alumno pueda abarcar su complejidad;

� El problema es abierto por la diversidad de preguntas que el alumno puede plantearse y por las diferentes estrategias que puede poner en acción; y

� El conocimiento que se desea lograr con el aprendizaje es el re-curso científico para responder eficazmente al problema.

Pasemos entonces al relato de las experiencias y propuestas.


149

Teoría de Números, una experiencia con alumnos del CBU

Una de las dificultades más frecuentes que acarrean los alumnos del CBU en Teoría de Números – y que persiste aún en estudiantes que ingresan a la Universidad – deviene del hecho de considerar que un número es irracional cuando no se le encuentra con relativa facilidad un período a su expansión decimal. Incluso, subyace la idea de que el pe-ríodo de cualquier número racional debe contener sólo unos pocos dígi-tos, por lo cual, muchas de las expansiones decimales que efectúan con una calculadora tienden a reforzarles estas hipótesis, en tanto observan que no existe una aparente relación en la secuencia de números que muestra el visor.

Así, con la intención de desterrar estas falsas concepciones in-trodujimos a los estudiantes de CBU, en un micromundo, tal como lo concibe Balacheff y Kaput (1996). Vale destacar que este micromundo es un diseño (con correspondiente selección y recorte) que desarrolla-mos como docentes, el cual apela a facilidades y alternativas habilitadas por un utilitario y/o calculadora científica, y no una oferta objetiva y prevista de un software educativo o marca comercial particular.

No obstante ello, asumimos que el utilitario y/o calculadora también determinará, en cierta forma, el tipo de retroalimentación que se producirá como consecuencia de las acciones y decisiones que toma el alumno durante la exploración. Puesto que no están predeterminadas las acciones del estudiante, él podrá explorar la estructura de los objetos, sus relaciones y registros representacionales que le suministra este mi-cromundo, pudiendo generar nuevos objetos complejos a partir de los primitivos originales.

La actividad que les planteamos inicia cuando requerimos que formulen conjeturas e hipótesis acerca de las regularidades que pudieran

encontrar en el período de los números racionales de la forma 7

a, con

0≤a≤7, siendo a un número natural.

�

Capítulo 6 150

Sabemos de antemano que la consigna es totalmente abierta y resulta ambigua para muchos estudiantes, por lo cual es natural que nos pregunten: “Pero, ¿qué es lo que tenemos que buscar?”.

Al respecto, no dejamos de reconocer que para que un alumno se apropie de una situación, es necesario que pueda comprender cuál es la “situación” que se le plantea, entender qué es lo que se busca, e ini-ciar procedimientos de resolución cuyos resultados puedan ser evalua-dos, como bien lo expresa Saíz (1996). Pero la decisión de plantear una consigna totalmente abierta pretende “reproducir”, por un lado, la ver-dadera actividad que suele llevarse a cabo en un contexto de investiga-ción en Matemática, donde muchas veces la búsqueda de los procedi-mientos de solución se relacionan fundamentalmente con el pensamien-to intuitivo (inside) y formas especiales de la actividad heurística (“eu-rekas”).

Por el otro, pretendemos trascender el enfoque tradicional en que subyace, respecto de estos temas, una representación de la Matemá-tica como ciencia acabada, bellamente ordenada y reducida a teorías y definiciones presentadas tal como han sido expuestas; ocultando condi-ciones o cuestiones que les dieron origen y dificultades que se presenta-ron en el camino de construcción.

Frente a estas instancias de aparente desconcierto y desasosiego por parte de los alumnos, se nos hace indispensable lograr, como bien lo sugiere Saíz (1996), que comprendan que pueden decidir individual-mente la resolución del problema, los pasos a seguir; que pueden probar, que cuentan con el tiempo suficiente para ello, que pueden buscar distin-tas estrategias sin preocuparse por la presentación, que pueden borrar, tachar y volver a empezar, que es bueno atreverse a actuar, a arriesgarse e inclusive a equivocarse.

Superados los primeros momentos de “resistencia”, comienzan a aparecer las primeras hipótesis, lo que anima y entusiasma a otros gru-pos a identificar nuevas explicaciones o regularidades. Se establece de este modo un ambiente de cooperación en el aula, donde los alumnos trabajan juntos e interactúan unos con otros, contribuyendo a la cons-trucción de conceptos; principalmente por la estimulación que realiza-mos como docentes para que sean defendidas las ideas ante las alterna-tivas que presentan los demás.


151

Así, por ejemplo, una de las regularidades que encuentran con cierta facilidad (previa orientación nuestra) deviene de dividir al período en partes de igual cantidad de dígitos, y posteriormente sumar las mis-mas.

1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 ⇒2 + 7 = 9

De esta forma, es posible observar que se obtiene una secuencia de nueves, lo cual habría permitido conocer la totalidad del período del número si se hubiesen conocido sólo algunos dígitos iniciales (como máximo la mitad de ellos).

Igualmente, determinan que el período tiene una longitud igual a 6, lo que resulta sugestivo pensando que el denominador es 7, y que es cíclico si se tiene en cuenta la siguiente secuencia:

142857,07

1= , 428571,0

7

3= , 285714,0

7

2= ,

857142,07

6= , 571428,0

7

4= , 714285,0

7

5= .

La explicación a estos comportamientos no resulta trivial si no media nuestra orientación como coordinadores de la tarea, ya que puede ser analizado con diferentes niveles de complejidad y profundidad, tales

142

857

999

857 142 28 14 57

14

28

57

99

4

7

1

2

8 5

142857,07

1=

Capítulo 6 152

como: restos que arroja la división (para alumnos del CBU), o con-gruencias (para alumnos de ciclos superiores).

Como el desafío comporta que los alumnos expongan y pongan a prueba el pensamiento personal, las hipótesis son discutidas, analiza-das y consensuadas, lo que hace necesario iniciar el proceso de institu-cionalización del conocimiento matemático así construido. Aquí, la formalización y generalización de los resultados adquiere relevancia, puesto que entre todos los rigores científicos, el matemático es sin duda el más sutil e imprescindible – como lo expresa Alsina y Guzmán (1996) – porque el propio oficio se hunde si el rigor brilla por su ausen-cia.

Es en esta etapa donde comienzan a surgir y perfilarse preguntas como: ¿Cuántos y cuáles son los racionales que comparten estas carac-terísticas en su período? ¿Cómo puedo anticipar la longitud del período de un racional? ¿Cuál es la mínima cantidad de dígitos que requiero conocer del período de un racional para completar la serie restante? entre otras.

Tratar de arribar, o acercarnos al menos, a respuestas parciales para estas preguntas conduciría a un trabajo tedioso si lo pensamos sólo con el uso de una calculadora o con lápiz y papel, pero sumamente sen-cillo si disponemos de algún software de Matemática que sea configura-ble para que muestre en pantalla la cantidad de dígitos que uno desea. En consecuencia, podríamos trabajar con 50, 500 o más dígitos, y de-terminar el período de una cantidad considerable de números racionales para llegar a “convencernos” de que cierta fenomenología está presente en muchos de ellos.

En estas instancias, el software puede ayudarnos notablemente a efectuar la exploración de estos micromundos, y en el camino de bús-queda de explicaciones a estas regularidades transitamos por contenidos matemáticos de los más variados, como la Función ϕ de Euler, Divisibi-lidad de los Enteros, Congruencias y Restos de Cocientes (Aritmética Modular), Grupos Cíclicos, etc., los que pueden ser readaptados para cada nivel y grupo de alumnos.

Vale aclarar que las operaciones previstas necesariamente se in-cluyen en el marco de juego propuesto a los alumnos – como configurar


153

para 50 ó 500 dígitos, explorar el 1/49 o el 1/17, analizar patrones se-cuenciales de determinado modo – ya que no son fenomenologías “es-pontáneas” o “propias” de la interacción con el utilitario, sino más bien, devienen del diseño de la actividad.

Insistimos en que de no mediar devoluciones, análisis y re-flexiones con el grupo de estudiantes, no obra tal fenomenología que no es parte integral del micromundo y si esto no está anticipado y previsto por parte nuestra, pueden no alcanzarse las situaciones descriptas, aún con todas las chances y potencialidad que pudiera tener el software. Incluso, la no “devolución” – en el caso de uno o más grupos – puede obedecer a diversos motivos, entre los cuales mencionamos la necesidad de ajustes del diseño de la actividad, puesto que los estudiantes podrían operar, registrar todos los resultados y ser el docente el único que estu-viera llevando la apreciación más allá de una serie de operaciones y actividades realizadas, sin atribución de sentido simétrico para los estu-diantes.

Continuando con la exploración de regularidades en las expan-siones decimales de los números racionales, podemos sugerir que se

busque algún patrón entre los números la forma n2

1.

Ordenar los datos en una tabla nos puede ayudar más rápida-mente en nuestra búsqueda:

Fracción Expresión

exponencial Número de dígitos necesarios

para su representación decimal Representación

decimal

2

1

2

1 1 0,5

4

1 22

1 2

8

1

32

1

16

1

Capítulo 6 154

32

1

64

1

128

1

256

1

n2

1

Si hacemos lo mismo, pero ahora con las potencias de 5, ¿apa-recerá un patrón similar?




decimal

5

1

5

1 1 0,2

25

1

25

1 2

125

1

35

1

625

1

3125

1

15625

1

n5

1

¿Y qué ocurrirá si combinamos fracciones con potencias de 2 y

5 en el denominador? ¿Qué explicaciones se podrían dar a estos patro-nes?


155




decimal

10

1

11 5.2

1 1 0,1

20

1

12 5.2

1

40

1

13 5.2

1

50

1

80

1

100

1

200

1

500

1

4000

1

mn 5.2

1

De la misma manera, debemos anticipar, como una cuestión de diseño, la propia institucionalización del conocimiento matemático, puesto que de este modo favorece al desarrollo de la situación proble-mática, ya sea por las construcciones que se llevan a cabo, por los pro-pios aprendizajes que se construyen, o por las concepciones que inten-tamos modificar.

Capítulo 6 156

El análisis de gráficas: relaciones para deducir, modelar y diseñar

Argumentábamos en secciones anteriores que el análisis e inter-pretación de una gráfica es la acción por la que se da sentido a la misma o a una parte de ella, y es aquí donde hallamos un gran número de equi-vocaciones en los alumnos.

También expresamos que la dificultad radica, en gran parte, en el tratamiento que ha recibido el tema durante la formación matemática de los alumnos, donde generalmente los profesores hacemos hincapié sólo en la realización de gráficos a partir de expresiones algebraicas o fórmulas, y pocas veces se explota el camino inverso: de un registro gráfico extraer información relevante.

En esta sección, presentamos una secuencia de actividades sobre relaciones y funciones, las cuales tienen por objetivo desarrollar aspec-tos inusuales que no se encuentran de manera explícita en los textos escolares. Todos los problemas son ambiciosos en exceso, por lo cual cada docente deberá decidir cuánto y cómo dosificarlos en su justa me-dida.

Cabe aclarar que las situaciones que proponemos están pensadas inicialmente para docentes, las que pueden servir como motivación para generar una lista propia, adaptándolas y adecuándolas a las circunstan-cias de cada clase. El desarmar cada problema proveerá de una multitud de versiones más simples, mientras que el unirlos dará situaciones pro-blemáticas de mayor dificultad.

Relaciones 1: Retomamos aquí el espíritu de la actividad que se les propuso a los alumnos, en la evaluación de conocimientos previos, descripta en el Capítulo III (Ejercicio Nº 6), profundizándola y descri-biendo algunas posibilidades de trabajo. Posteriormente, explicitaremos los criterios de diseño que subyacen en ella.

Supongamos que se hacen cinco llamadas telefónicas de varia-dos costos, duración y alcance (local, media distancia o larga distan-cia.) Asumimos que el costo por minuto de una llamada es proporcional a la distancia entre las localidades comunicadas. En la gráfica que sigue, de costo versus duración, se representan las cinco llamadas:

�


157

1. ¿Cuál de todas las llamadas corresponde a la comunicación entre las localidades más cercanas?

2. ¿Cuál de todas las llamadas corresponde a la comunicación entre las localidades más lejanas?

3. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a un par de llamadas entre las mismas localidades?

4. Como mínimo, ¿cuántas localidades son necesarias para que las cinco llamadas sean lógicamente posibles?

5. Si la llamada 1 se realizó entre localidades distantes 10km entre si: ¿Cuáles es la distancia entre las localidades comunicadas por la llamada 2? ¿Cuál es la distancia entre las localidades comunicadas por la llamada 4? ¿Cuál es la distancia entre las localidades comuni-cadas por la llamada 5?

Relaciones 2: Hay información oculta en la gráfica anterior. En un principio, es posible determinar la relación costo-distancia para cada una de las llamadas del problema planteado en “Relaciones 1”. Una manera más simple de presentar la situación es hacer directamente la gráfica de la relación uno mismo y pedir que se establezca la correspon-dencia con cada llamada. Más adelante comentamos cómo hacerlo. Veamos cómo quedaría el problema:

1

2

3

4

5

Duración (en min.)

Costo

Capítulo 6 158

La gráfica siguiente corresponde a la relación costo-distancia de las cinco llamadas telefónicas del problema anterior:

1. ¿A qué llamada corresponde I?

2. ¿A qué llamada corresponde II?

3. ¿A qué llamada corresponde III?

4. ¿A qué llamada corresponde IV ?

5. ¿A qué llamada corresponde V ?

Las respuestas correctas serían:5, 1, 3, 4 y 2.

Relaciones 3: El siguiente problema es una variante del anterior y podría llamársele excalibur, en referencia al famoso programa de tele-comunicaciones que descubre el mapa de los lugares de donde se han hecho las llamadas telefónicas. Difiere en el hecho que ahora se le pide inferir la segunda gráfica a partir de la primera y está menos estructura-do, todo lo cual lo torna más trabajoso para resolverlo. Tal vez podría ser interesante para un grupo de estudiantes que trabaje colaborativa-mente en equipo. Veamos el mismo:

Se hacen cinco llamadas telefónicas de variados costos, dura-ción y alcance (local, media distancia o larga distancia.) Se asume que el costo por minuto de una llamada es proporcional a la distancia entre las localidades comunicadas. En la gráfica que sigue de costo versus duración se representan las cinco llamadas:

II

IV

III

V

Distancia (en km.)

Costo

I


159

1. Realice la gráfica de la relación costo-distancia de las cinco llamadas.

2. Si las llamadas se realizaron entre cuatro localidades distin-tas y la llamada 1 comunicó localidades distantes 150km entre sí, reali-ce un posible mapa de las cuatro localidades especificando las proba-bles distancias relativas entre ellas. Discuta si es posible conocer todas las distancias entre las distintas localidades comunicadas y si es facti-ble determinar el mapa de las posiciones relativas entre las localidades.

Cómo diseñar un problema de este tipo: Veamos cómo proce-der para hacerse de un problema semejante al anterior. Una forma es proceder desde la gráfica de costo-duración, a la gráfica costo-distancia, y finalmente obtener el mapa de las localidades si es que hay suficiente información codificada en las llamadas. Esta forma presenta la ventaja de diseñar la gráfica que uno desee, pero tiene el inconveniente de de-jarnos con un mapa que no es real y esto puede despojarnos de la posibi-lidad de conectar el problema con un contexto real al cual los alumnos pueden pertenecer.

Otra forma, mixta podríamos decir, es pensarlo de atrás para adelante pero teniendo en mente un diseño para el diagrama de la rela-ción costo-duración. Por ejemplo, se puede diseñar el mapa de las cuatro localidades favoritas, que bien pueden salir de un mapa de la región donde uno habita, basta que estén separadas de una manera interesante,

1

2

3

4

5

Duración (en min.)

Costo

Capítulo 6 160

A

B

C

D

y esto quedará claro en breve. Así, podríamos imaginar cuatro localida-des: A, B, C y D, como se muestra en la figura 1, donde cada segmento representa una llamada realizada comunicando las localidades unidas:

Figura 1: Mapa tentativo inicial de las localidades a comunicar.

Suponiendo que cada comunicación tiene costo proporcional a la duración de la llamada y a la distancia entre las localidades comuni-cadas, el modelo matemático detrás es:

Costo = k × Duración × Distancia

Podemos asignar a cada segmento un par ordenado que indique (Duración, Costo) de manera que la distancia de A a D sea tres veces la distancia entre A y B, y que ésta sea a su vez sea cuatro veces la distan-cia entre A y C. Por ejemplo, PAD = (1, 12), PAB = (2, 8), PAC = (4, 4), duración en minutos y costo en pesos. No olvidemos que, para el mode-lo, a la distancia la obtenemos haciendo el cociente entre ordenada y abscisa. En consecuencia, el problema consiste en asignar los valores para PBD y PBC de manera coherente y consistente con el mapa.

Para calcular la constante k, que representa el costo de una lla-mada de un minuto entre localidades separadas por un kilómetro, supo-nemos que PAC comunica localidades a, digamos, 20km de distancia. Entonces:

4 = k × 4 × 20

de donde se sigue que 20

1=k . Esto nos permite calcular las distancias:

dAB (distancia de A a B, comunicada por PAB) y dAD (distancia de A a D, comunicada por PAD). Así:


161

AB

D

C

km 240120

112 =⇒××= ADAD dd

km 80220

18 =⇒××= ABAB dd

Entonces, la distancia entre B y D (dBD), comunicada por PBD=(?,?), debe satisfacer las desigualdades triangulares:

km 320km 160 =+≤≤−= ABADBDABAD ddddd

Digamos que dBD = 200km (elegimos esta distancia), y que la duración de PBD es de 1 minuto (nuevamente, elegimos arbitrariamente esta duración de tiempo):

10120020

1=××=Costo ⇒PBD = (1, 10)

Lo mismo se hace con la distancia de B a C, que corresponde al par PBC, el cual debe ser tal que:

kmkmdddddkmkm ABACCBACAB 100)8020()2080(60 =+=+≤≤−=−=

Si elegimos arbitrariamente dCB = 80km, con una llamada de 3 minutos:

1238020

1=××=Costo ⇒PBC = (3, 12)

lo cual termina completando el mapa con las llamadas codificadas en pares de duración versus costo. El mapa final –que tiene varias posibili-dades obviamente– se vería así:

Capítulo 6 162

Finalmente, la gráfica que resulta para la relación costo-duración resulta ser la siguiente:

Formulación del problema: Ahora sólo nos resta rehacer el problema partiendo del último gráfico, y reformular las preguntas que se presentaron al principio. Para facilidad del lector, presentamos todo junto:

Se hacen cinco llamadas telefónicas de variados costos, dura-ción y alcance (local, media distancia o larga distancia.) Se asume que el costo por minuto de una llamada es proporcional a la distancia entre las localidades comunicadas. En la gráfica que sigue de costo versus duración se representan las cinco llamadas:

PAD

Duración (en min.)

Costo (en pesos)

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4

PBD

PAB

PBC

PAC

5

Duración (en min.)

Costo (en pesos)

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4

4

2

3

1


163

1. Realice la gráfica de la relación costo-distancia de las cinco llamadas.

2. Si las llamadas se realizaron entre cuatro localidades distin-tas, digamos A, B, C, y D, y la llamada 1 comunicó las localidades A y C, distantes 20km entre sí, realice un posible mapa de las cuatro locali-dades especificando las posibles distancias relativas entre ellas. Discu-ta si es posible conocer todas las distancias entre las distintas localida-des comunicadas y si es factible determinar el mapa de las posiciones relativas entre las localidades.

3. Ahora, asuma adicionalmente que la posición de AC es norte sur, que B está al este de AC, que D se encuentra al noreste de AC, y que la posición geográfica de A es latitud 32º, longitud 64º 20’. Deter-mine la posición geográfica exacta de cada localidad y realice un ma-pa10. Ayuda: Averigüe el radio terrestre y calcule la distancia en kiló-metros que corresponde a un grado de latitud o longitud. Con esta in-formación y el punto anterior, es posible determinar exactamente las coordenadas (lat., long.).

4. Cuál es el costo de una llamada de tres minutos entre las lo-calidades C y D?

Notemos que las dos últimas preguntas le agregan “sal y pi-mienta” al problema y lo conectan con otros temas.

El problema puede contextualizarse aú más, si tomamos cinco localidades de un mapa, como por ejemplo, Villa María, Córdoba, On-cativo, Marcos Juárez, y Río Cuarto. Lo dejamos como desafío de dise-ño para que comparta con colegas. Para ello, recuerde:

1. Calcular las distancias entre las localidades.

2. Con un modelo Costo = k × Duracion × Distancia, y un va-lor de k específico a su gusto, especifique llamadas suficientes entre las

10 Si se toma el radio terrestre promedio, éste es de 6371 km. Multiplicando el radio por π nos da el semiperímetro terrestre de una círculo máximo, que divi-dido por 180º, nos daría la longitud de un arco sobre la superficie terrestre co-rrespondiente a un grado (aproximadamente 111,2 km).

Capítulo 6 164

localidades de distinta duración de manera tal que el mapa relativo entre las localidades quede totalmente determinado.

3. Formule un problema basándose en sus datos de dos formas. La primera, más estructurada, tratando de sortear las mayores dificulta-des en pasos a realizar; y la segunda, más difícil, proponiendo un cues-tionario corto sin tanta estructura que guíe al estudiante.

4. Preséntelo a su clase y realice los ajustes que mejor se ade-cuen a su audiencia.

Reciclando un viejo problema: Es posible reutilizar la estructu-ra de un problema y reciclarlo como uno nuevo cambiando el contexto. Observemos que las preguntas y la lógica detrás es la misma que en la serie de problemas anteriores.

La siguiente gráfica muestra el consumo de nafta de un auto a velocidad constante, para distintas velocidades, en distintos recorridos de prueba. Se asume que el consumo por kilómetro recorrido es propor-cional a la velocidad (constante).

1. ¿Cuál es la prueba que recorrió mayor distancia?

2. ¿Qué prueba tiene el recorrido más corto?

3. ¿Qué par de pruebas recorrieron iguales distancias?

1

2

3

4

5

Velocidad (en km/h)

Consumo


165

La siguiente gráfica muestra la relación consumo-distancia pa-ra cada una de las pruebas:

1. ¿Qué prueba corresponde a I?

2. ¿Qué prueba corresponde a II?

3. ¿Qué prueba corresponde a III?

4. ¿Qué prueba corresponde a IV?

5. ¿Qué prueba corresponde a V?

6. ¿Qué prueba tomó menos tiempo en ser recorrida?

7. ¿Qué prueba tomó más tiempo en ser recorrida?

La tantas veces representada y no siempre interpretada fun-ción lineal

Otra dificultad frecuente que acarrean los alumnos de los distin-tos ciclos del Nivel Medio –y que persiste aún en estudiantes que ingre-san a la Universidad– se presenta con el tema Funciones, y entre ellas, las Funciones Lineales.

A nuestro criterio, tal dificultad deriva del hecho de realizar, en numerosas ocasiones, ejercicios en los que sólo les pedimos a los alum-nos representar gráficamente un gran número de funciones, identificar

II

IV

III

V

Distancia (en km.)

Consumo

I

�

Capítulo 6 166

pendiente y ordenada al origen en una fórmula, o hacer algunos cálculos de abscisas u ordenadas.

Ejercicios del tipo: “Representar la función y = 3x + 1”; “Hallar la recta que pasa por P = (2, 3) y Q = (5, 7)”; ó “Encontrar la ecuación de la recta que es paralela a: y = 2x – 3, y que pasa por el punto P=( –2, 5)” son ofrecidos por muchos textos escolares y docen-tes, impidiéndole a los alumnos que puedan conocer algunas de las apli-caciones de la Matemática a la realidad, y facilitan la aparición de pre-guntas del tipo: “¿Esto para qué me sirve?”.

Consideramos que el hecho de utilizar los objetos matemáticos de manera descontextualizada con rigor y competencia, no asegura que dichos objetos se puedan aplicar correctamente a la resolución de pro-blemas contextualizados no rutinarios. En consecuencia, desarrollar una clase sólo con Matemática descontextualizada, presupone por parte nuestra que el alumno debe adquirir primero las estructuras fundamen-tales de esta ciencia en forma axiomática, y una vez adquirida esta base, le será fácil, por sí sólo, resolver las aplicaciones y problemas que se le presenten. Esta creencia acerca de la Matemática y su enseñanza es denominada “idealista-platónica” por Godino, Batanero y Font (2003), quienes además, argumentan que:

Según esta visión no se puede ser capaz de aplicar las matemáticas, sal-vo en casos muy triviales, si no se cuenta con un buen fundamento ma-temático. La matemática pura y la aplicada serían dos disciplinas distin-tas; y las estructuras matemáticas abstractas deben preceder a sus aplica-ciones en la Naturaleza y Sociedad. Las aplicaciones de las matemáticas serían un "apéndice" en el estudio de las matemáticas, de modo que no se producirían ningún perjuicio si este apéndice no es tenido en cuenta por el estudiante. Las personas que tienen esta creencia piensan que las matemáticas son una disciplina autónoma. Podríamos desarrollar las matemáticas sin tener en cuenta sus aplicaciones a otras ciencias, tan so-lo en base a problemas internos a las matemáticas. (…) Con esta con-cepción es sencillo construir un currículo, puesto que no hay que pre-ocuparse por las aplicaciones en otras áreas. Estas aplicaciones se "fil-trarían", abstrayendo los conceptos, propiedades y teoremas matemáti-cos, para constituir un dominio matemático "puro". (p. 16)


167

Creemos que desarrollar clases de Matemática centradas en un modelo apoyado sólo en una enseñanza formalista, donde no se da cabi-da a los procesos de modelización, contextualización e introducción de nuevas tecnologías, no estaría favoreciendo la discusión, la construc-ción, ni mucho menos la reflexión de los alumnos. Esta manera de ense-ñar se estaría sustentando en el argumento: “Le sirve al alumno para aumentar sus niveles de razonamiento” y una pregunta de rigor que de aquí emerge sería ¿hasta qué punto es esto cierto?

Existen numerosas investigaciones didácticas sobre funciones que también dan recomendaciones sobre su enseñanza. Entre ellas, la de Sierpinska (1992), quien considera que la principal dificultad que pre-sentan los alumnos con relación al estudio de las funciones es que estos consideran a la función básicamente como un proceso algorítmico.

Esta investigadora se plantea el problema de la comprensión del concepto de función estableciendo 19 categorías a tener en cuenta en dicha comprensión. Por otra parte, expone algunas consideraciones a tener en cuenta en la enseñanza de las funciones, donde destaca la im-portancia que tendría la incorporación de la modelización en el proceso de instrucción de este tema:

La discriminación entre número y magnitud física, es una cosa, y percibir las relaciones entre las leyes físicas y las funciones matemáticas, es otra. Ambas, síntesis y discriminaciones, son necesarias para completar la comprensión del concepto función. La percepción de las funciones como una herramienta apropiada para modelizar o matematizar relaciones entre magnitudes físicas u otras es una condición sine qua non para dar sentido al concepto de función en su totalidad. (Sierpinska, 1992, p. 42).

En su tesis doctoral, Ramos (2006) analiza el papel que juegan los objetos personales matemáticos y didácticos del profesor en la in-corporación de situaciones contextualizadas al proceso de enseñanza y aprendizaje de las funciones. Entre las diferentes consideraciones que hace para su mejor enseñanza, destaca el papel que juega la buena com-prensión de los objetos previos que se suponen ya conocidos y sugiere trabajar con problemas contextualizados para que los alumnos vean las aplicaciones de la Matemática al mundo real.

Capítulo 6 168

Tall y Bakar (1992) realizaron un estudio sobre el desarrollo del concepto de función en estudiantes entre 16 y 17 años con el objetivo de determinar por qué los estudiantes son capaces de usar funciones en la práctica matemática, mientras que la naturaleza teórica del concepto de función permanece en ellos de una forma vaga e inconsistente. Los in-vestigadores consideran que esto es debido a que los estudiantes recu-rren a ejemplos prototipo:

(…) los estudiantes desarrollan ejemplos prototipos del concepto de función, tales como y = x2, o un polinomio, o 1/x, o la función seno. Cuando se le pide el gráfico de una función, en ausencia de una defini-ción operativa de función, la mente intenta responder por resonancia con estos prototipos mentales. (Tall y Bakar, 1992, p.40).

En sus conclusiones finales, estos investigadores recomiendan seguir un cierto pragmatismo dando menos énfasis a la teoría en favor de la práctica.

En nuestro entorno, notamos que no abundan situaciones en las que se les solicite a los alumnos identificar una función lineal a partir de una gráfica, ni tampoco aquellas que favorezcan la interpretación de actividades cotidianas mediante el empleo de tales expresiones matemá-ticas (modelización matemática) o se haga hincapié en el significado de los distintos parámetros que las conforman.

Al respecto, De la Rosa (2002) sostiene que dichas actividades, fundamentadas en el marco de los sistemas semióticos de representa-ción y de instrumentos de mediación, buscan mejorar la aprehensión de los conceptos. Las causas que dan origen al problema del aprendizaje de función lineal están estrechamente relacionadas con las representacio-nes algebraica, tabular, gráfica, y con el lenguaje natural, razón por la que los sistemas semióticos de representación proporcionan alternativas de aprendizaje bajo un modelo integrador, en vías de mejorar la apre-hensión del concepto en cuestión. Así, Hitt (1996) hace referencia a los obstáculos didácticos y epistemológicos del concepto de función y en De la Rosa (2000) se reporta la falta de visualización en el registro grá-fico de alumnos egresados de secundaria. De acuerdo con Duval (1988, 1998, 1999), el aprendizaje integrador es resultado de tener actividad con las diferentes representaciones de un concepto.


169

Autores como Font (2000), Duval (1999), Hitt (1998), Zim-mermann y Cunningham (1991), Eisenberg y Dreyfus (1991) han men-cionado la importancia de las diferentes representaciones semióticas en la adquisición de un concepto matemático y de qué manera éstas forman parte de un repertorio útil en la resolución de problemas. Por esta razón creemos que es necesario contar con varios sistemas semióticos de re-presentación para el pensamiento matemático, ya que cada sistema pro-porciona medios específicos de representación y procesamiento para éste.

Debemos reconocer que la aprehensión del objeto matemático se produce por medio de las representaciones semióticas. Esto se basa en la ley fundamental del funcionamiento cognitivo: “...no hay noesis sin semiosis”, como expresa Duval (1998, p. 176).

Podríamos decir que la adquisición de los conceptos matemáti-cos es una aprehensión conceptual y la actividad con los conceptos ma-temáticos sólo se da a través de las representaciones semióticas. Es de-cir, un concepto matemático visto en sus diferentes representaciones proporcionará información específica, dando solidez al concepto. Al respecto, Duval (1998) expresa:

La comprensión (integradora) de un contenido conceptual reposa en la coordinación de al menos dos registros de representación, y esta coor-dinación se manifiesta por la rapidez y la espontaneidad de la activi-dad cognitiva de conversión. (p. 186)

En otras palabras, la aprehensión conceptual de un objeto ma-temático sólo se logrará si existe actividad (cognitiva) con registros de representación, la cual deberá realizarse con la coordinación de al me-nos dos de ellos.

Un alumno tendría integrado un concepto matemático cuando cuenta con las imágenes conceptuales de los diferentes registros de re-presentación y es capaz de utilizarlos o seleccionar el más pertinente cuando se enfrenta a la resolución de problemas. Al respecto, Hitt (1997) expresa:

Capítulo 6 170

(…) que el conocimiento de un concepto es estable en el alumno si és-te es capaz de articular sin contradicciones diferentes representaciones del mismo, así como recurrir a ellas en forma espontánea durante la resolución de problemas. (p. 195)

En síntesis, podríamos decir que la mayoría de las investigacio-nes dan sugerencias de diverso tipo donde se destaca: tener en cuenta las situaciones extra matemáticas; desarrollar los objetos previos de manera amplia; adaptar un estilo de enseñanza que no sea demasiado formal; tener en cuenta el orden de presentación de los objetos matemáticos; e implementar actividades que conlleven al uso de las diferentes represen-taciones de un concepto.

Por lo expresado anteriormente y con la intención de lograr en los alumnos un aprendizaje integrador, atendiendo a las sugerencias precedentes, proponemos se diseñen actividades como la siguiente:

El Comando de Acción Preventiva (CAP) de la Policía de la Provincia de Córdoba, con sede en Villa María, estudia la compra de una camioneta de patrulla más. Los analistas de la policía estiman que el costo de la camioneta, completamente equipada, es de $60.000. Han estimado también un pequeño costo promedio de operaciones de $ 0,75 por kilómetro.

a) Determine la función matemática que represente el costo to-tal C de la obtención y operación de la camioneta de patrulla, en términos del número de kilómetros x que recorra.

b) Indique las variables independiente y dependiente, como así también las unidades en que se expresan.

c) ¿A qué tipo de función corresponde la anterior?

d) ¿Qué nombre reciben y qué significado se le atribuiría, en el contexto del problema, a cada una de las constantes que apare-cen en la fórmula de dicha función?

e) ¿Cuál es el costo proyectado si la camioneta recorre 80.000 km en su vida útil?

f) Grafique la función anterior teniendo en cuenta si es apro-piado o no hacerlo para valores no negativos de C y x, y la vida útil de la camioneta (considerar dominio y recorrido restringi-dos al problema).


171

g) ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido la camioneta cuando el costo total sea de $114.000?

Para dar respuesta a los primeros ítems de la actividad, el alum-no deberá tener en cuenta que la Matemática permite a diferentes disci-plinas, expresarse no sólo con palabras sino también por medio del len-guaje matemático, o sea a través de variables, parámetros (constantes), funciones, ecuaciones, desigualdades y/o sistemas de ecuaciones que se constituyen en modelos matemáticos de distintas situaciones.

Es importante recordar que las variables pueden ser medidas y pueden cambiar (variar, de ahí su nombre). Así, por ejemplo, se puede medir el precio de un artículo, la producción de una empresa o el núme-ro de obreros empleados en un determinado país. Esas medidas son magnitudes o valores que tienen la posibilidad de subir o bajar.

Además, se emplean letras del alfabeto para representar los valores que posee una variable. Por ejemplo, la letra “p” puede simbolizar los diferentes precios posibles de un bien o un servicio y que en una expre-sión matemática existen magnitudes que permanecen inmutables llama-das parámetros11.

También debemos tener presente que las funciones, en la acepción que aquí les damos, sugieren que el valor de una cosa depende del valor de una o más de ellas, y que el lenguaje de la Matemática tiene una manera sucinta de describir la relación funcional entre las variables (C y x, en este caso): C = f (x), ecuación cuya traducción verbal es “C es una función (depende) de x” donde “f” es el nombre que le damos a la función.

Con respecto a las unidades, si leemos cuidadosamente el enun-ciado, notaremos que C es el costo total, por lo que su unidad será $ (en

11 En general, ante la imposibilidad de disponer de información perfecta, sole-mos remitirnos a las abstracciones, reduciendo la vida real a proporciones ma-nejables, para colocar la atención en aquellos aspectos fundamentales en la explicación de un determinado fenómeno. Esto es, nos remitimos a la frase ceteris paribus, la cual quiere decir: asumiendo que todo lo demás permanece constante.

Capítulo 6 172

este caso) ya que se menciona otra cantidad, que permitiría calcularlo, que está expresada en esa misma unidad. Con respecto a x (cantidad de kilómetros recorridos), su unidad es km.

Así entonces, si C depende de x, y además, su valor inicial es $60.000 –cuando aún no se ha recorrido ningún kilómetro– y luego variará (aumentará en este caso) a razón de $0,75 por kilómetro recorri-do, la función pedida será:

C(x) = 60.000 + 0,75x

Es necesario que alumno reconozca que las funciones de este tipo (lineales) son de la forma y = ax + b, donde y es la variable depen-diente, x la variable independiente, a y b son parámetros (constantes) reales que reciben el nombre de pendiente y ordenada al origen, respec-tivamente. También es importante hacer notar que no necesariamente “y” y “x” son las únicas variables que aparecen en una función lineal. Si bien puede resultar obvio el comentario, aún nos sorprende que mu-chos de los alumnos reconozcan sólo a las funciones lineales si las va-riables que intervienen son “y” y “x”, y no cuando se utilizan otras le-tras del alfabeto12; pero en este caso, debemos evaluar el modo en que hemos presentado el tema como docentes.

También, es importante reconocer que la representación gráfica de estas funciones es una recta y que, para conseguirla, es fundamental que se conozca el significado (interpretación) de dichos parámetros, como así también, de las intersecciones de la función con los ejes cartesianos. En el tratamiento del tema que nosotros sugerimos hemos de considerar las siguientes acepciones:

• Intersección con el eje de las ordenadas: La intersección de una función con el eje de las ordenadas es el punto donde la gráfica de la función lo interseca. En forma algebraica, la intersección con el eje de ordenadas representa los valores de la variable dependiente cuando la independiente vale cero. En el caso particular de las funciones lineales, este valor de ordenada no es otro que el de la “ordenada al origen”.

12 En el Nivel Medio, esto es frecuente encontrarlo en Física donde el estudian-te no distingue la presencia de una función lineal en s = 80t + 10, por ejemplo.


173

Así, por ejemplo, si la demanda para un artículo está dada por

qp4

335 −= , donde p viene expresada en pesos y q en cientos de uni-

dades; la ordenada al origen (35) nos expresa que $35 será el precio para cuando los consumidores no demanden ninguna unidad.

• Intersección con el eje de las abscisas: Las intersecciones (pue-den ser más de una) con el eje de las abscisas de una función son los puntos donde la gráfica de la función lo interseca. En forma algebraica, las intersecciones con este eje representan los valores de la variable independiente para los cuales la variable dependiente vale cero.

Por ejemplo, si la función de Utilidad de una empresa viene dada por 10005,2 −= qU , donde U se expresa en pesos y q en unida-des; la intersección de la recta con el eje de las abscisas (q = 400) nos expresa la cantidad vendida de unidades que arroja utilidades iguales a cero; o de manera equivalente, cuando los costos son iguales a las ven-tas (punto de equilibrio).

• Pendiente: es el cambio de valor de la variable dependiente si la variable independiente aumenta en una unidad. En la función de de-manda anterior, el valor –3/4 expresa que por cada 100 unidades de-mandadas, el precio disminuye en $0,75; o bien, cada 400 unidades demandadas, el precio disminuye en $3. Para la función de Utilidad, la pendiente (2,5) expresa que por cada unidad vendida, la empresa obtie-ne $2,5 de ganancia.

De esta manera, la función C(x) = 60.000 + 0,75x es una fun-ción lineal (obedece a la forma y = ax + b) donde 60.000 es la ordenada al origen (valor de C cuando x es cero; es decir, el costo total –de adqui-sición– de la camioneta cuando aún no se ha recorrido kilómetro algu-no) y 0,75 es la pendiente (indica que C se incrementa en 0,75 cuando x aumenta una unidad; es decir, indica en cuántos pesos se incrementa C por cada kilómetro recorrido).

Es importante hacer hincapié sobre las unidades en que se ex-presan no sólo las variables sino también cada uno de estos parámetros. Para que la fórmula anterior sea dimensionalmente correcta, la ordenada

Capítulo 6 174

al origen deberá expresarse en $ ($60.000), mientras que la pendiente

tendrá que expresarse en km

$

km

$75,0 . Así tenemos:

[ ] [ ][ ] [ ]bxay += .

[ ] [ ] [ ] [ ]$$.$

)( =+

= km

kmxC

El concepto de razón abstracta o de proporción es necesario a la hora de comprender las unidades de medida que se refieren a razones, como las de pendiente, velocidad, densidad, etc. En tales casos, los va-lores que se miden en la práctica se suelen convertir a una unidad de medida que se define por el divisor: pesos por kilómetro, kilómetros por hora, pesos por gramos, etc.

Al respecto, Bonacina et al (2001) afirman que para compren-der esta idea, el estudiante debe saber que la razón original (por ejem-plo: 0,75 pesos por kilómetro recorrido) se puede convertir a una razón equivalente con el divisor deseado (3 pesos por cada 4 kilómetros reco-rridos), pero además –y esto es lo importante– debe “captar” e “interna-lizar” el concepto, la idea que está más allá de la operación: que la ra-zón (pendiente, en este caso) es una “unidad de medida”; que en el caso de existir una relación de dependencia entre las variables que la forman ésta indica la variación experimentada por la variable dependiente por cada cambio unitario de la variable independiente.

Retomando la actividad propuesta, y a la hora de determinar el costo proyectado si la camioneta recorre 80.000 km en su vida útil, po-demos decir que si se han interpretado los conceptos anteriores se estará en condiciones de responder rápidamente a esta pregunta. Se pide, sen-cillamente, calcular el calor de C cuando x = 80.000:

C(80000) = 0,75 . 80000 + 60000 = 120000

Es decir, el costo proyectado si la camioneta recorre los 80.000 km de su vida útil es de $120.000.

También son interesantes y necesarios los análisis anteriormen-te descriptos para la realización exitosa de la gráfica de la función. Si el


175

alumno opta por graficar la función lineal a partir de la ordenada al origen y la pendiente (es frecuente escucharlo decir “marco 60000 so-bre el eje vertical y luego subo 0,75 y me corro uno a la derecha”), puede suceder en el mejor de los casos que lo haga a sabiendas de que el valor 60.000 (ordenada al origen) se marca sobre el eje vertical pues convencionalmente sobre este eje se grafican los valores de la variable dependiente –C en este caso– y corresponde a un valor nulo de la varia-ble independiente, y que luego sube 0,75 y se corre uno a la derecha pues este valor es el de la pendiente e indica cuánto aumenta C cuando x aumenta una unidad.

Sin embargo, puede ver dificultado su trabajo de correr 0,75 unidades hacia arriba y 1 a la derecha cuando, sobre cada uno de los ejes, los valores representados corresponden a miles de unidades ($ o km). Por eso es necesario que interprete que la pendiente es, como ya dijimos, una razón equivalente a otras que tal vez puedan ser más con-venientes: “C aumenta $0,75 por cada km recorrido”, “$7,50 cada 10 km” o “$15.000 cada 20.000 km”. Por este motivo, en ocasiones, con-viene encontrar las intersecciones de la recta representativa de la fun-ción lineal con cada uno de los ejes cartesianos, o simplemente tener en cuenta el dominio y el recorrido restringidos al problema en cuestión, y los valores que adoptan las variables implicadas en los extremos de estos intervalos, puesto que se trata de una función lineal y sólo dos puntos son suficientes para trazar su gráfica.

Es imprescindible hacer notar en esta situación que, aunque dominio y recorrido de la función lineal (no constante) en un sentido puramente matemático correspondan a todos los valores reales de las variables independiente y dependiente, respectivamente, en la práctica puede haber condiciones de la aplicación que restrinjan dichos conjun-tos.

En nuestro ejemplo, el dominio matemático de la función C(x)=60.000 + 0,75x incluye cualquier valor real de x. No obstante, dentro del contexto de la aplicación habría que establecer la restricción de que x no adopte valores negativos (no existen kilómetros negativos recorridos). Además, si la vida útil de la camioneta se estima en 80.000

Capítulo 6 176

km, entonces x quedará restringida a valores no mayores de 80.000. Por tanto, el dominio restringido de la función en esta aplicación es:

000.800 ≤≤ x

El recorrido restringido de esta función de costo, a la luz de las restricciones de x, será:

000.120000.60 ≤≤ C

Otro detalle que consideramos de gran importancia es el de confeccionar un gráfico que contenga todos los datos que conllevan a la correcta interpretación del mismo: título, valores y unidades que corres-ponden a las variables representadas en cada uno de los ejes, etc., pues-to que una gráfica debe comunicar información a un eventual lector.

Finalmente, para responder ¿cuántos kilómetros habrá recorrido la camioneta cuando el costo total sea de $114.000? sólo habrá que calcular el valor de x para el cual C = 114.000:

C(x) = 60.000 + 0,75.x 114.000 = 60.000 + 0,75.x

x=−

75,0

000.60000.114

x = 72.000 km

Otras sugerencias para la clase de funciones lineales: Una ac-tividad que resulta enriquecedora y muy útil para transparentar cuestio-nes inherentes al diseño de problemas, consiste en generar una serie de ellos con la participación de los alumnos. Si bien es el docente el que tiene en mente el modelo que desea construir, incita a los alumnos a generar sus propios problemas.

Por ejemplo, podemos solicitar el diseño de una secuencia de varias funciones lineales que describan la evolución de diferentes varia-bles (costo total, ingreso total por ventas, utilidades) en función de la producción, para cierto emprendimiento que sea de interés del grupo de estudiantes.

Podemos pensar, por ejemplo, en un microemprendimiento en el que nos proponemos fabricar alimento balanceado para gatos. Para ello, deberemos considerar la posibilidad de alquilar un local, comprar


177

algunas maquinarias, materia prima, etc. Entonces, para empezar, po-dríamos diseñar una función lineal C que describa el costo de producir q unidades de producto.

En este momento se debatirá con los alumnos sobre los posibles valores de los costos fijos y del costo por unidad, como así también, de las restricciones para dichos valores (máxima producción semanal o mensual). A modo de ejemplo, pensemos que la función que se genera es la siguiente:

C(q) = 1,50q + 1000

donde C representa el costo mensual (en $) de producir q unidades (en kilogramos) de alimento balanceado para gatos, limitada a una produc-ción de 2000 kg.

A continuación, podríamos diseñar otra función lineal V para modelar los ingresos por las ventas de lo producido. Nuevamente se debate acerca del posible precio que podría asignársele a cada kilogra-mo de producto. De esta manera, podría llegarse a obtener una función como la que sigue:

V = 2,50q

donde V representa el ingreso mensual por ventas (en pesos) y q la can-tidad de kilogramos de alimento producidos y vendidos por mes. Otra vez se deberán tener en cuenta los valores extremos (mínimo y máximo) que podrían tomar las variables V y q, de acuerdo a las restricciones del problema.

También podríamos solicitar el diseño de una nueva función li-neal U para describir la evolución de las utilidades en función de lo producido. El debate, a esta altura, sólo se reduciría a la explicitación del cálculo necesario para la obtención de U. Así:

U = V – C = 2,50q – (1,50q + 1000) = q – 1000

donde U representa las utilidades mensuales y q la cantidad de kilogra-mos de balanceado producidos y vendidos por mes, teniendo siempre en cuenta dominio y recorrido restringidos para la función. Es interesante escuchar qué conjeturas efectúan los alumnos sobre los valores e inter-

Capítulo 6 178

pretaciones de la pendiente y la ordenada al origen de la función ante-rior. Generalmente, suelen considerar que la ordenada al origen es el 1000 y que denota los costos fijos, cuando en realidad es el –1000 y expresaría que la empresa perdería $1000 si no vende el producto.

La actividad podría complementarse solicitando las gráficas pa-ra cada una de las funciones diseñadas, donde se pondrían en juego las consideraciones anteriormente descriptas acerca de la pendiente y la ordenada al origen y sus respectivos significados, dominio y recorrido restringidos, la correcta y completa información que debe brindar cada una de ellas, etc.

También podríamos pedir a los alumnos que intuitivamente conjeturen acerca del crecimiento o decrecimiento de cada función, si hay dos de ellas con la misma tendencia en qué caso es mayor, si hay algún nivel de producción (valor de q) para el que los costos totales sean iguales a los ingresos por ventas (es decir, las utilidades sean nu-las), que averigüen las utilidades mensuales máximas, entre otras va-riantes.

Las ecuaciones y los dilemas con la “regla del pasa”

Uno de tantos problemas que enfrenta el alumno, en el aprendi-zaje de la Matemática, es el primer contacto que tiene con la resolución de ecuaciones. Es muy frecuente que tengan dificultades al tratar de despejar la incógnita de una ecuación, como ya lo hemos mencionado en capítulos anteriores.

Tal vez, una de las causas de estas dificultades radica en que los docentes no nos detenemos lo suficiente en el análisis y aplicación de las propiedades de la igualdad, las cuales tienen íntima relación con dos trascendentes temas: las ecuaciones y las identidades. En el estudio del álgebra nos ocupamos principalmente de las primeras, siendo las ecua-ciones de primer grado las que primeramente se trabajan en sus dos aspectos, los teóricos y los de aplicación a problemas teórico-prácticos.

Este primer contacto con las propiedades de la igualdad suele resultar un tanto complejo para los estudiantes, fundamentalmente en aquellos que aprendieron sólo reglas de transposición de términos como: “El que está sumando pasa restando”, “El que está dividiendo pasa

�


179

multiplicando”, etc. Si bien las reglas están completamente determina-das, él tendrá que utilizar sus habilidades ya que los patrones que se le presentarán serán algorítmicos y, en realidad, debería poder despejar cualquier incógnita por complicada que ésta sea, lo cual no siempre ocurre.

No debemos pensar que solamente a través de la práctica coti-diana, en la medida que los alumnos realizan ejercicios, progresarán en la adquisición del conocimiento. Creemos que mayor cantidad de ejerci-cios no es siempre mejor y que, muchas veces, sólo parece “cubrir” y reforzar todo un tema pero se “descubre” poco sobre él.

Asimismo, hemos expresado en capítulos previos que en todas las producciones escritas de los alumnos, las cuales fueron objeto de estudio de nuestra investigación, los alumnos no verificaban la solución encontrada, denotando que no había necesidad de hacerlo.

Al respecto, Schoenfeld (1985) hace un análisis importante de los resultados de una investigación llevada a cabo sobre resolución de problemas. La investigación conllevó un experimento didáctico en el cual se les había dado a los alumnos un adiestramiento especial para resolver problemas y posteriormente se los sometió a una comprobación muy detallada (con entrevistas, incluso) para determinar cómo la ense-ñanza había afectado su rendimiento a la hora de resolver problemas. En este caso, la metodología de enseñanza se basaba en el modelo de reso-lución de problemas que propone Polya, haciéndose mucho énfasis en el cuarto paso: “mirando atrás” o mirada retrospectiva del problema.

Prácticamente el 40% del tiempo de las clases observadas, el docente lo invirtió revisando las situaciones dadas, recapitulando y acor-tando los razonamientos, generalizando, etc. No obstante ello, produjo sobresalto entre los investigadores cuando detectaron que los alumnos no se ocupaban en absoluto de mirar atrás, a pesar del enorme énfasis puesto en ello en la clase. Un análisis de las cintas de video tomadas en la clase aclararon el motivo, pues después que se había resuelto un pro-blema, el profesor normalmente se hacía a un lado y decía algo como:

Muy bien, volvamos a revisar la solución y veamos lo que podemos aprender de ella. Lo que el profesor quería decir y pensó que estaba

Capítulo 6 180

claro, era algo como: La revisión es parte importante del proceso de resolución de problemas. Verificar la respuesta, comprobar el razo-namiento, buscar otras derivaciones, situarlo en otros contextos, utili-zar el método o el resultado en otros problemas, todo ello nos ayuda a conseguir una mejor comprensión de la solución. Lo que el alumno vio fue lo siguiente: El profesor va a revisar la solución. Yo ya la he entendido, así que en verdad no hace falta que preste gran atención a esto. (p. 23)

Esto refleja que si no decimos algo claramente –no importa lo evidente que a nosotros nos parezca– existe siempre la posibilidad de que no se comprenda como uno lo desea. Por esta razón, Schoenfeld (1985) sugiere que se empleen las clásicas instrucciones que utiliza el ejército norteamericano para la elaboración de los manuales de instruc-ción:

1. Dígales lo que les va a decir.

2. Dígaselo.

3. Dígales lo que les ha dicho.

Demás está decir que no hay que seguir estas instrucciones al cien por cien, sobre todo en una clase donde se supone que los alumnos tienen que descubrir por ellos mismos la mayoría de los resultados, pero no perjudica, sin embargo, asegurarse de que han hecho estos descubri-mientos. Generalmente solemos preguntarnos: ¿Cuánto debería explicar a mis alumnos? Haríamos bien en seguir el consejo que suele dársele a un viajero sobre cuánta propina debiera dar a los taxistas en un país extranjero: “Deja caer en las manos del taxista las monedas de una en una; y cuando comience a alegrarse su cara, deja de echar monedas”.

Retomando lo anterior, también podemos decir que no siempre ofrecemos a nuestros alumnos ecuaciones en donde se convierta en re-quisito fundamental constatar la validez de la misma. Pero previamente hagamos un análisis de lo que está detrás de cada “regla del pasa” que manejan los estudiantes, y las implicaciones que las mismas tienen.

Sabemos que básicamente existen tres operaciones que garanti-zan la equivalencia entre ecuaciones. Así tenemos:


181

� 1. Sumar (o restar) un mismo número o polinomio a ambos miembros de una ecuación, en donde el polinomio debe estar en la misma variable que aparece en la ecuación.

Por ejemplo, si:

–3x = 8 – 4x,

sumando 4x a ambos miembros nos da la ecuación equivalente:

–3x + 4x = 8 – 4x + 4x,

o, x = 8

� 2. Multiplicar o dividir ambos miembros de una ecuación por la misma constante, excepto el 0.

Por ejemplo, si

15x = 3,

al dividir ambos miembros por 15 nos da la ecuación equivalente:

ó, 5

1=x

Hacemos notar que nos ha resultado frecuente encontrar alum-nos que se “inventan” nuevas reglas de transposición de términos cuan-do resuelven ecuaciones. Así, por ejemplo, si aparece un factor o divi-dendo negativo:

–3x = 15

suelen argumentar: “El –3 está multiplicando, entonces hay que pasarlo dividiendo y cambiado de signo”, cuando no se hubiese presentado esa “extraña” regla si manejasen propiedades elementales.

� 3. Reemplazar cualquiera de los miembros de una ecua-ción por una expresión equivalente.

15

3

15

15=

x

Capítulo 6 182

Esta propiedad es evidente cuando resolvemos ecuaciones de la forma:

x.(x – 4) = 9,

pues reemplazamos el miembro izquierdo por la expresión equivalente x2 – 4x, lo cual nos da la ecuación:

x2 – 4x = 9

Repetimos: la aplicación de estas operaciones garantiza que la ecuación resultante sea equivalente a la dada. Sin embargo, algunas veces tenemos que aplicar otras operaciones que no necesariamente resultan en ecuaciones equivalentes. Así encontramos las siguientes.

� 4. Multiplicar ambos miembros de una ecuación por una expre-sión que involucre la variable.

� 5. Dividir ambos miembros de una ecuación por una expresión que involucre la variable.

� 6. Elevar ambos miembros de una ecuación al mismo exponente.

Ilustraremos estas tres operaciones para su mejor comprensión. En primera instancia lo haremos de manera simplificada y de forma tal que sería poco probable que un alumno procediera así. Sin embargo, en los siguientes ejemplos aparecerá naturalmente la necesidad de aplicar alguna de estas operaciones, donde no siempre nos garantizará la equi-valencia entre las ecuaciones.

�Ejemplo 1: Por simple inspección, la única raíz de x – 3 = 0 es 3, pero si multiplicamos a cada miembro por x (operación 4) nos da-ría:

x2 – 3x = 0,

ecuación ésta que se satisface si x es 0 ó 3. Pero 0 no satisface la ecua-ción original. Por lo tanto, las dos ecuaciones no son equivalentes.

�Ejemplo 2: Continuando, puede verificarse que la ecuación:

(x – 1).(x – 5) = 0


183

se satisface cuando x es 1 ó 5. No obstante ello, es frecuente que nues-tros alumnos “pasen” alguno de los factores dividiendo, lo que equivale a dividir ambos miembros por uno de ellos (operación 5). Así, si consi-deramos al factor (x – 5) nos quedaría:

x – 1 = 0,

cuya única raíz es 1. Otra vez no tenemos una equivalencia ya que, en este caso, se ha “perdido” una raíz. Observemos que cuando x es 5, la división entre x – 5 implica dividir por 0, lo cual es una operación que no es válida.

�Ejemplo 3: Al resolver la ecuación: 3

6

4

5

−=

− xx nos ve-

mos obligados a transformarla para su resolución en una que no tenga fracciones. Nuestros alumnos dirían: “Paso el x – 4 de la primera frac-ción multiplicando al segundo miembro, y el x – 3 de la segunda pasa multiplicando al primero”.

Esto equivale a multiplicar ambos miembros por el mínimo co-mún denominador: )3)(4( −− xx , y tenemos:

5.(x – 3) = 6.(x – 4) (ecuación lineal),

5x – 15 = 6x – 24,

9 = x

En el primer paso multiplicamos cada lado por una expresión que implicó a la variable x. Como mencionamos, esto significa que no estamos garantizando que la última ecuación sea equivalente a la origi-nal. Así, debemos verificar si 9 satisface o no la ecuación original.

Sustituyendo 9 por x en la ecuación, obtenemos:

( )( )( ) ( )5

0

5

5.1

−=

−

−−

xx

xx

−−−=

−−−

3

6)3)(4(

4

5)3)(4(

xxx

xxx

Capítulo 6 184

39

6

49

5

−=

−

1 = 1

que es un enunciado verdadero. Por lo tanto, 9 es una raíz.

Una resolución alternativa que evita la multiplicación de ambos lados por el mínimo común denominador sería la siguiente:

03

6

4

5=

−−

− xx

Suponiendo que x no es 3 ni 4, ya que anulan al denominador de cada fracción, y combinando las fracciones nos queda:

0)3)(4(

9=

−−

−

xx

x

Puesto que una fracción puede ser 0 sólo cuando su numerador es 0 y su denominador distinto de cero, nos lleva a que x = 9.

�Ejemplo 4: Para resolver 82

12

4

53

2

432 −−

=−

−−

+

+

xxx

x

x

x po-

demos notar que

x2 –2x – 8 = (x + 2)(x – 4),

Por lo tanto, el mínimo común denominador es (x + 2).(x – 4). Multiplicando ambos miembros por el mismo, tenemos:

)4)(2(

12).4).(2(

4

53

2

43).4).(2(

−+−+=

−

−−

+

+−+

xxxx

x

x

x

xxx

(x – 4).(3x + 4) – (x + 2).(3x – 5) = 12,

3x2 – 8x – 16 – (3x2 + x – 10) = 12,

3x2 – 8x – 16 – 3x2 – x + 10 = 12,

– 9x – 6 = 12,

– 9x = 18,


185

x = – 2.

Sin embargo, la ecuación original no está definida para x = –2 (no podemos dividir entre cero), de modo que no existen raíces. El con-junto solución es ∅, aunque –2 resultó ser el resultado al que arribamos, no es una solución de la ecuación original y se le denomina solución extraña de la ecuación original.

�Ejemplo 5: Consideremos ahora la ecuación lineal:

1313 −=+ x

la cual se verifica para x = 5. No obstante, si elevamos ambos miembros al cuadrado (nuestros alumnos dirían: “pasamos la raíz como poten-cia”) tendríamos:

( )21313 −=+ x

1216 2 +−= xx

16120 2 −+−= xx

01522 =−− xx

La última ecuación se satisface para x = 5 y x = –3, pero –3 no es una raíz de la ecuación dada en primera instancia. Nuevamente la primera ecuación no resulta equivalente a la última y hemos “ganado” una solución.

�Ejemplo 6: Para resolver: 3332 =−+ xx , elevamos am-bos miembros a la misma potencia para eliminar el radical. Esta opera-ción no garantiza la equivalencia, de modo que debemos verificar las “soluciones” resultantes. Empezamos aislando el radical en un lado.

3332 −=+ xx

x2 + 33 = (x + 3)2

x2 + 33 = x2 + 6x + 9

Capítulo 6 186

24 = 6x

4 = x

Se debe demostrar por sustitución que 4 es en realidad una raíz de la primera ecuación, lo cual es cierto.

� Ejemplo 7: Con algunas ecuaciones con radicales, puede que se tenga que elevar ambos miembros a la misma potencia en más de

una ocasión, como en: 33 −=−− xx .

Cuando una ecuación tiene dos términos que implican radicales, primero la escribimos de modo que se encuentre un radical en cada lado, si es posible. La razón por la que deseamos un radical en cada lado es para eliminar al elevar al cuadrado un binomio con dos radicales diferentes.

33 −=− xx

( ) ( )2233 −=− xx

963 +−=− xxx

126 =x

2=x

x = 4

Sustituyendo 4 en el lado izquierdo de la ecuación original nos

da 41 − que es –1. Ya que este resultado no es igual al del lado dere-cho, –3, concluimos en que no hay solución. Esto es, el conjunto solu-ción es ∅. Aquí 4 es una solución extraña.

De lo anterior queda claro que cuando realicemos las operacio-nes 4, 5 y 6, debemos ser cuidadosos acerca de las conclusiones concer-nientes a las raíces de una ecuación dada. Por tanto, se debe verificar si cada “solución” obtenida por estas operaciones satisface o no la ecua-ción original.


187

En resumen, una ecuación puede pensarse como un conjunto de restricciones sobre cualquier variable en la ecuación. Las operaciones 4, 5 y 6 pueden aumentar o disminuir las restricciones, dando lugar a solu-ciones diferentes de la ecuación original. Sin embargo, las operaciones 1, 2 y 3 nunca afectan a dichas restricciones.

Por todo lo expuesto, consideramos que es necesario incentivar al alumno a resolver ecuaciones mediante la aplicación concienzuda de estas propiedades –y no de manera algorítmica–, teniendo en cuenta cuáles garantizan la equivalencia y cuáles no lo hacen, con la finalidad de motivarlo a la verificación de la misma antes de dar su respuesta final.

Poniendo un problema en ecuaciones: Para poner un problema en ecuaciones hay que traducir el enunciado del problema, que está es-crito en lenguaje natural, al lenguaje algebraico. Esto es equivalente a cuando tenemos que traducir un texto de un idioma extranjero al caste-llano, pues no siempre es conveniente hacerlo palabra por palabra. Habi-tualmente necesitamos comprender el significado global de cada frase del texto para luego buscar expresiones castellanas que las traduzcan. Lo mismo sucede al traducir una frase de un problema al lenguaje alge-braico. Pero para traducir al lenguaje algebraico tenemos que tener en cuenta que, además, en ese lenguaje sólo se puede hablar de cantidades, operaciones con cantidades y relaciones entre ellas. Al respecto, Radillo et al (2005) expresan que:

La traducción del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático es un proceso mental que conduce a convertir un problema opaco de la rea-lidad en un problema clarificado matemático, de modo que resolvien-do éste se consiga una solución.

De todos los lenguajes que ha creado el ser humano para percibir, es-tudiar y comprender el mundo en el que vive, el matemático es el que cuenta con los significados más exactos y las reglas de composición más rigurosas. (p. 4)

En este sentido, resulta frecuente encontrar en los libros de texto actividades que emplean una jerga especial, que implican palabras y expresiones típicas, y una determinada forma de proceder. Un ejemplo de ellas sería cuando les proponemos a los alumnos situaciones como:

Capítulo 6 188

El doble de un número aumentado en 5 unidades, es igual al tri-ple de su consecutivo. Calcula dicho número.

Así, si x denota el número buscado, una traducción del enuncia-do de la situación nos conduce a una ecuación que permitiría hallar su valor:

El doble de un número aumentado en 5 unidades es igual al triple de su consecutivo

En consecuencia, la ecuación: 2x + 5 = 3(x + 1) constituye un modelo algebraico del enunciado verbal anterior.

Esta actividad es importante y reconocemos que ofrece muchas dificultades, pues aprender a comunicar en un lenguaje matemático no se presenta como una tarea fácil, en tanto el alumno se enfrenta a un lenguaje formal y dominado por un gran número de normas que le con-fieren gran rigidez (Radillo et al, 2005, p. 2).

A la vez, si bien es cierto que debemos insistir en tratar de lo-grar que el alumno adquiera la habilidad para decodificar un enunciado, creemos que no hay que quedarse sólo en esta primera etapa, sino más bien, trascender la misma recurriendo al uso de otras herramientas y habilidades. Con frecuencia los alumnos nos sorprenden y expresan: “Yo sé cuánto da pero no me doy cuenta de cómo plantear la ecuación, ¿podemos poner sólo el resultado?”. Esto no hace más que confirmar-nos que no es necesaria la ecuación que pretendíamos que se resolviera, pues se podía conseguir la respuesta sin recurrir a ella.

Por lo expuesto, consideramos oportuno presentarles problemas donde su resolución demanda algo más que decodificar un enunciado y no es trivial la ecuación que modela la situación. Un ejemplo de ello estaría en la siguiente situación:

Una compañía de bienes raíces compra una parcela de campo a $ 480.000. Posteriormente, vende una fracción de ella y se queda con 20 hectáreas, recuperando el dinero invertido. Si obtiene en la venta una ganancia de $2000 por hectárea, con respecto al costo original abonado por la misma. ¿Cuántas hectáreas fueron vendidas?

2 x + 5 = 3 (x + 1)


189

La resolución la haremos marcando algunas etapas que conside-ramos necesarias que el alumno tenga en cuenta, y se detenga en ellas a la hora de poner un problema de este tipo en ecuaciones. Veamos un detalle de las mismas:

En primera instancia debemos comprender el enunciado, identi-ficando las cantidades conocidas (o datos) y las cantidades des-conocidas (incógnitas), así como las relaciones entre ellas. Para ello, es bueno hacer algún esquema o dibujo que nos ayude con la interpretación.

Luego, damos nombre a una de las cantidades desconocidas, asignándole una letra, lo cual es importante para posteriormente analizar la coherencia de la ecuación construida.

x: Cantidad de hectáreas vendidas

Representamos las cantidades desconocidas mediante expresio-nes algebraicas que traducen las relaciones entre esas cantidades y la que hemos designado con una letra.

Cantidad de hectáreas compradas: x + 20

Si tenemos en cuenta que el precio por hectárea se obtiene del cociente entre el monto pagado y la cantidad de hectáreas ven-didas o compradas, resulta:

Precio de compra por hectárea: 20

000.480

+x

2

3

20 hectáreas

La parcela completa se compró a $ 480.000

Una fracción de la parcela se vende a

$ 480.000

1

Capítulo 6 190

Precio de venta por hectárea: x

000.480

Escribimos una igualdad entre las expresiones algebraicas (ecuación) a partir de las relaciones existentes entre las diferen-tes cantidades.

Ganancia por hectárea = Precio de venta por hectárea – Precio de compra por hectárea

20

000.480000.480000.2

+−=

xx

Comprobamos que los dos miembros de la igualdad representan la misma cantidad, para lo cual será importante tener en cuenta las unidades de medida. Si los dos miembros de la igualdad re-presentan la misma cantidad, hay grandes posibilidades de haber hecho una traducción adecuada del lenguaje natural al lenguaje algebraico, es decir, habremos puesto el problema en ecuaciones.

20

000.480000.480000.2

+−=

xx

ha

$=

ha

$ –

ha

$

Una vez puesto el problema en ecuaciones, procedemos a la re-solución de la ecuación:

xxxx .000.480)20.(000.480)20.(.000.2 −+=+

xxxx 000.480000.600.9000.480000.40000.2 2 −+=+

0000.600.9000.40000.2 2 =−+ xx

0800.4202 =−+ xx

La ecuación arroja por resultados x1 = 60 y x2 = –80. Descarta-mos el segundo valor, pues sería absurdo considerar una cantidad nega-tiva de hectáreas compradas. Hasta tanto no verifiquemos la solución, una respuesta tentativa sería que se vendieron 60 hectáreas.

4

5

6


191

Comprobamos ahora que el resultado obtenido satisface la con-dición del problema, para ello hacemos una mirada retrospecti-va:

Si se vendieron 60 hectáreas, quiere decir que la parcela tenía originalmente 80 hectáreas, pues la compañía de bienes raíces se quedó con 20 hectáreas. Puesto que abonaron $480.000 por la parcela comple-ta, significa que cada hectárea fue pagada a razón de:

haha

$000.6

80

000.480$= .

Ahora bien, al vender 60 hectáreas también a $480.000, el pre-cio de venta por hectárea resultó de:

haha

$000.8

60

000.480$= .

Esto es, se han ganado $2.000 por hectárea vendida con respecto al precio de compra. En síntesis, es correcto afirmar que se vendieron 60 hectáreas.

Destacamos que el trabajo con problemas, donde resulte intere-sante ponerlos en ecuaciones y trasciendan la mera traducción literal de una frase, puede conducir a poner en evidencia algunas dificultades en los alumnos, las cuales estarían orientando, posteriormente, nuestras acciones como docentes. Entre ellas destacamos:

a) Falta de entendimiento del lenguaje cotidiano en que se ex-presa el texto del problema, puesto que suelen aparecer pa-labras que en Matemática y en el lenguaje ordinario tienen distintos significados (la palabra “diferencia”, por ejemplo, en Matemática generalmente alude a la operación de resta, mientras que en el lenguaje común es el antónimo de igual-dad).

b) Falta de conocimientos matemáticos involucrados en el problema (la resolución de ecuaciones fraccionarias, por ejemplo).

7

Capítulo 6 192

c) Falta de conocimientos relativos a otras ciencias o discipli-nas involucradas en el problema (costo fijo, utilidad, velo-cidad, densidad, etc.)

Creemos que el proceso de partir de situaciones problemáticas de la realidad concreta, o cercanas con la vida cotidiana y la cultura propia, e ir más allá, analizando, comparando y creando modelos, propio del trabajo de construcción conceptual en Matemática, nos lleva a abor-dar la idea de trascendencia, siendo el lenguaje un punto importante para generalizar y trascender los hechos matemáticos (Radillo et al, 2005).

A modo de cierre, diremos que nuestro trabajo se direcciona no sólo hacia el análisis de los patrones de error que cometen los alumnos sino también, a proporcionar indicios sobre qué estrategias pueden re-sultar las más convenientes –a la hora de llevar adelante los procesos de enseñanza y aprendizaje en Matemática– en vistas de lograr la supera-ción de los mismos.

Por esta razón, describimos algunas actividades para la clase de Matemática con la intención de orientar y ayudar a superar algunas difi-cultades y errores en esta disciplina. No queremos dejar de destacar que cada propuesta es considerada una versión aún en proceso y resultado de una sucesión de etapas de diseño, cuyo detrás de escena hemos compar-tido con los lectores. Asimismo, mostramos cómo el análisis propio o el que surge del intercambio con colegas, ha perfilado alternativas e im-pulsó a repensar, justificar y develar criterios que llevaron a revisar y tomar decisiones respecto a cada propuesta sugerida.

Estamos convencidos que trabajar la Matemática con éxito im-plica saber cuándo hay que explorar, saber elegir el camino más ade-cuado, seguirle la pista para ver si da frutos, pero también, lograr que nuestros alumnos estén más dispuestos a intentar lo desconocido, a la hora de trabajar ellos mismos la Matemática. Esto conlleva a buscar actividades que favorezcan la discusión, la reflexión, y que les faciliten los medios de ver cómo se puede conseguir resultados de manera más eficiente y criteriosa. En la medida en que entrenemos a nuestros alum-nos a pensar independientemente y a utilizar los conocimientos de que disponen, habremos desarrollado con éxito nuestra tarea como profeso-res.


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ERRORES EN LAS MATEMATICAS

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