Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Τμήμα Φυσικής

Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών ΣπουδώνΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ (ΡΑΔΙΟΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ)

Σχεδίαση στοιχειοκεραίας πολλαπλής

δέσμης με χρήση BBO Αλγορίθμου καιμελέτη αλγορίθμων

Διπλωματική εργασία

Σταυρόπουλος Δημήτρης

Επιβλέπων Σωτήριος Κ Γούδος

Θεσσαλονίκη Οκτώβριος 2013

Περιεχόμενα

1 Σχεδίαση κεραίας 2

11 Διατύπωση του προβλήματος 2

12 Το πρόγραμμα σχεδίασης 3

13 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνηση περιπτώσεων 4

131 Αριθμός στοιχείων κεραίας 6

132 Μέγεθος πληθυσμού 7

133 Μετάλλαξη 13

14 Σύγκριση αλγορίθμων 18

15 Συμπεράσματα 19

1

Κεφάλαιο 1

Evolutionary algorithms -ΕξελικτικοίΑλγόριθμοι

11 Εισαγωγή στους αλγόριθμους

Με τον όρο rdquoΑλγόριθμοςrdquoπεριγράφεται η διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος Ο όρος είναι μία

παραλλαγή του ονόματος του Πέρση μαθηματικού του 9ου αιώνα μΧ Αβυ Αβδαλλαη Μυηαμμαδ ιβν

Μυςα αλ-Κηωαριζμı (Αμπού Αμπντουλάχ Μοχάμεντ Ιμπν Μούζα Αλ Χουαρίζμι)1ο οποίος έγραψε

το βιβλίο umlαλ-Κιταβ αλ-μυη

˘

ταςαρ φı ηιςαβ αλ-γαβρ ωα-λ-μυχαβαλαrsquo2

το οποία περιείχε

συστηματικές τυποποιημένες λύσεις αλγεβρικών3προβλημάτων ΄Οταν πέντε αιώνες αργότερα το βιβλίο

μεταφράστηκε στα Λατινικά ο μεταφραστής άρχιζε με τη φράση rdquoAlgorithmus dixit rdquo(ο Αλγόριθμος

είπε) Σιγά σιγά λοιπόν άρχισε να καθιερώνεται ο όρος αυτός για να περιγράψει συστηματικές

διαδικασίες αριθμητικών χειρισμών φτάνοντας στη σημερινή έννοια μετά την υιοθέτησή του από την

επιστήμη των ηλεκτρονικών υπολογιστών

Η rdquoιδέαrdquoτου αλγόριθμου είναι γνωστή αρκετές χιλιάδες χρόνια παρόλο που δεν της είχε δοθεί κάποιο

συγκεκριμένο όνομα Από τους πιο γνωστούς αλγόριθμους είναι το Κόσκινο του Ερατοσθένη (εύρεση

πρώτων αριθμών) και η μέθοδος του Ευκλείδη για την εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο αριθ-

μών που μεταγενέστερα ονομάστηκε Αλγόριθμος του Ευκλείδη Οι δύο παραπάνω αρχαίοι αλγόριθμοι

περιγράφουν τα βήματα που πρέπει να ακολουθήσει κάποιος για να λύσει ένα αριθμητικό πρόβλημα

Αυτή ήταν και η αρχική έννοια που δόθηκε στον όρο Με την εισαγωγή του όμως στην επιστήμη των

υπολογιστών ο όρος κατά κάποιον τρόπο μεταλλάχθηκε λίγο Χρησιμοποιήθηκε στην αρχή με την

παραπάνω έννοια αλλά με την εξέλιξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών και των μεθόδων και γλωσσών

προγραμματισμού τα βήματα που περιγράφουν έναν αλγόριθμο δεν είναι απλές αριθμητικές πράξεις αλ-

λά ως επί το πλείστον λογικά βήματα ΄Ενας αναλυτικός ορισμός της έννοιας του αλγόριθμου όπως

χρησιμοποιείται τώρα είναι

Αλγόριθμος είναι ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών αυστηρά καθορισμένων και εκτελέσιμων σε

πεπερασμένο χρόνο οι οποίες αν ακολουθηθούν επιτυγχάνεται ένα επιθυμητό αποτέλεσμα

Βάσει του παραπάνω ορισμού για να χαρακτηριστεί μία μέθοδος ως αλγόριθμος και αυτός ο αλ-

γόριθμος να είναι λειτουργικός πρέπει να πληρεί κάποιες προϋποθέσεις ή αλλιώς να έχει κάποια βασικά

χαρακτηριστικά Τα χαρακτηριστικά αυτά είναι

bull Καθοριστικότητα - Definiteness Κάθε κανόνας ή βήμα του να ορίζεται επακριβώς και

η αντίστοιχη διεργασία να είναι συγκεκριμένη Κάθε εντολή πρέπει να καθορίζεται χωρίς καμία

αμφιβολία για τον τρόπο εκτέλεσής παίρνοντας υπόψιν τις διάφορες περιπτώσεις που μπορεί να

1Το όνομα μεταφέρθηκε στα Λατινικά ως rdquoAlgoritmirdquoαπό όπου προήλθε ο όρος Αλγόριθμος όπως και οι λέξεις

guarismo (Ισπανικά) καιalgarismo (Πορτογαλικά) που σημαίνουν ψηφίο2Που σημαίνει rdquoτο συνοπτικό βιβλίο για υπολογισμούς με μεταφορά και απλοποίησηrdquo3Στον Αλ Χουαρίζμι αποδίδεται η μητρότητα και του όρου άλγεβρα από την αραβική λέξηrdquoal-jabrrdquoπου σημαίνει την

μεταφορά ενός όρου από το ένα μέλος μιας σχέσης στο άλλο και χρησιμοποίησε στο ίδιο βιβλίο

2

υπάρχουν όπως πχ η περίπτωση ο διαιρέτης να είναι μηδέν και το υπόριζο να είναι αρνητικός αριθ-

μός που μπορεί να οδηγήσουν σε λανθασμένα αποτελέσματα ή ακόμα και σε αποτυχία εκτέλεσης

του αλγορίθμου

bull Περατότητα - Finiteness Κάθε εκτέλεση πρέπει να είναι πεπερασμένη Δηλαδή να τελειώνει

ύστερα από έναν πεπερασμένο αριθμό διεργασιών ή βημάτων Μία διαδικασία που δεν τελειώνει

μετά από συγκεκριμένο ή έστω πεπερασμένο αριθμό βημάτων λέγεται απλά υπολογιστική διαδικα-

σία

bull Αποτελεσματικότητα - Effectiveness Να είναι μηχανιστικά αποτελεσματικός δηλαδή όλες

οι διαδικασίες που περιλαμβάνει να μπορούν να πραγματοποιηθούν με ακρίβεια και σε πεπερασμένο

χρόνο από τον σχεδιαστή ή προγραμματιστή του αλγορίθμου Κάθε μεμονωμένη εντολή του

αλγορίθμου πρέπει να είναι απλή και όχι σύνθετη (ανάλογα με τις δυνατότητες της γλώσσας

προγραμματισμού στην οποία υλοποιείται) Δηλαδή μία εντολή δεν αρκεί να έχει ορισθεί αλλά

πρέπει να είναι και εκτελέσιμη

bull Είσοδος δεδομένων - Input Κατά την εκκίνηση εκτέλεσης του αλγορίθμου καμία μία ή

περισσότερες τιμές δεδομένων πρέπει να δίνονται ως είσοδοι στον αλγόριθμο Η περίπτωση που

δε δίνονται τιμές δεδομένων εμφανίζεται όταν ο αλγόριθμος δημιουργεί και επεξεργάζεται κάποιες

πρωτογενείς τιμές με τη βοήθεια συναρτήσεων παραγωγής τυχαίων αριθμών ή με τη βοήθεια άλλων

απλών εντολών

bull ΄Εξοδος αποτελεσμάτων - Output Να δίνει τουλάχιστον ένα μέγεθος ως αποτέλεσμα

που εξαρτάται κατά κάποιο τρόπο από τις αρχικές εισόδουςΟ αλγόριθμος πρέπει να δημιουργεί

τουλάχιστον μία τιμή (δεδομένων) ως αποτέλεσμα προς το χρήστη ή προς ένα άλλο αλγόριθμο

΄Ενας αλγόριθμος μπορεί να υλοποιηθεί είτε μηχανικά με κάποιο ολοκληρωμένο ακολουθιακό

κύκλωμα είτε με κάποιο λογισμικό Ανάλογα με την πολυπλοκότητά του γίνεται και η κατάλληλη

επιλογή αλλά με οποιοδήποτε τρόπο γίνει η υλοποίηση η rdquoσυμπεριφοράrdquoτου πρέπει να είναι η ίδια

Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι μία αριθμομηχανή Αν είναι απλά μία ηλεκτρονική συσκευή οι

πράξεις γίνονται καθαρά μηχανικά μέσω των ολοκληρωμένων κυκλωμάτων που την αποτελούν Αν είναι

πρόγραμμα σε έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή οι πράξεις γίνονται από τον επεξεργαστή του ηλεκτρονικού

υπολογιστή με τρόπο που καθορίζεται από το λογισμικό που υλοποιεί την αριθμομηχανή Ο αλγόριθμος

βάσει του οποίου θα γίνουν οι πράξεις είναι και στις δύο περιπτώσεις ο ίδιος και φυσικά το αποτέλεσμα

της ίδιας πράξεις και στις δύο υλοποιήσεις θα είναι το ίδιο ΄Ολες οι γλώσσες προγραμματισμού ή σχε-

δίασης ψηφιακών συστημάτων είναι στην ουσία εργαλεία υλοποίησης αλγορίθμων Κάθε ολοκληρωμένο

ακολουθιακό κύκλωμα και κάθε πρόγραμμα ηλεκτρονικού υπολογιστή που έχει σχεδιαστεί στηρίζεται

σε έναν αλγόριθμο ή αλλιώς είναι η υλοποίηση ενός από πολύ απλού μέχρι πολύ σύνθετου αλγορίθμου

12 Βελτιστοποίηση

Η χρησιμότητα των αλγορίθμων είναι τεράστια ειδικά στη μελέτη πολύπλοκων προβλημάτων που

απαιτούν πολλές και δύσκολες πράξεις Για το λόγο αυτό αναπτύσσονται καινούριοι αλγόριθμοι και

μελετούνται ήδη υπάρχοντες από και για όλους τους επιστημονικούς κλάδους Η μελέτη και ανάπτυξη

αλγορίθμων αποτελεί τη rdquoΘεωρία Αλγορίθμωνrdquo Με τη θεωρία αυτή ασχολείται κατά κόρον η επιστήμη

των υπολογιστών και του προγραμματισμού παρέχοντας στους υπόλοιπους επιστημονικούς κλάδους

χρήσιμα εργαλεία για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων ΄Οσο γίνονται πιο πολύπλοκα τα προβλήματα

που απαιτούν λύση τόσο πιο πολύπλοκοι και rdquoέξυπνοιrdquoγίνονται και οι αλγόριθμοι Ειδικά σε προ-

βλήματα των οποίων η λύση δεν μπορεί να δοθεί μέσω πράξεων και μονοσήμαντα η χρήση πολύπλοκων

αλγορίθμων είναι απαραίτητη Τέτοια προβλήματα λύνονται με μεθόδους βελτιστοποίησης4 Οι μέθοδοι

αυτές απαιτούν πολλές δοκιμές τιμών των παραμέτρων ενός συστήματος μέχρι τη βέλτιστη τιμή της

4Ο όρος της βελτιστοποίησης στα εφαρμοσμένα μαθηματικά αναφέρεται στην αναζήτηση βέλτιστων παραμέτρων ενός

- συνήθως περίπλοκου - συστήματος

3

ζητούμενης συνάρτησης (ελάχιστη ή μέγιστη) Αν δεν είναι μία η προς βελτιστοποίηση συνάρτηση

η διαδικασία ονομάζεται βελτιστοποίηση με πολλαπλά κριτήρια που είναι η διαδικασία της ταυτόχρονης

βελτιστοποίησης δυο ή περισσότερων αντικρουόμενων ζητημάτων με διαφόρους περιορισμούς σε ένα

πρόβλημα

Με μαθηματικούς όρους το πρόβλημα βελτιστοποίησης με πολλαπλά κριτήρια μπορεί να διατυπωθεί

ως εξής (για ελαχιστοποίηση συνάρτησης)

minx [micro1(x) micro2(x) micron(x)]T όταν ισχύουν g(x) le 0 h(x) = 0 και xl le x le xu

όπου microi είναι η αντικειμενική συνάρτηση του i κριτηρίου τα g και h είναι οι περιορισμοί ανισότητας και

ισότητας αντίστοιχα και το x είναι το διάνυσμα των μεταβλητών βελτιστοποίησης ή απόφασης Η λύση

για το ανωτέρω πρόβλημα είναι ένα σύνολο από σημεία Pareto Οι λύσεις Pareto είναι εκείνες για της

όποιες η βελτιστοποίηση ενός κριτηρίου μπορεί να επέλθει μόνο με την χειροτέρευση ενός τουλάχιστον

κριτηρίου Παρόλα αυτά αντί για μια μόνο λύση στο πρόβλημα (κάτι το οποίο είναι τυπικά η περίπτωση

του παραδοσιακού μαθηματικού προγραμματισμού) η λύση σε ένα πρόβλημα πολλαπλών κριτηρίων είναι

μια σειρά (πιθανότατα άπειρων) σημείων Pareto5

Υπάρχουν αρκετοί τρόποι επίλυσης τέτοιων προβλημάτων Οι πιο διαδεδομένοι είναι

bull Κατασκευή συναθροίσματος αντικειμενικών συναρτήσεων (Aggregate Objec-tive Function - AOF) Αυτή είναι ίσως η πιο διαισθητική προσέγγιση για την επίλυση προ-

βλημάτων με πολλαπλά κριτήρια Η βασική ιδέα είναι να συνδυαστούν όλες οι αντικειμενικές

συναρτήσεις σε μια μόνο συναρτησιακή μορφή η οποία ονομάζεται AOF ΄Ενας γνωστός συνδυα-

σμός είναι το σταθμισμένο γραμμικό άθροισμα των κριτηρίων Ορίζουμε κάποιο rdquoβάροςrdquoγια το

κάθε προς βελτιστοποίηση κριτήριο (έναν παράγοντα με τον οποίο θα το πολλαπλασιάσουμε) και

στη συνέχεια τα συνδυάζουμε σε μια συνάρτηση αθροισμάτων όλων των όρων που δημιουργήσαμε

η οποία θα μπορεί να επιλυθεί με απλή βελτιστοποίηση Ξεκάθαρα η λύση που θα προκύψει θα

βασίζεται στις τιμές (πιο συγκεκριμένα τις σχετικές τιμές) των παραγόντων που καθορίστηκαν

Για παράδειγμα αν προσπαθούμε να μεγιστοποιήσουμε την δύναμη ενός εξαρτήματος μιας μηχανής

και να ελαχιστοποιήσουμε το κριτήριο του κόστους και αν έχει οριστεί υψηλότερο rdquoβάροςrdquoγια το

κριτήριο κόστους έναντι αυτού της δύναμης η λύση μας θα ικανοποιεί τα κριτήρια της μείωσης του

κόστους έναντι στην αύξηση της δύναμης Παρόλα αυτά μπορεί να παρατηρηθεί ότι η μέθοδος

αυτή είναι κατά βάση υποκειμενική καθώς τα βάρη ορίζονται από το χρήστη ή προγραμματιστή

και ότι δεν μπορεί να προσεγγίσει όλες τις βέλτιστες λύσεις (σημεία Pareto) του προβλήματος

bull Μέθοδοι NBI NC SPO Οι μέθοδοι NBI (Λογικής Οριακής Διατομής Normal BoundaryIntersection ) NC (Λογική Σύγχυση Normal Constraint ) και SPO (Διαδοχικής Pareto Βελτι-

στοποίησης Successive Pareto Optimization ) επιλύουν προβλήματα βελτιστοποίησης πολλαπλών

κριτηρίων κατασκευάζοντας διάφορες AOF Η επίλυση της κάθε τέτοιας συνάρτησης αποδίδει ένα

σημείο λύσης Pareto κάτω από κάποιες υποθέσεις Εάν οι υποθέσεις δεν ισχύουν τότε η μέθοδος

NC προτείνει την αφαίρεση των μη αποδεκτών σημείων διαδοχικά με ένα κατάλληλο φίλτρο Οι

AOF κατασκευάζονται με σκοπό να αποκτήσουν εν τέλη διανεμημένα σημεία Pareto τα οποία

δίνουν μια καλή εντύπωση (διαδικασία προσέγγισης) του πραγματικού συνόλου των αποδεκτών

σημείων Οι μέθοδος NC και SPO δημιουργούν λύσεις που αναπαριστούν μερικές περιφερειακές

περιοχές του συνόλου των σημείων Pareto για περισσότερα από 2 κριτήρια τα οποία είναι γνωστό

πως δεν αναπαρίστανται από τις λύσεις που δημιουργούνται από την μέθοδο NBI

bull Εξελικτικοί Αλγόριθμοι Οι αλγόριθμοι που ανήκουν στην εξελικτική υπολογιστική (ή εξε-

λικτικό λογισμό) είναι πολύ δημοφιλείς προσεγγίσεις στις βελτιστοποιήσεις πολλαπλών κριτηρίων

στους οποίους θα αναφερθούμε εκτενώς

5΄Ενα σημείο σχεδιασμού στον αντικειμενικό χώρο microlowast

ορίζεται ως βέλτιστο Pareto αν δεν υπάρχει κανένα άλλο εφικτόδιάνυσμα μ τέτοιο ώστε microi le microlowast

i για όλα τα i isin 1 2 n και microj lt microlowastj για τουλάχιστον έναν δείκτη j όπου j isin

1 2 n

4

Η Εξελικτική Υπολογιστική (ή Εξελικτικός Λογισμός) αποτελεί έναν κλάδο της τεχνητής νοη-

μοσύνης η ανάπτυξή του οποίου προέκυψε από τη μελέτη των έμβιων οργανισμών και η λογική της

βασίζεται σε έννοιες που καθορίζουν την εξέλιξη και επιβίωση τους όπως αυτές του πληθυσμού της

μετάλλαξης και της φυσικής επιλογής (επιβίωση του πιο προσαρμοσμένου) Βάσει κάποιων θεωριών

και πρακτικών εμπνευσμένων από τη φύση αναπτύσσεται μία μέθοδος για την αναπαράσταση και την

επεξεργασία των δεδομένων ενός προβλήματος με σκοπό την ακριβέστερη επίλυση του Πιθανές λύσεις

αναπαρίστανται σαν οντότητες ή άτομα ενός πληθυσμού ο οποίος μέσω των εκάστοτε διαδικασιών

οδηγεί στην επιλογή των βέλτιστων ή της βέλτιστης όλων των πιθανών λύσεων μέσω της εξέλιξης

του Οι μέθοδοι αυτές μπορούν να διακριθούν περαιτέρω σε εξελικτικούς αλγόριθμους (EvolutionaryAlgorithms) και σε νοημοσύνης (ή λογικής) σμήνους (Swarm Intelligence) όπως πχ οι αλγόριθμοι

που προσομοιάζουν τη συμπεριφορά μίας κοινωνίας μυρμηγκιών ΄Ενας τέτοιος αλγόριθμος βασισμένος

στον εξελικτικό λογισμό βελτιστοποιεί τις λύσεις με τη μέθοδο metaheuristicΣτους Εξελικτικούς

Αλγόριθμους χρησιμοποιούνται μηχανισμοί εμπνευσμένοι από την βιολογική εξέλιξη αναπαραγωγή

μετάλλαξη συνδυασμός και επιλογή Οι υποψήφιες λύσεις για το πρόβλημα βελτιστοποίησης παίζουν

το ρόλο των ατόμων ενός πληθυσμού και η fitness function (συνάρτηση του προβλήματος) καθορίζει

το περιβάλλον μέσα στο οποίο οι λύσεις αυτές umlζουνuml Η εξέλιξη των πληθυσμών γίνεται μετά από

επαναλαμβανόμενη εφαρμογή των παραπάνω τελεστών Η τεχνητή εξέλιξη (artifitial evolution (AE))περιγράφει τη διαδικασία περιέχοντας ξεχωριστούς εξελικτικούς αλγόριθμους Οπότε οι Εξελικτικοί

Αλγόριθμοι αποτελούν μία μέθοδο τεχνητής εξέλιξης και οι αλγόριθμοι αυτοί ανήκουν στο χώρο της

τεχνητής νοημοσύνης6 Οι αλγόριθμοι που βασίζονται στη λογική (ή νοημοσύνη) σμήνους αναπαρι-

στούν τις λύσεις ως αυτόνομους οργανισμούς που ονομάζονται πράκτορες ή διαμεσολαβητές (boids) οι

οποίοι αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και με το περιβάλλον που έχει σχεδιαστεί να τους περιβάλλει και η

βελτιστοποιημένη λύση δημιουργείται από τις αλληλεπιδράσεις αυτές οδηγώντας όλους τους πράκτορες

σε μία βέλτιστη και καθολική rdquoσυμπεριφοράrdquo

Οι αλγόριθμοι που βασίζονται στον εξελικτικό λογισμό λειτουργούν πολύ ικανοποιητικά προ-

σεγγίζοντας λύσεις για όλων των ειδών τα προβλήματα γιατί έχουν το ιδανικό χαρακτηριστικό να

μην κάνουν καμία υπόθεση και να μη χρειάζεται να έχουν γνώση του περιβάλλοντος που rdquoζουνrdquoοιπληθυσμοί που θα επεξεργαστούν Αυτό φαίνεται από τις επιτυχίες που έχουν σε τόσο διαφορετικά

μεταξύ τους πεδία όπως είναι η μηχανική η τέχνη η βιολογία τα οικονομικά το marketing η γε-

νετική η επιχειρησιακή έρευνα η ρομποτική οι κοινωνικές επιστήμες η φυσική η πολιτική και η χημεία

Με τον όρο metaheuristic 7μέθοδο στην υπολογιστική επιστήμη υποδεικνύεται μία υπολογιστική

μέθοδο η οποία βελτιστοποιεί ένα πρόβλημα προσπαθώντας με πολλές επαναλήψεις να βελτιώσει μία

υποψήφια λύση με βάση κάποιο δεδομένο μέτρο ποιότητας Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιεί λίγες ή και

καθόλου υποθέσεις σχετικά με το πρόβλημα το οποίο βελτιστοποιεί και έχει τη δυνατότητα να ερευνήσει

μεγάλα διαστήματα υποψήφιων λύσεων Πολλές τέτοιες μέθοδοι υλοποιούν μία μορφή πιθανολογικής

βελτιστοποίησης (stochastic optimization )

Χρησιμοποιώντας τον όρο Stochastic optimization (SO)(στοχαστική ή πιθανολογική βελτιστοπο-

ίηση) αναφερόμαστε σε μεθόδους βελτιστοποίησης οι οποίες παράγουν και χρησιμοποιούν τυχαίες

μεταβλητές Στα στοχαστικά προβλήματα (stochastic problems)οι τυχαίες μεταβλητές εμφανίζονται

στη διατύπωση του προβλήματος βελτιστοποίησης που περιέχει τυχαίες αντικειμενικές συναρτήσεις ή τυ-

χαίους περιορισμούς Μία άλλη κατηγορία στοχαστικών μεθόδων βελτιστοποίησης περιέχουν μεθόδους

με τυχαίες επαναλήψεις Μερικές χρησιμοποιούν τυχαίες επαναλήψεις ώστε να λύσουν στοχαστικά

προβλήματα συνδυάζοντας και τις δύο έννοιες ή κατηγορίες της στοχαστικής βελτιστοποίησης Οι

μέθοδοι στοχαστικής βελτιστοποίησης γενικεύουν αιτιοκρατικές μεθόδους για αιτιοκρατικά προβλήματα

6Λογισμικά ή πλήρεις μηχανές οι οποίες μπορούν να επιλύουν με αποδεκτά αποτελέσματα ρεαλιστικά υπολογιστικά

προβλήματα οποιουδήποτε τύπου χαρακτηρίζονται ως ασθενής Τεχνητής Νοημοσύνης Ως ισχυρής Τεχνητής νοημοσύνης

χαρακτηρίζονται μηχανικά ανδροειδή ή αυτοσυνείδητα προγράμματα υπολογιστή7΄Αλλοι όροι που έχουν παρόμοια σημασία με τον όρο metaheuristic είναι derivative-free (χωρίς παράγωγο)direct

search (άμεση αναζήτηση)black-box (μαύρο κουτί) ή απλά heuristic optimizer(ευρετική βελτιστοποίηση)

5

13 Αλγόριθμοι και μέθοδοι βελτιστοποίησης

Πολλοί αλγόριθμοι έχουν σχεδιαστεί που να χρησιμοποιούν την παραπάνω μέθοδο Παρακάτω α-

ναφέρονται οι δημοφιλέστερες κατηγορίες των εξελικτικών αλγορίθμων που υπάρχουν με περιληπτική

περιγραφή των αρχών ή θεωριών στις οποίες βασίζονται8 Οι Ant Colony Optimization και Particle

Swarm Optimization (PSO) τυπικά δεν ανήκουν στους Εξελικτικούς Αλγόριθμους γιατί βασίζονται στη

Νοημοσύνη Σμήνους αλλά αναφέρονται λόγω ευρείας χρήσης στη βελτιστοποίηση πολλαπλών κριτηρίων

Ant Colony Optimization (ACO)

Αλγόριθμος βελτιστοποίησης συναρτήσεων του οποίου η θεωρία στηρίζεται στις αποικίες μυρ-

μηγκιών και στον τρόπο εύρεσης φαγητού και ανήκει στην οικογένεια των αλγορίθμων που βασίζονται

σε μεθόδους λογικής σμήνους (swarm intelligence) Αρχικά τα μυρμήγκια κινούνται τυχαία προς

αναζήτηση τροφής ΄Οταν κάποιο βρει τροφή γυρνώντας στη φωλιά αφήνει ένα ίχνος από φερορμόνες

Το ίχνος αυτό ελκύει τα υπόλοιπα μέλη της αποικίας να το ακολουθήσουν και να βρουν την τροφή

΄Οσο πιο πολλά ακολουθούν τόσο πιο έντονο γίνεται το ίχνος ΄Αν έχουν δημιουργηθεί πέραν του

ενός μονοπάτια σε λίγη ώρα το πιο σύντομο θα χρησιμοποιείται από πιο πολλά μυρμήγκια οπότε θα

έχει πιο έντονο ίχνος και σιγά σιγά θα γίνει το επικρατέστερο με τελικό αποτέλεσμα να γίνει το μόνο

μονοπάτι που ακολουθεί όλη η αποικία Χρησιμοποιώντας την παραπάνω λογική κάθε πιθανή λύση

αναπαρίσταται ώς ένα μυρμήγκι και κάθε τιμή κάθε παραμέτρου του προβλήματος με τα σημεία από τα

οποία μπορεί να περάσει κάθε μυρμήγκι Μετά από αρκετές επαναλήψεις καταλήγουν τα μυρμήγκια να

ακολουθούν όλα την ίδια διαδρομή ΄Εχουν επιλεχθεί δηλαδή οι βέλτιστες τιμές κάθε παραμέτρου και

οι λύσεις είναι οι βέλτιστες

Particle Swarm Optimization (PSO)

Είναι μία μετευρετική (metaheuristic) μέθοδος βελτιστοποίησης Η μέθοδος αυτή επιχειρεί

την βελτιστοποίηση ενός προβλήματος προσπαθώντας με επαναληπτικές διαδικασίες να βελτιώσει

μία υποψήφια λύση βάσει κάποιου κριτηρίου ποιότητας ΄Εχει το χαρακτηριστικό των μεθόδων που

στηρίζονται στη λογική σμήνους η οποία είναι πως η κίνηση κάθε ατόμου του πληθυσμού επηρεάζει

την κίνηση των υπολοίπων Αρχικά δημιουργείται ένας πληθυσμός με τυχαίες διαδικασίες ο οποίος

πληθυσμός κινείται στον ορισμένο χώρο βάσει απλών μαθηματικών μοντέλων που καθορίζουν τη

θέση και την ταχύτητα του κάθε μέλους του Κάθε μέλος έχει το τοπικό του μέγιστο από το

οποίο επηρεάζεται και καθοδηγείται προς το καλύτερο τοπικό μέγιστο της εγγύς περιοχής που είναι

σημεία που βρέθηκαν από άλλα μέλη ΄Ετσι τείνουν να κινηθούν όλα τα μέλη προς τα μέγιστα που

ανακαλύπτονται κατά τη διάρκεια της διαδικασίας ΄Ως μετευρετική μέθοδος απαιτεί ελάχιστες ως και

καθόλου αρχικές υποθέσεις βασισμένες στο πρόβλημα και μπορεί να ερευνήσει πολύ μεγάλο εύρος

πιθανών λύσεων χωρίς όμως να εγγυάται την εύρεση μίας βέλτιστης λύσης για κάποιο πρόβλημα

Differential Evolution (DE)

Οι αλγόριθμοι Διαφορικής Εξέλιξης βρίσκουν τη βέλτιστη λύση ενός προβλήματος δημιουρ-

γώντας ένα σύνολο υποψήφιων λύσεων το οποίο αποτελεί τον πληθυσμό Κάθε λύση κινείται σε

έναν ορισμένο χώρο χρησιμοποιώντας απλούς μαθηματικούς τύπους για να καθοριστεί η συνδυασμένη

κίνησή τους ΄Αν η καινούρια θέση μίας λύσης οδηγεί σε βελτίωση του συνόλου η λύση αυτή διατηρείται

Αλλιώς καταργείται και αντικαθίσταται από μία άλλη που προκύπτει από συνδυασμό των υπόλοιπων

που διατηρήθηκαν Η διαδικασία συνεχίζει μέχρι να φτάσει σε μία βέλτιστη λύση βάσει των κριτηρίων

που έχουν οριστεί Η σύγκριση της παρούσας από την παρελθοντική τιμή της συνάρτησης δίνει το

διαφορικό χαρακτήρα στους αλγόριθμους Χαρακτηριστικό και αρνητικό των αλγορίθμων αυτών είναι

ότι δεν είναι σίγουρο ότι θα φτάσουν στη βέλτιστη λύση γιατί εξαρτάται η εξέλιξη της διαδικασίας

8Κάθε μία από τις κατηγορίες αυτές δημιουργήθηκαν σαν αλγόριθμοι αλλά λόγω των πολλών παραλλαγών τους που

υπάρχουν πλέον θεωρούνται κατηγορίες αλγορίθμων ή ακόμα και κατηγορίες μεθόδων βελτιστοποίησης

6

από τον αρχικό πληθυσμό ΄Εχει αρκετές ομοιότητες με τη προηγούμενη μέθοδο βελτιστοποίησης με

βασικές διαφορές ότι η επόμενη λύση σε αυτή τη μέθοδο εξαρτάται από την προηγούμενη ενώ στην AntColony όχι και ότι δεν εξερευνά όλες τις πιθανές λύσεις αλλά τις λύσεις που υπάρχουν στον αρχικό

πληθυσμό της και κάποιους συνδυασμούς αυτών ενώ η Ant Colony μπορεί να εξετάσει όλα τα πιθανά

σημεία που υπάρχουν

Evolutionary Strategy (ES)

Η μέθοδος αυτή βασίζεται στην ιδέα της προσαρμογής και εξέλιξης των ειδών Χρησιμοποιεί

φυσικούς μηχανισμούς για την αναπαράσταση και βελτιστοποίηση των προβλημάτων Κύρια χαρακτηρι-

στικά εξέλιξης των λύσεων είναι η μετάλλαξη και η επιλογή Το πλήθος των λύσεων αποτελεί μία γενιά

Αρχικά δημιουργείται τυχαία μία γενιά οι αρχικοί γονείς Η επόμενη γενιά δημιουργείται από μετάλλαξη

της προηγούμενης των γονέων Αν οι απόγονοι είναι καλύτεροι ή έστω ισάξιοι με τους γονείς παίρνουν

τη θέση τους και γίνονται οι γονείς της επόμενης γενιάς αλλιώς απορρίπτονται Η μετάλλαξη των

γονέων γίνεται με προσθήκη τυχαίας μεταβλητής (από κανονική κατανομή) σε κάποια συνιστώσα τους

Λόγω της τυχαίας μετάλλαξης είναι πιο πιθανό να φτάσουν σε βέλτιστη λύση από τους αλγόριθμους

διαφορικής εξέλιξης Αλλά έχουν το αρνητικό της καταστροφής των γονέων χάνοντας έτσι κάποια

πιθανώς καλά μέλη τους πληθυσμού Το αρνητικό αυτό μπορεί κάπως να μετριαστεί δημιουργώντας

πάνω από έναν απογόνους από κάθε γονέα και κάνοντας επιλογή των καλύτερων για την επόμενη γενιά

Genetic Algorithm (GA)

Μία παραλλαγή της παραπάνω μεθόδου είναι οι Γενετικοί Αλγόριθμοι Και στη μέθοδο αυτή

υπάρχει η έννοια των γενεών Κάθε λύση αναπαρίσταται ως ένα χρωμόσωμα ή γενότυπο Δη-

μιουργείται τυχαία ο αρχικός πληθυσμός και υπολογίζεται η τιμή της συνάρτησης που θέλουμε να

βελτιστοποιήσουμε για κάθε μέλος της Επιλέγονται τα καλύτερα μέλη της γενιάς βάση των υπολογι-

σμένων τιμών τα οποία θα αποτελέσουν τους γονείς για την επόμενη Στη συνέχεια δημιουργείται η

νέα γενιά μέσω του μηχανισμού της αναπαραγωγής των γονέων κυρίως και ίσως με τυχαία μετάλλαξη

κάποιων γονέων Υπολογίζεται η νέα τιμή της συνάρτησης για κάθε μέλος και επιλέγονται οι γονείς

για την επόμενη γενιά Μέσω της επαναληπτικής αυτής διαδικασίας ο αλγόριθμος βελτιστοποιεί την

τιμή της συνάρτησης του προβλήματος Ο τερματισμός του αλγορίθμου γίνεται είτε όταν επιτευχθεί

μία επιθυμητή τιμή της συνάρτησης ή αν ολοκληρωθεί συγκεκριμένος αριθμός επαναλήψεων ή χρόνος

εκτέλεσης χωρίς να βρεθεί βέλτιστη λύση Λόγω του μηχανισμού της αναπαραγωγής έχει το αρνητικό

ότι εξαρτάται και αυτή η μέθοδος από την αρχική τυχαία επιλογή του πληθυσμού κάτι που όμως

δεν έχει τόση βαρύτητα όπως στη μέθοδο Διαφορικής Εξέλιξης λόγω του ότι χρησιμοποιείται και η

τυχαία μετάλλαξη σαν μηχανισμός δημιουργίας απογόνων Ακόμα έχουν το αρνητικό της προηγούμενης

μεθόδου ότι οι γονείς που θα βγάλουν καλύτερους απογόνους καταστρέφονται

Stud Genetic Algorithm (StudGA)

Ο αλγόριθμος αυτός είναι μία παραλλαγή των Γενετικών Αλγορίθμων που δίνει καλύτερα απο-

τελέσματα Αντί να δημιουργεί έναν αρχικό πληθυσμό (stud) δημιουργεί μία αρχική πιθανή λύση

η οποία στη συνέχεια μεταλλάσσεται για τη δημιουργία του αρχικού πληθυσμού Κάθε πιθανή λύση

έχει τη δυνατότητα να αλλάξει με ανακάτεμα των βιτς που αντιπροσωπεύουν το χρωμόσωμα της

βάσει προκαθορισμένης πιθανότητας Στη συνέχεια το καλύτερο χρωμόσωμα ή αλλιώς η καλύτερη

λύση επιλέγεται ως αρχική (stud) βάσει της οποίας θα δημιουργηθεί ο καινούριος πληθυσμός και η

διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να τερματιστεί ο αλγόριθμος Στην ουσία αυτή είναι και η βασική

του διαφορά από τους υπόλοιπους Γενετικούς αλγόριθμους χρησιμοποιεί την καλύτερη λύση κάθε

γενιάς για μοναδικό rdquoγονέαrdquoκάθε επόμενης γενιάς χαρακτηριστικό που βελτιώνει συγκριτικά με τους

απλούς Γενετικούς Αλγόριθμους τις επιδόσεις του

7

Biogeography-Based Optimization (BBO)

Είναι ένας αλγόριθμος που βασίζεται στη βιογεωγραφία Η βιογεωγραφία μελετάει την ανάπτυξη και

εξέλιξη διαφόρων ειδών σε γειτονικές περιοχές τις οποίες ονομάζει umlνησιάuml Κάθε umlνησίrsquo είναι και μία

λύση του προβλήματος Τα είδη είναι οι παράμετροι της κάθε λύσης Κάθε λύση χαρακτηρίζεται από

τις μεταβλητές που ονομάζονται rdquoδείκτες καταλληλότητας rdquo(suitability index variables -SIVs)και οι

μεταβλητές αυτές ορίζουν μία τιμή για τον δείκτη καταλληλότητας περιοχής (habitat suitability index-HSI)Οι περιοχές με υψηλό δείκτη καταλληλότητας είναι και οι καλύτερες λύσεις Κάθε λύση τείνει

προς τη βέλτιστη παίρνοντας χαρακτηριστικά ή είδη από άλλες περιοχές μέσω του μηχανισμού της

μετανάστευσης Ο αλγόριθμος τερματίζει είτε μετά από προκαθορισμένο αριθμό κύκλων είτε μετά από

την επίτευξη κάποιου στόχου

Probability-Based Incremental Learning (PBIL)

Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στην δημιουργία και δειγματοληψία συνόλων πιθανών λύσεων με

αποκλειστικά πιθανοκρατικούς τρόπους για την εύρεση της βέλτιστης λύσης ενός προβλήματος Η

βελτιστοποίηση νοείται σαν μία βελτίωση του πιθανοκρατικού μοντέλου αρχίζοντας με ομοιόμορφης

κατανομής μοντέλο και καταλήγοντας σε ένα μοντέλο που παράγει βέλτιστες λύσεις Κύρια διαφορά με

τις μεθόδους που έχουν ήδη αναφερθεί είναι ότι η συγκεκριμένη μέθοδος παράγει κάθε φορά καινούριο

πληθυσμό μεταβάλλοντας το μοντέλο με το οποίο παράγεται ο πληθυσμός βάση της καταλληλότητας

του πληθυσμού που παράχθηκε ενώ οι προηγούμενοι μετέβαλλαν τον πληθυσμό τον ίδιο Αυτό το

χαρακτηριστικό κάνει τους αλγόριθμους που βασίζονται σε αυτή τη μέθοδο να είναι αποτελεσματικού

σε κάποια προβλήματα που άλλοι δεν μπορούν να βρουν βέλτιστη λύση όπως πχ σε προβλήματα

των οποίων κάποιες παράμετροι επηρεάζονται ή εξαρτώνται ισχυρά από κάποιες άλλες Η καθαρά

πιθανοκρατική μέθοδος που ακολουθεί εξαλείφουν τέτοια προβλήματα

Υπάρχουν και άλλοι αλγόριθμοι ή κατηγορίες αλγορίθμων που αναπτύσσονται και χρησιμοποιούνται

σε προβλήματα βελτιστοποίησης πέραν των παραπάνω ΄Ομως η αναφορά τους ξεφεύγει από τα πλαίσια

της παρούσας εργασίας μιας και οι παραπάνω χρησιμοποιήθηκαν στη λύση του προβλήματος

Στη συνέχεια θα γίνει μία πιο ενδελεχής περιγραφή ενός BBO αλγόριθμου και συγκεκριμένα του

Dan Simon ο οποίος χρησιμοποιήθηκε στη λύση του προβλήματος της συγκεκριμένης εργασίας

8

Κεφάλαιο 2

Biogeography-Based Optimization

21 Εισαγωγή στην BBO

Ο Biogeographic-Based Optimization αλγόριθμος είναι ένας εξελικτικός αλγόριθμος που βασίζεται

στη λογική της βιογεωγραφικής εξέλιξης των ειδών Με τον όρο rdquoΒιογεωγραφίαrdquoπεριγράφεται η μελέτη

της γεωγραφικής κατανομής των βιολογικών οργανισμών Η μαθηματικοποίηση του φαινομένου μελε-

τάται από τις αρχές της δεκαετίας του 1960 και εξελίσσεται συνεχώς Στο φαινόμενο αυτό βασίζονται

και οι βιογεωγραφικοί αλγόριθμοι Η επιστημονική βάση της βιογεωγραφικής θεωρίας εδραιώθηκε από

τους φυσιοδίφες του 19ou αιώνα και συγκεκριμένα τον Charles Darwin (Δαρβίνο όπως συνηθίζεται να

αποκαλείται στα ελληνικά) και τον Alfred WallaceΗ αρχή των μαθηματικών μοντέλων έγινε στις αρχές

του 1960 από τους Robert McArthur και Edward Wilson με κατάληξη την έκδοση του rdquoThe theory ofIsland Biogeographyrdquo το 1967 Πρωτεύον αντικείμενο έρευνας ήταν η κατανομή διαφόρων ειδών σε γει-

τονικά νησιά και το μαθηματικό μοντέλο του αφανισμού και της μετανάστευσης τους από νησί σε νησί Η

ανάπτυξη λοιπόν των βιογεωγραφικών αλγορίθμων βασίζεται και μελετάει το πώς μεταναστεύει κάποιο

είδος από ένα νησί σε ένα άλλο πώς καινούρια είδη εμφανίζονται και πώς άλλα εξαφανίζονται Αντί για

τον όρο rdquoνησίrdquo μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ο όρος rdquoβιότοποςrdquo βάση του παραπάνω χαρακτηριστικών

Οι βιογεωγραφικοί αλγόριθμοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε οποιοδήποτε τομέα επιστήμης Οι

γεωγραφικές περιοχές που είναι κατάλληλες για τα είδη τα rdquoνησιάrdquo θεωρούμε ότι έχουν υψηλό δείκτη

καταλληλότητας (high Habitat Suitability Index (HSI))Μερικά χαρακτηριστικά που συσχετίζονται

με το δείκτη αυτό θα είναι οι βροχοπτώσεις η ποικιλομορφία της βλάστησης η ποικιλομορφία των

τοπογραφικών χαρακτηριστικών το έδαφος και η θερμοκρασία Οι μεταβλητές που χαρακτηρίζουν άν

είναι ή όχι ένας βιότοπος κατοικήσιμος ονομάζονται μεταβλητές δείκτη καταλληλότητας(SuitabilityIndex Variables (SIVs))Οι SIV μπορούν να θεωρηθούν ως ανεξάρτητες μεταβλητές του βιοτόπου και

ο HSI ως εξαρτημένη Ανάλογα με τον τομέα στον οποίο θα χρησιμοποιηθούν ορίζεται τι είναι τα

rdquoείδηrdquoκαι πώς ορίζεται ένα rdquoνησίrdquo Γενικά σαν είδος μπορεί να θεωρηθεί κάποια παράμετρος ή ένα

χαρακτηριστικό ενός προβλήματος και σαν rdquoνησίrdquoμία ομάδα τέτοιων παραμέτρων ή χαρακτηριστικών

22 Βιογεωγραφία

Βάση των παραπάνω μπορεί να γίνει μία ανάλυση της γενικής ιδέας της μεθόδου Βιότοποι με

υψηλό HSI θα έχουν μεγάλους αριθμούς ειδών ενώ αντίθετα περιοχές με χαμηλό HSI θα έχουν μικρό

αριθμό ειδών Περιοχές με υψηλό HSI λόγω των πολλών ειδών που έχουν και του πιθανού κορεσμού

τους θα έχουν πολλά είδη που θα μεταναστεύουν σε κοντινά νησιά ενώ θα έχουν λίγα είδη που θα

μεταναστεύουν προς αυτά Ο ρυθμός λοιπόν μετανάστευσης προς γειτονικές περιοχές θα είναι μεγα-

λύτερος σε αυτές που έχουν υψηλό HSI κάτι που όμως δεν σημαίνει ότι τα είδη που θα μεταναστεύουν

προς άλλες περιοχές θα εξαφανίζονται από την αρχική γιατί μόνο ένα μικρό μέρος τους θα φεύγει Θα

υπάρχουν στην αρχική περιοχή μεταναστεύοντας παράλληλα και στις γειτονικές Περιοχές με χαμηλό

HSI θα έχουν μεγάλο ρυθμό μεταναστών από γειτονικές λόγω του αραιού πληθυσμού που περιέχουν

9

Αυτό το φαινόμενο μπορεί να αυξήσει το HSI μίας περιοχής μιας και εξαρτάται από την ποικιλομορφία

των ειδών που περιέχει ΄Αν παραμείνει χαμηλός τα είδη που υπάρχουν θα τείνουν προς εξαφάνιση

ανοίγοντας το δρόμο για άλλους rdquoμετανάστεςrdquoαπό γειτονικές περιοχές Οπότε περιοχές με υψηλό HSIθα έχουν πιο στατική κατανομή ειδών και πληθυσμών ενώ οι περιοχές με χαμηλό HSI έχουν πιο δυναμική

Με τη παραπάνω γενική ιδέα μπορεί να γίνει μία πρώτη παρουσίαση της εφαρμογής τέτοιων

αλγορίθμων Θεωρούμε ένα πρόβλημα από οποιοδήποτε επιστημονικό ή όχι τομέα Μηχανική

οικονομικά ιατρικά επιχειρήσεις αθλητικά και πολλοί άλλοι τομείς μπορούν να χρησιμοποιήσουν

έναν βιογεωγραφικό αλγόριθμο για τη λύση ενός προβλήματος Βασική προϋπόθεση όμως είναι να

έχουμε κάποιο τρόπο αξιολόγησης της καταλληλότητας κάποιας λύσης του προβλήματος Μία καλή

λύση θα αντιστοιχεί σε περιοχή με υψηλό HSI ενώ μία λιγότερο καλή σε περιοχή με χαμηλό HSIΟι καλές λύσεις λοιπόν θα είναι πιο σταθερές ενώ οι όχι τόσο καλές θα τείνουν να μεταβάλλουν

τα χαρακτηριστικά τους Οι καλές λύσεις θα τείνουν να μοιράζονται τα χαρακτηριστικά τους με

τις λιγότερο καλές με πιθανότητα να τις βελτιώσουν Αυτό το χαρακτηριστικό και τη γενικότερη

διαδικασία ονομάζουμε λύση με χρήση βιογεωγραφικού αλγορίθμου βελτιστοποίησης

Σχήμα 21 Μετανάστευση

Στο διπλανό σχήμα (σχήμα ) φαίνονται οι καμπύλες

μετανάστευσης από καμπύλη μ και προς καμπύλη λ έναν

τόπο Και οι δύο καμπύλες είναι συναρτήσεις του αριθμού

των ειδών σε μία περιοχή Στο παρόν σχήμα αναπαριστώνται

σαν ευθείες κάτι που γενικά δεν ισχύει ΄Εχουν αρκετά πιο

πολύπλοκη μορφή Για την ανάλυση μας όμως ένα απλό

σχήμα δίνει μία γενική εικόνα χωρίς να οδηγεί σε θεωρητικά

λάθη ΄Οσο πιο πολλά είδη υπάρχουν τόσο μικρότερη πιθα-

νότητα να εισέλθουν άλλα Οπότε ο μεγαλύτερος ρυθμός

μετανάστευσης προς μία περιοχή θα υπάρχει όταν η περιοχή

αυτή δεν έχει κανένα είδος ΄Οσο μεγαλώνει ο αριθμός των

ειδών τόσο μικραίνει ο ρυθμός μετανάστευσης προς την

συγκεκριμένη περιοχή μέχρι τον μέγιστο αριθμό ειδών που

μπορεί να υποστηρίξει Smax στο διάγραμμα όπου ο ρυθμός

εισόδου ειδών θα είναι μηδενικός Το αντίστροφο ισχύει για

την μετανάστευση από μία περιοχή την καμπύλη μ ΄Οταν η

περιοχή δεν έχει κανένα είδος ο ρυθμός των ειδών που θα μεταναστεύουν από την περιοχή αυτή θα

είναι φυσικά μηδενικός ΄Οσο αυξάνεται ο αριθμός των ειδών τόσο θα αυξάνεται και ο ρυθμός με τον

οποίο θα μεταναστεύουν προς άλλες περιοχές μέχρι το μέγιστο που θα είναι η τιμή Ε η οποία θα

αντιστοιχεί στο μέγιστο αριθμό ειδών που μπορούν να υπάρξουν στην περιοχή αυτή Smax Ο αριθμός

ισορροπίας των ειδών είναι S0 όπως φαίνεται στο σχήμα που θα είναι ο αριθμός των ειδών για τον

οποίο ο ρυθμός μετανάστευσης από και ο ρυθμός προς την περιοχή θα είναι ίσοι Αυτή την τιμή τείνουν

να αποκτήσουν οι περιοχές Κάποιες μεταβολές είτε προς τα πάνω για λόγους όπως πχ μία απότομη

εισροή ειδών από κάποια γειτονική περιοχή είτε προς τα κάτω για λόγους όπως πχ κάποια αρρώστια

ένας αρκετά επιθετικός κυνηγός ή κάποια καταστροφή μπορεί να υπάρξουν αλλά σε κάποιο χρόνο

ανάλογο της απόκλισης θα επανέλθει η ισορροπία

Ας δούμε και με λίγα μαθηματικά τα παραπάνω Θεωρούμε την πιθανότητα Ps μία περιοχή να έχει

S είδη Η πιθανότητα αυτή θα αλλάζει από τη χρονική στιγμή t στην χρονική στιγμή t+1 βάση του

τύπου

Ps(t+ 1) = Ps(t) lowast (1minus λs∆tminus micros∆t) + Psminus1λsminus1∆t+ Ps+1micros+1∆t (21)

όπου οι όροι λs και micros είναι οι ρυθμοί μετανάστευσης προς και από μία περιοχή αντίστοιχα όταν

υπάρχουν S είδη στην περιοχή Η παραπάνω εξίσωση () ισχύει γιατί για να έχουμε S είδη τη στιγμή

t+ ∆t θα πρέπει να ισχύει κάτι από τα παρακάτω

1 υπήρχαν S είδη τη στιγμή t και δεν είχαμε μετανάστευση προς καμία κατεύθυνση στο χρονικό

10

διάστημα ∆t

2 υπήρχαν S-1 είδη τη στιγμή t και ένα είδος ήρθε ή

3 υπήρχαν S+1 είδη τη στιγμή t και ένα είδος έφυγε

Θεωρούμε ότι το ∆t είναι αρκετά μικρό ώστε να έχει χρόνο μόνο ένα είδος να έρθει ή να φύγει από

την περιοχή Παίρνοντας το όριο ∆trarr 0 της εξίσωσης () καταλήγουμε στην παρακάτω

Ps =

minus(λs + micros)Ps + micros+1Ps+1 S = 0

minus(λs + micros)Ps + λsminus1Psminus1 + micros+1Ps+1 1 le S le Smax minus 1minus(λs + micros)Ps + λsminus1Psminus1 S = Smax)

(22)

Θέτουμε n = Smax και P = [P0 Pn]T απλοποιημένα και πλέον μπορούμε να εκφράσουμε τις

εξισώσεις (για S=0 n) με την απλή εξίσωση πίνακα

P = A lowast P (23)

όπου ο πίνακας Α δίνεται από τον τύπο

A =

minus(λ0 + micro0) micro1 0 ldots 0

λ0 minus(λ1 + micro1) micro2

ddots

λnminus2 minus(λnminus1 + micronminus1) micron

0 0 λnminus1 minus(λn + micron)

(24)

Για τις ευθείες καμπύλες που φαίνονται στο παραπάνω σχήμα () θα έχουμε

microk = Ekn

λk = I(1minuskn

)(25)

Θεωρούμε την ειδική περίπτωση E = I Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε

microk + λk = E (26)

και ο πίνακας Α γίνεται

A = E lowast

minus1 1

n0 0

nnminus1 2

n

2nminus1 n

n

0 0 1nminus1

= E lowast Aprime (27)

όπου το Α΄ ορίζεται από την παραπάνω εξίσωση ()

11

Παρατήρηση 1 Το 0 είναι μία ιδιοτιμή του πίνακα Α΄ με ιδιοδιάνυσμα το

u = [u1 un+1]T

n(nminus1minusi)(iminus1) (i = 1 iprime)

un+2minus1 (i = iprime + 1 n+ 1)

(28)

όπου το irsquo είναι ο μικρότερος ακέραιος ο οποίος να είναι μεγαλύτερος ή ίσος με

τοn+12

ή με προγραμματιστικό συμβολισμό iprime = ceil(n+12

) Αυτό μπορεί να

επιβεβαιωθεί από την απευθείας λύση της εξίσωσης ιδιοτιμών Aprime lowast u = k lowast uγια την άγνωστη μεταβλητή k και το άγνωστο διάνυσμα u Σαν παράδειγμα

για n=4 έχουμε

u = [1 4 6 4 1]T (29)

όπως και για n=5 παίρνουμε

u = [1 5 10 10 5 1]T (210)

Εικασία 1 Οι ιδιοτιμές του Α΄ δίνονται ως εξής

k = 0minus2

nminus4

n minus2 (211)

Η παραπάνω εικασία δεν έχει αποδειχθεί ακόμα αλλά ισχύει για όλες τις τιμές

του ν για τις οποίες έχει εξεταστεί

Θεώρημα 1 Η τιμή σταθερής κατάστασης για την πιθανότητα των αριθμών κάθε είδους

δίνεται από τη σχέση

P (infin) =usumn+1i=1 ui

(212)

όπου τα u και ui δίνονται από την

Στη συνέχεια θα μελετήσουμε το πώς μπορούν τα παραπάνω να εφαρμοστούν σε ένα πρόβλημα

βελτιστοποίησης συγκεκριμένου τομέα

221 Μέθοδοι και παράμετροι της BBO

Σχήμα 22 Αναπαράσταση λύσεων

Μετανάστευση Θεωρούμε ότι έχουμε ένα πρόβλημα με

πολλές πιθανές λύσεις οι οποίες μπορούν να παρασταθούν ως

διανύσματα ακεραίων Κάθε τέτοιος ακέραιος θεωρείται ότι

είναι μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας (SIV) Αν έχουμε

έναν τρόπο αξιολόγησης της ποιότητας κάθε λύσης μπορούμε

να αναπαραστήσουμε κάθε λύση σαν μία περιοχή Οι καλές

ποιοτικά λύσεις θα έχουν υψηλό δείκτη καταλληλότητας

(HSI) ενώ οι λιγότερο καλές χαμηλό Οι λύσεις με υψηλό

HSI θα είναι οι περιοχές με πολλά είδη ενώ αυτές με χαμηλό

οι περιοχές με λίγα είδη Η καμπύλη μοντέλου μετανάστευ-

σης θεωρούμε ότι θα είναι ίδια για όλες τις περιοχές (για

μεγαλύτερη ευκολία Ε=Ι) με τη μεταβλητή S κάθε περιοχής

να εξαρτάται από το HSI της όπως φαίνεται στο διπλανό

σχήμα (σχήμα ) Η περιοχή στην οποία αντιστοιχεί το S1

είναι περιοχή με χαμηλό HSI ενώ αυτή με το S2 περιοχή

με υψηλό HSI ΄Οπως φαίνεται και από το διπλανό σχήμα η

περιοχή με S1θα έχει λίγα είδη υψηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ1) και χαμηλό από (micro1) αυτή

ενώ η περιοχή με δείκτη S2 θα έχει πολλά είδη χαμηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ2) και υψηλό

12

από (micro2) αυτή Οι ρυθμοί μ και λ χρησιμοποιούνται για την ανταλλαγή πληροφοριών μεταξύ των

περιοχών πιθανοκρατικά Με πιθανότητα Pmod αξιολογούμε κάθε λύση βάση των υπολοίπων και

όποιες επιλεχθούν να τροποποιηθούν βάση του λ πιθανοκρατικά αξιολογούνται οι SIV και επιλέγονται

αυτοί που θα τροποποιηθούν ΄Αν κάποιος SIV επιλεχθεί να τροποποιηθεί βάση του μ των υπόλοιπων

λύσεων επιλέγεται πάλι πιθανοκρατικά από ποια λύση θα μεταναστεύσει κάποιος τυχαίος SIV

Η μέθοδος αυτή της μετανάστευσης στους BBO αλγόριθμους είναι παρόμοια με τις μεθόδους

των εξελικτικών και γενετικών αλγόριθμων όπου πολλοί πρόγονοι μπορούν να συνδυαστούν για

την παραγωγοί ενός απογόνου με μία όμως σημαντική διαφορά Σε αντίθεση με τους εξελικτικούς

και γενετικούς αλγόριθμους στους οποίους οι προηγούμενες λύσεις καταστρέφονται από γενιά σε

γενιά στους BBO οι λύσεις παραμένουν και εξελίσσονται χωρίς να καταστρέφονται Φυσικά έχει

ενσωματωμένο κάποιου είδους ελιτισμός έτσι ώστε να μην επηρεάζονται οι βέλτιστες λύσεις

Μετάλλαξη Κατακλυσμικά γεγονότα μπορούν να αλλάξουν δραστικά τον HSI μίας περιοχής

όπως μπορούν να προκαλέσουν απόκλιση του αριθμού των ειδών από την ισορροπία επηρεάζοντας

τον HSI λόγω φαινομενικά τυχαίων φαινομένων Τέτοια φαινόμενα μοντελοποιούνται στους BBO με

την μετάλλαξη των HSI και χρησιμοποιείται η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών για τον

καθορισμό του ρυθμού μετάλλαξης Η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών υπακούει στην

διαφορική εξίσωση Παρατηρώντας την καμπύλη στο σχήμα βλέπουμε ότι οι περιοχές με χαμηλό

αριθμό ειδών αλλά και αυτές με υψηλό αριθμό ειδών έχουν σχετικά χαμηλή πιθανότητα κάτι που θα

μπορούσε να εξαχθεί και από το θεώρημα 1 σε αντίθεση με αυτή με μέσες τιμές γιατί τα δεύτερα είναι

πιο κοντά στο σημείο ισορροπίας Ως παράδειγμα ας θεωρήσουμε την περίπτωση όπου Smax = 10 Η

λύση σταθερής κατάστασης της εξίσωσης θα είναι ανεξάρτητη της αρχικής συνθήκης Π(0) και μπορεί

να υπολογιστεί με αριθμητικές μεθόδους είτε βάση του θεωρήματος 1 με αποτέλεσμα

P (infin) sim= [0001 0001 0044 0117 0205 0246 0205 0117 0044 0001 0001]T

Τα στοιχεία του P (infin) δίνουν άθροισμα μονάδα και η γραφική τους παράσταση δίνει μία άρτια

συνάρτηση συμμετρική στην κεντρική τιμή

Κάθε λύση έχει μία αντίστοιχη πιθανότητα η οποία είναι δείκτης του κατά πόσο ήταν αναμενόμενη

εξ αρχής η λύση αυτή στο συγκεκριμένο πρόβλημα Λύσεις με πολύ υψηλό αλλά και πολύ χαμηλό HSIείναι αρκετά απίθανες να υπάρξουν ενώ λύσεις με μέσους HSI κοντά στο σημείο ισορροπίας είναι πιο

πιθανές Λύση S με μικρή πιθανότητα PS είναι αρκετά απίθανη οπότε έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να

μεταλλαχθεί από ία λύση Srsquo με μεγάλη πιθανότητα P primeS Αυτό μπορεί να παρασταθεί με τον παρακάτω

τύπο όπου ο ρυθμός μετάλλαξης m είναι αντιστρόφως ανάλογος της πιθανότητας μίας λύσης

m(S) = mmax

(1minus PSPmax

)(213)

και mmax είναι μία παράμετρος που ορίζεται από το χρήστη Αυτό το μοντέλο μετάλλαξης τείνει

να αυξήσει τη διαφορετικότητα μεταξύ του πληθυσμού των λύσεων Χωρίς αυτό οι λύσεις με μεγάλη

πιθανότητα θα ήταν επικρατέστερες των υπολοίπων Δίνει λοιπόν τη δυνατότητα στις κακές λύσεις

να μεταλλαχθούν και να εξελιχθούν δίνοντας παράλληλα και τη δυνατότητα στις λύσεις με υψηλή

πιθανότατα να εξελιχθούν και να βελτιωθούν και άλλο Πρέπει να σημειωθεί ότι χρησιμοποιείται

μία ελιτίστικη προσέγγιση αποθηκεύοντας τη βέλτιστη λύση έτσι ώστε αν χειροτερέψει από μία

μετάλλαξη να μπορούμε να την επαναφέρουμε αν χρειαστεί Οπότε η μετάλλαξη χρησιμοποιείται και

τις κακές και στις καλές λύσεις Οι μέσες λύσεις θεωρούμε ότι καλυτερεύουν με την μετανάστευση

οπότε αποφεύγουμε να τις μεταλλάξουμε και έχουν μικρότερο ρυθμό μετάλλαξης Η υλοποίηση της

μετάλλαξης εξαρτάται από το εκάστοτε πρόβλημα και χρήστη

Ορισμοί της BBO και αλγόριθμος

Παρακάτω δίνονται κάποιοι ορισμοί ως ένα πρώτο βήμα για τη μορφοποίηση του BBO αλγόριθμου

παρουσιάζοντας παράλληλα και μία περιγραφή του αλγόριθμου Με το R αναφερόμαστε στο σύνολο

13

πραγματικών αριθμών με το Ζ ακεραίων και με το empty στο κενό σύνολο

Ορισμός 1 Μία περιοχή H isin SIV mείναι ένα διάνυσμα m ακεραίων που αντιπροσωπεύει μία

πιθανή λύση του προβλήματος

Ορισμός 2 Μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας SIV isin C είναι ένας ακέραιος επιτρεπτός

σε μία περιοχή C isin Zqείναι το σύνολο όλων των επιτρεπτών ακεραίων σε μία

περιοχή Η απαίτηση SIV isin C ονομάζεται περιορισμός όπως και σε υψηλότερο

επίπεδο η απαίτηση H isin SIV m

Ορισμός 3 ΄Ενας δείκτης καταλληλότητας περιοχής HSI H rarr R αποτελεί μέτρο την ποιότη-

τας καλής ή κακής της λύσης που αντιπροσωπεύει η περιοχή Σημείωση Στους

περισσότερους αλγόριθμους βασισμένους στους πληθυσμούς το HSI ονομάζεται κα-ταλληλότητα

Ορισμός 4 ΄Ενα οικοσύστημα Hnείναι ένα σύνολο από n περιοχές Το μέγεθος n είναι σταθερό

(μελλοντικοί αλγόριθμοι μπορεί να επιτρέπουν μεταβλητό n όπως κάποιοι γενετικοί

αλγόριθμοι επιτρέπουν μεταβλητό μέγεθος πληθυσμών)

Ορισμός 5 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή λ(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

αύξουσα συνάρτηση του HSI Το λi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV από μία

γειτονική περιοχή να μεταναστεύσει στην Hi

Ορισμός 6 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή micro(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

φθίνουσα συνάρτηση του HSI Το microi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV της Hi

να μεταναστεύσει προς μία γειτονική περιοχή Στην πράξη θεωρούμε ότι οι συναρ-

τήσεις λ και μ είναι γραμμικές με το ίδιο μέγιστο Αυτή η υπόθεση βοηθάει στην

στην απλούστευση των μαθηματικών υπολογισμών Καλύτερες επιδόσεις μπορεί να

είναι εφικτές αν παρεκκλίνουμε λίγο από την υπόθεση αυτή

Ορισμός 7 Τροποποίηση μίας περιοχής Ω(λμ) Hn rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής

που προσαρμόζει την περιοχή Η βάση του οικοσυστήματος Hn Η πιθανότητα μια

περιοχή Η να τροποποιηθεί είναι ανάλογη του ρυθμού μετανάστευσης προς αυτή λ

και η πιθανότητα η τροποποίηση αυτή να προέλθει από την περιοχή Hj είναι ανάλογη

του ρυθμού μετανάστευσης microj από την περιοχή Η τροποποίηση των περιοχών

μπορεί να περιγραφεί γενικά ως εξής

Επιλογή του Hi με πιθανότητα sim λi΄Αν έχει επιλεχθεί το Hi

For j=1 to nεπιλογή του Hj με πιθανότητα sim microiΑν έχει επιλεχθεί το Hj

τυχαία επιλογή ενός SIV σ από το Hj

αντικατάσταση ενός τυχαίου SIV της Hi με το σ

endend

endΑπό τον παραπάνω αλγόριθμο γίνεται φανερό ότι μπορεί να εφαρμοστεί ένα κρι-

τήριο ελιτισμού θέτοντας λ=0 για την p βέλτιστη περιοχή όπουp μία παράμετρος

ελιτισμού καθορισμένη από το χρήστη Ακόμα να σημειωθεί ότι ο ορισμός του Ω

εξασφαλίζει ότι η περιοχή Η που τροποποιείται ικανοποιεί τους περιορισμούς του

SIVΟρισμός 8 Η μετάλλαξη Μ(λμ) H rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής που τυχαία τρο-

ποποιεί τις SIVs μίας περιοχής βάση της αρχικής πιθανότητας ύπαρξης της περιοχής

Η πιθανότητα ύπαρξης μίας περιοχής υπολογίζεται όπως αναφέρθηκε παραπάνω

από τους ρυθμούς λ και μ Η μετάλλαξη μπορεί να περιγραφεί ως εξής

14

For j=1 to mχρήση των microi και λi για τον υπολογισμό της πιθανότητας Piεπιλογή της SIV Hi(j) με πιθανότητα sim PiΑν έχει επιλεχθεί το Hi(j)

Αντικατάσταση του Hi(j) με ένα τυχαία δημιουργημένο SIVend

end΄Οπως και παραπάνω ο ελιτισμός μπορεί να υλοποιηθεί θέτοντας πιθανότητα με-

τάλλαξης μηδενική για την περιοχή με τη βέλτιστη λύση p Από τον παραπάνω

ορισμό βλέπουμε ότι πρέπει η μετάλλαξη να έχει κατάλληλους περιορισμούς ώστε

να καταλήγει σε HSI που να υπακούν στους περιορισμούς των SIVs

Ορισμός 9 Μία συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος Ψ ( m n λ μ Ω Μ) Hn rarr Hn

είναι μία εξάδα που τροποποιεί το οικοσύστημα από μία επανάληψη στην επόμενη

Η συνάρτηση τροποποίησης του οικοσυστήματος μπορεί να γραφεί ως εξής

ψ = λn micron Ωn HSIn Mn HSI (214)

Η συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος λοιπόν ξεκινάει υπολογίζοντας τους ρυθ-

μούς μετανάστευση προς και από μία περιοχή Εν συνεχεία λαμβάνει χώρα η τρο-

ποποίηση των περιοχών ακολουθούμενη από έναν επαναϋπολογισμό των HSI

Τέλος εφαρμόζεται μετάλλαξη και ξαναϋπολογίζονται οι HSI κάθε περιοχής

Ορισμός 10 ΄Ενας BBO αλγόριθμος BBO(Ι Ψ Τ) είναι μία τριάδα που προτείνει μία λύση σε

ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης I empty rarr Hn HSIn είναι μία συνάρτηση η οποία

παράγει ένα αρχικό οικοσύστημα περιοχών και υπολογίζει τις αντίστοιχες HSI Ψείναι μία συνάρτηση τροποποίησης οικοσυστήματος όπως ορίστηκε παραπάνω και

T Hn rarr true false είναι ένα κριτήριο τερματισμού του αλγόριθμου

Η συνάρτηση Ι μπορεί να υλοποιηθεί με μία γεννήτρια τυχαίων αριθμών ευρετι-

κών λύσεων στο πρόβλημα βελτιστοποίησης ή με οιαδήποτε άλλη διαδικασία που

να εξαρτάται από το πρόβλημα Το Τ μπορεί να εξαρτάται από τον αριθμό των

Ψ επαναλήψεων το HSI της βέλτιστης περιοχής ή οποιοδήποτε άλλο κριτήριο

βάση του προβλήματος Οπότε ο αλγόριθμος BBO μπορεί να περιγραφεί από το

παρακάτω

Ι

όσο δεν ισχύει το Τ

Ψ

end

Μία απλουστευμένη περιγραφή του BBO αλγόριθμου θα μπορούσε να είναι η παρακάτω

1 Αρχικοποίηση των παραμέτρων του αλγορίθμου Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρεθεί μία μέθοδος

χαρτογράφησης των λύσεων του προβλήματος σε SIVs και περιοχές σύμφωνα με το πρόβλημα

Ακόμα αρχικοποιούμε ή ορίζουμε το μέγιστο αριθμό ειδών Smax τους μέγιστους ρυθμούς μετα-

νάστευσης Ε και Ι το μέγιστο ρυθμό μετάλλαξης mmax και μία παράμετρο ελιτισμού Πρέπει να

σημειωθεί ότι ο μέγιστος αριθμός ειδών και οι μέγιστοι ρυθμοί μετανάστευσης είναι αλληλοεξαρ-

τώμενα μεγέθη Οπότε αν όλα αλλάζουν κατά το ίδιο ποσοστό η συμπεριφορά του ΒΒΟ δεν θα

αλλάζει Αυτό συμβαίνει γιατί άν τα Ε Ι και Smax αλλάξουν οι ρυθμοί μετανάστευσης μ λ και ο

αριθμός των ειδών S θα αλλάξουν κατά την ίδια σχετική ποσότητα για όλες τις περιοχές ή λύσεις

2 Αρχικοποίηση μίας τυχαίας ομάδας περιοχών όπου κάθε περιοχή θα αντιστοιχεί σε πιθανή λύση

Αυτό είναι η υλοποίηση του συνόλου Ι

3 Για κάθε περιοχή καθορισμός των HSI για τον αριθμό ειδών S και των ρυθμών μετανάστευσης μ

και λ

15

4 Χρήση βάση πιθανοτήτων των ρυθμών μετανάστευσης για την τροποποίηση των μη ελιτίστικων

περιοχών και επαναϋπολογισμό των HSI αυτών

5 Για κάθε περιοχή ενημέρωση της πιθανότητας των αριθμών των ειδών βάση της εξίσωσης

Στη συνέχεια μετάλλαξη των μη ελιτίστικων περιοχών βάση των πιθανοτήτων τους και ξανά

υπολογισμός των HSI

6 Επιστροφή στο βήμα 3 για την επόμενη επανάληψη της διαδικασίας Η διαδικασία μπορεί

να σταματήσει μετά από έναν προκαθορισμένο αριθμό επαναλήψεων ή με την επίτευξη μίας

επιθυμητής λύσης Αυτή είναι η υλοποίηση του κριτηρίου τερματισμού Τ

Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι μετά από κάθε βήμα που αλλάζει κάτι σε μία περιοχή ή λύση πρέπει να

επαληθεύεται κάθε περιοχή ως πιθανή λύση του προβλήματος Αν όχι πρέπει να υπάρχει μία διαδικασία

η οποία να την τροποποιεί ώστε να γίνεται πιθανή λύση

Τέλος επειδή ένας τέτοιος αλγόριθμος θα συγκριθεί στη συνέχεια με τους υπόλοιπους που αναφέρ-

θηκαν παραπάνω είναι χρήσιμο να γίνουν πιο διακριτές οι διαφορές τους Η πρώτη τέτοια διαφορά είναι

ότι στους BBO αλγόριθμους δεν υπάρχει η έννοια της αναπαραγωγής ή των γενεών απογόνων όπως

υπάρχουν στους γενετικούς και τους εξελικτικούς αλγόριθμους Δεν δημιουργούνται καινούριες λύσεις

από κύκλο σε κύκλο αλλά εξελίσσονται οι υπάρχουσες Για τον ίδιο λόγο διαφέρει και από τους ACO(Ant Colony Optimization) αλγόριθμους Σαν λογική είναι πιο κοντά στους PSO (Particle SwarmOptimization) και DE (Differential Evolution) αλγόριθμους μιας και αυτοί διατηρούν και εξελίσσουν

τις υπάρχουσες λύσεις τους κάνοντας την κάθε λύση να μαθαίνει από τους γείτονες και να προσαρ-

μόζεται καθώς προχωράει ο αλγόριθμος Οι PSO αντιπροσωπεύουν κάθε λύση σαν ένα σημείο στο

χώρο και τις αλλαγές μεταξύ των επαναλήψεων του αλγόριθμου με διάνυσμα ταχύτητας ΄Ομως στους

αλγόριθμους αυτούς δεν αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η ταχύτητα των σημείων έχοντας αποτέλεσμα

τη μεταβολή των λύσεων Στους DE αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η αλλαγή αυτή γίνεται βάση των

διαφορών μεταξύ άλλων λύσεων Ακόμα οι DE δεν βασίζεται σε βιολογικές αρχές Οι BBO αλγόριθμοι

μπορούν να διαχωριστούν από τους DE και PSO στο χαρακτηριστικό ότι αλλάζουν άμεσα τις λύσεις

τους ανταλλάσσοντας χαρακτηριστικά μεταξύ τους μέσω της μετανάστευσης

16

Κεφάλαιο 3

Κεραίες

31 Γενικά

Με τον όρο umlκεραίαrsquo αναφερόμαστε σε μία διάταξη που είναι σχεδιασμένη να δέχεται ηκαι να εκπέμπει

ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Είναι μία διάταξη η οποία μετατρέπει ηλεκτρομαγνητική ενέργεια που

οδεύει σε μια γραμμή μεταφοράς ή ένα κυματοδηγό σε ηλεκτρομαγνητικό κύμα στο χώρο και viceversa Οι κεραίες είναι είτε παθητικές

1 είτε τροφοδοτούμενες

2

Λόγω της μεγάλης ανάπτυξης των τηλεπικοινωνιών και των πολλών συστημάτων που χρησιμοποιούν-

ται3 έχει αναπτυχθεί μια τεράστια ποικιλία κεραιών ώστε να καλύπτουν τις ειδικές ανάγκες διαφόρων

εφαρμογών και να διευκολύνεται η κατασκευή και ένταξή τους στο φυσικό και δομημένο περιβάλλον

Η μεγάλη αυτή ποικιλία συστημάτων κεραιών επιβάλει τον διαχωρισμό τους σε κατηγορίες βάσει της

μορφής τους και της αρχής λειτουργίας τους Αλλά σε όποια κατηγορία και να ανήκει μία κεραία έχει

κάποια βασικά χαρακτηριστικά

32 Χαρακτηριστικά κεραιών

Σε μία κεραία αυτό που μας ενδιαφέρει είναι το πώς εκπέμπει ή λαμβάνει στο χώρο ή αλλιώς οι ιδιότητες

ακτινοβολίας (μακρινού πεδίου4) Η γραφική παράσταση των ιδιοτήτων αυτών γίνεται με το διάγραμμα

ακτινοβολίας της Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας κεραίας είναι δηλαδή η τρισδιάστατη γραφική

παράσταση των ιδιοτήτων ακτινοβολίας της κεραίας Βρίσκεται με μετρήσεις κάποιου μεγέθους με

τη μετατόπιση μίας πρόμπας γύρω από την κεραία Παριστάνει τη γωνιακή κατανομή του μέτρου της

έντασης του πεδίου της πυκνότητας ισχύος ή της έντασης ακτινοβολίας Επειδή θέλουμε το διάγραμμα

ακτινοβολίας να δίνει τη γενική συμπεριφορά της κεραίας σε οποιοδήποτε σήμα μπορεί να λάβει ή να

εκπέμψει οι τιμές είναι κανονικοποιημένες5

Τα διαγράμματα ακτινοβολίας σχεδιάζονται και για

την ικανότητα εκπομπής και λήψης μίας κεραίας και για συγκεκριμένη είναι τα ίδια (εκπομπής και λήψης)

Από τα διαγράμματα ακτινοβολίας βλέπουμε σε ποια σημεία του χώρου η κεραία εκπέμπει (ή αν

1Αποτελούνται μόνο από παθητικά στοιχεία απλά μετατρέπουν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα σε ηλεκτρομαγνητική ενέρ-

γεια χωρίς κάποια επεξεργασία του σήματος2΄Εχουν και ενεργά στοιχεία τα οποία μπορούν να κάνουν ενίσχυση σήματος ή ακόμα και επεξεργασία σήματος όπως

πχ μεταβολή συχνότητας3Από τις πιο μικρές ηλεκτρονικές συσκευές πχ πομποί GPS (Global Positioning System) μέχρι μεγάλα συστήματα

πχ δορυφόροι οπουδήποτε εφαρμόζεται ασύρματη επικοινωνία απαραίτητο εξάρτημα είναι μία κεραία4Ο χώρος γύρω από μία κεραία ως προς την κεραία χωρίζεται σε μακρινό και κοντινό πεδίο Στο κοντινό πεδίο

το διάγραμμα επηρεάζεται έντονα από τις επαγωγικές και χωρητικές συνιστώσες που εμφανίζονται στην κεραία κατά τη

ροή του ρεύματος ενώ στο μακρινό όχι και γι΄ αυτό το διάγραμμα του μακρινού πεδίου είναι σταθεροποιημένο ενώ του

κοντινού όχι Τα διαγράμματα που δίνουν οι κατασκευαστές είναι διαγράμματα μακρινού πεδίου Διάκριση μεταξύ μακρινού

και κοντινού πεδίου γίνεται βάσει της απόστασης από την κεραία όπου για R gt 2lowastD2

λ θεωρούμε μακρινό πεδίο όπου λ

είναι το μήκος κύματος D η διάμετρος της κεραίας και R η απόσταση από αυτήν5Λόγω των κανονικοποιημένων τιμών του διαγράμματος ακτινοβολίας το διάγραμμα πυκνότητας ισχύος και έντασης

ακτινοβολίας είναι ταυτόσημα

17

είναι διάγραμμα λήψης λαμβάνει) τη μεγαλύτερη και σε ποια τη μικρότερη ισχύ Το τρισδιάστατο

της περιγραφής επιτυγχάνεται με το συνδυασμό δύο διαγραμμάτων το κάθετο (κάθετη τομή στον

τρισδιάστατο χώρο) και το οριζόντιο (οριζόντια τομή) Η κεραία θεωρείται στο κέντρο του διαγράμματος

και το διάγραμμα συνδέει στην ουσία τον χώρο με την ακτινοβολούμενη ισχύ ή με την ικανότητα

λήψης ισχύος για διάγραμμα εκπομπής και λήψης αντίστοιχα και είναι όπως προαναφέρθηκε η

γραφική αναπαράσταση της συμπεριφοράς της κεραίας στο χώρο Μας δείχνει σε ποιες περιοχές του

χώρου εκπέμπει και πόση ισχύ ή αντίστοιχα από ποιες περιοχές του χώρου και πόση ισχύ μπορεί

να λάβει η κεραία Είτε επειδή δε θέλουμε σπατάλη ισχύος σε rdquoαδιάφορεςrdquoπεριοχές είτε επειδή δεν

θέλουμε να παρεμβάλλουμε δημιουργώντας θόρυβο σε άλλες κεραίες κατά την εκπομπή και είτε επειδή

θέλουμε να λαμβάνουμε τη μέγιστη δυνατή ισχύ αν ξέρουμε από που λαμβάνουμε και να μειώνουμε

το θόρυβο από τις άλλες πηγές τα διαγράμματα ακτινοβολίας είναι πολύ χρήσιμα στο σχεδιασμό μίας

κεραίας Τέλος μία άλλη χρήση είναι η σύγκριση κεραιών είτε γενικά είτε για συγκεκριμένες εφαρμογές

Σχήμα 31 Διάγραμμα ακτινοβολίας

Στο διπλανό σχήμα () φαίνεται ένα τυπικό και αρκετά

απλοποιημένο διάγραμμα ακτινοβολίας Σε αυτό διακρίνουμε

τον κύριο λοβό που είναι το τμήμα η μεγαλύτερη κλειστή

καμπύλη που διακρίνεται από το γεγονός ότι έχει τη μέγιστη

τιμή στο διάγραμμα Συνήθως τα διαγράμματα ακτινοβολίας

είναι πολικά όπως αυτό του σχήματος 31 με βαθμονόμηση

από 0μέχρι 360

και ο κύριος λοβός στη γενική περίπτωση

τοποθετείται στις 0 Ο λοβός που βρίσκεται στις 180

ονο-

μάζεται οπίσθιος λοβός και οι υπόλοιποι λοβοί ονομάζονται

πλευρικοί Ανάλογα με την περίπτωση οι υπόλοιποι εκτός του

κύριου είναι ανεπιθύμητοι είτε επιθυμητοί και προσπαθούμε

αντίστοιχα να τους καταστείλουμε ή να τους ενισχύσουμε

Οι πλευρικοί λοβοί οφείλονται σε φαινόμενα καταστροφικής

ή εποικοδομητικής συμβολής των κυμάτων που εκπέμπονται

από τη κεραία Η κλίμακα στο διάγραμμα είναι σε deciBellκαι τα μεγέθη είναι κανονικοποιημένα

6 ΄Ετσι η μέγιστη τιμή θα είναι στα 0 db και οι υπόλοιπες

σε αρνητικές τιμές Τα διαγράμματα αυτά έχουν τέτοια βαθμονόμηση γιατί θέλουμε να εκφράζουν

ποιοτικά τη συμπεριφορά της κεραίας αλλά και γιατί οι τιμές έντασης ή ισχύος που θέλουμε να αναπα-

ραστήσουμε είναι πολλών τάξεων μεγέθους και θα θέλαμε πολύ μεγάλα διαγράμματα για κανονικές τιμές

΄Ενα πιο αναλυτικό διάγραμμα ακτινοβολίας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () και είναι διάγραμμα

μίας κεραίας Yagi-Uda Οι κύκλοι που φαίνονται στο διάγραμμα αντιστοιχούν στις τιμές -3 -10 -20

-30 και -40 dB και είναι χωρισμένοι σε τμήματα των 10 Οι κύκλοι αυτοί δείχνουν τα σημεία που

έχει μειωθεί το μέγεθος στο 50 στο 10 στο 1 στο 01 και στο 001 αντίστοιχα Η

γωνία των σημείων στα οποία ο κύριος λοβός τέμνει τον πρώτο κύκλο ονομάζεται γωνία ημίσειας ισχύος

Σχήμα 32 Καρτεσιανό διάγραμμα

Εκτός των πολικών διαγραμμάτων υπάρχουν και τα καρτεσιανά

τα οποία είναι η καρτεσιανή προβολή των πολικών Παράδειγμα

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () όπου φαίνεται το άνοιγμα μισής

ισχύος και το επίπεδο του πρώτου πλευρικού λοβού Επειδή τα

διαγράμματα ακτινοβολίας σχηματίζονται όπως προαναφέρθηκε

και αφορούν τη χωρική συμπεριφορά μίας κεραίας στο μακρινό

πεδίο οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε την κεραία ως σημείο

τα καρτεσιανά διαγράμματα δεν έχουν καλή αναπαράσταση της

πραγματικότητας Αλλά είναι αρκετά χρήσιμα στη μελέτη κεραιών

και στην καλύτερη εποπτεία των χαρακτηριστικών της από τα πολικά και για το λόγο αυτό σχεδιάζονται

και χρησιμοποιούνται κατά κόρον

6΄Ενα κανονικοποιημένο διάγραμμα έχει την ίδια μορφή με ένα μη κανονικοποιημένο με μόνη αλλαγή την κλίμακα και

ότι τα μεγέθη είναι ο λογάριθμος του λόγου της τιμής προς τη μέγιστη

18

Σχήμα 33 Διάγραμμα ακτινοβολίας Yagi-Uda κεραίας

Από ένα διάγραμμα ακτινοβολίας μπορούμε να βρούμε τα παρακάτω χαρακτηριστικά μίας κεραίας (ή

και παραμέτρους του διαγράμματος όπως αναφέρονται συχνά)

Σχήμα 34 Ισοτροπική και μη

bull Κατευθυντικότητα δείκτης της ικανότητα της κεραίας να

συγκεντρώσει την ακτινοβολία εκπομπής προς μία συγκεκριμένη

κατεύθυνση και βρίσκεται αναφορικά με μία ιδανική (ισοτροπική)

κεραία Η σύγκριση την όποιας κεραίας με μία ισοτροπική φαίνεται

στο διπλανό σχήμα () Τα εμβαδά είναι ίσα οπότε εκπέμπουν

και οι δύο την ίδια ισχύ αλλά στην επιθυμητή κατεύθυνση η μη

ισοτροπική στέλνει μεγαλύτερη ισχύ Η κατευθυντικότητα λοιπόν

είναι η διαφορά σε dB των δύο διαγραμμάτων στην κατεύθυνση

του μεγίστου Είναι αντιστρόφως ανάλογη με το εύρος του κυρίως

λοβού

bull Εύρος δέσμης μισής ισχύος οριζόντιου και κάθετου επιπέδου ( HPBW )

αναφέρεται στην ενεργό περιοχή κάλυψης της κεραίας και ορίζεται ώς η γωνία μεταξύ των σημείων

του κύριου λοβού όπου η ισχύς είναι μισή της μέγιστης ή σε dB 3dB κάτω από την μέγιστη και

προσδιορίζει την περιοχή που εμφανίζεται μέγιστη εκπομπή ενώ εκτός της περιοχής αυτής η ισχύς

μειώνεται πολύ γρήγορα

bull Εύρος δέσμης επίπεδο (dB) πρώτων σημείων μηδενισμού οριζόντιου καικάθετου επιπέδου (FNBW) ορίζεται ως η γωνία μεταξύ των δύο πρώτων μηδενισμών του

μεγέθους εκατέρωθεν του κύριου λοβού

bull Λόγος κύριου προς οπίσθιο λοβό (FB)

bull Επίπεδα (dB) και εύρος γωνιών πλευρικών λοβών και οπίσθιων λοβώνbull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με τον αμέσως μικρότερο λοβό του διαγράμ-ματος ακτινοβολίας

bull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με όλους τους υπόλοιπους του διαγράμματοςακτινοβολίας

bull Λόγος κύριου προς επόμενο μεγαλύτερο λοβό (Side-Lobe Level) ορίζεται ως ο λόγος

του μεγίστου του κυρίως λοβού προς τον αμέσως μικρότερο πλευρικό λοβό (SLL = MainLobeMaxSideLobe

dB)

και είναι ένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά μίας κεραίας Πολλές φορές αναφέρεται και ώς επίπεδο

πλευρικών λοβών

Τα χαρακτηριστικά μίας κεραίας μπορούν να υπολογιστούν και να περιγραφούν όχι μόνο βάσει του

19

διαγράμματος ακτινοβολίας της Μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της μετρώντας και υπολο-

γίζοντας κατάλληλα μεγέθη και κάνοντας χρήση γνωστών μαθηματικών τύπων

bull Συνολική ακτινοβολούμενη ενέργεια η συνολική (ή μέσος όρος) ενέργεια που ακτινο-

βολεί μία κεραία και υπολογίζεται από τον τύπο

Prad = Pav =

lsaquoS

~Wrad middot d~s =

lsaquoS

~Wav middot n middot da =1

2

lsaquoS

lt( ~E times ~H) middot d~s (31)

όπου Wrad=πυκνότητα ακτινοβολίας

bull ΄Ενταση ακτινοβολίας η ενέργεια που εκπέμπεται από μία κεραία ανά μονάδα στερεάς γωνίας

U = r2 middotWrad (32)

όπου r=απόσταση

bull Κατευθυντικότητα είναι ο λόγος της ακτινοβολούμενης ενέργειας σε μία συγκεκριμένη κα-

τεύθυνση προς το μέσο όρο εκπεμπόμενης ακτινοβολίας σε όλες τις κατευθύνσεις ΄Η αλλιώς

η ένταση προς μία συγκεκριμένη κατεύθυνση προς την αντίστοιχη τιμή της αν ακτινοβολούσε

ισοτροπικά

D =U

Uo=

4pU

Prad(33)

΄Αν δεν ορίζεται κατεύθυνση σαν κατευθυντικότητα αναφέρεται η μέγιστη κατευθυντικότητα μίας

κεραίας

bull Κέρδος αν και συνδέεται με την κατευθυντικότητα είναι μία παράμετρος της κεραίας που λαμ-

βάνει υπόψιν και την αποδοτικότητα της κεραίας αλλά και τις δυνατότητες κατευθυντικότητας

Απόλυτο κέρδος κεραίας (σε συγκεκριμένη κατεύθυνση) ορίζεται ο λόγος της έντασης ακτινοβο-

λίας προς την ένταση ακτινοβολίας που θα είχε στη συγκεκριμένη κατεύθυνση άν όλη η ενέργεια

εισόδου της κεραίας εκπεμπόταν ισοτροπικά

κέρδος = 4π middot ένταση ακτινοβολίας

συνολική εισερχόμενη ενέργεια= 4π

U(θ φ)

Pinputrarr

G = 4π U(θφ)Pinput (ιδανικής ισοτροπικής πηγής)

(34)

bull Απόδοση κεραίας είναι ένας δείκτης που λαμβάνει υπόψιν τις απώλειες ενέργειας από την

είσοδο στην έξοδο της κεραίας λόγω πολλών φαινομένων Γενικά η συνολική απόδοση μίας

κεραίας δίνεται από τον τύπο

eo = er middot ec middot ed (35)

όπου eo είναι η συνολική απόδοση er είναι η απόδοση λόγω απωλειών ανακλάσεων (λόγω κακής

προσαρμογής) (= 1minus|Γ|2) ec είναι η απόδοση λόγω απωλειών αγωγιμότητας ed είναι η απόδοση

που οφείλεται στο διηλεκτρικό και Γ ο συντελεστής ανάκλασης τάσης

bull Απόδοση δέσμης είναι μία παράμετρος ποιότητας μίας κεραίας και ορίζεται από το λόγο της

ενέργειας που ακτινοβολείται από τον κύριο λοβό της κεραίας (με το λοβό σε γωνία θ0) προς τη

συνολική

BE =

acute 2π0

acute θ0U(θ φ)sin(θ)dθdφacute 2π

0

acute π0U(θ φ)sin(θ)dθdφ

(36)

όπου θ1 είναι η γωνία μισής ισχύος ΄Αν θεωρήσουμε το θ1 στην κατεύθυνση του πρώτου μηδενι-

σμού τότε θα έχουμε το λόγο της ισχύος του κυρίως λοβού προς τη συνολική

bull Εύρος σαν εύρος μιας κεραίας ορίζεται το εύρος των συχνοτήτων (bandwidth) στις οποίες

μπορεί να λειτουργήσει αποδοτικά βάσει κάποιων χαρακτηριστικών της πχ να έχει εύρος κύριου

λοβού εντός συγκεκριμένων ορίων διατηρώντας μία ελάχιστη τιμή SLL

20

33 Κατηγορίες κεραιών

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω οι κεραίες χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με τα μορ-

φολογικά αλλά και λειτουργικά χαρακτηριστικά τους Βάσει του τρόπου με τον οποίο εκπέμπουν ή

λαμβάνουν ή αλλιώς βάσει του διαγράμματος ακτινοβολίας τους χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες

bull Ισοτροπικές μία ισοτροπική κεραία ορίζεται ως μία υποθετική (ιδανική) κεραία η οποία ακτινο-

βολεί το ίδιο προς όλες τις κατευθύνσεις Δεν έχει κάποια πραγματική εφαρμογή στα τηλεπικοι-

νωνιακά συστήματα γιατί η ισχύς της εκπέμπεται προς όλες τις κατευθύνσεις το ίδιο προκαλώντας

μεγάλες απώλειες ισχύος σε ανεπιθύμητες κατευθύνσεις ΄Εχει μόνο θεωρητική αξία στη μελέτη

κεραιών και στον ορισμό κάποιων παραμέτρων των κεραιών όπως το κέρδος που είδαμε παραπάνω

bull Κατευθυντικές μία κατευθυντική κεραία ορίζεται ως η κεραία που έχει την ικανότητα να

εκπέμπει ή να λαμβάνει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αποτελεσματικότερα προς κάποιες κατευ-

θύνσεις Είναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κεραίες και η εξέλιξη αυτών είναι οι έξυπνες

κεραίες που ανάλογα με τις ανάγκες της κάθε συσκευής και τα χαρακτηριστικά του χώρου που

βρίσκεται μπορούν να αλλάξουν τη γωνία μέγιστης εκπομπής κάνοντας βέλτιστη χρήση της α-

κτινοβολούμενης ισχύος της

bull Πανκατευθυντικές μία πανκατευθυντική κεραία είναι μία κεραία η οποία ακτινοβολεί σαν

κατευθυντική εκτός από ένα επίπεδο στο οποίο εκπέμπει ή λαμβάνει ισοτροπικά Η χρήση τους

είναι κυρίως στα μέσα μαζικής επικοινωνίας όπου χρειάζεται κάλυψη του χώρου 360 μοιρών στο

οριζόντιο επίπεδο αλλά πολύ μικρής γωνίας στο κάθετο

Βάσει των μορφολογικών χαρακτηριστικών τους χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες Η κάθε

κατηγορία έχει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της που την καθιστούν κατάλληλη για κάποια

εφαρμογή και ακατάλληλη για κάποια άλλη Παρακάτω αναφέρονται οι κατηγορίες αυτές των κεραιών

με τα βασικά χαρακτηριστικά της κάθε μίας

bull Κεραίες σύρματος Είναι απλές κεραίες κατασκευασμένες από αγώγιμο υλικό συνήθως

κυκλικής διατομής Πολλές φορέα σχηματίζονται από πολλούς αγωγούς κατάλληλα συζευγμένους

μεταξύ τους σε πλέγματα διαφόρων σχημάτων που είτε δημιουργούν μία επιφάνεια είτε μία γραμμική

κεραία Η απλούστερη γραμμική κεραία είναι η κεραία διπόλου τα χαρακτηριστικά της οποίας είναι

ανάλογα με το σχετικό μήκος της ως προς το μήκος κύματος της ακτινοβολίας για την οποία προορίζε-

ται7 Οι συγκεκριμένες είναι πολύ απλές στην κατασκευή πολύ συχνά απλά συρμάτινες Αποτελείται

από ένα δίπολο του οποίου (συνήθως) η τροφοδοσία8είναι στη μέση Πλεονεκτήματα των κεραιών

αυτών είναι το κόστος το μέγεθος και η δυνατότητα κάλυψης μεγάλης περιοχής συχνοτήτων ενώ

έχουν το μειονέκτημα της χαμηλής απόδοσης λόγω των διαστάσεων τους Καλύτερα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης έχουν οι διπολικές κεραίες των οποίων το μήκος είναι της τάξης του μήκους κύματος

Σχήμα 35 Κεραία διπόλου

Μία κεραία σύρματος χαρακτηρίζεται ως rdquoλεπτήrdquoόταν η διάμε-

τρος του αγωγού είναι μικρότερη από 001λ Ανάλογα με το σχήμα

της χαρακτηρίζεται ως ευθύγραμη κεραία V ή πτυσσόμενη Στο

διπλανό σχήμα () φαίνονται μία ευθύγραμμη και μία πτυσσόμενη

διπολική κεραία Στις πτυσσόμενες σημαντική είναι η γωνία που

σχηματίζουν οι βραχίονες τους έχοντας βρεθεί ότι η μέγιστη

κατευθυντικότητα επιτυγχάνεται για γωνία α = 60λh

+ 380

όπου h είναι το μήκος του βραχίονα και λ το μήκος κύματος τη

ακτινοβολίας και ότι Dmax = 12 + 23hλ9

7Μία κεραία χαρακτηρίζεται ως ηλεκτρικά μικρή όταν οι διαστάσεις της είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος

της ακτινοβολίας8Με τον όρο τροφοδοσία εννοούμε το υπόλοιπο σύστημα το οποίο τροφοδοτεί η κεραία με το σήμα που λαμβάνει στην

περίπτωση κεραίας λήψης ή από το οποίο τροφοδοτείται με το σήμα που θα εκπέμψει στην περίπτωση κεραίας εκπομπής

9Η σχέση αυτή είναι εμπειρική και ισχύει για 05 lt h

λ lt 3

21

Σχήμα 36 Κεραία Yagi-Uda

Μία εξέλιξη των παραπάνω κεραιών είναι οι κεραίες Yagi-Udaπου ένα διάγραμμα ακτινοβολίας τέτοιας κεραίας παρατέθηκε

παραπάνω () Είναι ευθύγραμμες διπολικές κεραίες που α-

ποτελούνται από πέραν του ενός δίπολα τα οποία όμως δεν

τροφοδοτούνται όλα Τα μη τροφοδοτούμενα δίπολα ονομάζονται

παρασιτικά και τροφοδοτούνται επαγωγικά από τα υπόλοιπα Οι

κεραίες αυτές παρουσιάζουν αυξημένη κατευθυντικότητα σχετικά

με τις μη παρασιτικές κεραίες διπόλων Η πρώτη τέτοια κεραία

κατασκευάστηκε το 1926 και αποτελούταν από τρία δίπολα ένα

ενεργό και δύο παρασιτικά Στην περίπτωση που το παρασιτικό

δίπολο έχει μεγαλύτερο μήκος από του ενεργού ονομάζεται

ανακλαστήρας ενώ αν έχει μικρότερο ονομάζεται κατευθυντήρας

Μία γενική μορφή τέτοιας κεραίας φαίνεται στο διπλανό σχήμα με LR το μήκος του ανακλαστήρα και

LD το μήκος του κατευθυντήρα

bull Στοιχειοκεραίες Μία εξέλιξη των συρμάτινων κεραιών είναι οι στοιχειοκεραίες Οι

στοιχειοκεραίες αποτελούνται από πολλές κεραίες διπόλων τα στοιχεία τα οποία ενώνονται όλα σε

μία κοινή τροφοδοσία και αυτή είναι η βασική τους διαφορά από τις Yagi-Uda που έχουν παρασιτικά

στοιχεία και ο λόγος που οι τελευταίες δε θεωρούνται στοιχειοκεραίες Συστοιχείες λοιπόν πολλών

κεραιών φτιάχνουν τις στοιχειοκεραίες Ανάλογα με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της συστοιχίας

υπάρχουν κάποια είδη στοιχειοκεραιών όπως είναι οι γραμμικές (μία συστοιχία σε ευθεία γραμμή) και

οι επίπεδες (συστοιχείες συστοιχείων) Λόγω της ταυτόχρονης χρήσης πολλών κεραιών μπορούν να

συνδυάσουν τα χαρακτηριστικά τους δίνοντας δυνατότητα πολύπλοκων κατευθυντικών διαγραμμάτων

καθιστώντας τες κατάλληλες για πολλές εφαρμογές Συγκριτικά με μία κεραία μεγάλου μήκους που

θα έχει τα ίδια κατευθυντικά χαρακτηριστικά παρουσιάζει το πλεονέκτημα της εύκολης τροφοδο-

σίας της μηχανικής αντοχής και του μικρού κόστους εγκατάστασης και λειτουργίας Τέλος με

κατάλληλη τροφοδοσία του κάθε στοιχείου της μπορούμε να αλλάξουμε τα κατευθυντικά χαρακτηρι-

στικά της ΄Εχουν πολλές γεωμετρικές μορφές αλλά και είδη που θα αναφερθούν σε επόμενη παράγραφο

bull Κεραίες βρόχου ή πλαισίου Μία κεραία βρόχου αποτελείται από έναν κλειστό αγωγό σε

σχήμα βρόχου (ή και βρόχων) ο οποίος τροφοδοτείται σε ένα σημείο του Χωρίζονται σε κεραίες μικρού

και μεγάλου βρόχου συγκριτικά με το μήκος κύματος στο οποίο χρησιμοποιούνται10

Οι μικρού

βρόχου έχουν χαμηλή απόδοση και χρησιμοποιούνται κατά κόρον σε δέκτες χαμηλών συχνοτήτων

Εκτός από τους ραδιοφωνικούς δέκτες των αυτοκινήτων στους οποίους γίνεται μεγάλη χρήση των

κεραιών μικρού βρόχου το μεγαλύτερο ποσοστό των δεκτών AM χρησιμοποιούν τέτοιες κεραίες

Οι μεγάλου βρόχου έχουν ευρεία χρήση στους δέκτες VHF και UHF έχοντας και το επιπλέον

χαρακτηριστικό της μεταβλητής περιφέρειας δίνοντας δυνατότητα μεγαλύτερου εύρους συχνοτήτων

Γενικά οι κεραίες βρόχου είναι κεραίες με μεγάλη κατευθυντικότητα κάτι που τις κάνει ιδανικές σε

εφαρμογές εύρεσης κατεύθυνσης σήματος

bull Ελικοειδής κεραίες Μία ελικοειδής κεραία αποτελείται από έναν αγωγό που έχει τη μορφή

έλικας στον οποίο η τροφοδοσία είναι στο ένα του άκρο Αποτελεί συνδυασμό κεραίας βρόχου και

γραμμικής κεραίας οπότε μπορεί να εκπέμπει με δύο τρόπους (ρυθμούς) αξονικά και κάθετα στον άξονα

της έλικας κάτι που της δίνει βελτιωμένα χαρακτηριστικά συγκριτικά με τις δύο αυτές κατηγορίες

Χρησιμοποιείται κατά κόρον όπου απαιτείται κυκλική πόλωση σήματος σαν πομπός ή σε σήματα που

έχουν κυκλική πόλωση σαν δέκτης και έχει αρκετά μεγάλο εύρος ζώνης συχνοτήτων Ανάλογα με τα

χαρακτηριστικά που πρέπει να έχει μία ελικοειδής κεραία μπορεί να είναι ομοιόμορφη (όλες οι έλικες

ίδια διάμετρο) αυξανόμενης ελαττούμενης και αυξο-ελαττούμενης διαμέτρου ελίκων

bull Δικωνικές κεραίες ΄Αν δύο V ενωθούν κατακορυφήν σχηματίζεται μία δικωνική κεραία οι

οποίες έχουν αυξημένο εύρος συχνοτήτων Πολλές δικωνικές κεραίες έχουν τη δυνατότητα μεταβολής

10Σαν κεραία μικρού βρόχου θα χαρακτηριστεί η κεραία της οποίας η περιφέρεια θα είναι ίση ή μικρότερη από το ένα

δέκατο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας

22

του μήκους του βραχίονα τους δίνοντας ακόμα μεγαλύτερο εύρος Αν μία από τις δύο V κεραίες

αντικατασταθεί από μία αγώγιμη επιφάνεια σε σχήμα δίσκου έχουμε τη δισκωνική κεραία στην οποία

ο δίσκος λειτουργεί ως ανακλαστήρας Είναι κεραίες μικρής κατευθυντικότητας και χαμηλού κέρδους

και χρησιμοποιούνται πολύ σαν κεραίες ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών εκπομπών

bull Σπειροειδής κεραίες Οι σπειροειδής κεραίες είναι κεραίες με μεγάλο εύρος ζώνης

συχνοτήτων και μεγάλης κατευθυντικότητας Αποτελούνται από μία ή δύο αγωγούς που έχουν σχήμα

σπείρας και όσο μικρότερη γωνία ανοίγματος σπείρας έχουν τόσο μεγαλύτερη κατευθυντικότητα

Μπορεί να είναι επίπεδες ή κωνικές και η πόλωση του σήματος που λαμβάνουν ή εκπέμπουν είναι

ανάλογη με τη φορά των σπειρών Το εύρος συχνοτήτων τους δίνεται από το λόγο μεγαλύτερης προς

μικρότερης διαμέτρου άν και στην πραγματικότητα είναι λίγο μικρότερο του λόγου αυτού Μία αρκετά

διαδεδομένη σπειροειδής κεραία είναι η rdquoσπειροειδής του Αρχιμήδηrdquoη οποία αποτελείται από δύο σπε-

ίρες με r1 = r0φ και r2 = r0(φminusπ) οι οποίες συνήθως κατασκευάζονται πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα11

bull Κεραίες χοάνης Οι κεραίες χοάνης αποτελούνται από έναν αγωγό ο οποίος είναι από το

ένα άκρο του ανοιχτός και διεγείρεται από το άλλο του άκρο Με σωστή ρύθμιση έχουν μεγαλύτερη

απόδοση από τις συρμάτινες Ανάλογα με το σχήμα του αγωγού μπορεί να υπάρχουν αρκετά είδη

τέτοιων κεραιών τρία εκ των οποίων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα () Η κατευθυντικότητα της

είναι ανάλογη της γωνίας ανοίγματος της Στην πράξη συναντούμε ελάχιστες κεραίες χοάνης μόνες

τους αλλά σε συνδυασμό με έναν ανακλαστήρα έχουν πολύ διαδεδομένη χρήση λόγω της πολύ μεγάλης

κατευθυντικότητας που προσφέρουν ειδικά στις περιπτώσεις που ο ανακλαστήρας είναι παραβολικός

όπου υπάρχει η δυνατότητα παραγωγής πολύ στενής δέσμης υψηλού κέρδους και χαμηλού θορύβου

Χρησιμοποιούνται πολύ στις δορυφορικές επικοινωνίες και η πιο συνηθισμένη τους μορφή είναι τα umlπιάταrsquo

που χρησιμοποιούνται για τη λήψη δορυφορικών σημάτων

Σχήμα 37 Κεραίες χοάνης α)τομέας β)πυραμοειδής και γ)κωνική

bull Λογαριθμικές περιοδικές κεραίες Είναι κεραίες των οποίων τα μορφολογικά χα-

ρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με την απόσταση από την αρχή της κεραίας Υπάρχει ένα

επαναλαμβανόμενο στοιχείο κεραίας το οποίο μεγαλώνει όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της

κεραίας Μπορεί να είναι μία πλάκα με οδοντώσεις το μέγεθος των οποίων μεταβάλλεται ένα σύρμα

11Οι κεραίες που είναι κατασκευασμένες πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα ή αλλιώς σε μικροταινίες ανήκουν και στην

κατηγορία των μικροταινιακών κεραιών πολύ διαδεδομένη στις ηλεκτρονικές φορητές συσκευές που λειτουργούν στην

περιοχή των μικροκυμάτων (λόγω διαστάσεων κεραιών είναι ιδανικές για την περιοχή αυτή)

23

Σχήμα 38 Λογαριθμική περιοδική κεραία

το οποίο διπλώνεται κατάλληλα και το μέγεθος της κάθε δίπλωσης μεταβάλλεται ή ακόμα και από

δίπολα το μήκος των οποίων μεταβάλλεται Πολλές κεραίες που ανήκουν σε παραπάνω κατηγορίες είναι

λογαριθμικές μπορεί να είναι λογαριθμικές αν η μεταβολή των επαναλαμβανόμενων στοιχείων ακολουθεί

το συγκεκριμένο πρότυπο Μία τέτοια φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () η οποία ανήκει στην

κατηγορία των στοιχειοκεραίων Λόγω των επαναλαμβανόμενων στοιχείων των οποίων συνδυάζουν τα

χαρακτηριστικά μπορούν να έχουν πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων και συγκεκριμένα εύρος μίας τάξης

μεγέθους επιτυγχάνεται εύκολα και μπορούν να έχουν και αρκετά μεγάλη κατευθυντικότητα Βρίσκουν

πολλές εφαρμογές στις επικοινωνίες υψηλών συχνοτήτων και ειδικά στα τηλεοπτικά σήματα αφού με

μία κεραία μπορεί κάποιος να λαμβάνει ικανοποιητικά όλα τα διαθέσιμα κανάλια χωρίς καμία προσαρμογή

34 Στοιχειοκεραίες

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω η μορφή του διαγράμματος εκπομπής και λήψης των κεραιών

εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της κεραίας Σε πολλές εφαρμογές απαιτούνται κεραίες μεγάλου

κέρδους ή αλλιώς μεγάλης κατευθυντικότητας Μία κεραία για να έχει μεγάλη κατευθυντικότητα

θα πρέπει να έχει πολύ μεγάλο μέγεθος Το πρόβλημα αυτό λύνεται φτιάχνοντας σύνθετες κεραίες

Κεραίες που αποτελούνται από μικρότερες κεραίες είτε όμοιες μεταξύ τους είτε ανόμοιες Τέτοιες

συστοιχίες κεραιών όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ονομάζονται στοιχειοκεραίες Το κάθε στοιχείο

μίας στοιχειοκεραίας μπορεί να είναι οποιασδήποτε μορφής κεραία (σύρματος οπής κλπ) με βασικό

χαρακτηριστικό όλα τα στοιχεία να έχουν κοινή τροφοδοσία Το συνολικό πεδίο θα είναι το διανυ-

σματικό άθροισμα των πεδίων κάθε στοιχείου ξεχωριστά Οπότε μπορούμε να έχουμε το επιθυμητό

πεδίο φτιάχνοντας την κεραία μας έτσι ώστε στα σημεία που θέλουμε μεγάλο κέρδος να συμβάλουν

εποικοδομητικά τα πεδία των στοιχείων της κεραίας και στα σημεία που δεν θέλουμε να ακτινοβολεί να

έχουμε καταστροφική συμβολή

Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας θα εξαρτάται από τους εξείς παράγοντες

bull Τη γεωμετρία της στοιχειοκεραίας ( γραμμικήκυκλικήορθογώνια σφαιρική κλπ)

bull Την απόσταση μεταξύ των στοιχείων της κεραίας

bull Την ένταση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

bull Τη φάση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

24

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Περιεχόμενα

1 Σχεδίαση κεραίας 2

11 Διατύπωση του προβλήματος 2

12 Το πρόγραμμα σχεδίασης 3

13 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνηση περιπτώσεων 4

131 Αριθμός στοιχείων κεραίας 6

132 Μέγεθος πληθυσμού 7

133 Μετάλλαξη 13

14 Σύγκριση αλγορίθμων 18

15 Συμπεράσματα 19

1

Κεφάλαιο 1

Evolutionary algorithms -ΕξελικτικοίΑλγόριθμοι

11 Εισαγωγή στους αλγόριθμους

Με τον όρο rdquoΑλγόριθμοςrdquoπεριγράφεται η διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος Ο όρος είναι μία

παραλλαγή του ονόματος του Πέρση μαθηματικού του 9ου αιώνα μΧ Αβυ Αβδαλλαη Μυηαμμαδ ιβν

Μυςα αλ-Κηωαριζμı (Αμπού Αμπντουλάχ Μοχάμεντ Ιμπν Μούζα Αλ Χουαρίζμι)1ο οποίος έγραψε

το βιβλίο umlαλ-Κιταβ αλ-μυη

˘

ταςαρ φı ηιςαβ αλ-γαβρ ωα-λ-μυχαβαλαrsquo2

το οποία περιείχε

συστηματικές τυποποιημένες λύσεις αλγεβρικών3προβλημάτων ΄Οταν πέντε αιώνες αργότερα το βιβλίο

μεταφράστηκε στα Λατινικά ο μεταφραστής άρχιζε με τη φράση rdquoAlgorithmus dixit rdquo(ο Αλγόριθμος

είπε) Σιγά σιγά λοιπόν άρχισε να καθιερώνεται ο όρος αυτός για να περιγράψει συστηματικές

διαδικασίες αριθμητικών χειρισμών φτάνοντας στη σημερινή έννοια μετά την υιοθέτησή του από την

επιστήμη των ηλεκτρονικών υπολογιστών

Η rdquoιδέαrdquoτου αλγόριθμου είναι γνωστή αρκετές χιλιάδες χρόνια παρόλο που δεν της είχε δοθεί κάποιο

συγκεκριμένο όνομα Από τους πιο γνωστούς αλγόριθμους είναι το Κόσκινο του Ερατοσθένη (εύρεση

πρώτων αριθμών) και η μέθοδος του Ευκλείδη για την εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο αριθ-

μών που μεταγενέστερα ονομάστηκε Αλγόριθμος του Ευκλείδη Οι δύο παραπάνω αρχαίοι αλγόριθμοι

περιγράφουν τα βήματα που πρέπει να ακολουθήσει κάποιος για να λύσει ένα αριθμητικό πρόβλημα

Αυτή ήταν και η αρχική έννοια που δόθηκε στον όρο Με την εισαγωγή του όμως στην επιστήμη των

υπολογιστών ο όρος κατά κάποιον τρόπο μεταλλάχθηκε λίγο Χρησιμοποιήθηκε στην αρχή με την

παραπάνω έννοια αλλά με την εξέλιξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών και των μεθόδων και γλωσσών

προγραμματισμού τα βήματα που περιγράφουν έναν αλγόριθμο δεν είναι απλές αριθμητικές πράξεις αλ-

λά ως επί το πλείστον λογικά βήματα ΄Ενας αναλυτικός ορισμός της έννοιας του αλγόριθμου όπως

χρησιμοποιείται τώρα είναι

Αλγόριθμος είναι ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών αυστηρά καθορισμένων και εκτελέσιμων σε

πεπερασμένο χρόνο οι οποίες αν ακολουθηθούν επιτυγχάνεται ένα επιθυμητό αποτέλεσμα

Βάσει του παραπάνω ορισμού για να χαρακτηριστεί μία μέθοδος ως αλγόριθμος και αυτός ο αλ-

γόριθμος να είναι λειτουργικός πρέπει να πληρεί κάποιες προϋποθέσεις ή αλλιώς να έχει κάποια βασικά

χαρακτηριστικά Τα χαρακτηριστικά αυτά είναι

bull Καθοριστικότητα - Definiteness Κάθε κανόνας ή βήμα του να ορίζεται επακριβώς και

η αντίστοιχη διεργασία να είναι συγκεκριμένη Κάθε εντολή πρέπει να καθορίζεται χωρίς καμία

αμφιβολία για τον τρόπο εκτέλεσής παίρνοντας υπόψιν τις διάφορες περιπτώσεις που μπορεί να

1Το όνομα μεταφέρθηκε στα Λατινικά ως rdquoAlgoritmirdquoαπό όπου προήλθε ο όρος Αλγόριθμος όπως και οι λέξεις

guarismo (Ισπανικά) καιalgarismo (Πορτογαλικά) που σημαίνουν ψηφίο2Που σημαίνει rdquoτο συνοπτικό βιβλίο για υπολογισμούς με μεταφορά και απλοποίησηrdquo3Στον Αλ Χουαρίζμι αποδίδεται η μητρότητα και του όρου άλγεβρα από την αραβική λέξηrdquoal-jabrrdquoπου σημαίνει την

μεταφορά ενός όρου από το ένα μέλος μιας σχέσης στο άλλο και χρησιμοποίησε στο ίδιο βιβλίο

2

υπάρχουν όπως πχ η περίπτωση ο διαιρέτης να είναι μηδέν και το υπόριζο να είναι αρνητικός αριθ-

μός που μπορεί να οδηγήσουν σε λανθασμένα αποτελέσματα ή ακόμα και σε αποτυχία εκτέλεσης

του αλγορίθμου

bull Περατότητα - Finiteness Κάθε εκτέλεση πρέπει να είναι πεπερασμένη Δηλαδή να τελειώνει

ύστερα από έναν πεπερασμένο αριθμό διεργασιών ή βημάτων Μία διαδικασία που δεν τελειώνει

μετά από συγκεκριμένο ή έστω πεπερασμένο αριθμό βημάτων λέγεται απλά υπολογιστική διαδικα-

σία

bull Αποτελεσματικότητα - Effectiveness Να είναι μηχανιστικά αποτελεσματικός δηλαδή όλες

οι διαδικασίες που περιλαμβάνει να μπορούν να πραγματοποιηθούν με ακρίβεια και σε πεπερασμένο

χρόνο από τον σχεδιαστή ή προγραμματιστή του αλγορίθμου Κάθε μεμονωμένη εντολή του

αλγορίθμου πρέπει να είναι απλή και όχι σύνθετη (ανάλογα με τις δυνατότητες της γλώσσας

προγραμματισμού στην οποία υλοποιείται) Δηλαδή μία εντολή δεν αρκεί να έχει ορισθεί αλλά

πρέπει να είναι και εκτελέσιμη

bull Είσοδος δεδομένων - Input Κατά την εκκίνηση εκτέλεσης του αλγορίθμου καμία μία ή

περισσότερες τιμές δεδομένων πρέπει να δίνονται ως είσοδοι στον αλγόριθμο Η περίπτωση που

δε δίνονται τιμές δεδομένων εμφανίζεται όταν ο αλγόριθμος δημιουργεί και επεξεργάζεται κάποιες

πρωτογενείς τιμές με τη βοήθεια συναρτήσεων παραγωγής τυχαίων αριθμών ή με τη βοήθεια άλλων

απλών εντολών

bull ΄Εξοδος αποτελεσμάτων - Output Να δίνει τουλάχιστον ένα μέγεθος ως αποτέλεσμα

που εξαρτάται κατά κάποιο τρόπο από τις αρχικές εισόδουςΟ αλγόριθμος πρέπει να δημιουργεί

τουλάχιστον μία τιμή (δεδομένων) ως αποτέλεσμα προς το χρήστη ή προς ένα άλλο αλγόριθμο

΄Ενας αλγόριθμος μπορεί να υλοποιηθεί είτε μηχανικά με κάποιο ολοκληρωμένο ακολουθιακό

κύκλωμα είτε με κάποιο λογισμικό Ανάλογα με την πολυπλοκότητά του γίνεται και η κατάλληλη

επιλογή αλλά με οποιοδήποτε τρόπο γίνει η υλοποίηση η rdquoσυμπεριφοράrdquoτου πρέπει να είναι η ίδια

Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι μία αριθμομηχανή Αν είναι απλά μία ηλεκτρονική συσκευή οι

πράξεις γίνονται καθαρά μηχανικά μέσω των ολοκληρωμένων κυκλωμάτων που την αποτελούν Αν είναι

πρόγραμμα σε έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή οι πράξεις γίνονται από τον επεξεργαστή του ηλεκτρονικού

υπολογιστή με τρόπο που καθορίζεται από το λογισμικό που υλοποιεί την αριθμομηχανή Ο αλγόριθμος

βάσει του οποίου θα γίνουν οι πράξεις είναι και στις δύο περιπτώσεις ο ίδιος και φυσικά το αποτέλεσμα

της ίδιας πράξεις και στις δύο υλοποιήσεις θα είναι το ίδιο ΄Ολες οι γλώσσες προγραμματισμού ή σχε-

δίασης ψηφιακών συστημάτων είναι στην ουσία εργαλεία υλοποίησης αλγορίθμων Κάθε ολοκληρωμένο

ακολουθιακό κύκλωμα και κάθε πρόγραμμα ηλεκτρονικού υπολογιστή που έχει σχεδιαστεί στηρίζεται

σε έναν αλγόριθμο ή αλλιώς είναι η υλοποίηση ενός από πολύ απλού μέχρι πολύ σύνθετου αλγορίθμου

12 Βελτιστοποίηση

Η χρησιμότητα των αλγορίθμων είναι τεράστια ειδικά στη μελέτη πολύπλοκων προβλημάτων που

απαιτούν πολλές και δύσκολες πράξεις Για το λόγο αυτό αναπτύσσονται καινούριοι αλγόριθμοι και

μελετούνται ήδη υπάρχοντες από και για όλους τους επιστημονικούς κλάδους Η μελέτη και ανάπτυξη

αλγορίθμων αποτελεί τη rdquoΘεωρία Αλγορίθμωνrdquo Με τη θεωρία αυτή ασχολείται κατά κόρον η επιστήμη

των υπολογιστών και του προγραμματισμού παρέχοντας στους υπόλοιπους επιστημονικούς κλάδους

χρήσιμα εργαλεία για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων ΄Οσο γίνονται πιο πολύπλοκα τα προβλήματα

που απαιτούν λύση τόσο πιο πολύπλοκοι και rdquoέξυπνοιrdquoγίνονται και οι αλγόριθμοι Ειδικά σε προ-

βλήματα των οποίων η λύση δεν μπορεί να δοθεί μέσω πράξεων και μονοσήμαντα η χρήση πολύπλοκων

αλγορίθμων είναι απαραίτητη Τέτοια προβλήματα λύνονται με μεθόδους βελτιστοποίησης4 Οι μέθοδοι

αυτές απαιτούν πολλές δοκιμές τιμών των παραμέτρων ενός συστήματος μέχρι τη βέλτιστη τιμή της

4Ο όρος της βελτιστοποίησης στα εφαρμοσμένα μαθηματικά αναφέρεται στην αναζήτηση βέλτιστων παραμέτρων ενός

- συνήθως περίπλοκου - συστήματος

3

ζητούμενης συνάρτησης (ελάχιστη ή μέγιστη) Αν δεν είναι μία η προς βελτιστοποίηση συνάρτηση

η διαδικασία ονομάζεται βελτιστοποίηση με πολλαπλά κριτήρια που είναι η διαδικασία της ταυτόχρονης

βελτιστοποίησης δυο ή περισσότερων αντικρουόμενων ζητημάτων με διαφόρους περιορισμούς σε ένα

πρόβλημα

Με μαθηματικούς όρους το πρόβλημα βελτιστοποίησης με πολλαπλά κριτήρια μπορεί να διατυπωθεί

ως εξής (για ελαχιστοποίηση συνάρτησης)

minx [micro1(x) micro2(x) micron(x)]T όταν ισχύουν g(x) le 0 h(x) = 0 και xl le x le xu

όπου microi είναι η αντικειμενική συνάρτηση του i κριτηρίου τα g και h είναι οι περιορισμοί ανισότητας και

ισότητας αντίστοιχα και το x είναι το διάνυσμα των μεταβλητών βελτιστοποίησης ή απόφασης Η λύση

για το ανωτέρω πρόβλημα είναι ένα σύνολο από σημεία Pareto Οι λύσεις Pareto είναι εκείνες για της

όποιες η βελτιστοποίηση ενός κριτηρίου μπορεί να επέλθει μόνο με την χειροτέρευση ενός τουλάχιστον

κριτηρίου Παρόλα αυτά αντί για μια μόνο λύση στο πρόβλημα (κάτι το οποίο είναι τυπικά η περίπτωση

του παραδοσιακού μαθηματικού προγραμματισμού) η λύση σε ένα πρόβλημα πολλαπλών κριτηρίων είναι

μια σειρά (πιθανότατα άπειρων) σημείων Pareto5

Υπάρχουν αρκετοί τρόποι επίλυσης τέτοιων προβλημάτων Οι πιο διαδεδομένοι είναι

bull Κατασκευή συναθροίσματος αντικειμενικών συναρτήσεων (Aggregate Objec-tive Function - AOF) Αυτή είναι ίσως η πιο διαισθητική προσέγγιση για την επίλυση προ-

βλημάτων με πολλαπλά κριτήρια Η βασική ιδέα είναι να συνδυαστούν όλες οι αντικειμενικές

συναρτήσεις σε μια μόνο συναρτησιακή μορφή η οποία ονομάζεται AOF ΄Ενας γνωστός συνδυα-

σμός είναι το σταθμισμένο γραμμικό άθροισμα των κριτηρίων Ορίζουμε κάποιο rdquoβάροςrdquoγια το

κάθε προς βελτιστοποίηση κριτήριο (έναν παράγοντα με τον οποίο θα το πολλαπλασιάσουμε) και

στη συνέχεια τα συνδυάζουμε σε μια συνάρτηση αθροισμάτων όλων των όρων που δημιουργήσαμε

η οποία θα μπορεί να επιλυθεί με απλή βελτιστοποίηση Ξεκάθαρα η λύση που θα προκύψει θα

βασίζεται στις τιμές (πιο συγκεκριμένα τις σχετικές τιμές) των παραγόντων που καθορίστηκαν

Για παράδειγμα αν προσπαθούμε να μεγιστοποιήσουμε την δύναμη ενός εξαρτήματος μιας μηχανής

και να ελαχιστοποιήσουμε το κριτήριο του κόστους και αν έχει οριστεί υψηλότερο rdquoβάροςrdquoγια το

κριτήριο κόστους έναντι αυτού της δύναμης η λύση μας θα ικανοποιεί τα κριτήρια της μείωσης του

κόστους έναντι στην αύξηση της δύναμης Παρόλα αυτά μπορεί να παρατηρηθεί ότι η μέθοδος

αυτή είναι κατά βάση υποκειμενική καθώς τα βάρη ορίζονται από το χρήστη ή προγραμματιστή

και ότι δεν μπορεί να προσεγγίσει όλες τις βέλτιστες λύσεις (σημεία Pareto) του προβλήματος

bull Μέθοδοι NBI NC SPO Οι μέθοδοι NBI (Λογικής Οριακής Διατομής Normal BoundaryIntersection ) NC (Λογική Σύγχυση Normal Constraint ) και SPO (Διαδοχικής Pareto Βελτι-

στοποίησης Successive Pareto Optimization ) επιλύουν προβλήματα βελτιστοποίησης πολλαπλών

κριτηρίων κατασκευάζοντας διάφορες AOF Η επίλυση της κάθε τέτοιας συνάρτησης αποδίδει ένα

σημείο λύσης Pareto κάτω από κάποιες υποθέσεις Εάν οι υποθέσεις δεν ισχύουν τότε η μέθοδος

NC προτείνει την αφαίρεση των μη αποδεκτών σημείων διαδοχικά με ένα κατάλληλο φίλτρο Οι

AOF κατασκευάζονται με σκοπό να αποκτήσουν εν τέλη διανεμημένα σημεία Pareto τα οποία

δίνουν μια καλή εντύπωση (διαδικασία προσέγγισης) του πραγματικού συνόλου των αποδεκτών

σημείων Οι μέθοδος NC και SPO δημιουργούν λύσεις που αναπαριστούν μερικές περιφερειακές

περιοχές του συνόλου των σημείων Pareto για περισσότερα από 2 κριτήρια τα οποία είναι γνωστό

πως δεν αναπαρίστανται από τις λύσεις που δημιουργούνται από την μέθοδο NBI

bull Εξελικτικοί Αλγόριθμοι Οι αλγόριθμοι που ανήκουν στην εξελικτική υπολογιστική (ή εξε-

λικτικό λογισμό) είναι πολύ δημοφιλείς προσεγγίσεις στις βελτιστοποιήσεις πολλαπλών κριτηρίων

στους οποίους θα αναφερθούμε εκτενώς

5΄Ενα σημείο σχεδιασμού στον αντικειμενικό χώρο microlowast

ορίζεται ως βέλτιστο Pareto αν δεν υπάρχει κανένα άλλο εφικτόδιάνυσμα μ τέτοιο ώστε microi le microlowast

i για όλα τα i isin 1 2 n και microj lt microlowastj για τουλάχιστον έναν δείκτη j όπου j isin

1 2 n

4

Η Εξελικτική Υπολογιστική (ή Εξελικτικός Λογισμός) αποτελεί έναν κλάδο της τεχνητής νοη-

μοσύνης η ανάπτυξή του οποίου προέκυψε από τη μελέτη των έμβιων οργανισμών και η λογική της

βασίζεται σε έννοιες που καθορίζουν την εξέλιξη και επιβίωση τους όπως αυτές του πληθυσμού της

μετάλλαξης και της φυσικής επιλογής (επιβίωση του πιο προσαρμοσμένου) Βάσει κάποιων θεωριών

και πρακτικών εμπνευσμένων από τη φύση αναπτύσσεται μία μέθοδος για την αναπαράσταση και την

επεξεργασία των δεδομένων ενός προβλήματος με σκοπό την ακριβέστερη επίλυση του Πιθανές λύσεις

αναπαρίστανται σαν οντότητες ή άτομα ενός πληθυσμού ο οποίος μέσω των εκάστοτε διαδικασιών

οδηγεί στην επιλογή των βέλτιστων ή της βέλτιστης όλων των πιθανών λύσεων μέσω της εξέλιξης

του Οι μέθοδοι αυτές μπορούν να διακριθούν περαιτέρω σε εξελικτικούς αλγόριθμους (EvolutionaryAlgorithms) και σε νοημοσύνης (ή λογικής) σμήνους (Swarm Intelligence) όπως πχ οι αλγόριθμοι

που προσομοιάζουν τη συμπεριφορά μίας κοινωνίας μυρμηγκιών ΄Ενας τέτοιος αλγόριθμος βασισμένος

στον εξελικτικό λογισμό βελτιστοποιεί τις λύσεις με τη μέθοδο metaheuristicΣτους Εξελικτικούς

Αλγόριθμους χρησιμοποιούνται μηχανισμοί εμπνευσμένοι από την βιολογική εξέλιξη αναπαραγωγή

μετάλλαξη συνδυασμός και επιλογή Οι υποψήφιες λύσεις για το πρόβλημα βελτιστοποίησης παίζουν

το ρόλο των ατόμων ενός πληθυσμού και η fitness function (συνάρτηση του προβλήματος) καθορίζει

το περιβάλλον μέσα στο οποίο οι λύσεις αυτές umlζουνuml Η εξέλιξη των πληθυσμών γίνεται μετά από

επαναλαμβανόμενη εφαρμογή των παραπάνω τελεστών Η τεχνητή εξέλιξη (artifitial evolution (AE))περιγράφει τη διαδικασία περιέχοντας ξεχωριστούς εξελικτικούς αλγόριθμους Οπότε οι Εξελικτικοί

Αλγόριθμοι αποτελούν μία μέθοδο τεχνητής εξέλιξης και οι αλγόριθμοι αυτοί ανήκουν στο χώρο της

τεχνητής νοημοσύνης6 Οι αλγόριθμοι που βασίζονται στη λογική (ή νοημοσύνη) σμήνους αναπαρι-

στούν τις λύσεις ως αυτόνομους οργανισμούς που ονομάζονται πράκτορες ή διαμεσολαβητές (boids) οι

οποίοι αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και με το περιβάλλον που έχει σχεδιαστεί να τους περιβάλλει και η

βελτιστοποιημένη λύση δημιουργείται από τις αλληλεπιδράσεις αυτές οδηγώντας όλους τους πράκτορες

σε μία βέλτιστη και καθολική rdquoσυμπεριφοράrdquo

Οι αλγόριθμοι που βασίζονται στον εξελικτικό λογισμό λειτουργούν πολύ ικανοποιητικά προ-

σεγγίζοντας λύσεις για όλων των ειδών τα προβλήματα γιατί έχουν το ιδανικό χαρακτηριστικό να

μην κάνουν καμία υπόθεση και να μη χρειάζεται να έχουν γνώση του περιβάλλοντος που rdquoζουνrdquoοιπληθυσμοί που θα επεξεργαστούν Αυτό φαίνεται από τις επιτυχίες που έχουν σε τόσο διαφορετικά

μεταξύ τους πεδία όπως είναι η μηχανική η τέχνη η βιολογία τα οικονομικά το marketing η γε-

νετική η επιχειρησιακή έρευνα η ρομποτική οι κοινωνικές επιστήμες η φυσική η πολιτική και η χημεία

Με τον όρο metaheuristic 7μέθοδο στην υπολογιστική επιστήμη υποδεικνύεται μία υπολογιστική

μέθοδο η οποία βελτιστοποιεί ένα πρόβλημα προσπαθώντας με πολλές επαναλήψεις να βελτιώσει μία

υποψήφια λύση με βάση κάποιο δεδομένο μέτρο ποιότητας Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιεί λίγες ή και

καθόλου υποθέσεις σχετικά με το πρόβλημα το οποίο βελτιστοποιεί και έχει τη δυνατότητα να ερευνήσει

μεγάλα διαστήματα υποψήφιων λύσεων Πολλές τέτοιες μέθοδοι υλοποιούν μία μορφή πιθανολογικής

βελτιστοποίησης (stochastic optimization )

Χρησιμοποιώντας τον όρο Stochastic optimization (SO)(στοχαστική ή πιθανολογική βελτιστοπο-

ίηση) αναφερόμαστε σε μεθόδους βελτιστοποίησης οι οποίες παράγουν και χρησιμοποιούν τυχαίες

μεταβλητές Στα στοχαστικά προβλήματα (stochastic problems)οι τυχαίες μεταβλητές εμφανίζονται

στη διατύπωση του προβλήματος βελτιστοποίησης που περιέχει τυχαίες αντικειμενικές συναρτήσεις ή τυ-

χαίους περιορισμούς Μία άλλη κατηγορία στοχαστικών μεθόδων βελτιστοποίησης περιέχουν μεθόδους

με τυχαίες επαναλήψεις Μερικές χρησιμοποιούν τυχαίες επαναλήψεις ώστε να λύσουν στοχαστικά

προβλήματα συνδυάζοντας και τις δύο έννοιες ή κατηγορίες της στοχαστικής βελτιστοποίησης Οι

μέθοδοι στοχαστικής βελτιστοποίησης γενικεύουν αιτιοκρατικές μεθόδους για αιτιοκρατικά προβλήματα

6Λογισμικά ή πλήρεις μηχανές οι οποίες μπορούν να επιλύουν με αποδεκτά αποτελέσματα ρεαλιστικά υπολογιστικά

προβλήματα οποιουδήποτε τύπου χαρακτηρίζονται ως ασθενής Τεχνητής Νοημοσύνης Ως ισχυρής Τεχνητής νοημοσύνης

χαρακτηρίζονται μηχανικά ανδροειδή ή αυτοσυνείδητα προγράμματα υπολογιστή7΄Αλλοι όροι που έχουν παρόμοια σημασία με τον όρο metaheuristic είναι derivative-free (χωρίς παράγωγο)direct

search (άμεση αναζήτηση)black-box (μαύρο κουτί) ή απλά heuristic optimizer(ευρετική βελτιστοποίηση)

5

13 Αλγόριθμοι και μέθοδοι βελτιστοποίησης

Πολλοί αλγόριθμοι έχουν σχεδιαστεί που να χρησιμοποιούν την παραπάνω μέθοδο Παρακάτω α-

ναφέρονται οι δημοφιλέστερες κατηγορίες των εξελικτικών αλγορίθμων που υπάρχουν με περιληπτική

περιγραφή των αρχών ή θεωριών στις οποίες βασίζονται8 Οι Ant Colony Optimization και Particle

Swarm Optimization (PSO) τυπικά δεν ανήκουν στους Εξελικτικούς Αλγόριθμους γιατί βασίζονται στη

Νοημοσύνη Σμήνους αλλά αναφέρονται λόγω ευρείας χρήσης στη βελτιστοποίηση πολλαπλών κριτηρίων

Ant Colony Optimization (ACO)

Αλγόριθμος βελτιστοποίησης συναρτήσεων του οποίου η θεωρία στηρίζεται στις αποικίες μυρ-

μηγκιών και στον τρόπο εύρεσης φαγητού και ανήκει στην οικογένεια των αλγορίθμων που βασίζονται

σε μεθόδους λογικής σμήνους (swarm intelligence) Αρχικά τα μυρμήγκια κινούνται τυχαία προς

αναζήτηση τροφής ΄Οταν κάποιο βρει τροφή γυρνώντας στη φωλιά αφήνει ένα ίχνος από φερορμόνες

Το ίχνος αυτό ελκύει τα υπόλοιπα μέλη της αποικίας να το ακολουθήσουν και να βρουν την τροφή

΄Οσο πιο πολλά ακολουθούν τόσο πιο έντονο γίνεται το ίχνος ΄Αν έχουν δημιουργηθεί πέραν του

ενός μονοπάτια σε λίγη ώρα το πιο σύντομο θα χρησιμοποιείται από πιο πολλά μυρμήγκια οπότε θα

έχει πιο έντονο ίχνος και σιγά σιγά θα γίνει το επικρατέστερο με τελικό αποτέλεσμα να γίνει το μόνο

μονοπάτι που ακολουθεί όλη η αποικία Χρησιμοποιώντας την παραπάνω λογική κάθε πιθανή λύση

αναπαρίσταται ώς ένα μυρμήγκι και κάθε τιμή κάθε παραμέτρου του προβλήματος με τα σημεία από τα

οποία μπορεί να περάσει κάθε μυρμήγκι Μετά από αρκετές επαναλήψεις καταλήγουν τα μυρμήγκια να

ακολουθούν όλα την ίδια διαδρομή ΄Εχουν επιλεχθεί δηλαδή οι βέλτιστες τιμές κάθε παραμέτρου και

οι λύσεις είναι οι βέλτιστες

Particle Swarm Optimization (PSO)

Είναι μία μετευρετική (metaheuristic) μέθοδος βελτιστοποίησης Η μέθοδος αυτή επιχειρεί

την βελτιστοποίηση ενός προβλήματος προσπαθώντας με επαναληπτικές διαδικασίες να βελτιώσει

μία υποψήφια λύση βάσει κάποιου κριτηρίου ποιότητας ΄Εχει το χαρακτηριστικό των μεθόδων που

στηρίζονται στη λογική σμήνους η οποία είναι πως η κίνηση κάθε ατόμου του πληθυσμού επηρεάζει

την κίνηση των υπολοίπων Αρχικά δημιουργείται ένας πληθυσμός με τυχαίες διαδικασίες ο οποίος

πληθυσμός κινείται στον ορισμένο χώρο βάσει απλών μαθηματικών μοντέλων που καθορίζουν τη

θέση και την ταχύτητα του κάθε μέλους του Κάθε μέλος έχει το τοπικό του μέγιστο από το

οποίο επηρεάζεται και καθοδηγείται προς το καλύτερο τοπικό μέγιστο της εγγύς περιοχής που είναι

σημεία που βρέθηκαν από άλλα μέλη ΄Ετσι τείνουν να κινηθούν όλα τα μέλη προς τα μέγιστα που

ανακαλύπτονται κατά τη διάρκεια της διαδικασίας ΄Ως μετευρετική μέθοδος απαιτεί ελάχιστες ως και

καθόλου αρχικές υποθέσεις βασισμένες στο πρόβλημα και μπορεί να ερευνήσει πολύ μεγάλο εύρος

πιθανών λύσεων χωρίς όμως να εγγυάται την εύρεση μίας βέλτιστης λύσης για κάποιο πρόβλημα

Differential Evolution (DE)

Οι αλγόριθμοι Διαφορικής Εξέλιξης βρίσκουν τη βέλτιστη λύση ενός προβλήματος δημιουρ-

γώντας ένα σύνολο υποψήφιων λύσεων το οποίο αποτελεί τον πληθυσμό Κάθε λύση κινείται σε

έναν ορισμένο χώρο χρησιμοποιώντας απλούς μαθηματικούς τύπους για να καθοριστεί η συνδυασμένη

κίνησή τους ΄Αν η καινούρια θέση μίας λύσης οδηγεί σε βελτίωση του συνόλου η λύση αυτή διατηρείται

Αλλιώς καταργείται και αντικαθίσταται από μία άλλη που προκύπτει από συνδυασμό των υπόλοιπων

που διατηρήθηκαν Η διαδικασία συνεχίζει μέχρι να φτάσει σε μία βέλτιστη λύση βάσει των κριτηρίων

που έχουν οριστεί Η σύγκριση της παρούσας από την παρελθοντική τιμή της συνάρτησης δίνει το

διαφορικό χαρακτήρα στους αλγόριθμους Χαρακτηριστικό και αρνητικό των αλγορίθμων αυτών είναι

ότι δεν είναι σίγουρο ότι θα φτάσουν στη βέλτιστη λύση γιατί εξαρτάται η εξέλιξη της διαδικασίας

8Κάθε μία από τις κατηγορίες αυτές δημιουργήθηκαν σαν αλγόριθμοι αλλά λόγω των πολλών παραλλαγών τους που

υπάρχουν πλέον θεωρούνται κατηγορίες αλγορίθμων ή ακόμα και κατηγορίες μεθόδων βελτιστοποίησης

6

από τον αρχικό πληθυσμό ΄Εχει αρκετές ομοιότητες με τη προηγούμενη μέθοδο βελτιστοποίησης με

βασικές διαφορές ότι η επόμενη λύση σε αυτή τη μέθοδο εξαρτάται από την προηγούμενη ενώ στην AntColony όχι και ότι δεν εξερευνά όλες τις πιθανές λύσεις αλλά τις λύσεις που υπάρχουν στον αρχικό

πληθυσμό της και κάποιους συνδυασμούς αυτών ενώ η Ant Colony μπορεί να εξετάσει όλα τα πιθανά

σημεία που υπάρχουν

Evolutionary Strategy (ES)

Η μέθοδος αυτή βασίζεται στην ιδέα της προσαρμογής και εξέλιξης των ειδών Χρησιμοποιεί

φυσικούς μηχανισμούς για την αναπαράσταση και βελτιστοποίηση των προβλημάτων Κύρια χαρακτηρι-

στικά εξέλιξης των λύσεων είναι η μετάλλαξη και η επιλογή Το πλήθος των λύσεων αποτελεί μία γενιά

Αρχικά δημιουργείται τυχαία μία γενιά οι αρχικοί γονείς Η επόμενη γενιά δημιουργείται από μετάλλαξη

της προηγούμενης των γονέων Αν οι απόγονοι είναι καλύτεροι ή έστω ισάξιοι με τους γονείς παίρνουν

τη θέση τους και γίνονται οι γονείς της επόμενης γενιάς αλλιώς απορρίπτονται Η μετάλλαξη των

γονέων γίνεται με προσθήκη τυχαίας μεταβλητής (από κανονική κατανομή) σε κάποια συνιστώσα τους

Λόγω της τυχαίας μετάλλαξης είναι πιο πιθανό να φτάσουν σε βέλτιστη λύση από τους αλγόριθμους

διαφορικής εξέλιξης Αλλά έχουν το αρνητικό της καταστροφής των γονέων χάνοντας έτσι κάποια

πιθανώς καλά μέλη τους πληθυσμού Το αρνητικό αυτό μπορεί κάπως να μετριαστεί δημιουργώντας

πάνω από έναν απογόνους από κάθε γονέα και κάνοντας επιλογή των καλύτερων για την επόμενη γενιά

Genetic Algorithm (GA)

Μία παραλλαγή της παραπάνω μεθόδου είναι οι Γενετικοί Αλγόριθμοι Και στη μέθοδο αυτή

υπάρχει η έννοια των γενεών Κάθε λύση αναπαρίσταται ως ένα χρωμόσωμα ή γενότυπο Δη-

μιουργείται τυχαία ο αρχικός πληθυσμός και υπολογίζεται η τιμή της συνάρτησης που θέλουμε να

βελτιστοποιήσουμε για κάθε μέλος της Επιλέγονται τα καλύτερα μέλη της γενιάς βάση των υπολογι-

σμένων τιμών τα οποία θα αποτελέσουν τους γονείς για την επόμενη Στη συνέχεια δημιουργείται η

νέα γενιά μέσω του μηχανισμού της αναπαραγωγής των γονέων κυρίως και ίσως με τυχαία μετάλλαξη

κάποιων γονέων Υπολογίζεται η νέα τιμή της συνάρτησης για κάθε μέλος και επιλέγονται οι γονείς

για την επόμενη γενιά Μέσω της επαναληπτικής αυτής διαδικασίας ο αλγόριθμος βελτιστοποιεί την

τιμή της συνάρτησης του προβλήματος Ο τερματισμός του αλγορίθμου γίνεται είτε όταν επιτευχθεί

μία επιθυμητή τιμή της συνάρτησης ή αν ολοκληρωθεί συγκεκριμένος αριθμός επαναλήψεων ή χρόνος

εκτέλεσης χωρίς να βρεθεί βέλτιστη λύση Λόγω του μηχανισμού της αναπαραγωγής έχει το αρνητικό

ότι εξαρτάται και αυτή η μέθοδος από την αρχική τυχαία επιλογή του πληθυσμού κάτι που όμως

δεν έχει τόση βαρύτητα όπως στη μέθοδο Διαφορικής Εξέλιξης λόγω του ότι χρησιμοποιείται και η

τυχαία μετάλλαξη σαν μηχανισμός δημιουργίας απογόνων Ακόμα έχουν το αρνητικό της προηγούμενης

μεθόδου ότι οι γονείς που θα βγάλουν καλύτερους απογόνους καταστρέφονται

Stud Genetic Algorithm (StudGA)

Ο αλγόριθμος αυτός είναι μία παραλλαγή των Γενετικών Αλγορίθμων που δίνει καλύτερα απο-

τελέσματα Αντί να δημιουργεί έναν αρχικό πληθυσμό (stud) δημιουργεί μία αρχική πιθανή λύση

η οποία στη συνέχεια μεταλλάσσεται για τη δημιουργία του αρχικού πληθυσμού Κάθε πιθανή λύση

έχει τη δυνατότητα να αλλάξει με ανακάτεμα των βιτς που αντιπροσωπεύουν το χρωμόσωμα της

βάσει προκαθορισμένης πιθανότητας Στη συνέχεια το καλύτερο χρωμόσωμα ή αλλιώς η καλύτερη

λύση επιλέγεται ως αρχική (stud) βάσει της οποίας θα δημιουργηθεί ο καινούριος πληθυσμός και η

διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να τερματιστεί ο αλγόριθμος Στην ουσία αυτή είναι και η βασική

του διαφορά από τους υπόλοιπους Γενετικούς αλγόριθμους χρησιμοποιεί την καλύτερη λύση κάθε

γενιάς για μοναδικό rdquoγονέαrdquoκάθε επόμενης γενιάς χαρακτηριστικό που βελτιώνει συγκριτικά με τους

απλούς Γενετικούς Αλγόριθμους τις επιδόσεις του

7

Biogeography-Based Optimization (BBO)

Είναι ένας αλγόριθμος που βασίζεται στη βιογεωγραφία Η βιογεωγραφία μελετάει την ανάπτυξη και

εξέλιξη διαφόρων ειδών σε γειτονικές περιοχές τις οποίες ονομάζει umlνησιάuml Κάθε umlνησίrsquo είναι και μία

λύση του προβλήματος Τα είδη είναι οι παράμετροι της κάθε λύσης Κάθε λύση χαρακτηρίζεται από

τις μεταβλητές που ονομάζονται rdquoδείκτες καταλληλότητας rdquo(suitability index variables -SIVs)και οι

μεταβλητές αυτές ορίζουν μία τιμή για τον δείκτη καταλληλότητας περιοχής (habitat suitability index-HSI)Οι περιοχές με υψηλό δείκτη καταλληλότητας είναι και οι καλύτερες λύσεις Κάθε λύση τείνει

προς τη βέλτιστη παίρνοντας χαρακτηριστικά ή είδη από άλλες περιοχές μέσω του μηχανισμού της

μετανάστευσης Ο αλγόριθμος τερματίζει είτε μετά από προκαθορισμένο αριθμό κύκλων είτε μετά από

την επίτευξη κάποιου στόχου

Probability-Based Incremental Learning (PBIL)

Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στην δημιουργία και δειγματοληψία συνόλων πιθανών λύσεων με

αποκλειστικά πιθανοκρατικούς τρόπους για την εύρεση της βέλτιστης λύσης ενός προβλήματος Η

βελτιστοποίηση νοείται σαν μία βελτίωση του πιθανοκρατικού μοντέλου αρχίζοντας με ομοιόμορφης

κατανομής μοντέλο και καταλήγοντας σε ένα μοντέλο που παράγει βέλτιστες λύσεις Κύρια διαφορά με

τις μεθόδους που έχουν ήδη αναφερθεί είναι ότι η συγκεκριμένη μέθοδος παράγει κάθε φορά καινούριο

πληθυσμό μεταβάλλοντας το μοντέλο με το οποίο παράγεται ο πληθυσμός βάση της καταλληλότητας

του πληθυσμού που παράχθηκε ενώ οι προηγούμενοι μετέβαλλαν τον πληθυσμό τον ίδιο Αυτό το

χαρακτηριστικό κάνει τους αλγόριθμους που βασίζονται σε αυτή τη μέθοδο να είναι αποτελεσματικού

σε κάποια προβλήματα που άλλοι δεν μπορούν να βρουν βέλτιστη λύση όπως πχ σε προβλήματα

των οποίων κάποιες παράμετροι επηρεάζονται ή εξαρτώνται ισχυρά από κάποιες άλλες Η καθαρά

πιθανοκρατική μέθοδος που ακολουθεί εξαλείφουν τέτοια προβλήματα

Υπάρχουν και άλλοι αλγόριθμοι ή κατηγορίες αλγορίθμων που αναπτύσσονται και χρησιμοποιούνται

σε προβλήματα βελτιστοποίησης πέραν των παραπάνω ΄Ομως η αναφορά τους ξεφεύγει από τα πλαίσια

της παρούσας εργασίας μιας και οι παραπάνω χρησιμοποιήθηκαν στη λύση του προβλήματος

Στη συνέχεια θα γίνει μία πιο ενδελεχής περιγραφή ενός BBO αλγόριθμου και συγκεκριμένα του

Dan Simon ο οποίος χρησιμοποιήθηκε στη λύση του προβλήματος της συγκεκριμένης εργασίας

8

Κεφάλαιο 2

Biogeography-Based Optimization

21 Εισαγωγή στην BBO

Ο Biogeographic-Based Optimization αλγόριθμος είναι ένας εξελικτικός αλγόριθμος που βασίζεται

στη λογική της βιογεωγραφικής εξέλιξης των ειδών Με τον όρο rdquoΒιογεωγραφίαrdquoπεριγράφεται η μελέτη

της γεωγραφικής κατανομής των βιολογικών οργανισμών Η μαθηματικοποίηση του φαινομένου μελε-

τάται από τις αρχές της δεκαετίας του 1960 και εξελίσσεται συνεχώς Στο φαινόμενο αυτό βασίζονται

και οι βιογεωγραφικοί αλγόριθμοι Η επιστημονική βάση της βιογεωγραφικής θεωρίας εδραιώθηκε από

τους φυσιοδίφες του 19ou αιώνα και συγκεκριμένα τον Charles Darwin (Δαρβίνο όπως συνηθίζεται να

αποκαλείται στα ελληνικά) και τον Alfred WallaceΗ αρχή των μαθηματικών μοντέλων έγινε στις αρχές

του 1960 από τους Robert McArthur και Edward Wilson με κατάληξη την έκδοση του rdquoThe theory ofIsland Biogeographyrdquo το 1967 Πρωτεύον αντικείμενο έρευνας ήταν η κατανομή διαφόρων ειδών σε γει-

τονικά νησιά και το μαθηματικό μοντέλο του αφανισμού και της μετανάστευσης τους από νησί σε νησί Η

ανάπτυξη λοιπόν των βιογεωγραφικών αλγορίθμων βασίζεται και μελετάει το πώς μεταναστεύει κάποιο

είδος από ένα νησί σε ένα άλλο πώς καινούρια είδη εμφανίζονται και πώς άλλα εξαφανίζονται Αντί για

τον όρο rdquoνησίrdquo μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ο όρος rdquoβιότοποςrdquo βάση του παραπάνω χαρακτηριστικών

Οι βιογεωγραφικοί αλγόριθμοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε οποιοδήποτε τομέα επιστήμης Οι

γεωγραφικές περιοχές που είναι κατάλληλες για τα είδη τα rdquoνησιάrdquo θεωρούμε ότι έχουν υψηλό δείκτη

καταλληλότητας (high Habitat Suitability Index (HSI))Μερικά χαρακτηριστικά που συσχετίζονται

με το δείκτη αυτό θα είναι οι βροχοπτώσεις η ποικιλομορφία της βλάστησης η ποικιλομορφία των

τοπογραφικών χαρακτηριστικών το έδαφος και η θερμοκρασία Οι μεταβλητές που χαρακτηρίζουν άν

είναι ή όχι ένας βιότοπος κατοικήσιμος ονομάζονται μεταβλητές δείκτη καταλληλότητας(SuitabilityIndex Variables (SIVs))Οι SIV μπορούν να θεωρηθούν ως ανεξάρτητες μεταβλητές του βιοτόπου και

ο HSI ως εξαρτημένη Ανάλογα με τον τομέα στον οποίο θα χρησιμοποιηθούν ορίζεται τι είναι τα

rdquoείδηrdquoκαι πώς ορίζεται ένα rdquoνησίrdquo Γενικά σαν είδος μπορεί να θεωρηθεί κάποια παράμετρος ή ένα

χαρακτηριστικό ενός προβλήματος και σαν rdquoνησίrdquoμία ομάδα τέτοιων παραμέτρων ή χαρακτηριστικών

22 Βιογεωγραφία

Βάση των παραπάνω μπορεί να γίνει μία ανάλυση της γενικής ιδέας της μεθόδου Βιότοποι με

υψηλό HSI θα έχουν μεγάλους αριθμούς ειδών ενώ αντίθετα περιοχές με χαμηλό HSI θα έχουν μικρό

αριθμό ειδών Περιοχές με υψηλό HSI λόγω των πολλών ειδών που έχουν και του πιθανού κορεσμού

τους θα έχουν πολλά είδη που θα μεταναστεύουν σε κοντινά νησιά ενώ θα έχουν λίγα είδη που θα

μεταναστεύουν προς αυτά Ο ρυθμός λοιπόν μετανάστευσης προς γειτονικές περιοχές θα είναι μεγα-

λύτερος σε αυτές που έχουν υψηλό HSI κάτι που όμως δεν σημαίνει ότι τα είδη που θα μεταναστεύουν

προς άλλες περιοχές θα εξαφανίζονται από την αρχική γιατί μόνο ένα μικρό μέρος τους θα φεύγει Θα

υπάρχουν στην αρχική περιοχή μεταναστεύοντας παράλληλα και στις γειτονικές Περιοχές με χαμηλό

HSI θα έχουν μεγάλο ρυθμό μεταναστών από γειτονικές λόγω του αραιού πληθυσμού που περιέχουν

9

Αυτό το φαινόμενο μπορεί να αυξήσει το HSI μίας περιοχής μιας και εξαρτάται από την ποικιλομορφία

των ειδών που περιέχει ΄Αν παραμείνει χαμηλός τα είδη που υπάρχουν θα τείνουν προς εξαφάνιση

ανοίγοντας το δρόμο για άλλους rdquoμετανάστεςrdquoαπό γειτονικές περιοχές Οπότε περιοχές με υψηλό HSIθα έχουν πιο στατική κατανομή ειδών και πληθυσμών ενώ οι περιοχές με χαμηλό HSI έχουν πιο δυναμική

Με τη παραπάνω γενική ιδέα μπορεί να γίνει μία πρώτη παρουσίαση της εφαρμογής τέτοιων

αλγορίθμων Θεωρούμε ένα πρόβλημα από οποιοδήποτε επιστημονικό ή όχι τομέα Μηχανική

οικονομικά ιατρικά επιχειρήσεις αθλητικά και πολλοί άλλοι τομείς μπορούν να χρησιμοποιήσουν

έναν βιογεωγραφικό αλγόριθμο για τη λύση ενός προβλήματος Βασική προϋπόθεση όμως είναι να

έχουμε κάποιο τρόπο αξιολόγησης της καταλληλότητας κάποιας λύσης του προβλήματος Μία καλή

λύση θα αντιστοιχεί σε περιοχή με υψηλό HSI ενώ μία λιγότερο καλή σε περιοχή με χαμηλό HSIΟι καλές λύσεις λοιπόν θα είναι πιο σταθερές ενώ οι όχι τόσο καλές θα τείνουν να μεταβάλλουν

τα χαρακτηριστικά τους Οι καλές λύσεις θα τείνουν να μοιράζονται τα χαρακτηριστικά τους με

τις λιγότερο καλές με πιθανότητα να τις βελτιώσουν Αυτό το χαρακτηριστικό και τη γενικότερη

διαδικασία ονομάζουμε λύση με χρήση βιογεωγραφικού αλγορίθμου βελτιστοποίησης

Σχήμα 21 Μετανάστευση

Στο διπλανό σχήμα (σχήμα ) φαίνονται οι καμπύλες

μετανάστευσης από καμπύλη μ και προς καμπύλη λ έναν

τόπο Και οι δύο καμπύλες είναι συναρτήσεις του αριθμού

των ειδών σε μία περιοχή Στο παρόν σχήμα αναπαριστώνται

σαν ευθείες κάτι που γενικά δεν ισχύει ΄Εχουν αρκετά πιο

πολύπλοκη μορφή Για την ανάλυση μας όμως ένα απλό

σχήμα δίνει μία γενική εικόνα χωρίς να οδηγεί σε θεωρητικά

λάθη ΄Οσο πιο πολλά είδη υπάρχουν τόσο μικρότερη πιθα-

νότητα να εισέλθουν άλλα Οπότε ο μεγαλύτερος ρυθμός

μετανάστευσης προς μία περιοχή θα υπάρχει όταν η περιοχή

αυτή δεν έχει κανένα είδος ΄Οσο μεγαλώνει ο αριθμός των

ειδών τόσο μικραίνει ο ρυθμός μετανάστευσης προς την

συγκεκριμένη περιοχή μέχρι τον μέγιστο αριθμό ειδών που

μπορεί να υποστηρίξει Smax στο διάγραμμα όπου ο ρυθμός

εισόδου ειδών θα είναι μηδενικός Το αντίστροφο ισχύει για

την μετανάστευση από μία περιοχή την καμπύλη μ ΄Οταν η

περιοχή δεν έχει κανένα είδος ο ρυθμός των ειδών που θα μεταναστεύουν από την περιοχή αυτή θα

είναι φυσικά μηδενικός ΄Οσο αυξάνεται ο αριθμός των ειδών τόσο θα αυξάνεται και ο ρυθμός με τον

οποίο θα μεταναστεύουν προς άλλες περιοχές μέχρι το μέγιστο που θα είναι η τιμή Ε η οποία θα

αντιστοιχεί στο μέγιστο αριθμό ειδών που μπορούν να υπάρξουν στην περιοχή αυτή Smax Ο αριθμός

ισορροπίας των ειδών είναι S0 όπως φαίνεται στο σχήμα που θα είναι ο αριθμός των ειδών για τον

οποίο ο ρυθμός μετανάστευσης από και ο ρυθμός προς την περιοχή θα είναι ίσοι Αυτή την τιμή τείνουν

να αποκτήσουν οι περιοχές Κάποιες μεταβολές είτε προς τα πάνω για λόγους όπως πχ μία απότομη

εισροή ειδών από κάποια γειτονική περιοχή είτε προς τα κάτω για λόγους όπως πχ κάποια αρρώστια

ένας αρκετά επιθετικός κυνηγός ή κάποια καταστροφή μπορεί να υπάρξουν αλλά σε κάποιο χρόνο

ανάλογο της απόκλισης θα επανέλθει η ισορροπία

Ας δούμε και με λίγα μαθηματικά τα παραπάνω Θεωρούμε την πιθανότητα Ps μία περιοχή να έχει

S είδη Η πιθανότητα αυτή θα αλλάζει από τη χρονική στιγμή t στην χρονική στιγμή t+1 βάση του

τύπου

Ps(t+ 1) = Ps(t) lowast (1minus λs∆tminus micros∆t) + Psminus1λsminus1∆t+ Ps+1micros+1∆t (21)

όπου οι όροι λs και micros είναι οι ρυθμοί μετανάστευσης προς και από μία περιοχή αντίστοιχα όταν

υπάρχουν S είδη στην περιοχή Η παραπάνω εξίσωση () ισχύει γιατί για να έχουμε S είδη τη στιγμή

t+ ∆t θα πρέπει να ισχύει κάτι από τα παρακάτω

1 υπήρχαν S είδη τη στιγμή t και δεν είχαμε μετανάστευση προς καμία κατεύθυνση στο χρονικό

10

διάστημα ∆t

2 υπήρχαν S-1 είδη τη στιγμή t και ένα είδος ήρθε ή

3 υπήρχαν S+1 είδη τη στιγμή t και ένα είδος έφυγε

Θεωρούμε ότι το ∆t είναι αρκετά μικρό ώστε να έχει χρόνο μόνο ένα είδος να έρθει ή να φύγει από

την περιοχή Παίρνοντας το όριο ∆trarr 0 της εξίσωσης () καταλήγουμε στην παρακάτω

Ps =

minus(λs + micros)Ps + micros+1Ps+1 S = 0

minus(λs + micros)Ps + λsminus1Psminus1 + micros+1Ps+1 1 le S le Smax minus 1minus(λs + micros)Ps + λsminus1Psminus1 S = Smax)

(22)

Θέτουμε n = Smax και P = [P0 Pn]T απλοποιημένα και πλέον μπορούμε να εκφράσουμε τις

εξισώσεις (για S=0 n) με την απλή εξίσωση πίνακα

P = A lowast P (23)

όπου ο πίνακας Α δίνεται από τον τύπο

A =

minus(λ0 + micro0) micro1 0 ldots 0

λ0 minus(λ1 + micro1) micro2

ddots

λnminus2 minus(λnminus1 + micronminus1) micron

0 0 λnminus1 minus(λn + micron)

(24)

Για τις ευθείες καμπύλες που φαίνονται στο παραπάνω σχήμα () θα έχουμε

microk = Ekn

λk = I(1minuskn

)(25)

Θεωρούμε την ειδική περίπτωση E = I Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε

microk + λk = E (26)

και ο πίνακας Α γίνεται

A = E lowast

minus1 1

n0 0

nnminus1 2

n

2nminus1 n

n

0 0 1nminus1

= E lowast Aprime (27)

όπου το Α΄ ορίζεται από την παραπάνω εξίσωση ()

11

Παρατήρηση 1 Το 0 είναι μία ιδιοτιμή του πίνακα Α΄ με ιδιοδιάνυσμα το

u = [u1 un+1]T

n(nminus1minusi)(iminus1) (i = 1 iprime)

un+2minus1 (i = iprime + 1 n+ 1)

(28)

όπου το irsquo είναι ο μικρότερος ακέραιος ο οποίος να είναι μεγαλύτερος ή ίσος με

τοn+12

ή με προγραμματιστικό συμβολισμό iprime = ceil(n+12

) Αυτό μπορεί να

επιβεβαιωθεί από την απευθείας λύση της εξίσωσης ιδιοτιμών Aprime lowast u = k lowast uγια την άγνωστη μεταβλητή k και το άγνωστο διάνυσμα u Σαν παράδειγμα

για n=4 έχουμε

u = [1 4 6 4 1]T (29)

όπως και για n=5 παίρνουμε

u = [1 5 10 10 5 1]T (210)

Εικασία 1 Οι ιδιοτιμές του Α΄ δίνονται ως εξής

k = 0minus2

nminus4

n minus2 (211)

Η παραπάνω εικασία δεν έχει αποδειχθεί ακόμα αλλά ισχύει για όλες τις τιμές

του ν για τις οποίες έχει εξεταστεί

Θεώρημα 1 Η τιμή σταθερής κατάστασης για την πιθανότητα των αριθμών κάθε είδους

δίνεται από τη σχέση

P (infin) =usumn+1i=1 ui

(212)

όπου τα u και ui δίνονται από την

Στη συνέχεια θα μελετήσουμε το πώς μπορούν τα παραπάνω να εφαρμοστούν σε ένα πρόβλημα

βελτιστοποίησης συγκεκριμένου τομέα

221 Μέθοδοι και παράμετροι της BBO

Σχήμα 22 Αναπαράσταση λύσεων

Μετανάστευση Θεωρούμε ότι έχουμε ένα πρόβλημα με

πολλές πιθανές λύσεις οι οποίες μπορούν να παρασταθούν ως

διανύσματα ακεραίων Κάθε τέτοιος ακέραιος θεωρείται ότι

είναι μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας (SIV) Αν έχουμε

έναν τρόπο αξιολόγησης της ποιότητας κάθε λύσης μπορούμε

να αναπαραστήσουμε κάθε λύση σαν μία περιοχή Οι καλές

ποιοτικά λύσεις θα έχουν υψηλό δείκτη καταλληλότητας

(HSI) ενώ οι λιγότερο καλές χαμηλό Οι λύσεις με υψηλό

HSI θα είναι οι περιοχές με πολλά είδη ενώ αυτές με χαμηλό

οι περιοχές με λίγα είδη Η καμπύλη μοντέλου μετανάστευ-

σης θεωρούμε ότι θα είναι ίδια για όλες τις περιοχές (για

μεγαλύτερη ευκολία Ε=Ι) με τη μεταβλητή S κάθε περιοχής

να εξαρτάται από το HSI της όπως φαίνεται στο διπλανό

σχήμα (σχήμα ) Η περιοχή στην οποία αντιστοιχεί το S1

είναι περιοχή με χαμηλό HSI ενώ αυτή με το S2 περιοχή

με υψηλό HSI ΄Οπως φαίνεται και από το διπλανό σχήμα η

περιοχή με S1θα έχει λίγα είδη υψηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ1) και χαμηλό από (micro1) αυτή

ενώ η περιοχή με δείκτη S2 θα έχει πολλά είδη χαμηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ2) και υψηλό

12

από (micro2) αυτή Οι ρυθμοί μ και λ χρησιμοποιούνται για την ανταλλαγή πληροφοριών μεταξύ των

περιοχών πιθανοκρατικά Με πιθανότητα Pmod αξιολογούμε κάθε λύση βάση των υπολοίπων και

όποιες επιλεχθούν να τροποποιηθούν βάση του λ πιθανοκρατικά αξιολογούνται οι SIV και επιλέγονται

αυτοί που θα τροποποιηθούν ΄Αν κάποιος SIV επιλεχθεί να τροποποιηθεί βάση του μ των υπόλοιπων

λύσεων επιλέγεται πάλι πιθανοκρατικά από ποια λύση θα μεταναστεύσει κάποιος τυχαίος SIV

Η μέθοδος αυτή της μετανάστευσης στους BBO αλγόριθμους είναι παρόμοια με τις μεθόδους

των εξελικτικών και γενετικών αλγόριθμων όπου πολλοί πρόγονοι μπορούν να συνδυαστούν για

την παραγωγοί ενός απογόνου με μία όμως σημαντική διαφορά Σε αντίθεση με τους εξελικτικούς

και γενετικούς αλγόριθμους στους οποίους οι προηγούμενες λύσεις καταστρέφονται από γενιά σε

γενιά στους BBO οι λύσεις παραμένουν και εξελίσσονται χωρίς να καταστρέφονται Φυσικά έχει

ενσωματωμένο κάποιου είδους ελιτισμός έτσι ώστε να μην επηρεάζονται οι βέλτιστες λύσεις

Μετάλλαξη Κατακλυσμικά γεγονότα μπορούν να αλλάξουν δραστικά τον HSI μίας περιοχής

όπως μπορούν να προκαλέσουν απόκλιση του αριθμού των ειδών από την ισορροπία επηρεάζοντας

τον HSI λόγω φαινομενικά τυχαίων φαινομένων Τέτοια φαινόμενα μοντελοποιούνται στους BBO με

την μετάλλαξη των HSI και χρησιμοποιείται η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών για τον

καθορισμό του ρυθμού μετάλλαξης Η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών υπακούει στην

διαφορική εξίσωση Παρατηρώντας την καμπύλη στο σχήμα βλέπουμε ότι οι περιοχές με χαμηλό

αριθμό ειδών αλλά και αυτές με υψηλό αριθμό ειδών έχουν σχετικά χαμηλή πιθανότητα κάτι που θα

μπορούσε να εξαχθεί και από το θεώρημα 1 σε αντίθεση με αυτή με μέσες τιμές γιατί τα δεύτερα είναι

πιο κοντά στο σημείο ισορροπίας Ως παράδειγμα ας θεωρήσουμε την περίπτωση όπου Smax = 10 Η

λύση σταθερής κατάστασης της εξίσωσης θα είναι ανεξάρτητη της αρχικής συνθήκης Π(0) και μπορεί

να υπολογιστεί με αριθμητικές μεθόδους είτε βάση του θεωρήματος 1 με αποτέλεσμα

P (infin) sim= [0001 0001 0044 0117 0205 0246 0205 0117 0044 0001 0001]T

Τα στοιχεία του P (infin) δίνουν άθροισμα μονάδα και η γραφική τους παράσταση δίνει μία άρτια

συνάρτηση συμμετρική στην κεντρική τιμή

Κάθε λύση έχει μία αντίστοιχη πιθανότητα η οποία είναι δείκτης του κατά πόσο ήταν αναμενόμενη

εξ αρχής η λύση αυτή στο συγκεκριμένο πρόβλημα Λύσεις με πολύ υψηλό αλλά και πολύ χαμηλό HSIείναι αρκετά απίθανες να υπάρξουν ενώ λύσεις με μέσους HSI κοντά στο σημείο ισορροπίας είναι πιο

πιθανές Λύση S με μικρή πιθανότητα PS είναι αρκετά απίθανη οπότε έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να

μεταλλαχθεί από ία λύση Srsquo με μεγάλη πιθανότητα P primeS Αυτό μπορεί να παρασταθεί με τον παρακάτω

τύπο όπου ο ρυθμός μετάλλαξης m είναι αντιστρόφως ανάλογος της πιθανότητας μίας λύσης

m(S) = mmax

(1minus PSPmax

)(213)

και mmax είναι μία παράμετρος που ορίζεται από το χρήστη Αυτό το μοντέλο μετάλλαξης τείνει

να αυξήσει τη διαφορετικότητα μεταξύ του πληθυσμού των λύσεων Χωρίς αυτό οι λύσεις με μεγάλη

πιθανότητα θα ήταν επικρατέστερες των υπολοίπων Δίνει λοιπόν τη δυνατότητα στις κακές λύσεις

να μεταλλαχθούν και να εξελιχθούν δίνοντας παράλληλα και τη δυνατότητα στις λύσεις με υψηλή

πιθανότατα να εξελιχθούν και να βελτιωθούν και άλλο Πρέπει να σημειωθεί ότι χρησιμοποιείται

μία ελιτίστικη προσέγγιση αποθηκεύοντας τη βέλτιστη λύση έτσι ώστε αν χειροτερέψει από μία

μετάλλαξη να μπορούμε να την επαναφέρουμε αν χρειαστεί Οπότε η μετάλλαξη χρησιμοποιείται και

τις κακές και στις καλές λύσεις Οι μέσες λύσεις θεωρούμε ότι καλυτερεύουν με την μετανάστευση

οπότε αποφεύγουμε να τις μεταλλάξουμε και έχουν μικρότερο ρυθμό μετάλλαξης Η υλοποίηση της

μετάλλαξης εξαρτάται από το εκάστοτε πρόβλημα και χρήστη

Ορισμοί της BBO και αλγόριθμος

Παρακάτω δίνονται κάποιοι ορισμοί ως ένα πρώτο βήμα για τη μορφοποίηση του BBO αλγόριθμου

παρουσιάζοντας παράλληλα και μία περιγραφή του αλγόριθμου Με το R αναφερόμαστε στο σύνολο

13

πραγματικών αριθμών με το Ζ ακεραίων και με το empty στο κενό σύνολο

Ορισμός 1 Μία περιοχή H isin SIV mείναι ένα διάνυσμα m ακεραίων που αντιπροσωπεύει μία

πιθανή λύση του προβλήματος

Ορισμός 2 Μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας SIV isin C είναι ένας ακέραιος επιτρεπτός

σε μία περιοχή C isin Zqείναι το σύνολο όλων των επιτρεπτών ακεραίων σε μία

περιοχή Η απαίτηση SIV isin C ονομάζεται περιορισμός όπως και σε υψηλότερο

επίπεδο η απαίτηση H isin SIV m

Ορισμός 3 ΄Ενας δείκτης καταλληλότητας περιοχής HSI H rarr R αποτελεί μέτρο την ποιότη-

τας καλής ή κακής της λύσης που αντιπροσωπεύει η περιοχή Σημείωση Στους

περισσότερους αλγόριθμους βασισμένους στους πληθυσμούς το HSI ονομάζεται κα-ταλληλότητα

Ορισμός 4 ΄Ενα οικοσύστημα Hnείναι ένα σύνολο από n περιοχές Το μέγεθος n είναι σταθερό

(μελλοντικοί αλγόριθμοι μπορεί να επιτρέπουν μεταβλητό n όπως κάποιοι γενετικοί

αλγόριθμοι επιτρέπουν μεταβλητό μέγεθος πληθυσμών)

Ορισμός 5 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή λ(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

αύξουσα συνάρτηση του HSI Το λi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV από μία

γειτονική περιοχή να μεταναστεύσει στην Hi

Ορισμός 6 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή micro(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

φθίνουσα συνάρτηση του HSI Το microi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV της Hi

να μεταναστεύσει προς μία γειτονική περιοχή Στην πράξη θεωρούμε ότι οι συναρ-

τήσεις λ και μ είναι γραμμικές με το ίδιο μέγιστο Αυτή η υπόθεση βοηθάει στην

στην απλούστευση των μαθηματικών υπολογισμών Καλύτερες επιδόσεις μπορεί να

είναι εφικτές αν παρεκκλίνουμε λίγο από την υπόθεση αυτή

Ορισμός 7 Τροποποίηση μίας περιοχής Ω(λμ) Hn rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής

που προσαρμόζει την περιοχή Η βάση του οικοσυστήματος Hn Η πιθανότητα μια

περιοχή Η να τροποποιηθεί είναι ανάλογη του ρυθμού μετανάστευσης προς αυτή λ

και η πιθανότητα η τροποποίηση αυτή να προέλθει από την περιοχή Hj είναι ανάλογη

του ρυθμού μετανάστευσης microj από την περιοχή Η τροποποίηση των περιοχών

μπορεί να περιγραφεί γενικά ως εξής

Επιλογή του Hi με πιθανότητα sim λi΄Αν έχει επιλεχθεί το Hi

For j=1 to nεπιλογή του Hj με πιθανότητα sim microiΑν έχει επιλεχθεί το Hj

τυχαία επιλογή ενός SIV σ από το Hj

αντικατάσταση ενός τυχαίου SIV της Hi με το σ

endend

endΑπό τον παραπάνω αλγόριθμο γίνεται φανερό ότι μπορεί να εφαρμοστεί ένα κρι-

τήριο ελιτισμού θέτοντας λ=0 για την p βέλτιστη περιοχή όπουp μία παράμετρος

ελιτισμού καθορισμένη από το χρήστη Ακόμα να σημειωθεί ότι ο ορισμός του Ω

εξασφαλίζει ότι η περιοχή Η που τροποποιείται ικανοποιεί τους περιορισμούς του

SIVΟρισμός 8 Η μετάλλαξη Μ(λμ) H rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής που τυχαία τρο-

ποποιεί τις SIVs μίας περιοχής βάση της αρχικής πιθανότητας ύπαρξης της περιοχής

Η πιθανότητα ύπαρξης μίας περιοχής υπολογίζεται όπως αναφέρθηκε παραπάνω

από τους ρυθμούς λ και μ Η μετάλλαξη μπορεί να περιγραφεί ως εξής

14

For j=1 to mχρήση των microi και λi για τον υπολογισμό της πιθανότητας Piεπιλογή της SIV Hi(j) με πιθανότητα sim PiΑν έχει επιλεχθεί το Hi(j)

Αντικατάσταση του Hi(j) με ένα τυχαία δημιουργημένο SIVend

end΄Οπως και παραπάνω ο ελιτισμός μπορεί να υλοποιηθεί θέτοντας πιθανότητα με-

τάλλαξης μηδενική για την περιοχή με τη βέλτιστη λύση p Από τον παραπάνω

ορισμό βλέπουμε ότι πρέπει η μετάλλαξη να έχει κατάλληλους περιορισμούς ώστε

να καταλήγει σε HSI που να υπακούν στους περιορισμούς των SIVs

Ορισμός 9 Μία συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος Ψ ( m n λ μ Ω Μ) Hn rarr Hn

είναι μία εξάδα που τροποποιεί το οικοσύστημα από μία επανάληψη στην επόμενη

Η συνάρτηση τροποποίησης του οικοσυστήματος μπορεί να γραφεί ως εξής

ψ = λn micron Ωn HSIn Mn HSI (214)

Η συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος λοιπόν ξεκινάει υπολογίζοντας τους ρυθ-

μούς μετανάστευση προς και από μία περιοχή Εν συνεχεία λαμβάνει χώρα η τρο-

ποποίηση των περιοχών ακολουθούμενη από έναν επαναϋπολογισμό των HSI

Τέλος εφαρμόζεται μετάλλαξη και ξαναϋπολογίζονται οι HSI κάθε περιοχής

Ορισμός 10 ΄Ενας BBO αλγόριθμος BBO(Ι Ψ Τ) είναι μία τριάδα που προτείνει μία λύση σε

ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης I empty rarr Hn HSIn είναι μία συνάρτηση η οποία

παράγει ένα αρχικό οικοσύστημα περιοχών και υπολογίζει τις αντίστοιχες HSI Ψείναι μία συνάρτηση τροποποίησης οικοσυστήματος όπως ορίστηκε παραπάνω και

T Hn rarr true false είναι ένα κριτήριο τερματισμού του αλγόριθμου

Η συνάρτηση Ι μπορεί να υλοποιηθεί με μία γεννήτρια τυχαίων αριθμών ευρετι-

κών λύσεων στο πρόβλημα βελτιστοποίησης ή με οιαδήποτε άλλη διαδικασία που

να εξαρτάται από το πρόβλημα Το Τ μπορεί να εξαρτάται από τον αριθμό των

Ψ επαναλήψεων το HSI της βέλτιστης περιοχής ή οποιοδήποτε άλλο κριτήριο

βάση του προβλήματος Οπότε ο αλγόριθμος BBO μπορεί να περιγραφεί από το

παρακάτω

Ι

όσο δεν ισχύει το Τ

Ψ

end

Μία απλουστευμένη περιγραφή του BBO αλγόριθμου θα μπορούσε να είναι η παρακάτω

1 Αρχικοποίηση των παραμέτρων του αλγορίθμου Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρεθεί μία μέθοδος

χαρτογράφησης των λύσεων του προβλήματος σε SIVs και περιοχές σύμφωνα με το πρόβλημα

Ακόμα αρχικοποιούμε ή ορίζουμε το μέγιστο αριθμό ειδών Smax τους μέγιστους ρυθμούς μετα-

νάστευσης Ε και Ι το μέγιστο ρυθμό μετάλλαξης mmax και μία παράμετρο ελιτισμού Πρέπει να

σημειωθεί ότι ο μέγιστος αριθμός ειδών και οι μέγιστοι ρυθμοί μετανάστευσης είναι αλληλοεξαρ-

τώμενα μεγέθη Οπότε αν όλα αλλάζουν κατά το ίδιο ποσοστό η συμπεριφορά του ΒΒΟ δεν θα

αλλάζει Αυτό συμβαίνει γιατί άν τα Ε Ι και Smax αλλάξουν οι ρυθμοί μετανάστευσης μ λ και ο

αριθμός των ειδών S θα αλλάξουν κατά την ίδια σχετική ποσότητα για όλες τις περιοχές ή λύσεις

2 Αρχικοποίηση μίας τυχαίας ομάδας περιοχών όπου κάθε περιοχή θα αντιστοιχεί σε πιθανή λύση

Αυτό είναι η υλοποίηση του συνόλου Ι

3 Για κάθε περιοχή καθορισμός των HSI για τον αριθμό ειδών S και των ρυθμών μετανάστευσης μ

και λ

15

4 Χρήση βάση πιθανοτήτων των ρυθμών μετανάστευσης για την τροποποίηση των μη ελιτίστικων

περιοχών και επαναϋπολογισμό των HSI αυτών

5 Για κάθε περιοχή ενημέρωση της πιθανότητας των αριθμών των ειδών βάση της εξίσωσης

Στη συνέχεια μετάλλαξη των μη ελιτίστικων περιοχών βάση των πιθανοτήτων τους και ξανά

υπολογισμός των HSI

6 Επιστροφή στο βήμα 3 για την επόμενη επανάληψη της διαδικασίας Η διαδικασία μπορεί

να σταματήσει μετά από έναν προκαθορισμένο αριθμό επαναλήψεων ή με την επίτευξη μίας

επιθυμητής λύσης Αυτή είναι η υλοποίηση του κριτηρίου τερματισμού Τ

Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι μετά από κάθε βήμα που αλλάζει κάτι σε μία περιοχή ή λύση πρέπει να

επαληθεύεται κάθε περιοχή ως πιθανή λύση του προβλήματος Αν όχι πρέπει να υπάρχει μία διαδικασία

η οποία να την τροποποιεί ώστε να γίνεται πιθανή λύση

Τέλος επειδή ένας τέτοιος αλγόριθμος θα συγκριθεί στη συνέχεια με τους υπόλοιπους που αναφέρ-

θηκαν παραπάνω είναι χρήσιμο να γίνουν πιο διακριτές οι διαφορές τους Η πρώτη τέτοια διαφορά είναι

ότι στους BBO αλγόριθμους δεν υπάρχει η έννοια της αναπαραγωγής ή των γενεών απογόνων όπως

υπάρχουν στους γενετικούς και τους εξελικτικούς αλγόριθμους Δεν δημιουργούνται καινούριες λύσεις

από κύκλο σε κύκλο αλλά εξελίσσονται οι υπάρχουσες Για τον ίδιο λόγο διαφέρει και από τους ACO(Ant Colony Optimization) αλγόριθμους Σαν λογική είναι πιο κοντά στους PSO (Particle SwarmOptimization) και DE (Differential Evolution) αλγόριθμους μιας και αυτοί διατηρούν και εξελίσσουν

τις υπάρχουσες λύσεις τους κάνοντας την κάθε λύση να μαθαίνει από τους γείτονες και να προσαρ-

μόζεται καθώς προχωράει ο αλγόριθμος Οι PSO αντιπροσωπεύουν κάθε λύση σαν ένα σημείο στο

χώρο και τις αλλαγές μεταξύ των επαναλήψεων του αλγόριθμου με διάνυσμα ταχύτητας ΄Ομως στους

αλγόριθμους αυτούς δεν αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η ταχύτητα των σημείων έχοντας αποτέλεσμα

τη μεταβολή των λύσεων Στους DE αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η αλλαγή αυτή γίνεται βάση των

διαφορών μεταξύ άλλων λύσεων Ακόμα οι DE δεν βασίζεται σε βιολογικές αρχές Οι BBO αλγόριθμοι

μπορούν να διαχωριστούν από τους DE και PSO στο χαρακτηριστικό ότι αλλάζουν άμεσα τις λύσεις

τους ανταλλάσσοντας χαρακτηριστικά μεταξύ τους μέσω της μετανάστευσης

16

Κεφάλαιο 3

Κεραίες

31 Γενικά

Με τον όρο umlκεραίαrsquo αναφερόμαστε σε μία διάταξη που είναι σχεδιασμένη να δέχεται ηκαι να εκπέμπει

ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Είναι μία διάταξη η οποία μετατρέπει ηλεκτρομαγνητική ενέργεια που

οδεύει σε μια γραμμή μεταφοράς ή ένα κυματοδηγό σε ηλεκτρομαγνητικό κύμα στο χώρο και viceversa Οι κεραίες είναι είτε παθητικές

1 είτε τροφοδοτούμενες

2

Λόγω της μεγάλης ανάπτυξης των τηλεπικοινωνιών και των πολλών συστημάτων που χρησιμοποιούν-

ται3 έχει αναπτυχθεί μια τεράστια ποικιλία κεραιών ώστε να καλύπτουν τις ειδικές ανάγκες διαφόρων

εφαρμογών και να διευκολύνεται η κατασκευή και ένταξή τους στο φυσικό και δομημένο περιβάλλον

Η μεγάλη αυτή ποικιλία συστημάτων κεραιών επιβάλει τον διαχωρισμό τους σε κατηγορίες βάσει της

μορφής τους και της αρχής λειτουργίας τους Αλλά σε όποια κατηγορία και να ανήκει μία κεραία έχει

κάποια βασικά χαρακτηριστικά

32 Χαρακτηριστικά κεραιών

Σε μία κεραία αυτό που μας ενδιαφέρει είναι το πώς εκπέμπει ή λαμβάνει στο χώρο ή αλλιώς οι ιδιότητες

ακτινοβολίας (μακρινού πεδίου4) Η γραφική παράσταση των ιδιοτήτων αυτών γίνεται με το διάγραμμα

ακτινοβολίας της Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας κεραίας είναι δηλαδή η τρισδιάστατη γραφική

παράσταση των ιδιοτήτων ακτινοβολίας της κεραίας Βρίσκεται με μετρήσεις κάποιου μεγέθους με

τη μετατόπιση μίας πρόμπας γύρω από την κεραία Παριστάνει τη γωνιακή κατανομή του μέτρου της

έντασης του πεδίου της πυκνότητας ισχύος ή της έντασης ακτινοβολίας Επειδή θέλουμε το διάγραμμα

ακτινοβολίας να δίνει τη γενική συμπεριφορά της κεραίας σε οποιοδήποτε σήμα μπορεί να λάβει ή να

εκπέμψει οι τιμές είναι κανονικοποιημένες5

Τα διαγράμματα ακτινοβολίας σχεδιάζονται και για

την ικανότητα εκπομπής και λήψης μίας κεραίας και για συγκεκριμένη είναι τα ίδια (εκπομπής και λήψης)

Από τα διαγράμματα ακτινοβολίας βλέπουμε σε ποια σημεία του χώρου η κεραία εκπέμπει (ή αν

1Αποτελούνται μόνο από παθητικά στοιχεία απλά μετατρέπουν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα σε ηλεκτρομαγνητική ενέρ-

γεια χωρίς κάποια επεξεργασία του σήματος2΄Εχουν και ενεργά στοιχεία τα οποία μπορούν να κάνουν ενίσχυση σήματος ή ακόμα και επεξεργασία σήματος όπως

πχ μεταβολή συχνότητας3Από τις πιο μικρές ηλεκτρονικές συσκευές πχ πομποί GPS (Global Positioning System) μέχρι μεγάλα συστήματα

πχ δορυφόροι οπουδήποτε εφαρμόζεται ασύρματη επικοινωνία απαραίτητο εξάρτημα είναι μία κεραία4Ο χώρος γύρω από μία κεραία ως προς την κεραία χωρίζεται σε μακρινό και κοντινό πεδίο Στο κοντινό πεδίο

το διάγραμμα επηρεάζεται έντονα από τις επαγωγικές και χωρητικές συνιστώσες που εμφανίζονται στην κεραία κατά τη

ροή του ρεύματος ενώ στο μακρινό όχι και γι΄ αυτό το διάγραμμα του μακρινού πεδίου είναι σταθεροποιημένο ενώ του

κοντινού όχι Τα διαγράμματα που δίνουν οι κατασκευαστές είναι διαγράμματα μακρινού πεδίου Διάκριση μεταξύ μακρινού

και κοντινού πεδίου γίνεται βάσει της απόστασης από την κεραία όπου για R gt 2lowastD2

λ θεωρούμε μακρινό πεδίο όπου λ

είναι το μήκος κύματος D η διάμετρος της κεραίας και R η απόσταση από αυτήν5Λόγω των κανονικοποιημένων τιμών του διαγράμματος ακτινοβολίας το διάγραμμα πυκνότητας ισχύος και έντασης

ακτινοβολίας είναι ταυτόσημα

17

είναι διάγραμμα λήψης λαμβάνει) τη μεγαλύτερη και σε ποια τη μικρότερη ισχύ Το τρισδιάστατο

της περιγραφής επιτυγχάνεται με το συνδυασμό δύο διαγραμμάτων το κάθετο (κάθετη τομή στον

τρισδιάστατο χώρο) και το οριζόντιο (οριζόντια τομή) Η κεραία θεωρείται στο κέντρο του διαγράμματος

και το διάγραμμα συνδέει στην ουσία τον χώρο με την ακτινοβολούμενη ισχύ ή με την ικανότητα

λήψης ισχύος για διάγραμμα εκπομπής και λήψης αντίστοιχα και είναι όπως προαναφέρθηκε η

γραφική αναπαράσταση της συμπεριφοράς της κεραίας στο χώρο Μας δείχνει σε ποιες περιοχές του

χώρου εκπέμπει και πόση ισχύ ή αντίστοιχα από ποιες περιοχές του χώρου και πόση ισχύ μπορεί

να λάβει η κεραία Είτε επειδή δε θέλουμε σπατάλη ισχύος σε rdquoαδιάφορεςrdquoπεριοχές είτε επειδή δεν

θέλουμε να παρεμβάλλουμε δημιουργώντας θόρυβο σε άλλες κεραίες κατά την εκπομπή και είτε επειδή

θέλουμε να λαμβάνουμε τη μέγιστη δυνατή ισχύ αν ξέρουμε από που λαμβάνουμε και να μειώνουμε

το θόρυβο από τις άλλες πηγές τα διαγράμματα ακτινοβολίας είναι πολύ χρήσιμα στο σχεδιασμό μίας

κεραίας Τέλος μία άλλη χρήση είναι η σύγκριση κεραιών είτε γενικά είτε για συγκεκριμένες εφαρμογές

Σχήμα 31 Διάγραμμα ακτινοβολίας

Στο διπλανό σχήμα () φαίνεται ένα τυπικό και αρκετά

απλοποιημένο διάγραμμα ακτινοβολίας Σε αυτό διακρίνουμε

τον κύριο λοβό που είναι το τμήμα η μεγαλύτερη κλειστή

καμπύλη που διακρίνεται από το γεγονός ότι έχει τη μέγιστη

τιμή στο διάγραμμα Συνήθως τα διαγράμματα ακτινοβολίας

είναι πολικά όπως αυτό του σχήματος 31 με βαθμονόμηση

από 0μέχρι 360

και ο κύριος λοβός στη γενική περίπτωση

τοποθετείται στις 0 Ο λοβός που βρίσκεται στις 180

ονο-

μάζεται οπίσθιος λοβός και οι υπόλοιποι λοβοί ονομάζονται

πλευρικοί Ανάλογα με την περίπτωση οι υπόλοιποι εκτός του

κύριου είναι ανεπιθύμητοι είτε επιθυμητοί και προσπαθούμε

αντίστοιχα να τους καταστείλουμε ή να τους ενισχύσουμε

Οι πλευρικοί λοβοί οφείλονται σε φαινόμενα καταστροφικής

ή εποικοδομητικής συμβολής των κυμάτων που εκπέμπονται

από τη κεραία Η κλίμακα στο διάγραμμα είναι σε deciBellκαι τα μεγέθη είναι κανονικοποιημένα

6 ΄Ετσι η μέγιστη τιμή θα είναι στα 0 db και οι υπόλοιπες

σε αρνητικές τιμές Τα διαγράμματα αυτά έχουν τέτοια βαθμονόμηση γιατί θέλουμε να εκφράζουν

ποιοτικά τη συμπεριφορά της κεραίας αλλά και γιατί οι τιμές έντασης ή ισχύος που θέλουμε να αναπα-

ραστήσουμε είναι πολλών τάξεων μεγέθους και θα θέλαμε πολύ μεγάλα διαγράμματα για κανονικές τιμές

΄Ενα πιο αναλυτικό διάγραμμα ακτινοβολίας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () και είναι διάγραμμα

μίας κεραίας Yagi-Uda Οι κύκλοι που φαίνονται στο διάγραμμα αντιστοιχούν στις τιμές -3 -10 -20

-30 και -40 dB και είναι χωρισμένοι σε τμήματα των 10 Οι κύκλοι αυτοί δείχνουν τα σημεία που

έχει μειωθεί το μέγεθος στο 50 στο 10 στο 1 στο 01 και στο 001 αντίστοιχα Η

γωνία των σημείων στα οποία ο κύριος λοβός τέμνει τον πρώτο κύκλο ονομάζεται γωνία ημίσειας ισχύος

Σχήμα 32 Καρτεσιανό διάγραμμα

Εκτός των πολικών διαγραμμάτων υπάρχουν και τα καρτεσιανά

τα οποία είναι η καρτεσιανή προβολή των πολικών Παράδειγμα

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () όπου φαίνεται το άνοιγμα μισής

ισχύος και το επίπεδο του πρώτου πλευρικού λοβού Επειδή τα

διαγράμματα ακτινοβολίας σχηματίζονται όπως προαναφέρθηκε

και αφορούν τη χωρική συμπεριφορά μίας κεραίας στο μακρινό

πεδίο οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε την κεραία ως σημείο

τα καρτεσιανά διαγράμματα δεν έχουν καλή αναπαράσταση της

πραγματικότητας Αλλά είναι αρκετά χρήσιμα στη μελέτη κεραιών

και στην καλύτερη εποπτεία των χαρακτηριστικών της από τα πολικά και για το λόγο αυτό σχεδιάζονται

και χρησιμοποιούνται κατά κόρον

6΄Ενα κανονικοποιημένο διάγραμμα έχει την ίδια μορφή με ένα μη κανονικοποιημένο με μόνη αλλαγή την κλίμακα και

ότι τα μεγέθη είναι ο λογάριθμος του λόγου της τιμής προς τη μέγιστη

18

Σχήμα 33 Διάγραμμα ακτινοβολίας Yagi-Uda κεραίας

Από ένα διάγραμμα ακτινοβολίας μπορούμε να βρούμε τα παρακάτω χαρακτηριστικά μίας κεραίας (ή

και παραμέτρους του διαγράμματος όπως αναφέρονται συχνά)

Σχήμα 34 Ισοτροπική και μη

bull Κατευθυντικότητα δείκτης της ικανότητα της κεραίας να

συγκεντρώσει την ακτινοβολία εκπομπής προς μία συγκεκριμένη

κατεύθυνση και βρίσκεται αναφορικά με μία ιδανική (ισοτροπική)

κεραία Η σύγκριση την όποιας κεραίας με μία ισοτροπική φαίνεται

στο διπλανό σχήμα () Τα εμβαδά είναι ίσα οπότε εκπέμπουν

και οι δύο την ίδια ισχύ αλλά στην επιθυμητή κατεύθυνση η μη

ισοτροπική στέλνει μεγαλύτερη ισχύ Η κατευθυντικότητα λοιπόν

είναι η διαφορά σε dB των δύο διαγραμμάτων στην κατεύθυνση

του μεγίστου Είναι αντιστρόφως ανάλογη με το εύρος του κυρίως

λοβού

bull Εύρος δέσμης μισής ισχύος οριζόντιου και κάθετου επιπέδου ( HPBW )

αναφέρεται στην ενεργό περιοχή κάλυψης της κεραίας και ορίζεται ώς η γωνία μεταξύ των σημείων

του κύριου λοβού όπου η ισχύς είναι μισή της μέγιστης ή σε dB 3dB κάτω από την μέγιστη και

προσδιορίζει την περιοχή που εμφανίζεται μέγιστη εκπομπή ενώ εκτός της περιοχής αυτής η ισχύς

μειώνεται πολύ γρήγορα

bull Εύρος δέσμης επίπεδο (dB) πρώτων σημείων μηδενισμού οριζόντιου καικάθετου επιπέδου (FNBW) ορίζεται ως η γωνία μεταξύ των δύο πρώτων μηδενισμών του

μεγέθους εκατέρωθεν του κύριου λοβού

bull Λόγος κύριου προς οπίσθιο λοβό (FB)

bull Επίπεδα (dB) και εύρος γωνιών πλευρικών λοβών και οπίσθιων λοβώνbull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με τον αμέσως μικρότερο λοβό του διαγράμ-ματος ακτινοβολίας

bull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με όλους τους υπόλοιπους του διαγράμματοςακτινοβολίας

bull Λόγος κύριου προς επόμενο μεγαλύτερο λοβό (Side-Lobe Level) ορίζεται ως ο λόγος

του μεγίστου του κυρίως λοβού προς τον αμέσως μικρότερο πλευρικό λοβό (SLL = MainLobeMaxSideLobe

dB)

και είναι ένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά μίας κεραίας Πολλές φορές αναφέρεται και ώς επίπεδο

πλευρικών λοβών

Τα χαρακτηριστικά μίας κεραίας μπορούν να υπολογιστούν και να περιγραφούν όχι μόνο βάσει του

19

διαγράμματος ακτινοβολίας της Μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της μετρώντας και υπολο-

γίζοντας κατάλληλα μεγέθη και κάνοντας χρήση γνωστών μαθηματικών τύπων

bull Συνολική ακτινοβολούμενη ενέργεια η συνολική (ή μέσος όρος) ενέργεια που ακτινο-

βολεί μία κεραία και υπολογίζεται από τον τύπο

Prad = Pav =

lsaquoS

~Wrad middot d~s =

lsaquoS

~Wav middot n middot da =1

2

lsaquoS

lt( ~E times ~H) middot d~s (31)

όπου Wrad=πυκνότητα ακτινοβολίας

bull ΄Ενταση ακτινοβολίας η ενέργεια που εκπέμπεται από μία κεραία ανά μονάδα στερεάς γωνίας

U = r2 middotWrad (32)

όπου r=απόσταση

bull Κατευθυντικότητα είναι ο λόγος της ακτινοβολούμενης ενέργειας σε μία συγκεκριμένη κα-

τεύθυνση προς το μέσο όρο εκπεμπόμενης ακτινοβολίας σε όλες τις κατευθύνσεις ΄Η αλλιώς

η ένταση προς μία συγκεκριμένη κατεύθυνση προς την αντίστοιχη τιμή της αν ακτινοβολούσε

ισοτροπικά

D =U

Uo=

4pU

Prad(33)

΄Αν δεν ορίζεται κατεύθυνση σαν κατευθυντικότητα αναφέρεται η μέγιστη κατευθυντικότητα μίας

κεραίας

bull Κέρδος αν και συνδέεται με την κατευθυντικότητα είναι μία παράμετρος της κεραίας που λαμ-

βάνει υπόψιν και την αποδοτικότητα της κεραίας αλλά και τις δυνατότητες κατευθυντικότητας

Απόλυτο κέρδος κεραίας (σε συγκεκριμένη κατεύθυνση) ορίζεται ο λόγος της έντασης ακτινοβο-

λίας προς την ένταση ακτινοβολίας που θα είχε στη συγκεκριμένη κατεύθυνση άν όλη η ενέργεια

εισόδου της κεραίας εκπεμπόταν ισοτροπικά

κέρδος = 4π middot ένταση ακτινοβολίας

συνολική εισερχόμενη ενέργεια= 4π

U(θ φ)

Pinputrarr

G = 4π U(θφ)Pinput (ιδανικής ισοτροπικής πηγής)

(34)

bull Απόδοση κεραίας είναι ένας δείκτης που λαμβάνει υπόψιν τις απώλειες ενέργειας από την

είσοδο στην έξοδο της κεραίας λόγω πολλών φαινομένων Γενικά η συνολική απόδοση μίας

κεραίας δίνεται από τον τύπο

eo = er middot ec middot ed (35)

όπου eo είναι η συνολική απόδοση er είναι η απόδοση λόγω απωλειών ανακλάσεων (λόγω κακής

προσαρμογής) (= 1minus|Γ|2) ec είναι η απόδοση λόγω απωλειών αγωγιμότητας ed είναι η απόδοση

που οφείλεται στο διηλεκτρικό και Γ ο συντελεστής ανάκλασης τάσης

bull Απόδοση δέσμης είναι μία παράμετρος ποιότητας μίας κεραίας και ορίζεται από το λόγο της

ενέργειας που ακτινοβολείται από τον κύριο λοβό της κεραίας (με το λοβό σε γωνία θ0) προς τη

συνολική

BE =

acute 2π0

acute θ0U(θ φ)sin(θ)dθdφacute 2π

0

acute π0U(θ φ)sin(θ)dθdφ

(36)

όπου θ1 είναι η γωνία μισής ισχύος ΄Αν θεωρήσουμε το θ1 στην κατεύθυνση του πρώτου μηδενι-

σμού τότε θα έχουμε το λόγο της ισχύος του κυρίως λοβού προς τη συνολική

bull Εύρος σαν εύρος μιας κεραίας ορίζεται το εύρος των συχνοτήτων (bandwidth) στις οποίες

μπορεί να λειτουργήσει αποδοτικά βάσει κάποιων χαρακτηριστικών της πχ να έχει εύρος κύριου

λοβού εντός συγκεκριμένων ορίων διατηρώντας μία ελάχιστη τιμή SLL

20

33 Κατηγορίες κεραιών

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω οι κεραίες χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με τα μορ-

φολογικά αλλά και λειτουργικά χαρακτηριστικά τους Βάσει του τρόπου με τον οποίο εκπέμπουν ή

λαμβάνουν ή αλλιώς βάσει του διαγράμματος ακτινοβολίας τους χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες

bull Ισοτροπικές μία ισοτροπική κεραία ορίζεται ως μία υποθετική (ιδανική) κεραία η οποία ακτινο-

βολεί το ίδιο προς όλες τις κατευθύνσεις Δεν έχει κάποια πραγματική εφαρμογή στα τηλεπικοι-

νωνιακά συστήματα γιατί η ισχύς της εκπέμπεται προς όλες τις κατευθύνσεις το ίδιο προκαλώντας

μεγάλες απώλειες ισχύος σε ανεπιθύμητες κατευθύνσεις ΄Εχει μόνο θεωρητική αξία στη μελέτη

κεραιών και στον ορισμό κάποιων παραμέτρων των κεραιών όπως το κέρδος που είδαμε παραπάνω

bull Κατευθυντικές μία κατευθυντική κεραία ορίζεται ως η κεραία που έχει την ικανότητα να

εκπέμπει ή να λαμβάνει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αποτελεσματικότερα προς κάποιες κατευ-

θύνσεις Είναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κεραίες και η εξέλιξη αυτών είναι οι έξυπνες

κεραίες που ανάλογα με τις ανάγκες της κάθε συσκευής και τα χαρακτηριστικά του χώρου που

βρίσκεται μπορούν να αλλάξουν τη γωνία μέγιστης εκπομπής κάνοντας βέλτιστη χρήση της α-

κτινοβολούμενης ισχύος της

bull Πανκατευθυντικές μία πανκατευθυντική κεραία είναι μία κεραία η οποία ακτινοβολεί σαν

κατευθυντική εκτός από ένα επίπεδο στο οποίο εκπέμπει ή λαμβάνει ισοτροπικά Η χρήση τους

είναι κυρίως στα μέσα μαζικής επικοινωνίας όπου χρειάζεται κάλυψη του χώρου 360 μοιρών στο

οριζόντιο επίπεδο αλλά πολύ μικρής γωνίας στο κάθετο

Βάσει των μορφολογικών χαρακτηριστικών τους χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες Η κάθε

κατηγορία έχει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της που την καθιστούν κατάλληλη για κάποια

εφαρμογή και ακατάλληλη για κάποια άλλη Παρακάτω αναφέρονται οι κατηγορίες αυτές των κεραιών

με τα βασικά χαρακτηριστικά της κάθε μίας

bull Κεραίες σύρματος Είναι απλές κεραίες κατασκευασμένες από αγώγιμο υλικό συνήθως

κυκλικής διατομής Πολλές φορέα σχηματίζονται από πολλούς αγωγούς κατάλληλα συζευγμένους

μεταξύ τους σε πλέγματα διαφόρων σχημάτων που είτε δημιουργούν μία επιφάνεια είτε μία γραμμική

κεραία Η απλούστερη γραμμική κεραία είναι η κεραία διπόλου τα χαρακτηριστικά της οποίας είναι

ανάλογα με το σχετικό μήκος της ως προς το μήκος κύματος της ακτινοβολίας για την οποία προορίζε-

ται7 Οι συγκεκριμένες είναι πολύ απλές στην κατασκευή πολύ συχνά απλά συρμάτινες Αποτελείται

από ένα δίπολο του οποίου (συνήθως) η τροφοδοσία8είναι στη μέση Πλεονεκτήματα των κεραιών

αυτών είναι το κόστος το μέγεθος και η δυνατότητα κάλυψης μεγάλης περιοχής συχνοτήτων ενώ

έχουν το μειονέκτημα της χαμηλής απόδοσης λόγω των διαστάσεων τους Καλύτερα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης έχουν οι διπολικές κεραίες των οποίων το μήκος είναι της τάξης του μήκους κύματος

Σχήμα 35 Κεραία διπόλου

Μία κεραία σύρματος χαρακτηρίζεται ως rdquoλεπτήrdquoόταν η διάμε-

τρος του αγωγού είναι μικρότερη από 001λ Ανάλογα με το σχήμα

της χαρακτηρίζεται ως ευθύγραμη κεραία V ή πτυσσόμενη Στο

διπλανό σχήμα () φαίνονται μία ευθύγραμμη και μία πτυσσόμενη

διπολική κεραία Στις πτυσσόμενες σημαντική είναι η γωνία που

σχηματίζουν οι βραχίονες τους έχοντας βρεθεί ότι η μέγιστη

κατευθυντικότητα επιτυγχάνεται για γωνία α = 60λh

+ 380

όπου h είναι το μήκος του βραχίονα και λ το μήκος κύματος τη

ακτινοβολίας και ότι Dmax = 12 + 23hλ9

7Μία κεραία χαρακτηρίζεται ως ηλεκτρικά μικρή όταν οι διαστάσεις της είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος

της ακτινοβολίας8Με τον όρο τροφοδοσία εννοούμε το υπόλοιπο σύστημα το οποίο τροφοδοτεί η κεραία με το σήμα που λαμβάνει στην

περίπτωση κεραίας λήψης ή από το οποίο τροφοδοτείται με το σήμα που θα εκπέμψει στην περίπτωση κεραίας εκπομπής

9Η σχέση αυτή είναι εμπειρική και ισχύει για 05 lt h

λ lt 3

21

Σχήμα 36 Κεραία Yagi-Uda

Μία εξέλιξη των παραπάνω κεραιών είναι οι κεραίες Yagi-Udaπου ένα διάγραμμα ακτινοβολίας τέτοιας κεραίας παρατέθηκε

παραπάνω () Είναι ευθύγραμμες διπολικές κεραίες που α-

ποτελούνται από πέραν του ενός δίπολα τα οποία όμως δεν

τροφοδοτούνται όλα Τα μη τροφοδοτούμενα δίπολα ονομάζονται

παρασιτικά και τροφοδοτούνται επαγωγικά από τα υπόλοιπα Οι

κεραίες αυτές παρουσιάζουν αυξημένη κατευθυντικότητα σχετικά

με τις μη παρασιτικές κεραίες διπόλων Η πρώτη τέτοια κεραία

κατασκευάστηκε το 1926 και αποτελούταν από τρία δίπολα ένα

ενεργό και δύο παρασιτικά Στην περίπτωση που το παρασιτικό

δίπολο έχει μεγαλύτερο μήκος από του ενεργού ονομάζεται

ανακλαστήρας ενώ αν έχει μικρότερο ονομάζεται κατευθυντήρας

Μία γενική μορφή τέτοιας κεραίας φαίνεται στο διπλανό σχήμα με LR το μήκος του ανακλαστήρα και

LD το μήκος του κατευθυντήρα

bull Στοιχειοκεραίες Μία εξέλιξη των συρμάτινων κεραιών είναι οι στοιχειοκεραίες Οι

στοιχειοκεραίες αποτελούνται από πολλές κεραίες διπόλων τα στοιχεία τα οποία ενώνονται όλα σε

μία κοινή τροφοδοσία και αυτή είναι η βασική τους διαφορά από τις Yagi-Uda που έχουν παρασιτικά

στοιχεία και ο λόγος που οι τελευταίες δε θεωρούνται στοιχειοκεραίες Συστοιχείες λοιπόν πολλών

κεραιών φτιάχνουν τις στοιχειοκεραίες Ανάλογα με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της συστοιχίας

υπάρχουν κάποια είδη στοιχειοκεραιών όπως είναι οι γραμμικές (μία συστοιχία σε ευθεία γραμμή) και

οι επίπεδες (συστοιχείες συστοιχείων) Λόγω της ταυτόχρονης χρήσης πολλών κεραιών μπορούν να

συνδυάσουν τα χαρακτηριστικά τους δίνοντας δυνατότητα πολύπλοκων κατευθυντικών διαγραμμάτων

καθιστώντας τες κατάλληλες για πολλές εφαρμογές Συγκριτικά με μία κεραία μεγάλου μήκους που

θα έχει τα ίδια κατευθυντικά χαρακτηριστικά παρουσιάζει το πλεονέκτημα της εύκολης τροφοδο-

σίας της μηχανικής αντοχής και του μικρού κόστους εγκατάστασης και λειτουργίας Τέλος με

κατάλληλη τροφοδοσία του κάθε στοιχείου της μπορούμε να αλλάξουμε τα κατευθυντικά χαρακτηρι-

στικά της ΄Εχουν πολλές γεωμετρικές μορφές αλλά και είδη που θα αναφερθούν σε επόμενη παράγραφο

bull Κεραίες βρόχου ή πλαισίου Μία κεραία βρόχου αποτελείται από έναν κλειστό αγωγό σε

σχήμα βρόχου (ή και βρόχων) ο οποίος τροφοδοτείται σε ένα σημείο του Χωρίζονται σε κεραίες μικρού

και μεγάλου βρόχου συγκριτικά με το μήκος κύματος στο οποίο χρησιμοποιούνται10

Οι μικρού

βρόχου έχουν χαμηλή απόδοση και χρησιμοποιούνται κατά κόρον σε δέκτες χαμηλών συχνοτήτων

Εκτός από τους ραδιοφωνικούς δέκτες των αυτοκινήτων στους οποίους γίνεται μεγάλη χρήση των

κεραιών μικρού βρόχου το μεγαλύτερο ποσοστό των δεκτών AM χρησιμοποιούν τέτοιες κεραίες

Οι μεγάλου βρόχου έχουν ευρεία χρήση στους δέκτες VHF και UHF έχοντας και το επιπλέον

χαρακτηριστικό της μεταβλητής περιφέρειας δίνοντας δυνατότητα μεγαλύτερου εύρους συχνοτήτων

Γενικά οι κεραίες βρόχου είναι κεραίες με μεγάλη κατευθυντικότητα κάτι που τις κάνει ιδανικές σε

εφαρμογές εύρεσης κατεύθυνσης σήματος

bull Ελικοειδής κεραίες Μία ελικοειδής κεραία αποτελείται από έναν αγωγό που έχει τη μορφή

έλικας στον οποίο η τροφοδοσία είναι στο ένα του άκρο Αποτελεί συνδυασμό κεραίας βρόχου και

γραμμικής κεραίας οπότε μπορεί να εκπέμπει με δύο τρόπους (ρυθμούς) αξονικά και κάθετα στον άξονα

της έλικας κάτι που της δίνει βελτιωμένα χαρακτηριστικά συγκριτικά με τις δύο αυτές κατηγορίες

Χρησιμοποιείται κατά κόρον όπου απαιτείται κυκλική πόλωση σήματος σαν πομπός ή σε σήματα που

έχουν κυκλική πόλωση σαν δέκτης και έχει αρκετά μεγάλο εύρος ζώνης συχνοτήτων Ανάλογα με τα

χαρακτηριστικά που πρέπει να έχει μία ελικοειδής κεραία μπορεί να είναι ομοιόμορφη (όλες οι έλικες

ίδια διάμετρο) αυξανόμενης ελαττούμενης και αυξο-ελαττούμενης διαμέτρου ελίκων

bull Δικωνικές κεραίες ΄Αν δύο V ενωθούν κατακορυφήν σχηματίζεται μία δικωνική κεραία οι

οποίες έχουν αυξημένο εύρος συχνοτήτων Πολλές δικωνικές κεραίες έχουν τη δυνατότητα μεταβολής

10Σαν κεραία μικρού βρόχου θα χαρακτηριστεί η κεραία της οποίας η περιφέρεια θα είναι ίση ή μικρότερη από το ένα

δέκατο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας

22

του μήκους του βραχίονα τους δίνοντας ακόμα μεγαλύτερο εύρος Αν μία από τις δύο V κεραίες

αντικατασταθεί από μία αγώγιμη επιφάνεια σε σχήμα δίσκου έχουμε τη δισκωνική κεραία στην οποία

ο δίσκος λειτουργεί ως ανακλαστήρας Είναι κεραίες μικρής κατευθυντικότητας και χαμηλού κέρδους

και χρησιμοποιούνται πολύ σαν κεραίες ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών εκπομπών

bull Σπειροειδής κεραίες Οι σπειροειδής κεραίες είναι κεραίες με μεγάλο εύρος ζώνης

συχνοτήτων και μεγάλης κατευθυντικότητας Αποτελούνται από μία ή δύο αγωγούς που έχουν σχήμα

σπείρας και όσο μικρότερη γωνία ανοίγματος σπείρας έχουν τόσο μεγαλύτερη κατευθυντικότητα

Μπορεί να είναι επίπεδες ή κωνικές και η πόλωση του σήματος που λαμβάνουν ή εκπέμπουν είναι

ανάλογη με τη φορά των σπειρών Το εύρος συχνοτήτων τους δίνεται από το λόγο μεγαλύτερης προς

μικρότερης διαμέτρου άν και στην πραγματικότητα είναι λίγο μικρότερο του λόγου αυτού Μία αρκετά

διαδεδομένη σπειροειδής κεραία είναι η rdquoσπειροειδής του Αρχιμήδηrdquoη οποία αποτελείται από δύο σπε-

ίρες με r1 = r0φ και r2 = r0(φminusπ) οι οποίες συνήθως κατασκευάζονται πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα11

bull Κεραίες χοάνης Οι κεραίες χοάνης αποτελούνται από έναν αγωγό ο οποίος είναι από το

ένα άκρο του ανοιχτός και διεγείρεται από το άλλο του άκρο Με σωστή ρύθμιση έχουν μεγαλύτερη

απόδοση από τις συρμάτινες Ανάλογα με το σχήμα του αγωγού μπορεί να υπάρχουν αρκετά είδη

τέτοιων κεραιών τρία εκ των οποίων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα () Η κατευθυντικότητα της

είναι ανάλογη της γωνίας ανοίγματος της Στην πράξη συναντούμε ελάχιστες κεραίες χοάνης μόνες

τους αλλά σε συνδυασμό με έναν ανακλαστήρα έχουν πολύ διαδεδομένη χρήση λόγω της πολύ μεγάλης

κατευθυντικότητας που προσφέρουν ειδικά στις περιπτώσεις που ο ανακλαστήρας είναι παραβολικός

όπου υπάρχει η δυνατότητα παραγωγής πολύ στενής δέσμης υψηλού κέρδους και χαμηλού θορύβου

Χρησιμοποιούνται πολύ στις δορυφορικές επικοινωνίες και η πιο συνηθισμένη τους μορφή είναι τα umlπιάταrsquo

που χρησιμοποιούνται για τη λήψη δορυφορικών σημάτων

Σχήμα 37 Κεραίες χοάνης α)τομέας β)πυραμοειδής και γ)κωνική

bull Λογαριθμικές περιοδικές κεραίες Είναι κεραίες των οποίων τα μορφολογικά χα-

ρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με την απόσταση από την αρχή της κεραίας Υπάρχει ένα

επαναλαμβανόμενο στοιχείο κεραίας το οποίο μεγαλώνει όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της

κεραίας Μπορεί να είναι μία πλάκα με οδοντώσεις το μέγεθος των οποίων μεταβάλλεται ένα σύρμα

11Οι κεραίες που είναι κατασκευασμένες πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα ή αλλιώς σε μικροταινίες ανήκουν και στην

κατηγορία των μικροταινιακών κεραιών πολύ διαδεδομένη στις ηλεκτρονικές φορητές συσκευές που λειτουργούν στην

περιοχή των μικροκυμάτων (λόγω διαστάσεων κεραιών είναι ιδανικές για την περιοχή αυτή)

23

Σχήμα 38 Λογαριθμική περιοδική κεραία

το οποίο διπλώνεται κατάλληλα και το μέγεθος της κάθε δίπλωσης μεταβάλλεται ή ακόμα και από

δίπολα το μήκος των οποίων μεταβάλλεται Πολλές κεραίες που ανήκουν σε παραπάνω κατηγορίες είναι

λογαριθμικές μπορεί να είναι λογαριθμικές αν η μεταβολή των επαναλαμβανόμενων στοιχείων ακολουθεί

το συγκεκριμένο πρότυπο Μία τέτοια φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () η οποία ανήκει στην

κατηγορία των στοιχειοκεραίων Λόγω των επαναλαμβανόμενων στοιχείων των οποίων συνδυάζουν τα

χαρακτηριστικά μπορούν να έχουν πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων και συγκεκριμένα εύρος μίας τάξης

μεγέθους επιτυγχάνεται εύκολα και μπορούν να έχουν και αρκετά μεγάλη κατευθυντικότητα Βρίσκουν

πολλές εφαρμογές στις επικοινωνίες υψηλών συχνοτήτων και ειδικά στα τηλεοπτικά σήματα αφού με

μία κεραία μπορεί κάποιος να λαμβάνει ικανοποιητικά όλα τα διαθέσιμα κανάλια χωρίς καμία προσαρμογή

34 Στοιχειοκεραίες

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω η μορφή του διαγράμματος εκπομπής και λήψης των κεραιών

εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της κεραίας Σε πολλές εφαρμογές απαιτούνται κεραίες μεγάλου

κέρδους ή αλλιώς μεγάλης κατευθυντικότητας Μία κεραία για να έχει μεγάλη κατευθυντικότητα

θα πρέπει να έχει πολύ μεγάλο μέγεθος Το πρόβλημα αυτό λύνεται φτιάχνοντας σύνθετες κεραίες

Κεραίες που αποτελούνται από μικρότερες κεραίες είτε όμοιες μεταξύ τους είτε ανόμοιες Τέτοιες

συστοιχίες κεραιών όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ονομάζονται στοιχειοκεραίες Το κάθε στοιχείο

μίας στοιχειοκεραίας μπορεί να είναι οποιασδήποτε μορφής κεραία (σύρματος οπής κλπ) με βασικό

χαρακτηριστικό όλα τα στοιχεία να έχουν κοινή τροφοδοσία Το συνολικό πεδίο θα είναι το διανυ-

σματικό άθροισμα των πεδίων κάθε στοιχείου ξεχωριστά Οπότε μπορούμε να έχουμε το επιθυμητό

πεδίο φτιάχνοντας την κεραία μας έτσι ώστε στα σημεία που θέλουμε μεγάλο κέρδος να συμβάλουν

εποικοδομητικά τα πεδία των στοιχείων της κεραίας και στα σημεία που δεν θέλουμε να ακτινοβολεί να

έχουμε καταστροφική συμβολή

Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας θα εξαρτάται από τους εξείς παράγοντες

bull Τη γεωμετρία της στοιχειοκεραίας ( γραμμικήκυκλικήορθογώνια σφαιρική κλπ)

bull Την απόσταση μεταξύ των στοιχείων της κεραίας

bull Την ένταση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

bull Τη φάση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

24

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Κεφάλαιο 1

Evolutionary algorithms -ΕξελικτικοίΑλγόριθμοι

11 Εισαγωγή στους αλγόριθμους

Με τον όρο rdquoΑλγόριθμοςrdquoπεριγράφεται η διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος Ο όρος είναι μία

παραλλαγή του ονόματος του Πέρση μαθηματικού του 9ου αιώνα μΧ Αβυ Αβδαλλαη Μυηαμμαδ ιβν

Μυςα αλ-Κηωαριζμı (Αμπού Αμπντουλάχ Μοχάμεντ Ιμπν Μούζα Αλ Χουαρίζμι)1ο οποίος έγραψε

το βιβλίο umlαλ-Κιταβ αλ-μυη

˘

ταςαρ φı ηιςαβ αλ-γαβρ ωα-λ-μυχαβαλαrsquo2

το οποία περιείχε

συστηματικές τυποποιημένες λύσεις αλγεβρικών3προβλημάτων ΄Οταν πέντε αιώνες αργότερα το βιβλίο

μεταφράστηκε στα Λατινικά ο μεταφραστής άρχιζε με τη φράση rdquoAlgorithmus dixit rdquo(ο Αλγόριθμος

είπε) Σιγά σιγά λοιπόν άρχισε να καθιερώνεται ο όρος αυτός για να περιγράψει συστηματικές

διαδικασίες αριθμητικών χειρισμών φτάνοντας στη σημερινή έννοια μετά την υιοθέτησή του από την

επιστήμη των ηλεκτρονικών υπολογιστών

Η rdquoιδέαrdquoτου αλγόριθμου είναι γνωστή αρκετές χιλιάδες χρόνια παρόλο που δεν της είχε δοθεί κάποιο

συγκεκριμένο όνομα Από τους πιο γνωστούς αλγόριθμους είναι το Κόσκινο του Ερατοσθένη (εύρεση

πρώτων αριθμών) και η μέθοδος του Ευκλείδη για την εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο αριθ-

μών που μεταγενέστερα ονομάστηκε Αλγόριθμος του Ευκλείδη Οι δύο παραπάνω αρχαίοι αλγόριθμοι

περιγράφουν τα βήματα που πρέπει να ακολουθήσει κάποιος για να λύσει ένα αριθμητικό πρόβλημα

Αυτή ήταν και η αρχική έννοια που δόθηκε στον όρο Με την εισαγωγή του όμως στην επιστήμη των

υπολογιστών ο όρος κατά κάποιον τρόπο μεταλλάχθηκε λίγο Χρησιμοποιήθηκε στην αρχή με την

παραπάνω έννοια αλλά με την εξέλιξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών και των μεθόδων και γλωσσών

προγραμματισμού τα βήματα που περιγράφουν έναν αλγόριθμο δεν είναι απλές αριθμητικές πράξεις αλ-

λά ως επί το πλείστον λογικά βήματα ΄Ενας αναλυτικός ορισμός της έννοιας του αλγόριθμου όπως

χρησιμοποιείται τώρα είναι

Αλγόριθμος είναι ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών αυστηρά καθορισμένων και εκτελέσιμων σε

πεπερασμένο χρόνο οι οποίες αν ακολουθηθούν επιτυγχάνεται ένα επιθυμητό αποτέλεσμα

Βάσει του παραπάνω ορισμού για να χαρακτηριστεί μία μέθοδος ως αλγόριθμος και αυτός ο αλ-

γόριθμος να είναι λειτουργικός πρέπει να πληρεί κάποιες προϋποθέσεις ή αλλιώς να έχει κάποια βασικά

χαρακτηριστικά Τα χαρακτηριστικά αυτά είναι

bull Καθοριστικότητα - Definiteness Κάθε κανόνας ή βήμα του να ορίζεται επακριβώς και

η αντίστοιχη διεργασία να είναι συγκεκριμένη Κάθε εντολή πρέπει να καθορίζεται χωρίς καμία

αμφιβολία για τον τρόπο εκτέλεσής παίρνοντας υπόψιν τις διάφορες περιπτώσεις που μπορεί να

1Το όνομα μεταφέρθηκε στα Λατινικά ως rdquoAlgoritmirdquoαπό όπου προήλθε ο όρος Αλγόριθμος όπως και οι λέξεις

guarismo (Ισπανικά) καιalgarismo (Πορτογαλικά) που σημαίνουν ψηφίο2Που σημαίνει rdquoτο συνοπτικό βιβλίο για υπολογισμούς με μεταφορά και απλοποίησηrdquo3Στον Αλ Χουαρίζμι αποδίδεται η μητρότητα και του όρου άλγεβρα από την αραβική λέξηrdquoal-jabrrdquoπου σημαίνει την

μεταφορά ενός όρου από το ένα μέλος μιας σχέσης στο άλλο και χρησιμοποίησε στο ίδιο βιβλίο

2

υπάρχουν όπως πχ η περίπτωση ο διαιρέτης να είναι μηδέν και το υπόριζο να είναι αρνητικός αριθ-

μός που μπορεί να οδηγήσουν σε λανθασμένα αποτελέσματα ή ακόμα και σε αποτυχία εκτέλεσης

του αλγορίθμου

bull Περατότητα - Finiteness Κάθε εκτέλεση πρέπει να είναι πεπερασμένη Δηλαδή να τελειώνει

ύστερα από έναν πεπερασμένο αριθμό διεργασιών ή βημάτων Μία διαδικασία που δεν τελειώνει

μετά από συγκεκριμένο ή έστω πεπερασμένο αριθμό βημάτων λέγεται απλά υπολογιστική διαδικα-

σία

bull Αποτελεσματικότητα - Effectiveness Να είναι μηχανιστικά αποτελεσματικός δηλαδή όλες

οι διαδικασίες που περιλαμβάνει να μπορούν να πραγματοποιηθούν με ακρίβεια και σε πεπερασμένο

χρόνο από τον σχεδιαστή ή προγραμματιστή του αλγορίθμου Κάθε μεμονωμένη εντολή του

αλγορίθμου πρέπει να είναι απλή και όχι σύνθετη (ανάλογα με τις δυνατότητες της γλώσσας

προγραμματισμού στην οποία υλοποιείται) Δηλαδή μία εντολή δεν αρκεί να έχει ορισθεί αλλά

πρέπει να είναι και εκτελέσιμη

bull Είσοδος δεδομένων - Input Κατά την εκκίνηση εκτέλεσης του αλγορίθμου καμία μία ή

περισσότερες τιμές δεδομένων πρέπει να δίνονται ως είσοδοι στον αλγόριθμο Η περίπτωση που

δε δίνονται τιμές δεδομένων εμφανίζεται όταν ο αλγόριθμος δημιουργεί και επεξεργάζεται κάποιες

πρωτογενείς τιμές με τη βοήθεια συναρτήσεων παραγωγής τυχαίων αριθμών ή με τη βοήθεια άλλων

απλών εντολών

bull ΄Εξοδος αποτελεσμάτων - Output Να δίνει τουλάχιστον ένα μέγεθος ως αποτέλεσμα

που εξαρτάται κατά κάποιο τρόπο από τις αρχικές εισόδουςΟ αλγόριθμος πρέπει να δημιουργεί

τουλάχιστον μία τιμή (δεδομένων) ως αποτέλεσμα προς το χρήστη ή προς ένα άλλο αλγόριθμο

΄Ενας αλγόριθμος μπορεί να υλοποιηθεί είτε μηχανικά με κάποιο ολοκληρωμένο ακολουθιακό

κύκλωμα είτε με κάποιο λογισμικό Ανάλογα με την πολυπλοκότητά του γίνεται και η κατάλληλη

επιλογή αλλά με οποιοδήποτε τρόπο γίνει η υλοποίηση η rdquoσυμπεριφοράrdquoτου πρέπει να είναι η ίδια

Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι μία αριθμομηχανή Αν είναι απλά μία ηλεκτρονική συσκευή οι

πράξεις γίνονται καθαρά μηχανικά μέσω των ολοκληρωμένων κυκλωμάτων που την αποτελούν Αν είναι

πρόγραμμα σε έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή οι πράξεις γίνονται από τον επεξεργαστή του ηλεκτρονικού

υπολογιστή με τρόπο που καθορίζεται από το λογισμικό που υλοποιεί την αριθμομηχανή Ο αλγόριθμος

βάσει του οποίου θα γίνουν οι πράξεις είναι και στις δύο περιπτώσεις ο ίδιος και φυσικά το αποτέλεσμα

της ίδιας πράξεις και στις δύο υλοποιήσεις θα είναι το ίδιο ΄Ολες οι γλώσσες προγραμματισμού ή σχε-

δίασης ψηφιακών συστημάτων είναι στην ουσία εργαλεία υλοποίησης αλγορίθμων Κάθε ολοκληρωμένο

ακολουθιακό κύκλωμα και κάθε πρόγραμμα ηλεκτρονικού υπολογιστή που έχει σχεδιαστεί στηρίζεται

σε έναν αλγόριθμο ή αλλιώς είναι η υλοποίηση ενός από πολύ απλού μέχρι πολύ σύνθετου αλγορίθμου

12 Βελτιστοποίηση

Η χρησιμότητα των αλγορίθμων είναι τεράστια ειδικά στη μελέτη πολύπλοκων προβλημάτων που

απαιτούν πολλές και δύσκολες πράξεις Για το λόγο αυτό αναπτύσσονται καινούριοι αλγόριθμοι και

μελετούνται ήδη υπάρχοντες από και για όλους τους επιστημονικούς κλάδους Η μελέτη και ανάπτυξη

αλγορίθμων αποτελεί τη rdquoΘεωρία Αλγορίθμωνrdquo Με τη θεωρία αυτή ασχολείται κατά κόρον η επιστήμη

των υπολογιστών και του προγραμματισμού παρέχοντας στους υπόλοιπους επιστημονικούς κλάδους

χρήσιμα εργαλεία για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων ΄Οσο γίνονται πιο πολύπλοκα τα προβλήματα

που απαιτούν λύση τόσο πιο πολύπλοκοι και rdquoέξυπνοιrdquoγίνονται και οι αλγόριθμοι Ειδικά σε προ-

βλήματα των οποίων η λύση δεν μπορεί να δοθεί μέσω πράξεων και μονοσήμαντα η χρήση πολύπλοκων

αλγορίθμων είναι απαραίτητη Τέτοια προβλήματα λύνονται με μεθόδους βελτιστοποίησης4 Οι μέθοδοι

αυτές απαιτούν πολλές δοκιμές τιμών των παραμέτρων ενός συστήματος μέχρι τη βέλτιστη τιμή της

4Ο όρος της βελτιστοποίησης στα εφαρμοσμένα μαθηματικά αναφέρεται στην αναζήτηση βέλτιστων παραμέτρων ενός

- συνήθως περίπλοκου - συστήματος

3

ζητούμενης συνάρτησης (ελάχιστη ή μέγιστη) Αν δεν είναι μία η προς βελτιστοποίηση συνάρτηση

η διαδικασία ονομάζεται βελτιστοποίηση με πολλαπλά κριτήρια που είναι η διαδικασία της ταυτόχρονης

βελτιστοποίησης δυο ή περισσότερων αντικρουόμενων ζητημάτων με διαφόρους περιορισμούς σε ένα

πρόβλημα

Με μαθηματικούς όρους το πρόβλημα βελτιστοποίησης με πολλαπλά κριτήρια μπορεί να διατυπωθεί

ως εξής (για ελαχιστοποίηση συνάρτησης)

minx [micro1(x) micro2(x) micron(x)]T όταν ισχύουν g(x) le 0 h(x) = 0 και xl le x le xu

όπου microi είναι η αντικειμενική συνάρτηση του i κριτηρίου τα g και h είναι οι περιορισμοί ανισότητας και

ισότητας αντίστοιχα και το x είναι το διάνυσμα των μεταβλητών βελτιστοποίησης ή απόφασης Η λύση

για το ανωτέρω πρόβλημα είναι ένα σύνολο από σημεία Pareto Οι λύσεις Pareto είναι εκείνες για της

όποιες η βελτιστοποίηση ενός κριτηρίου μπορεί να επέλθει μόνο με την χειροτέρευση ενός τουλάχιστον

κριτηρίου Παρόλα αυτά αντί για μια μόνο λύση στο πρόβλημα (κάτι το οποίο είναι τυπικά η περίπτωση

του παραδοσιακού μαθηματικού προγραμματισμού) η λύση σε ένα πρόβλημα πολλαπλών κριτηρίων είναι

μια σειρά (πιθανότατα άπειρων) σημείων Pareto5

Υπάρχουν αρκετοί τρόποι επίλυσης τέτοιων προβλημάτων Οι πιο διαδεδομένοι είναι

bull Κατασκευή συναθροίσματος αντικειμενικών συναρτήσεων (Aggregate Objec-tive Function - AOF) Αυτή είναι ίσως η πιο διαισθητική προσέγγιση για την επίλυση προ-

βλημάτων με πολλαπλά κριτήρια Η βασική ιδέα είναι να συνδυαστούν όλες οι αντικειμενικές

συναρτήσεις σε μια μόνο συναρτησιακή μορφή η οποία ονομάζεται AOF ΄Ενας γνωστός συνδυα-

σμός είναι το σταθμισμένο γραμμικό άθροισμα των κριτηρίων Ορίζουμε κάποιο rdquoβάροςrdquoγια το

κάθε προς βελτιστοποίηση κριτήριο (έναν παράγοντα με τον οποίο θα το πολλαπλασιάσουμε) και

στη συνέχεια τα συνδυάζουμε σε μια συνάρτηση αθροισμάτων όλων των όρων που δημιουργήσαμε

η οποία θα μπορεί να επιλυθεί με απλή βελτιστοποίηση Ξεκάθαρα η λύση που θα προκύψει θα

βασίζεται στις τιμές (πιο συγκεκριμένα τις σχετικές τιμές) των παραγόντων που καθορίστηκαν

Για παράδειγμα αν προσπαθούμε να μεγιστοποιήσουμε την δύναμη ενός εξαρτήματος μιας μηχανής

και να ελαχιστοποιήσουμε το κριτήριο του κόστους και αν έχει οριστεί υψηλότερο rdquoβάροςrdquoγια το

κριτήριο κόστους έναντι αυτού της δύναμης η λύση μας θα ικανοποιεί τα κριτήρια της μείωσης του

κόστους έναντι στην αύξηση της δύναμης Παρόλα αυτά μπορεί να παρατηρηθεί ότι η μέθοδος

αυτή είναι κατά βάση υποκειμενική καθώς τα βάρη ορίζονται από το χρήστη ή προγραμματιστή

και ότι δεν μπορεί να προσεγγίσει όλες τις βέλτιστες λύσεις (σημεία Pareto) του προβλήματος

bull Μέθοδοι NBI NC SPO Οι μέθοδοι NBI (Λογικής Οριακής Διατομής Normal BoundaryIntersection ) NC (Λογική Σύγχυση Normal Constraint ) και SPO (Διαδοχικής Pareto Βελτι-

στοποίησης Successive Pareto Optimization ) επιλύουν προβλήματα βελτιστοποίησης πολλαπλών

κριτηρίων κατασκευάζοντας διάφορες AOF Η επίλυση της κάθε τέτοιας συνάρτησης αποδίδει ένα

σημείο λύσης Pareto κάτω από κάποιες υποθέσεις Εάν οι υποθέσεις δεν ισχύουν τότε η μέθοδος

NC προτείνει την αφαίρεση των μη αποδεκτών σημείων διαδοχικά με ένα κατάλληλο φίλτρο Οι

AOF κατασκευάζονται με σκοπό να αποκτήσουν εν τέλη διανεμημένα σημεία Pareto τα οποία

δίνουν μια καλή εντύπωση (διαδικασία προσέγγισης) του πραγματικού συνόλου των αποδεκτών

σημείων Οι μέθοδος NC και SPO δημιουργούν λύσεις που αναπαριστούν μερικές περιφερειακές

περιοχές του συνόλου των σημείων Pareto για περισσότερα από 2 κριτήρια τα οποία είναι γνωστό

πως δεν αναπαρίστανται από τις λύσεις που δημιουργούνται από την μέθοδο NBI

bull Εξελικτικοί Αλγόριθμοι Οι αλγόριθμοι που ανήκουν στην εξελικτική υπολογιστική (ή εξε-

λικτικό λογισμό) είναι πολύ δημοφιλείς προσεγγίσεις στις βελτιστοποιήσεις πολλαπλών κριτηρίων

στους οποίους θα αναφερθούμε εκτενώς

5΄Ενα σημείο σχεδιασμού στον αντικειμενικό χώρο microlowast

ορίζεται ως βέλτιστο Pareto αν δεν υπάρχει κανένα άλλο εφικτόδιάνυσμα μ τέτοιο ώστε microi le microlowast

i για όλα τα i isin 1 2 n και microj lt microlowastj για τουλάχιστον έναν δείκτη j όπου j isin

1 2 n

4

Η Εξελικτική Υπολογιστική (ή Εξελικτικός Λογισμός) αποτελεί έναν κλάδο της τεχνητής νοη-

μοσύνης η ανάπτυξή του οποίου προέκυψε από τη μελέτη των έμβιων οργανισμών και η λογική της

βασίζεται σε έννοιες που καθορίζουν την εξέλιξη και επιβίωση τους όπως αυτές του πληθυσμού της

μετάλλαξης και της φυσικής επιλογής (επιβίωση του πιο προσαρμοσμένου) Βάσει κάποιων θεωριών

και πρακτικών εμπνευσμένων από τη φύση αναπτύσσεται μία μέθοδος για την αναπαράσταση και την

επεξεργασία των δεδομένων ενός προβλήματος με σκοπό την ακριβέστερη επίλυση του Πιθανές λύσεις

αναπαρίστανται σαν οντότητες ή άτομα ενός πληθυσμού ο οποίος μέσω των εκάστοτε διαδικασιών

οδηγεί στην επιλογή των βέλτιστων ή της βέλτιστης όλων των πιθανών λύσεων μέσω της εξέλιξης

του Οι μέθοδοι αυτές μπορούν να διακριθούν περαιτέρω σε εξελικτικούς αλγόριθμους (EvolutionaryAlgorithms) και σε νοημοσύνης (ή λογικής) σμήνους (Swarm Intelligence) όπως πχ οι αλγόριθμοι

που προσομοιάζουν τη συμπεριφορά μίας κοινωνίας μυρμηγκιών ΄Ενας τέτοιος αλγόριθμος βασισμένος

στον εξελικτικό λογισμό βελτιστοποιεί τις λύσεις με τη μέθοδο metaheuristicΣτους Εξελικτικούς

Αλγόριθμους χρησιμοποιούνται μηχανισμοί εμπνευσμένοι από την βιολογική εξέλιξη αναπαραγωγή

μετάλλαξη συνδυασμός και επιλογή Οι υποψήφιες λύσεις για το πρόβλημα βελτιστοποίησης παίζουν

το ρόλο των ατόμων ενός πληθυσμού και η fitness function (συνάρτηση του προβλήματος) καθορίζει

το περιβάλλον μέσα στο οποίο οι λύσεις αυτές umlζουνuml Η εξέλιξη των πληθυσμών γίνεται μετά από

επαναλαμβανόμενη εφαρμογή των παραπάνω τελεστών Η τεχνητή εξέλιξη (artifitial evolution (AE))περιγράφει τη διαδικασία περιέχοντας ξεχωριστούς εξελικτικούς αλγόριθμους Οπότε οι Εξελικτικοί

Αλγόριθμοι αποτελούν μία μέθοδο τεχνητής εξέλιξης και οι αλγόριθμοι αυτοί ανήκουν στο χώρο της

τεχνητής νοημοσύνης6 Οι αλγόριθμοι που βασίζονται στη λογική (ή νοημοσύνη) σμήνους αναπαρι-

στούν τις λύσεις ως αυτόνομους οργανισμούς που ονομάζονται πράκτορες ή διαμεσολαβητές (boids) οι

οποίοι αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και με το περιβάλλον που έχει σχεδιαστεί να τους περιβάλλει και η

βελτιστοποιημένη λύση δημιουργείται από τις αλληλεπιδράσεις αυτές οδηγώντας όλους τους πράκτορες

σε μία βέλτιστη και καθολική rdquoσυμπεριφοράrdquo

Οι αλγόριθμοι που βασίζονται στον εξελικτικό λογισμό λειτουργούν πολύ ικανοποιητικά προ-

σεγγίζοντας λύσεις για όλων των ειδών τα προβλήματα γιατί έχουν το ιδανικό χαρακτηριστικό να

μην κάνουν καμία υπόθεση και να μη χρειάζεται να έχουν γνώση του περιβάλλοντος που rdquoζουνrdquoοιπληθυσμοί που θα επεξεργαστούν Αυτό φαίνεται από τις επιτυχίες που έχουν σε τόσο διαφορετικά

μεταξύ τους πεδία όπως είναι η μηχανική η τέχνη η βιολογία τα οικονομικά το marketing η γε-

νετική η επιχειρησιακή έρευνα η ρομποτική οι κοινωνικές επιστήμες η φυσική η πολιτική και η χημεία

Με τον όρο metaheuristic 7μέθοδο στην υπολογιστική επιστήμη υποδεικνύεται μία υπολογιστική

μέθοδο η οποία βελτιστοποιεί ένα πρόβλημα προσπαθώντας με πολλές επαναλήψεις να βελτιώσει μία

υποψήφια λύση με βάση κάποιο δεδομένο μέτρο ποιότητας Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιεί λίγες ή και

καθόλου υποθέσεις σχετικά με το πρόβλημα το οποίο βελτιστοποιεί και έχει τη δυνατότητα να ερευνήσει

μεγάλα διαστήματα υποψήφιων λύσεων Πολλές τέτοιες μέθοδοι υλοποιούν μία μορφή πιθανολογικής

βελτιστοποίησης (stochastic optimization )

Χρησιμοποιώντας τον όρο Stochastic optimization (SO)(στοχαστική ή πιθανολογική βελτιστοπο-

ίηση) αναφερόμαστε σε μεθόδους βελτιστοποίησης οι οποίες παράγουν και χρησιμοποιούν τυχαίες

μεταβλητές Στα στοχαστικά προβλήματα (stochastic problems)οι τυχαίες μεταβλητές εμφανίζονται

στη διατύπωση του προβλήματος βελτιστοποίησης που περιέχει τυχαίες αντικειμενικές συναρτήσεις ή τυ-

χαίους περιορισμούς Μία άλλη κατηγορία στοχαστικών μεθόδων βελτιστοποίησης περιέχουν μεθόδους

με τυχαίες επαναλήψεις Μερικές χρησιμοποιούν τυχαίες επαναλήψεις ώστε να λύσουν στοχαστικά

προβλήματα συνδυάζοντας και τις δύο έννοιες ή κατηγορίες της στοχαστικής βελτιστοποίησης Οι

μέθοδοι στοχαστικής βελτιστοποίησης γενικεύουν αιτιοκρατικές μεθόδους για αιτιοκρατικά προβλήματα

6Λογισμικά ή πλήρεις μηχανές οι οποίες μπορούν να επιλύουν με αποδεκτά αποτελέσματα ρεαλιστικά υπολογιστικά

προβλήματα οποιουδήποτε τύπου χαρακτηρίζονται ως ασθενής Τεχνητής Νοημοσύνης Ως ισχυρής Τεχνητής νοημοσύνης

χαρακτηρίζονται μηχανικά ανδροειδή ή αυτοσυνείδητα προγράμματα υπολογιστή7΄Αλλοι όροι που έχουν παρόμοια σημασία με τον όρο metaheuristic είναι derivative-free (χωρίς παράγωγο)direct

search (άμεση αναζήτηση)black-box (μαύρο κουτί) ή απλά heuristic optimizer(ευρετική βελτιστοποίηση)

5

13 Αλγόριθμοι και μέθοδοι βελτιστοποίησης

Πολλοί αλγόριθμοι έχουν σχεδιαστεί που να χρησιμοποιούν την παραπάνω μέθοδο Παρακάτω α-

ναφέρονται οι δημοφιλέστερες κατηγορίες των εξελικτικών αλγορίθμων που υπάρχουν με περιληπτική

περιγραφή των αρχών ή θεωριών στις οποίες βασίζονται8 Οι Ant Colony Optimization και Particle

Swarm Optimization (PSO) τυπικά δεν ανήκουν στους Εξελικτικούς Αλγόριθμους γιατί βασίζονται στη

Νοημοσύνη Σμήνους αλλά αναφέρονται λόγω ευρείας χρήσης στη βελτιστοποίηση πολλαπλών κριτηρίων

Ant Colony Optimization (ACO)

Αλγόριθμος βελτιστοποίησης συναρτήσεων του οποίου η θεωρία στηρίζεται στις αποικίες μυρ-

μηγκιών και στον τρόπο εύρεσης φαγητού και ανήκει στην οικογένεια των αλγορίθμων που βασίζονται

σε μεθόδους λογικής σμήνους (swarm intelligence) Αρχικά τα μυρμήγκια κινούνται τυχαία προς

αναζήτηση τροφής ΄Οταν κάποιο βρει τροφή γυρνώντας στη φωλιά αφήνει ένα ίχνος από φερορμόνες

Το ίχνος αυτό ελκύει τα υπόλοιπα μέλη της αποικίας να το ακολουθήσουν και να βρουν την τροφή

΄Οσο πιο πολλά ακολουθούν τόσο πιο έντονο γίνεται το ίχνος ΄Αν έχουν δημιουργηθεί πέραν του

ενός μονοπάτια σε λίγη ώρα το πιο σύντομο θα χρησιμοποιείται από πιο πολλά μυρμήγκια οπότε θα

έχει πιο έντονο ίχνος και σιγά σιγά θα γίνει το επικρατέστερο με τελικό αποτέλεσμα να γίνει το μόνο

μονοπάτι που ακολουθεί όλη η αποικία Χρησιμοποιώντας την παραπάνω λογική κάθε πιθανή λύση

αναπαρίσταται ώς ένα μυρμήγκι και κάθε τιμή κάθε παραμέτρου του προβλήματος με τα σημεία από τα

οποία μπορεί να περάσει κάθε μυρμήγκι Μετά από αρκετές επαναλήψεις καταλήγουν τα μυρμήγκια να

ακολουθούν όλα την ίδια διαδρομή ΄Εχουν επιλεχθεί δηλαδή οι βέλτιστες τιμές κάθε παραμέτρου και

οι λύσεις είναι οι βέλτιστες

Particle Swarm Optimization (PSO)

Είναι μία μετευρετική (metaheuristic) μέθοδος βελτιστοποίησης Η μέθοδος αυτή επιχειρεί

την βελτιστοποίηση ενός προβλήματος προσπαθώντας με επαναληπτικές διαδικασίες να βελτιώσει

μία υποψήφια λύση βάσει κάποιου κριτηρίου ποιότητας ΄Εχει το χαρακτηριστικό των μεθόδων που

στηρίζονται στη λογική σμήνους η οποία είναι πως η κίνηση κάθε ατόμου του πληθυσμού επηρεάζει

την κίνηση των υπολοίπων Αρχικά δημιουργείται ένας πληθυσμός με τυχαίες διαδικασίες ο οποίος

πληθυσμός κινείται στον ορισμένο χώρο βάσει απλών μαθηματικών μοντέλων που καθορίζουν τη

θέση και την ταχύτητα του κάθε μέλους του Κάθε μέλος έχει το τοπικό του μέγιστο από το

οποίο επηρεάζεται και καθοδηγείται προς το καλύτερο τοπικό μέγιστο της εγγύς περιοχής που είναι

σημεία που βρέθηκαν από άλλα μέλη ΄Ετσι τείνουν να κινηθούν όλα τα μέλη προς τα μέγιστα που

ανακαλύπτονται κατά τη διάρκεια της διαδικασίας ΄Ως μετευρετική μέθοδος απαιτεί ελάχιστες ως και

καθόλου αρχικές υποθέσεις βασισμένες στο πρόβλημα και μπορεί να ερευνήσει πολύ μεγάλο εύρος

πιθανών λύσεων χωρίς όμως να εγγυάται την εύρεση μίας βέλτιστης λύσης για κάποιο πρόβλημα

Differential Evolution (DE)

Οι αλγόριθμοι Διαφορικής Εξέλιξης βρίσκουν τη βέλτιστη λύση ενός προβλήματος δημιουρ-

γώντας ένα σύνολο υποψήφιων λύσεων το οποίο αποτελεί τον πληθυσμό Κάθε λύση κινείται σε

έναν ορισμένο χώρο χρησιμοποιώντας απλούς μαθηματικούς τύπους για να καθοριστεί η συνδυασμένη

κίνησή τους ΄Αν η καινούρια θέση μίας λύσης οδηγεί σε βελτίωση του συνόλου η λύση αυτή διατηρείται

Αλλιώς καταργείται και αντικαθίσταται από μία άλλη που προκύπτει από συνδυασμό των υπόλοιπων

που διατηρήθηκαν Η διαδικασία συνεχίζει μέχρι να φτάσει σε μία βέλτιστη λύση βάσει των κριτηρίων

που έχουν οριστεί Η σύγκριση της παρούσας από την παρελθοντική τιμή της συνάρτησης δίνει το

διαφορικό χαρακτήρα στους αλγόριθμους Χαρακτηριστικό και αρνητικό των αλγορίθμων αυτών είναι

ότι δεν είναι σίγουρο ότι θα φτάσουν στη βέλτιστη λύση γιατί εξαρτάται η εξέλιξη της διαδικασίας

8Κάθε μία από τις κατηγορίες αυτές δημιουργήθηκαν σαν αλγόριθμοι αλλά λόγω των πολλών παραλλαγών τους που

υπάρχουν πλέον θεωρούνται κατηγορίες αλγορίθμων ή ακόμα και κατηγορίες μεθόδων βελτιστοποίησης

6

από τον αρχικό πληθυσμό ΄Εχει αρκετές ομοιότητες με τη προηγούμενη μέθοδο βελτιστοποίησης με

βασικές διαφορές ότι η επόμενη λύση σε αυτή τη μέθοδο εξαρτάται από την προηγούμενη ενώ στην AntColony όχι και ότι δεν εξερευνά όλες τις πιθανές λύσεις αλλά τις λύσεις που υπάρχουν στον αρχικό

πληθυσμό της και κάποιους συνδυασμούς αυτών ενώ η Ant Colony μπορεί να εξετάσει όλα τα πιθανά

σημεία που υπάρχουν

Evolutionary Strategy (ES)

Η μέθοδος αυτή βασίζεται στην ιδέα της προσαρμογής και εξέλιξης των ειδών Χρησιμοποιεί

φυσικούς μηχανισμούς για την αναπαράσταση και βελτιστοποίηση των προβλημάτων Κύρια χαρακτηρι-

στικά εξέλιξης των λύσεων είναι η μετάλλαξη και η επιλογή Το πλήθος των λύσεων αποτελεί μία γενιά

Αρχικά δημιουργείται τυχαία μία γενιά οι αρχικοί γονείς Η επόμενη γενιά δημιουργείται από μετάλλαξη

της προηγούμενης των γονέων Αν οι απόγονοι είναι καλύτεροι ή έστω ισάξιοι με τους γονείς παίρνουν

τη θέση τους και γίνονται οι γονείς της επόμενης γενιάς αλλιώς απορρίπτονται Η μετάλλαξη των

γονέων γίνεται με προσθήκη τυχαίας μεταβλητής (από κανονική κατανομή) σε κάποια συνιστώσα τους

Λόγω της τυχαίας μετάλλαξης είναι πιο πιθανό να φτάσουν σε βέλτιστη λύση από τους αλγόριθμους

διαφορικής εξέλιξης Αλλά έχουν το αρνητικό της καταστροφής των γονέων χάνοντας έτσι κάποια

πιθανώς καλά μέλη τους πληθυσμού Το αρνητικό αυτό μπορεί κάπως να μετριαστεί δημιουργώντας

πάνω από έναν απογόνους από κάθε γονέα και κάνοντας επιλογή των καλύτερων για την επόμενη γενιά

Genetic Algorithm (GA)

Μία παραλλαγή της παραπάνω μεθόδου είναι οι Γενετικοί Αλγόριθμοι Και στη μέθοδο αυτή

υπάρχει η έννοια των γενεών Κάθε λύση αναπαρίσταται ως ένα χρωμόσωμα ή γενότυπο Δη-

μιουργείται τυχαία ο αρχικός πληθυσμός και υπολογίζεται η τιμή της συνάρτησης που θέλουμε να

βελτιστοποιήσουμε για κάθε μέλος της Επιλέγονται τα καλύτερα μέλη της γενιάς βάση των υπολογι-

σμένων τιμών τα οποία θα αποτελέσουν τους γονείς για την επόμενη Στη συνέχεια δημιουργείται η

νέα γενιά μέσω του μηχανισμού της αναπαραγωγής των γονέων κυρίως και ίσως με τυχαία μετάλλαξη

κάποιων γονέων Υπολογίζεται η νέα τιμή της συνάρτησης για κάθε μέλος και επιλέγονται οι γονείς

για την επόμενη γενιά Μέσω της επαναληπτικής αυτής διαδικασίας ο αλγόριθμος βελτιστοποιεί την

τιμή της συνάρτησης του προβλήματος Ο τερματισμός του αλγορίθμου γίνεται είτε όταν επιτευχθεί

μία επιθυμητή τιμή της συνάρτησης ή αν ολοκληρωθεί συγκεκριμένος αριθμός επαναλήψεων ή χρόνος

εκτέλεσης χωρίς να βρεθεί βέλτιστη λύση Λόγω του μηχανισμού της αναπαραγωγής έχει το αρνητικό

ότι εξαρτάται και αυτή η μέθοδος από την αρχική τυχαία επιλογή του πληθυσμού κάτι που όμως

δεν έχει τόση βαρύτητα όπως στη μέθοδο Διαφορικής Εξέλιξης λόγω του ότι χρησιμοποιείται και η

τυχαία μετάλλαξη σαν μηχανισμός δημιουργίας απογόνων Ακόμα έχουν το αρνητικό της προηγούμενης

μεθόδου ότι οι γονείς που θα βγάλουν καλύτερους απογόνους καταστρέφονται

Stud Genetic Algorithm (StudGA)

Ο αλγόριθμος αυτός είναι μία παραλλαγή των Γενετικών Αλγορίθμων που δίνει καλύτερα απο-

τελέσματα Αντί να δημιουργεί έναν αρχικό πληθυσμό (stud) δημιουργεί μία αρχική πιθανή λύση

η οποία στη συνέχεια μεταλλάσσεται για τη δημιουργία του αρχικού πληθυσμού Κάθε πιθανή λύση

έχει τη δυνατότητα να αλλάξει με ανακάτεμα των βιτς που αντιπροσωπεύουν το χρωμόσωμα της

βάσει προκαθορισμένης πιθανότητας Στη συνέχεια το καλύτερο χρωμόσωμα ή αλλιώς η καλύτερη

λύση επιλέγεται ως αρχική (stud) βάσει της οποίας θα δημιουργηθεί ο καινούριος πληθυσμός και η

διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να τερματιστεί ο αλγόριθμος Στην ουσία αυτή είναι και η βασική

του διαφορά από τους υπόλοιπους Γενετικούς αλγόριθμους χρησιμοποιεί την καλύτερη λύση κάθε

γενιάς για μοναδικό rdquoγονέαrdquoκάθε επόμενης γενιάς χαρακτηριστικό που βελτιώνει συγκριτικά με τους

απλούς Γενετικούς Αλγόριθμους τις επιδόσεις του

7

Biogeography-Based Optimization (BBO)

Είναι ένας αλγόριθμος που βασίζεται στη βιογεωγραφία Η βιογεωγραφία μελετάει την ανάπτυξη και

εξέλιξη διαφόρων ειδών σε γειτονικές περιοχές τις οποίες ονομάζει umlνησιάuml Κάθε umlνησίrsquo είναι και μία

λύση του προβλήματος Τα είδη είναι οι παράμετροι της κάθε λύσης Κάθε λύση χαρακτηρίζεται από

τις μεταβλητές που ονομάζονται rdquoδείκτες καταλληλότητας rdquo(suitability index variables -SIVs)και οι

μεταβλητές αυτές ορίζουν μία τιμή για τον δείκτη καταλληλότητας περιοχής (habitat suitability index-HSI)Οι περιοχές με υψηλό δείκτη καταλληλότητας είναι και οι καλύτερες λύσεις Κάθε λύση τείνει

προς τη βέλτιστη παίρνοντας χαρακτηριστικά ή είδη από άλλες περιοχές μέσω του μηχανισμού της

μετανάστευσης Ο αλγόριθμος τερματίζει είτε μετά από προκαθορισμένο αριθμό κύκλων είτε μετά από

την επίτευξη κάποιου στόχου

Probability-Based Incremental Learning (PBIL)

Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στην δημιουργία και δειγματοληψία συνόλων πιθανών λύσεων με

αποκλειστικά πιθανοκρατικούς τρόπους για την εύρεση της βέλτιστης λύσης ενός προβλήματος Η

βελτιστοποίηση νοείται σαν μία βελτίωση του πιθανοκρατικού μοντέλου αρχίζοντας με ομοιόμορφης

κατανομής μοντέλο και καταλήγοντας σε ένα μοντέλο που παράγει βέλτιστες λύσεις Κύρια διαφορά με

τις μεθόδους που έχουν ήδη αναφερθεί είναι ότι η συγκεκριμένη μέθοδος παράγει κάθε φορά καινούριο

πληθυσμό μεταβάλλοντας το μοντέλο με το οποίο παράγεται ο πληθυσμός βάση της καταλληλότητας

του πληθυσμού που παράχθηκε ενώ οι προηγούμενοι μετέβαλλαν τον πληθυσμό τον ίδιο Αυτό το

χαρακτηριστικό κάνει τους αλγόριθμους που βασίζονται σε αυτή τη μέθοδο να είναι αποτελεσματικού

σε κάποια προβλήματα που άλλοι δεν μπορούν να βρουν βέλτιστη λύση όπως πχ σε προβλήματα

των οποίων κάποιες παράμετροι επηρεάζονται ή εξαρτώνται ισχυρά από κάποιες άλλες Η καθαρά

πιθανοκρατική μέθοδος που ακολουθεί εξαλείφουν τέτοια προβλήματα

Υπάρχουν και άλλοι αλγόριθμοι ή κατηγορίες αλγορίθμων που αναπτύσσονται και χρησιμοποιούνται

σε προβλήματα βελτιστοποίησης πέραν των παραπάνω ΄Ομως η αναφορά τους ξεφεύγει από τα πλαίσια

της παρούσας εργασίας μιας και οι παραπάνω χρησιμοποιήθηκαν στη λύση του προβλήματος

Στη συνέχεια θα γίνει μία πιο ενδελεχής περιγραφή ενός BBO αλγόριθμου και συγκεκριμένα του

Dan Simon ο οποίος χρησιμοποιήθηκε στη λύση του προβλήματος της συγκεκριμένης εργασίας

8

Κεφάλαιο 2

Biogeography-Based Optimization

21 Εισαγωγή στην BBO

Ο Biogeographic-Based Optimization αλγόριθμος είναι ένας εξελικτικός αλγόριθμος που βασίζεται

στη λογική της βιογεωγραφικής εξέλιξης των ειδών Με τον όρο rdquoΒιογεωγραφίαrdquoπεριγράφεται η μελέτη

της γεωγραφικής κατανομής των βιολογικών οργανισμών Η μαθηματικοποίηση του φαινομένου μελε-

τάται από τις αρχές της δεκαετίας του 1960 και εξελίσσεται συνεχώς Στο φαινόμενο αυτό βασίζονται

και οι βιογεωγραφικοί αλγόριθμοι Η επιστημονική βάση της βιογεωγραφικής θεωρίας εδραιώθηκε από

τους φυσιοδίφες του 19ou αιώνα και συγκεκριμένα τον Charles Darwin (Δαρβίνο όπως συνηθίζεται να

αποκαλείται στα ελληνικά) και τον Alfred WallaceΗ αρχή των μαθηματικών μοντέλων έγινε στις αρχές

του 1960 από τους Robert McArthur και Edward Wilson με κατάληξη την έκδοση του rdquoThe theory ofIsland Biogeographyrdquo το 1967 Πρωτεύον αντικείμενο έρευνας ήταν η κατανομή διαφόρων ειδών σε γει-

τονικά νησιά και το μαθηματικό μοντέλο του αφανισμού και της μετανάστευσης τους από νησί σε νησί Η

ανάπτυξη λοιπόν των βιογεωγραφικών αλγορίθμων βασίζεται και μελετάει το πώς μεταναστεύει κάποιο

είδος από ένα νησί σε ένα άλλο πώς καινούρια είδη εμφανίζονται και πώς άλλα εξαφανίζονται Αντί για

τον όρο rdquoνησίrdquo μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ο όρος rdquoβιότοποςrdquo βάση του παραπάνω χαρακτηριστικών

Οι βιογεωγραφικοί αλγόριθμοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε οποιοδήποτε τομέα επιστήμης Οι

γεωγραφικές περιοχές που είναι κατάλληλες για τα είδη τα rdquoνησιάrdquo θεωρούμε ότι έχουν υψηλό δείκτη

καταλληλότητας (high Habitat Suitability Index (HSI))Μερικά χαρακτηριστικά που συσχετίζονται

με το δείκτη αυτό θα είναι οι βροχοπτώσεις η ποικιλομορφία της βλάστησης η ποικιλομορφία των

τοπογραφικών χαρακτηριστικών το έδαφος και η θερμοκρασία Οι μεταβλητές που χαρακτηρίζουν άν

είναι ή όχι ένας βιότοπος κατοικήσιμος ονομάζονται μεταβλητές δείκτη καταλληλότητας(SuitabilityIndex Variables (SIVs))Οι SIV μπορούν να θεωρηθούν ως ανεξάρτητες μεταβλητές του βιοτόπου και

ο HSI ως εξαρτημένη Ανάλογα με τον τομέα στον οποίο θα χρησιμοποιηθούν ορίζεται τι είναι τα

rdquoείδηrdquoκαι πώς ορίζεται ένα rdquoνησίrdquo Γενικά σαν είδος μπορεί να θεωρηθεί κάποια παράμετρος ή ένα

χαρακτηριστικό ενός προβλήματος και σαν rdquoνησίrdquoμία ομάδα τέτοιων παραμέτρων ή χαρακτηριστικών

22 Βιογεωγραφία

Βάση των παραπάνω μπορεί να γίνει μία ανάλυση της γενικής ιδέας της μεθόδου Βιότοποι με

υψηλό HSI θα έχουν μεγάλους αριθμούς ειδών ενώ αντίθετα περιοχές με χαμηλό HSI θα έχουν μικρό

αριθμό ειδών Περιοχές με υψηλό HSI λόγω των πολλών ειδών που έχουν και του πιθανού κορεσμού

τους θα έχουν πολλά είδη που θα μεταναστεύουν σε κοντινά νησιά ενώ θα έχουν λίγα είδη που θα

μεταναστεύουν προς αυτά Ο ρυθμός λοιπόν μετανάστευσης προς γειτονικές περιοχές θα είναι μεγα-

λύτερος σε αυτές που έχουν υψηλό HSI κάτι που όμως δεν σημαίνει ότι τα είδη που θα μεταναστεύουν

προς άλλες περιοχές θα εξαφανίζονται από την αρχική γιατί μόνο ένα μικρό μέρος τους θα φεύγει Θα

υπάρχουν στην αρχική περιοχή μεταναστεύοντας παράλληλα και στις γειτονικές Περιοχές με χαμηλό

HSI θα έχουν μεγάλο ρυθμό μεταναστών από γειτονικές λόγω του αραιού πληθυσμού που περιέχουν

9

Αυτό το φαινόμενο μπορεί να αυξήσει το HSI μίας περιοχής μιας και εξαρτάται από την ποικιλομορφία

των ειδών που περιέχει ΄Αν παραμείνει χαμηλός τα είδη που υπάρχουν θα τείνουν προς εξαφάνιση

ανοίγοντας το δρόμο για άλλους rdquoμετανάστεςrdquoαπό γειτονικές περιοχές Οπότε περιοχές με υψηλό HSIθα έχουν πιο στατική κατανομή ειδών και πληθυσμών ενώ οι περιοχές με χαμηλό HSI έχουν πιο δυναμική

Με τη παραπάνω γενική ιδέα μπορεί να γίνει μία πρώτη παρουσίαση της εφαρμογής τέτοιων

αλγορίθμων Θεωρούμε ένα πρόβλημα από οποιοδήποτε επιστημονικό ή όχι τομέα Μηχανική

οικονομικά ιατρικά επιχειρήσεις αθλητικά και πολλοί άλλοι τομείς μπορούν να χρησιμοποιήσουν

έναν βιογεωγραφικό αλγόριθμο για τη λύση ενός προβλήματος Βασική προϋπόθεση όμως είναι να

έχουμε κάποιο τρόπο αξιολόγησης της καταλληλότητας κάποιας λύσης του προβλήματος Μία καλή

λύση θα αντιστοιχεί σε περιοχή με υψηλό HSI ενώ μία λιγότερο καλή σε περιοχή με χαμηλό HSIΟι καλές λύσεις λοιπόν θα είναι πιο σταθερές ενώ οι όχι τόσο καλές θα τείνουν να μεταβάλλουν

τα χαρακτηριστικά τους Οι καλές λύσεις θα τείνουν να μοιράζονται τα χαρακτηριστικά τους με

τις λιγότερο καλές με πιθανότητα να τις βελτιώσουν Αυτό το χαρακτηριστικό και τη γενικότερη

διαδικασία ονομάζουμε λύση με χρήση βιογεωγραφικού αλγορίθμου βελτιστοποίησης

Σχήμα 21 Μετανάστευση

Στο διπλανό σχήμα (σχήμα ) φαίνονται οι καμπύλες

μετανάστευσης από καμπύλη μ και προς καμπύλη λ έναν

τόπο Και οι δύο καμπύλες είναι συναρτήσεις του αριθμού

των ειδών σε μία περιοχή Στο παρόν σχήμα αναπαριστώνται

σαν ευθείες κάτι που γενικά δεν ισχύει ΄Εχουν αρκετά πιο

πολύπλοκη μορφή Για την ανάλυση μας όμως ένα απλό

σχήμα δίνει μία γενική εικόνα χωρίς να οδηγεί σε θεωρητικά

λάθη ΄Οσο πιο πολλά είδη υπάρχουν τόσο μικρότερη πιθα-

νότητα να εισέλθουν άλλα Οπότε ο μεγαλύτερος ρυθμός

μετανάστευσης προς μία περιοχή θα υπάρχει όταν η περιοχή

αυτή δεν έχει κανένα είδος ΄Οσο μεγαλώνει ο αριθμός των

ειδών τόσο μικραίνει ο ρυθμός μετανάστευσης προς την

συγκεκριμένη περιοχή μέχρι τον μέγιστο αριθμό ειδών που

μπορεί να υποστηρίξει Smax στο διάγραμμα όπου ο ρυθμός

εισόδου ειδών θα είναι μηδενικός Το αντίστροφο ισχύει για

την μετανάστευση από μία περιοχή την καμπύλη μ ΄Οταν η

περιοχή δεν έχει κανένα είδος ο ρυθμός των ειδών που θα μεταναστεύουν από την περιοχή αυτή θα

είναι φυσικά μηδενικός ΄Οσο αυξάνεται ο αριθμός των ειδών τόσο θα αυξάνεται και ο ρυθμός με τον

οποίο θα μεταναστεύουν προς άλλες περιοχές μέχρι το μέγιστο που θα είναι η τιμή Ε η οποία θα

αντιστοιχεί στο μέγιστο αριθμό ειδών που μπορούν να υπάρξουν στην περιοχή αυτή Smax Ο αριθμός

ισορροπίας των ειδών είναι S0 όπως φαίνεται στο σχήμα που θα είναι ο αριθμός των ειδών για τον

οποίο ο ρυθμός μετανάστευσης από και ο ρυθμός προς την περιοχή θα είναι ίσοι Αυτή την τιμή τείνουν

να αποκτήσουν οι περιοχές Κάποιες μεταβολές είτε προς τα πάνω για λόγους όπως πχ μία απότομη

εισροή ειδών από κάποια γειτονική περιοχή είτε προς τα κάτω για λόγους όπως πχ κάποια αρρώστια

ένας αρκετά επιθετικός κυνηγός ή κάποια καταστροφή μπορεί να υπάρξουν αλλά σε κάποιο χρόνο

ανάλογο της απόκλισης θα επανέλθει η ισορροπία

Ας δούμε και με λίγα μαθηματικά τα παραπάνω Θεωρούμε την πιθανότητα Ps μία περιοχή να έχει

S είδη Η πιθανότητα αυτή θα αλλάζει από τη χρονική στιγμή t στην χρονική στιγμή t+1 βάση του

τύπου

Ps(t+ 1) = Ps(t) lowast (1minus λs∆tminus micros∆t) + Psminus1λsminus1∆t+ Ps+1micros+1∆t (21)

όπου οι όροι λs και micros είναι οι ρυθμοί μετανάστευσης προς και από μία περιοχή αντίστοιχα όταν

υπάρχουν S είδη στην περιοχή Η παραπάνω εξίσωση () ισχύει γιατί για να έχουμε S είδη τη στιγμή

t+ ∆t θα πρέπει να ισχύει κάτι από τα παρακάτω

1 υπήρχαν S είδη τη στιγμή t και δεν είχαμε μετανάστευση προς καμία κατεύθυνση στο χρονικό

10

διάστημα ∆t

2 υπήρχαν S-1 είδη τη στιγμή t και ένα είδος ήρθε ή

3 υπήρχαν S+1 είδη τη στιγμή t και ένα είδος έφυγε

Θεωρούμε ότι το ∆t είναι αρκετά μικρό ώστε να έχει χρόνο μόνο ένα είδος να έρθει ή να φύγει από

την περιοχή Παίρνοντας το όριο ∆trarr 0 της εξίσωσης () καταλήγουμε στην παρακάτω

Ps =

minus(λs + micros)Ps + micros+1Ps+1 S = 0

minus(λs + micros)Ps + λsminus1Psminus1 + micros+1Ps+1 1 le S le Smax minus 1minus(λs + micros)Ps + λsminus1Psminus1 S = Smax)

(22)

Θέτουμε n = Smax και P = [P0 Pn]T απλοποιημένα και πλέον μπορούμε να εκφράσουμε τις

εξισώσεις (για S=0 n) με την απλή εξίσωση πίνακα

P = A lowast P (23)

όπου ο πίνακας Α δίνεται από τον τύπο

A =

minus(λ0 + micro0) micro1 0 ldots 0

λ0 minus(λ1 + micro1) micro2

ddots

λnminus2 minus(λnminus1 + micronminus1) micron

0 0 λnminus1 minus(λn + micron)

(24)

Για τις ευθείες καμπύλες που φαίνονται στο παραπάνω σχήμα () θα έχουμε

microk = Ekn

λk = I(1minuskn

)(25)

Θεωρούμε την ειδική περίπτωση E = I Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε

microk + λk = E (26)

και ο πίνακας Α γίνεται

A = E lowast

minus1 1

n0 0

nnminus1 2

n

2nminus1 n

n

0 0 1nminus1

= E lowast Aprime (27)

όπου το Α΄ ορίζεται από την παραπάνω εξίσωση ()

11

Παρατήρηση 1 Το 0 είναι μία ιδιοτιμή του πίνακα Α΄ με ιδιοδιάνυσμα το

u = [u1 un+1]T

n(nminus1minusi)(iminus1) (i = 1 iprime)

un+2minus1 (i = iprime + 1 n+ 1)

(28)

όπου το irsquo είναι ο μικρότερος ακέραιος ο οποίος να είναι μεγαλύτερος ή ίσος με

τοn+12

ή με προγραμματιστικό συμβολισμό iprime = ceil(n+12

) Αυτό μπορεί να

επιβεβαιωθεί από την απευθείας λύση της εξίσωσης ιδιοτιμών Aprime lowast u = k lowast uγια την άγνωστη μεταβλητή k και το άγνωστο διάνυσμα u Σαν παράδειγμα

για n=4 έχουμε

u = [1 4 6 4 1]T (29)

όπως και για n=5 παίρνουμε

u = [1 5 10 10 5 1]T (210)

Εικασία 1 Οι ιδιοτιμές του Α΄ δίνονται ως εξής

k = 0minus2

nminus4

n minus2 (211)

Η παραπάνω εικασία δεν έχει αποδειχθεί ακόμα αλλά ισχύει για όλες τις τιμές

του ν για τις οποίες έχει εξεταστεί

Θεώρημα 1 Η τιμή σταθερής κατάστασης για την πιθανότητα των αριθμών κάθε είδους

δίνεται από τη σχέση

P (infin) =usumn+1i=1 ui

(212)

όπου τα u και ui δίνονται από την

Στη συνέχεια θα μελετήσουμε το πώς μπορούν τα παραπάνω να εφαρμοστούν σε ένα πρόβλημα

βελτιστοποίησης συγκεκριμένου τομέα

221 Μέθοδοι και παράμετροι της BBO

Σχήμα 22 Αναπαράσταση λύσεων

Μετανάστευση Θεωρούμε ότι έχουμε ένα πρόβλημα με

πολλές πιθανές λύσεις οι οποίες μπορούν να παρασταθούν ως

διανύσματα ακεραίων Κάθε τέτοιος ακέραιος θεωρείται ότι

είναι μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας (SIV) Αν έχουμε

έναν τρόπο αξιολόγησης της ποιότητας κάθε λύσης μπορούμε

να αναπαραστήσουμε κάθε λύση σαν μία περιοχή Οι καλές

ποιοτικά λύσεις θα έχουν υψηλό δείκτη καταλληλότητας

(HSI) ενώ οι λιγότερο καλές χαμηλό Οι λύσεις με υψηλό

HSI θα είναι οι περιοχές με πολλά είδη ενώ αυτές με χαμηλό

οι περιοχές με λίγα είδη Η καμπύλη μοντέλου μετανάστευ-

σης θεωρούμε ότι θα είναι ίδια για όλες τις περιοχές (για

μεγαλύτερη ευκολία Ε=Ι) με τη μεταβλητή S κάθε περιοχής

να εξαρτάται από το HSI της όπως φαίνεται στο διπλανό

σχήμα (σχήμα ) Η περιοχή στην οποία αντιστοιχεί το S1

είναι περιοχή με χαμηλό HSI ενώ αυτή με το S2 περιοχή

με υψηλό HSI ΄Οπως φαίνεται και από το διπλανό σχήμα η

περιοχή με S1θα έχει λίγα είδη υψηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ1) και χαμηλό από (micro1) αυτή

ενώ η περιοχή με δείκτη S2 θα έχει πολλά είδη χαμηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ2) και υψηλό

12

από (micro2) αυτή Οι ρυθμοί μ και λ χρησιμοποιούνται για την ανταλλαγή πληροφοριών μεταξύ των

περιοχών πιθανοκρατικά Με πιθανότητα Pmod αξιολογούμε κάθε λύση βάση των υπολοίπων και

όποιες επιλεχθούν να τροποποιηθούν βάση του λ πιθανοκρατικά αξιολογούνται οι SIV και επιλέγονται

αυτοί που θα τροποποιηθούν ΄Αν κάποιος SIV επιλεχθεί να τροποποιηθεί βάση του μ των υπόλοιπων

λύσεων επιλέγεται πάλι πιθανοκρατικά από ποια λύση θα μεταναστεύσει κάποιος τυχαίος SIV

Η μέθοδος αυτή της μετανάστευσης στους BBO αλγόριθμους είναι παρόμοια με τις μεθόδους

των εξελικτικών και γενετικών αλγόριθμων όπου πολλοί πρόγονοι μπορούν να συνδυαστούν για

την παραγωγοί ενός απογόνου με μία όμως σημαντική διαφορά Σε αντίθεση με τους εξελικτικούς

και γενετικούς αλγόριθμους στους οποίους οι προηγούμενες λύσεις καταστρέφονται από γενιά σε

γενιά στους BBO οι λύσεις παραμένουν και εξελίσσονται χωρίς να καταστρέφονται Φυσικά έχει

ενσωματωμένο κάποιου είδους ελιτισμός έτσι ώστε να μην επηρεάζονται οι βέλτιστες λύσεις

Μετάλλαξη Κατακλυσμικά γεγονότα μπορούν να αλλάξουν δραστικά τον HSI μίας περιοχής

όπως μπορούν να προκαλέσουν απόκλιση του αριθμού των ειδών από την ισορροπία επηρεάζοντας

τον HSI λόγω φαινομενικά τυχαίων φαινομένων Τέτοια φαινόμενα μοντελοποιούνται στους BBO με

την μετάλλαξη των HSI και χρησιμοποιείται η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών για τον

καθορισμό του ρυθμού μετάλλαξης Η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών υπακούει στην

διαφορική εξίσωση Παρατηρώντας την καμπύλη στο σχήμα βλέπουμε ότι οι περιοχές με χαμηλό

αριθμό ειδών αλλά και αυτές με υψηλό αριθμό ειδών έχουν σχετικά χαμηλή πιθανότητα κάτι που θα

μπορούσε να εξαχθεί και από το θεώρημα 1 σε αντίθεση με αυτή με μέσες τιμές γιατί τα δεύτερα είναι

πιο κοντά στο σημείο ισορροπίας Ως παράδειγμα ας θεωρήσουμε την περίπτωση όπου Smax = 10 Η

λύση σταθερής κατάστασης της εξίσωσης θα είναι ανεξάρτητη της αρχικής συνθήκης Π(0) και μπορεί

να υπολογιστεί με αριθμητικές μεθόδους είτε βάση του θεωρήματος 1 με αποτέλεσμα

P (infin) sim= [0001 0001 0044 0117 0205 0246 0205 0117 0044 0001 0001]T

Τα στοιχεία του P (infin) δίνουν άθροισμα μονάδα και η γραφική τους παράσταση δίνει μία άρτια

συνάρτηση συμμετρική στην κεντρική τιμή

Κάθε λύση έχει μία αντίστοιχη πιθανότητα η οποία είναι δείκτης του κατά πόσο ήταν αναμενόμενη

εξ αρχής η λύση αυτή στο συγκεκριμένο πρόβλημα Λύσεις με πολύ υψηλό αλλά και πολύ χαμηλό HSIείναι αρκετά απίθανες να υπάρξουν ενώ λύσεις με μέσους HSI κοντά στο σημείο ισορροπίας είναι πιο

πιθανές Λύση S με μικρή πιθανότητα PS είναι αρκετά απίθανη οπότε έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να

μεταλλαχθεί από ία λύση Srsquo με μεγάλη πιθανότητα P primeS Αυτό μπορεί να παρασταθεί με τον παρακάτω

τύπο όπου ο ρυθμός μετάλλαξης m είναι αντιστρόφως ανάλογος της πιθανότητας μίας λύσης

m(S) = mmax

(1minus PSPmax

)(213)

και mmax είναι μία παράμετρος που ορίζεται από το χρήστη Αυτό το μοντέλο μετάλλαξης τείνει

να αυξήσει τη διαφορετικότητα μεταξύ του πληθυσμού των λύσεων Χωρίς αυτό οι λύσεις με μεγάλη

πιθανότητα θα ήταν επικρατέστερες των υπολοίπων Δίνει λοιπόν τη δυνατότητα στις κακές λύσεις

να μεταλλαχθούν και να εξελιχθούν δίνοντας παράλληλα και τη δυνατότητα στις λύσεις με υψηλή

πιθανότατα να εξελιχθούν και να βελτιωθούν και άλλο Πρέπει να σημειωθεί ότι χρησιμοποιείται

μία ελιτίστικη προσέγγιση αποθηκεύοντας τη βέλτιστη λύση έτσι ώστε αν χειροτερέψει από μία

μετάλλαξη να μπορούμε να την επαναφέρουμε αν χρειαστεί Οπότε η μετάλλαξη χρησιμοποιείται και

τις κακές και στις καλές λύσεις Οι μέσες λύσεις θεωρούμε ότι καλυτερεύουν με την μετανάστευση

οπότε αποφεύγουμε να τις μεταλλάξουμε και έχουν μικρότερο ρυθμό μετάλλαξης Η υλοποίηση της

μετάλλαξης εξαρτάται από το εκάστοτε πρόβλημα και χρήστη

Ορισμοί της BBO και αλγόριθμος

Παρακάτω δίνονται κάποιοι ορισμοί ως ένα πρώτο βήμα για τη μορφοποίηση του BBO αλγόριθμου

παρουσιάζοντας παράλληλα και μία περιγραφή του αλγόριθμου Με το R αναφερόμαστε στο σύνολο

13

πραγματικών αριθμών με το Ζ ακεραίων και με το empty στο κενό σύνολο

Ορισμός 1 Μία περιοχή H isin SIV mείναι ένα διάνυσμα m ακεραίων που αντιπροσωπεύει μία

πιθανή λύση του προβλήματος

Ορισμός 2 Μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας SIV isin C είναι ένας ακέραιος επιτρεπτός

σε μία περιοχή C isin Zqείναι το σύνολο όλων των επιτρεπτών ακεραίων σε μία

περιοχή Η απαίτηση SIV isin C ονομάζεται περιορισμός όπως και σε υψηλότερο

επίπεδο η απαίτηση H isin SIV m

Ορισμός 3 ΄Ενας δείκτης καταλληλότητας περιοχής HSI H rarr R αποτελεί μέτρο την ποιότη-

τας καλής ή κακής της λύσης που αντιπροσωπεύει η περιοχή Σημείωση Στους

περισσότερους αλγόριθμους βασισμένους στους πληθυσμούς το HSI ονομάζεται κα-ταλληλότητα

Ορισμός 4 ΄Ενα οικοσύστημα Hnείναι ένα σύνολο από n περιοχές Το μέγεθος n είναι σταθερό

(μελλοντικοί αλγόριθμοι μπορεί να επιτρέπουν μεταβλητό n όπως κάποιοι γενετικοί

αλγόριθμοι επιτρέπουν μεταβλητό μέγεθος πληθυσμών)

Ορισμός 5 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή λ(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

αύξουσα συνάρτηση του HSI Το λi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV από μία

γειτονική περιοχή να μεταναστεύσει στην Hi

Ορισμός 6 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή micro(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

φθίνουσα συνάρτηση του HSI Το microi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV της Hi

να μεταναστεύσει προς μία γειτονική περιοχή Στην πράξη θεωρούμε ότι οι συναρ-

τήσεις λ και μ είναι γραμμικές με το ίδιο μέγιστο Αυτή η υπόθεση βοηθάει στην

στην απλούστευση των μαθηματικών υπολογισμών Καλύτερες επιδόσεις μπορεί να

είναι εφικτές αν παρεκκλίνουμε λίγο από την υπόθεση αυτή

Ορισμός 7 Τροποποίηση μίας περιοχής Ω(λμ) Hn rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής

που προσαρμόζει την περιοχή Η βάση του οικοσυστήματος Hn Η πιθανότητα μια

περιοχή Η να τροποποιηθεί είναι ανάλογη του ρυθμού μετανάστευσης προς αυτή λ

και η πιθανότητα η τροποποίηση αυτή να προέλθει από την περιοχή Hj είναι ανάλογη

του ρυθμού μετανάστευσης microj από την περιοχή Η τροποποίηση των περιοχών

μπορεί να περιγραφεί γενικά ως εξής

Επιλογή του Hi με πιθανότητα sim λi΄Αν έχει επιλεχθεί το Hi

For j=1 to nεπιλογή του Hj με πιθανότητα sim microiΑν έχει επιλεχθεί το Hj

τυχαία επιλογή ενός SIV σ από το Hj

αντικατάσταση ενός τυχαίου SIV της Hi με το σ

endend

endΑπό τον παραπάνω αλγόριθμο γίνεται φανερό ότι μπορεί να εφαρμοστεί ένα κρι-

τήριο ελιτισμού θέτοντας λ=0 για την p βέλτιστη περιοχή όπουp μία παράμετρος

ελιτισμού καθορισμένη από το χρήστη Ακόμα να σημειωθεί ότι ο ορισμός του Ω

εξασφαλίζει ότι η περιοχή Η που τροποποιείται ικανοποιεί τους περιορισμούς του

SIVΟρισμός 8 Η μετάλλαξη Μ(λμ) H rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής που τυχαία τρο-

ποποιεί τις SIVs μίας περιοχής βάση της αρχικής πιθανότητας ύπαρξης της περιοχής

Η πιθανότητα ύπαρξης μίας περιοχής υπολογίζεται όπως αναφέρθηκε παραπάνω

από τους ρυθμούς λ και μ Η μετάλλαξη μπορεί να περιγραφεί ως εξής

14

For j=1 to mχρήση των microi και λi για τον υπολογισμό της πιθανότητας Piεπιλογή της SIV Hi(j) με πιθανότητα sim PiΑν έχει επιλεχθεί το Hi(j)

Αντικατάσταση του Hi(j) με ένα τυχαία δημιουργημένο SIVend

end΄Οπως και παραπάνω ο ελιτισμός μπορεί να υλοποιηθεί θέτοντας πιθανότητα με-

τάλλαξης μηδενική για την περιοχή με τη βέλτιστη λύση p Από τον παραπάνω

ορισμό βλέπουμε ότι πρέπει η μετάλλαξη να έχει κατάλληλους περιορισμούς ώστε

να καταλήγει σε HSI που να υπακούν στους περιορισμούς των SIVs

Ορισμός 9 Μία συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος Ψ ( m n λ μ Ω Μ) Hn rarr Hn

είναι μία εξάδα που τροποποιεί το οικοσύστημα από μία επανάληψη στην επόμενη

Η συνάρτηση τροποποίησης του οικοσυστήματος μπορεί να γραφεί ως εξής

ψ = λn micron Ωn HSIn Mn HSI (214)

Η συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος λοιπόν ξεκινάει υπολογίζοντας τους ρυθ-

μούς μετανάστευση προς και από μία περιοχή Εν συνεχεία λαμβάνει χώρα η τρο-

ποποίηση των περιοχών ακολουθούμενη από έναν επαναϋπολογισμό των HSI

Τέλος εφαρμόζεται μετάλλαξη και ξαναϋπολογίζονται οι HSI κάθε περιοχής

Ορισμός 10 ΄Ενας BBO αλγόριθμος BBO(Ι Ψ Τ) είναι μία τριάδα που προτείνει μία λύση σε

ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης I empty rarr Hn HSIn είναι μία συνάρτηση η οποία

παράγει ένα αρχικό οικοσύστημα περιοχών και υπολογίζει τις αντίστοιχες HSI Ψείναι μία συνάρτηση τροποποίησης οικοσυστήματος όπως ορίστηκε παραπάνω και

T Hn rarr true false είναι ένα κριτήριο τερματισμού του αλγόριθμου

Η συνάρτηση Ι μπορεί να υλοποιηθεί με μία γεννήτρια τυχαίων αριθμών ευρετι-

κών λύσεων στο πρόβλημα βελτιστοποίησης ή με οιαδήποτε άλλη διαδικασία που

να εξαρτάται από το πρόβλημα Το Τ μπορεί να εξαρτάται από τον αριθμό των

Ψ επαναλήψεων το HSI της βέλτιστης περιοχής ή οποιοδήποτε άλλο κριτήριο

βάση του προβλήματος Οπότε ο αλγόριθμος BBO μπορεί να περιγραφεί από το

παρακάτω

Ι

όσο δεν ισχύει το Τ

Ψ

end

Μία απλουστευμένη περιγραφή του BBO αλγόριθμου θα μπορούσε να είναι η παρακάτω

1 Αρχικοποίηση των παραμέτρων του αλγορίθμου Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρεθεί μία μέθοδος

χαρτογράφησης των λύσεων του προβλήματος σε SIVs και περιοχές σύμφωνα με το πρόβλημα

Ακόμα αρχικοποιούμε ή ορίζουμε το μέγιστο αριθμό ειδών Smax τους μέγιστους ρυθμούς μετα-

νάστευσης Ε και Ι το μέγιστο ρυθμό μετάλλαξης mmax και μία παράμετρο ελιτισμού Πρέπει να

σημειωθεί ότι ο μέγιστος αριθμός ειδών και οι μέγιστοι ρυθμοί μετανάστευσης είναι αλληλοεξαρ-

τώμενα μεγέθη Οπότε αν όλα αλλάζουν κατά το ίδιο ποσοστό η συμπεριφορά του ΒΒΟ δεν θα

αλλάζει Αυτό συμβαίνει γιατί άν τα Ε Ι και Smax αλλάξουν οι ρυθμοί μετανάστευσης μ λ και ο

αριθμός των ειδών S θα αλλάξουν κατά την ίδια σχετική ποσότητα για όλες τις περιοχές ή λύσεις

2 Αρχικοποίηση μίας τυχαίας ομάδας περιοχών όπου κάθε περιοχή θα αντιστοιχεί σε πιθανή λύση

Αυτό είναι η υλοποίηση του συνόλου Ι

3 Για κάθε περιοχή καθορισμός των HSI για τον αριθμό ειδών S και των ρυθμών μετανάστευσης μ

και λ

15

4 Χρήση βάση πιθανοτήτων των ρυθμών μετανάστευσης για την τροποποίηση των μη ελιτίστικων

περιοχών και επαναϋπολογισμό των HSI αυτών

5 Για κάθε περιοχή ενημέρωση της πιθανότητας των αριθμών των ειδών βάση της εξίσωσης

Στη συνέχεια μετάλλαξη των μη ελιτίστικων περιοχών βάση των πιθανοτήτων τους και ξανά

υπολογισμός των HSI

6 Επιστροφή στο βήμα 3 για την επόμενη επανάληψη της διαδικασίας Η διαδικασία μπορεί

να σταματήσει μετά από έναν προκαθορισμένο αριθμό επαναλήψεων ή με την επίτευξη μίας

επιθυμητής λύσης Αυτή είναι η υλοποίηση του κριτηρίου τερματισμού Τ

Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι μετά από κάθε βήμα που αλλάζει κάτι σε μία περιοχή ή λύση πρέπει να

επαληθεύεται κάθε περιοχή ως πιθανή λύση του προβλήματος Αν όχι πρέπει να υπάρχει μία διαδικασία

η οποία να την τροποποιεί ώστε να γίνεται πιθανή λύση

Τέλος επειδή ένας τέτοιος αλγόριθμος θα συγκριθεί στη συνέχεια με τους υπόλοιπους που αναφέρ-

θηκαν παραπάνω είναι χρήσιμο να γίνουν πιο διακριτές οι διαφορές τους Η πρώτη τέτοια διαφορά είναι

ότι στους BBO αλγόριθμους δεν υπάρχει η έννοια της αναπαραγωγής ή των γενεών απογόνων όπως

υπάρχουν στους γενετικούς και τους εξελικτικούς αλγόριθμους Δεν δημιουργούνται καινούριες λύσεις

από κύκλο σε κύκλο αλλά εξελίσσονται οι υπάρχουσες Για τον ίδιο λόγο διαφέρει και από τους ACO(Ant Colony Optimization) αλγόριθμους Σαν λογική είναι πιο κοντά στους PSO (Particle SwarmOptimization) και DE (Differential Evolution) αλγόριθμους μιας και αυτοί διατηρούν και εξελίσσουν

τις υπάρχουσες λύσεις τους κάνοντας την κάθε λύση να μαθαίνει από τους γείτονες και να προσαρ-

μόζεται καθώς προχωράει ο αλγόριθμος Οι PSO αντιπροσωπεύουν κάθε λύση σαν ένα σημείο στο

χώρο και τις αλλαγές μεταξύ των επαναλήψεων του αλγόριθμου με διάνυσμα ταχύτητας ΄Ομως στους

αλγόριθμους αυτούς δεν αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η ταχύτητα των σημείων έχοντας αποτέλεσμα

τη μεταβολή των λύσεων Στους DE αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η αλλαγή αυτή γίνεται βάση των

διαφορών μεταξύ άλλων λύσεων Ακόμα οι DE δεν βασίζεται σε βιολογικές αρχές Οι BBO αλγόριθμοι

μπορούν να διαχωριστούν από τους DE και PSO στο χαρακτηριστικό ότι αλλάζουν άμεσα τις λύσεις

τους ανταλλάσσοντας χαρακτηριστικά μεταξύ τους μέσω της μετανάστευσης

16

Κεφάλαιο 3

Κεραίες

31 Γενικά

Με τον όρο umlκεραίαrsquo αναφερόμαστε σε μία διάταξη που είναι σχεδιασμένη να δέχεται ηκαι να εκπέμπει

ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Είναι μία διάταξη η οποία μετατρέπει ηλεκτρομαγνητική ενέργεια που

οδεύει σε μια γραμμή μεταφοράς ή ένα κυματοδηγό σε ηλεκτρομαγνητικό κύμα στο χώρο και viceversa Οι κεραίες είναι είτε παθητικές

1 είτε τροφοδοτούμενες

2

Λόγω της μεγάλης ανάπτυξης των τηλεπικοινωνιών και των πολλών συστημάτων που χρησιμοποιούν-

ται3 έχει αναπτυχθεί μια τεράστια ποικιλία κεραιών ώστε να καλύπτουν τις ειδικές ανάγκες διαφόρων

εφαρμογών και να διευκολύνεται η κατασκευή και ένταξή τους στο φυσικό και δομημένο περιβάλλον

Η μεγάλη αυτή ποικιλία συστημάτων κεραιών επιβάλει τον διαχωρισμό τους σε κατηγορίες βάσει της

μορφής τους και της αρχής λειτουργίας τους Αλλά σε όποια κατηγορία και να ανήκει μία κεραία έχει

κάποια βασικά χαρακτηριστικά

32 Χαρακτηριστικά κεραιών

Σε μία κεραία αυτό που μας ενδιαφέρει είναι το πώς εκπέμπει ή λαμβάνει στο χώρο ή αλλιώς οι ιδιότητες

ακτινοβολίας (μακρινού πεδίου4) Η γραφική παράσταση των ιδιοτήτων αυτών γίνεται με το διάγραμμα

ακτινοβολίας της Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας κεραίας είναι δηλαδή η τρισδιάστατη γραφική

παράσταση των ιδιοτήτων ακτινοβολίας της κεραίας Βρίσκεται με μετρήσεις κάποιου μεγέθους με

τη μετατόπιση μίας πρόμπας γύρω από την κεραία Παριστάνει τη γωνιακή κατανομή του μέτρου της

έντασης του πεδίου της πυκνότητας ισχύος ή της έντασης ακτινοβολίας Επειδή θέλουμε το διάγραμμα

ακτινοβολίας να δίνει τη γενική συμπεριφορά της κεραίας σε οποιοδήποτε σήμα μπορεί να λάβει ή να

εκπέμψει οι τιμές είναι κανονικοποιημένες5

Τα διαγράμματα ακτινοβολίας σχεδιάζονται και για

την ικανότητα εκπομπής και λήψης μίας κεραίας και για συγκεκριμένη είναι τα ίδια (εκπομπής και λήψης)

Από τα διαγράμματα ακτινοβολίας βλέπουμε σε ποια σημεία του χώρου η κεραία εκπέμπει (ή αν

1Αποτελούνται μόνο από παθητικά στοιχεία απλά μετατρέπουν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα σε ηλεκτρομαγνητική ενέρ-

γεια χωρίς κάποια επεξεργασία του σήματος2΄Εχουν και ενεργά στοιχεία τα οποία μπορούν να κάνουν ενίσχυση σήματος ή ακόμα και επεξεργασία σήματος όπως

πχ μεταβολή συχνότητας3Από τις πιο μικρές ηλεκτρονικές συσκευές πχ πομποί GPS (Global Positioning System) μέχρι μεγάλα συστήματα

πχ δορυφόροι οπουδήποτε εφαρμόζεται ασύρματη επικοινωνία απαραίτητο εξάρτημα είναι μία κεραία4Ο χώρος γύρω από μία κεραία ως προς την κεραία χωρίζεται σε μακρινό και κοντινό πεδίο Στο κοντινό πεδίο

το διάγραμμα επηρεάζεται έντονα από τις επαγωγικές και χωρητικές συνιστώσες που εμφανίζονται στην κεραία κατά τη

ροή του ρεύματος ενώ στο μακρινό όχι και γι΄ αυτό το διάγραμμα του μακρινού πεδίου είναι σταθεροποιημένο ενώ του

κοντινού όχι Τα διαγράμματα που δίνουν οι κατασκευαστές είναι διαγράμματα μακρινού πεδίου Διάκριση μεταξύ μακρινού

και κοντινού πεδίου γίνεται βάσει της απόστασης από την κεραία όπου για R gt 2lowastD2

λ θεωρούμε μακρινό πεδίο όπου λ

είναι το μήκος κύματος D η διάμετρος της κεραίας και R η απόσταση από αυτήν5Λόγω των κανονικοποιημένων τιμών του διαγράμματος ακτινοβολίας το διάγραμμα πυκνότητας ισχύος και έντασης

ακτινοβολίας είναι ταυτόσημα

17

είναι διάγραμμα λήψης λαμβάνει) τη μεγαλύτερη και σε ποια τη μικρότερη ισχύ Το τρισδιάστατο

της περιγραφής επιτυγχάνεται με το συνδυασμό δύο διαγραμμάτων το κάθετο (κάθετη τομή στον

τρισδιάστατο χώρο) και το οριζόντιο (οριζόντια τομή) Η κεραία θεωρείται στο κέντρο του διαγράμματος

και το διάγραμμα συνδέει στην ουσία τον χώρο με την ακτινοβολούμενη ισχύ ή με την ικανότητα

λήψης ισχύος για διάγραμμα εκπομπής και λήψης αντίστοιχα και είναι όπως προαναφέρθηκε η

γραφική αναπαράσταση της συμπεριφοράς της κεραίας στο χώρο Μας δείχνει σε ποιες περιοχές του

χώρου εκπέμπει και πόση ισχύ ή αντίστοιχα από ποιες περιοχές του χώρου και πόση ισχύ μπορεί

να λάβει η κεραία Είτε επειδή δε θέλουμε σπατάλη ισχύος σε rdquoαδιάφορεςrdquoπεριοχές είτε επειδή δεν

θέλουμε να παρεμβάλλουμε δημιουργώντας θόρυβο σε άλλες κεραίες κατά την εκπομπή και είτε επειδή

θέλουμε να λαμβάνουμε τη μέγιστη δυνατή ισχύ αν ξέρουμε από που λαμβάνουμε και να μειώνουμε

το θόρυβο από τις άλλες πηγές τα διαγράμματα ακτινοβολίας είναι πολύ χρήσιμα στο σχεδιασμό μίας

κεραίας Τέλος μία άλλη χρήση είναι η σύγκριση κεραιών είτε γενικά είτε για συγκεκριμένες εφαρμογές

Σχήμα 31 Διάγραμμα ακτινοβολίας

Στο διπλανό σχήμα () φαίνεται ένα τυπικό και αρκετά

απλοποιημένο διάγραμμα ακτινοβολίας Σε αυτό διακρίνουμε

τον κύριο λοβό που είναι το τμήμα η μεγαλύτερη κλειστή

καμπύλη που διακρίνεται από το γεγονός ότι έχει τη μέγιστη

τιμή στο διάγραμμα Συνήθως τα διαγράμματα ακτινοβολίας

είναι πολικά όπως αυτό του σχήματος 31 με βαθμονόμηση

από 0μέχρι 360

και ο κύριος λοβός στη γενική περίπτωση

τοποθετείται στις 0 Ο λοβός που βρίσκεται στις 180

ονο-

μάζεται οπίσθιος λοβός και οι υπόλοιποι λοβοί ονομάζονται

πλευρικοί Ανάλογα με την περίπτωση οι υπόλοιποι εκτός του

κύριου είναι ανεπιθύμητοι είτε επιθυμητοί και προσπαθούμε

αντίστοιχα να τους καταστείλουμε ή να τους ενισχύσουμε

Οι πλευρικοί λοβοί οφείλονται σε φαινόμενα καταστροφικής

ή εποικοδομητικής συμβολής των κυμάτων που εκπέμπονται

από τη κεραία Η κλίμακα στο διάγραμμα είναι σε deciBellκαι τα μεγέθη είναι κανονικοποιημένα

6 ΄Ετσι η μέγιστη τιμή θα είναι στα 0 db και οι υπόλοιπες

σε αρνητικές τιμές Τα διαγράμματα αυτά έχουν τέτοια βαθμονόμηση γιατί θέλουμε να εκφράζουν

ποιοτικά τη συμπεριφορά της κεραίας αλλά και γιατί οι τιμές έντασης ή ισχύος που θέλουμε να αναπα-

ραστήσουμε είναι πολλών τάξεων μεγέθους και θα θέλαμε πολύ μεγάλα διαγράμματα για κανονικές τιμές

΄Ενα πιο αναλυτικό διάγραμμα ακτινοβολίας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () και είναι διάγραμμα

μίας κεραίας Yagi-Uda Οι κύκλοι που φαίνονται στο διάγραμμα αντιστοιχούν στις τιμές -3 -10 -20

-30 και -40 dB και είναι χωρισμένοι σε τμήματα των 10 Οι κύκλοι αυτοί δείχνουν τα σημεία που

έχει μειωθεί το μέγεθος στο 50 στο 10 στο 1 στο 01 και στο 001 αντίστοιχα Η

γωνία των σημείων στα οποία ο κύριος λοβός τέμνει τον πρώτο κύκλο ονομάζεται γωνία ημίσειας ισχύος

Σχήμα 32 Καρτεσιανό διάγραμμα

Εκτός των πολικών διαγραμμάτων υπάρχουν και τα καρτεσιανά

τα οποία είναι η καρτεσιανή προβολή των πολικών Παράδειγμα

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () όπου φαίνεται το άνοιγμα μισής

ισχύος και το επίπεδο του πρώτου πλευρικού λοβού Επειδή τα

διαγράμματα ακτινοβολίας σχηματίζονται όπως προαναφέρθηκε

και αφορούν τη χωρική συμπεριφορά μίας κεραίας στο μακρινό

πεδίο οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε την κεραία ως σημείο

τα καρτεσιανά διαγράμματα δεν έχουν καλή αναπαράσταση της

πραγματικότητας Αλλά είναι αρκετά χρήσιμα στη μελέτη κεραιών

και στην καλύτερη εποπτεία των χαρακτηριστικών της από τα πολικά και για το λόγο αυτό σχεδιάζονται

και χρησιμοποιούνται κατά κόρον

6΄Ενα κανονικοποιημένο διάγραμμα έχει την ίδια μορφή με ένα μη κανονικοποιημένο με μόνη αλλαγή την κλίμακα και

ότι τα μεγέθη είναι ο λογάριθμος του λόγου της τιμής προς τη μέγιστη

18

Σχήμα 33 Διάγραμμα ακτινοβολίας Yagi-Uda κεραίας

Από ένα διάγραμμα ακτινοβολίας μπορούμε να βρούμε τα παρακάτω χαρακτηριστικά μίας κεραίας (ή

και παραμέτρους του διαγράμματος όπως αναφέρονται συχνά)

Σχήμα 34 Ισοτροπική και μη

bull Κατευθυντικότητα δείκτης της ικανότητα της κεραίας να

συγκεντρώσει την ακτινοβολία εκπομπής προς μία συγκεκριμένη

κατεύθυνση και βρίσκεται αναφορικά με μία ιδανική (ισοτροπική)

κεραία Η σύγκριση την όποιας κεραίας με μία ισοτροπική φαίνεται

στο διπλανό σχήμα () Τα εμβαδά είναι ίσα οπότε εκπέμπουν

και οι δύο την ίδια ισχύ αλλά στην επιθυμητή κατεύθυνση η μη

ισοτροπική στέλνει μεγαλύτερη ισχύ Η κατευθυντικότητα λοιπόν

είναι η διαφορά σε dB των δύο διαγραμμάτων στην κατεύθυνση

του μεγίστου Είναι αντιστρόφως ανάλογη με το εύρος του κυρίως

λοβού

bull Εύρος δέσμης μισής ισχύος οριζόντιου και κάθετου επιπέδου ( HPBW )

αναφέρεται στην ενεργό περιοχή κάλυψης της κεραίας και ορίζεται ώς η γωνία μεταξύ των σημείων

του κύριου λοβού όπου η ισχύς είναι μισή της μέγιστης ή σε dB 3dB κάτω από την μέγιστη και

προσδιορίζει την περιοχή που εμφανίζεται μέγιστη εκπομπή ενώ εκτός της περιοχής αυτής η ισχύς

μειώνεται πολύ γρήγορα

bull Εύρος δέσμης επίπεδο (dB) πρώτων σημείων μηδενισμού οριζόντιου καικάθετου επιπέδου (FNBW) ορίζεται ως η γωνία μεταξύ των δύο πρώτων μηδενισμών του

μεγέθους εκατέρωθεν του κύριου λοβού

bull Λόγος κύριου προς οπίσθιο λοβό (FB)

bull Επίπεδα (dB) και εύρος γωνιών πλευρικών λοβών και οπίσθιων λοβώνbull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με τον αμέσως μικρότερο λοβό του διαγράμ-ματος ακτινοβολίας

bull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με όλους τους υπόλοιπους του διαγράμματοςακτινοβολίας

bull Λόγος κύριου προς επόμενο μεγαλύτερο λοβό (Side-Lobe Level) ορίζεται ως ο λόγος

του μεγίστου του κυρίως λοβού προς τον αμέσως μικρότερο πλευρικό λοβό (SLL = MainLobeMaxSideLobe

dB)

και είναι ένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά μίας κεραίας Πολλές φορές αναφέρεται και ώς επίπεδο

πλευρικών λοβών

Τα χαρακτηριστικά μίας κεραίας μπορούν να υπολογιστούν και να περιγραφούν όχι μόνο βάσει του

19

διαγράμματος ακτινοβολίας της Μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της μετρώντας και υπολο-

γίζοντας κατάλληλα μεγέθη και κάνοντας χρήση γνωστών μαθηματικών τύπων

bull Συνολική ακτινοβολούμενη ενέργεια η συνολική (ή μέσος όρος) ενέργεια που ακτινο-

βολεί μία κεραία και υπολογίζεται από τον τύπο

Prad = Pav =

lsaquoS

~Wrad middot d~s =

lsaquoS

~Wav middot n middot da =1

2

lsaquoS

lt( ~E times ~H) middot d~s (31)

όπου Wrad=πυκνότητα ακτινοβολίας

bull ΄Ενταση ακτινοβολίας η ενέργεια που εκπέμπεται από μία κεραία ανά μονάδα στερεάς γωνίας

U = r2 middotWrad (32)

όπου r=απόσταση

bull Κατευθυντικότητα είναι ο λόγος της ακτινοβολούμενης ενέργειας σε μία συγκεκριμένη κα-

τεύθυνση προς το μέσο όρο εκπεμπόμενης ακτινοβολίας σε όλες τις κατευθύνσεις ΄Η αλλιώς

η ένταση προς μία συγκεκριμένη κατεύθυνση προς την αντίστοιχη τιμή της αν ακτινοβολούσε

ισοτροπικά

D =U

Uo=

4pU

Prad(33)

΄Αν δεν ορίζεται κατεύθυνση σαν κατευθυντικότητα αναφέρεται η μέγιστη κατευθυντικότητα μίας

κεραίας

bull Κέρδος αν και συνδέεται με την κατευθυντικότητα είναι μία παράμετρος της κεραίας που λαμ-

βάνει υπόψιν και την αποδοτικότητα της κεραίας αλλά και τις δυνατότητες κατευθυντικότητας

Απόλυτο κέρδος κεραίας (σε συγκεκριμένη κατεύθυνση) ορίζεται ο λόγος της έντασης ακτινοβο-

λίας προς την ένταση ακτινοβολίας που θα είχε στη συγκεκριμένη κατεύθυνση άν όλη η ενέργεια

εισόδου της κεραίας εκπεμπόταν ισοτροπικά

κέρδος = 4π middot ένταση ακτινοβολίας

συνολική εισερχόμενη ενέργεια= 4π

U(θ φ)

Pinputrarr

G = 4π U(θφ)Pinput (ιδανικής ισοτροπικής πηγής)

(34)

bull Απόδοση κεραίας είναι ένας δείκτης που λαμβάνει υπόψιν τις απώλειες ενέργειας από την

είσοδο στην έξοδο της κεραίας λόγω πολλών φαινομένων Γενικά η συνολική απόδοση μίας

κεραίας δίνεται από τον τύπο

eo = er middot ec middot ed (35)

όπου eo είναι η συνολική απόδοση er είναι η απόδοση λόγω απωλειών ανακλάσεων (λόγω κακής

προσαρμογής) (= 1minus|Γ|2) ec είναι η απόδοση λόγω απωλειών αγωγιμότητας ed είναι η απόδοση

που οφείλεται στο διηλεκτρικό και Γ ο συντελεστής ανάκλασης τάσης

bull Απόδοση δέσμης είναι μία παράμετρος ποιότητας μίας κεραίας και ορίζεται από το λόγο της

ενέργειας που ακτινοβολείται από τον κύριο λοβό της κεραίας (με το λοβό σε γωνία θ0) προς τη

συνολική

BE =

acute 2π0

acute θ0U(θ φ)sin(θ)dθdφacute 2π

0

acute π0U(θ φ)sin(θ)dθdφ

(36)

όπου θ1 είναι η γωνία μισής ισχύος ΄Αν θεωρήσουμε το θ1 στην κατεύθυνση του πρώτου μηδενι-

σμού τότε θα έχουμε το λόγο της ισχύος του κυρίως λοβού προς τη συνολική

bull Εύρος σαν εύρος μιας κεραίας ορίζεται το εύρος των συχνοτήτων (bandwidth) στις οποίες

μπορεί να λειτουργήσει αποδοτικά βάσει κάποιων χαρακτηριστικών της πχ να έχει εύρος κύριου

λοβού εντός συγκεκριμένων ορίων διατηρώντας μία ελάχιστη τιμή SLL

20

33 Κατηγορίες κεραιών

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω οι κεραίες χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με τα μορ-

φολογικά αλλά και λειτουργικά χαρακτηριστικά τους Βάσει του τρόπου με τον οποίο εκπέμπουν ή

λαμβάνουν ή αλλιώς βάσει του διαγράμματος ακτινοβολίας τους χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες

bull Ισοτροπικές μία ισοτροπική κεραία ορίζεται ως μία υποθετική (ιδανική) κεραία η οποία ακτινο-

βολεί το ίδιο προς όλες τις κατευθύνσεις Δεν έχει κάποια πραγματική εφαρμογή στα τηλεπικοι-

νωνιακά συστήματα γιατί η ισχύς της εκπέμπεται προς όλες τις κατευθύνσεις το ίδιο προκαλώντας

μεγάλες απώλειες ισχύος σε ανεπιθύμητες κατευθύνσεις ΄Εχει μόνο θεωρητική αξία στη μελέτη

κεραιών και στον ορισμό κάποιων παραμέτρων των κεραιών όπως το κέρδος που είδαμε παραπάνω

bull Κατευθυντικές μία κατευθυντική κεραία ορίζεται ως η κεραία που έχει την ικανότητα να

εκπέμπει ή να λαμβάνει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αποτελεσματικότερα προς κάποιες κατευ-

θύνσεις Είναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κεραίες και η εξέλιξη αυτών είναι οι έξυπνες

κεραίες που ανάλογα με τις ανάγκες της κάθε συσκευής και τα χαρακτηριστικά του χώρου που

βρίσκεται μπορούν να αλλάξουν τη γωνία μέγιστης εκπομπής κάνοντας βέλτιστη χρήση της α-

κτινοβολούμενης ισχύος της

bull Πανκατευθυντικές μία πανκατευθυντική κεραία είναι μία κεραία η οποία ακτινοβολεί σαν

κατευθυντική εκτός από ένα επίπεδο στο οποίο εκπέμπει ή λαμβάνει ισοτροπικά Η χρήση τους

είναι κυρίως στα μέσα μαζικής επικοινωνίας όπου χρειάζεται κάλυψη του χώρου 360 μοιρών στο

οριζόντιο επίπεδο αλλά πολύ μικρής γωνίας στο κάθετο

Βάσει των μορφολογικών χαρακτηριστικών τους χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες Η κάθε

κατηγορία έχει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της που την καθιστούν κατάλληλη για κάποια

εφαρμογή και ακατάλληλη για κάποια άλλη Παρακάτω αναφέρονται οι κατηγορίες αυτές των κεραιών

με τα βασικά χαρακτηριστικά της κάθε μίας

bull Κεραίες σύρματος Είναι απλές κεραίες κατασκευασμένες από αγώγιμο υλικό συνήθως

κυκλικής διατομής Πολλές φορέα σχηματίζονται από πολλούς αγωγούς κατάλληλα συζευγμένους

μεταξύ τους σε πλέγματα διαφόρων σχημάτων που είτε δημιουργούν μία επιφάνεια είτε μία γραμμική

κεραία Η απλούστερη γραμμική κεραία είναι η κεραία διπόλου τα χαρακτηριστικά της οποίας είναι

ανάλογα με το σχετικό μήκος της ως προς το μήκος κύματος της ακτινοβολίας για την οποία προορίζε-

ται7 Οι συγκεκριμένες είναι πολύ απλές στην κατασκευή πολύ συχνά απλά συρμάτινες Αποτελείται

από ένα δίπολο του οποίου (συνήθως) η τροφοδοσία8είναι στη μέση Πλεονεκτήματα των κεραιών

αυτών είναι το κόστος το μέγεθος και η δυνατότητα κάλυψης μεγάλης περιοχής συχνοτήτων ενώ

έχουν το μειονέκτημα της χαμηλής απόδοσης λόγω των διαστάσεων τους Καλύτερα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης έχουν οι διπολικές κεραίες των οποίων το μήκος είναι της τάξης του μήκους κύματος

Σχήμα 35 Κεραία διπόλου

Μία κεραία σύρματος χαρακτηρίζεται ως rdquoλεπτήrdquoόταν η διάμε-

τρος του αγωγού είναι μικρότερη από 001λ Ανάλογα με το σχήμα

της χαρακτηρίζεται ως ευθύγραμη κεραία V ή πτυσσόμενη Στο

διπλανό σχήμα () φαίνονται μία ευθύγραμμη και μία πτυσσόμενη

διπολική κεραία Στις πτυσσόμενες σημαντική είναι η γωνία που

σχηματίζουν οι βραχίονες τους έχοντας βρεθεί ότι η μέγιστη

κατευθυντικότητα επιτυγχάνεται για γωνία α = 60λh

+ 380

όπου h είναι το μήκος του βραχίονα και λ το μήκος κύματος τη

ακτινοβολίας και ότι Dmax = 12 + 23hλ9

7Μία κεραία χαρακτηρίζεται ως ηλεκτρικά μικρή όταν οι διαστάσεις της είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος

της ακτινοβολίας8Με τον όρο τροφοδοσία εννοούμε το υπόλοιπο σύστημα το οποίο τροφοδοτεί η κεραία με το σήμα που λαμβάνει στην

περίπτωση κεραίας λήψης ή από το οποίο τροφοδοτείται με το σήμα που θα εκπέμψει στην περίπτωση κεραίας εκπομπής

9Η σχέση αυτή είναι εμπειρική και ισχύει για 05 lt h

λ lt 3

21

Σχήμα 36 Κεραία Yagi-Uda

Μία εξέλιξη των παραπάνω κεραιών είναι οι κεραίες Yagi-Udaπου ένα διάγραμμα ακτινοβολίας τέτοιας κεραίας παρατέθηκε

παραπάνω () Είναι ευθύγραμμες διπολικές κεραίες που α-

ποτελούνται από πέραν του ενός δίπολα τα οποία όμως δεν

τροφοδοτούνται όλα Τα μη τροφοδοτούμενα δίπολα ονομάζονται

παρασιτικά και τροφοδοτούνται επαγωγικά από τα υπόλοιπα Οι

κεραίες αυτές παρουσιάζουν αυξημένη κατευθυντικότητα σχετικά

με τις μη παρασιτικές κεραίες διπόλων Η πρώτη τέτοια κεραία

κατασκευάστηκε το 1926 και αποτελούταν από τρία δίπολα ένα

ενεργό και δύο παρασιτικά Στην περίπτωση που το παρασιτικό

δίπολο έχει μεγαλύτερο μήκος από του ενεργού ονομάζεται

ανακλαστήρας ενώ αν έχει μικρότερο ονομάζεται κατευθυντήρας

Μία γενική μορφή τέτοιας κεραίας φαίνεται στο διπλανό σχήμα με LR το μήκος του ανακλαστήρα και

LD το μήκος του κατευθυντήρα

bull Στοιχειοκεραίες Μία εξέλιξη των συρμάτινων κεραιών είναι οι στοιχειοκεραίες Οι

στοιχειοκεραίες αποτελούνται από πολλές κεραίες διπόλων τα στοιχεία τα οποία ενώνονται όλα σε

μία κοινή τροφοδοσία και αυτή είναι η βασική τους διαφορά από τις Yagi-Uda που έχουν παρασιτικά

στοιχεία και ο λόγος που οι τελευταίες δε θεωρούνται στοιχειοκεραίες Συστοιχείες λοιπόν πολλών

κεραιών φτιάχνουν τις στοιχειοκεραίες Ανάλογα με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της συστοιχίας

υπάρχουν κάποια είδη στοιχειοκεραιών όπως είναι οι γραμμικές (μία συστοιχία σε ευθεία γραμμή) και

οι επίπεδες (συστοιχείες συστοιχείων) Λόγω της ταυτόχρονης χρήσης πολλών κεραιών μπορούν να

συνδυάσουν τα χαρακτηριστικά τους δίνοντας δυνατότητα πολύπλοκων κατευθυντικών διαγραμμάτων

καθιστώντας τες κατάλληλες για πολλές εφαρμογές Συγκριτικά με μία κεραία μεγάλου μήκους που

θα έχει τα ίδια κατευθυντικά χαρακτηριστικά παρουσιάζει το πλεονέκτημα της εύκολης τροφοδο-

σίας της μηχανικής αντοχής και του μικρού κόστους εγκατάστασης και λειτουργίας Τέλος με

κατάλληλη τροφοδοσία του κάθε στοιχείου της μπορούμε να αλλάξουμε τα κατευθυντικά χαρακτηρι-

στικά της ΄Εχουν πολλές γεωμετρικές μορφές αλλά και είδη που θα αναφερθούν σε επόμενη παράγραφο

bull Κεραίες βρόχου ή πλαισίου Μία κεραία βρόχου αποτελείται από έναν κλειστό αγωγό σε

σχήμα βρόχου (ή και βρόχων) ο οποίος τροφοδοτείται σε ένα σημείο του Χωρίζονται σε κεραίες μικρού

και μεγάλου βρόχου συγκριτικά με το μήκος κύματος στο οποίο χρησιμοποιούνται10

Οι μικρού

βρόχου έχουν χαμηλή απόδοση και χρησιμοποιούνται κατά κόρον σε δέκτες χαμηλών συχνοτήτων

Εκτός από τους ραδιοφωνικούς δέκτες των αυτοκινήτων στους οποίους γίνεται μεγάλη χρήση των

κεραιών μικρού βρόχου το μεγαλύτερο ποσοστό των δεκτών AM χρησιμοποιούν τέτοιες κεραίες

Οι μεγάλου βρόχου έχουν ευρεία χρήση στους δέκτες VHF και UHF έχοντας και το επιπλέον

χαρακτηριστικό της μεταβλητής περιφέρειας δίνοντας δυνατότητα μεγαλύτερου εύρους συχνοτήτων

Γενικά οι κεραίες βρόχου είναι κεραίες με μεγάλη κατευθυντικότητα κάτι που τις κάνει ιδανικές σε

εφαρμογές εύρεσης κατεύθυνσης σήματος

bull Ελικοειδής κεραίες Μία ελικοειδής κεραία αποτελείται από έναν αγωγό που έχει τη μορφή

έλικας στον οποίο η τροφοδοσία είναι στο ένα του άκρο Αποτελεί συνδυασμό κεραίας βρόχου και

γραμμικής κεραίας οπότε μπορεί να εκπέμπει με δύο τρόπους (ρυθμούς) αξονικά και κάθετα στον άξονα

της έλικας κάτι που της δίνει βελτιωμένα χαρακτηριστικά συγκριτικά με τις δύο αυτές κατηγορίες

Χρησιμοποιείται κατά κόρον όπου απαιτείται κυκλική πόλωση σήματος σαν πομπός ή σε σήματα που

έχουν κυκλική πόλωση σαν δέκτης και έχει αρκετά μεγάλο εύρος ζώνης συχνοτήτων Ανάλογα με τα

χαρακτηριστικά που πρέπει να έχει μία ελικοειδής κεραία μπορεί να είναι ομοιόμορφη (όλες οι έλικες

ίδια διάμετρο) αυξανόμενης ελαττούμενης και αυξο-ελαττούμενης διαμέτρου ελίκων

bull Δικωνικές κεραίες ΄Αν δύο V ενωθούν κατακορυφήν σχηματίζεται μία δικωνική κεραία οι

οποίες έχουν αυξημένο εύρος συχνοτήτων Πολλές δικωνικές κεραίες έχουν τη δυνατότητα μεταβολής

10Σαν κεραία μικρού βρόχου θα χαρακτηριστεί η κεραία της οποίας η περιφέρεια θα είναι ίση ή μικρότερη από το ένα

δέκατο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας

22

του μήκους του βραχίονα τους δίνοντας ακόμα μεγαλύτερο εύρος Αν μία από τις δύο V κεραίες

αντικατασταθεί από μία αγώγιμη επιφάνεια σε σχήμα δίσκου έχουμε τη δισκωνική κεραία στην οποία

ο δίσκος λειτουργεί ως ανακλαστήρας Είναι κεραίες μικρής κατευθυντικότητας και χαμηλού κέρδους

και χρησιμοποιούνται πολύ σαν κεραίες ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών εκπομπών

bull Σπειροειδής κεραίες Οι σπειροειδής κεραίες είναι κεραίες με μεγάλο εύρος ζώνης

συχνοτήτων και μεγάλης κατευθυντικότητας Αποτελούνται από μία ή δύο αγωγούς που έχουν σχήμα

σπείρας και όσο μικρότερη γωνία ανοίγματος σπείρας έχουν τόσο μεγαλύτερη κατευθυντικότητα

Μπορεί να είναι επίπεδες ή κωνικές και η πόλωση του σήματος που λαμβάνουν ή εκπέμπουν είναι

ανάλογη με τη φορά των σπειρών Το εύρος συχνοτήτων τους δίνεται από το λόγο μεγαλύτερης προς

μικρότερης διαμέτρου άν και στην πραγματικότητα είναι λίγο μικρότερο του λόγου αυτού Μία αρκετά

διαδεδομένη σπειροειδής κεραία είναι η rdquoσπειροειδής του Αρχιμήδηrdquoη οποία αποτελείται από δύο σπε-

ίρες με r1 = r0φ και r2 = r0(φminusπ) οι οποίες συνήθως κατασκευάζονται πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα11

bull Κεραίες χοάνης Οι κεραίες χοάνης αποτελούνται από έναν αγωγό ο οποίος είναι από το

ένα άκρο του ανοιχτός και διεγείρεται από το άλλο του άκρο Με σωστή ρύθμιση έχουν μεγαλύτερη

απόδοση από τις συρμάτινες Ανάλογα με το σχήμα του αγωγού μπορεί να υπάρχουν αρκετά είδη

τέτοιων κεραιών τρία εκ των οποίων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα () Η κατευθυντικότητα της

είναι ανάλογη της γωνίας ανοίγματος της Στην πράξη συναντούμε ελάχιστες κεραίες χοάνης μόνες

τους αλλά σε συνδυασμό με έναν ανακλαστήρα έχουν πολύ διαδεδομένη χρήση λόγω της πολύ μεγάλης

κατευθυντικότητας που προσφέρουν ειδικά στις περιπτώσεις που ο ανακλαστήρας είναι παραβολικός

όπου υπάρχει η δυνατότητα παραγωγής πολύ στενής δέσμης υψηλού κέρδους και χαμηλού θορύβου

Χρησιμοποιούνται πολύ στις δορυφορικές επικοινωνίες και η πιο συνηθισμένη τους μορφή είναι τα umlπιάταrsquo

που χρησιμοποιούνται για τη λήψη δορυφορικών σημάτων

Σχήμα 37 Κεραίες χοάνης α)τομέας β)πυραμοειδής και γ)κωνική

bull Λογαριθμικές περιοδικές κεραίες Είναι κεραίες των οποίων τα μορφολογικά χα-

ρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με την απόσταση από την αρχή της κεραίας Υπάρχει ένα

επαναλαμβανόμενο στοιχείο κεραίας το οποίο μεγαλώνει όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της

κεραίας Μπορεί να είναι μία πλάκα με οδοντώσεις το μέγεθος των οποίων μεταβάλλεται ένα σύρμα

11Οι κεραίες που είναι κατασκευασμένες πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα ή αλλιώς σε μικροταινίες ανήκουν και στην

κατηγορία των μικροταινιακών κεραιών πολύ διαδεδομένη στις ηλεκτρονικές φορητές συσκευές που λειτουργούν στην

περιοχή των μικροκυμάτων (λόγω διαστάσεων κεραιών είναι ιδανικές για την περιοχή αυτή)

23

Σχήμα 38 Λογαριθμική περιοδική κεραία

το οποίο διπλώνεται κατάλληλα και το μέγεθος της κάθε δίπλωσης μεταβάλλεται ή ακόμα και από

δίπολα το μήκος των οποίων μεταβάλλεται Πολλές κεραίες που ανήκουν σε παραπάνω κατηγορίες είναι

λογαριθμικές μπορεί να είναι λογαριθμικές αν η μεταβολή των επαναλαμβανόμενων στοιχείων ακολουθεί

το συγκεκριμένο πρότυπο Μία τέτοια φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () η οποία ανήκει στην

κατηγορία των στοιχειοκεραίων Λόγω των επαναλαμβανόμενων στοιχείων των οποίων συνδυάζουν τα

χαρακτηριστικά μπορούν να έχουν πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων και συγκεκριμένα εύρος μίας τάξης

μεγέθους επιτυγχάνεται εύκολα και μπορούν να έχουν και αρκετά μεγάλη κατευθυντικότητα Βρίσκουν

πολλές εφαρμογές στις επικοινωνίες υψηλών συχνοτήτων και ειδικά στα τηλεοπτικά σήματα αφού με

μία κεραία μπορεί κάποιος να λαμβάνει ικανοποιητικά όλα τα διαθέσιμα κανάλια χωρίς καμία προσαρμογή

34 Στοιχειοκεραίες

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω η μορφή του διαγράμματος εκπομπής και λήψης των κεραιών

εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της κεραίας Σε πολλές εφαρμογές απαιτούνται κεραίες μεγάλου

κέρδους ή αλλιώς μεγάλης κατευθυντικότητας Μία κεραία για να έχει μεγάλη κατευθυντικότητα

θα πρέπει να έχει πολύ μεγάλο μέγεθος Το πρόβλημα αυτό λύνεται φτιάχνοντας σύνθετες κεραίες

Κεραίες που αποτελούνται από μικρότερες κεραίες είτε όμοιες μεταξύ τους είτε ανόμοιες Τέτοιες

συστοιχίες κεραιών όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ονομάζονται στοιχειοκεραίες Το κάθε στοιχείο

μίας στοιχειοκεραίας μπορεί να είναι οποιασδήποτε μορφής κεραία (σύρματος οπής κλπ) με βασικό

χαρακτηριστικό όλα τα στοιχεία να έχουν κοινή τροφοδοσία Το συνολικό πεδίο θα είναι το διανυ-

σματικό άθροισμα των πεδίων κάθε στοιχείου ξεχωριστά Οπότε μπορούμε να έχουμε το επιθυμητό

πεδίο φτιάχνοντας την κεραία μας έτσι ώστε στα σημεία που θέλουμε μεγάλο κέρδος να συμβάλουν

εποικοδομητικά τα πεδία των στοιχείων της κεραίας και στα σημεία που δεν θέλουμε να ακτινοβολεί να

έχουμε καταστροφική συμβολή

Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας θα εξαρτάται από τους εξείς παράγοντες

bull Τη γεωμετρία της στοιχειοκεραίας ( γραμμικήκυκλικήορθογώνια σφαιρική κλπ)

bull Την απόσταση μεταξύ των στοιχείων της κεραίας

bull Την ένταση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

bull Τη φάση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

24

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

υπάρχουν όπως πχ η περίπτωση ο διαιρέτης να είναι μηδέν και το υπόριζο να είναι αρνητικός αριθ-

μός που μπορεί να οδηγήσουν σε λανθασμένα αποτελέσματα ή ακόμα και σε αποτυχία εκτέλεσης

του αλγορίθμου

bull Περατότητα - Finiteness Κάθε εκτέλεση πρέπει να είναι πεπερασμένη Δηλαδή να τελειώνει

ύστερα από έναν πεπερασμένο αριθμό διεργασιών ή βημάτων Μία διαδικασία που δεν τελειώνει

μετά από συγκεκριμένο ή έστω πεπερασμένο αριθμό βημάτων λέγεται απλά υπολογιστική διαδικα-

σία

bull Αποτελεσματικότητα - Effectiveness Να είναι μηχανιστικά αποτελεσματικός δηλαδή όλες

οι διαδικασίες που περιλαμβάνει να μπορούν να πραγματοποιηθούν με ακρίβεια και σε πεπερασμένο

χρόνο από τον σχεδιαστή ή προγραμματιστή του αλγορίθμου Κάθε μεμονωμένη εντολή του

αλγορίθμου πρέπει να είναι απλή και όχι σύνθετη (ανάλογα με τις δυνατότητες της γλώσσας

προγραμματισμού στην οποία υλοποιείται) Δηλαδή μία εντολή δεν αρκεί να έχει ορισθεί αλλά

πρέπει να είναι και εκτελέσιμη

bull Είσοδος δεδομένων - Input Κατά την εκκίνηση εκτέλεσης του αλγορίθμου καμία μία ή

περισσότερες τιμές δεδομένων πρέπει να δίνονται ως είσοδοι στον αλγόριθμο Η περίπτωση που

δε δίνονται τιμές δεδομένων εμφανίζεται όταν ο αλγόριθμος δημιουργεί και επεξεργάζεται κάποιες

πρωτογενείς τιμές με τη βοήθεια συναρτήσεων παραγωγής τυχαίων αριθμών ή με τη βοήθεια άλλων

απλών εντολών

bull ΄Εξοδος αποτελεσμάτων - Output Να δίνει τουλάχιστον ένα μέγεθος ως αποτέλεσμα

που εξαρτάται κατά κάποιο τρόπο από τις αρχικές εισόδουςΟ αλγόριθμος πρέπει να δημιουργεί

τουλάχιστον μία τιμή (δεδομένων) ως αποτέλεσμα προς το χρήστη ή προς ένα άλλο αλγόριθμο

΄Ενας αλγόριθμος μπορεί να υλοποιηθεί είτε μηχανικά με κάποιο ολοκληρωμένο ακολουθιακό

κύκλωμα είτε με κάποιο λογισμικό Ανάλογα με την πολυπλοκότητά του γίνεται και η κατάλληλη

επιλογή αλλά με οποιοδήποτε τρόπο γίνει η υλοποίηση η rdquoσυμπεριφοράrdquoτου πρέπει να είναι η ίδια

Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι μία αριθμομηχανή Αν είναι απλά μία ηλεκτρονική συσκευή οι

πράξεις γίνονται καθαρά μηχανικά μέσω των ολοκληρωμένων κυκλωμάτων που την αποτελούν Αν είναι

πρόγραμμα σε έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή οι πράξεις γίνονται από τον επεξεργαστή του ηλεκτρονικού

υπολογιστή με τρόπο που καθορίζεται από το λογισμικό που υλοποιεί την αριθμομηχανή Ο αλγόριθμος

βάσει του οποίου θα γίνουν οι πράξεις είναι και στις δύο περιπτώσεις ο ίδιος και φυσικά το αποτέλεσμα

της ίδιας πράξεις και στις δύο υλοποιήσεις θα είναι το ίδιο ΄Ολες οι γλώσσες προγραμματισμού ή σχε-

δίασης ψηφιακών συστημάτων είναι στην ουσία εργαλεία υλοποίησης αλγορίθμων Κάθε ολοκληρωμένο

ακολουθιακό κύκλωμα και κάθε πρόγραμμα ηλεκτρονικού υπολογιστή που έχει σχεδιαστεί στηρίζεται

σε έναν αλγόριθμο ή αλλιώς είναι η υλοποίηση ενός από πολύ απλού μέχρι πολύ σύνθετου αλγορίθμου

12 Βελτιστοποίηση

Η χρησιμότητα των αλγορίθμων είναι τεράστια ειδικά στη μελέτη πολύπλοκων προβλημάτων που

απαιτούν πολλές και δύσκολες πράξεις Για το λόγο αυτό αναπτύσσονται καινούριοι αλγόριθμοι και

μελετούνται ήδη υπάρχοντες από και για όλους τους επιστημονικούς κλάδους Η μελέτη και ανάπτυξη

αλγορίθμων αποτελεί τη rdquoΘεωρία Αλγορίθμωνrdquo Με τη θεωρία αυτή ασχολείται κατά κόρον η επιστήμη

των υπολογιστών και του προγραμματισμού παρέχοντας στους υπόλοιπους επιστημονικούς κλάδους

χρήσιμα εργαλεία για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων ΄Οσο γίνονται πιο πολύπλοκα τα προβλήματα

που απαιτούν λύση τόσο πιο πολύπλοκοι και rdquoέξυπνοιrdquoγίνονται και οι αλγόριθμοι Ειδικά σε προ-

βλήματα των οποίων η λύση δεν μπορεί να δοθεί μέσω πράξεων και μονοσήμαντα η χρήση πολύπλοκων

αλγορίθμων είναι απαραίτητη Τέτοια προβλήματα λύνονται με μεθόδους βελτιστοποίησης4 Οι μέθοδοι

αυτές απαιτούν πολλές δοκιμές τιμών των παραμέτρων ενός συστήματος μέχρι τη βέλτιστη τιμή της

4Ο όρος της βελτιστοποίησης στα εφαρμοσμένα μαθηματικά αναφέρεται στην αναζήτηση βέλτιστων παραμέτρων ενός

- συνήθως περίπλοκου - συστήματος

3

ζητούμενης συνάρτησης (ελάχιστη ή μέγιστη) Αν δεν είναι μία η προς βελτιστοποίηση συνάρτηση

η διαδικασία ονομάζεται βελτιστοποίηση με πολλαπλά κριτήρια που είναι η διαδικασία της ταυτόχρονης

βελτιστοποίησης δυο ή περισσότερων αντικρουόμενων ζητημάτων με διαφόρους περιορισμούς σε ένα

πρόβλημα

Με μαθηματικούς όρους το πρόβλημα βελτιστοποίησης με πολλαπλά κριτήρια μπορεί να διατυπωθεί

ως εξής (για ελαχιστοποίηση συνάρτησης)

minx [micro1(x) micro2(x) micron(x)]T όταν ισχύουν g(x) le 0 h(x) = 0 και xl le x le xu

όπου microi είναι η αντικειμενική συνάρτηση του i κριτηρίου τα g και h είναι οι περιορισμοί ανισότητας και

ισότητας αντίστοιχα και το x είναι το διάνυσμα των μεταβλητών βελτιστοποίησης ή απόφασης Η λύση

για το ανωτέρω πρόβλημα είναι ένα σύνολο από σημεία Pareto Οι λύσεις Pareto είναι εκείνες για της

όποιες η βελτιστοποίηση ενός κριτηρίου μπορεί να επέλθει μόνο με την χειροτέρευση ενός τουλάχιστον

κριτηρίου Παρόλα αυτά αντί για μια μόνο λύση στο πρόβλημα (κάτι το οποίο είναι τυπικά η περίπτωση

του παραδοσιακού μαθηματικού προγραμματισμού) η λύση σε ένα πρόβλημα πολλαπλών κριτηρίων είναι

μια σειρά (πιθανότατα άπειρων) σημείων Pareto5

Υπάρχουν αρκετοί τρόποι επίλυσης τέτοιων προβλημάτων Οι πιο διαδεδομένοι είναι

bull Κατασκευή συναθροίσματος αντικειμενικών συναρτήσεων (Aggregate Objec-tive Function - AOF) Αυτή είναι ίσως η πιο διαισθητική προσέγγιση για την επίλυση προ-

βλημάτων με πολλαπλά κριτήρια Η βασική ιδέα είναι να συνδυαστούν όλες οι αντικειμενικές

συναρτήσεις σε μια μόνο συναρτησιακή μορφή η οποία ονομάζεται AOF ΄Ενας γνωστός συνδυα-

σμός είναι το σταθμισμένο γραμμικό άθροισμα των κριτηρίων Ορίζουμε κάποιο rdquoβάροςrdquoγια το

κάθε προς βελτιστοποίηση κριτήριο (έναν παράγοντα με τον οποίο θα το πολλαπλασιάσουμε) και

στη συνέχεια τα συνδυάζουμε σε μια συνάρτηση αθροισμάτων όλων των όρων που δημιουργήσαμε

η οποία θα μπορεί να επιλυθεί με απλή βελτιστοποίηση Ξεκάθαρα η λύση που θα προκύψει θα

βασίζεται στις τιμές (πιο συγκεκριμένα τις σχετικές τιμές) των παραγόντων που καθορίστηκαν

Για παράδειγμα αν προσπαθούμε να μεγιστοποιήσουμε την δύναμη ενός εξαρτήματος μιας μηχανής

και να ελαχιστοποιήσουμε το κριτήριο του κόστους και αν έχει οριστεί υψηλότερο rdquoβάροςrdquoγια το

κριτήριο κόστους έναντι αυτού της δύναμης η λύση μας θα ικανοποιεί τα κριτήρια της μείωσης του

κόστους έναντι στην αύξηση της δύναμης Παρόλα αυτά μπορεί να παρατηρηθεί ότι η μέθοδος

αυτή είναι κατά βάση υποκειμενική καθώς τα βάρη ορίζονται από το χρήστη ή προγραμματιστή

και ότι δεν μπορεί να προσεγγίσει όλες τις βέλτιστες λύσεις (σημεία Pareto) του προβλήματος

bull Μέθοδοι NBI NC SPO Οι μέθοδοι NBI (Λογικής Οριακής Διατομής Normal BoundaryIntersection ) NC (Λογική Σύγχυση Normal Constraint ) και SPO (Διαδοχικής Pareto Βελτι-

στοποίησης Successive Pareto Optimization ) επιλύουν προβλήματα βελτιστοποίησης πολλαπλών

κριτηρίων κατασκευάζοντας διάφορες AOF Η επίλυση της κάθε τέτοιας συνάρτησης αποδίδει ένα

σημείο λύσης Pareto κάτω από κάποιες υποθέσεις Εάν οι υποθέσεις δεν ισχύουν τότε η μέθοδος

NC προτείνει την αφαίρεση των μη αποδεκτών σημείων διαδοχικά με ένα κατάλληλο φίλτρο Οι

AOF κατασκευάζονται με σκοπό να αποκτήσουν εν τέλη διανεμημένα σημεία Pareto τα οποία

δίνουν μια καλή εντύπωση (διαδικασία προσέγγισης) του πραγματικού συνόλου των αποδεκτών

σημείων Οι μέθοδος NC και SPO δημιουργούν λύσεις που αναπαριστούν μερικές περιφερειακές

περιοχές του συνόλου των σημείων Pareto για περισσότερα από 2 κριτήρια τα οποία είναι γνωστό

πως δεν αναπαρίστανται από τις λύσεις που δημιουργούνται από την μέθοδο NBI

bull Εξελικτικοί Αλγόριθμοι Οι αλγόριθμοι που ανήκουν στην εξελικτική υπολογιστική (ή εξε-

λικτικό λογισμό) είναι πολύ δημοφιλείς προσεγγίσεις στις βελτιστοποιήσεις πολλαπλών κριτηρίων

στους οποίους θα αναφερθούμε εκτενώς

5΄Ενα σημείο σχεδιασμού στον αντικειμενικό χώρο microlowast

ορίζεται ως βέλτιστο Pareto αν δεν υπάρχει κανένα άλλο εφικτόδιάνυσμα μ τέτοιο ώστε microi le microlowast

i για όλα τα i isin 1 2 n και microj lt microlowastj για τουλάχιστον έναν δείκτη j όπου j isin

1 2 n

4

Η Εξελικτική Υπολογιστική (ή Εξελικτικός Λογισμός) αποτελεί έναν κλάδο της τεχνητής νοη-

μοσύνης η ανάπτυξή του οποίου προέκυψε από τη μελέτη των έμβιων οργανισμών και η λογική της

βασίζεται σε έννοιες που καθορίζουν την εξέλιξη και επιβίωση τους όπως αυτές του πληθυσμού της

μετάλλαξης και της φυσικής επιλογής (επιβίωση του πιο προσαρμοσμένου) Βάσει κάποιων θεωριών

και πρακτικών εμπνευσμένων από τη φύση αναπτύσσεται μία μέθοδος για την αναπαράσταση και την

επεξεργασία των δεδομένων ενός προβλήματος με σκοπό την ακριβέστερη επίλυση του Πιθανές λύσεις

αναπαρίστανται σαν οντότητες ή άτομα ενός πληθυσμού ο οποίος μέσω των εκάστοτε διαδικασιών

οδηγεί στην επιλογή των βέλτιστων ή της βέλτιστης όλων των πιθανών λύσεων μέσω της εξέλιξης

του Οι μέθοδοι αυτές μπορούν να διακριθούν περαιτέρω σε εξελικτικούς αλγόριθμους (EvolutionaryAlgorithms) και σε νοημοσύνης (ή λογικής) σμήνους (Swarm Intelligence) όπως πχ οι αλγόριθμοι

που προσομοιάζουν τη συμπεριφορά μίας κοινωνίας μυρμηγκιών ΄Ενας τέτοιος αλγόριθμος βασισμένος

στον εξελικτικό λογισμό βελτιστοποιεί τις λύσεις με τη μέθοδο metaheuristicΣτους Εξελικτικούς

Αλγόριθμους χρησιμοποιούνται μηχανισμοί εμπνευσμένοι από την βιολογική εξέλιξη αναπαραγωγή

μετάλλαξη συνδυασμός και επιλογή Οι υποψήφιες λύσεις για το πρόβλημα βελτιστοποίησης παίζουν

το ρόλο των ατόμων ενός πληθυσμού και η fitness function (συνάρτηση του προβλήματος) καθορίζει

το περιβάλλον μέσα στο οποίο οι λύσεις αυτές umlζουνuml Η εξέλιξη των πληθυσμών γίνεται μετά από

επαναλαμβανόμενη εφαρμογή των παραπάνω τελεστών Η τεχνητή εξέλιξη (artifitial evolution (AE))περιγράφει τη διαδικασία περιέχοντας ξεχωριστούς εξελικτικούς αλγόριθμους Οπότε οι Εξελικτικοί

Αλγόριθμοι αποτελούν μία μέθοδο τεχνητής εξέλιξης και οι αλγόριθμοι αυτοί ανήκουν στο χώρο της

τεχνητής νοημοσύνης6 Οι αλγόριθμοι που βασίζονται στη λογική (ή νοημοσύνη) σμήνους αναπαρι-

στούν τις λύσεις ως αυτόνομους οργανισμούς που ονομάζονται πράκτορες ή διαμεσολαβητές (boids) οι

οποίοι αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και με το περιβάλλον που έχει σχεδιαστεί να τους περιβάλλει και η

βελτιστοποιημένη λύση δημιουργείται από τις αλληλεπιδράσεις αυτές οδηγώντας όλους τους πράκτορες

σε μία βέλτιστη και καθολική rdquoσυμπεριφοράrdquo

Οι αλγόριθμοι που βασίζονται στον εξελικτικό λογισμό λειτουργούν πολύ ικανοποιητικά προ-

σεγγίζοντας λύσεις για όλων των ειδών τα προβλήματα γιατί έχουν το ιδανικό χαρακτηριστικό να

μην κάνουν καμία υπόθεση και να μη χρειάζεται να έχουν γνώση του περιβάλλοντος που rdquoζουνrdquoοιπληθυσμοί που θα επεξεργαστούν Αυτό φαίνεται από τις επιτυχίες που έχουν σε τόσο διαφορετικά

μεταξύ τους πεδία όπως είναι η μηχανική η τέχνη η βιολογία τα οικονομικά το marketing η γε-

νετική η επιχειρησιακή έρευνα η ρομποτική οι κοινωνικές επιστήμες η φυσική η πολιτική και η χημεία

Με τον όρο metaheuristic 7μέθοδο στην υπολογιστική επιστήμη υποδεικνύεται μία υπολογιστική

μέθοδο η οποία βελτιστοποιεί ένα πρόβλημα προσπαθώντας με πολλές επαναλήψεις να βελτιώσει μία

υποψήφια λύση με βάση κάποιο δεδομένο μέτρο ποιότητας Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιεί λίγες ή και

καθόλου υποθέσεις σχετικά με το πρόβλημα το οποίο βελτιστοποιεί και έχει τη δυνατότητα να ερευνήσει

μεγάλα διαστήματα υποψήφιων λύσεων Πολλές τέτοιες μέθοδοι υλοποιούν μία μορφή πιθανολογικής

βελτιστοποίησης (stochastic optimization )

Χρησιμοποιώντας τον όρο Stochastic optimization (SO)(στοχαστική ή πιθανολογική βελτιστοπο-

ίηση) αναφερόμαστε σε μεθόδους βελτιστοποίησης οι οποίες παράγουν και χρησιμοποιούν τυχαίες

μεταβλητές Στα στοχαστικά προβλήματα (stochastic problems)οι τυχαίες μεταβλητές εμφανίζονται

στη διατύπωση του προβλήματος βελτιστοποίησης που περιέχει τυχαίες αντικειμενικές συναρτήσεις ή τυ-

χαίους περιορισμούς Μία άλλη κατηγορία στοχαστικών μεθόδων βελτιστοποίησης περιέχουν μεθόδους

με τυχαίες επαναλήψεις Μερικές χρησιμοποιούν τυχαίες επαναλήψεις ώστε να λύσουν στοχαστικά

προβλήματα συνδυάζοντας και τις δύο έννοιες ή κατηγορίες της στοχαστικής βελτιστοποίησης Οι

μέθοδοι στοχαστικής βελτιστοποίησης γενικεύουν αιτιοκρατικές μεθόδους για αιτιοκρατικά προβλήματα

6Λογισμικά ή πλήρεις μηχανές οι οποίες μπορούν να επιλύουν με αποδεκτά αποτελέσματα ρεαλιστικά υπολογιστικά

προβλήματα οποιουδήποτε τύπου χαρακτηρίζονται ως ασθενής Τεχνητής Νοημοσύνης Ως ισχυρής Τεχνητής νοημοσύνης

χαρακτηρίζονται μηχανικά ανδροειδή ή αυτοσυνείδητα προγράμματα υπολογιστή7΄Αλλοι όροι που έχουν παρόμοια σημασία με τον όρο metaheuristic είναι derivative-free (χωρίς παράγωγο)direct

search (άμεση αναζήτηση)black-box (μαύρο κουτί) ή απλά heuristic optimizer(ευρετική βελτιστοποίηση)

5

13 Αλγόριθμοι και μέθοδοι βελτιστοποίησης

Πολλοί αλγόριθμοι έχουν σχεδιαστεί που να χρησιμοποιούν την παραπάνω μέθοδο Παρακάτω α-

ναφέρονται οι δημοφιλέστερες κατηγορίες των εξελικτικών αλγορίθμων που υπάρχουν με περιληπτική

περιγραφή των αρχών ή θεωριών στις οποίες βασίζονται8 Οι Ant Colony Optimization και Particle

Swarm Optimization (PSO) τυπικά δεν ανήκουν στους Εξελικτικούς Αλγόριθμους γιατί βασίζονται στη

Νοημοσύνη Σμήνους αλλά αναφέρονται λόγω ευρείας χρήσης στη βελτιστοποίηση πολλαπλών κριτηρίων

Ant Colony Optimization (ACO)

Αλγόριθμος βελτιστοποίησης συναρτήσεων του οποίου η θεωρία στηρίζεται στις αποικίες μυρ-

μηγκιών και στον τρόπο εύρεσης φαγητού και ανήκει στην οικογένεια των αλγορίθμων που βασίζονται

σε μεθόδους λογικής σμήνους (swarm intelligence) Αρχικά τα μυρμήγκια κινούνται τυχαία προς

αναζήτηση τροφής ΄Οταν κάποιο βρει τροφή γυρνώντας στη φωλιά αφήνει ένα ίχνος από φερορμόνες

Το ίχνος αυτό ελκύει τα υπόλοιπα μέλη της αποικίας να το ακολουθήσουν και να βρουν την τροφή

΄Οσο πιο πολλά ακολουθούν τόσο πιο έντονο γίνεται το ίχνος ΄Αν έχουν δημιουργηθεί πέραν του

ενός μονοπάτια σε λίγη ώρα το πιο σύντομο θα χρησιμοποιείται από πιο πολλά μυρμήγκια οπότε θα

έχει πιο έντονο ίχνος και σιγά σιγά θα γίνει το επικρατέστερο με τελικό αποτέλεσμα να γίνει το μόνο

μονοπάτι που ακολουθεί όλη η αποικία Χρησιμοποιώντας την παραπάνω λογική κάθε πιθανή λύση

αναπαρίσταται ώς ένα μυρμήγκι και κάθε τιμή κάθε παραμέτρου του προβλήματος με τα σημεία από τα

οποία μπορεί να περάσει κάθε μυρμήγκι Μετά από αρκετές επαναλήψεις καταλήγουν τα μυρμήγκια να

ακολουθούν όλα την ίδια διαδρομή ΄Εχουν επιλεχθεί δηλαδή οι βέλτιστες τιμές κάθε παραμέτρου και

οι λύσεις είναι οι βέλτιστες

Particle Swarm Optimization (PSO)

Είναι μία μετευρετική (metaheuristic) μέθοδος βελτιστοποίησης Η μέθοδος αυτή επιχειρεί

την βελτιστοποίηση ενός προβλήματος προσπαθώντας με επαναληπτικές διαδικασίες να βελτιώσει

μία υποψήφια λύση βάσει κάποιου κριτηρίου ποιότητας ΄Εχει το χαρακτηριστικό των μεθόδων που

στηρίζονται στη λογική σμήνους η οποία είναι πως η κίνηση κάθε ατόμου του πληθυσμού επηρεάζει

την κίνηση των υπολοίπων Αρχικά δημιουργείται ένας πληθυσμός με τυχαίες διαδικασίες ο οποίος

πληθυσμός κινείται στον ορισμένο χώρο βάσει απλών μαθηματικών μοντέλων που καθορίζουν τη

θέση και την ταχύτητα του κάθε μέλους του Κάθε μέλος έχει το τοπικό του μέγιστο από το

οποίο επηρεάζεται και καθοδηγείται προς το καλύτερο τοπικό μέγιστο της εγγύς περιοχής που είναι

σημεία που βρέθηκαν από άλλα μέλη ΄Ετσι τείνουν να κινηθούν όλα τα μέλη προς τα μέγιστα που

ανακαλύπτονται κατά τη διάρκεια της διαδικασίας ΄Ως μετευρετική μέθοδος απαιτεί ελάχιστες ως και

καθόλου αρχικές υποθέσεις βασισμένες στο πρόβλημα και μπορεί να ερευνήσει πολύ μεγάλο εύρος

πιθανών λύσεων χωρίς όμως να εγγυάται την εύρεση μίας βέλτιστης λύσης για κάποιο πρόβλημα

Differential Evolution (DE)

Οι αλγόριθμοι Διαφορικής Εξέλιξης βρίσκουν τη βέλτιστη λύση ενός προβλήματος δημιουρ-

γώντας ένα σύνολο υποψήφιων λύσεων το οποίο αποτελεί τον πληθυσμό Κάθε λύση κινείται σε

έναν ορισμένο χώρο χρησιμοποιώντας απλούς μαθηματικούς τύπους για να καθοριστεί η συνδυασμένη

κίνησή τους ΄Αν η καινούρια θέση μίας λύσης οδηγεί σε βελτίωση του συνόλου η λύση αυτή διατηρείται

Αλλιώς καταργείται και αντικαθίσταται από μία άλλη που προκύπτει από συνδυασμό των υπόλοιπων

που διατηρήθηκαν Η διαδικασία συνεχίζει μέχρι να φτάσει σε μία βέλτιστη λύση βάσει των κριτηρίων

που έχουν οριστεί Η σύγκριση της παρούσας από την παρελθοντική τιμή της συνάρτησης δίνει το

διαφορικό χαρακτήρα στους αλγόριθμους Χαρακτηριστικό και αρνητικό των αλγορίθμων αυτών είναι

ότι δεν είναι σίγουρο ότι θα φτάσουν στη βέλτιστη λύση γιατί εξαρτάται η εξέλιξη της διαδικασίας

8Κάθε μία από τις κατηγορίες αυτές δημιουργήθηκαν σαν αλγόριθμοι αλλά λόγω των πολλών παραλλαγών τους που

υπάρχουν πλέον θεωρούνται κατηγορίες αλγορίθμων ή ακόμα και κατηγορίες μεθόδων βελτιστοποίησης

6

από τον αρχικό πληθυσμό ΄Εχει αρκετές ομοιότητες με τη προηγούμενη μέθοδο βελτιστοποίησης με

βασικές διαφορές ότι η επόμενη λύση σε αυτή τη μέθοδο εξαρτάται από την προηγούμενη ενώ στην AntColony όχι και ότι δεν εξερευνά όλες τις πιθανές λύσεις αλλά τις λύσεις που υπάρχουν στον αρχικό

πληθυσμό της και κάποιους συνδυασμούς αυτών ενώ η Ant Colony μπορεί να εξετάσει όλα τα πιθανά

σημεία που υπάρχουν

Evolutionary Strategy (ES)

Η μέθοδος αυτή βασίζεται στην ιδέα της προσαρμογής και εξέλιξης των ειδών Χρησιμοποιεί

φυσικούς μηχανισμούς για την αναπαράσταση και βελτιστοποίηση των προβλημάτων Κύρια χαρακτηρι-

στικά εξέλιξης των λύσεων είναι η μετάλλαξη και η επιλογή Το πλήθος των λύσεων αποτελεί μία γενιά

Αρχικά δημιουργείται τυχαία μία γενιά οι αρχικοί γονείς Η επόμενη γενιά δημιουργείται από μετάλλαξη

της προηγούμενης των γονέων Αν οι απόγονοι είναι καλύτεροι ή έστω ισάξιοι με τους γονείς παίρνουν

τη θέση τους και γίνονται οι γονείς της επόμενης γενιάς αλλιώς απορρίπτονται Η μετάλλαξη των

γονέων γίνεται με προσθήκη τυχαίας μεταβλητής (από κανονική κατανομή) σε κάποια συνιστώσα τους

Λόγω της τυχαίας μετάλλαξης είναι πιο πιθανό να φτάσουν σε βέλτιστη λύση από τους αλγόριθμους

διαφορικής εξέλιξης Αλλά έχουν το αρνητικό της καταστροφής των γονέων χάνοντας έτσι κάποια

πιθανώς καλά μέλη τους πληθυσμού Το αρνητικό αυτό μπορεί κάπως να μετριαστεί δημιουργώντας

πάνω από έναν απογόνους από κάθε γονέα και κάνοντας επιλογή των καλύτερων για την επόμενη γενιά

Genetic Algorithm (GA)

Μία παραλλαγή της παραπάνω μεθόδου είναι οι Γενετικοί Αλγόριθμοι Και στη μέθοδο αυτή

υπάρχει η έννοια των γενεών Κάθε λύση αναπαρίσταται ως ένα χρωμόσωμα ή γενότυπο Δη-

μιουργείται τυχαία ο αρχικός πληθυσμός και υπολογίζεται η τιμή της συνάρτησης που θέλουμε να

βελτιστοποιήσουμε για κάθε μέλος της Επιλέγονται τα καλύτερα μέλη της γενιάς βάση των υπολογι-

σμένων τιμών τα οποία θα αποτελέσουν τους γονείς για την επόμενη Στη συνέχεια δημιουργείται η

νέα γενιά μέσω του μηχανισμού της αναπαραγωγής των γονέων κυρίως και ίσως με τυχαία μετάλλαξη

κάποιων γονέων Υπολογίζεται η νέα τιμή της συνάρτησης για κάθε μέλος και επιλέγονται οι γονείς

για την επόμενη γενιά Μέσω της επαναληπτικής αυτής διαδικασίας ο αλγόριθμος βελτιστοποιεί την

τιμή της συνάρτησης του προβλήματος Ο τερματισμός του αλγορίθμου γίνεται είτε όταν επιτευχθεί

μία επιθυμητή τιμή της συνάρτησης ή αν ολοκληρωθεί συγκεκριμένος αριθμός επαναλήψεων ή χρόνος

εκτέλεσης χωρίς να βρεθεί βέλτιστη λύση Λόγω του μηχανισμού της αναπαραγωγής έχει το αρνητικό

ότι εξαρτάται και αυτή η μέθοδος από την αρχική τυχαία επιλογή του πληθυσμού κάτι που όμως

δεν έχει τόση βαρύτητα όπως στη μέθοδο Διαφορικής Εξέλιξης λόγω του ότι χρησιμοποιείται και η

τυχαία μετάλλαξη σαν μηχανισμός δημιουργίας απογόνων Ακόμα έχουν το αρνητικό της προηγούμενης

μεθόδου ότι οι γονείς που θα βγάλουν καλύτερους απογόνους καταστρέφονται

Stud Genetic Algorithm (StudGA)

Ο αλγόριθμος αυτός είναι μία παραλλαγή των Γενετικών Αλγορίθμων που δίνει καλύτερα απο-

τελέσματα Αντί να δημιουργεί έναν αρχικό πληθυσμό (stud) δημιουργεί μία αρχική πιθανή λύση

η οποία στη συνέχεια μεταλλάσσεται για τη δημιουργία του αρχικού πληθυσμού Κάθε πιθανή λύση

έχει τη δυνατότητα να αλλάξει με ανακάτεμα των βιτς που αντιπροσωπεύουν το χρωμόσωμα της

βάσει προκαθορισμένης πιθανότητας Στη συνέχεια το καλύτερο χρωμόσωμα ή αλλιώς η καλύτερη

λύση επιλέγεται ως αρχική (stud) βάσει της οποίας θα δημιουργηθεί ο καινούριος πληθυσμός και η

διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να τερματιστεί ο αλγόριθμος Στην ουσία αυτή είναι και η βασική

του διαφορά από τους υπόλοιπους Γενετικούς αλγόριθμους χρησιμοποιεί την καλύτερη λύση κάθε

γενιάς για μοναδικό rdquoγονέαrdquoκάθε επόμενης γενιάς χαρακτηριστικό που βελτιώνει συγκριτικά με τους

απλούς Γενετικούς Αλγόριθμους τις επιδόσεις του

7

Biogeography-Based Optimization (BBO)

Είναι ένας αλγόριθμος που βασίζεται στη βιογεωγραφία Η βιογεωγραφία μελετάει την ανάπτυξη και

εξέλιξη διαφόρων ειδών σε γειτονικές περιοχές τις οποίες ονομάζει umlνησιάuml Κάθε umlνησίrsquo είναι και μία

λύση του προβλήματος Τα είδη είναι οι παράμετροι της κάθε λύσης Κάθε λύση χαρακτηρίζεται από

τις μεταβλητές που ονομάζονται rdquoδείκτες καταλληλότητας rdquo(suitability index variables -SIVs)και οι

μεταβλητές αυτές ορίζουν μία τιμή για τον δείκτη καταλληλότητας περιοχής (habitat suitability index-HSI)Οι περιοχές με υψηλό δείκτη καταλληλότητας είναι και οι καλύτερες λύσεις Κάθε λύση τείνει

προς τη βέλτιστη παίρνοντας χαρακτηριστικά ή είδη από άλλες περιοχές μέσω του μηχανισμού της

μετανάστευσης Ο αλγόριθμος τερματίζει είτε μετά από προκαθορισμένο αριθμό κύκλων είτε μετά από

την επίτευξη κάποιου στόχου

Probability-Based Incremental Learning (PBIL)

Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στην δημιουργία και δειγματοληψία συνόλων πιθανών λύσεων με

αποκλειστικά πιθανοκρατικούς τρόπους για την εύρεση της βέλτιστης λύσης ενός προβλήματος Η

βελτιστοποίηση νοείται σαν μία βελτίωση του πιθανοκρατικού μοντέλου αρχίζοντας με ομοιόμορφης

κατανομής μοντέλο και καταλήγοντας σε ένα μοντέλο που παράγει βέλτιστες λύσεις Κύρια διαφορά με

τις μεθόδους που έχουν ήδη αναφερθεί είναι ότι η συγκεκριμένη μέθοδος παράγει κάθε φορά καινούριο

πληθυσμό μεταβάλλοντας το μοντέλο με το οποίο παράγεται ο πληθυσμός βάση της καταλληλότητας

του πληθυσμού που παράχθηκε ενώ οι προηγούμενοι μετέβαλλαν τον πληθυσμό τον ίδιο Αυτό το

χαρακτηριστικό κάνει τους αλγόριθμους που βασίζονται σε αυτή τη μέθοδο να είναι αποτελεσματικού

σε κάποια προβλήματα που άλλοι δεν μπορούν να βρουν βέλτιστη λύση όπως πχ σε προβλήματα

των οποίων κάποιες παράμετροι επηρεάζονται ή εξαρτώνται ισχυρά από κάποιες άλλες Η καθαρά

πιθανοκρατική μέθοδος που ακολουθεί εξαλείφουν τέτοια προβλήματα

Υπάρχουν και άλλοι αλγόριθμοι ή κατηγορίες αλγορίθμων που αναπτύσσονται και χρησιμοποιούνται

σε προβλήματα βελτιστοποίησης πέραν των παραπάνω ΄Ομως η αναφορά τους ξεφεύγει από τα πλαίσια

της παρούσας εργασίας μιας και οι παραπάνω χρησιμοποιήθηκαν στη λύση του προβλήματος

Στη συνέχεια θα γίνει μία πιο ενδελεχής περιγραφή ενός BBO αλγόριθμου και συγκεκριμένα του

Dan Simon ο οποίος χρησιμοποιήθηκε στη λύση του προβλήματος της συγκεκριμένης εργασίας

8

Κεφάλαιο 2

Biogeography-Based Optimization

21 Εισαγωγή στην BBO

Ο Biogeographic-Based Optimization αλγόριθμος είναι ένας εξελικτικός αλγόριθμος που βασίζεται

στη λογική της βιογεωγραφικής εξέλιξης των ειδών Με τον όρο rdquoΒιογεωγραφίαrdquoπεριγράφεται η μελέτη

της γεωγραφικής κατανομής των βιολογικών οργανισμών Η μαθηματικοποίηση του φαινομένου μελε-

τάται από τις αρχές της δεκαετίας του 1960 και εξελίσσεται συνεχώς Στο φαινόμενο αυτό βασίζονται

και οι βιογεωγραφικοί αλγόριθμοι Η επιστημονική βάση της βιογεωγραφικής θεωρίας εδραιώθηκε από

τους φυσιοδίφες του 19ou αιώνα και συγκεκριμένα τον Charles Darwin (Δαρβίνο όπως συνηθίζεται να

αποκαλείται στα ελληνικά) και τον Alfred WallaceΗ αρχή των μαθηματικών μοντέλων έγινε στις αρχές

του 1960 από τους Robert McArthur και Edward Wilson με κατάληξη την έκδοση του rdquoThe theory ofIsland Biogeographyrdquo το 1967 Πρωτεύον αντικείμενο έρευνας ήταν η κατανομή διαφόρων ειδών σε γει-

τονικά νησιά και το μαθηματικό μοντέλο του αφανισμού και της μετανάστευσης τους από νησί σε νησί Η

ανάπτυξη λοιπόν των βιογεωγραφικών αλγορίθμων βασίζεται και μελετάει το πώς μεταναστεύει κάποιο

είδος από ένα νησί σε ένα άλλο πώς καινούρια είδη εμφανίζονται και πώς άλλα εξαφανίζονται Αντί για

τον όρο rdquoνησίrdquo μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ο όρος rdquoβιότοποςrdquo βάση του παραπάνω χαρακτηριστικών

Οι βιογεωγραφικοί αλγόριθμοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε οποιοδήποτε τομέα επιστήμης Οι

γεωγραφικές περιοχές που είναι κατάλληλες για τα είδη τα rdquoνησιάrdquo θεωρούμε ότι έχουν υψηλό δείκτη

καταλληλότητας (high Habitat Suitability Index (HSI))Μερικά χαρακτηριστικά που συσχετίζονται

με το δείκτη αυτό θα είναι οι βροχοπτώσεις η ποικιλομορφία της βλάστησης η ποικιλομορφία των

τοπογραφικών χαρακτηριστικών το έδαφος και η θερμοκρασία Οι μεταβλητές που χαρακτηρίζουν άν

είναι ή όχι ένας βιότοπος κατοικήσιμος ονομάζονται μεταβλητές δείκτη καταλληλότητας(SuitabilityIndex Variables (SIVs))Οι SIV μπορούν να θεωρηθούν ως ανεξάρτητες μεταβλητές του βιοτόπου και

ο HSI ως εξαρτημένη Ανάλογα με τον τομέα στον οποίο θα χρησιμοποιηθούν ορίζεται τι είναι τα

rdquoείδηrdquoκαι πώς ορίζεται ένα rdquoνησίrdquo Γενικά σαν είδος μπορεί να θεωρηθεί κάποια παράμετρος ή ένα

χαρακτηριστικό ενός προβλήματος και σαν rdquoνησίrdquoμία ομάδα τέτοιων παραμέτρων ή χαρακτηριστικών

22 Βιογεωγραφία

Βάση των παραπάνω μπορεί να γίνει μία ανάλυση της γενικής ιδέας της μεθόδου Βιότοποι με

υψηλό HSI θα έχουν μεγάλους αριθμούς ειδών ενώ αντίθετα περιοχές με χαμηλό HSI θα έχουν μικρό

αριθμό ειδών Περιοχές με υψηλό HSI λόγω των πολλών ειδών που έχουν και του πιθανού κορεσμού

τους θα έχουν πολλά είδη που θα μεταναστεύουν σε κοντινά νησιά ενώ θα έχουν λίγα είδη που θα

μεταναστεύουν προς αυτά Ο ρυθμός λοιπόν μετανάστευσης προς γειτονικές περιοχές θα είναι μεγα-

λύτερος σε αυτές που έχουν υψηλό HSI κάτι που όμως δεν σημαίνει ότι τα είδη που θα μεταναστεύουν

προς άλλες περιοχές θα εξαφανίζονται από την αρχική γιατί μόνο ένα μικρό μέρος τους θα φεύγει Θα

υπάρχουν στην αρχική περιοχή μεταναστεύοντας παράλληλα και στις γειτονικές Περιοχές με χαμηλό

HSI θα έχουν μεγάλο ρυθμό μεταναστών από γειτονικές λόγω του αραιού πληθυσμού που περιέχουν

9

Αυτό το φαινόμενο μπορεί να αυξήσει το HSI μίας περιοχής μιας και εξαρτάται από την ποικιλομορφία

των ειδών που περιέχει ΄Αν παραμείνει χαμηλός τα είδη που υπάρχουν θα τείνουν προς εξαφάνιση

ανοίγοντας το δρόμο για άλλους rdquoμετανάστεςrdquoαπό γειτονικές περιοχές Οπότε περιοχές με υψηλό HSIθα έχουν πιο στατική κατανομή ειδών και πληθυσμών ενώ οι περιοχές με χαμηλό HSI έχουν πιο δυναμική

Με τη παραπάνω γενική ιδέα μπορεί να γίνει μία πρώτη παρουσίαση της εφαρμογής τέτοιων

αλγορίθμων Θεωρούμε ένα πρόβλημα από οποιοδήποτε επιστημονικό ή όχι τομέα Μηχανική

οικονομικά ιατρικά επιχειρήσεις αθλητικά και πολλοί άλλοι τομείς μπορούν να χρησιμοποιήσουν

έναν βιογεωγραφικό αλγόριθμο για τη λύση ενός προβλήματος Βασική προϋπόθεση όμως είναι να

έχουμε κάποιο τρόπο αξιολόγησης της καταλληλότητας κάποιας λύσης του προβλήματος Μία καλή

λύση θα αντιστοιχεί σε περιοχή με υψηλό HSI ενώ μία λιγότερο καλή σε περιοχή με χαμηλό HSIΟι καλές λύσεις λοιπόν θα είναι πιο σταθερές ενώ οι όχι τόσο καλές θα τείνουν να μεταβάλλουν

τα χαρακτηριστικά τους Οι καλές λύσεις θα τείνουν να μοιράζονται τα χαρακτηριστικά τους με

τις λιγότερο καλές με πιθανότητα να τις βελτιώσουν Αυτό το χαρακτηριστικό και τη γενικότερη

διαδικασία ονομάζουμε λύση με χρήση βιογεωγραφικού αλγορίθμου βελτιστοποίησης

Σχήμα 21 Μετανάστευση

Στο διπλανό σχήμα (σχήμα ) φαίνονται οι καμπύλες

μετανάστευσης από καμπύλη μ και προς καμπύλη λ έναν

τόπο Και οι δύο καμπύλες είναι συναρτήσεις του αριθμού

των ειδών σε μία περιοχή Στο παρόν σχήμα αναπαριστώνται

σαν ευθείες κάτι που γενικά δεν ισχύει ΄Εχουν αρκετά πιο

πολύπλοκη μορφή Για την ανάλυση μας όμως ένα απλό

σχήμα δίνει μία γενική εικόνα χωρίς να οδηγεί σε θεωρητικά

λάθη ΄Οσο πιο πολλά είδη υπάρχουν τόσο μικρότερη πιθα-

νότητα να εισέλθουν άλλα Οπότε ο μεγαλύτερος ρυθμός

μετανάστευσης προς μία περιοχή θα υπάρχει όταν η περιοχή

αυτή δεν έχει κανένα είδος ΄Οσο μεγαλώνει ο αριθμός των

ειδών τόσο μικραίνει ο ρυθμός μετανάστευσης προς την

συγκεκριμένη περιοχή μέχρι τον μέγιστο αριθμό ειδών που

μπορεί να υποστηρίξει Smax στο διάγραμμα όπου ο ρυθμός

εισόδου ειδών θα είναι μηδενικός Το αντίστροφο ισχύει για

την μετανάστευση από μία περιοχή την καμπύλη μ ΄Οταν η

περιοχή δεν έχει κανένα είδος ο ρυθμός των ειδών που θα μεταναστεύουν από την περιοχή αυτή θα

είναι φυσικά μηδενικός ΄Οσο αυξάνεται ο αριθμός των ειδών τόσο θα αυξάνεται και ο ρυθμός με τον

οποίο θα μεταναστεύουν προς άλλες περιοχές μέχρι το μέγιστο που θα είναι η τιμή Ε η οποία θα

αντιστοιχεί στο μέγιστο αριθμό ειδών που μπορούν να υπάρξουν στην περιοχή αυτή Smax Ο αριθμός

ισορροπίας των ειδών είναι S0 όπως φαίνεται στο σχήμα που θα είναι ο αριθμός των ειδών για τον

οποίο ο ρυθμός μετανάστευσης από και ο ρυθμός προς την περιοχή θα είναι ίσοι Αυτή την τιμή τείνουν

να αποκτήσουν οι περιοχές Κάποιες μεταβολές είτε προς τα πάνω για λόγους όπως πχ μία απότομη

εισροή ειδών από κάποια γειτονική περιοχή είτε προς τα κάτω για λόγους όπως πχ κάποια αρρώστια

ένας αρκετά επιθετικός κυνηγός ή κάποια καταστροφή μπορεί να υπάρξουν αλλά σε κάποιο χρόνο

ανάλογο της απόκλισης θα επανέλθει η ισορροπία

Ας δούμε και με λίγα μαθηματικά τα παραπάνω Θεωρούμε την πιθανότητα Ps μία περιοχή να έχει

S είδη Η πιθανότητα αυτή θα αλλάζει από τη χρονική στιγμή t στην χρονική στιγμή t+1 βάση του

τύπου

Ps(t+ 1) = Ps(t) lowast (1minus λs∆tminus micros∆t) + Psminus1λsminus1∆t+ Ps+1micros+1∆t (21)

όπου οι όροι λs και micros είναι οι ρυθμοί μετανάστευσης προς και από μία περιοχή αντίστοιχα όταν

υπάρχουν S είδη στην περιοχή Η παραπάνω εξίσωση () ισχύει γιατί για να έχουμε S είδη τη στιγμή

t+ ∆t θα πρέπει να ισχύει κάτι από τα παρακάτω

1 υπήρχαν S είδη τη στιγμή t και δεν είχαμε μετανάστευση προς καμία κατεύθυνση στο χρονικό

10

διάστημα ∆t

2 υπήρχαν S-1 είδη τη στιγμή t και ένα είδος ήρθε ή

3 υπήρχαν S+1 είδη τη στιγμή t και ένα είδος έφυγε

Θεωρούμε ότι το ∆t είναι αρκετά μικρό ώστε να έχει χρόνο μόνο ένα είδος να έρθει ή να φύγει από

την περιοχή Παίρνοντας το όριο ∆trarr 0 της εξίσωσης () καταλήγουμε στην παρακάτω

Ps =

minus(λs + micros)Ps + micros+1Ps+1 S = 0

minus(λs + micros)Ps + λsminus1Psminus1 + micros+1Ps+1 1 le S le Smax minus 1minus(λs + micros)Ps + λsminus1Psminus1 S = Smax)

(22)

Θέτουμε n = Smax και P = [P0 Pn]T απλοποιημένα και πλέον μπορούμε να εκφράσουμε τις

εξισώσεις (για S=0 n) με την απλή εξίσωση πίνακα

P = A lowast P (23)

όπου ο πίνακας Α δίνεται από τον τύπο

A =

minus(λ0 + micro0) micro1 0 ldots 0

λ0 minus(λ1 + micro1) micro2

ddots

λnminus2 minus(λnminus1 + micronminus1) micron

0 0 λnminus1 minus(λn + micron)

(24)

Για τις ευθείες καμπύλες που φαίνονται στο παραπάνω σχήμα () θα έχουμε

microk = Ekn

λk = I(1minuskn

)(25)

Θεωρούμε την ειδική περίπτωση E = I Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε

microk + λk = E (26)

και ο πίνακας Α γίνεται

A = E lowast

minus1 1

n0 0

nnminus1 2

n

2nminus1 n

n

0 0 1nminus1

= E lowast Aprime (27)

όπου το Α΄ ορίζεται από την παραπάνω εξίσωση ()

11

Παρατήρηση 1 Το 0 είναι μία ιδιοτιμή του πίνακα Α΄ με ιδιοδιάνυσμα το

u = [u1 un+1]T

n(nminus1minusi)(iminus1) (i = 1 iprime)

un+2minus1 (i = iprime + 1 n+ 1)

(28)

όπου το irsquo είναι ο μικρότερος ακέραιος ο οποίος να είναι μεγαλύτερος ή ίσος με

τοn+12

ή με προγραμματιστικό συμβολισμό iprime = ceil(n+12

) Αυτό μπορεί να

επιβεβαιωθεί από την απευθείας λύση της εξίσωσης ιδιοτιμών Aprime lowast u = k lowast uγια την άγνωστη μεταβλητή k και το άγνωστο διάνυσμα u Σαν παράδειγμα

για n=4 έχουμε

u = [1 4 6 4 1]T (29)

όπως και για n=5 παίρνουμε

u = [1 5 10 10 5 1]T (210)

Εικασία 1 Οι ιδιοτιμές του Α΄ δίνονται ως εξής

k = 0minus2

nminus4

n minus2 (211)

Η παραπάνω εικασία δεν έχει αποδειχθεί ακόμα αλλά ισχύει για όλες τις τιμές

του ν για τις οποίες έχει εξεταστεί

Θεώρημα 1 Η τιμή σταθερής κατάστασης για την πιθανότητα των αριθμών κάθε είδους

δίνεται από τη σχέση

P (infin) =usumn+1i=1 ui

(212)

όπου τα u και ui δίνονται από την

Στη συνέχεια θα μελετήσουμε το πώς μπορούν τα παραπάνω να εφαρμοστούν σε ένα πρόβλημα

βελτιστοποίησης συγκεκριμένου τομέα

221 Μέθοδοι και παράμετροι της BBO

Σχήμα 22 Αναπαράσταση λύσεων

Μετανάστευση Θεωρούμε ότι έχουμε ένα πρόβλημα με

πολλές πιθανές λύσεις οι οποίες μπορούν να παρασταθούν ως

διανύσματα ακεραίων Κάθε τέτοιος ακέραιος θεωρείται ότι

είναι μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας (SIV) Αν έχουμε

έναν τρόπο αξιολόγησης της ποιότητας κάθε λύσης μπορούμε

να αναπαραστήσουμε κάθε λύση σαν μία περιοχή Οι καλές

ποιοτικά λύσεις θα έχουν υψηλό δείκτη καταλληλότητας

(HSI) ενώ οι λιγότερο καλές χαμηλό Οι λύσεις με υψηλό

HSI θα είναι οι περιοχές με πολλά είδη ενώ αυτές με χαμηλό

οι περιοχές με λίγα είδη Η καμπύλη μοντέλου μετανάστευ-

σης θεωρούμε ότι θα είναι ίδια για όλες τις περιοχές (για

μεγαλύτερη ευκολία Ε=Ι) με τη μεταβλητή S κάθε περιοχής

να εξαρτάται από το HSI της όπως φαίνεται στο διπλανό

σχήμα (σχήμα ) Η περιοχή στην οποία αντιστοιχεί το S1

είναι περιοχή με χαμηλό HSI ενώ αυτή με το S2 περιοχή

με υψηλό HSI ΄Οπως φαίνεται και από το διπλανό σχήμα η

περιοχή με S1θα έχει λίγα είδη υψηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ1) και χαμηλό από (micro1) αυτή

ενώ η περιοχή με δείκτη S2 θα έχει πολλά είδη χαμηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ2) και υψηλό

12

από (micro2) αυτή Οι ρυθμοί μ και λ χρησιμοποιούνται για την ανταλλαγή πληροφοριών μεταξύ των

περιοχών πιθανοκρατικά Με πιθανότητα Pmod αξιολογούμε κάθε λύση βάση των υπολοίπων και

όποιες επιλεχθούν να τροποποιηθούν βάση του λ πιθανοκρατικά αξιολογούνται οι SIV και επιλέγονται

αυτοί που θα τροποποιηθούν ΄Αν κάποιος SIV επιλεχθεί να τροποποιηθεί βάση του μ των υπόλοιπων

λύσεων επιλέγεται πάλι πιθανοκρατικά από ποια λύση θα μεταναστεύσει κάποιος τυχαίος SIV

Η μέθοδος αυτή της μετανάστευσης στους BBO αλγόριθμους είναι παρόμοια με τις μεθόδους

των εξελικτικών και γενετικών αλγόριθμων όπου πολλοί πρόγονοι μπορούν να συνδυαστούν για

την παραγωγοί ενός απογόνου με μία όμως σημαντική διαφορά Σε αντίθεση με τους εξελικτικούς

και γενετικούς αλγόριθμους στους οποίους οι προηγούμενες λύσεις καταστρέφονται από γενιά σε

γενιά στους BBO οι λύσεις παραμένουν και εξελίσσονται χωρίς να καταστρέφονται Φυσικά έχει

ενσωματωμένο κάποιου είδους ελιτισμός έτσι ώστε να μην επηρεάζονται οι βέλτιστες λύσεις

Μετάλλαξη Κατακλυσμικά γεγονότα μπορούν να αλλάξουν δραστικά τον HSI μίας περιοχής

όπως μπορούν να προκαλέσουν απόκλιση του αριθμού των ειδών από την ισορροπία επηρεάζοντας

τον HSI λόγω φαινομενικά τυχαίων φαινομένων Τέτοια φαινόμενα μοντελοποιούνται στους BBO με

την μετάλλαξη των HSI και χρησιμοποιείται η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών για τον

καθορισμό του ρυθμού μετάλλαξης Η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών υπακούει στην

διαφορική εξίσωση Παρατηρώντας την καμπύλη στο σχήμα βλέπουμε ότι οι περιοχές με χαμηλό

αριθμό ειδών αλλά και αυτές με υψηλό αριθμό ειδών έχουν σχετικά χαμηλή πιθανότητα κάτι που θα

μπορούσε να εξαχθεί και από το θεώρημα 1 σε αντίθεση με αυτή με μέσες τιμές γιατί τα δεύτερα είναι

πιο κοντά στο σημείο ισορροπίας Ως παράδειγμα ας θεωρήσουμε την περίπτωση όπου Smax = 10 Η

λύση σταθερής κατάστασης της εξίσωσης θα είναι ανεξάρτητη της αρχικής συνθήκης Π(0) και μπορεί

να υπολογιστεί με αριθμητικές μεθόδους είτε βάση του θεωρήματος 1 με αποτέλεσμα

P (infin) sim= [0001 0001 0044 0117 0205 0246 0205 0117 0044 0001 0001]T

Τα στοιχεία του P (infin) δίνουν άθροισμα μονάδα και η γραφική τους παράσταση δίνει μία άρτια

συνάρτηση συμμετρική στην κεντρική τιμή

Κάθε λύση έχει μία αντίστοιχη πιθανότητα η οποία είναι δείκτης του κατά πόσο ήταν αναμενόμενη

εξ αρχής η λύση αυτή στο συγκεκριμένο πρόβλημα Λύσεις με πολύ υψηλό αλλά και πολύ χαμηλό HSIείναι αρκετά απίθανες να υπάρξουν ενώ λύσεις με μέσους HSI κοντά στο σημείο ισορροπίας είναι πιο

πιθανές Λύση S με μικρή πιθανότητα PS είναι αρκετά απίθανη οπότε έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να

μεταλλαχθεί από ία λύση Srsquo με μεγάλη πιθανότητα P primeS Αυτό μπορεί να παρασταθεί με τον παρακάτω

τύπο όπου ο ρυθμός μετάλλαξης m είναι αντιστρόφως ανάλογος της πιθανότητας μίας λύσης

m(S) = mmax

(1minus PSPmax

)(213)

και mmax είναι μία παράμετρος που ορίζεται από το χρήστη Αυτό το μοντέλο μετάλλαξης τείνει

να αυξήσει τη διαφορετικότητα μεταξύ του πληθυσμού των λύσεων Χωρίς αυτό οι λύσεις με μεγάλη

πιθανότητα θα ήταν επικρατέστερες των υπολοίπων Δίνει λοιπόν τη δυνατότητα στις κακές λύσεις

να μεταλλαχθούν και να εξελιχθούν δίνοντας παράλληλα και τη δυνατότητα στις λύσεις με υψηλή

πιθανότατα να εξελιχθούν και να βελτιωθούν και άλλο Πρέπει να σημειωθεί ότι χρησιμοποιείται

μία ελιτίστικη προσέγγιση αποθηκεύοντας τη βέλτιστη λύση έτσι ώστε αν χειροτερέψει από μία

μετάλλαξη να μπορούμε να την επαναφέρουμε αν χρειαστεί Οπότε η μετάλλαξη χρησιμοποιείται και

τις κακές και στις καλές λύσεις Οι μέσες λύσεις θεωρούμε ότι καλυτερεύουν με την μετανάστευση

οπότε αποφεύγουμε να τις μεταλλάξουμε και έχουν μικρότερο ρυθμό μετάλλαξης Η υλοποίηση της

μετάλλαξης εξαρτάται από το εκάστοτε πρόβλημα και χρήστη

Ορισμοί της BBO και αλγόριθμος

Παρακάτω δίνονται κάποιοι ορισμοί ως ένα πρώτο βήμα για τη μορφοποίηση του BBO αλγόριθμου

παρουσιάζοντας παράλληλα και μία περιγραφή του αλγόριθμου Με το R αναφερόμαστε στο σύνολο

13

πραγματικών αριθμών με το Ζ ακεραίων και με το empty στο κενό σύνολο

Ορισμός 1 Μία περιοχή H isin SIV mείναι ένα διάνυσμα m ακεραίων που αντιπροσωπεύει μία

πιθανή λύση του προβλήματος

Ορισμός 2 Μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας SIV isin C είναι ένας ακέραιος επιτρεπτός

σε μία περιοχή C isin Zqείναι το σύνολο όλων των επιτρεπτών ακεραίων σε μία

περιοχή Η απαίτηση SIV isin C ονομάζεται περιορισμός όπως και σε υψηλότερο

επίπεδο η απαίτηση H isin SIV m

Ορισμός 3 ΄Ενας δείκτης καταλληλότητας περιοχής HSI H rarr R αποτελεί μέτρο την ποιότη-

τας καλής ή κακής της λύσης που αντιπροσωπεύει η περιοχή Σημείωση Στους

περισσότερους αλγόριθμους βασισμένους στους πληθυσμούς το HSI ονομάζεται κα-ταλληλότητα

Ορισμός 4 ΄Ενα οικοσύστημα Hnείναι ένα σύνολο από n περιοχές Το μέγεθος n είναι σταθερό

(μελλοντικοί αλγόριθμοι μπορεί να επιτρέπουν μεταβλητό n όπως κάποιοι γενετικοί

αλγόριθμοι επιτρέπουν μεταβλητό μέγεθος πληθυσμών)

Ορισμός 5 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή λ(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

αύξουσα συνάρτηση του HSI Το λi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV από μία

γειτονική περιοχή να μεταναστεύσει στην Hi

Ορισμός 6 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή micro(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

φθίνουσα συνάρτηση του HSI Το microi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV της Hi

να μεταναστεύσει προς μία γειτονική περιοχή Στην πράξη θεωρούμε ότι οι συναρ-

τήσεις λ και μ είναι γραμμικές με το ίδιο μέγιστο Αυτή η υπόθεση βοηθάει στην

στην απλούστευση των μαθηματικών υπολογισμών Καλύτερες επιδόσεις μπορεί να

είναι εφικτές αν παρεκκλίνουμε λίγο από την υπόθεση αυτή

Ορισμός 7 Τροποποίηση μίας περιοχής Ω(λμ) Hn rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής

που προσαρμόζει την περιοχή Η βάση του οικοσυστήματος Hn Η πιθανότητα μια

περιοχή Η να τροποποιηθεί είναι ανάλογη του ρυθμού μετανάστευσης προς αυτή λ

και η πιθανότητα η τροποποίηση αυτή να προέλθει από την περιοχή Hj είναι ανάλογη

του ρυθμού μετανάστευσης microj από την περιοχή Η τροποποίηση των περιοχών

μπορεί να περιγραφεί γενικά ως εξής

Επιλογή του Hi με πιθανότητα sim λi΄Αν έχει επιλεχθεί το Hi

For j=1 to nεπιλογή του Hj με πιθανότητα sim microiΑν έχει επιλεχθεί το Hj

τυχαία επιλογή ενός SIV σ από το Hj

αντικατάσταση ενός τυχαίου SIV της Hi με το σ

endend

endΑπό τον παραπάνω αλγόριθμο γίνεται φανερό ότι μπορεί να εφαρμοστεί ένα κρι-

τήριο ελιτισμού θέτοντας λ=0 για την p βέλτιστη περιοχή όπουp μία παράμετρος

ελιτισμού καθορισμένη από το χρήστη Ακόμα να σημειωθεί ότι ο ορισμός του Ω

εξασφαλίζει ότι η περιοχή Η που τροποποιείται ικανοποιεί τους περιορισμούς του

SIVΟρισμός 8 Η μετάλλαξη Μ(λμ) H rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής που τυχαία τρο-

ποποιεί τις SIVs μίας περιοχής βάση της αρχικής πιθανότητας ύπαρξης της περιοχής

Η πιθανότητα ύπαρξης μίας περιοχής υπολογίζεται όπως αναφέρθηκε παραπάνω

από τους ρυθμούς λ και μ Η μετάλλαξη μπορεί να περιγραφεί ως εξής

14

For j=1 to mχρήση των microi και λi για τον υπολογισμό της πιθανότητας Piεπιλογή της SIV Hi(j) με πιθανότητα sim PiΑν έχει επιλεχθεί το Hi(j)

Αντικατάσταση του Hi(j) με ένα τυχαία δημιουργημένο SIVend

end΄Οπως και παραπάνω ο ελιτισμός μπορεί να υλοποιηθεί θέτοντας πιθανότητα με-

τάλλαξης μηδενική για την περιοχή με τη βέλτιστη λύση p Από τον παραπάνω

ορισμό βλέπουμε ότι πρέπει η μετάλλαξη να έχει κατάλληλους περιορισμούς ώστε

να καταλήγει σε HSI που να υπακούν στους περιορισμούς των SIVs

Ορισμός 9 Μία συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος Ψ ( m n λ μ Ω Μ) Hn rarr Hn

είναι μία εξάδα που τροποποιεί το οικοσύστημα από μία επανάληψη στην επόμενη

Η συνάρτηση τροποποίησης του οικοσυστήματος μπορεί να γραφεί ως εξής

ψ = λn micron Ωn HSIn Mn HSI (214)

Η συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος λοιπόν ξεκινάει υπολογίζοντας τους ρυθ-

μούς μετανάστευση προς και από μία περιοχή Εν συνεχεία λαμβάνει χώρα η τρο-

ποποίηση των περιοχών ακολουθούμενη από έναν επαναϋπολογισμό των HSI

Τέλος εφαρμόζεται μετάλλαξη και ξαναϋπολογίζονται οι HSI κάθε περιοχής

Ορισμός 10 ΄Ενας BBO αλγόριθμος BBO(Ι Ψ Τ) είναι μία τριάδα που προτείνει μία λύση σε

ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης I empty rarr Hn HSIn είναι μία συνάρτηση η οποία

παράγει ένα αρχικό οικοσύστημα περιοχών και υπολογίζει τις αντίστοιχες HSI Ψείναι μία συνάρτηση τροποποίησης οικοσυστήματος όπως ορίστηκε παραπάνω και

T Hn rarr true false είναι ένα κριτήριο τερματισμού του αλγόριθμου

Η συνάρτηση Ι μπορεί να υλοποιηθεί με μία γεννήτρια τυχαίων αριθμών ευρετι-

κών λύσεων στο πρόβλημα βελτιστοποίησης ή με οιαδήποτε άλλη διαδικασία που

να εξαρτάται από το πρόβλημα Το Τ μπορεί να εξαρτάται από τον αριθμό των

Ψ επαναλήψεων το HSI της βέλτιστης περιοχής ή οποιοδήποτε άλλο κριτήριο

βάση του προβλήματος Οπότε ο αλγόριθμος BBO μπορεί να περιγραφεί από το

παρακάτω

Ι

όσο δεν ισχύει το Τ

Ψ

end

Μία απλουστευμένη περιγραφή του BBO αλγόριθμου θα μπορούσε να είναι η παρακάτω

1 Αρχικοποίηση των παραμέτρων του αλγορίθμου Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρεθεί μία μέθοδος

χαρτογράφησης των λύσεων του προβλήματος σε SIVs και περιοχές σύμφωνα με το πρόβλημα

Ακόμα αρχικοποιούμε ή ορίζουμε το μέγιστο αριθμό ειδών Smax τους μέγιστους ρυθμούς μετα-

νάστευσης Ε και Ι το μέγιστο ρυθμό μετάλλαξης mmax και μία παράμετρο ελιτισμού Πρέπει να

σημειωθεί ότι ο μέγιστος αριθμός ειδών και οι μέγιστοι ρυθμοί μετανάστευσης είναι αλληλοεξαρ-

τώμενα μεγέθη Οπότε αν όλα αλλάζουν κατά το ίδιο ποσοστό η συμπεριφορά του ΒΒΟ δεν θα

αλλάζει Αυτό συμβαίνει γιατί άν τα Ε Ι και Smax αλλάξουν οι ρυθμοί μετανάστευσης μ λ και ο

αριθμός των ειδών S θα αλλάξουν κατά την ίδια σχετική ποσότητα για όλες τις περιοχές ή λύσεις

2 Αρχικοποίηση μίας τυχαίας ομάδας περιοχών όπου κάθε περιοχή θα αντιστοιχεί σε πιθανή λύση

Αυτό είναι η υλοποίηση του συνόλου Ι

3 Για κάθε περιοχή καθορισμός των HSI για τον αριθμό ειδών S και των ρυθμών μετανάστευσης μ

και λ

15

4 Χρήση βάση πιθανοτήτων των ρυθμών μετανάστευσης για την τροποποίηση των μη ελιτίστικων

περιοχών και επαναϋπολογισμό των HSI αυτών

5 Για κάθε περιοχή ενημέρωση της πιθανότητας των αριθμών των ειδών βάση της εξίσωσης

Στη συνέχεια μετάλλαξη των μη ελιτίστικων περιοχών βάση των πιθανοτήτων τους και ξανά

υπολογισμός των HSI

6 Επιστροφή στο βήμα 3 για την επόμενη επανάληψη της διαδικασίας Η διαδικασία μπορεί

να σταματήσει μετά από έναν προκαθορισμένο αριθμό επαναλήψεων ή με την επίτευξη μίας

επιθυμητής λύσης Αυτή είναι η υλοποίηση του κριτηρίου τερματισμού Τ

Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι μετά από κάθε βήμα που αλλάζει κάτι σε μία περιοχή ή λύση πρέπει να

επαληθεύεται κάθε περιοχή ως πιθανή λύση του προβλήματος Αν όχι πρέπει να υπάρχει μία διαδικασία

η οποία να την τροποποιεί ώστε να γίνεται πιθανή λύση

Τέλος επειδή ένας τέτοιος αλγόριθμος θα συγκριθεί στη συνέχεια με τους υπόλοιπους που αναφέρ-

θηκαν παραπάνω είναι χρήσιμο να γίνουν πιο διακριτές οι διαφορές τους Η πρώτη τέτοια διαφορά είναι

ότι στους BBO αλγόριθμους δεν υπάρχει η έννοια της αναπαραγωγής ή των γενεών απογόνων όπως

υπάρχουν στους γενετικούς και τους εξελικτικούς αλγόριθμους Δεν δημιουργούνται καινούριες λύσεις

από κύκλο σε κύκλο αλλά εξελίσσονται οι υπάρχουσες Για τον ίδιο λόγο διαφέρει και από τους ACO(Ant Colony Optimization) αλγόριθμους Σαν λογική είναι πιο κοντά στους PSO (Particle SwarmOptimization) και DE (Differential Evolution) αλγόριθμους μιας και αυτοί διατηρούν και εξελίσσουν

τις υπάρχουσες λύσεις τους κάνοντας την κάθε λύση να μαθαίνει από τους γείτονες και να προσαρ-

μόζεται καθώς προχωράει ο αλγόριθμος Οι PSO αντιπροσωπεύουν κάθε λύση σαν ένα σημείο στο

χώρο και τις αλλαγές μεταξύ των επαναλήψεων του αλγόριθμου με διάνυσμα ταχύτητας ΄Ομως στους

αλγόριθμους αυτούς δεν αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η ταχύτητα των σημείων έχοντας αποτέλεσμα

τη μεταβολή των λύσεων Στους DE αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η αλλαγή αυτή γίνεται βάση των

διαφορών μεταξύ άλλων λύσεων Ακόμα οι DE δεν βασίζεται σε βιολογικές αρχές Οι BBO αλγόριθμοι

μπορούν να διαχωριστούν από τους DE και PSO στο χαρακτηριστικό ότι αλλάζουν άμεσα τις λύσεις

τους ανταλλάσσοντας χαρακτηριστικά μεταξύ τους μέσω της μετανάστευσης

16

Κεφάλαιο 3

Κεραίες

31 Γενικά

Με τον όρο umlκεραίαrsquo αναφερόμαστε σε μία διάταξη που είναι σχεδιασμένη να δέχεται ηκαι να εκπέμπει

ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Είναι μία διάταξη η οποία μετατρέπει ηλεκτρομαγνητική ενέργεια που

οδεύει σε μια γραμμή μεταφοράς ή ένα κυματοδηγό σε ηλεκτρομαγνητικό κύμα στο χώρο και viceversa Οι κεραίες είναι είτε παθητικές

1 είτε τροφοδοτούμενες

2

Λόγω της μεγάλης ανάπτυξης των τηλεπικοινωνιών και των πολλών συστημάτων που χρησιμοποιούν-

ται3 έχει αναπτυχθεί μια τεράστια ποικιλία κεραιών ώστε να καλύπτουν τις ειδικές ανάγκες διαφόρων

εφαρμογών και να διευκολύνεται η κατασκευή και ένταξή τους στο φυσικό και δομημένο περιβάλλον

Η μεγάλη αυτή ποικιλία συστημάτων κεραιών επιβάλει τον διαχωρισμό τους σε κατηγορίες βάσει της

μορφής τους και της αρχής λειτουργίας τους Αλλά σε όποια κατηγορία και να ανήκει μία κεραία έχει

κάποια βασικά χαρακτηριστικά

32 Χαρακτηριστικά κεραιών

Σε μία κεραία αυτό που μας ενδιαφέρει είναι το πώς εκπέμπει ή λαμβάνει στο χώρο ή αλλιώς οι ιδιότητες

ακτινοβολίας (μακρινού πεδίου4) Η γραφική παράσταση των ιδιοτήτων αυτών γίνεται με το διάγραμμα

ακτινοβολίας της Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας κεραίας είναι δηλαδή η τρισδιάστατη γραφική

παράσταση των ιδιοτήτων ακτινοβολίας της κεραίας Βρίσκεται με μετρήσεις κάποιου μεγέθους με

τη μετατόπιση μίας πρόμπας γύρω από την κεραία Παριστάνει τη γωνιακή κατανομή του μέτρου της

έντασης του πεδίου της πυκνότητας ισχύος ή της έντασης ακτινοβολίας Επειδή θέλουμε το διάγραμμα

ακτινοβολίας να δίνει τη γενική συμπεριφορά της κεραίας σε οποιοδήποτε σήμα μπορεί να λάβει ή να

εκπέμψει οι τιμές είναι κανονικοποιημένες5

Τα διαγράμματα ακτινοβολίας σχεδιάζονται και για

την ικανότητα εκπομπής και λήψης μίας κεραίας και για συγκεκριμένη είναι τα ίδια (εκπομπής και λήψης)

Από τα διαγράμματα ακτινοβολίας βλέπουμε σε ποια σημεία του χώρου η κεραία εκπέμπει (ή αν

1Αποτελούνται μόνο από παθητικά στοιχεία απλά μετατρέπουν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα σε ηλεκτρομαγνητική ενέρ-

γεια χωρίς κάποια επεξεργασία του σήματος2΄Εχουν και ενεργά στοιχεία τα οποία μπορούν να κάνουν ενίσχυση σήματος ή ακόμα και επεξεργασία σήματος όπως

πχ μεταβολή συχνότητας3Από τις πιο μικρές ηλεκτρονικές συσκευές πχ πομποί GPS (Global Positioning System) μέχρι μεγάλα συστήματα

πχ δορυφόροι οπουδήποτε εφαρμόζεται ασύρματη επικοινωνία απαραίτητο εξάρτημα είναι μία κεραία4Ο χώρος γύρω από μία κεραία ως προς την κεραία χωρίζεται σε μακρινό και κοντινό πεδίο Στο κοντινό πεδίο

το διάγραμμα επηρεάζεται έντονα από τις επαγωγικές και χωρητικές συνιστώσες που εμφανίζονται στην κεραία κατά τη

ροή του ρεύματος ενώ στο μακρινό όχι και γι΄ αυτό το διάγραμμα του μακρινού πεδίου είναι σταθεροποιημένο ενώ του

κοντινού όχι Τα διαγράμματα που δίνουν οι κατασκευαστές είναι διαγράμματα μακρινού πεδίου Διάκριση μεταξύ μακρινού

και κοντινού πεδίου γίνεται βάσει της απόστασης από την κεραία όπου για R gt 2lowastD2

λ θεωρούμε μακρινό πεδίο όπου λ

είναι το μήκος κύματος D η διάμετρος της κεραίας και R η απόσταση από αυτήν5Λόγω των κανονικοποιημένων τιμών του διαγράμματος ακτινοβολίας το διάγραμμα πυκνότητας ισχύος και έντασης

ακτινοβολίας είναι ταυτόσημα

17

είναι διάγραμμα λήψης λαμβάνει) τη μεγαλύτερη και σε ποια τη μικρότερη ισχύ Το τρισδιάστατο

της περιγραφής επιτυγχάνεται με το συνδυασμό δύο διαγραμμάτων το κάθετο (κάθετη τομή στον

τρισδιάστατο χώρο) και το οριζόντιο (οριζόντια τομή) Η κεραία θεωρείται στο κέντρο του διαγράμματος

και το διάγραμμα συνδέει στην ουσία τον χώρο με την ακτινοβολούμενη ισχύ ή με την ικανότητα

λήψης ισχύος για διάγραμμα εκπομπής και λήψης αντίστοιχα και είναι όπως προαναφέρθηκε η

γραφική αναπαράσταση της συμπεριφοράς της κεραίας στο χώρο Μας δείχνει σε ποιες περιοχές του

χώρου εκπέμπει και πόση ισχύ ή αντίστοιχα από ποιες περιοχές του χώρου και πόση ισχύ μπορεί

να λάβει η κεραία Είτε επειδή δε θέλουμε σπατάλη ισχύος σε rdquoαδιάφορεςrdquoπεριοχές είτε επειδή δεν

θέλουμε να παρεμβάλλουμε δημιουργώντας θόρυβο σε άλλες κεραίες κατά την εκπομπή και είτε επειδή

θέλουμε να λαμβάνουμε τη μέγιστη δυνατή ισχύ αν ξέρουμε από που λαμβάνουμε και να μειώνουμε

το θόρυβο από τις άλλες πηγές τα διαγράμματα ακτινοβολίας είναι πολύ χρήσιμα στο σχεδιασμό μίας

κεραίας Τέλος μία άλλη χρήση είναι η σύγκριση κεραιών είτε γενικά είτε για συγκεκριμένες εφαρμογές

Σχήμα 31 Διάγραμμα ακτινοβολίας

Στο διπλανό σχήμα () φαίνεται ένα τυπικό και αρκετά

απλοποιημένο διάγραμμα ακτινοβολίας Σε αυτό διακρίνουμε

τον κύριο λοβό που είναι το τμήμα η μεγαλύτερη κλειστή

καμπύλη που διακρίνεται από το γεγονός ότι έχει τη μέγιστη

τιμή στο διάγραμμα Συνήθως τα διαγράμματα ακτινοβολίας

είναι πολικά όπως αυτό του σχήματος 31 με βαθμονόμηση

από 0μέχρι 360

και ο κύριος λοβός στη γενική περίπτωση

τοποθετείται στις 0 Ο λοβός που βρίσκεται στις 180

ονο-

μάζεται οπίσθιος λοβός και οι υπόλοιποι λοβοί ονομάζονται

πλευρικοί Ανάλογα με την περίπτωση οι υπόλοιποι εκτός του

κύριου είναι ανεπιθύμητοι είτε επιθυμητοί και προσπαθούμε

αντίστοιχα να τους καταστείλουμε ή να τους ενισχύσουμε

Οι πλευρικοί λοβοί οφείλονται σε φαινόμενα καταστροφικής

ή εποικοδομητικής συμβολής των κυμάτων που εκπέμπονται

από τη κεραία Η κλίμακα στο διάγραμμα είναι σε deciBellκαι τα μεγέθη είναι κανονικοποιημένα

6 ΄Ετσι η μέγιστη τιμή θα είναι στα 0 db και οι υπόλοιπες

σε αρνητικές τιμές Τα διαγράμματα αυτά έχουν τέτοια βαθμονόμηση γιατί θέλουμε να εκφράζουν

ποιοτικά τη συμπεριφορά της κεραίας αλλά και γιατί οι τιμές έντασης ή ισχύος που θέλουμε να αναπα-

ραστήσουμε είναι πολλών τάξεων μεγέθους και θα θέλαμε πολύ μεγάλα διαγράμματα για κανονικές τιμές

΄Ενα πιο αναλυτικό διάγραμμα ακτινοβολίας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () και είναι διάγραμμα

μίας κεραίας Yagi-Uda Οι κύκλοι που φαίνονται στο διάγραμμα αντιστοιχούν στις τιμές -3 -10 -20

-30 και -40 dB και είναι χωρισμένοι σε τμήματα των 10 Οι κύκλοι αυτοί δείχνουν τα σημεία που

έχει μειωθεί το μέγεθος στο 50 στο 10 στο 1 στο 01 και στο 001 αντίστοιχα Η

γωνία των σημείων στα οποία ο κύριος λοβός τέμνει τον πρώτο κύκλο ονομάζεται γωνία ημίσειας ισχύος

Σχήμα 32 Καρτεσιανό διάγραμμα

Εκτός των πολικών διαγραμμάτων υπάρχουν και τα καρτεσιανά

τα οποία είναι η καρτεσιανή προβολή των πολικών Παράδειγμα

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () όπου φαίνεται το άνοιγμα μισής

ισχύος και το επίπεδο του πρώτου πλευρικού λοβού Επειδή τα

διαγράμματα ακτινοβολίας σχηματίζονται όπως προαναφέρθηκε

και αφορούν τη χωρική συμπεριφορά μίας κεραίας στο μακρινό

πεδίο οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε την κεραία ως σημείο

τα καρτεσιανά διαγράμματα δεν έχουν καλή αναπαράσταση της

πραγματικότητας Αλλά είναι αρκετά χρήσιμα στη μελέτη κεραιών

και στην καλύτερη εποπτεία των χαρακτηριστικών της από τα πολικά και για το λόγο αυτό σχεδιάζονται

και χρησιμοποιούνται κατά κόρον

6΄Ενα κανονικοποιημένο διάγραμμα έχει την ίδια μορφή με ένα μη κανονικοποιημένο με μόνη αλλαγή την κλίμακα και

ότι τα μεγέθη είναι ο λογάριθμος του λόγου της τιμής προς τη μέγιστη

18

Σχήμα 33 Διάγραμμα ακτινοβολίας Yagi-Uda κεραίας

Από ένα διάγραμμα ακτινοβολίας μπορούμε να βρούμε τα παρακάτω χαρακτηριστικά μίας κεραίας (ή

και παραμέτρους του διαγράμματος όπως αναφέρονται συχνά)

Σχήμα 34 Ισοτροπική και μη

bull Κατευθυντικότητα δείκτης της ικανότητα της κεραίας να

συγκεντρώσει την ακτινοβολία εκπομπής προς μία συγκεκριμένη

κατεύθυνση και βρίσκεται αναφορικά με μία ιδανική (ισοτροπική)

κεραία Η σύγκριση την όποιας κεραίας με μία ισοτροπική φαίνεται

στο διπλανό σχήμα () Τα εμβαδά είναι ίσα οπότε εκπέμπουν

και οι δύο την ίδια ισχύ αλλά στην επιθυμητή κατεύθυνση η μη

ισοτροπική στέλνει μεγαλύτερη ισχύ Η κατευθυντικότητα λοιπόν

είναι η διαφορά σε dB των δύο διαγραμμάτων στην κατεύθυνση

του μεγίστου Είναι αντιστρόφως ανάλογη με το εύρος του κυρίως

λοβού

bull Εύρος δέσμης μισής ισχύος οριζόντιου και κάθετου επιπέδου ( HPBW )

αναφέρεται στην ενεργό περιοχή κάλυψης της κεραίας και ορίζεται ώς η γωνία μεταξύ των σημείων

του κύριου λοβού όπου η ισχύς είναι μισή της μέγιστης ή σε dB 3dB κάτω από την μέγιστη και

προσδιορίζει την περιοχή που εμφανίζεται μέγιστη εκπομπή ενώ εκτός της περιοχής αυτής η ισχύς

μειώνεται πολύ γρήγορα

bull Εύρος δέσμης επίπεδο (dB) πρώτων σημείων μηδενισμού οριζόντιου καικάθετου επιπέδου (FNBW) ορίζεται ως η γωνία μεταξύ των δύο πρώτων μηδενισμών του

μεγέθους εκατέρωθεν του κύριου λοβού

bull Λόγος κύριου προς οπίσθιο λοβό (FB)

bull Επίπεδα (dB) και εύρος γωνιών πλευρικών λοβών και οπίσθιων λοβώνbull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με τον αμέσως μικρότερο λοβό του διαγράμ-ματος ακτινοβολίας

bull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με όλους τους υπόλοιπους του διαγράμματοςακτινοβολίας

bull Λόγος κύριου προς επόμενο μεγαλύτερο λοβό (Side-Lobe Level) ορίζεται ως ο λόγος

του μεγίστου του κυρίως λοβού προς τον αμέσως μικρότερο πλευρικό λοβό (SLL = MainLobeMaxSideLobe

dB)

και είναι ένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά μίας κεραίας Πολλές φορές αναφέρεται και ώς επίπεδο

πλευρικών λοβών

Τα χαρακτηριστικά μίας κεραίας μπορούν να υπολογιστούν και να περιγραφούν όχι μόνο βάσει του

19

διαγράμματος ακτινοβολίας της Μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της μετρώντας και υπολο-

γίζοντας κατάλληλα μεγέθη και κάνοντας χρήση γνωστών μαθηματικών τύπων

bull Συνολική ακτινοβολούμενη ενέργεια η συνολική (ή μέσος όρος) ενέργεια που ακτινο-

βολεί μία κεραία και υπολογίζεται από τον τύπο

Prad = Pav =

lsaquoS

~Wrad middot d~s =

lsaquoS

~Wav middot n middot da =1

2

lsaquoS

lt( ~E times ~H) middot d~s (31)

όπου Wrad=πυκνότητα ακτινοβολίας

bull ΄Ενταση ακτινοβολίας η ενέργεια που εκπέμπεται από μία κεραία ανά μονάδα στερεάς γωνίας

U = r2 middotWrad (32)

όπου r=απόσταση

bull Κατευθυντικότητα είναι ο λόγος της ακτινοβολούμενης ενέργειας σε μία συγκεκριμένη κα-

τεύθυνση προς το μέσο όρο εκπεμπόμενης ακτινοβολίας σε όλες τις κατευθύνσεις ΄Η αλλιώς

η ένταση προς μία συγκεκριμένη κατεύθυνση προς την αντίστοιχη τιμή της αν ακτινοβολούσε

ισοτροπικά

D =U

Uo=

4pU

Prad(33)

΄Αν δεν ορίζεται κατεύθυνση σαν κατευθυντικότητα αναφέρεται η μέγιστη κατευθυντικότητα μίας

κεραίας

bull Κέρδος αν και συνδέεται με την κατευθυντικότητα είναι μία παράμετρος της κεραίας που λαμ-

βάνει υπόψιν και την αποδοτικότητα της κεραίας αλλά και τις δυνατότητες κατευθυντικότητας

Απόλυτο κέρδος κεραίας (σε συγκεκριμένη κατεύθυνση) ορίζεται ο λόγος της έντασης ακτινοβο-

λίας προς την ένταση ακτινοβολίας που θα είχε στη συγκεκριμένη κατεύθυνση άν όλη η ενέργεια

εισόδου της κεραίας εκπεμπόταν ισοτροπικά

κέρδος = 4π middot ένταση ακτινοβολίας

συνολική εισερχόμενη ενέργεια= 4π

U(θ φ)

Pinputrarr

G = 4π U(θφ)Pinput (ιδανικής ισοτροπικής πηγής)

(34)

bull Απόδοση κεραίας είναι ένας δείκτης που λαμβάνει υπόψιν τις απώλειες ενέργειας από την

είσοδο στην έξοδο της κεραίας λόγω πολλών φαινομένων Γενικά η συνολική απόδοση μίας

κεραίας δίνεται από τον τύπο

eo = er middot ec middot ed (35)

όπου eo είναι η συνολική απόδοση er είναι η απόδοση λόγω απωλειών ανακλάσεων (λόγω κακής

προσαρμογής) (= 1minus|Γ|2) ec είναι η απόδοση λόγω απωλειών αγωγιμότητας ed είναι η απόδοση

που οφείλεται στο διηλεκτρικό και Γ ο συντελεστής ανάκλασης τάσης

bull Απόδοση δέσμης είναι μία παράμετρος ποιότητας μίας κεραίας και ορίζεται από το λόγο της

ενέργειας που ακτινοβολείται από τον κύριο λοβό της κεραίας (με το λοβό σε γωνία θ0) προς τη

συνολική

BE =

acute 2π0

acute θ0U(θ φ)sin(θ)dθdφacute 2π

0

acute π0U(θ φ)sin(θ)dθdφ

(36)

όπου θ1 είναι η γωνία μισής ισχύος ΄Αν θεωρήσουμε το θ1 στην κατεύθυνση του πρώτου μηδενι-

σμού τότε θα έχουμε το λόγο της ισχύος του κυρίως λοβού προς τη συνολική

bull Εύρος σαν εύρος μιας κεραίας ορίζεται το εύρος των συχνοτήτων (bandwidth) στις οποίες

μπορεί να λειτουργήσει αποδοτικά βάσει κάποιων χαρακτηριστικών της πχ να έχει εύρος κύριου

λοβού εντός συγκεκριμένων ορίων διατηρώντας μία ελάχιστη τιμή SLL

20

33 Κατηγορίες κεραιών

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω οι κεραίες χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με τα μορ-

φολογικά αλλά και λειτουργικά χαρακτηριστικά τους Βάσει του τρόπου με τον οποίο εκπέμπουν ή

λαμβάνουν ή αλλιώς βάσει του διαγράμματος ακτινοβολίας τους χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες

bull Ισοτροπικές μία ισοτροπική κεραία ορίζεται ως μία υποθετική (ιδανική) κεραία η οποία ακτινο-

βολεί το ίδιο προς όλες τις κατευθύνσεις Δεν έχει κάποια πραγματική εφαρμογή στα τηλεπικοι-

νωνιακά συστήματα γιατί η ισχύς της εκπέμπεται προς όλες τις κατευθύνσεις το ίδιο προκαλώντας

μεγάλες απώλειες ισχύος σε ανεπιθύμητες κατευθύνσεις ΄Εχει μόνο θεωρητική αξία στη μελέτη

κεραιών και στον ορισμό κάποιων παραμέτρων των κεραιών όπως το κέρδος που είδαμε παραπάνω

bull Κατευθυντικές μία κατευθυντική κεραία ορίζεται ως η κεραία που έχει την ικανότητα να

εκπέμπει ή να λαμβάνει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αποτελεσματικότερα προς κάποιες κατευ-

θύνσεις Είναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κεραίες και η εξέλιξη αυτών είναι οι έξυπνες

κεραίες που ανάλογα με τις ανάγκες της κάθε συσκευής και τα χαρακτηριστικά του χώρου που

βρίσκεται μπορούν να αλλάξουν τη γωνία μέγιστης εκπομπής κάνοντας βέλτιστη χρήση της α-

κτινοβολούμενης ισχύος της

bull Πανκατευθυντικές μία πανκατευθυντική κεραία είναι μία κεραία η οποία ακτινοβολεί σαν

κατευθυντική εκτός από ένα επίπεδο στο οποίο εκπέμπει ή λαμβάνει ισοτροπικά Η χρήση τους

είναι κυρίως στα μέσα μαζικής επικοινωνίας όπου χρειάζεται κάλυψη του χώρου 360 μοιρών στο

οριζόντιο επίπεδο αλλά πολύ μικρής γωνίας στο κάθετο

Βάσει των μορφολογικών χαρακτηριστικών τους χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες Η κάθε

κατηγορία έχει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της που την καθιστούν κατάλληλη για κάποια

εφαρμογή και ακατάλληλη για κάποια άλλη Παρακάτω αναφέρονται οι κατηγορίες αυτές των κεραιών

με τα βασικά χαρακτηριστικά της κάθε μίας

bull Κεραίες σύρματος Είναι απλές κεραίες κατασκευασμένες από αγώγιμο υλικό συνήθως

κυκλικής διατομής Πολλές φορέα σχηματίζονται από πολλούς αγωγούς κατάλληλα συζευγμένους

μεταξύ τους σε πλέγματα διαφόρων σχημάτων που είτε δημιουργούν μία επιφάνεια είτε μία γραμμική

κεραία Η απλούστερη γραμμική κεραία είναι η κεραία διπόλου τα χαρακτηριστικά της οποίας είναι

ανάλογα με το σχετικό μήκος της ως προς το μήκος κύματος της ακτινοβολίας για την οποία προορίζε-

ται7 Οι συγκεκριμένες είναι πολύ απλές στην κατασκευή πολύ συχνά απλά συρμάτινες Αποτελείται

από ένα δίπολο του οποίου (συνήθως) η τροφοδοσία8είναι στη μέση Πλεονεκτήματα των κεραιών

αυτών είναι το κόστος το μέγεθος και η δυνατότητα κάλυψης μεγάλης περιοχής συχνοτήτων ενώ

έχουν το μειονέκτημα της χαμηλής απόδοσης λόγω των διαστάσεων τους Καλύτερα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης έχουν οι διπολικές κεραίες των οποίων το μήκος είναι της τάξης του μήκους κύματος

Σχήμα 35 Κεραία διπόλου

Μία κεραία σύρματος χαρακτηρίζεται ως rdquoλεπτήrdquoόταν η διάμε-

τρος του αγωγού είναι μικρότερη από 001λ Ανάλογα με το σχήμα

της χαρακτηρίζεται ως ευθύγραμη κεραία V ή πτυσσόμενη Στο

διπλανό σχήμα () φαίνονται μία ευθύγραμμη και μία πτυσσόμενη

διπολική κεραία Στις πτυσσόμενες σημαντική είναι η γωνία που

σχηματίζουν οι βραχίονες τους έχοντας βρεθεί ότι η μέγιστη

κατευθυντικότητα επιτυγχάνεται για γωνία α = 60λh

+ 380

όπου h είναι το μήκος του βραχίονα και λ το μήκος κύματος τη

ακτινοβολίας και ότι Dmax = 12 + 23hλ9

7Μία κεραία χαρακτηρίζεται ως ηλεκτρικά μικρή όταν οι διαστάσεις της είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος

της ακτινοβολίας8Με τον όρο τροφοδοσία εννοούμε το υπόλοιπο σύστημα το οποίο τροφοδοτεί η κεραία με το σήμα που λαμβάνει στην

περίπτωση κεραίας λήψης ή από το οποίο τροφοδοτείται με το σήμα που θα εκπέμψει στην περίπτωση κεραίας εκπομπής

9Η σχέση αυτή είναι εμπειρική και ισχύει για 05 lt h

λ lt 3

21

Σχήμα 36 Κεραία Yagi-Uda

Μία εξέλιξη των παραπάνω κεραιών είναι οι κεραίες Yagi-Udaπου ένα διάγραμμα ακτινοβολίας τέτοιας κεραίας παρατέθηκε

παραπάνω () Είναι ευθύγραμμες διπολικές κεραίες που α-

ποτελούνται από πέραν του ενός δίπολα τα οποία όμως δεν

τροφοδοτούνται όλα Τα μη τροφοδοτούμενα δίπολα ονομάζονται

παρασιτικά και τροφοδοτούνται επαγωγικά από τα υπόλοιπα Οι

κεραίες αυτές παρουσιάζουν αυξημένη κατευθυντικότητα σχετικά

με τις μη παρασιτικές κεραίες διπόλων Η πρώτη τέτοια κεραία

κατασκευάστηκε το 1926 και αποτελούταν από τρία δίπολα ένα

ενεργό και δύο παρασιτικά Στην περίπτωση που το παρασιτικό

δίπολο έχει μεγαλύτερο μήκος από του ενεργού ονομάζεται

ανακλαστήρας ενώ αν έχει μικρότερο ονομάζεται κατευθυντήρας

Μία γενική μορφή τέτοιας κεραίας φαίνεται στο διπλανό σχήμα με LR το μήκος του ανακλαστήρα και

LD το μήκος του κατευθυντήρα

bull Στοιχειοκεραίες Μία εξέλιξη των συρμάτινων κεραιών είναι οι στοιχειοκεραίες Οι

στοιχειοκεραίες αποτελούνται από πολλές κεραίες διπόλων τα στοιχεία τα οποία ενώνονται όλα σε

μία κοινή τροφοδοσία και αυτή είναι η βασική τους διαφορά από τις Yagi-Uda που έχουν παρασιτικά

στοιχεία και ο λόγος που οι τελευταίες δε θεωρούνται στοιχειοκεραίες Συστοιχείες λοιπόν πολλών

κεραιών φτιάχνουν τις στοιχειοκεραίες Ανάλογα με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της συστοιχίας

υπάρχουν κάποια είδη στοιχειοκεραιών όπως είναι οι γραμμικές (μία συστοιχία σε ευθεία γραμμή) και

οι επίπεδες (συστοιχείες συστοιχείων) Λόγω της ταυτόχρονης χρήσης πολλών κεραιών μπορούν να

συνδυάσουν τα χαρακτηριστικά τους δίνοντας δυνατότητα πολύπλοκων κατευθυντικών διαγραμμάτων

καθιστώντας τες κατάλληλες για πολλές εφαρμογές Συγκριτικά με μία κεραία μεγάλου μήκους που

θα έχει τα ίδια κατευθυντικά χαρακτηριστικά παρουσιάζει το πλεονέκτημα της εύκολης τροφοδο-

σίας της μηχανικής αντοχής και του μικρού κόστους εγκατάστασης και λειτουργίας Τέλος με

κατάλληλη τροφοδοσία του κάθε στοιχείου της μπορούμε να αλλάξουμε τα κατευθυντικά χαρακτηρι-

στικά της ΄Εχουν πολλές γεωμετρικές μορφές αλλά και είδη που θα αναφερθούν σε επόμενη παράγραφο

bull Κεραίες βρόχου ή πλαισίου Μία κεραία βρόχου αποτελείται από έναν κλειστό αγωγό σε

σχήμα βρόχου (ή και βρόχων) ο οποίος τροφοδοτείται σε ένα σημείο του Χωρίζονται σε κεραίες μικρού

και μεγάλου βρόχου συγκριτικά με το μήκος κύματος στο οποίο χρησιμοποιούνται10

Οι μικρού

βρόχου έχουν χαμηλή απόδοση και χρησιμοποιούνται κατά κόρον σε δέκτες χαμηλών συχνοτήτων

Εκτός από τους ραδιοφωνικούς δέκτες των αυτοκινήτων στους οποίους γίνεται μεγάλη χρήση των

κεραιών μικρού βρόχου το μεγαλύτερο ποσοστό των δεκτών AM χρησιμοποιούν τέτοιες κεραίες

Οι μεγάλου βρόχου έχουν ευρεία χρήση στους δέκτες VHF και UHF έχοντας και το επιπλέον

χαρακτηριστικό της μεταβλητής περιφέρειας δίνοντας δυνατότητα μεγαλύτερου εύρους συχνοτήτων

Γενικά οι κεραίες βρόχου είναι κεραίες με μεγάλη κατευθυντικότητα κάτι που τις κάνει ιδανικές σε

εφαρμογές εύρεσης κατεύθυνσης σήματος

bull Ελικοειδής κεραίες Μία ελικοειδής κεραία αποτελείται από έναν αγωγό που έχει τη μορφή

έλικας στον οποίο η τροφοδοσία είναι στο ένα του άκρο Αποτελεί συνδυασμό κεραίας βρόχου και

γραμμικής κεραίας οπότε μπορεί να εκπέμπει με δύο τρόπους (ρυθμούς) αξονικά και κάθετα στον άξονα

της έλικας κάτι που της δίνει βελτιωμένα χαρακτηριστικά συγκριτικά με τις δύο αυτές κατηγορίες

Χρησιμοποιείται κατά κόρον όπου απαιτείται κυκλική πόλωση σήματος σαν πομπός ή σε σήματα που

έχουν κυκλική πόλωση σαν δέκτης και έχει αρκετά μεγάλο εύρος ζώνης συχνοτήτων Ανάλογα με τα

χαρακτηριστικά που πρέπει να έχει μία ελικοειδής κεραία μπορεί να είναι ομοιόμορφη (όλες οι έλικες

ίδια διάμετρο) αυξανόμενης ελαττούμενης και αυξο-ελαττούμενης διαμέτρου ελίκων

bull Δικωνικές κεραίες ΄Αν δύο V ενωθούν κατακορυφήν σχηματίζεται μία δικωνική κεραία οι

οποίες έχουν αυξημένο εύρος συχνοτήτων Πολλές δικωνικές κεραίες έχουν τη δυνατότητα μεταβολής

10Σαν κεραία μικρού βρόχου θα χαρακτηριστεί η κεραία της οποίας η περιφέρεια θα είναι ίση ή μικρότερη από το ένα

δέκατο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας

22

του μήκους του βραχίονα τους δίνοντας ακόμα μεγαλύτερο εύρος Αν μία από τις δύο V κεραίες

αντικατασταθεί από μία αγώγιμη επιφάνεια σε σχήμα δίσκου έχουμε τη δισκωνική κεραία στην οποία

ο δίσκος λειτουργεί ως ανακλαστήρας Είναι κεραίες μικρής κατευθυντικότητας και χαμηλού κέρδους

και χρησιμοποιούνται πολύ σαν κεραίες ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών εκπομπών

bull Σπειροειδής κεραίες Οι σπειροειδής κεραίες είναι κεραίες με μεγάλο εύρος ζώνης

συχνοτήτων και μεγάλης κατευθυντικότητας Αποτελούνται από μία ή δύο αγωγούς που έχουν σχήμα

σπείρας και όσο μικρότερη γωνία ανοίγματος σπείρας έχουν τόσο μεγαλύτερη κατευθυντικότητα

Μπορεί να είναι επίπεδες ή κωνικές και η πόλωση του σήματος που λαμβάνουν ή εκπέμπουν είναι

ανάλογη με τη φορά των σπειρών Το εύρος συχνοτήτων τους δίνεται από το λόγο μεγαλύτερης προς

μικρότερης διαμέτρου άν και στην πραγματικότητα είναι λίγο μικρότερο του λόγου αυτού Μία αρκετά

διαδεδομένη σπειροειδής κεραία είναι η rdquoσπειροειδής του Αρχιμήδηrdquoη οποία αποτελείται από δύο σπε-

ίρες με r1 = r0φ και r2 = r0(φminusπ) οι οποίες συνήθως κατασκευάζονται πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα11

bull Κεραίες χοάνης Οι κεραίες χοάνης αποτελούνται από έναν αγωγό ο οποίος είναι από το

ένα άκρο του ανοιχτός και διεγείρεται από το άλλο του άκρο Με σωστή ρύθμιση έχουν μεγαλύτερη

απόδοση από τις συρμάτινες Ανάλογα με το σχήμα του αγωγού μπορεί να υπάρχουν αρκετά είδη

τέτοιων κεραιών τρία εκ των οποίων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα () Η κατευθυντικότητα της

είναι ανάλογη της γωνίας ανοίγματος της Στην πράξη συναντούμε ελάχιστες κεραίες χοάνης μόνες

τους αλλά σε συνδυασμό με έναν ανακλαστήρα έχουν πολύ διαδεδομένη χρήση λόγω της πολύ μεγάλης

κατευθυντικότητας που προσφέρουν ειδικά στις περιπτώσεις που ο ανακλαστήρας είναι παραβολικός

όπου υπάρχει η δυνατότητα παραγωγής πολύ στενής δέσμης υψηλού κέρδους και χαμηλού θορύβου

Χρησιμοποιούνται πολύ στις δορυφορικές επικοινωνίες και η πιο συνηθισμένη τους μορφή είναι τα umlπιάταrsquo

που χρησιμοποιούνται για τη λήψη δορυφορικών σημάτων

Σχήμα 37 Κεραίες χοάνης α)τομέας β)πυραμοειδής και γ)κωνική

bull Λογαριθμικές περιοδικές κεραίες Είναι κεραίες των οποίων τα μορφολογικά χα-

ρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με την απόσταση από την αρχή της κεραίας Υπάρχει ένα

επαναλαμβανόμενο στοιχείο κεραίας το οποίο μεγαλώνει όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της

κεραίας Μπορεί να είναι μία πλάκα με οδοντώσεις το μέγεθος των οποίων μεταβάλλεται ένα σύρμα

11Οι κεραίες που είναι κατασκευασμένες πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα ή αλλιώς σε μικροταινίες ανήκουν και στην

κατηγορία των μικροταινιακών κεραιών πολύ διαδεδομένη στις ηλεκτρονικές φορητές συσκευές που λειτουργούν στην

περιοχή των μικροκυμάτων (λόγω διαστάσεων κεραιών είναι ιδανικές για την περιοχή αυτή)

23

Σχήμα 38 Λογαριθμική περιοδική κεραία

το οποίο διπλώνεται κατάλληλα και το μέγεθος της κάθε δίπλωσης μεταβάλλεται ή ακόμα και από

δίπολα το μήκος των οποίων μεταβάλλεται Πολλές κεραίες που ανήκουν σε παραπάνω κατηγορίες είναι

λογαριθμικές μπορεί να είναι λογαριθμικές αν η μεταβολή των επαναλαμβανόμενων στοιχείων ακολουθεί

το συγκεκριμένο πρότυπο Μία τέτοια φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () η οποία ανήκει στην

κατηγορία των στοιχειοκεραίων Λόγω των επαναλαμβανόμενων στοιχείων των οποίων συνδυάζουν τα

χαρακτηριστικά μπορούν να έχουν πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων και συγκεκριμένα εύρος μίας τάξης

μεγέθους επιτυγχάνεται εύκολα και μπορούν να έχουν και αρκετά μεγάλη κατευθυντικότητα Βρίσκουν

πολλές εφαρμογές στις επικοινωνίες υψηλών συχνοτήτων και ειδικά στα τηλεοπτικά σήματα αφού με

μία κεραία μπορεί κάποιος να λαμβάνει ικανοποιητικά όλα τα διαθέσιμα κανάλια χωρίς καμία προσαρμογή

34 Στοιχειοκεραίες

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω η μορφή του διαγράμματος εκπομπής και λήψης των κεραιών

εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της κεραίας Σε πολλές εφαρμογές απαιτούνται κεραίες μεγάλου

κέρδους ή αλλιώς μεγάλης κατευθυντικότητας Μία κεραία για να έχει μεγάλη κατευθυντικότητα

θα πρέπει να έχει πολύ μεγάλο μέγεθος Το πρόβλημα αυτό λύνεται φτιάχνοντας σύνθετες κεραίες

Κεραίες που αποτελούνται από μικρότερες κεραίες είτε όμοιες μεταξύ τους είτε ανόμοιες Τέτοιες

συστοιχίες κεραιών όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ονομάζονται στοιχειοκεραίες Το κάθε στοιχείο

μίας στοιχειοκεραίας μπορεί να είναι οποιασδήποτε μορφής κεραία (σύρματος οπής κλπ) με βασικό

χαρακτηριστικό όλα τα στοιχεία να έχουν κοινή τροφοδοσία Το συνολικό πεδίο θα είναι το διανυ-

σματικό άθροισμα των πεδίων κάθε στοιχείου ξεχωριστά Οπότε μπορούμε να έχουμε το επιθυμητό

πεδίο φτιάχνοντας την κεραία μας έτσι ώστε στα σημεία που θέλουμε μεγάλο κέρδος να συμβάλουν

εποικοδομητικά τα πεδία των στοιχείων της κεραίας και στα σημεία που δεν θέλουμε να ακτινοβολεί να

έχουμε καταστροφική συμβολή

Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας θα εξαρτάται από τους εξείς παράγοντες

bull Τη γεωμετρία της στοιχειοκεραίας ( γραμμικήκυκλικήορθογώνια σφαιρική κλπ)

bull Την απόσταση μεταξύ των στοιχείων της κεραίας

bull Την ένταση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

bull Τη φάση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

24

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

ζητούμενης συνάρτησης (ελάχιστη ή μέγιστη) Αν δεν είναι μία η προς βελτιστοποίηση συνάρτηση

η διαδικασία ονομάζεται βελτιστοποίηση με πολλαπλά κριτήρια που είναι η διαδικασία της ταυτόχρονης

βελτιστοποίησης δυο ή περισσότερων αντικρουόμενων ζητημάτων με διαφόρους περιορισμούς σε ένα

πρόβλημα

Με μαθηματικούς όρους το πρόβλημα βελτιστοποίησης με πολλαπλά κριτήρια μπορεί να διατυπωθεί

ως εξής (για ελαχιστοποίηση συνάρτησης)

minx [micro1(x) micro2(x) micron(x)]T όταν ισχύουν g(x) le 0 h(x) = 0 και xl le x le xu

όπου microi είναι η αντικειμενική συνάρτηση του i κριτηρίου τα g και h είναι οι περιορισμοί ανισότητας και

ισότητας αντίστοιχα και το x είναι το διάνυσμα των μεταβλητών βελτιστοποίησης ή απόφασης Η λύση

για το ανωτέρω πρόβλημα είναι ένα σύνολο από σημεία Pareto Οι λύσεις Pareto είναι εκείνες για της

όποιες η βελτιστοποίηση ενός κριτηρίου μπορεί να επέλθει μόνο με την χειροτέρευση ενός τουλάχιστον

κριτηρίου Παρόλα αυτά αντί για μια μόνο λύση στο πρόβλημα (κάτι το οποίο είναι τυπικά η περίπτωση

του παραδοσιακού μαθηματικού προγραμματισμού) η λύση σε ένα πρόβλημα πολλαπλών κριτηρίων είναι

μια σειρά (πιθανότατα άπειρων) σημείων Pareto5

Υπάρχουν αρκετοί τρόποι επίλυσης τέτοιων προβλημάτων Οι πιο διαδεδομένοι είναι

bull Κατασκευή συναθροίσματος αντικειμενικών συναρτήσεων (Aggregate Objec-tive Function - AOF) Αυτή είναι ίσως η πιο διαισθητική προσέγγιση για την επίλυση προ-

βλημάτων με πολλαπλά κριτήρια Η βασική ιδέα είναι να συνδυαστούν όλες οι αντικειμενικές

συναρτήσεις σε μια μόνο συναρτησιακή μορφή η οποία ονομάζεται AOF ΄Ενας γνωστός συνδυα-

σμός είναι το σταθμισμένο γραμμικό άθροισμα των κριτηρίων Ορίζουμε κάποιο rdquoβάροςrdquoγια το

κάθε προς βελτιστοποίηση κριτήριο (έναν παράγοντα με τον οποίο θα το πολλαπλασιάσουμε) και

στη συνέχεια τα συνδυάζουμε σε μια συνάρτηση αθροισμάτων όλων των όρων που δημιουργήσαμε

η οποία θα μπορεί να επιλυθεί με απλή βελτιστοποίηση Ξεκάθαρα η λύση που θα προκύψει θα

βασίζεται στις τιμές (πιο συγκεκριμένα τις σχετικές τιμές) των παραγόντων που καθορίστηκαν

Για παράδειγμα αν προσπαθούμε να μεγιστοποιήσουμε την δύναμη ενός εξαρτήματος μιας μηχανής

και να ελαχιστοποιήσουμε το κριτήριο του κόστους και αν έχει οριστεί υψηλότερο rdquoβάροςrdquoγια το

κριτήριο κόστους έναντι αυτού της δύναμης η λύση μας θα ικανοποιεί τα κριτήρια της μείωσης του

κόστους έναντι στην αύξηση της δύναμης Παρόλα αυτά μπορεί να παρατηρηθεί ότι η μέθοδος

αυτή είναι κατά βάση υποκειμενική καθώς τα βάρη ορίζονται από το χρήστη ή προγραμματιστή

και ότι δεν μπορεί να προσεγγίσει όλες τις βέλτιστες λύσεις (σημεία Pareto) του προβλήματος

bull Μέθοδοι NBI NC SPO Οι μέθοδοι NBI (Λογικής Οριακής Διατομής Normal BoundaryIntersection ) NC (Λογική Σύγχυση Normal Constraint ) και SPO (Διαδοχικής Pareto Βελτι-

στοποίησης Successive Pareto Optimization ) επιλύουν προβλήματα βελτιστοποίησης πολλαπλών

κριτηρίων κατασκευάζοντας διάφορες AOF Η επίλυση της κάθε τέτοιας συνάρτησης αποδίδει ένα

σημείο λύσης Pareto κάτω από κάποιες υποθέσεις Εάν οι υποθέσεις δεν ισχύουν τότε η μέθοδος

NC προτείνει την αφαίρεση των μη αποδεκτών σημείων διαδοχικά με ένα κατάλληλο φίλτρο Οι

AOF κατασκευάζονται με σκοπό να αποκτήσουν εν τέλη διανεμημένα σημεία Pareto τα οποία

δίνουν μια καλή εντύπωση (διαδικασία προσέγγισης) του πραγματικού συνόλου των αποδεκτών

σημείων Οι μέθοδος NC και SPO δημιουργούν λύσεις που αναπαριστούν μερικές περιφερειακές

περιοχές του συνόλου των σημείων Pareto για περισσότερα από 2 κριτήρια τα οποία είναι γνωστό

πως δεν αναπαρίστανται από τις λύσεις που δημιουργούνται από την μέθοδο NBI

bull Εξελικτικοί Αλγόριθμοι Οι αλγόριθμοι που ανήκουν στην εξελικτική υπολογιστική (ή εξε-

λικτικό λογισμό) είναι πολύ δημοφιλείς προσεγγίσεις στις βελτιστοποιήσεις πολλαπλών κριτηρίων

στους οποίους θα αναφερθούμε εκτενώς

5΄Ενα σημείο σχεδιασμού στον αντικειμενικό χώρο microlowast

ορίζεται ως βέλτιστο Pareto αν δεν υπάρχει κανένα άλλο εφικτόδιάνυσμα μ τέτοιο ώστε microi le microlowast

i για όλα τα i isin 1 2 n και microj lt microlowastj για τουλάχιστον έναν δείκτη j όπου j isin

1 2 n

4

Η Εξελικτική Υπολογιστική (ή Εξελικτικός Λογισμός) αποτελεί έναν κλάδο της τεχνητής νοη-

μοσύνης η ανάπτυξή του οποίου προέκυψε από τη μελέτη των έμβιων οργανισμών και η λογική της

βασίζεται σε έννοιες που καθορίζουν την εξέλιξη και επιβίωση τους όπως αυτές του πληθυσμού της

μετάλλαξης και της φυσικής επιλογής (επιβίωση του πιο προσαρμοσμένου) Βάσει κάποιων θεωριών

και πρακτικών εμπνευσμένων από τη φύση αναπτύσσεται μία μέθοδος για την αναπαράσταση και την

επεξεργασία των δεδομένων ενός προβλήματος με σκοπό την ακριβέστερη επίλυση του Πιθανές λύσεις

αναπαρίστανται σαν οντότητες ή άτομα ενός πληθυσμού ο οποίος μέσω των εκάστοτε διαδικασιών

οδηγεί στην επιλογή των βέλτιστων ή της βέλτιστης όλων των πιθανών λύσεων μέσω της εξέλιξης

του Οι μέθοδοι αυτές μπορούν να διακριθούν περαιτέρω σε εξελικτικούς αλγόριθμους (EvolutionaryAlgorithms) και σε νοημοσύνης (ή λογικής) σμήνους (Swarm Intelligence) όπως πχ οι αλγόριθμοι

που προσομοιάζουν τη συμπεριφορά μίας κοινωνίας μυρμηγκιών ΄Ενας τέτοιος αλγόριθμος βασισμένος

στον εξελικτικό λογισμό βελτιστοποιεί τις λύσεις με τη μέθοδο metaheuristicΣτους Εξελικτικούς

Αλγόριθμους χρησιμοποιούνται μηχανισμοί εμπνευσμένοι από την βιολογική εξέλιξη αναπαραγωγή

μετάλλαξη συνδυασμός και επιλογή Οι υποψήφιες λύσεις για το πρόβλημα βελτιστοποίησης παίζουν

το ρόλο των ατόμων ενός πληθυσμού και η fitness function (συνάρτηση του προβλήματος) καθορίζει

το περιβάλλον μέσα στο οποίο οι λύσεις αυτές umlζουνuml Η εξέλιξη των πληθυσμών γίνεται μετά από

επαναλαμβανόμενη εφαρμογή των παραπάνω τελεστών Η τεχνητή εξέλιξη (artifitial evolution (AE))περιγράφει τη διαδικασία περιέχοντας ξεχωριστούς εξελικτικούς αλγόριθμους Οπότε οι Εξελικτικοί

Αλγόριθμοι αποτελούν μία μέθοδο τεχνητής εξέλιξης και οι αλγόριθμοι αυτοί ανήκουν στο χώρο της

τεχνητής νοημοσύνης6 Οι αλγόριθμοι που βασίζονται στη λογική (ή νοημοσύνη) σμήνους αναπαρι-

στούν τις λύσεις ως αυτόνομους οργανισμούς που ονομάζονται πράκτορες ή διαμεσολαβητές (boids) οι

οποίοι αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και με το περιβάλλον που έχει σχεδιαστεί να τους περιβάλλει και η

βελτιστοποιημένη λύση δημιουργείται από τις αλληλεπιδράσεις αυτές οδηγώντας όλους τους πράκτορες

σε μία βέλτιστη και καθολική rdquoσυμπεριφοράrdquo

Οι αλγόριθμοι που βασίζονται στον εξελικτικό λογισμό λειτουργούν πολύ ικανοποιητικά προ-

σεγγίζοντας λύσεις για όλων των ειδών τα προβλήματα γιατί έχουν το ιδανικό χαρακτηριστικό να

μην κάνουν καμία υπόθεση και να μη χρειάζεται να έχουν γνώση του περιβάλλοντος που rdquoζουνrdquoοιπληθυσμοί που θα επεξεργαστούν Αυτό φαίνεται από τις επιτυχίες που έχουν σε τόσο διαφορετικά

μεταξύ τους πεδία όπως είναι η μηχανική η τέχνη η βιολογία τα οικονομικά το marketing η γε-

νετική η επιχειρησιακή έρευνα η ρομποτική οι κοινωνικές επιστήμες η φυσική η πολιτική και η χημεία

Με τον όρο metaheuristic 7μέθοδο στην υπολογιστική επιστήμη υποδεικνύεται μία υπολογιστική

μέθοδο η οποία βελτιστοποιεί ένα πρόβλημα προσπαθώντας με πολλές επαναλήψεις να βελτιώσει μία

υποψήφια λύση με βάση κάποιο δεδομένο μέτρο ποιότητας Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιεί λίγες ή και

καθόλου υποθέσεις σχετικά με το πρόβλημα το οποίο βελτιστοποιεί και έχει τη δυνατότητα να ερευνήσει

μεγάλα διαστήματα υποψήφιων λύσεων Πολλές τέτοιες μέθοδοι υλοποιούν μία μορφή πιθανολογικής

βελτιστοποίησης (stochastic optimization )

Χρησιμοποιώντας τον όρο Stochastic optimization (SO)(στοχαστική ή πιθανολογική βελτιστοπο-

ίηση) αναφερόμαστε σε μεθόδους βελτιστοποίησης οι οποίες παράγουν και χρησιμοποιούν τυχαίες

μεταβλητές Στα στοχαστικά προβλήματα (stochastic problems)οι τυχαίες μεταβλητές εμφανίζονται

στη διατύπωση του προβλήματος βελτιστοποίησης που περιέχει τυχαίες αντικειμενικές συναρτήσεις ή τυ-

χαίους περιορισμούς Μία άλλη κατηγορία στοχαστικών μεθόδων βελτιστοποίησης περιέχουν μεθόδους

με τυχαίες επαναλήψεις Μερικές χρησιμοποιούν τυχαίες επαναλήψεις ώστε να λύσουν στοχαστικά

προβλήματα συνδυάζοντας και τις δύο έννοιες ή κατηγορίες της στοχαστικής βελτιστοποίησης Οι

μέθοδοι στοχαστικής βελτιστοποίησης γενικεύουν αιτιοκρατικές μεθόδους για αιτιοκρατικά προβλήματα

6Λογισμικά ή πλήρεις μηχανές οι οποίες μπορούν να επιλύουν με αποδεκτά αποτελέσματα ρεαλιστικά υπολογιστικά

προβλήματα οποιουδήποτε τύπου χαρακτηρίζονται ως ασθενής Τεχνητής Νοημοσύνης Ως ισχυρής Τεχνητής νοημοσύνης

χαρακτηρίζονται μηχανικά ανδροειδή ή αυτοσυνείδητα προγράμματα υπολογιστή7΄Αλλοι όροι που έχουν παρόμοια σημασία με τον όρο metaheuristic είναι derivative-free (χωρίς παράγωγο)direct

search (άμεση αναζήτηση)black-box (μαύρο κουτί) ή απλά heuristic optimizer(ευρετική βελτιστοποίηση)

5

13 Αλγόριθμοι και μέθοδοι βελτιστοποίησης

Πολλοί αλγόριθμοι έχουν σχεδιαστεί που να χρησιμοποιούν την παραπάνω μέθοδο Παρακάτω α-

ναφέρονται οι δημοφιλέστερες κατηγορίες των εξελικτικών αλγορίθμων που υπάρχουν με περιληπτική

περιγραφή των αρχών ή θεωριών στις οποίες βασίζονται8 Οι Ant Colony Optimization και Particle

Swarm Optimization (PSO) τυπικά δεν ανήκουν στους Εξελικτικούς Αλγόριθμους γιατί βασίζονται στη

Νοημοσύνη Σμήνους αλλά αναφέρονται λόγω ευρείας χρήσης στη βελτιστοποίηση πολλαπλών κριτηρίων

Ant Colony Optimization (ACO)

Αλγόριθμος βελτιστοποίησης συναρτήσεων του οποίου η θεωρία στηρίζεται στις αποικίες μυρ-

μηγκιών και στον τρόπο εύρεσης φαγητού και ανήκει στην οικογένεια των αλγορίθμων που βασίζονται

σε μεθόδους λογικής σμήνους (swarm intelligence) Αρχικά τα μυρμήγκια κινούνται τυχαία προς

αναζήτηση τροφής ΄Οταν κάποιο βρει τροφή γυρνώντας στη φωλιά αφήνει ένα ίχνος από φερορμόνες

Το ίχνος αυτό ελκύει τα υπόλοιπα μέλη της αποικίας να το ακολουθήσουν και να βρουν την τροφή

΄Οσο πιο πολλά ακολουθούν τόσο πιο έντονο γίνεται το ίχνος ΄Αν έχουν δημιουργηθεί πέραν του

ενός μονοπάτια σε λίγη ώρα το πιο σύντομο θα χρησιμοποιείται από πιο πολλά μυρμήγκια οπότε θα

έχει πιο έντονο ίχνος και σιγά σιγά θα γίνει το επικρατέστερο με τελικό αποτέλεσμα να γίνει το μόνο

μονοπάτι που ακολουθεί όλη η αποικία Χρησιμοποιώντας την παραπάνω λογική κάθε πιθανή λύση

αναπαρίσταται ώς ένα μυρμήγκι και κάθε τιμή κάθε παραμέτρου του προβλήματος με τα σημεία από τα

οποία μπορεί να περάσει κάθε μυρμήγκι Μετά από αρκετές επαναλήψεις καταλήγουν τα μυρμήγκια να

ακολουθούν όλα την ίδια διαδρομή ΄Εχουν επιλεχθεί δηλαδή οι βέλτιστες τιμές κάθε παραμέτρου και

οι λύσεις είναι οι βέλτιστες

Particle Swarm Optimization (PSO)

Είναι μία μετευρετική (metaheuristic) μέθοδος βελτιστοποίησης Η μέθοδος αυτή επιχειρεί

την βελτιστοποίηση ενός προβλήματος προσπαθώντας με επαναληπτικές διαδικασίες να βελτιώσει

μία υποψήφια λύση βάσει κάποιου κριτηρίου ποιότητας ΄Εχει το χαρακτηριστικό των μεθόδων που

στηρίζονται στη λογική σμήνους η οποία είναι πως η κίνηση κάθε ατόμου του πληθυσμού επηρεάζει

την κίνηση των υπολοίπων Αρχικά δημιουργείται ένας πληθυσμός με τυχαίες διαδικασίες ο οποίος

πληθυσμός κινείται στον ορισμένο χώρο βάσει απλών μαθηματικών μοντέλων που καθορίζουν τη

θέση και την ταχύτητα του κάθε μέλους του Κάθε μέλος έχει το τοπικό του μέγιστο από το

οποίο επηρεάζεται και καθοδηγείται προς το καλύτερο τοπικό μέγιστο της εγγύς περιοχής που είναι

σημεία που βρέθηκαν από άλλα μέλη ΄Ετσι τείνουν να κινηθούν όλα τα μέλη προς τα μέγιστα που

ανακαλύπτονται κατά τη διάρκεια της διαδικασίας ΄Ως μετευρετική μέθοδος απαιτεί ελάχιστες ως και

καθόλου αρχικές υποθέσεις βασισμένες στο πρόβλημα και μπορεί να ερευνήσει πολύ μεγάλο εύρος

πιθανών λύσεων χωρίς όμως να εγγυάται την εύρεση μίας βέλτιστης λύσης για κάποιο πρόβλημα

Differential Evolution (DE)

Οι αλγόριθμοι Διαφορικής Εξέλιξης βρίσκουν τη βέλτιστη λύση ενός προβλήματος δημιουρ-

γώντας ένα σύνολο υποψήφιων λύσεων το οποίο αποτελεί τον πληθυσμό Κάθε λύση κινείται σε

έναν ορισμένο χώρο χρησιμοποιώντας απλούς μαθηματικούς τύπους για να καθοριστεί η συνδυασμένη

κίνησή τους ΄Αν η καινούρια θέση μίας λύσης οδηγεί σε βελτίωση του συνόλου η λύση αυτή διατηρείται

Αλλιώς καταργείται και αντικαθίσταται από μία άλλη που προκύπτει από συνδυασμό των υπόλοιπων

που διατηρήθηκαν Η διαδικασία συνεχίζει μέχρι να φτάσει σε μία βέλτιστη λύση βάσει των κριτηρίων

που έχουν οριστεί Η σύγκριση της παρούσας από την παρελθοντική τιμή της συνάρτησης δίνει το

διαφορικό χαρακτήρα στους αλγόριθμους Χαρακτηριστικό και αρνητικό των αλγορίθμων αυτών είναι

ότι δεν είναι σίγουρο ότι θα φτάσουν στη βέλτιστη λύση γιατί εξαρτάται η εξέλιξη της διαδικασίας

8Κάθε μία από τις κατηγορίες αυτές δημιουργήθηκαν σαν αλγόριθμοι αλλά λόγω των πολλών παραλλαγών τους που

υπάρχουν πλέον θεωρούνται κατηγορίες αλγορίθμων ή ακόμα και κατηγορίες μεθόδων βελτιστοποίησης

6

από τον αρχικό πληθυσμό ΄Εχει αρκετές ομοιότητες με τη προηγούμενη μέθοδο βελτιστοποίησης με

βασικές διαφορές ότι η επόμενη λύση σε αυτή τη μέθοδο εξαρτάται από την προηγούμενη ενώ στην AntColony όχι και ότι δεν εξερευνά όλες τις πιθανές λύσεις αλλά τις λύσεις που υπάρχουν στον αρχικό

πληθυσμό της και κάποιους συνδυασμούς αυτών ενώ η Ant Colony μπορεί να εξετάσει όλα τα πιθανά

σημεία που υπάρχουν

Evolutionary Strategy (ES)

Η μέθοδος αυτή βασίζεται στην ιδέα της προσαρμογής και εξέλιξης των ειδών Χρησιμοποιεί

φυσικούς μηχανισμούς για την αναπαράσταση και βελτιστοποίηση των προβλημάτων Κύρια χαρακτηρι-

στικά εξέλιξης των λύσεων είναι η μετάλλαξη και η επιλογή Το πλήθος των λύσεων αποτελεί μία γενιά

Αρχικά δημιουργείται τυχαία μία γενιά οι αρχικοί γονείς Η επόμενη γενιά δημιουργείται από μετάλλαξη

της προηγούμενης των γονέων Αν οι απόγονοι είναι καλύτεροι ή έστω ισάξιοι με τους γονείς παίρνουν

τη θέση τους και γίνονται οι γονείς της επόμενης γενιάς αλλιώς απορρίπτονται Η μετάλλαξη των

γονέων γίνεται με προσθήκη τυχαίας μεταβλητής (από κανονική κατανομή) σε κάποια συνιστώσα τους

Λόγω της τυχαίας μετάλλαξης είναι πιο πιθανό να φτάσουν σε βέλτιστη λύση από τους αλγόριθμους

διαφορικής εξέλιξης Αλλά έχουν το αρνητικό της καταστροφής των γονέων χάνοντας έτσι κάποια

πιθανώς καλά μέλη τους πληθυσμού Το αρνητικό αυτό μπορεί κάπως να μετριαστεί δημιουργώντας

πάνω από έναν απογόνους από κάθε γονέα και κάνοντας επιλογή των καλύτερων για την επόμενη γενιά

Genetic Algorithm (GA)

Μία παραλλαγή της παραπάνω μεθόδου είναι οι Γενετικοί Αλγόριθμοι Και στη μέθοδο αυτή

υπάρχει η έννοια των γενεών Κάθε λύση αναπαρίσταται ως ένα χρωμόσωμα ή γενότυπο Δη-

μιουργείται τυχαία ο αρχικός πληθυσμός και υπολογίζεται η τιμή της συνάρτησης που θέλουμε να

βελτιστοποιήσουμε για κάθε μέλος της Επιλέγονται τα καλύτερα μέλη της γενιάς βάση των υπολογι-

σμένων τιμών τα οποία θα αποτελέσουν τους γονείς για την επόμενη Στη συνέχεια δημιουργείται η

νέα γενιά μέσω του μηχανισμού της αναπαραγωγής των γονέων κυρίως και ίσως με τυχαία μετάλλαξη

κάποιων γονέων Υπολογίζεται η νέα τιμή της συνάρτησης για κάθε μέλος και επιλέγονται οι γονείς

για την επόμενη γενιά Μέσω της επαναληπτικής αυτής διαδικασίας ο αλγόριθμος βελτιστοποιεί την

τιμή της συνάρτησης του προβλήματος Ο τερματισμός του αλγορίθμου γίνεται είτε όταν επιτευχθεί

μία επιθυμητή τιμή της συνάρτησης ή αν ολοκληρωθεί συγκεκριμένος αριθμός επαναλήψεων ή χρόνος

εκτέλεσης χωρίς να βρεθεί βέλτιστη λύση Λόγω του μηχανισμού της αναπαραγωγής έχει το αρνητικό

ότι εξαρτάται και αυτή η μέθοδος από την αρχική τυχαία επιλογή του πληθυσμού κάτι που όμως

δεν έχει τόση βαρύτητα όπως στη μέθοδο Διαφορικής Εξέλιξης λόγω του ότι χρησιμοποιείται και η

τυχαία μετάλλαξη σαν μηχανισμός δημιουργίας απογόνων Ακόμα έχουν το αρνητικό της προηγούμενης

μεθόδου ότι οι γονείς που θα βγάλουν καλύτερους απογόνους καταστρέφονται

Stud Genetic Algorithm (StudGA)

Ο αλγόριθμος αυτός είναι μία παραλλαγή των Γενετικών Αλγορίθμων που δίνει καλύτερα απο-

τελέσματα Αντί να δημιουργεί έναν αρχικό πληθυσμό (stud) δημιουργεί μία αρχική πιθανή λύση

η οποία στη συνέχεια μεταλλάσσεται για τη δημιουργία του αρχικού πληθυσμού Κάθε πιθανή λύση

έχει τη δυνατότητα να αλλάξει με ανακάτεμα των βιτς που αντιπροσωπεύουν το χρωμόσωμα της

βάσει προκαθορισμένης πιθανότητας Στη συνέχεια το καλύτερο χρωμόσωμα ή αλλιώς η καλύτερη

λύση επιλέγεται ως αρχική (stud) βάσει της οποίας θα δημιουργηθεί ο καινούριος πληθυσμός και η

διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να τερματιστεί ο αλγόριθμος Στην ουσία αυτή είναι και η βασική

του διαφορά από τους υπόλοιπους Γενετικούς αλγόριθμους χρησιμοποιεί την καλύτερη λύση κάθε

γενιάς για μοναδικό rdquoγονέαrdquoκάθε επόμενης γενιάς χαρακτηριστικό που βελτιώνει συγκριτικά με τους

απλούς Γενετικούς Αλγόριθμους τις επιδόσεις του

7

Biogeography-Based Optimization (BBO)

Είναι ένας αλγόριθμος που βασίζεται στη βιογεωγραφία Η βιογεωγραφία μελετάει την ανάπτυξη και

εξέλιξη διαφόρων ειδών σε γειτονικές περιοχές τις οποίες ονομάζει umlνησιάuml Κάθε umlνησίrsquo είναι και μία

λύση του προβλήματος Τα είδη είναι οι παράμετροι της κάθε λύσης Κάθε λύση χαρακτηρίζεται από

τις μεταβλητές που ονομάζονται rdquoδείκτες καταλληλότητας rdquo(suitability index variables -SIVs)και οι

μεταβλητές αυτές ορίζουν μία τιμή για τον δείκτη καταλληλότητας περιοχής (habitat suitability index-HSI)Οι περιοχές με υψηλό δείκτη καταλληλότητας είναι και οι καλύτερες λύσεις Κάθε λύση τείνει

προς τη βέλτιστη παίρνοντας χαρακτηριστικά ή είδη από άλλες περιοχές μέσω του μηχανισμού της

μετανάστευσης Ο αλγόριθμος τερματίζει είτε μετά από προκαθορισμένο αριθμό κύκλων είτε μετά από

την επίτευξη κάποιου στόχου

Probability-Based Incremental Learning (PBIL)

Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στην δημιουργία και δειγματοληψία συνόλων πιθανών λύσεων με

αποκλειστικά πιθανοκρατικούς τρόπους για την εύρεση της βέλτιστης λύσης ενός προβλήματος Η

βελτιστοποίηση νοείται σαν μία βελτίωση του πιθανοκρατικού μοντέλου αρχίζοντας με ομοιόμορφης

κατανομής μοντέλο και καταλήγοντας σε ένα μοντέλο που παράγει βέλτιστες λύσεις Κύρια διαφορά με

τις μεθόδους που έχουν ήδη αναφερθεί είναι ότι η συγκεκριμένη μέθοδος παράγει κάθε φορά καινούριο

πληθυσμό μεταβάλλοντας το μοντέλο με το οποίο παράγεται ο πληθυσμός βάση της καταλληλότητας

του πληθυσμού που παράχθηκε ενώ οι προηγούμενοι μετέβαλλαν τον πληθυσμό τον ίδιο Αυτό το

χαρακτηριστικό κάνει τους αλγόριθμους που βασίζονται σε αυτή τη μέθοδο να είναι αποτελεσματικού

σε κάποια προβλήματα που άλλοι δεν μπορούν να βρουν βέλτιστη λύση όπως πχ σε προβλήματα

των οποίων κάποιες παράμετροι επηρεάζονται ή εξαρτώνται ισχυρά από κάποιες άλλες Η καθαρά

πιθανοκρατική μέθοδος που ακολουθεί εξαλείφουν τέτοια προβλήματα

Υπάρχουν και άλλοι αλγόριθμοι ή κατηγορίες αλγορίθμων που αναπτύσσονται και χρησιμοποιούνται

σε προβλήματα βελτιστοποίησης πέραν των παραπάνω ΄Ομως η αναφορά τους ξεφεύγει από τα πλαίσια

της παρούσας εργασίας μιας και οι παραπάνω χρησιμοποιήθηκαν στη λύση του προβλήματος

Στη συνέχεια θα γίνει μία πιο ενδελεχής περιγραφή ενός BBO αλγόριθμου και συγκεκριμένα του

Dan Simon ο οποίος χρησιμοποιήθηκε στη λύση του προβλήματος της συγκεκριμένης εργασίας

8

Κεφάλαιο 2

Biogeography-Based Optimization

21 Εισαγωγή στην BBO

Ο Biogeographic-Based Optimization αλγόριθμος είναι ένας εξελικτικός αλγόριθμος που βασίζεται

στη λογική της βιογεωγραφικής εξέλιξης των ειδών Με τον όρο rdquoΒιογεωγραφίαrdquoπεριγράφεται η μελέτη

της γεωγραφικής κατανομής των βιολογικών οργανισμών Η μαθηματικοποίηση του φαινομένου μελε-

τάται από τις αρχές της δεκαετίας του 1960 και εξελίσσεται συνεχώς Στο φαινόμενο αυτό βασίζονται

και οι βιογεωγραφικοί αλγόριθμοι Η επιστημονική βάση της βιογεωγραφικής θεωρίας εδραιώθηκε από

τους φυσιοδίφες του 19ou αιώνα και συγκεκριμένα τον Charles Darwin (Δαρβίνο όπως συνηθίζεται να

αποκαλείται στα ελληνικά) και τον Alfred WallaceΗ αρχή των μαθηματικών μοντέλων έγινε στις αρχές

του 1960 από τους Robert McArthur και Edward Wilson με κατάληξη την έκδοση του rdquoThe theory ofIsland Biogeographyrdquo το 1967 Πρωτεύον αντικείμενο έρευνας ήταν η κατανομή διαφόρων ειδών σε γει-

τονικά νησιά και το μαθηματικό μοντέλο του αφανισμού και της μετανάστευσης τους από νησί σε νησί Η

ανάπτυξη λοιπόν των βιογεωγραφικών αλγορίθμων βασίζεται και μελετάει το πώς μεταναστεύει κάποιο

είδος από ένα νησί σε ένα άλλο πώς καινούρια είδη εμφανίζονται και πώς άλλα εξαφανίζονται Αντί για

τον όρο rdquoνησίrdquo μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ο όρος rdquoβιότοποςrdquo βάση του παραπάνω χαρακτηριστικών

Οι βιογεωγραφικοί αλγόριθμοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε οποιοδήποτε τομέα επιστήμης Οι

γεωγραφικές περιοχές που είναι κατάλληλες για τα είδη τα rdquoνησιάrdquo θεωρούμε ότι έχουν υψηλό δείκτη

καταλληλότητας (high Habitat Suitability Index (HSI))Μερικά χαρακτηριστικά που συσχετίζονται

με το δείκτη αυτό θα είναι οι βροχοπτώσεις η ποικιλομορφία της βλάστησης η ποικιλομορφία των

τοπογραφικών χαρακτηριστικών το έδαφος και η θερμοκρασία Οι μεταβλητές που χαρακτηρίζουν άν

είναι ή όχι ένας βιότοπος κατοικήσιμος ονομάζονται μεταβλητές δείκτη καταλληλότητας(SuitabilityIndex Variables (SIVs))Οι SIV μπορούν να θεωρηθούν ως ανεξάρτητες μεταβλητές του βιοτόπου και

ο HSI ως εξαρτημένη Ανάλογα με τον τομέα στον οποίο θα χρησιμοποιηθούν ορίζεται τι είναι τα

rdquoείδηrdquoκαι πώς ορίζεται ένα rdquoνησίrdquo Γενικά σαν είδος μπορεί να θεωρηθεί κάποια παράμετρος ή ένα

χαρακτηριστικό ενός προβλήματος και σαν rdquoνησίrdquoμία ομάδα τέτοιων παραμέτρων ή χαρακτηριστικών

22 Βιογεωγραφία

Βάση των παραπάνω μπορεί να γίνει μία ανάλυση της γενικής ιδέας της μεθόδου Βιότοποι με

υψηλό HSI θα έχουν μεγάλους αριθμούς ειδών ενώ αντίθετα περιοχές με χαμηλό HSI θα έχουν μικρό

αριθμό ειδών Περιοχές με υψηλό HSI λόγω των πολλών ειδών που έχουν και του πιθανού κορεσμού

τους θα έχουν πολλά είδη που θα μεταναστεύουν σε κοντινά νησιά ενώ θα έχουν λίγα είδη που θα

μεταναστεύουν προς αυτά Ο ρυθμός λοιπόν μετανάστευσης προς γειτονικές περιοχές θα είναι μεγα-

λύτερος σε αυτές που έχουν υψηλό HSI κάτι που όμως δεν σημαίνει ότι τα είδη που θα μεταναστεύουν

προς άλλες περιοχές θα εξαφανίζονται από την αρχική γιατί μόνο ένα μικρό μέρος τους θα φεύγει Θα

υπάρχουν στην αρχική περιοχή μεταναστεύοντας παράλληλα και στις γειτονικές Περιοχές με χαμηλό

HSI θα έχουν μεγάλο ρυθμό μεταναστών από γειτονικές λόγω του αραιού πληθυσμού που περιέχουν

9

Αυτό το φαινόμενο μπορεί να αυξήσει το HSI μίας περιοχής μιας και εξαρτάται από την ποικιλομορφία

των ειδών που περιέχει ΄Αν παραμείνει χαμηλός τα είδη που υπάρχουν θα τείνουν προς εξαφάνιση

ανοίγοντας το δρόμο για άλλους rdquoμετανάστεςrdquoαπό γειτονικές περιοχές Οπότε περιοχές με υψηλό HSIθα έχουν πιο στατική κατανομή ειδών και πληθυσμών ενώ οι περιοχές με χαμηλό HSI έχουν πιο δυναμική

Με τη παραπάνω γενική ιδέα μπορεί να γίνει μία πρώτη παρουσίαση της εφαρμογής τέτοιων

αλγορίθμων Θεωρούμε ένα πρόβλημα από οποιοδήποτε επιστημονικό ή όχι τομέα Μηχανική

οικονομικά ιατρικά επιχειρήσεις αθλητικά και πολλοί άλλοι τομείς μπορούν να χρησιμοποιήσουν

έναν βιογεωγραφικό αλγόριθμο για τη λύση ενός προβλήματος Βασική προϋπόθεση όμως είναι να

έχουμε κάποιο τρόπο αξιολόγησης της καταλληλότητας κάποιας λύσης του προβλήματος Μία καλή

λύση θα αντιστοιχεί σε περιοχή με υψηλό HSI ενώ μία λιγότερο καλή σε περιοχή με χαμηλό HSIΟι καλές λύσεις λοιπόν θα είναι πιο σταθερές ενώ οι όχι τόσο καλές θα τείνουν να μεταβάλλουν

τα χαρακτηριστικά τους Οι καλές λύσεις θα τείνουν να μοιράζονται τα χαρακτηριστικά τους με

τις λιγότερο καλές με πιθανότητα να τις βελτιώσουν Αυτό το χαρακτηριστικό και τη γενικότερη

διαδικασία ονομάζουμε λύση με χρήση βιογεωγραφικού αλγορίθμου βελτιστοποίησης

Σχήμα 21 Μετανάστευση

Στο διπλανό σχήμα (σχήμα ) φαίνονται οι καμπύλες

μετανάστευσης από καμπύλη μ και προς καμπύλη λ έναν

τόπο Και οι δύο καμπύλες είναι συναρτήσεις του αριθμού

των ειδών σε μία περιοχή Στο παρόν σχήμα αναπαριστώνται

σαν ευθείες κάτι που γενικά δεν ισχύει ΄Εχουν αρκετά πιο

πολύπλοκη μορφή Για την ανάλυση μας όμως ένα απλό

σχήμα δίνει μία γενική εικόνα χωρίς να οδηγεί σε θεωρητικά

λάθη ΄Οσο πιο πολλά είδη υπάρχουν τόσο μικρότερη πιθα-

νότητα να εισέλθουν άλλα Οπότε ο μεγαλύτερος ρυθμός

μετανάστευσης προς μία περιοχή θα υπάρχει όταν η περιοχή

αυτή δεν έχει κανένα είδος ΄Οσο μεγαλώνει ο αριθμός των

ειδών τόσο μικραίνει ο ρυθμός μετανάστευσης προς την

συγκεκριμένη περιοχή μέχρι τον μέγιστο αριθμό ειδών που

μπορεί να υποστηρίξει Smax στο διάγραμμα όπου ο ρυθμός

εισόδου ειδών θα είναι μηδενικός Το αντίστροφο ισχύει για

την μετανάστευση από μία περιοχή την καμπύλη μ ΄Οταν η

περιοχή δεν έχει κανένα είδος ο ρυθμός των ειδών που θα μεταναστεύουν από την περιοχή αυτή θα

είναι φυσικά μηδενικός ΄Οσο αυξάνεται ο αριθμός των ειδών τόσο θα αυξάνεται και ο ρυθμός με τον

οποίο θα μεταναστεύουν προς άλλες περιοχές μέχρι το μέγιστο που θα είναι η τιμή Ε η οποία θα

αντιστοιχεί στο μέγιστο αριθμό ειδών που μπορούν να υπάρξουν στην περιοχή αυτή Smax Ο αριθμός

ισορροπίας των ειδών είναι S0 όπως φαίνεται στο σχήμα που θα είναι ο αριθμός των ειδών για τον

οποίο ο ρυθμός μετανάστευσης από και ο ρυθμός προς την περιοχή θα είναι ίσοι Αυτή την τιμή τείνουν

να αποκτήσουν οι περιοχές Κάποιες μεταβολές είτε προς τα πάνω για λόγους όπως πχ μία απότομη

εισροή ειδών από κάποια γειτονική περιοχή είτε προς τα κάτω για λόγους όπως πχ κάποια αρρώστια

ένας αρκετά επιθετικός κυνηγός ή κάποια καταστροφή μπορεί να υπάρξουν αλλά σε κάποιο χρόνο

ανάλογο της απόκλισης θα επανέλθει η ισορροπία

Ας δούμε και με λίγα μαθηματικά τα παραπάνω Θεωρούμε την πιθανότητα Ps μία περιοχή να έχει

S είδη Η πιθανότητα αυτή θα αλλάζει από τη χρονική στιγμή t στην χρονική στιγμή t+1 βάση του

τύπου

Ps(t+ 1) = Ps(t) lowast (1minus λs∆tminus micros∆t) + Psminus1λsminus1∆t+ Ps+1micros+1∆t (21)

όπου οι όροι λs και micros είναι οι ρυθμοί μετανάστευσης προς και από μία περιοχή αντίστοιχα όταν

υπάρχουν S είδη στην περιοχή Η παραπάνω εξίσωση () ισχύει γιατί για να έχουμε S είδη τη στιγμή

t+ ∆t θα πρέπει να ισχύει κάτι από τα παρακάτω

1 υπήρχαν S είδη τη στιγμή t και δεν είχαμε μετανάστευση προς καμία κατεύθυνση στο χρονικό

10

διάστημα ∆t

2 υπήρχαν S-1 είδη τη στιγμή t και ένα είδος ήρθε ή

3 υπήρχαν S+1 είδη τη στιγμή t και ένα είδος έφυγε

Θεωρούμε ότι το ∆t είναι αρκετά μικρό ώστε να έχει χρόνο μόνο ένα είδος να έρθει ή να φύγει από

την περιοχή Παίρνοντας το όριο ∆trarr 0 της εξίσωσης () καταλήγουμε στην παρακάτω

Ps =

minus(λs + micros)Ps + micros+1Ps+1 S = 0

minus(λs + micros)Ps + λsminus1Psminus1 + micros+1Ps+1 1 le S le Smax minus 1minus(λs + micros)Ps + λsminus1Psminus1 S = Smax)

(22)

Θέτουμε n = Smax και P = [P0 Pn]T απλοποιημένα και πλέον μπορούμε να εκφράσουμε τις

εξισώσεις (για S=0 n) με την απλή εξίσωση πίνακα

P = A lowast P (23)

όπου ο πίνακας Α δίνεται από τον τύπο

A =

minus(λ0 + micro0) micro1 0 ldots 0

λ0 minus(λ1 + micro1) micro2

ddots

λnminus2 minus(λnminus1 + micronminus1) micron

0 0 λnminus1 minus(λn + micron)

(24)

Για τις ευθείες καμπύλες που φαίνονται στο παραπάνω σχήμα () θα έχουμε

microk = Ekn

λk = I(1minuskn

)(25)

Θεωρούμε την ειδική περίπτωση E = I Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε

microk + λk = E (26)

και ο πίνακας Α γίνεται

A = E lowast

minus1 1

n0 0

nnminus1 2

n

2nminus1 n

n

0 0 1nminus1

= E lowast Aprime (27)

όπου το Α΄ ορίζεται από την παραπάνω εξίσωση ()

11

Παρατήρηση 1 Το 0 είναι μία ιδιοτιμή του πίνακα Α΄ με ιδιοδιάνυσμα το

u = [u1 un+1]T

n(nminus1minusi)(iminus1) (i = 1 iprime)

un+2minus1 (i = iprime + 1 n+ 1)

(28)

όπου το irsquo είναι ο μικρότερος ακέραιος ο οποίος να είναι μεγαλύτερος ή ίσος με

τοn+12

ή με προγραμματιστικό συμβολισμό iprime = ceil(n+12

) Αυτό μπορεί να

επιβεβαιωθεί από την απευθείας λύση της εξίσωσης ιδιοτιμών Aprime lowast u = k lowast uγια την άγνωστη μεταβλητή k και το άγνωστο διάνυσμα u Σαν παράδειγμα

για n=4 έχουμε

u = [1 4 6 4 1]T (29)

όπως και για n=5 παίρνουμε

u = [1 5 10 10 5 1]T (210)

Εικασία 1 Οι ιδιοτιμές του Α΄ δίνονται ως εξής

k = 0minus2

nminus4

n minus2 (211)

Η παραπάνω εικασία δεν έχει αποδειχθεί ακόμα αλλά ισχύει για όλες τις τιμές

του ν για τις οποίες έχει εξεταστεί

Θεώρημα 1 Η τιμή σταθερής κατάστασης για την πιθανότητα των αριθμών κάθε είδους

δίνεται από τη σχέση

P (infin) =usumn+1i=1 ui

(212)

όπου τα u και ui δίνονται από την

Στη συνέχεια θα μελετήσουμε το πώς μπορούν τα παραπάνω να εφαρμοστούν σε ένα πρόβλημα

βελτιστοποίησης συγκεκριμένου τομέα

221 Μέθοδοι και παράμετροι της BBO

Σχήμα 22 Αναπαράσταση λύσεων

Μετανάστευση Θεωρούμε ότι έχουμε ένα πρόβλημα με

πολλές πιθανές λύσεις οι οποίες μπορούν να παρασταθούν ως

διανύσματα ακεραίων Κάθε τέτοιος ακέραιος θεωρείται ότι

είναι μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας (SIV) Αν έχουμε

έναν τρόπο αξιολόγησης της ποιότητας κάθε λύσης μπορούμε

να αναπαραστήσουμε κάθε λύση σαν μία περιοχή Οι καλές

ποιοτικά λύσεις θα έχουν υψηλό δείκτη καταλληλότητας

(HSI) ενώ οι λιγότερο καλές χαμηλό Οι λύσεις με υψηλό

HSI θα είναι οι περιοχές με πολλά είδη ενώ αυτές με χαμηλό

οι περιοχές με λίγα είδη Η καμπύλη μοντέλου μετανάστευ-

σης θεωρούμε ότι θα είναι ίδια για όλες τις περιοχές (για

μεγαλύτερη ευκολία Ε=Ι) με τη μεταβλητή S κάθε περιοχής

να εξαρτάται από το HSI της όπως φαίνεται στο διπλανό

σχήμα (σχήμα ) Η περιοχή στην οποία αντιστοιχεί το S1

είναι περιοχή με χαμηλό HSI ενώ αυτή με το S2 περιοχή

με υψηλό HSI ΄Οπως φαίνεται και από το διπλανό σχήμα η

περιοχή με S1θα έχει λίγα είδη υψηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ1) και χαμηλό από (micro1) αυτή

ενώ η περιοχή με δείκτη S2 θα έχει πολλά είδη χαμηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ2) και υψηλό

12

από (micro2) αυτή Οι ρυθμοί μ και λ χρησιμοποιούνται για την ανταλλαγή πληροφοριών μεταξύ των

περιοχών πιθανοκρατικά Με πιθανότητα Pmod αξιολογούμε κάθε λύση βάση των υπολοίπων και

όποιες επιλεχθούν να τροποποιηθούν βάση του λ πιθανοκρατικά αξιολογούνται οι SIV και επιλέγονται

αυτοί που θα τροποποιηθούν ΄Αν κάποιος SIV επιλεχθεί να τροποποιηθεί βάση του μ των υπόλοιπων

λύσεων επιλέγεται πάλι πιθανοκρατικά από ποια λύση θα μεταναστεύσει κάποιος τυχαίος SIV

Η μέθοδος αυτή της μετανάστευσης στους BBO αλγόριθμους είναι παρόμοια με τις μεθόδους

των εξελικτικών και γενετικών αλγόριθμων όπου πολλοί πρόγονοι μπορούν να συνδυαστούν για

την παραγωγοί ενός απογόνου με μία όμως σημαντική διαφορά Σε αντίθεση με τους εξελικτικούς

και γενετικούς αλγόριθμους στους οποίους οι προηγούμενες λύσεις καταστρέφονται από γενιά σε

γενιά στους BBO οι λύσεις παραμένουν και εξελίσσονται χωρίς να καταστρέφονται Φυσικά έχει

ενσωματωμένο κάποιου είδους ελιτισμός έτσι ώστε να μην επηρεάζονται οι βέλτιστες λύσεις

Μετάλλαξη Κατακλυσμικά γεγονότα μπορούν να αλλάξουν δραστικά τον HSI μίας περιοχής

όπως μπορούν να προκαλέσουν απόκλιση του αριθμού των ειδών από την ισορροπία επηρεάζοντας

τον HSI λόγω φαινομενικά τυχαίων φαινομένων Τέτοια φαινόμενα μοντελοποιούνται στους BBO με

την μετάλλαξη των HSI και χρησιμοποιείται η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών για τον

καθορισμό του ρυθμού μετάλλαξης Η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών υπακούει στην

διαφορική εξίσωση Παρατηρώντας την καμπύλη στο σχήμα βλέπουμε ότι οι περιοχές με χαμηλό

αριθμό ειδών αλλά και αυτές με υψηλό αριθμό ειδών έχουν σχετικά χαμηλή πιθανότητα κάτι που θα

μπορούσε να εξαχθεί και από το θεώρημα 1 σε αντίθεση με αυτή με μέσες τιμές γιατί τα δεύτερα είναι

πιο κοντά στο σημείο ισορροπίας Ως παράδειγμα ας θεωρήσουμε την περίπτωση όπου Smax = 10 Η

λύση σταθερής κατάστασης της εξίσωσης θα είναι ανεξάρτητη της αρχικής συνθήκης Π(0) και μπορεί

να υπολογιστεί με αριθμητικές μεθόδους είτε βάση του θεωρήματος 1 με αποτέλεσμα

P (infin) sim= [0001 0001 0044 0117 0205 0246 0205 0117 0044 0001 0001]T

Τα στοιχεία του P (infin) δίνουν άθροισμα μονάδα και η γραφική τους παράσταση δίνει μία άρτια

συνάρτηση συμμετρική στην κεντρική τιμή

Κάθε λύση έχει μία αντίστοιχη πιθανότητα η οποία είναι δείκτης του κατά πόσο ήταν αναμενόμενη

εξ αρχής η λύση αυτή στο συγκεκριμένο πρόβλημα Λύσεις με πολύ υψηλό αλλά και πολύ χαμηλό HSIείναι αρκετά απίθανες να υπάρξουν ενώ λύσεις με μέσους HSI κοντά στο σημείο ισορροπίας είναι πιο

πιθανές Λύση S με μικρή πιθανότητα PS είναι αρκετά απίθανη οπότε έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να

μεταλλαχθεί από ία λύση Srsquo με μεγάλη πιθανότητα P primeS Αυτό μπορεί να παρασταθεί με τον παρακάτω

τύπο όπου ο ρυθμός μετάλλαξης m είναι αντιστρόφως ανάλογος της πιθανότητας μίας λύσης

m(S) = mmax

(1minus PSPmax

)(213)

και mmax είναι μία παράμετρος που ορίζεται από το χρήστη Αυτό το μοντέλο μετάλλαξης τείνει

να αυξήσει τη διαφορετικότητα μεταξύ του πληθυσμού των λύσεων Χωρίς αυτό οι λύσεις με μεγάλη

πιθανότητα θα ήταν επικρατέστερες των υπολοίπων Δίνει λοιπόν τη δυνατότητα στις κακές λύσεις

να μεταλλαχθούν και να εξελιχθούν δίνοντας παράλληλα και τη δυνατότητα στις λύσεις με υψηλή

πιθανότατα να εξελιχθούν και να βελτιωθούν και άλλο Πρέπει να σημειωθεί ότι χρησιμοποιείται

μία ελιτίστικη προσέγγιση αποθηκεύοντας τη βέλτιστη λύση έτσι ώστε αν χειροτερέψει από μία

μετάλλαξη να μπορούμε να την επαναφέρουμε αν χρειαστεί Οπότε η μετάλλαξη χρησιμοποιείται και

τις κακές και στις καλές λύσεις Οι μέσες λύσεις θεωρούμε ότι καλυτερεύουν με την μετανάστευση

οπότε αποφεύγουμε να τις μεταλλάξουμε και έχουν μικρότερο ρυθμό μετάλλαξης Η υλοποίηση της

μετάλλαξης εξαρτάται από το εκάστοτε πρόβλημα και χρήστη

Ορισμοί της BBO και αλγόριθμος

Παρακάτω δίνονται κάποιοι ορισμοί ως ένα πρώτο βήμα για τη μορφοποίηση του BBO αλγόριθμου

παρουσιάζοντας παράλληλα και μία περιγραφή του αλγόριθμου Με το R αναφερόμαστε στο σύνολο

13

πραγματικών αριθμών με το Ζ ακεραίων και με το empty στο κενό σύνολο

Ορισμός 1 Μία περιοχή H isin SIV mείναι ένα διάνυσμα m ακεραίων που αντιπροσωπεύει μία

πιθανή λύση του προβλήματος

Ορισμός 2 Μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας SIV isin C είναι ένας ακέραιος επιτρεπτός

σε μία περιοχή C isin Zqείναι το σύνολο όλων των επιτρεπτών ακεραίων σε μία

περιοχή Η απαίτηση SIV isin C ονομάζεται περιορισμός όπως και σε υψηλότερο

επίπεδο η απαίτηση H isin SIV m

Ορισμός 3 ΄Ενας δείκτης καταλληλότητας περιοχής HSI H rarr R αποτελεί μέτρο την ποιότη-

τας καλής ή κακής της λύσης που αντιπροσωπεύει η περιοχή Σημείωση Στους

περισσότερους αλγόριθμους βασισμένους στους πληθυσμούς το HSI ονομάζεται κα-ταλληλότητα

Ορισμός 4 ΄Ενα οικοσύστημα Hnείναι ένα σύνολο από n περιοχές Το μέγεθος n είναι σταθερό

(μελλοντικοί αλγόριθμοι μπορεί να επιτρέπουν μεταβλητό n όπως κάποιοι γενετικοί

αλγόριθμοι επιτρέπουν μεταβλητό μέγεθος πληθυσμών)

Ορισμός 5 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή λ(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

αύξουσα συνάρτηση του HSI Το λi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV από μία

γειτονική περιοχή να μεταναστεύσει στην Hi

Ορισμός 6 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή micro(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

φθίνουσα συνάρτηση του HSI Το microi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV της Hi

να μεταναστεύσει προς μία γειτονική περιοχή Στην πράξη θεωρούμε ότι οι συναρ-

τήσεις λ και μ είναι γραμμικές με το ίδιο μέγιστο Αυτή η υπόθεση βοηθάει στην

στην απλούστευση των μαθηματικών υπολογισμών Καλύτερες επιδόσεις μπορεί να

είναι εφικτές αν παρεκκλίνουμε λίγο από την υπόθεση αυτή

Ορισμός 7 Τροποποίηση μίας περιοχής Ω(λμ) Hn rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής

που προσαρμόζει την περιοχή Η βάση του οικοσυστήματος Hn Η πιθανότητα μια

περιοχή Η να τροποποιηθεί είναι ανάλογη του ρυθμού μετανάστευσης προς αυτή λ

και η πιθανότητα η τροποποίηση αυτή να προέλθει από την περιοχή Hj είναι ανάλογη

του ρυθμού μετανάστευσης microj από την περιοχή Η τροποποίηση των περιοχών

μπορεί να περιγραφεί γενικά ως εξής

Επιλογή του Hi με πιθανότητα sim λi΄Αν έχει επιλεχθεί το Hi

For j=1 to nεπιλογή του Hj με πιθανότητα sim microiΑν έχει επιλεχθεί το Hj

τυχαία επιλογή ενός SIV σ από το Hj

αντικατάσταση ενός τυχαίου SIV της Hi με το σ

endend

endΑπό τον παραπάνω αλγόριθμο γίνεται φανερό ότι μπορεί να εφαρμοστεί ένα κρι-

τήριο ελιτισμού θέτοντας λ=0 για την p βέλτιστη περιοχή όπουp μία παράμετρος

ελιτισμού καθορισμένη από το χρήστη Ακόμα να σημειωθεί ότι ο ορισμός του Ω

εξασφαλίζει ότι η περιοχή Η που τροποποιείται ικανοποιεί τους περιορισμούς του

SIVΟρισμός 8 Η μετάλλαξη Μ(λμ) H rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής που τυχαία τρο-

ποποιεί τις SIVs μίας περιοχής βάση της αρχικής πιθανότητας ύπαρξης της περιοχής

Η πιθανότητα ύπαρξης μίας περιοχής υπολογίζεται όπως αναφέρθηκε παραπάνω

από τους ρυθμούς λ και μ Η μετάλλαξη μπορεί να περιγραφεί ως εξής

14

For j=1 to mχρήση των microi και λi για τον υπολογισμό της πιθανότητας Piεπιλογή της SIV Hi(j) με πιθανότητα sim PiΑν έχει επιλεχθεί το Hi(j)

Αντικατάσταση του Hi(j) με ένα τυχαία δημιουργημένο SIVend

end΄Οπως και παραπάνω ο ελιτισμός μπορεί να υλοποιηθεί θέτοντας πιθανότητα με-

τάλλαξης μηδενική για την περιοχή με τη βέλτιστη λύση p Από τον παραπάνω

ορισμό βλέπουμε ότι πρέπει η μετάλλαξη να έχει κατάλληλους περιορισμούς ώστε

να καταλήγει σε HSI που να υπακούν στους περιορισμούς των SIVs

Ορισμός 9 Μία συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος Ψ ( m n λ μ Ω Μ) Hn rarr Hn

είναι μία εξάδα που τροποποιεί το οικοσύστημα από μία επανάληψη στην επόμενη

Η συνάρτηση τροποποίησης του οικοσυστήματος μπορεί να γραφεί ως εξής

ψ = λn micron Ωn HSIn Mn HSI (214)

Η συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος λοιπόν ξεκινάει υπολογίζοντας τους ρυθ-

μούς μετανάστευση προς και από μία περιοχή Εν συνεχεία λαμβάνει χώρα η τρο-

ποποίηση των περιοχών ακολουθούμενη από έναν επαναϋπολογισμό των HSI

Τέλος εφαρμόζεται μετάλλαξη και ξαναϋπολογίζονται οι HSI κάθε περιοχής

Ορισμός 10 ΄Ενας BBO αλγόριθμος BBO(Ι Ψ Τ) είναι μία τριάδα που προτείνει μία λύση σε

ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης I empty rarr Hn HSIn είναι μία συνάρτηση η οποία

παράγει ένα αρχικό οικοσύστημα περιοχών και υπολογίζει τις αντίστοιχες HSI Ψείναι μία συνάρτηση τροποποίησης οικοσυστήματος όπως ορίστηκε παραπάνω και

T Hn rarr true false είναι ένα κριτήριο τερματισμού του αλγόριθμου

Η συνάρτηση Ι μπορεί να υλοποιηθεί με μία γεννήτρια τυχαίων αριθμών ευρετι-

κών λύσεων στο πρόβλημα βελτιστοποίησης ή με οιαδήποτε άλλη διαδικασία που

να εξαρτάται από το πρόβλημα Το Τ μπορεί να εξαρτάται από τον αριθμό των

Ψ επαναλήψεων το HSI της βέλτιστης περιοχής ή οποιοδήποτε άλλο κριτήριο

βάση του προβλήματος Οπότε ο αλγόριθμος BBO μπορεί να περιγραφεί από το

παρακάτω

Ι

όσο δεν ισχύει το Τ

Ψ

end

Μία απλουστευμένη περιγραφή του BBO αλγόριθμου θα μπορούσε να είναι η παρακάτω

1 Αρχικοποίηση των παραμέτρων του αλγορίθμου Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρεθεί μία μέθοδος

χαρτογράφησης των λύσεων του προβλήματος σε SIVs και περιοχές σύμφωνα με το πρόβλημα

Ακόμα αρχικοποιούμε ή ορίζουμε το μέγιστο αριθμό ειδών Smax τους μέγιστους ρυθμούς μετα-

νάστευσης Ε και Ι το μέγιστο ρυθμό μετάλλαξης mmax και μία παράμετρο ελιτισμού Πρέπει να

σημειωθεί ότι ο μέγιστος αριθμός ειδών και οι μέγιστοι ρυθμοί μετανάστευσης είναι αλληλοεξαρ-

τώμενα μεγέθη Οπότε αν όλα αλλάζουν κατά το ίδιο ποσοστό η συμπεριφορά του ΒΒΟ δεν θα

αλλάζει Αυτό συμβαίνει γιατί άν τα Ε Ι και Smax αλλάξουν οι ρυθμοί μετανάστευσης μ λ και ο

αριθμός των ειδών S θα αλλάξουν κατά την ίδια σχετική ποσότητα για όλες τις περιοχές ή λύσεις

2 Αρχικοποίηση μίας τυχαίας ομάδας περιοχών όπου κάθε περιοχή θα αντιστοιχεί σε πιθανή λύση

Αυτό είναι η υλοποίηση του συνόλου Ι

3 Για κάθε περιοχή καθορισμός των HSI για τον αριθμό ειδών S και των ρυθμών μετανάστευσης μ

και λ

15

4 Χρήση βάση πιθανοτήτων των ρυθμών μετανάστευσης για την τροποποίηση των μη ελιτίστικων

περιοχών και επαναϋπολογισμό των HSI αυτών

5 Για κάθε περιοχή ενημέρωση της πιθανότητας των αριθμών των ειδών βάση της εξίσωσης

Στη συνέχεια μετάλλαξη των μη ελιτίστικων περιοχών βάση των πιθανοτήτων τους και ξανά

υπολογισμός των HSI

6 Επιστροφή στο βήμα 3 για την επόμενη επανάληψη της διαδικασίας Η διαδικασία μπορεί

να σταματήσει μετά από έναν προκαθορισμένο αριθμό επαναλήψεων ή με την επίτευξη μίας

επιθυμητής λύσης Αυτή είναι η υλοποίηση του κριτηρίου τερματισμού Τ

Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι μετά από κάθε βήμα που αλλάζει κάτι σε μία περιοχή ή λύση πρέπει να

επαληθεύεται κάθε περιοχή ως πιθανή λύση του προβλήματος Αν όχι πρέπει να υπάρχει μία διαδικασία

η οποία να την τροποποιεί ώστε να γίνεται πιθανή λύση

Τέλος επειδή ένας τέτοιος αλγόριθμος θα συγκριθεί στη συνέχεια με τους υπόλοιπους που αναφέρ-

θηκαν παραπάνω είναι χρήσιμο να γίνουν πιο διακριτές οι διαφορές τους Η πρώτη τέτοια διαφορά είναι

ότι στους BBO αλγόριθμους δεν υπάρχει η έννοια της αναπαραγωγής ή των γενεών απογόνων όπως

υπάρχουν στους γενετικούς και τους εξελικτικούς αλγόριθμους Δεν δημιουργούνται καινούριες λύσεις

από κύκλο σε κύκλο αλλά εξελίσσονται οι υπάρχουσες Για τον ίδιο λόγο διαφέρει και από τους ACO(Ant Colony Optimization) αλγόριθμους Σαν λογική είναι πιο κοντά στους PSO (Particle SwarmOptimization) και DE (Differential Evolution) αλγόριθμους μιας και αυτοί διατηρούν και εξελίσσουν

τις υπάρχουσες λύσεις τους κάνοντας την κάθε λύση να μαθαίνει από τους γείτονες και να προσαρ-

μόζεται καθώς προχωράει ο αλγόριθμος Οι PSO αντιπροσωπεύουν κάθε λύση σαν ένα σημείο στο

χώρο και τις αλλαγές μεταξύ των επαναλήψεων του αλγόριθμου με διάνυσμα ταχύτητας ΄Ομως στους

αλγόριθμους αυτούς δεν αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η ταχύτητα των σημείων έχοντας αποτέλεσμα

τη μεταβολή των λύσεων Στους DE αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η αλλαγή αυτή γίνεται βάση των

διαφορών μεταξύ άλλων λύσεων Ακόμα οι DE δεν βασίζεται σε βιολογικές αρχές Οι BBO αλγόριθμοι

μπορούν να διαχωριστούν από τους DE και PSO στο χαρακτηριστικό ότι αλλάζουν άμεσα τις λύσεις

τους ανταλλάσσοντας χαρακτηριστικά μεταξύ τους μέσω της μετανάστευσης

16

Κεφάλαιο 3

Κεραίες

31 Γενικά

Με τον όρο umlκεραίαrsquo αναφερόμαστε σε μία διάταξη που είναι σχεδιασμένη να δέχεται ηκαι να εκπέμπει

ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Είναι μία διάταξη η οποία μετατρέπει ηλεκτρομαγνητική ενέργεια που

οδεύει σε μια γραμμή μεταφοράς ή ένα κυματοδηγό σε ηλεκτρομαγνητικό κύμα στο χώρο και viceversa Οι κεραίες είναι είτε παθητικές

1 είτε τροφοδοτούμενες

2

Λόγω της μεγάλης ανάπτυξης των τηλεπικοινωνιών και των πολλών συστημάτων που χρησιμοποιούν-

ται3 έχει αναπτυχθεί μια τεράστια ποικιλία κεραιών ώστε να καλύπτουν τις ειδικές ανάγκες διαφόρων

εφαρμογών και να διευκολύνεται η κατασκευή και ένταξή τους στο φυσικό και δομημένο περιβάλλον

Η μεγάλη αυτή ποικιλία συστημάτων κεραιών επιβάλει τον διαχωρισμό τους σε κατηγορίες βάσει της

μορφής τους και της αρχής λειτουργίας τους Αλλά σε όποια κατηγορία και να ανήκει μία κεραία έχει

κάποια βασικά χαρακτηριστικά

32 Χαρακτηριστικά κεραιών

Σε μία κεραία αυτό που μας ενδιαφέρει είναι το πώς εκπέμπει ή λαμβάνει στο χώρο ή αλλιώς οι ιδιότητες

ακτινοβολίας (μακρινού πεδίου4) Η γραφική παράσταση των ιδιοτήτων αυτών γίνεται με το διάγραμμα

ακτινοβολίας της Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας κεραίας είναι δηλαδή η τρισδιάστατη γραφική

παράσταση των ιδιοτήτων ακτινοβολίας της κεραίας Βρίσκεται με μετρήσεις κάποιου μεγέθους με

τη μετατόπιση μίας πρόμπας γύρω από την κεραία Παριστάνει τη γωνιακή κατανομή του μέτρου της

έντασης του πεδίου της πυκνότητας ισχύος ή της έντασης ακτινοβολίας Επειδή θέλουμε το διάγραμμα

ακτινοβολίας να δίνει τη γενική συμπεριφορά της κεραίας σε οποιοδήποτε σήμα μπορεί να λάβει ή να

εκπέμψει οι τιμές είναι κανονικοποιημένες5

Τα διαγράμματα ακτινοβολίας σχεδιάζονται και για

την ικανότητα εκπομπής και λήψης μίας κεραίας και για συγκεκριμένη είναι τα ίδια (εκπομπής και λήψης)

Από τα διαγράμματα ακτινοβολίας βλέπουμε σε ποια σημεία του χώρου η κεραία εκπέμπει (ή αν

1Αποτελούνται μόνο από παθητικά στοιχεία απλά μετατρέπουν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα σε ηλεκτρομαγνητική ενέρ-

γεια χωρίς κάποια επεξεργασία του σήματος2΄Εχουν και ενεργά στοιχεία τα οποία μπορούν να κάνουν ενίσχυση σήματος ή ακόμα και επεξεργασία σήματος όπως

πχ μεταβολή συχνότητας3Από τις πιο μικρές ηλεκτρονικές συσκευές πχ πομποί GPS (Global Positioning System) μέχρι μεγάλα συστήματα

πχ δορυφόροι οπουδήποτε εφαρμόζεται ασύρματη επικοινωνία απαραίτητο εξάρτημα είναι μία κεραία4Ο χώρος γύρω από μία κεραία ως προς την κεραία χωρίζεται σε μακρινό και κοντινό πεδίο Στο κοντινό πεδίο

το διάγραμμα επηρεάζεται έντονα από τις επαγωγικές και χωρητικές συνιστώσες που εμφανίζονται στην κεραία κατά τη

ροή του ρεύματος ενώ στο μακρινό όχι και γι΄ αυτό το διάγραμμα του μακρινού πεδίου είναι σταθεροποιημένο ενώ του

κοντινού όχι Τα διαγράμματα που δίνουν οι κατασκευαστές είναι διαγράμματα μακρινού πεδίου Διάκριση μεταξύ μακρινού

και κοντινού πεδίου γίνεται βάσει της απόστασης από την κεραία όπου για R gt 2lowastD2

λ θεωρούμε μακρινό πεδίο όπου λ

είναι το μήκος κύματος D η διάμετρος της κεραίας και R η απόσταση από αυτήν5Λόγω των κανονικοποιημένων τιμών του διαγράμματος ακτινοβολίας το διάγραμμα πυκνότητας ισχύος και έντασης

ακτινοβολίας είναι ταυτόσημα

17

είναι διάγραμμα λήψης λαμβάνει) τη μεγαλύτερη και σε ποια τη μικρότερη ισχύ Το τρισδιάστατο

της περιγραφής επιτυγχάνεται με το συνδυασμό δύο διαγραμμάτων το κάθετο (κάθετη τομή στον

τρισδιάστατο χώρο) και το οριζόντιο (οριζόντια τομή) Η κεραία θεωρείται στο κέντρο του διαγράμματος

και το διάγραμμα συνδέει στην ουσία τον χώρο με την ακτινοβολούμενη ισχύ ή με την ικανότητα

λήψης ισχύος για διάγραμμα εκπομπής και λήψης αντίστοιχα και είναι όπως προαναφέρθηκε η

γραφική αναπαράσταση της συμπεριφοράς της κεραίας στο χώρο Μας δείχνει σε ποιες περιοχές του

χώρου εκπέμπει και πόση ισχύ ή αντίστοιχα από ποιες περιοχές του χώρου και πόση ισχύ μπορεί

να λάβει η κεραία Είτε επειδή δε θέλουμε σπατάλη ισχύος σε rdquoαδιάφορεςrdquoπεριοχές είτε επειδή δεν

θέλουμε να παρεμβάλλουμε δημιουργώντας θόρυβο σε άλλες κεραίες κατά την εκπομπή και είτε επειδή

θέλουμε να λαμβάνουμε τη μέγιστη δυνατή ισχύ αν ξέρουμε από που λαμβάνουμε και να μειώνουμε

το θόρυβο από τις άλλες πηγές τα διαγράμματα ακτινοβολίας είναι πολύ χρήσιμα στο σχεδιασμό μίας

κεραίας Τέλος μία άλλη χρήση είναι η σύγκριση κεραιών είτε γενικά είτε για συγκεκριμένες εφαρμογές

Σχήμα 31 Διάγραμμα ακτινοβολίας

Στο διπλανό σχήμα () φαίνεται ένα τυπικό και αρκετά

απλοποιημένο διάγραμμα ακτινοβολίας Σε αυτό διακρίνουμε

τον κύριο λοβό που είναι το τμήμα η μεγαλύτερη κλειστή

καμπύλη που διακρίνεται από το γεγονός ότι έχει τη μέγιστη

τιμή στο διάγραμμα Συνήθως τα διαγράμματα ακτινοβολίας

είναι πολικά όπως αυτό του σχήματος 31 με βαθμονόμηση

από 0μέχρι 360

και ο κύριος λοβός στη γενική περίπτωση

τοποθετείται στις 0 Ο λοβός που βρίσκεται στις 180

ονο-

μάζεται οπίσθιος λοβός και οι υπόλοιποι λοβοί ονομάζονται

πλευρικοί Ανάλογα με την περίπτωση οι υπόλοιποι εκτός του

κύριου είναι ανεπιθύμητοι είτε επιθυμητοί και προσπαθούμε

αντίστοιχα να τους καταστείλουμε ή να τους ενισχύσουμε

Οι πλευρικοί λοβοί οφείλονται σε φαινόμενα καταστροφικής

ή εποικοδομητικής συμβολής των κυμάτων που εκπέμπονται

από τη κεραία Η κλίμακα στο διάγραμμα είναι σε deciBellκαι τα μεγέθη είναι κανονικοποιημένα

6 ΄Ετσι η μέγιστη τιμή θα είναι στα 0 db και οι υπόλοιπες

σε αρνητικές τιμές Τα διαγράμματα αυτά έχουν τέτοια βαθμονόμηση γιατί θέλουμε να εκφράζουν

ποιοτικά τη συμπεριφορά της κεραίας αλλά και γιατί οι τιμές έντασης ή ισχύος που θέλουμε να αναπα-

ραστήσουμε είναι πολλών τάξεων μεγέθους και θα θέλαμε πολύ μεγάλα διαγράμματα για κανονικές τιμές

΄Ενα πιο αναλυτικό διάγραμμα ακτινοβολίας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () και είναι διάγραμμα

μίας κεραίας Yagi-Uda Οι κύκλοι που φαίνονται στο διάγραμμα αντιστοιχούν στις τιμές -3 -10 -20

-30 και -40 dB και είναι χωρισμένοι σε τμήματα των 10 Οι κύκλοι αυτοί δείχνουν τα σημεία που

έχει μειωθεί το μέγεθος στο 50 στο 10 στο 1 στο 01 και στο 001 αντίστοιχα Η

γωνία των σημείων στα οποία ο κύριος λοβός τέμνει τον πρώτο κύκλο ονομάζεται γωνία ημίσειας ισχύος

Σχήμα 32 Καρτεσιανό διάγραμμα

Εκτός των πολικών διαγραμμάτων υπάρχουν και τα καρτεσιανά

τα οποία είναι η καρτεσιανή προβολή των πολικών Παράδειγμα

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () όπου φαίνεται το άνοιγμα μισής

ισχύος και το επίπεδο του πρώτου πλευρικού λοβού Επειδή τα

διαγράμματα ακτινοβολίας σχηματίζονται όπως προαναφέρθηκε

και αφορούν τη χωρική συμπεριφορά μίας κεραίας στο μακρινό

πεδίο οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε την κεραία ως σημείο

τα καρτεσιανά διαγράμματα δεν έχουν καλή αναπαράσταση της

πραγματικότητας Αλλά είναι αρκετά χρήσιμα στη μελέτη κεραιών

και στην καλύτερη εποπτεία των χαρακτηριστικών της από τα πολικά και για το λόγο αυτό σχεδιάζονται

και χρησιμοποιούνται κατά κόρον

6΄Ενα κανονικοποιημένο διάγραμμα έχει την ίδια μορφή με ένα μη κανονικοποιημένο με μόνη αλλαγή την κλίμακα και

ότι τα μεγέθη είναι ο λογάριθμος του λόγου της τιμής προς τη μέγιστη

18

Σχήμα 33 Διάγραμμα ακτινοβολίας Yagi-Uda κεραίας

Από ένα διάγραμμα ακτινοβολίας μπορούμε να βρούμε τα παρακάτω χαρακτηριστικά μίας κεραίας (ή

και παραμέτρους του διαγράμματος όπως αναφέρονται συχνά)

Σχήμα 34 Ισοτροπική και μη

bull Κατευθυντικότητα δείκτης της ικανότητα της κεραίας να

συγκεντρώσει την ακτινοβολία εκπομπής προς μία συγκεκριμένη

κατεύθυνση και βρίσκεται αναφορικά με μία ιδανική (ισοτροπική)

κεραία Η σύγκριση την όποιας κεραίας με μία ισοτροπική φαίνεται

στο διπλανό σχήμα () Τα εμβαδά είναι ίσα οπότε εκπέμπουν

και οι δύο την ίδια ισχύ αλλά στην επιθυμητή κατεύθυνση η μη

ισοτροπική στέλνει μεγαλύτερη ισχύ Η κατευθυντικότητα λοιπόν

είναι η διαφορά σε dB των δύο διαγραμμάτων στην κατεύθυνση

του μεγίστου Είναι αντιστρόφως ανάλογη με το εύρος του κυρίως

λοβού

bull Εύρος δέσμης μισής ισχύος οριζόντιου και κάθετου επιπέδου ( HPBW )

αναφέρεται στην ενεργό περιοχή κάλυψης της κεραίας και ορίζεται ώς η γωνία μεταξύ των σημείων

του κύριου λοβού όπου η ισχύς είναι μισή της μέγιστης ή σε dB 3dB κάτω από την μέγιστη και

προσδιορίζει την περιοχή που εμφανίζεται μέγιστη εκπομπή ενώ εκτός της περιοχής αυτής η ισχύς

μειώνεται πολύ γρήγορα

bull Εύρος δέσμης επίπεδο (dB) πρώτων σημείων μηδενισμού οριζόντιου καικάθετου επιπέδου (FNBW) ορίζεται ως η γωνία μεταξύ των δύο πρώτων μηδενισμών του

μεγέθους εκατέρωθεν του κύριου λοβού

bull Λόγος κύριου προς οπίσθιο λοβό (FB)

bull Επίπεδα (dB) και εύρος γωνιών πλευρικών λοβών και οπίσθιων λοβώνbull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με τον αμέσως μικρότερο λοβό του διαγράμ-ματος ακτινοβολίας

bull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με όλους τους υπόλοιπους του διαγράμματοςακτινοβολίας

bull Λόγος κύριου προς επόμενο μεγαλύτερο λοβό (Side-Lobe Level) ορίζεται ως ο λόγος

του μεγίστου του κυρίως λοβού προς τον αμέσως μικρότερο πλευρικό λοβό (SLL = MainLobeMaxSideLobe

dB)

και είναι ένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά μίας κεραίας Πολλές φορές αναφέρεται και ώς επίπεδο

πλευρικών λοβών

Τα χαρακτηριστικά μίας κεραίας μπορούν να υπολογιστούν και να περιγραφούν όχι μόνο βάσει του

19

διαγράμματος ακτινοβολίας της Μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της μετρώντας και υπολο-

γίζοντας κατάλληλα μεγέθη και κάνοντας χρήση γνωστών μαθηματικών τύπων

bull Συνολική ακτινοβολούμενη ενέργεια η συνολική (ή μέσος όρος) ενέργεια που ακτινο-

βολεί μία κεραία και υπολογίζεται από τον τύπο

Prad = Pav =

lsaquoS

~Wrad middot d~s =

lsaquoS

~Wav middot n middot da =1

2

lsaquoS

lt( ~E times ~H) middot d~s (31)

όπου Wrad=πυκνότητα ακτινοβολίας

bull ΄Ενταση ακτινοβολίας η ενέργεια που εκπέμπεται από μία κεραία ανά μονάδα στερεάς γωνίας

U = r2 middotWrad (32)

όπου r=απόσταση

bull Κατευθυντικότητα είναι ο λόγος της ακτινοβολούμενης ενέργειας σε μία συγκεκριμένη κα-

τεύθυνση προς το μέσο όρο εκπεμπόμενης ακτινοβολίας σε όλες τις κατευθύνσεις ΄Η αλλιώς

η ένταση προς μία συγκεκριμένη κατεύθυνση προς την αντίστοιχη τιμή της αν ακτινοβολούσε

ισοτροπικά

D =U

Uo=

4pU

Prad(33)

΄Αν δεν ορίζεται κατεύθυνση σαν κατευθυντικότητα αναφέρεται η μέγιστη κατευθυντικότητα μίας

κεραίας

bull Κέρδος αν και συνδέεται με την κατευθυντικότητα είναι μία παράμετρος της κεραίας που λαμ-

βάνει υπόψιν και την αποδοτικότητα της κεραίας αλλά και τις δυνατότητες κατευθυντικότητας

Απόλυτο κέρδος κεραίας (σε συγκεκριμένη κατεύθυνση) ορίζεται ο λόγος της έντασης ακτινοβο-

λίας προς την ένταση ακτινοβολίας που θα είχε στη συγκεκριμένη κατεύθυνση άν όλη η ενέργεια

εισόδου της κεραίας εκπεμπόταν ισοτροπικά

κέρδος = 4π middot ένταση ακτινοβολίας

συνολική εισερχόμενη ενέργεια= 4π

U(θ φ)

Pinputrarr

G = 4π U(θφ)Pinput (ιδανικής ισοτροπικής πηγής)

(34)

bull Απόδοση κεραίας είναι ένας δείκτης που λαμβάνει υπόψιν τις απώλειες ενέργειας από την

είσοδο στην έξοδο της κεραίας λόγω πολλών φαινομένων Γενικά η συνολική απόδοση μίας

κεραίας δίνεται από τον τύπο

eo = er middot ec middot ed (35)

όπου eo είναι η συνολική απόδοση er είναι η απόδοση λόγω απωλειών ανακλάσεων (λόγω κακής

προσαρμογής) (= 1minus|Γ|2) ec είναι η απόδοση λόγω απωλειών αγωγιμότητας ed είναι η απόδοση

που οφείλεται στο διηλεκτρικό και Γ ο συντελεστής ανάκλασης τάσης

bull Απόδοση δέσμης είναι μία παράμετρος ποιότητας μίας κεραίας και ορίζεται από το λόγο της

ενέργειας που ακτινοβολείται από τον κύριο λοβό της κεραίας (με το λοβό σε γωνία θ0) προς τη

συνολική

BE =

acute 2π0

acute θ0U(θ φ)sin(θ)dθdφacute 2π

0

acute π0U(θ φ)sin(θ)dθdφ

(36)

όπου θ1 είναι η γωνία μισής ισχύος ΄Αν θεωρήσουμε το θ1 στην κατεύθυνση του πρώτου μηδενι-

σμού τότε θα έχουμε το λόγο της ισχύος του κυρίως λοβού προς τη συνολική

bull Εύρος σαν εύρος μιας κεραίας ορίζεται το εύρος των συχνοτήτων (bandwidth) στις οποίες

μπορεί να λειτουργήσει αποδοτικά βάσει κάποιων χαρακτηριστικών της πχ να έχει εύρος κύριου

λοβού εντός συγκεκριμένων ορίων διατηρώντας μία ελάχιστη τιμή SLL

20

33 Κατηγορίες κεραιών

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω οι κεραίες χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με τα μορ-

φολογικά αλλά και λειτουργικά χαρακτηριστικά τους Βάσει του τρόπου με τον οποίο εκπέμπουν ή

λαμβάνουν ή αλλιώς βάσει του διαγράμματος ακτινοβολίας τους χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες

bull Ισοτροπικές μία ισοτροπική κεραία ορίζεται ως μία υποθετική (ιδανική) κεραία η οποία ακτινο-

βολεί το ίδιο προς όλες τις κατευθύνσεις Δεν έχει κάποια πραγματική εφαρμογή στα τηλεπικοι-

νωνιακά συστήματα γιατί η ισχύς της εκπέμπεται προς όλες τις κατευθύνσεις το ίδιο προκαλώντας

μεγάλες απώλειες ισχύος σε ανεπιθύμητες κατευθύνσεις ΄Εχει μόνο θεωρητική αξία στη μελέτη

κεραιών και στον ορισμό κάποιων παραμέτρων των κεραιών όπως το κέρδος που είδαμε παραπάνω

bull Κατευθυντικές μία κατευθυντική κεραία ορίζεται ως η κεραία που έχει την ικανότητα να

εκπέμπει ή να λαμβάνει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αποτελεσματικότερα προς κάποιες κατευ-

θύνσεις Είναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κεραίες και η εξέλιξη αυτών είναι οι έξυπνες

κεραίες που ανάλογα με τις ανάγκες της κάθε συσκευής και τα χαρακτηριστικά του χώρου που

βρίσκεται μπορούν να αλλάξουν τη γωνία μέγιστης εκπομπής κάνοντας βέλτιστη χρήση της α-

κτινοβολούμενης ισχύος της

bull Πανκατευθυντικές μία πανκατευθυντική κεραία είναι μία κεραία η οποία ακτινοβολεί σαν

κατευθυντική εκτός από ένα επίπεδο στο οποίο εκπέμπει ή λαμβάνει ισοτροπικά Η χρήση τους

είναι κυρίως στα μέσα μαζικής επικοινωνίας όπου χρειάζεται κάλυψη του χώρου 360 μοιρών στο

οριζόντιο επίπεδο αλλά πολύ μικρής γωνίας στο κάθετο

Βάσει των μορφολογικών χαρακτηριστικών τους χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες Η κάθε

κατηγορία έχει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της που την καθιστούν κατάλληλη για κάποια

εφαρμογή και ακατάλληλη για κάποια άλλη Παρακάτω αναφέρονται οι κατηγορίες αυτές των κεραιών

με τα βασικά χαρακτηριστικά της κάθε μίας

bull Κεραίες σύρματος Είναι απλές κεραίες κατασκευασμένες από αγώγιμο υλικό συνήθως

κυκλικής διατομής Πολλές φορέα σχηματίζονται από πολλούς αγωγούς κατάλληλα συζευγμένους

μεταξύ τους σε πλέγματα διαφόρων σχημάτων που είτε δημιουργούν μία επιφάνεια είτε μία γραμμική

κεραία Η απλούστερη γραμμική κεραία είναι η κεραία διπόλου τα χαρακτηριστικά της οποίας είναι

ανάλογα με το σχετικό μήκος της ως προς το μήκος κύματος της ακτινοβολίας για την οποία προορίζε-

ται7 Οι συγκεκριμένες είναι πολύ απλές στην κατασκευή πολύ συχνά απλά συρμάτινες Αποτελείται

από ένα δίπολο του οποίου (συνήθως) η τροφοδοσία8είναι στη μέση Πλεονεκτήματα των κεραιών

αυτών είναι το κόστος το μέγεθος και η δυνατότητα κάλυψης μεγάλης περιοχής συχνοτήτων ενώ

έχουν το μειονέκτημα της χαμηλής απόδοσης λόγω των διαστάσεων τους Καλύτερα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης έχουν οι διπολικές κεραίες των οποίων το μήκος είναι της τάξης του μήκους κύματος

Σχήμα 35 Κεραία διπόλου

Μία κεραία σύρματος χαρακτηρίζεται ως rdquoλεπτήrdquoόταν η διάμε-

τρος του αγωγού είναι μικρότερη από 001λ Ανάλογα με το σχήμα

της χαρακτηρίζεται ως ευθύγραμη κεραία V ή πτυσσόμενη Στο

διπλανό σχήμα () φαίνονται μία ευθύγραμμη και μία πτυσσόμενη

διπολική κεραία Στις πτυσσόμενες σημαντική είναι η γωνία που

σχηματίζουν οι βραχίονες τους έχοντας βρεθεί ότι η μέγιστη

κατευθυντικότητα επιτυγχάνεται για γωνία α = 60λh

+ 380

όπου h είναι το μήκος του βραχίονα και λ το μήκος κύματος τη

ακτινοβολίας και ότι Dmax = 12 + 23hλ9

7Μία κεραία χαρακτηρίζεται ως ηλεκτρικά μικρή όταν οι διαστάσεις της είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος

της ακτινοβολίας8Με τον όρο τροφοδοσία εννοούμε το υπόλοιπο σύστημα το οποίο τροφοδοτεί η κεραία με το σήμα που λαμβάνει στην

περίπτωση κεραίας λήψης ή από το οποίο τροφοδοτείται με το σήμα που θα εκπέμψει στην περίπτωση κεραίας εκπομπής

9Η σχέση αυτή είναι εμπειρική και ισχύει για 05 lt h

λ lt 3

21

Σχήμα 36 Κεραία Yagi-Uda

Μία εξέλιξη των παραπάνω κεραιών είναι οι κεραίες Yagi-Udaπου ένα διάγραμμα ακτινοβολίας τέτοιας κεραίας παρατέθηκε

παραπάνω () Είναι ευθύγραμμες διπολικές κεραίες που α-

ποτελούνται από πέραν του ενός δίπολα τα οποία όμως δεν

τροφοδοτούνται όλα Τα μη τροφοδοτούμενα δίπολα ονομάζονται

παρασιτικά και τροφοδοτούνται επαγωγικά από τα υπόλοιπα Οι

κεραίες αυτές παρουσιάζουν αυξημένη κατευθυντικότητα σχετικά

με τις μη παρασιτικές κεραίες διπόλων Η πρώτη τέτοια κεραία

κατασκευάστηκε το 1926 και αποτελούταν από τρία δίπολα ένα

ενεργό και δύο παρασιτικά Στην περίπτωση που το παρασιτικό

δίπολο έχει μεγαλύτερο μήκος από του ενεργού ονομάζεται

ανακλαστήρας ενώ αν έχει μικρότερο ονομάζεται κατευθυντήρας

Μία γενική μορφή τέτοιας κεραίας φαίνεται στο διπλανό σχήμα με LR το μήκος του ανακλαστήρα και

LD το μήκος του κατευθυντήρα

bull Στοιχειοκεραίες Μία εξέλιξη των συρμάτινων κεραιών είναι οι στοιχειοκεραίες Οι

στοιχειοκεραίες αποτελούνται από πολλές κεραίες διπόλων τα στοιχεία τα οποία ενώνονται όλα σε

μία κοινή τροφοδοσία και αυτή είναι η βασική τους διαφορά από τις Yagi-Uda που έχουν παρασιτικά

στοιχεία και ο λόγος που οι τελευταίες δε θεωρούνται στοιχειοκεραίες Συστοιχείες λοιπόν πολλών

κεραιών φτιάχνουν τις στοιχειοκεραίες Ανάλογα με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της συστοιχίας

υπάρχουν κάποια είδη στοιχειοκεραιών όπως είναι οι γραμμικές (μία συστοιχία σε ευθεία γραμμή) και

οι επίπεδες (συστοιχείες συστοιχείων) Λόγω της ταυτόχρονης χρήσης πολλών κεραιών μπορούν να

συνδυάσουν τα χαρακτηριστικά τους δίνοντας δυνατότητα πολύπλοκων κατευθυντικών διαγραμμάτων

καθιστώντας τες κατάλληλες για πολλές εφαρμογές Συγκριτικά με μία κεραία μεγάλου μήκους που

θα έχει τα ίδια κατευθυντικά χαρακτηριστικά παρουσιάζει το πλεονέκτημα της εύκολης τροφοδο-

σίας της μηχανικής αντοχής και του μικρού κόστους εγκατάστασης και λειτουργίας Τέλος με

κατάλληλη τροφοδοσία του κάθε στοιχείου της μπορούμε να αλλάξουμε τα κατευθυντικά χαρακτηρι-

στικά της ΄Εχουν πολλές γεωμετρικές μορφές αλλά και είδη που θα αναφερθούν σε επόμενη παράγραφο

bull Κεραίες βρόχου ή πλαισίου Μία κεραία βρόχου αποτελείται από έναν κλειστό αγωγό σε

σχήμα βρόχου (ή και βρόχων) ο οποίος τροφοδοτείται σε ένα σημείο του Χωρίζονται σε κεραίες μικρού

και μεγάλου βρόχου συγκριτικά με το μήκος κύματος στο οποίο χρησιμοποιούνται10

Οι μικρού

βρόχου έχουν χαμηλή απόδοση και χρησιμοποιούνται κατά κόρον σε δέκτες χαμηλών συχνοτήτων

Εκτός από τους ραδιοφωνικούς δέκτες των αυτοκινήτων στους οποίους γίνεται μεγάλη χρήση των

κεραιών μικρού βρόχου το μεγαλύτερο ποσοστό των δεκτών AM χρησιμοποιούν τέτοιες κεραίες

Οι μεγάλου βρόχου έχουν ευρεία χρήση στους δέκτες VHF και UHF έχοντας και το επιπλέον

χαρακτηριστικό της μεταβλητής περιφέρειας δίνοντας δυνατότητα μεγαλύτερου εύρους συχνοτήτων

Γενικά οι κεραίες βρόχου είναι κεραίες με μεγάλη κατευθυντικότητα κάτι που τις κάνει ιδανικές σε

εφαρμογές εύρεσης κατεύθυνσης σήματος

bull Ελικοειδής κεραίες Μία ελικοειδής κεραία αποτελείται από έναν αγωγό που έχει τη μορφή

έλικας στον οποίο η τροφοδοσία είναι στο ένα του άκρο Αποτελεί συνδυασμό κεραίας βρόχου και

γραμμικής κεραίας οπότε μπορεί να εκπέμπει με δύο τρόπους (ρυθμούς) αξονικά και κάθετα στον άξονα

της έλικας κάτι που της δίνει βελτιωμένα χαρακτηριστικά συγκριτικά με τις δύο αυτές κατηγορίες

Χρησιμοποιείται κατά κόρον όπου απαιτείται κυκλική πόλωση σήματος σαν πομπός ή σε σήματα που

έχουν κυκλική πόλωση σαν δέκτης και έχει αρκετά μεγάλο εύρος ζώνης συχνοτήτων Ανάλογα με τα

χαρακτηριστικά που πρέπει να έχει μία ελικοειδής κεραία μπορεί να είναι ομοιόμορφη (όλες οι έλικες

ίδια διάμετρο) αυξανόμενης ελαττούμενης και αυξο-ελαττούμενης διαμέτρου ελίκων

bull Δικωνικές κεραίες ΄Αν δύο V ενωθούν κατακορυφήν σχηματίζεται μία δικωνική κεραία οι

οποίες έχουν αυξημένο εύρος συχνοτήτων Πολλές δικωνικές κεραίες έχουν τη δυνατότητα μεταβολής

10Σαν κεραία μικρού βρόχου θα χαρακτηριστεί η κεραία της οποίας η περιφέρεια θα είναι ίση ή μικρότερη από το ένα

δέκατο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας

22

του μήκους του βραχίονα τους δίνοντας ακόμα μεγαλύτερο εύρος Αν μία από τις δύο V κεραίες

αντικατασταθεί από μία αγώγιμη επιφάνεια σε σχήμα δίσκου έχουμε τη δισκωνική κεραία στην οποία

ο δίσκος λειτουργεί ως ανακλαστήρας Είναι κεραίες μικρής κατευθυντικότητας και χαμηλού κέρδους

και χρησιμοποιούνται πολύ σαν κεραίες ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών εκπομπών

bull Σπειροειδής κεραίες Οι σπειροειδής κεραίες είναι κεραίες με μεγάλο εύρος ζώνης

συχνοτήτων και μεγάλης κατευθυντικότητας Αποτελούνται από μία ή δύο αγωγούς που έχουν σχήμα

σπείρας και όσο μικρότερη γωνία ανοίγματος σπείρας έχουν τόσο μεγαλύτερη κατευθυντικότητα

Μπορεί να είναι επίπεδες ή κωνικές και η πόλωση του σήματος που λαμβάνουν ή εκπέμπουν είναι

ανάλογη με τη φορά των σπειρών Το εύρος συχνοτήτων τους δίνεται από το λόγο μεγαλύτερης προς

μικρότερης διαμέτρου άν και στην πραγματικότητα είναι λίγο μικρότερο του λόγου αυτού Μία αρκετά

διαδεδομένη σπειροειδής κεραία είναι η rdquoσπειροειδής του Αρχιμήδηrdquoη οποία αποτελείται από δύο σπε-

ίρες με r1 = r0φ και r2 = r0(φminusπ) οι οποίες συνήθως κατασκευάζονται πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα11

bull Κεραίες χοάνης Οι κεραίες χοάνης αποτελούνται από έναν αγωγό ο οποίος είναι από το

ένα άκρο του ανοιχτός και διεγείρεται από το άλλο του άκρο Με σωστή ρύθμιση έχουν μεγαλύτερη

απόδοση από τις συρμάτινες Ανάλογα με το σχήμα του αγωγού μπορεί να υπάρχουν αρκετά είδη

τέτοιων κεραιών τρία εκ των οποίων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα () Η κατευθυντικότητα της

είναι ανάλογη της γωνίας ανοίγματος της Στην πράξη συναντούμε ελάχιστες κεραίες χοάνης μόνες

τους αλλά σε συνδυασμό με έναν ανακλαστήρα έχουν πολύ διαδεδομένη χρήση λόγω της πολύ μεγάλης

κατευθυντικότητας που προσφέρουν ειδικά στις περιπτώσεις που ο ανακλαστήρας είναι παραβολικός

όπου υπάρχει η δυνατότητα παραγωγής πολύ στενής δέσμης υψηλού κέρδους και χαμηλού θορύβου

Χρησιμοποιούνται πολύ στις δορυφορικές επικοινωνίες και η πιο συνηθισμένη τους μορφή είναι τα umlπιάταrsquo

που χρησιμοποιούνται για τη λήψη δορυφορικών σημάτων

Σχήμα 37 Κεραίες χοάνης α)τομέας β)πυραμοειδής και γ)κωνική

bull Λογαριθμικές περιοδικές κεραίες Είναι κεραίες των οποίων τα μορφολογικά χα-

ρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με την απόσταση από την αρχή της κεραίας Υπάρχει ένα

επαναλαμβανόμενο στοιχείο κεραίας το οποίο μεγαλώνει όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της

κεραίας Μπορεί να είναι μία πλάκα με οδοντώσεις το μέγεθος των οποίων μεταβάλλεται ένα σύρμα

11Οι κεραίες που είναι κατασκευασμένες πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα ή αλλιώς σε μικροταινίες ανήκουν και στην

κατηγορία των μικροταινιακών κεραιών πολύ διαδεδομένη στις ηλεκτρονικές φορητές συσκευές που λειτουργούν στην

περιοχή των μικροκυμάτων (λόγω διαστάσεων κεραιών είναι ιδανικές για την περιοχή αυτή)

23

Σχήμα 38 Λογαριθμική περιοδική κεραία

το οποίο διπλώνεται κατάλληλα και το μέγεθος της κάθε δίπλωσης μεταβάλλεται ή ακόμα και από

δίπολα το μήκος των οποίων μεταβάλλεται Πολλές κεραίες που ανήκουν σε παραπάνω κατηγορίες είναι

λογαριθμικές μπορεί να είναι λογαριθμικές αν η μεταβολή των επαναλαμβανόμενων στοιχείων ακολουθεί

το συγκεκριμένο πρότυπο Μία τέτοια φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () η οποία ανήκει στην

κατηγορία των στοιχειοκεραίων Λόγω των επαναλαμβανόμενων στοιχείων των οποίων συνδυάζουν τα

χαρακτηριστικά μπορούν να έχουν πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων και συγκεκριμένα εύρος μίας τάξης

μεγέθους επιτυγχάνεται εύκολα και μπορούν να έχουν και αρκετά μεγάλη κατευθυντικότητα Βρίσκουν

πολλές εφαρμογές στις επικοινωνίες υψηλών συχνοτήτων και ειδικά στα τηλεοπτικά σήματα αφού με

μία κεραία μπορεί κάποιος να λαμβάνει ικανοποιητικά όλα τα διαθέσιμα κανάλια χωρίς καμία προσαρμογή

34 Στοιχειοκεραίες

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω η μορφή του διαγράμματος εκπομπής και λήψης των κεραιών

εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της κεραίας Σε πολλές εφαρμογές απαιτούνται κεραίες μεγάλου

κέρδους ή αλλιώς μεγάλης κατευθυντικότητας Μία κεραία για να έχει μεγάλη κατευθυντικότητα

θα πρέπει να έχει πολύ μεγάλο μέγεθος Το πρόβλημα αυτό λύνεται φτιάχνοντας σύνθετες κεραίες

Κεραίες που αποτελούνται από μικρότερες κεραίες είτε όμοιες μεταξύ τους είτε ανόμοιες Τέτοιες

συστοιχίες κεραιών όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ονομάζονται στοιχειοκεραίες Το κάθε στοιχείο

μίας στοιχειοκεραίας μπορεί να είναι οποιασδήποτε μορφής κεραία (σύρματος οπής κλπ) με βασικό

χαρακτηριστικό όλα τα στοιχεία να έχουν κοινή τροφοδοσία Το συνολικό πεδίο θα είναι το διανυ-

σματικό άθροισμα των πεδίων κάθε στοιχείου ξεχωριστά Οπότε μπορούμε να έχουμε το επιθυμητό

πεδίο φτιάχνοντας την κεραία μας έτσι ώστε στα σημεία που θέλουμε μεγάλο κέρδος να συμβάλουν

εποικοδομητικά τα πεδία των στοιχείων της κεραίας και στα σημεία που δεν θέλουμε να ακτινοβολεί να

έχουμε καταστροφική συμβολή

Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας θα εξαρτάται από τους εξείς παράγοντες

bull Τη γεωμετρία της στοιχειοκεραίας ( γραμμικήκυκλικήορθογώνια σφαιρική κλπ)

bull Την απόσταση μεταξύ των στοιχείων της κεραίας

bull Την ένταση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

bull Τη φάση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

24

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Η Εξελικτική Υπολογιστική (ή Εξελικτικός Λογισμός) αποτελεί έναν κλάδο της τεχνητής νοη-

μοσύνης η ανάπτυξή του οποίου προέκυψε από τη μελέτη των έμβιων οργανισμών και η λογική της

βασίζεται σε έννοιες που καθορίζουν την εξέλιξη και επιβίωση τους όπως αυτές του πληθυσμού της

μετάλλαξης και της φυσικής επιλογής (επιβίωση του πιο προσαρμοσμένου) Βάσει κάποιων θεωριών

και πρακτικών εμπνευσμένων από τη φύση αναπτύσσεται μία μέθοδος για την αναπαράσταση και την

επεξεργασία των δεδομένων ενός προβλήματος με σκοπό την ακριβέστερη επίλυση του Πιθανές λύσεις

αναπαρίστανται σαν οντότητες ή άτομα ενός πληθυσμού ο οποίος μέσω των εκάστοτε διαδικασιών

οδηγεί στην επιλογή των βέλτιστων ή της βέλτιστης όλων των πιθανών λύσεων μέσω της εξέλιξης

του Οι μέθοδοι αυτές μπορούν να διακριθούν περαιτέρω σε εξελικτικούς αλγόριθμους (EvolutionaryAlgorithms) και σε νοημοσύνης (ή λογικής) σμήνους (Swarm Intelligence) όπως πχ οι αλγόριθμοι

που προσομοιάζουν τη συμπεριφορά μίας κοινωνίας μυρμηγκιών ΄Ενας τέτοιος αλγόριθμος βασισμένος

στον εξελικτικό λογισμό βελτιστοποιεί τις λύσεις με τη μέθοδο metaheuristicΣτους Εξελικτικούς

Αλγόριθμους χρησιμοποιούνται μηχανισμοί εμπνευσμένοι από την βιολογική εξέλιξη αναπαραγωγή

μετάλλαξη συνδυασμός και επιλογή Οι υποψήφιες λύσεις για το πρόβλημα βελτιστοποίησης παίζουν

το ρόλο των ατόμων ενός πληθυσμού και η fitness function (συνάρτηση του προβλήματος) καθορίζει

το περιβάλλον μέσα στο οποίο οι λύσεις αυτές umlζουνuml Η εξέλιξη των πληθυσμών γίνεται μετά από

επαναλαμβανόμενη εφαρμογή των παραπάνω τελεστών Η τεχνητή εξέλιξη (artifitial evolution (AE))περιγράφει τη διαδικασία περιέχοντας ξεχωριστούς εξελικτικούς αλγόριθμους Οπότε οι Εξελικτικοί

Αλγόριθμοι αποτελούν μία μέθοδο τεχνητής εξέλιξης και οι αλγόριθμοι αυτοί ανήκουν στο χώρο της

τεχνητής νοημοσύνης6 Οι αλγόριθμοι που βασίζονται στη λογική (ή νοημοσύνη) σμήνους αναπαρι-

στούν τις λύσεις ως αυτόνομους οργανισμούς που ονομάζονται πράκτορες ή διαμεσολαβητές (boids) οι

οποίοι αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και με το περιβάλλον που έχει σχεδιαστεί να τους περιβάλλει και η

βελτιστοποιημένη λύση δημιουργείται από τις αλληλεπιδράσεις αυτές οδηγώντας όλους τους πράκτορες

σε μία βέλτιστη και καθολική rdquoσυμπεριφοράrdquo

Οι αλγόριθμοι που βασίζονται στον εξελικτικό λογισμό λειτουργούν πολύ ικανοποιητικά προ-

σεγγίζοντας λύσεις για όλων των ειδών τα προβλήματα γιατί έχουν το ιδανικό χαρακτηριστικό να

μην κάνουν καμία υπόθεση και να μη χρειάζεται να έχουν γνώση του περιβάλλοντος που rdquoζουνrdquoοιπληθυσμοί που θα επεξεργαστούν Αυτό φαίνεται από τις επιτυχίες που έχουν σε τόσο διαφορετικά

μεταξύ τους πεδία όπως είναι η μηχανική η τέχνη η βιολογία τα οικονομικά το marketing η γε-

νετική η επιχειρησιακή έρευνα η ρομποτική οι κοινωνικές επιστήμες η φυσική η πολιτική και η χημεία

Με τον όρο metaheuristic 7μέθοδο στην υπολογιστική επιστήμη υποδεικνύεται μία υπολογιστική

μέθοδο η οποία βελτιστοποιεί ένα πρόβλημα προσπαθώντας με πολλές επαναλήψεις να βελτιώσει μία

υποψήφια λύση με βάση κάποιο δεδομένο μέτρο ποιότητας Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιεί λίγες ή και

καθόλου υποθέσεις σχετικά με το πρόβλημα το οποίο βελτιστοποιεί και έχει τη δυνατότητα να ερευνήσει

μεγάλα διαστήματα υποψήφιων λύσεων Πολλές τέτοιες μέθοδοι υλοποιούν μία μορφή πιθανολογικής

βελτιστοποίησης (stochastic optimization )

Χρησιμοποιώντας τον όρο Stochastic optimization (SO)(στοχαστική ή πιθανολογική βελτιστοπο-

ίηση) αναφερόμαστε σε μεθόδους βελτιστοποίησης οι οποίες παράγουν και χρησιμοποιούν τυχαίες

μεταβλητές Στα στοχαστικά προβλήματα (stochastic problems)οι τυχαίες μεταβλητές εμφανίζονται

στη διατύπωση του προβλήματος βελτιστοποίησης που περιέχει τυχαίες αντικειμενικές συναρτήσεις ή τυ-

χαίους περιορισμούς Μία άλλη κατηγορία στοχαστικών μεθόδων βελτιστοποίησης περιέχουν μεθόδους

με τυχαίες επαναλήψεις Μερικές χρησιμοποιούν τυχαίες επαναλήψεις ώστε να λύσουν στοχαστικά

προβλήματα συνδυάζοντας και τις δύο έννοιες ή κατηγορίες της στοχαστικής βελτιστοποίησης Οι

μέθοδοι στοχαστικής βελτιστοποίησης γενικεύουν αιτιοκρατικές μεθόδους για αιτιοκρατικά προβλήματα

6Λογισμικά ή πλήρεις μηχανές οι οποίες μπορούν να επιλύουν με αποδεκτά αποτελέσματα ρεαλιστικά υπολογιστικά

προβλήματα οποιουδήποτε τύπου χαρακτηρίζονται ως ασθενής Τεχνητής Νοημοσύνης Ως ισχυρής Τεχνητής νοημοσύνης

χαρακτηρίζονται μηχανικά ανδροειδή ή αυτοσυνείδητα προγράμματα υπολογιστή7΄Αλλοι όροι που έχουν παρόμοια σημασία με τον όρο metaheuristic είναι derivative-free (χωρίς παράγωγο)direct

search (άμεση αναζήτηση)black-box (μαύρο κουτί) ή απλά heuristic optimizer(ευρετική βελτιστοποίηση)

5

13 Αλγόριθμοι και μέθοδοι βελτιστοποίησης

Πολλοί αλγόριθμοι έχουν σχεδιαστεί που να χρησιμοποιούν την παραπάνω μέθοδο Παρακάτω α-

ναφέρονται οι δημοφιλέστερες κατηγορίες των εξελικτικών αλγορίθμων που υπάρχουν με περιληπτική

περιγραφή των αρχών ή θεωριών στις οποίες βασίζονται8 Οι Ant Colony Optimization και Particle

Swarm Optimization (PSO) τυπικά δεν ανήκουν στους Εξελικτικούς Αλγόριθμους γιατί βασίζονται στη

Νοημοσύνη Σμήνους αλλά αναφέρονται λόγω ευρείας χρήσης στη βελτιστοποίηση πολλαπλών κριτηρίων

Ant Colony Optimization (ACO)

Αλγόριθμος βελτιστοποίησης συναρτήσεων του οποίου η θεωρία στηρίζεται στις αποικίες μυρ-

μηγκιών και στον τρόπο εύρεσης φαγητού και ανήκει στην οικογένεια των αλγορίθμων που βασίζονται

σε μεθόδους λογικής σμήνους (swarm intelligence) Αρχικά τα μυρμήγκια κινούνται τυχαία προς

αναζήτηση τροφής ΄Οταν κάποιο βρει τροφή γυρνώντας στη φωλιά αφήνει ένα ίχνος από φερορμόνες

Το ίχνος αυτό ελκύει τα υπόλοιπα μέλη της αποικίας να το ακολουθήσουν και να βρουν την τροφή

΄Οσο πιο πολλά ακολουθούν τόσο πιο έντονο γίνεται το ίχνος ΄Αν έχουν δημιουργηθεί πέραν του

ενός μονοπάτια σε λίγη ώρα το πιο σύντομο θα χρησιμοποιείται από πιο πολλά μυρμήγκια οπότε θα

έχει πιο έντονο ίχνος και σιγά σιγά θα γίνει το επικρατέστερο με τελικό αποτέλεσμα να γίνει το μόνο

μονοπάτι που ακολουθεί όλη η αποικία Χρησιμοποιώντας την παραπάνω λογική κάθε πιθανή λύση

αναπαρίσταται ώς ένα μυρμήγκι και κάθε τιμή κάθε παραμέτρου του προβλήματος με τα σημεία από τα

οποία μπορεί να περάσει κάθε μυρμήγκι Μετά από αρκετές επαναλήψεις καταλήγουν τα μυρμήγκια να

ακολουθούν όλα την ίδια διαδρομή ΄Εχουν επιλεχθεί δηλαδή οι βέλτιστες τιμές κάθε παραμέτρου και

οι λύσεις είναι οι βέλτιστες

Particle Swarm Optimization (PSO)

Είναι μία μετευρετική (metaheuristic) μέθοδος βελτιστοποίησης Η μέθοδος αυτή επιχειρεί

την βελτιστοποίηση ενός προβλήματος προσπαθώντας με επαναληπτικές διαδικασίες να βελτιώσει

μία υποψήφια λύση βάσει κάποιου κριτηρίου ποιότητας ΄Εχει το χαρακτηριστικό των μεθόδων που

στηρίζονται στη λογική σμήνους η οποία είναι πως η κίνηση κάθε ατόμου του πληθυσμού επηρεάζει

την κίνηση των υπολοίπων Αρχικά δημιουργείται ένας πληθυσμός με τυχαίες διαδικασίες ο οποίος

πληθυσμός κινείται στον ορισμένο χώρο βάσει απλών μαθηματικών μοντέλων που καθορίζουν τη

θέση και την ταχύτητα του κάθε μέλους του Κάθε μέλος έχει το τοπικό του μέγιστο από το

οποίο επηρεάζεται και καθοδηγείται προς το καλύτερο τοπικό μέγιστο της εγγύς περιοχής που είναι

σημεία που βρέθηκαν από άλλα μέλη ΄Ετσι τείνουν να κινηθούν όλα τα μέλη προς τα μέγιστα που

ανακαλύπτονται κατά τη διάρκεια της διαδικασίας ΄Ως μετευρετική μέθοδος απαιτεί ελάχιστες ως και

καθόλου αρχικές υποθέσεις βασισμένες στο πρόβλημα και μπορεί να ερευνήσει πολύ μεγάλο εύρος

πιθανών λύσεων χωρίς όμως να εγγυάται την εύρεση μίας βέλτιστης λύσης για κάποιο πρόβλημα

Differential Evolution (DE)

Οι αλγόριθμοι Διαφορικής Εξέλιξης βρίσκουν τη βέλτιστη λύση ενός προβλήματος δημιουρ-

γώντας ένα σύνολο υποψήφιων λύσεων το οποίο αποτελεί τον πληθυσμό Κάθε λύση κινείται σε

έναν ορισμένο χώρο χρησιμοποιώντας απλούς μαθηματικούς τύπους για να καθοριστεί η συνδυασμένη

κίνησή τους ΄Αν η καινούρια θέση μίας λύσης οδηγεί σε βελτίωση του συνόλου η λύση αυτή διατηρείται

Αλλιώς καταργείται και αντικαθίσταται από μία άλλη που προκύπτει από συνδυασμό των υπόλοιπων

που διατηρήθηκαν Η διαδικασία συνεχίζει μέχρι να φτάσει σε μία βέλτιστη λύση βάσει των κριτηρίων

που έχουν οριστεί Η σύγκριση της παρούσας από την παρελθοντική τιμή της συνάρτησης δίνει το

διαφορικό χαρακτήρα στους αλγόριθμους Χαρακτηριστικό και αρνητικό των αλγορίθμων αυτών είναι

ότι δεν είναι σίγουρο ότι θα φτάσουν στη βέλτιστη λύση γιατί εξαρτάται η εξέλιξη της διαδικασίας

8Κάθε μία από τις κατηγορίες αυτές δημιουργήθηκαν σαν αλγόριθμοι αλλά λόγω των πολλών παραλλαγών τους που

υπάρχουν πλέον θεωρούνται κατηγορίες αλγορίθμων ή ακόμα και κατηγορίες μεθόδων βελτιστοποίησης

6

από τον αρχικό πληθυσμό ΄Εχει αρκετές ομοιότητες με τη προηγούμενη μέθοδο βελτιστοποίησης με

βασικές διαφορές ότι η επόμενη λύση σε αυτή τη μέθοδο εξαρτάται από την προηγούμενη ενώ στην AntColony όχι και ότι δεν εξερευνά όλες τις πιθανές λύσεις αλλά τις λύσεις που υπάρχουν στον αρχικό

πληθυσμό της και κάποιους συνδυασμούς αυτών ενώ η Ant Colony μπορεί να εξετάσει όλα τα πιθανά

σημεία που υπάρχουν

Evolutionary Strategy (ES)

Η μέθοδος αυτή βασίζεται στην ιδέα της προσαρμογής και εξέλιξης των ειδών Χρησιμοποιεί

φυσικούς μηχανισμούς για την αναπαράσταση και βελτιστοποίηση των προβλημάτων Κύρια χαρακτηρι-

στικά εξέλιξης των λύσεων είναι η μετάλλαξη και η επιλογή Το πλήθος των λύσεων αποτελεί μία γενιά

Αρχικά δημιουργείται τυχαία μία γενιά οι αρχικοί γονείς Η επόμενη γενιά δημιουργείται από μετάλλαξη

της προηγούμενης των γονέων Αν οι απόγονοι είναι καλύτεροι ή έστω ισάξιοι με τους γονείς παίρνουν

τη θέση τους και γίνονται οι γονείς της επόμενης γενιάς αλλιώς απορρίπτονται Η μετάλλαξη των

γονέων γίνεται με προσθήκη τυχαίας μεταβλητής (από κανονική κατανομή) σε κάποια συνιστώσα τους

Λόγω της τυχαίας μετάλλαξης είναι πιο πιθανό να φτάσουν σε βέλτιστη λύση από τους αλγόριθμους

διαφορικής εξέλιξης Αλλά έχουν το αρνητικό της καταστροφής των γονέων χάνοντας έτσι κάποια

πιθανώς καλά μέλη τους πληθυσμού Το αρνητικό αυτό μπορεί κάπως να μετριαστεί δημιουργώντας

πάνω από έναν απογόνους από κάθε γονέα και κάνοντας επιλογή των καλύτερων για την επόμενη γενιά

Genetic Algorithm (GA)

Μία παραλλαγή της παραπάνω μεθόδου είναι οι Γενετικοί Αλγόριθμοι Και στη μέθοδο αυτή

υπάρχει η έννοια των γενεών Κάθε λύση αναπαρίσταται ως ένα χρωμόσωμα ή γενότυπο Δη-

μιουργείται τυχαία ο αρχικός πληθυσμός και υπολογίζεται η τιμή της συνάρτησης που θέλουμε να

βελτιστοποιήσουμε για κάθε μέλος της Επιλέγονται τα καλύτερα μέλη της γενιάς βάση των υπολογι-

σμένων τιμών τα οποία θα αποτελέσουν τους γονείς για την επόμενη Στη συνέχεια δημιουργείται η

νέα γενιά μέσω του μηχανισμού της αναπαραγωγής των γονέων κυρίως και ίσως με τυχαία μετάλλαξη

κάποιων γονέων Υπολογίζεται η νέα τιμή της συνάρτησης για κάθε μέλος και επιλέγονται οι γονείς

για την επόμενη γενιά Μέσω της επαναληπτικής αυτής διαδικασίας ο αλγόριθμος βελτιστοποιεί την

τιμή της συνάρτησης του προβλήματος Ο τερματισμός του αλγορίθμου γίνεται είτε όταν επιτευχθεί

μία επιθυμητή τιμή της συνάρτησης ή αν ολοκληρωθεί συγκεκριμένος αριθμός επαναλήψεων ή χρόνος

εκτέλεσης χωρίς να βρεθεί βέλτιστη λύση Λόγω του μηχανισμού της αναπαραγωγής έχει το αρνητικό

ότι εξαρτάται και αυτή η μέθοδος από την αρχική τυχαία επιλογή του πληθυσμού κάτι που όμως

δεν έχει τόση βαρύτητα όπως στη μέθοδο Διαφορικής Εξέλιξης λόγω του ότι χρησιμοποιείται και η

τυχαία μετάλλαξη σαν μηχανισμός δημιουργίας απογόνων Ακόμα έχουν το αρνητικό της προηγούμενης

μεθόδου ότι οι γονείς που θα βγάλουν καλύτερους απογόνους καταστρέφονται

Stud Genetic Algorithm (StudGA)

Ο αλγόριθμος αυτός είναι μία παραλλαγή των Γενετικών Αλγορίθμων που δίνει καλύτερα απο-

τελέσματα Αντί να δημιουργεί έναν αρχικό πληθυσμό (stud) δημιουργεί μία αρχική πιθανή λύση

η οποία στη συνέχεια μεταλλάσσεται για τη δημιουργία του αρχικού πληθυσμού Κάθε πιθανή λύση

έχει τη δυνατότητα να αλλάξει με ανακάτεμα των βιτς που αντιπροσωπεύουν το χρωμόσωμα της

βάσει προκαθορισμένης πιθανότητας Στη συνέχεια το καλύτερο χρωμόσωμα ή αλλιώς η καλύτερη

λύση επιλέγεται ως αρχική (stud) βάσει της οποίας θα δημιουργηθεί ο καινούριος πληθυσμός και η

διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να τερματιστεί ο αλγόριθμος Στην ουσία αυτή είναι και η βασική

του διαφορά από τους υπόλοιπους Γενετικούς αλγόριθμους χρησιμοποιεί την καλύτερη λύση κάθε

γενιάς για μοναδικό rdquoγονέαrdquoκάθε επόμενης γενιάς χαρακτηριστικό που βελτιώνει συγκριτικά με τους

απλούς Γενετικούς Αλγόριθμους τις επιδόσεις του

7

Biogeography-Based Optimization (BBO)

Είναι ένας αλγόριθμος που βασίζεται στη βιογεωγραφία Η βιογεωγραφία μελετάει την ανάπτυξη και

εξέλιξη διαφόρων ειδών σε γειτονικές περιοχές τις οποίες ονομάζει umlνησιάuml Κάθε umlνησίrsquo είναι και μία

λύση του προβλήματος Τα είδη είναι οι παράμετροι της κάθε λύσης Κάθε λύση χαρακτηρίζεται από

τις μεταβλητές που ονομάζονται rdquoδείκτες καταλληλότητας rdquo(suitability index variables -SIVs)και οι

μεταβλητές αυτές ορίζουν μία τιμή για τον δείκτη καταλληλότητας περιοχής (habitat suitability index-HSI)Οι περιοχές με υψηλό δείκτη καταλληλότητας είναι και οι καλύτερες λύσεις Κάθε λύση τείνει

προς τη βέλτιστη παίρνοντας χαρακτηριστικά ή είδη από άλλες περιοχές μέσω του μηχανισμού της

μετανάστευσης Ο αλγόριθμος τερματίζει είτε μετά από προκαθορισμένο αριθμό κύκλων είτε μετά από

την επίτευξη κάποιου στόχου

Probability-Based Incremental Learning (PBIL)

Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στην δημιουργία και δειγματοληψία συνόλων πιθανών λύσεων με

αποκλειστικά πιθανοκρατικούς τρόπους για την εύρεση της βέλτιστης λύσης ενός προβλήματος Η

βελτιστοποίηση νοείται σαν μία βελτίωση του πιθανοκρατικού μοντέλου αρχίζοντας με ομοιόμορφης

κατανομής μοντέλο και καταλήγοντας σε ένα μοντέλο που παράγει βέλτιστες λύσεις Κύρια διαφορά με

τις μεθόδους που έχουν ήδη αναφερθεί είναι ότι η συγκεκριμένη μέθοδος παράγει κάθε φορά καινούριο

πληθυσμό μεταβάλλοντας το μοντέλο με το οποίο παράγεται ο πληθυσμός βάση της καταλληλότητας

του πληθυσμού που παράχθηκε ενώ οι προηγούμενοι μετέβαλλαν τον πληθυσμό τον ίδιο Αυτό το

χαρακτηριστικό κάνει τους αλγόριθμους που βασίζονται σε αυτή τη μέθοδο να είναι αποτελεσματικού

σε κάποια προβλήματα που άλλοι δεν μπορούν να βρουν βέλτιστη λύση όπως πχ σε προβλήματα

των οποίων κάποιες παράμετροι επηρεάζονται ή εξαρτώνται ισχυρά από κάποιες άλλες Η καθαρά

πιθανοκρατική μέθοδος που ακολουθεί εξαλείφουν τέτοια προβλήματα

Υπάρχουν και άλλοι αλγόριθμοι ή κατηγορίες αλγορίθμων που αναπτύσσονται και χρησιμοποιούνται

σε προβλήματα βελτιστοποίησης πέραν των παραπάνω ΄Ομως η αναφορά τους ξεφεύγει από τα πλαίσια

της παρούσας εργασίας μιας και οι παραπάνω χρησιμοποιήθηκαν στη λύση του προβλήματος

Στη συνέχεια θα γίνει μία πιο ενδελεχής περιγραφή ενός BBO αλγόριθμου και συγκεκριμένα του

Dan Simon ο οποίος χρησιμοποιήθηκε στη λύση του προβλήματος της συγκεκριμένης εργασίας

8

Κεφάλαιο 2

Biogeography-Based Optimization

21 Εισαγωγή στην BBO

Ο Biogeographic-Based Optimization αλγόριθμος είναι ένας εξελικτικός αλγόριθμος που βασίζεται

στη λογική της βιογεωγραφικής εξέλιξης των ειδών Με τον όρο rdquoΒιογεωγραφίαrdquoπεριγράφεται η μελέτη

της γεωγραφικής κατανομής των βιολογικών οργανισμών Η μαθηματικοποίηση του φαινομένου μελε-

τάται από τις αρχές της δεκαετίας του 1960 και εξελίσσεται συνεχώς Στο φαινόμενο αυτό βασίζονται

και οι βιογεωγραφικοί αλγόριθμοι Η επιστημονική βάση της βιογεωγραφικής θεωρίας εδραιώθηκε από

τους φυσιοδίφες του 19ou αιώνα και συγκεκριμένα τον Charles Darwin (Δαρβίνο όπως συνηθίζεται να

αποκαλείται στα ελληνικά) και τον Alfred WallaceΗ αρχή των μαθηματικών μοντέλων έγινε στις αρχές

του 1960 από τους Robert McArthur και Edward Wilson με κατάληξη την έκδοση του rdquoThe theory ofIsland Biogeographyrdquo το 1967 Πρωτεύον αντικείμενο έρευνας ήταν η κατανομή διαφόρων ειδών σε γει-

τονικά νησιά και το μαθηματικό μοντέλο του αφανισμού και της μετανάστευσης τους από νησί σε νησί Η

ανάπτυξη λοιπόν των βιογεωγραφικών αλγορίθμων βασίζεται και μελετάει το πώς μεταναστεύει κάποιο

είδος από ένα νησί σε ένα άλλο πώς καινούρια είδη εμφανίζονται και πώς άλλα εξαφανίζονται Αντί για

τον όρο rdquoνησίrdquo μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ο όρος rdquoβιότοποςrdquo βάση του παραπάνω χαρακτηριστικών

Οι βιογεωγραφικοί αλγόριθμοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε οποιοδήποτε τομέα επιστήμης Οι

γεωγραφικές περιοχές που είναι κατάλληλες για τα είδη τα rdquoνησιάrdquo θεωρούμε ότι έχουν υψηλό δείκτη

καταλληλότητας (high Habitat Suitability Index (HSI))Μερικά χαρακτηριστικά που συσχετίζονται

με το δείκτη αυτό θα είναι οι βροχοπτώσεις η ποικιλομορφία της βλάστησης η ποικιλομορφία των

τοπογραφικών χαρακτηριστικών το έδαφος και η θερμοκρασία Οι μεταβλητές που χαρακτηρίζουν άν

είναι ή όχι ένας βιότοπος κατοικήσιμος ονομάζονται μεταβλητές δείκτη καταλληλότητας(SuitabilityIndex Variables (SIVs))Οι SIV μπορούν να θεωρηθούν ως ανεξάρτητες μεταβλητές του βιοτόπου και

ο HSI ως εξαρτημένη Ανάλογα με τον τομέα στον οποίο θα χρησιμοποιηθούν ορίζεται τι είναι τα

rdquoείδηrdquoκαι πώς ορίζεται ένα rdquoνησίrdquo Γενικά σαν είδος μπορεί να θεωρηθεί κάποια παράμετρος ή ένα

χαρακτηριστικό ενός προβλήματος και σαν rdquoνησίrdquoμία ομάδα τέτοιων παραμέτρων ή χαρακτηριστικών

22 Βιογεωγραφία

Βάση των παραπάνω μπορεί να γίνει μία ανάλυση της γενικής ιδέας της μεθόδου Βιότοποι με

υψηλό HSI θα έχουν μεγάλους αριθμούς ειδών ενώ αντίθετα περιοχές με χαμηλό HSI θα έχουν μικρό

αριθμό ειδών Περιοχές με υψηλό HSI λόγω των πολλών ειδών που έχουν και του πιθανού κορεσμού

τους θα έχουν πολλά είδη που θα μεταναστεύουν σε κοντινά νησιά ενώ θα έχουν λίγα είδη που θα

μεταναστεύουν προς αυτά Ο ρυθμός λοιπόν μετανάστευσης προς γειτονικές περιοχές θα είναι μεγα-

λύτερος σε αυτές που έχουν υψηλό HSI κάτι που όμως δεν σημαίνει ότι τα είδη που θα μεταναστεύουν

προς άλλες περιοχές θα εξαφανίζονται από την αρχική γιατί μόνο ένα μικρό μέρος τους θα φεύγει Θα

υπάρχουν στην αρχική περιοχή μεταναστεύοντας παράλληλα και στις γειτονικές Περιοχές με χαμηλό

HSI θα έχουν μεγάλο ρυθμό μεταναστών από γειτονικές λόγω του αραιού πληθυσμού που περιέχουν

9

Αυτό το φαινόμενο μπορεί να αυξήσει το HSI μίας περιοχής μιας και εξαρτάται από την ποικιλομορφία

των ειδών που περιέχει ΄Αν παραμείνει χαμηλός τα είδη που υπάρχουν θα τείνουν προς εξαφάνιση

ανοίγοντας το δρόμο για άλλους rdquoμετανάστεςrdquoαπό γειτονικές περιοχές Οπότε περιοχές με υψηλό HSIθα έχουν πιο στατική κατανομή ειδών και πληθυσμών ενώ οι περιοχές με χαμηλό HSI έχουν πιο δυναμική

Με τη παραπάνω γενική ιδέα μπορεί να γίνει μία πρώτη παρουσίαση της εφαρμογής τέτοιων

αλγορίθμων Θεωρούμε ένα πρόβλημα από οποιοδήποτε επιστημονικό ή όχι τομέα Μηχανική

οικονομικά ιατρικά επιχειρήσεις αθλητικά και πολλοί άλλοι τομείς μπορούν να χρησιμοποιήσουν

έναν βιογεωγραφικό αλγόριθμο για τη λύση ενός προβλήματος Βασική προϋπόθεση όμως είναι να

έχουμε κάποιο τρόπο αξιολόγησης της καταλληλότητας κάποιας λύσης του προβλήματος Μία καλή

λύση θα αντιστοιχεί σε περιοχή με υψηλό HSI ενώ μία λιγότερο καλή σε περιοχή με χαμηλό HSIΟι καλές λύσεις λοιπόν θα είναι πιο σταθερές ενώ οι όχι τόσο καλές θα τείνουν να μεταβάλλουν

τα χαρακτηριστικά τους Οι καλές λύσεις θα τείνουν να μοιράζονται τα χαρακτηριστικά τους με

τις λιγότερο καλές με πιθανότητα να τις βελτιώσουν Αυτό το χαρακτηριστικό και τη γενικότερη

διαδικασία ονομάζουμε λύση με χρήση βιογεωγραφικού αλγορίθμου βελτιστοποίησης

Σχήμα 21 Μετανάστευση

Στο διπλανό σχήμα (σχήμα ) φαίνονται οι καμπύλες

μετανάστευσης από καμπύλη μ και προς καμπύλη λ έναν

τόπο Και οι δύο καμπύλες είναι συναρτήσεις του αριθμού

των ειδών σε μία περιοχή Στο παρόν σχήμα αναπαριστώνται

σαν ευθείες κάτι που γενικά δεν ισχύει ΄Εχουν αρκετά πιο

πολύπλοκη μορφή Για την ανάλυση μας όμως ένα απλό

σχήμα δίνει μία γενική εικόνα χωρίς να οδηγεί σε θεωρητικά

λάθη ΄Οσο πιο πολλά είδη υπάρχουν τόσο μικρότερη πιθα-

νότητα να εισέλθουν άλλα Οπότε ο μεγαλύτερος ρυθμός

μετανάστευσης προς μία περιοχή θα υπάρχει όταν η περιοχή

αυτή δεν έχει κανένα είδος ΄Οσο μεγαλώνει ο αριθμός των

ειδών τόσο μικραίνει ο ρυθμός μετανάστευσης προς την

συγκεκριμένη περιοχή μέχρι τον μέγιστο αριθμό ειδών που

μπορεί να υποστηρίξει Smax στο διάγραμμα όπου ο ρυθμός

εισόδου ειδών θα είναι μηδενικός Το αντίστροφο ισχύει για

την μετανάστευση από μία περιοχή την καμπύλη μ ΄Οταν η

περιοχή δεν έχει κανένα είδος ο ρυθμός των ειδών που θα μεταναστεύουν από την περιοχή αυτή θα

είναι φυσικά μηδενικός ΄Οσο αυξάνεται ο αριθμός των ειδών τόσο θα αυξάνεται και ο ρυθμός με τον

οποίο θα μεταναστεύουν προς άλλες περιοχές μέχρι το μέγιστο που θα είναι η τιμή Ε η οποία θα

αντιστοιχεί στο μέγιστο αριθμό ειδών που μπορούν να υπάρξουν στην περιοχή αυτή Smax Ο αριθμός

ισορροπίας των ειδών είναι S0 όπως φαίνεται στο σχήμα που θα είναι ο αριθμός των ειδών για τον

οποίο ο ρυθμός μετανάστευσης από και ο ρυθμός προς την περιοχή θα είναι ίσοι Αυτή την τιμή τείνουν

να αποκτήσουν οι περιοχές Κάποιες μεταβολές είτε προς τα πάνω για λόγους όπως πχ μία απότομη

εισροή ειδών από κάποια γειτονική περιοχή είτε προς τα κάτω για λόγους όπως πχ κάποια αρρώστια

ένας αρκετά επιθετικός κυνηγός ή κάποια καταστροφή μπορεί να υπάρξουν αλλά σε κάποιο χρόνο

ανάλογο της απόκλισης θα επανέλθει η ισορροπία

Ας δούμε και με λίγα μαθηματικά τα παραπάνω Θεωρούμε την πιθανότητα Ps μία περιοχή να έχει

S είδη Η πιθανότητα αυτή θα αλλάζει από τη χρονική στιγμή t στην χρονική στιγμή t+1 βάση του

τύπου

Ps(t+ 1) = Ps(t) lowast (1minus λs∆tminus micros∆t) + Psminus1λsminus1∆t+ Ps+1micros+1∆t (21)

όπου οι όροι λs και micros είναι οι ρυθμοί μετανάστευσης προς και από μία περιοχή αντίστοιχα όταν

υπάρχουν S είδη στην περιοχή Η παραπάνω εξίσωση () ισχύει γιατί για να έχουμε S είδη τη στιγμή

t+ ∆t θα πρέπει να ισχύει κάτι από τα παρακάτω

1 υπήρχαν S είδη τη στιγμή t και δεν είχαμε μετανάστευση προς καμία κατεύθυνση στο χρονικό

10

διάστημα ∆t

2 υπήρχαν S-1 είδη τη στιγμή t και ένα είδος ήρθε ή

3 υπήρχαν S+1 είδη τη στιγμή t και ένα είδος έφυγε

Θεωρούμε ότι το ∆t είναι αρκετά μικρό ώστε να έχει χρόνο μόνο ένα είδος να έρθει ή να φύγει από

την περιοχή Παίρνοντας το όριο ∆trarr 0 της εξίσωσης () καταλήγουμε στην παρακάτω

Ps =

minus(λs + micros)Ps + micros+1Ps+1 S = 0

minus(λs + micros)Ps + λsminus1Psminus1 + micros+1Ps+1 1 le S le Smax minus 1minus(λs + micros)Ps + λsminus1Psminus1 S = Smax)

(22)

Θέτουμε n = Smax και P = [P0 Pn]T απλοποιημένα και πλέον μπορούμε να εκφράσουμε τις

εξισώσεις (για S=0 n) με την απλή εξίσωση πίνακα

P = A lowast P (23)

όπου ο πίνακας Α δίνεται από τον τύπο

A =

minus(λ0 + micro0) micro1 0 ldots 0

λ0 minus(λ1 + micro1) micro2

ddots

λnminus2 minus(λnminus1 + micronminus1) micron

0 0 λnminus1 minus(λn + micron)

(24)

Για τις ευθείες καμπύλες που φαίνονται στο παραπάνω σχήμα () θα έχουμε

microk = Ekn

λk = I(1minuskn

)(25)

Θεωρούμε την ειδική περίπτωση E = I Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε

microk + λk = E (26)

και ο πίνακας Α γίνεται

A = E lowast

minus1 1

n0 0

nnminus1 2

n

2nminus1 n

n

0 0 1nminus1

= E lowast Aprime (27)

όπου το Α΄ ορίζεται από την παραπάνω εξίσωση ()

11

Παρατήρηση 1 Το 0 είναι μία ιδιοτιμή του πίνακα Α΄ με ιδιοδιάνυσμα το

u = [u1 un+1]T

n(nminus1minusi)(iminus1) (i = 1 iprime)

un+2minus1 (i = iprime + 1 n+ 1)

(28)

όπου το irsquo είναι ο μικρότερος ακέραιος ο οποίος να είναι μεγαλύτερος ή ίσος με

τοn+12

ή με προγραμματιστικό συμβολισμό iprime = ceil(n+12

) Αυτό μπορεί να

επιβεβαιωθεί από την απευθείας λύση της εξίσωσης ιδιοτιμών Aprime lowast u = k lowast uγια την άγνωστη μεταβλητή k και το άγνωστο διάνυσμα u Σαν παράδειγμα

για n=4 έχουμε

u = [1 4 6 4 1]T (29)

όπως και για n=5 παίρνουμε

u = [1 5 10 10 5 1]T (210)

Εικασία 1 Οι ιδιοτιμές του Α΄ δίνονται ως εξής

k = 0minus2

nminus4

n minus2 (211)

Η παραπάνω εικασία δεν έχει αποδειχθεί ακόμα αλλά ισχύει για όλες τις τιμές

του ν για τις οποίες έχει εξεταστεί

Θεώρημα 1 Η τιμή σταθερής κατάστασης για την πιθανότητα των αριθμών κάθε είδους

δίνεται από τη σχέση

P (infin) =usumn+1i=1 ui

(212)

όπου τα u και ui δίνονται από την

Στη συνέχεια θα μελετήσουμε το πώς μπορούν τα παραπάνω να εφαρμοστούν σε ένα πρόβλημα

βελτιστοποίησης συγκεκριμένου τομέα

221 Μέθοδοι και παράμετροι της BBO

Σχήμα 22 Αναπαράσταση λύσεων

Μετανάστευση Θεωρούμε ότι έχουμε ένα πρόβλημα με

πολλές πιθανές λύσεις οι οποίες μπορούν να παρασταθούν ως

διανύσματα ακεραίων Κάθε τέτοιος ακέραιος θεωρείται ότι

είναι μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας (SIV) Αν έχουμε

έναν τρόπο αξιολόγησης της ποιότητας κάθε λύσης μπορούμε

να αναπαραστήσουμε κάθε λύση σαν μία περιοχή Οι καλές

ποιοτικά λύσεις θα έχουν υψηλό δείκτη καταλληλότητας

(HSI) ενώ οι λιγότερο καλές χαμηλό Οι λύσεις με υψηλό

HSI θα είναι οι περιοχές με πολλά είδη ενώ αυτές με χαμηλό

οι περιοχές με λίγα είδη Η καμπύλη μοντέλου μετανάστευ-

σης θεωρούμε ότι θα είναι ίδια για όλες τις περιοχές (για

μεγαλύτερη ευκολία Ε=Ι) με τη μεταβλητή S κάθε περιοχής

να εξαρτάται από το HSI της όπως φαίνεται στο διπλανό

σχήμα (σχήμα ) Η περιοχή στην οποία αντιστοιχεί το S1

είναι περιοχή με χαμηλό HSI ενώ αυτή με το S2 περιοχή

με υψηλό HSI ΄Οπως φαίνεται και από το διπλανό σχήμα η

περιοχή με S1θα έχει λίγα είδη υψηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ1) και χαμηλό από (micro1) αυτή

ενώ η περιοχή με δείκτη S2 θα έχει πολλά είδη χαμηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ2) και υψηλό

12

από (micro2) αυτή Οι ρυθμοί μ και λ χρησιμοποιούνται για την ανταλλαγή πληροφοριών μεταξύ των

περιοχών πιθανοκρατικά Με πιθανότητα Pmod αξιολογούμε κάθε λύση βάση των υπολοίπων και

όποιες επιλεχθούν να τροποποιηθούν βάση του λ πιθανοκρατικά αξιολογούνται οι SIV και επιλέγονται

αυτοί που θα τροποποιηθούν ΄Αν κάποιος SIV επιλεχθεί να τροποποιηθεί βάση του μ των υπόλοιπων

λύσεων επιλέγεται πάλι πιθανοκρατικά από ποια λύση θα μεταναστεύσει κάποιος τυχαίος SIV

Η μέθοδος αυτή της μετανάστευσης στους BBO αλγόριθμους είναι παρόμοια με τις μεθόδους

των εξελικτικών και γενετικών αλγόριθμων όπου πολλοί πρόγονοι μπορούν να συνδυαστούν για

την παραγωγοί ενός απογόνου με μία όμως σημαντική διαφορά Σε αντίθεση με τους εξελικτικούς

και γενετικούς αλγόριθμους στους οποίους οι προηγούμενες λύσεις καταστρέφονται από γενιά σε

γενιά στους BBO οι λύσεις παραμένουν και εξελίσσονται χωρίς να καταστρέφονται Φυσικά έχει

ενσωματωμένο κάποιου είδους ελιτισμός έτσι ώστε να μην επηρεάζονται οι βέλτιστες λύσεις

Μετάλλαξη Κατακλυσμικά γεγονότα μπορούν να αλλάξουν δραστικά τον HSI μίας περιοχής

όπως μπορούν να προκαλέσουν απόκλιση του αριθμού των ειδών από την ισορροπία επηρεάζοντας

τον HSI λόγω φαινομενικά τυχαίων φαινομένων Τέτοια φαινόμενα μοντελοποιούνται στους BBO με

την μετάλλαξη των HSI και χρησιμοποιείται η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών για τον

καθορισμό του ρυθμού μετάλλαξης Η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών υπακούει στην

διαφορική εξίσωση Παρατηρώντας την καμπύλη στο σχήμα βλέπουμε ότι οι περιοχές με χαμηλό

αριθμό ειδών αλλά και αυτές με υψηλό αριθμό ειδών έχουν σχετικά χαμηλή πιθανότητα κάτι που θα

μπορούσε να εξαχθεί και από το θεώρημα 1 σε αντίθεση με αυτή με μέσες τιμές γιατί τα δεύτερα είναι

πιο κοντά στο σημείο ισορροπίας Ως παράδειγμα ας θεωρήσουμε την περίπτωση όπου Smax = 10 Η

λύση σταθερής κατάστασης της εξίσωσης θα είναι ανεξάρτητη της αρχικής συνθήκης Π(0) και μπορεί

να υπολογιστεί με αριθμητικές μεθόδους είτε βάση του θεωρήματος 1 με αποτέλεσμα

P (infin) sim= [0001 0001 0044 0117 0205 0246 0205 0117 0044 0001 0001]T

Τα στοιχεία του P (infin) δίνουν άθροισμα μονάδα και η γραφική τους παράσταση δίνει μία άρτια

συνάρτηση συμμετρική στην κεντρική τιμή

Κάθε λύση έχει μία αντίστοιχη πιθανότητα η οποία είναι δείκτης του κατά πόσο ήταν αναμενόμενη

εξ αρχής η λύση αυτή στο συγκεκριμένο πρόβλημα Λύσεις με πολύ υψηλό αλλά και πολύ χαμηλό HSIείναι αρκετά απίθανες να υπάρξουν ενώ λύσεις με μέσους HSI κοντά στο σημείο ισορροπίας είναι πιο

πιθανές Λύση S με μικρή πιθανότητα PS είναι αρκετά απίθανη οπότε έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να

μεταλλαχθεί από ία λύση Srsquo με μεγάλη πιθανότητα P primeS Αυτό μπορεί να παρασταθεί με τον παρακάτω

τύπο όπου ο ρυθμός μετάλλαξης m είναι αντιστρόφως ανάλογος της πιθανότητας μίας λύσης

m(S) = mmax

(1minus PSPmax

)(213)

και mmax είναι μία παράμετρος που ορίζεται από το χρήστη Αυτό το μοντέλο μετάλλαξης τείνει

να αυξήσει τη διαφορετικότητα μεταξύ του πληθυσμού των λύσεων Χωρίς αυτό οι λύσεις με μεγάλη

πιθανότητα θα ήταν επικρατέστερες των υπολοίπων Δίνει λοιπόν τη δυνατότητα στις κακές λύσεις

να μεταλλαχθούν και να εξελιχθούν δίνοντας παράλληλα και τη δυνατότητα στις λύσεις με υψηλή

πιθανότατα να εξελιχθούν και να βελτιωθούν και άλλο Πρέπει να σημειωθεί ότι χρησιμοποιείται

μία ελιτίστικη προσέγγιση αποθηκεύοντας τη βέλτιστη λύση έτσι ώστε αν χειροτερέψει από μία

μετάλλαξη να μπορούμε να την επαναφέρουμε αν χρειαστεί Οπότε η μετάλλαξη χρησιμοποιείται και

τις κακές και στις καλές λύσεις Οι μέσες λύσεις θεωρούμε ότι καλυτερεύουν με την μετανάστευση

οπότε αποφεύγουμε να τις μεταλλάξουμε και έχουν μικρότερο ρυθμό μετάλλαξης Η υλοποίηση της

μετάλλαξης εξαρτάται από το εκάστοτε πρόβλημα και χρήστη

Ορισμοί της BBO και αλγόριθμος

Παρακάτω δίνονται κάποιοι ορισμοί ως ένα πρώτο βήμα για τη μορφοποίηση του BBO αλγόριθμου

παρουσιάζοντας παράλληλα και μία περιγραφή του αλγόριθμου Με το R αναφερόμαστε στο σύνολο

13

πραγματικών αριθμών με το Ζ ακεραίων και με το empty στο κενό σύνολο

Ορισμός 1 Μία περιοχή H isin SIV mείναι ένα διάνυσμα m ακεραίων που αντιπροσωπεύει μία

πιθανή λύση του προβλήματος

Ορισμός 2 Μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας SIV isin C είναι ένας ακέραιος επιτρεπτός

σε μία περιοχή C isin Zqείναι το σύνολο όλων των επιτρεπτών ακεραίων σε μία

περιοχή Η απαίτηση SIV isin C ονομάζεται περιορισμός όπως και σε υψηλότερο

επίπεδο η απαίτηση H isin SIV m

Ορισμός 3 ΄Ενας δείκτης καταλληλότητας περιοχής HSI H rarr R αποτελεί μέτρο την ποιότη-

τας καλής ή κακής της λύσης που αντιπροσωπεύει η περιοχή Σημείωση Στους

περισσότερους αλγόριθμους βασισμένους στους πληθυσμούς το HSI ονομάζεται κα-ταλληλότητα

Ορισμός 4 ΄Ενα οικοσύστημα Hnείναι ένα σύνολο από n περιοχές Το μέγεθος n είναι σταθερό

(μελλοντικοί αλγόριθμοι μπορεί να επιτρέπουν μεταβλητό n όπως κάποιοι γενετικοί

αλγόριθμοι επιτρέπουν μεταβλητό μέγεθος πληθυσμών)

Ορισμός 5 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή λ(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

αύξουσα συνάρτηση του HSI Το λi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV από μία

γειτονική περιοχή να μεταναστεύσει στην Hi

Ορισμός 6 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή micro(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

φθίνουσα συνάρτηση του HSI Το microi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV της Hi

να μεταναστεύσει προς μία γειτονική περιοχή Στην πράξη θεωρούμε ότι οι συναρ-

τήσεις λ και μ είναι γραμμικές με το ίδιο μέγιστο Αυτή η υπόθεση βοηθάει στην

στην απλούστευση των μαθηματικών υπολογισμών Καλύτερες επιδόσεις μπορεί να

είναι εφικτές αν παρεκκλίνουμε λίγο από την υπόθεση αυτή

Ορισμός 7 Τροποποίηση μίας περιοχής Ω(λμ) Hn rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής

που προσαρμόζει την περιοχή Η βάση του οικοσυστήματος Hn Η πιθανότητα μια

περιοχή Η να τροποποιηθεί είναι ανάλογη του ρυθμού μετανάστευσης προς αυτή λ

και η πιθανότητα η τροποποίηση αυτή να προέλθει από την περιοχή Hj είναι ανάλογη

του ρυθμού μετανάστευσης microj από την περιοχή Η τροποποίηση των περιοχών

μπορεί να περιγραφεί γενικά ως εξής

Επιλογή του Hi με πιθανότητα sim λi΄Αν έχει επιλεχθεί το Hi

For j=1 to nεπιλογή του Hj με πιθανότητα sim microiΑν έχει επιλεχθεί το Hj

τυχαία επιλογή ενός SIV σ από το Hj

αντικατάσταση ενός τυχαίου SIV της Hi με το σ

endend

endΑπό τον παραπάνω αλγόριθμο γίνεται φανερό ότι μπορεί να εφαρμοστεί ένα κρι-

τήριο ελιτισμού θέτοντας λ=0 για την p βέλτιστη περιοχή όπουp μία παράμετρος

ελιτισμού καθορισμένη από το χρήστη Ακόμα να σημειωθεί ότι ο ορισμός του Ω

εξασφαλίζει ότι η περιοχή Η που τροποποιείται ικανοποιεί τους περιορισμούς του

SIVΟρισμός 8 Η μετάλλαξη Μ(λμ) H rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής που τυχαία τρο-

ποποιεί τις SIVs μίας περιοχής βάση της αρχικής πιθανότητας ύπαρξης της περιοχής

Η πιθανότητα ύπαρξης μίας περιοχής υπολογίζεται όπως αναφέρθηκε παραπάνω

από τους ρυθμούς λ και μ Η μετάλλαξη μπορεί να περιγραφεί ως εξής

14

For j=1 to mχρήση των microi και λi για τον υπολογισμό της πιθανότητας Piεπιλογή της SIV Hi(j) με πιθανότητα sim PiΑν έχει επιλεχθεί το Hi(j)

Αντικατάσταση του Hi(j) με ένα τυχαία δημιουργημένο SIVend

end΄Οπως και παραπάνω ο ελιτισμός μπορεί να υλοποιηθεί θέτοντας πιθανότητα με-

τάλλαξης μηδενική για την περιοχή με τη βέλτιστη λύση p Από τον παραπάνω

ορισμό βλέπουμε ότι πρέπει η μετάλλαξη να έχει κατάλληλους περιορισμούς ώστε

να καταλήγει σε HSI που να υπακούν στους περιορισμούς των SIVs

Ορισμός 9 Μία συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος Ψ ( m n λ μ Ω Μ) Hn rarr Hn

είναι μία εξάδα που τροποποιεί το οικοσύστημα από μία επανάληψη στην επόμενη

Η συνάρτηση τροποποίησης του οικοσυστήματος μπορεί να γραφεί ως εξής

ψ = λn micron Ωn HSIn Mn HSI (214)

Η συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος λοιπόν ξεκινάει υπολογίζοντας τους ρυθ-

μούς μετανάστευση προς και από μία περιοχή Εν συνεχεία λαμβάνει χώρα η τρο-

ποποίηση των περιοχών ακολουθούμενη από έναν επαναϋπολογισμό των HSI

Τέλος εφαρμόζεται μετάλλαξη και ξαναϋπολογίζονται οι HSI κάθε περιοχής

Ορισμός 10 ΄Ενας BBO αλγόριθμος BBO(Ι Ψ Τ) είναι μία τριάδα που προτείνει μία λύση σε

ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης I empty rarr Hn HSIn είναι μία συνάρτηση η οποία

παράγει ένα αρχικό οικοσύστημα περιοχών και υπολογίζει τις αντίστοιχες HSI Ψείναι μία συνάρτηση τροποποίησης οικοσυστήματος όπως ορίστηκε παραπάνω και

T Hn rarr true false είναι ένα κριτήριο τερματισμού του αλγόριθμου

Η συνάρτηση Ι μπορεί να υλοποιηθεί με μία γεννήτρια τυχαίων αριθμών ευρετι-

κών λύσεων στο πρόβλημα βελτιστοποίησης ή με οιαδήποτε άλλη διαδικασία που

να εξαρτάται από το πρόβλημα Το Τ μπορεί να εξαρτάται από τον αριθμό των

Ψ επαναλήψεων το HSI της βέλτιστης περιοχής ή οποιοδήποτε άλλο κριτήριο

βάση του προβλήματος Οπότε ο αλγόριθμος BBO μπορεί να περιγραφεί από το

παρακάτω

Ι

όσο δεν ισχύει το Τ

Ψ

end

Μία απλουστευμένη περιγραφή του BBO αλγόριθμου θα μπορούσε να είναι η παρακάτω

1 Αρχικοποίηση των παραμέτρων του αλγορίθμου Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρεθεί μία μέθοδος

χαρτογράφησης των λύσεων του προβλήματος σε SIVs και περιοχές σύμφωνα με το πρόβλημα

Ακόμα αρχικοποιούμε ή ορίζουμε το μέγιστο αριθμό ειδών Smax τους μέγιστους ρυθμούς μετα-

νάστευσης Ε και Ι το μέγιστο ρυθμό μετάλλαξης mmax και μία παράμετρο ελιτισμού Πρέπει να

σημειωθεί ότι ο μέγιστος αριθμός ειδών και οι μέγιστοι ρυθμοί μετανάστευσης είναι αλληλοεξαρ-

τώμενα μεγέθη Οπότε αν όλα αλλάζουν κατά το ίδιο ποσοστό η συμπεριφορά του ΒΒΟ δεν θα

αλλάζει Αυτό συμβαίνει γιατί άν τα Ε Ι και Smax αλλάξουν οι ρυθμοί μετανάστευσης μ λ και ο

αριθμός των ειδών S θα αλλάξουν κατά την ίδια σχετική ποσότητα για όλες τις περιοχές ή λύσεις

2 Αρχικοποίηση μίας τυχαίας ομάδας περιοχών όπου κάθε περιοχή θα αντιστοιχεί σε πιθανή λύση

Αυτό είναι η υλοποίηση του συνόλου Ι

3 Για κάθε περιοχή καθορισμός των HSI για τον αριθμό ειδών S και των ρυθμών μετανάστευσης μ

και λ

15

4 Χρήση βάση πιθανοτήτων των ρυθμών μετανάστευσης για την τροποποίηση των μη ελιτίστικων

περιοχών και επαναϋπολογισμό των HSI αυτών

5 Για κάθε περιοχή ενημέρωση της πιθανότητας των αριθμών των ειδών βάση της εξίσωσης

Στη συνέχεια μετάλλαξη των μη ελιτίστικων περιοχών βάση των πιθανοτήτων τους και ξανά

υπολογισμός των HSI

6 Επιστροφή στο βήμα 3 για την επόμενη επανάληψη της διαδικασίας Η διαδικασία μπορεί

να σταματήσει μετά από έναν προκαθορισμένο αριθμό επαναλήψεων ή με την επίτευξη μίας

επιθυμητής λύσης Αυτή είναι η υλοποίηση του κριτηρίου τερματισμού Τ

Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι μετά από κάθε βήμα που αλλάζει κάτι σε μία περιοχή ή λύση πρέπει να

επαληθεύεται κάθε περιοχή ως πιθανή λύση του προβλήματος Αν όχι πρέπει να υπάρχει μία διαδικασία

η οποία να την τροποποιεί ώστε να γίνεται πιθανή λύση

Τέλος επειδή ένας τέτοιος αλγόριθμος θα συγκριθεί στη συνέχεια με τους υπόλοιπους που αναφέρ-

θηκαν παραπάνω είναι χρήσιμο να γίνουν πιο διακριτές οι διαφορές τους Η πρώτη τέτοια διαφορά είναι

ότι στους BBO αλγόριθμους δεν υπάρχει η έννοια της αναπαραγωγής ή των γενεών απογόνων όπως

υπάρχουν στους γενετικούς και τους εξελικτικούς αλγόριθμους Δεν δημιουργούνται καινούριες λύσεις

από κύκλο σε κύκλο αλλά εξελίσσονται οι υπάρχουσες Για τον ίδιο λόγο διαφέρει και από τους ACO(Ant Colony Optimization) αλγόριθμους Σαν λογική είναι πιο κοντά στους PSO (Particle SwarmOptimization) και DE (Differential Evolution) αλγόριθμους μιας και αυτοί διατηρούν και εξελίσσουν

τις υπάρχουσες λύσεις τους κάνοντας την κάθε λύση να μαθαίνει από τους γείτονες και να προσαρ-

μόζεται καθώς προχωράει ο αλγόριθμος Οι PSO αντιπροσωπεύουν κάθε λύση σαν ένα σημείο στο

χώρο και τις αλλαγές μεταξύ των επαναλήψεων του αλγόριθμου με διάνυσμα ταχύτητας ΄Ομως στους

αλγόριθμους αυτούς δεν αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η ταχύτητα των σημείων έχοντας αποτέλεσμα

τη μεταβολή των λύσεων Στους DE αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η αλλαγή αυτή γίνεται βάση των

διαφορών μεταξύ άλλων λύσεων Ακόμα οι DE δεν βασίζεται σε βιολογικές αρχές Οι BBO αλγόριθμοι

μπορούν να διαχωριστούν από τους DE και PSO στο χαρακτηριστικό ότι αλλάζουν άμεσα τις λύσεις

τους ανταλλάσσοντας χαρακτηριστικά μεταξύ τους μέσω της μετανάστευσης

16

Κεφάλαιο 3

Κεραίες

31 Γενικά

Με τον όρο umlκεραίαrsquo αναφερόμαστε σε μία διάταξη που είναι σχεδιασμένη να δέχεται ηκαι να εκπέμπει

ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Είναι μία διάταξη η οποία μετατρέπει ηλεκτρομαγνητική ενέργεια που

οδεύει σε μια γραμμή μεταφοράς ή ένα κυματοδηγό σε ηλεκτρομαγνητικό κύμα στο χώρο και viceversa Οι κεραίες είναι είτε παθητικές

1 είτε τροφοδοτούμενες

2

Λόγω της μεγάλης ανάπτυξης των τηλεπικοινωνιών και των πολλών συστημάτων που χρησιμοποιούν-

ται3 έχει αναπτυχθεί μια τεράστια ποικιλία κεραιών ώστε να καλύπτουν τις ειδικές ανάγκες διαφόρων

εφαρμογών και να διευκολύνεται η κατασκευή και ένταξή τους στο φυσικό και δομημένο περιβάλλον

Η μεγάλη αυτή ποικιλία συστημάτων κεραιών επιβάλει τον διαχωρισμό τους σε κατηγορίες βάσει της

μορφής τους και της αρχής λειτουργίας τους Αλλά σε όποια κατηγορία και να ανήκει μία κεραία έχει

κάποια βασικά χαρακτηριστικά

32 Χαρακτηριστικά κεραιών

Σε μία κεραία αυτό που μας ενδιαφέρει είναι το πώς εκπέμπει ή λαμβάνει στο χώρο ή αλλιώς οι ιδιότητες

ακτινοβολίας (μακρινού πεδίου4) Η γραφική παράσταση των ιδιοτήτων αυτών γίνεται με το διάγραμμα

ακτινοβολίας της Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας κεραίας είναι δηλαδή η τρισδιάστατη γραφική

παράσταση των ιδιοτήτων ακτινοβολίας της κεραίας Βρίσκεται με μετρήσεις κάποιου μεγέθους με

τη μετατόπιση μίας πρόμπας γύρω από την κεραία Παριστάνει τη γωνιακή κατανομή του μέτρου της

έντασης του πεδίου της πυκνότητας ισχύος ή της έντασης ακτινοβολίας Επειδή θέλουμε το διάγραμμα

ακτινοβολίας να δίνει τη γενική συμπεριφορά της κεραίας σε οποιοδήποτε σήμα μπορεί να λάβει ή να

εκπέμψει οι τιμές είναι κανονικοποιημένες5

Τα διαγράμματα ακτινοβολίας σχεδιάζονται και για

την ικανότητα εκπομπής και λήψης μίας κεραίας και για συγκεκριμένη είναι τα ίδια (εκπομπής και λήψης)

Από τα διαγράμματα ακτινοβολίας βλέπουμε σε ποια σημεία του χώρου η κεραία εκπέμπει (ή αν

1Αποτελούνται μόνο από παθητικά στοιχεία απλά μετατρέπουν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα σε ηλεκτρομαγνητική ενέρ-

γεια χωρίς κάποια επεξεργασία του σήματος2΄Εχουν και ενεργά στοιχεία τα οποία μπορούν να κάνουν ενίσχυση σήματος ή ακόμα και επεξεργασία σήματος όπως

πχ μεταβολή συχνότητας3Από τις πιο μικρές ηλεκτρονικές συσκευές πχ πομποί GPS (Global Positioning System) μέχρι μεγάλα συστήματα

πχ δορυφόροι οπουδήποτε εφαρμόζεται ασύρματη επικοινωνία απαραίτητο εξάρτημα είναι μία κεραία4Ο χώρος γύρω από μία κεραία ως προς την κεραία χωρίζεται σε μακρινό και κοντινό πεδίο Στο κοντινό πεδίο

το διάγραμμα επηρεάζεται έντονα από τις επαγωγικές και χωρητικές συνιστώσες που εμφανίζονται στην κεραία κατά τη

ροή του ρεύματος ενώ στο μακρινό όχι και γι΄ αυτό το διάγραμμα του μακρινού πεδίου είναι σταθεροποιημένο ενώ του

κοντινού όχι Τα διαγράμματα που δίνουν οι κατασκευαστές είναι διαγράμματα μακρινού πεδίου Διάκριση μεταξύ μακρινού

και κοντινού πεδίου γίνεται βάσει της απόστασης από την κεραία όπου για R gt 2lowastD2

λ θεωρούμε μακρινό πεδίο όπου λ

είναι το μήκος κύματος D η διάμετρος της κεραίας και R η απόσταση από αυτήν5Λόγω των κανονικοποιημένων τιμών του διαγράμματος ακτινοβολίας το διάγραμμα πυκνότητας ισχύος και έντασης

ακτινοβολίας είναι ταυτόσημα

17

είναι διάγραμμα λήψης λαμβάνει) τη μεγαλύτερη και σε ποια τη μικρότερη ισχύ Το τρισδιάστατο

της περιγραφής επιτυγχάνεται με το συνδυασμό δύο διαγραμμάτων το κάθετο (κάθετη τομή στον

τρισδιάστατο χώρο) και το οριζόντιο (οριζόντια τομή) Η κεραία θεωρείται στο κέντρο του διαγράμματος

και το διάγραμμα συνδέει στην ουσία τον χώρο με την ακτινοβολούμενη ισχύ ή με την ικανότητα

λήψης ισχύος για διάγραμμα εκπομπής και λήψης αντίστοιχα και είναι όπως προαναφέρθηκε η

γραφική αναπαράσταση της συμπεριφοράς της κεραίας στο χώρο Μας δείχνει σε ποιες περιοχές του

χώρου εκπέμπει και πόση ισχύ ή αντίστοιχα από ποιες περιοχές του χώρου και πόση ισχύ μπορεί

να λάβει η κεραία Είτε επειδή δε θέλουμε σπατάλη ισχύος σε rdquoαδιάφορεςrdquoπεριοχές είτε επειδή δεν

θέλουμε να παρεμβάλλουμε δημιουργώντας θόρυβο σε άλλες κεραίες κατά την εκπομπή και είτε επειδή

θέλουμε να λαμβάνουμε τη μέγιστη δυνατή ισχύ αν ξέρουμε από που λαμβάνουμε και να μειώνουμε

το θόρυβο από τις άλλες πηγές τα διαγράμματα ακτινοβολίας είναι πολύ χρήσιμα στο σχεδιασμό μίας

κεραίας Τέλος μία άλλη χρήση είναι η σύγκριση κεραιών είτε γενικά είτε για συγκεκριμένες εφαρμογές

Σχήμα 31 Διάγραμμα ακτινοβολίας

Στο διπλανό σχήμα () φαίνεται ένα τυπικό και αρκετά

απλοποιημένο διάγραμμα ακτινοβολίας Σε αυτό διακρίνουμε

τον κύριο λοβό που είναι το τμήμα η μεγαλύτερη κλειστή

καμπύλη που διακρίνεται από το γεγονός ότι έχει τη μέγιστη

τιμή στο διάγραμμα Συνήθως τα διαγράμματα ακτινοβολίας

είναι πολικά όπως αυτό του σχήματος 31 με βαθμονόμηση

από 0μέχρι 360

και ο κύριος λοβός στη γενική περίπτωση

τοποθετείται στις 0 Ο λοβός που βρίσκεται στις 180

ονο-

μάζεται οπίσθιος λοβός και οι υπόλοιποι λοβοί ονομάζονται

πλευρικοί Ανάλογα με την περίπτωση οι υπόλοιποι εκτός του

κύριου είναι ανεπιθύμητοι είτε επιθυμητοί και προσπαθούμε

αντίστοιχα να τους καταστείλουμε ή να τους ενισχύσουμε

Οι πλευρικοί λοβοί οφείλονται σε φαινόμενα καταστροφικής

ή εποικοδομητικής συμβολής των κυμάτων που εκπέμπονται

από τη κεραία Η κλίμακα στο διάγραμμα είναι σε deciBellκαι τα μεγέθη είναι κανονικοποιημένα

6 ΄Ετσι η μέγιστη τιμή θα είναι στα 0 db και οι υπόλοιπες

σε αρνητικές τιμές Τα διαγράμματα αυτά έχουν τέτοια βαθμονόμηση γιατί θέλουμε να εκφράζουν

ποιοτικά τη συμπεριφορά της κεραίας αλλά και γιατί οι τιμές έντασης ή ισχύος που θέλουμε να αναπα-

ραστήσουμε είναι πολλών τάξεων μεγέθους και θα θέλαμε πολύ μεγάλα διαγράμματα για κανονικές τιμές

΄Ενα πιο αναλυτικό διάγραμμα ακτινοβολίας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () και είναι διάγραμμα

μίας κεραίας Yagi-Uda Οι κύκλοι που φαίνονται στο διάγραμμα αντιστοιχούν στις τιμές -3 -10 -20

-30 και -40 dB και είναι χωρισμένοι σε τμήματα των 10 Οι κύκλοι αυτοί δείχνουν τα σημεία που

έχει μειωθεί το μέγεθος στο 50 στο 10 στο 1 στο 01 και στο 001 αντίστοιχα Η

γωνία των σημείων στα οποία ο κύριος λοβός τέμνει τον πρώτο κύκλο ονομάζεται γωνία ημίσειας ισχύος

Σχήμα 32 Καρτεσιανό διάγραμμα

Εκτός των πολικών διαγραμμάτων υπάρχουν και τα καρτεσιανά

τα οποία είναι η καρτεσιανή προβολή των πολικών Παράδειγμα

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () όπου φαίνεται το άνοιγμα μισής

ισχύος και το επίπεδο του πρώτου πλευρικού λοβού Επειδή τα

διαγράμματα ακτινοβολίας σχηματίζονται όπως προαναφέρθηκε

και αφορούν τη χωρική συμπεριφορά μίας κεραίας στο μακρινό

πεδίο οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε την κεραία ως σημείο

τα καρτεσιανά διαγράμματα δεν έχουν καλή αναπαράσταση της

πραγματικότητας Αλλά είναι αρκετά χρήσιμα στη μελέτη κεραιών

και στην καλύτερη εποπτεία των χαρακτηριστικών της από τα πολικά και για το λόγο αυτό σχεδιάζονται

και χρησιμοποιούνται κατά κόρον

6΄Ενα κανονικοποιημένο διάγραμμα έχει την ίδια μορφή με ένα μη κανονικοποιημένο με μόνη αλλαγή την κλίμακα και

ότι τα μεγέθη είναι ο λογάριθμος του λόγου της τιμής προς τη μέγιστη

18

Σχήμα 33 Διάγραμμα ακτινοβολίας Yagi-Uda κεραίας

Από ένα διάγραμμα ακτινοβολίας μπορούμε να βρούμε τα παρακάτω χαρακτηριστικά μίας κεραίας (ή

και παραμέτρους του διαγράμματος όπως αναφέρονται συχνά)

Σχήμα 34 Ισοτροπική και μη

bull Κατευθυντικότητα δείκτης της ικανότητα της κεραίας να

συγκεντρώσει την ακτινοβολία εκπομπής προς μία συγκεκριμένη

κατεύθυνση και βρίσκεται αναφορικά με μία ιδανική (ισοτροπική)

κεραία Η σύγκριση την όποιας κεραίας με μία ισοτροπική φαίνεται

στο διπλανό σχήμα () Τα εμβαδά είναι ίσα οπότε εκπέμπουν

και οι δύο την ίδια ισχύ αλλά στην επιθυμητή κατεύθυνση η μη

ισοτροπική στέλνει μεγαλύτερη ισχύ Η κατευθυντικότητα λοιπόν

είναι η διαφορά σε dB των δύο διαγραμμάτων στην κατεύθυνση

του μεγίστου Είναι αντιστρόφως ανάλογη με το εύρος του κυρίως

λοβού

bull Εύρος δέσμης μισής ισχύος οριζόντιου και κάθετου επιπέδου ( HPBW )

αναφέρεται στην ενεργό περιοχή κάλυψης της κεραίας και ορίζεται ώς η γωνία μεταξύ των σημείων

του κύριου λοβού όπου η ισχύς είναι μισή της μέγιστης ή σε dB 3dB κάτω από την μέγιστη και

προσδιορίζει την περιοχή που εμφανίζεται μέγιστη εκπομπή ενώ εκτός της περιοχής αυτής η ισχύς

μειώνεται πολύ γρήγορα

bull Εύρος δέσμης επίπεδο (dB) πρώτων σημείων μηδενισμού οριζόντιου καικάθετου επιπέδου (FNBW) ορίζεται ως η γωνία μεταξύ των δύο πρώτων μηδενισμών του

μεγέθους εκατέρωθεν του κύριου λοβού

bull Λόγος κύριου προς οπίσθιο λοβό (FB)

bull Επίπεδα (dB) και εύρος γωνιών πλευρικών λοβών και οπίσθιων λοβώνbull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με τον αμέσως μικρότερο λοβό του διαγράμ-ματος ακτινοβολίας

bull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με όλους τους υπόλοιπους του διαγράμματοςακτινοβολίας

bull Λόγος κύριου προς επόμενο μεγαλύτερο λοβό (Side-Lobe Level) ορίζεται ως ο λόγος

του μεγίστου του κυρίως λοβού προς τον αμέσως μικρότερο πλευρικό λοβό (SLL = MainLobeMaxSideLobe

dB)

και είναι ένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά μίας κεραίας Πολλές φορές αναφέρεται και ώς επίπεδο

πλευρικών λοβών

Τα χαρακτηριστικά μίας κεραίας μπορούν να υπολογιστούν και να περιγραφούν όχι μόνο βάσει του

19

διαγράμματος ακτινοβολίας της Μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της μετρώντας και υπολο-

γίζοντας κατάλληλα μεγέθη και κάνοντας χρήση γνωστών μαθηματικών τύπων

bull Συνολική ακτινοβολούμενη ενέργεια η συνολική (ή μέσος όρος) ενέργεια που ακτινο-

βολεί μία κεραία και υπολογίζεται από τον τύπο

Prad = Pav =

lsaquoS

~Wrad middot d~s =

lsaquoS

~Wav middot n middot da =1

2

lsaquoS

lt( ~E times ~H) middot d~s (31)

όπου Wrad=πυκνότητα ακτινοβολίας

bull ΄Ενταση ακτινοβολίας η ενέργεια που εκπέμπεται από μία κεραία ανά μονάδα στερεάς γωνίας

U = r2 middotWrad (32)

όπου r=απόσταση

bull Κατευθυντικότητα είναι ο λόγος της ακτινοβολούμενης ενέργειας σε μία συγκεκριμένη κα-

τεύθυνση προς το μέσο όρο εκπεμπόμενης ακτινοβολίας σε όλες τις κατευθύνσεις ΄Η αλλιώς

η ένταση προς μία συγκεκριμένη κατεύθυνση προς την αντίστοιχη τιμή της αν ακτινοβολούσε

ισοτροπικά

D =U

Uo=

4pU

Prad(33)

΄Αν δεν ορίζεται κατεύθυνση σαν κατευθυντικότητα αναφέρεται η μέγιστη κατευθυντικότητα μίας

κεραίας

bull Κέρδος αν και συνδέεται με την κατευθυντικότητα είναι μία παράμετρος της κεραίας που λαμ-

βάνει υπόψιν και την αποδοτικότητα της κεραίας αλλά και τις δυνατότητες κατευθυντικότητας

Απόλυτο κέρδος κεραίας (σε συγκεκριμένη κατεύθυνση) ορίζεται ο λόγος της έντασης ακτινοβο-

λίας προς την ένταση ακτινοβολίας που θα είχε στη συγκεκριμένη κατεύθυνση άν όλη η ενέργεια

εισόδου της κεραίας εκπεμπόταν ισοτροπικά

κέρδος = 4π middot ένταση ακτινοβολίας

συνολική εισερχόμενη ενέργεια= 4π

U(θ φ)

Pinputrarr

G = 4π U(θφ)Pinput (ιδανικής ισοτροπικής πηγής)

(34)

bull Απόδοση κεραίας είναι ένας δείκτης που λαμβάνει υπόψιν τις απώλειες ενέργειας από την

είσοδο στην έξοδο της κεραίας λόγω πολλών φαινομένων Γενικά η συνολική απόδοση μίας

κεραίας δίνεται από τον τύπο

eo = er middot ec middot ed (35)

όπου eo είναι η συνολική απόδοση er είναι η απόδοση λόγω απωλειών ανακλάσεων (λόγω κακής

προσαρμογής) (= 1minus|Γ|2) ec είναι η απόδοση λόγω απωλειών αγωγιμότητας ed είναι η απόδοση

που οφείλεται στο διηλεκτρικό και Γ ο συντελεστής ανάκλασης τάσης

bull Απόδοση δέσμης είναι μία παράμετρος ποιότητας μίας κεραίας και ορίζεται από το λόγο της

ενέργειας που ακτινοβολείται από τον κύριο λοβό της κεραίας (με το λοβό σε γωνία θ0) προς τη

συνολική

BE =

acute 2π0

acute θ0U(θ φ)sin(θ)dθdφacute 2π

0

acute π0U(θ φ)sin(θ)dθdφ

(36)

όπου θ1 είναι η γωνία μισής ισχύος ΄Αν θεωρήσουμε το θ1 στην κατεύθυνση του πρώτου μηδενι-

σμού τότε θα έχουμε το λόγο της ισχύος του κυρίως λοβού προς τη συνολική

bull Εύρος σαν εύρος μιας κεραίας ορίζεται το εύρος των συχνοτήτων (bandwidth) στις οποίες

μπορεί να λειτουργήσει αποδοτικά βάσει κάποιων χαρακτηριστικών της πχ να έχει εύρος κύριου

λοβού εντός συγκεκριμένων ορίων διατηρώντας μία ελάχιστη τιμή SLL

20

33 Κατηγορίες κεραιών

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω οι κεραίες χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με τα μορ-

φολογικά αλλά και λειτουργικά χαρακτηριστικά τους Βάσει του τρόπου με τον οποίο εκπέμπουν ή

λαμβάνουν ή αλλιώς βάσει του διαγράμματος ακτινοβολίας τους χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες

bull Ισοτροπικές μία ισοτροπική κεραία ορίζεται ως μία υποθετική (ιδανική) κεραία η οποία ακτινο-

βολεί το ίδιο προς όλες τις κατευθύνσεις Δεν έχει κάποια πραγματική εφαρμογή στα τηλεπικοι-

νωνιακά συστήματα γιατί η ισχύς της εκπέμπεται προς όλες τις κατευθύνσεις το ίδιο προκαλώντας

μεγάλες απώλειες ισχύος σε ανεπιθύμητες κατευθύνσεις ΄Εχει μόνο θεωρητική αξία στη μελέτη

κεραιών και στον ορισμό κάποιων παραμέτρων των κεραιών όπως το κέρδος που είδαμε παραπάνω

bull Κατευθυντικές μία κατευθυντική κεραία ορίζεται ως η κεραία που έχει την ικανότητα να

εκπέμπει ή να λαμβάνει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αποτελεσματικότερα προς κάποιες κατευ-

θύνσεις Είναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κεραίες και η εξέλιξη αυτών είναι οι έξυπνες

κεραίες που ανάλογα με τις ανάγκες της κάθε συσκευής και τα χαρακτηριστικά του χώρου που

βρίσκεται μπορούν να αλλάξουν τη γωνία μέγιστης εκπομπής κάνοντας βέλτιστη χρήση της α-

κτινοβολούμενης ισχύος της

bull Πανκατευθυντικές μία πανκατευθυντική κεραία είναι μία κεραία η οποία ακτινοβολεί σαν

κατευθυντική εκτός από ένα επίπεδο στο οποίο εκπέμπει ή λαμβάνει ισοτροπικά Η χρήση τους

είναι κυρίως στα μέσα μαζικής επικοινωνίας όπου χρειάζεται κάλυψη του χώρου 360 μοιρών στο

οριζόντιο επίπεδο αλλά πολύ μικρής γωνίας στο κάθετο

Βάσει των μορφολογικών χαρακτηριστικών τους χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες Η κάθε

κατηγορία έχει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της που την καθιστούν κατάλληλη για κάποια

εφαρμογή και ακατάλληλη για κάποια άλλη Παρακάτω αναφέρονται οι κατηγορίες αυτές των κεραιών

με τα βασικά χαρακτηριστικά της κάθε μίας

bull Κεραίες σύρματος Είναι απλές κεραίες κατασκευασμένες από αγώγιμο υλικό συνήθως

κυκλικής διατομής Πολλές φορέα σχηματίζονται από πολλούς αγωγούς κατάλληλα συζευγμένους

μεταξύ τους σε πλέγματα διαφόρων σχημάτων που είτε δημιουργούν μία επιφάνεια είτε μία γραμμική

κεραία Η απλούστερη γραμμική κεραία είναι η κεραία διπόλου τα χαρακτηριστικά της οποίας είναι

ανάλογα με το σχετικό μήκος της ως προς το μήκος κύματος της ακτινοβολίας για την οποία προορίζε-

ται7 Οι συγκεκριμένες είναι πολύ απλές στην κατασκευή πολύ συχνά απλά συρμάτινες Αποτελείται

από ένα δίπολο του οποίου (συνήθως) η τροφοδοσία8είναι στη μέση Πλεονεκτήματα των κεραιών

αυτών είναι το κόστος το μέγεθος και η δυνατότητα κάλυψης μεγάλης περιοχής συχνοτήτων ενώ

έχουν το μειονέκτημα της χαμηλής απόδοσης λόγω των διαστάσεων τους Καλύτερα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης έχουν οι διπολικές κεραίες των οποίων το μήκος είναι της τάξης του μήκους κύματος

Σχήμα 35 Κεραία διπόλου

Μία κεραία σύρματος χαρακτηρίζεται ως rdquoλεπτήrdquoόταν η διάμε-

τρος του αγωγού είναι μικρότερη από 001λ Ανάλογα με το σχήμα

της χαρακτηρίζεται ως ευθύγραμη κεραία V ή πτυσσόμενη Στο

διπλανό σχήμα () φαίνονται μία ευθύγραμμη και μία πτυσσόμενη

διπολική κεραία Στις πτυσσόμενες σημαντική είναι η γωνία που

σχηματίζουν οι βραχίονες τους έχοντας βρεθεί ότι η μέγιστη

κατευθυντικότητα επιτυγχάνεται για γωνία α = 60λh

+ 380

όπου h είναι το μήκος του βραχίονα και λ το μήκος κύματος τη

ακτινοβολίας και ότι Dmax = 12 + 23hλ9

7Μία κεραία χαρακτηρίζεται ως ηλεκτρικά μικρή όταν οι διαστάσεις της είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος

της ακτινοβολίας8Με τον όρο τροφοδοσία εννοούμε το υπόλοιπο σύστημα το οποίο τροφοδοτεί η κεραία με το σήμα που λαμβάνει στην

περίπτωση κεραίας λήψης ή από το οποίο τροφοδοτείται με το σήμα που θα εκπέμψει στην περίπτωση κεραίας εκπομπής

9Η σχέση αυτή είναι εμπειρική και ισχύει για 05 lt h

λ lt 3

21

Σχήμα 36 Κεραία Yagi-Uda

Μία εξέλιξη των παραπάνω κεραιών είναι οι κεραίες Yagi-Udaπου ένα διάγραμμα ακτινοβολίας τέτοιας κεραίας παρατέθηκε

παραπάνω () Είναι ευθύγραμμες διπολικές κεραίες που α-

ποτελούνται από πέραν του ενός δίπολα τα οποία όμως δεν

τροφοδοτούνται όλα Τα μη τροφοδοτούμενα δίπολα ονομάζονται

παρασιτικά και τροφοδοτούνται επαγωγικά από τα υπόλοιπα Οι

κεραίες αυτές παρουσιάζουν αυξημένη κατευθυντικότητα σχετικά

με τις μη παρασιτικές κεραίες διπόλων Η πρώτη τέτοια κεραία

κατασκευάστηκε το 1926 και αποτελούταν από τρία δίπολα ένα

ενεργό και δύο παρασιτικά Στην περίπτωση που το παρασιτικό

δίπολο έχει μεγαλύτερο μήκος από του ενεργού ονομάζεται

ανακλαστήρας ενώ αν έχει μικρότερο ονομάζεται κατευθυντήρας

Μία γενική μορφή τέτοιας κεραίας φαίνεται στο διπλανό σχήμα με LR το μήκος του ανακλαστήρα και

LD το μήκος του κατευθυντήρα

bull Στοιχειοκεραίες Μία εξέλιξη των συρμάτινων κεραιών είναι οι στοιχειοκεραίες Οι

στοιχειοκεραίες αποτελούνται από πολλές κεραίες διπόλων τα στοιχεία τα οποία ενώνονται όλα σε

μία κοινή τροφοδοσία και αυτή είναι η βασική τους διαφορά από τις Yagi-Uda που έχουν παρασιτικά

στοιχεία και ο λόγος που οι τελευταίες δε θεωρούνται στοιχειοκεραίες Συστοιχείες λοιπόν πολλών

κεραιών φτιάχνουν τις στοιχειοκεραίες Ανάλογα με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της συστοιχίας

υπάρχουν κάποια είδη στοιχειοκεραιών όπως είναι οι γραμμικές (μία συστοιχία σε ευθεία γραμμή) και

οι επίπεδες (συστοιχείες συστοιχείων) Λόγω της ταυτόχρονης χρήσης πολλών κεραιών μπορούν να

συνδυάσουν τα χαρακτηριστικά τους δίνοντας δυνατότητα πολύπλοκων κατευθυντικών διαγραμμάτων

καθιστώντας τες κατάλληλες για πολλές εφαρμογές Συγκριτικά με μία κεραία μεγάλου μήκους που

θα έχει τα ίδια κατευθυντικά χαρακτηριστικά παρουσιάζει το πλεονέκτημα της εύκολης τροφοδο-

σίας της μηχανικής αντοχής και του μικρού κόστους εγκατάστασης και λειτουργίας Τέλος με

κατάλληλη τροφοδοσία του κάθε στοιχείου της μπορούμε να αλλάξουμε τα κατευθυντικά χαρακτηρι-

στικά της ΄Εχουν πολλές γεωμετρικές μορφές αλλά και είδη που θα αναφερθούν σε επόμενη παράγραφο

bull Κεραίες βρόχου ή πλαισίου Μία κεραία βρόχου αποτελείται από έναν κλειστό αγωγό σε

σχήμα βρόχου (ή και βρόχων) ο οποίος τροφοδοτείται σε ένα σημείο του Χωρίζονται σε κεραίες μικρού

και μεγάλου βρόχου συγκριτικά με το μήκος κύματος στο οποίο χρησιμοποιούνται10

Οι μικρού

βρόχου έχουν χαμηλή απόδοση και χρησιμοποιούνται κατά κόρον σε δέκτες χαμηλών συχνοτήτων

Εκτός από τους ραδιοφωνικούς δέκτες των αυτοκινήτων στους οποίους γίνεται μεγάλη χρήση των

κεραιών μικρού βρόχου το μεγαλύτερο ποσοστό των δεκτών AM χρησιμοποιούν τέτοιες κεραίες

Οι μεγάλου βρόχου έχουν ευρεία χρήση στους δέκτες VHF και UHF έχοντας και το επιπλέον

χαρακτηριστικό της μεταβλητής περιφέρειας δίνοντας δυνατότητα μεγαλύτερου εύρους συχνοτήτων

Γενικά οι κεραίες βρόχου είναι κεραίες με μεγάλη κατευθυντικότητα κάτι που τις κάνει ιδανικές σε

εφαρμογές εύρεσης κατεύθυνσης σήματος

bull Ελικοειδής κεραίες Μία ελικοειδής κεραία αποτελείται από έναν αγωγό που έχει τη μορφή

έλικας στον οποίο η τροφοδοσία είναι στο ένα του άκρο Αποτελεί συνδυασμό κεραίας βρόχου και

γραμμικής κεραίας οπότε μπορεί να εκπέμπει με δύο τρόπους (ρυθμούς) αξονικά και κάθετα στον άξονα

της έλικας κάτι που της δίνει βελτιωμένα χαρακτηριστικά συγκριτικά με τις δύο αυτές κατηγορίες

Χρησιμοποιείται κατά κόρον όπου απαιτείται κυκλική πόλωση σήματος σαν πομπός ή σε σήματα που

έχουν κυκλική πόλωση σαν δέκτης και έχει αρκετά μεγάλο εύρος ζώνης συχνοτήτων Ανάλογα με τα

χαρακτηριστικά που πρέπει να έχει μία ελικοειδής κεραία μπορεί να είναι ομοιόμορφη (όλες οι έλικες

ίδια διάμετρο) αυξανόμενης ελαττούμενης και αυξο-ελαττούμενης διαμέτρου ελίκων

bull Δικωνικές κεραίες ΄Αν δύο V ενωθούν κατακορυφήν σχηματίζεται μία δικωνική κεραία οι

οποίες έχουν αυξημένο εύρος συχνοτήτων Πολλές δικωνικές κεραίες έχουν τη δυνατότητα μεταβολής

10Σαν κεραία μικρού βρόχου θα χαρακτηριστεί η κεραία της οποίας η περιφέρεια θα είναι ίση ή μικρότερη από το ένα

δέκατο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας

22

του μήκους του βραχίονα τους δίνοντας ακόμα μεγαλύτερο εύρος Αν μία από τις δύο V κεραίες

αντικατασταθεί από μία αγώγιμη επιφάνεια σε σχήμα δίσκου έχουμε τη δισκωνική κεραία στην οποία

ο δίσκος λειτουργεί ως ανακλαστήρας Είναι κεραίες μικρής κατευθυντικότητας και χαμηλού κέρδους

και χρησιμοποιούνται πολύ σαν κεραίες ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών εκπομπών

bull Σπειροειδής κεραίες Οι σπειροειδής κεραίες είναι κεραίες με μεγάλο εύρος ζώνης

συχνοτήτων και μεγάλης κατευθυντικότητας Αποτελούνται από μία ή δύο αγωγούς που έχουν σχήμα

σπείρας και όσο μικρότερη γωνία ανοίγματος σπείρας έχουν τόσο μεγαλύτερη κατευθυντικότητα

Μπορεί να είναι επίπεδες ή κωνικές και η πόλωση του σήματος που λαμβάνουν ή εκπέμπουν είναι

ανάλογη με τη φορά των σπειρών Το εύρος συχνοτήτων τους δίνεται από το λόγο μεγαλύτερης προς

μικρότερης διαμέτρου άν και στην πραγματικότητα είναι λίγο μικρότερο του λόγου αυτού Μία αρκετά

διαδεδομένη σπειροειδής κεραία είναι η rdquoσπειροειδής του Αρχιμήδηrdquoη οποία αποτελείται από δύο σπε-

ίρες με r1 = r0φ και r2 = r0(φminusπ) οι οποίες συνήθως κατασκευάζονται πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα11

bull Κεραίες χοάνης Οι κεραίες χοάνης αποτελούνται από έναν αγωγό ο οποίος είναι από το

ένα άκρο του ανοιχτός και διεγείρεται από το άλλο του άκρο Με σωστή ρύθμιση έχουν μεγαλύτερη

απόδοση από τις συρμάτινες Ανάλογα με το σχήμα του αγωγού μπορεί να υπάρχουν αρκετά είδη

τέτοιων κεραιών τρία εκ των οποίων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα () Η κατευθυντικότητα της

είναι ανάλογη της γωνίας ανοίγματος της Στην πράξη συναντούμε ελάχιστες κεραίες χοάνης μόνες

τους αλλά σε συνδυασμό με έναν ανακλαστήρα έχουν πολύ διαδεδομένη χρήση λόγω της πολύ μεγάλης

κατευθυντικότητας που προσφέρουν ειδικά στις περιπτώσεις που ο ανακλαστήρας είναι παραβολικός

όπου υπάρχει η δυνατότητα παραγωγής πολύ στενής δέσμης υψηλού κέρδους και χαμηλού θορύβου

Χρησιμοποιούνται πολύ στις δορυφορικές επικοινωνίες και η πιο συνηθισμένη τους μορφή είναι τα umlπιάταrsquo

που χρησιμοποιούνται για τη λήψη δορυφορικών σημάτων

Σχήμα 37 Κεραίες χοάνης α)τομέας β)πυραμοειδής και γ)κωνική

bull Λογαριθμικές περιοδικές κεραίες Είναι κεραίες των οποίων τα μορφολογικά χα-

ρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με την απόσταση από την αρχή της κεραίας Υπάρχει ένα

επαναλαμβανόμενο στοιχείο κεραίας το οποίο μεγαλώνει όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της

κεραίας Μπορεί να είναι μία πλάκα με οδοντώσεις το μέγεθος των οποίων μεταβάλλεται ένα σύρμα

11Οι κεραίες που είναι κατασκευασμένες πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα ή αλλιώς σε μικροταινίες ανήκουν και στην

κατηγορία των μικροταινιακών κεραιών πολύ διαδεδομένη στις ηλεκτρονικές φορητές συσκευές που λειτουργούν στην

περιοχή των μικροκυμάτων (λόγω διαστάσεων κεραιών είναι ιδανικές για την περιοχή αυτή)

23

Σχήμα 38 Λογαριθμική περιοδική κεραία

το οποίο διπλώνεται κατάλληλα και το μέγεθος της κάθε δίπλωσης μεταβάλλεται ή ακόμα και από

δίπολα το μήκος των οποίων μεταβάλλεται Πολλές κεραίες που ανήκουν σε παραπάνω κατηγορίες είναι

λογαριθμικές μπορεί να είναι λογαριθμικές αν η μεταβολή των επαναλαμβανόμενων στοιχείων ακολουθεί

το συγκεκριμένο πρότυπο Μία τέτοια φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () η οποία ανήκει στην

κατηγορία των στοιχειοκεραίων Λόγω των επαναλαμβανόμενων στοιχείων των οποίων συνδυάζουν τα

χαρακτηριστικά μπορούν να έχουν πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων και συγκεκριμένα εύρος μίας τάξης

μεγέθους επιτυγχάνεται εύκολα και μπορούν να έχουν και αρκετά μεγάλη κατευθυντικότητα Βρίσκουν

πολλές εφαρμογές στις επικοινωνίες υψηλών συχνοτήτων και ειδικά στα τηλεοπτικά σήματα αφού με

μία κεραία μπορεί κάποιος να λαμβάνει ικανοποιητικά όλα τα διαθέσιμα κανάλια χωρίς καμία προσαρμογή

34 Στοιχειοκεραίες

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω η μορφή του διαγράμματος εκπομπής και λήψης των κεραιών

εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της κεραίας Σε πολλές εφαρμογές απαιτούνται κεραίες μεγάλου

κέρδους ή αλλιώς μεγάλης κατευθυντικότητας Μία κεραία για να έχει μεγάλη κατευθυντικότητα

θα πρέπει να έχει πολύ μεγάλο μέγεθος Το πρόβλημα αυτό λύνεται φτιάχνοντας σύνθετες κεραίες

Κεραίες που αποτελούνται από μικρότερες κεραίες είτε όμοιες μεταξύ τους είτε ανόμοιες Τέτοιες

συστοιχίες κεραιών όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ονομάζονται στοιχειοκεραίες Το κάθε στοιχείο

μίας στοιχειοκεραίας μπορεί να είναι οποιασδήποτε μορφής κεραία (σύρματος οπής κλπ) με βασικό

χαρακτηριστικό όλα τα στοιχεία να έχουν κοινή τροφοδοσία Το συνολικό πεδίο θα είναι το διανυ-

σματικό άθροισμα των πεδίων κάθε στοιχείου ξεχωριστά Οπότε μπορούμε να έχουμε το επιθυμητό

πεδίο φτιάχνοντας την κεραία μας έτσι ώστε στα σημεία που θέλουμε μεγάλο κέρδος να συμβάλουν

εποικοδομητικά τα πεδία των στοιχείων της κεραίας και στα σημεία που δεν θέλουμε να ακτινοβολεί να

έχουμε καταστροφική συμβολή

Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας θα εξαρτάται από τους εξείς παράγοντες

bull Τη γεωμετρία της στοιχειοκεραίας ( γραμμικήκυκλικήορθογώνια σφαιρική κλπ)

bull Την απόσταση μεταξύ των στοιχείων της κεραίας

bull Την ένταση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

bull Τη φάση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

24

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

13 Αλγόριθμοι και μέθοδοι βελτιστοποίησης

Πολλοί αλγόριθμοι έχουν σχεδιαστεί που να χρησιμοποιούν την παραπάνω μέθοδο Παρακάτω α-

ναφέρονται οι δημοφιλέστερες κατηγορίες των εξελικτικών αλγορίθμων που υπάρχουν με περιληπτική

περιγραφή των αρχών ή θεωριών στις οποίες βασίζονται8 Οι Ant Colony Optimization και Particle

Swarm Optimization (PSO) τυπικά δεν ανήκουν στους Εξελικτικούς Αλγόριθμους γιατί βασίζονται στη

Νοημοσύνη Σμήνους αλλά αναφέρονται λόγω ευρείας χρήσης στη βελτιστοποίηση πολλαπλών κριτηρίων

Ant Colony Optimization (ACO)

Αλγόριθμος βελτιστοποίησης συναρτήσεων του οποίου η θεωρία στηρίζεται στις αποικίες μυρ-

μηγκιών και στον τρόπο εύρεσης φαγητού και ανήκει στην οικογένεια των αλγορίθμων που βασίζονται

σε μεθόδους λογικής σμήνους (swarm intelligence) Αρχικά τα μυρμήγκια κινούνται τυχαία προς

αναζήτηση τροφής ΄Οταν κάποιο βρει τροφή γυρνώντας στη φωλιά αφήνει ένα ίχνος από φερορμόνες

Το ίχνος αυτό ελκύει τα υπόλοιπα μέλη της αποικίας να το ακολουθήσουν και να βρουν την τροφή

΄Οσο πιο πολλά ακολουθούν τόσο πιο έντονο γίνεται το ίχνος ΄Αν έχουν δημιουργηθεί πέραν του

ενός μονοπάτια σε λίγη ώρα το πιο σύντομο θα χρησιμοποιείται από πιο πολλά μυρμήγκια οπότε θα

έχει πιο έντονο ίχνος και σιγά σιγά θα γίνει το επικρατέστερο με τελικό αποτέλεσμα να γίνει το μόνο

μονοπάτι που ακολουθεί όλη η αποικία Χρησιμοποιώντας την παραπάνω λογική κάθε πιθανή λύση

αναπαρίσταται ώς ένα μυρμήγκι και κάθε τιμή κάθε παραμέτρου του προβλήματος με τα σημεία από τα

οποία μπορεί να περάσει κάθε μυρμήγκι Μετά από αρκετές επαναλήψεις καταλήγουν τα μυρμήγκια να

ακολουθούν όλα την ίδια διαδρομή ΄Εχουν επιλεχθεί δηλαδή οι βέλτιστες τιμές κάθε παραμέτρου και

οι λύσεις είναι οι βέλτιστες

Particle Swarm Optimization (PSO)

Είναι μία μετευρετική (metaheuristic) μέθοδος βελτιστοποίησης Η μέθοδος αυτή επιχειρεί

την βελτιστοποίηση ενός προβλήματος προσπαθώντας με επαναληπτικές διαδικασίες να βελτιώσει

μία υποψήφια λύση βάσει κάποιου κριτηρίου ποιότητας ΄Εχει το χαρακτηριστικό των μεθόδων που

στηρίζονται στη λογική σμήνους η οποία είναι πως η κίνηση κάθε ατόμου του πληθυσμού επηρεάζει

την κίνηση των υπολοίπων Αρχικά δημιουργείται ένας πληθυσμός με τυχαίες διαδικασίες ο οποίος

πληθυσμός κινείται στον ορισμένο χώρο βάσει απλών μαθηματικών μοντέλων που καθορίζουν τη

θέση και την ταχύτητα του κάθε μέλους του Κάθε μέλος έχει το τοπικό του μέγιστο από το

οποίο επηρεάζεται και καθοδηγείται προς το καλύτερο τοπικό μέγιστο της εγγύς περιοχής που είναι

σημεία που βρέθηκαν από άλλα μέλη ΄Ετσι τείνουν να κινηθούν όλα τα μέλη προς τα μέγιστα που

ανακαλύπτονται κατά τη διάρκεια της διαδικασίας ΄Ως μετευρετική μέθοδος απαιτεί ελάχιστες ως και

καθόλου αρχικές υποθέσεις βασισμένες στο πρόβλημα και μπορεί να ερευνήσει πολύ μεγάλο εύρος

πιθανών λύσεων χωρίς όμως να εγγυάται την εύρεση μίας βέλτιστης λύσης για κάποιο πρόβλημα

Differential Evolution (DE)

Οι αλγόριθμοι Διαφορικής Εξέλιξης βρίσκουν τη βέλτιστη λύση ενός προβλήματος δημιουρ-

γώντας ένα σύνολο υποψήφιων λύσεων το οποίο αποτελεί τον πληθυσμό Κάθε λύση κινείται σε

έναν ορισμένο χώρο χρησιμοποιώντας απλούς μαθηματικούς τύπους για να καθοριστεί η συνδυασμένη

κίνησή τους ΄Αν η καινούρια θέση μίας λύσης οδηγεί σε βελτίωση του συνόλου η λύση αυτή διατηρείται

Αλλιώς καταργείται και αντικαθίσταται από μία άλλη που προκύπτει από συνδυασμό των υπόλοιπων

που διατηρήθηκαν Η διαδικασία συνεχίζει μέχρι να φτάσει σε μία βέλτιστη λύση βάσει των κριτηρίων

που έχουν οριστεί Η σύγκριση της παρούσας από την παρελθοντική τιμή της συνάρτησης δίνει το

διαφορικό χαρακτήρα στους αλγόριθμους Χαρακτηριστικό και αρνητικό των αλγορίθμων αυτών είναι

ότι δεν είναι σίγουρο ότι θα φτάσουν στη βέλτιστη λύση γιατί εξαρτάται η εξέλιξη της διαδικασίας

8Κάθε μία από τις κατηγορίες αυτές δημιουργήθηκαν σαν αλγόριθμοι αλλά λόγω των πολλών παραλλαγών τους που

υπάρχουν πλέον θεωρούνται κατηγορίες αλγορίθμων ή ακόμα και κατηγορίες μεθόδων βελτιστοποίησης

6

από τον αρχικό πληθυσμό ΄Εχει αρκετές ομοιότητες με τη προηγούμενη μέθοδο βελτιστοποίησης με

βασικές διαφορές ότι η επόμενη λύση σε αυτή τη μέθοδο εξαρτάται από την προηγούμενη ενώ στην AntColony όχι και ότι δεν εξερευνά όλες τις πιθανές λύσεις αλλά τις λύσεις που υπάρχουν στον αρχικό

πληθυσμό της και κάποιους συνδυασμούς αυτών ενώ η Ant Colony μπορεί να εξετάσει όλα τα πιθανά

σημεία που υπάρχουν

Evolutionary Strategy (ES)

Η μέθοδος αυτή βασίζεται στην ιδέα της προσαρμογής και εξέλιξης των ειδών Χρησιμοποιεί

φυσικούς μηχανισμούς για την αναπαράσταση και βελτιστοποίηση των προβλημάτων Κύρια χαρακτηρι-

στικά εξέλιξης των λύσεων είναι η μετάλλαξη και η επιλογή Το πλήθος των λύσεων αποτελεί μία γενιά

Αρχικά δημιουργείται τυχαία μία γενιά οι αρχικοί γονείς Η επόμενη γενιά δημιουργείται από μετάλλαξη

της προηγούμενης των γονέων Αν οι απόγονοι είναι καλύτεροι ή έστω ισάξιοι με τους γονείς παίρνουν

τη θέση τους και γίνονται οι γονείς της επόμενης γενιάς αλλιώς απορρίπτονται Η μετάλλαξη των

γονέων γίνεται με προσθήκη τυχαίας μεταβλητής (από κανονική κατανομή) σε κάποια συνιστώσα τους

Λόγω της τυχαίας μετάλλαξης είναι πιο πιθανό να φτάσουν σε βέλτιστη λύση από τους αλγόριθμους

διαφορικής εξέλιξης Αλλά έχουν το αρνητικό της καταστροφής των γονέων χάνοντας έτσι κάποια

πιθανώς καλά μέλη τους πληθυσμού Το αρνητικό αυτό μπορεί κάπως να μετριαστεί δημιουργώντας

πάνω από έναν απογόνους από κάθε γονέα και κάνοντας επιλογή των καλύτερων για την επόμενη γενιά

Genetic Algorithm (GA)

Μία παραλλαγή της παραπάνω μεθόδου είναι οι Γενετικοί Αλγόριθμοι Και στη μέθοδο αυτή

υπάρχει η έννοια των γενεών Κάθε λύση αναπαρίσταται ως ένα χρωμόσωμα ή γενότυπο Δη-

μιουργείται τυχαία ο αρχικός πληθυσμός και υπολογίζεται η τιμή της συνάρτησης που θέλουμε να

βελτιστοποιήσουμε για κάθε μέλος της Επιλέγονται τα καλύτερα μέλη της γενιάς βάση των υπολογι-

σμένων τιμών τα οποία θα αποτελέσουν τους γονείς για την επόμενη Στη συνέχεια δημιουργείται η

νέα γενιά μέσω του μηχανισμού της αναπαραγωγής των γονέων κυρίως και ίσως με τυχαία μετάλλαξη

κάποιων γονέων Υπολογίζεται η νέα τιμή της συνάρτησης για κάθε μέλος και επιλέγονται οι γονείς

για την επόμενη γενιά Μέσω της επαναληπτικής αυτής διαδικασίας ο αλγόριθμος βελτιστοποιεί την

τιμή της συνάρτησης του προβλήματος Ο τερματισμός του αλγορίθμου γίνεται είτε όταν επιτευχθεί

μία επιθυμητή τιμή της συνάρτησης ή αν ολοκληρωθεί συγκεκριμένος αριθμός επαναλήψεων ή χρόνος

εκτέλεσης χωρίς να βρεθεί βέλτιστη λύση Λόγω του μηχανισμού της αναπαραγωγής έχει το αρνητικό

ότι εξαρτάται και αυτή η μέθοδος από την αρχική τυχαία επιλογή του πληθυσμού κάτι που όμως

δεν έχει τόση βαρύτητα όπως στη μέθοδο Διαφορικής Εξέλιξης λόγω του ότι χρησιμοποιείται και η

τυχαία μετάλλαξη σαν μηχανισμός δημιουργίας απογόνων Ακόμα έχουν το αρνητικό της προηγούμενης

μεθόδου ότι οι γονείς που θα βγάλουν καλύτερους απογόνους καταστρέφονται

Stud Genetic Algorithm (StudGA)

Ο αλγόριθμος αυτός είναι μία παραλλαγή των Γενετικών Αλγορίθμων που δίνει καλύτερα απο-

τελέσματα Αντί να δημιουργεί έναν αρχικό πληθυσμό (stud) δημιουργεί μία αρχική πιθανή λύση

η οποία στη συνέχεια μεταλλάσσεται για τη δημιουργία του αρχικού πληθυσμού Κάθε πιθανή λύση

έχει τη δυνατότητα να αλλάξει με ανακάτεμα των βιτς που αντιπροσωπεύουν το χρωμόσωμα της

βάσει προκαθορισμένης πιθανότητας Στη συνέχεια το καλύτερο χρωμόσωμα ή αλλιώς η καλύτερη

λύση επιλέγεται ως αρχική (stud) βάσει της οποίας θα δημιουργηθεί ο καινούριος πληθυσμός και η

διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να τερματιστεί ο αλγόριθμος Στην ουσία αυτή είναι και η βασική

του διαφορά από τους υπόλοιπους Γενετικούς αλγόριθμους χρησιμοποιεί την καλύτερη λύση κάθε

γενιάς για μοναδικό rdquoγονέαrdquoκάθε επόμενης γενιάς χαρακτηριστικό που βελτιώνει συγκριτικά με τους

απλούς Γενετικούς Αλγόριθμους τις επιδόσεις του

7

Biogeography-Based Optimization (BBO)

Είναι ένας αλγόριθμος που βασίζεται στη βιογεωγραφία Η βιογεωγραφία μελετάει την ανάπτυξη και

εξέλιξη διαφόρων ειδών σε γειτονικές περιοχές τις οποίες ονομάζει umlνησιάuml Κάθε umlνησίrsquo είναι και μία

λύση του προβλήματος Τα είδη είναι οι παράμετροι της κάθε λύσης Κάθε λύση χαρακτηρίζεται από

τις μεταβλητές που ονομάζονται rdquoδείκτες καταλληλότητας rdquo(suitability index variables -SIVs)και οι

μεταβλητές αυτές ορίζουν μία τιμή για τον δείκτη καταλληλότητας περιοχής (habitat suitability index-HSI)Οι περιοχές με υψηλό δείκτη καταλληλότητας είναι και οι καλύτερες λύσεις Κάθε λύση τείνει

προς τη βέλτιστη παίρνοντας χαρακτηριστικά ή είδη από άλλες περιοχές μέσω του μηχανισμού της

μετανάστευσης Ο αλγόριθμος τερματίζει είτε μετά από προκαθορισμένο αριθμό κύκλων είτε μετά από

την επίτευξη κάποιου στόχου

Probability-Based Incremental Learning (PBIL)

Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στην δημιουργία και δειγματοληψία συνόλων πιθανών λύσεων με

αποκλειστικά πιθανοκρατικούς τρόπους για την εύρεση της βέλτιστης λύσης ενός προβλήματος Η

βελτιστοποίηση νοείται σαν μία βελτίωση του πιθανοκρατικού μοντέλου αρχίζοντας με ομοιόμορφης

κατανομής μοντέλο και καταλήγοντας σε ένα μοντέλο που παράγει βέλτιστες λύσεις Κύρια διαφορά με

τις μεθόδους που έχουν ήδη αναφερθεί είναι ότι η συγκεκριμένη μέθοδος παράγει κάθε φορά καινούριο

πληθυσμό μεταβάλλοντας το μοντέλο με το οποίο παράγεται ο πληθυσμός βάση της καταλληλότητας

του πληθυσμού που παράχθηκε ενώ οι προηγούμενοι μετέβαλλαν τον πληθυσμό τον ίδιο Αυτό το

χαρακτηριστικό κάνει τους αλγόριθμους που βασίζονται σε αυτή τη μέθοδο να είναι αποτελεσματικού

σε κάποια προβλήματα που άλλοι δεν μπορούν να βρουν βέλτιστη λύση όπως πχ σε προβλήματα

των οποίων κάποιες παράμετροι επηρεάζονται ή εξαρτώνται ισχυρά από κάποιες άλλες Η καθαρά

πιθανοκρατική μέθοδος που ακολουθεί εξαλείφουν τέτοια προβλήματα

Υπάρχουν και άλλοι αλγόριθμοι ή κατηγορίες αλγορίθμων που αναπτύσσονται και χρησιμοποιούνται

σε προβλήματα βελτιστοποίησης πέραν των παραπάνω ΄Ομως η αναφορά τους ξεφεύγει από τα πλαίσια

της παρούσας εργασίας μιας και οι παραπάνω χρησιμοποιήθηκαν στη λύση του προβλήματος

Στη συνέχεια θα γίνει μία πιο ενδελεχής περιγραφή ενός BBO αλγόριθμου και συγκεκριμένα του

Dan Simon ο οποίος χρησιμοποιήθηκε στη λύση του προβλήματος της συγκεκριμένης εργασίας

8

Κεφάλαιο 2

Biogeography-Based Optimization

21 Εισαγωγή στην BBO

Ο Biogeographic-Based Optimization αλγόριθμος είναι ένας εξελικτικός αλγόριθμος που βασίζεται

στη λογική της βιογεωγραφικής εξέλιξης των ειδών Με τον όρο rdquoΒιογεωγραφίαrdquoπεριγράφεται η μελέτη

της γεωγραφικής κατανομής των βιολογικών οργανισμών Η μαθηματικοποίηση του φαινομένου μελε-

τάται από τις αρχές της δεκαετίας του 1960 και εξελίσσεται συνεχώς Στο φαινόμενο αυτό βασίζονται

και οι βιογεωγραφικοί αλγόριθμοι Η επιστημονική βάση της βιογεωγραφικής θεωρίας εδραιώθηκε από

τους φυσιοδίφες του 19ou αιώνα και συγκεκριμένα τον Charles Darwin (Δαρβίνο όπως συνηθίζεται να

αποκαλείται στα ελληνικά) και τον Alfred WallaceΗ αρχή των μαθηματικών μοντέλων έγινε στις αρχές

του 1960 από τους Robert McArthur και Edward Wilson με κατάληξη την έκδοση του rdquoThe theory ofIsland Biogeographyrdquo το 1967 Πρωτεύον αντικείμενο έρευνας ήταν η κατανομή διαφόρων ειδών σε γει-

τονικά νησιά και το μαθηματικό μοντέλο του αφανισμού και της μετανάστευσης τους από νησί σε νησί Η

ανάπτυξη λοιπόν των βιογεωγραφικών αλγορίθμων βασίζεται και μελετάει το πώς μεταναστεύει κάποιο

είδος από ένα νησί σε ένα άλλο πώς καινούρια είδη εμφανίζονται και πώς άλλα εξαφανίζονται Αντί για

τον όρο rdquoνησίrdquo μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ο όρος rdquoβιότοποςrdquo βάση του παραπάνω χαρακτηριστικών

Οι βιογεωγραφικοί αλγόριθμοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε οποιοδήποτε τομέα επιστήμης Οι

γεωγραφικές περιοχές που είναι κατάλληλες για τα είδη τα rdquoνησιάrdquo θεωρούμε ότι έχουν υψηλό δείκτη

καταλληλότητας (high Habitat Suitability Index (HSI))Μερικά χαρακτηριστικά που συσχετίζονται

με το δείκτη αυτό θα είναι οι βροχοπτώσεις η ποικιλομορφία της βλάστησης η ποικιλομορφία των

τοπογραφικών χαρακτηριστικών το έδαφος και η θερμοκρασία Οι μεταβλητές που χαρακτηρίζουν άν

είναι ή όχι ένας βιότοπος κατοικήσιμος ονομάζονται μεταβλητές δείκτη καταλληλότητας(SuitabilityIndex Variables (SIVs))Οι SIV μπορούν να θεωρηθούν ως ανεξάρτητες μεταβλητές του βιοτόπου και

ο HSI ως εξαρτημένη Ανάλογα με τον τομέα στον οποίο θα χρησιμοποιηθούν ορίζεται τι είναι τα

rdquoείδηrdquoκαι πώς ορίζεται ένα rdquoνησίrdquo Γενικά σαν είδος μπορεί να θεωρηθεί κάποια παράμετρος ή ένα

χαρακτηριστικό ενός προβλήματος και σαν rdquoνησίrdquoμία ομάδα τέτοιων παραμέτρων ή χαρακτηριστικών

22 Βιογεωγραφία

Βάση των παραπάνω μπορεί να γίνει μία ανάλυση της γενικής ιδέας της μεθόδου Βιότοποι με

υψηλό HSI θα έχουν μεγάλους αριθμούς ειδών ενώ αντίθετα περιοχές με χαμηλό HSI θα έχουν μικρό

αριθμό ειδών Περιοχές με υψηλό HSI λόγω των πολλών ειδών που έχουν και του πιθανού κορεσμού

τους θα έχουν πολλά είδη που θα μεταναστεύουν σε κοντινά νησιά ενώ θα έχουν λίγα είδη που θα

μεταναστεύουν προς αυτά Ο ρυθμός λοιπόν μετανάστευσης προς γειτονικές περιοχές θα είναι μεγα-

λύτερος σε αυτές που έχουν υψηλό HSI κάτι που όμως δεν σημαίνει ότι τα είδη που θα μεταναστεύουν

προς άλλες περιοχές θα εξαφανίζονται από την αρχική γιατί μόνο ένα μικρό μέρος τους θα φεύγει Θα

υπάρχουν στην αρχική περιοχή μεταναστεύοντας παράλληλα και στις γειτονικές Περιοχές με χαμηλό

HSI θα έχουν μεγάλο ρυθμό μεταναστών από γειτονικές λόγω του αραιού πληθυσμού που περιέχουν

9

Αυτό το φαινόμενο μπορεί να αυξήσει το HSI μίας περιοχής μιας και εξαρτάται από την ποικιλομορφία

των ειδών που περιέχει ΄Αν παραμείνει χαμηλός τα είδη που υπάρχουν θα τείνουν προς εξαφάνιση

ανοίγοντας το δρόμο για άλλους rdquoμετανάστεςrdquoαπό γειτονικές περιοχές Οπότε περιοχές με υψηλό HSIθα έχουν πιο στατική κατανομή ειδών και πληθυσμών ενώ οι περιοχές με χαμηλό HSI έχουν πιο δυναμική

Με τη παραπάνω γενική ιδέα μπορεί να γίνει μία πρώτη παρουσίαση της εφαρμογής τέτοιων

αλγορίθμων Θεωρούμε ένα πρόβλημα από οποιοδήποτε επιστημονικό ή όχι τομέα Μηχανική

οικονομικά ιατρικά επιχειρήσεις αθλητικά και πολλοί άλλοι τομείς μπορούν να χρησιμοποιήσουν

έναν βιογεωγραφικό αλγόριθμο για τη λύση ενός προβλήματος Βασική προϋπόθεση όμως είναι να

έχουμε κάποιο τρόπο αξιολόγησης της καταλληλότητας κάποιας λύσης του προβλήματος Μία καλή

λύση θα αντιστοιχεί σε περιοχή με υψηλό HSI ενώ μία λιγότερο καλή σε περιοχή με χαμηλό HSIΟι καλές λύσεις λοιπόν θα είναι πιο σταθερές ενώ οι όχι τόσο καλές θα τείνουν να μεταβάλλουν

τα χαρακτηριστικά τους Οι καλές λύσεις θα τείνουν να μοιράζονται τα χαρακτηριστικά τους με

τις λιγότερο καλές με πιθανότητα να τις βελτιώσουν Αυτό το χαρακτηριστικό και τη γενικότερη

διαδικασία ονομάζουμε λύση με χρήση βιογεωγραφικού αλγορίθμου βελτιστοποίησης

Σχήμα 21 Μετανάστευση

Στο διπλανό σχήμα (σχήμα ) φαίνονται οι καμπύλες

μετανάστευσης από καμπύλη μ και προς καμπύλη λ έναν

τόπο Και οι δύο καμπύλες είναι συναρτήσεις του αριθμού

των ειδών σε μία περιοχή Στο παρόν σχήμα αναπαριστώνται

σαν ευθείες κάτι που γενικά δεν ισχύει ΄Εχουν αρκετά πιο

πολύπλοκη μορφή Για την ανάλυση μας όμως ένα απλό

σχήμα δίνει μία γενική εικόνα χωρίς να οδηγεί σε θεωρητικά

λάθη ΄Οσο πιο πολλά είδη υπάρχουν τόσο μικρότερη πιθα-

νότητα να εισέλθουν άλλα Οπότε ο μεγαλύτερος ρυθμός

μετανάστευσης προς μία περιοχή θα υπάρχει όταν η περιοχή

αυτή δεν έχει κανένα είδος ΄Οσο μεγαλώνει ο αριθμός των

ειδών τόσο μικραίνει ο ρυθμός μετανάστευσης προς την

συγκεκριμένη περιοχή μέχρι τον μέγιστο αριθμό ειδών που

μπορεί να υποστηρίξει Smax στο διάγραμμα όπου ο ρυθμός

εισόδου ειδών θα είναι μηδενικός Το αντίστροφο ισχύει για

την μετανάστευση από μία περιοχή την καμπύλη μ ΄Οταν η

περιοχή δεν έχει κανένα είδος ο ρυθμός των ειδών που θα μεταναστεύουν από την περιοχή αυτή θα

είναι φυσικά μηδενικός ΄Οσο αυξάνεται ο αριθμός των ειδών τόσο θα αυξάνεται και ο ρυθμός με τον

οποίο θα μεταναστεύουν προς άλλες περιοχές μέχρι το μέγιστο που θα είναι η τιμή Ε η οποία θα

αντιστοιχεί στο μέγιστο αριθμό ειδών που μπορούν να υπάρξουν στην περιοχή αυτή Smax Ο αριθμός

ισορροπίας των ειδών είναι S0 όπως φαίνεται στο σχήμα που θα είναι ο αριθμός των ειδών για τον

οποίο ο ρυθμός μετανάστευσης από και ο ρυθμός προς την περιοχή θα είναι ίσοι Αυτή την τιμή τείνουν

να αποκτήσουν οι περιοχές Κάποιες μεταβολές είτε προς τα πάνω για λόγους όπως πχ μία απότομη

εισροή ειδών από κάποια γειτονική περιοχή είτε προς τα κάτω για λόγους όπως πχ κάποια αρρώστια

ένας αρκετά επιθετικός κυνηγός ή κάποια καταστροφή μπορεί να υπάρξουν αλλά σε κάποιο χρόνο

ανάλογο της απόκλισης θα επανέλθει η ισορροπία

Ας δούμε και με λίγα μαθηματικά τα παραπάνω Θεωρούμε την πιθανότητα Ps μία περιοχή να έχει

S είδη Η πιθανότητα αυτή θα αλλάζει από τη χρονική στιγμή t στην χρονική στιγμή t+1 βάση του

τύπου

Ps(t+ 1) = Ps(t) lowast (1minus λs∆tminus micros∆t) + Psminus1λsminus1∆t+ Ps+1micros+1∆t (21)

όπου οι όροι λs και micros είναι οι ρυθμοί μετανάστευσης προς και από μία περιοχή αντίστοιχα όταν

υπάρχουν S είδη στην περιοχή Η παραπάνω εξίσωση () ισχύει γιατί για να έχουμε S είδη τη στιγμή

t+ ∆t θα πρέπει να ισχύει κάτι από τα παρακάτω

1 υπήρχαν S είδη τη στιγμή t και δεν είχαμε μετανάστευση προς καμία κατεύθυνση στο χρονικό

10

διάστημα ∆t

2 υπήρχαν S-1 είδη τη στιγμή t και ένα είδος ήρθε ή

3 υπήρχαν S+1 είδη τη στιγμή t και ένα είδος έφυγε

Θεωρούμε ότι το ∆t είναι αρκετά μικρό ώστε να έχει χρόνο μόνο ένα είδος να έρθει ή να φύγει από

την περιοχή Παίρνοντας το όριο ∆trarr 0 της εξίσωσης () καταλήγουμε στην παρακάτω

Ps =

minus(λs + micros)Ps + micros+1Ps+1 S = 0

minus(λs + micros)Ps + λsminus1Psminus1 + micros+1Ps+1 1 le S le Smax minus 1minus(λs + micros)Ps + λsminus1Psminus1 S = Smax)

(22)

Θέτουμε n = Smax και P = [P0 Pn]T απλοποιημένα και πλέον μπορούμε να εκφράσουμε τις

εξισώσεις (για S=0 n) με την απλή εξίσωση πίνακα

P = A lowast P (23)

όπου ο πίνακας Α δίνεται από τον τύπο

A =

minus(λ0 + micro0) micro1 0 ldots 0

λ0 minus(λ1 + micro1) micro2

ddots

λnminus2 minus(λnminus1 + micronminus1) micron

0 0 λnminus1 minus(λn + micron)

(24)

Για τις ευθείες καμπύλες που φαίνονται στο παραπάνω σχήμα () θα έχουμε

microk = Ekn

λk = I(1minuskn

)(25)

Θεωρούμε την ειδική περίπτωση E = I Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε

microk + λk = E (26)

και ο πίνακας Α γίνεται

A = E lowast

minus1 1

n0 0

nnminus1 2

n

2nminus1 n

n

0 0 1nminus1

= E lowast Aprime (27)

όπου το Α΄ ορίζεται από την παραπάνω εξίσωση ()

11

Παρατήρηση 1 Το 0 είναι μία ιδιοτιμή του πίνακα Α΄ με ιδιοδιάνυσμα το

u = [u1 un+1]T

n(nminus1minusi)(iminus1) (i = 1 iprime)

un+2minus1 (i = iprime + 1 n+ 1)

(28)

όπου το irsquo είναι ο μικρότερος ακέραιος ο οποίος να είναι μεγαλύτερος ή ίσος με

τοn+12

ή με προγραμματιστικό συμβολισμό iprime = ceil(n+12

) Αυτό μπορεί να

επιβεβαιωθεί από την απευθείας λύση της εξίσωσης ιδιοτιμών Aprime lowast u = k lowast uγια την άγνωστη μεταβλητή k και το άγνωστο διάνυσμα u Σαν παράδειγμα

για n=4 έχουμε

u = [1 4 6 4 1]T (29)

όπως και για n=5 παίρνουμε

u = [1 5 10 10 5 1]T (210)

Εικασία 1 Οι ιδιοτιμές του Α΄ δίνονται ως εξής

k = 0minus2

nminus4

n minus2 (211)

Η παραπάνω εικασία δεν έχει αποδειχθεί ακόμα αλλά ισχύει για όλες τις τιμές

του ν για τις οποίες έχει εξεταστεί

Θεώρημα 1 Η τιμή σταθερής κατάστασης για την πιθανότητα των αριθμών κάθε είδους

δίνεται από τη σχέση

P (infin) =usumn+1i=1 ui

(212)

όπου τα u και ui δίνονται από την

Στη συνέχεια θα μελετήσουμε το πώς μπορούν τα παραπάνω να εφαρμοστούν σε ένα πρόβλημα

βελτιστοποίησης συγκεκριμένου τομέα

221 Μέθοδοι και παράμετροι της BBO

Σχήμα 22 Αναπαράσταση λύσεων

Μετανάστευση Θεωρούμε ότι έχουμε ένα πρόβλημα με

πολλές πιθανές λύσεις οι οποίες μπορούν να παρασταθούν ως

διανύσματα ακεραίων Κάθε τέτοιος ακέραιος θεωρείται ότι

είναι μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας (SIV) Αν έχουμε

έναν τρόπο αξιολόγησης της ποιότητας κάθε λύσης μπορούμε

να αναπαραστήσουμε κάθε λύση σαν μία περιοχή Οι καλές

ποιοτικά λύσεις θα έχουν υψηλό δείκτη καταλληλότητας

(HSI) ενώ οι λιγότερο καλές χαμηλό Οι λύσεις με υψηλό

HSI θα είναι οι περιοχές με πολλά είδη ενώ αυτές με χαμηλό

οι περιοχές με λίγα είδη Η καμπύλη μοντέλου μετανάστευ-

σης θεωρούμε ότι θα είναι ίδια για όλες τις περιοχές (για

μεγαλύτερη ευκολία Ε=Ι) με τη μεταβλητή S κάθε περιοχής

να εξαρτάται από το HSI της όπως φαίνεται στο διπλανό

σχήμα (σχήμα ) Η περιοχή στην οποία αντιστοιχεί το S1

είναι περιοχή με χαμηλό HSI ενώ αυτή με το S2 περιοχή

με υψηλό HSI ΄Οπως φαίνεται και από το διπλανό σχήμα η

περιοχή με S1θα έχει λίγα είδη υψηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ1) και χαμηλό από (micro1) αυτή

ενώ η περιοχή με δείκτη S2 θα έχει πολλά είδη χαμηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ2) και υψηλό

12

από (micro2) αυτή Οι ρυθμοί μ και λ χρησιμοποιούνται για την ανταλλαγή πληροφοριών μεταξύ των

περιοχών πιθανοκρατικά Με πιθανότητα Pmod αξιολογούμε κάθε λύση βάση των υπολοίπων και

όποιες επιλεχθούν να τροποποιηθούν βάση του λ πιθανοκρατικά αξιολογούνται οι SIV και επιλέγονται

αυτοί που θα τροποποιηθούν ΄Αν κάποιος SIV επιλεχθεί να τροποποιηθεί βάση του μ των υπόλοιπων

λύσεων επιλέγεται πάλι πιθανοκρατικά από ποια λύση θα μεταναστεύσει κάποιος τυχαίος SIV

Η μέθοδος αυτή της μετανάστευσης στους BBO αλγόριθμους είναι παρόμοια με τις μεθόδους

των εξελικτικών και γενετικών αλγόριθμων όπου πολλοί πρόγονοι μπορούν να συνδυαστούν για

την παραγωγοί ενός απογόνου με μία όμως σημαντική διαφορά Σε αντίθεση με τους εξελικτικούς

και γενετικούς αλγόριθμους στους οποίους οι προηγούμενες λύσεις καταστρέφονται από γενιά σε

γενιά στους BBO οι λύσεις παραμένουν και εξελίσσονται χωρίς να καταστρέφονται Φυσικά έχει

ενσωματωμένο κάποιου είδους ελιτισμός έτσι ώστε να μην επηρεάζονται οι βέλτιστες λύσεις

Μετάλλαξη Κατακλυσμικά γεγονότα μπορούν να αλλάξουν δραστικά τον HSI μίας περιοχής

όπως μπορούν να προκαλέσουν απόκλιση του αριθμού των ειδών από την ισορροπία επηρεάζοντας

τον HSI λόγω φαινομενικά τυχαίων φαινομένων Τέτοια φαινόμενα μοντελοποιούνται στους BBO με

την μετάλλαξη των HSI και χρησιμοποιείται η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών για τον

καθορισμό του ρυθμού μετάλλαξης Η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών υπακούει στην

διαφορική εξίσωση Παρατηρώντας την καμπύλη στο σχήμα βλέπουμε ότι οι περιοχές με χαμηλό

αριθμό ειδών αλλά και αυτές με υψηλό αριθμό ειδών έχουν σχετικά χαμηλή πιθανότητα κάτι που θα

μπορούσε να εξαχθεί και από το θεώρημα 1 σε αντίθεση με αυτή με μέσες τιμές γιατί τα δεύτερα είναι

πιο κοντά στο σημείο ισορροπίας Ως παράδειγμα ας θεωρήσουμε την περίπτωση όπου Smax = 10 Η

λύση σταθερής κατάστασης της εξίσωσης θα είναι ανεξάρτητη της αρχικής συνθήκης Π(0) και μπορεί

να υπολογιστεί με αριθμητικές μεθόδους είτε βάση του θεωρήματος 1 με αποτέλεσμα

P (infin) sim= [0001 0001 0044 0117 0205 0246 0205 0117 0044 0001 0001]T

Τα στοιχεία του P (infin) δίνουν άθροισμα μονάδα και η γραφική τους παράσταση δίνει μία άρτια

συνάρτηση συμμετρική στην κεντρική τιμή

Κάθε λύση έχει μία αντίστοιχη πιθανότητα η οποία είναι δείκτης του κατά πόσο ήταν αναμενόμενη

εξ αρχής η λύση αυτή στο συγκεκριμένο πρόβλημα Λύσεις με πολύ υψηλό αλλά και πολύ χαμηλό HSIείναι αρκετά απίθανες να υπάρξουν ενώ λύσεις με μέσους HSI κοντά στο σημείο ισορροπίας είναι πιο

πιθανές Λύση S με μικρή πιθανότητα PS είναι αρκετά απίθανη οπότε έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να

μεταλλαχθεί από ία λύση Srsquo με μεγάλη πιθανότητα P primeS Αυτό μπορεί να παρασταθεί με τον παρακάτω

τύπο όπου ο ρυθμός μετάλλαξης m είναι αντιστρόφως ανάλογος της πιθανότητας μίας λύσης

m(S) = mmax

(1minus PSPmax

)(213)

και mmax είναι μία παράμετρος που ορίζεται από το χρήστη Αυτό το μοντέλο μετάλλαξης τείνει

να αυξήσει τη διαφορετικότητα μεταξύ του πληθυσμού των λύσεων Χωρίς αυτό οι λύσεις με μεγάλη

πιθανότητα θα ήταν επικρατέστερες των υπολοίπων Δίνει λοιπόν τη δυνατότητα στις κακές λύσεις

να μεταλλαχθούν και να εξελιχθούν δίνοντας παράλληλα και τη δυνατότητα στις λύσεις με υψηλή

πιθανότατα να εξελιχθούν και να βελτιωθούν και άλλο Πρέπει να σημειωθεί ότι χρησιμοποιείται

μία ελιτίστικη προσέγγιση αποθηκεύοντας τη βέλτιστη λύση έτσι ώστε αν χειροτερέψει από μία

μετάλλαξη να μπορούμε να την επαναφέρουμε αν χρειαστεί Οπότε η μετάλλαξη χρησιμοποιείται και

τις κακές και στις καλές λύσεις Οι μέσες λύσεις θεωρούμε ότι καλυτερεύουν με την μετανάστευση

οπότε αποφεύγουμε να τις μεταλλάξουμε και έχουν μικρότερο ρυθμό μετάλλαξης Η υλοποίηση της

μετάλλαξης εξαρτάται από το εκάστοτε πρόβλημα και χρήστη

Ορισμοί της BBO και αλγόριθμος

Παρακάτω δίνονται κάποιοι ορισμοί ως ένα πρώτο βήμα για τη μορφοποίηση του BBO αλγόριθμου

παρουσιάζοντας παράλληλα και μία περιγραφή του αλγόριθμου Με το R αναφερόμαστε στο σύνολο

13

πραγματικών αριθμών με το Ζ ακεραίων και με το empty στο κενό σύνολο

Ορισμός 1 Μία περιοχή H isin SIV mείναι ένα διάνυσμα m ακεραίων που αντιπροσωπεύει μία

πιθανή λύση του προβλήματος

Ορισμός 2 Μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας SIV isin C είναι ένας ακέραιος επιτρεπτός

σε μία περιοχή C isin Zqείναι το σύνολο όλων των επιτρεπτών ακεραίων σε μία

περιοχή Η απαίτηση SIV isin C ονομάζεται περιορισμός όπως και σε υψηλότερο

επίπεδο η απαίτηση H isin SIV m

Ορισμός 3 ΄Ενας δείκτης καταλληλότητας περιοχής HSI H rarr R αποτελεί μέτρο την ποιότη-

τας καλής ή κακής της λύσης που αντιπροσωπεύει η περιοχή Σημείωση Στους

περισσότερους αλγόριθμους βασισμένους στους πληθυσμούς το HSI ονομάζεται κα-ταλληλότητα

Ορισμός 4 ΄Ενα οικοσύστημα Hnείναι ένα σύνολο από n περιοχές Το μέγεθος n είναι σταθερό

(μελλοντικοί αλγόριθμοι μπορεί να επιτρέπουν μεταβλητό n όπως κάποιοι γενετικοί

αλγόριθμοι επιτρέπουν μεταβλητό μέγεθος πληθυσμών)

Ορισμός 5 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή λ(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

αύξουσα συνάρτηση του HSI Το λi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV από μία

γειτονική περιοχή να μεταναστεύσει στην Hi

Ορισμός 6 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή micro(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

φθίνουσα συνάρτηση του HSI Το microi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV της Hi

να μεταναστεύσει προς μία γειτονική περιοχή Στην πράξη θεωρούμε ότι οι συναρ-

τήσεις λ και μ είναι γραμμικές με το ίδιο μέγιστο Αυτή η υπόθεση βοηθάει στην

στην απλούστευση των μαθηματικών υπολογισμών Καλύτερες επιδόσεις μπορεί να

είναι εφικτές αν παρεκκλίνουμε λίγο από την υπόθεση αυτή

Ορισμός 7 Τροποποίηση μίας περιοχής Ω(λμ) Hn rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής

που προσαρμόζει την περιοχή Η βάση του οικοσυστήματος Hn Η πιθανότητα μια

περιοχή Η να τροποποιηθεί είναι ανάλογη του ρυθμού μετανάστευσης προς αυτή λ

και η πιθανότητα η τροποποίηση αυτή να προέλθει από την περιοχή Hj είναι ανάλογη

του ρυθμού μετανάστευσης microj από την περιοχή Η τροποποίηση των περιοχών

μπορεί να περιγραφεί γενικά ως εξής

Επιλογή του Hi με πιθανότητα sim λi΄Αν έχει επιλεχθεί το Hi

For j=1 to nεπιλογή του Hj με πιθανότητα sim microiΑν έχει επιλεχθεί το Hj

τυχαία επιλογή ενός SIV σ από το Hj

αντικατάσταση ενός τυχαίου SIV της Hi με το σ

endend

endΑπό τον παραπάνω αλγόριθμο γίνεται φανερό ότι μπορεί να εφαρμοστεί ένα κρι-

τήριο ελιτισμού θέτοντας λ=0 για την p βέλτιστη περιοχή όπουp μία παράμετρος

ελιτισμού καθορισμένη από το χρήστη Ακόμα να σημειωθεί ότι ο ορισμός του Ω

εξασφαλίζει ότι η περιοχή Η που τροποποιείται ικανοποιεί τους περιορισμούς του

SIVΟρισμός 8 Η μετάλλαξη Μ(λμ) H rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής που τυχαία τρο-

ποποιεί τις SIVs μίας περιοχής βάση της αρχικής πιθανότητας ύπαρξης της περιοχής

Η πιθανότητα ύπαρξης μίας περιοχής υπολογίζεται όπως αναφέρθηκε παραπάνω

από τους ρυθμούς λ και μ Η μετάλλαξη μπορεί να περιγραφεί ως εξής

14

For j=1 to mχρήση των microi και λi για τον υπολογισμό της πιθανότητας Piεπιλογή της SIV Hi(j) με πιθανότητα sim PiΑν έχει επιλεχθεί το Hi(j)

Αντικατάσταση του Hi(j) με ένα τυχαία δημιουργημένο SIVend

end΄Οπως και παραπάνω ο ελιτισμός μπορεί να υλοποιηθεί θέτοντας πιθανότητα με-

τάλλαξης μηδενική για την περιοχή με τη βέλτιστη λύση p Από τον παραπάνω

ορισμό βλέπουμε ότι πρέπει η μετάλλαξη να έχει κατάλληλους περιορισμούς ώστε

να καταλήγει σε HSI που να υπακούν στους περιορισμούς των SIVs

Ορισμός 9 Μία συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος Ψ ( m n λ μ Ω Μ) Hn rarr Hn

είναι μία εξάδα που τροποποιεί το οικοσύστημα από μία επανάληψη στην επόμενη

Η συνάρτηση τροποποίησης του οικοσυστήματος μπορεί να γραφεί ως εξής

ψ = λn micron Ωn HSIn Mn HSI (214)

Η συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος λοιπόν ξεκινάει υπολογίζοντας τους ρυθ-

μούς μετανάστευση προς και από μία περιοχή Εν συνεχεία λαμβάνει χώρα η τρο-

ποποίηση των περιοχών ακολουθούμενη από έναν επαναϋπολογισμό των HSI

Τέλος εφαρμόζεται μετάλλαξη και ξαναϋπολογίζονται οι HSI κάθε περιοχής

Ορισμός 10 ΄Ενας BBO αλγόριθμος BBO(Ι Ψ Τ) είναι μία τριάδα που προτείνει μία λύση σε

ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης I empty rarr Hn HSIn είναι μία συνάρτηση η οποία

παράγει ένα αρχικό οικοσύστημα περιοχών και υπολογίζει τις αντίστοιχες HSI Ψείναι μία συνάρτηση τροποποίησης οικοσυστήματος όπως ορίστηκε παραπάνω και

T Hn rarr true false είναι ένα κριτήριο τερματισμού του αλγόριθμου

Η συνάρτηση Ι μπορεί να υλοποιηθεί με μία γεννήτρια τυχαίων αριθμών ευρετι-

κών λύσεων στο πρόβλημα βελτιστοποίησης ή με οιαδήποτε άλλη διαδικασία που

να εξαρτάται από το πρόβλημα Το Τ μπορεί να εξαρτάται από τον αριθμό των

Ψ επαναλήψεων το HSI της βέλτιστης περιοχής ή οποιοδήποτε άλλο κριτήριο

βάση του προβλήματος Οπότε ο αλγόριθμος BBO μπορεί να περιγραφεί από το

παρακάτω

Ι

όσο δεν ισχύει το Τ

Ψ

end

Μία απλουστευμένη περιγραφή του BBO αλγόριθμου θα μπορούσε να είναι η παρακάτω

1 Αρχικοποίηση των παραμέτρων του αλγορίθμου Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρεθεί μία μέθοδος

χαρτογράφησης των λύσεων του προβλήματος σε SIVs και περιοχές σύμφωνα με το πρόβλημα

Ακόμα αρχικοποιούμε ή ορίζουμε το μέγιστο αριθμό ειδών Smax τους μέγιστους ρυθμούς μετα-

νάστευσης Ε και Ι το μέγιστο ρυθμό μετάλλαξης mmax και μία παράμετρο ελιτισμού Πρέπει να

σημειωθεί ότι ο μέγιστος αριθμός ειδών και οι μέγιστοι ρυθμοί μετανάστευσης είναι αλληλοεξαρ-

τώμενα μεγέθη Οπότε αν όλα αλλάζουν κατά το ίδιο ποσοστό η συμπεριφορά του ΒΒΟ δεν θα

αλλάζει Αυτό συμβαίνει γιατί άν τα Ε Ι και Smax αλλάξουν οι ρυθμοί μετανάστευσης μ λ και ο

αριθμός των ειδών S θα αλλάξουν κατά την ίδια σχετική ποσότητα για όλες τις περιοχές ή λύσεις

2 Αρχικοποίηση μίας τυχαίας ομάδας περιοχών όπου κάθε περιοχή θα αντιστοιχεί σε πιθανή λύση

Αυτό είναι η υλοποίηση του συνόλου Ι

3 Για κάθε περιοχή καθορισμός των HSI για τον αριθμό ειδών S και των ρυθμών μετανάστευσης μ

και λ

15

4 Χρήση βάση πιθανοτήτων των ρυθμών μετανάστευσης για την τροποποίηση των μη ελιτίστικων

περιοχών και επαναϋπολογισμό των HSI αυτών

5 Για κάθε περιοχή ενημέρωση της πιθανότητας των αριθμών των ειδών βάση της εξίσωσης

Στη συνέχεια μετάλλαξη των μη ελιτίστικων περιοχών βάση των πιθανοτήτων τους και ξανά

υπολογισμός των HSI

6 Επιστροφή στο βήμα 3 για την επόμενη επανάληψη της διαδικασίας Η διαδικασία μπορεί

να σταματήσει μετά από έναν προκαθορισμένο αριθμό επαναλήψεων ή με την επίτευξη μίας

επιθυμητής λύσης Αυτή είναι η υλοποίηση του κριτηρίου τερματισμού Τ

Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι μετά από κάθε βήμα που αλλάζει κάτι σε μία περιοχή ή λύση πρέπει να

επαληθεύεται κάθε περιοχή ως πιθανή λύση του προβλήματος Αν όχι πρέπει να υπάρχει μία διαδικασία

η οποία να την τροποποιεί ώστε να γίνεται πιθανή λύση

Τέλος επειδή ένας τέτοιος αλγόριθμος θα συγκριθεί στη συνέχεια με τους υπόλοιπους που αναφέρ-

θηκαν παραπάνω είναι χρήσιμο να γίνουν πιο διακριτές οι διαφορές τους Η πρώτη τέτοια διαφορά είναι

ότι στους BBO αλγόριθμους δεν υπάρχει η έννοια της αναπαραγωγής ή των γενεών απογόνων όπως

υπάρχουν στους γενετικούς και τους εξελικτικούς αλγόριθμους Δεν δημιουργούνται καινούριες λύσεις

από κύκλο σε κύκλο αλλά εξελίσσονται οι υπάρχουσες Για τον ίδιο λόγο διαφέρει και από τους ACO(Ant Colony Optimization) αλγόριθμους Σαν λογική είναι πιο κοντά στους PSO (Particle SwarmOptimization) και DE (Differential Evolution) αλγόριθμους μιας και αυτοί διατηρούν και εξελίσσουν

τις υπάρχουσες λύσεις τους κάνοντας την κάθε λύση να μαθαίνει από τους γείτονες και να προσαρ-

μόζεται καθώς προχωράει ο αλγόριθμος Οι PSO αντιπροσωπεύουν κάθε λύση σαν ένα σημείο στο

χώρο και τις αλλαγές μεταξύ των επαναλήψεων του αλγόριθμου με διάνυσμα ταχύτητας ΄Ομως στους

αλγόριθμους αυτούς δεν αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η ταχύτητα των σημείων έχοντας αποτέλεσμα

τη μεταβολή των λύσεων Στους DE αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η αλλαγή αυτή γίνεται βάση των

διαφορών μεταξύ άλλων λύσεων Ακόμα οι DE δεν βασίζεται σε βιολογικές αρχές Οι BBO αλγόριθμοι

μπορούν να διαχωριστούν από τους DE και PSO στο χαρακτηριστικό ότι αλλάζουν άμεσα τις λύσεις

τους ανταλλάσσοντας χαρακτηριστικά μεταξύ τους μέσω της μετανάστευσης

16

Κεφάλαιο 3

Κεραίες

31 Γενικά

Με τον όρο umlκεραίαrsquo αναφερόμαστε σε μία διάταξη που είναι σχεδιασμένη να δέχεται ηκαι να εκπέμπει

ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Είναι μία διάταξη η οποία μετατρέπει ηλεκτρομαγνητική ενέργεια που

οδεύει σε μια γραμμή μεταφοράς ή ένα κυματοδηγό σε ηλεκτρομαγνητικό κύμα στο χώρο και viceversa Οι κεραίες είναι είτε παθητικές

1 είτε τροφοδοτούμενες

2

Λόγω της μεγάλης ανάπτυξης των τηλεπικοινωνιών και των πολλών συστημάτων που χρησιμοποιούν-

ται3 έχει αναπτυχθεί μια τεράστια ποικιλία κεραιών ώστε να καλύπτουν τις ειδικές ανάγκες διαφόρων

εφαρμογών και να διευκολύνεται η κατασκευή και ένταξή τους στο φυσικό και δομημένο περιβάλλον

Η μεγάλη αυτή ποικιλία συστημάτων κεραιών επιβάλει τον διαχωρισμό τους σε κατηγορίες βάσει της

μορφής τους και της αρχής λειτουργίας τους Αλλά σε όποια κατηγορία και να ανήκει μία κεραία έχει

κάποια βασικά χαρακτηριστικά

32 Χαρακτηριστικά κεραιών

Σε μία κεραία αυτό που μας ενδιαφέρει είναι το πώς εκπέμπει ή λαμβάνει στο χώρο ή αλλιώς οι ιδιότητες

ακτινοβολίας (μακρινού πεδίου4) Η γραφική παράσταση των ιδιοτήτων αυτών γίνεται με το διάγραμμα

ακτινοβολίας της Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας κεραίας είναι δηλαδή η τρισδιάστατη γραφική

παράσταση των ιδιοτήτων ακτινοβολίας της κεραίας Βρίσκεται με μετρήσεις κάποιου μεγέθους με

τη μετατόπιση μίας πρόμπας γύρω από την κεραία Παριστάνει τη γωνιακή κατανομή του μέτρου της

έντασης του πεδίου της πυκνότητας ισχύος ή της έντασης ακτινοβολίας Επειδή θέλουμε το διάγραμμα

ακτινοβολίας να δίνει τη γενική συμπεριφορά της κεραίας σε οποιοδήποτε σήμα μπορεί να λάβει ή να

εκπέμψει οι τιμές είναι κανονικοποιημένες5

Τα διαγράμματα ακτινοβολίας σχεδιάζονται και για

την ικανότητα εκπομπής και λήψης μίας κεραίας και για συγκεκριμένη είναι τα ίδια (εκπομπής και λήψης)

Από τα διαγράμματα ακτινοβολίας βλέπουμε σε ποια σημεία του χώρου η κεραία εκπέμπει (ή αν

1Αποτελούνται μόνο από παθητικά στοιχεία απλά μετατρέπουν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα σε ηλεκτρομαγνητική ενέρ-

γεια χωρίς κάποια επεξεργασία του σήματος2΄Εχουν και ενεργά στοιχεία τα οποία μπορούν να κάνουν ενίσχυση σήματος ή ακόμα και επεξεργασία σήματος όπως

πχ μεταβολή συχνότητας3Από τις πιο μικρές ηλεκτρονικές συσκευές πχ πομποί GPS (Global Positioning System) μέχρι μεγάλα συστήματα

πχ δορυφόροι οπουδήποτε εφαρμόζεται ασύρματη επικοινωνία απαραίτητο εξάρτημα είναι μία κεραία4Ο χώρος γύρω από μία κεραία ως προς την κεραία χωρίζεται σε μακρινό και κοντινό πεδίο Στο κοντινό πεδίο

το διάγραμμα επηρεάζεται έντονα από τις επαγωγικές και χωρητικές συνιστώσες που εμφανίζονται στην κεραία κατά τη

ροή του ρεύματος ενώ στο μακρινό όχι και γι΄ αυτό το διάγραμμα του μακρινού πεδίου είναι σταθεροποιημένο ενώ του

κοντινού όχι Τα διαγράμματα που δίνουν οι κατασκευαστές είναι διαγράμματα μακρινού πεδίου Διάκριση μεταξύ μακρινού

και κοντινού πεδίου γίνεται βάσει της απόστασης από την κεραία όπου για R gt 2lowastD2

λ θεωρούμε μακρινό πεδίο όπου λ

είναι το μήκος κύματος D η διάμετρος της κεραίας και R η απόσταση από αυτήν5Λόγω των κανονικοποιημένων τιμών του διαγράμματος ακτινοβολίας το διάγραμμα πυκνότητας ισχύος και έντασης

ακτινοβολίας είναι ταυτόσημα

17

είναι διάγραμμα λήψης λαμβάνει) τη μεγαλύτερη και σε ποια τη μικρότερη ισχύ Το τρισδιάστατο

της περιγραφής επιτυγχάνεται με το συνδυασμό δύο διαγραμμάτων το κάθετο (κάθετη τομή στον

τρισδιάστατο χώρο) και το οριζόντιο (οριζόντια τομή) Η κεραία θεωρείται στο κέντρο του διαγράμματος

και το διάγραμμα συνδέει στην ουσία τον χώρο με την ακτινοβολούμενη ισχύ ή με την ικανότητα

λήψης ισχύος για διάγραμμα εκπομπής και λήψης αντίστοιχα και είναι όπως προαναφέρθηκε η

γραφική αναπαράσταση της συμπεριφοράς της κεραίας στο χώρο Μας δείχνει σε ποιες περιοχές του

χώρου εκπέμπει και πόση ισχύ ή αντίστοιχα από ποιες περιοχές του χώρου και πόση ισχύ μπορεί

να λάβει η κεραία Είτε επειδή δε θέλουμε σπατάλη ισχύος σε rdquoαδιάφορεςrdquoπεριοχές είτε επειδή δεν

θέλουμε να παρεμβάλλουμε δημιουργώντας θόρυβο σε άλλες κεραίες κατά την εκπομπή και είτε επειδή

θέλουμε να λαμβάνουμε τη μέγιστη δυνατή ισχύ αν ξέρουμε από που λαμβάνουμε και να μειώνουμε

το θόρυβο από τις άλλες πηγές τα διαγράμματα ακτινοβολίας είναι πολύ χρήσιμα στο σχεδιασμό μίας

κεραίας Τέλος μία άλλη χρήση είναι η σύγκριση κεραιών είτε γενικά είτε για συγκεκριμένες εφαρμογές

Σχήμα 31 Διάγραμμα ακτινοβολίας

Στο διπλανό σχήμα () φαίνεται ένα τυπικό και αρκετά

απλοποιημένο διάγραμμα ακτινοβολίας Σε αυτό διακρίνουμε

τον κύριο λοβό που είναι το τμήμα η μεγαλύτερη κλειστή

καμπύλη που διακρίνεται από το γεγονός ότι έχει τη μέγιστη

τιμή στο διάγραμμα Συνήθως τα διαγράμματα ακτινοβολίας

είναι πολικά όπως αυτό του σχήματος 31 με βαθμονόμηση

από 0μέχρι 360

και ο κύριος λοβός στη γενική περίπτωση

τοποθετείται στις 0 Ο λοβός που βρίσκεται στις 180

ονο-

μάζεται οπίσθιος λοβός και οι υπόλοιποι λοβοί ονομάζονται

πλευρικοί Ανάλογα με την περίπτωση οι υπόλοιποι εκτός του

κύριου είναι ανεπιθύμητοι είτε επιθυμητοί και προσπαθούμε

αντίστοιχα να τους καταστείλουμε ή να τους ενισχύσουμε

Οι πλευρικοί λοβοί οφείλονται σε φαινόμενα καταστροφικής

ή εποικοδομητικής συμβολής των κυμάτων που εκπέμπονται

από τη κεραία Η κλίμακα στο διάγραμμα είναι σε deciBellκαι τα μεγέθη είναι κανονικοποιημένα

6 ΄Ετσι η μέγιστη τιμή θα είναι στα 0 db και οι υπόλοιπες

σε αρνητικές τιμές Τα διαγράμματα αυτά έχουν τέτοια βαθμονόμηση γιατί θέλουμε να εκφράζουν

ποιοτικά τη συμπεριφορά της κεραίας αλλά και γιατί οι τιμές έντασης ή ισχύος που θέλουμε να αναπα-

ραστήσουμε είναι πολλών τάξεων μεγέθους και θα θέλαμε πολύ μεγάλα διαγράμματα για κανονικές τιμές

΄Ενα πιο αναλυτικό διάγραμμα ακτινοβολίας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () και είναι διάγραμμα

μίας κεραίας Yagi-Uda Οι κύκλοι που φαίνονται στο διάγραμμα αντιστοιχούν στις τιμές -3 -10 -20

-30 και -40 dB και είναι χωρισμένοι σε τμήματα των 10 Οι κύκλοι αυτοί δείχνουν τα σημεία που

έχει μειωθεί το μέγεθος στο 50 στο 10 στο 1 στο 01 και στο 001 αντίστοιχα Η

γωνία των σημείων στα οποία ο κύριος λοβός τέμνει τον πρώτο κύκλο ονομάζεται γωνία ημίσειας ισχύος

Σχήμα 32 Καρτεσιανό διάγραμμα

Εκτός των πολικών διαγραμμάτων υπάρχουν και τα καρτεσιανά

τα οποία είναι η καρτεσιανή προβολή των πολικών Παράδειγμα

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () όπου φαίνεται το άνοιγμα μισής

ισχύος και το επίπεδο του πρώτου πλευρικού λοβού Επειδή τα

διαγράμματα ακτινοβολίας σχηματίζονται όπως προαναφέρθηκε

και αφορούν τη χωρική συμπεριφορά μίας κεραίας στο μακρινό

πεδίο οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε την κεραία ως σημείο

τα καρτεσιανά διαγράμματα δεν έχουν καλή αναπαράσταση της

πραγματικότητας Αλλά είναι αρκετά χρήσιμα στη μελέτη κεραιών

και στην καλύτερη εποπτεία των χαρακτηριστικών της από τα πολικά και για το λόγο αυτό σχεδιάζονται

και χρησιμοποιούνται κατά κόρον

6΄Ενα κανονικοποιημένο διάγραμμα έχει την ίδια μορφή με ένα μη κανονικοποιημένο με μόνη αλλαγή την κλίμακα και

ότι τα μεγέθη είναι ο λογάριθμος του λόγου της τιμής προς τη μέγιστη

18

Σχήμα 33 Διάγραμμα ακτινοβολίας Yagi-Uda κεραίας

Από ένα διάγραμμα ακτινοβολίας μπορούμε να βρούμε τα παρακάτω χαρακτηριστικά μίας κεραίας (ή

και παραμέτρους του διαγράμματος όπως αναφέρονται συχνά)

Σχήμα 34 Ισοτροπική και μη

bull Κατευθυντικότητα δείκτης της ικανότητα της κεραίας να

συγκεντρώσει την ακτινοβολία εκπομπής προς μία συγκεκριμένη

κατεύθυνση και βρίσκεται αναφορικά με μία ιδανική (ισοτροπική)

κεραία Η σύγκριση την όποιας κεραίας με μία ισοτροπική φαίνεται

στο διπλανό σχήμα () Τα εμβαδά είναι ίσα οπότε εκπέμπουν

και οι δύο την ίδια ισχύ αλλά στην επιθυμητή κατεύθυνση η μη

ισοτροπική στέλνει μεγαλύτερη ισχύ Η κατευθυντικότητα λοιπόν

είναι η διαφορά σε dB των δύο διαγραμμάτων στην κατεύθυνση

του μεγίστου Είναι αντιστρόφως ανάλογη με το εύρος του κυρίως

λοβού

bull Εύρος δέσμης μισής ισχύος οριζόντιου και κάθετου επιπέδου ( HPBW )

αναφέρεται στην ενεργό περιοχή κάλυψης της κεραίας και ορίζεται ώς η γωνία μεταξύ των σημείων

του κύριου λοβού όπου η ισχύς είναι μισή της μέγιστης ή σε dB 3dB κάτω από την μέγιστη και

προσδιορίζει την περιοχή που εμφανίζεται μέγιστη εκπομπή ενώ εκτός της περιοχής αυτής η ισχύς

μειώνεται πολύ γρήγορα

bull Εύρος δέσμης επίπεδο (dB) πρώτων σημείων μηδενισμού οριζόντιου καικάθετου επιπέδου (FNBW) ορίζεται ως η γωνία μεταξύ των δύο πρώτων μηδενισμών του

μεγέθους εκατέρωθεν του κύριου λοβού

bull Λόγος κύριου προς οπίσθιο λοβό (FB)

bull Επίπεδα (dB) και εύρος γωνιών πλευρικών λοβών και οπίσθιων λοβώνbull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με τον αμέσως μικρότερο λοβό του διαγράμ-ματος ακτινοβολίας

bull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με όλους τους υπόλοιπους του διαγράμματοςακτινοβολίας

bull Λόγος κύριου προς επόμενο μεγαλύτερο λοβό (Side-Lobe Level) ορίζεται ως ο λόγος

του μεγίστου του κυρίως λοβού προς τον αμέσως μικρότερο πλευρικό λοβό (SLL = MainLobeMaxSideLobe

dB)

και είναι ένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά μίας κεραίας Πολλές φορές αναφέρεται και ώς επίπεδο

πλευρικών λοβών

Τα χαρακτηριστικά μίας κεραίας μπορούν να υπολογιστούν και να περιγραφούν όχι μόνο βάσει του

19

διαγράμματος ακτινοβολίας της Μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της μετρώντας και υπολο-

γίζοντας κατάλληλα μεγέθη και κάνοντας χρήση γνωστών μαθηματικών τύπων

bull Συνολική ακτινοβολούμενη ενέργεια η συνολική (ή μέσος όρος) ενέργεια που ακτινο-

βολεί μία κεραία και υπολογίζεται από τον τύπο

Prad = Pav =

lsaquoS

~Wrad middot d~s =

lsaquoS

~Wav middot n middot da =1

2

lsaquoS

lt( ~E times ~H) middot d~s (31)

όπου Wrad=πυκνότητα ακτινοβολίας

bull ΄Ενταση ακτινοβολίας η ενέργεια που εκπέμπεται από μία κεραία ανά μονάδα στερεάς γωνίας

U = r2 middotWrad (32)

όπου r=απόσταση

bull Κατευθυντικότητα είναι ο λόγος της ακτινοβολούμενης ενέργειας σε μία συγκεκριμένη κα-

τεύθυνση προς το μέσο όρο εκπεμπόμενης ακτινοβολίας σε όλες τις κατευθύνσεις ΄Η αλλιώς

η ένταση προς μία συγκεκριμένη κατεύθυνση προς την αντίστοιχη τιμή της αν ακτινοβολούσε

ισοτροπικά

D =U

Uo=

4pU

Prad(33)

΄Αν δεν ορίζεται κατεύθυνση σαν κατευθυντικότητα αναφέρεται η μέγιστη κατευθυντικότητα μίας

κεραίας

bull Κέρδος αν και συνδέεται με την κατευθυντικότητα είναι μία παράμετρος της κεραίας που λαμ-

βάνει υπόψιν και την αποδοτικότητα της κεραίας αλλά και τις δυνατότητες κατευθυντικότητας

Απόλυτο κέρδος κεραίας (σε συγκεκριμένη κατεύθυνση) ορίζεται ο λόγος της έντασης ακτινοβο-

λίας προς την ένταση ακτινοβολίας που θα είχε στη συγκεκριμένη κατεύθυνση άν όλη η ενέργεια

εισόδου της κεραίας εκπεμπόταν ισοτροπικά

κέρδος = 4π middot ένταση ακτινοβολίας

συνολική εισερχόμενη ενέργεια= 4π

U(θ φ)

Pinputrarr

G = 4π U(θφ)Pinput (ιδανικής ισοτροπικής πηγής)

(34)

bull Απόδοση κεραίας είναι ένας δείκτης που λαμβάνει υπόψιν τις απώλειες ενέργειας από την

είσοδο στην έξοδο της κεραίας λόγω πολλών φαινομένων Γενικά η συνολική απόδοση μίας

κεραίας δίνεται από τον τύπο

eo = er middot ec middot ed (35)

όπου eo είναι η συνολική απόδοση er είναι η απόδοση λόγω απωλειών ανακλάσεων (λόγω κακής

προσαρμογής) (= 1minus|Γ|2) ec είναι η απόδοση λόγω απωλειών αγωγιμότητας ed είναι η απόδοση

που οφείλεται στο διηλεκτρικό και Γ ο συντελεστής ανάκλασης τάσης

bull Απόδοση δέσμης είναι μία παράμετρος ποιότητας μίας κεραίας και ορίζεται από το λόγο της

ενέργειας που ακτινοβολείται από τον κύριο λοβό της κεραίας (με το λοβό σε γωνία θ0) προς τη

συνολική

BE =

acute 2π0

acute θ0U(θ φ)sin(θ)dθdφacute 2π

0

acute π0U(θ φ)sin(θ)dθdφ

(36)

όπου θ1 είναι η γωνία μισής ισχύος ΄Αν θεωρήσουμε το θ1 στην κατεύθυνση του πρώτου μηδενι-

σμού τότε θα έχουμε το λόγο της ισχύος του κυρίως λοβού προς τη συνολική

bull Εύρος σαν εύρος μιας κεραίας ορίζεται το εύρος των συχνοτήτων (bandwidth) στις οποίες

μπορεί να λειτουργήσει αποδοτικά βάσει κάποιων χαρακτηριστικών της πχ να έχει εύρος κύριου

λοβού εντός συγκεκριμένων ορίων διατηρώντας μία ελάχιστη τιμή SLL

20

33 Κατηγορίες κεραιών

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω οι κεραίες χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με τα μορ-

φολογικά αλλά και λειτουργικά χαρακτηριστικά τους Βάσει του τρόπου με τον οποίο εκπέμπουν ή

λαμβάνουν ή αλλιώς βάσει του διαγράμματος ακτινοβολίας τους χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες

bull Ισοτροπικές μία ισοτροπική κεραία ορίζεται ως μία υποθετική (ιδανική) κεραία η οποία ακτινο-

βολεί το ίδιο προς όλες τις κατευθύνσεις Δεν έχει κάποια πραγματική εφαρμογή στα τηλεπικοι-

νωνιακά συστήματα γιατί η ισχύς της εκπέμπεται προς όλες τις κατευθύνσεις το ίδιο προκαλώντας

μεγάλες απώλειες ισχύος σε ανεπιθύμητες κατευθύνσεις ΄Εχει μόνο θεωρητική αξία στη μελέτη

κεραιών και στον ορισμό κάποιων παραμέτρων των κεραιών όπως το κέρδος που είδαμε παραπάνω

bull Κατευθυντικές μία κατευθυντική κεραία ορίζεται ως η κεραία που έχει την ικανότητα να

εκπέμπει ή να λαμβάνει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αποτελεσματικότερα προς κάποιες κατευ-

θύνσεις Είναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κεραίες και η εξέλιξη αυτών είναι οι έξυπνες

κεραίες που ανάλογα με τις ανάγκες της κάθε συσκευής και τα χαρακτηριστικά του χώρου που

βρίσκεται μπορούν να αλλάξουν τη γωνία μέγιστης εκπομπής κάνοντας βέλτιστη χρήση της α-

κτινοβολούμενης ισχύος της

bull Πανκατευθυντικές μία πανκατευθυντική κεραία είναι μία κεραία η οποία ακτινοβολεί σαν

κατευθυντική εκτός από ένα επίπεδο στο οποίο εκπέμπει ή λαμβάνει ισοτροπικά Η χρήση τους

είναι κυρίως στα μέσα μαζικής επικοινωνίας όπου χρειάζεται κάλυψη του χώρου 360 μοιρών στο

οριζόντιο επίπεδο αλλά πολύ μικρής γωνίας στο κάθετο

Βάσει των μορφολογικών χαρακτηριστικών τους χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες Η κάθε

κατηγορία έχει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της που την καθιστούν κατάλληλη για κάποια

εφαρμογή και ακατάλληλη για κάποια άλλη Παρακάτω αναφέρονται οι κατηγορίες αυτές των κεραιών

με τα βασικά χαρακτηριστικά της κάθε μίας

bull Κεραίες σύρματος Είναι απλές κεραίες κατασκευασμένες από αγώγιμο υλικό συνήθως

κυκλικής διατομής Πολλές φορέα σχηματίζονται από πολλούς αγωγούς κατάλληλα συζευγμένους

μεταξύ τους σε πλέγματα διαφόρων σχημάτων που είτε δημιουργούν μία επιφάνεια είτε μία γραμμική

κεραία Η απλούστερη γραμμική κεραία είναι η κεραία διπόλου τα χαρακτηριστικά της οποίας είναι

ανάλογα με το σχετικό μήκος της ως προς το μήκος κύματος της ακτινοβολίας για την οποία προορίζε-

ται7 Οι συγκεκριμένες είναι πολύ απλές στην κατασκευή πολύ συχνά απλά συρμάτινες Αποτελείται

από ένα δίπολο του οποίου (συνήθως) η τροφοδοσία8είναι στη μέση Πλεονεκτήματα των κεραιών

αυτών είναι το κόστος το μέγεθος και η δυνατότητα κάλυψης μεγάλης περιοχής συχνοτήτων ενώ

έχουν το μειονέκτημα της χαμηλής απόδοσης λόγω των διαστάσεων τους Καλύτερα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης έχουν οι διπολικές κεραίες των οποίων το μήκος είναι της τάξης του μήκους κύματος

Σχήμα 35 Κεραία διπόλου

Μία κεραία σύρματος χαρακτηρίζεται ως rdquoλεπτήrdquoόταν η διάμε-

τρος του αγωγού είναι μικρότερη από 001λ Ανάλογα με το σχήμα

της χαρακτηρίζεται ως ευθύγραμη κεραία V ή πτυσσόμενη Στο

διπλανό σχήμα () φαίνονται μία ευθύγραμμη και μία πτυσσόμενη

διπολική κεραία Στις πτυσσόμενες σημαντική είναι η γωνία που

σχηματίζουν οι βραχίονες τους έχοντας βρεθεί ότι η μέγιστη

κατευθυντικότητα επιτυγχάνεται για γωνία α = 60λh

+ 380

όπου h είναι το μήκος του βραχίονα και λ το μήκος κύματος τη

ακτινοβολίας και ότι Dmax = 12 + 23hλ9

7Μία κεραία χαρακτηρίζεται ως ηλεκτρικά μικρή όταν οι διαστάσεις της είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος

της ακτινοβολίας8Με τον όρο τροφοδοσία εννοούμε το υπόλοιπο σύστημα το οποίο τροφοδοτεί η κεραία με το σήμα που λαμβάνει στην

περίπτωση κεραίας λήψης ή από το οποίο τροφοδοτείται με το σήμα που θα εκπέμψει στην περίπτωση κεραίας εκπομπής

9Η σχέση αυτή είναι εμπειρική και ισχύει για 05 lt h

λ lt 3

21

Σχήμα 36 Κεραία Yagi-Uda

Μία εξέλιξη των παραπάνω κεραιών είναι οι κεραίες Yagi-Udaπου ένα διάγραμμα ακτινοβολίας τέτοιας κεραίας παρατέθηκε

παραπάνω () Είναι ευθύγραμμες διπολικές κεραίες που α-

ποτελούνται από πέραν του ενός δίπολα τα οποία όμως δεν

τροφοδοτούνται όλα Τα μη τροφοδοτούμενα δίπολα ονομάζονται

παρασιτικά και τροφοδοτούνται επαγωγικά από τα υπόλοιπα Οι

κεραίες αυτές παρουσιάζουν αυξημένη κατευθυντικότητα σχετικά

με τις μη παρασιτικές κεραίες διπόλων Η πρώτη τέτοια κεραία

κατασκευάστηκε το 1926 και αποτελούταν από τρία δίπολα ένα

ενεργό και δύο παρασιτικά Στην περίπτωση που το παρασιτικό

δίπολο έχει μεγαλύτερο μήκος από του ενεργού ονομάζεται

ανακλαστήρας ενώ αν έχει μικρότερο ονομάζεται κατευθυντήρας

Μία γενική μορφή τέτοιας κεραίας φαίνεται στο διπλανό σχήμα με LR το μήκος του ανακλαστήρα και

LD το μήκος του κατευθυντήρα

bull Στοιχειοκεραίες Μία εξέλιξη των συρμάτινων κεραιών είναι οι στοιχειοκεραίες Οι

στοιχειοκεραίες αποτελούνται από πολλές κεραίες διπόλων τα στοιχεία τα οποία ενώνονται όλα σε

μία κοινή τροφοδοσία και αυτή είναι η βασική τους διαφορά από τις Yagi-Uda που έχουν παρασιτικά

στοιχεία και ο λόγος που οι τελευταίες δε θεωρούνται στοιχειοκεραίες Συστοιχείες λοιπόν πολλών

κεραιών φτιάχνουν τις στοιχειοκεραίες Ανάλογα με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της συστοιχίας

υπάρχουν κάποια είδη στοιχειοκεραιών όπως είναι οι γραμμικές (μία συστοιχία σε ευθεία γραμμή) και

οι επίπεδες (συστοιχείες συστοιχείων) Λόγω της ταυτόχρονης χρήσης πολλών κεραιών μπορούν να

συνδυάσουν τα χαρακτηριστικά τους δίνοντας δυνατότητα πολύπλοκων κατευθυντικών διαγραμμάτων

καθιστώντας τες κατάλληλες για πολλές εφαρμογές Συγκριτικά με μία κεραία μεγάλου μήκους που

θα έχει τα ίδια κατευθυντικά χαρακτηριστικά παρουσιάζει το πλεονέκτημα της εύκολης τροφοδο-

σίας της μηχανικής αντοχής και του μικρού κόστους εγκατάστασης και λειτουργίας Τέλος με

κατάλληλη τροφοδοσία του κάθε στοιχείου της μπορούμε να αλλάξουμε τα κατευθυντικά χαρακτηρι-

στικά της ΄Εχουν πολλές γεωμετρικές μορφές αλλά και είδη που θα αναφερθούν σε επόμενη παράγραφο

bull Κεραίες βρόχου ή πλαισίου Μία κεραία βρόχου αποτελείται από έναν κλειστό αγωγό σε

σχήμα βρόχου (ή και βρόχων) ο οποίος τροφοδοτείται σε ένα σημείο του Χωρίζονται σε κεραίες μικρού

και μεγάλου βρόχου συγκριτικά με το μήκος κύματος στο οποίο χρησιμοποιούνται10

Οι μικρού

βρόχου έχουν χαμηλή απόδοση και χρησιμοποιούνται κατά κόρον σε δέκτες χαμηλών συχνοτήτων

Εκτός από τους ραδιοφωνικούς δέκτες των αυτοκινήτων στους οποίους γίνεται μεγάλη χρήση των

κεραιών μικρού βρόχου το μεγαλύτερο ποσοστό των δεκτών AM χρησιμοποιούν τέτοιες κεραίες

Οι μεγάλου βρόχου έχουν ευρεία χρήση στους δέκτες VHF και UHF έχοντας και το επιπλέον

χαρακτηριστικό της μεταβλητής περιφέρειας δίνοντας δυνατότητα μεγαλύτερου εύρους συχνοτήτων

Γενικά οι κεραίες βρόχου είναι κεραίες με μεγάλη κατευθυντικότητα κάτι που τις κάνει ιδανικές σε

εφαρμογές εύρεσης κατεύθυνσης σήματος

bull Ελικοειδής κεραίες Μία ελικοειδής κεραία αποτελείται από έναν αγωγό που έχει τη μορφή

έλικας στον οποίο η τροφοδοσία είναι στο ένα του άκρο Αποτελεί συνδυασμό κεραίας βρόχου και

γραμμικής κεραίας οπότε μπορεί να εκπέμπει με δύο τρόπους (ρυθμούς) αξονικά και κάθετα στον άξονα

της έλικας κάτι που της δίνει βελτιωμένα χαρακτηριστικά συγκριτικά με τις δύο αυτές κατηγορίες

Χρησιμοποιείται κατά κόρον όπου απαιτείται κυκλική πόλωση σήματος σαν πομπός ή σε σήματα που

έχουν κυκλική πόλωση σαν δέκτης και έχει αρκετά μεγάλο εύρος ζώνης συχνοτήτων Ανάλογα με τα

χαρακτηριστικά που πρέπει να έχει μία ελικοειδής κεραία μπορεί να είναι ομοιόμορφη (όλες οι έλικες

ίδια διάμετρο) αυξανόμενης ελαττούμενης και αυξο-ελαττούμενης διαμέτρου ελίκων

bull Δικωνικές κεραίες ΄Αν δύο V ενωθούν κατακορυφήν σχηματίζεται μία δικωνική κεραία οι

οποίες έχουν αυξημένο εύρος συχνοτήτων Πολλές δικωνικές κεραίες έχουν τη δυνατότητα μεταβολής

10Σαν κεραία μικρού βρόχου θα χαρακτηριστεί η κεραία της οποίας η περιφέρεια θα είναι ίση ή μικρότερη από το ένα

δέκατο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας

22

του μήκους του βραχίονα τους δίνοντας ακόμα μεγαλύτερο εύρος Αν μία από τις δύο V κεραίες

αντικατασταθεί από μία αγώγιμη επιφάνεια σε σχήμα δίσκου έχουμε τη δισκωνική κεραία στην οποία

ο δίσκος λειτουργεί ως ανακλαστήρας Είναι κεραίες μικρής κατευθυντικότητας και χαμηλού κέρδους

και χρησιμοποιούνται πολύ σαν κεραίες ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών εκπομπών

bull Σπειροειδής κεραίες Οι σπειροειδής κεραίες είναι κεραίες με μεγάλο εύρος ζώνης

συχνοτήτων και μεγάλης κατευθυντικότητας Αποτελούνται από μία ή δύο αγωγούς που έχουν σχήμα

σπείρας και όσο μικρότερη γωνία ανοίγματος σπείρας έχουν τόσο μεγαλύτερη κατευθυντικότητα

Μπορεί να είναι επίπεδες ή κωνικές και η πόλωση του σήματος που λαμβάνουν ή εκπέμπουν είναι

ανάλογη με τη φορά των σπειρών Το εύρος συχνοτήτων τους δίνεται από το λόγο μεγαλύτερης προς

μικρότερης διαμέτρου άν και στην πραγματικότητα είναι λίγο μικρότερο του λόγου αυτού Μία αρκετά

διαδεδομένη σπειροειδής κεραία είναι η rdquoσπειροειδής του Αρχιμήδηrdquoη οποία αποτελείται από δύο σπε-

ίρες με r1 = r0φ και r2 = r0(φminusπ) οι οποίες συνήθως κατασκευάζονται πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα11

bull Κεραίες χοάνης Οι κεραίες χοάνης αποτελούνται από έναν αγωγό ο οποίος είναι από το

ένα άκρο του ανοιχτός και διεγείρεται από το άλλο του άκρο Με σωστή ρύθμιση έχουν μεγαλύτερη

απόδοση από τις συρμάτινες Ανάλογα με το σχήμα του αγωγού μπορεί να υπάρχουν αρκετά είδη

τέτοιων κεραιών τρία εκ των οποίων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα () Η κατευθυντικότητα της

είναι ανάλογη της γωνίας ανοίγματος της Στην πράξη συναντούμε ελάχιστες κεραίες χοάνης μόνες

τους αλλά σε συνδυασμό με έναν ανακλαστήρα έχουν πολύ διαδεδομένη χρήση λόγω της πολύ μεγάλης

κατευθυντικότητας που προσφέρουν ειδικά στις περιπτώσεις που ο ανακλαστήρας είναι παραβολικός

όπου υπάρχει η δυνατότητα παραγωγής πολύ στενής δέσμης υψηλού κέρδους και χαμηλού θορύβου

Χρησιμοποιούνται πολύ στις δορυφορικές επικοινωνίες και η πιο συνηθισμένη τους μορφή είναι τα umlπιάταrsquo

που χρησιμοποιούνται για τη λήψη δορυφορικών σημάτων

Σχήμα 37 Κεραίες χοάνης α)τομέας β)πυραμοειδής και γ)κωνική

bull Λογαριθμικές περιοδικές κεραίες Είναι κεραίες των οποίων τα μορφολογικά χα-

ρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με την απόσταση από την αρχή της κεραίας Υπάρχει ένα

επαναλαμβανόμενο στοιχείο κεραίας το οποίο μεγαλώνει όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της

κεραίας Μπορεί να είναι μία πλάκα με οδοντώσεις το μέγεθος των οποίων μεταβάλλεται ένα σύρμα

11Οι κεραίες που είναι κατασκευασμένες πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα ή αλλιώς σε μικροταινίες ανήκουν και στην

κατηγορία των μικροταινιακών κεραιών πολύ διαδεδομένη στις ηλεκτρονικές φορητές συσκευές που λειτουργούν στην

περιοχή των μικροκυμάτων (λόγω διαστάσεων κεραιών είναι ιδανικές για την περιοχή αυτή)

23

Σχήμα 38 Λογαριθμική περιοδική κεραία

το οποίο διπλώνεται κατάλληλα και το μέγεθος της κάθε δίπλωσης μεταβάλλεται ή ακόμα και από

δίπολα το μήκος των οποίων μεταβάλλεται Πολλές κεραίες που ανήκουν σε παραπάνω κατηγορίες είναι

λογαριθμικές μπορεί να είναι λογαριθμικές αν η μεταβολή των επαναλαμβανόμενων στοιχείων ακολουθεί

το συγκεκριμένο πρότυπο Μία τέτοια φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () η οποία ανήκει στην

κατηγορία των στοιχειοκεραίων Λόγω των επαναλαμβανόμενων στοιχείων των οποίων συνδυάζουν τα

χαρακτηριστικά μπορούν να έχουν πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων και συγκεκριμένα εύρος μίας τάξης

μεγέθους επιτυγχάνεται εύκολα και μπορούν να έχουν και αρκετά μεγάλη κατευθυντικότητα Βρίσκουν

πολλές εφαρμογές στις επικοινωνίες υψηλών συχνοτήτων και ειδικά στα τηλεοπτικά σήματα αφού με

μία κεραία μπορεί κάποιος να λαμβάνει ικανοποιητικά όλα τα διαθέσιμα κανάλια χωρίς καμία προσαρμογή

34 Στοιχειοκεραίες

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω η μορφή του διαγράμματος εκπομπής και λήψης των κεραιών

εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της κεραίας Σε πολλές εφαρμογές απαιτούνται κεραίες μεγάλου

κέρδους ή αλλιώς μεγάλης κατευθυντικότητας Μία κεραία για να έχει μεγάλη κατευθυντικότητα

θα πρέπει να έχει πολύ μεγάλο μέγεθος Το πρόβλημα αυτό λύνεται φτιάχνοντας σύνθετες κεραίες

Κεραίες που αποτελούνται από μικρότερες κεραίες είτε όμοιες μεταξύ τους είτε ανόμοιες Τέτοιες

συστοιχίες κεραιών όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ονομάζονται στοιχειοκεραίες Το κάθε στοιχείο

μίας στοιχειοκεραίας μπορεί να είναι οποιασδήποτε μορφής κεραία (σύρματος οπής κλπ) με βασικό

χαρακτηριστικό όλα τα στοιχεία να έχουν κοινή τροφοδοσία Το συνολικό πεδίο θα είναι το διανυ-

σματικό άθροισμα των πεδίων κάθε στοιχείου ξεχωριστά Οπότε μπορούμε να έχουμε το επιθυμητό

πεδίο φτιάχνοντας την κεραία μας έτσι ώστε στα σημεία που θέλουμε μεγάλο κέρδος να συμβάλουν

εποικοδομητικά τα πεδία των στοιχείων της κεραίας και στα σημεία που δεν θέλουμε να ακτινοβολεί να

έχουμε καταστροφική συμβολή

Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας θα εξαρτάται από τους εξείς παράγοντες

bull Τη γεωμετρία της στοιχειοκεραίας ( γραμμικήκυκλικήορθογώνια σφαιρική κλπ)

bull Την απόσταση μεταξύ των στοιχείων της κεραίας

bull Την ένταση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

bull Τη φάση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

24

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

από τον αρχικό πληθυσμό ΄Εχει αρκετές ομοιότητες με τη προηγούμενη μέθοδο βελτιστοποίησης με

βασικές διαφορές ότι η επόμενη λύση σε αυτή τη μέθοδο εξαρτάται από την προηγούμενη ενώ στην AntColony όχι και ότι δεν εξερευνά όλες τις πιθανές λύσεις αλλά τις λύσεις που υπάρχουν στον αρχικό

πληθυσμό της και κάποιους συνδυασμούς αυτών ενώ η Ant Colony μπορεί να εξετάσει όλα τα πιθανά

σημεία που υπάρχουν

Evolutionary Strategy (ES)

Η μέθοδος αυτή βασίζεται στην ιδέα της προσαρμογής και εξέλιξης των ειδών Χρησιμοποιεί

φυσικούς μηχανισμούς για την αναπαράσταση και βελτιστοποίηση των προβλημάτων Κύρια χαρακτηρι-

στικά εξέλιξης των λύσεων είναι η μετάλλαξη και η επιλογή Το πλήθος των λύσεων αποτελεί μία γενιά

Αρχικά δημιουργείται τυχαία μία γενιά οι αρχικοί γονείς Η επόμενη γενιά δημιουργείται από μετάλλαξη

της προηγούμενης των γονέων Αν οι απόγονοι είναι καλύτεροι ή έστω ισάξιοι με τους γονείς παίρνουν

τη θέση τους και γίνονται οι γονείς της επόμενης γενιάς αλλιώς απορρίπτονται Η μετάλλαξη των

γονέων γίνεται με προσθήκη τυχαίας μεταβλητής (από κανονική κατανομή) σε κάποια συνιστώσα τους

Λόγω της τυχαίας μετάλλαξης είναι πιο πιθανό να φτάσουν σε βέλτιστη λύση από τους αλγόριθμους

διαφορικής εξέλιξης Αλλά έχουν το αρνητικό της καταστροφής των γονέων χάνοντας έτσι κάποια

πιθανώς καλά μέλη τους πληθυσμού Το αρνητικό αυτό μπορεί κάπως να μετριαστεί δημιουργώντας

πάνω από έναν απογόνους από κάθε γονέα και κάνοντας επιλογή των καλύτερων για την επόμενη γενιά

Genetic Algorithm (GA)

Μία παραλλαγή της παραπάνω μεθόδου είναι οι Γενετικοί Αλγόριθμοι Και στη μέθοδο αυτή

υπάρχει η έννοια των γενεών Κάθε λύση αναπαρίσταται ως ένα χρωμόσωμα ή γενότυπο Δη-

μιουργείται τυχαία ο αρχικός πληθυσμός και υπολογίζεται η τιμή της συνάρτησης που θέλουμε να

βελτιστοποιήσουμε για κάθε μέλος της Επιλέγονται τα καλύτερα μέλη της γενιάς βάση των υπολογι-

σμένων τιμών τα οποία θα αποτελέσουν τους γονείς για την επόμενη Στη συνέχεια δημιουργείται η

νέα γενιά μέσω του μηχανισμού της αναπαραγωγής των γονέων κυρίως και ίσως με τυχαία μετάλλαξη

κάποιων γονέων Υπολογίζεται η νέα τιμή της συνάρτησης για κάθε μέλος και επιλέγονται οι γονείς

για την επόμενη γενιά Μέσω της επαναληπτικής αυτής διαδικασίας ο αλγόριθμος βελτιστοποιεί την

τιμή της συνάρτησης του προβλήματος Ο τερματισμός του αλγορίθμου γίνεται είτε όταν επιτευχθεί

μία επιθυμητή τιμή της συνάρτησης ή αν ολοκληρωθεί συγκεκριμένος αριθμός επαναλήψεων ή χρόνος

εκτέλεσης χωρίς να βρεθεί βέλτιστη λύση Λόγω του μηχανισμού της αναπαραγωγής έχει το αρνητικό

ότι εξαρτάται και αυτή η μέθοδος από την αρχική τυχαία επιλογή του πληθυσμού κάτι που όμως

δεν έχει τόση βαρύτητα όπως στη μέθοδο Διαφορικής Εξέλιξης λόγω του ότι χρησιμοποιείται και η

τυχαία μετάλλαξη σαν μηχανισμός δημιουργίας απογόνων Ακόμα έχουν το αρνητικό της προηγούμενης

μεθόδου ότι οι γονείς που θα βγάλουν καλύτερους απογόνους καταστρέφονται

Stud Genetic Algorithm (StudGA)

Ο αλγόριθμος αυτός είναι μία παραλλαγή των Γενετικών Αλγορίθμων που δίνει καλύτερα απο-

τελέσματα Αντί να δημιουργεί έναν αρχικό πληθυσμό (stud) δημιουργεί μία αρχική πιθανή λύση

η οποία στη συνέχεια μεταλλάσσεται για τη δημιουργία του αρχικού πληθυσμού Κάθε πιθανή λύση

έχει τη δυνατότητα να αλλάξει με ανακάτεμα των βιτς που αντιπροσωπεύουν το χρωμόσωμα της

βάσει προκαθορισμένης πιθανότητας Στη συνέχεια το καλύτερο χρωμόσωμα ή αλλιώς η καλύτερη

λύση επιλέγεται ως αρχική (stud) βάσει της οποίας θα δημιουργηθεί ο καινούριος πληθυσμός και η

διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να τερματιστεί ο αλγόριθμος Στην ουσία αυτή είναι και η βασική

του διαφορά από τους υπόλοιπους Γενετικούς αλγόριθμους χρησιμοποιεί την καλύτερη λύση κάθε

γενιάς για μοναδικό rdquoγονέαrdquoκάθε επόμενης γενιάς χαρακτηριστικό που βελτιώνει συγκριτικά με τους

απλούς Γενετικούς Αλγόριθμους τις επιδόσεις του

7

Biogeography-Based Optimization (BBO)

Είναι ένας αλγόριθμος που βασίζεται στη βιογεωγραφία Η βιογεωγραφία μελετάει την ανάπτυξη και

εξέλιξη διαφόρων ειδών σε γειτονικές περιοχές τις οποίες ονομάζει umlνησιάuml Κάθε umlνησίrsquo είναι και μία

λύση του προβλήματος Τα είδη είναι οι παράμετροι της κάθε λύσης Κάθε λύση χαρακτηρίζεται από

τις μεταβλητές που ονομάζονται rdquoδείκτες καταλληλότητας rdquo(suitability index variables -SIVs)και οι

μεταβλητές αυτές ορίζουν μία τιμή για τον δείκτη καταλληλότητας περιοχής (habitat suitability index-HSI)Οι περιοχές με υψηλό δείκτη καταλληλότητας είναι και οι καλύτερες λύσεις Κάθε λύση τείνει

προς τη βέλτιστη παίρνοντας χαρακτηριστικά ή είδη από άλλες περιοχές μέσω του μηχανισμού της

μετανάστευσης Ο αλγόριθμος τερματίζει είτε μετά από προκαθορισμένο αριθμό κύκλων είτε μετά από

την επίτευξη κάποιου στόχου

Probability-Based Incremental Learning (PBIL)

Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στην δημιουργία και δειγματοληψία συνόλων πιθανών λύσεων με

αποκλειστικά πιθανοκρατικούς τρόπους για την εύρεση της βέλτιστης λύσης ενός προβλήματος Η

βελτιστοποίηση νοείται σαν μία βελτίωση του πιθανοκρατικού μοντέλου αρχίζοντας με ομοιόμορφης

κατανομής μοντέλο και καταλήγοντας σε ένα μοντέλο που παράγει βέλτιστες λύσεις Κύρια διαφορά με

τις μεθόδους που έχουν ήδη αναφερθεί είναι ότι η συγκεκριμένη μέθοδος παράγει κάθε φορά καινούριο

πληθυσμό μεταβάλλοντας το μοντέλο με το οποίο παράγεται ο πληθυσμός βάση της καταλληλότητας

του πληθυσμού που παράχθηκε ενώ οι προηγούμενοι μετέβαλλαν τον πληθυσμό τον ίδιο Αυτό το

χαρακτηριστικό κάνει τους αλγόριθμους που βασίζονται σε αυτή τη μέθοδο να είναι αποτελεσματικού

σε κάποια προβλήματα που άλλοι δεν μπορούν να βρουν βέλτιστη λύση όπως πχ σε προβλήματα

των οποίων κάποιες παράμετροι επηρεάζονται ή εξαρτώνται ισχυρά από κάποιες άλλες Η καθαρά

πιθανοκρατική μέθοδος που ακολουθεί εξαλείφουν τέτοια προβλήματα

Υπάρχουν και άλλοι αλγόριθμοι ή κατηγορίες αλγορίθμων που αναπτύσσονται και χρησιμοποιούνται

σε προβλήματα βελτιστοποίησης πέραν των παραπάνω ΄Ομως η αναφορά τους ξεφεύγει από τα πλαίσια

της παρούσας εργασίας μιας και οι παραπάνω χρησιμοποιήθηκαν στη λύση του προβλήματος

Στη συνέχεια θα γίνει μία πιο ενδελεχής περιγραφή ενός BBO αλγόριθμου και συγκεκριμένα του

Dan Simon ο οποίος χρησιμοποιήθηκε στη λύση του προβλήματος της συγκεκριμένης εργασίας

8

Κεφάλαιο 2

Biogeography-Based Optimization

21 Εισαγωγή στην BBO

Ο Biogeographic-Based Optimization αλγόριθμος είναι ένας εξελικτικός αλγόριθμος που βασίζεται

στη λογική της βιογεωγραφικής εξέλιξης των ειδών Με τον όρο rdquoΒιογεωγραφίαrdquoπεριγράφεται η μελέτη

της γεωγραφικής κατανομής των βιολογικών οργανισμών Η μαθηματικοποίηση του φαινομένου μελε-

τάται από τις αρχές της δεκαετίας του 1960 και εξελίσσεται συνεχώς Στο φαινόμενο αυτό βασίζονται

και οι βιογεωγραφικοί αλγόριθμοι Η επιστημονική βάση της βιογεωγραφικής θεωρίας εδραιώθηκε από

τους φυσιοδίφες του 19ou αιώνα και συγκεκριμένα τον Charles Darwin (Δαρβίνο όπως συνηθίζεται να

αποκαλείται στα ελληνικά) και τον Alfred WallaceΗ αρχή των μαθηματικών μοντέλων έγινε στις αρχές

του 1960 από τους Robert McArthur και Edward Wilson με κατάληξη την έκδοση του rdquoThe theory ofIsland Biogeographyrdquo το 1967 Πρωτεύον αντικείμενο έρευνας ήταν η κατανομή διαφόρων ειδών σε γει-

τονικά νησιά και το μαθηματικό μοντέλο του αφανισμού και της μετανάστευσης τους από νησί σε νησί Η

ανάπτυξη λοιπόν των βιογεωγραφικών αλγορίθμων βασίζεται και μελετάει το πώς μεταναστεύει κάποιο

είδος από ένα νησί σε ένα άλλο πώς καινούρια είδη εμφανίζονται και πώς άλλα εξαφανίζονται Αντί για

τον όρο rdquoνησίrdquo μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ο όρος rdquoβιότοποςrdquo βάση του παραπάνω χαρακτηριστικών

Οι βιογεωγραφικοί αλγόριθμοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε οποιοδήποτε τομέα επιστήμης Οι

γεωγραφικές περιοχές που είναι κατάλληλες για τα είδη τα rdquoνησιάrdquo θεωρούμε ότι έχουν υψηλό δείκτη

καταλληλότητας (high Habitat Suitability Index (HSI))Μερικά χαρακτηριστικά που συσχετίζονται

με το δείκτη αυτό θα είναι οι βροχοπτώσεις η ποικιλομορφία της βλάστησης η ποικιλομορφία των

τοπογραφικών χαρακτηριστικών το έδαφος και η θερμοκρασία Οι μεταβλητές που χαρακτηρίζουν άν

είναι ή όχι ένας βιότοπος κατοικήσιμος ονομάζονται μεταβλητές δείκτη καταλληλότητας(SuitabilityIndex Variables (SIVs))Οι SIV μπορούν να θεωρηθούν ως ανεξάρτητες μεταβλητές του βιοτόπου και

ο HSI ως εξαρτημένη Ανάλογα με τον τομέα στον οποίο θα χρησιμοποιηθούν ορίζεται τι είναι τα

rdquoείδηrdquoκαι πώς ορίζεται ένα rdquoνησίrdquo Γενικά σαν είδος μπορεί να θεωρηθεί κάποια παράμετρος ή ένα

χαρακτηριστικό ενός προβλήματος και σαν rdquoνησίrdquoμία ομάδα τέτοιων παραμέτρων ή χαρακτηριστικών

22 Βιογεωγραφία

Βάση των παραπάνω μπορεί να γίνει μία ανάλυση της γενικής ιδέας της μεθόδου Βιότοποι με

υψηλό HSI θα έχουν μεγάλους αριθμούς ειδών ενώ αντίθετα περιοχές με χαμηλό HSI θα έχουν μικρό

αριθμό ειδών Περιοχές με υψηλό HSI λόγω των πολλών ειδών που έχουν και του πιθανού κορεσμού

τους θα έχουν πολλά είδη που θα μεταναστεύουν σε κοντινά νησιά ενώ θα έχουν λίγα είδη που θα

μεταναστεύουν προς αυτά Ο ρυθμός λοιπόν μετανάστευσης προς γειτονικές περιοχές θα είναι μεγα-

λύτερος σε αυτές που έχουν υψηλό HSI κάτι που όμως δεν σημαίνει ότι τα είδη που θα μεταναστεύουν

προς άλλες περιοχές θα εξαφανίζονται από την αρχική γιατί μόνο ένα μικρό μέρος τους θα φεύγει Θα

υπάρχουν στην αρχική περιοχή μεταναστεύοντας παράλληλα και στις γειτονικές Περιοχές με χαμηλό

HSI θα έχουν μεγάλο ρυθμό μεταναστών από γειτονικές λόγω του αραιού πληθυσμού που περιέχουν

9

Αυτό το φαινόμενο μπορεί να αυξήσει το HSI μίας περιοχής μιας και εξαρτάται από την ποικιλομορφία

των ειδών που περιέχει ΄Αν παραμείνει χαμηλός τα είδη που υπάρχουν θα τείνουν προς εξαφάνιση

ανοίγοντας το δρόμο για άλλους rdquoμετανάστεςrdquoαπό γειτονικές περιοχές Οπότε περιοχές με υψηλό HSIθα έχουν πιο στατική κατανομή ειδών και πληθυσμών ενώ οι περιοχές με χαμηλό HSI έχουν πιο δυναμική

Με τη παραπάνω γενική ιδέα μπορεί να γίνει μία πρώτη παρουσίαση της εφαρμογής τέτοιων

αλγορίθμων Θεωρούμε ένα πρόβλημα από οποιοδήποτε επιστημονικό ή όχι τομέα Μηχανική

οικονομικά ιατρικά επιχειρήσεις αθλητικά και πολλοί άλλοι τομείς μπορούν να χρησιμοποιήσουν

έναν βιογεωγραφικό αλγόριθμο για τη λύση ενός προβλήματος Βασική προϋπόθεση όμως είναι να

έχουμε κάποιο τρόπο αξιολόγησης της καταλληλότητας κάποιας λύσης του προβλήματος Μία καλή

λύση θα αντιστοιχεί σε περιοχή με υψηλό HSI ενώ μία λιγότερο καλή σε περιοχή με χαμηλό HSIΟι καλές λύσεις λοιπόν θα είναι πιο σταθερές ενώ οι όχι τόσο καλές θα τείνουν να μεταβάλλουν

τα χαρακτηριστικά τους Οι καλές λύσεις θα τείνουν να μοιράζονται τα χαρακτηριστικά τους με

τις λιγότερο καλές με πιθανότητα να τις βελτιώσουν Αυτό το χαρακτηριστικό και τη γενικότερη

διαδικασία ονομάζουμε λύση με χρήση βιογεωγραφικού αλγορίθμου βελτιστοποίησης

Σχήμα 21 Μετανάστευση

Στο διπλανό σχήμα (σχήμα ) φαίνονται οι καμπύλες

μετανάστευσης από καμπύλη μ και προς καμπύλη λ έναν

τόπο Και οι δύο καμπύλες είναι συναρτήσεις του αριθμού

των ειδών σε μία περιοχή Στο παρόν σχήμα αναπαριστώνται

σαν ευθείες κάτι που γενικά δεν ισχύει ΄Εχουν αρκετά πιο

πολύπλοκη μορφή Για την ανάλυση μας όμως ένα απλό

σχήμα δίνει μία γενική εικόνα χωρίς να οδηγεί σε θεωρητικά

λάθη ΄Οσο πιο πολλά είδη υπάρχουν τόσο μικρότερη πιθα-

νότητα να εισέλθουν άλλα Οπότε ο μεγαλύτερος ρυθμός

μετανάστευσης προς μία περιοχή θα υπάρχει όταν η περιοχή

αυτή δεν έχει κανένα είδος ΄Οσο μεγαλώνει ο αριθμός των

ειδών τόσο μικραίνει ο ρυθμός μετανάστευσης προς την

συγκεκριμένη περιοχή μέχρι τον μέγιστο αριθμό ειδών που

μπορεί να υποστηρίξει Smax στο διάγραμμα όπου ο ρυθμός

εισόδου ειδών θα είναι μηδενικός Το αντίστροφο ισχύει για

την μετανάστευση από μία περιοχή την καμπύλη μ ΄Οταν η

περιοχή δεν έχει κανένα είδος ο ρυθμός των ειδών που θα μεταναστεύουν από την περιοχή αυτή θα

είναι φυσικά μηδενικός ΄Οσο αυξάνεται ο αριθμός των ειδών τόσο θα αυξάνεται και ο ρυθμός με τον

οποίο θα μεταναστεύουν προς άλλες περιοχές μέχρι το μέγιστο που θα είναι η τιμή Ε η οποία θα

αντιστοιχεί στο μέγιστο αριθμό ειδών που μπορούν να υπάρξουν στην περιοχή αυτή Smax Ο αριθμός

ισορροπίας των ειδών είναι S0 όπως φαίνεται στο σχήμα που θα είναι ο αριθμός των ειδών για τον

οποίο ο ρυθμός μετανάστευσης από και ο ρυθμός προς την περιοχή θα είναι ίσοι Αυτή την τιμή τείνουν

να αποκτήσουν οι περιοχές Κάποιες μεταβολές είτε προς τα πάνω για λόγους όπως πχ μία απότομη

εισροή ειδών από κάποια γειτονική περιοχή είτε προς τα κάτω για λόγους όπως πχ κάποια αρρώστια

ένας αρκετά επιθετικός κυνηγός ή κάποια καταστροφή μπορεί να υπάρξουν αλλά σε κάποιο χρόνο

ανάλογο της απόκλισης θα επανέλθει η ισορροπία

Ας δούμε και με λίγα μαθηματικά τα παραπάνω Θεωρούμε την πιθανότητα Ps μία περιοχή να έχει

S είδη Η πιθανότητα αυτή θα αλλάζει από τη χρονική στιγμή t στην χρονική στιγμή t+1 βάση του

τύπου

Ps(t+ 1) = Ps(t) lowast (1minus λs∆tminus micros∆t) + Psminus1λsminus1∆t+ Ps+1micros+1∆t (21)

όπου οι όροι λs και micros είναι οι ρυθμοί μετανάστευσης προς και από μία περιοχή αντίστοιχα όταν

υπάρχουν S είδη στην περιοχή Η παραπάνω εξίσωση () ισχύει γιατί για να έχουμε S είδη τη στιγμή

t+ ∆t θα πρέπει να ισχύει κάτι από τα παρακάτω

1 υπήρχαν S είδη τη στιγμή t και δεν είχαμε μετανάστευση προς καμία κατεύθυνση στο χρονικό

10

διάστημα ∆t

2 υπήρχαν S-1 είδη τη στιγμή t και ένα είδος ήρθε ή

3 υπήρχαν S+1 είδη τη στιγμή t και ένα είδος έφυγε

Θεωρούμε ότι το ∆t είναι αρκετά μικρό ώστε να έχει χρόνο μόνο ένα είδος να έρθει ή να φύγει από

την περιοχή Παίρνοντας το όριο ∆trarr 0 της εξίσωσης () καταλήγουμε στην παρακάτω

Ps =

minus(λs + micros)Ps + micros+1Ps+1 S = 0

minus(λs + micros)Ps + λsminus1Psminus1 + micros+1Ps+1 1 le S le Smax minus 1minus(λs + micros)Ps + λsminus1Psminus1 S = Smax)

(22)

Θέτουμε n = Smax και P = [P0 Pn]T απλοποιημένα και πλέον μπορούμε να εκφράσουμε τις

εξισώσεις (για S=0 n) με την απλή εξίσωση πίνακα

P = A lowast P (23)

όπου ο πίνακας Α δίνεται από τον τύπο

A =

minus(λ0 + micro0) micro1 0 ldots 0

λ0 minus(λ1 + micro1) micro2

ddots

λnminus2 minus(λnminus1 + micronminus1) micron

0 0 λnminus1 minus(λn + micron)

(24)

Για τις ευθείες καμπύλες που φαίνονται στο παραπάνω σχήμα () θα έχουμε

microk = Ekn

λk = I(1minuskn

)(25)

Θεωρούμε την ειδική περίπτωση E = I Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε

microk + λk = E (26)

και ο πίνακας Α γίνεται

A = E lowast

minus1 1

n0 0

nnminus1 2

n

2nminus1 n

n

0 0 1nminus1

= E lowast Aprime (27)

όπου το Α΄ ορίζεται από την παραπάνω εξίσωση ()

11

Παρατήρηση 1 Το 0 είναι μία ιδιοτιμή του πίνακα Α΄ με ιδιοδιάνυσμα το

u = [u1 un+1]T

n(nminus1minusi)(iminus1) (i = 1 iprime)

un+2minus1 (i = iprime + 1 n+ 1)

(28)

όπου το irsquo είναι ο μικρότερος ακέραιος ο οποίος να είναι μεγαλύτερος ή ίσος με

τοn+12

ή με προγραμματιστικό συμβολισμό iprime = ceil(n+12

) Αυτό μπορεί να

επιβεβαιωθεί από την απευθείας λύση της εξίσωσης ιδιοτιμών Aprime lowast u = k lowast uγια την άγνωστη μεταβλητή k και το άγνωστο διάνυσμα u Σαν παράδειγμα

για n=4 έχουμε

u = [1 4 6 4 1]T (29)

όπως και για n=5 παίρνουμε

u = [1 5 10 10 5 1]T (210)

Εικασία 1 Οι ιδιοτιμές του Α΄ δίνονται ως εξής

k = 0minus2

nminus4

n minus2 (211)

Η παραπάνω εικασία δεν έχει αποδειχθεί ακόμα αλλά ισχύει για όλες τις τιμές

του ν για τις οποίες έχει εξεταστεί

Θεώρημα 1 Η τιμή σταθερής κατάστασης για την πιθανότητα των αριθμών κάθε είδους

δίνεται από τη σχέση

P (infin) =usumn+1i=1 ui

(212)

όπου τα u και ui δίνονται από την

Στη συνέχεια θα μελετήσουμε το πώς μπορούν τα παραπάνω να εφαρμοστούν σε ένα πρόβλημα

βελτιστοποίησης συγκεκριμένου τομέα

221 Μέθοδοι και παράμετροι της BBO

Σχήμα 22 Αναπαράσταση λύσεων

Μετανάστευση Θεωρούμε ότι έχουμε ένα πρόβλημα με

πολλές πιθανές λύσεις οι οποίες μπορούν να παρασταθούν ως

διανύσματα ακεραίων Κάθε τέτοιος ακέραιος θεωρείται ότι

είναι μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας (SIV) Αν έχουμε

έναν τρόπο αξιολόγησης της ποιότητας κάθε λύσης μπορούμε

να αναπαραστήσουμε κάθε λύση σαν μία περιοχή Οι καλές

ποιοτικά λύσεις θα έχουν υψηλό δείκτη καταλληλότητας

(HSI) ενώ οι λιγότερο καλές χαμηλό Οι λύσεις με υψηλό

HSI θα είναι οι περιοχές με πολλά είδη ενώ αυτές με χαμηλό

οι περιοχές με λίγα είδη Η καμπύλη μοντέλου μετανάστευ-

σης θεωρούμε ότι θα είναι ίδια για όλες τις περιοχές (για

μεγαλύτερη ευκολία Ε=Ι) με τη μεταβλητή S κάθε περιοχής

να εξαρτάται από το HSI της όπως φαίνεται στο διπλανό

σχήμα (σχήμα ) Η περιοχή στην οποία αντιστοιχεί το S1

είναι περιοχή με χαμηλό HSI ενώ αυτή με το S2 περιοχή

με υψηλό HSI ΄Οπως φαίνεται και από το διπλανό σχήμα η

περιοχή με S1θα έχει λίγα είδη υψηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ1) και χαμηλό από (micro1) αυτή

ενώ η περιοχή με δείκτη S2 θα έχει πολλά είδη χαμηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ2) και υψηλό

12

από (micro2) αυτή Οι ρυθμοί μ και λ χρησιμοποιούνται για την ανταλλαγή πληροφοριών μεταξύ των

περιοχών πιθανοκρατικά Με πιθανότητα Pmod αξιολογούμε κάθε λύση βάση των υπολοίπων και

όποιες επιλεχθούν να τροποποιηθούν βάση του λ πιθανοκρατικά αξιολογούνται οι SIV και επιλέγονται

αυτοί που θα τροποποιηθούν ΄Αν κάποιος SIV επιλεχθεί να τροποποιηθεί βάση του μ των υπόλοιπων

λύσεων επιλέγεται πάλι πιθανοκρατικά από ποια λύση θα μεταναστεύσει κάποιος τυχαίος SIV

Η μέθοδος αυτή της μετανάστευσης στους BBO αλγόριθμους είναι παρόμοια με τις μεθόδους

των εξελικτικών και γενετικών αλγόριθμων όπου πολλοί πρόγονοι μπορούν να συνδυαστούν για

την παραγωγοί ενός απογόνου με μία όμως σημαντική διαφορά Σε αντίθεση με τους εξελικτικούς

και γενετικούς αλγόριθμους στους οποίους οι προηγούμενες λύσεις καταστρέφονται από γενιά σε

γενιά στους BBO οι λύσεις παραμένουν και εξελίσσονται χωρίς να καταστρέφονται Φυσικά έχει

ενσωματωμένο κάποιου είδους ελιτισμός έτσι ώστε να μην επηρεάζονται οι βέλτιστες λύσεις

Μετάλλαξη Κατακλυσμικά γεγονότα μπορούν να αλλάξουν δραστικά τον HSI μίας περιοχής

όπως μπορούν να προκαλέσουν απόκλιση του αριθμού των ειδών από την ισορροπία επηρεάζοντας

τον HSI λόγω φαινομενικά τυχαίων φαινομένων Τέτοια φαινόμενα μοντελοποιούνται στους BBO με

την μετάλλαξη των HSI και χρησιμοποιείται η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών για τον

καθορισμό του ρυθμού μετάλλαξης Η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών υπακούει στην

διαφορική εξίσωση Παρατηρώντας την καμπύλη στο σχήμα βλέπουμε ότι οι περιοχές με χαμηλό

αριθμό ειδών αλλά και αυτές με υψηλό αριθμό ειδών έχουν σχετικά χαμηλή πιθανότητα κάτι που θα

μπορούσε να εξαχθεί και από το θεώρημα 1 σε αντίθεση με αυτή με μέσες τιμές γιατί τα δεύτερα είναι

πιο κοντά στο σημείο ισορροπίας Ως παράδειγμα ας θεωρήσουμε την περίπτωση όπου Smax = 10 Η

λύση σταθερής κατάστασης της εξίσωσης θα είναι ανεξάρτητη της αρχικής συνθήκης Π(0) και μπορεί

να υπολογιστεί με αριθμητικές μεθόδους είτε βάση του θεωρήματος 1 με αποτέλεσμα

P (infin) sim= [0001 0001 0044 0117 0205 0246 0205 0117 0044 0001 0001]T

Τα στοιχεία του P (infin) δίνουν άθροισμα μονάδα και η γραφική τους παράσταση δίνει μία άρτια

συνάρτηση συμμετρική στην κεντρική τιμή

Κάθε λύση έχει μία αντίστοιχη πιθανότητα η οποία είναι δείκτης του κατά πόσο ήταν αναμενόμενη

εξ αρχής η λύση αυτή στο συγκεκριμένο πρόβλημα Λύσεις με πολύ υψηλό αλλά και πολύ χαμηλό HSIείναι αρκετά απίθανες να υπάρξουν ενώ λύσεις με μέσους HSI κοντά στο σημείο ισορροπίας είναι πιο

πιθανές Λύση S με μικρή πιθανότητα PS είναι αρκετά απίθανη οπότε έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να

μεταλλαχθεί από ία λύση Srsquo με μεγάλη πιθανότητα P primeS Αυτό μπορεί να παρασταθεί με τον παρακάτω

τύπο όπου ο ρυθμός μετάλλαξης m είναι αντιστρόφως ανάλογος της πιθανότητας μίας λύσης

m(S) = mmax

(1minus PSPmax

)(213)

και mmax είναι μία παράμετρος που ορίζεται από το χρήστη Αυτό το μοντέλο μετάλλαξης τείνει

να αυξήσει τη διαφορετικότητα μεταξύ του πληθυσμού των λύσεων Χωρίς αυτό οι λύσεις με μεγάλη

πιθανότητα θα ήταν επικρατέστερες των υπολοίπων Δίνει λοιπόν τη δυνατότητα στις κακές λύσεις

να μεταλλαχθούν και να εξελιχθούν δίνοντας παράλληλα και τη δυνατότητα στις λύσεις με υψηλή

πιθανότατα να εξελιχθούν και να βελτιωθούν και άλλο Πρέπει να σημειωθεί ότι χρησιμοποιείται

μία ελιτίστικη προσέγγιση αποθηκεύοντας τη βέλτιστη λύση έτσι ώστε αν χειροτερέψει από μία

μετάλλαξη να μπορούμε να την επαναφέρουμε αν χρειαστεί Οπότε η μετάλλαξη χρησιμοποιείται και

τις κακές και στις καλές λύσεις Οι μέσες λύσεις θεωρούμε ότι καλυτερεύουν με την μετανάστευση

οπότε αποφεύγουμε να τις μεταλλάξουμε και έχουν μικρότερο ρυθμό μετάλλαξης Η υλοποίηση της

μετάλλαξης εξαρτάται από το εκάστοτε πρόβλημα και χρήστη

Ορισμοί της BBO και αλγόριθμος

Παρακάτω δίνονται κάποιοι ορισμοί ως ένα πρώτο βήμα για τη μορφοποίηση του BBO αλγόριθμου

παρουσιάζοντας παράλληλα και μία περιγραφή του αλγόριθμου Με το R αναφερόμαστε στο σύνολο

13

πραγματικών αριθμών με το Ζ ακεραίων και με το empty στο κενό σύνολο

Ορισμός 1 Μία περιοχή H isin SIV mείναι ένα διάνυσμα m ακεραίων που αντιπροσωπεύει μία

πιθανή λύση του προβλήματος

Ορισμός 2 Μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας SIV isin C είναι ένας ακέραιος επιτρεπτός

σε μία περιοχή C isin Zqείναι το σύνολο όλων των επιτρεπτών ακεραίων σε μία

περιοχή Η απαίτηση SIV isin C ονομάζεται περιορισμός όπως και σε υψηλότερο

επίπεδο η απαίτηση H isin SIV m

Ορισμός 3 ΄Ενας δείκτης καταλληλότητας περιοχής HSI H rarr R αποτελεί μέτρο την ποιότη-

τας καλής ή κακής της λύσης που αντιπροσωπεύει η περιοχή Σημείωση Στους

περισσότερους αλγόριθμους βασισμένους στους πληθυσμούς το HSI ονομάζεται κα-ταλληλότητα

Ορισμός 4 ΄Ενα οικοσύστημα Hnείναι ένα σύνολο από n περιοχές Το μέγεθος n είναι σταθερό

(μελλοντικοί αλγόριθμοι μπορεί να επιτρέπουν μεταβλητό n όπως κάποιοι γενετικοί

αλγόριθμοι επιτρέπουν μεταβλητό μέγεθος πληθυσμών)

Ορισμός 5 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή λ(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

αύξουσα συνάρτηση του HSI Το λi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV από μία

γειτονική περιοχή να μεταναστεύσει στην Hi

Ορισμός 6 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή micro(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

φθίνουσα συνάρτηση του HSI Το microi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV της Hi

να μεταναστεύσει προς μία γειτονική περιοχή Στην πράξη θεωρούμε ότι οι συναρ-

τήσεις λ και μ είναι γραμμικές με το ίδιο μέγιστο Αυτή η υπόθεση βοηθάει στην

στην απλούστευση των μαθηματικών υπολογισμών Καλύτερες επιδόσεις μπορεί να

είναι εφικτές αν παρεκκλίνουμε λίγο από την υπόθεση αυτή

Ορισμός 7 Τροποποίηση μίας περιοχής Ω(λμ) Hn rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής

που προσαρμόζει την περιοχή Η βάση του οικοσυστήματος Hn Η πιθανότητα μια

περιοχή Η να τροποποιηθεί είναι ανάλογη του ρυθμού μετανάστευσης προς αυτή λ

και η πιθανότητα η τροποποίηση αυτή να προέλθει από την περιοχή Hj είναι ανάλογη

του ρυθμού μετανάστευσης microj από την περιοχή Η τροποποίηση των περιοχών

μπορεί να περιγραφεί γενικά ως εξής

Επιλογή του Hi με πιθανότητα sim λi΄Αν έχει επιλεχθεί το Hi

For j=1 to nεπιλογή του Hj με πιθανότητα sim microiΑν έχει επιλεχθεί το Hj

τυχαία επιλογή ενός SIV σ από το Hj

αντικατάσταση ενός τυχαίου SIV της Hi με το σ

endend

endΑπό τον παραπάνω αλγόριθμο γίνεται φανερό ότι μπορεί να εφαρμοστεί ένα κρι-

τήριο ελιτισμού θέτοντας λ=0 για την p βέλτιστη περιοχή όπουp μία παράμετρος

ελιτισμού καθορισμένη από το χρήστη Ακόμα να σημειωθεί ότι ο ορισμός του Ω

εξασφαλίζει ότι η περιοχή Η που τροποποιείται ικανοποιεί τους περιορισμούς του

SIVΟρισμός 8 Η μετάλλαξη Μ(λμ) H rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής που τυχαία τρο-

ποποιεί τις SIVs μίας περιοχής βάση της αρχικής πιθανότητας ύπαρξης της περιοχής

Η πιθανότητα ύπαρξης μίας περιοχής υπολογίζεται όπως αναφέρθηκε παραπάνω

από τους ρυθμούς λ και μ Η μετάλλαξη μπορεί να περιγραφεί ως εξής

14

For j=1 to mχρήση των microi και λi για τον υπολογισμό της πιθανότητας Piεπιλογή της SIV Hi(j) με πιθανότητα sim PiΑν έχει επιλεχθεί το Hi(j)

Αντικατάσταση του Hi(j) με ένα τυχαία δημιουργημένο SIVend

end΄Οπως και παραπάνω ο ελιτισμός μπορεί να υλοποιηθεί θέτοντας πιθανότητα με-

τάλλαξης μηδενική για την περιοχή με τη βέλτιστη λύση p Από τον παραπάνω

ορισμό βλέπουμε ότι πρέπει η μετάλλαξη να έχει κατάλληλους περιορισμούς ώστε

να καταλήγει σε HSI που να υπακούν στους περιορισμούς των SIVs

Ορισμός 9 Μία συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος Ψ ( m n λ μ Ω Μ) Hn rarr Hn

είναι μία εξάδα που τροποποιεί το οικοσύστημα από μία επανάληψη στην επόμενη

Η συνάρτηση τροποποίησης του οικοσυστήματος μπορεί να γραφεί ως εξής

ψ = λn micron Ωn HSIn Mn HSI (214)

Η συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος λοιπόν ξεκινάει υπολογίζοντας τους ρυθ-

μούς μετανάστευση προς και από μία περιοχή Εν συνεχεία λαμβάνει χώρα η τρο-

ποποίηση των περιοχών ακολουθούμενη από έναν επαναϋπολογισμό των HSI

Τέλος εφαρμόζεται μετάλλαξη και ξαναϋπολογίζονται οι HSI κάθε περιοχής

Ορισμός 10 ΄Ενας BBO αλγόριθμος BBO(Ι Ψ Τ) είναι μία τριάδα που προτείνει μία λύση σε

ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης I empty rarr Hn HSIn είναι μία συνάρτηση η οποία

παράγει ένα αρχικό οικοσύστημα περιοχών και υπολογίζει τις αντίστοιχες HSI Ψείναι μία συνάρτηση τροποποίησης οικοσυστήματος όπως ορίστηκε παραπάνω και

T Hn rarr true false είναι ένα κριτήριο τερματισμού του αλγόριθμου

Η συνάρτηση Ι μπορεί να υλοποιηθεί με μία γεννήτρια τυχαίων αριθμών ευρετι-

κών λύσεων στο πρόβλημα βελτιστοποίησης ή με οιαδήποτε άλλη διαδικασία που

να εξαρτάται από το πρόβλημα Το Τ μπορεί να εξαρτάται από τον αριθμό των

Ψ επαναλήψεων το HSI της βέλτιστης περιοχής ή οποιοδήποτε άλλο κριτήριο

βάση του προβλήματος Οπότε ο αλγόριθμος BBO μπορεί να περιγραφεί από το

παρακάτω

Ι

όσο δεν ισχύει το Τ

Ψ

end

Μία απλουστευμένη περιγραφή του BBO αλγόριθμου θα μπορούσε να είναι η παρακάτω

1 Αρχικοποίηση των παραμέτρων του αλγορίθμου Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρεθεί μία μέθοδος

χαρτογράφησης των λύσεων του προβλήματος σε SIVs και περιοχές σύμφωνα με το πρόβλημα

Ακόμα αρχικοποιούμε ή ορίζουμε το μέγιστο αριθμό ειδών Smax τους μέγιστους ρυθμούς μετα-

νάστευσης Ε και Ι το μέγιστο ρυθμό μετάλλαξης mmax και μία παράμετρο ελιτισμού Πρέπει να

σημειωθεί ότι ο μέγιστος αριθμός ειδών και οι μέγιστοι ρυθμοί μετανάστευσης είναι αλληλοεξαρ-

τώμενα μεγέθη Οπότε αν όλα αλλάζουν κατά το ίδιο ποσοστό η συμπεριφορά του ΒΒΟ δεν θα

αλλάζει Αυτό συμβαίνει γιατί άν τα Ε Ι και Smax αλλάξουν οι ρυθμοί μετανάστευσης μ λ και ο

αριθμός των ειδών S θα αλλάξουν κατά την ίδια σχετική ποσότητα για όλες τις περιοχές ή λύσεις

2 Αρχικοποίηση μίας τυχαίας ομάδας περιοχών όπου κάθε περιοχή θα αντιστοιχεί σε πιθανή λύση

Αυτό είναι η υλοποίηση του συνόλου Ι

3 Για κάθε περιοχή καθορισμός των HSI για τον αριθμό ειδών S και των ρυθμών μετανάστευσης μ

και λ

15

4 Χρήση βάση πιθανοτήτων των ρυθμών μετανάστευσης για την τροποποίηση των μη ελιτίστικων

περιοχών και επαναϋπολογισμό των HSI αυτών

5 Για κάθε περιοχή ενημέρωση της πιθανότητας των αριθμών των ειδών βάση της εξίσωσης

Στη συνέχεια μετάλλαξη των μη ελιτίστικων περιοχών βάση των πιθανοτήτων τους και ξανά

υπολογισμός των HSI

6 Επιστροφή στο βήμα 3 για την επόμενη επανάληψη της διαδικασίας Η διαδικασία μπορεί

να σταματήσει μετά από έναν προκαθορισμένο αριθμό επαναλήψεων ή με την επίτευξη μίας

επιθυμητής λύσης Αυτή είναι η υλοποίηση του κριτηρίου τερματισμού Τ

Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι μετά από κάθε βήμα που αλλάζει κάτι σε μία περιοχή ή λύση πρέπει να

επαληθεύεται κάθε περιοχή ως πιθανή λύση του προβλήματος Αν όχι πρέπει να υπάρχει μία διαδικασία

η οποία να την τροποποιεί ώστε να γίνεται πιθανή λύση

Τέλος επειδή ένας τέτοιος αλγόριθμος θα συγκριθεί στη συνέχεια με τους υπόλοιπους που αναφέρ-

θηκαν παραπάνω είναι χρήσιμο να γίνουν πιο διακριτές οι διαφορές τους Η πρώτη τέτοια διαφορά είναι

ότι στους BBO αλγόριθμους δεν υπάρχει η έννοια της αναπαραγωγής ή των γενεών απογόνων όπως

υπάρχουν στους γενετικούς και τους εξελικτικούς αλγόριθμους Δεν δημιουργούνται καινούριες λύσεις

από κύκλο σε κύκλο αλλά εξελίσσονται οι υπάρχουσες Για τον ίδιο λόγο διαφέρει και από τους ACO(Ant Colony Optimization) αλγόριθμους Σαν λογική είναι πιο κοντά στους PSO (Particle SwarmOptimization) και DE (Differential Evolution) αλγόριθμους μιας και αυτοί διατηρούν και εξελίσσουν

τις υπάρχουσες λύσεις τους κάνοντας την κάθε λύση να μαθαίνει από τους γείτονες και να προσαρ-

μόζεται καθώς προχωράει ο αλγόριθμος Οι PSO αντιπροσωπεύουν κάθε λύση σαν ένα σημείο στο

χώρο και τις αλλαγές μεταξύ των επαναλήψεων του αλγόριθμου με διάνυσμα ταχύτητας ΄Ομως στους

αλγόριθμους αυτούς δεν αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η ταχύτητα των σημείων έχοντας αποτέλεσμα

τη μεταβολή των λύσεων Στους DE αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η αλλαγή αυτή γίνεται βάση των

διαφορών μεταξύ άλλων λύσεων Ακόμα οι DE δεν βασίζεται σε βιολογικές αρχές Οι BBO αλγόριθμοι

μπορούν να διαχωριστούν από τους DE και PSO στο χαρακτηριστικό ότι αλλάζουν άμεσα τις λύσεις

τους ανταλλάσσοντας χαρακτηριστικά μεταξύ τους μέσω της μετανάστευσης

16

Κεφάλαιο 3

Κεραίες

31 Γενικά

Με τον όρο umlκεραίαrsquo αναφερόμαστε σε μία διάταξη που είναι σχεδιασμένη να δέχεται ηκαι να εκπέμπει

ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Είναι μία διάταξη η οποία μετατρέπει ηλεκτρομαγνητική ενέργεια που

οδεύει σε μια γραμμή μεταφοράς ή ένα κυματοδηγό σε ηλεκτρομαγνητικό κύμα στο χώρο και viceversa Οι κεραίες είναι είτε παθητικές

1 είτε τροφοδοτούμενες

2

Λόγω της μεγάλης ανάπτυξης των τηλεπικοινωνιών και των πολλών συστημάτων που χρησιμοποιούν-

ται3 έχει αναπτυχθεί μια τεράστια ποικιλία κεραιών ώστε να καλύπτουν τις ειδικές ανάγκες διαφόρων

εφαρμογών και να διευκολύνεται η κατασκευή και ένταξή τους στο φυσικό και δομημένο περιβάλλον

Η μεγάλη αυτή ποικιλία συστημάτων κεραιών επιβάλει τον διαχωρισμό τους σε κατηγορίες βάσει της

μορφής τους και της αρχής λειτουργίας τους Αλλά σε όποια κατηγορία και να ανήκει μία κεραία έχει

κάποια βασικά χαρακτηριστικά

32 Χαρακτηριστικά κεραιών

Σε μία κεραία αυτό που μας ενδιαφέρει είναι το πώς εκπέμπει ή λαμβάνει στο χώρο ή αλλιώς οι ιδιότητες

ακτινοβολίας (μακρινού πεδίου4) Η γραφική παράσταση των ιδιοτήτων αυτών γίνεται με το διάγραμμα

ακτινοβολίας της Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας κεραίας είναι δηλαδή η τρισδιάστατη γραφική

παράσταση των ιδιοτήτων ακτινοβολίας της κεραίας Βρίσκεται με μετρήσεις κάποιου μεγέθους με

τη μετατόπιση μίας πρόμπας γύρω από την κεραία Παριστάνει τη γωνιακή κατανομή του μέτρου της

έντασης του πεδίου της πυκνότητας ισχύος ή της έντασης ακτινοβολίας Επειδή θέλουμε το διάγραμμα

ακτινοβολίας να δίνει τη γενική συμπεριφορά της κεραίας σε οποιοδήποτε σήμα μπορεί να λάβει ή να

εκπέμψει οι τιμές είναι κανονικοποιημένες5

Τα διαγράμματα ακτινοβολίας σχεδιάζονται και για

την ικανότητα εκπομπής και λήψης μίας κεραίας και για συγκεκριμένη είναι τα ίδια (εκπομπής και λήψης)

Από τα διαγράμματα ακτινοβολίας βλέπουμε σε ποια σημεία του χώρου η κεραία εκπέμπει (ή αν

1Αποτελούνται μόνο από παθητικά στοιχεία απλά μετατρέπουν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα σε ηλεκτρομαγνητική ενέρ-

γεια χωρίς κάποια επεξεργασία του σήματος2΄Εχουν και ενεργά στοιχεία τα οποία μπορούν να κάνουν ενίσχυση σήματος ή ακόμα και επεξεργασία σήματος όπως

πχ μεταβολή συχνότητας3Από τις πιο μικρές ηλεκτρονικές συσκευές πχ πομποί GPS (Global Positioning System) μέχρι μεγάλα συστήματα

πχ δορυφόροι οπουδήποτε εφαρμόζεται ασύρματη επικοινωνία απαραίτητο εξάρτημα είναι μία κεραία4Ο χώρος γύρω από μία κεραία ως προς την κεραία χωρίζεται σε μακρινό και κοντινό πεδίο Στο κοντινό πεδίο

το διάγραμμα επηρεάζεται έντονα από τις επαγωγικές και χωρητικές συνιστώσες που εμφανίζονται στην κεραία κατά τη

ροή του ρεύματος ενώ στο μακρινό όχι και γι΄ αυτό το διάγραμμα του μακρινού πεδίου είναι σταθεροποιημένο ενώ του

κοντινού όχι Τα διαγράμματα που δίνουν οι κατασκευαστές είναι διαγράμματα μακρινού πεδίου Διάκριση μεταξύ μακρινού

και κοντινού πεδίου γίνεται βάσει της απόστασης από την κεραία όπου για R gt 2lowastD2

λ θεωρούμε μακρινό πεδίο όπου λ

είναι το μήκος κύματος D η διάμετρος της κεραίας και R η απόσταση από αυτήν5Λόγω των κανονικοποιημένων τιμών του διαγράμματος ακτινοβολίας το διάγραμμα πυκνότητας ισχύος και έντασης

ακτινοβολίας είναι ταυτόσημα

17

είναι διάγραμμα λήψης λαμβάνει) τη μεγαλύτερη και σε ποια τη μικρότερη ισχύ Το τρισδιάστατο

της περιγραφής επιτυγχάνεται με το συνδυασμό δύο διαγραμμάτων το κάθετο (κάθετη τομή στον

τρισδιάστατο χώρο) και το οριζόντιο (οριζόντια τομή) Η κεραία θεωρείται στο κέντρο του διαγράμματος

και το διάγραμμα συνδέει στην ουσία τον χώρο με την ακτινοβολούμενη ισχύ ή με την ικανότητα

λήψης ισχύος για διάγραμμα εκπομπής και λήψης αντίστοιχα και είναι όπως προαναφέρθηκε η

γραφική αναπαράσταση της συμπεριφοράς της κεραίας στο χώρο Μας δείχνει σε ποιες περιοχές του

χώρου εκπέμπει και πόση ισχύ ή αντίστοιχα από ποιες περιοχές του χώρου και πόση ισχύ μπορεί

να λάβει η κεραία Είτε επειδή δε θέλουμε σπατάλη ισχύος σε rdquoαδιάφορεςrdquoπεριοχές είτε επειδή δεν

θέλουμε να παρεμβάλλουμε δημιουργώντας θόρυβο σε άλλες κεραίες κατά την εκπομπή και είτε επειδή

θέλουμε να λαμβάνουμε τη μέγιστη δυνατή ισχύ αν ξέρουμε από που λαμβάνουμε και να μειώνουμε

το θόρυβο από τις άλλες πηγές τα διαγράμματα ακτινοβολίας είναι πολύ χρήσιμα στο σχεδιασμό μίας

κεραίας Τέλος μία άλλη χρήση είναι η σύγκριση κεραιών είτε γενικά είτε για συγκεκριμένες εφαρμογές

Σχήμα 31 Διάγραμμα ακτινοβολίας

Στο διπλανό σχήμα () φαίνεται ένα τυπικό και αρκετά

απλοποιημένο διάγραμμα ακτινοβολίας Σε αυτό διακρίνουμε

τον κύριο λοβό που είναι το τμήμα η μεγαλύτερη κλειστή

καμπύλη που διακρίνεται από το γεγονός ότι έχει τη μέγιστη

τιμή στο διάγραμμα Συνήθως τα διαγράμματα ακτινοβολίας

είναι πολικά όπως αυτό του σχήματος 31 με βαθμονόμηση

από 0μέχρι 360

και ο κύριος λοβός στη γενική περίπτωση

τοποθετείται στις 0 Ο λοβός που βρίσκεται στις 180

ονο-

μάζεται οπίσθιος λοβός και οι υπόλοιποι λοβοί ονομάζονται

πλευρικοί Ανάλογα με την περίπτωση οι υπόλοιποι εκτός του

κύριου είναι ανεπιθύμητοι είτε επιθυμητοί και προσπαθούμε

αντίστοιχα να τους καταστείλουμε ή να τους ενισχύσουμε

Οι πλευρικοί λοβοί οφείλονται σε φαινόμενα καταστροφικής

ή εποικοδομητικής συμβολής των κυμάτων που εκπέμπονται

από τη κεραία Η κλίμακα στο διάγραμμα είναι σε deciBellκαι τα μεγέθη είναι κανονικοποιημένα

6 ΄Ετσι η μέγιστη τιμή θα είναι στα 0 db και οι υπόλοιπες

σε αρνητικές τιμές Τα διαγράμματα αυτά έχουν τέτοια βαθμονόμηση γιατί θέλουμε να εκφράζουν

ποιοτικά τη συμπεριφορά της κεραίας αλλά και γιατί οι τιμές έντασης ή ισχύος που θέλουμε να αναπα-

ραστήσουμε είναι πολλών τάξεων μεγέθους και θα θέλαμε πολύ μεγάλα διαγράμματα για κανονικές τιμές

΄Ενα πιο αναλυτικό διάγραμμα ακτινοβολίας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () και είναι διάγραμμα

μίας κεραίας Yagi-Uda Οι κύκλοι που φαίνονται στο διάγραμμα αντιστοιχούν στις τιμές -3 -10 -20

-30 και -40 dB και είναι χωρισμένοι σε τμήματα των 10 Οι κύκλοι αυτοί δείχνουν τα σημεία που

έχει μειωθεί το μέγεθος στο 50 στο 10 στο 1 στο 01 και στο 001 αντίστοιχα Η

γωνία των σημείων στα οποία ο κύριος λοβός τέμνει τον πρώτο κύκλο ονομάζεται γωνία ημίσειας ισχύος

Σχήμα 32 Καρτεσιανό διάγραμμα

Εκτός των πολικών διαγραμμάτων υπάρχουν και τα καρτεσιανά

τα οποία είναι η καρτεσιανή προβολή των πολικών Παράδειγμα

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () όπου φαίνεται το άνοιγμα μισής

ισχύος και το επίπεδο του πρώτου πλευρικού λοβού Επειδή τα

διαγράμματα ακτινοβολίας σχηματίζονται όπως προαναφέρθηκε

και αφορούν τη χωρική συμπεριφορά μίας κεραίας στο μακρινό

πεδίο οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε την κεραία ως σημείο

τα καρτεσιανά διαγράμματα δεν έχουν καλή αναπαράσταση της

πραγματικότητας Αλλά είναι αρκετά χρήσιμα στη μελέτη κεραιών

και στην καλύτερη εποπτεία των χαρακτηριστικών της από τα πολικά και για το λόγο αυτό σχεδιάζονται

και χρησιμοποιούνται κατά κόρον

6΄Ενα κανονικοποιημένο διάγραμμα έχει την ίδια μορφή με ένα μη κανονικοποιημένο με μόνη αλλαγή την κλίμακα και

ότι τα μεγέθη είναι ο λογάριθμος του λόγου της τιμής προς τη μέγιστη

18

Σχήμα 33 Διάγραμμα ακτινοβολίας Yagi-Uda κεραίας

Από ένα διάγραμμα ακτινοβολίας μπορούμε να βρούμε τα παρακάτω χαρακτηριστικά μίας κεραίας (ή

και παραμέτρους του διαγράμματος όπως αναφέρονται συχνά)

Σχήμα 34 Ισοτροπική και μη

bull Κατευθυντικότητα δείκτης της ικανότητα της κεραίας να

συγκεντρώσει την ακτινοβολία εκπομπής προς μία συγκεκριμένη

κατεύθυνση και βρίσκεται αναφορικά με μία ιδανική (ισοτροπική)

κεραία Η σύγκριση την όποιας κεραίας με μία ισοτροπική φαίνεται

στο διπλανό σχήμα () Τα εμβαδά είναι ίσα οπότε εκπέμπουν

και οι δύο την ίδια ισχύ αλλά στην επιθυμητή κατεύθυνση η μη

ισοτροπική στέλνει μεγαλύτερη ισχύ Η κατευθυντικότητα λοιπόν

είναι η διαφορά σε dB των δύο διαγραμμάτων στην κατεύθυνση

του μεγίστου Είναι αντιστρόφως ανάλογη με το εύρος του κυρίως

λοβού

bull Εύρος δέσμης μισής ισχύος οριζόντιου και κάθετου επιπέδου ( HPBW )

αναφέρεται στην ενεργό περιοχή κάλυψης της κεραίας και ορίζεται ώς η γωνία μεταξύ των σημείων

του κύριου λοβού όπου η ισχύς είναι μισή της μέγιστης ή σε dB 3dB κάτω από την μέγιστη και

προσδιορίζει την περιοχή που εμφανίζεται μέγιστη εκπομπή ενώ εκτός της περιοχής αυτής η ισχύς

μειώνεται πολύ γρήγορα

bull Εύρος δέσμης επίπεδο (dB) πρώτων σημείων μηδενισμού οριζόντιου καικάθετου επιπέδου (FNBW) ορίζεται ως η γωνία μεταξύ των δύο πρώτων μηδενισμών του

μεγέθους εκατέρωθεν του κύριου λοβού

bull Λόγος κύριου προς οπίσθιο λοβό (FB)

bull Επίπεδα (dB) και εύρος γωνιών πλευρικών λοβών και οπίσθιων λοβώνbull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με τον αμέσως μικρότερο λοβό του διαγράμ-ματος ακτινοβολίας

bull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με όλους τους υπόλοιπους του διαγράμματοςακτινοβολίας

bull Λόγος κύριου προς επόμενο μεγαλύτερο λοβό (Side-Lobe Level) ορίζεται ως ο λόγος

του μεγίστου του κυρίως λοβού προς τον αμέσως μικρότερο πλευρικό λοβό (SLL = MainLobeMaxSideLobe

dB)

και είναι ένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά μίας κεραίας Πολλές φορές αναφέρεται και ώς επίπεδο

πλευρικών λοβών

Τα χαρακτηριστικά μίας κεραίας μπορούν να υπολογιστούν και να περιγραφούν όχι μόνο βάσει του

19

διαγράμματος ακτινοβολίας της Μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της μετρώντας και υπολο-

γίζοντας κατάλληλα μεγέθη και κάνοντας χρήση γνωστών μαθηματικών τύπων

bull Συνολική ακτινοβολούμενη ενέργεια η συνολική (ή μέσος όρος) ενέργεια που ακτινο-

βολεί μία κεραία και υπολογίζεται από τον τύπο

Prad = Pav =

lsaquoS

~Wrad middot d~s =

lsaquoS

~Wav middot n middot da =1

2

lsaquoS

lt( ~E times ~H) middot d~s (31)

όπου Wrad=πυκνότητα ακτινοβολίας

bull ΄Ενταση ακτινοβολίας η ενέργεια που εκπέμπεται από μία κεραία ανά μονάδα στερεάς γωνίας

U = r2 middotWrad (32)

όπου r=απόσταση

bull Κατευθυντικότητα είναι ο λόγος της ακτινοβολούμενης ενέργειας σε μία συγκεκριμένη κα-

τεύθυνση προς το μέσο όρο εκπεμπόμενης ακτινοβολίας σε όλες τις κατευθύνσεις ΄Η αλλιώς

η ένταση προς μία συγκεκριμένη κατεύθυνση προς την αντίστοιχη τιμή της αν ακτινοβολούσε

ισοτροπικά

D =U

Uo=

4pU

Prad(33)

΄Αν δεν ορίζεται κατεύθυνση σαν κατευθυντικότητα αναφέρεται η μέγιστη κατευθυντικότητα μίας

κεραίας

bull Κέρδος αν και συνδέεται με την κατευθυντικότητα είναι μία παράμετρος της κεραίας που λαμ-

βάνει υπόψιν και την αποδοτικότητα της κεραίας αλλά και τις δυνατότητες κατευθυντικότητας

Απόλυτο κέρδος κεραίας (σε συγκεκριμένη κατεύθυνση) ορίζεται ο λόγος της έντασης ακτινοβο-

λίας προς την ένταση ακτινοβολίας που θα είχε στη συγκεκριμένη κατεύθυνση άν όλη η ενέργεια

εισόδου της κεραίας εκπεμπόταν ισοτροπικά

κέρδος = 4π middot ένταση ακτινοβολίας

συνολική εισερχόμενη ενέργεια= 4π

U(θ φ)

Pinputrarr

G = 4π U(θφ)Pinput (ιδανικής ισοτροπικής πηγής)

(34)

bull Απόδοση κεραίας είναι ένας δείκτης που λαμβάνει υπόψιν τις απώλειες ενέργειας από την

είσοδο στην έξοδο της κεραίας λόγω πολλών φαινομένων Γενικά η συνολική απόδοση μίας

κεραίας δίνεται από τον τύπο

eo = er middot ec middot ed (35)

όπου eo είναι η συνολική απόδοση er είναι η απόδοση λόγω απωλειών ανακλάσεων (λόγω κακής

προσαρμογής) (= 1minus|Γ|2) ec είναι η απόδοση λόγω απωλειών αγωγιμότητας ed είναι η απόδοση

που οφείλεται στο διηλεκτρικό και Γ ο συντελεστής ανάκλασης τάσης

bull Απόδοση δέσμης είναι μία παράμετρος ποιότητας μίας κεραίας και ορίζεται από το λόγο της

ενέργειας που ακτινοβολείται από τον κύριο λοβό της κεραίας (με το λοβό σε γωνία θ0) προς τη

συνολική

BE =

acute 2π0

acute θ0U(θ φ)sin(θ)dθdφacute 2π

0

acute π0U(θ φ)sin(θ)dθdφ

(36)

όπου θ1 είναι η γωνία μισής ισχύος ΄Αν θεωρήσουμε το θ1 στην κατεύθυνση του πρώτου μηδενι-

σμού τότε θα έχουμε το λόγο της ισχύος του κυρίως λοβού προς τη συνολική

bull Εύρος σαν εύρος μιας κεραίας ορίζεται το εύρος των συχνοτήτων (bandwidth) στις οποίες

μπορεί να λειτουργήσει αποδοτικά βάσει κάποιων χαρακτηριστικών της πχ να έχει εύρος κύριου

λοβού εντός συγκεκριμένων ορίων διατηρώντας μία ελάχιστη τιμή SLL

20

33 Κατηγορίες κεραιών

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω οι κεραίες χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με τα μορ-

φολογικά αλλά και λειτουργικά χαρακτηριστικά τους Βάσει του τρόπου με τον οποίο εκπέμπουν ή

λαμβάνουν ή αλλιώς βάσει του διαγράμματος ακτινοβολίας τους χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες

bull Ισοτροπικές μία ισοτροπική κεραία ορίζεται ως μία υποθετική (ιδανική) κεραία η οποία ακτινο-

βολεί το ίδιο προς όλες τις κατευθύνσεις Δεν έχει κάποια πραγματική εφαρμογή στα τηλεπικοι-

νωνιακά συστήματα γιατί η ισχύς της εκπέμπεται προς όλες τις κατευθύνσεις το ίδιο προκαλώντας

μεγάλες απώλειες ισχύος σε ανεπιθύμητες κατευθύνσεις ΄Εχει μόνο θεωρητική αξία στη μελέτη

κεραιών και στον ορισμό κάποιων παραμέτρων των κεραιών όπως το κέρδος που είδαμε παραπάνω

bull Κατευθυντικές μία κατευθυντική κεραία ορίζεται ως η κεραία που έχει την ικανότητα να

εκπέμπει ή να λαμβάνει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αποτελεσματικότερα προς κάποιες κατευ-

θύνσεις Είναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κεραίες και η εξέλιξη αυτών είναι οι έξυπνες

κεραίες που ανάλογα με τις ανάγκες της κάθε συσκευής και τα χαρακτηριστικά του χώρου που

βρίσκεται μπορούν να αλλάξουν τη γωνία μέγιστης εκπομπής κάνοντας βέλτιστη χρήση της α-

κτινοβολούμενης ισχύος της

bull Πανκατευθυντικές μία πανκατευθυντική κεραία είναι μία κεραία η οποία ακτινοβολεί σαν

κατευθυντική εκτός από ένα επίπεδο στο οποίο εκπέμπει ή λαμβάνει ισοτροπικά Η χρήση τους

είναι κυρίως στα μέσα μαζικής επικοινωνίας όπου χρειάζεται κάλυψη του χώρου 360 μοιρών στο

οριζόντιο επίπεδο αλλά πολύ μικρής γωνίας στο κάθετο

Βάσει των μορφολογικών χαρακτηριστικών τους χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες Η κάθε

κατηγορία έχει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της που την καθιστούν κατάλληλη για κάποια

εφαρμογή και ακατάλληλη για κάποια άλλη Παρακάτω αναφέρονται οι κατηγορίες αυτές των κεραιών

με τα βασικά χαρακτηριστικά της κάθε μίας

bull Κεραίες σύρματος Είναι απλές κεραίες κατασκευασμένες από αγώγιμο υλικό συνήθως

κυκλικής διατομής Πολλές φορέα σχηματίζονται από πολλούς αγωγούς κατάλληλα συζευγμένους

μεταξύ τους σε πλέγματα διαφόρων σχημάτων που είτε δημιουργούν μία επιφάνεια είτε μία γραμμική

κεραία Η απλούστερη γραμμική κεραία είναι η κεραία διπόλου τα χαρακτηριστικά της οποίας είναι

ανάλογα με το σχετικό μήκος της ως προς το μήκος κύματος της ακτινοβολίας για την οποία προορίζε-

ται7 Οι συγκεκριμένες είναι πολύ απλές στην κατασκευή πολύ συχνά απλά συρμάτινες Αποτελείται

από ένα δίπολο του οποίου (συνήθως) η τροφοδοσία8είναι στη μέση Πλεονεκτήματα των κεραιών

αυτών είναι το κόστος το μέγεθος και η δυνατότητα κάλυψης μεγάλης περιοχής συχνοτήτων ενώ

έχουν το μειονέκτημα της χαμηλής απόδοσης λόγω των διαστάσεων τους Καλύτερα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης έχουν οι διπολικές κεραίες των οποίων το μήκος είναι της τάξης του μήκους κύματος

Σχήμα 35 Κεραία διπόλου

Μία κεραία σύρματος χαρακτηρίζεται ως rdquoλεπτήrdquoόταν η διάμε-

τρος του αγωγού είναι μικρότερη από 001λ Ανάλογα με το σχήμα

της χαρακτηρίζεται ως ευθύγραμη κεραία V ή πτυσσόμενη Στο

διπλανό σχήμα () φαίνονται μία ευθύγραμμη και μία πτυσσόμενη

διπολική κεραία Στις πτυσσόμενες σημαντική είναι η γωνία που

σχηματίζουν οι βραχίονες τους έχοντας βρεθεί ότι η μέγιστη

κατευθυντικότητα επιτυγχάνεται για γωνία α = 60λh

+ 380

όπου h είναι το μήκος του βραχίονα και λ το μήκος κύματος τη

ακτινοβολίας και ότι Dmax = 12 + 23hλ9

7Μία κεραία χαρακτηρίζεται ως ηλεκτρικά μικρή όταν οι διαστάσεις της είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος

της ακτινοβολίας8Με τον όρο τροφοδοσία εννοούμε το υπόλοιπο σύστημα το οποίο τροφοδοτεί η κεραία με το σήμα που λαμβάνει στην

περίπτωση κεραίας λήψης ή από το οποίο τροφοδοτείται με το σήμα που θα εκπέμψει στην περίπτωση κεραίας εκπομπής

9Η σχέση αυτή είναι εμπειρική και ισχύει για 05 lt h

λ lt 3

21

Σχήμα 36 Κεραία Yagi-Uda

Μία εξέλιξη των παραπάνω κεραιών είναι οι κεραίες Yagi-Udaπου ένα διάγραμμα ακτινοβολίας τέτοιας κεραίας παρατέθηκε

παραπάνω () Είναι ευθύγραμμες διπολικές κεραίες που α-

ποτελούνται από πέραν του ενός δίπολα τα οποία όμως δεν

τροφοδοτούνται όλα Τα μη τροφοδοτούμενα δίπολα ονομάζονται

παρασιτικά και τροφοδοτούνται επαγωγικά από τα υπόλοιπα Οι

κεραίες αυτές παρουσιάζουν αυξημένη κατευθυντικότητα σχετικά

με τις μη παρασιτικές κεραίες διπόλων Η πρώτη τέτοια κεραία

κατασκευάστηκε το 1926 και αποτελούταν από τρία δίπολα ένα

ενεργό και δύο παρασιτικά Στην περίπτωση που το παρασιτικό

δίπολο έχει μεγαλύτερο μήκος από του ενεργού ονομάζεται

ανακλαστήρας ενώ αν έχει μικρότερο ονομάζεται κατευθυντήρας

Μία γενική μορφή τέτοιας κεραίας φαίνεται στο διπλανό σχήμα με LR το μήκος του ανακλαστήρα και

LD το μήκος του κατευθυντήρα

bull Στοιχειοκεραίες Μία εξέλιξη των συρμάτινων κεραιών είναι οι στοιχειοκεραίες Οι

στοιχειοκεραίες αποτελούνται από πολλές κεραίες διπόλων τα στοιχεία τα οποία ενώνονται όλα σε

μία κοινή τροφοδοσία και αυτή είναι η βασική τους διαφορά από τις Yagi-Uda που έχουν παρασιτικά

στοιχεία και ο λόγος που οι τελευταίες δε θεωρούνται στοιχειοκεραίες Συστοιχείες λοιπόν πολλών

κεραιών φτιάχνουν τις στοιχειοκεραίες Ανάλογα με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της συστοιχίας

υπάρχουν κάποια είδη στοιχειοκεραιών όπως είναι οι γραμμικές (μία συστοιχία σε ευθεία γραμμή) και

οι επίπεδες (συστοιχείες συστοιχείων) Λόγω της ταυτόχρονης χρήσης πολλών κεραιών μπορούν να

συνδυάσουν τα χαρακτηριστικά τους δίνοντας δυνατότητα πολύπλοκων κατευθυντικών διαγραμμάτων

καθιστώντας τες κατάλληλες για πολλές εφαρμογές Συγκριτικά με μία κεραία μεγάλου μήκους που

θα έχει τα ίδια κατευθυντικά χαρακτηριστικά παρουσιάζει το πλεονέκτημα της εύκολης τροφοδο-

σίας της μηχανικής αντοχής και του μικρού κόστους εγκατάστασης και λειτουργίας Τέλος με

κατάλληλη τροφοδοσία του κάθε στοιχείου της μπορούμε να αλλάξουμε τα κατευθυντικά χαρακτηρι-

στικά της ΄Εχουν πολλές γεωμετρικές μορφές αλλά και είδη που θα αναφερθούν σε επόμενη παράγραφο

bull Κεραίες βρόχου ή πλαισίου Μία κεραία βρόχου αποτελείται από έναν κλειστό αγωγό σε

σχήμα βρόχου (ή και βρόχων) ο οποίος τροφοδοτείται σε ένα σημείο του Χωρίζονται σε κεραίες μικρού

και μεγάλου βρόχου συγκριτικά με το μήκος κύματος στο οποίο χρησιμοποιούνται10

Οι μικρού

βρόχου έχουν χαμηλή απόδοση και χρησιμοποιούνται κατά κόρον σε δέκτες χαμηλών συχνοτήτων

Εκτός από τους ραδιοφωνικούς δέκτες των αυτοκινήτων στους οποίους γίνεται μεγάλη χρήση των

κεραιών μικρού βρόχου το μεγαλύτερο ποσοστό των δεκτών AM χρησιμοποιούν τέτοιες κεραίες

Οι μεγάλου βρόχου έχουν ευρεία χρήση στους δέκτες VHF και UHF έχοντας και το επιπλέον

χαρακτηριστικό της μεταβλητής περιφέρειας δίνοντας δυνατότητα μεγαλύτερου εύρους συχνοτήτων

Γενικά οι κεραίες βρόχου είναι κεραίες με μεγάλη κατευθυντικότητα κάτι που τις κάνει ιδανικές σε

εφαρμογές εύρεσης κατεύθυνσης σήματος

bull Ελικοειδής κεραίες Μία ελικοειδής κεραία αποτελείται από έναν αγωγό που έχει τη μορφή

έλικας στον οποίο η τροφοδοσία είναι στο ένα του άκρο Αποτελεί συνδυασμό κεραίας βρόχου και

γραμμικής κεραίας οπότε μπορεί να εκπέμπει με δύο τρόπους (ρυθμούς) αξονικά και κάθετα στον άξονα

της έλικας κάτι που της δίνει βελτιωμένα χαρακτηριστικά συγκριτικά με τις δύο αυτές κατηγορίες

Χρησιμοποιείται κατά κόρον όπου απαιτείται κυκλική πόλωση σήματος σαν πομπός ή σε σήματα που

έχουν κυκλική πόλωση σαν δέκτης και έχει αρκετά μεγάλο εύρος ζώνης συχνοτήτων Ανάλογα με τα

χαρακτηριστικά που πρέπει να έχει μία ελικοειδής κεραία μπορεί να είναι ομοιόμορφη (όλες οι έλικες

ίδια διάμετρο) αυξανόμενης ελαττούμενης και αυξο-ελαττούμενης διαμέτρου ελίκων

bull Δικωνικές κεραίες ΄Αν δύο V ενωθούν κατακορυφήν σχηματίζεται μία δικωνική κεραία οι

οποίες έχουν αυξημένο εύρος συχνοτήτων Πολλές δικωνικές κεραίες έχουν τη δυνατότητα μεταβολής

10Σαν κεραία μικρού βρόχου θα χαρακτηριστεί η κεραία της οποίας η περιφέρεια θα είναι ίση ή μικρότερη από το ένα

δέκατο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας

22

του μήκους του βραχίονα τους δίνοντας ακόμα μεγαλύτερο εύρος Αν μία από τις δύο V κεραίες

αντικατασταθεί από μία αγώγιμη επιφάνεια σε σχήμα δίσκου έχουμε τη δισκωνική κεραία στην οποία

ο δίσκος λειτουργεί ως ανακλαστήρας Είναι κεραίες μικρής κατευθυντικότητας και χαμηλού κέρδους

και χρησιμοποιούνται πολύ σαν κεραίες ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών εκπομπών

bull Σπειροειδής κεραίες Οι σπειροειδής κεραίες είναι κεραίες με μεγάλο εύρος ζώνης

συχνοτήτων και μεγάλης κατευθυντικότητας Αποτελούνται από μία ή δύο αγωγούς που έχουν σχήμα

σπείρας και όσο μικρότερη γωνία ανοίγματος σπείρας έχουν τόσο μεγαλύτερη κατευθυντικότητα

Μπορεί να είναι επίπεδες ή κωνικές και η πόλωση του σήματος που λαμβάνουν ή εκπέμπουν είναι

ανάλογη με τη φορά των σπειρών Το εύρος συχνοτήτων τους δίνεται από το λόγο μεγαλύτερης προς

μικρότερης διαμέτρου άν και στην πραγματικότητα είναι λίγο μικρότερο του λόγου αυτού Μία αρκετά

διαδεδομένη σπειροειδής κεραία είναι η rdquoσπειροειδής του Αρχιμήδηrdquoη οποία αποτελείται από δύο σπε-

ίρες με r1 = r0φ και r2 = r0(φminusπ) οι οποίες συνήθως κατασκευάζονται πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα11

bull Κεραίες χοάνης Οι κεραίες χοάνης αποτελούνται από έναν αγωγό ο οποίος είναι από το

ένα άκρο του ανοιχτός και διεγείρεται από το άλλο του άκρο Με σωστή ρύθμιση έχουν μεγαλύτερη

απόδοση από τις συρμάτινες Ανάλογα με το σχήμα του αγωγού μπορεί να υπάρχουν αρκετά είδη

τέτοιων κεραιών τρία εκ των οποίων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα () Η κατευθυντικότητα της

είναι ανάλογη της γωνίας ανοίγματος της Στην πράξη συναντούμε ελάχιστες κεραίες χοάνης μόνες

τους αλλά σε συνδυασμό με έναν ανακλαστήρα έχουν πολύ διαδεδομένη χρήση λόγω της πολύ μεγάλης

κατευθυντικότητας που προσφέρουν ειδικά στις περιπτώσεις που ο ανακλαστήρας είναι παραβολικός

όπου υπάρχει η δυνατότητα παραγωγής πολύ στενής δέσμης υψηλού κέρδους και χαμηλού θορύβου

Χρησιμοποιούνται πολύ στις δορυφορικές επικοινωνίες και η πιο συνηθισμένη τους μορφή είναι τα umlπιάταrsquo

που χρησιμοποιούνται για τη λήψη δορυφορικών σημάτων

Σχήμα 37 Κεραίες χοάνης α)τομέας β)πυραμοειδής και γ)κωνική

bull Λογαριθμικές περιοδικές κεραίες Είναι κεραίες των οποίων τα μορφολογικά χα-

ρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με την απόσταση από την αρχή της κεραίας Υπάρχει ένα

επαναλαμβανόμενο στοιχείο κεραίας το οποίο μεγαλώνει όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της

κεραίας Μπορεί να είναι μία πλάκα με οδοντώσεις το μέγεθος των οποίων μεταβάλλεται ένα σύρμα

11Οι κεραίες που είναι κατασκευασμένες πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα ή αλλιώς σε μικροταινίες ανήκουν και στην

κατηγορία των μικροταινιακών κεραιών πολύ διαδεδομένη στις ηλεκτρονικές φορητές συσκευές που λειτουργούν στην

περιοχή των μικροκυμάτων (λόγω διαστάσεων κεραιών είναι ιδανικές για την περιοχή αυτή)

23

Σχήμα 38 Λογαριθμική περιοδική κεραία

το οποίο διπλώνεται κατάλληλα και το μέγεθος της κάθε δίπλωσης μεταβάλλεται ή ακόμα και από

δίπολα το μήκος των οποίων μεταβάλλεται Πολλές κεραίες που ανήκουν σε παραπάνω κατηγορίες είναι

λογαριθμικές μπορεί να είναι λογαριθμικές αν η μεταβολή των επαναλαμβανόμενων στοιχείων ακολουθεί

το συγκεκριμένο πρότυπο Μία τέτοια φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () η οποία ανήκει στην

κατηγορία των στοιχειοκεραίων Λόγω των επαναλαμβανόμενων στοιχείων των οποίων συνδυάζουν τα

χαρακτηριστικά μπορούν να έχουν πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων και συγκεκριμένα εύρος μίας τάξης

μεγέθους επιτυγχάνεται εύκολα και μπορούν να έχουν και αρκετά μεγάλη κατευθυντικότητα Βρίσκουν

πολλές εφαρμογές στις επικοινωνίες υψηλών συχνοτήτων και ειδικά στα τηλεοπτικά σήματα αφού με

μία κεραία μπορεί κάποιος να λαμβάνει ικανοποιητικά όλα τα διαθέσιμα κανάλια χωρίς καμία προσαρμογή

34 Στοιχειοκεραίες

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω η μορφή του διαγράμματος εκπομπής και λήψης των κεραιών

εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της κεραίας Σε πολλές εφαρμογές απαιτούνται κεραίες μεγάλου

κέρδους ή αλλιώς μεγάλης κατευθυντικότητας Μία κεραία για να έχει μεγάλη κατευθυντικότητα

θα πρέπει να έχει πολύ μεγάλο μέγεθος Το πρόβλημα αυτό λύνεται φτιάχνοντας σύνθετες κεραίες

Κεραίες που αποτελούνται από μικρότερες κεραίες είτε όμοιες μεταξύ τους είτε ανόμοιες Τέτοιες

συστοιχίες κεραιών όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ονομάζονται στοιχειοκεραίες Το κάθε στοιχείο

μίας στοιχειοκεραίας μπορεί να είναι οποιασδήποτε μορφής κεραία (σύρματος οπής κλπ) με βασικό

χαρακτηριστικό όλα τα στοιχεία να έχουν κοινή τροφοδοσία Το συνολικό πεδίο θα είναι το διανυ-

σματικό άθροισμα των πεδίων κάθε στοιχείου ξεχωριστά Οπότε μπορούμε να έχουμε το επιθυμητό

πεδίο φτιάχνοντας την κεραία μας έτσι ώστε στα σημεία που θέλουμε μεγάλο κέρδος να συμβάλουν

εποικοδομητικά τα πεδία των στοιχείων της κεραίας και στα σημεία που δεν θέλουμε να ακτινοβολεί να

έχουμε καταστροφική συμβολή

Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας θα εξαρτάται από τους εξείς παράγοντες

bull Τη γεωμετρία της στοιχειοκεραίας ( γραμμικήκυκλικήορθογώνια σφαιρική κλπ)

bull Την απόσταση μεταξύ των στοιχείων της κεραίας

bull Την ένταση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

bull Τη φάση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

24

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Biogeography-Based Optimization (BBO)

Είναι ένας αλγόριθμος που βασίζεται στη βιογεωγραφία Η βιογεωγραφία μελετάει την ανάπτυξη και

εξέλιξη διαφόρων ειδών σε γειτονικές περιοχές τις οποίες ονομάζει umlνησιάuml Κάθε umlνησίrsquo είναι και μία

λύση του προβλήματος Τα είδη είναι οι παράμετροι της κάθε λύσης Κάθε λύση χαρακτηρίζεται από

τις μεταβλητές που ονομάζονται rdquoδείκτες καταλληλότητας rdquo(suitability index variables -SIVs)και οι

μεταβλητές αυτές ορίζουν μία τιμή για τον δείκτη καταλληλότητας περιοχής (habitat suitability index-HSI)Οι περιοχές με υψηλό δείκτη καταλληλότητας είναι και οι καλύτερες λύσεις Κάθε λύση τείνει

προς τη βέλτιστη παίρνοντας χαρακτηριστικά ή είδη από άλλες περιοχές μέσω του μηχανισμού της

μετανάστευσης Ο αλγόριθμος τερματίζει είτε μετά από προκαθορισμένο αριθμό κύκλων είτε μετά από

την επίτευξη κάποιου στόχου

Probability-Based Incremental Learning (PBIL)

Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στην δημιουργία και δειγματοληψία συνόλων πιθανών λύσεων με

αποκλειστικά πιθανοκρατικούς τρόπους για την εύρεση της βέλτιστης λύσης ενός προβλήματος Η

βελτιστοποίηση νοείται σαν μία βελτίωση του πιθανοκρατικού μοντέλου αρχίζοντας με ομοιόμορφης

κατανομής μοντέλο και καταλήγοντας σε ένα μοντέλο που παράγει βέλτιστες λύσεις Κύρια διαφορά με

τις μεθόδους που έχουν ήδη αναφερθεί είναι ότι η συγκεκριμένη μέθοδος παράγει κάθε φορά καινούριο

πληθυσμό μεταβάλλοντας το μοντέλο με το οποίο παράγεται ο πληθυσμός βάση της καταλληλότητας

του πληθυσμού που παράχθηκε ενώ οι προηγούμενοι μετέβαλλαν τον πληθυσμό τον ίδιο Αυτό το

χαρακτηριστικό κάνει τους αλγόριθμους που βασίζονται σε αυτή τη μέθοδο να είναι αποτελεσματικού

σε κάποια προβλήματα που άλλοι δεν μπορούν να βρουν βέλτιστη λύση όπως πχ σε προβλήματα

των οποίων κάποιες παράμετροι επηρεάζονται ή εξαρτώνται ισχυρά από κάποιες άλλες Η καθαρά

πιθανοκρατική μέθοδος που ακολουθεί εξαλείφουν τέτοια προβλήματα

Υπάρχουν και άλλοι αλγόριθμοι ή κατηγορίες αλγορίθμων που αναπτύσσονται και χρησιμοποιούνται

σε προβλήματα βελτιστοποίησης πέραν των παραπάνω ΄Ομως η αναφορά τους ξεφεύγει από τα πλαίσια

της παρούσας εργασίας μιας και οι παραπάνω χρησιμοποιήθηκαν στη λύση του προβλήματος

Στη συνέχεια θα γίνει μία πιο ενδελεχής περιγραφή ενός BBO αλγόριθμου και συγκεκριμένα του

Dan Simon ο οποίος χρησιμοποιήθηκε στη λύση του προβλήματος της συγκεκριμένης εργασίας

8

Κεφάλαιο 2

Biogeography-Based Optimization

21 Εισαγωγή στην BBO

Ο Biogeographic-Based Optimization αλγόριθμος είναι ένας εξελικτικός αλγόριθμος που βασίζεται

στη λογική της βιογεωγραφικής εξέλιξης των ειδών Με τον όρο rdquoΒιογεωγραφίαrdquoπεριγράφεται η μελέτη

της γεωγραφικής κατανομής των βιολογικών οργανισμών Η μαθηματικοποίηση του φαινομένου μελε-

τάται από τις αρχές της δεκαετίας του 1960 και εξελίσσεται συνεχώς Στο φαινόμενο αυτό βασίζονται

και οι βιογεωγραφικοί αλγόριθμοι Η επιστημονική βάση της βιογεωγραφικής θεωρίας εδραιώθηκε από

τους φυσιοδίφες του 19ou αιώνα και συγκεκριμένα τον Charles Darwin (Δαρβίνο όπως συνηθίζεται να

αποκαλείται στα ελληνικά) και τον Alfred WallaceΗ αρχή των μαθηματικών μοντέλων έγινε στις αρχές

του 1960 από τους Robert McArthur και Edward Wilson με κατάληξη την έκδοση του rdquoThe theory ofIsland Biogeographyrdquo το 1967 Πρωτεύον αντικείμενο έρευνας ήταν η κατανομή διαφόρων ειδών σε γει-

τονικά νησιά και το μαθηματικό μοντέλο του αφανισμού και της μετανάστευσης τους από νησί σε νησί Η

ανάπτυξη λοιπόν των βιογεωγραφικών αλγορίθμων βασίζεται και μελετάει το πώς μεταναστεύει κάποιο

είδος από ένα νησί σε ένα άλλο πώς καινούρια είδη εμφανίζονται και πώς άλλα εξαφανίζονται Αντί για

τον όρο rdquoνησίrdquo μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ο όρος rdquoβιότοποςrdquo βάση του παραπάνω χαρακτηριστικών

Οι βιογεωγραφικοί αλγόριθμοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε οποιοδήποτε τομέα επιστήμης Οι

γεωγραφικές περιοχές που είναι κατάλληλες για τα είδη τα rdquoνησιάrdquo θεωρούμε ότι έχουν υψηλό δείκτη

καταλληλότητας (high Habitat Suitability Index (HSI))Μερικά χαρακτηριστικά που συσχετίζονται

με το δείκτη αυτό θα είναι οι βροχοπτώσεις η ποικιλομορφία της βλάστησης η ποικιλομορφία των

τοπογραφικών χαρακτηριστικών το έδαφος και η θερμοκρασία Οι μεταβλητές που χαρακτηρίζουν άν

είναι ή όχι ένας βιότοπος κατοικήσιμος ονομάζονται μεταβλητές δείκτη καταλληλότητας(SuitabilityIndex Variables (SIVs))Οι SIV μπορούν να θεωρηθούν ως ανεξάρτητες μεταβλητές του βιοτόπου και

ο HSI ως εξαρτημένη Ανάλογα με τον τομέα στον οποίο θα χρησιμοποιηθούν ορίζεται τι είναι τα

rdquoείδηrdquoκαι πώς ορίζεται ένα rdquoνησίrdquo Γενικά σαν είδος μπορεί να θεωρηθεί κάποια παράμετρος ή ένα

χαρακτηριστικό ενός προβλήματος και σαν rdquoνησίrdquoμία ομάδα τέτοιων παραμέτρων ή χαρακτηριστικών

22 Βιογεωγραφία

Βάση των παραπάνω μπορεί να γίνει μία ανάλυση της γενικής ιδέας της μεθόδου Βιότοποι με

υψηλό HSI θα έχουν μεγάλους αριθμούς ειδών ενώ αντίθετα περιοχές με χαμηλό HSI θα έχουν μικρό

αριθμό ειδών Περιοχές με υψηλό HSI λόγω των πολλών ειδών που έχουν και του πιθανού κορεσμού

τους θα έχουν πολλά είδη που θα μεταναστεύουν σε κοντινά νησιά ενώ θα έχουν λίγα είδη που θα

μεταναστεύουν προς αυτά Ο ρυθμός λοιπόν μετανάστευσης προς γειτονικές περιοχές θα είναι μεγα-

λύτερος σε αυτές που έχουν υψηλό HSI κάτι που όμως δεν σημαίνει ότι τα είδη που θα μεταναστεύουν

προς άλλες περιοχές θα εξαφανίζονται από την αρχική γιατί μόνο ένα μικρό μέρος τους θα φεύγει Θα

υπάρχουν στην αρχική περιοχή μεταναστεύοντας παράλληλα και στις γειτονικές Περιοχές με χαμηλό

HSI θα έχουν μεγάλο ρυθμό μεταναστών από γειτονικές λόγω του αραιού πληθυσμού που περιέχουν

9

Αυτό το φαινόμενο μπορεί να αυξήσει το HSI μίας περιοχής μιας και εξαρτάται από την ποικιλομορφία

των ειδών που περιέχει ΄Αν παραμείνει χαμηλός τα είδη που υπάρχουν θα τείνουν προς εξαφάνιση

ανοίγοντας το δρόμο για άλλους rdquoμετανάστεςrdquoαπό γειτονικές περιοχές Οπότε περιοχές με υψηλό HSIθα έχουν πιο στατική κατανομή ειδών και πληθυσμών ενώ οι περιοχές με χαμηλό HSI έχουν πιο δυναμική

Με τη παραπάνω γενική ιδέα μπορεί να γίνει μία πρώτη παρουσίαση της εφαρμογής τέτοιων

αλγορίθμων Θεωρούμε ένα πρόβλημα από οποιοδήποτε επιστημονικό ή όχι τομέα Μηχανική

οικονομικά ιατρικά επιχειρήσεις αθλητικά και πολλοί άλλοι τομείς μπορούν να χρησιμοποιήσουν

έναν βιογεωγραφικό αλγόριθμο για τη λύση ενός προβλήματος Βασική προϋπόθεση όμως είναι να

έχουμε κάποιο τρόπο αξιολόγησης της καταλληλότητας κάποιας λύσης του προβλήματος Μία καλή

λύση θα αντιστοιχεί σε περιοχή με υψηλό HSI ενώ μία λιγότερο καλή σε περιοχή με χαμηλό HSIΟι καλές λύσεις λοιπόν θα είναι πιο σταθερές ενώ οι όχι τόσο καλές θα τείνουν να μεταβάλλουν

τα χαρακτηριστικά τους Οι καλές λύσεις θα τείνουν να μοιράζονται τα χαρακτηριστικά τους με

τις λιγότερο καλές με πιθανότητα να τις βελτιώσουν Αυτό το χαρακτηριστικό και τη γενικότερη

διαδικασία ονομάζουμε λύση με χρήση βιογεωγραφικού αλγορίθμου βελτιστοποίησης

Σχήμα 21 Μετανάστευση

Στο διπλανό σχήμα (σχήμα ) φαίνονται οι καμπύλες

μετανάστευσης από καμπύλη μ και προς καμπύλη λ έναν

τόπο Και οι δύο καμπύλες είναι συναρτήσεις του αριθμού

των ειδών σε μία περιοχή Στο παρόν σχήμα αναπαριστώνται

σαν ευθείες κάτι που γενικά δεν ισχύει ΄Εχουν αρκετά πιο

πολύπλοκη μορφή Για την ανάλυση μας όμως ένα απλό

σχήμα δίνει μία γενική εικόνα χωρίς να οδηγεί σε θεωρητικά

λάθη ΄Οσο πιο πολλά είδη υπάρχουν τόσο μικρότερη πιθα-

νότητα να εισέλθουν άλλα Οπότε ο μεγαλύτερος ρυθμός

μετανάστευσης προς μία περιοχή θα υπάρχει όταν η περιοχή

αυτή δεν έχει κανένα είδος ΄Οσο μεγαλώνει ο αριθμός των

ειδών τόσο μικραίνει ο ρυθμός μετανάστευσης προς την

συγκεκριμένη περιοχή μέχρι τον μέγιστο αριθμό ειδών που

μπορεί να υποστηρίξει Smax στο διάγραμμα όπου ο ρυθμός

εισόδου ειδών θα είναι μηδενικός Το αντίστροφο ισχύει για

την μετανάστευση από μία περιοχή την καμπύλη μ ΄Οταν η

περιοχή δεν έχει κανένα είδος ο ρυθμός των ειδών που θα μεταναστεύουν από την περιοχή αυτή θα

είναι φυσικά μηδενικός ΄Οσο αυξάνεται ο αριθμός των ειδών τόσο θα αυξάνεται και ο ρυθμός με τον

οποίο θα μεταναστεύουν προς άλλες περιοχές μέχρι το μέγιστο που θα είναι η τιμή Ε η οποία θα

αντιστοιχεί στο μέγιστο αριθμό ειδών που μπορούν να υπάρξουν στην περιοχή αυτή Smax Ο αριθμός

ισορροπίας των ειδών είναι S0 όπως φαίνεται στο σχήμα που θα είναι ο αριθμός των ειδών για τον

οποίο ο ρυθμός μετανάστευσης από και ο ρυθμός προς την περιοχή θα είναι ίσοι Αυτή την τιμή τείνουν

να αποκτήσουν οι περιοχές Κάποιες μεταβολές είτε προς τα πάνω για λόγους όπως πχ μία απότομη

εισροή ειδών από κάποια γειτονική περιοχή είτε προς τα κάτω για λόγους όπως πχ κάποια αρρώστια

ένας αρκετά επιθετικός κυνηγός ή κάποια καταστροφή μπορεί να υπάρξουν αλλά σε κάποιο χρόνο

ανάλογο της απόκλισης θα επανέλθει η ισορροπία

Ας δούμε και με λίγα μαθηματικά τα παραπάνω Θεωρούμε την πιθανότητα Ps μία περιοχή να έχει

S είδη Η πιθανότητα αυτή θα αλλάζει από τη χρονική στιγμή t στην χρονική στιγμή t+1 βάση του

τύπου

Ps(t+ 1) = Ps(t) lowast (1minus λs∆tminus micros∆t) + Psminus1λsminus1∆t+ Ps+1micros+1∆t (21)

όπου οι όροι λs και micros είναι οι ρυθμοί μετανάστευσης προς και από μία περιοχή αντίστοιχα όταν

υπάρχουν S είδη στην περιοχή Η παραπάνω εξίσωση () ισχύει γιατί για να έχουμε S είδη τη στιγμή

t+ ∆t θα πρέπει να ισχύει κάτι από τα παρακάτω

1 υπήρχαν S είδη τη στιγμή t και δεν είχαμε μετανάστευση προς καμία κατεύθυνση στο χρονικό

10

διάστημα ∆t

2 υπήρχαν S-1 είδη τη στιγμή t και ένα είδος ήρθε ή

3 υπήρχαν S+1 είδη τη στιγμή t και ένα είδος έφυγε

Θεωρούμε ότι το ∆t είναι αρκετά μικρό ώστε να έχει χρόνο μόνο ένα είδος να έρθει ή να φύγει από

την περιοχή Παίρνοντας το όριο ∆trarr 0 της εξίσωσης () καταλήγουμε στην παρακάτω

Ps =

minus(λs + micros)Ps + micros+1Ps+1 S = 0

minus(λs + micros)Ps + λsminus1Psminus1 + micros+1Ps+1 1 le S le Smax minus 1minus(λs + micros)Ps + λsminus1Psminus1 S = Smax)

(22)

Θέτουμε n = Smax και P = [P0 Pn]T απλοποιημένα και πλέον μπορούμε να εκφράσουμε τις

εξισώσεις (για S=0 n) με την απλή εξίσωση πίνακα

P = A lowast P (23)

όπου ο πίνακας Α δίνεται από τον τύπο

A =

minus(λ0 + micro0) micro1 0 ldots 0

λ0 minus(λ1 + micro1) micro2

ddots

λnminus2 minus(λnminus1 + micronminus1) micron

0 0 λnminus1 minus(λn + micron)

(24)

Για τις ευθείες καμπύλες που φαίνονται στο παραπάνω σχήμα () θα έχουμε

microk = Ekn

λk = I(1minuskn

)(25)

Θεωρούμε την ειδική περίπτωση E = I Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε

microk + λk = E (26)

και ο πίνακας Α γίνεται

A = E lowast

minus1 1

n0 0

nnminus1 2

n

2nminus1 n

n

0 0 1nminus1

= E lowast Aprime (27)

όπου το Α΄ ορίζεται από την παραπάνω εξίσωση ()

11

Παρατήρηση 1 Το 0 είναι μία ιδιοτιμή του πίνακα Α΄ με ιδιοδιάνυσμα το

u = [u1 un+1]T

n(nminus1minusi)(iminus1) (i = 1 iprime)

un+2minus1 (i = iprime + 1 n+ 1)

(28)

όπου το irsquo είναι ο μικρότερος ακέραιος ο οποίος να είναι μεγαλύτερος ή ίσος με

τοn+12

ή με προγραμματιστικό συμβολισμό iprime = ceil(n+12

) Αυτό μπορεί να

επιβεβαιωθεί από την απευθείας λύση της εξίσωσης ιδιοτιμών Aprime lowast u = k lowast uγια την άγνωστη μεταβλητή k και το άγνωστο διάνυσμα u Σαν παράδειγμα

για n=4 έχουμε

u = [1 4 6 4 1]T (29)

όπως και για n=5 παίρνουμε

u = [1 5 10 10 5 1]T (210)

Εικασία 1 Οι ιδιοτιμές του Α΄ δίνονται ως εξής

k = 0minus2

nminus4

n minus2 (211)

Η παραπάνω εικασία δεν έχει αποδειχθεί ακόμα αλλά ισχύει για όλες τις τιμές

του ν για τις οποίες έχει εξεταστεί

Θεώρημα 1 Η τιμή σταθερής κατάστασης για την πιθανότητα των αριθμών κάθε είδους

δίνεται από τη σχέση

P (infin) =usumn+1i=1 ui

(212)

όπου τα u και ui δίνονται από την

Στη συνέχεια θα μελετήσουμε το πώς μπορούν τα παραπάνω να εφαρμοστούν σε ένα πρόβλημα

βελτιστοποίησης συγκεκριμένου τομέα

221 Μέθοδοι και παράμετροι της BBO

Σχήμα 22 Αναπαράσταση λύσεων

Μετανάστευση Θεωρούμε ότι έχουμε ένα πρόβλημα με

πολλές πιθανές λύσεις οι οποίες μπορούν να παρασταθούν ως

διανύσματα ακεραίων Κάθε τέτοιος ακέραιος θεωρείται ότι

είναι μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας (SIV) Αν έχουμε

έναν τρόπο αξιολόγησης της ποιότητας κάθε λύσης μπορούμε

να αναπαραστήσουμε κάθε λύση σαν μία περιοχή Οι καλές

ποιοτικά λύσεις θα έχουν υψηλό δείκτη καταλληλότητας

(HSI) ενώ οι λιγότερο καλές χαμηλό Οι λύσεις με υψηλό

HSI θα είναι οι περιοχές με πολλά είδη ενώ αυτές με χαμηλό

οι περιοχές με λίγα είδη Η καμπύλη μοντέλου μετανάστευ-

σης θεωρούμε ότι θα είναι ίδια για όλες τις περιοχές (για

μεγαλύτερη ευκολία Ε=Ι) με τη μεταβλητή S κάθε περιοχής

να εξαρτάται από το HSI της όπως φαίνεται στο διπλανό

σχήμα (σχήμα ) Η περιοχή στην οποία αντιστοιχεί το S1

είναι περιοχή με χαμηλό HSI ενώ αυτή με το S2 περιοχή

με υψηλό HSI ΄Οπως φαίνεται και από το διπλανό σχήμα η

περιοχή με S1θα έχει λίγα είδη υψηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ1) και χαμηλό από (micro1) αυτή

ενώ η περιοχή με δείκτη S2 θα έχει πολλά είδη χαμηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ2) και υψηλό

12

από (micro2) αυτή Οι ρυθμοί μ και λ χρησιμοποιούνται για την ανταλλαγή πληροφοριών μεταξύ των

περιοχών πιθανοκρατικά Με πιθανότητα Pmod αξιολογούμε κάθε λύση βάση των υπολοίπων και

όποιες επιλεχθούν να τροποποιηθούν βάση του λ πιθανοκρατικά αξιολογούνται οι SIV και επιλέγονται

αυτοί που θα τροποποιηθούν ΄Αν κάποιος SIV επιλεχθεί να τροποποιηθεί βάση του μ των υπόλοιπων

λύσεων επιλέγεται πάλι πιθανοκρατικά από ποια λύση θα μεταναστεύσει κάποιος τυχαίος SIV

Η μέθοδος αυτή της μετανάστευσης στους BBO αλγόριθμους είναι παρόμοια με τις μεθόδους

των εξελικτικών και γενετικών αλγόριθμων όπου πολλοί πρόγονοι μπορούν να συνδυαστούν για

την παραγωγοί ενός απογόνου με μία όμως σημαντική διαφορά Σε αντίθεση με τους εξελικτικούς

και γενετικούς αλγόριθμους στους οποίους οι προηγούμενες λύσεις καταστρέφονται από γενιά σε

γενιά στους BBO οι λύσεις παραμένουν και εξελίσσονται χωρίς να καταστρέφονται Φυσικά έχει

ενσωματωμένο κάποιου είδους ελιτισμός έτσι ώστε να μην επηρεάζονται οι βέλτιστες λύσεις

Μετάλλαξη Κατακλυσμικά γεγονότα μπορούν να αλλάξουν δραστικά τον HSI μίας περιοχής

όπως μπορούν να προκαλέσουν απόκλιση του αριθμού των ειδών από την ισορροπία επηρεάζοντας

τον HSI λόγω φαινομενικά τυχαίων φαινομένων Τέτοια φαινόμενα μοντελοποιούνται στους BBO με

την μετάλλαξη των HSI και χρησιμοποιείται η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών για τον

καθορισμό του ρυθμού μετάλλαξης Η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών υπακούει στην

διαφορική εξίσωση Παρατηρώντας την καμπύλη στο σχήμα βλέπουμε ότι οι περιοχές με χαμηλό

αριθμό ειδών αλλά και αυτές με υψηλό αριθμό ειδών έχουν σχετικά χαμηλή πιθανότητα κάτι που θα

μπορούσε να εξαχθεί και από το θεώρημα 1 σε αντίθεση με αυτή με μέσες τιμές γιατί τα δεύτερα είναι

πιο κοντά στο σημείο ισορροπίας Ως παράδειγμα ας θεωρήσουμε την περίπτωση όπου Smax = 10 Η

λύση σταθερής κατάστασης της εξίσωσης θα είναι ανεξάρτητη της αρχικής συνθήκης Π(0) και μπορεί

να υπολογιστεί με αριθμητικές μεθόδους είτε βάση του θεωρήματος 1 με αποτέλεσμα

P (infin) sim= [0001 0001 0044 0117 0205 0246 0205 0117 0044 0001 0001]T

Τα στοιχεία του P (infin) δίνουν άθροισμα μονάδα και η γραφική τους παράσταση δίνει μία άρτια

συνάρτηση συμμετρική στην κεντρική τιμή

Κάθε λύση έχει μία αντίστοιχη πιθανότητα η οποία είναι δείκτης του κατά πόσο ήταν αναμενόμενη

εξ αρχής η λύση αυτή στο συγκεκριμένο πρόβλημα Λύσεις με πολύ υψηλό αλλά και πολύ χαμηλό HSIείναι αρκετά απίθανες να υπάρξουν ενώ λύσεις με μέσους HSI κοντά στο σημείο ισορροπίας είναι πιο

πιθανές Λύση S με μικρή πιθανότητα PS είναι αρκετά απίθανη οπότε έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να

μεταλλαχθεί από ία λύση Srsquo με μεγάλη πιθανότητα P primeS Αυτό μπορεί να παρασταθεί με τον παρακάτω

τύπο όπου ο ρυθμός μετάλλαξης m είναι αντιστρόφως ανάλογος της πιθανότητας μίας λύσης

m(S) = mmax

(1minus PSPmax

)(213)

και mmax είναι μία παράμετρος που ορίζεται από το χρήστη Αυτό το μοντέλο μετάλλαξης τείνει

να αυξήσει τη διαφορετικότητα μεταξύ του πληθυσμού των λύσεων Χωρίς αυτό οι λύσεις με μεγάλη

πιθανότητα θα ήταν επικρατέστερες των υπολοίπων Δίνει λοιπόν τη δυνατότητα στις κακές λύσεις

να μεταλλαχθούν και να εξελιχθούν δίνοντας παράλληλα και τη δυνατότητα στις λύσεις με υψηλή

πιθανότατα να εξελιχθούν και να βελτιωθούν και άλλο Πρέπει να σημειωθεί ότι χρησιμοποιείται

μία ελιτίστικη προσέγγιση αποθηκεύοντας τη βέλτιστη λύση έτσι ώστε αν χειροτερέψει από μία

μετάλλαξη να μπορούμε να την επαναφέρουμε αν χρειαστεί Οπότε η μετάλλαξη χρησιμοποιείται και

τις κακές και στις καλές λύσεις Οι μέσες λύσεις θεωρούμε ότι καλυτερεύουν με την μετανάστευση

οπότε αποφεύγουμε να τις μεταλλάξουμε και έχουν μικρότερο ρυθμό μετάλλαξης Η υλοποίηση της

μετάλλαξης εξαρτάται από το εκάστοτε πρόβλημα και χρήστη

Ορισμοί της BBO και αλγόριθμος

Παρακάτω δίνονται κάποιοι ορισμοί ως ένα πρώτο βήμα για τη μορφοποίηση του BBO αλγόριθμου

παρουσιάζοντας παράλληλα και μία περιγραφή του αλγόριθμου Με το R αναφερόμαστε στο σύνολο

13

πραγματικών αριθμών με το Ζ ακεραίων και με το empty στο κενό σύνολο

Ορισμός 1 Μία περιοχή H isin SIV mείναι ένα διάνυσμα m ακεραίων που αντιπροσωπεύει μία

πιθανή λύση του προβλήματος

Ορισμός 2 Μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας SIV isin C είναι ένας ακέραιος επιτρεπτός

σε μία περιοχή C isin Zqείναι το σύνολο όλων των επιτρεπτών ακεραίων σε μία

περιοχή Η απαίτηση SIV isin C ονομάζεται περιορισμός όπως και σε υψηλότερο

επίπεδο η απαίτηση H isin SIV m

Ορισμός 3 ΄Ενας δείκτης καταλληλότητας περιοχής HSI H rarr R αποτελεί μέτρο την ποιότη-

τας καλής ή κακής της λύσης που αντιπροσωπεύει η περιοχή Σημείωση Στους

περισσότερους αλγόριθμους βασισμένους στους πληθυσμούς το HSI ονομάζεται κα-ταλληλότητα

Ορισμός 4 ΄Ενα οικοσύστημα Hnείναι ένα σύνολο από n περιοχές Το μέγεθος n είναι σταθερό

(μελλοντικοί αλγόριθμοι μπορεί να επιτρέπουν μεταβλητό n όπως κάποιοι γενετικοί

αλγόριθμοι επιτρέπουν μεταβλητό μέγεθος πληθυσμών)

Ορισμός 5 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή λ(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

αύξουσα συνάρτηση του HSI Το λi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV από μία

γειτονική περιοχή να μεταναστεύσει στην Hi

Ορισμός 6 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή micro(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

φθίνουσα συνάρτηση του HSI Το microi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV της Hi

να μεταναστεύσει προς μία γειτονική περιοχή Στην πράξη θεωρούμε ότι οι συναρ-

τήσεις λ και μ είναι γραμμικές με το ίδιο μέγιστο Αυτή η υπόθεση βοηθάει στην

στην απλούστευση των μαθηματικών υπολογισμών Καλύτερες επιδόσεις μπορεί να

είναι εφικτές αν παρεκκλίνουμε λίγο από την υπόθεση αυτή

Ορισμός 7 Τροποποίηση μίας περιοχής Ω(λμ) Hn rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής

που προσαρμόζει την περιοχή Η βάση του οικοσυστήματος Hn Η πιθανότητα μια

περιοχή Η να τροποποιηθεί είναι ανάλογη του ρυθμού μετανάστευσης προς αυτή λ

και η πιθανότητα η τροποποίηση αυτή να προέλθει από την περιοχή Hj είναι ανάλογη

του ρυθμού μετανάστευσης microj από την περιοχή Η τροποποίηση των περιοχών

μπορεί να περιγραφεί γενικά ως εξής

Επιλογή του Hi με πιθανότητα sim λi΄Αν έχει επιλεχθεί το Hi

For j=1 to nεπιλογή του Hj με πιθανότητα sim microiΑν έχει επιλεχθεί το Hj

τυχαία επιλογή ενός SIV σ από το Hj

αντικατάσταση ενός τυχαίου SIV της Hi με το σ

endend

endΑπό τον παραπάνω αλγόριθμο γίνεται φανερό ότι μπορεί να εφαρμοστεί ένα κρι-

τήριο ελιτισμού θέτοντας λ=0 για την p βέλτιστη περιοχή όπουp μία παράμετρος

ελιτισμού καθορισμένη από το χρήστη Ακόμα να σημειωθεί ότι ο ορισμός του Ω

εξασφαλίζει ότι η περιοχή Η που τροποποιείται ικανοποιεί τους περιορισμούς του

SIVΟρισμός 8 Η μετάλλαξη Μ(λμ) H rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής που τυχαία τρο-

ποποιεί τις SIVs μίας περιοχής βάση της αρχικής πιθανότητας ύπαρξης της περιοχής

Η πιθανότητα ύπαρξης μίας περιοχής υπολογίζεται όπως αναφέρθηκε παραπάνω

από τους ρυθμούς λ και μ Η μετάλλαξη μπορεί να περιγραφεί ως εξής

14

For j=1 to mχρήση των microi και λi για τον υπολογισμό της πιθανότητας Piεπιλογή της SIV Hi(j) με πιθανότητα sim PiΑν έχει επιλεχθεί το Hi(j)

Αντικατάσταση του Hi(j) με ένα τυχαία δημιουργημένο SIVend

end΄Οπως και παραπάνω ο ελιτισμός μπορεί να υλοποιηθεί θέτοντας πιθανότητα με-

τάλλαξης μηδενική για την περιοχή με τη βέλτιστη λύση p Από τον παραπάνω

ορισμό βλέπουμε ότι πρέπει η μετάλλαξη να έχει κατάλληλους περιορισμούς ώστε

να καταλήγει σε HSI που να υπακούν στους περιορισμούς των SIVs

Ορισμός 9 Μία συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος Ψ ( m n λ μ Ω Μ) Hn rarr Hn

είναι μία εξάδα που τροποποιεί το οικοσύστημα από μία επανάληψη στην επόμενη

Η συνάρτηση τροποποίησης του οικοσυστήματος μπορεί να γραφεί ως εξής

ψ = λn micron Ωn HSIn Mn HSI (214)

Η συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος λοιπόν ξεκινάει υπολογίζοντας τους ρυθ-

μούς μετανάστευση προς και από μία περιοχή Εν συνεχεία λαμβάνει χώρα η τρο-

ποποίηση των περιοχών ακολουθούμενη από έναν επαναϋπολογισμό των HSI

Τέλος εφαρμόζεται μετάλλαξη και ξαναϋπολογίζονται οι HSI κάθε περιοχής

Ορισμός 10 ΄Ενας BBO αλγόριθμος BBO(Ι Ψ Τ) είναι μία τριάδα που προτείνει μία λύση σε

ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης I empty rarr Hn HSIn είναι μία συνάρτηση η οποία

παράγει ένα αρχικό οικοσύστημα περιοχών και υπολογίζει τις αντίστοιχες HSI Ψείναι μία συνάρτηση τροποποίησης οικοσυστήματος όπως ορίστηκε παραπάνω και

T Hn rarr true false είναι ένα κριτήριο τερματισμού του αλγόριθμου

Η συνάρτηση Ι μπορεί να υλοποιηθεί με μία γεννήτρια τυχαίων αριθμών ευρετι-

κών λύσεων στο πρόβλημα βελτιστοποίησης ή με οιαδήποτε άλλη διαδικασία που

να εξαρτάται από το πρόβλημα Το Τ μπορεί να εξαρτάται από τον αριθμό των

Ψ επαναλήψεων το HSI της βέλτιστης περιοχής ή οποιοδήποτε άλλο κριτήριο

βάση του προβλήματος Οπότε ο αλγόριθμος BBO μπορεί να περιγραφεί από το

παρακάτω

Ι

όσο δεν ισχύει το Τ

Ψ

end

Μία απλουστευμένη περιγραφή του BBO αλγόριθμου θα μπορούσε να είναι η παρακάτω

1 Αρχικοποίηση των παραμέτρων του αλγορίθμου Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρεθεί μία μέθοδος

χαρτογράφησης των λύσεων του προβλήματος σε SIVs και περιοχές σύμφωνα με το πρόβλημα

Ακόμα αρχικοποιούμε ή ορίζουμε το μέγιστο αριθμό ειδών Smax τους μέγιστους ρυθμούς μετα-

νάστευσης Ε και Ι το μέγιστο ρυθμό μετάλλαξης mmax και μία παράμετρο ελιτισμού Πρέπει να

σημειωθεί ότι ο μέγιστος αριθμός ειδών και οι μέγιστοι ρυθμοί μετανάστευσης είναι αλληλοεξαρ-

τώμενα μεγέθη Οπότε αν όλα αλλάζουν κατά το ίδιο ποσοστό η συμπεριφορά του ΒΒΟ δεν θα

αλλάζει Αυτό συμβαίνει γιατί άν τα Ε Ι και Smax αλλάξουν οι ρυθμοί μετανάστευσης μ λ και ο

αριθμός των ειδών S θα αλλάξουν κατά την ίδια σχετική ποσότητα για όλες τις περιοχές ή λύσεις

2 Αρχικοποίηση μίας τυχαίας ομάδας περιοχών όπου κάθε περιοχή θα αντιστοιχεί σε πιθανή λύση

Αυτό είναι η υλοποίηση του συνόλου Ι

3 Για κάθε περιοχή καθορισμός των HSI για τον αριθμό ειδών S και των ρυθμών μετανάστευσης μ

και λ

15

4 Χρήση βάση πιθανοτήτων των ρυθμών μετανάστευσης για την τροποποίηση των μη ελιτίστικων

περιοχών και επαναϋπολογισμό των HSI αυτών

5 Για κάθε περιοχή ενημέρωση της πιθανότητας των αριθμών των ειδών βάση της εξίσωσης

Στη συνέχεια μετάλλαξη των μη ελιτίστικων περιοχών βάση των πιθανοτήτων τους και ξανά

υπολογισμός των HSI

6 Επιστροφή στο βήμα 3 για την επόμενη επανάληψη της διαδικασίας Η διαδικασία μπορεί

να σταματήσει μετά από έναν προκαθορισμένο αριθμό επαναλήψεων ή με την επίτευξη μίας

επιθυμητής λύσης Αυτή είναι η υλοποίηση του κριτηρίου τερματισμού Τ

Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι μετά από κάθε βήμα που αλλάζει κάτι σε μία περιοχή ή λύση πρέπει να

επαληθεύεται κάθε περιοχή ως πιθανή λύση του προβλήματος Αν όχι πρέπει να υπάρχει μία διαδικασία

η οποία να την τροποποιεί ώστε να γίνεται πιθανή λύση

Τέλος επειδή ένας τέτοιος αλγόριθμος θα συγκριθεί στη συνέχεια με τους υπόλοιπους που αναφέρ-

θηκαν παραπάνω είναι χρήσιμο να γίνουν πιο διακριτές οι διαφορές τους Η πρώτη τέτοια διαφορά είναι

ότι στους BBO αλγόριθμους δεν υπάρχει η έννοια της αναπαραγωγής ή των γενεών απογόνων όπως

υπάρχουν στους γενετικούς και τους εξελικτικούς αλγόριθμους Δεν δημιουργούνται καινούριες λύσεις

από κύκλο σε κύκλο αλλά εξελίσσονται οι υπάρχουσες Για τον ίδιο λόγο διαφέρει και από τους ACO(Ant Colony Optimization) αλγόριθμους Σαν λογική είναι πιο κοντά στους PSO (Particle SwarmOptimization) και DE (Differential Evolution) αλγόριθμους μιας και αυτοί διατηρούν και εξελίσσουν

τις υπάρχουσες λύσεις τους κάνοντας την κάθε λύση να μαθαίνει από τους γείτονες και να προσαρ-

μόζεται καθώς προχωράει ο αλγόριθμος Οι PSO αντιπροσωπεύουν κάθε λύση σαν ένα σημείο στο

χώρο και τις αλλαγές μεταξύ των επαναλήψεων του αλγόριθμου με διάνυσμα ταχύτητας ΄Ομως στους

αλγόριθμους αυτούς δεν αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η ταχύτητα των σημείων έχοντας αποτέλεσμα

τη μεταβολή των λύσεων Στους DE αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η αλλαγή αυτή γίνεται βάση των

διαφορών μεταξύ άλλων λύσεων Ακόμα οι DE δεν βασίζεται σε βιολογικές αρχές Οι BBO αλγόριθμοι

μπορούν να διαχωριστούν από τους DE και PSO στο χαρακτηριστικό ότι αλλάζουν άμεσα τις λύσεις

τους ανταλλάσσοντας χαρακτηριστικά μεταξύ τους μέσω της μετανάστευσης

16

Κεφάλαιο 3

Κεραίες

31 Γενικά

Με τον όρο umlκεραίαrsquo αναφερόμαστε σε μία διάταξη που είναι σχεδιασμένη να δέχεται ηκαι να εκπέμπει

ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Είναι μία διάταξη η οποία μετατρέπει ηλεκτρομαγνητική ενέργεια που

οδεύει σε μια γραμμή μεταφοράς ή ένα κυματοδηγό σε ηλεκτρομαγνητικό κύμα στο χώρο και viceversa Οι κεραίες είναι είτε παθητικές

1 είτε τροφοδοτούμενες

2

Λόγω της μεγάλης ανάπτυξης των τηλεπικοινωνιών και των πολλών συστημάτων που χρησιμοποιούν-

ται3 έχει αναπτυχθεί μια τεράστια ποικιλία κεραιών ώστε να καλύπτουν τις ειδικές ανάγκες διαφόρων

εφαρμογών και να διευκολύνεται η κατασκευή και ένταξή τους στο φυσικό και δομημένο περιβάλλον

Η μεγάλη αυτή ποικιλία συστημάτων κεραιών επιβάλει τον διαχωρισμό τους σε κατηγορίες βάσει της

μορφής τους και της αρχής λειτουργίας τους Αλλά σε όποια κατηγορία και να ανήκει μία κεραία έχει

κάποια βασικά χαρακτηριστικά

32 Χαρακτηριστικά κεραιών

Σε μία κεραία αυτό που μας ενδιαφέρει είναι το πώς εκπέμπει ή λαμβάνει στο χώρο ή αλλιώς οι ιδιότητες

ακτινοβολίας (μακρινού πεδίου4) Η γραφική παράσταση των ιδιοτήτων αυτών γίνεται με το διάγραμμα

ακτινοβολίας της Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας κεραίας είναι δηλαδή η τρισδιάστατη γραφική

παράσταση των ιδιοτήτων ακτινοβολίας της κεραίας Βρίσκεται με μετρήσεις κάποιου μεγέθους με

τη μετατόπιση μίας πρόμπας γύρω από την κεραία Παριστάνει τη γωνιακή κατανομή του μέτρου της

έντασης του πεδίου της πυκνότητας ισχύος ή της έντασης ακτινοβολίας Επειδή θέλουμε το διάγραμμα

ακτινοβολίας να δίνει τη γενική συμπεριφορά της κεραίας σε οποιοδήποτε σήμα μπορεί να λάβει ή να

εκπέμψει οι τιμές είναι κανονικοποιημένες5

Τα διαγράμματα ακτινοβολίας σχεδιάζονται και για

την ικανότητα εκπομπής και λήψης μίας κεραίας και για συγκεκριμένη είναι τα ίδια (εκπομπής και λήψης)

Από τα διαγράμματα ακτινοβολίας βλέπουμε σε ποια σημεία του χώρου η κεραία εκπέμπει (ή αν

1Αποτελούνται μόνο από παθητικά στοιχεία απλά μετατρέπουν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα σε ηλεκτρομαγνητική ενέρ-

γεια χωρίς κάποια επεξεργασία του σήματος2΄Εχουν και ενεργά στοιχεία τα οποία μπορούν να κάνουν ενίσχυση σήματος ή ακόμα και επεξεργασία σήματος όπως

πχ μεταβολή συχνότητας3Από τις πιο μικρές ηλεκτρονικές συσκευές πχ πομποί GPS (Global Positioning System) μέχρι μεγάλα συστήματα

πχ δορυφόροι οπουδήποτε εφαρμόζεται ασύρματη επικοινωνία απαραίτητο εξάρτημα είναι μία κεραία4Ο χώρος γύρω από μία κεραία ως προς την κεραία χωρίζεται σε μακρινό και κοντινό πεδίο Στο κοντινό πεδίο

το διάγραμμα επηρεάζεται έντονα από τις επαγωγικές και χωρητικές συνιστώσες που εμφανίζονται στην κεραία κατά τη

ροή του ρεύματος ενώ στο μακρινό όχι και γι΄ αυτό το διάγραμμα του μακρινού πεδίου είναι σταθεροποιημένο ενώ του

κοντινού όχι Τα διαγράμματα που δίνουν οι κατασκευαστές είναι διαγράμματα μακρινού πεδίου Διάκριση μεταξύ μακρινού

και κοντινού πεδίου γίνεται βάσει της απόστασης από την κεραία όπου για R gt 2lowastD2

λ θεωρούμε μακρινό πεδίο όπου λ

είναι το μήκος κύματος D η διάμετρος της κεραίας και R η απόσταση από αυτήν5Λόγω των κανονικοποιημένων τιμών του διαγράμματος ακτινοβολίας το διάγραμμα πυκνότητας ισχύος και έντασης

ακτινοβολίας είναι ταυτόσημα

17

είναι διάγραμμα λήψης λαμβάνει) τη μεγαλύτερη και σε ποια τη μικρότερη ισχύ Το τρισδιάστατο

της περιγραφής επιτυγχάνεται με το συνδυασμό δύο διαγραμμάτων το κάθετο (κάθετη τομή στον

τρισδιάστατο χώρο) και το οριζόντιο (οριζόντια τομή) Η κεραία θεωρείται στο κέντρο του διαγράμματος

και το διάγραμμα συνδέει στην ουσία τον χώρο με την ακτινοβολούμενη ισχύ ή με την ικανότητα

λήψης ισχύος για διάγραμμα εκπομπής και λήψης αντίστοιχα και είναι όπως προαναφέρθηκε η

γραφική αναπαράσταση της συμπεριφοράς της κεραίας στο χώρο Μας δείχνει σε ποιες περιοχές του

χώρου εκπέμπει και πόση ισχύ ή αντίστοιχα από ποιες περιοχές του χώρου και πόση ισχύ μπορεί

να λάβει η κεραία Είτε επειδή δε θέλουμε σπατάλη ισχύος σε rdquoαδιάφορεςrdquoπεριοχές είτε επειδή δεν

θέλουμε να παρεμβάλλουμε δημιουργώντας θόρυβο σε άλλες κεραίες κατά την εκπομπή και είτε επειδή

θέλουμε να λαμβάνουμε τη μέγιστη δυνατή ισχύ αν ξέρουμε από που λαμβάνουμε και να μειώνουμε

το θόρυβο από τις άλλες πηγές τα διαγράμματα ακτινοβολίας είναι πολύ χρήσιμα στο σχεδιασμό μίας

κεραίας Τέλος μία άλλη χρήση είναι η σύγκριση κεραιών είτε γενικά είτε για συγκεκριμένες εφαρμογές

Σχήμα 31 Διάγραμμα ακτινοβολίας

Στο διπλανό σχήμα () φαίνεται ένα τυπικό και αρκετά

απλοποιημένο διάγραμμα ακτινοβολίας Σε αυτό διακρίνουμε

τον κύριο λοβό που είναι το τμήμα η μεγαλύτερη κλειστή

καμπύλη που διακρίνεται από το γεγονός ότι έχει τη μέγιστη

τιμή στο διάγραμμα Συνήθως τα διαγράμματα ακτινοβολίας

είναι πολικά όπως αυτό του σχήματος 31 με βαθμονόμηση

από 0μέχρι 360

και ο κύριος λοβός στη γενική περίπτωση

τοποθετείται στις 0 Ο λοβός που βρίσκεται στις 180

ονο-

μάζεται οπίσθιος λοβός και οι υπόλοιποι λοβοί ονομάζονται

πλευρικοί Ανάλογα με την περίπτωση οι υπόλοιποι εκτός του

κύριου είναι ανεπιθύμητοι είτε επιθυμητοί και προσπαθούμε

αντίστοιχα να τους καταστείλουμε ή να τους ενισχύσουμε

Οι πλευρικοί λοβοί οφείλονται σε φαινόμενα καταστροφικής

ή εποικοδομητικής συμβολής των κυμάτων που εκπέμπονται

από τη κεραία Η κλίμακα στο διάγραμμα είναι σε deciBellκαι τα μεγέθη είναι κανονικοποιημένα

6 ΄Ετσι η μέγιστη τιμή θα είναι στα 0 db και οι υπόλοιπες

σε αρνητικές τιμές Τα διαγράμματα αυτά έχουν τέτοια βαθμονόμηση γιατί θέλουμε να εκφράζουν

ποιοτικά τη συμπεριφορά της κεραίας αλλά και γιατί οι τιμές έντασης ή ισχύος που θέλουμε να αναπα-

ραστήσουμε είναι πολλών τάξεων μεγέθους και θα θέλαμε πολύ μεγάλα διαγράμματα για κανονικές τιμές

΄Ενα πιο αναλυτικό διάγραμμα ακτινοβολίας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () και είναι διάγραμμα

μίας κεραίας Yagi-Uda Οι κύκλοι που φαίνονται στο διάγραμμα αντιστοιχούν στις τιμές -3 -10 -20

-30 και -40 dB και είναι χωρισμένοι σε τμήματα των 10 Οι κύκλοι αυτοί δείχνουν τα σημεία που

έχει μειωθεί το μέγεθος στο 50 στο 10 στο 1 στο 01 και στο 001 αντίστοιχα Η

γωνία των σημείων στα οποία ο κύριος λοβός τέμνει τον πρώτο κύκλο ονομάζεται γωνία ημίσειας ισχύος

Σχήμα 32 Καρτεσιανό διάγραμμα

Εκτός των πολικών διαγραμμάτων υπάρχουν και τα καρτεσιανά

τα οποία είναι η καρτεσιανή προβολή των πολικών Παράδειγμα

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () όπου φαίνεται το άνοιγμα μισής

ισχύος και το επίπεδο του πρώτου πλευρικού λοβού Επειδή τα

διαγράμματα ακτινοβολίας σχηματίζονται όπως προαναφέρθηκε

και αφορούν τη χωρική συμπεριφορά μίας κεραίας στο μακρινό

πεδίο οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε την κεραία ως σημείο

τα καρτεσιανά διαγράμματα δεν έχουν καλή αναπαράσταση της

πραγματικότητας Αλλά είναι αρκετά χρήσιμα στη μελέτη κεραιών

και στην καλύτερη εποπτεία των χαρακτηριστικών της από τα πολικά και για το λόγο αυτό σχεδιάζονται

και χρησιμοποιούνται κατά κόρον

6΄Ενα κανονικοποιημένο διάγραμμα έχει την ίδια μορφή με ένα μη κανονικοποιημένο με μόνη αλλαγή την κλίμακα και

ότι τα μεγέθη είναι ο λογάριθμος του λόγου της τιμής προς τη μέγιστη

18

Σχήμα 33 Διάγραμμα ακτινοβολίας Yagi-Uda κεραίας

Από ένα διάγραμμα ακτινοβολίας μπορούμε να βρούμε τα παρακάτω χαρακτηριστικά μίας κεραίας (ή

και παραμέτρους του διαγράμματος όπως αναφέρονται συχνά)

Σχήμα 34 Ισοτροπική και μη

bull Κατευθυντικότητα δείκτης της ικανότητα της κεραίας να

συγκεντρώσει την ακτινοβολία εκπομπής προς μία συγκεκριμένη

κατεύθυνση και βρίσκεται αναφορικά με μία ιδανική (ισοτροπική)

κεραία Η σύγκριση την όποιας κεραίας με μία ισοτροπική φαίνεται

στο διπλανό σχήμα () Τα εμβαδά είναι ίσα οπότε εκπέμπουν

και οι δύο την ίδια ισχύ αλλά στην επιθυμητή κατεύθυνση η μη

ισοτροπική στέλνει μεγαλύτερη ισχύ Η κατευθυντικότητα λοιπόν

είναι η διαφορά σε dB των δύο διαγραμμάτων στην κατεύθυνση

του μεγίστου Είναι αντιστρόφως ανάλογη με το εύρος του κυρίως

λοβού

bull Εύρος δέσμης μισής ισχύος οριζόντιου και κάθετου επιπέδου ( HPBW )

αναφέρεται στην ενεργό περιοχή κάλυψης της κεραίας και ορίζεται ώς η γωνία μεταξύ των σημείων

του κύριου λοβού όπου η ισχύς είναι μισή της μέγιστης ή σε dB 3dB κάτω από την μέγιστη και

προσδιορίζει την περιοχή που εμφανίζεται μέγιστη εκπομπή ενώ εκτός της περιοχής αυτής η ισχύς

μειώνεται πολύ γρήγορα

bull Εύρος δέσμης επίπεδο (dB) πρώτων σημείων μηδενισμού οριζόντιου καικάθετου επιπέδου (FNBW) ορίζεται ως η γωνία μεταξύ των δύο πρώτων μηδενισμών του

μεγέθους εκατέρωθεν του κύριου λοβού

bull Λόγος κύριου προς οπίσθιο λοβό (FB)

bull Επίπεδα (dB) και εύρος γωνιών πλευρικών λοβών και οπίσθιων λοβώνbull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με τον αμέσως μικρότερο λοβό του διαγράμ-ματος ακτινοβολίας

bull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με όλους τους υπόλοιπους του διαγράμματοςακτινοβολίας

bull Λόγος κύριου προς επόμενο μεγαλύτερο λοβό (Side-Lobe Level) ορίζεται ως ο λόγος

του μεγίστου του κυρίως λοβού προς τον αμέσως μικρότερο πλευρικό λοβό (SLL = MainLobeMaxSideLobe

dB)

και είναι ένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά μίας κεραίας Πολλές φορές αναφέρεται και ώς επίπεδο

πλευρικών λοβών

Τα χαρακτηριστικά μίας κεραίας μπορούν να υπολογιστούν και να περιγραφούν όχι μόνο βάσει του

19

διαγράμματος ακτινοβολίας της Μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της μετρώντας και υπολο-

γίζοντας κατάλληλα μεγέθη και κάνοντας χρήση γνωστών μαθηματικών τύπων

bull Συνολική ακτινοβολούμενη ενέργεια η συνολική (ή μέσος όρος) ενέργεια που ακτινο-

βολεί μία κεραία και υπολογίζεται από τον τύπο

Prad = Pav =

lsaquoS

~Wrad middot d~s =

lsaquoS

~Wav middot n middot da =1

2

lsaquoS

lt( ~E times ~H) middot d~s (31)

όπου Wrad=πυκνότητα ακτινοβολίας

bull ΄Ενταση ακτινοβολίας η ενέργεια που εκπέμπεται από μία κεραία ανά μονάδα στερεάς γωνίας

U = r2 middotWrad (32)

όπου r=απόσταση

bull Κατευθυντικότητα είναι ο λόγος της ακτινοβολούμενης ενέργειας σε μία συγκεκριμένη κα-

τεύθυνση προς το μέσο όρο εκπεμπόμενης ακτινοβολίας σε όλες τις κατευθύνσεις ΄Η αλλιώς

η ένταση προς μία συγκεκριμένη κατεύθυνση προς την αντίστοιχη τιμή της αν ακτινοβολούσε

ισοτροπικά

D =U

Uo=

4pU

Prad(33)

΄Αν δεν ορίζεται κατεύθυνση σαν κατευθυντικότητα αναφέρεται η μέγιστη κατευθυντικότητα μίας

κεραίας

bull Κέρδος αν και συνδέεται με την κατευθυντικότητα είναι μία παράμετρος της κεραίας που λαμ-

βάνει υπόψιν και την αποδοτικότητα της κεραίας αλλά και τις δυνατότητες κατευθυντικότητας

Απόλυτο κέρδος κεραίας (σε συγκεκριμένη κατεύθυνση) ορίζεται ο λόγος της έντασης ακτινοβο-

λίας προς την ένταση ακτινοβολίας που θα είχε στη συγκεκριμένη κατεύθυνση άν όλη η ενέργεια

εισόδου της κεραίας εκπεμπόταν ισοτροπικά

κέρδος = 4π middot ένταση ακτινοβολίας

συνολική εισερχόμενη ενέργεια= 4π

U(θ φ)

Pinputrarr

G = 4π U(θφ)Pinput (ιδανικής ισοτροπικής πηγής)

(34)

bull Απόδοση κεραίας είναι ένας δείκτης που λαμβάνει υπόψιν τις απώλειες ενέργειας από την

είσοδο στην έξοδο της κεραίας λόγω πολλών φαινομένων Γενικά η συνολική απόδοση μίας

κεραίας δίνεται από τον τύπο

eo = er middot ec middot ed (35)

όπου eo είναι η συνολική απόδοση er είναι η απόδοση λόγω απωλειών ανακλάσεων (λόγω κακής

προσαρμογής) (= 1minus|Γ|2) ec είναι η απόδοση λόγω απωλειών αγωγιμότητας ed είναι η απόδοση

που οφείλεται στο διηλεκτρικό και Γ ο συντελεστής ανάκλασης τάσης

bull Απόδοση δέσμης είναι μία παράμετρος ποιότητας μίας κεραίας και ορίζεται από το λόγο της

ενέργειας που ακτινοβολείται από τον κύριο λοβό της κεραίας (με το λοβό σε γωνία θ0) προς τη

συνολική

BE =

acute 2π0

acute θ0U(θ φ)sin(θ)dθdφacute 2π

0

acute π0U(θ φ)sin(θ)dθdφ

(36)

όπου θ1 είναι η γωνία μισής ισχύος ΄Αν θεωρήσουμε το θ1 στην κατεύθυνση του πρώτου μηδενι-

σμού τότε θα έχουμε το λόγο της ισχύος του κυρίως λοβού προς τη συνολική

bull Εύρος σαν εύρος μιας κεραίας ορίζεται το εύρος των συχνοτήτων (bandwidth) στις οποίες

μπορεί να λειτουργήσει αποδοτικά βάσει κάποιων χαρακτηριστικών της πχ να έχει εύρος κύριου

λοβού εντός συγκεκριμένων ορίων διατηρώντας μία ελάχιστη τιμή SLL

20

33 Κατηγορίες κεραιών

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω οι κεραίες χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με τα μορ-

φολογικά αλλά και λειτουργικά χαρακτηριστικά τους Βάσει του τρόπου με τον οποίο εκπέμπουν ή

λαμβάνουν ή αλλιώς βάσει του διαγράμματος ακτινοβολίας τους χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες

bull Ισοτροπικές μία ισοτροπική κεραία ορίζεται ως μία υποθετική (ιδανική) κεραία η οποία ακτινο-

βολεί το ίδιο προς όλες τις κατευθύνσεις Δεν έχει κάποια πραγματική εφαρμογή στα τηλεπικοι-

νωνιακά συστήματα γιατί η ισχύς της εκπέμπεται προς όλες τις κατευθύνσεις το ίδιο προκαλώντας

μεγάλες απώλειες ισχύος σε ανεπιθύμητες κατευθύνσεις ΄Εχει μόνο θεωρητική αξία στη μελέτη

κεραιών και στον ορισμό κάποιων παραμέτρων των κεραιών όπως το κέρδος που είδαμε παραπάνω

bull Κατευθυντικές μία κατευθυντική κεραία ορίζεται ως η κεραία που έχει την ικανότητα να

εκπέμπει ή να λαμβάνει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αποτελεσματικότερα προς κάποιες κατευ-

θύνσεις Είναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κεραίες και η εξέλιξη αυτών είναι οι έξυπνες

κεραίες που ανάλογα με τις ανάγκες της κάθε συσκευής και τα χαρακτηριστικά του χώρου που

βρίσκεται μπορούν να αλλάξουν τη γωνία μέγιστης εκπομπής κάνοντας βέλτιστη χρήση της α-

κτινοβολούμενης ισχύος της

bull Πανκατευθυντικές μία πανκατευθυντική κεραία είναι μία κεραία η οποία ακτινοβολεί σαν

κατευθυντική εκτός από ένα επίπεδο στο οποίο εκπέμπει ή λαμβάνει ισοτροπικά Η χρήση τους

είναι κυρίως στα μέσα μαζικής επικοινωνίας όπου χρειάζεται κάλυψη του χώρου 360 μοιρών στο

οριζόντιο επίπεδο αλλά πολύ μικρής γωνίας στο κάθετο

Βάσει των μορφολογικών χαρακτηριστικών τους χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες Η κάθε

κατηγορία έχει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της που την καθιστούν κατάλληλη για κάποια

εφαρμογή και ακατάλληλη για κάποια άλλη Παρακάτω αναφέρονται οι κατηγορίες αυτές των κεραιών

με τα βασικά χαρακτηριστικά της κάθε μίας

bull Κεραίες σύρματος Είναι απλές κεραίες κατασκευασμένες από αγώγιμο υλικό συνήθως

κυκλικής διατομής Πολλές φορέα σχηματίζονται από πολλούς αγωγούς κατάλληλα συζευγμένους

μεταξύ τους σε πλέγματα διαφόρων σχημάτων που είτε δημιουργούν μία επιφάνεια είτε μία γραμμική

κεραία Η απλούστερη γραμμική κεραία είναι η κεραία διπόλου τα χαρακτηριστικά της οποίας είναι

ανάλογα με το σχετικό μήκος της ως προς το μήκος κύματος της ακτινοβολίας για την οποία προορίζε-

ται7 Οι συγκεκριμένες είναι πολύ απλές στην κατασκευή πολύ συχνά απλά συρμάτινες Αποτελείται

από ένα δίπολο του οποίου (συνήθως) η τροφοδοσία8είναι στη μέση Πλεονεκτήματα των κεραιών

αυτών είναι το κόστος το μέγεθος και η δυνατότητα κάλυψης μεγάλης περιοχής συχνοτήτων ενώ

έχουν το μειονέκτημα της χαμηλής απόδοσης λόγω των διαστάσεων τους Καλύτερα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης έχουν οι διπολικές κεραίες των οποίων το μήκος είναι της τάξης του μήκους κύματος

Σχήμα 35 Κεραία διπόλου

Μία κεραία σύρματος χαρακτηρίζεται ως rdquoλεπτήrdquoόταν η διάμε-

τρος του αγωγού είναι μικρότερη από 001λ Ανάλογα με το σχήμα

της χαρακτηρίζεται ως ευθύγραμη κεραία V ή πτυσσόμενη Στο

διπλανό σχήμα () φαίνονται μία ευθύγραμμη και μία πτυσσόμενη

διπολική κεραία Στις πτυσσόμενες σημαντική είναι η γωνία που

σχηματίζουν οι βραχίονες τους έχοντας βρεθεί ότι η μέγιστη

κατευθυντικότητα επιτυγχάνεται για γωνία α = 60λh

+ 380

όπου h είναι το μήκος του βραχίονα και λ το μήκος κύματος τη

ακτινοβολίας και ότι Dmax = 12 + 23hλ9

7Μία κεραία χαρακτηρίζεται ως ηλεκτρικά μικρή όταν οι διαστάσεις της είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος

της ακτινοβολίας8Με τον όρο τροφοδοσία εννοούμε το υπόλοιπο σύστημα το οποίο τροφοδοτεί η κεραία με το σήμα που λαμβάνει στην

περίπτωση κεραίας λήψης ή από το οποίο τροφοδοτείται με το σήμα που θα εκπέμψει στην περίπτωση κεραίας εκπομπής

9Η σχέση αυτή είναι εμπειρική και ισχύει για 05 lt h

λ lt 3

21

Σχήμα 36 Κεραία Yagi-Uda

Μία εξέλιξη των παραπάνω κεραιών είναι οι κεραίες Yagi-Udaπου ένα διάγραμμα ακτινοβολίας τέτοιας κεραίας παρατέθηκε

παραπάνω () Είναι ευθύγραμμες διπολικές κεραίες που α-

ποτελούνται από πέραν του ενός δίπολα τα οποία όμως δεν

τροφοδοτούνται όλα Τα μη τροφοδοτούμενα δίπολα ονομάζονται

παρασιτικά και τροφοδοτούνται επαγωγικά από τα υπόλοιπα Οι

κεραίες αυτές παρουσιάζουν αυξημένη κατευθυντικότητα σχετικά

με τις μη παρασιτικές κεραίες διπόλων Η πρώτη τέτοια κεραία

κατασκευάστηκε το 1926 και αποτελούταν από τρία δίπολα ένα

ενεργό και δύο παρασιτικά Στην περίπτωση που το παρασιτικό

δίπολο έχει μεγαλύτερο μήκος από του ενεργού ονομάζεται

ανακλαστήρας ενώ αν έχει μικρότερο ονομάζεται κατευθυντήρας

Μία γενική μορφή τέτοιας κεραίας φαίνεται στο διπλανό σχήμα με LR το μήκος του ανακλαστήρα και

LD το μήκος του κατευθυντήρα

bull Στοιχειοκεραίες Μία εξέλιξη των συρμάτινων κεραιών είναι οι στοιχειοκεραίες Οι

στοιχειοκεραίες αποτελούνται από πολλές κεραίες διπόλων τα στοιχεία τα οποία ενώνονται όλα σε

μία κοινή τροφοδοσία και αυτή είναι η βασική τους διαφορά από τις Yagi-Uda που έχουν παρασιτικά

στοιχεία και ο λόγος που οι τελευταίες δε θεωρούνται στοιχειοκεραίες Συστοιχείες λοιπόν πολλών

κεραιών φτιάχνουν τις στοιχειοκεραίες Ανάλογα με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της συστοιχίας

υπάρχουν κάποια είδη στοιχειοκεραιών όπως είναι οι γραμμικές (μία συστοιχία σε ευθεία γραμμή) και

οι επίπεδες (συστοιχείες συστοιχείων) Λόγω της ταυτόχρονης χρήσης πολλών κεραιών μπορούν να

συνδυάσουν τα χαρακτηριστικά τους δίνοντας δυνατότητα πολύπλοκων κατευθυντικών διαγραμμάτων

καθιστώντας τες κατάλληλες για πολλές εφαρμογές Συγκριτικά με μία κεραία μεγάλου μήκους που

θα έχει τα ίδια κατευθυντικά χαρακτηριστικά παρουσιάζει το πλεονέκτημα της εύκολης τροφοδο-

σίας της μηχανικής αντοχής και του μικρού κόστους εγκατάστασης και λειτουργίας Τέλος με

κατάλληλη τροφοδοσία του κάθε στοιχείου της μπορούμε να αλλάξουμε τα κατευθυντικά χαρακτηρι-

στικά της ΄Εχουν πολλές γεωμετρικές μορφές αλλά και είδη που θα αναφερθούν σε επόμενη παράγραφο

bull Κεραίες βρόχου ή πλαισίου Μία κεραία βρόχου αποτελείται από έναν κλειστό αγωγό σε

σχήμα βρόχου (ή και βρόχων) ο οποίος τροφοδοτείται σε ένα σημείο του Χωρίζονται σε κεραίες μικρού

και μεγάλου βρόχου συγκριτικά με το μήκος κύματος στο οποίο χρησιμοποιούνται10

Οι μικρού

βρόχου έχουν χαμηλή απόδοση και χρησιμοποιούνται κατά κόρον σε δέκτες χαμηλών συχνοτήτων

Εκτός από τους ραδιοφωνικούς δέκτες των αυτοκινήτων στους οποίους γίνεται μεγάλη χρήση των

κεραιών μικρού βρόχου το μεγαλύτερο ποσοστό των δεκτών AM χρησιμοποιούν τέτοιες κεραίες

Οι μεγάλου βρόχου έχουν ευρεία χρήση στους δέκτες VHF και UHF έχοντας και το επιπλέον

χαρακτηριστικό της μεταβλητής περιφέρειας δίνοντας δυνατότητα μεγαλύτερου εύρους συχνοτήτων

Γενικά οι κεραίες βρόχου είναι κεραίες με μεγάλη κατευθυντικότητα κάτι που τις κάνει ιδανικές σε

εφαρμογές εύρεσης κατεύθυνσης σήματος

bull Ελικοειδής κεραίες Μία ελικοειδής κεραία αποτελείται από έναν αγωγό που έχει τη μορφή

έλικας στον οποίο η τροφοδοσία είναι στο ένα του άκρο Αποτελεί συνδυασμό κεραίας βρόχου και

γραμμικής κεραίας οπότε μπορεί να εκπέμπει με δύο τρόπους (ρυθμούς) αξονικά και κάθετα στον άξονα

της έλικας κάτι που της δίνει βελτιωμένα χαρακτηριστικά συγκριτικά με τις δύο αυτές κατηγορίες

Χρησιμοποιείται κατά κόρον όπου απαιτείται κυκλική πόλωση σήματος σαν πομπός ή σε σήματα που

έχουν κυκλική πόλωση σαν δέκτης και έχει αρκετά μεγάλο εύρος ζώνης συχνοτήτων Ανάλογα με τα

χαρακτηριστικά που πρέπει να έχει μία ελικοειδής κεραία μπορεί να είναι ομοιόμορφη (όλες οι έλικες

ίδια διάμετρο) αυξανόμενης ελαττούμενης και αυξο-ελαττούμενης διαμέτρου ελίκων

bull Δικωνικές κεραίες ΄Αν δύο V ενωθούν κατακορυφήν σχηματίζεται μία δικωνική κεραία οι

οποίες έχουν αυξημένο εύρος συχνοτήτων Πολλές δικωνικές κεραίες έχουν τη δυνατότητα μεταβολής

10Σαν κεραία μικρού βρόχου θα χαρακτηριστεί η κεραία της οποίας η περιφέρεια θα είναι ίση ή μικρότερη από το ένα

δέκατο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας

22

του μήκους του βραχίονα τους δίνοντας ακόμα μεγαλύτερο εύρος Αν μία από τις δύο V κεραίες

αντικατασταθεί από μία αγώγιμη επιφάνεια σε σχήμα δίσκου έχουμε τη δισκωνική κεραία στην οποία

ο δίσκος λειτουργεί ως ανακλαστήρας Είναι κεραίες μικρής κατευθυντικότητας και χαμηλού κέρδους

και χρησιμοποιούνται πολύ σαν κεραίες ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών εκπομπών

bull Σπειροειδής κεραίες Οι σπειροειδής κεραίες είναι κεραίες με μεγάλο εύρος ζώνης

συχνοτήτων και μεγάλης κατευθυντικότητας Αποτελούνται από μία ή δύο αγωγούς που έχουν σχήμα

σπείρας και όσο μικρότερη γωνία ανοίγματος σπείρας έχουν τόσο μεγαλύτερη κατευθυντικότητα

Μπορεί να είναι επίπεδες ή κωνικές και η πόλωση του σήματος που λαμβάνουν ή εκπέμπουν είναι

ανάλογη με τη φορά των σπειρών Το εύρος συχνοτήτων τους δίνεται από το λόγο μεγαλύτερης προς

μικρότερης διαμέτρου άν και στην πραγματικότητα είναι λίγο μικρότερο του λόγου αυτού Μία αρκετά

διαδεδομένη σπειροειδής κεραία είναι η rdquoσπειροειδής του Αρχιμήδηrdquoη οποία αποτελείται από δύο σπε-

ίρες με r1 = r0φ και r2 = r0(φminusπ) οι οποίες συνήθως κατασκευάζονται πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα11

bull Κεραίες χοάνης Οι κεραίες χοάνης αποτελούνται από έναν αγωγό ο οποίος είναι από το

ένα άκρο του ανοιχτός και διεγείρεται από το άλλο του άκρο Με σωστή ρύθμιση έχουν μεγαλύτερη

απόδοση από τις συρμάτινες Ανάλογα με το σχήμα του αγωγού μπορεί να υπάρχουν αρκετά είδη

τέτοιων κεραιών τρία εκ των οποίων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα () Η κατευθυντικότητα της

είναι ανάλογη της γωνίας ανοίγματος της Στην πράξη συναντούμε ελάχιστες κεραίες χοάνης μόνες

τους αλλά σε συνδυασμό με έναν ανακλαστήρα έχουν πολύ διαδεδομένη χρήση λόγω της πολύ μεγάλης

κατευθυντικότητας που προσφέρουν ειδικά στις περιπτώσεις που ο ανακλαστήρας είναι παραβολικός

όπου υπάρχει η δυνατότητα παραγωγής πολύ στενής δέσμης υψηλού κέρδους και χαμηλού θορύβου

Χρησιμοποιούνται πολύ στις δορυφορικές επικοινωνίες και η πιο συνηθισμένη τους μορφή είναι τα umlπιάταrsquo

που χρησιμοποιούνται για τη λήψη δορυφορικών σημάτων

Σχήμα 37 Κεραίες χοάνης α)τομέας β)πυραμοειδής και γ)κωνική

bull Λογαριθμικές περιοδικές κεραίες Είναι κεραίες των οποίων τα μορφολογικά χα-

ρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με την απόσταση από την αρχή της κεραίας Υπάρχει ένα

επαναλαμβανόμενο στοιχείο κεραίας το οποίο μεγαλώνει όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της

κεραίας Μπορεί να είναι μία πλάκα με οδοντώσεις το μέγεθος των οποίων μεταβάλλεται ένα σύρμα

11Οι κεραίες που είναι κατασκευασμένες πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα ή αλλιώς σε μικροταινίες ανήκουν και στην

κατηγορία των μικροταινιακών κεραιών πολύ διαδεδομένη στις ηλεκτρονικές φορητές συσκευές που λειτουργούν στην

περιοχή των μικροκυμάτων (λόγω διαστάσεων κεραιών είναι ιδανικές για την περιοχή αυτή)

23

Σχήμα 38 Λογαριθμική περιοδική κεραία

το οποίο διπλώνεται κατάλληλα και το μέγεθος της κάθε δίπλωσης μεταβάλλεται ή ακόμα και από

δίπολα το μήκος των οποίων μεταβάλλεται Πολλές κεραίες που ανήκουν σε παραπάνω κατηγορίες είναι

λογαριθμικές μπορεί να είναι λογαριθμικές αν η μεταβολή των επαναλαμβανόμενων στοιχείων ακολουθεί

το συγκεκριμένο πρότυπο Μία τέτοια φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () η οποία ανήκει στην

κατηγορία των στοιχειοκεραίων Λόγω των επαναλαμβανόμενων στοιχείων των οποίων συνδυάζουν τα

χαρακτηριστικά μπορούν να έχουν πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων και συγκεκριμένα εύρος μίας τάξης

μεγέθους επιτυγχάνεται εύκολα και μπορούν να έχουν και αρκετά μεγάλη κατευθυντικότητα Βρίσκουν

πολλές εφαρμογές στις επικοινωνίες υψηλών συχνοτήτων και ειδικά στα τηλεοπτικά σήματα αφού με

μία κεραία μπορεί κάποιος να λαμβάνει ικανοποιητικά όλα τα διαθέσιμα κανάλια χωρίς καμία προσαρμογή

34 Στοιχειοκεραίες

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω η μορφή του διαγράμματος εκπομπής και λήψης των κεραιών

εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της κεραίας Σε πολλές εφαρμογές απαιτούνται κεραίες μεγάλου

κέρδους ή αλλιώς μεγάλης κατευθυντικότητας Μία κεραία για να έχει μεγάλη κατευθυντικότητα

θα πρέπει να έχει πολύ μεγάλο μέγεθος Το πρόβλημα αυτό λύνεται φτιάχνοντας σύνθετες κεραίες

Κεραίες που αποτελούνται από μικρότερες κεραίες είτε όμοιες μεταξύ τους είτε ανόμοιες Τέτοιες

συστοιχίες κεραιών όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ονομάζονται στοιχειοκεραίες Το κάθε στοιχείο

μίας στοιχειοκεραίας μπορεί να είναι οποιασδήποτε μορφής κεραία (σύρματος οπής κλπ) με βασικό

χαρακτηριστικό όλα τα στοιχεία να έχουν κοινή τροφοδοσία Το συνολικό πεδίο θα είναι το διανυ-

σματικό άθροισμα των πεδίων κάθε στοιχείου ξεχωριστά Οπότε μπορούμε να έχουμε το επιθυμητό

πεδίο φτιάχνοντας την κεραία μας έτσι ώστε στα σημεία που θέλουμε μεγάλο κέρδος να συμβάλουν

εποικοδομητικά τα πεδία των στοιχείων της κεραίας και στα σημεία που δεν θέλουμε να ακτινοβολεί να

έχουμε καταστροφική συμβολή

Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας θα εξαρτάται από τους εξείς παράγοντες

bull Τη γεωμετρία της στοιχειοκεραίας ( γραμμικήκυκλικήορθογώνια σφαιρική κλπ)

bull Την απόσταση μεταξύ των στοιχείων της κεραίας

bull Την ένταση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

bull Τη φάση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

24

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Κεφάλαιο 2

Biogeography-Based Optimization

21 Εισαγωγή στην BBO

Ο Biogeographic-Based Optimization αλγόριθμος είναι ένας εξελικτικός αλγόριθμος που βασίζεται

στη λογική της βιογεωγραφικής εξέλιξης των ειδών Με τον όρο rdquoΒιογεωγραφίαrdquoπεριγράφεται η μελέτη

της γεωγραφικής κατανομής των βιολογικών οργανισμών Η μαθηματικοποίηση του φαινομένου μελε-

τάται από τις αρχές της δεκαετίας του 1960 και εξελίσσεται συνεχώς Στο φαινόμενο αυτό βασίζονται

και οι βιογεωγραφικοί αλγόριθμοι Η επιστημονική βάση της βιογεωγραφικής θεωρίας εδραιώθηκε από

τους φυσιοδίφες του 19ou αιώνα και συγκεκριμένα τον Charles Darwin (Δαρβίνο όπως συνηθίζεται να

αποκαλείται στα ελληνικά) και τον Alfred WallaceΗ αρχή των μαθηματικών μοντέλων έγινε στις αρχές

του 1960 από τους Robert McArthur και Edward Wilson με κατάληξη την έκδοση του rdquoThe theory ofIsland Biogeographyrdquo το 1967 Πρωτεύον αντικείμενο έρευνας ήταν η κατανομή διαφόρων ειδών σε γει-

τονικά νησιά και το μαθηματικό μοντέλο του αφανισμού και της μετανάστευσης τους από νησί σε νησί Η

ανάπτυξη λοιπόν των βιογεωγραφικών αλγορίθμων βασίζεται και μελετάει το πώς μεταναστεύει κάποιο

είδος από ένα νησί σε ένα άλλο πώς καινούρια είδη εμφανίζονται και πώς άλλα εξαφανίζονται Αντί για

τον όρο rdquoνησίrdquo μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ο όρος rdquoβιότοποςrdquo βάση του παραπάνω χαρακτηριστικών

Οι βιογεωγραφικοί αλγόριθμοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε οποιοδήποτε τομέα επιστήμης Οι

γεωγραφικές περιοχές που είναι κατάλληλες για τα είδη τα rdquoνησιάrdquo θεωρούμε ότι έχουν υψηλό δείκτη

καταλληλότητας (high Habitat Suitability Index (HSI))Μερικά χαρακτηριστικά που συσχετίζονται

με το δείκτη αυτό θα είναι οι βροχοπτώσεις η ποικιλομορφία της βλάστησης η ποικιλομορφία των

τοπογραφικών χαρακτηριστικών το έδαφος και η θερμοκρασία Οι μεταβλητές που χαρακτηρίζουν άν

είναι ή όχι ένας βιότοπος κατοικήσιμος ονομάζονται μεταβλητές δείκτη καταλληλότητας(SuitabilityIndex Variables (SIVs))Οι SIV μπορούν να θεωρηθούν ως ανεξάρτητες μεταβλητές του βιοτόπου και

ο HSI ως εξαρτημένη Ανάλογα με τον τομέα στον οποίο θα χρησιμοποιηθούν ορίζεται τι είναι τα

rdquoείδηrdquoκαι πώς ορίζεται ένα rdquoνησίrdquo Γενικά σαν είδος μπορεί να θεωρηθεί κάποια παράμετρος ή ένα

χαρακτηριστικό ενός προβλήματος και σαν rdquoνησίrdquoμία ομάδα τέτοιων παραμέτρων ή χαρακτηριστικών

22 Βιογεωγραφία

Βάση των παραπάνω μπορεί να γίνει μία ανάλυση της γενικής ιδέας της μεθόδου Βιότοποι με

υψηλό HSI θα έχουν μεγάλους αριθμούς ειδών ενώ αντίθετα περιοχές με χαμηλό HSI θα έχουν μικρό

αριθμό ειδών Περιοχές με υψηλό HSI λόγω των πολλών ειδών που έχουν και του πιθανού κορεσμού

τους θα έχουν πολλά είδη που θα μεταναστεύουν σε κοντινά νησιά ενώ θα έχουν λίγα είδη που θα

μεταναστεύουν προς αυτά Ο ρυθμός λοιπόν μετανάστευσης προς γειτονικές περιοχές θα είναι μεγα-

λύτερος σε αυτές που έχουν υψηλό HSI κάτι που όμως δεν σημαίνει ότι τα είδη που θα μεταναστεύουν

προς άλλες περιοχές θα εξαφανίζονται από την αρχική γιατί μόνο ένα μικρό μέρος τους θα φεύγει Θα

υπάρχουν στην αρχική περιοχή μεταναστεύοντας παράλληλα και στις γειτονικές Περιοχές με χαμηλό

HSI θα έχουν μεγάλο ρυθμό μεταναστών από γειτονικές λόγω του αραιού πληθυσμού που περιέχουν

9

Αυτό το φαινόμενο μπορεί να αυξήσει το HSI μίας περιοχής μιας και εξαρτάται από την ποικιλομορφία

των ειδών που περιέχει ΄Αν παραμείνει χαμηλός τα είδη που υπάρχουν θα τείνουν προς εξαφάνιση

ανοίγοντας το δρόμο για άλλους rdquoμετανάστεςrdquoαπό γειτονικές περιοχές Οπότε περιοχές με υψηλό HSIθα έχουν πιο στατική κατανομή ειδών και πληθυσμών ενώ οι περιοχές με χαμηλό HSI έχουν πιο δυναμική

Με τη παραπάνω γενική ιδέα μπορεί να γίνει μία πρώτη παρουσίαση της εφαρμογής τέτοιων

αλγορίθμων Θεωρούμε ένα πρόβλημα από οποιοδήποτε επιστημονικό ή όχι τομέα Μηχανική

οικονομικά ιατρικά επιχειρήσεις αθλητικά και πολλοί άλλοι τομείς μπορούν να χρησιμοποιήσουν

έναν βιογεωγραφικό αλγόριθμο για τη λύση ενός προβλήματος Βασική προϋπόθεση όμως είναι να

έχουμε κάποιο τρόπο αξιολόγησης της καταλληλότητας κάποιας λύσης του προβλήματος Μία καλή

λύση θα αντιστοιχεί σε περιοχή με υψηλό HSI ενώ μία λιγότερο καλή σε περιοχή με χαμηλό HSIΟι καλές λύσεις λοιπόν θα είναι πιο σταθερές ενώ οι όχι τόσο καλές θα τείνουν να μεταβάλλουν

τα χαρακτηριστικά τους Οι καλές λύσεις θα τείνουν να μοιράζονται τα χαρακτηριστικά τους με

τις λιγότερο καλές με πιθανότητα να τις βελτιώσουν Αυτό το χαρακτηριστικό και τη γενικότερη

διαδικασία ονομάζουμε λύση με χρήση βιογεωγραφικού αλγορίθμου βελτιστοποίησης

Σχήμα 21 Μετανάστευση

Στο διπλανό σχήμα (σχήμα ) φαίνονται οι καμπύλες

μετανάστευσης από καμπύλη μ και προς καμπύλη λ έναν

τόπο Και οι δύο καμπύλες είναι συναρτήσεις του αριθμού

των ειδών σε μία περιοχή Στο παρόν σχήμα αναπαριστώνται

σαν ευθείες κάτι που γενικά δεν ισχύει ΄Εχουν αρκετά πιο

πολύπλοκη μορφή Για την ανάλυση μας όμως ένα απλό

σχήμα δίνει μία γενική εικόνα χωρίς να οδηγεί σε θεωρητικά

λάθη ΄Οσο πιο πολλά είδη υπάρχουν τόσο μικρότερη πιθα-

νότητα να εισέλθουν άλλα Οπότε ο μεγαλύτερος ρυθμός

μετανάστευσης προς μία περιοχή θα υπάρχει όταν η περιοχή

αυτή δεν έχει κανένα είδος ΄Οσο μεγαλώνει ο αριθμός των

ειδών τόσο μικραίνει ο ρυθμός μετανάστευσης προς την

συγκεκριμένη περιοχή μέχρι τον μέγιστο αριθμό ειδών που

μπορεί να υποστηρίξει Smax στο διάγραμμα όπου ο ρυθμός

εισόδου ειδών θα είναι μηδενικός Το αντίστροφο ισχύει για

την μετανάστευση από μία περιοχή την καμπύλη μ ΄Οταν η

περιοχή δεν έχει κανένα είδος ο ρυθμός των ειδών που θα μεταναστεύουν από την περιοχή αυτή θα

είναι φυσικά μηδενικός ΄Οσο αυξάνεται ο αριθμός των ειδών τόσο θα αυξάνεται και ο ρυθμός με τον

οποίο θα μεταναστεύουν προς άλλες περιοχές μέχρι το μέγιστο που θα είναι η τιμή Ε η οποία θα

αντιστοιχεί στο μέγιστο αριθμό ειδών που μπορούν να υπάρξουν στην περιοχή αυτή Smax Ο αριθμός

ισορροπίας των ειδών είναι S0 όπως φαίνεται στο σχήμα που θα είναι ο αριθμός των ειδών για τον

οποίο ο ρυθμός μετανάστευσης από και ο ρυθμός προς την περιοχή θα είναι ίσοι Αυτή την τιμή τείνουν

να αποκτήσουν οι περιοχές Κάποιες μεταβολές είτε προς τα πάνω για λόγους όπως πχ μία απότομη

εισροή ειδών από κάποια γειτονική περιοχή είτε προς τα κάτω για λόγους όπως πχ κάποια αρρώστια

ένας αρκετά επιθετικός κυνηγός ή κάποια καταστροφή μπορεί να υπάρξουν αλλά σε κάποιο χρόνο

ανάλογο της απόκλισης θα επανέλθει η ισορροπία

Ας δούμε και με λίγα μαθηματικά τα παραπάνω Θεωρούμε την πιθανότητα Ps μία περιοχή να έχει

S είδη Η πιθανότητα αυτή θα αλλάζει από τη χρονική στιγμή t στην χρονική στιγμή t+1 βάση του

τύπου

Ps(t+ 1) = Ps(t) lowast (1minus λs∆tminus micros∆t) + Psminus1λsminus1∆t+ Ps+1micros+1∆t (21)

όπου οι όροι λs και micros είναι οι ρυθμοί μετανάστευσης προς και από μία περιοχή αντίστοιχα όταν

υπάρχουν S είδη στην περιοχή Η παραπάνω εξίσωση () ισχύει γιατί για να έχουμε S είδη τη στιγμή

t+ ∆t θα πρέπει να ισχύει κάτι από τα παρακάτω

1 υπήρχαν S είδη τη στιγμή t και δεν είχαμε μετανάστευση προς καμία κατεύθυνση στο χρονικό

10

διάστημα ∆t

2 υπήρχαν S-1 είδη τη στιγμή t και ένα είδος ήρθε ή

3 υπήρχαν S+1 είδη τη στιγμή t και ένα είδος έφυγε

Θεωρούμε ότι το ∆t είναι αρκετά μικρό ώστε να έχει χρόνο μόνο ένα είδος να έρθει ή να φύγει από

την περιοχή Παίρνοντας το όριο ∆trarr 0 της εξίσωσης () καταλήγουμε στην παρακάτω

Ps =

minus(λs + micros)Ps + micros+1Ps+1 S = 0

minus(λs + micros)Ps + λsminus1Psminus1 + micros+1Ps+1 1 le S le Smax minus 1minus(λs + micros)Ps + λsminus1Psminus1 S = Smax)

(22)

Θέτουμε n = Smax και P = [P0 Pn]T απλοποιημένα και πλέον μπορούμε να εκφράσουμε τις

εξισώσεις (για S=0 n) με την απλή εξίσωση πίνακα

P = A lowast P (23)

όπου ο πίνακας Α δίνεται από τον τύπο

A =

minus(λ0 + micro0) micro1 0 ldots 0

λ0 minus(λ1 + micro1) micro2

ddots

λnminus2 minus(λnminus1 + micronminus1) micron

0 0 λnminus1 minus(λn + micron)

(24)

Για τις ευθείες καμπύλες που φαίνονται στο παραπάνω σχήμα () θα έχουμε

microk = Ekn

λk = I(1minuskn

)(25)

Θεωρούμε την ειδική περίπτωση E = I Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε

microk + λk = E (26)

και ο πίνακας Α γίνεται

A = E lowast

minus1 1

n0 0

nnminus1 2

n

2nminus1 n

n

0 0 1nminus1

= E lowast Aprime (27)

όπου το Α΄ ορίζεται από την παραπάνω εξίσωση ()

11

Παρατήρηση 1 Το 0 είναι μία ιδιοτιμή του πίνακα Α΄ με ιδιοδιάνυσμα το

u = [u1 un+1]T

n(nminus1minusi)(iminus1) (i = 1 iprime)

un+2minus1 (i = iprime + 1 n+ 1)

(28)

όπου το irsquo είναι ο μικρότερος ακέραιος ο οποίος να είναι μεγαλύτερος ή ίσος με

τοn+12

ή με προγραμματιστικό συμβολισμό iprime = ceil(n+12

) Αυτό μπορεί να

επιβεβαιωθεί από την απευθείας λύση της εξίσωσης ιδιοτιμών Aprime lowast u = k lowast uγια την άγνωστη μεταβλητή k και το άγνωστο διάνυσμα u Σαν παράδειγμα

για n=4 έχουμε

u = [1 4 6 4 1]T (29)

όπως και για n=5 παίρνουμε

u = [1 5 10 10 5 1]T (210)

Εικασία 1 Οι ιδιοτιμές του Α΄ δίνονται ως εξής

k = 0minus2

nminus4

n minus2 (211)

Η παραπάνω εικασία δεν έχει αποδειχθεί ακόμα αλλά ισχύει για όλες τις τιμές

του ν για τις οποίες έχει εξεταστεί

Θεώρημα 1 Η τιμή σταθερής κατάστασης για την πιθανότητα των αριθμών κάθε είδους

δίνεται από τη σχέση

P (infin) =usumn+1i=1 ui

(212)

όπου τα u και ui δίνονται από την

Στη συνέχεια θα μελετήσουμε το πώς μπορούν τα παραπάνω να εφαρμοστούν σε ένα πρόβλημα

βελτιστοποίησης συγκεκριμένου τομέα

221 Μέθοδοι και παράμετροι της BBO

Σχήμα 22 Αναπαράσταση λύσεων

Μετανάστευση Θεωρούμε ότι έχουμε ένα πρόβλημα με

πολλές πιθανές λύσεις οι οποίες μπορούν να παρασταθούν ως

διανύσματα ακεραίων Κάθε τέτοιος ακέραιος θεωρείται ότι

είναι μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας (SIV) Αν έχουμε

έναν τρόπο αξιολόγησης της ποιότητας κάθε λύσης μπορούμε

να αναπαραστήσουμε κάθε λύση σαν μία περιοχή Οι καλές

ποιοτικά λύσεις θα έχουν υψηλό δείκτη καταλληλότητας

(HSI) ενώ οι λιγότερο καλές χαμηλό Οι λύσεις με υψηλό

HSI θα είναι οι περιοχές με πολλά είδη ενώ αυτές με χαμηλό

οι περιοχές με λίγα είδη Η καμπύλη μοντέλου μετανάστευ-

σης θεωρούμε ότι θα είναι ίδια για όλες τις περιοχές (για

μεγαλύτερη ευκολία Ε=Ι) με τη μεταβλητή S κάθε περιοχής

να εξαρτάται από το HSI της όπως φαίνεται στο διπλανό

σχήμα (σχήμα ) Η περιοχή στην οποία αντιστοιχεί το S1

είναι περιοχή με χαμηλό HSI ενώ αυτή με το S2 περιοχή

με υψηλό HSI ΄Οπως φαίνεται και από το διπλανό σχήμα η

περιοχή με S1θα έχει λίγα είδη υψηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ1) και χαμηλό από (micro1) αυτή

ενώ η περιοχή με δείκτη S2 θα έχει πολλά είδη χαμηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ2) και υψηλό

12

από (micro2) αυτή Οι ρυθμοί μ και λ χρησιμοποιούνται για την ανταλλαγή πληροφοριών μεταξύ των

περιοχών πιθανοκρατικά Με πιθανότητα Pmod αξιολογούμε κάθε λύση βάση των υπολοίπων και

όποιες επιλεχθούν να τροποποιηθούν βάση του λ πιθανοκρατικά αξιολογούνται οι SIV και επιλέγονται

αυτοί που θα τροποποιηθούν ΄Αν κάποιος SIV επιλεχθεί να τροποποιηθεί βάση του μ των υπόλοιπων

λύσεων επιλέγεται πάλι πιθανοκρατικά από ποια λύση θα μεταναστεύσει κάποιος τυχαίος SIV

Η μέθοδος αυτή της μετανάστευσης στους BBO αλγόριθμους είναι παρόμοια με τις μεθόδους

των εξελικτικών και γενετικών αλγόριθμων όπου πολλοί πρόγονοι μπορούν να συνδυαστούν για

την παραγωγοί ενός απογόνου με μία όμως σημαντική διαφορά Σε αντίθεση με τους εξελικτικούς

και γενετικούς αλγόριθμους στους οποίους οι προηγούμενες λύσεις καταστρέφονται από γενιά σε

γενιά στους BBO οι λύσεις παραμένουν και εξελίσσονται χωρίς να καταστρέφονται Φυσικά έχει

ενσωματωμένο κάποιου είδους ελιτισμός έτσι ώστε να μην επηρεάζονται οι βέλτιστες λύσεις

Μετάλλαξη Κατακλυσμικά γεγονότα μπορούν να αλλάξουν δραστικά τον HSI μίας περιοχής

όπως μπορούν να προκαλέσουν απόκλιση του αριθμού των ειδών από την ισορροπία επηρεάζοντας

τον HSI λόγω φαινομενικά τυχαίων φαινομένων Τέτοια φαινόμενα μοντελοποιούνται στους BBO με

την μετάλλαξη των HSI και χρησιμοποιείται η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών για τον

καθορισμό του ρυθμού μετάλλαξης Η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών υπακούει στην

διαφορική εξίσωση Παρατηρώντας την καμπύλη στο σχήμα βλέπουμε ότι οι περιοχές με χαμηλό

αριθμό ειδών αλλά και αυτές με υψηλό αριθμό ειδών έχουν σχετικά χαμηλή πιθανότητα κάτι που θα

μπορούσε να εξαχθεί και από το θεώρημα 1 σε αντίθεση με αυτή με μέσες τιμές γιατί τα δεύτερα είναι

πιο κοντά στο σημείο ισορροπίας Ως παράδειγμα ας θεωρήσουμε την περίπτωση όπου Smax = 10 Η

λύση σταθερής κατάστασης της εξίσωσης θα είναι ανεξάρτητη της αρχικής συνθήκης Π(0) και μπορεί

να υπολογιστεί με αριθμητικές μεθόδους είτε βάση του θεωρήματος 1 με αποτέλεσμα

P (infin) sim= [0001 0001 0044 0117 0205 0246 0205 0117 0044 0001 0001]T

Τα στοιχεία του P (infin) δίνουν άθροισμα μονάδα και η γραφική τους παράσταση δίνει μία άρτια

συνάρτηση συμμετρική στην κεντρική τιμή

Κάθε λύση έχει μία αντίστοιχη πιθανότητα η οποία είναι δείκτης του κατά πόσο ήταν αναμενόμενη

εξ αρχής η λύση αυτή στο συγκεκριμένο πρόβλημα Λύσεις με πολύ υψηλό αλλά και πολύ χαμηλό HSIείναι αρκετά απίθανες να υπάρξουν ενώ λύσεις με μέσους HSI κοντά στο σημείο ισορροπίας είναι πιο

πιθανές Λύση S με μικρή πιθανότητα PS είναι αρκετά απίθανη οπότε έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να

μεταλλαχθεί από ία λύση Srsquo με μεγάλη πιθανότητα P primeS Αυτό μπορεί να παρασταθεί με τον παρακάτω

τύπο όπου ο ρυθμός μετάλλαξης m είναι αντιστρόφως ανάλογος της πιθανότητας μίας λύσης

m(S) = mmax

(1minus PSPmax

)(213)

και mmax είναι μία παράμετρος που ορίζεται από το χρήστη Αυτό το μοντέλο μετάλλαξης τείνει

να αυξήσει τη διαφορετικότητα μεταξύ του πληθυσμού των λύσεων Χωρίς αυτό οι λύσεις με μεγάλη

πιθανότητα θα ήταν επικρατέστερες των υπολοίπων Δίνει λοιπόν τη δυνατότητα στις κακές λύσεις

να μεταλλαχθούν και να εξελιχθούν δίνοντας παράλληλα και τη δυνατότητα στις λύσεις με υψηλή

πιθανότατα να εξελιχθούν και να βελτιωθούν και άλλο Πρέπει να σημειωθεί ότι χρησιμοποιείται

μία ελιτίστικη προσέγγιση αποθηκεύοντας τη βέλτιστη λύση έτσι ώστε αν χειροτερέψει από μία

μετάλλαξη να μπορούμε να την επαναφέρουμε αν χρειαστεί Οπότε η μετάλλαξη χρησιμοποιείται και

τις κακές και στις καλές λύσεις Οι μέσες λύσεις θεωρούμε ότι καλυτερεύουν με την μετανάστευση

οπότε αποφεύγουμε να τις μεταλλάξουμε και έχουν μικρότερο ρυθμό μετάλλαξης Η υλοποίηση της

μετάλλαξης εξαρτάται από το εκάστοτε πρόβλημα και χρήστη

Ορισμοί της BBO και αλγόριθμος

Παρακάτω δίνονται κάποιοι ορισμοί ως ένα πρώτο βήμα για τη μορφοποίηση του BBO αλγόριθμου

παρουσιάζοντας παράλληλα και μία περιγραφή του αλγόριθμου Με το R αναφερόμαστε στο σύνολο

13

πραγματικών αριθμών με το Ζ ακεραίων και με το empty στο κενό σύνολο

Ορισμός 1 Μία περιοχή H isin SIV mείναι ένα διάνυσμα m ακεραίων που αντιπροσωπεύει μία

πιθανή λύση του προβλήματος

Ορισμός 2 Μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας SIV isin C είναι ένας ακέραιος επιτρεπτός

σε μία περιοχή C isin Zqείναι το σύνολο όλων των επιτρεπτών ακεραίων σε μία

περιοχή Η απαίτηση SIV isin C ονομάζεται περιορισμός όπως και σε υψηλότερο

επίπεδο η απαίτηση H isin SIV m

Ορισμός 3 ΄Ενας δείκτης καταλληλότητας περιοχής HSI H rarr R αποτελεί μέτρο την ποιότη-

τας καλής ή κακής της λύσης που αντιπροσωπεύει η περιοχή Σημείωση Στους

περισσότερους αλγόριθμους βασισμένους στους πληθυσμούς το HSI ονομάζεται κα-ταλληλότητα

Ορισμός 4 ΄Ενα οικοσύστημα Hnείναι ένα σύνολο από n περιοχές Το μέγεθος n είναι σταθερό

(μελλοντικοί αλγόριθμοι μπορεί να επιτρέπουν μεταβλητό n όπως κάποιοι γενετικοί

αλγόριθμοι επιτρέπουν μεταβλητό μέγεθος πληθυσμών)

Ορισμός 5 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή λ(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

αύξουσα συνάρτηση του HSI Το λi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV από μία

γειτονική περιοχή να μεταναστεύσει στην Hi

Ορισμός 6 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή micro(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

φθίνουσα συνάρτηση του HSI Το microi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV της Hi

να μεταναστεύσει προς μία γειτονική περιοχή Στην πράξη θεωρούμε ότι οι συναρ-

τήσεις λ και μ είναι γραμμικές με το ίδιο μέγιστο Αυτή η υπόθεση βοηθάει στην

στην απλούστευση των μαθηματικών υπολογισμών Καλύτερες επιδόσεις μπορεί να

είναι εφικτές αν παρεκκλίνουμε λίγο από την υπόθεση αυτή

Ορισμός 7 Τροποποίηση μίας περιοχής Ω(λμ) Hn rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής

που προσαρμόζει την περιοχή Η βάση του οικοσυστήματος Hn Η πιθανότητα μια

περιοχή Η να τροποποιηθεί είναι ανάλογη του ρυθμού μετανάστευσης προς αυτή λ

και η πιθανότητα η τροποποίηση αυτή να προέλθει από την περιοχή Hj είναι ανάλογη

του ρυθμού μετανάστευσης microj από την περιοχή Η τροποποίηση των περιοχών

μπορεί να περιγραφεί γενικά ως εξής

Επιλογή του Hi με πιθανότητα sim λi΄Αν έχει επιλεχθεί το Hi

For j=1 to nεπιλογή του Hj με πιθανότητα sim microiΑν έχει επιλεχθεί το Hj

τυχαία επιλογή ενός SIV σ από το Hj

αντικατάσταση ενός τυχαίου SIV της Hi με το σ

endend

endΑπό τον παραπάνω αλγόριθμο γίνεται φανερό ότι μπορεί να εφαρμοστεί ένα κρι-

τήριο ελιτισμού θέτοντας λ=0 για την p βέλτιστη περιοχή όπουp μία παράμετρος

ελιτισμού καθορισμένη από το χρήστη Ακόμα να σημειωθεί ότι ο ορισμός του Ω

εξασφαλίζει ότι η περιοχή Η που τροποποιείται ικανοποιεί τους περιορισμούς του

SIVΟρισμός 8 Η μετάλλαξη Μ(λμ) H rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής που τυχαία τρο-

ποποιεί τις SIVs μίας περιοχής βάση της αρχικής πιθανότητας ύπαρξης της περιοχής

Η πιθανότητα ύπαρξης μίας περιοχής υπολογίζεται όπως αναφέρθηκε παραπάνω

από τους ρυθμούς λ και μ Η μετάλλαξη μπορεί να περιγραφεί ως εξής

14

For j=1 to mχρήση των microi και λi για τον υπολογισμό της πιθανότητας Piεπιλογή της SIV Hi(j) με πιθανότητα sim PiΑν έχει επιλεχθεί το Hi(j)

Αντικατάσταση του Hi(j) με ένα τυχαία δημιουργημένο SIVend

end΄Οπως και παραπάνω ο ελιτισμός μπορεί να υλοποιηθεί θέτοντας πιθανότητα με-

τάλλαξης μηδενική για την περιοχή με τη βέλτιστη λύση p Από τον παραπάνω

ορισμό βλέπουμε ότι πρέπει η μετάλλαξη να έχει κατάλληλους περιορισμούς ώστε

να καταλήγει σε HSI που να υπακούν στους περιορισμούς των SIVs

Ορισμός 9 Μία συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος Ψ ( m n λ μ Ω Μ) Hn rarr Hn

είναι μία εξάδα που τροποποιεί το οικοσύστημα από μία επανάληψη στην επόμενη

Η συνάρτηση τροποποίησης του οικοσυστήματος μπορεί να γραφεί ως εξής

ψ = λn micron Ωn HSIn Mn HSI (214)

Η συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος λοιπόν ξεκινάει υπολογίζοντας τους ρυθ-

μούς μετανάστευση προς και από μία περιοχή Εν συνεχεία λαμβάνει χώρα η τρο-

ποποίηση των περιοχών ακολουθούμενη από έναν επαναϋπολογισμό των HSI

Τέλος εφαρμόζεται μετάλλαξη και ξαναϋπολογίζονται οι HSI κάθε περιοχής

Ορισμός 10 ΄Ενας BBO αλγόριθμος BBO(Ι Ψ Τ) είναι μία τριάδα που προτείνει μία λύση σε

ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης I empty rarr Hn HSIn είναι μία συνάρτηση η οποία

παράγει ένα αρχικό οικοσύστημα περιοχών και υπολογίζει τις αντίστοιχες HSI Ψείναι μία συνάρτηση τροποποίησης οικοσυστήματος όπως ορίστηκε παραπάνω και

T Hn rarr true false είναι ένα κριτήριο τερματισμού του αλγόριθμου

Η συνάρτηση Ι μπορεί να υλοποιηθεί με μία γεννήτρια τυχαίων αριθμών ευρετι-

κών λύσεων στο πρόβλημα βελτιστοποίησης ή με οιαδήποτε άλλη διαδικασία που

να εξαρτάται από το πρόβλημα Το Τ μπορεί να εξαρτάται από τον αριθμό των

Ψ επαναλήψεων το HSI της βέλτιστης περιοχής ή οποιοδήποτε άλλο κριτήριο

βάση του προβλήματος Οπότε ο αλγόριθμος BBO μπορεί να περιγραφεί από το

παρακάτω

Ι

όσο δεν ισχύει το Τ

Ψ

end

Μία απλουστευμένη περιγραφή του BBO αλγόριθμου θα μπορούσε να είναι η παρακάτω

1 Αρχικοποίηση των παραμέτρων του αλγορίθμου Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρεθεί μία μέθοδος

χαρτογράφησης των λύσεων του προβλήματος σε SIVs και περιοχές σύμφωνα με το πρόβλημα

Ακόμα αρχικοποιούμε ή ορίζουμε το μέγιστο αριθμό ειδών Smax τους μέγιστους ρυθμούς μετα-

νάστευσης Ε και Ι το μέγιστο ρυθμό μετάλλαξης mmax και μία παράμετρο ελιτισμού Πρέπει να

σημειωθεί ότι ο μέγιστος αριθμός ειδών και οι μέγιστοι ρυθμοί μετανάστευσης είναι αλληλοεξαρ-

τώμενα μεγέθη Οπότε αν όλα αλλάζουν κατά το ίδιο ποσοστό η συμπεριφορά του ΒΒΟ δεν θα

αλλάζει Αυτό συμβαίνει γιατί άν τα Ε Ι και Smax αλλάξουν οι ρυθμοί μετανάστευσης μ λ και ο

αριθμός των ειδών S θα αλλάξουν κατά την ίδια σχετική ποσότητα για όλες τις περιοχές ή λύσεις

2 Αρχικοποίηση μίας τυχαίας ομάδας περιοχών όπου κάθε περιοχή θα αντιστοιχεί σε πιθανή λύση

Αυτό είναι η υλοποίηση του συνόλου Ι

3 Για κάθε περιοχή καθορισμός των HSI για τον αριθμό ειδών S και των ρυθμών μετανάστευσης μ

και λ

15

4 Χρήση βάση πιθανοτήτων των ρυθμών μετανάστευσης για την τροποποίηση των μη ελιτίστικων

περιοχών και επαναϋπολογισμό των HSI αυτών

5 Για κάθε περιοχή ενημέρωση της πιθανότητας των αριθμών των ειδών βάση της εξίσωσης

Στη συνέχεια μετάλλαξη των μη ελιτίστικων περιοχών βάση των πιθανοτήτων τους και ξανά

υπολογισμός των HSI

6 Επιστροφή στο βήμα 3 για την επόμενη επανάληψη της διαδικασίας Η διαδικασία μπορεί

να σταματήσει μετά από έναν προκαθορισμένο αριθμό επαναλήψεων ή με την επίτευξη μίας

επιθυμητής λύσης Αυτή είναι η υλοποίηση του κριτηρίου τερματισμού Τ

Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι μετά από κάθε βήμα που αλλάζει κάτι σε μία περιοχή ή λύση πρέπει να

επαληθεύεται κάθε περιοχή ως πιθανή λύση του προβλήματος Αν όχι πρέπει να υπάρχει μία διαδικασία

η οποία να την τροποποιεί ώστε να γίνεται πιθανή λύση

Τέλος επειδή ένας τέτοιος αλγόριθμος θα συγκριθεί στη συνέχεια με τους υπόλοιπους που αναφέρ-

θηκαν παραπάνω είναι χρήσιμο να γίνουν πιο διακριτές οι διαφορές τους Η πρώτη τέτοια διαφορά είναι

ότι στους BBO αλγόριθμους δεν υπάρχει η έννοια της αναπαραγωγής ή των γενεών απογόνων όπως

υπάρχουν στους γενετικούς και τους εξελικτικούς αλγόριθμους Δεν δημιουργούνται καινούριες λύσεις

από κύκλο σε κύκλο αλλά εξελίσσονται οι υπάρχουσες Για τον ίδιο λόγο διαφέρει και από τους ACO(Ant Colony Optimization) αλγόριθμους Σαν λογική είναι πιο κοντά στους PSO (Particle SwarmOptimization) και DE (Differential Evolution) αλγόριθμους μιας και αυτοί διατηρούν και εξελίσσουν

τις υπάρχουσες λύσεις τους κάνοντας την κάθε λύση να μαθαίνει από τους γείτονες και να προσαρ-

μόζεται καθώς προχωράει ο αλγόριθμος Οι PSO αντιπροσωπεύουν κάθε λύση σαν ένα σημείο στο

χώρο και τις αλλαγές μεταξύ των επαναλήψεων του αλγόριθμου με διάνυσμα ταχύτητας ΄Ομως στους

αλγόριθμους αυτούς δεν αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η ταχύτητα των σημείων έχοντας αποτέλεσμα

τη μεταβολή των λύσεων Στους DE αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η αλλαγή αυτή γίνεται βάση των

διαφορών μεταξύ άλλων λύσεων Ακόμα οι DE δεν βασίζεται σε βιολογικές αρχές Οι BBO αλγόριθμοι

μπορούν να διαχωριστούν από τους DE και PSO στο χαρακτηριστικό ότι αλλάζουν άμεσα τις λύσεις

τους ανταλλάσσοντας χαρακτηριστικά μεταξύ τους μέσω της μετανάστευσης

16

Κεφάλαιο 3

Κεραίες

31 Γενικά

Με τον όρο umlκεραίαrsquo αναφερόμαστε σε μία διάταξη που είναι σχεδιασμένη να δέχεται ηκαι να εκπέμπει

ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Είναι μία διάταξη η οποία μετατρέπει ηλεκτρομαγνητική ενέργεια που

οδεύει σε μια γραμμή μεταφοράς ή ένα κυματοδηγό σε ηλεκτρομαγνητικό κύμα στο χώρο και viceversa Οι κεραίες είναι είτε παθητικές

1 είτε τροφοδοτούμενες

2

Λόγω της μεγάλης ανάπτυξης των τηλεπικοινωνιών και των πολλών συστημάτων που χρησιμοποιούν-

ται3 έχει αναπτυχθεί μια τεράστια ποικιλία κεραιών ώστε να καλύπτουν τις ειδικές ανάγκες διαφόρων

εφαρμογών και να διευκολύνεται η κατασκευή και ένταξή τους στο φυσικό και δομημένο περιβάλλον

Η μεγάλη αυτή ποικιλία συστημάτων κεραιών επιβάλει τον διαχωρισμό τους σε κατηγορίες βάσει της

μορφής τους και της αρχής λειτουργίας τους Αλλά σε όποια κατηγορία και να ανήκει μία κεραία έχει

κάποια βασικά χαρακτηριστικά

32 Χαρακτηριστικά κεραιών

Σε μία κεραία αυτό που μας ενδιαφέρει είναι το πώς εκπέμπει ή λαμβάνει στο χώρο ή αλλιώς οι ιδιότητες

ακτινοβολίας (μακρινού πεδίου4) Η γραφική παράσταση των ιδιοτήτων αυτών γίνεται με το διάγραμμα

ακτινοβολίας της Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας κεραίας είναι δηλαδή η τρισδιάστατη γραφική

παράσταση των ιδιοτήτων ακτινοβολίας της κεραίας Βρίσκεται με μετρήσεις κάποιου μεγέθους με

τη μετατόπιση μίας πρόμπας γύρω από την κεραία Παριστάνει τη γωνιακή κατανομή του μέτρου της

έντασης του πεδίου της πυκνότητας ισχύος ή της έντασης ακτινοβολίας Επειδή θέλουμε το διάγραμμα

ακτινοβολίας να δίνει τη γενική συμπεριφορά της κεραίας σε οποιοδήποτε σήμα μπορεί να λάβει ή να

εκπέμψει οι τιμές είναι κανονικοποιημένες5

Τα διαγράμματα ακτινοβολίας σχεδιάζονται και για

την ικανότητα εκπομπής και λήψης μίας κεραίας και για συγκεκριμένη είναι τα ίδια (εκπομπής και λήψης)

Από τα διαγράμματα ακτινοβολίας βλέπουμε σε ποια σημεία του χώρου η κεραία εκπέμπει (ή αν

1Αποτελούνται μόνο από παθητικά στοιχεία απλά μετατρέπουν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα σε ηλεκτρομαγνητική ενέρ-

γεια χωρίς κάποια επεξεργασία του σήματος2΄Εχουν και ενεργά στοιχεία τα οποία μπορούν να κάνουν ενίσχυση σήματος ή ακόμα και επεξεργασία σήματος όπως

πχ μεταβολή συχνότητας3Από τις πιο μικρές ηλεκτρονικές συσκευές πχ πομποί GPS (Global Positioning System) μέχρι μεγάλα συστήματα

πχ δορυφόροι οπουδήποτε εφαρμόζεται ασύρματη επικοινωνία απαραίτητο εξάρτημα είναι μία κεραία4Ο χώρος γύρω από μία κεραία ως προς την κεραία χωρίζεται σε μακρινό και κοντινό πεδίο Στο κοντινό πεδίο

το διάγραμμα επηρεάζεται έντονα από τις επαγωγικές και χωρητικές συνιστώσες που εμφανίζονται στην κεραία κατά τη

ροή του ρεύματος ενώ στο μακρινό όχι και γι΄ αυτό το διάγραμμα του μακρινού πεδίου είναι σταθεροποιημένο ενώ του

κοντινού όχι Τα διαγράμματα που δίνουν οι κατασκευαστές είναι διαγράμματα μακρινού πεδίου Διάκριση μεταξύ μακρινού

και κοντινού πεδίου γίνεται βάσει της απόστασης από την κεραία όπου για R gt 2lowastD2

λ θεωρούμε μακρινό πεδίο όπου λ

είναι το μήκος κύματος D η διάμετρος της κεραίας και R η απόσταση από αυτήν5Λόγω των κανονικοποιημένων τιμών του διαγράμματος ακτινοβολίας το διάγραμμα πυκνότητας ισχύος και έντασης

ακτινοβολίας είναι ταυτόσημα

17

είναι διάγραμμα λήψης λαμβάνει) τη μεγαλύτερη και σε ποια τη μικρότερη ισχύ Το τρισδιάστατο

της περιγραφής επιτυγχάνεται με το συνδυασμό δύο διαγραμμάτων το κάθετο (κάθετη τομή στον

τρισδιάστατο χώρο) και το οριζόντιο (οριζόντια τομή) Η κεραία θεωρείται στο κέντρο του διαγράμματος

και το διάγραμμα συνδέει στην ουσία τον χώρο με την ακτινοβολούμενη ισχύ ή με την ικανότητα

λήψης ισχύος για διάγραμμα εκπομπής και λήψης αντίστοιχα και είναι όπως προαναφέρθηκε η

γραφική αναπαράσταση της συμπεριφοράς της κεραίας στο χώρο Μας δείχνει σε ποιες περιοχές του

χώρου εκπέμπει και πόση ισχύ ή αντίστοιχα από ποιες περιοχές του χώρου και πόση ισχύ μπορεί

να λάβει η κεραία Είτε επειδή δε θέλουμε σπατάλη ισχύος σε rdquoαδιάφορεςrdquoπεριοχές είτε επειδή δεν

θέλουμε να παρεμβάλλουμε δημιουργώντας θόρυβο σε άλλες κεραίες κατά την εκπομπή και είτε επειδή

θέλουμε να λαμβάνουμε τη μέγιστη δυνατή ισχύ αν ξέρουμε από που λαμβάνουμε και να μειώνουμε

το θόρυβο από τις άλλες πηγές τα διαγράμματα ακτινοβολίας είναι πολύ χρήσιμα στο σχεδιασμό μίας

κεραίας Τέλος μία άλλη χρήση είναι η σύγκριση κεραιών είτε γενικά είτε για συγκεκριμένες εφαρμογές

Σχήμα 31 Διάγραμμα ακτινοβολίας

Στο διπλανό σχήμα () φαίνεται ένα τυπικό και αρκετά

απλοποιημένο διάγραμμα ακτινοβολίας Σε αυτό διακρίνουμε

τον κύριο λοβό που είναι το τμήμα η μεγαλύτερη κλειστή

καμπύλη που διακρίνεται από το γεγονός ότι έχει τη μέγιστη

τιμή στο διάγραμμα Συνήθως τα διαγράμματα ακτινοβολίας

είναι πολικά όπως αυτό του σχήματος 31 με βαθμονόμηση

από 0μέχρι 360

και ο κύριος λοβός στη γενική περίπτωση

τοποθετείται στις 0 Ο λοβός που βρίσκεται στις 180

ονο-

μάζεται οπίσθιος λοβός και οι υπόλοιποι λοβοί ονομάζονται

πλευρικοί Ανάλογα με την περίπτωση οι υπόλοιποι εκτός του

κύριου είναι ανεπιθύμητοι είτε επιθυμητοί και προσπαθούμε

αντίστοιχα να τους καταστείλουμε ή να τους ενισχύσουμε

Οι πλευρικοί λοβοί οφείλονται σε φαινόμενα καταστροφικής

ή εποικοδομητικής συμβολής των κυμάτων που εκπέμπονται

από τη κεραία Η κλίμακα στο διάγραμμα είναι σε deciBellκαι τα μεγέθη είναι κανονικοποιημένα

6 ΄Ετσι η μέγιστη τιμή θα είναι στα 0 db και οι υπόλοιπες

σε αρνητικές τιμές Τα διαγράμματα αυτά έχουν τέτοια βαθμονόμηση γιατί θέλουμε να εκφράζουν

ποιοτικά τη συμπεριφορά της κεραίας αλλά και γιατί οι τιμές έντασης ή ισχύος που θέλουμε να αναπα-

ραστήσουμε είναι πολλών τάξεων μεγέθους και θα θέλαμε πολύ μεγάλα διαγράμματα για κανονικές τιμές

΄Ενα πιο αναλυτικό διάγραμμα ακτινοβολίας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () και είναι διάγραμμα

μίας κεραίας Yagi-Uda Οι κύκλοι που φαίνονται στο διάγραμμα αντιστοιχούν στις τιμές -3 -10 -20

-30 και -40 dB και είναι χωρισμένοι σε τμήματα των 10 Οι κύκλοι αυτοί δείχνουν τα σημεία που

έχει μειωθεί το μέγεθος στο 50 στο 10 στο 1 στο 01 και στο 001 αντίστοιχα Η

γωνία των σημείων στα οποία ο κύριος λοβός τέμνει τον πρώτο κύκλο ονομάζεται γωνία ημίσειας ισχύος

Σχήμα 32 Καρτεσιανό διάγραμμα

Εκτός των πολικών διαγραμμάτων υπάρχουν και τα καρτεσιανά

τα οποία είναι η καρτεσιανή προβολή των πολικών Παράδειγμα

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () όπου φαίνεται το άνοιγμα μισής

ισχύος και το επίπεδο του πρώτου πλευρικού λοβού Επειδή τα

διαγράμματα ακτινοβολίας σχηματίζονται όπως προαναφέρθηκε

και αφορούν τη χωρική συμπεριφορά μίας κεραίας στο μακρινό

πεδίο οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε την κεραία ως σημείο

τα καρτεσιανά διαγράμματα δεν έχουν καλή αναπαράσταση της

πραγματικότητας Αλλά είναι αρκετά χρήσιμα στη μελέτη κεραιών

και στην καλύτερη εποπτεία των χαρακτηριστικών της από τα πολικά και για το λόγο αυτό σχεδιάζονται

και χρησιμοποιούνται κατά κόρον

6΄Ενα κανονικοποιημένο διάγραμμα έχει την ίδια μορφή με ένα μη κανονικοποιημένο με μόνη αλλαγή την κλίμακα και

ότι τα μεγέθη είναι ο λογάριθμος του λόγου της τιμής προς τη μέγιστη

18

Σχήμα 33 Διάγραμμα ακτινοβολίας Yagi-Uda κεραίας

Από ένα διάγραμμα ακτινοβολίας μπορούμε να βρούμε τα παρακάτω χαρακτηριστικά μίας κεραίας (ή

και παραμέτρους του διαγράμματος όπως αναφέρονται συχνά)

Σχήμα 34 Ισοτροπική και μη

bull Κατευθυντικότητα δείκτης της ικανότητα της κεραίας να

συγκεντρώσει την ακτινοβολία εκπομπής προς μία συγκεκριμένη

κατεύθυνση και βρίσκεται αναφορικά με μία ιδανική (ισοτροπική)

κεραία Η σύγκριση την όποιας κεραίας με μία ισοτροπική φαίνεται

στο διπλανό σχήμα () Τα εμβαδά είναι ίσα οπότε εκπέμπουν

και οι δύο την ίδια ισχύ αλλά στην επιθυμητή κατεύθυνση η μη

ισοτροπική στέλνει μεγαλύτερη ισχύ Η κατευθυντικότητα λοιπόν

είναι η διαφορά σε dB των δύο διαγραμμάτων στην κατεύθυνση

του μεγίστου Είναι αντιστρόφως ανάλογη με το εύρος του κυρίως

λοβού

bull Εύρος δέσμης μισής ισχύος οριζόντιου και κάθετου επιπέδου ( HPBW )

αναφέρεται στην ενεργό περιοχή κάλυψης της κεραίας και ορίζεται ώς η γωνία μεταξύ των σημείων

του κύριου λοβού όπου η ισχύς είναι μισή της μέγιστης ή σε dB 3dB κάτω από την μέγιστη και

προσδιορίζει την περιοχή που εμφανίζεται μέγιστη εκπομπή ενώ εκτός της περιοχής αυτής η ισχύς

μειώνεται πολύ γρήγορα

bull Εύρος δέσμης επίπεδο (dB) πρώτων σημείων μηδενισμού οριζόντιου καικάθετου επιπέδου (FNBW) ορίζεται ως η γωνία μεταξύ των δύο πρώτων μηδενισμών του

μεγέθους εκατέρωθεν του κύριου λοβού

bull Λόγος κύριου προς οπίσθιο λοβό (FB)

bull Επίπεδα (dB) και εύρος γωνιών πλευρικών λοβών και οπίσθιων λοβώνbull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με τον αμέσως μικρότερο λοβό του διαγράμ-ματος ακτινοβολίας

bull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με όλους τους υπόλοιπους του διαγράμματοςακτινοβολίας

bull Λόγος κύριου προς επόμενο μεγαλύτερο λοβό (Side-Lobe Level) ορίζεται ως ο λόγος

του μεγίστου του κυρίως λοβού προς τον αμέσως μικρότερο πλευρικό λοβό (SLL = MainLobeMaxSideLobe

dB)

και είναι ένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά μίας κεραίας Πολλές φορές αναφέρεται και ώς επίπεδο

πλευρικών λοβών

Τα χαρακτηριστικά μίας κεραίας μπορούν να υπολογιστούν και να περιγραφούν όχι μόνο βάσει του

19

διαγράμματος ακτινοβολίας της Μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της μετρώντας και υπολο-

γίζοντας κατάλληλα μεγέθη και κάνοντας χρήση γνωστών μαθηματικών τύπων

bull Συνολική ακτινοβολούμενη ενέργεια η συνολική (ή μέσος όρος) ενέργεια που ακτινο-

βολεί μία κεραία και υπολογίζεται από τον τύπο

Prad = Pav =

lsaquoS

~Wrad middot d~s =

lsaquoS

~Wav middot n middot da =1

2

lsaquoS

lt( ~E times ~H) middot d~s (31)

όπου Wrad=πυκνότητα ακτινοβολίας

bull ΄Ενταση ακτινοβολίας η ενέργεια που εκπέμπεται από μία κεραία ανά μονάδα στερεάς γωνίας

U = r2 middotWrad (32)

όπου r=απόσταση

bull Κατευθυντικότητα είναι ο λόγος της ακτινοβολούμενης ενέργειας σε μία συγκεκριμένη κα-

τεύθυνση προς το μέσο όρο εκπεμπόμενης ακτινοβολίας σε όλες τις κατευθύνσεις ΄Η αλλιώς

η ένταση προς μία συγκεκριμένη κατεύθυνση προς την αντίστοιχη τιμή της αν ακτινοβολούσε

ισοτροπικά

D =U

Uo=

4pU

Prad(33)

΄Αν δεν ορίζεται κατεύθυνση σαν κατευθυντικότητα αναφέρεται η μέγιστη κατευθυντικότητα μίας

κεραίας

bull Κέρδος αν και συνδέεται με την κατευθυντικότητα είναι μία παράμετρος της κεραίας που λαμ-

βάνει υπόψιν και την αποδοτικότητα της κεραίας αλλά και τις δυνατότητες κατευθυντικότητας

Απόλυτο κέρδος κεραίας (σε συγκεκριμένη κατεύθυνση) ορίζεται ο λόγος της έντασης ακτινοβο-

λίας προς την ένταση ακτινοβολίας που θα είχε στη συγκεκριμένη κατεύθυνση άν όλη η ενέργεια

εισόδου της κεραίας εκπεμπόταν ισοτροπικά

κέρδος = 4π middot ένταση ακτινοβολίας

συνολική εισερχόμενη ενέργεια= 4π

U(θ φ)

Pinputrarr

G = 4π U(θφ)Pinput (ιδανικής ισοτροπικής πηγής)

(34)

bull Απόδοση κεραίας είναι ένας δείκτης που λαμβάνει υπόψιν τις απώλειες ενέργειας από την

είσοδο στην έξοδο της κεραίας λόγω πολλών φαινομένων Γενικά η συνολική απόδοση μίας

κεραίας δίνεται από τον τύπο

eo = er middot ec middot ed (35)

όπου eo είναι η συνολική απόδοση er είναι η απόδοση λόγω απωλειών ανακλάσεων (λόγω κακής

προσαρμογής) (= 1minus|Γ|2) ec είναι η απόδοση λόγω απωλειών αγωγιμότητας ed είναι η απόδοση

που οφείλεται στο διηλεκτρικό και Γ ο συντελεστής ανάκλασης τάσης

bull Απόδοση δέσμης είναι μία παράμετρος ποιότητας μίας κεραίας και ορίζεται από το λόγο της

ενέργειας που ακτινοβολείται από τον κύριο λοβό της κεραίας (με το λοβό σε γωνία θ0) προς τη

συνολική

BE =

acute 2π0

acute θ0U(θ φ)sin(θ)dθdφacute 2π

0

acute π0U(θ φ)sin(θ)dθdφ

(36)

όπου θ1 είναι η γωνία μισής ισχύος ΄Αν θεωρήσουμε το θ1 στην κατεύθυνση του πρώτου μηδενι-

σμού τότε θα έχουμε το λόγο της ισχύος του κυρίως λοβού προς τη συνολική

bull Εύρος σαν εύρος μιας κεραίας ορίζεται το εύρος των συχνοτήτων (bandwidth) στις οποίες

μπορεί να λειτουργήσει αποδοτικά βάσει κάποιων χαρακτηριστικών της πχ να έχει εύρος κύριου

λοβού εντός συγκεκριμένων ορίων διατηρώντας μία ελάχιστη τιμή SLL

20

33 Κατηγορίες κεραιών

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω οι κεραίες χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με τα μορ-

φολογικά αλλά και λειτουργικά χαρακτηριστικά τους Βάσει του τρόπου με τον οποίο εκπέμπουν ή

λαμβάνουν ή αλλιώς βάσει του διαγράμματος ακτινοβολίας τους χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες

bull Ισοτροπικές μία ισοτροπική κεραία ορίζεται ως μία υποθετική (ιδανική) κεραία η οποία ακτινο-

βολεί το ίδιο προς όλες τις κατευθύνσεις Δεν έχει κάποια πραγματική εφαρμογή στα τηλεπικοι-

νωνιακά συστήματα γιατί η ισχύς της εκπέμπεται προς όλες τις κατευθύνσεις το ίδιο προκαλώντας

μεγάλες απώλειες ισχύος σε ανεπιθύμητες κατευθύνσεις ΄Εχει μόνο θεωρητική αξία στη μελέτη

κεραιών και στον ορισμό κάποιων παραμέτρων των κεραιών όπως το κέρδος που είδαμε παραπάνω

bull Κατευθυντικές μία κατευθυντική κεραία ορίζεται ως η κεραία που έχει την ικανότητα να

εκπέμπει ή να λαμβάνει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αποτελεσματικότερα προς κάποιες κατευ-

θύνσεις Είναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κεραίες και η εξέλιξη αυτών είναι οι έξυπνες

κεραίες που ανάλογα με τις ανάγκες της κάθε συσκευής και τα χαρακτηριστικά του χώρου που

βρίσκεται μπορούν να αλλάξουν τη γωνία μέγιστης εκπομπής κάνοντας βέλτιστη χρήση της α-

κτινοβολούμενης ισχύος της

bull Πανκατευθυντικές μία πανκατευθυντική κεραία είναι μία κεραία η οποία ακτινοβολεί σαν

κατευθυντική εκτός από ένα επίπεδο στο οποίο εκπέμπει ή λαμβάνει ισοτροπικά Η χρήση τους

είναι κυρίως στα μέσα μαζικής επικοινωνίας όπου χρειάζεται κάλυψη του χώρου 360 μοιρών στο

οριζόντιο επίπεδο αλλά πολύ μικρής γωνίας στο κάθετο

Βάσει των μορφολογικών χαρακτηριστικών τους χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες Η κάθε

κατηγορία έχει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της που την καθιστούν κατάλληλη για κάποια

εφαρμογή και ακατάλληλη για κάποια άλλη Παρακάτω αναφέρονται οι κατηγορίες αυτές των κεραιών

με τα βασικά χαρακτηριστικά της κάθε μίας

bull Κεραίες σύρματος Είναι απλές κεραίες κατασκευασμένες από αγώγιμο υλικό συνήθως

κυκλικής διατομής Πολλές φορέα σχηματίζονται από πολλούς αγωγούς κατάλληλα συζευγμένους

μεταξύ τους σε πλέγματα διαφόρων σχημάτων που είτε δημιουργούν μία επιφάνεια είτε μία γραμμική

κεραία Η απλούστερη γραμμική κεραία είναι η κεραία διπόλου τα χαρακτηριστικά της οποίας είναι

ανάλογα με το σχετικό μήκος της ως προς το μήκος κύματος της ακτινοβολίας για την οποία προορίζε-

ται7 Οι συγκεκριμένες είναι πολύ απλές στην κατασκευή πολύ συχνά απλά συρμάτινες Αποτελείται

από ένα δίπολο του οποίου (συνήθως) η τροφοδοσία8είναι στη μέση Πλεονεκτήματα των κεραιών

αυτών είναι το κόστος το μέγεθος και η δυνατότητα κάλυψης μεγάλης περιοχής συχνοτήτων ενώ

έχουν το μειονέκτημα της χαμηλής απόδοσης λόγω των διαστάσεων τους Καλύτερα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης έχουν οι διπολικές κεραίες των οποίων το μήκος είναι της τάξης του μήκους κύματος

Σχήμα 35 Κεραία διπόλου

Μία κεραία σύρματος χαρακτηρίζεται ως rdquoλεπτήrdquoόταν η διάμε-

τρος του αγωγού είναι μικρότερη από 001λ Ανάλογα με το σχήμα

της χαρακτηρίζεται ως ευθύγραμη κεραία V ή πτυσσόμενη Στο

διπλανό σχήμα () φαίνονται μία ευθύγραμμη και μία πτυσσόμενη

διπολική κεραία Στις πτυσσόμενες σημαντική είναι η γωνία που

σχηματίζουν οι βραχίονες τους έχοντας βρεθεί ότι η μέγιστη

κατευθυντικότητα επιτυγχάνεται για γωνία α = 60λh

+ 380

όπου h είναι το μήκος του βραχίονα και λ το μήκος κύματος τη

ακτινοβολίας και ότι Dmax = 12 + 23hλ9

7Μία κεραία χαρακτηρίζεται ως ηλεκτρικά μικρή όταν οι διαστάσεις της είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος

της ακτινοβολίας8Με τον όρο τροφοδοσία εννοούμε το υπόλοιπο σύστημα το οποίο τροφοδοτεί η κεραία με το σήμα που λαμβάνει στην

περίπτωση κεραίας λήψης ή από το οποίο τροφοδοτείται με το σήμα που θα εκπέμψει στην περίπτωση κεραίας εκπομπής

9Η σχέση αυτή είναι εμπειρική και ισχύει για 05 lt h

λ lt 3

21

Σχήμα 36 Κεραία Yagi-Uda

Μία εξέλιξη των παραπάνω κεραιών είναι οι κεραίες Yagi-Udaπου ένα διάγραμμα ακτινοβολίας τέτοιας κεραίας παρατέθηκε

παραπάνω () Είναι ευθύγραμμες διπολικές κεραίες που α-

ποτελούνται από πέραν του ενός δίπολα τα οποία όμως δεν

τροφοδοτούνται όλα Τα μη τροφοδοτούμενα δίπολα ονομάζονται

παρασιτικά και τροφοδοτούνται επαγωγικά από τα υπόλοιπα Οι

κεραίες αυτές παρουσιάζουν αυξημένη κατευθυντικότητα σχετικά

με τις μη παρασιτικές κεραίες διπόλων Η πρώτη τέτοια κεραία

κατασκευάστηκε το 1926 και αποτελούταν από τρία δίπολα ένα

ενεργό και δύο παρασιτικά Στην περίπτωση που το παρασιτικό

δίπολο έχει μεγαλύτερο μήκος από του ενεργού ονομάζεται

ανακλαστήρας ενώ αν έχει μικρότερο ονομάζεται κατευθυντήρας

Μία γενική μορφή τέτοιας κεραίας φαίνεται στο διπλανό σχήμα με LR το μήκος του ανακλαστήρα και

LD το μήκος του κατευθυντήρα

bull Στοιχειοκεραίες Μία εξέλιξη των συρμάτινων κεραιών είναι οι στοιχειοκεραίες Οι

στοιχειοκεραίες αποτελούνται από πολλές κεραίες διπόλων τα στοιχεία τα οποία ενώνονται όλα σε

μία κοινή τροφοδοσία και αυτή είναι η βασική τους διαφορά από τις Yagi-Uda που έχουν παρασιτικά

στοιχεία και ο λόγος που οι τελευταίες δε θεωρούνται στοιχειοκεραίες Συστοιχείες λοιπόν πολλών

κεραιών φτιάχνουν τις στοιχειοκεραίες Ανάλογα με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της συστοιχίας

υπάρχουν κάποια είδη στοιχειοκεραιών όπως είναι οι γραμμικές (μία συστοιχία σε ευθεία γραμμή) και

οι επίπεδες (συστοιχείες συστοιχείων) Λόγω της ταυτόχρονης χρήσης πολλών κεραιών μπορούν να

συνδυάσουν τα χαρακτηριστικά τους δίνοντας δυνατότητα πολύπλοκων κατευθυντικών διαγραμμάτων

καθιστώντας τες κατάλληλες για πολλές εφαρμογές Συγκριτικά με μία κεραία μεγάλου μήκους που

θα έχει τα ίδια κατευθυντικά χαρακτηριστικά παρουσιάζει το πλεονέκτημα της εύκολης τροφοδο-

σίας της μηχανικής αντοχής και του μικρού κόστους εγκατάστασης και λειτουργίας Τέλος με

κατάλληλη τροφοδοσία του κάθε στοιχείου της μπορούμε να αλλάξουμε τα κατευθυντικά χαρακτηρι-

στικά της ΄Εχουν πολλές γεωμετρικές μορφές αλλά και είδη που θα αναφερθούν σε επόμενη παράγραφο

bull Κεραίες βρόχου ή πλαισίου Μία κεραία βρόχου αποτελείται από έναν κλειστό αγωγό σε

σχήμα βρόχου (ή και βρόχων) ο οποίος τροφοδοτείται σε ένα σημείο του Χωρίζονται σε κεραίες μικρού

και μεγάλου βρόχου συγκριτικά με το μήκος κύματος στο οποίο χρησιμοποιούνται10

Οι μικρού

βρόχου έχουν χαμηλή απόδοση και χρησιμοποιούνται κατά κόρον σε δέκτες χαμηλών συχνοτήτων

Εκτός από τους ραδιοφωνικούς δέκτες των αυτοκινήτων στους οποίους γίνεται μεγάλη χρήση των

κεραιών μικρού βρόχου το μεγαλύτερο ποσοστό των δεκτών AM χρησιμοποιούν τέτοιες κεραίες

Οι μεγάλου βρόχου έχουν ευρεία χρήση στους δέκτες VHF και UHF έχοντας και το επιπλέον

χαρακτηριστικό της μεταβλητής περιφέρειας δίνοντας δυνατότητα μεγαλύτερου εύρους συχνοτήτων

Γενικά οι κεραίες βρόχου είναι κεραίες με μεγάλη κατευθυντικότητα κάτι που τις κάνει ιδανικές σε

εφαρμογές εύρεσης κατεύθυνσης σήματος

bull Ελικοειδής κεραίες Μία ελικοειδής κεραία αποτελείται από έναν αγωγό που έχει τη μορφή

έλικας στον οποίο η τροφοδοσία είναι στο ένα του άκρο Αποτελεί συνδυασμό κεραίας βρόχου και

γραμμικής κεραίας οπότε μπορεί να εκπέμπει με δύο τρόπους (ρυθμούς) αξονικά και κάθετα στον άξονα

της έλικας κάτι που της δίνει βελτιωμένα χαρακτηριστικά συγκριτικά με τις δύο αυτές κατηγορίες

Χρησιμοποιείται κατά κόρον όπου απαιτείται κυκλική πόλωση σήματος σαν πομπός ή σε σήματα που

έχουν κυκλική πόλωση σαν δέκτης και έχει αρκετά μεγάλο εύρος ζώνης συχνοτήτων Ανάλογα με τα

χαρακτηριστικά που πρέπει να έχει μία ελικοειδής κεραία μπορεί να είναι ομοιόμορφη (όλες οι έλικες

ίδια διάμετρο) αυξανόμενης ελαττούμενης και αυξο-ελαττούμενης διαμέτρου ελίκων

bull Δικωνικές κεραίες ΄Αν δύο V ενωθούν κατακορυφήν σχηματίζεται μία δικωνική κεραία οι

οποίες έχουν αυξημένο εύρος συχνοτήτων Πολλές δικωνικές κεραίες έχουν τη δυνατότητα μεταβολής

10Σαν κεραία μικρού βρόχου θα χαρακτηριστεί η κεραία της οποίας η περιφέρεια θα είναι ίση ή μικρότερη από το ένα

δέκατο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας

22

του μήκους του βραχίονα τους δίνοντας ακόμα μεγαλύτερο εύρος Αν μία από τις δύο V κεραίες

αντικατασταθεί από μία αγώγιμη επιφάνεια σε σχήμα δίσκου έχουμε τη δισκωνική κεραία στην οποία

ο δίσκος λειτουργεί ως ανακλαστήρας Είναι κεραίες μικρής κατευθυντικότητας και χαμηλού κέρδους

και χρησιμοποιούνται πολύ σαν κεραίες ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών εκπομπών

bull Σπειροειδής κεραίες Οι σπειροειδής κεραίες είναι κεραίες με μεγάλο εύρος ζώνης

συχνοτήτων και μεγάλης κατευθυντικότητας Αποτελούνται από μία ή δύο αγωγούς που έχουν σχήμα

σπείρας και όσο μικρότερη γωνία ανοίγματος σπείρας έχουν τόσο μεγαλύτερη κατευθυντικότητα

Μπορεί να είναι επίπεδες ή κωνικές και η πόλωση του σήματος που λαμβάνουν ή εκπέμπουν είναι

ανάλογη με τη φορά των σπειρών Το εύρος συχνοτήτων τους δίνεται από το λόγο μεγαλύτερης προς

μικρότερης διαμέτρου άν και στην πραγματικότητα είναι λίγο μικρότερο του λόγου αυτού Μία αρκετά

διαδεδομένη σπειροειδής κεραία είναι η rdquoσπειροειδής του Αρχιμήδηrdquoη οποία αποτελείται από δύο σπε-

ίρες με r1 = r0φ και r2 = r0(φminusπ) οι οποίες συνήθως κατασκευάζονται πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα11

bull Κεραίες χοάνης Οι κεραίες χοάνης αποτελούνται από έναν αγωγό ο οποίος είναι από το

ένα άκρο του ανοιχτός και διεγείρεται από το άλλο του άκρο Με σωστή ρύθμιση έχουν μεγαλύτερη

απόδοση από τις συρμάτινες Ανάλογα με το σχήμα του αγωγού μπορεί να υπάρχουν αρκετά είδη

τέτοιων κεραιών τρία εκ των οποίων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα () Η κατευθυντικότητα της

είναι ανάλογη της γωνίας ανοίγματος της Στην πράξη συναντούμε ελάχιστες κεραίες χοάνης μόνες

τους αλλά σε συνδυασμό με έναν ανακλαστήρα έχουν πολύ διαδεδομένη χρήση λόγω της πολύ μεγάλης

κατευθυντικότητας που προσφέρουν ειδικά στις περιπτώσεις που ο ανακλαστήρας είναι παραβολικός

όπου υπάρχει η δυνατότητα παραγωγής πολύ στενής δέσμης υψηλού κέρδους και χαμηλού θορύβου

Χρησιμοποιούνται πολύ στις δορυφορικές επικοινωνίες και η πιο συνηθισμένη τους μορφή είναι τα umlπιάταrsquo

που χρησιμοποιούνται για τη λήψη δορυφορικών σημάτων

Σχήμα 37 Κεραίες χοάνης α)τομέας β)πυραμοειδής και γ)κωνική

bull Λογαριθμικές περιοδικές κεραίες Είναι κεραίες των οποίων τα μορφολογικά χα-

ρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με την απόσταση από την αρχή της κεραίας Υπάρχει ένα

επαναλαμβανόμενο στοιχείο κεραίας το οποίο μεγαλώνει όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της

κεραίας Μπορεί να είναι μία πλάκα με οδοντώσεις το μέγεθος των οποίων μεταβάλλεται ένα σύρμα

11Οι κεραίες που είναι κατασκευασμένες πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα ή αλλιώς σε μικροταινίες ανήκουν και στην

κατηγορία των μικροταινιακών κεραιών πολύ διαδεδομένη στις ηλεκτρονικές φορητές συσκευές που λειτουργούν στην

περιοχή των μικροκυμάτων (λόγω διαστάσεων κεραιών είναι ιδανικές για την περιοχή αυτή)

23

Σχήμα 38 Λογαριθμική περιοδική κεραία

το οποίο διπλώνεται κατάλληλα και το μέγεθος της κάθε δίπλωσης μεταβάλλεται ή ακόμα και από

δίπολα το μήκος των οποίων μεταβάλλεται Πολλές κεραίες που ανήκουν σε παραπάνω κατηγορίες είναι

λογαριθμικές μπορεί να είναι λογαριθμικές αν η μεταβολή των επαναλαμβανόμενων στοιχείων ακολουθεί

το συγκεκριμένο πρότυπο Μία τέτοια φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () η οποία ανήκει στην

κατηγορία των στοιχειοκεραίων Λόγω των επαναλαμβανόμενων στοιχείων των οποίων συνδυάζουν τα

χαρακτηριστικά μπορούν να έχουν πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων και συγκεκριμένα εύρος μίας τάξης

μεγέθους επιτυγχάνεται εύκολα και μπορούν να έχουν και αρκετά μεγάλη κατευθυντικότητα Βρίσκουν

πολλές εφαρμογές στις επικοινωνίες υψηλών συχνοτήτων και ειδικά στα τηλεοπτικά σήματα αφού με

μία κεραία μπορεί κάποιος να λαμβάνει ικανοποιητικά όλα τα διαθέσιμα κανάλια χωρίς καμία προσαρμογή

34 Στοιχειοκεραίες

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω η μορφή του διαγράμματος εκπομπής και λήψης των κεραιών

εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της κεραίας Σε πολλές εφαρμογές απαιτούνται κεραίες μεγάλου

κέρδους ή αλλιώς μεγάλης κατευθυντικότητας Μία κεραία για να έχει μεγάλη κατευθυντικότητα

θα πρέπει να έχει πολύ μεγάλο μέγεθος Το πρόβλημα αυτό λύνεται φτιάχνοντας σύνθετες κεραίες

Κεραίες που αποτελούνται από μικρότερες κεραίες είτε όμοιες μεταξύ τους είτε ανόμοιες Τέτοιες

συστοιχίες κεραιών όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ονομάζονται στοιχειοκεραίες Το κάθε στοιχείο

μίας στοιχειοκεραίας μπορεί να είναι οποιασδήποτε μορφής κεραία (σύρματος οπής κλπ) με βασικό

χαρακτηριστικό όλα τα στοιχεία να έχουν κοινή τροφοδοσία Το συνολικό πεδίο θα είναι το διανυ-

σματικό άθροισμα των πεδίων κάθε στοιχείου ξεχωριστά Οπότε μπορούμε να έχουμε το επιθυμητό

πεδίο φτιάχνοντας την κεραία μας έτσι ώστε στα σημεία που θέλουμε μεγάλο κέρδος να συμβάλουν

εποικοδομητικά τα πεδία των στοιχείων της κεραίας και στα σημεία που δεν θέλουμε να ακτινοβολεί να

έχουμε καταστροφική συμβολή

Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας θα εξαρτάται από τους εξείς παράγοντες

bull Τη γεωμετρία της στοιχειοκεραίας ( γραμμικήκυκλικήορθογώνια σφαιρική κλπ)

bull Την απόσταση μεταξύ των στοιχείων της κεραίας

bull Την ένταση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

bull Τη φάση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

24

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Αυτό το φαινόμενο μπορεί να αυξήσει το HSI μίας περιοχής μιας και εξαρτάται από την ποικιλομορφία

των ειδών που περιέχει ΄Αν παραμείνει χαμηλός τα είδη που υπάρχουν θα τείνουν προς εξαφάνιση

ανοίγοντας το δρόμο για άλλους rdquoμετανάστεςrdquoαπό γειτονικές περιοχές Οπότε περιοχές με υψηλό HSIθα έχουν πιο στατική κατανομή ειδών και πληθυσμών ενώ οι περιοχές με χαμηλό HSI έχουν πιο δυναμική

Με τη παραπάνω γενική ιδέα μπορεί να γίνει μία πρώτη παρουσίαση της εφαρμογής τέτοιων

αλγορίθμων Θεωρούμε ένα πρόβλημα από οποιοδήποτε επιστημονικό ή όχι τομέα Μηχανική

οικονομικά ιατρικά επιχειρήσεις αθλητικά και πολλοί άλλοι τομείς μπορούν να χρησιμοποιήσουν

έναν βιογεωγραφικό αλγόριθμο για τη λύση ενός προβλήματος Βασική προϋπόθεση όμως είναι να

έχουμε κάποιο τρόπο αξιολόγησης της καταλληλότητας κάποιας λύσης του προβλήματος Μία καλή

λύση θα αντιστοιχεί σε περιοχή με υψηλό HSI ενώ μία λιγότερο καλή σε περιοχή με χαμηλό HSIΟι καλές λύσεις λοιπόν θα είναι πιο σταθερές ενώ οι όχι τόσο καλές θα τείνουν να μεταβάλλουν

τα χαρακτηριστικά τους Οι καλές λύσεις θα τείνουν να μοιράζονται τα χαρακτηριστικά τους με

τις λιγότερο καλές με πιθανότητα να τις βελτιώσουν Αυτό το χαρακτηριστικό και τη γενικότερη

διαδικασία ονομάζουμε λύση με χρήση βιογεωγραφικού αλγορίθμου βελτιστοποίησης

Σχήμα 21 Μετανάστευση

Στο διπλανό σχήμα (σχήμα ) φαίνονται οι καμπύλες

μετανάστευσης από καμπύλη μ και προς καμπύλη λ έναν

τόπο Και οι δύο καμπύλες είναι συναρτήσεις του αριθμού

των ειδών σε μία περιοχή Στο παρόν σχήμα αναπαριστώνται

σαν ευθείες κάτι που γενικά δεν ισχύει ΄Εχουν αρκετά πιο

πολύπλοκη μορφή Για την ανάλυση μας όμως ένα απλό

σχήμα δίνει μία γενική εικόνα χωρίς να οδηγεί σε θεωρητικά

λάθη ΄Οσο πιο πολλά είδη υπάρχουν τόσο μικρότερη πιθα-

νότητα να εισέλθουν άλλα Οπότε ο μεγαλύτερος ρυθμός

μετανάστευσης προς μία περιοχή θα υπάρχει όταν η περιοχή

αυτή δεν έχει κανένα είδος ΄Οσο μεγαλώνει ο αριθμός των

ειδών τόσο μικραίνει ο ρυθμός μετανάστευσης προς την

συγκεκριμένη περιοχή μέχρι τον μέγιστο αριθμό ειδών που

μπορεί να υποστηρίξει Smax στο διάγραμμα όπου ο ρυθμός

εισόδου ειδών θα είναι μηδενικός Το αντίστροφο ισχύει για

την μετανάστευση από μία περιοχή την καμπύλη μ ΄Οταν η

περιοχή δεν έχει κανένα είδος ο ρυθμός των ειδών που θα μεταναστεύουν από την περιοχή αυτή θα

είναι φυσικά μηδενικός ΄Οσο αυξάνεται ο αριθμός των ειδών τόσο θα αυξάνεται και ο ρυθμός με τον

οποίο θα μεταναστεύουν προς άλλες περιοχές μέχρι το μέγιστο που θα είναι η τιμή Ε η οποία θα

αντιστοιχεί στο μέγιστο αριθμό ειδών που μπορούν να υπάρξουν στην περιοχή αυτή Smax Ο αριθμός

ισορροπίας των ειδών είναι S0 όπως φαίνεται στο σχήμα που θα είναι ο αριθμός των ειδών για τον

οποίο ο ρυθμός μετανάστευσης από και ο ρυθμός προς την περιοχή θα είναι ίσοι Αυτή την τιμή τείνουν

να αποκτήσουν οι περιοχές Κάποιες μεταβολές είτε προς τα πάνω για λόγους όπως πχ μία απότομη

εισροή ειδών από κάποια γειτονική περιοχή είτε προς τα κάτω για λόγους όπως πχ κάποια αρρώστια

ένας αρκετά επιθετικός κυνηγός ή κάποια καταστροφή μπορεί να υπάρξουν αλλά σε κάποιο χρόνο

ανάλογο της απόκλισης θα επανέλθει η ισορροπία

Ας δούμε και με λίγα μαθηματικά τα παραπάνω Θεωρούμε την πιθανότητα Ps μία περιοχή να έχει

S είδη Η πιθανότητα αυτή θα αλλάζει από τη χρονική στιγμή t στην χρονική στιγμή t+1 βάση του

τύπου

Ps(t+ 1) = Ps(t) lowast (1minus λs∆tminus micros∆t) + Psminus1λsminus1∆t+ Ps+1micros+1∆t (21)

όπου οι όροι λs και micros είναι οι ρυθμοί μετανάστευσης προς και από μία περιοχή αντίστοιχα όταν

υπάρχουν S είδη στην περιοχή Η παραπάνω εξίσωση () ισχύει γιατί για να έχουμε S είδη τη στιγμή

t+ ∆t θα πρέπει να ισχύει κάτι από τα παρακάτω

1 υπήρχαν S είδη τη στιγμή t και δεν είχαμε μετανάστευση προς καμία κατεύθυνση στο χρονικό

10

διάστημα ∆t

2 υπήρχαν S-1 είδη τη στιγμή t και ένα είδος ήρθε ή

3 υπήρχαν S+1 είδη τη στιγμή t και ένα είδος έφυγε

Θεωρούμε ότι το ∆t είναι αρκετά μικρό ώστε να έχει χρόνο μόνο ένα είδος να έρθει ή να φύγει από

την περιοχή Παίρνοντας το όριο ∆trarr 0 της εξίσωσης () καταλήγουμε στην παρακάτω

Ps =

minus(λs + micros)Ps + micros+1Ps+1 S = 0

minus(λs + micros)Ps + λsminus1Psminus1 + micros+1Ps+1 1 le S le Smax minus 1minus(λs + micros)Ps + λsminus1Psminus1 S = Smax)

(22)

Θέτουμε n = Smax και P = [P0 Pn]T απλοποιημένα και πλέον μπορούμε να εκφράσουμε τις

εξισώσεις (για S=0 n) με την απλή εξίσωση πίνακα

P = A lowast P (23)

όπου ο πίνακας Α δίνεται από τον τύπο

A =

minus(λ0 + micro0) micro1 0 ldots 0

λ0 minus(λ1 + micro1) micro2

ddots

λnminus2 minus(λnminus1 + micronminus1) micron

0 0 λnminus1 minus(λn + micron)

(24)

Για τις ευθείες καμπύλες που φαίνονται στο παραπάνω σχήμα () θα έχουμε

microk = Ekn

λk = I(1minuskn

)(25)

Θεωρούμε την ειδική περίπτωση E = I Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε

microk + λk = E (26)

και ο πίνακας Α γίνεται

A = E lowast

minus1 1

n0 0

nnminus1 2

n

2nminus1 n

n

0 0 1nminus1

= E lowast Aprime (27)

όπου το Α΄ ορίζεται από την παραπάνω εξίσωση ()

11

Παρατήρηση 1 Το 0 είναι μία ιδιοτιμή του πίνακα Α΄ με ιδιοδιάνυσμα το

u = [u1 un+1]T

n(nminus1minusi)(iminus1) (i = 1 iprime)

un+2minus1 (i = iprime + 1 n+ 1)

(28)

όπου το irsquo είναι ο μικρότερος ακέραιος ο οποίος να είναι μεγαλύτερος ή ίσος με

τοn+12

ή με προγραμματιστικό συμβολισμό iprime = ceil(n+12

) Αυτό μπορεί να

επιβεβαιωθεί από την απευθείας λύση της εξίσωσης ιδιοτιμών Aprime lowast u = k lowast uγια την άγνωστη μεταβλητή k και το άγνωστο διάνυσμα u Σαν παράδειγμα

για n=4 έχουμε

u = [1 4 6 4 1]T (29)

όπως και για n=5 παίρνουμε

u = [1 5 10 10 5 1]T (210)

Εικασία 1 Οι ιδιοτιμές του Α΄ δίνονται ως εξής

k = 0minus2

nminus4

n minus2 (211)

Η παραπάνω εικασία δεν έχει αποδειχθεί ακόμα αλλά ισχύει για όλες τις τιμές

του ν για τις οποίες έχει εξεταστεί

Θεώρημα 1 Η τιμή σταθερής κατάστασης για την πιθανότητα των αριθμών κάθε είδους

δίνεται από τη σχέση

P (infin) =usumn+1i=1 ui

(212)

όπου τα u και ui δίνονται από την

Στη συνέχεια θα μελετήσουμε το πώς μπορούν τα παραπάνω να εφαρμοστούν σε ένα πρόβλημα

βελτιστοποίησης συγκεκριμένου τομέα

221 Μέθοδοι και παράμετροι της BBO

Σχήμα 22 Αναπαράσταση λύσεων

Μετανάστευση Θεωρούμε ότι έχουμε ένα πρόβλημα με

πολλές πιθανές λύσεις οι οποίες μπορούν να παρασταθούν ως

διανύσματα ακεραίων Κάθε τέτοιος ακέραιος θεωρείται ότι

είναι μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας (SIV) Αν έχουμε

έναν τρόπο αξιολόγησης της ποιότητας κάθε λύσης μπορούμε

να αναπαραστήσουμε κάθε λύση σαν μία περιοχή Οι καλές

ποιοτικά λύσεις θα έχουν υψηλό δείκτη καταλληλότητας

(HSI) ενώ οι λιγότερο καλές χαμηλό Οι λύσεις με υψηλό

HSI θα είναι οι περιοχές με πολλά είδη ενώ αυτές με χαμηλό

οι περιοχές με λίγα είδη Η καμπύλη μοντέλου μετανάστευ-

σης θεωρούμε ότι θα είναι ίδια για όλες τις περιοχές (για

μεγαλύτερη ευκολία Ε=Ι) με τη μεταβλητή S κάθε περιοχής

να εξαρτάται από το HSI της όπως φαίνεται στο διπλανό

σχήμα (σχήμα ) Η περιοχή στην οποία αντιστοιχεί το S1

είναι περιοχή με χαμηλό HSI ενώ αυτή με το S2 περιοχή

με υψηλό HSI ΄Οπως φαίνεται και από το διπλανό σχήμα η

περιοχή με S1θα έχει λίγα είδη υψηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ1) και χαμηλό από (micro1) αυτή

ενώ η περιοχή με δείκτη S2 θα έχει πολλά είδη χαμηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ2) και υψηλό

12

από (micro2) αυτή Οι ρυθμοί μ και λ χρησιμοποιούνται για την ανταλλαγή πληροφοριών μεταξύ των

περιοχών πιθανοκρατικά Με πιθανότητα Pmod αξιολογούμε κάθε λύση βάση των υπολοίπων και

όποιες επιλεχθούν να τροποποιηθούν βάση του λ πιθανοκρατικά αξιολογούνται οι SIV και επιλέγονται

αυτοί που θα τροποποιηθούν ΄Αν κάποιος SIV επιλεχθεί να τροποποιηθεί βάση του μ των υπόλοιπων

λύσεων επιλέγεται πάλι πιθανοκρατικά από ποια λύση θα μεταναστεύσει κάποιος τυχαίος SIV

Η μέθοδος αυτή της μετανάστευσης στους BBO αλγόριθμους είναι παρόμοια με τις μεθόδους

των εξελικτικών και γενετικών αλγόριθμων όπου πολλοί πρόγονοι μπορούν να συνδυαστούν για

την παραγωγοί ενός απογόνου με μία όμως σημαντική διαφορά Σε αντίθεση με τους εξελικτικούς

και γενετικούς αλγόριθμους στους οποίους οι προηγούμενες λύσεις καταστρέφονται από γενιά σε

γενιά στους BBO οι λύσεις παραμένουν και εξελίσσονται χωρίς να καταστρέφονται Φυσικά έχει

ενσωματωμένο κάποιου είδους ελιτισμός έτσι ώστε να μην επηρεάζονται οι βέλτιστες λύσεις

Μετάλλαξη Κατακλυσμικά γεγονότα μπορούν να αλλάξουν δραστικά τον HSI μίας περιοχής

όπως μπορούν να προκαλέσουν απόκλιση του αριθμού των ειδών από την ισορροπία επηρεάζοντας

τον HSI λόγω φαινομενικά τυχαίων φαινομένων Τέτοια φαινόμενα μοντελοποιούνται στους BBO με

την μετάλλαξη των HSI και χρησιμοποιείται η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών για τον

καθορισμό του ρυθμού μετάλλαξης Η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών υπακούει στην

διαφορική εξίσωση Παρατηρώντας την καμπύλη στο σχήμα βλέπουμε ότι οι περιοχές με χαμηλό

αριθμό ειδών αλλά και αυτές με υψηλό αριθμό ειδών έχουν σχετικά χαμηλή πιθανότητα κάτι που θα

μπορούσε να εξαχθεί και από το θεώρημα 1 σε αντίθεση με αυτή με μέσες τιμές γιατί τα δεύτερα είναι

πιο κοντά στο σημείο ισορροπίας Ως παράδειγμα ας θεωρήσουμε την περίπτωση όπου Smax = 10 Η

λύση σταθερής κατάστασης της εξίσωσης θα είναι ανεξάρτητη της αρχικής συνθήκης Π(0) και μπορεί

να υπολογιστεί με αριθμητικές μεθόδους είτε βάση του θεωρήματος 1 με αποτέλεσμα

P (infin) sim= [0001 0001 0044 0117 0205 0246 0205 0117 0044 0001 0001]T

Τα στοιχεία του P (infin) δίνουν άθροισμα μονάδα και η γραφική τους παράσταση δίνει μία άρτια

συνάρτηση συμμετρική στην κεντρική τιμή

Κάθε λύση έχει μία αντίστοιχη πιθανότητα η οποία είναι δείκτης του κατά πόσο ήταν αναμενόμενη

εξ αρχής η λύση αυτή στο συγκεκριμένο πρόβλημα Λύσεις με πολύ υψηλό αλλά και πολύ χαμηλό HSIείναι αρκετά απίθανες να υπάρξουν ενώ λύσεις με μέσους HSI κοντά στο σημείο ισορροπίας είναι πιο

πιθανές Λύση S με μικρή πιθανότητα PS είναι αρκετά απίθανη οπότε έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να

μεταλλαχθεί από ία λύση Srsquo με μεγάλη πιθανότητα P primeS Αυτό μπορεί να παρασταθεί με τον παρακάτω

τύπο όπου ο ρυθμός μετάλλαξης m είναι αντιστρόφως ανάλογος της πιθανότητας μίας λύσης

m(S) = mmax

(1minus PSPmax

)(213)

και mmax είναι μία παράμετρος που ορίζεται από το χρήστη Αυτό το μοντέλο μετάλλαξης τείνει

να αυξήσει τη διαφορετικότητα μεταξύ του πληθυσμού των λύσεων Χωρίς αυτό οι λύσεις με μεγάλη

πιθανότητα θα ήταν επικρατέστερες των υπολοίπων Δίνει λοιπόν τη δυνατότητα στις κακές λύσεις

να μεταλλαχθούν και να εξελιχθούν δίνοντας παράλληλα και τη δυνατότητα στις λύσεις με υψηλή

πιθανότατα να εξελιχθούν και να βελτιωθούν και άλλο Πρέπει να σημειωθεί ότι χρησιμοποιείται

μία ελιτίστικη προσέγγιση αποθηκεύοντας τη βέλτιστη λύση έτσι ώστε αν χειροτερέψει από μία

μετάλλαξη να μπορούμε να την επαναφέρουμε αν χρειαστεί Οπότε η μετάλλαξη χρησιμοποιείται και

τις κακές και στις καλές λύσεις Οι μέσες λύσεις θεωρούμε ότι καλυτερεύουν με την μετανάστευση

οπότε αποφεύγουμε να τις μεταλλάξουμε και έχουν μικρότερο ρυθμό μετάλλαξης Η υλοποίηση της

μετάλλαξης εξαρτάται από το εκάστοτε πρόβλημα και χρήστη

Ορισμοί της BBO και αλγόριθμος

Παρακάτω δίνονται κάποιοι ορισμοί ως ένα πρώτο βήμα για τη μορφοποίηση του BBO αλγόριθμου

παρουσιάζοντας παράλληλα και μία περιγραφή του αλγόριθμου Με το R αναφερόμαστε στο σύνολο

13

πραγματικών αριθμών με το Ζ ακεραίων και με το empty στο κενό σύνολο

Ορισμός 1 Μία περιοχή H isin SIV mείναι ένα διάνυσμα m ακεραίων που αντιπροσωπεύει μία

πιθανή λύση του προβλήματος

Ορισμός 2 Μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας SIV isin C είναι ένας ακέραιος επιτρεπτός

σε μία περιοχή C isin Zqείναι το σύνολο όλων των επιτρεπτών ακεραίων σε μία

περιοχή Η απαίτηση SIV isin C ονομάζεται περιορισμός όπως και σε υψηλότερο

επίπεδο η απαίτηση H isin SIV m

Ορισμός 3 ΄Ενας δείκτης καταλληλότητας περιοχής HSI H rarr R αποτελεί μέτρο την ποιότη-

τας καλής ή κακής της λύσης που αντιπροσωπεύει η περιοχή Σημείωση Στους

περισσότερους αλγόριθμους βασισμένους στους πληθυσμούς το HSI ονομάζεται κα-ταλληλότητα

Ορισμός 4 ΄Ενα οικοσύστημα Hnείναι ένα σύνολο από n περιοχές Το μέγεθος n είναι σταθερό

(μελλοντικοί αλγόριθμοι μπορεί να επιτρέπουν μεταβλητό n όπως κάποιοι γενετικοί

αλγόριθμοι επιτρέπουν μεταβλητό μέγεθος πληθυσμών)

Ορισμός 5 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή λ(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

αύξουσα συνάρτηση του HSI Το λi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV από μία

γειτονική περιοχή να μεταναστεύσει στην Hi

Ορισμός 6 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή micro(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

φθίνουσα συνάρτηση του HSI Το microi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV της Hi

να μεταναστεύσει προς μία γειτονική περιοχή Στην πράξη θεωρούμε ότι οι συναρ-

τήσεις λ και μ είναι γραμμικές με το ίδιο μέγιστο Αυτή η υπόθεση βοηθάει στην

στην απλούστευση των μαθηματικών υπολογισμών Καλύτερες επιδόσεις μπορεί να

είναι εφικτές αν παρεκκλίνουμε λίγο από την υπόθεση αυτή

Ορισμός 7 Τροποποίηση μίας περιοχής Ω(λμ) Hn rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής

που προσαρμόζει την περιοχή Η βάση του οικοσυστήματος Hn Η πιθανότητα μια

περιοχή Η να τροποποιηθεί είναι ανάλογη του ρυθμού μετανάστευσης προς αυτή λ

και η πιθανότητα η τροποποίηση αυτή να προέλθει από την περιοχή Hj είναι ανάλογη

του ρυθμού μετανάστευσης microj από την περιοχή Η τροποποίηση των περιοχών

μπορεί να περιγραφεί γενικά ως εξής

Επιλογή του Hi με πιθανότητα sim λi΄Αν έχει επιλεχθεί το Hi

For j=1 to nεπιλογή του Hj με πιθανότητα sim microiΑν έχει επιλεχθεί το Hj

τυχαία επιλογή ενός SIV σ από το Hj

αντικατάσταση ενός τυχαίου SIV της Hi με το σ

endend

endΑπό τον παραπάνω αλγόριθμο γίνεται φανερό ότι μπορεί να εφαρμοστεί ένα κρι-

τήριο ελιτισμού θέτοντας λ=0 για την p βέλτιστη περιοχή όπουp μία παράμετρος

ελιτισμού καθορισμένη από το χρήστη Ακόμα να σημειωθεί ότι ο ορισμός του Ω

εξασφαλίζει ότι η περιοχή Η που τροποποιείται ικανοποιεί τους περιορισμούς του

SIVΟρισμός 8 Η μετάλλαξη Μ(λμ) H rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής που τυχαία τρο-

ποποιεί τις SIVs μίας περιοχής βάση της αρχικής πιθανότητας ύπαρξης της περιοχής

Η πιθανότητα ύπαρξης μίας περιοχής υπολογίζεται όπως αναφέρθηκε παραπάνω

από τους ρυθμούς λ και μ Η μετάλλαξη μπορεί να περιγραφεί ως εξής

14

For j=1 to mχρήση των microi και λi για τον υπολογισμό της πιθανότητας Piεπιλογή της SIV Hi(j) με πιθανότητα sim PiΑν έχει επιλεχθεί το Hi(j)

Αντικατάσταση του Hi(j) με ένα τυχαία δημιουργημένο SIVend

end΄Οπως και παραπάνω ο ελιτισμός μπορεί να υλοποιηθεί θέτοντας πιθανότητα με-

τάλλαξης μηδενική για την περιοχή με τη βέλτιστη λύση p Από τον παραπάνω

ορισμό βλέπουμε ότι πρέπει η μετάλλαξη να έχει κατάλληλους περιορισμούς ώστε

να καταλήγει σε HSI που να υπακούν στους περιορισμούς των SIVs

Ορισμός 9 Μία συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος Ψ ( m n λ μ Ω Μ) Hn rarr Hn

είναι μία εξάδα που τροποποιεί το οικοσύστημα από μία επανάληψη στην επόμενη

Η συνάρτηση τροποποίησης του οικοσυστήματος μπορεί να γραφεί ως εξής

ψ = λn micron Ωn HSIn Mn HSI (214)

Η συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος λοιπόν ξεκινάει υπολογίζοντας τους ρυθ-

μούς μετανάστευση προς και από μία περιοχή Εν συνεχεία λαμβάνει χώρα η τρο-

ποποίηση των περιοχών ακολουθούμενη από έναν επαναϋπολογισμό των HSI

Τέλος εφαρμόζεται μετάλλαξη και ξαναϋπολογίζονται οι HSI κάθε περιοχής

Ορισμός 10 ΄Ενας BBO αλγόριθμος BBO(Ι Ψ Τ) είναι μία τριάδα που προτείνει μία λύση σε

ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης I empty rarr Hn HSIn είναι μία συνάρτηση η οποία

παράγει ένα αρχικό οικοσύστημα περιοχών και υπολογίζει τις αντίστοιχες HSI Ψείναι μία συνάρτηση τροποποίησης οικοσυστήματος όπως ορίστηκε παραπάνω και

T Hn rarr true false είναι ένα κριτήριο τερματισμού του αλγόριθμου

Η συνάρτηση Ι μπορεί να υλοποιηθεί με μία γεννήτρια τυχαίων αριθμών ευρετι-

κών λύσεων στο πρόβλημα βελτιστοποίησης ή με οιαδήποτε άλλη διαδικασία που

να εξαρτάται από το πρόβλημα Το Τ μπορεί να εξαρτάται από τον αριθμό των

Ψ επαναλήψεων το HSI της βέλτιστης περιοχής ή οποιοδήποτε άλλο κριτήριο

βάση του προβλήματος Οπότε ο αλγόριθμος BBO μπορεί να περιγραφεί από το

παρακάτω

Ι

όσο δεν ισχύει το Τ

Ψ

end

Μία απλουστευμένη περιγραφή του BBO αλγόριθμου θα μπορούσε να είναι η παρακάτω

1 Αρχικοποίηση των παραμέτρων του αλγορίθμου Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρεθεί μία μέθοδος

χαρτογράφησης των λύσεων του προβλήματος σε SIVs και περιοχές σύμφωνα με το πρόβλημα

Ακόμα αρχικοποιούμε ή ορίζουμε το μέγιστο αριθμό ειδών Smax τους μέγιστους ρυθμούς μετα-

νάστευσης Ε και Ι το μέγιστο ρυθμό μετάλλαξης mmax και μία παράμετρο ελιτισμού Πρέπει να

σημειωθεί ότι ο μέγιστος αριθμός ειδών και οι μέγιστοι ρυθμοί μετανάστευσης είναι αλληλοεξαρ-

τώμενα μεγέθη Οπότε αν όλα αλλάζουν κατά το ίδιο ποσοστό η συμπεριφορά του ΒΒΟ δεν θα

αλλάζει Αυτό συμβαίνει γιατί άν τα Ε Ι και Smax αλλάξουν οι ρυθμοί μετανάστευσης μ λ και ο

αριθμός των ειδών S θα αλλάξουν κατά την ίδια σχετική ποσότητα για όλες τις περιοχές ή λύσεις

2 Αρχικοποίηση μίας τυχαίας ομάδας περιοχών όπου κάθε περιοχή θα αντιστοιχεί σε πιθανή λύση

Αυτό είναι η υλοποίηση του συνόλου Ι

3 Για κάθε περιοχή καθορισμός των HSI για τον αριθμό ειδών S και των ρυθμών μετανάστευσης μ

και λ

15

4 Χρήση βάση πιθανοτήτων των ρυθμών μετανάστευσης για την τροποποίηση των μη ελιτίστικων

περιοχών και επαναϋπολογισμό των HSI αυτών

5 Για κάθε περιοχή ενημέρωση της πιθανότητας των αριθμών των ειδών βάση της εξίσωσης

Στη συνέχεια μετάλλαξη των μη ελιτίστικων περιοχών βάση των πιθανοτήτων τους και ξανά

υπολογισμός των HSI

6 Επιστροφή στο βήμα 3 για την επόμενη επανάληψη της διαδικασίας Η διαδικασία μπορεί

να σταματήσει μετά από έναν προκαθορισμένο αριθμό επαναλήψεων ή με την επίτευξη μίας

επιθυμητής λύσης Αυτή είναι η υλοποίηση του κριτηρίου τερματισμού Τ

Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι μετά από κάθε βήμα που αλλάζει κάτι σε μία περιοχή ή λύση πρέπει να

επαληθεύεται κάθε περιοχή ως πιθανή λύση του προβλήματος Αν όχι πρέπει να υπάρχει μία διαδικασία

η οποία να την τροποποιεί ώστε να γίνεται πιθανή λύση

Τέλος επειδή ένας τέτοιος αλγόριθμος θα συγκριθεί στη συνέχεια με τους υπόλοιπους που αναφέρ-

θηκαν παραπάνω είναι χρήσιμο να γίνουν πιο διακριτές οι διαφορές τους Η πρώτη τέτοια διαφορά είναι

ότι στους BBO αλγόριθμους δεν υπάρχει η έννοια της αναπαραγωγής ή των γενεών απογόνων όπως

υπάρχουν στους γενετικούς και τους εξελικτικούς αλγόριθμους Δεν δημιουργούνται καινούριες λύσεις

από κύκλο σε κύκλο αλλά εξελίσσονται οι υπάρχουσες Για τον ίδιο λόγο διαφέρει και από τους ACO(Ant Colony Optimization) αλγόριθμους Σαν λογική είναι πιο κοντά στους PSO (Particle SwarmOptimization) και DE (Differential Evolution) αλγόριθμους μιας και αυτοί διατηρούν και εξελίσσουν

τις υπάρχουσες λύσεις τους κάνοντας την κάθε λύση να μαθαίνει από τους γείτονες και να προσαρ-

μόζεται καθώς προχωράει ο αλγόριθμος Οι PSO αντιπροσωπεύουν κάθε λύση σαν ένα σημείο στο

χώρο και τις αλλαγές μεταξύ των επαναλήψεων του αλγόριθμου με διάνυσμα ταχύτητας ΄Ομως στους

αλγόριθμους αυτούς δεν αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η ταχύτητα των σημείων έχοντας αποτέλεσμα

τη μεταβολή των λύσεων Στους DE αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η αλλαγή αυτή γίνεται βάση των

διαφορών μεταξύ άλλων λύσεων Ακόμα οι DE δεν βασίζεται σε βιολογικές αρχές Οι BBO αλγόριθμοι

μπορούν να διαχωριστούν από τους DE και PSO στο χαρακτηριστικό ότι αλλάζουν άμεσα τις λύσεις

τους ανταλλάσσοντας χαρακτηριστικά μεταξύ τους μέσω της μετανάστευσης

16

Κεφάλαιο 3

Κεραίες

31 Γενικά

Με τον όρο umlκεραίαrsquo αναφερόμαστε σε μία διάταξη που είναι σχεδιασμένη να δέχεται ηκαι να εκπέμπει

ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Είναι μία διάταξη η οποία μετατρέπει ηλεκτρομαγνητική ενέργεια που

οδεύει σε μια γραμμή μεταφοράς ή ένα κυματοδηγό σε ηλεκτρομαγνητικό κύμα στο χώρο και viceversa Οι κεραίες είναι είτε παθητικές

1 είτε τροφοδοτούμενες

2

Λόγω της μεγάλης ανάπτυξης των τηλεπικοινωνιών και των πολλών συστημάτων που χρησιμοποιούν-

ται3 έχει αναπτυχθεί μια τεράστια ποικιλία κεραιών ώστε να καλύπτουν τις ειδικές ανάγκες διαφόρων

εφαρμογών και να διευκολύνεται η κατασκευή και ένταξή τους στο φυσικό και δομημένο περιβάλλον

Η μεγάλη αυτή ποικιλία συστημάτων κεραιών επιβάλει τον διαχωρισμό τους σε κατηγορίες βάσει της

μορφής τους και της αρχής λειτουργίας τους Αλλά σε όποια κατηγορία και να ανήκει μία κεραία έχει

κάποια βασικά χαρακτηριστικά

32 Χαρακτηριστικά κεραιών

Σε μία κεραία αυτό που μας ενδιαφέρει είναι το πώς εκπέμπει ή λαμβάνει στο χώρο ή αλλιώς οι ιδιότητες

ακτινοβολίας (μακρινού πεδίου4) Η γραφική παράσταση των ιδιοτήτων αυτών γίνεται με το διάγραμμα

ακτινοβολίας της Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας κεραίας είναι δηλαδή η τρισδιάστατη γραφική

παράσταση των ιδιοτήτων ακτινοβολίας της κεραίας Βρίσκεται με μετρήσεις κάποιου μεγέθους με

τη μετατόπιση μίας πρόμπας γύρω από την κεραία Παριστάνει τη γωνιακή κατανομή του μέτρου της

έντασης του πεδίου της πυκνότητας ισχύος ή της έντασης ακτινοβολίας Επειδή θέλουμε το διάγραμμα

ακτινοβολίας να δίνει τη γενική συμπεριφορά της κεραίας σε οποιοδήποτε σήμα μπορεί να λάβει ή να

εκπέμψει οι τιμές είναι κανονικοποιημένες5

Τα διαγράμματα ακτινοβολίας σχεδιάζονται και για

την ικανότητα εκπομπής και λήψης μίας κεραίας και για συγκεκριμένη είναι τα ίδια (εκπομπής και λήψης)

Από τα διαγράμματα ακτινοβολίας βλέπουμε σε ποια σημεία του χώρου η κεραία εκπέμπει (ή αν

1Αποτελούνται μόνο από παθητικά στοιχεία απλά μετατρέπουν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα σε ηλεκτρομαγνητική ενέρ-

γεια χωρίς κάποια επεξεργασία του σήματος2΄Εχουν και ενεργά στοιχεία τα οποία μπορούν να κάνουν ενίσχυση σήματος ή ακόμα και επεξεργασία σήματος όπως

πχ μεταβολή συχνότητας3Από τις πιο μικρές ηλεκτρονικές συσκευές πχ πομποί GPS (Global Positioning System) μέχρι μεγάλα συστήματα

πχ δορυφόροι οπουδήποτε εφαρμόζεται ασύρματη επικοινωνία απαραίτητο εξάρτημα είναι μία κεραία4Ο χώρος γύρω από μία κεραία ως προς την κεραία χωρίζεται σε μακρινό και κοντινό πεδίο Στο κοντινό πεδίο

το διάγραμμα επηρεάζεται έντονα από τις επαγωγικές και χωρητικές συνιστώσες που εμφανίζονται στην κεραία κατά τη

ροή του ρεύματος ενώ στο μακρινό όχι και γι΄ αυτό το διάγραμμα του μακρινού πεδίου είναι σταθεροποιημένο ενώ του

κοντινού όχι Τα διαγράμματα που δίνουν οι κατασκευαστές είναι διαγράμματα μακρινού πεδίου Διάκριση μεταξύ μακρινού

και κοντινού πεδίου γίνεται βάσει της απόστασης από την κεραία όπου για R gt 2lowastD2

λ θεωρούμε μακρινό πεδίο όπου λ

είναι το μήκος κύματος D η διάμετρος της κεραίας και R η απόσταση από αυτήν5Λόγω των κανονικοποιημένων τιμών του διαγράμματος ακτινοβολίας το διάγραμμα πυκνότητας ισχύος και έντασης

ακτινοβολίας είναι ταυτόσημα

17

είναι διάγραμμα λήψης λαμβάνει) τη μεγαλύτερη και σε ποια τη μικρότερη ισχύ Το τρισδιάστατο

της περιγραφής επιτυγχάνεται με το συνδυασμό δύο διαγραμμάτων το κάθετο (κάθετη τομή στον

τρισδιάστατο χώρο) και το οριζόντιο (οριζόντια τομή) Η κεραία θεωρείται στο κέντρο του διαγράμματος

και το διάγραμμα συνδέει στην ουσία τον χώρο με την ακτινοβολούμενη ισχύ ή με την ικανότητα

λήψης ισχύος για διάγραμμα εκπομπής και λήψης αντίστοιχα και είναι όπως προαναφέρθηκε η

γραφική αναπαράσταση της συμπεριφοράς της κεραίας στο χώρο Μας δείχνει σε ποιες περιοχές του

χώρου εκπέμπει και πόση ισχύ ή αντίστοιχα από ποιες περιοχές του χώρου και πόση ισχύ μπορεί

να λάβει η κεραία Είτε επειδή δε θέλουμε σπατάλη ισχύος σε rdquoαδιάφορεςrdquoπεριοχές είτε επειδή δεν

θέλουμε να παρεμβάλλουμε δημιουργώντας θόρυβο σε άλλες κεραίες κατά την εκπομπή και είτε επειδή

θέλουμε να λαμβάνουμε τη μέγιστη δυνατή ισχύ αν ξέρουμε από που λαμβάνουμε και να μειώνουμε

το θόρυβο από τις άλλες πηγές τα διαγράμματα ακτινοβολίας είναι πολύ χρήσιμα στο σχεδιασμό μίας

κεραίας Τέλος μία άλλη χρήση είναι η σύγκριση κεραιών είτε γενικά είτε για συγκεκριμένες εφαρμογές

Σχήμα 31 Διάγραμμα ακτινοβολίας

Στο διπλανό σχήμα () φαίνεται ένα τυπικό και αρκετά

απλοποιημένο διάγραμμα ακτινοβολίας Σε αυτό διακρίνουμε

τον κύριο λοβό που είναι το τμήμα η μεγαλύτερη κλειστή

καμπύλη που διακρίνεται από το γεγονός ότι έχει τη μέγιστη

τιμή στο διάγραμμα Συνήθως τα διαγράμματα ακτινοβολίας

είναι πολικά όπως αυτό του σχήματος 31 με βαθμονόμηση

από 0μέχρι 360

και ο κύριος λοβός στη γενική περίπτωση

τοποθετείται στις 0 Ο λοβός που βρίσκεται στις 180

ονο-

μάζεται οπίσθιος λοβός και οι υπόλοιποι λοβοί ονομάζονται

πλευρικοί Ανάλογα με την περίπτωση οι υπόλοιποι εκτός του

κύριου είναι ανεπιθύμητοι είτε επιθυμητοί και προσπαθούμε

αντίστοιχα να τους καταστείλουμε ή να τους ενισχύσουμε

Οι πλευρικοί λοβοί οφείλονται σε φαινόμενα καταστροφικής

ή εποικοδομητικής συμβολής των κυμάτων που εκπέμπονται

από τη κεραία Η κλίμακα στο διάγραμμα είναι σε deciBellκαι τα μεγέθη είναι κανονικοποιημένα

6 ΄Ετσι η μέγιστη τιμή θα είναι στα 0 db και οι υπόλοιπες

σε αρνητικές τιμές Τα διαγράμματα αυτά έχουν τέτοια βαθμονόμηση γιατί θέλουμε να εκφράζουν

ποιοτικά τη συμπεριφορά της κεραίας αλλά και γιατί οι τιμές έντασης ή ισχύος που θέλουμε να αναπα-

ραστήσουμε είναι πολλών τάξεων μεγέθους και θα θέλαμε πολύ μεγάλα διαγράμματα για κανονικές τιμές

΄Ενα πιο αναλυτικό διάγραμμα ακτινοβολίας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () και είναι διάγραμμα

μίας κεραίας Yagi-Uda Οι κύκλοι που φαίνονται στο διάγραμμα αντιστοιχούν στις τιμές -3 -10 -20

-30 και -40 dB και είναι χωρισμένοι σε τμήματα των 10 Οι κύκλοι αυτοί δείχνουν τα σημεία που

έχει μειωθεί το μέγεθος στο 50 στο 10 στο 1 στο 01 και στο 001 αντίστοιχα Η

γωνία των σημείων στα οποία ο κύριος λοβός τέμνει τον πρώτο κύκλο ονομάζεται γωνία ημίσειας ισχύος

Σχήμα 32 Καρτεσιανό διάγραμμα

Εκτός των πολικών διαγραμμάτων υπάρχουν και τα καρτεσιανά

τα οποία είναι η καρτεσιανή προβολή των πολικών Παράδειγμα

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () όπου φαίνεται το άνοιγμα μισής

ισχύος και το επίπεδο του πρώτου πλευρικού λοβού Επειδή τα

διαγράμματα ακτινοβολίας σχηματίζονται όπως προαναφέρθηκε

και αφορούν τη χωρική συμπεριφορά μίας κεραίας στο μακρινό

πεδίο οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε την κεραία ως σημείο

τα καρτεσιανά διαγράμματα δεν έχουν καλή αναπαράσταση της

πραγματικότητας Αλλά είναι αρκετά χρήσιμα στη μελέτη κεραιών

και στην καλύτερη εποπτεία των χαρακτηριστικών της από τα πολικά και για το λόγο αυτό σχεδιάζονται

και χρησιμοποιούνται κατά κόρον

6΄Ενα κανονικοποιημένο διάγραμμα έχει την ίδια μορφή με ένα μη κανονικοποιημένο με μόνη αλλαγή την κλίμακα και

ότι τα μεγέθη είναι ο λογάριθμος του λόγου της τιμής προς τη μέγιστη

18

Σχήμα 33 Διάγραμμα ακτινοβολίας Yagi-Uda κεραίας

Από ένα διάγραμμα ακτινοβολίας μπορούμε να βρούμε τα παρακάτω χαρακτηριστικά μίας κεραίας (ή

και παραμέτρους του διαγράμματος όπως αναφέρονται συχνά)

Σχήμα 34 Ισοτροπική και μη

bull Κατευθυντικότητα δείκτης της ικανότητα της κεραίας να

συγκεντρώσει την ακτινοβολία εκπομπής προς μία συγκεκριμένη

κατεύθυνση και βρίσκεται αναφορικά με μία ιδανική (ισοτροπική)

κεραία Η σύγκριση την όποιας κεραίας με μία ισοτροπική φαίνεται

στο διπλανό σχήμα () Τα εμβαδά είναι ίσα οπότε εκπέμπουν

και οι δύο την ίδια ισχύ αλλά στην επιθυμητή κατεύθυνση η μη

ισοτροπική στέλνει μεγαλύτερη ισχύ Η κατευθυντικότητα λοιπόν

είναι η διαφορά σε dB των δύο διαγραμμάτων στην κατεύθυνση

του μεγίστου Είναι αντιστρόφως ανάλογη με το εύρος του κυρίως

λοβού

bull Εύρος δέσμης μισής ισχύος οριζόντιου και κάθετου επιπέδου ( HPBW )

αναφέρεται στην ενεργό περιοχή κάλυψης της κεραίας και ορίζεται ώς η γωνία μεταξύ των σημείων

του κύριου λοβού όπου η ισχύς είναι μισή της μέγιστης ή σε dB 3dB κάτω από την μέγιστη και

προσδιορίζει την περιοχή που εμφανίζεται μέγιστη εκπομπή ενώ εκτός της περιοχής αυτής η ισχύς

μειώνεται πολύ γρήγορα

bull Εύρος δέσμης επίπεδο (dB) πρώτων σημείων μηδενισμού οριζόντιου καικάθετου επιπέδου (FNBW) ορίζεται ως η γωνία μεταξύ των δύο πρώτων μηδενισμών του

μεγέθους εκατέρωθεν του κύριου λοβού

bull Λόγος κύριου προς οπίσθιο λοβό (FB)

bull Επίπεδα (dB) και εύρος γωνιών πλευρικών λοβών και οπίσθιων λοβώνbull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με τον αμέσως μικρότερο λοβό του διαγράμ-ματος ακτινοβολίας

bull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με όλους τους υπόλοιπους του διαγράμματοςακτινοβολίας

bull Λόγος κύριου προς επόμενο μεγαλύτερο λοβό (Side-Lobe Level) ορίζεται ως ο λόγος

του μεγίστου του κυρίως λοβού προς τον αμέσως μικρότερο πλευρικό λοβό (SLL = MainLobeMaxSideLobe

dB)

και είναι ένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά μίας κεραίας Πολλές φορές αναφέρεται και ώς επίπεδο

πλευρικών λοβών

Τα χαρακτηριστικά μίας κεραίας μπορούν να υπολογιστούν και να περιγραφούν όχι μόνο βάσει του

19

διαγράμματος ακτινοβολίας της Μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της μετρώντας και υπολο-

γίζοντας κατάλληλα μεγέθη και κάνοντας χρήση γνωστών μαθηματικών τύπων

bull Συνολική ακτινοβολούμενη ενέργεια η συνολική (ή μέσος όρος) ενέργεια που ακτινο-

βολεί μία κεραία και υπολογίζεται από τον τύπο

Prad = Pav =

lsaquoS

~Wrad middot d~s =

lsaquoS

~Wav middot n middot da =1

2

lsaquoS

lt( ~E times ~H) middot d~s (31)

όπου Wrad=πυκνότητα ακτινοβολίας

bull ΄Ενταση ακτινοβολίας η ενέργεια που εκπέμπεται από μία κεραία ανά μονάδα στερεάς γωνίας

U = r2 middotWrad (32)

όπου r=απόσταση

bull Κατευθυντικότητα είναι ο λόγος της ακτινοβολούμενης ενέργειας σε μία συγκεκριμένη κα-

τεύθυνση προς το μέσο όρο εκπεμπόμενης ακτινοβολίας σε όλες τις κατευθύνσεις ΄Η αλλιώς

η ένταση προς μία συγκεκριμένη κατεύθυνση προς την αντίστοιχη τιμή της αν ακτινοβολούσε

ισοτροπικά

D =U

Uo=

4pU

Prad(33)

΄Αν δεν ορίζεται κατεύθυνση σαν κατευθυντικότητα αναφέρεται η μέγιστη κατευθυντικότητα μίας

κεραίας

bull Κέρδος αν και συνδέεται με την κατευθυντικότητα είναι μία παράμετρος της κεραίας που λαμ-

βάνει υπόψιν και την αποδοτικότητα της κεραίας αλλά και τις δυνατότητες κατευθυντικότητας

Απόλυτο κέρδος κεραίας (σε συγκεκριμένη κατεύθυνση) ορίζεται ο λόγος της έντασης ακτινοβο-

λίας προς την ένταση ακτινοβολίας που θα είχε στη συγκεκριμένη κατεύθυνση άν όλη η ενέργεια

εισόδου της κεραίας εκπεμπόταν ισοτροπικά

κέρδος = 4π middot ένταση ακτινοβολίας

συνολική εισερχόμενη ενέργεια= 4π

U(θ φ)

Pinputrarr

G = 4π U(θφ)Pinput (ιδανικής ισοτροπικής πηγής)

(34)

bull Απόδοση κεραίας είναι ένας δείκτης που λαμβάνει υπόψιν τις απώλειες ενέργειας από την

είσοδο στην έξοδο της κεραίας λόγω πολλών φαινομένων Γενικά η συνολική απόδοση μίας

κεραίας δίνεται από τον τύπο

eo = er middot ec middot ed (35)

όπου eo είναι η συνολική απόδοση er είναι η απόδοση λόγω απωλειών ανακλάσεων (λόγω κακής

προσαρμογής) (= 1minus|Γ|2) ec είναι η απόδοση λόγω απωλειών αγωγιμότητας ed είναι η απόδοση

που οφείλεται στο διηλεκτρικό και Γ ο συντελεστής ανάκλασης τάσης

bull Απόδοση δέσμης είναι μία παράμετρος ποιότητας μίας κεραίας και ορίζεται από το λόγο της

ενέργειας που ακτινοβολείται από τον κύριο λοβό της κεραίας (με το λοβό σε γωνία θ0) προς τη

συνολική

BE =

acute 2π0

acute θ0U(θ φ)sin(θ)dθdφacute 2π

0

acute π0U(θ φ)sin(θ)dθdφ

(36)

όπου θ1 είναι η γωνία μισής ισχύος ΄Αν θεωρήσουμε το θ1 στην κατεύθυνση του πρώτου μηδενι-

σμού τότε θα έχουμε το λόγο της ισχύος του κυρίως λοβού προς τη συνολική

bull Εύρος σαν εύρος μιας κεραίας ορίζεται το εύρος των συχνοτήτων (bandwidth) στις οποίες

μπορεί να λειτουργήσει αποδοτικά βάσει κάποιων χαρακτηριστικών της πχ να έχει εύρος κύριου

λοβού εντός συγκεκριμένων ορίων διατηρώντας μία ελάχιστη τιμή SLL

20

33 Κατηγορίες κεραιών

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω οι κεραίες χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με τα μορ-

φολογικά αλλά και λειτουργικά χαρακτηριστικά τους Βάσει του τρόπου με τον οποίο εκπέμπουν ή

λαμβάνουν ή αλλιώς βάσει του διαγράμματος ακτινοβολίας τους χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες

bull Ισοτροπικές μία ισοτροπική κεραία ορίζεται ως μία υποθετική (ιδανική) κεραία η οποία ακτινο-

βολεί το ίδιο προς όλες τις κατευθύνσεις Δεν έχει κάποια πραγματική εφαρμογή στα τηλεπικοι-

νωνιακά συστήματα γιατί η ισχύς της εκπέμπεται προς όλες τις κατευθύνσεις το ίδιο προκαλώντας

μεγάλες απώλειες ισχύος σε ανεπιθύμητες κατευθύνσεις ΄Εχει μόνο θεωρητική αξία στη μελέτη

κεραιών και στον ορισμό κάποιων παραμέτρων των κεραιών όπως το κέρδος που είδαμε παραπάνω

bull Κατευθυντικές μία κατευθυντική κεραία ορίζεται ως η κεραία που έχει την ικανότητα να

εκπέμπει ή να λαμβάνει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αποτελεσματικότερα προς κάποιες κατευ-

θύνσεις Είναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κεραίες και η εξέλιξη αυτών είναι οι έξυπνες

κεραίες που ανάλογα με τις ανάγκες της κάθε συσκευής και τα χαρακτηριστικά του χώρου που

βρίσκεται μπορούν να αλλάξουν τη γωνία μέγιστης εκπομπής κάνοντας βέλτιστη χρήση της α-

κτινοβολούμενης ισχύος της

bull Πανκατευθυντικές μία πανκατευθυντική κεραία είναι μία κεραία η οποία ακτινοβολεί σαν

κατευθυντική εκτός από ένα επίπεδο στο οποίο εκπέμπει ή λαμβάνει ισοτροπικά Η χρήση τους

είναι κυρίως στα μέσα μαζικής επικοινωνίας όπου χρειάζεται κάλυψη του χώρου 360 μοιρών στο

οριζόντιο επίπεδο αλλά πολύ μικρής γωνίας στο κάθετο

Βάσει των μορφολογικών χαρακτηριστικών τους χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες Η κάθε

κατηγορία έχει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της που την καθιστούν κατάλληλη για κάποια

εφαρμογή και ακατάλληλη για κάποια άλλη Παρακάτω αναφέρονται οι κατηγορίες αυτές των κεραιών

με τα βασικά χαρακτηριστικά της κάθε μίας

bull Κεραίες σύρματος Είναι απλές κεραίες κατασκευασμένες από αγώγιμο υλικό συνήθως

κυκλικής διατομής Πολλές φορέα σχηματίζονται από πολλούς αγωγούς κατάλληλα συζευγμένους

μεταξύ τους σε πλέγματα διαφόρων σχημάτων που είτε δημιουργούν μία επιφάνεια είτε μία γραμμική

κεραία Η απλούστερη γραμμική κεραία είναι η κεραία διπόλου τα χαρακτηριστικά της οποίας είναι

ανάλογα με το σχετικό μήκος της ως προς το μήκος κύματος της ακτινοβολίας για την οποία προορίζε-

ται7 Οι συγκεκριμένες είναι πολύ απλές στην κατασκευή πολύ συχνά απλά συρμάτινες Αποτελείται

από ένα δίπολο του οποίου (συνήθως) η τροφοδοσία8είναι στη μέση Πλεονεκτήματα των κεραιών

αυτών είναι το κόστος το μέγεθος και η δυνατότητα κάλυψης μεγάλης περιοχής συχνοτήτων ενώ

έχουν το μειονέκτημα της χαμηλής απόδοσης λόγω των διαστάσεων τους Καλύτερα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης έχουν οι διπολικές κεραίες των οποίων το μήκος είναι της τάξης του μήκους κύματος

Σχήμα 35 Κεραία διπόλου

Μία κεραία σύρματος χαρακτηρίζεται ως rdquoλεπτήrdquoόταν η διάμε-

τρος του αγωγού είναι μικρότερη από 001λ Ανάλογα με το σχήμα

της χαρακτηρίζεται ως ευθύγραμη κεραία V ή πτυσσόμενη Στο

διπλανό σχήμα () φαίνονται μία ευθύγραμμη και μία πτυσσόμενη

διπολική κεραία Στις πτυσσόμενες σημαντική είναι η γωνία που

σχηματίζουν οι βραχίονες τους έχοντας βρεθεί ότι η μέγιστη

κατευθυντικότητα επιτυγχάνεται για γωνία α = 60λh

+ 380

όπου h είναι το μήκος του βραχίονα και λ το μήκος κύματος τη

ακτινοβολίας και ότι Dmax = 12 + 23hλ9

7Μία κεραία χαρακτηρίζεται ως ηλεκτρικά μικρή όταν οι διαστάσεις της είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος

της ακτινοβολίας8Με τον όρο τροφοδοσία εννοούμε το υπόλοιπο σύστημα το οποίο τροφοδοτεί η κεραία με το σήμα που λαμβάνει στην

περίπτωση κεραίας λήψης ή από το οποίο τροφοδοτείται με το σήμα που θα εκπέμψει στην περίπτωση κεραίας εκπομπής

9Η σχέση αυτή είναι εμπειρική και ισχύει για 05 lt h

λ lt 3

21

Σχήμα 36 Κεραία Yagi-Uda

Μία εξέλιξη των παραπάνω κεραιών είναι οι κεραίες Yagi-Udaπου ένα διάγραμμα ακτινοβολίας τέτοιας κεραίας παρατέθηκε

παραπάνω () Είναι ευθύγραμμες διπολικές κεραίες που α-

ποτελούνται από πέραν του ενός δίπολα τα οποία όμως δεν

τροφοδοτούνται όλα Τα μη τροφοδοτούμενα δίπολα ονομάζονται

παρασιτικά και τροφοδοτούνται επαγωγικά από τα υπόλοιπα Οι

κεραίες αυτές παρουσιάζουν αυξημένη κατευθυντικότητα σχετικά

με τις μη παρασιτικές κεραίες διπόλων Η πρώτη τέτοια κεραία

κατασκευάστηκε το 1926 και αποτελούταν από τρία δίπολα ένα

ενεργό και δύο παρασιτικά Στην περίπτωση που το παρασιτικό

δίπολο έχει μεγαλύτερο μήκος από του ενεργού ονομάζεται

ανακλαστήρας ενώ αν έχει μικρότερο ονομάζεται κατευθυντήρας

Μία γενική μορφή τέτοιας κεραίας φαίνεται στο διπλανό σχήμα με LR το μήκος του ανακλαστήρα και

LD το μήκος του κατευθυντήρα

bull Στοιχειοκεραίες Μία εξέλιξη των συρμάτινων κεραιών είναι οι στοιχειοκεραίες Οι

στοιχειοκεραίες αποτελούνται από πολλές κεραίες διπόλων τα στοιχεία τα οποία ενώνονται όλα σε

μία κοινή τροφοδοσία και αυτή είναι η βασική τους διαφορά από τις Yagi-Uda που έχουν παρασιτικά

στοιχεία και ο λόγος που οι τελευταίες δε θεωρούνται στοιχειοκεραίες Συστοιχείες λοιπόν πολλών

κεραιών φτιάχνουν τις στοιχειοκεραίες Ανάλογα με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της συστοιχίας

υπάρχουν κάποια είδη στοιχειοκεραιών όπως είναι οι γραμμικές (μία συστοιχία σε ευθεία γραμμή) και

οι επίπεδες (συστοιχείες συστοιχείων) Λόγω της ταυτόχρονης χρήσης πολλών κεραιών μπορούν να

συνδυάσουν τα χαρακτηριστικά τους δίνοντας δυνατότητα πολύπλοκων κατευθυντικών διαγραμμάτων

καθιστώντας τες κατάλληλες για πολλές εφαρμογές Συγκριτικά με μία κεραία μεγάλου μήκους που

θα έχει τα ίδια κατευθυντικά χαρακτηριστικά παρουσιάζει το πλεονέκτημα της εύκολης τροφοδο-

σίας της μηχανικής αντοχής και του μικρού κόστους εγκατάστασης και λειτουργίας Τέλος με

κατάλληλη τροφοδοσία του κάθε στοιχείου της μπορούμε να αλλάξουμε τα κατευθυντικά χαρακτηρι-

στικά της ΄Εχουν πολλές γεωμετρικές μορφές αλλά και είδη που θα αναφερθούν σε επόμενη παράγραφο

bull Κεραίες βρόχου ή πλαισίου Μία κεραία βρόχου αποτελείται από έναν κλειστό αγωγό σε

σχήμα βρόχου (ή και βρόχων) ο οποίος τροφοδοτείται σε ένα σημείο του Χωρίζονται σε κεραίες μικρού

και μεγάλου βρόχου συγκριτικά με το μήκος κύματος στο οποίο χρησιμοποιούνται10

Οι μικρού

βρόχου έχουν χαμηλή απόδοση και χρησιμοποιούνται κατά κόρον σε δέκτες χαμηλών συχνοτήτων

Εκτός από τους ραδιοφωνικούς δέκτες των αυτοκινήτων στους οποίους γίνεται μεγάλη χρήση των

κεραιών μικρού βρόχου το μεγαλύτερο ποσοστό των δεκτών AM χρησιμοποιούν τέτοιες κεραίες

Οι μεγάλου βρόχου έχουν ευρεία χρήση στους δέκτες VHF και UHF έχοντας και το επιπλέον

χαρακτηριστικό της μεταβλητής περιφέρειας δίνοντας δυνατότητα μεγαλύτερου εύρους συχνοτήτων

Γενικά οι κεραίες βρόχου είναι κεραίες με μεγάλη κατευθυντικότητα κάτι που τις κάνει ιδανικές σε

εφαρμογές εύρεσης κατεύθυνσης σήματος

bull Ελικοειδής κεραίες Μία ελικοειδής κεραία αποτελείται από έναν αγωγό που έχει τη μορφή

έλικας στον οποίο η τροφοδοσία είναι στο ένα του άκρο Αποτελεί συνδυασμό κεραίας βρόχου και

γραμμικής κεραίας οπότε μπορεί να εκπέμπει με δύο τρόπους (ρυθμούς) αξονικά και κάθετα στον άξονα

της έλικας κάτι που της δίνει βελτιωμένα χαρακτηριστικά συγκριτικά με τις δύο αυτές κατηγορίες

Χρησιμοποιείται κατά κόρον όπου απαιτείται κυκλική πόλωση σήματος σαν πομπός ή σε σήματα που

έχουν κυκλική πόλωση σαν δέκτης και έχει αρκετά μεγάλο εύρος ζώνης συχνοτήτων Ανάλογα με τα

χαρακτηριστικά που πρέπει να έχει μία ελικοειδής κεραία μπορεί να είναι ομοιόμορφη (όλες οι έλικες

ίδια διάμετρο) αυξανόμενης ελαττούμενης και αυξο-ελαττούμενης διαμέτρου ελίκων

bull Δικωνικές κεραίες ΄Αν δύο V ενωθούν κατακορυφήν σχηματίζεται μία δικωνική κεραία οι

οποίες έχουν αυξημένο εύρος συχνοτήτων Πολλές δικωνικές κεραίες έχουν τη δυνατότητα μεταβολής

10Σαν κεραία μικρού βρόχου θα χαρακτηριστεί η κεραία της οποίας η περιφέρεια θα είναι ίση ή μικρότερη από το ένα

δέκατο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας

22

του μήκους του βραχίονα τους δίνοντας ακόμα μεγαλύτερο εύρος Αν μία από τις δύο V κεραίες

αντικατασταθεί από μία αγώγιμη επιφάνεια σε σχήμα δίσκου έχουμε τη δισκωνική κεραία στην οποία

ο δίσκος λειτουργεί ως ανακλαστήρας Είναι κεραίες μικρής κατευθυντικότητας και χαμηλού κέρδους

και χρησιμοποιούνται πολύ σαν κεραίες ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών εκπομπών

bull Σπειροειδής κεραίες Οι σπειροειδής κεραίες είναι κεραίες με μεγάλο εύρος ζώνης

συχνοτήτων και μεγάλης κατευθυντικότητας Αποτελούνται από μία ή δύο αγωγούς που έχουν σχήμα

σπείρας και όσο μικρότερη γωνία ανοίγματος σπείρας έχουν τόσο μεγαλύτερη κατευθυντικότητα

Μπορεί να είναι επίπεδες ή κωνικές και η πόλωση του σήματος που λαμβάνουν ή εκπέμπουν είναι

ανάλογη με τη φορά των σπειρών Το εύρος συχνοτήτων τους δίνεται από το λόγο μεγαλύτερης προς

μικρότερης διαμέτρου άν και στην πραγματικότητα είναι λίγο μικρότερο του λόγου αυτού Μία αρκετά

διαδεδομένη σπειροειδής κεραία είναι η rdquoσπειροειδής του Αρχιμήδηrdquoη οποία αποτελείται από δύο σπε-

ίρες με r1 = r0φ και r2 = r0(φminusπ) οι οποίες συνήθως κατασκευάζονται πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα11

bull Κεραίες χοάνης Οι κεραίες χοάνης αποτελούνται από έναν αγωγό ο οποίος είναι από το

ένα άκρο του ανοιχτός και διεγείρεται από το άλλο του άκρο Με σωστή ρύθμιση έχουν μεγαλύτερη

απόδοση από τις συρμάτινες Ανάλογα με το σχήμα του αγωγού μπορεί να υπάρχουν αρκετά είδη

τέτοιων κεραιών τρία εκ των οποίων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα () Η κατευθυντικότητα της

είναι ανάλογη της γωνίας ανοίγματος της Στην πράξη συναντούμε ελάχιστες κεραίες χοάνης μόνες

τους αλλά σε συνδυασμό με έναν ανακλαστήρα έχουν πολύ διαδεδομένη χρήση λόγω της πολύ μεγάλης

κατευθυντικότητας που προσφέρουν ειδικά στις περιπτώσεις που ο ανακλαστήρας είναι παραβολικός

όπου υπάρχει η δυνατότητα παραγωγής πολύ στενής δέσμης υψηλού κέρδους και χαμηλού θορύβου

Χρησιμοποιούνται πολύ στις δορυφορικές επικοινωνίες και η πιο συνηθισμένη τους μορφή είναι τα umlπιάταrsquo

που χρησιμοποιούνται για τη λήψη δορυφορικών σημάτων

Σχήμα 37 Κεραίες χοάνης α)τομέας β)πυραμοειδής και γ)κωνική

bull Λογαριθμικές περιοδικές κεραίες Είναι κεραίες των οποίων τα μορφολογικά χα-

ρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με την απόσταση από την αρχή της κεραίας Υπάρχει ένα

επαναλαμβανόμενο στοιχείο κεραίας το οποίο μεγαλώνει όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της

κεραίας Μπορεί να είναι μία πλάκα με οδοντώσεις το μέγεθος των οποίων μεταβάλλεται ένα σύρμα

11Οι κεραίες που είναι κατασκευασμένες πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα ή αλλιώς σε μικροταινίες ανήκουν και στην

κατηγορία των μικροταινιακών κεραιών πολύ διαδεδομένη στις ηλεκτρονικές φορητές συσκευές που λειτουργούν στην

περιοχή των μικροκυμάτων (λόγω διαστάσεων κεραιών είναι ιδανικές για την περιοχή αυτή)

23

Σχήμα 38 Λογαριθμική περιοδική κεραία

το οποίο διπλώνεται κατάλληλα και το μέγεθος της κάθε δίπλωσης μεταβάλλεται ή ακόμα και από

δίπολα το μήκος των οποίων μεταβάλλεται Πολλές κεραίες που ανήκουν σε παραπάνω κατηγορίες είναι

λογαριθμικές μπορεί να είναι λογαριθμικές αν η μεταβολή των επαναλαμβανόμενων στοιχείων ακολουθεί

το συγκεκριμένο πρότυπο Μία τέτοια φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () η οποία ανήκει στην

κατηγορία των στοιχειοκεραίων Λόγω των επαναλαμβανόμενων στοιχείων των οποίων συνδυάζουν τα

χαρακτηριστικά μπορούν να έχουν πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων και συγκεκριμένα εύρος μίας τάξης

μεγέθους επιτυγχάνεται εύκολα και μπορούν να έχουν και αρκετά μεγάλη κατευθυντικότητα Βρίσκουν

πολλές εφαρμογές στις επικοινωνίες υψηλών συχνοτήτων και ειδικά στα τηλεοπτικά σήματα αφού με

μία κεραία μπορεί κάποιος να λαμβάνει ικανοποιητικά όλα τα διαθέσιμα κανάλια χωρίς καμία προσαρμογή

34 Στοιχειοκεραίες

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω η μορφή του διαγράμματος εκπομπής και λήψης των κεραιών

εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της κεραίας Σε πολλές εφαρμογές απαιτούνται κεραίες μεγάλου

κέρδους ή αλλιώς μεγάλης κατευθυντικότητας Μία κεραία για να έχει μεγάλη κατευθυντικότητα

θα πρέπει να έχει πολύ μεγάλο μέγεθος Το πρόβλημα αυτό λύνεται φτιάχνοντας σύνθετες κεραίες

Κεραίες που αποτελούνται από μικρότερες κεραίες είτε όμοιες μεταξύ τους είτε ανόμοιες Τέτοιες

συστοιχίες κεραιών όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ονομάζονται στοιχειοκεραίες Το κάθε στοιχείο

μίας στοιχειοκεραίας μπορεί να είναι οποιασδήποτε μορφής κεραία (σύρματος οπής κλπ) με βασικό

χαρακτηριστικό όλα τα στοιχεία να έχουν κοινή τροφοδοσία Το συνολικό πεδίο θα είναι το διανυ-

σματικό άθροισμα των πεδίων κάθε στοιχείου ξεχωριστά Οπότε μπορούμε να έχουμε το επιθυμητό

πεδίο φτιάχνοντας την κεραία μας έτσι ώστε στα σημεία που θέλουμε μεγάλο κέρδος να συμβάλουν

εποικοδομητικά τα πεδία των στοιχείων της κεραίας και στα σημεία που δεν θέλουμε να ακτινοβολεί να

έχουμε καταστροφική συμβολή

Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας θα εξαρτάται από τους εξείς παράγοντες

bull Τη γεωμετρία της στοιχειοκεραίας ( γραμμικήκυκλικήορθογώνια σφαιρική κλπ)

bull Την απόσταση μεταξύ των στοιχείων της κεραίας

bull Την ένταση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

bull Τη φάση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

24

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

διάστημα ∆t

2 υπήρχαν S-1 είδη τη στιγμή t και ένα είδος ήρθε ή

3 υπήρχαν S+1 είδη τη στιγμή t και ένα είδος έφυγε

Θεωρούμε ότι το ∆t είναι αρκετά μικρό ώστε να έχει χρόνο μόνο ένα είδος να έρθει ή να φύγει από

την περιοχή Παίρνοντας το όριο ∆trarr 0 της εξίσωσης () καταλήγουμε στην παρακάτω

Ps =

minus(λs + micros)Ps + micros+1Ps+1 S = 0

minus(λs + micros)Ps + λsminus1Psminus1 + micros+1Ps+1 1 le S le Smax minus 1minus(λs + micros)Ps + λsminus1Psminus1 S = Smax)

(22)

Θέτουμε n = Smax και P = [P0 Pn]T απλοποιημένα και πλέον μπορούμε να εκφράσουμε τις

εξισώσεις (για S=0 n) με την απλή εξίσωση πίνακα

P = A lowast P (23)

όπου ο πίνακας Α δίνεται από τον τύπο

A =

minus(λ0 + micro0) micro1 0 ldots 0

λ0 minus(λ1 + micro1) micro2

ddots

λnminus2 minus(λnminus1 + micronminus1) micron

0 0 λnminus1 minus(λn + micron)

(24)

Για τις ευθείες καμπύλες που φαίνονται στο παραπάνω σχήμα () θα έχουμε

microk = Ekn

λk = I(1minuskn

)(25)

Θεωρούμε την ειδική περίπτωση E = I Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε

microk + λk = E (26)

και ο πίνακας Α γίνεται

A = E lowast

minus1 1

n0 0

nnminus1 2

n

2nminus1 n

n

0 0 1nminus1

= E lowast Aprime (27)

όπου το Α΄ ορίζεται από την παραπάνω εξίσωση ()

11

Παρατήρηση 1 Το 0 είναι μία ιδιοτιμή του πίνακα Α΄ με ιδιοδιάνυσμα το

u = [u1 un+1]T

n(nminus1minusi)(iminus1) (i = 1 iprime)

un+2minus1 (i = iprime + 1 n+ 1)

(28)

όπου το irsquo είναι ο μικρότερος ακέραιος ο οποίος να είναι μεγαλύτερος ή ίσος με

τοn+12

ή με προγραμματιστικό συμβολισμό iprime = ceil(n+12

) Αυτό μπορεί να

επιβεβαιωθεί από την απευθείας λύση της εξίσωσης ιδιοτιμών Aprime lowast u = k lowast uγια την άγνωστη μεταβλητή k και το άγνωστο διάνυσμα u Σαν παράδειγμα

για n=4 έχουμε

u = [1 4 6 4 1]T (29)

όπως και για n=5 παίρνουμε

u = [1 5 10 10 5 1]T (210)

Εικασία 1 Οι ιδιοτιμές του Α΄ δίνονται ως εξής

k = 0minus2

nminus4

n minus2 (211)

Η παραπάνω εικασία δεν έχει αποδειχθεί ακόμα αλλά ισχύει για όλες τις τιμές

του ν για τις οποίες έχει εξεταστεί

Θεώρημα 1 Η τιμή σταθερής κατάστασης για την πιθανότητα των αριθμών κάθε είδους

δίνεται από τη σχέση

P (infin) =usumn+1i=1 ui

(212)

όπου τα u και ui δίνονται από την

Στη συνέχεια θα μελετήσουμε το πώς μπορούν τα παραπάνω να εφαρμοστούν σε ένα πρόβλημα

βελτιστοποίησης συγκεκριμένου τομέα

221 Μέθοδοι και παράμετροι της BBO

Σχήμα 22 Αναπαράσταση λύσεων

Μετανάστευση Θεωρούμε ότι έχουμε ένα πρόβλημα με

πολλές πιθανές λύσεις οι οποίες μπορούν να παρασταθούν ως

διανύσματα ακεραίων Κάθε τέτοιος ακέραιος θεωρείται ότι

είναι μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας (SIV) Αν έχουμε

έναν τρόπο αξιολόγησης της ποιότητας κάθε λύσης μπορούμε

να αναπαραστήσουμε κάθε λύση σαν μία περιοχή Οι καλές

ποιοτικά λύσεις θα έχουν υψηλό δείκτη καταλληλότητας

(HSI) ενώ οι λιγότερο καλές χαμηλό Οι λύσεις με υψηλό

HSI θα είναι οι περιοχές με πολλά είδη ενώ αυτές με χαμηλό

οι περιοχές με λίγα είδη Η καμπύλη μοντέλου μετανάστευ-

σης θεωρούμε ότι θα είναι ίδια για όλες τις περιοχές (για

μεγαλύτερη ευκολία Ε=Ι) με τη μεταβλητή S κάθε περιοχής

να εξαρτάται από το HSI της όπως φαίνεται στο διπλανό

σχήμα (σχήμα ) Η περιοχή στην οποία αντιστοιχεί το S1

είναι περιοχή με χαμηλό HSI ενώ αυτή με το S2 περιοχή

με υψηλό HSI ΄Οπως φαίνεται και από το διπλανό σχήμα η

περιοχή με S1θα έχει λίγα είδη υψηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ1) και χαμηλό από (micro1) αυτή

ενώ η περιοχή με δείκτη S2 θα έχει πολλά είδη χαμηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ2) και υψηλό

12

από (micro2) αυτή Οι ρυθμοί μ και λ χρησιμοποιούνται για την ανταλλαγή πληροφοριών μεταξύ των

περιοχών πιθανοκρατικά Με πιθανότητα Pmod αξιολογούμε κάθε λύση βάση των υπολοίπων και

όποιες επιλεχθούν να τροποποιηθούν βάση του λ πιθανοκρατικά αξιολογούνται οι SIV και επιλέγονται

αυτοί που θα τροποποιηθούν ΄Αν κάποιος SIV επιλεχθεί να τροποποιηθεί βάση του μ των υπόλοιπων

λύσεων επιλέγεται πάλι πιθανοκρατικά από ποια λύση θα μεταναστεύσει κάποιος τυχαίος SIV

Η μέθοδος αυτή της μετανάστευσης στους BBO αλγόριθμους είναι παρόμοια με τις μεθόδους

των εξελικτικών και γενετικών αλγόριθμων όπου πολλοί πρόγονοι μπορούν να συνδυαστούν για

την παραγωγοί ενός απογόνου με μία όμως σημαντική διαφορά Σε αντίθεση με τους εξελικτικούς

και γενετικούς αλγόριθμους στους οποίους οι προηγούμενες λύσεις καταστρέφονται από γενιά σε

γενιά στους BBO οι λύσεις παραμένουν και εξελίσσονται χωρίς να καταστρέφονται Φυσικά έχει

ενσωματωμένο κάποιου είδους ελιτισμός έτσι ώστε να μην επηρεάζονται οι βέλτιστες λύσεις

Μετάλλαξη Κατακλυσμικά γεγονότα μπορούν να αλλάξουν δραστικά τον HSI μίας περιοχής

όπως μπορούν να προκαλέσουν απόκλιση του αριθμού των ειδών από την ισορροπία επηρεάζοντας

τον HSI λόγω φαινομενικά τυχαίων φαινομένων Τέτοια φαινόμενα μοντελοποιούνται στους BBO με

την μετάλλαξη των HSI και χρησιμοποιείται η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών για τον

καθορισμό του ρυθμού μετάλλαξης Η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών υπακούει στην

διαφορική εξίσωση Παρατηρώντας την καμπύλη στο σχήμα βλέπουμε ότι οι περιοχές με χαμηλό

αριθμό ειδών αλλά και αυτές με υψηλό αριθμό ειδών έχουν σχετικά χαμηλή πιθανότητα κάτι που θα

μπορούσε να εξαχθεί και από το θεώρημα 1 σε αντίθεση με αυτή με μέσες τιμές γιατί τα δεύτερα είναι

πιο κοντά στο σημείο ισορροπίας Ως παράδειγμα ας θεωρήσουμε την περίπτωση όπου Smax = 10 Η

λύση σταθερής κατάστασης της εξίσωσης θα είναι ανεξάρτητη της αρχικής συνθήκης Π(0) και μπορεί

να υπολογιστεί με αριθμητικές μεθόδους είτε βάση του θεωρήματος 1 με αποτέλεσμα

P (infin) sim= [0001 0001 0044 0117 0205 0246 0205 0117 0044 0001 0001]T

Τα στοιχεία του P (infin) δίνουν άθροισμα μονάδα και η γραφική τους παράσταση δίνει μία άρτια

συνάρτηση συμμετρική στην κεντρική τιμή

Κάθε λύση έχει μία αντίστοιχη πιθανότητα η οποία είναι δείκτης του κατά πόσο ήταν αναμενόμενη

εξ αρχής η λύση αυτή στο συγκεκριμένο πρόβλημα Λύσεις με πολύ υψηλό αλλά και πολύ χαμηλό HSIείναι αρκετά απίθανες να υπάρξουν ενώ λύσεις με μέσους HSI κοντά στο σημείο ισορροπίας είναι πιο

πιθανές Λύση S με μικρή πιθανότητα PS είναι αρκετά απίθανη οπότε έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να

μεταλλαχθεί από ία λύση Srsquo με μεγάλη πιθανότητα P primeS Αυτό μπορεί να παρασταθεί με τον παρακάτω

τύπο όπου ο ρυθμός μετάλλαξης m είναι αντιστρόφως ανάλογος της πιθανότητας μίας λύσης

m(S) = mmax

(1minus PSPmax

)(213)

και mmax είναι μία παράμετρος που ορίζεται από το χρήστη Αυτό το μοντέλο μετάλλαξης τείνει

να αυξήσει τη διαφορετικότητα μεταξύ του πληθυσμού των λύσεων Χωρίς αυτό οι λύσεις με μεγάλη

πιθανότητα θα ήταν επικρατέστερες των υπολοίπων Δίνει λοιπόν τη δυνατότητα στις κακές λύσεις

να μεταλλαχθούν και να εξελιχθούν δίνοντας παράλληλα και τη δυνατότητα στις λύσεις με υψηλή

πιθανότατα να εξελιχθούν και να βελτιωθούν και άλλο Πρέπει να σημειωθεί ότι χρησιμοποιείται

μία ελιτίστικη προσέγγιση αποθηκεύοντας τη βέλτιστη λύση έτσι ώστε αν χειροτερέψει από μία

μετάλλαξη να μπορούμε να την επαναφέρουμε αν χρειαστεί Οπότε η μετάλλαξη χρησιμοποιείται και

τις κακές και στις καλές λύσεις Οι μέσες λύσεις θεωρούμε ότι καλυτερεύουν με την μετανάστευση

οπότε αποφεύγουμε να τις μεταλλάξουμε και έχουν μικρότερο ρυθμό μετάλλαξης Η υλοποίηση της

μετάλλαξης εξαρτάται από το εκάστοτε πρόβλημα και χρήστη

Ορισμοί της BBO και αλγόριθμος

Παρακάτω δίνονται κάποιοι ορισμοί ως ένα πρώτο βήμα για τη μορφοποίηση του BBO αλγόριθμου

παρουσιάζοντας παράλληλα και μία περιγραφή του αλγόριθμου Με το R αναφερόμαστε στο σύνολο

13

πραγματικών αριθμών με το Ζ ακεραίων και με το empty στο κενό σύνολο

Ορισμός 1 Μία περιοχή H isin SIV mείναι ένα διάνυσμα m ακεραίων που αντιπροσωπεύει μία

πιθανή λύση του προβλήματος

Ορισμός 2 Μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας SIV isin C είναι ένας ακέραιος επιτρεπτός

σε μία περιοχή C isin Zqείναι το σύνολο όλων των επιτρεπτών ακεραίων σε μία

περιοχή Η απαίτηση SIV isin C ονομάζεται περιορισμός όπως και σε υψηλότερο

επίπεδο η απαίτηση H isin SIV m

Ορισμός 3 ΄Ενας δείκτης καταλληλότητας περιοχής HSI H rarr R αποτελεί μέτρο την ποιότη-

τας καλής ή κακής της λύσης που αντιπροσωπεύει η περιοχή Σημείωση Στους

περισσότερους αλγόριθμους βασισμένους στους πληθυσμούς το HSI ονομάζεται κα-ταλληλότητα

Ορισμός 4 ΄Ενα οικοσύστημα Hnείναι ένα σύνολο από n περιοχές Το μέγεθος n είναι σταθερό

(μελλοντικοί αλγόριθμοι μπορεί να επιτρέπουν μεταβλητό n όπως κάποιοι γενετικοί

αλγόριθμοι επιτρέπουν μεταβλητό μέγεθος πληθυσμών)

Ορισμός 5 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή λ(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

αύξουσα συνάρτηση του HSI Το λi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV από μία

γειτονική περιοχή να μεταναστεύσει στην Hi

Ορισμός 6 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή micro(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

φθίνουσα συνάρτηση του HSI Το microi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV της Hi

να μεταναστεύσει προς μία γειτονική περιοχή Στην πράξη θεωρούμε ότι οι συναρ-

τήσεις λ και μ είναι γραμμικές με το ίδιο μέγιστο Αυτή η υπόθεση βοηθάει στην

στην απλούστευση των μαθηματικών υπολογισμών Καλύτερες επιδόσεις μπορεί να

είναι εφικτές αν παρεκκλίνουμε λίγο από την υπόθεση αυτή

Ορισμός 7 Τροποποίηση μίας περιοχής Ω(λμ) Hn rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής

που προσαρμόζει την περιοχή Η βάση του οικοσυστήματος Hn Η πιθανότητα μια

περιοχή Η να τροποποιηθεί είναι ανάλογη του ρυθμού μετανάστευσης προς αυτή λ

και η πιθανότητα η τροποποίηση αυτή να προέλθει από την περιοχή Hj είναι ανάλογη

του ρυθμού μετανάστευσης microj από την περιοχή Η τροποποίηση των περιοχών

μπορεί να περιγραφεί γενικά ως εξής

Επιλογή του Hi με πιθανότητα sim λi΄Αν έχει επιλεχθεί το Hi

For j=1 to nεπιλογή του Hj με πιθανότητα sim microiΑν έχει επιλεχθεί το Hj

τυχαία επιλογή ενός SIV σ από το Hj

αντικατάσταση ενός τυχαίου SIV της Hi με το σ

endend

endΑπό τον παραπάνω αλγόριθμο γίνεται φανερό ότι μπορεί να εφαρμοστεί ένα κρι-

τήριο ελιτισμού θέτοντας λ=0 για την p βέλτιστη περιοχή όπουp μία παράμετρος

ελιτισμού καθορισμένη από το χρήστη Ακόμα να σημειωθεί ότι ο ορισμός του Ω

εξασφαλίζει ότι η περιοχή Η που τροποποιείται ικανοποιεί τους περιορισμούς του

SIVΟρισμός 8 Η μετάλλαξη Μ(λμ) H rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής που τυχαία τρο-

ποποιεί τις SIVs μίας περιοχής βάση της αρχικής πιθανότητας ύπαρξης της περιοχής

Η πιθανότητα ύπαρξης μίας περιοχής υπολογίζεται όπως αναφέρθηκε παραπάνω

από τους ρυθμούς λ και μ Η μετάλλαξη μπορεί να περιγραφεί ως εξής

14

For j=1 to mχρήση των microi και λi για τον υπολογισμό της πιθανότητας Piεπιλογή της SIV Hi(j) με πιθανότητα sim PiΑν έχει επιλεχθεί το Hi(j)

Αντικατάσταση του Hi(j) με ένα τυχαία δημιουργημένο SIVend

end΄Οπως και παραπάνω ο ελιτισμός μπορεί να υλοποιηθεί θέτοντας πιθανότητα με-

τάλλαξης μηδενική για την περιοχή με τη βέλτιστη λύση p Από τον παραπάνω

ορισμό βλέπουμε ότι πρέπει η μετάλλαξη να έχει κατάλληλους περιορισμούς ώστε

να καταλήγει σε HSI που να υπακούν στους περιορισμούς των SIVs

Ορισμός 9 Μία συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος Ψ ( m n λ μ Ω Μ) Hn rarr Hn

είναι μία εξάδα που τροποποιεί το οικοσύστημα από μία επανάληψη στην επόμενη

Η συνάρτηση τροποποίησης του οικοσυστήματος μπορεί να γραφεί ως εξής

ψ = λn micron Ωn HSIn Mn HSI (214)

Η συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος λοιπόν ξεκινάει υπολογίζοντας τους ρυθ-

μούς μετανάστευση προς και από μία περιοχή Εν συνεχεία λαμβάνει χώρα η τρο-

ποποίηση των περιοχών ακολουθούμενη από έναν επαναϋπολογισμό των HSI

Τέλος εφαρμόζεται μετάλλαξη και ξαναϋπολογίζονται οι HSI κάθε περιοχής

Ορισμός 10 ΄Ενας BBO αλγόριθμος BBO(Ι Ψ Τ) είναι μία τριάδα που προτείνει μία λύση σε

ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης I empty rarr Hn HSIn είναι μία συνάρτηση η οποία

παράγει ένα αρχικό οικοσύστημα περιοχών και υπολογίζει τις αντίστοιχες HSI Ψείναι μία συνάρτηση τροποποίησης οικοσυστήματος όπως ορίστηκε παραπάνω και

T Hn rarr true false είναι ένα κριτήριο τερματισμού του αλγόριθμου

Η συνάρτηση Ι μπορεί να υλοποιηθεί με μία γεννήτρια τυχαίων αριθμών ευρετι-

κών λύσεων στο πρόβλημα βελτιστοποίησης ή με οιαδήποτε άλλη διαδικασία που

να εξαρτάται από το πρόβλημα Το Τ μπορεί να εξαρτάται από τον αριθμό των

Ψ επαναλήψεων το HSI της βέλτιστης περιοχής ή οποιοδήποτε άλλο κριτήριο

βάση του προβλήματος Οπότε ο αλγόριθμος BBO μπορεί να περιγραφεί από το

παρακάτω

Ι

όσο δεν ισχύει το Τ

Ψ

end

Μία απλουστευμένη περιγραφή του BBO αλγόριθμου θα μπορούσε να είναι η παρακάτω

1 Αρχικοποίηση των παραμέτρων του αλγορίθμου Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρεθεί μία μέθοδος

χαρτογράφησης των λύσεων του προβλήματος σε SIVs και περιοχές σύμφωνα με το πρόβλημα

Ακόμα αρχικοποιούμε ή ορίζουμε το μέγιστο αριθμό ειδών Smax τους μέγιστους ρυθμούς μετα-

νάστευσης Ε και Ι το μέγιστο ρυθμό μετάλλαξης mmax και μία παράμετρο ελιτισμού Πρέπει να

σημειωθεί ότι ο μέγιστος αριθμός ειδών και οι μέγιστοι ρυθμοί μετανάστευσης είναι αλληλοεξαρ-

τώμενα μεγέθη Οπότε αν όλα αλλάζουν κατά το ίδιο ποσοστό η συμπεριφορά του ΒΒΟ δεν θα

αλλάζει Αυτό συμβαίνει γιατί άν τα Ε Ι και Smax αλλάξουν οι ρυθμοί μετανάστευσης μ λ και ο

αριθμός των ειδών S θα αλλάξουν κατά την ίδια σχετική ποσότητα για όλες τις περιοχές ή λύσεις

2 Αρχικοποίηση μίας τυχαίας ομάδας περιοχών όπου κάθε περιοχή θα αντιστοιχεί σε πιθανή λύση

Αυτό είναι η υλοποίηση του συνόλου Ι

3 Για κάθε περιοχή καθορισμός των HSI για τον αριθμό ειδών S και των ρυθμών μετανάστευσης μ

και λ

15

4 Χρήση βάση πιθανοτήτων των ρυθμών μετανάστευσης για την τροποποίηση των μη ελιτίστικων

περιοχών και επαναϋπολογισμό των HSI αυτών

5 Για κάθε περιοχή ενημέρωση της πιθανότητας των αριθμών των ειδών βάση της εξίσωσης

Στη συνέχεια μετάλλαξη των μη ελιτίστικων περιοχών βάση των πιθανοτήτων τους και ξανά

υπολογισμός των HSI

6 Επιστροφή στο βήμα 3 για την επόμενη επανάληψη της διαδικασίας Η διαδικασία μπορεί

να σταματήσει μετά από έναν προκαθορισμένο αριθμό επαναλήψεων ή με την επίτευξη μίας

επιθυμητής λύσης Αυτή είναι η υλοποίηση του κριτηρίου τερματισμού Τ

Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι μετά από κάθε βήμα που αλλάζει κάτι σε μία περιοχή ή λύση πρέπει να

επαληθεύεται κάθε περιοχή ως πιθανή λύση του προβλήματος Αν όχι πρέπει να υπάρχει μία διαδικασία

η οποία να την τροποποιεί ώστε να γίνεται πιθανή λύση

Τέλος επειδή ένας τέτοιος αλγόριθμος θα συγκριθεί στη συνέχεια με τους υπόλοιπους που αναφέρ-

θηκαν παραπάνω είναι χρήσιμο να γίνουν πιο διακριτές οι διαφορές τους Η πρώτη τέτοια διαφορά είναι

ότι στους BBO αλγόριθμους δεν υπάρχει η έννοια της αναπαραγωγής ή των γενεών απογόνων όπως

υπάρχουν στους γενετικούς και τους εξελικτικούς αλγόριθμους Δεν δημιουργούνται καινούριες λύσεις

από κύκλο σε κύκλο αλλά εξελίσσονται οι υπάρχουσες Για τον ίδιο λόγο διαφέρει και από τους ACO(Ant Colony Optimization) αλγόριθμους Σαν λογική είναι πιο κοντά στους PSO (Particle SwarmOptimization) και DE (Differential Evolution) αλγόριθμους μιας και αυτοί διατηρούν και εξελίσσουν

τις υπάρχουσες λύσεις τους κάνοντας την κάθε λύση να μαθαίνει από τους γείτονες και να προσαρ-

μόζεται καθώς προχωράει ο αλγόριθμος Οι PSO αντιπροσωπεύουν κάθε λύση σαν ένα σημείο στο

χώρο και τις αλλαγές μεταξύ των επαναλήψεων του αλγόριθμου με διάνυσμα ταχύτητας ΄Ομως στους

αλγόριθμους αυτούς δεν αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η ταχύτητα των σημείων έχοντας αποτέλεσμα

τη μεταβολή των λύσεων Στους DE αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η αλλαγή αυτή γίνεται βάση των

διαφορών μεταξύ άλλων λύσεων Ακόμα οι DE δεν βασίζεται σε βιολογικές αρχές Οι BBO αλγόριθμοι

μπορούν να διαχωριστούν από τους DE και PSO στο χαρακτηριστικό ότι αλλάζουν άμεσα τις λύσεις

τους ανταλλάσσοντας χαρακτηριστικά μεταξύ τους μέσω της μετανάστευσης

16

Κεφάλαιο 3

Κεραίες

31 Γενικά

Με τον όρο umlκεραίαrsquo αναφερόμαστε σε μία διάταξη που είναι σχεδιασμένη να δέχεται ηκαι να εκπέμπει

ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Είναι μία διάταξη η οποία μετατρέπει ηλεκτρομαγνητική ενέργεια που

οδεύει σε μια γραμμή μεταφοράς ή ένα κυματοδηγό σε ηλεκτρομαγνητικό κύμα στο χώρο και viceversa Οι κεραίες είναι είτε παθητικές

1 είτε τροφοδοτούμενες

2

Λόγω της μεγάλης ανάπτυξης των τηλεπικοινωνιών και των πολλών συστημάτων που χρησιμοποιούν-

ται3 έχει αναπτυχθεί μια τεράστια ποικιλία κεραιών ώστε να καλύπτουν τις ειδικές ανάγκες διαφόρων

εφαρμογών και να διευκολύνεται η κατασκευή και ένταξή τους στο φυσικό και δομημένο περιβάλλον

Η μεγάλη αυτή ποικιλία συστημάτων κεραιών επιβάλει τον διαχωρισμό τους σε κατηγορίες βάσει της

μορφής τους και της αρχής λειτουργίας τους Αλλά σε όποια κατηγορία και να ανήκει μία κεραία έχει

κάποια βασικά χαρακτηριστικά

32 Χαρακτηριστικά κεραιών

Σε μία κεραία αυτό που μας ενδιαφέρει είναι το πώς εκπέμπει ή λαμβάνει στο χώρο ή αλλιώς οι ιδιότητες

ακτινοβολίας (μακρινού πεδίου4) Η γραφική παράσταση των ιδιοτήτων αυτών γίνεται με το διάγραμμα

ακτινοβολίας της Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας κεραίας είναι δηλαδή η τρισδιάστατη γραφική

παράσταση των ιδιοτήτων ακτινοβολίας της κεραίας Βρίσκεται με μετρήσεις κάποιου μεγέθους με

τη μετατόπιση μίας πρόμπας γύρω από την κεραία Παριστάνει τη γωνιακή κατανομή του μέτρου της

έντασης του πεδίου της πυκνότητας ισχύος ή της έντασης ακτινοβολίας Επειδή θέλουμε το διάγραμμα

ακτινοβολίας να δίνει τη γενική συμπεριφορά της κεραίας σε οποιοδήποτε σήμα μπορεί να λάβει ή να

εκπέμψει οι τιμές είναι κανονικοποιημένες5

Τα διαγράμματα ακτινοβολίας σχεδιάζονται και για

την ικανότητα εκπομπής και λήψης μίας κεραίας και για συγκεκριμένη είναι τα ίδια (εκπομπής και λήψης)

Από τα διαγράμματα ακτινοβολίας βλέπουμε σε ποια σημεία του χώρου η κεραία εκπέμπει (ή αν

1Αποτελούνται μόνο από παθητικά στοιχεία απλά μετατρέπουν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα σε ηλεκτρομαγνητική ενέρ-

γεια χωρίς κάποια επεξεργασία του σήματος2΄Εχουν και ενεργά στοιχεία τα οποία μπορούν να κάνουν ενίσχυση σήματος ή ακόμα και επεξεργασία σήματος όπως

πχ μεταβολή συχνότητας3Από τις πιο μικρές ηλεκτρονικές συσκευές πχ πομποί GPS (Global Positioning System) μέχρι μεγάλα συστήματα

πχ δορυφόροι οπουδήποτε εφαρμόζεται ασύρματη επικοινωνία απαραίτητο εξάρτημα είναι μία κεραία4Ο χώρος γύρω από μία κεραία ως προς την κεραία χωρίζεται σε μακρινό και κοντινό πεδίο Στο κοντινό πεδίο

το διάγραμμα επηρεάζεται έντονα από τις επαγωγικές και χωρητικές συνιστώσες που εμφανίζονται στην κεραία κατά τη

ροή του ρεύματος ενώ στο μακρινό όχι και γι΄ αυτό το διάγραμμα του μακρινού πεδίου είναι σταθεροποιημένο ενώ του

κοντινού όχι Τα διαγράμματα που δίνουν οι κατασκευαστές είναι διαγράμματα μακρινού πεδίου Διάκριση μεταξύ μακρινού

και κοντινού πεδίου γίνεται βάσει της απόστασης από την κεραία όπου για R gt 2lowastD2

λ θεωρούμε μακρινό πεδίο όπου λ

είναι το μήκος κύματος D η διάμετρος της κεραίας και R η απόσταση από αυτήν5Λόγω των κανονικοποιημένων τιμών του διαγράμματος ακτινοβολίας το διάγραμμα πυκνότητας ισχύος και έντασης

ακτινοβολίας είναι ταυτόσημα

17

είναι διάγραμμα λήψης λαμβάνει) τη μεγαλύτερη και σε ποια τη μικρότερη ισχύ Το τρισδιάστατο

της περιγραφής επιτυγχάνεται με το συνδυασμό δύο διαγραμμάτων το κάθετο (κάθετη τομή στον

τρισδιάστατο χώρο) και το οριζόντιο (οριζόντια τομή) Η κεραία θεωρείται στο κέντρο του διαγράμματος

και το διάγραμμα συνδέει στην ουσία τον χώρο με την ακτινοβολούμενη ισχύ ή με την ικανότητα

λήψης ισχύος για διάγραμμα εκπομπής και λήψης αντίστοιχα και είναι όπως προαναφέρθηκε η

γραφική αναπαράσταση της συμπεριφοράς της κεραίας στο χώρο Μας δείχνει σε ποιες περιοχές του

χώρου εκπέμπει και πόση ισχύ ή αντίστοιχα από ποιες περιοχές του χώρου και πόση ισχύ μπορεί

να λάβει η κεραία Είτε επειδή δε θέλουμε σπατάλη ισχύος σε rdquoαδιάφορεςrdquoπεριοχές είτε επειδή δεν

θέλουμε να παρεμβάλλουμε δημιουργώντας θόρυβο σε άλλες κεραίες κατά την εκπομπή και είτε επειδή

θέλουμε να λαμβάνουμε τη μέγιστη δυνατή ισχύ αν ξέρουμε από που λαμβάνουμε και να μειώνουμε

το θόρυβο από τις άλλες πηγές τα διαγράμματα ακτινοβολίας είναι πολύ χρήσιμα στο σχεδιασμό μίας

κεραίας Τέλος μία άλλη χρήση είναι η σύγκριση κεραιών είτε γενικά είτε για συγκεκριμένες εφαρμογές

Σχήμα 31 Διάγραμμα ακτινοβολίας

Στο διπλανό σχήμα () φαίνεται ένα τυπικό και αρκετά

απλοποιημένο διάγραμμα ακτινοβολίας Σε αυτό διακρίνουμε

τον κύριο λοβό που είναι το τμήμα η μεγαλύτερη κλειστή

καμπύλη που διακρίνεται από το γεγονός ότι έχει τη μέγιστη

τιμή στο διάγραμμα Συνήθως τα διαγράμματα ακτινοβολίας

είναι πολικά όπως αυτό του σχήματος 31 με βαθμονόμηση

από 0μέχρι 360

και ο κύριος λοβός στη γενική περίπτωση

τοποθετείται στις 0 Ο λοβός που βρίσκεται στις 180

ονο-

μάζεται οπίσθιος λοβός και οι υπόλοιποι λοβοί ονομάζονται

πλευρικοί Ανάλογα με την περίπτωση οι υπόλοιποι εκτός του

κύριου είναι ανεπιθύμητοι είτε επιθυμητοί και προσπαθούμε

αντίστοιχα να τους καταστείλουμε ή να τους ενισχύσουμε

Οι πλευρικοί λοβοί οφείλονται σε φαινόμενα καταστροφικής

ή εποικοδομητικής συμβολής των κυμάτων που εκπέμπονται

από τη κεραία Η κλίμακα στο διάγραμμα είναι σε deciBellκαι τα μεγέθη είναι κανονικοποιημένα

6 ΄Ετσι η μέγιστη τιμή θα είναι στα 0 db και οι υπόλοιπες

σε αρνητικές τιμές Τα διαγράμματα αυτά έχουν τέτοια βαθμονόμηση γιατί θέλουμε να εκφράζουν

ποιοτικά τη συμπεριφορά της κεραίας αλλά και γιατί οι τιμές έντασης ή ισχύος που θέλουμε να αναπα-

ραστήσουμε είναι πολλών τάξεων μεγέθους και θα θέλαμε πολύ μεγάλα διαγράμματα για κανονικές τιμές

΄Ενα πιο αναλυτικό διάγραμμα ακτινοβολίας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () και είναι διάγραμμα

μίας κεραίας Yagi-Uda Οι κύκλοι που φαίνονται στο διάγραμμα αντιστοιχούν στις τιμές -3 -10 -20

-30 και -40 dB και είναι χωρισμένοι σε τμήματα των 10 Οι κύκλοι αυτοί δείχνουν τα σημεία που

έχει μειωθεί το μέγεθος στο 50 στο 10 στο 1 στο 01 και στο 001 αντίστοιχα Η

γωνία των σημείων στα οποία ο κύριος λοβός τέμνει τον πρώτο κύκλο ονομάζεται γωνία ημίσειας ισχύος

Σχήμα 32 Καρτεσιανό διάγραμμα

Εκτός των πολικών διαγραμμάτων υπάρχουν και τα καρτεσιανά

τα οποία είναι η καρτεσιανή προβολή των πολικών Παράδειγμα

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () όπου φαίνεται το άνοιγμα μισής

ισχύος και το επίπεδο του πρώτου πλευρικού λοβού Επειδή τα

διαγράμματα ακτινοβολίας σχηματίζονται όπως προαναφέρθηκε

και αφορούν τη χωρική συμπεριφορά μίας κεραίας στο μακρινό

πεδίο οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε την κεραία ως σημείο

τα καρτεσιανά διαγράμματα δεν έχουν καλή αναπαράσταση της

πραγματικότητας Αλλά είναι αρκετά χρήσιμα στη μελέτη κεραιών

και στην καλύτερη εποπτεία των χαρακτηριστικών της από τα πολικά και για το λόγο αυτό σχεδιάζονται

και χρησιμοποιούνται κατά κόρον

6΄Ενα κανονικοποιημένο διάγραμμα έχει την ίδια μορφή με ένα μη κανονικοποιημένο με μόνη αλλαγή την κλίμακα και

ότι τα μεγέθη είναι ο λογάριθμος του λόγου της τιμής προς τη μέγιστη

18

Σχήμα 33 Διάγραμμα ακτινοβολίας Yagi-Uda κεραίας

Από ένα διάγραμμα ακτινοβολίας μπορούμε να βρούμε τα παρακάτω χαρακτηριστικά μίας κεραίας (ή

και παραμέτρους του διαγράμματος όπως αναφέρονται συχνά)

Σχήμα 34 Ισοτροπική και μη

bull Κατευθυντικότητα δείκτης της ικανότητα της κεραίας να

συγκεντρώσει την ακτινοβολία εκπομπής προς μία συγκεκριμένη

κατεύθυνση και βρίσκεται αναφορικά με μία ιδανική (ισοτροπική)

κεραία Η σύγκριση την όποιας κεραίας με μία ισοτροπική φαίνεται

στο διπλανό σχήμα () Τα εμβαδά είναι ίσα οπότε εκπέμπουν

και οι δύο την ίδια ισχύ αλλά στην επιθυμητή κατεύθυνση η μη

ισοτροπική στέλνει μεγαλύτερη ισχύ Η κατευθυντικότητα λοιπόν

είναι η διαφορά σε dB των δύο διαγραμμάτων στην κατεύθυνση

του μεγίστου Είναι αντιστρόφως ανάλογη με το εύρος του κυρίως

λοβού

bull Εύρος δέσμης μισής ισχύος οριζόντιου και κάθετου επιπέδου ( HPBW )

αναφέρεται στην ενεργό περιοχή κάλυψης της κεραίας και ορίζεται ώς η γωνία μεταξύ των σημείων

του κύριου λοβού όπου η ισχύς είναι μισή της μέγιστης ή σε dB 3dB κάτω από την μέγιστη και

προσδιορίζει την περιοχή που εμφανίζεται μέγιστη εκπομπή ενώ εκτός της περιοχής αυτής η ισχύς

μειώνεται πολύ γρήγορα

bull Εύρος δέσμης επίπεδο (dB) πρώτων σημείων μηδενισμού οριζόντιου καικάθετου επιπέδου (FNBW) ορίζεται ως η γωνία μεταξύ των δύο πρώτων μηδενισμών του

μεγέθους εκατέρωθεν του κύριου λοβού

bull Λόγος κύριου προς οπίσθιο λοβό (FB)

bull Επίπεδα (dB) και εύρος γωνιών πλευρικών λοβών και οπίσθιων λοβώνbull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με τον αμέσως μικρότερο λοβό του διαγράμ-ματος ακτινοβολίας

bull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με όλους τους υπόλοιπους του διαγράμματοςακτινοβολίας

bull Λόγος κύριου προς επόμενο μεγαλύτερο λοβό (Side-Lobe Level) ορίζεται ως ο λόγος

του μεγίστου του κυρίως λοβού προς τον αμέσως μικρότερο πλευρικό λοβό (SLL = MainLobeMaxSideLobe

dB)

και είναι ένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά μίας κεραίας Πολλές φορές αναφέρεται και ώς επίπεδο

πλευρικών λοβών

Τα χαρακτηριστικά μίας κεραίας μπορούν να υπολογιστούν και να περιγραφούν όχι μόνο βάσει του

19

διαγράμματος ακτινοβολίας της Μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της μετρώντας και υπολο-

γίζοντας κατάλληλα μεγέθη και κάνοντας χρήση γνωστών μαθηματικών τύπων

bull Συνολική ακτινοβολούμενη ενέργεια η συνολική (ή μέσος όρος) ενέργεια που ακτινο-

βολεί μία κεραία και υπολογίζεται από τον τύπο

Prad = Pav =

lsaquoS

~Wrad middot d~s =

lsaquoS

~Wav middot n middot da =1

2

lsaquoS

lt( ~E times ~H) middot d~s (31)

όπου Wrad=πυκνότητα ακτινοβολίας

bull ΄Ενταση ακτινοβολίας η ενέργεια που εκπέμπεται από μία κεραία ανά μονάδα στερεάς γωνίας

U = r2 middotWrad (32)

όπου r=απόσταση

bull Κατευθυντικότητα είναι ο λόγος της ακτινοβολούμενης ενέργειας σε μία συγκεκριμένη κα-

τεύθυνση προς το μέσο όρο εκπεμπόμενης ακτινοβολίας σε όλες τις κατευθύνσεις ΄Η αλλιώς

η ένταση προς μία συγκεκριμένη κατεύθυνση προς την αντίστοιχη τιμή της αν ακτινοβολούσε

ισοτροπικά

D =U

Uo=

4pU

Prad(33)

΄Αν δεν ορίζεται κατεύθυνση σαν κατευθυντικότητα αναφέρεται η μέγιστη κατευθυντικότητα μίας

κεραίας

bull Κέρδος αν και συνδέεται με την κατευθυντικότητα είναι μία παράμετρος της κεραίας που λαμ-

βάνει υπόψιν και την αποδοτικότητα της κεραίας αλλά και τις δυνατότητες κατευθυντικότητας

Απόλυτο κέρδος κεραίας (σε συγκεκριμένη κατεύθυνση) ορίζεται ο λόγος της έντασης ακτινοβο-

λίας προς την ένταση ακτινοβολίας που θα είχε στη συγκεκριμένη κατεύθυνση άν όλη η ενέργεια

εισόδου της κεραίας εκπεμπόταν ισοτροπικά

κέρδος = 4π middot ένταση ακτινοβολίας

συνολική εισερχόμενη ενέργεια= 4π

U(θ φ)

Pinputrarr

G = 4π U(θφ)Pinput (ιδανικής ισοτροπικής πηγής)

(34)

bull Απόδοση κεραίας είναι ένας δείκτης που λαμβάνει υπόψιν τις απώλειες ενέργειας από την

είσοδο στην έξοδο της κεραίας λόγω πολλών φαινομένων Γενικά η συνολική απόδοση μίας

κεραίας δίνεται από τον τύπο

eo = er middot ec middot ed (35)

όπου eo είναι η συνολική απόδοση er είναι η απόδοση λόγω απωλειών ανακλάσεων (λόγω κακής

προσαρμογής) (= 1minus|Γ|2) ec είναι η απόδοση λόγω απωλειών αγωγιμότητας ed είναι η απόδοση

που οφείλεται στο διηλεκτρικό και Γ ο συντελεστής ανάκλασης τάσης

bull Απόδοση δέσμης είναι μία παράμετρος ποιότητας μίας κεραίας και ορίζεται από το λόγο της

ενέργειας που ακτινοβολείται από τον κύριο λοβό της κεραίας (με το λοβό σε γωνία θ0) προς τη

συνολική

BE =

acute 2π0

acute θ0U(θ φ)sin(θ)dθdφacute 2π

0

acute π0U(θ φ)sin(θ)dθdφ

(36)

όπου θ1 είναι η γωνία μισής ισχύος ΄Αν θεωρήσουμε το θ1 στην κατεύθυνση του πρώτου μηδενι-

σμού τότε θα έχουμε το λόγο της ισχύος του κυρίως λοβού προς τη συνολική

bull Εύρος σαν εύρος μιας κεραίας ορίζεται το εύρος των συχνοτήτων (bandwidth) στις οποίες

μπορεί να λειτουργήσει αποδοτικά βάσει κάποιων χαρακτηριστικών της πχ να έχει εύρος κύριου

λοβού εντός συγκεκριμένων ορίων διατηρώντας μία ελάχιστη τιμή SLL

20

33 Κατηγορίες κεραιών

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω οι κεραίες χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με τα μορ-

φολογικά αλλά και λειτουργικά χαρακτηριστικά τους Βάσει του τρόπου με τον οποίο εκπέμπουν ή

λαμβάνουν ή αλλιώς βάσει του διαγράμματος ακτινοβολίας τους χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες

bull Ισοτροπικές μία ισοτροπική κεραία ορίζεται ως μία υποθετική (ιδανική) κεραία η οποία ακτινο-

βολεί το ίδιο προς όλες τις κατευθύνσεις Δεν έχει κάποια πραγματική εφαρμογή στα τηλεπικοι-

νωνιακά συστήματα γιατί η ισχύς της εκπέμπεται προς όλες τις κατευθύνσεις το ίδιο προκαλώντας

μεγάλες απώλειες ισχύος σε ανεπιθύμητες κατευθύνσεις ΄Εχει μόνο θεωρητική αξία στη μελέτη

κεραιών και στον ορισμό κάποιων παραμέτρων των κεραιών όπως το κέρδος που είδαμε παραπάνω

bull Κατευθυντικές μία κατευθυντική κεραία ορίζεται ως η κεραία που έχει την ικανότητα να

εκπέμπει ή να λαμβάνει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αποτελεσματικότερα προς κάποιες κατευ-

θύνσεις Είναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κεραίες και η εξέλιξη αυτών είναι οι έξυπνες

κεραίες που ανάλογα με τις ανάγκες της κάθε συσκευής και τα χαρακτηριστικά του χώρου που

βρίσκεται μπορούν να αλλάξουν τη γωνία μέγιστης εκπομπής κάνοντας βέλτιστη χρήση της α-

κτινοβολούμενης ισχύος της

bull Πανκατευθυντικές μία πανκατευθυντική κεραία είναι μία κεραία η οποία ακτινοβολεί σαν

κατευθυντική εκτός από ένα επίπεδο στο οποίο εκπέμπει ή λαμβάνει ισοτροπικά Η χρήση τους

είναι κυρίως στα μέσα μαζικής επικοινωνίας όπου χρειάζεται κάλυψη του χώρου 360 μοιρών στο

οριζόντιο επίπεδο αλλά πολύ μικρής γωνίας στο κάθετο

Βάσει των μορφολογικών χαρακτηριστικών τους χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες Η κάθε

κατηγορία έχει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της που την καθιστούν κατάλληλη για κάποια

εφαρμογή και ακατάλληλη για κάποια άλλη Παρακάτω αναφέρονται οι κατηγορίες αυτές των κεραιών

με τα βασικά χαρακτηριστικά της κάθε μίας

bull Κεραίες σύρματος Είναι απλές κεραίες κατασκευασμένες από αγώγιμο υλικό συνήθως

κυκλικής διατομής Πολλές φορέα σχηματίζονται από πολλούς αγωγούς κατάλληλα συζευγμένους

μεταξύ τους σε πλέγματα διαφόρων σχημάτων που είτε δημιουργούν μία επιφάνεια είτε μία γραμμική

κεραία Η απλούστερη γραμμική κεραία είναι η κεραία διπόλου τα χαρακτηριστικά της οποίας είναι

ανάλογα με το σχετικό μήκος της ως προς το μήκος κύματος της ακτινοβολίας για την οποία προορίζε-

ται7 Οι συγκεκριμένες είναι πολύ απλές στην κατασκευή πολύ συχνά απλά συρμάτινες Αποτελείται

από ένα δίπολο του οποίου (συνήθως) η τροφοδοσία8είναι στη μέση Πλεονεκτήματα των κεραιών

αυτών είναι το κόστος το μέγεθος και η δυνατότητα κάλυψης μεγάλης περιοχής συχνοτήτων ενώ

έχουν το μειονέκτημα της χαμηλής απόδοσης λόγω των διαστάσεων τους Καλύτερα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης έχουν οι διπολικές κεραίες των οποίων το μήκος είναι της τάξης του μήκους κύματος

Σχήμα 35 Κεραία διπόλου

Μία κεραία σύρματος χαρακτηρίζεται ως rdquoλεπτήrdquoόταν η διάμε-

τρος του αγωγού είναι μικρότερη από 001λ Ανάλογα με το σχήμα

της χαρακτηρίζεται ως ευθύγραμη κεραία V ή πτυσσόμενη Στο

διπλανό σχήμα () φαίνονται μία ευθύγραμμη και μία πτυσσόμενη

διπολική κεραία Στις πτυσσόμενες σημαντική είναι η γωνία που

σχηματίζουν οι βραχίονες τους έχοντας βρεθεί ότι η μέγιστη

κατευθυντικότητα επιτυγχάνεται για γωνία α = 60λh

+ 380

όπου h είναι το μήκος του βραχίονα και λ το μήκος κύματος τη

ακτινοβολίας και ότι Dmax = 12 + 23hλ9

7Μία κεραία χαρακτηρίζεται ως ηλεκτρικά μικρή όταν οι διαστάσεις της είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος

της ακτινοβολίας8Με τον όρο τροφοδοσία εννοούμε το υπόλοιπο σύστημα το οποίο τροφοδοτεί η κεραία με το σήμα που λαμβάνει στην

περίπτωση κεραίας λήψης ή από το οποίο τροφοδοτείται με το σήμα που θα εκπέμψει στην περίπτωση κεραίας εκπομπής

9Η σχέση αυτή είναι εμπειρική και ισχύει για 05 lt h

λ lt 3

21

Σχήμα 36 Κεραία Yagi-Uda

Μία εξέλιξη των παραπάνω κεραιών είναι οι κεραίες Yagi-Udaπου ένα διάγραμμα ακτινοβολίας τέτοιας κεραίας παρατέθηκε

παραπάνω () Είναι ευθύγραμμες διπολικές κεραίες που α-

ποτελούνται από πέραν του ενός δίπολα τα οποία όμως δεν

τροφοδοτούνται όλα Τα μη τροφοδοτούμενα δίπολα ονομάζονται

παρασιτικά και τροφοδοτούνται επαγωγικά από τα υπόλοιπα Οι

κεραίες αυτές παρουσιάζουν αυξημένη κατευθυντικότητα σχετικά

με τις μη παρασιτικές κεραίες διπόλων Η πρώτη τέτοια κεραία

κατασκευάστηκε το 1926 και αποτελούταν από τρία δίπολα ένα

ενεργό και δύο παρασιτικά Στην περίπτωση που το παρασιτικό

δίπολο έχει μεγαλύτερο μήκος από του ενεργού ονομάζεται

ανακλαστήρας ενώ αν έχει μικρότερο ονομάζεται κατευθυντήρας

Μία γενική μορφή τέτοιας κεραίας φαίνεται στο διπλανό σχήμα με LR το μήκος του ανακλαστήρα και

LD το μήκος του κατευθυντήρα

bull Στοιχειοκεραίες Μία εξέλιξη των συρμάτινων κεραιών είναι οι στοιχειοκεραίες Οι

στοιχειοκεραίες αποτελούνται από πολλές κεραίες διπόλων τα στοιχεία τα οποία ενώνονται όλα σε

μία κοινή τροφοδοσία και αυτή είναι η βασική τους διαφορά από τις Yagi-Uda που έχουν παρασιτικά

στοιχεία και ο λόγος που οι τελευταίες δε θεωρούνται στοιχειοκεραίες Συστοιχείες λοιπόν πολλών

κεραιών φτιάχνουν τις στοιχειοκεραίες Ανάλογα με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της συστοιχίας

υπάρχουν κάποια είδη στοιχειοκεραιών όπως είναι οι γραμμικές (μία συστοιχία σε ευθεία γραμμή) και

οι επίπεδες (συστοιχείες συστοιχείων) Λόγω της ταυτόχρονης χρήσης πολλών κεραιών μπορούν να

συνδυάσουν τα χαρακτηριστικά τους δίνοντας δυνατότητα πολύπλοκων κατευθυντικών διαγραμμάτων

καθιστώντας τες κατάλληλες για πολλές εφαρμογές Συγκριτικά με μία κεραία μεγάλου μήκους που

θα έχει τα ίδια κατευθυντικά χαρακτηριστικά παρουσιάζει το πλεονέκτημα της εύκολης τροφοδο-

σίας της μηχανικής αντοχής και του μικρού κόστους εγκατάστασης και λειτουργίας Τέλος με

κατάλληλη τροφοδοσία του κάθε στοιχείου της μπορούμε να αλλάξουμε τα κατευθυντικά χαρακτηρι-

στικά της ΄Εχουν πολλές γεωμετρικές μορφές αλλά και είδη που θα αναφερθούν σε επόμενη παράγραφο

bull Κεραίες βρόχου ή πλαισίου Μία κεραία βρόχου αποτελείται από έναν κλειστό αγωγό σε

σχήμα βρόχου (ή και βρόχων) ο οποίος τροφοδοτείται σε ένα σημείο του Χωρίζονται σε κεραίες μικρού

και μεγάλου βρόχου συγκριτικά με το μήκος κύματος στο οποίο χρησιμοποιούνται10

Οι μικρού

βρόχου έχουν χαμηλή απόδοση και χρησιμοποιούνται κατά κόρον σε δέκτες χαμηλών συχνοτήτων

Εκτός από τους ραδιοφωνικούς δέκτες των αυτοκινήτων στους οποίους γίνεται μεγάλη χρήση των

κεραιών μικρού βρόχου το μεγαλύτερο ποσοστό των δεκτών AM χρησιμοποιούν τέτοιες κεραίες

Οι μεγάλου βρόχου έχουν ευρεία χρήση στους δέκτες VHF και UHF έχοντας και το επιπλέον

χαρακτηριστικό της μεταβλητής περιφέρειας δίνοντας δυνατότητα μεγαλύτερου εύρους συχνοτήτων

Γενικά οι κεραίες βρόχου είναι κεραίες με μεγάλη κατευθυντικότητα κάτι που τις κάνει ιδανικές σε

εφαρμογές εύρεσης κατεύθυνσης σήματος

bull Ελικοειδής κεραίες Μία ελικοειδής κεραία αποτελείται από έναν αγωγό που έχει τη μορφή

έλικας στον οποίο η τροφοδοσία είναι στο ένα του άκρο Αποτελεί συνδυασμό κεραίας βρόχου και

γραμμικής κεραίας οπότε μπορεί να εκπέμπει με δύο τρόπους (ρυθμούς) αξονικά και κάθετα στον άξονα

της έλικας κάτι που της δίνει βελτιωμένα χαρακτηριστικά συγκριτικά με τις δύο αυτές κατηγορίες

Χρησιμοποιείται κατά κόρον όπου απαιτείται κυκλική πόλωση σήματος σαν πομπός ή σε σήματα που

έχουν κυκλική πόλωση σαν δέκτης και έχει αρκετά μεγάλο εύρος ζώνης συχνοτήτων Ανάλογα με τα

χαρακτηριστικά που πρέπει να έχει μία ελικοειδής κεραία μπορεί να είναι ομοιόμορφη (όλες οι έλικες

ίδια διάμετρο) αυξανόμενης ελαττούμενης και αυξο-ελαττούμενης διαμέτρου ελίκων

bull Δικωνικές κεραίες ΄Αν δύο V ενωθούν κατακορυφήν σχηματίζεται μία δικωνική κεραία οι

οποίες έχουν αυξημένο εύρος συχνοτήτων Πολλές δικωνικές κεραίες έχουν τη δυνατότητα μεταβολής

10Σαν κεραία μικρού βρόχου θα χαρακτηριστεί η κεραία της οποίας η περιφέρεια θα είναι ίση ή μικρότερη από το ένα

δέκατο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας

22

του μήκους του βραχίονα τους δίνοντας ακόμα μεγαλύτερο εύρος Αν μία από τις δύο V κεραίες

αντικατασταθεί από μία αγώγιμη επιφάνεια σε σχήμα δίσκου έχουμε τη δισκωνική κεραία στην οποία

ο δίσκος λειτουργεί ως ανακλαστήρας Είναι κεραίες μικρής κατευθυντικότητας και χαμηλού κέρδους

και χρησιμοποιούνται πολύ σαν κεραίες ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών εκπομπών

bull Σπειροειδής κεραίες Οι σπειροειδής κεραίες είναι κεραίες με μεγάλο εύρος ζώνης

συχνοτήτων και μεγάλης κατευθυντικότητας Αποτελούνται από μία ή δύο αγωγούς που έχουν σχήμα

σπείρας και όσο μικρότερη γωνία ανοίγματος σπείρας έχουν τόσο μεγαλύτερη κατευθυντικότητα

Μπορεί να είναι επίπεδες ή κωνικές και η πόλωση του σήματος που λαμβάνουν ή εκπέμπουν είναι

ανάλογη με τη φορά των σπειρών Το εύρος συχνοτήτων τους δίνεται από το λόγο μεγαλύτερης προς

μικρότερης διαμέτρου άν και στην πραγματικότητα είναι λίγο μικρότερο του λόγου αυτού Μία αρκετά

διαδεδομένη σπειροειδής κεραία είναι η rdquoσπειροειδής του Αρχιμήδηrdquoη οποία αποτελείται από δύο σπε-

ίρες με r1 = r0φ και r2 = r0(φminusπ) οι οποίες συνήθως κατασκευάζονται πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα11

bull Κεραίες χοάνης Οι κεραίες χοάνης αποτελούνται από έναν αγωγό ο οποίος είναι από το

ένα άκρο του ανοιχτός και διεγείρεται από το άλλο του άκρο Με σωστή ρύθμιση έχουν μεγαλύτερη

απόδοση από τις συρμάτινες Ανάλογα με το σχήμα του αγωγού μπορεί να υπάρχουν αρκετά είδη

τέτοιων κεραιών τρία εκ των οποίων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα () Η κατευθυντικότητα της

είναι ανάλογη της γωνίας ανοίγματος της Στην πράξη συναντούμε ελάχιστες κεραίες χοάνης μόνες

τους αλλά σε συνδυασμό με έναν ανακλαστήρα έχουν πολύ διαδεδομένη χρήση λόγω της πολύ μεγάλης

κατευθυντικότητας που προσφέρουν ειδικά στις περιπτώσεις που ο ανακλαστήρας είναι παραβολικός

όπου υπάρχει η δυνατότητα παραγωγής πολύ στενής δέσμης υψηλού κέρδους και χαμηλού θορύβου

Χρησιμοποιούνται πολύ στις δορυφορικές επικοινωνίες και η πιο συνηθισμένη τους μορφή είναι τα umlπιάταrsquo

που χρησιμοποιούνται για τη λήψη δορυφορικών σημάτων

Σχήμα 37 Κεραίες χοάνης α)τομέας β)πυραμοειδής και γ)κωνική

bull Λογαριθμικές περιοδικές κεραίες Είναι κεραίες των οποίων τα μορφολογικά χα-

ρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με την απόσταση από την αρχή της κεραίας Υπάρχει ένα

επαναλαμβανόμενο στοιχείο κεραίας το οποίο μεγαλώνει όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της

κεραίας Μπορεί να είναι μία πλάκα με οδοντώσεις το μέγεθος των οποίων μεταβάλλεται ένα σύρμα

11Οι κεραίες που είναι κατασκευασμένες πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα ή αλλιώς σε μικροταινίες ανήκουν και στην

κατηγορία των μικροταινιακών κεραιών πολύ διαδεδομένη στις ηλεκτρονικές φορητές συσκευές που λειτουργούν στην

περιοχή των μικροκυμάτων (λόγω διαστάσεων κεραιών είναι ιδανικές για την περιοχή αυτή)

23

Σχήμα 38 Λογαριθμική περιοδική κεραία

το οποίο διπλώνεται κατάλληλα και το μέγεθος της κάθε δίπλωσης μεταβάλλεται ή ακόμα και από

δίπολα το μήκος των οποίων μεταβάλλεται Πολλές κεραίες που ανήκουν σε παραπάνω κατηγορίες είναι

λογαριθμικές μπορεί να είναι λογαριθμικές αν η μεταβολή των επαναλαμβανόμενων στοιχείων ακολουθεί

το συγκεκριμένο πρότυπο Μία τέτοια φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () η οποία ανήκει στην

κατηγορία των στοιχειοκεραίων Λόγω των επαναλαμβανόμενων στοιχείων των οποίων συνδυάζουν τα

χαρακτηριστικά μπορούν να έχουν πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων και συγκεκριμένα εύρος μίας τάξης

μεγέθους επιτυγχάνεται εύκολα και μπορούν να έχουν και αρκετά μεγάλη κατευθυντικότητα Βρίσκουν

πολλές εφαρμογές στις επικοινωνίες υψηλών συχνοτήτων και ειδικά στα τηλεοπτικά σήματα αφού με

μία κεραία μπορεί κάποιος να λαμβάνει ικανοποιητικά όλα τα διαθέσιμα κανάλια χωρίς καμία προσαρμογή

34 Στοιχειοκεραίες

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω η μορφή του διαγράμματος εκπομπής και λήψης των κεραιών

εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της κεραίας Σε πολλές εφαρμογές απαιτούνται κεραίες μεγάλου

κέρδους ή αλλιώς μεγάλης κατευθυντικότητας Μία κεραία για να έχει μεγάλη κατευθυντικότητα

θα πρέπει να έχει πολύ μεγάλο μέγεθος Το πρόβλημα αυτό λύνεται φτιάχνοντας σύνθετες κεραίες

Κεραίες που αποτελούνται από μικρότερες κεραίες είτε όμοιες μεταξύ τους είτε ανόμοιες Τέτοιες

συστοιχίες κεραιών όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ονομάζονται στοιχειοκεραίες Το κάθε στοιχείο

μίας στοιχειοκεραίας μπορεί να είναι οποιασδήποτε μορφής κεραία (σύρματος οπής κλπ) με βασικό

χαρακτηριστικό όλα τα στοιχεία να έχουν κοινή τροφοδοσία Το συνολικό πεδίο θα είναι το διανυ-

σματικό άθροισμα των πεδίων κάθε στοιχείου ξεχωριστά Οπότε μπορούμε να έχουμε το επιθυμητό

πεδίο φτιάχνοντας την κεραία μας έτσι ώστε στα σημεία που θέλουμε μεγάλο κέρδος να συμβάλουν

εποικοδομητικά τα πεδία των στοιχείων της κεραίας και στα σημεία που δεν θέλουμε να ακτινοβολεί να

έχουμε καταστροφική συμβολή

Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας θα εξαρτάται από τους εξείς παράγοντες

bull Τη γεωμετρία της στοιχειοκεραίας ( γραμμικήκυκλικήορθογώνια σφαιρική κλπ)

bull Την απόσταση μεταξύ των στοιχείων της κεραίας

bull Την ένταση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

bull Τη φάση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

24

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Παρατήρηση 1 Το 0 είναι μία ιδιοτιμή του πίνακα Α΄ με ιδιοδιάνυσμα το

u = [u1 un+1]T

n(nminus1minusi)(iminus1) (i = 1 iprime)

un+2minus1 (i = iprime + 1 n+ 1)

(28)

όπου το irsquo είναι ο μικρότερος ακέραιος ο οποίος να είναι μεγαλύτερος ή ίσος με

τοn+12

ή με προγραμματιστικό συμβολισμό iprime = ceil(n+12

) Αυτό μπορεί να

επιβεβαιωθεί από την απευθείας λύση της εξίσωσης ιδιοτιμών Aprime lowast u = k lowast uγια την άγνωστη μεταβλητή k και το άγνωστο διάνυσμα u Σαν παράδειγμα

για n=4 έχουμε

u = [1 4 6 4 1]T (29)

όπως και για n=5 παίρνουμε

u = [1 5 10 10 5 1]T (210)

Εικασία 1 Οι ιδιοτιμές του Α΄ δίνονται ως εξής

k = 0minus2

nminus4

n minus2 (211)

Η παραπάνω εικασία δεν έχει αποδειχθεί ακόμα αλλά ισχύει για όλες τις τιμές

του ν για τις οποίες έχει εξεταστεί

Θεώρημα 1 Η τιμή σταθερής κατάστασης για την πιθανότητα των αριθμών κάθε είδους

δίνεται από τη σχέση

P (infin) =usumn+1i=1 ui

(212)

όπου τα u και ui δίνονται από την

Στη συνέχεια θα μελετήσουμε το πώς μπορούν τα παραπάνω να εφαρμοστούν σε ένα πρόβλημα

βελτιστοποίησης συγκεκριμένου τομέα

221 Μέθοδοι και παράμετροι της BBO

Σχήμα 22 Αναπαράσταση λύσεων

Μετανάστευση Θεωρούμε ότι έχουμε ένα πρόβλημα με

πολλές πιθανές λύσεις οι οποίες μπορούν να παρασταθούν ως

διανύσματα ακεραίων Κάθε τέτοιος ακέραιος θεωρείται ότι

είναι μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας (SIV) Αν έχουμε

έναν τρόπο αξιολόγησης της ποιότητας κάθε λύσης μπορούμε

να αναπαραστήσουμε κάθε λύση σαν μία περιοχή Οι καλές

ποιοτικά λύσεις θα έχουν υψηλό δείκτη καταλληλότητας

(HSI) ενώ οι λιγότερο καλές χαμηλό Οι λύσεις με υψηλό

HSI θα είναι οι περιοχές με πολλά είδη ενώ αυτές με χαμηλό

οι περιοχές με λίγα είδη Η καμπύλη μοντέλου μετανάστευ-

σης θεωρούμε ότι θα είναι ίδια για όλες τις περιοχές (για

μεγαλύτερη ευκολία Ε=Ι) με τη μεταβλητή S κάθε περιοχής

να εξαρτάται από το HSI της όπως φαίνεται στο διπλανό

σχήμα (σχήμα ) Η περιοχή στην οποία αντιστοιχεί το S1

είναι περιοχή με χαμηλό HSI ενώ αυτή με το S2 περιοχή

με υψηλό HSI ΄Οπως φαίνεται και από το διπλανό σχήμα η

περιοχή με S1θα έχει λίγα είδη υψηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ1) και χαμηλό από (micro1) αυτή

ενώ η περιοχή με δείκτη S2 θα έχει πολλά είδη χαμηλό ρυθμό μετανάστευσης προς (λ2) και υψηλό

12

από (micro2) αυτή Οι ρυθμοί μ και λ χρησιμοποιούνται για την ανταλλαγή πληροφοριών μεταξύ των

περιοχών πιθανοκρατικά Με πιθανότητα Pmod αξιολογούμε κάθε λύση βάση των υπολοίπων και

όποιες επιλεχθούν να τροποποιηθούν βάση του λ πιθανοκρατικά αξιολογούνται οι SIV και επιλέγονται

αυτοί που θα τροποποιηθούν ΄Αν κάποιος SIV επιλεχθεί να τροποποιηθεί βάση του μ των υπόλοιπων

λύσεων επιλέγεται πάλι πιθανοκρατικά από ποια λύση θα μεταναστεύσει κάποιος τυχαίος SIV

Η μέθοδος αυτή της μετανάστευσης στους BBO αλγόριθμους είναι παρόμοια με τις μεθόδους

των εξελικτικών και γενετικών αλγόριθμων όπου πολλοί πρόγονοι μπορούν να συνδυαστούν για

την παραγωγοί ενός απογόνου με μία όμως σημαντική διαφορά Σε αντίθεση με τους εξελικτικούς

και γενετικούς αλγόριθμους στους οποίους οι προηγούμενες λύσεις καταστρέφονται από γενιά σε

γενιά στους BBO οι λύσεις παραμένουν και εξελίσσονται χωρίς να καταστρέφονται Φυσικά έχει

ενσωματωμένο κάποιου είδους ελιτισμός έτσι ώστε να μην επηρεάζονται οι βέλτιστες λύσεις

Μετάλλαξη Κατακλυσμικά γεγονότα μπορούν να αλλάξουν δραστικά τον HSI μίας περιοχής

όπως μπορούν να προκαλέσουν απόκλιση του αριθμού των ειδών από την ισορροπία επηρεάζοντας

τον HSI λόγω φαινομενικά τυχαίων φαινομένων Τέτοια φαινόμενα μοντελοποιούνται στους BBO με

την μετάλλαξη των HSI και χρησιμοποιείται η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών για τον

καθορισμό του ρυθμού μετάλλαξης Η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών υπακούει στην

διαφορική εξίσωση Παρατηρώντας την καμπύλη στο σχήμα βλέπουμε ότι οι περιοχές με χαμηλό

αριθμό ειδών αλλά και αυτές με υψηλό αριθμό ειδών έχουν σχετικά χαμηλή πιθανότητα κάτι που θα

μπορούσε να εξαχθεί και από το θεώρημα 1 σε αντίθεση με αυτή με μέσες τιμές γιατί τα δεύτερα είναι

πιο κοντά στο σημείο ισορροπίας Ως παράδειγμα ας θεωρήσουμε την περίπτωση όπου Smax = 10 Η

λύση σταθερής κατάστασης της εξίσωσης θα είναι ανεξάρτητη της αρχικής συνθήκης Π(0) και μπορεί

να υπολογιστεί με αριθμητικές μεθόδους είτε βάση του θεωρήματος 1 με αποτέλεσμα

P (infin) sim= [0001 0001 0044 0117 0205 0246 0205 0117 0044 0001 0001]T

Τα στοιχεία του P (infin) δίνουν άθροισμα μονάδα και η γραφική τους παράσταση δίνει μία άρτια

συνάρτηση συμμετρική στην κεντρική τιμή

Κάθε λύση έχει μία αντίστοιχη πιθανότητα η οποία είναι δείκτης του κατά πόσο ήταν αναμενόμενη

εξ αρχής η λύση αυτή στο συγκεκριμένο πρόβλημα Λύσεις με πολύ υψηλό αλλά και πολύ χαμηλό HSIείναι αρκετά απίθανες να υπάρξουν ενώ λύσεις με μέσους HSI κοντά στο σημείο ισορροπίας είναι πιο

πιθανές Λύση S με μικρή πιθανότητα PS είναι αρκετά απίθανη οπότε έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να

μεταλλαχθεί από ία λύση Srsquo με μεγάλη πιθανότητα P primeS Αυτό μπορεί να παρασταθεί με τον παρακάτω

τύπο όπου ο ρυθμός μετάλλαξης m είναι αντιστρόφως ανάλογος της πιθανότητας μίας λύσης

m(S) = mmax

(1minus PSPmax

)(213)

και mmax είναι μία παράμετρος που ορίζεται από το χρήστη Αυτό το μοντέλο μετάλλαξης τείνει

να αυξήσει τη διαφορετικότητα μεταξύ του πληθυσμού των λύσεων Χωρίς αυτό οι λύσεις με μεγάλη

πιθανότητα θα ήταν επικρατέστερες των υπολοίπων Δίνει λοιπόν τη δυνατότητα στις κακές λύσεις

να μεταλλαχθούν και να εξελιχθούν δίνοντας παράλληλα και τη δυνατότητα στις λύσεις με υψηλή

πιθανότατα να εξελιχθούν και να βελτιωθούν και άλλο Πρέπει να σημειωθεί ότι χρησιμοποιείται

μία ελιτίστικη προσέγγιση αποθηκεύοντας τη βέλτιστη λύση έτσι ώστε αν χειροτερέψει από μία

μετάλλαξη να μπορούμε να την επαναφέρουμε αν χρειαστεί Οπότε η μετάλλαξη χρησιμοποιείται και

τις κακές και στις καλές λύσεις Οι μέσες λύσεις θεωρούμε ότι καλυτερεύουν με την μετανάστευση

οπότε αποφεύγουμε να τις μεταλλάξουμε και έχουν μικρότερο ρυθμό μετάλλαξης Η υλοποίηση της

μετάλλαξης εξαρτάται από το εκάστοτε πρόβλημα και χρήστη

Ορισμοί της BBO και αλγόριθμος

Παρακάτω δίνονται κάποιοι ορισμοί ως ένα πρώτο βήμα για τη μορφοποίηση του BBO αλγόριθμου

παρουσιάζοντας παράλληλα και μία περιγραφή του αλγόριθμου Με το R αναφερόμαστε στο σύνολο

13

πραγματικών αριθμών με το Ζ ακεραίων και με το empty στο κενό σύνολο

Ορισμός 1 Μία περιοχή H isin SIV mείναι ένα διάνυσμα m ακεραίων που αντιπροσωπεύει μία

πιθανή λύση του προβλήματος

Ορισμός 2 Μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας SIV isin C είναι ένας ακέραιος επιτρεπτός

σε μία περιοχή C isin Zqείναι το σύνολο όλων των επιτρεπτών ακεραίων σε μία

περιοχή Η απαίτηση SIV isin C ονομάζεται περιορισμός όπως και σε υψηλότερο

επίπεδο η απαίτηση H isin SIV m

Ορισμός 3 ΄Ενας δείκτης καταλληλότητας περιοχής HSI H rarr R αποτελεί μέτρο την ποιότη-

τας καλής ή κακής της λύσης που αντιπροσωπεύει η περιοχή Σημείωση Στους

περισσότερους αλγόριθμους βασισμένους στους πληθυσμούς το HSI ονομάζεται κα-ταλληλότητα

Ορισμός 4 ΄Ενα οικοσύστημα Hnείναι ένα σύνολο από n περιοχές Το μέγεθος n είναι σταθερό

(μελλοντικοί αλγόριθμοι μπορεί να επιτρέπουν μεταβλητό n όπως κάποιοι γενετικοί

αλγόριθμοι επιτρέπουν μεταβλητό μέγεθος πληθυσμών)

Ορισμός 5 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή λ(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

αύξουσα συνάρτηση του HSI Το λi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV από μία

γειτονική περιοχή να μεταναστεύσει στην Hi

Ορισμός 6 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή micro(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

φθίνουσα συνάρτηση του HSI Το microi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV της Hi

να μεταναστεύσει προς μία γειτονική περιοχή Στην πράξη θεωρούμε ότι οι συναρ-

τήσεις λ και μ είναι γραμμικές με το ίδιο μέγιστο Αυτή η υπόθεση βοηθάει στην

στην απλούστευση των μαθηματικών υπολογισμών Καλύτερες επιδόσεις μπορεί να

είναι εφικτές αν παρεκκλίνουμε λίγο από την υπόθεση αυτή

Ορισμός 7 Τροποποίηση μίας περιοχής Ω(λμ) Hn rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής

που προσαρμόζει την περιοχή Η βάση του οικοσυστήματος Hn Η πιθανότητα μια

περιοχή Η να τροποποιηθεί είναι ανάλογη του ρυθμού μετανάστευσης προς αυτή λ

και η πιθανότητα η τροποποίηση αυτή να προέλθει από την περιοχή Hj είναι ανάλογη

του ρυθμού μετανάστευσης microj από την περιοχή Η τροποποίηση των περιοχών

μπορεί να περιγραφεί γενικά ως εξής

Επιλογή του Hi με πιθανότητα sim λi΄Αν έχει επιλεχθεί το Hi

For j=1 to nεπιλογή του Hj με πιθανότητα sim microiΑν έχει επιλεχθεί το Hj

τυχαία επιλογή ενός SIV σ από το Hj

αντικατάσταση ενός τυχαίου SIV της Hi με το σ

endend

endΑπό τον παραπάνω αλγόριθμο γίνεται φανερό ότι μπορεί να εφαρμοστεί ένα κρι-

τήριο ελιτισμού θέτοντας λ=0 για την p βέλτιστη περιοχή όπουp μία παράμετρος

ελιτισμού καθορισμένη από το χρήστη Ακόμα να σημειωθεί ότι ο ορισμός του Ω

εξασφαλίζει ότι η περιοχή Η που τροποποιείται ικανοποιεί τους περιορισμούς του

SIVΟρισμός 8 Η μετάλλαξη Μ(λμ) H rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής που τυχαία τρο-

ποποιεί τις SIVs μίας περιοχής βάση της αρχικής πιθανότητας ύπαρξης της περιοχής

Η πιθανότητα ύπαρξης μίας περιοχής υπολογίζεται όπως αναφέρθηκε παραπάνω

από τους ρυθμούς λ και μ Η μετάλλαξη μπορεί να περιγραφεί ως εξής

14

For j=1 to mχρήση των microi και λi για τον υπολογισμό της πιθανότητας Piεπιλογή της SIV Hi(j) με πιθανότητα sim PiΑν έχει επιλεχθεί το Hi(j)

Αντικατάσταση του Hi(j) με ένα τυχαία δημιουργημένο SIVend

end΄Οπως και παραπάνω ο ελιτισμός μπορεί να υλοποιηθεί θέτοντας πιθανότητα με-

τάλλαξης μηδενική για την περιοχή με τη βέλτιστη λύση p Από τον παραπάνω

ορισμό βλέπουμε ότι πρέπει η μετάλλαξη να έχει κατάλληλους περιορισμούς ώστε

να καταλήγει σε HSI που να υπακούν στους περιορισμούς των SIVs

Ορισμός 9 Μία συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος Ψ ( m n λ μ Ω Μ) Hn rarr Hn

είναι μία εξάδα που τροποποιεί το οικοσύστημα από μία επανάληψη στην επόμενη

Η συνάρτηση τροποποίησης του οικοσυστήματος μπορεί να γραφεί ως εξής

ψ = λn micron Ωn HSIn Mn HSI (214)

Η συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος λοιπόν ξεκινάει υπολογίζοντας τους ρυθ-

μούς μετανάστευση προς και από μία περιοχή Εν συνεχεία λαμβάνει χώρα η τρο-

ποποίηση των περιοχών ακολουθούμενη από έναν επαναϋπολογισμό των HSI

Τέλος εφαρμόζεται μετάλλαξη και ξαναϋπολογίζονται οι HSI κάθε περιοχής

Ορισμός 10 ΄Ενας BBO αλγόριθμος BBO(Ι Ψ Τ) είναι μία τριάδα που προτείνει μία λύση σε

ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης I empty rarr Hn HSIn είναι μία συνάρτηση η οποία

παράγει ένα αρχικό οικοσύστημα περιοχών και υπολογίζει τις αντίστοιχες HSI Ψείναι μία συνάρτηση τροποποίησης οικοσυστήματος όπως ορίστηκε παραπάνω και

T Hn rarr true false είναι ένα κριτήριο τερματισμού του αλγόριθμου

Η συνάρτηση Ι μπορεί να υλοποιηθεί με μία γεννήτρια τυχαίων αριθμών ευρετι-

κών λύσεων στο πρόβλημα βελτιστοποίησης ή με οιαδήποτε άλλη διαδικασία που

να εξαρτάται από το πρόβλημα Το Τ μπορεί να εξαρτάται από τον αριθμό των

Ψ επαναλήψεων το HSI της βέλτιστης περιοχής ή οποιοδήποτε άλλο κριτήριο

βάση του προβλήματος Οπότε ο αλγόριθμος BBO μπορεί να περιγραφεί από το

παρακάτω

Ι

όσο δεν ισχύει το Τ

Ψ

end

Μία απλουστευμένη περιγραφή του BBO αλγόριθμου θα μπορούσε να είναι η παρακάτω

1 Αρχικοποίηση των παραμέτρων του αλγορίθμου Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρεθεί μία μέθοδος

χαρτογράφησης των λύσεων του προβλήματος σε SIVs και περιοχές σύμφωνα με το πρόβλημα

Ακόμα αρχικοποιούμε ή ορίζουμε το μέγιστο αριθμό ειδών Smax τους μέγιστους ρυθμούς μετα-

νάστευσης Ε και Ι το μέγιστο ρυθμό μετάλλαξης mmax και μία παράμετρο ελιτισμού Πρέπει να

σημειωθεί ότι ο μέγιστος αριθμός ειδών και οι μέγιστοι ρυθμοί μετανάστευσης είναι αλληλοεξαρ-

τώμενα μεγέθη Οπότε αν όλα αλλάζουν κατά το ίδιο ποσοστό η συμπεριφορά του ΒΒΟ δεν θα

αλλάζει Αυτό συμβαίνει γιατί άν τα Ε Ι και Smax αλλάξουν οι ρυθμοί μετανάστευσης μ λ και ο

αριθμός των ειδών S θα αλλάξουν κατά την ίδια σχετική ποσότητα για όλες τις περιοχές ή λύσεις

2 Αρχικοποίηση μίας τυχαίας ομάδας περιοχών όπου κάθε περιοχή θα αντιστοιχεί σε πιθανή λύση

Αυτό είναι η υλοποίηση του συνόλου Ι

3 Για κάθε περιοχή καθορισμός των HSI για τον αριθμό ειδών S και των ρυθμών μετανάστευσης μ

και λ

15

4 Χρήση βάση πιθανοτήτων των ρυθμών μετανάστευσης για την τροποποίηση των μη ελιτίστικων

περιοχών και επαναϋπολογισμό των HSI αυτών

5 Για κάθε περιοχή ενημέρωση της πιθανότητας των αριθμών των ειδών βάση της εξίσωσης

Στη συνέχεια μετάλλαξη των μη ελιτίστικων περιοχών βάση των πιθανοτήτων τους και ξανά

υπολογισμός των HSI

6 Επιστροφή στο βήμα 3 για την επόμενη επανάληψη της διαδικασίας Η διαδικασία μπορεί

να σταματήσει μετά από έναν προκαθορισμένο αριθμό επαναλήψεων ή με την επίτευξη μίας

επιθυμητής λύσης Αυτή είναι η υλοποίηση του κριτηρίου τερματισμού Τ

Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι μετά από κάθε βήμα που αλλάζει κάτι σε μία περιοχή ή λύση πρέπει να

επαληθεύεται κάθε περιοχή ως πιθανή λύση του προβλήματος Αν όχι πρέπει να υπάρχει μία διαδικασία

η οποία να την τροποποιεί ώστε να γίνεται πιθανή λύση

Τέλος επειδή ένας τέτοιος αλγόριθμος θα συγκριθεί στη συνέχεια με τους υπόλοιπους που αναφέρ-

θηκαν παραπάνω είναι χρήσιμο να γίνουν πιο διακριτές οι διαφορές τους Η πρώτη τέτοια διαφορά είναι

ότι στους BBO αλγόριθμους δεν υπάρχει η έννοια της αναπαραγωγής ή των γενεών απογόνων όπως

υπάρχουν στους γενετικούς και τους εξελικτικούς αλγόριθμους Δεν δημιουργούνται καινούριες λύσεις

από κύκλο σε κύκλο αλλά εξελίσσονται οι υπάρχουσες Για τον ίδιο λόγο διαφέρει και από τους ACO(Ant Colony Optimization) αλγόριθμους Σαν λογική είναι πιο κοντά στους PSO (Particle SwarmOptimization) και DE (Differential Evolution) αλγόριθμους μιας και αυτοί διατηρούν και εξελίσσουν

τις υπάρχουσες λύσεις τους κάνοντας την κάθε λύση να μαθαίνει από τους γείτονες και να προσαρ-

μόζεται καθώς προχωράει ο αλγόριθμος Οι PSO αντιπροσωπεύουν κάθε λύση σαν ένα σημείο στο

χώρο και τις αλλαγές μεταξύ των επαναλήψεων του αλγόριθμου με διάνυσμα ταχύτητας ΄Ομως στους

αλγόριθμους αυτούς δεν αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η ταχύτητα των σημείων έχοντας αποτέλεσμα

τη μεταβολή των λύσεων Στους DE αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η αλλαγή αυτή γίνεται βάση των

διαφορών μεταξύ άλλων λύσεων Ακόμα οι DE δεν βασίζεται σε βιολογικές αρχές Οι BBO αλγόριθμοι

μπορούν να διαχωριστούν από τους DE και PSO στο χαρακτηριστικό ότι αλλάζουν άμεσα τις λύσεις

τους ανταλλάσσοντας χαρακτηριστικά μεταξύ τους μέσω της μετανάστευσης

16

Κεφάλαιο 3

Κεραίες

31 Γενικά

Με τον όρο umlκεραίαrsquo αναφερόμαστε σε μία διάταξη που είναι σχεδιασμένη να δέχεται ηκαι να εκπέμπει

ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Είναι μία διάταξη η οποία μετατρέπει ηλεκτρομαγνητική ενέργεια που

οδεύει σε μια γραμμή μεταφοράς ή ένα κυματοδηγό σε ηλεκτρομαγνητικό κύμα στο χώρο και viceversa Οι κεραίες είναι είτε παθητικές

1 είτε τροφοδοτούμενες

2

Λόγω της μεγάλης ανάπτυξης των τηλεπικοινωνιών και των πολλών συστημάτων που χρησιμοποιούν-

ται3 έχει αναπτυχθεί μια τεράστια ποικιλία κεραιών ώστε να καλύπτουν τις ειδικές ανάγκες διαφόρων

εφαρμογών και να διευκολύνεται η κατασκευή και ένταξή τους στο φυσικό και δομημένο περιβάλλον

Η μεγάλη αυτή ποικιλία συστημάτων κεραιών επιβάλει τον διαχωρισμό τους σε κατηγορίες βάσει της

μορφής τους και της αρχής λειτουργίας τους Αλλά σε όποια κατηγορία και να ανήκει μία κεραία έχει

κάποια βασικά χαρακτηριστικά

32 Χαρακτηριστικά κεραιών

Σε μία κεραία αυτό που μας ενδιαφέρει είναι το πώς εκπέμπει ή λαμβάνει στο χώρο ή αλλιώς οι ιδιότητες

ακτινοβολίας (μακρινού πεδίου4) Η γραφική παράσταση των ιδιοτήτων αυτών γίνεται με το διάγραμμα

ακτινοβολίας της Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας κεραίας είναι δηλαδή η τρισδιάστατη γραφική

παράσταση των ιδιοτήτων ακτινοβολίας της κεραίας Βρίσκεται με μετρήσεις κάποιου μεγέθους με

τη μετατόπιση μίας πρόμπας γύρω από την κεραία Παριστάνει τη γωνιακή κατανομή του μέτρου της

έντασης του πεδίου της πυκνότητας ισχύος ή της έντασης ακτινοβολίας Επειδή θέλουμε το διάγραμμα

ακτινοβολίας να δίνει τη γενική συμπεριφορά της κεραίας σε οποιοδήποτε σήμα μπορεί να λάβει ή να

εκπέμψει οι τιμές είναι κανονικοποιημένες5

Τα διαγράμματα ακτινοβολίας σχεδιάζονται και για

την ικανότητα εκπομπής και λήψης μίας κεραίας και για συγκεκριμένη είναι τα ίδια (εκπομπής και λήψης)

Από τα διαγράμματα ακτινοβολίας βλέπουμε σε ποια σημεία του χώρου η κεραία εκπέμπει (ή αν

1Αποτελούνται μόνο από παθητικά στοιχεία απλά μετατρέπουν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα σε ηλεκτρομαγνητική ενέρ-

γεια χωρίς κάποια επεξεργασία του σήματος2΄Εχουν και ενεργά στοιχεία τα οποία μπορούν να κάνουν ενίσχυση σήματος ή ακόμα και επεξεργασία σήματος όπως

πχ μεταβολή συχνότητας3Από τις πιο μικρές ηλεκτρονικές συσκευές πχ πομποί GPS (Global Positioning System) μέχρι μεγάλα συστήματα

πχ δορυφόροι οπουδήποτε εφαρμόζεται ασύρματη επικοινωνία απαραίτητο εξάρτημα είναι μία κεραία4Ο χώρος γύρω από μία κεραία ως προς την κεραία χωρίζεται σε μακρινό και κοντινό πεδίο Στο κοντινό πεδίο

το διάγραμμα επηρεάζεται έντονα από τις επαγωγικές και χωρητικές συνιστώσες που εμφανίζονται στην κεραία κατά τη

ροή του ρεύματος ενώ στο μακρινό όχι και γι΄ αυτό το διάγραμμα του μακρινού πεδίου είναι σταθεροποιημένο ενώ του

κοντινού όχι Τα διαγράμματα που δίνουν οι κατασκευαστές είναι διαγράμματα μακρινού πεδίου Διάκριση μεταξύ μακρινού

και κοντινού πεδίου γίνεται βάσει της απόστασης από την κεραία όπου για R gt 2lowastD2

λ θεωρούμε μακρινό πεδίο όπου λ

είναι το μήκος κύματος D η διάμετρος της κεραίας και R η απόσταση από αυτήν5Λόγω των κανονικοποιημένων τιμών του διαγράμματος ακτινοβολίας το διάγραμμα πυκνότητας ισχύος και έντασης

ακτινοβολίας είναι ταυτόσημα

17

είναι διάγραμμα λήψης λαμβάνει) τη μεγαλύτερη και σε ποια τη μικρότερη ισχύ Το τρισδιάστατο

της περιγραφής επιτυγχάνεται με το συνδυασμό δύο διαγραμμάτων το κάθετο (κάθετη τομή στον

τρισδιάστατο χώρο) και το οριζόντιο (οριζόντια τομή) Η κεραία θεωρείται στο κέντρο του διαγράμματος

και το διάγραμμα συνδέει στην ουσία τον χώρο με την ακτινοβολούμενη ισχύ ή με την ικανότητα

λήψης ισχύος για διάγραμμα εκπομπής και λήψης αντίστοιχα και είναι όπως προαναφέρθηκε η

γραφική αναπαράσταση της συμπεριφοράς της κεραίας στο χώρο Μας δείχνει σε ποιες περιοχές του

χώρου εκπέμπει και πόση ισχύ ή αντίστοιχα από ποιες περιοχές του χώρου και πόση ισχύ μπορεί

να λάβει η κεραία Είτε επειδή δε θέλουμε σπατάλη ισχύος σε rdquoαδιάφορεςrdquoπεριοχές είτε επειδή δεν

θέλουμε να παρεμβάλλουμε δημιουργώντας θόρυβο σε άλλες κεραίες κατά την εκπομπή και είτε επειδή

θέλουμε να λαμβάνουμε τη μέγιστη δυνατή ισχύ αν ξέρουμε από που λαμβάνουμε και να μειώνουμε

το θόρυβο από τις άλλες πηγές τα διαγράμματα ακτινοβολίας είναι πολύ χρήσιμα στο σχεδιασμό μίας

κεραίας Τέλος μία άλλη χρήση είναι η σύγκριση κεραιών είτε γενικά είτε για συγκεκριμένες εφαρμογές

Σχήμα 31 Διάγραμμα ακτινοβολίας

Στο διπλανό σχήμα () φαίνεται ένα τυπικό και αρκετά

απλοποιημένο διάγραμμα ακτινοβολίας Σε αυτό διακρίνουμε

τον κύριο λοβό που είναι το τμήμα η μεγαλύτερη κλειστή

καμπύλη που διακρίνεται από το γεγονός ότι έχει τη μέγιστη

τιμή στο διάγραμμα Συνήθως τα διαγράμματα ακτινοβολίας

είναι πολικά όπως αυτό του σχήματος 31 με βαθμονόμηση

από 0μέχρι 360

και ο κύριος λοβός στη γενική περίπτωση

τοποθετείται στις 0 Ο λοβός που βρίσκεται στις 180

ονο-

μάζεται οπίσθιος λοβός και οι υπόλοιποι λοβοί ονομάζονται

πλευρικοί Ανάλογα με την περίπτωση οι υπόλοιποι εκτός του

κύριου είναι ανεπιθύμητοι είτε επιθυμητοί και προσπαθούμε

αντίστοιχα να τους καταστείλουμε ή να τους ενισχύσουμε

Οι πλευρικοί λοβοί οφείλονται σε φαινόμενα καταστροφικής

ή εποικοδομητικής συμβολής των κυμάτων που εκπέμπονται

από τη κεραία Η κλίμακα στο διάγραμμα είναι σε deciBellκαι τα μεγέθη είναι κανονικοποιημένα

6 ΄Ετσι η μέγιστη τιμή θα είναι στα 0 db και οι υπόλοιπες

σε αρνητικές τιμές Τα διαγράμματα αυτά έχουν τέτοια βαθμονόμηση γιατί θέλουμε να εκφράζουν

ποιοτικά τη συμπεριφορά της κεραίας αλλά και γιατί οι τιμές έντασης ή ισχύος που θέλουμε να αναπα-

ραστήσουμε είναι πολλών τάξεων μεγέθους και θα θέλαμε πολύ μεγάλα διαγράμματα για κανονικές τιμές

΄Ενα πιο αναλυτικό διάγραμμα ακτινοβολίας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () και είναι διάγραμμα

μίας κεραίας Yagi-Uda Οι κύκλοι που φαίνονται στο διάγραμμα αντιστοιχούν στις τιμές -3 -10 -20

-30 και -40 dB και είναι χωρισμένοι σε τμήματα των 10 Οι κύκλοι αυτοί δείχνουν τα σημεία που

έχει μειωθεί το μέγεθος στο 50 στο 10 στο 1 στο 01 και στο 001 αντίστοιχα Η

γωνία των σημείων στα οποία ο κύριος λοβός τέμνει τον πρώτο κύκλο ονομάζεται γωνία ημίσειας ισχύος

Σχήμα 32 Καρτεσιανό διάγραμμα

Εκτός των πολικών διαγραμμάτων υπάρχουν και τα καρτεσιανά

τα οποία είναι η καρτεσιανή προβολή των πολικών Παράδειγμα

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () όπου φαίνεται το άνοιγμα μισής

ισχύος και το επίπεδο του πρώτου πλευρικού λοβού Επειδή τα

διαγράμματα ακτινοβολίας σχηματίζονται όπως προαναφέρθηκε

και αφορούν τη χωρική συμπεριφορά μίας κεραίας στο μακρινό

πεδίο οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε την κεραία ως σημείο

τα καρτεσιανά διαγράμματα δεν έχουν καλή αναπαράσταση της

πραγματικότητας Αλλά είναι αρκετά χρήσιμα στη μελέτη κεραιών

και στην καλύτερη εποπτεία των χαρακτηριστικών της από τα πολικά και για το λόγο αυτό σχεδιάζονται

και χρησιμοποιούνται κατά κόρον

6΄Ενα κανονικοποιημένο διάγραμμα έχει την ίδια μορφή με ένα μη κανονικοποιημένο με μόνη αλλαγή την κλίμακα και

ότι τα μεγέθη είναι ο λογάριθμος του λόγου της τιμής προς τη μέγιστη

18

Σχήμα 33 Διάγραμμα ακτινοβολίας Yagi-Uda κεραίας

Από ένα διάγραμμα ακτινοβολίας μπορούμε να βρούμε τα παρακάτω χαρακτηριστικά μίας κεραίας (ή

και παραμέτρους του διαγράμματος όπως αναφέρονται συχνά)

Σχήμα 34 Ισοτροπική και μη

bull Κατευθυντικότητα δείκτης της ικανότητα της κεραίας να

συγκεντρώσει την ακτινοβολία εκπομπής προς μία συγκεκριμένη

κατεύθυνση και βρίσκεται αναφορικά με μία ιδανική (ισοτροπική)

κεραία Η σύγκριση την όποιας κεραίας με μία ισοτροπική φαίνεται

στο διπλανό σχήμα () Τα εμβαδά είναι ίσα οπότε εκπέμπουν

και οι δύο την ίδια ισχύ αλλά στην επιθυμητή κατεύθυνση η μη

ισοτροπική στέλνει μεγαλύτερη ισχύ Η κατευθυντικότητα λοιπόν

είναι η διαφορά σε dB των δύο διαγραμμάτων στην κατεύθυνση

του μεγίστου Είναι αντιστρόφως ανάλογη με το εύρος του κυρίως

λοβού

bull Εύρος δέσμης μισής ισχύος οριζόντιου και κάθετου επιπέδου ( HPBW )

αναφέρεται στην ενεργό περιοχή κάλυψης της κεραίας και ορίζεται ώς η γωνία μεταξύ των σημείων

του κύριου λοβού όπου η ισχύς είναι μισή της μέγιστης ή σε dB 3dB κάτω από την μέγιστη και

προσδιορίζει την περιοχή που εμφανίζεται μέγιστη εκπομπή ενώ εκτός της περιοχής αυτής η ισχύς

μειώνεται πολύ γρήγορα

bull Εύρος δέσμης επίπεδο (dB) πρώτων σημείων μηδενισμού οριζόντιου καικάθετου επιπέδου (FNBW) ορίζεται ως η γωνία μεταξύ των δύο πρώτων μηδενισμών του

μεγέθους εκατέρωθεν του κύριου λοβού

bull Λόγος κύριου προς οπίσθιο λοβό (FB)

bull Επίπεδα (dB) και εύρος γωνιών πλευρικών λοβών και οπίσθιων λοβώνbull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με τον αμέσως μικρότερο λοβό του διαγράμ-ματος ακτινοβολίας

bull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με όλους τους υπόλοιπους του διαγράμματοςακτινοβολίας

bull Λόγος κύριου προς επόμενο μεγαλύτερο λοβό (Side-Lobe Level) ορίζεται ως ο λόγος

του μεγίστου του κυρίως λοβού προς τον αμέσως μικρότερο πλευρικό λοβό (SLL = MainLobeMaxSideLobe

dB)

και είναι ένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά μίας κεραίας Πολλές φορές αναφέρεται και ώς επίπεδο

πλευρικών λοβών

Τα χαρακτηριστικά μίας κεραίας μπορούν να υπολογιστούν και να περιγραφούν όχι μόνο βάσει του

19

διαγράμματος ακτινοβολίας της Μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της μετρώντας και υπολο-

γίζοντας κατάλληλα μεγέθη και κάνοντας χρήση γνωστών μαθηματικών τύπων

bull Συνολική ακτινοβολούμενη ενέργεια η συνολική (ή μέσος όρος) ενέργεια που ακτινο-

βολεί μία κεραία και υπολογίζεται από τον τύπο

Prad = Pav =

lsaquoS

~Wrad middot d~s =

lsaquoS

~Wav middot n middot da =1

2

lsaquoS

lt( ~E times ~H) middot d~s (31)

όπου Wrad=πυκνότητα ακτινοβολίας

bull ΄Ενταση ακτινοβολίας η ενέργεια που εκπέμπεται από μία κεραία ανά μονάδα στερεάς γωνίας

U = r2 middotWrad (32)

όπου r=απόσταση

bull Κατευθυντικότητα είναι ο λόγος της ακτινοβολούμενης ενέργειας σε μία συγκεκριμένη κα-

τεύθυνση προς το μέσο όρο εκπεμπόμενης ακτινοβολίας σε όλες τις κατευθύνσεις ΄Η αλλιώς

η ένταση προς μία συγκεκριμένη κατεύθυνση προς την αντίστοιχη τιμή της αν ακτινοβολούσε

ισοτροπικά

D =U

Uo=

4pU

Prad(33)

΄Αν δεν ορίζεται κατεύθυνση σαν κατευθυντικότητα αναφέρεται η μέγιστη κατευθυντικότητα μίας

κεραίας

bull Κέρδος αν και συνδέεται με την κατευθυντικότητα είναι μία παράμετρος της κεραίας που λαμ-

βάνει υπόψιν και την αποδοτικότητα της κεραίας αλλά και τις δυνατότητες κατευθυντικότητας

Απόλυτο κέρδος κεραίας (σε συγκεκριμένη κατεύθυνση) ορίζεται ο λόγος της έντασης ακτινοβο-

λίας προς την ένταση ακτινοβολίας που θα είχε στη συγκεκριμένη κατεύθυνση άν όλη η ενέργεια

εισόδου της κεραίας εκπεμπόταν ισοτροπικά

κέρδος = 4π middot ένταση ακτινοβολίας

συνολική εισερχόμενη ενέργεια= 4π

U(θ φ)

Pinputrarr

G = 4π U(θφ)Pinput (ιδανικής ισοτροπικής πηγής)

(34)

bull Απόδοση κεραίας είναι ένας δείκτης που λαμβάνει υπόψιν τις απώλειες ενέργειας από την

είσοδο στην έξοδο της κεραίας λόγω πολλών φαινομένων Γενικά η συνολική απόδοση μίας

κεραίας δίνεται από τον τύπο

eo = er middot ec middot ed (35)

όπου eo είναι η συνολική απόδοση er είναι η απόδοση λόγω απωλειών ανακλάσεων (λόγω κακής

προσαρμογής) (= 1minus|Γ|2) ec είναι η απόδοση λόγω απωλειών αγωγιμότητας ed είναι η απόδοση

που οφείλεται στο διηλεκτρικό και Γ ο συντελεστής ανάκλασης τάσης

bull Απόδοση δέσμης είναι μία παράμετρος ποιότητας μίας κεραίας και ορίζεται από το λόγο της

ενέργειας που ακτινοβολείται από τον κύριο λοβό της κεραίας (με το λοβό σε γωνία θ0) προς τη

συνολική

BE =

acute 2π0

acute θ0U(θ φ)sin(θ)dθdφacute 2π

0

acute π0U(θ φ)sin(θ)dθdφ

(36)

όπου θ1 είναι η γωνία μισής ισχύος ΄Αν θεωρήσουμε το θ1 στην κατεύθυνση του πρώτου μηδενι-

σμού τότε θα έχουμε το λόγο της ισχύος του κυρίως λοβού προς τη συνολική

bull Εύρος σαν εύρος μιας κεραίας ορίζεται το εύρος των συχνοτήτων (bandwidth) στις οποίες

μπορεί να λειτουργήσει αποδοτικά βάσει κάποιων χαρακτηριστικών της πχ να έχει εύρος κύριου

λοβού εντός συγκεκριμένων ορίων διατηρώντας μία ελάχιστη τιμή SLL

20

33 Κατηγορίες κεραιών

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω οι κεραίες χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με τα μορ-

φολογικά αλλά και λειτουργικά χαρακτηριστικά τους Βάσει του τρόπου με τον οποίο εκπέμπουν ή

λαμβάνουν ή αλλιώς βάσει του διαγράμματος ακτινοβολίας τους χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες

bull Ισοτροπικές μία ισοτροπική κεραία ορίζεται ως μία υποθετική (ιδανική) κεραία η οποία ακτινο-

βολεί το ίδιο προς όλες τις κατευθύνσεις Δεν έχει κάποια πραγματική εφαρμογή στα τηλεπικοι-

νωνιακά συστήματα γιατί η ισχύς της εκπέμπεται προς όλες τις κατευθύνσεις το ίδιο προκαλώντας

μεγάλες απώλειες ισχύος σε ανεπιθύμητες κατευθύνσεις ΄Εχει μόνο θεωρητική αξία στη μελέτη

κεραιών και στον ορισμό κάποιων παραμέτρων των κεραιών όπως το κέρδος που είδαμε παραπάνω

bull Κατευθυντικές μία κατευθυντική κεραία ορίζεται ως η κεραία που έχει την ικανότητα να

εκπέμπει ή να λαμβάνει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αποτελεσματικότερα προς κάποιες κατευ-

θύνσεις Είναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κεραίες και η εξέλιξη αυτών είναι οι έξυπνες

κεραίες που ανάλογα με τις ανάγκες της κάθε συσκευής και τα χαρακτηριστικά του χώρου που

βρίσκεται μπορούν να αλλάξουν τη γωνία μέγιστης εκπομπής κάνοντας βέλτιστη χρήση της α-

κτινοβολούμενης ισχύος της

bull Πανκατευθυντικές μία πανκατευθυντική κεραία είναι μία κεραία η οποία ακτινοβολεί σαν

κατευθυντική εκτός από ένα επίπεδο στο οποίο εκπέμπει ή λαμβάνει ισοτροπικά Η χρήση τους

είναι κυρίως στα μέσα μαζικής επικοινωνίας όπου χρειάζεται κάλυψη του χώρου 360 μοιρών στο

οριζόντιο επίπεδο αλλά πολύ μικρής γωνίας στο κάθετο

Βάσει των μορφολογικών χαρακτηριστικών τους χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες Η κάθε

κατηγορία έχει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της που την καθιστούν κατάλληλη για κάποια

εφαρμογή και ακατάλληλη για κάποια άλλη Παρακάτω αναφέρονται οι κατηγορίες αυτές των κεραιών

με τα βασικά χαρακτηριστικά της κάθε μίας

bull Κεραίες σύρματος Είναι απλές κεραίες κατασκευασμένες από αγώγιμο υλικό συνήθως

κυκλικής διατομής Πολλές φορέα σχηματίζονται από πολλούς αγωγούς κατάλληλα συζευγμένους

μεταξύ τους σε πλέγματα διαφόρων σχημάτων που είτε δημιουργούν μία επιφάνεια είτε μία γραμμική

κεραία Η απλούστερη γραμμική κεραία είναι η κεραία διπόλου τα χαρακτηριστικά της οποίας είναι

ανάλογα με το σχετικό μήκος της ως προς το μήκος κύματος της ακτινοβολίας για την οποία προορίζε-

ται7 Οι συγκεκριμένες είναι πολύ απλές στην κατασκευή πολύ συχνά απλά συρμάτινες Αποτελείται

από ένα δίπολο του οποίου (συνήθως) η τροφοδοσία8είναι στη μέση Πλεονεκτήματα των κεραιών

αυτών είναι το κόστος το μέγεθος και η δυνατότητα κάλυψης μεγάλης περιοχής συχνοτήτων ενώ

έχουν το μειονέκτημα της χαμηλής απόδοσης λόγω των διαστάσεων τους Καλύτερα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης έχουν οι διπολικές κεραίες των οποίων το μήκος είναι της τάξης του μήκους κύματος

Σχήμα 35 Κεραία διπόλου

Μία κεραία σύρματος χαρακτηρίζεται ως rdquoλεπτήrdquoόταν η διάμε-

τρος του αγωγού είναι μικρότερη από 001λ Ανάλογα με το σχήμα

της χαρακτηρίζεται ως ευθύγραμη κεραία V ή πτυσσόμενη Στο

διπλανό σχήμα () φαίνονται μία ευθύγραμμη και μία πτυσσόμενη

διπολική κεραία Στις πτυσσόμενες σημαντική είναι η γωνία που

σχηματίζουν οι βραχίονες τους έχοντας βρεθεί ότι η μέγιστη

κατευθυντικότητα επιτυγχάνεται για γωνία α = 60λh

+ 380

όπου h είναι το μήκος του βραχίονα και λ το μήκος κύματος τη

ακτινοβολίας και ότι Dmax = 12 + 23hλ9

7Μία κεραία χαρακτηρίζεται ως ηλεκτρικά μικρή όταν οι διαστάσεις της είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος

της ακτινοβολίας8Με τον όρο τροφοδοσία εννοούμε το υπόλοιπο σύστημα το οποίο τροφοδοτεί η κεραία με το σήμα που λαμβάνει στην

περίπτωση κεραίας λήψης ή από το οποίο τροφοδοτείται με το σήμα που θα εκπέμψει στην περίπτωση κεραίας εκπομπής

9Η σχέση αυτή είναι εμπειρική και ισχύει για 05 lt h

λ lt 3

21

Σχήμα 36 Κεραία Yagi-Uda

Μία εξέλιξη των παραπάνω κεραιών είναι οι κεραίες Yagi-Udaπου ένα διάγραμμα ακτινοβολίας τέτοιας κεραίας παρατέθηκε

παραπάνω () Είναι ευθύγραμμες διπολικές κεραίες που α-

ποτελούνται από πέραν του ενός δίπολα τα οποία όμως δεν

τροφοδοτούνται όλα Τα μη τροφοδοτούμενα δίπολα ονομάζονται

παρασιτικά και τροφοδοτούνται επαγωγικά από τα υπόλοιπα Οι

κεραίες αυτές παρουσιάζουν αυξημένη κατευθυντικότητα σχετικά

με τις μη παρασιτικές κεραίες διπόλων Η πρώτη τέτοια κεραία

κατασκευάστηκε το 1926 και αποτελούταν από τρία δίπολα ένα

ενεργό και δύο παρασιτικά Στην περίπτωση που το παρασιτικό

δίπολο έχει μεγαλύτερο μήκος από του ενεργού ονομάζεται

ανακλαστήρας ενώ αν έχει μικρότερο ονομάζεται κατευθυντήρας

Μία γενική μορφή τέτοιας κεραίας φαίνεται στο διπλανό σχήμα με LR το μήκος του ανακλαστήρα και

LD το μήκος του κατευθυντήρα

bull Στοιχειοκεραίες Μία εξέλιξη των συρμάτινων κεραιών είναι οι στοιχειοκεραίες Οι

στοιχειοκεραίες αποτελούνται από πολλές κεραίες διπόλων τα στοιχεία τα οποία ενώνονται όλα σε

μία κοινή τροφοδοσία και αυτή είναι η βασική τους διαφορά από τις Yagi-Uda που έχουν παρασιτικά

στοιχεία και ο λόγος που οι τελευταίες δε θεωρούνται στοιχειοκεραίες Συστοιχείες λοιπόν πολλών

κεραιών φτιάχνουν τις στοιχειοκεραίες Ανάλογα με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της συστοιχίας

υπάρχουν κάποια είδη στοιχειοκεραιών όπως είναι οι γραμμικές (μία συστοιχία σε ευθεία γραμμή) και

οι επίπεδες (συστοιχείες συστοιχείων) Λόγω της ταυτόχρονης χρήσης πολλών κεραιών μπορούν να

συνδυάσουν τα χαρακτηριστικά τους δίνοντας δυνατότητα πολύπλοκων κατευθυντικών διαγραμμάτων

καθιστώντας τες κατάλληλες για πολλές εφαρμογές Συγκριτικά με μία κεραία μεγάλου μήκους που

θα έχει τα ίδια κατευθυντικά χαρακτηριστικά παρουσιάζει το πλεονέκτημα της εύκολης τροφοδο-

σίας της μηχανικής αντοχής και του μικρού κόστους εγκατάστασης και λειτουργίας Τέλος με

κατάλληλη τροφοδοσία του κάθε στοιχείου της μπορούμε να αλλάξουμε τα κατευθυντικά χαρακτηρι-

στικά της ΄Εχουν πολλές γεωμετρικές μορφές αλλά και είδη που θα αναφερθούν σε επόμενη παράγραφο

bull Κεραίες βρόχου ή πλαισίου Μία κεραία βρόχου αποτελείται από έναν κλειστό αγωγό σε

σχήμα βρόχου (ή και βρόχων) ο οποίος τροφοδοτείται σε ένα σημείο του Χωρίζονται σε κεραίες μικρού

και μεγάλου βρόχου συγκριτικά με το μήκος κύματος στο οποίο χρησιμοποιούνται10

Οι μικρού

βρόχου έχουν χαμηλή απόδοση και χρησιμοποιούνται κατά κόρον σε δέκτες χαμηλών συχνοτήτων

Εκτός από τους ραδιοφωνικούς δέκτες των αυτοκινήτων στους οποίους γίνεται μεγάλη χρήση των

κεραιών μικρού βρόχου το μεγαλύτερο ποσοστό των δεκτών AM χρησιμοποιούν τέτοιες κεραίες

Οι μεγάλου βρόχου έχουν ευρεία χρήση στους δέκτες VHF και UHF έχοντας και το επιπλέον

χαρακτηριστικό της μεταβλητής περιφέρειας δίνοντας δυνατότητα μεγαλύτερου εύρους συχνοτήτων

Γενικά οι κεραίες βρόχου είναι κεραίες με μεγάλη κατευθυντικότητα κάτι που τις κάνει ιδανικές σε

εφαρμογές εύρεσης κατεύθυνσης σήματος

bull Ελικοειδής κεραίες Μία ελικοειδής κεραία αποτελείται από έναν αγωγό που έχει τη μορφή

έλικας στον οποίο η τροφοδοσία είναι στο ένα του άκρο Αποτελεί συνδυασμό κεραίας βρόχου και

γραμμικής κεραίας οπότε μπορεί να εκπέμπει με δύο τρόπους (ρυθμούς) αξονικά και κάθετα στον άξονα

της έλικας κάτι που της δίνει βελτιωμένα χαρακτηριστικά συγκριτικά με τις δύο αυτές κατηγορίες

Χρησιμοποιείται κατά κόρον όπου απαιτείται κυκλική πόλωση σήματος σαν πομπός ή σε σήματα που

έχουν κυκλική πόλωση σαν δέκτης και έχει αρκετά μεγάλο εύρος ζώνης συχνοτήτων Ανάλογα με τα

χαρακτηριστικά που πρέπει να έχει μία ελικοειδής κεραία μπορεί να είναι ομοιόμορφη (όλες οι έλικες

ίδια διάμετρο) αυξανόμενης ελαττούμενης και αυξο-ελαττούμενης διαμέτρου ελίκων

bull Δικωνικές κεραίες ΄Αν δύο V ενωθούν κατακορυφήν σχηματίζεται μία δικωνική κεραία οι

οποίες έχουν αυξημένο εύρος συχνοτήτων Πολλές δικωνικές κεραίες έχουν τη δυνατότητα μεταβολής

10Σαν κεραία μικρού βρόχου θα χαρακτηριστεί η κεραία της οποίας η περιφέρεια θα είναι ίση ή μικρότερη από το ένα

δέκατο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας

22

του μήκους του βραχίονα τους δίνοντας ακόμα μεγαλύτερο εύρος Αν μία από τις δύο V κεραίες

αντικατασταθεί από μία αγώγιμη επιφάνεια σε σχήμα δίσκου έχουμε τη δισκωνική κεραία στην οποία

ο δίσκος λειτουργεί ως ανακλαστήρας Είναι κεραίες μικρής κατευθυντικότητας και χαμηλού κέρδους

και χρησιμοποιούνται πολύ σαν κεραίες ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών εκπομπών

bull Σπειροειδής κεραίες Οι σπειροειδής κεραίες είναι κεραίες με μεγάλο εύρος ζώνης

συχνοτήτων και μεγάλης κατευθυντικότητας Αποτελούνται από μία ή δύο αγωγούς που έχουν σχήμα

σπείρας και όσο μικρότερη γωνία ανοίγματος σπείρας έχουν τόσο μεγαλύτερη κατευθυντικότητα

Μπορεί να είναι επίπεδες ή κωνικές και η πόλωση του σήματος που λαμβάνουν ή εκπέμπουν είναι

ανάλογη με τη φορά των σπειρών Το εύρος συχνοτήτων τους δίνεται από το λόγο μεγαλύτερης προς

μικρότερης διαμέτρου άν και στην πραγματικότητα είναι λίγο μικρότερο του λόγου αυτού Μία αρκετά

διαδεδομένη σπειροειδής κεραία είναι η rdquoσπειροειδής του Αρχιμήδηrdquoη οποία αποτελείται από δύο σπε-

ίρες με r1 = r0φ και r2 = r0(φminusπ) οι οποίες συνήθως κατασκευάζονται πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα11

bull Κεραίες χοάνης Οι κεραίες χοάνης αποτελούνται από έναν αγωγό ο οποίος είναι από το

ένα άκρο του ανοιχτός και διεγείρεται από το άλλο του άκρο Με σωστή ρύθμιση έχουν μεγαλύτερη

απόδοση από τις συρμάτινες Ανάλογα με το σχήμα του αγωγού μπορεί να υπάρχουν αρκετά είδη

τέτοιων κεραιών τρία εκ των οποίων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα () Η κατευθυντικότητα της

είναι ανάλογη της γωνίας ανοίγματος της Στην πράξη συναντούμε ελάχιστες κεραίες χοάνης μόνες

τους αλλά σε συνδυασμό με έναν ανακλαστήρα έχουν πολύ διαδεδομένη χρήση λόγω της πολύ μεγάλης

κατευθυντικότητας που προσφέρουν ειδικά στις περιπτώσεις που ο ανακλαστήρας είναι παραβολικός

όπου υπάρχει η δυνατότητα παραγωγής πολύ στενής δέσμης υψηλού κέρδους και χαμηλού θορύβου

Χρησιμοποιούνται πολύ στις δορυφορικές επικοινωνίες και η πιο συνηθισμένη τους μορφή είναι τα umlπιάταrsquo

που χρησιμοποιούνται για τη λήψη δορυφορικών σημάτων

Σχήμα 37 Κεραίες χοάνης α)τομέας β)πυραμοειδής και γ)κωνική

bull Λογαριθμικές περιοδικές κεραίες Είναι κεραίες των οποίων τα μορφολογικά χα-

ρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με την απόσταση από την αρχή της κεραίας Υπάρχει ένα

επαναλαμβανόμενο στοιχείο κεραίας το οποίο μεγαλώνει όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της

κεραίας Μπορεί να είναι μία πλάκα με οδοντώσεις το μέγεθος των οποίων μεταβάλλεται ένα σύρμα

11Οι κεραίες που είναι κατασκευασμένες πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα ή αλλιώς σε μικροταινίες ανήκουν και στην

κατηγορία των μικροταινιακών κεραιών πολύ διαδεδομένη στις ηλεκτρονικές φορητές συσκευές που λειτουργούν στην

περιοχή των μικροκυμάτων (λόγω διαστάσεων κεραιών είναι ιδανικές για την περιοχή αυτή)

23

Σχήμα 38 Λογαριθμική περιοδική κεραία

το οποίο διπλώνεται κατάλληλα και το μέγεθος της κάθε δίπλωσης μεταβάλλεται ή ακόμα και από

δίπολα το μήκος των οποίων μεταβάλλεται Πολλές κεραίες που ανήκουν σε παραπάνω κατηγορίες είναι

λογαριθμικές μπορεί να είναι λογαριθμικές αν η μεταβολή των επαναλαμβανόμενων στοιχείων ακολουθεί

το συγκεκριμένο πρότυπο Μία τέτοια φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () η οποία ανήκει στην

κατηγορία των στοιχειοκεραίων Λόγω των επαναλαμβανόμενων στοιχείων των οποίων συνδυάζουν τα

χαρακτηριστικά μπορούν να έχουν πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων και συγκεκριμένα εύρος μίας τάξης

μεγέθους επιτυγχάνεται εύκολα και μπορούν να έχουν και αρκετά μεγάλη κατευθυντικότητα Βρίσκουν

πολλές εφαρμογές στις επικοινωνίες υψηλών συχνοτήτων και ειδικά στα τηλεοπτικά σήματα αφού με

μία κεραία μπορεί κάποιος να λαμβάνει ικανοποιητικά όλα τα διαθέσιμα κανάλια χωρίς καμία προσαρμογή

34 Στοιχειοκεραίες

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω η μορφή του διαγράμματος εκπομπής και λήψης των κεραιών

εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της κεραίας Σε πολλές εφαρμογές απαιτούνται κεραίες μεγάλου

κέρδους ή αλλιώς μεγάλης κατευθυντικότητας Μία κεραία για να έχει μεγάλη κατευθυντικότητα

θα πρέπει να έχει πολύ μεγάλο μέγεθος Το πρόβλημα αυτό λύνεται φτιάχνοντας σύνθετες κεραίες

Κεραίες που αποτελούνται από μικρότερες κεραίες είτε όμοιες μεταξύ τους είτε ανόμοιες Τέτοιες

συστοιχίες κεραιών όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ονομάζονται στοιχειοκεραίες Το κάθε στοιχείο

μίας στοιχειοκεραίας μπορεί να είναι οποιασδήποτε μορφής κεραία (σύρματος οπής κλπ) με βασικό

χαρακτηριστικό όλα τα στοιχεία να έχουν κοινή τροφοδοσία Το συνολικό πεδίο θα είναι το διανυ-

σματικό άθροισμα των πεδίων κάθε στοιχείου ξεχωριστά Οπότε μπορούμε να έχουμε το επιθυμητό

πεδίο φτιάχνοντας την κεραία μας έτσι ώστε στα σημεία που θέλουμε μεγάλο κέρδος να συμβάλουν

εποικοδομητικά τα πεδία των στοιχείων της κεραίας και στα σημεία που δεν θέλουμε να ακτινοβολεί να

έχουμε καταστροφική συμβολή

Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας θα εξαρτάται από τους εξείς παράγοντες

bull Τη γεωμετρία της στοιχειοκεραίας ( γραμμικήκυκλικήορθογώνια σφαιρική κλπ)

bull Την απόσταση μεταξύ των στοιχείων της κεραίας

bull Την ένταση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

bull Τη φάση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

24

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

από (micro2) αυτή Οι ρυθμοί μ και λ χρησιμοποιούνται για την ανταλλαγή πληροφοριών μεταξύ των

περιοχών πιθανοκρατικά Με πιθανότητα Pmod αξιολογούμε κάθε λύση βάση των υπολοίπων και

όποιες επιλεχθούν να τροποποιηθούν βάση του λ πιθανοκρατικά αξιολογούνται οι SIV και επιλέγονται

αυτοί που θα τροποποιηθούν ΄Αν κάποιος SIV επιλεχθεί να τροποποιηθεί βάση του μ των υπόλοιπων

λύσεων επιλέγεται πάλι πιθανοκρατικά από ποια λύση θα μεταναστεύσει κάποιος τυχαίος SIV

Η μέθοδος αυτή της μετανάστευσης στους BBO αλγόριθμους είναι παρόμοια με τις μεθόδους

των εξελικτικών και γενετικών αλγόριθμων όπου πολλοί πρόγονοι μπορούν να συνδυαστούν για

την παραγωγοί ενός απογόνου με μία όμως σημαντική διαφορά Σε αντίθεση με τους εξελικτικούς

και γενετικούς αλγόριθμους στους οποίους οι προηγούμενες λύσεις καταστρέφονται από γενιά σε

γενιά στους BBO οι λύσεις παραμένουν και εξελίσσονται χωρίς να καταστρέφονται Φυσικά έχει

ενσωματωμένο κάποιου είδους ελιτισμός έτσι ώστε να μην επηρεάζονται οι βέλτιστες λύσεις

Μετάλλαξη Κατακλυσμικά γεγονότα μπορούν να αλλάξουν δραστικά τον HSI μίας περιοχής

όπως μπορούν να προκαλέσουν απόκλιση του αριθμού των ειδών από την ισορροπία επηρεάζοντας

τον HSI λόγω φαινομενικά τυχαίων φαινομένων Τέτοια φαινόμενα μοντελοποιούνται στους BBO με

την μετάλλαξη των HSI και χρησιμοποιείται η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών για τον

καθορισμό του ρυθμού μετάλλαξης Η πιθανότητα αριθμητικού μεγέθους των ειδών υπακούει στην

διαφορική εξίσωση Παρατηρώντας την καμπύλη στο σχήμα βλέπουμε ότι οι περιοχές με χαμηλό

αριθμό ειδών αλλά και αυτές με υψηλό αριθμό ειδών έχουν σχετικά χαμηλή πιθανότητα κάτι που θα

μπορούσε να εξαχθεί και από το θεώρημα 1 σε αντίθεση με αυτή με μέσες τιμές γιατί τα δεύτερα είναι

πιο κοντά στο σημείο ισορροπίας Ως παράδειγμα ας θεωρήσουμε την περίπτωση όπου Smax = 10 Η

λύση σταθερής κατάστασης της εξίσωσης θα είναι ανεξάρτητη της αρχικής συνθήκης Π(0) και μπορεί

να υπολογιστεί με αριθμητικές μεθόδους είτε βάση του θεωρήματος 1 με αποτέλεσμα

P (infin) sim= [0001 0001 0044 0117 0205 0246 0205 0117 0044 0001 0001]T

Τα στοιχεία του P (infin) δίνουν άθροισμα μονάδα και η γραφική τους παράσταση δίνει μία άρτια

συνάρτηση συμμετρική στην κεντρική τιμή

Κάθε λύση έχει μία αντίστοιχη πιθανότητα η οποία είναι δείκτης του κατά πόσο ήταν αναμενόμενη

εξ αρχής η λύση αυτή στο συγκεκριμένο πρόβλημα Λύσεις με πολύ υψηλό αλλά και πολύ χαμηλό HSIείναι αρκετά απίθανες να υπάρξουν ενώ λύσεις με μέσους HSI κοντά στο σημείο ισορροπίας είναι πιο

πιθανές Λύση S με μικρή πιθανότητα PS είναι αρκετά απίθανη οπότε έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να

μεταλλαχθεί από ία λύση Srsquo με μεγάλη πιθανότητα P primeS Αυτό μπορεί να παρασταθεί με τον παρακάτω

τύπο όπου ο ρυθμός μετάλλαξης m είναι αντιστρόφως ανάλογος της πιθανότητας μίας λύσης

m(S) = mmax

(1minus PSPmax

)(213)

και mmax είναι μία παράμετρος που ορίζεται από το χρήστη Αυτό το μοντέλο μετάλλαξης τείνει

να αυξήσει τη διαφορετικότητα μεταξύ του πληθυσμού των λύσεων Χωρίς αυτό οι λύσεις με μεγάλη

πιθανότητα θα ήταν επικρατέστερες των υπολοίπων Δίνει λοιπόν τη δυνατότητα στις κακές λύσεις

να μεταλλαχθούν και να εξελιχθούν δίνοντας παράλληλα και τη δυνατότητα στις λύσεις με υψηλή

πιθανότατα να εξελιχθούν και να βελτιωθούν και άλλο Πρέπει να σημειωθεί ότι χρησιμοποιείται

μία ελιτίστικη προσέγγιση αποθηκεύοντας τη βέλτιστη λύση έτσι ώστε αν χειροτερέψει από μία

μετάλλαξη να μπορούμε να την επαναφέρουμε αν χρειαστεί Οπότε η μετάλλαξη χρησιμοποιείται και

τις κακές και στις καλές λύσεις Οι μέσες λύσεις θεωρούμε ότι καλυτερεύουν με την μετανάστευση

οπότε αποφεύγουμε να τις μεταλλάξουμε και έχουν μικρότερο ρυθμό μετάλλαξης Η υλοποίηση της

μετάλλαξης εξαρτάται από το εκάστοτε πρόβλημα και χρήστη

Ορισμοί της BBO και αλγόριθμος

Παρακάτω δίνονται κάποιοι ορισμοί ως ένα πρώτο βήμα για τη μορφοποίηση του BBO αλγόριθμου

παρουσιάζοντας παράλληλα και μία περιγραφή του αλγόριθμου Με το R αναφερόμαστε στο σύνολο

13

πραγματικών αριθμών με το Ζ ακεραίων και με το empty στο κενό σύνολο

Ορισμός 1 Μία περιοχή H isin SIV mείναι ένα διάνυσμα m ακεραίων που αντιπροσωπεύει μία

πιθανή λύση του προβλήματος

Ορισμός 2 Μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας SIV isin C είναι ένας ακέραιος επιτρεπτός

σε μία περιοχή C isin Zqείναι το σύνολο όλων των επιτρεπτών ακεραίων σε μία

περιοχή Η απαίτηση SIV isin C ονομάζεται περιορισμός όπως και σε υψηλότερο

επίπεδο η απαίτηση H isin SIV m

Ορισμός 3 ΄Ενας δείκτης καταλληλότητας περιοχής HSI H rarr R αποτελεί μέτρο την ποιότη-

τας καλής ή κακής της λύσης που αντιπροσωπεύει η περιοχή Σημείωση Στους

περισσότερους αλγόριθμους βασισμένους στους πληθυσμούς το HSI ονομάζεται κα-ταλληλότητα

Ορισμός 4 ΄Ενα οικοσύστημα Hnείναι ένα σύνολο από n περιοχές Το μέγεθος n είναι σταθερό

(μελλοντικοί αλγόριθμοι μπορεί να επιτρέπουν μεταβλητό n όπως κάποιοι γενετικοί

αλγόριθμοι επιτρέπουν μεταβλητό μέγεθος πληθυσμών)

Ορισμός 5 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή λ(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

αύξουσα συνάρτηση του HSI Το λi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV από μία

γειτονική περιοχή να μεταναστεύσει στην Hi

Ορισμός 6 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή micro(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

φθίνουσα συνάρτηση του HSI Το microi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV της Hi

να μεταναστεύσει προς μία γειτονική περιοχή Στην πράξη θεωρούμε ότι οι συναρ-

τήσεις λ και μ είναι γραμμικές με το ίδιο μέγιστο Αυτή η υπόθεση βοηθάει στην

στην απλούστευση των μαθηματικών υπολογισμών Καλύτερες επιδόσεις μπορεί να

είναι εφικτές αν παρεκκλίνουμε λίγο από την υπόθεση αυτή

Ορισμός 7 Τροποποίηση μίας περιοχής Ω(λμ) Hn rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής

που προσαρμόζει την περιοχή Η βάση του οικοσυστήματος Hn Η πιθανότητα μια

περιοχή Η να τροποποιηθεί είναι ανάλογη του ρυθμού μετανάστευσης προς αυτή λ

και η πιθανότητα η τροποποίηση αυτή να προέλθει από την περιοχή Hj είναι ανάλογη

του ρυθμού μετανάστευσης microj από την περιοχή Η τροποποίηση των περιοχών

μπορεί να περιγραφεί γενικά ως εξής

Επιλογή του Hi με πιθανότητα sim λi΄Αν έχει επιλεχθεί το Hi

For j=1 to nεπιλογή του Hj με πιθανότητα sim microiΑν έχει επιλεχθεί το Hj

τυχαία επιλογή ενός SIV σ από το Hj

αντικατάσταση ενός τυχαίου SIV της Hi με το σ

endend

endΑπό τον παραπάνω αλγόριθμο γίνεται φανερό ότι μπορεί να εφαρμοστεί ένα κρι-

τήριο ελιτισμού θέτοντας λ=0 για την p βέλτιστη περιοχή όπουp μία παράμετρος

ελιτισμού καθορισμένη από το χρήστη Ακόμα να σημειωθεί ότι ο ορισμός του Ω

εξασφαλίζει ότι η περιοχή Η που τροποποιείται ικανοποιεί τους περιορισμούς του

SIVΟρισμός 8 Η μετάλλαξη Μ(λμ) H rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής που τυχαία τρο-

ποποιεί τις SIVs μίας περιοχής βάση της αρχικής πιθανότητας ύπαρξης της περιοχής

Η πιθανότητα ύπαρξης μίας περιοχής υπολογίζεται όπως αναφέρθηκε παραπάνω

από τους ρυθμούς λ και μ Η μετάλλαξη μπορεί να περιγραφεί ως εξής

14

For j=1 to mχρήση των microi και λi για τον υπολογισμό της πιθανότητας Piεπιλογή της SIV Hi(j) με πιθανότητα sim PiΑν έχει επιλεχθεί το Hi(j)

Αντικατάσταση του Hi(j) με ένα τυχαία δημιουργημένο SIVend

end΄Οπως και παραπάνω ο ελιτισμός μπορεί να υλοποιηθεί θέτοντας πιθανότητα με-

τάλλαξης μηδενική για την περιοχή με τη βέλτιστη λύση p Από τον παραπάνω

ορισμό βλέπουμε ότι πρέπει η μετάλλαξη να έχει κατάλληλους περιορισμούς ώστε

να καταλήγει σε HSI που να υπακούν στους περιορισμούς των SIVs

Ορισμός 9 Μία συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος Ψ ( m n λ μ Ω Μ) Hn rarr Hn

είναι μία εξάδα που τροποποιεί το οικοσύστημα από μία επανάληψη στην επόμενη

Η συνάρτηση τροποποίησης του οικοσυστήματος μπορεί να γραφεί ως εξής

ψ = λn micron Ωn HSIn Mn HSI (214)

Η συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος λοιπόν ξεκινάει υπολογίζοντας τους ρυθ-

μούς μετανάστευση προς και από μία περιοχή Εν συνεχεία λαμβάνει χώρα η τρο-

ποποίηση των περιοχών ακολουθούμενη από έναν επαναϋπολογισμό των HSI

Τέλος εφαρμόζεται μετάλλαξη και ξαναϋπολογίζονται οι HSI κάθε περιοχής

Ορισμός 10 ΄Ενας BBO αλγόριθμος BBO(Ι Ψ Τ) είναι μία τριάδα που προτείνει μία λύση σε

ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης I empty rarr Hn HSIn είναι μία συνάρτηση η οποία

παράγει ένα αρχικό οικοσύστημα περιοχών και υπολογίζει τις αντίστοιχες HSI Ψείναι μία συνάρτηση τροποποίησης οικοσυστήματος όπως ορίστηκε παραπάνω και

T Hn rarr true false είναι ένα κριτήριο τερματισμού του αλγόριθμου

Η συνάρτηση Ι μπορεί να υλοποιηθεί με μία γεννήτρια τυχαίων αριθμών ευρετι-

κών λύσεων στο πρόβλημα βελτιστοποίησης ή με οιαδήποτε άλλη διαδικασία που

να εξαρτάται από το πρόβλημα Το Τ μπορεί να εξαρτάται από τον αριθμό των

Ψ επαναλήψεων το HSI της βέλτιστης περιοχής ή οποιοδήποτε άλλο κριτήριο

βάση του προβλήματος Οπότε ο αλγόριθμος BBO μπορεί να περιγραφεί από το

παρακάτω

Ι

όσο δεν ισχύει το Τ

Ψ

end

Μία απλουστευμένη περιγραφή του BBO αλγόριθμου θα μπορούσε να είναι η παρακάτω

1 Αρχικοποίηση των παραμέτρων του αλγορίθμου Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρεθεί μία μέθοδος

χαρτογράφησης των λύσεων του προβλήματος σε SIVs και περιοχές σύμφωνα με το πρόβλημα

Ακόμα αρχικοποιούμε ή ορίζουμε το μέγιστο αριθμό ειδών Smax τους μέγιστους ρυθμούς μετα-

νάστευσης Ε και Ι το μέγιστο ρυθμό μετάλλαξης mmax και μία παράμετρο ελιτισμού Πρέπει να

σημειωθεί ότι ο μέγιστος αριθμός ειδών και οι μέγιστοι ρυθμοί μετανάστευσης είναι αλληλοεξαρ-

τώμενα μεγέθη Οπότε αν όλα αλλάζουν κατά το ίδιο ποσοστό η συμπεριφορά του ΒΒΟ δεν θα

αλλάζει Αυτό συμβαίνει γιατί άν τα Ε Ι και Smax αλλάξουν οι ρυθμοί μετανάστευσης μ λ και ο

αριθμός των ειδών S θα αλλάξουν κατά την ίδια σχετική ποσότητα για όλες τις περιοχές ή λύσεις

2 Αρχικοποίηση μίας τυχαίας ομάδας περιοχών όπου κάθε περιοχή θα αντιστοιχεί σε πιθανή λύση

Αυτό είναι η υλοποίηση του συνόλου Ι

3 Για κάθε περιοχή καθορισμός των HSI για τον αριθμό ειδών S και των ρυθμών μετανάστευσης μ

και λ

15

4 Χρήση βάση πιθανοτήτων των ρυθμών μετανάστευσης για την τροποποίηση των μη ελιτίστικων

περιοχών και επαναϋπολογισμό των HSI αυτών

5 Για κάθε περιοχή ενημέρωση της πιθανότητας των αριθμών των ειδών βάση της εξίσωσης

Στη συνέχεια μετάλλαξη των μη ελιτίστικων περιοχών βάση των πιθανοτήτων τους και ξανά

υπολογισμός των HSI

6 Επιστροφή στο βήμα 3 για την επόμενη επανάληψη της διαδικασίας Η διαδικασία μπορεί

να σταματήσει μετά από έναν προκαθορισμένο αριθμό επαναλήψεων ή με την επίτευξη μίας

επιθυμητής λύσης Αυτή είναι η υλοποίηση του κριτηρίου τερματισμού Τ

Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι μετά από κάθε βήμα που αλλάζει κάτι σε μία περιοχή ή λύση πρέπει να

επαληθεύεται κάθε περιοχή ως πιθανή λύση του προβλήματος Αν όχι πρέπει να υπάρχει μία διαδικασία

η οποία να την τροποποιεί ώστε να γίνεται πιθανή λύση

Τέλος επειδή ένας τέτοιος αλγόριθμος θα συγκριθεί στη συνέχεια με τους υπόλοιπους που αναφέρ-

θηκαν παραπάνω είναι χρήσιμο να γίνουν πιο διακριτές οι διαφορές τους Η πρώτη τέτοια διαφορά είναι

ότι στους BBO αλγόριθμους δεν υπάρχει η έννοια της αναπαραγωγής ή των γενεών απογόνων όπως

υπάρχουν στους γενετικούς και τους εξελικτικούς αλγόριθμους Δεν δημιουργούνται καινούριες λύσεις

από κύκλο σε κύκλο αλλά εξελίσσονται οι υπάρχουσες Για τον ίδιο λόγο διαφέρει και από τους ACO(Ant Colony Optimization) αλγόριθμους Σαν λογική είναι πιο κοντά στους PSO (Particle SwarmOptimization) και DE (Differential Evolution) αλγόριθμους μιας και αυτοί διατηρούν και εξελίσσουν

τις υπάρχουσες λύσεις τους κάνοντας την κάθε λύση να μαθαίνει από τους γείτονες και να προσαρ-

μόζεται καθώς προχωράει ο αλγόριθμος Οι PSO αντιπροσωπεύουν κάθε λύση σαν ένα σημείο στο

χώρο και τις αλλαγές μεταξύ των επαναλήψεων του αλγόριθμου με διάνυσμα ταχύτητας ΄Ομως στους

αλγόριθμους αυτούς δεν αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η ταχύτητα των σημείων έχοντας αποτέλεσμα

τη μεταβολή των λύσεων Στους DE αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η αλλαγή αυτή γίνεται βάση των

διαφορών μεταξύ άλλων λύσεων Ακόμα οι DE δεν βασίζεται σε βιολογικές αρχές Οι BBO αλγόριθμοι

μπορούν να διαχωριστούν από τους DE και PSO στο χαρακτηριστικό ότι αλλάζουν άμεσα τις λύσεις

τους ανταλλάσσοντας χαρακτηριστικά μεταξύ τους μέσω της μετανάστευσης

16

Κεφάλαιο 3

Κεραίες

31 Γενικά

Με τον όρο umlκεραίαrsquo αναφερόμαστε σε μία διάταξη που είναι σχεδιασμένη να δέχεται ηκαι να εκπέμπει

ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Είναι μία διάταξη η οποία μετατρέπει ηλεκτρομαγνητική ενέργεια που

οδεύει σε μια γραμμή μεταφοράς ή ένα κυματοδηγό σε ηλεκτρομαγνητικό κύμα στο χώρο και viceversa Οι κεραίες είναι είτε παθητικές

1 είτε τροφοδοτούμενες

2

Λόγω της μεγάλης ανάπτυξης των τηλεπικοινωνιών και των πολλών συστημάτων που χρησιμοποιούν-

ται3 έχει αναπτυχθεί μια τεράστια ποικιλία κεραιών ώστε να καλύπτουν τις ειδικές ανάγκες διαφόρων

εφαρμογών και να διευκολύνεται η κατασκευή και ένταξή τους στο φυσικό και δομημένο περιβάλλον

Η μεγάλη αυτή ποικιλία συστημάτων κεραιών επιβάλει τον διαχωρισμό τους σε κατηγορίες βάσει της

μορφής τους και της αρχής λειτουργίας τους Αλλά σε όποια κατηγορία και να ανήκει μία κεραία έχει

κάποια βασικά χαρακτηριστικά

32 Χαρακτηριστικά κεραιών

Σε μία κεραία αυτό που μας ενδιαφέρει είναι το πώς εκπέμπει ή λαμβάνει στο χώρο ή αλλιώς οι ιδιότητες

ακτινοβολίας (μακρινού πεδίου4) Η γραφική παράσταση των ιδιοτήτων αυτών γίνεται με το διάγραμμα

ακτινοβολίας της Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας κεραίας είναι δηλαδή η τρισδιάστατη γραφική

παράσταση των ιδιοτήτων ακτινοβολίας της κεραίας Βρίσκεται με μετρήσεις κάποιου μεγέθους με

τη μετατόπιση μίας πρόμπας γύρω από την κεραία Παριστάνει τη γωνιακή κατανομή του μέτρου της

έντασης του πεδίου της πυκνότητας ισχύος ή της έντασης ακτινοβολίας Επειδή θέλουμε το διάγραμμα

ακτινοβολίας να δίνει τη γενική συμπεριφορά της κεραίας σε οποιοδήποτε σήμα μπορεί να λάβει ή να

εκπέμψει οι τιμές είναι κανονικοποιημένες5

Τα διαγράμματα ακτινοβολίας σχεδιάζονται και για

την ικανότητα εκπομπής και λήψης μίας κεραίας και για συγκεκριμένη είναι τα ίδια (εκπομπής και λήψης)

Από τα διαγράμματα ακτινοβολίας βλέπουμε σε ποια σημεία του χώρου η κεραία εκπέμπει (ή αν

1Αποτελούνται μόνο από παθητικά στοιχεία απλά μετατρέπουν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα σε ηλεκτρομαγνητική ενέρ-

γεια χωρίς κάποια επεξεργασία του σήματος2΄Εχουν και ενεργά στοιχεία τα οποία μπορούν να κάνουν ενίσχυση σήματος ή ακόμα και επεξεργασία σήματος όπως

πχ μεταβολή συχνότητας3Από τις πιο μικρές ηλεκτρονικές συσκευές πχ πομποί GPS (Global Positioning System) μέχρι μεγάλα συστήματα

πχ δορυφόροι οπουδήποτε εφαρμόζεται ασύρματη επικοινωνία απαραίτητο εξάρτημα είναι μία κεραία4Ο χώρος γύρω από μία κεραία ως προς την κεραία χωρίζεται σε μακρινό και κοντινό πεδίο Στο κοντινό πεδίο

το διάγραμμα επηρεάζεται έντονα από τις επαγωγικές και χωρητικές συνιστώσες που εμφανίζονται στην κεραία κατά τη

ροή του ρεύματος ενώ στο μακρινό όχι και γι΄ αυτό το διάγραμμα του μακρινού πεδίου είναι σταθεροποιημένο ενώ του

κοντινού όχι Τα διαγράμματα που δίνουν οι κατασκευαστές είναι διαγράμματα μακρινού πεδίου Διάκριση μεταξύ μακρινού

και κοντινού πεδίου γίνεται βάσει της απόστασης από την κεραία όπου για R gt 2lowastD2

λ θεωρούμε μακρινό πεδίο όπου λ

είναι το μήκος κύματος D η διάμετρος της κεραίας και R η απόσταση από αυτήν5Λόγω των κανονικοποιημένων τιμών του διαγράμματος ακτινοβολίας το διάγραμμα πυκνότητας ισχύος και έντασης

ακτινοβολίας είναι ταυτόσημα

17

είναι διάγραμμα λήψης λαμβάνει) τη μεγαλύτερη και σε ποια τη μικρότερη ισχύ Το τρισδιάστατο

της περιγραφής επιτυγχάνεται με το συνδυασμό δύο διαγραμμάτων το κάθετο (κάθετη τομή στον

τρισδιάστατο χώρο) και το οριζόντιο (οριζόντια τομή) Η κεραία θεωρείται στο κέντρο του διαγράμματος

και το διάγραμμα συνδέει στην ουσία τον χώρο με την ακτινοβολούμενη ισχύ ή με την ικανότητα

λήψης ισχύος για διάγραμμα εκπομπής και λήψης αντίστοιχα και είναι όπως προαναφέρθηκε η

γραφική αναπαράσταση της συμπεριφοράς της κεραίας στο χώρο Μας δείχνει σε ποιες περιοχές του

χώρου εκπέμπει και πόση ισχύ ή αντίστοιχα από ποιες περιοχές του χώρου και πόση ισχύ μπορεί

να λάβει η κεραία Είτε επειδή δε θέλουμε σπατάλη ισχύος σε rdquoαδιάφορεςrdquoπεριοχές είτε επειδή δεν

θέλουμε να παρεμβάλλουμε δημιουργώντας θόρυβο σε άλλες κεραίες κατά την εκπομπή και είτε επειδή

θέλουμε να λαμβάνουμε τη μέγιστη δυνατή ισχύ αν ξέρουμε από που λαμβάνουμε και να μειώνουμε

το θόρυβο από τις άλλες πηγές τα διαγράμματα ακτινοβολίας είναι πολύ χρήσιμα στο σχεδιασμό μίας

κεραίας Τέλος μία άλλη χρήση είναι η σύγκριση κεραιών είτε γενικά είτε για συγκεκριμένες εφαρμογές

Σχήμα 31 Διάγραμμα ακτινοβολίας

Στο διπλανό σχήμα () φαίνεται ένα τυπικό και αρκετά

απλοποιημένο διάγραμμα ακτινοβολίας Σε αυτό διακρίνουμε

τον κύριο λοβό που είναι το τμήμα η μεγαλύτερη κλειστή

καμπύλη που διακρίνεται από το γεγονός ότι έχει τη μέγιστη

τιμή στο διάγραμμα Συνήθως τα διαγράμματα ακτινοβολίας

είναι πολικά όπως αυτό του σχήματος 31 με βαθμονόμηση

από 0μέχρι 360

και ο κύριος λοβός στη γενική περίπτωση

τοποθετείται στις 0 Ο λοβός που βρίσκεται στις 180

ονο-

μάζεται οπίσθιος λοβός και οι υπόλοιποι λοβοί ονομάζονται

πλευρικοί Ανάλογα με την περίπτωση οι υπόλοιποι εκτός του

κύριου είναι ανεπιθύμητοι είτε επιθυμητοί και προσπαθούμε

αντίστοιχα να τους καταστείλουμε ή να τους ενισχύσουμε

Οι πλευρικοί λοβοί οφείλονται σε φαινόμενα καταστροφικής

ή εποικοδομητικής συμβολής των κυμάτων που εκπέμπονται

από τη κεραία Η κλίμακα στο διάγραμμα είναι σε deciBellκαι τα μεγέθη είναι κανονικοποιημένα

6 ΄Ετσι η μέγιστη τιμή θα είναι στα 0 db και οι υπόλοιπες

σε αρνητικές τιμές Τα διαγράμματα αυτά έχουν τέτοια βαθμονόμηση γιατί θέλουμε να εκφράζουν

ποιοτικά τη συμπεριφορά της κεραίας αλλά και γιατί οι τιμές έντασης ή ισχύος που θέλουμε να αναπα-

ραστήσουμε είναι πολλών τάξεων μεγέθους και θα θέλαμε πολύ μεγάλα διαγράμματα για κανονικές τιμές

΄Ενα πιο αναλυτικό διάγραμμα ακτινοβολίας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () και είναι διάγραμμα

μίας κεραίας Yagi-Uda Οι κύκλοι που φαίνονται στο διάγραμμα αντιστοιχούν στις τιμές -3 -10 -20

-30 και -40 dB και είναι χωρισμένοι σε τμήματα των 10 Οι κύκλοι αυτοί δείχνουν τα σημεία που

έχει μειωθεί το μέγεθος στο 50 στο 10 στο 1 στο 01 και στο 001 αντίστοιχα Η

γωνία των σημείων στα οποία ο κύριος λοβός τέμνει τον πρώτο κύκλο ονομάζεται γωνία ημίσειας ισχύος

Σχήμα 32 Καρτεσιανό διάγραμμα

Εκτός των πολικών διαγραμμάτων υπάρχουν και τα καρτεσιανά

τα οποία είναι η καρτεσιανή προβολή των πολικών Παράδειγμα

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () όπου φαίνεται το άνοιγμα μισής

ισχύος και το επίπεδο του πρώτου πλευρικού λοβού Επειδή τα

διαγράμματα ακτινοβολίας σχηματίζονται όπως προαναφέρθηκε

και αφορούν τη χωρική συμπεριφορά μίας κεραίας στο μακρινό

πεδίο οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε την κεραία ως σημείο

τα καρτεσιανά διαγράμματα δεν έχουν καλή αναπαράσταση της

πραγματικότητας Αλλά είναι αρκετά χρήσιμα στη μελέτη κεραιών

και στην καλύτερη εποπτεία των χαρακτηριστικών της από τα πολικά και για το λόγο αυτό σχεδιάζονται

και χρησιμοποιούνται κατά κόρον

6΄Ενα κανονικοποιημένο διάγραμμα έχει την ίδια μορφή με ένα μη κανονικοποιημένο με μόνη αλλαγή την κλίμακα και

ότι τα μεγέθη είναι ο λογάριθμος του λόγου της τιμής προς τη μέγιστη

18

Σχήμα 33 Διάγραμμα ακτινοβολίας Yagi-Uda κεραίας

Από ένα διάγραμμα ακτινοβολίας μπορούμε να βρούμε τα παρακάτω χαρακτηριστικά μίας κεραίας (ή

και παραμέτρους του διαγράμματος όπως αναφέρονται συχνά)

Σχήμα 34 Ισοτροπική και μη

bull Κατευθυντικότητα δείκτης της ικανότητα της κεραίας να

συγκεντρώσει την ακτινοβολία εκπομπής προς μία συγκεκριμένη

κατεύθυνση και βρίσκεται αναφορικά με μία ιδανική (ισοτροπική)

κεραία Η σύγκριση την όποιας κεραίας με μία ισοτροπική φαίνεται

στο διπλανό σχήμα () Τα εμβαδά είναι ίσα οπότε εκπέμπουν

και οι δύο την ίδια ισχύ αλλά στην επιθυμητή κατεύθυνση η μη

ισοτροπική στέλνει μεγαλύτερη ισχύ Η κατευθυντικότητα λοιπόν

είναι η διαφορά σε dB των δύο διαγραμμάτων στην κατεύθυνση

του μεγίστου Είναι αντιστρόφως ανάλογη με το εύρος του κυρίως

λοβού

bull Εύρος δέσμης μισής ισχύος οριζόντιου και κάθετου επιπέδου ( HPBW )

αναφέρεται στην ενεργό περιοχή κάλυψης της κεραίας και ορίζεται ώς η γωνία μεταξύ των σημείων

του κύριου λοβού όπου η ισχύς είναι μισή της μέγιστης ή σε dB 3dB κάτω από την μέγιστη και

προσδιορίζει την περιοχή που εμφανίζεται μέγιστη εκπομπή ενώ εκτός της περιοχής αυτής η ισχύς

μειώνεται πολύ γρήγορα

bull Εύρος δέσμης επίπεδο (dB) πρώτων σημείων μηδενισμού οριζόντιου καικάθετου επιπέδου (FNBW) ορίζεται ως η γωνία μεταξύ των δύο πρώτων μηδενισμών του

μεγέθους εκατέρωθεν του κύριου λοβού

bull Λόγος κύριου προς οπίσθιο λοβό (FB)

bull Επίπεδα (dB) και εύρος γωνιών πλευρικών λοβών και οπίσθιων λοβώνbull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με τον αμέσως μικρότερο λοβό του διαγράμ-ματος ακτινοβολίας

bull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με όλους τους υπόλοιπους του διαγράμματοςακτινοβολίας

bull Λόγος κύριου προς επόμενο μεγαλύτερο λοβό (Side-Lobe Level) ορίζεται ως ο λόγος

του μεγίστου του κυρίως λοβού προς τον αμέσως μικρότερο πλευρικό λοβό (SLL = MainLobeMaxSideLobe

dB)

και είναι ένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά μίας κεραίας Πολλές φορές αναφέρεται και ώς επίπεδο

πλευρικών λοβών

Τα χαρακτηριστικά μίας κεραίας μπορούν να υπολογιστούν και να περιγραφούν όχι μόνο βάσει του

19

διαγράμματος ακτινοβολίας της Μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της μετρώντας και υπολο-

γίζοντας κατάλληλα μεγέθη και κάνοντας χρήση γνωστών μαθηματικών τύπων

bull Συνολική ακτινοβολούμενη ενέργεια η συνολική (ή μέσος όρος) ενέργεια που ακτινο-

βολεί μία κεραία και υπολογίζεται από τον τύπο

Prad = Pav =

lsaquoS

~Wrad middot d~s =

lsaquoS

~Wav middot n middot da =1

2

lsaquoS

lt( ~E times ~H) middot d~s (31)

όπου Wrad=πυκνότητα ακτινοβολίας

bull ΄Ενταση ακτινοβολίας η ενέργεια που εκπέμπεται από μία κεραία ανά μονάδα στερεάς γωνίας

U = r2 middotWrad (32)

όπου r=απόσταση

bull Κατευθυντικότητα είναι ο λόγος της ακτινοβολούμενης ενέργειας σε μία συγκεκριμένη κα-

τεύθυνση προς το μέσο όρο εκπεμπόμενης ακτινοβολίας σε όλες τις κατευθύνσεις ΄Η αλλιώς

η ένταση προς μία συγκεκριμένη κατεύθυνση προς την αντίστοιχη τιμή της αν ακτινοβολούσε

ισοτροπικά

D =U

Uo=

4pU

Prad(33)

΄Αν δεν ορίζεται κατεύθυνση σαν κατευθυντικότητα αναφέρεται η μέγιστη κατευθυντικότητα μίας

κεραίας

bull Κέρδος αν και συνδέεται με την κατευθυντικότητα είναι μία παράμετρος της κεραίας που λαμ-

βάνει υπόψιν και την αποδοτικότητα της κεραίας αλλά και τις δυνατότητες κατευθυντικότητας

Απόλυτο κέρδος κεραίας (σε συγκεκριμένη κατεύθυνση) ορίζεται ο λόγος της έντασης ακτινοβο-

λίας προς την ένταση ακτινοβολίας που θα είχε στη συγκεκριμένη κατεύθυνση άν όλη η ενέργεια

εισόδου της κεραίας εκπεμπόταν ισοτροπικά

κέρδος = 4π middot ένταση ακτινοβολίας

συνολική εισερχόμενη ενέργεια= 4π

U(θ φ)

Pinputrarr

G = 4π U(θφ)Pinput (ιδανικής ισοτροπικής πηγής)

(34)

bull Απόδοση κεραίας είναι ένας δείκτης που λαμβάνει υπόψιν τις απώλειες ενέργειας από την

είσοδο στην έξοδο της κεραίας λόγω πολλών φαινομένων Γενικά η συνολική απόδοση μίας

κεραίας δίνεται από τον τύπο

eo = er middot ec middot ed (35)

όπου eo είναι η συνολική απόδοση er είναι η απόδοση λόγω απωλειών ανακλάσεων (λόγω κακής

προσαρμογής) (= 1minus|Γ|2) ec είναι η απόδοση λόγω απωλειών αγωγιμότητας ed είναι η απόδοση

που οφείλεται στο διηλεκτρικό και Γ ο συντελεστής ανάκλασης τάσης

bull Απόδοση δέσμης είναι μία παράμετρος ποιότητας μίας κεραίας και ορίζεται από το λόγο της

ενέργειας που ακτινοβολείται από τον κύριο λοβό της κεραίας (με το λοβό σε γωνία θ0) προς τη

συνολική

BE =

acute 2π0

acute θ0U(θ φ)sin(θ)dθdφacute 2π

0

acute π0U(θ φ)sin(θ)dθdφ

(36)

όπου θ1 είναι η γωνία μισής ισχύος ΄Αν θεωρήσουμε το θ1 στην κατεύθυνση του πρώτου μηδενι-

σμού τότε θα έχουμε το λόγο της ισχύος του κυρίως λοβού προς τη συνολική

bull Εύρος σαν εύρος μιας κεραίας ορίζεται το εύρος των συχνοτήτων (bandwidth) στις οποίες

μπορεί να λειτουργήσει αποδοτικά βάσει κάποιων χαρακτηριστικών της πχ να έχει εύρος κύριου

λοβού εντός συγκεκριμένων ορίων διατηρώντας μία ελάχιστη τιμή SLL

20

33 Κατηγορίες κεραιών

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω οι κεραίες χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με τα μορ-

φολογικά αλλά και λειτουργικά χαρακτηριστικά τους Βάσει του τρόπου με τον οποίο εκπέμπουν ή

λαμβάνουν ή αλλιώς βάσει του διαγράμματος ακτινοβολίας τους χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες

bull Ισοτροπικές μία ισοτροπική κεραία ορίζεται ως μία υποθετική (ιδανική) κεραία η οποία ακτινο-

βολεί το ίδιο προς όλες τις κατευθύνσεις Δεν έχει κάποια πραγματική εφαρμογή στα τηλεπικοι-

νωνιακά συστήματα γιατί η ισχύς της εκπέμπεται προς όλες τις κατευθύνσεις το ίδιο προκαλώντας

μεγάλες απώλειες ισχύος σε ανεπιθύμητες κατευθύνσεις ΄Εχει μόνο θεωρητική αξία στη μελέτη

κεραιών και στον ορισμό κάποιων παραμέτρων των κεραιών όπως το κέρδος που είδαμε παραπάνω

bull Κατευθυντικές μία κατευθυντική κεραία ορίζεται ως η κεραία που έχει την ικανότητα να

εκπέμπει ή να λαμβάνει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αποτελεσματικότερα προς κάποιες κατευ-

θύνσεις Είναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κεραίες και η εξέλιξη αυτών είναι οι έξυπνες

κεραίες που ανάλογα με τις ανάγκες της κάθε συσκευής και τα χαρακτηριστικά του χώρου που

βρίσκεται μπορούν να αλλάξουν τη γωνία μέγιστης εκπομπής κάνοντας βέλτιστη χρήση της α-

κτινοβολούμενης ισχύος της

bull Πανκατευθυντικές μία πανκατευθυντική κεραία είναι μία κεραία η οποία ακτινοβολεί σαν

κατευθυντική εκτός από ένα επίπεδο στο οποίο εκπέμπει ή λαμβάνει ισοτροπικά Η χρήση τους

είναι κυρίως στα μέσα μαζικής επικοινωνίας όπου χρειάζεται κάλυψη του χώρου 360 μοιρών στο

οριζόντιο επίπεδο αλλά πολύ μικρής γωνίας στο κάθετο

Βάσει των μορφολογικών χαρακτηριστικών τους χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες Η κάθε

κατηγορία έχει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της που την καθιστούν κατάλληλη για κάποια

εφαρμογή και ακατάλληλη για κάποια άλλη Παρακάτω αναφέρονται οι κατηγορίες αυτές των κεραιών

με τα βασικά χαρακτηριστικά της κάθε μίας

bull Κεραίες σύρματος Είναι απλές κεραίες κατασκευασμένες από αγώγιμο υλικό συνήθως

κυκλικής διατομής Πολλές φορέα σχηματίζονται από πολλούς αγωγούς κατάλληλα συζευγμένους

μεταξύ τους σε πλέγματα διαφόρων σχημάτων που είτε δημιουργούν μία επιφάνεια είτε μία γραμμική

κεραία Η απλούστερη γραμμική κεραία είναι η κεραία διπόλου τα χαρακτηριστικά της οποίας είναι

ανάλογα με το σχετικό μήκος της ως προς το μήκος κύματος της ακτινοβολίας για την οποία προορίζε-

ται7 Οι συγκεκριμένες είναι πολύ απλές στην κατασκευή πολύ συχνά απλά συρμάτινες Αποτελείται

από ένα δίπολο του οποίου (συνήθως) η τροφοδοσία8είναι στη μέση Πλεονεκτήματα των κεραιών

αυτών είναι το κόστος το μέγεθος και η δυνατότητα κάλυψης μεγάλης περιοχής συχνοτήτων ενώ

έχουν το μειονέκτημα της χαμηλής απόδοσης λόγω των διαστάσεων τους Καλύτερα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης έχουν οι διπολικές κεραίες των οποίων το μήκος είναι της τάξης του μήκους κύματος

Σχήμα 35 Κεραία διπόλου

Μία κεραία σύρματος χαρακτηρίζεται ως rdquoλεπτήrdquoόταν η διάμε-

τρος του αγωγού είναι μικρότερη από 001λ Ανάλογα με το σχήμα

της χαρακτηρίζεται ως ευθύγραμη κεραία V ή πτυσσόμενη Στο

διπλανό σχήμα () φαίνονται μία ευθύγραμμη και μία πτυσσόμενη

διπολική κεραία Στις πτυσσόμενες σημαντική είναι η γωνία που

σχηματίζουν οι βραχίονες τους έχοντας βρεθεί ότι η μέγιστη

κατευθυντικότητα επιτυγχάνεται για γωνία α = 60λh

+ 380

όπου h είναι το μήκος του βραχίονα και λ το μήκος κύματος τη

ακτινοβολίας και ότι Dmax = 12 + 23hλ9

7Μία κεραία χαρακτηρίζεται ως ηλεκτρικά μικρή όταν οι διαστάσεις της είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος

της ακτινοβολίας8Με τον όρο τροφοδοσία εννοούμε το υπόλοιπο σύστημα το οποίο τροφοδοτεί η κεραία με το σήμα που λαμβάνει στην

περίπτωση κεραίας λήψης ή από το οποίο τροφοδοτείται με το σήμα που θα εκπέμψει στην περίπτωση κεραίας εκπομπής

9Η σχέση αυτή είναι εμπειρική και ισχύει για 05 lt h

λ lt 3

21

Σχήμα 36 Κεραία Yagi-Uda

Μία εξέλιξη των παραπάνω κεραιών είναι οι κεραίες Yagi-Udaπου ένα διάγραμμα ακτινοβολίας τέτοιας κεραίας παρατέθηκε

παραπάνω () Είναι ευθύγραμμες διπολικές κεραίες που α-

ποτελούνται από πέραν του ενός δίπολα τα οποία όμως δεν

τροφοδοτούνται όλα Τα μη τροφοδοτούμενα δίπολα ονομάζονται

παρασιτικά και τροφοδοτούνται επαγωγικά από τα υπόλοιπα Οι

κεραίες αυτές παρουσιάζουν αυξημένη κατευθυντικότητα σχετικά

με τις μη παρασιτικές κεραίες διπόλων Η πρώτη τέτοια κεραία

κατασκευάστηκε το 1926 και αποτελούταν από τρία δίπολα ένα

ενεργό και δύο παρασιτικά Στην περίπτωση που το παρασιτικό

δίπολο έχει μεγαλύτερο μήκος από του ενεργού ονομάζεται

ανακλαστήρας ενώ αν έχει μικρότερο ονομάζεται κατευθυντήρας

Μία γενική μορφή τέτοιας κεραίας φαίνεται στο διπλανό σχήμα με LR το μήκος του ανακλαστήρα και

LD το μήκος του κατευθυντήρα

bull Στοιχειοκεραίες Μία εξέλιξη των συρμάτινων κεραιών είναι οι στοιχειοκεραίες Οι

στοιχειοκεραίες αποτελούνται από πολλές κεραίες διπόλων τα στοιχεία τα οποία ενώνονται όλα σε

μία κοινή τροφοδοσία και αυτή είναι η βασική τους διαφορά από τις Yagi-Uda που έχουν παρασιτικά

στοιχεία και ο λόγος που οι τελευταίες δε θεωρούνται στοιχειοκεραίες Συστοιχείες λοιπόν πολλών

κεραιών φτιάχνουν τις στοιχειοκεραίες Ανάλογα με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της συστοιχίας

υπάρχουν κάποια είδη στοιχειοκεραιών όπως είναι οι γραμμικές (μία συστοιχία σε ευθεία γραμμή) και

οι επίπεδες (συστοιχείες συστοιχείων) Λόγω της ταυτόχρονης χρήσης πολλών κεραιών μπορούν να

συνδυάσουν τα χαρακτηριστικά τους δίνοντας δυνατότητα πολύπλοκων κατευθυντικών διαγραμμάτων

καθιστώντας τες κατάλληλες για πολλές εφαρμογές Συγκριτικά με μία κεραία μεγάλου μήκους που

θα έχει τα ίδια κατευθυντικά χαρακτηριστικά παρουσιάζει το πλεονέκτημα της εύκολης τροφοδο-

σίας της μηχανικής αντοχής και του μικρού κόστους εγκατάστασης και λειτουργίας Τέλος με

κατάλληλη τροφοδοσία του κάθε στοιχείου της μπορούμε να αλλάξουμε τα κατευθυντικά χαρακτηρι-

στικά της ΄Εχουν πολλές γεωμετρικές μορφές αλλά και είδη που θα αναφερθούν σε επόμενη παράγραφο

bull Κεραίες βρόχου ή πλαισίου Μία κεραία βρόχου αποτελείται από έναν κλειστό αγωγό σε

σχήμα βρόχου (ή και βρόχων) ο οποίος τροφοδοτείται σε ένα σημείο του Χωρίζονται σε κεραίες μικρού

και μεγάλου βρόχου συγκριτικά με το μήκος κύματος στο οποίο χρησιμοποιούνται10

Οι μικρού

βρόχου έχουν χαμηλή απόδοση και χρησιμοποιούνται κατά κόρον σε δέκτες χαμηλών συχνοτήτων

Εκτός από τους ραδιοφωνικούς δέκτες των αυτοκινήτων στους οποίους γίνεται μεγάλη χρήση των

κεραιών μικρού βρόχου το μεγαλύτερο ποσοστό των δεκτών AM χρησιμοποιούν τέτοιες κεραίες

Οι μεγάλου βρόχου έχουν ευρεία χρήση στους δέκτες VHF και UHF έχοντας και το επιπλέον

χαρακτηριστικό της μεταβλητής περιφέρειας δίνοντας δυνατότητα μεγαλύτερου εύρους συχνοτήτων

Γενικά οι κεραίες βρόχου είναι κεραίες με μεγάλη κατευθυντικότητα κάτι που τις κάνει ιδανικές σε

εφαρμογές εύρεσης κατεύθυνσης σήματος

bull Ελικοειδής κεραίες Μία ελικοειδής κεραία αποτελείται από έναν αγωγό που έχει τη μορφή

έλικας στον οποίο η τροφοδοσία είναι στο ένα του άκρο Αποτελεί συνδυασμό κεραίας βρόχου και

γραμμικής κεραίας οπότε μπορεί να εκπέμπει με δύο τρόπους (ρυθμούς) αξονικά και κάθετα στον άξονα

της έλικας κάτι που της δίνει βελτιωμένα χαρακτηριστικά συγκριτικά με τις δύο αυτές κατηγορίες

Χρησιμοποιείται κατά κόρον όπου απαιτείται κυκλική πόλωση σήματος σαν πομπός ή σε σήματα που

έχουν κυκλική πόλωση σαν δέκτης και έχει αρκετά μεγάλο εύρος ζώνης συχνοτήτων Ανάλογα με τα

χαρακτηριστικά που πρέπει να έχει μία ελικοειδής κεραία μπορεί να είναι ομοιόμορφη (όλες οι έλικες

ίδια διάμετρο) αυξανόμενης ελαττούμενης και αυξο-ελαττούμενης διαμέτρου ελίκων

bull Δικωνικές κεραίες ΄Αν δύο V ενωθούν κατακορυφήν σχηματίζεται μία δικωνική κεραία οι

οποίες έχουν αυξημένο εύρος συχνοτήτων Πολλές δικωνικές κεραίες έχουν τη δυνατότητα μεταβολής

10Σαν κεραία μικρού βρόχου θα χαρακτηριστεί η κεραία της οποίας η περιφέρεια θα είναι ίση ή μικρότερη από το ένα

δέκατο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας

22

του μήκους του βραχίονα τους δίνοντας ακόμα μεγαλύτερο εύρος Αν μία από τις δύο V κεραίες

αντικατασταθεί από μία αγώγιμη επιφάνεια σε σχήμα δίσκου έχουμε τη δισκωνική κεραία στην οποία

ο δίσκος λειτουργεί ως ανακλαστήρας Είναι κεραίες μικρής κατευθυντικότητας και χαμηλού κέρδους

και χρησιμοποιούνται πολύ σαν κεραίες ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών εκπομπών

bull Σπειροειδής κεραίες Οι σπειροειδής κεραίες είναι κεραίες με μεγάλο εύρος ζώνης

συχνοτήτων και μεγάλης κατευθυντικότητας Αποτελούνται από μία ή δύο αγωγούς που έχουν σχήμα

σπείρας και όσο μικρότερη γωνία ανοίγματος σπείρας έχουν τόσο μεγαλύτερη κατευθυντικότητα

Μπορεί να είναι επίπεδες ή κωνικές και η πόλωση του σήματος που λαμβάνουν ή εκπέμπουν είναι

ανάλογη με τη φορά των σπειρών Το εύρος συχνοτήτων τους δίνεται από το λόγο μεγαλύτερης προς

μικρότερης διαμέτρου άν και στην πραγματικότητα είναι λίγο μικρότερο του λόγου αυτού Μία αρκετά

διαδεδομένη σπειροειδής κεραία είναι η rdquoσπειροειδής του Αρχιμήδηrdquoη οποία αποτελείται από δύο σπε-

ίρες με r1 = r0φ και r2 = r0(φminusπ) οι οποίες συνήθως κατασκευάζονται πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα11

bull Κεραίες χοάνης Οι κεραίες χοάνης αποτελούνται από έναν αγωγό ο οποίος είναι από το

ένα άκρο του ανοιχτός και διεγείρεται από το άλλο του άκρο Με σωστή ρύθμιση έχουν μεγαλύτερη

απόδοση από τις συρμάτινες Ανάλογα με το σχήμα του αγωγού μπορεί να υπάρχουν αρκετά είδη

τέτοιων κεραιών τρία εκ των οποίων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα () Η κατευθυντικότητα της

είναι ανάλογη της γωνίας ανοίγματος της Στην πράξη συναντούμε ελάχιστες κεραίες χοάνης μόνες

τους αλλά σε συνδυασμό με έναν ανακλαστήρα έχουν πολύ διαδεδομένη χρήση λόγω της πολύ μεγάλης

κατευθυντικότητας που προσφέρουν ειδικά στις περιπτώσεις που ο ανακλαστήρας είναι παραβολικός

όπου υπάρχει η δυνατότητα παραγωγής πολύ στενής δέσμης υψηλού κέρδους και χαμηλού θορύβου

Χρησιμοποιούνται πολύ στις δορυφορικές επικοινωνίες και η πιο συνηθισμένη τους μορφή είναι τα umlπιάταrsquo

που χρησιμοποιούνται για τη λήψη δορυφορικών σημάτων

Σχήμα 37 Κεραίες χοάνης α)τομέας β)πυραμοειδής και γ)κωνική

bull Λογαριθμικές περιοδικές κεραίες Είναι κεραίες των οποίων τα μορφολογικά χα-

ρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με την απόσταση από την αρχή της κεραίας Υπάρχει ένα

επαναλαμβανόμενο στοιχείο κεραίας το οποίο μεγαλώνει όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της

κεραίας Μπορεί να είναι μία πλάκα με οδοντώσεις το μέγεθος των οποίων μεταβάλλεται ένα σύρμα

11Οι κεραίες που είναι κατασκευασμένες πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα ή αλλιώς σε μικροταινίες ανήκουν και στην

κατηγορία των μικροταινιακών κεραιών πολύ διαδεδομένη στις ηλεκτρονικές φορητές συσκευές που λειτουργούν στην

περιοχή των μικροκυμάτων (λόγω διαστάσεων κεραιών είναι ιδανικές για την περιοχή αυτή)

23

Σχήμα 38 Λογαριθμική περιοδική κεραία

το οποίο διπλώνεται κατάλληλα και το μέγεθος της κάθε δίπλωσης μεταβάλλεται ή ακόμα και από

δίπολα το μήκος των οποίων μεταβάλλεται Πολλές κεραίες που ανήκουν σε παραπάνω κατηγορίες είναι

λογαριθμικές μπορεί να είναι λογαριθμικές αν η μεταβολή των επαναλαμβανόμενων στοιχείων ακολουθεί

το συγκεκριμένο πρότυπο Μία τέτοια φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () η οποία ανήκει στην

κατηγορία των στοιχειοκεραίων Λόγω των επαναλαμβανόμενων στοιχείων των οποίων συνδυάζουν τα

χαρακτηριστικά μπορούν να έχουν πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων και συγκεκριμένα εύρος μίας τάξης

μεγέθους επιτυγχάνεται εύκολα και μπορούν να έχουν και αρκετά μεγάλη κατευθυντικότητα Βρίσκουν

πολλές εφαρμογές στις επικοινωνίες υψηλών συχνοτήτων και ειδικά στα τηλεοπτικά σήματα αφού με

μία κεραία μπορεί κάποιος να λαμβάνει ικανοποιητικά όλα τα διαθέσιμα κανάλια χωρίς καμία προσαρμογή

34 Στοιχειοκεραίες

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω η μορφή του διαγράμματος εκπομπής και λήψης των κεραιών

εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της κεραίας Σε πολλές εφαρμογές απαιτούνται κεραίες μεγάλου

κέρδους ή αλλιώς μεγάλης κατευθυντικότητας Μία κεραία για να έχει μεγάλη κατευθυντικότητα

θα πρέπει να έχει πολύ μεγάλο μέγεθος Το πρόβλημα αυτό λύνεται φτιάχνοντας σύνθετες κεραίες

Κεραίες που αποτελούνται από μικρότερες κεραίες είτε όμοιες μεταξύ τους είτε ανόμοιες Τέτοιες

συστοιχίες κεραιών όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ονομάζονται στοιχειοκεραίες Το κάθε στοιχείο

μίας στοιχειοκεραίας μπορεί να είναι οποιασδήποτε μορφής κεραία (σύρματος οπής κλπ) με βασικό

χαρακτηριστικό όλα τα στοιχεία να έχουν κοινή τροφοδοσία Το συνολικό πεδίο θα είναι το διανυ-

σματικό άθροισμα των πεδίων κάθε στοιχείου ξεχωριστά Οπότε μπορούμε να έχουμε το επιθυμητό

πεδίο φτιάχνοντας την κεραία μας έτσι ώστε στα σημεία που θέλουμε μεγάλο κέρδος να συμβάλουν

εποικοδομητικά τα πεδία των στοιχείων της κεραίας και στα σημεία που δεν θέλουμε να ακτινοβολεί να

έχουμε καταστροφική συμβολή

Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας θα εξαρτάται από τους εξείς παράγοντες

bull Τη γεωμετρία της στοιχειοκεραίας ( γραμμικήκυκλικήορθογώνια σφαιρική κλπ)

bull Την απόσταση μεταξύ των στοιχείων της κεραίας

bull Την ένταση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

bull Τη φάση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

24

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

πραγματικών αριθμών με το Ζ ακεραίων και με το empty στο κενό σύνολο

Ορισμός 1 Μία περιοχή H isin SIV mείναι ένα διάνυσμα m ακεραίων που αντιπροσωπεύει μία

πιθανή λύση του προβλήματος

Ορισμός 2 Μία μεταβλητή δείκτη καταλληλότητας SIV isin C είναι ένας ακέραιος επιτρεπτός

σε μία περιοχή C isin Zqείναι το σύνολο όλων των επιτρεπτών ακεραίων σε μία

περιοχή Η απαίτηση SIV isin C ονομάζεται περιορισμός όπως και σε υψηλότερο

επίπεδο η απαίτηση H isin SIV m

Ορισμός 3 ΄Ενας δείκτης καταλληλότητας περιοχής HSI H rarr R αποτελεί μέτρο την ποιότη-

τας καλής ή κακής της λύσης που αντιπροσωπεύει η περιοχή Σημείωση Στους

περισσότερους αλγόριθμους βασισμένους στους πληθυσμούς το HSI ονομάζεται κα-ταλληλότητα

Ορισμός 4 ΄Ενα οικοσύστημα Hnείναι ένα σύνολο από n περιοχές Το μέγεθος n είναι σταθερό

(μελλοντικοί αλγόριθμοι μπορεί να επιτρέπουν μεταβλητό n όπως κάποιοι γενετικοί

αλγόριθμοι επιτρέπουν μεταβλητό μέγεθος πληθυσμών)

Ορισμός 5 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή λ(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

αύξουσα συνάρτηση του HSI Το λi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV από μία

γειτονική περιοχή να μεταναστεύσει στην Hi

Ορισμός 6 Ο ρυθμός μετανάστευσης προς μία περιοχή micro(HSI)Rrarr R είναι μία μονότονη μη

φθίνουσα συνάρτηση του HSI Το microi είναι ανάλογο με την πιθανότητα SIV της Hi

να μεταναστεύσει προς μία γειτονική περιοχή Στην πράξη θεωρούμε ότι οι συναρ-

τήσεις λ και μ είναι γραμμικές με το ίδιο μέγιστο Αυτή η υπόθεση βοηθάει στην

στην απλούστευση των μαθηματικών υπολογισμών Καλύτερες επιδόσεις μπορεί να

είναι εφικτές αν παρεκκλίνουμε λίγο από την υπόθεση αυτή

Ορισμός 7 Τροποποίηση μίας περιοχής Ω(λμ) Hn rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής

που προσαρμόζει την περιοχή Η βάση του οικοσυστήματος Hn Η πιθανότητα μια

περιοχή Η να τροποποιηθεί είναι ανάλογη του ρυθμού μετανάστευσης προς αυτή λ

και η πιθανότητα η τροποποίηση αυτή να προέλθει από την περιοχή Hj είναι ανάλογη

του ρυθμού μετανάστευσης microj από την περιοχή Η τροποποίηση των περιοχών

μπορεί να περιγραφεί γενικά ως εξής

Επιλογή του Hi με πιθανότητα sim λi΄Αν έχει επιλεχθεί το Hi

For j=1 to nεπιλογή του Hj με πιθανότητα sim microiΑν έχει επιλεχθεί το Hj

τυχαία επιλογή ενός SIV σ από το Hj

αντικατάσταση ενός τυχαίου SIV της Hi με το σ

endend

endΑπό τον παραπάνω αλγόριθμο γίνεται φανερό ότι μπορεί να εφαρμοστεί ένα κρι-

τήριο ελιτισμού θέτοντας λ=0 για την p βέλτιστη περιοχή όπουp μία παράμετρος

ελιτισμού καθορισμένη από το χρήστη Ακόμα να σημειωθεί ότι ο ορισμός του Ω

εξασφαλίζει ότι η περιοχή Η που τροποποιείται ικανοποιεί τους περιορισμούς του

SIVΟρισμός 8 Η μετάλλαξη Μ(λμ) H rarr H είναι ένας πιθανολογικός τελεστής που τυχαία τρο-

ποποιεί τις SIVs μίας περιοχής βάση της αρχικής πιθανότητας ύπαρξης της περιοχής

Η πιθανότητα ύπαρξης μίας περιοχής υπολογίζεται όπως αναφέρθηκε παραπάνω

από τους ρυθμούς λ και μ Η μετάλλαξη μπορεί να περιγραφεί ως εξής

14

For j=1 to mχρήση των microi και λi για τον υπολογισμό της πιθανότητας Piεπιλογή της SIV Hi(j) με πιθανότητα sim PiΑν έχει επιλεχθεί το Hi(j)

Αντικατάσταση του Hi(j) με ένα τυχαία δημιουργημένο SIVend

end΄Οπως και παραπάνω ο ελιτισμός μπορεί να υλοποιηθεί θέτοντας πιθανότητα με-

τάλλαξης μηδενική για την περιοχή με τη βέλτιστη λύση p Από τον παραπάνω

ορισμό βλέπουμε ότι πρέπει η μετάλλαξη να έχει κατάλληλους περιορισμούς ώστε

να καταλήγει σε HSI που να υπακούν στους περιορισμούς των SIVs

Ορισμός 9 Μία συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος Ψ ( m n λ μ Ω Μ) Hn rarr Hn

είναι μία εξάδα που τροποποιεί το οικοσύστημα από μία επανάληψη στην επόμενη

Η συνάρτηση τροποποίησης του οικοσυστήματος μπορεί να γραφεί ως εξής

ψ = λn micron Ωn HSIn Mn HSI (214)

Η συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος λοιπόν ξεκινάει υπολογίζοντας τους ρυθ-

μούς μετανάστευση προς και από μία περιοχή Εν συνεχεία λαμβάνει χώρα η τρο-

ποποίηση των περιοχών ακολουθούμενη από έναν επαναϋπολογισμό των HSI

Τέλος εφαρμόζεται μετάλλαξη και ξαναϋπολογίζονται οι HSI κάθε περιοχής

Ορισμός 10 ΄Ενας BBO αλγόριθμος BBO(Ι Ψ Τ) είναι μία τριάδα που προτείνει μία λύση σε

ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης I empty rarr Hn HSIn είναι μία συνάρτηση η οποία

παράγει ένα αρχικό οικοσύστημα περιοχών και υπολογίζει τις αντίστοιχες HSI Ψείναι μία συνάρτηση τροποποίησης οικοσυστήματος όπως ορίστηκε παραπάνω και

T Hn rarr true false είναι ένα κριτήριο τερματισμού του αλγόριθμου

Η συνάρτηση Ι μπορεί να υλοποιηθεί με μία γεννήτρια τυχαίων αριθμών ευρετι-

κών λύσεων στο πρόβλημα βελτιστοποίησης ή με οιαδήποτε άλλη διαδικασία που

να εξαρτάται από το πρόβλημα Το Τ μπορεί να εξαρτάται από τον αριθμό των

Ψ επαναλήψεων το HSI της βέλτιστης περιοχής ή οποιοδήποτε άλλο κριτήριο

βάση του προβλήματος Οπότε ο αλγόριθμος BBO μπορεί να περιγραφεί από το

παρακάτω

Ι

όσο δεν ισχύει το Τ

Ψ

end

Μία απλουστευμένη περιγραφή του BBO αλγόριθμου θα μπορούσε να είναι η παρακάτω

1 Αρχικοποίηση των παραμέτρων του αλγορίθμου Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρεθεί μία μέθοδος

χαρτογράφησης των λύσεων του προβλήματος σε SIVs και περιοχές σύμφωνα με το πρόβλημα

Ακόμα αρχικοποιούμε ή ορίζουμε το μέγιστο αριθμό ειδών Smax τους μέγιστους ρυθμούς μετα-

νάστευσης Ε και Ι το μέγιστο ρυθμό μετάλλαξης mmax και μία παράμετρο ελιτισμού Πρέπει να

σημειωθεί ότι ο μέγιστος αριθμός ειδών και οι μέγιστοι ρυθμοί μετανάστευσης είναι αλληλοεξαρ-

τώμενα μεγέθη Οπότε αν όλα αλλάζουν κατά το ίδιο ποσοστό η συμπεριφορά του ΒΒΟ δεν θα

αλλάζει Αυτό συμβαίνει γιατί άν τα Ε Ι και Smax αλλάξουν οι ρυθμοί μετανάστευσης μ λ και ο

αριθμός των ειδών S θα αλλάξουν κατά την ίδια σχετική ποσότητα για όλες τις περιοχές ή λύσεις

2 Αρχικοποίηση μίας τυχαίας ομάδας περιοχών όπου κάθε περιοχή θα αντιστοιχεί σε πιθανή λύση

Αυτό είναι η υλοποίηση του συνόλου Ι

3 Για κάθε περιοχή καθορισμός των HSI για τον αριθμό ειδών S και των ρυθμών μετανάστευσης μ

και λ

15

4 Χρήση βάση πιθανοτήτων των ρυθμών μετανάστευσης για την τροποποίηση των μη ελιτίστικων

περιοχών και επαναϋπολογισμό των HSI αυτών

5 Για κάθε περιοχή ενημέρωση της πιθανότητας των αριθμών των ειδών βάση της εξίσωσης

Στη συνέχεια μετάλλαξη των μη ελιτίστικων περιοχών βάση των πιθανοτήτων τους και ξανά

υπολογισμός των HSI

6 Επιστροφή στο βήμα 3 για την επόμενη επανάληψη της διαδικασίας Η διαδικασία μπορεί

να σταματήσει μετά από έναν προκαθορισμένο αριθμό επαναλήψεων ή με την επίτευξη μίας

επιθυμητής λύσης Αυτή είναι η υλοποίηση του κριτηρίου τερματισμού Τ

Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι μετά από κάθε βήμα που αλλάζει κάτι σε μία περιοχή ή λύση πρέπει να

επαληθεύεται κάθε περιοχή ως πιθανή λύση του προβλήματος Αν όχι πρέπει να υπάρχει μία διαδικασία

η οποία να την τροποποιεί ώστε να γίνεται πιθανή λύση

Τέλος επειδή ένας τέτοιος αλγόριθμος θα συγκριθεί στη συνέχεια με τους υπόλοιπους που αναφέρ-

θηκαν παραπάνω είναι χρήσιμο να γίνουν πιο διακριτές οι διαφορές τους Η πρώτη τέτοια διαφορά είναι

ότι στους BBO αλγόριθμους δεν υπάρχει η έννοια της αναπαραγωγής ή των γενεών απογόνων όπως

υπάρχουν στους γενετικούς και τους εξελικτικούς αλγόριθμους Δεν δημιουργούνται καινούριες λύσεις

από κύκλο σε κύκλο αλλά εξελίσσονται οι υπάρχουσες Για τον ίδιο λόγο διαφέρει και από τους ACO(Ant Colony Optimization) αλγόριθμους Σαν λογική είναι πιο κοντά στους PSO (Particle SwarmOptimization) και DE (Differential Evolution) αλγόριθμους μιας και αυτοί διατηρούν και εξελίσσουν

τις υπάρχουσες λύσεις τους κάνοντας την κάθε λύση να μαθαίνει από τους γείτονες και να προσαρ-

μόζεται καθώς προχωράει ο αλγόριθμος Οι PSO αντιπροσωπεύουν κάθε λύση σαν ένα σημείο στο

χώρο και τις αλλαγές μεταξύ των επαναλήψεων του αλγόριθμου με διάνυσμα ταχύτητας ΄Ομως στους

αλγόριθμους αυτούς δεν αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η ταχύτητα των σημείων έχοντας αποτέλεσμα

τη μεταβολή των λύσεων Στους DE αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η αλλαγή αυτή γίνεται βάση των

διαφορών μεταξύ άλλων λύσεων Ακόμα οι DE δεν βασίζεται σε βιολογικές αρχές Οι BBO αλγόριθμοι

μπορούν να διαχωριστούν από τους DE και PSO στο χαρακτηριστικό ότι αλλάζουν άμεσα τις λύσεις

τους ανταλλάσσοντας χαρακτηριστικά μεταξύ τους μέσω της μετανάστευσης

16

Κεφάλαιο 3

Κεραίες

31 Γενικά

Με τον όρο umlκεραίαrsquo αναφερόμαστε σε μία διάταξη που είναι σχεδιασμένη να δέχεται ηκαι να εκπέμπει

ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Είναι μία διάταξη η οποία μετατρέπει ηλεκτρομαγνητική ενέργεια που

οδεύει σε μια γραμμή μεταφοράς ή ένα κυματοδηγό σε ηλεκτρομαγνητικό κύμα στο χώρο και viceversa Οι κεραίες είναι είτε παθητικές

1 είτε τροφοδοτούμενες

2

Λόγω της μεγάλης ανάπτυξης των τηλεπικοινωνιών και των πολλών συστημάτων που χρησιμοποιούν-

ται3 έχει αναπτυχθεί μια τεράστια ποικιλία κεραιών ώστε να καλύπτουν τις ειδικές ανάγκες διαφόρων

εφαρμογών και να διευκολύνεται η κατασκευή και ένταξή τους στο φυσικό και δομημένο περιβάλλον

Η μεγάλη αυτή ποικιλία συστημάτων κεραιών επιβάλει τον διαχωρισμό τους σε κατηγορίες βάσει της

μορφής τους και της αρχής λειτουργίας τους Αλλά σε όποια κατηγορία και να ανήκει μία κεραία έχει

κάποια βασικά χαρακτηριστικά

32 Χαρακτηριστικά κεραιών

Σε μία κεραία αυτό που μας ενδιαφέρει είναι το πώς εκπέμπει ή λαμβάνει στο χώρο ή αλλιώς οι ιδιότητες

ακτινοβολίας (μακρινού πεδίου4) Η γραφική παράσταση των ιδιοτήτων αυτών γίνεται με το διάγραμμα

ακτινοβολίας της Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας κεραίας είναι δηλαδή η τρισδιάστατη γραφική

παράσταση των ιδιοτήτων ακτινοβολίας της κεραίας Βρίσκεται με μετρήσεις κάποιου μεγέθους με

τη μετατόπιση μίας πρόμπας γύρω από την κεραία Παριστάνει τη γωνιακή κατανομή του μέτρου της

έντασης του πεδίου της πυκνότητας ισχύος ή της έντασης ακτινοβολίας Επειδή θέλουμε το διάγραμμα

ακτινοβολίας να δίνει τη γενική συμπεριφορά της κεραίας σε οποιοδήποτε σήμα μπορεί να λάβει ή να

εκπέμψει οι τιμές είναι κανονικοποιημένες5

Τα διαγράμματα ακτινοβολίας σχεδιάζονται και για

την ικανότητα εκπομπής και λήψης μίας κεραίας και για συγκεκριμένη είναι τα ίδια (εκπομπής και λήψης)

Από τα διαγράμματα ακτινοβολίας βλέπουμε σε ποια σημεία του χώρου η κεραία εκπέμπει (ή αν

1Αποτελούνται μόνο από παθητικά στοιχεία απλά μετατρέπουν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα σε ηλεκτρομαγνητική ενέρ-

γεια χωρίς κάποια επεξεργασία του σήματος2΄Εχουν και ενεργά στοιχεία τα οποία μπορούν να κάνουν ενίσχυση σήματος ή ακόμα και επεξεργασία σήματος όπως

πχ μεταβολή συχνότητας3Από τις πιο μικρές ηλεκτρονικές συσκευές πχ πομποί GPS (Global Positioning System) μέχρι μεγάλα συστήματα

πχ δορυφόροι οπουδήποτε εφαρμόζεται ασύρματη επικοινωνία απαραίτητο εξάρτημα είναι μία κεραία4Ο χώρος γύρω από μία κεραία ως προς την κεραία χωρίζεται σε μακρινό και κοντινό πεδίο Στο κοντινό πεδίο

το διάγραμμα επηρεάζεται έντονα από τις επαγωγικές και χωρητικές συνιστώσες που εμφανίζονται στην κεραία κατά τη

ροή του ρεύματος ενώ στο μακρινό όχι και γι΄ αυτό το διάγραμμα του μακρινού πεδίου είναι σταθεροποιημένο ενώ του

κοντινού όχι Τα διαγράμματα που δίνουν οι κατασκευαστές είναι διαγράμματα μακρινού πεδίου Διάκριση μεταξύ μακρινού

και κοντινού πεδίου γίνεται βάσει της απόστασης από την κεραία όπου για R gt 2lowastD2

λ θεωρούμε μακρινό πεδίο όπου λ

είναι το μήκος κύματος D η διάμετρος της κεραίας και R η απόσταση από αυτήν5Λόγω των κανονικοποιημένων τιμών του διαγράμματος ακτινοβολίας το διάγραμμα πυκνότητας ισχύος και έντασης

ακτινοβολίας είναι ταυτόσημα

17

είναι διάγραμμα λήψης λαμβάνει) τη μεγαλύτερη και σε ποια τη μικρότερη ισχύ Το τρισδιάστατο

της περιγραφής επιτυγχάνεται με το συνδυασμό δύο διαγραμμάτων το κάθετο (κάθετη τομή στον

τρισδιάστατο χώρο) και το οριζόντιο (οριζόντια τομή) Η κεραία θεωρείται στο κέντρο του διαγράμματος

και το διάγραμμα συνδέει στην ουσία τον χώρο με την ακτινοβολούμενη ισχύ ή με την ικανότητα

λήψης ισχύος για διάγραμμα εκπομπής και λήψης αντίστοιχα και είναι όπως προαναφέρθηκε η

γραφική αναπαράσταση της συμπεριφοράς της κεραίας στο χώρο Μας δείχνει σε ποιες περιοχές του

χώρου εκπέμπει και πόση ισχύ ή αντίστοιχα από ποιες περιοχές του χώρου και πόση ισχύ μπορεί

να λάβει η κεραία Είτε επειδή δε θέλουμε σπατάλη ισχύος σε rdquoαδιάφορεςrdquoπεριοχές είτε επειδή δεν

θέλουμε να παρεμβάλλουμε δημιουργώντας θόρυβο σε άλλες κεραίες κατά την εκπομπή και είτε επειδή

θέλουμε να λαμβάνουμε τη μέγιστη δυνατή ισχύ αν ξέρουμε από που λαμβάνουμε και να μειώνουμε

το θόρυβο από τις άλλες πηγές τα διαγράμματα ακτινοβολίας είναι πολύ χρήσιμα στο σχεδιασμό μίας

κεραίας Τέλος μία άλλη χρήση είναι η σύγκριση κεραιών είτε γενικά είτε για συγκεκριμένες εφαρμογές

Σχήμα 31 Διάγραμμα ακτινοβολίας

Στο διπλανό σχήμα () φαίνεται ένα τυπικό και αρκετά

απλοποιημένο διάγραμμα ακτινοβολίας Σε αυτό διακρίνουμε

τον κύριο λοβό που είναι το τμήμα η μεγαλύτερη κλειστή

καμπύλη που διακρίνεται από το γεγονός ότι έχει τη μέγιστη

τιμή στο διάγραμμα Συνήθως τα διαγράμματα ακτινοβολίας

είναι πολικά όπως αυτό του σχήματος 31 με βαθμονόμηση

από 0μέχρι 360

και ο κύριος λοβός στη γενική περίπτωση

τοποθετείται στις 0 Ο λοβός που βρίσκεται στις 180

ονο-

μάζεται οπίσθιος λοβός και οι υπόλοιποι λοβοί ονομάζονται

πλευρικοί Ανάλογα με την περίπτωση οι υπόλοιποι εκτός του

κύριου είναι ανεπιθύμητοι είτε επιθυμητοί και προσπαθούμε

αντίστοιχα να τους καταστείλουμε ή να τους ενισχύσουμε

Οι πλευρικοί λοβοί οφείλονται σε φαινόμενα καταστροφικής

ή εποικοδομητικής συμβολής των κυμάτων που εκπέμπονται

από τη κεραία Η κλίμακα στο διάγραμμα είναι σε deciBellκαι τα μεγέθη είναι κανονικοποιημένα

6 ΄Ετσι η μέγιστη τιμή θα είναι στα 0 db και οι υπόλοιπες

σε αρνητικές τιμές Τα διαγράμματα αυτά έχουν τέτοια βαθμονόμηση γιατί θέλουμε να εκφράζουν

ποιοτικά τη συμπεριφορά της κεραίας αλλά και γιατί οι τιμές έντασης ή ισχύος που θέλουμε να αναπα-

ραστήσουμε είναι πολλών τάξεων μεγέθους και θα θέλαμε πολύ μεγάλα διαγράμματα για κανονικές τιμές

΄Ενα πιο αναλυτικό διάγραμμα ακτινοβολίας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () και είναι διάγραμμα

μίας κεραίας Yagi-Uda Οι κύκλοι που φαίνονται στο διάγραμμα αντιστοιχούν στις τιμές -3 -10 -20

-30 και -40 dB και είναι χωρισμένοι σε τμήματα των 10 Οι κύκλοι αυτοί δείχνουν τα σημεία που

έχει μειωθεί το μέγεθος στο 50 στο 10 στο 1 στο 01 και στο 001 αντίστοιχα Η

γωνία των σημείων στα οποία ο κύριος λοβός τέμνει τον πρώτο κύκλο ονομάζεται γωνία ημίσειας ισχύος

Σχήμα 32 Καρτεσιανό διάγραμμα

Εκτός των πολικών διαγραμμάτων υπάρχουν και τα καρτεσιανά

τα οποία είναι η καρτεσιανή προβολή των πολικών Παράδειγμα

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () όπου φαίνεται το άνοιγμα μισής

ισχύος και το επίπεδο του πρώτου πλευρικού λοβού Επειδή τα

διαγράμματα ακτινοβολίας σχηματίζονται όπως προαναφέρθηκε

και αφορούν τη χωρική συμπεριφορά μίας κεραίας στο μακρινό

πεδίο οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε την κεραία ως σημείο

τα καρτεσιανά διαγράμματα δεν έχουν καλή αναπαράσταση της

πραγματικότητας Αλλά είναι αρκετά χρήσιμα στη μελέτη κεραιών

και στην καλύτερη εποπτεία των χαρακτηριστικών της από τα πολικά και για το λόγο αυτό σχεδιάζονται

και χρησιμοποιούνται κατά κόρον

6΄Ενα κανονικοποιημένο διάγραμμα έχει την ίδια μορφή με ένα μη κανονικοποιημένο με μόνη αλλαγή την κλίμακα και

ότι τα μεγέθη είναι ο λογάριθμος του λόγου της τιμής προς τη μέγιστη

18

Σχήμα 33 Διάγραμμα ακτινοβολίας Yagi-Uda κεραίας

Από ένα διάγραμμα ακτινοβολίας μπορούμε να βρούμε τα παρακάτω χαρακτηριστικά μίας κεραίας (ή

και παραμέτρους του διαγράμματος όπως αναφέρονται συχνά)

Σχήμα 34 Ισοτροπική και μη

bull Κατευθυντικότητα δείκτης της ικανότητα της κεραίας να

συγκεντρώσει την ακτινοβολία εκπομπής προς μία συγκεκριμένη

κατεύθυνση και βρίσκεται αναφορικά με μία ιδανική (ισοτροπική)

κεραία Η σύγκριση την όποιας κεραίας με μία ισοτροπική φαίνεται

στο διπλανό σχήμα () Τα εμβαδά είναι ίσα οπότε εκπέμπουν

και οι δύο την ίδια ισχύ αλλά στην επιθυμητή κατεύθυνση η μη

ισοτροπική στέλνει μεγαλύτερη ισχύ Η κατευθυντικότητα λοιπόν

είναι η διαφορά σε dB των δύο διαγραμμάτων στην κατεύθυνση

του μεγίστου Είναι αντιστρόφως ανάλογη με το εύρος του κυρίως

λοβού

bull Εύρος δέσμης μισής ισχύος οριζόντιου και κάθετου επιπέδου ( HPBW )

αναφέρεται στην ενεργό περιοχή κάλυψης της κεραίας και ορίζεται ώς η γωνία μεταξύ των σημείων

του κύριου λοβού όπου η ισχύς είναι μισή της μέγιστης ή σε dB 3dB κάτω από την μέγιστη και

προσδιορίζει την περιοχή που εμφανίζεται μέγιστη εκπομπή ενώ εκτός της περιοχής αυτής η ισχύς

μειώνεται πολύ γρήγορα

bull Εύρος δέσμης επίπεδο (dB) πρώτων σημείων μηδενισμού οριζόντιου καικάθετου επιπέδου (FNBW) ορίζεται ως η γωνία μεταξύ των δύο πρώτων μηδενισμών του

μεγέθους εκατέρωθεν του κύριου λοβού

bull Λόγος κύριου προς οπίσθιο λοβό (FB)

bull Επίπεδα (dB) και εύρος γωνιών πλευρικών λοβών και οπίσθιων λοβώνbull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με τον αμέσως μικρότερο λοβό του διαγράμ-ματος ακτινοβολίας

bull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με όλους τους υπόλοιπους του διαγράμματοςακτινοβολίας

bull Λόγος κύριου προς επόμενο μεγαλύτερο λοβό (Side-Lobe Level) ορίζεται ως ο λόγος

του μεγίστου του κυρίως λοβού προς τον αμέσως μικρότερο πλευρικό λοβό (SLL = MainLobeMaxSideLobe

dB)

και είναι ένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά μίας κεραίας Πολλές φορές αναφέρεται και ώς επίπεδο

πλευρικών λοβών

Τα χαρακτηριστικά μίας κεραίας μπορούν να υπολογιστούν και να περιγραφούν όχι μόνο βάσει του

19

διαγράμματος ακτινοβολίας της Μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της μετρώντας και υπολο-

γίζοντας κατάλληλα μεγέθη και κάνοντας χρήση γνωστών μαθηματικών τύπων

bull Συνολική ακτινοβολούμενη ενέργεια η συνολική (ή μέσος όρος) ενέργεια που ακτινο-

βολεί μία κεραία και υπολογίζεται από τον τύπο

Prad = Pav =

lsaquoS

~Wrad middot d~s =

lsaquoS

~Wav middot n middot da =1

2

lsaquoS

lt( ~E times ~H) middot d~s (31)

όπου Wrad=πυκνότητα ακτινοβολίας

bull ΄Ενταση ακτινοβολίας η ενέργεια που εκπέμπεται από μία κεραία ανά μονάδα στερεάς γωνίας

U = r2 middotWrad (32)

όπου r=απόσταση

bull Κατευθυντικότητα είναι ο λόγος της ακτινοβολούμενης ενέργειας σε μία συγκεκριμένη κα-

τεύθυνση προς το μέσο όρο εκπεμπόμενης ακτινοβολίας σε όλες τις κατευθύνσεις ΄Η αλλιώς

η ένταση προς μία συγκεκριμένη κατεύθυνση προς την αντίστοιχη τιμή της αν ακτινοβολούσε

ισοτροπικά

D =U

Uo=

4pU

Prad(33)

΄Αν δεν ορίζεται κατεύθυνση σαν κατευθυντικότητα αναφέρεται η μέγιστη κατευθυντικότητα μίας

κεραίας

bull Κέρδος αν και συνδέεται με την κατευθυντικότητα είναι μία παράμετρος της κεραίας που λαμ-

βάνει υπόψιν και την αποδοτικότητα της κεραίας αλλά και τις δυνατότητες κατευθυντικότητας

Απόλυτο κέρδος κεραίας (σε συγκεκριμένη κατεύθυνση) ορίζεται ο λόγος της έντασης ακτινοβο-

λίας προς την ένταση ακτινοβολίας που θα είχε στη συγκεκριμένη κατεύθυνση άν όλη η ενέργεια

εισόδου της κεραίας εκπεμπόταν ισοτροπικά

κέρδος = 4π middot ένταση ακτινοβολίας

συνολική εισερχόμενη ενέργεια= 4π

U(θ φ)

Pinputrarr

G = 4π U(θφ)Pinput (ιδανικής ισοτροπικής πηγής)

(34)

bull Απόδοση κεραίας είναι ένας δείκτης που λαμβάνει υπόψιν τις απώλειες ενέργειας από την

είσοδο στην έξοδο της κεραίας λόγω πολλών φαινομένων Γενικά η συνολική απόδοση μίας

κεραίας δίνεται από τον τύπο

eo = er middot ec middot ed (35)

όπου eo είναι η συνολική απόδοση er είναι η απόδοση λόγω απωλειών ανακλάσεων (λόγω κακής

προσαρμογής) (= 1minus|Γ|2) ec είναι η απόδοση λόγω απωλειών αγωγιμότητας ed είναι η απόδοση

που οφείλεται στο διηλεκτρικό και Γ ο συντελεστής ανάκλασης τάσης

bull Απόδοση δέσμης είναι μία παράμετρος ποιότητας μίας κεραίας και ορίζεται από το λόγο της

ενέργειας που ακτινοβολείται από τον κύριο λοβό της κεραίας (με το λοβό σε γωνία θ0) προς τη

συνολική

BE =

acute 2π0

acute θ0U(θ φ)sin(θ)dθdφacute 2π

0

acute π0U(θ φ)sin(θ)dθdφ

(36)

όπου θ1 είναι η γωνία μισής ισχύος ΄Αν θεωρήσουμε το θ1 στην κατεύθυνση του πρώτου μηδενι-

σμού τότε θα έχουμε το λόγο της ισχύος του κυρίως λοβού προς τη συνολική

bull Εύρος σαν εύρος μιας κεραίας ορίζεται το εύρος των συχνοτήτων (bandwidth) στις οποίες

μπορεί να λειτουργήσει αποδοτικά βάσει κάποιων χαρακτηριστικών της πχ να έχει εύρος κύριου

λοβού εντός συγκεκριμένων ορίων διατηρώντας μία ελάχιστη τιμή SLL

20

33 Κατηγορίες κεραιών

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω οι κεραίες χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με τα μορ-

φολογικά αλλά και λειτουργικά χαρακτηριστικά τους Βάσει του τρόπου με τον οποίο εκπέμπουν ή

λαμβάνουν ή αλλιώς βάσει του διαγράμματος ακτινοβολίας τους χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες

bull Ισοτροπικές μία ισοτροπική κεραία ορίζεται ως μία υποθετική (ιδανική) κεραία η οποία ακτινο-

βολεί το ίδιο προς όλες τις κατευθύνσεις Δεν έχει κάποια πραγματική εφαρμογή στα τηλεπικοι-

νωνιακά συστήματα γιατί η ισχύς της εκπέμπεται προς όλες τις κατευθύνσεις το ίδιο προκαλώντας

μεγάλες απώλειες ισχύος σε ανεπιθύμητες κατευθύνσεις ΄Εχει μόνο θεωρητική αξία στη μελέτη

κεραιών και στον ορισμό κάποιων παραμέτρων των κεραιών όπως το κέρδος που είδαμε παραπάνω

bull Κατευθυντικές μία κατευθυντική κεραία ορίζεται ως η κεραία που έχει την ικανότητα να

εκπέμπει ή να λαμβάνει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αποτελεσματικότερα προς κάποιες κατευ-

θύνσεις Είναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κεραίες και η εξέλιξη αυτών είναι οι έξυπνες

κεραίες που ανάλογα με τις ανάγκες της κάθε συσκευής και τα χαρακτηριστικά του χώρου που

βρίσκεται μπορούν να αλλάξουν τη γωνία μέγιστης εκπομπής κάνοντας βέλτιστη χρήση της α-

κτινοβολούμενης ισχύος της

bull Πανκατευθυντικές μία πανκατευθυντική κεραία είναι μία κεραία η οποία ακτινοβολεί σαν

κατευθυντική εκτός από ένα επίπεδο στο οποίο εκπέμπει ή λαμβάνει ισοτροπικά Η χρήση τους

είναι κυρίως στα μέσα μαζικής επικοινωνίας όπου χρειάζεται κάλυψη του χώρου 360 μοιρών στο

οριζόντιο επίπεδο αλλά πολύ μικρής γωνίας στο κάθετο

Βάσει των μορφολογικών χαρακτηριστικών τους χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες Η κάθε

κατηγορία έχει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της που την καθιστούν κατάλληλη για κάποια

εφαρμογή και ακατάλληλη για κάποια άλλη Παρακάτω αναφέρονται οι κατηγορίες αυτές των κεραιών

με τα βασικά χαρακτηριστικά της κάθε μίας

bull Κεραίες σύρματος Είναι απλές κεραίες κατασκευασμένες από αγώγιμο υλικό συνήθως

κυκλικής διατομής Πολλές φορέα σχηματίζονται από πολλούς αγωγούς κατάλληλα συζευγμένους

μεταξύ τους σε πλέγματα διαφόρων σχημάτων που είτε δημιουργούν μία επιφάνεια είτε μία γραμμική

κεραία Η απλούστερη γραμμική κεραία είναι η κεραία διπόλου τα χαρακτηριστικά της οποίας είναι

ανάλογα με το σχετικό μήκος της ως προς το μήκος κύματος της ακτινοβολίας για την οποία προορίζε-

ται7 Οι συγκεκριμένες είναι πολύ απλές στην κατασκευή πολύ συχνά απλά συρμάτινες Αποτελείται

από ένα δίπολο του οποίου (συνήθως) η τροφοδοσία8είναι στη μέση Πλεονεκτήματα των κεραιών

αυτών είναι το κόστος το μέγεθος και η δυνατότητα κάλυψης μεγάλης περιοχής συχνοτήτων ενώ

έχουν το μειονέκτημα της χαμηλής απόδοσης λόγω των διαστάσεων τους Καλύτερα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης έχουν οι διπολικές κεραίες των οποίων το μήκος είναι της τάξης του μήκους κύματος

Σχήμα 35 Κεραία διπόλου

Μία κεραία σύρματος χαρακτηρίζεται ως rdquoλεπτήrdquoόταν η διάμε-

τρος του αγωγού είναι μικρότερη από 001λ Ανάλογα με το σχήμα

της χαρακτηρίζεται ως ευθύγραμη κεραία V ή πτυσσόμενη Στο

διπλανό σχήμα () φαίνονται μία ευθύγραμμη και μία πτυσσόμενη

διπολική κεραία Στις πτυσσόμενες σημαντική είναι η γωνία που

σχηματίζουν οι βραχίονες τους έχοντας βρεθεί ότι η μέγιστη

κατευθυντικότητα επιτυγχάνεται για γωνία α = 60λh

+ 380

όπου h είναι το μήκος του βραχίονα και λ το μήκος κύματος τη

ακτινοβολίας και ότι Dmax = 12 + 23hλ9

7Μία κεραία χαρακτηρίζεται ως ηλεκτρικά μικρή όταν οι διαστάσεις της είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος

της ακτινοβολίας8Με τον όρο τροφοδοσία εννοούμε το υπόλοιπο σύστημα το οποίο τροφοδοτεί η κεραία με το σήμα που λαμβάνει στην

περίπτωση κεραίας λήψης ή από το οποίο τροφοδοτείται με το σήμα που θα εκπέμψει στην περίπτωση κεραίας εκπομπής

9Η σχέση αυτή είναι εμπειρική και ισχύει για 05 lt h

λ lt 3

21

Σχήμα 36 Κεραία Yagi-Uda

Μία εξέλιξη των παραπάνω κεραιών είναι οι κεραίες Yagi-Udaπου ένα διάγραμμα ακτινοβολίας τέτοιας κεραίας παρατέθηκε

παραπάνω () Είναι ευθύγραμμες διπολικές κεραίες που α-

ποτελούνται από πέραν του ενός δίπολα τα οποία όμως δεν

τροφοδοτούνται όλα Τα μη τροφοδοτούμενα δίπολα ονομάζονται

παρασιτικά και τροφοδοτούνται επαγωγικά από τα υπόλοιπα Οι

κεραίες αυτές παρουσιάζουν αυξημένη κατευθυντικότητα σχετικά

με τις μη παρασιτικές κεραίες διπόλων Η πρώτη τέτοια κεραία

κατασκευάστηκε το 1926 και αποτελούταν από τρία δίπολα ένα

ενεργό και δύο παρασιτικά Στην περίπτωση που το παρασιτικό

δίπολο έχει μεγαλύτερο μήκος από του ενεργού ονομάζεται

ανακλαστήρας ενώ αν έχει μικρότερο ονομάζεται κατευθυντήρας

Μία γενική μορφή τέτοιας κεραίας φαίνεται στο διπλανό σχήμα με LR το μήκος του ανακλαστήρα και

LD το μήκος του κατευθυντήρα

bull Στοιχειοκεραίες Μία εξέλιξη των συρμάτινων κεραιών είναι οι στοιχειοκεραίες Οι

στοιχειοκεραίες αποτελούνται από πολλές κεραίες διπόλων τα στοιχεία τα οποία ενώνονται όλα σε

μία κοινή τροφοδοσία και αυτή είναι η βασική τους διαφορά από τις Yagi-Uda που έχουν παρασιτικά

στοιχεία και ο λόγος που οι τελευταίες δε θεωρούνται στοιχειοκεραίες Συστοιχείες λοιπόν πολλών

κεραιών φτιάχνουν τις στοιχειοκεραίες Ανάλογα με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της συστοιχίας

υπάρχουν κάποια είδη στοιχειοκεραιών όπως είναι οι γραμμικές (μία συστοιχία σε ευθεία γραμμή) και

οι επίπεδες (συστοιχείες συστοιχείων) Λόγω της ταυτόχρονης χρήσης πολλών κεραιών μπορούν να

συνδυάσουν τα χαρακτηριστικά τους δίνοντας δυνατότητα πολύπλοκων κατευθυντικών διαγραμμάτων

καθιστώντας τες κατάλληλες για πολλές εφαρμογές Συγκριτικά με μία κεραία μεγάλου μήκους που

θα έχει τα ίδια κατευθυντικά χαρακτηριστικά παρουσιάζει το πλεονέκτημα της εύκολης τροφοδο-

σίας της μηχανικής αντοχής και του μικρού κόστους εγκατάστασης και λειτουργίας Τέλος με

κατάλληλη τροφοδοσία του κάθε στοιχείου της μπορούμε να αλλάξουμε τα κατευθυντικά χαρακτηρι-

στικά της ΄Εχουν πολλές γεωμετρικές μορφές αλλά και είδη που θα αναφερθούν σε επόμενη παράγραφο

bull Κεραίες βρόχου ή πλαισίου Μία κεραία βρόχου αποτελείται από έναν κλειστό αγωγό σε

σχήμα βρόχου (ή και βρόχων) ο οποίος τροφοδοτείται σε ένα σημείο του Χωρίζονται σε κεραίες μικρού

και μεγάλου βρόχου συγκριτικά με το μήκος κύματος στο οποίο χρησιμοποιούνται10

Οι μικρού

βρόχου έχουν χαμηλή απόδοση και χρησιμοποιούνται κατά κόρον σε δέκτες χαμηλών συχνοτήτων

Εκτός από τους ραδιοφωνικούς δέκτες των αυτοκινήτων στους οποίους γίνεται μεγάλη χρήση των

κεραιών μικρού βρόχου το μεγαλύτερο ποσοστό των δεκτών AM χρησιμοποιούν τέτοιες κεραίες

Οι μεγάλου βρόχου έχουν ευρεία χρήση στους δέκτες VHF και UHF έχοντας και το επιπλέον

χαρακτηριστικό της μεταβλητής περιφέρειας δίνοντας δυνατότητα μεγαλύτερου εύρους συχνοτήτων

Γενικά οι κεραίες βρόχου είναι κεραίες με μεγάλη κατευθυντικότητα κάτι που τις κάνει ιδανικές σε

εφαρμογές εύρεσης κατεύθυνσης σήματος

bull Ελικοειδής κεραίες Μία ελικοειδής κεραία αποτελείται από έναν αγωγό που έχει τη μορφή

έλικας στον οποίο η τροφοδοσία είναι στο ένα του άκρο Αποτελεί συνδυασμό κεραίας βρόχου και

γραμμικής κεραίας οπότε μπορεί να εκπέμπει με δύο τρόπους (ρυθμούς) αξονικά και κάθετα στον άξονα

της έλικας κάτι που της δίνει βελτιωμένα χαρακτηριστικά συγκριτικά με τις δύο αυτές κατηγορίες

Χρησιμοποιείται κατά κόρον όπου απαιτείται κυκλική πόλωση σήματος σαν πομπός ή σε σήματα που

έχουν κυκλική πόλωση σαν δέκτης και έχει αρκετά μεγάλο εύρος ζώνης συχνοτήτων Ανάλογα με τα

χαρακτηριστικά που πρέπει να έχει μία ελικοειδής κεραία μπορεί να είναι ομοιόμορφη (όλες οι έλικες

ίδια διάμετρο) αυξανόμενης ελαττούμενης και αυξο-ελαττούμενης διαμέτρου ελίκων

bull Δικωνικές κεραίες ΄Αν δύο V ενωθούν κατακορυφήν σχηματίζεται μία δικωνική κεραία οι

οποίες έχουν αυξημένο εύρος συχνοτήτων Πολλές δικωνικές κεραίες έχουν τη δυνατότητα μεταβολής

10Σαν κεραία μικρού βρόχου θα χαρακτηριστεί η κεραία της οποίας η περιφέρεια θα είναι ίση ή μικρότερη από το ένα

δέκατο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας

22

του μήκους του βραχίονα τους δίνοντας ακόμα μεγαλύτερο εύρος Αν μία από τις δύο V κεραίες

αντικατασταθεί από μία αγώγιμη επιφάνεια σε σχήμα δίσκου έχουμε τη δισκωνική κεραία στην οποία

ο δίσκος λειτουργεί ως ανακλαστήρας Είναι κεραίες μικρής κατευθυντικότητας και χαμηλού κέρδους

και χρησιμοποιούνται πολύ σαν κεραίες ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών εκπομπών

bull Σπειροειδής κεραίες Οι σπειροειδής κεραίες είναι κεραίες με μεγάλο εύρος ζώνης

συχνοτήτων και μεγάλης κατευθυντικότητας Αποτελούνται από μία ή δύο αγωγούς που έχουν σχήμα

σπείρας και όσο μικρότερη γωνία ανοίγματος σπείρας έχουν τόσο μεγαλύτερη κατευθυντικότητα

Μπορεί να είναι επίπεδες ή κωνικές και η πόλωση του σήματος που λαμβάνουν ή εκπέμπουν είναι

ανάλογη με τη φορά των σπειρών Το εύρος συχνοτήτων τους δίνεται από το λόγο μεγαλύτερης προς

μικρότερης διαμέτρου άν και στην πραγματικότητα είναι λίγο μικρότερο του λόγου αυτού Μία αρκετά

διαδεδομένη σπειροειδής κεραία είναι η rdquoσπειροειδής του Αρχιμήδηrdquoη οποία αποτελείται από δύο σπε-

ίρες με r1 = r0φ και r2 = r0(φminusπ) οι οποίες συνήθως κατασκευάζονται πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα11

bull Κεραίες χοάνης Οι κεραίες χοάνης αποτελούνται από έναν αγωγό ο οποίος είναι από το

ένα άκρο του ανοιχτός και διεγείρεται από το άλλο του άκρο Με σωστή ρύθμιση έχουν μεγαλύτερη

απόδοση από τις συρμάτινες Ανάλογα με το σχήμα του αγωγού μπορεί να υπάρχουν αρκετά είδη

τέτοιων κεραιών τρία εκ των οποίων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα () Η κατευθυντικότητα της

είναι ανάλογη της γωνίας ανοίγματος της Στην πράξη συναντούμε ελάχιστες κεραίες χοάνης μόνες

τους αλλά σε συνδυασμό με έναν ανακλαστήρα έχουν πολύ διαδεδομένη χρήση λόγω της πολύ μεγάλης

κατευθυντικότητας που προσφέρουν ειδικά στις περιπτώσεις που ο ανακλαστήρας είναι παραβολικός

όπου υπάρχει η δυνατότητα παραγωγής πολύ στενής δέσμης υψηλού κέρδους και χαμηλού θορύβου

Χρησιμοποιούνται πολύ στις δορυφορικές επικοινωνίες και η πιο συνηθισμένη τους μορφή είναι τα umlπιάταrsquo

που χρησιμοποιούνται για τη λήψη δορυφορικών σημάτων

Σχήμα 37 Κεραίες χοάνης α)τομέας β)πυραμοειδής και γ)κωνική

bull Λογαριθμικές περιοδικές κεραίες Είναι κεραίες των οποίων τα μορφολογικά χα-

ρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με την απόσταση από την αρχή της κεραίας Υπάρχει ένα

επαναλαμβανόμενο στοιχείο κεραίας το οποίο μεγαλώνει όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της

κεραίας Μπορεί να είναι μία πλάκα με οδοντώσεις το μέγεθος των οποίων μεταβάλλεται ένα σύρμα

11Οι κεραίες που είναι κατασκευασμένες πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα ή αλλιώς σε μικροταινίες ανήκουν και στην

κατηγορία των μικροταινιακών κεραιών πολύ διαδεδομένη στις ηλεκτρονικές φορητές συσκευές που λειτουργούν στην

περιοχή των μικροκυμάτων (λόγω διαστάσεων κεραιών είναι ιδανικές για την περιοχή αυτή)

23

Σχήμα 38 Λογαριθμική περιοδική κεραία

το οποίο διπλώνεται κατάλληλα και το μέγεθος της κάθε δίπλωσης μεταβάλλεται ή ακόμα και από

δίπολα το μήκος των οποίων μεταβάλλεται Πολλές κεραίες που ανήκουν σε παραπάνω κατηγορίες είναι

λογαριθμικές μπορεί να είναι λογαριθμικές αν η μεταβολή των επαναλαμβανόμενων στοιχείων ακολουθεί

το συγκεκριμένο πρότυπο Μία τέτοια φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () η οποία ανήκει στην

κατηγορία των στοιχειοκεραίων Λόγω των επαναλαμβανόμενων στοιχείων των οποίων συνδυάζουν τα

χαρακτηριστικά μπορούν να έχουν πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων και συγκεκριμένα εύρος μίας τάξης

μεγέθους επιτυγχάνεται εύκολα και μπορούν να έχουν και αρκετά μεγάλη κατευθυντικότητα Βρίσκουν

πολλές εφαρμογές στις επικοινωνίες υψηλών συχνοτήτων και ειδικά στα τηλεοπτικά σήματα αφού με

μία κεραία μπορεί κάποιος να λαμβάνει ικανοποιητικά όλα τα διαθέσιμα κανάλια χωρίς καμία προσαρμογή

34 Στοιχειοκεραίες

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω η μορφή του διαγράμματος εκπομπής και λήψης των κεραιών

εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της κεραίας Σε πολλές εφαρμογές απαιτούνται κεραίες μεγάλου

κέρδους ή αλλιώς μεγάλης κατευθυντικότητας Μία κεραία για να έχει μεγάλη κατευθυντικότητα

θα πρέπει να έχει πολύ μεγάλο μέγεθος Το πρόβλημα αυτό λύνεται φτιάχνοντας σύνθετες κεραίες

Κεραίες που αποτελούνται από μικρότερες κεραίες είτε όμοιες μεταξύ τους είτε ανόμοιες Τέτοιες

συστοιχίες κεραιών όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ονομάζονται στοιχειοκεραίες Το κάθε στοιχείο

μίας στοιχειοκεραίας μπορεί να είναι οποιασδήποτε μορφής κεραία (σύρματος οπής κλπ) με βασικό

χαρακτηριστικό όλα τα στοιχεία να έχουν κοινή τροφοδοσία Το συνολικό πεδίο θα είναι το διανυ-

σματικό άθροισμα των πεδίων κάθε στοιχείου ξεχωριστά Οπότε μπορούμε να έχουμε το επιθυμητό

πεδίο φτιάχνοντας την κεραία μας έτσι ώστε στα σημεία που θέλουμε μεγάλο κέρδος να συμβάλουν

εποικοδομητικά τα πεδία των στοιχείων της κεραίας και στα σημεία που δεν θέλουμε να ακτινοβολεί να

έχουμε καταστροφική συμβολή

Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας θα εξαρτάται από τους εξείς παράγοντες

bull Τη γεωμετρία της στοιχειοκεραίας ( γραμμικήκυκλικήορθογώνια σφαιρική κλπ)

bull Την απόσταση μεταξύ των στοιχείων της κεραίας

bull Την ένταση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

bull Τη φάση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

24

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

For j=1 to mχρήση των microi και λi για τον υπολογισμό της πιθανότητας Piεπιλογή της SIV Hi(j) με πιθανότητα sim PiΑν έχει επιλεχθεί το Hi(j)

Αντικατάσταση του Hi(j) με ένα τυχαία δημιουργημένο SIVend

end΄Οπως και παραπάνω ο ελιτισμός μπορεί να υλοποιηθεί θέτοντας πιθανότητα με-

τάλλαξης μηδενική για την περιοχή με τη βέλτιστη λύση p Από τον παραπάνω

ορισμό βλέπουμε ότι πρέπει η μετάλλαξη να έχει κατάλληλους περιορισμούς ώστε

να καταλήγει σε HSI που να υπακούν στους περιορισμούς των SIVs

Ορισμός 9 Μία συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος Ψ ( m n λ μ Ω Μ) Hn rarr Hn

είναι μία εξάδα που τροποποιεί το οικοσύστημα από μία επανάληψη στην επόμενη

Η συνάρτηση τροποποίησης του οικοσυστήματος μπορεί να γραφεί ως εξής

ψ = λn micron Ωn HSIn Mn HSI (214)

Η συνάρτηση μετάβασης οικοσυστήματος λοιπόν ξεκινάει υπολογίζοντας τους ρυθ-

μούς μετανάστευση προς και από μία περιοχή Εν συνεχεία λαμβάνει χώρα η τρο-

ποποίηση των περιοχών ακολουθούμενη από έναν επαναϋπολογισμό των HSI

Τέλος εφαρμόζεται μετάλλαξη και ξαναϋπολογίζονται οι HSI κάθε περιοχής

Ορισμός 10 ΄Ενας BBO αλγόριθμος BBO(Ι Ψ Τ) είναι μία τριάδα που προτείνει μία λύση σε

ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης I empty rarr Hn HSIn είναι μία συνάρτηση η οποία

παράγει ένα αρχικό οικοσύστημα περιοχών και υπολογίζει τις αντίστοιχες HSI Ψείναι μία συνάρτηση τροποποίησης οικοσυστήματος όπως ορίστηκε παραπάνω και

T Hn rarr true false είναι ένα κριτήριο τερματισμού του αλγόριθμου

Η συνάρτηση Ι μπορεί να υλοποιηθεί με μία γεννήτρια τυχαίων αριθμών ευρετι-

κών λύσεων στο πρόβλημα βελτιστοποίησης ή με οιαδήποτε άλλη διαδικασία που

να εξαρτάται από το πρόβλημα Το Τ μπορεί να εξαρτάται από τον αριθμό των

Ψ επαναλήψεων το HSI της βέλτιστης περιοχής ή οποιοδήποτε άλλο κριτήριο

βάση του προβλήματος Οπότε ο αλγόριθμος BBO μπορεί να περιγραφεί από το

παρακάτω

Ι

όσο δεν ισχύει το Τ

Ψ

end

Μία απλουστευμένη περιγραφή του BBO αλγόριθμου θα μπορούσε να είναι η παρακάτω

1 Αρχικοποίηση των παραμέτρων του αλγορίθμου Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρεθεί μία μέθοδος

χαρτογράφησης των λύσεων του προβλήματος σε SIVs και περιοχές σύμφωνα με το πρόβλημα

Ακόμα αρχικοποιούμε ή ορίζουμε το μέγιστο αριθμό ειδών Smax τους μέγιστους ρυθμούς μετα-

νάστευσης Ε και Ι το μέγιστο ρυθμό μετάλλαξης mmax και μία παράμετρο ελιτισμού Πρέπει να

σημειωθεί ότι ο μέγιστος αριθμός ειδών και οι μέγιστοι ρυθμοί μετανάστευσης είναι αλληλοεξαρ-

τώμενα μεγέθη Οπότε αν όλα αλλάζουν κατά το ίδιο ποσοστό η συμπεριφορά του ΒΒΟ δεν θα

αλλάζει Αυτό συμβαίνει γιατί άν τα Ε Ι και Smax αλλάξουν οι ρυθμοί μετανάστευσης μ λ και ο

αριθμός των ειδών S θα αλλάξουν κατά την ίδια σχετική ποσότητα για όλες τις περιοχές ή λύσεις

2 Αρχικοποίηση μίας τυχαίας ομάδας περιοχών όπου κάθε περιοχή θα αντιστοιχεί σε πιθανή λύση

Αυτό είναι η υλοποίηση του συνόλου Ι

3 Για κάθε περιοχή καθορισμός των HSI για τον αριθμό ειδών S και των ρυθμών μετανάστευσης μ

και λ

15

4 Χρήση βάση πιθανοτήτων των ρυθμών μετανάστευσης για την τροποποίηση των μη ελιτίστικων

περιοχών και επαναϋπολογισμό των HSI αυτών

5 Για κάθε περιοχή ενημέρωση της πιθανότητας των αριθμών των ειδών βάση της εξίσωσης

Στη συνέχεια μετάλλαξη των μη ελιτίστικων περιοχών βάση των πιθανοτήτων τους και ξανά

υπολογισμός των HSI

6 Επιστροφή στο βήμα 3 για την επόμενη επανάληψη της διαδικασίας Η διαδικασία μπορεί

να σταματήσει μετά από έναν προκαθορισμένο αριθμό επαναλήψεων ή με την επίτευξη μίας

επιθυμητής λύσης Αυτή είναι η υλοποίηση του κριτηρίου τερματισμού Τ

Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι μετά από κάθε βήμα που αλλάζει κάτι σε μία περιοχή ή λύση πρέπει να

επαληθεύεται κάθε περιοχή ως πιθανή λύση του προβλήματος Αν όχι πρέπει να υπάρχει μία διαδικασία

η οποία να την τροποποιεί ώστε να γίνεται πιθανή λύση

Τέλος επειδή ένας τέτοιος αλγόριθμος θα συγκριθεί στη συνέχεια με τους υπόλοιπους που αναφέρ-

θηκαν παραπάνω είναι χρήσιμο να γίνουν πιο διακριτές οι διαφορές τους Η πρώτη τέτοια διαφορά είναι

ότι στους BBO αλγόριθμους δεν υπάρχει η έννοια της αναπαραγωγής ή των γενεών απογόνων όπως

υπάρχουν στους γενετικούς και τους εξελικτικούς αλγόριθμους Δεν δημιουργούνται καινούριες λύσεις

από κύκλο σε κύκλο αλλά εξελίσσονται οι υπάρχουσες Για τον ίδιο λόγο διαφέρει και από τους ACO(Ant Colony Optimization) αλγόριθμους Σαν λογική είναι πιο κοντά στους PSO (Particle SwarmOptimization) και DE (Differential Evolution) αλγόριθμους μιας και αυτοί διατηρούν και εξελίσσουν

τις υπάρχουσες λύσεις τους κάνοντας την κάθε λύση να μαθαίνει από τους γείτονες και να προσαρ-

μόζεται καθώς προχωράει ο αλγόριθμος Οι PSO αντιπροσωπεύουν κάθε λύση σαν ένα σημείο στο

χώρο και τις αλλαγές μεταξύ των επαναλήψεων του αλγόριθμου με διάνυσμα ταχύτητας ΄Ομως στους

αλγόριθμους αυτούς δεν αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η ταχύτητα των σημείων έχοντας αποτέλεσμα

τη μεταβολή των λύσεων Στους DE αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η αλλαγή αυτή γίνεται βάση των

διαφορών μεταξύ άλλων λύσεων Ακόμα οι DE δεν βασίζεται σε βιολογικές αρχές Οι BBO αλγόριθμοι

μπορούν να διαχωριστούν από τους DE και PSO στο χαρακτηριστικό ότι αλλάζουν άμεσα τις λύσεις

τους ανταλλάσσοντας χαρακτηριστικά μεταξύ τους μέσω της μετανάστευσης

16

Κεφάλαιο 3

Κεραίες

31 Γενικά

Με τον όρο umlκεραίαrsquo αναφερόμαστε σε μία διάταξη που είναι σχεδιασμένη να δέχεται ηκαι να εκπέμπει

ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Είναι μία διάταξη η οποία μετατρέπει ηλεκτρομαγνητική ενέργεια που

οδεύει σε μια γραμμή μεταφοράς ή ένα κυματοδηγό σε ηλεκτρομαγνητικό κύμα στο χώρο και viceversa Οι κεραίες είναι είτε παθητικές

1 είτε τροφοδοτούμενες

2

Λόγω της μεγάλης ανάπτυξης των τηλεπικοινωνιών και των πολλών συστημάτων που χρησιμοποιούν-

ται3 έχει αναπτυχθεί μια τεράστια ποικιλία κεραιών ώστε να καλύπτουν τις ειδικές ανάγκες διαφόρων

εφαρμογών και να διευκολύνεται η κατασκευή και ένταξή τους στο φυσικό και δομημένο περιβάλλον

Η μεγάλη αυτή ποικιλία συστημάτων κεραιών επιβάλει τον διαχωρισμό τους σε κατηγορίες βάσει της

μορφής τους και της αρχής λειτουργίας τους Αλλά σε όποια κατηγορία και να ανήκει μία κεραία έχει

κάποια βασικά χαρακτηριστικά

32 Χαρακτηριστικά κεραιών

Σε μία κεραία αυτό που μας ενδιαφέρει είναι το πώς εκπέμπει ή λαμβάνει στο χώρο ή αλλιώς οι ιδιότητες

ακτινοβολίας (μακρινού πεδίου4) Η γραφική παράσταση των ιδιοτήτων αυτών γίνεται με το διάγραμμα

ακτινοβολίας της Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας κεραίας είναι δηλαδή η τρισδιάστατη γραφική

παράσταση των ιδιοτήτων ακτινοβολίας της κεραίας Βρίσκεται με μετρήσεις κάποιου μεγέθους με

τη μετατόπιση μίας πρόμπας γύρω από την κεραία Παριστάνει τη γωνιακή κατανομή του μέτρου της

έντασης του πεδίου της πυκνότητας ισχύος ή της έντασης ακτινοβολίας Επειδή θέλουμε το διάγραμμα

ακτινοβολίας να δίνει τη γενική συμπεριφορά της κεραίας σε οποιοδήποτε σήμα μπορεί να λάβει ή να

εκπέμψει οι τιμές είναι κανονικοποιημένες5

Τα διαγράμματα ακτινοβολίας σχεδιάζονται και για

την ικανότητα εκπομπής και λήψης μίας κεραίας και για συγκεκριμένη είναι τα ίδια (εκπομπής και λήψης)

Από τα διαγράμματα ακτινοβολίας βλέπουμε σε ποια σημεία του χώρου η κεραία εκπέμπει (ή αν

1Αποτελούνται μόνο από παθητικά στοιχεία απλά μετατρέπουν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα σε ηλεκτρομαγνητική ενέρ-

γεια χωρίς κάποια επεξεργασία του σήματος2΄Εχουν και ενεργά στοιχεία τα οποία μπορούν να κάνουν ενίσχυση σήματος ή ακόμα και επεξεργασία σήματος όπως

πχ μεταβολή συχνότητας3Από τις πιο μικρές ηλεκτρονικές συσκευές πχ πομποί GPS (Global Positioning System) μέχρι μεγάλα συστήματα

πχ δορυφόροι οπουδήποτε εφαρμόζεται ασύρματη επικοινωνία απαραίτητο εξάρτημα είναι μία κεραία4Ο χώρος γύρω από μία κεραία ως προς την κεραία χωρίζεται σε μακρινό και κοντινό πεδίο Στο κοντινό πεδίο

το διάγραμμα επηρεάζεται έντονα από τις επαγωγικές και χωρητικές συνιστώσες που εμφανίζονται στην κεραία κατά τη

ροή του ρεύματος ενώ στο μακρινό όχι και γι΄ αυτό το διάγραμμα του μακρινού πεδίου είναι σταθεροποιημένο ενώ του

κοντινού όχι Τα διαγράμματα που δίνουν οι κατασκευαστές είναι διαγράμματα μακρινού πεδίου Διάκριση μεταξύ μακρινού

και κοντινού πεδίου γίνεται βάσει της απόστασης από την κεραία όπου για R gt 2lowastD2

λ θεωρούμε μακρινό πεδίο όπου λ

είναι το μήκος κύματος D η διάμετρος της κεραίας και R η απόσταση από αυτήν5Λόγω των κανονικοποιημένων τιμών του διαγράμματος ακτινοβολίας το διάγραμμα πυκνότητας ισχύος και έντασης

ακτινοβολίας είναι ταυτόσημα

17

είναι διάγραμμα λήψης λαμβάνει) τη μεγαλύτερη και σε ποια τη μικρότερη ισχύ Το τρισδιάστατο

της περιγραφής επιτυγχάνεται με το συνδυασμό δύο διαγραμμάτων το κάθετο (κάθετη τομή στον

τρισδιάστατο χώρο) και το οριζόντιο (οριζόντια τομή) Η κεραία θεωρείται στο κέντρο του διαγράμματος

και το διάγραμμα συνδέει στην ουσία τον χώρο με την ακτινοβολούμενη ισχύ ή με την ικανότητα

λήψης ισχύος για διάγραμμα εκπομπής και λήψης αντίστοιχα και είναι όπως προαναφέρθηκε η

γραφική αναπαράσταση της συμπεριφοράς της κεραίας στο χώρο Μας δείχνει σε ποιες περιοχές του

χώρου εκπέμπει και πόση ισχύ ή αντίστοιχα από ποιες περιοχές του χώρου και πόση ισχύ μπορεί

να λάβει η κεραία Είτε επειδή δε θέλουμε σπατάλη ισχύος σε rdquoαδιάφορεςrdquoπεριοχές είτε επειδή δεν

θέλουμε να παρεμβάλλουμε δημιουργώντας θόρυβο σε άλλες κεραίες κατά την εκπομπή και είτε επειδή

θέλουμε να λαμβάνουμε τη μέγιστη δυνατή ισχύ αν ξέρουμε από που λαμβάνουμε και να μειώνουμε

το θόρυβο από τις άλλες πηγές τα διαγράμματα ακτινοβολίας είναι πολύ χρήσιμα στο σχεδιασμό μίας

κεραίας Τέλος μία άλλη χρήση είναι η σύγκριση κεραιών είτε γενικά είτε για συγκεκριμένες εφαρμογές

Σχήμα 31 Διάγραμμα ακτινοβολίας

Στο διπλανό σχήμα () φαίνεται ένα τυπικό και αρκετά

απλοποιημένο διάγραμμα ακτινοβολίας Σε αυτό διακρίνουμε

τον κύριο λοβό που είναι το τμήμα η μεγαλύτερη κλειστή

καμπύλη που διακρίνεται από το γεγονός ότι έχει τη μέγιστη

τιμή στο διάγραμμα Συνήθως τα διαγράμματα ακτινοβολίας

είναι πολικά όπως αυτό του σχήματος 31 με βαθμονόμηση

από 0μέχρι 360

και ο κύριος λοβός στη γενική περίπτωση

τοποθετείται στις 0 Ο λοβός που βρίσκεται στις 180

ονο-

μάζεται οπίσθιος λοβός και οι υπόλοιποι λοβοί ονομάζονται

πλευρικοί Ανάλογα με την περίπτωση οι υπόλοιποι εκτός του

κύριου είναι ανεπιθύμητοι είτε επιθυμητοί και προσπαθούμε

αντίστοιχα να τους καταστείλουμε ή να τους ενισχύσουμε

Οι πλευρικοί λοβοί οφείλονται σε φαινόμενα καταστροφικής

ή εποικοδομητικής συμβολής των κυμάτων που εκπέμπονται

από τη κεραία Η κλίμακα στο διάγραμμα είναι σε deciBellκαι τα μεγέθη είναι κανονικοποιημένα

6 ΄Ετσι η μέγιστη τιμή θα είναι στα 0 db και οι υπόλοιπες

σε αρνητικές τιμές Τα διαγράμματα αυτά έχουν τέτοια βαθμονόμηση γιατί θέλουμε να εκφράζουν

ποιοτικά τη συμπεριφορά της κεραίας αλλά και γιατί οι τιμές έντασης ή ισχύος που θέλουμε να αναπα-

ραστήσουμε είναι πολλών τάξεων μεγέθους και θα θέλαμε πολύ μεγάλα διαγράμματα για κανονικές τιμές

΄Ενα πιο αναλυτικό διάγραμμα ακτινοβολίας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () και είναι διάγραμμα

μίας κεραίας Yagi-Uda Οι κύκλοι που φαίνονται στο διάγραμμα αντιστοιχούν στις τιμές -3 -10 -20

-30 και -40 dB και είναι χωρισμένοι σε τμήματα των 10 Οι κύκλοι αυτοί δείχνουν τα σημεία που

έχει μειωθεί το μέγεθος στο 50 στο 10 στο 1 στο 01 και στο 001 αντίστοιχα Η

γωνία των σημείων στα οποία ο κύριος λοβός τέμνει τον πρώτο κύκλο ονομάζεται γωνία ημίσειας ισχύος

Σχήμα 32 Καρτεσιανό διάγραμμα

Εκτός των πολικών διαγραμμάτων υπάρχουν και τα καρτεσιανά

τα οποία είναι η καρτεσιανή προβολή των πολικών Παράδειγμα

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () όπου φαίνεται το άνοιγμα μισής

ισχύος και το επίπεδο του πρώτου πλευρικού λοβού Επειδή τα

διαγράμματα ακτινοβολίας σχηματίζονται όπως προαναφέρθηκε

και αφορούν τη χωρική συμπεριφορά μίας κεραίας στο μακρινό

πεδίο οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε την κεραία ως σημείο

τα καρτεσιανά διαγράμματα δεν έχουν καλή αναπαράσταση της

πραγματικότητας Αλλά είναι αρκετά χρήσιμα στη μελέτη κεραιών

και στην καλύτερη εποπτεία των χαρακτηριστικών της από τα πολικά και για το λόγο αυτό σχεδιάζονται

και χρησιμοποιούνται κατά κόρον

6΄Ενα κανονικοποιημένο διάγραμμα έχει την ίδια μορφή με ένα μη κανονικοποιημένο με μόνη αλλαγή την κλίμακα και

ότι τα μεγέθη είναι ο λογάριθμος του λόγου της τιμής προς τη μέγιστη

18

Σχήμα 33 Διάγραμμα ακτινοβολίας Yagi-Uda κεραίας

Από ένα διάγραμμα ακτινοβολίας μπορούμε να βρούμε τα παρακάτω χαρακτηριστικά μίας κεραίας (ή

και παραμέτρους του διαγράμματος όπως αναφέρονται συχνά)

Σχήμα 34 Ισοτροπική και μη

bull Κατευθυντικότητα δείκτης της ικανότητα της κεραίας να

συγκεντρώσει την ακτινοβολία εκπομπής προς μία συγκεκριμένη

κατεύθυνση και βρίσκεται αναφορικά με μία ιδανική (ισοτροπική)

κεραία Η σύγκριση την όποιας κεραίας με μία ισοτροπική φαίνεται

στο διπλανό σχήμα () Τα εμβαδά είναι ίσα οπότε εκπέμπουν

και οι δύο την ίδια ισχύ αλλά στην επιθυμητή κατεύθυνση η μη

ισοτροπική στέλνει μεγαλύτερη ισχύ Η κατευθυντικότητα λοιπόν

είναι η διαφορά σε dB των δύο διαγραμμάτων στην κατεύθυνση

του μεγίστου Είναι αντιστρόφως ανάλογη με το εύρος του κυρίως

λοβού

bull Εύρος δέσμης μισής ισχύος οριζόντιου και κάθετου επιπέδου ( HPBW )

αναφέρεται στην ενεργό περιοχή κάλυψης της κεραίας και ορίζεται ώς η γωνία μεταξύ των σημείων

του κύριου λοβού όπου η ισχύς είναι μισή της μέγιστης ή σε dB 3dB κάτω από την μέγιστη και

προσδιορίζει την περιοχή που εμφανίζεται μέγιστη εκπομπή ενώ εκτός της περιοχής αυτής η ισχύς

μειώνεται πολύ γρήγορα

bull Εύρος δέσμης επίπεδο (dB) πρώτων σημείων μηδενισμού οριζόντιου καικάθετου επιπέδου (FNBW) ορίζεται ως η γωνία μεταξύ των δύο πρώτων μηδενισμών του

μεγέθους εκατέρωθεν του κύριου λοβού

bull Λόγος κύριου προς οπίσθιο λοβό (FB)

bull Επίπεδα (dB) και εύρος γωνιών πλευρικών λοβών και οπίσθιων λοβώνbull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με τον αμέσως μικρότερο λοβό του διαγράμ-ματος ακτινοβολίας

bull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με όλους τους υπόλοιπους του διαγράμματοςακτινοβολίας

bull Λόγος κύριου προς επόμενο μεγαλύτερο λοβό (Side-Lobe Level) ορίζεται ως ο λόγος

του μεγίστου του κυρίως λοβού προς τον αμέσως μικρότερο πλευρικό λοβό (SLL = MainLobeMaxSideLobe

dB)

και είναι ένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά μίας κεραίας Πολλές φορές αναφέρεται και ώς επίπεδο

πλευρικών λοβών

Τα χαρακτηριστικά μίας κεραίας μπορούν να υπολογιστούν και να περιγραφούν όχι μόνο βάσει του

19

διαγράμματος ακτινοβολίας της Μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της μετρώντας και υπολο-

γίζοντας κατάλληλα μεγέθη και κάνοντας χρήση γνωστών μαθηματικών τύπων

bull Συνολική ακτινοβολούμενη ενέργεια η συνολική (ή μέσος όρος) ενέργεια που ακτινο-

βολεί μία κεραία και υπολογίζεται από τον τύπο

Prad = Pav =

lsaquoS

~Wrad middot d~s =

lsaquoS

~Wav middot n middot da =1

2

lsaquoS

lt( ~E times ~H) middot d~s (31)

όπου Wrad=πυκνότητα ακτινοβολίας

bull ΄Ενταση ακτινοβολίας η ενέργεια που εκπέμπεται από μία κεραία ανά μονάδα στερεάς γωνίας

U = r2 middotWrad (32)

όπου r=απόσταση

bull Κατευθυντικότητα είναι ο λόγος της ακτινοβολούμενης ενέργειας σε μία συγκεκριμένη κα-

τεύθυνση προς το μέσο όρο εκπεμπόμενης ακτινοβολίας σε όλες τις κατευθύνσεις ΄Η αλλιώς

η ένταση προς μία συγκεκριμένη κατεύθυνση προς την αντίστοιχη τιμή της αν ακτινοβολούσε

ισοτροπικά

D =U

Uo=

4pU

Prad(33)

΄Αν δεν ορίζεται κατεύθυνση σαν κατευθυντικότητα αναφέρεται η μέγιστη κατευθυντικότητα μίας

κεραίας

bull Κέρδος αν και συνδέεται με την κατευθυντικότητα είναι μία παράμετρος της κεραίας που λαμ-

βάνει υπόψιν και την αποδοτικότητα της κεραίας αλλά και τις δυνατότητες κατευθυντικότητας

Απόλυτο κέρδος κεραίας (σε συγκεκριμένη κατεύθυνση) ορίζεται ο λόγος της έντασης ακτινοβο-

λίας προς την ένταση ακτινοβολίας που θα είχε στη συγκεκριμένη κατεύθυνση άν όλη η ενέργεια

εισόδου της κεραίας εκπεμπόταν ισοτροπικά

κέρδος = 4π middot ένταση ακτινοβολίας

συνολική εισερχόμενη ενέργεια= 4π

U(θ φ)

Pinputrarr

G = 4π U(θφ)Pinput (ιδανικής ισοτροπικής πηγής)

(34)

bull Απόδοση κεραίας είναι ένας δείκτης που λαμβάνει υπόψιν τις απώλειες ενέργειας από την

είσοδο στην έξοδο της κεραίας λόγω πολλών φαινομένων Γενικά η συνολική απόδοση μίας

κεραίας δίνεται από τον τύπο

eo = er middot ec middot ed (35)

όπου eo είναι η συνολική απόδοση er είναι η απόδοση λόγω απωλειών ανακλάσεων (λόγω κακής

προσαρμογής) (= 1minus|Γ|2) ec είναι η απόδοση λόγω απωλειών αγωγιμότητας ed είναι η απόδοση

που οφείλεται στο διηλεκτρικό και Γ ο συντελεστής ανάκλασης τάσης

bull Απόδοση δέσμης είναι μία παράμετρος ποιότητας μίας κεραίας και ορίζεται από το λόγο της

ενέργειας που ακτινοβολείται από τον κύριο λοβό της κεραίας (με το λοβό σε γωνία θ0) προς τη

συνολική

BE =

acute 2π0

acute θ0U(θ φ)sin(θ)dθdφacute 2π

0

acute π0U(θ φ)sin(θ)dθdφ

(36)

όπου θ1 είναι η γωνία μισής ισχύος ΄Αν θεωρήσουμε το θ1 στην κατεύθυνση του πρώτου μηδενι-

σμού τότε θα έχουμε το λόγο της ισχύος του κυρίως λοβού προς τη συνολική

bull Εύρος σαν εύρος μιας κεραίας ορίζεται το εύρος των συχνοτήτων (bandwidth) στις οποίες

μπορεί να λειτουργήσει αποδοτικά βάσει κάποιων χαρακτηριστικών της πχ να έχει εύρος κύριου

λοβού εντός συγκεκριμένων ορίων διατηρώντας μία ελάχιστη τιμή SLL

20

33 Κατηγορίες κεραιών

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω οι κεραίες χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με τα μορ-

φολογικά αλλά και λειτουργικά χαρακτηριστικά τους Βάσει του τρόπου με τον οποίο εκπέμπουν ή

λαμβάνουν ή αλλιώς βάσει του διαγράμματος ακτινοβολίας τους χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες

bull Ισοτροπικές μία ισοτροπική κεραία ορίζεται ως μία υποθετική (ιδανική) κεραία η οποία ακτινο-

βολεί το ίδιο προς όλες τις κατευθύνσεις Δεν έχει κάποια πραγματική εφαρμογή στα τηλεπικοι-

νωνιακά συστήματα γιατί η ισχύς της εκπέμπεται προς όλες τις κατευθύνσεις το ίδιο προκαλώντας

μεγάλες απώλειες ισχύος σε ανεπιθύμητες κατευθύνσεις ΄Εχει μόνο θεωρητική αξία στη μελέτη

κεραιών και στον ορισμό κάποιων παραμέτρων των κεραιών όπως το κέρδος που είδαμε παραπάνω

bull Κατευθυντικές μία κατευθυντική κεραία ορίζεται ως η κεραία που έχει την ικανότητα να

εκπέμπει ή να λαμβάνει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αποτελεσματικότερα προς κάποιες κατευ-

θύνσεις Είναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κεραίες και η εξέλιξη αυτών είναι οι έξυπνες

κεραίες που ανάλογα με τις ανάγκες της κάθε συσκευής και τα χαρακτηριστικά του χώρου που

βρίσκεται μπορούν να αλλάξουν τη γωνία μέγιστης εκπομπής κάνοντας βέλτιστη χρήση της α-

κτινοβολούμενης ισχύος της

bull Πανκατευθυντικές μία πανκατευθυντική κεραία είναι μία κεραία η οποία ακτινοβολεί σαν

κατευθυντική εκτός από ένα επίπεδο στο οποίο εκπέμπει ή λαμβάνει ισοτροπικά Η χρήση τους

είναι κυρίως στα μέσα μαζικής επικοινωνίας όπου χρειάζεται κάλυψη του χώρου 360 μοιρών στο

οριζόντιο επίπεδο αλλά πολύ μικρής γωνίας στο κάθετο

Βάσει των μορφολογικών χαρακτηριστικών τους χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες Η κάθε

κατηγορία έχει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της που την καθιστούν κατάλληλη για κάποια

εφαρμογή και ακατάλληλη για κάποια άλλη Παρακάτω αναφέρονται οι κατηγορίες αυτές των κεραιών

με τα βασικά χαρακτηριστικά της κάθε μίας

bull Κεραίες σύρματος Είναι απλές κεραίες κατασκευασμένες από αγώγιμο υλικό συνήθως

κυκλικής διατομής Πολλές φορέα σχηματίζονται από πολλούς αγωγούς κατάλληλα συζευγμένους

μεταξύ τους σε πλέγματα διαφόρων σχημάτων που είτε δημιουργούν μία επιφάνεια είτε μία γραμμική

κεραία Η απλούστερη γραμμική κεραία είναι η κεραία διπόλου τα χαρακτηριστικά της οποίας είναι

ανάλογα με το σχετικό μήκος της ως προς το μήκος κύματος της ακτινοβολίας για την οποία προορίζε-

ται7 Οι συγκεκριμένες είναι πολύ απλές στην κατασκευή πολύ συχνά απλά συρμάτινες Αποτελείται

από ένα δίπολο του οποίου (συνήθως) η τροφοδοσία8είναι στη μέση Πλεονεκτήματα των κεραιών

αυτών είναι το κόστος το μέγεθος και η δυνατότητα κάλυψης μεγάλης περιοχής συχνοτήτων ενώ

έχουν το μειονέκτημα της χαμηλής απόδοσης λόγω των διαστάσεων τους Καλύτερα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης έχουν οι διπολικές κεραίες των οποίων το μήκος είναι της τάξης του μήκους κύματος

Σχήμα 35 Κεραία διπόλου

Μία κεραία σύρματος χαρακτηρίζεται ως rdquoλεπτήrdquoόταν η διάμε-

τρος του αγωγού είναι μικρότερη από 001λ Ανάλογα με το σχήμα

της χαρακτηρίζεται ως ευθύγραμη κεραία V ή πτυσσόμενη Στο

διπλανό σχήμα () φαίνονται μία ευθύγραμμη και μία πτυσσόμενη

διπολική κεραία Στις πτυσσόμενες σημαντική είναι η γωνία που

σχηματίζουν οι βραχίονες τους έχοντας βρεθεί ότι η μέγιστη

κατευθυντικότητα επιτυγχάνεται για γωνία α = 60λh

+ 380

όπου h είναι το μήκος του βραχίονα και λ το μήκος κύματος τη

ακτινοβολίας και ότι Dmax = 12 + 23hλ9

7Μία κεραία χαρακτηρίζεται ως ηλεκτρικά μικρή όταν οι διαστάσεις της είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος

της ακτινοβολίας8Με τον όρο τροφοδοσία εννοούμε το υπόλοιπο σύστημα το οποίο τροφοδοτεί η κεραία με το σήμα που λαμβάνει στην

περίπτωση κεραίας λήψης ή από το οποίο τροφοδοτείται με το σήμα που θα εκπέμψει στην περίπτωση κεραίας εκπομπής

9Η σχέση αυτή είναι εμπειρική και ισχύει για 05 lt h

λ lt 3

21

Σχήμα 36 Κεραία Yagi-Uda

Μία εξέλιξη των παραπάνω κεραιών είναι οι κεραίες Yagi-Udaπου ένα διάγραμμα ακτινοβολίας τέτοιας κεραίας παρατέθηκε

παραπάνω () Είναι ευθύγραμμες διπολικές κεραίες που α-

ποτελούνται από πέραν του ενός δίπολα τα οποία όμως δεν

τροφοδοτούνται όλα Τα μη τροφοδοτούμενα δίπολα ονομάζονται

παρασιτικά και τροφοδοτούνται επαγωγικά από τα υπόλοιπα Οι

κεραίες αυτές παρουσιάζουν αυξημένη κατευθυντικότητα σχετικά

με τις μη παρασιτικές κεραίες διπόλων Η πρώτη τέτοια κεραία

κατασκευάστηκε το 1926 και αποτελούταν από τρία δίπολα ένα

ενεργό και δύο παρασιτικά Στην περίπτωση που το παρασιτικό

δίπολο έχει μεγαλύτερο μήκος από του ενεργού ονομάζεται

ανακλαστήρας ενώ αν έχει μικρότερο ονομάζεται κατευθυντήρας

Μία γενική μορφή τέτοιας κεραίας φαίνεται στο διπλανό σχήμα με LR το μήκος του ανακλαστήρα και

LD το μήκος του κατευθυντήρα

bull Στοιχειοκεραίες Μία εξέλιξη των συρμάτινων κεραιών είναι οι στοιχειοκεραίες Οι

στοιχειοκεραίες αποτελούνται από πολλές κεραίες διπόλων τα στοιχεία τα οποία ενώνονται όλα σε

μία κοινή τροφοδοσία και αυτή είναι η βασική τους διαφορά από τις Yagi-Uda που έχουν παρασιτικά

στοιχεία και ο λόγος που οι τελευταίες δε θεωρούνται στοιχειοκεραίες Συστοιχείες λοιπόν πολλών

κεραιών φτιάχνουν τις στοιχειοκεραίες Ανάλογα με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της συστοιχίας

υπάρχουν κάποια είδη στοιχειοκεραιών όπως είναι οι γραμμικές (μία συστοιχία σε ευθεία γραμμή) και

οι επίπεδες (συστοιχείες συστοιχείων) Λόγω της ταυτόχρονης χρήσης πολλών κεραιών μπορούν να

συνδυάσουν τα χαρακτηριστικά τους δίνοντας δυνατότητα πολύπλοκων κατευθυντικών διαγραμμάτων

καθιστώντας τες κατάλληλες για πολλές εφαρμογές Συγκριτικά με μία κεραία μεγάλου μήκους που

θα έχει τα ίδια κατευθυντικά χαρακτηριστικά παρουσιάζει το πλεονέκτημα της εύκολης τροφοδο-

σίας της μηχανικής αντοχής και του μικρού κόστους εγκατάστασης και λειτουργίας Τέλος με

κατάλληλη τροφοδοσία του κάθε στοιχείου της μπορούμε να αλλάξουμε τα κατευθυντικά χαρακτηρι-

στικά της ΄Εχουν πολλές γεωμετρικές μορφές αλλά και είδη που θα αναφερθούν σε επόμενη παράγραφο

bull Κεραίες βρόχου ή πλαισίου Μία κεραία βρόχου αποτελείται από έναν κλειστό αγωγό σε

σχήμα βρόχου (ή και βρόχων) ο οποίος τροφοδοτείται σε ένα σημείο του Χωρίζονται σε κεραίες μικρού

και μεγάλου βρόχου συγκριτικά με το μήκος κύματος στο οποίο χρησιμοποιούνται10

Οι μικρού

βρόχου έχουν χαμηλή απόδοση και χρησιμοποιούνται κατά κόρον σε δέκτες χαμηλών συχνοτήτων

Εκτός από τους ραδιοφωνικούς δέκτες των αυτοκινήτων στους οποίους γίνεται μεγάλη χρήση των

κεραιών μικρού βρόχου το μεγαλύτερο ποσοστό των δεκτών AM χρησιμοποιούν τέτοιες κεραίες

Οι μεγάλου βρόχου έχουν ευρεία χρήση στους δέκτες VHF και UHF έχοντας και το επιπλέον

χαρακτηριστικό της μεταβλητής περιφέρειας δίνοντας δυνατότητα μεγαλύτερου εύρους συχνοτήτων

Γενικά οι κεραίες βρόχου είναι κεραίες με μεγάλη κατευθυντικότητα κάτι που τις κάνει ιδανικές σε

εφαρμογές εύρεσης κατεύθυνσης σήματος

bull Ελικοειδής κεραίες Μία ελικοειδής κεραία αποτελείται από έναν αγωγό που έχει τη μορφή

έλικας στον οποίο η τροφοδοσία είναι στο ένα του άκρο Αποτελεί συνδυασμό κεραίας βρόχου και

γραμμικής κεραίας οπότε μπορεί να εκπέμπει με δύο τρόπους (ρυθμούς) αξονικά και κάθετα στον άξονα

της έλικας κάτι που της δίνει βελτιωμένα χαρακτηριστικά συγκριτικά με τις δύο αυτές κατηγορίες

Χρησιμοποιείται κατά κόρον όπου απαιτείται κυκλική πόλωση σήματος σαν πομπός ή σε σήματα που

έχουν κυκλική πόλωση σαν δέκτης και έχει αρκετά μεγάλο εύρος ζώνης συχνοτήτων Ανάλογα με τα

χαρακτηριστικά που πρέπει να έχει μία ελικοειδής κεραία μπορεί να είναι ομοιόμορφη (όλες οι έλικες

ίδια διάμετρο) αυξανόμενης ελαττούμενης και αυξο-ελαττούμενης διαμέτρου ελίκων

bull Δικωνικές κεραίες ΄Αν δύο V ενωθούν κατακορυφήν σχηματίζεται μία δικωνική κεραία οι

οποίες έχουν αυξημένο εύρος συχνοτήτων Πολλές δικωνικές κεραίες έχουν τη δυνατότητα μεταβολής

10Σαν κεραία μικρού βρόχου θα χαρακτηριστεί η κεραία της οποίας η περιφέρεια θα είναι ίση ή μικρότερη από το ένα

δέκατο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας

22

του μήκους του βραχίονα τους δίνοντας ακόμα μεγαλύτερο εύρος Αν μία από τις δύο V κεραίες

αντικατασταθεί από μία αγώγιμη επιφάνεια σε σχήμα δίσκου έχουμε τη δισκωνική κεραία στην οποία

ο δίσκος λειτουργεί ως ανακλαστήρας Είναι κεραίες μικρής κατευθυντικότητας και χαμηλού κέρδους

και χρησιμοποιούνται πολύ σαν κεραίες ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών εκπομπών

bull Σπειροειδής κεραίες Οι σπειροειδής κεραίες είναι κεραίες με μεγάλο εύρος ζώνης

συχνοτήτων και μεγάλης κατευθυντικότητας Αποτελούνται από μία ή δύο αγωγούς που έχουν σχήμα

σπείρας και όσο μικρότερη γωνία ανοίγματος σπείρας έχουν τόσο μεγαλύτερη κατευθυντικότητα

Μπορεί να είναι επίπεδες ή κωνικές και η πόλωση του σήματος που λαμβάνουν ή εκπέμπουν είναι

ανάλογη με τη φορά των σπειρών Το εύρος συχνοτήτων τους δίνεται από το λόγο μεγαλύτερης προς

μικρότερης διαμέτρου άν και στην πραγματικότητα είναι λίγο μικρότερο του λόγου αυτού Μία αρκετά

διαδεδομένη σπειροειδής κεραία είναι η rdquoσπειροειδής του Αρχιμήδηrdquoη οποία αποτελείται από δύο σπε-

ίρες με r1 = r0φ και r2 = r0(φminusπ) οι οποίες συνήθως κατασκευάζονται πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα11

bull Κεραίες χοάνης Οι κεραίες χοάνης αποτελούνται από έναν αγωγό ο οποίος είναι από το

ένα άκρο του ανοιχτός και διεγείρεται από το άλλο του άκρο Με σωστή ρύθμιση έχουν μεγαλύτερη

απόδοση από τις συρμάτινες Ανάλογα με το σχήμα του αγωγού μπορεί να υπάρχουν αρκετά είδη

τέτοιων κεραιών τρία εκ των οποίων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα () Η κατευθυντικότητα της

είναι ανάλογη της γωνίας ανοίγματος της Στην πράξη συναντούμε ελάχιστες κεραίες χοάνης μόνες

τους αλλά σε συνδυασμό με έναν ανακλαστήρα έχουν πολύ διαδεδομένη χρήση λόγω της πολύ μεγάλης

κατευθυντικότητας που προσφέρουν ειδικά στις περιπτώσεις που ο ανακλαστήρας είναι παραβολικός

όπου υπάρχει η δυνατότητα παραγωγής πολύ στενής δέσμης υψηλού κέρδους και χαμηλού θορύβου

Χρησιμοποιούνται πολύ στις δορυφορικές επικοινωνίες και η πιο συνηθισμένη τους μορφή είναι τα umlπιάταrsquo

που χρησιμοποιούνται για τη λήψη δορυφορικών σημάτων

Σχήμα 37 Κεραίες χοάνης α)τομέας β)πυραμοειδής και γ)κωνική

bull Λογαριθμικές περιοδικές κεραίες Είναι κεραίες των οποίων τα μορφολογικά χα-

ρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με την απόσταση από την αρχή της κεραίας Υπάρχει ένα

επαναλαμβανόμενο στοιχείο κεραίας το οποίο μεγαλώνει όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της

κεραίας Μπορεί να είναι μία πλάκα με οδοντώσεις το μέγεθος των οποίων μεταβάλλεται ένα σύρμα

11Οι κεραίες που είναι κατασκευασμένες πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα ή αλλιώς σε μικροταινίες ανήκουν και στην

κατηγορία των μικροταινιακών κεραιών πολύ διαδεδομένη στις ηλεκτρονικές φορητές συσκευές που λειτουργούν στην

περιοχή των μικροκυμάτων (λόγω διαστάσεων κεραιών είναι ιδανικές για την περιοχή αυτή)

23

Σχήμα 38 Λογαριθμική περιοδική κεραία

το οποίο διπλώνεται κατάλληλα και το μέγεθος της κάθε δίπλωσης μεταβάλλεται ή ακόμα και από

δίπολα το μήκος των οποίων μεταβάλλεται Πολλές κεραίες που ανήκουν σε παραπάνω κατηγορίες είναι

λογαριθμικές μπορεί να είναι λογαριθμικές αν η μεταβολή των επαναλαμβανόμενων στοιχείων ακολουθεί

το συγκεκριμένο πρότυπο Μία τέτοια φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () η οποία ανήκει στην

κατηγορία των στοιχειοκεραίων Λόγω των επαναλαμβανόμενων στοιχείων των οποίων συνδυάζουν τα

χαρακτηριστικά μπορούν να έχουν πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων και συγκεκριμένα εύρος μίας τάξης

μεγέθους επιτυγχάνεται εύκολα και μπορούν να έχουν και αρκετά μεγάλη κατευθυντικότητα Βρίσκουν

πολλές εφαρμογές στις επικοινωνίες υψηλών συχνοτήτων και ειδικά στα τηλεοπτικά σήματα αφού με

μία κεραία μπορεί κάποιος να λαμβάνει ικανοποιητικά όλα τα διαθέσιμα κανάλια χωρίς καμία προσαρμογή

34 Στοιχειοκεραίες

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω η μορφή του διαγράμματος εκπομπής και λήψης των κεραιών

εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της κεραίας Σε πολλές εφαρμογές απαιτούνται κεραίες μεγάλου

κέρδους ή αλλιώς μεγάλης κατευθυντικότητας Μία κεραία για να έχει μεγάλη κατευθυντικότητα

θα πρέπει να έχει πολύ μεγάλο μέγεθος Το πρόβλημα αυτό λύνεται φτιάχνοντας σύνθετες κεραίες

Κεραίες που αποτελούνται από μικρότερες κεραίες είτε όμοιες μεταξύ τους είτε ανόμοιες Τέτοιες

συστοιχίες κεραιών όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ονομάζονται στοιχειοκεραίες Το κάθε στοιχείο

μίας στοιχειοκεραίας μπορεί να είναι οποιασδήποτε μορφής κεραία (σύρματος οπής κλπ) με βασικό

χαρακτηριστικό όλα τα στοιχεία να έχουν κοινή τροφοδοσία Το συνολικό πεδίο θα είναι το διανυ-

σματικό άθροισμα των πεδίων κάθε στοιχείου ξεχωριστά Οπότε μπορούμε να έχουμε το επιθυμητό

πεδίο φτιάχνοντας την κεραία μας έτσι ώστε στα σημεία που θέλουμε μεγάλο κέρδος να συμβάλουν

εποικοδομητικά τα πεδία των στοιχείων της κεραίας και στα σημεία που δεν θέλουμε να ακτινοβολεί να

έχουμε καταστροφική συμβολή

Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας θα εξαρτάται από τους εξείς παράγοντες

bull Τη γεωμετρία της στοιχειοκεραίας ( γραμμικήκυκλικήορθογώνια σφαιρική κλπ)

bull Την απόσταση μεταξύ των στοιχείων της κεραίας

bull Την ένταση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

bull Τη φάση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

24

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

4 Χρήση βάση πιθανοτήτων των ρυθμών μετανάστευσης για την τροποποίηση των μη ελιτίστικων

περιοχών και επαναϋπολογισμό των HSI αυτών

5 Για κάθε περιοχή ενημέρωση της πιθανότητας των αριθμών των ειδών βάση της εξίσωσης

Στη συνέχεια μετάλλαξη των μη ελιτίστικων περιοχών βάση των πιθανοτήτων τους και ξανά

υπολογισμός των HSI

6 Επιστροφή στο βήμα 3 για την επόμενη επανάληψη της διαδικασίας Η διαδικασία μπορεί

να σταματήσει μετά από έναν προκαθορισμένο αριθμό επαναλήψεων ή με την επίτευξη μίας

επιθυμητής λύσης Αυτή είναι η υλοποίηση του κριτηρίου τερματισμού Τ

Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι μετά από κάθε βήμα που αλλάζει κάτι σε μία περιοχή ή λύση πρέπει να

επαληθεύεται κάθε περιοχή ως πιθανή λύση του προβλήματος Αν όχι πρέπει να υπάρχει μία διαδικασία

η οποία να την τροποποιεί ώστε να γίνεται πιθανή λύση

Τέλος επειδή ένας τέτοιος αλγόριθμος θα συγκριθεί στη συνέχεια με τους υπόλοιπους που αναφέρ-

θηκαν παραπάνω είναι χρήσιμο να γίνουν πιο διακριτές οι διαφορές τους Η πρώτη τέτοια διαφορά είναι

ότι στους BBO αλγόριθμους δεν υπάρχει η έννοια της αναπαραγωγής ή των γενεών απογόνων όπως

υπάρχουν στους γενετικούς και τους εξελικτικούς αλγόριθμους Δεν δημιουργούνται καινούριες λύσεις

από κύκλο σε κύκλο αλλά εξελίσσονται οι υπάρχουσες Για τον ίδιο λόγο διαφέρει και από τους ACO(Ant Colony Optimization) αλγόριθμους Σαν λογική είναι πιο κοντά στους PSO (Particle SwarmOptimization) και DE (Differential Evolution) αλγόριθμους μιας και αυτοί διατηρούν και εξελίσσουν

τις υπάρχουσες λύσεις τους κάνοντας την κάθε λύση να μαθαίνει από τους γείτονες και να προσαρ-

μόζεται καθώς προχωράει ο αλγόριθμος Οι PSO αντιπροσωπεύουν κάθε λύση σαν ένα σημείο στο

χώρο και τις αλλαγές μεταξύ των επαναλήψεων του αλγόριθμου με διάνυσμα ταχύτητας ΄Ομως στους

αλγόριθμους αυτούς δεν αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η ταχύτητα των σημείων έχοντας αποτέλεσμα

τη μεταβολή των λύσεων Στους DE αλλάζουν άμεσα οι λύσεις αλλά η αλλαγή αυτή γίνεται βάση των

διαφορών μεταξύ άλλων λύσεων Ακόμα οι DE δεν βασίζεται σε βιολογικές αρχές Οι BBO αλγόριθμοι

μπορούν να διαχωριστούν από τους DE και PSO στο χαρακτηριστικό ότι αλλάζουν άμεσα τις λύσεις

τους ανταλλάσσοντας χαρακτηριστικά μεταξύ τους μέσω της μετανάστευσης

16

Κεφάλαιο 3

Κεραίες

31 Γενικά

Με τον όρο umlκεραίαrsquo αναφερόμαστε σε μία διάταξη που είναι σχεδιασμένη να δέχεται ηκαι να εκπέμπει

ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Είναι μία διάταξη η οποία μετατρέπει ηλεκτρομαγνητική ενέργεια που

οδεύει σε μια γραμμή μεταφοράς ή ένα κυματοδηγό σε ηλεκτρομαγνητικό κύμα στο χώρο και viceversa Οι κεραίες είναι είτε παθητικές

1 είτε τροφοδοτούμενες

2

Λόγω της μεγάλης ανάπτυξης των τηλεπικοινωνιών και των πολλών συστημάτων που χρησιμοποιούν-

ται3 έχει αναπτυχθεί μια τεράστια ποικιλία κεραιών ώστε να καλύπτουν τις ειδικές ανάγκες διαφόρων

εφαρμογών και να διευκολύνεται η κατασκευή και ένταξή τους στο φυσικό και δομημένο περιβάλλον

Η μεγάλη αυτή ποικιλία συστημάτων κεραιών επιβάλει τον διαχωρισμό τους σε κατηγορίες βάσει της

μορφής τους και της αρχής λειτουργίας τους Αλλά σε όποια κατηγορία και να ανήκει μία κεραία έχει

κάποια βασικά χαρακτηριστικά

32 Χαρακτηριστικά κεραιών

Σε μία κεραία αυτό που μας ενδιαφέρει είναι το πώς εκπέμπει ή λαμβάνει στο χώρο ή αλλιώς οι ιδιότητες

ακτινοβολίας (μακρινού πεδίου4) Η γραφική παράσταση των ιδιοτήτων αυτών γίνεται με το διάγραμμα

ακτινοβολίας της Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας κεραίας είναι δηλαδή η τρισδιάστατη γραφική

παράσταση των ιδιοτήτων ακτινοβολίας της κεραίας Βρίσκεται με μετρήσεις κάποιου μεγέθους με

τη μετατόπιση μίας πρόμπας γύρω από την κεραία Παριστάνει τη γωνιακή κατανομή του μέτρου της

έντασης του πεδίου της πυκνότητας ισχύος ή της έντασης ακτινοβολίας Επειδή θέλουμε το διάγραμμα

ακτινοβολίας να δίνει τη γενική συμπεριφορά της κεραίας σε οποιοδήποτε σήμα μπορεί να λάβει ή να

εκπέμψει οι τιμές είναι κανονικοποιημένες5

Τα διαγράμματα ακτινοβολίας σχεδιάζονται και για

την ικανότητα εκπομπής και λήψης μίας κεραίας και για συγκεκριμένη είναι τα ίδια (εκπομπής και λήψης)

Από τα διαγράμματα ακτινοβολίας βλέπουμε σε ποια σημεία του χώρου η κεραία εκπέμπει (ή αν

1Αποτελούνται μόνο από παθητικά στοιχεία απλά μετατρέπουν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα σε ηλεκτρομαγνητική ενέρ-

γεια χωρίς κάποια επεξεργασία του σήματος2΄Εχουν και ενεργά στοιχεία τα οποία μπορούν να κάνουν ενίσχυση σήματος ή ακόμα και επεξεργασία σήματος όπως

πχ μεταβολή συχνότητας3Από τις πιο μικρές ηλεκτρονικές συσκευές πχ πομποί GPS (Global Positioning System) μέχρι μεγάλα συστήματα

πχ δορυφόροι οπουδήποτε εφαρμόζεται ασύρματη επικοινωνία απαραίτητο εξάρτημα είναι μία κεραία4Ο χώρος γύρω από μία κεραία ως προς την κεραία χωρίζεται σε μακρινό και κοντινό πεδίο Στο κοντινό πεδίο

το διάγραμμα επηρεάζεται έντονα από τις επαγωγικές και χωρητικές συνιστώσες που εμφανίζονται στην κεραία κατά τη

ροή του ρεύματος ενώ στο μακρινό όχι και γι΄ αυτό το διάγραμμα του μακρινού πεδίου είναι σταθεροποιημένο ενώ του

κοντινού όχι Τα διαγράμματα που δίνουν οι κατασκευαστές είναι διαγράμματα μακρινού πεδίου Διάκριση μεταξύ μακρινού

και κοντινού πεδίου γίνεται βάσει της απόστασης από την κεραία όπου για R gt 2lowastD2

λ θεωρούμε μακρινό πεδίο όπου λ

είναι το μήκος κύματος D η διάμετρος της κεραίας και R η απόσταση από αυτήν5Λόγω των κανονικοποιημένων τιμών του διαγράμματος ακτινοβολίας το διάγραμμα πυκνότητας ισχύος και έντασης

ακτινοβολίας είναι ταυτόσημα

17

είναι διάγραμμα λήψης λαμβάνει) τη μεγαλύτερη και σε ποια τη μικρότερη ισχύ Το τρισδιάστατο

της περιγραφής επιτυγχάνεται με το συνδυασμό δύο διαγραμμάτων το κάθετο (κάθετη τομή στον

τρισδιάστατο χώρο) και το οριζόντιο (οριζόντια τομή) Η κεραία θεωρείται στο κέντρο του διαγράμματος

και το διάγραμμα συνδέει στην ουσία τον χώρο με την ακτινοβολούμενη ισχύ ή με την ικανότητα

λήψης ισχύος για διάγραμμα εκπομπής και λήψης αντίστοιχα και είναι όπως προαναφέρθηκε η

γραφική αναπαράσταση της συμπεριφοράς της κεραίας στο χώρο Μας δείχνει σε ποιες περιοχές του

χώρου εκπέμπει και πόση ισχύ ή αντίστοιχα από ποιες περιοχές του χώρου και πόση ισχύ μπορεί

να λάβει η κεραία Είτε επειδή δε θέλουμε σπατάλη ισχύος σε rdquoαδιάφορεςrdquoπεριοχές είτε επειδή δεν

θέλουμε να παρεμβάλλουμε δημιουργώντας θόρυβο σε άλλες κεραίες κατά την εκπομπή και είτε επειδή

θέλουμε να λαμβάνουμε τη μέγιστη δυνατή ισχύ αν ξέρουμε από που λαμβάνουμε και να μειώνουμε

το θόρυβο από τις άλλες πηγές τα διαγράμματα ακτινοβολίας είναι πολύ χρήσιμα στο σχεδιασμό μίας

κεραίας Τέλος μία άλλη χρήση είναι η σύγκριση κεραιών είτε γενικά είτε για συγκεκριμένες εφαρμογές

Σχήμα 31 Διάγραμμα ακτινοβολίας

Στο διπλανό σχήμα () φαίνεται ένα τυπικό και αρκετά

απλοποιημένο διάγραμμα ακτινοβολίας Σε αυτό διακρίνουμε

τον κύριο λοβό που είναι το τμήμα η μεγαλύτερη κλειστή

καμπύλη που διακρίνεται από το γεγονός ότι έχει τη μέγιστη

τιμή στο διάγραμμα Συνήθως τα διαγράμματα ακτινοβολίας

είναι πολικά όπως αυτό του σχήματος 31 με βαθμονόμηση

από 0μέχρι 360

και ο κύριος λοβός στη γενική περίπτωση

τοποθετείται στις 0 Ο λοβός που βρίσκεται στις 180

ονο-

μάζεται οπίσθιος λοβός και οι υπόλοιποι λοβοί ονομάζονται

πλευρικοί Ανάλογα με την περίπτωση οι υπόλοιποι εκτός του

κύριου είναι ανεπιθύμητοι είτε επιθυμητοί και προσπαθούμε

αντίστοιχα να τους καταστείλουμε ή να τους ενισχύσουμε

Οι πλευρικοί λοβοί οφείλονται σε φαινόμενα καταστροφικής

ή εποικοδομητικής συμβολής των κυμάτων που εκπέμπονται

από τη κεραία Η κλίμακα στο διάγραμμα είναι σε deciBellκαι τα μεγέθη είναι κανονικοποιημένα

6 ΄Ετσι η μέγιστη τιμή θα είναι στα 0 db και οι υπόλοιπες

σε αρνητικές τιμές Τα διαγράμματα αυτά έχουν τέτοια βαθμονόμηση γιατί θέλουμε να εκφράζουν

ποιοτικά τη συμπεριφορά της κεραίας αλλά και γιατί οι τιμές έντασης ή ισχύος που θέλουμε να αναπα-

ραστήσουμε είναι πολλών τάξεων μεγέθους και θα θέλαμε πολύ μεγάλα διαγράμματα για κανονικές τιμές

΄Ενα πιο αναλυτικό διάγραμμα ακτινοβολίας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () και είναι διάγραμμα

μίας κεραίας Yagi-Uda Οι κύκλοι που φαίνονται στο διάγραμμα αντιστοιχούν στις τιμές -3 -10 -20

-30 και -40 dB και είναι χωρισμένοι σε τμήματα των 10 Οι κύκλοι αυτοί δείχνουν τα σημεία που

έχει μειωθεί το μέγεθος στο 50 στο 10 στο 1 στο 01 και στο 001 αντίστοιχα Η

γωνία των σημείων στα οποία ο κύριος λοβός τέμνει τον πρώτο κύκλο ονομάζεται γωνία ημίσειας ισχύος

Σχήμα 32 Καρτεσιανό διάγραμμα

Εκτός των πολικών διαγραμμάτων υπάρχουν και τα καρτεσιανά

τα οποία είναι η καρτεσιανή προβολή των πολικών Παράδειγμα

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () όπου φαίνεται το άνοιγμα μισής

ισχύος και το επίπεδο του πρώτου πλευρικού λοβού Επειδή τα

διαγράμματα ακτινοβολίας σχηματίζονται όπως προαναφέρθηκε

και αφορούν τη χωρική συμπεριφορά μίας κεραίας στο μακρινό

πεδίο οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε την κεραία ως σημείο

τα καρτεσιανά διαγράμματα δεν έχουν καλή αναπαράσταση της

πραγματικότητας Αλλά είναι αρκετά χρήσιμα στη μελέτη κεραιών

και στην καλύτερη εποπτεία των χαρακτηριστικών της από τα πολικά και για το λόγο αυτό σχεδιάζονται

και χρησιμοποιούνται κατά κόρον

6΄Ενα κανονικοποιημένο διάγραμμα έχει την ίδια μορφή με ένα μη κανονικοποιημένο με μόνη αλλαγή την κλίμακα και

ότι τα μεγέθη είναι ο λογάριθμος του λόγου της τιμής προς τη μέγιστη

18

Σχήμα 33 Διάγραμμα ακτινοβολίας Yagi-Uda κεραίας

Από ένα διάγραμμα ακτινοβολίας μπορούμε να βρούμε τα παρακάτω χαρακτηριστικά μίας κεραίας (ή

και παραμέτρους του διαγράμματος όπως αναφέρονται συχνά)

Σχήμα 34 Ισοτροπική και μη

bull Κατευθυντικότητα δείκτης της ικανότητα της κεραίας να

συγκεντρώσει την ακτινοβολία εκπομπής προς μία συγκεκριμένη

κατεύθυνση και βρίσκεται αναφορικά με μία ιδανική (ισοτροπική)

κεραία Η σύγκριση την όποιας κεραίας με μία ισοτροπική φαίνεται

στο διπλανό σχήμα () Τα εμβαδά είναι ίσα οπότε εκπέμπουν

και οι δύο την ίδια ισχύ αλλά στην επιθυμητή κατεύθυνση η μη

ισοτροπική στέλνει μεγαλύτερη ισχύ Η κατευθυντικότητα λοιπόν

είναι η διαφορά σε dB των δύο διαγραμμάτων στην κατεύθυνση

του μεγίστου Είναι αντιστρόφως ανάλογη με το εύρος του κυρίως

λοβού

bull Εύρος δέσμης μισής ισχύος οριζόντιου και κάθετου επιπέδου ( HPBW )

αναφέρεται στην ενεργό περιοχή κάλυψης της κεραίας και ορίζεται ώς η γωνία μεταξύ των σημείων

του κύριου λοβού όπου η ισχύς είναι μισή της μέγιστης ή σε dB 3dB κάτω από την μέγιστη και

προσδιορίζει την περιοχή που εμφανίζεται μέγιστη εκπομπή ενώ εκτός της περιοχής αυτής η ισχύς

μειώνεται πολύ γρήγορα

bull Εύρος δέσμης επίπεδο (dB) πρώτων σημείων μηδενισμού οριζόντιου καικάθετου επιπέδου (FNBW) ορίζεται ως η γωνία μεταξύ των δύο πρώτων μηδενισμών του

μεγέθους εκατέρωθεν του κύριου λοβού

bull Λόγος κύριου προς οπίσθιο λοβό (FB)

bull Επίπεδα (dB) και εύρος γωνιών πλευρικών λοβών και οπίσθιων λοβώνbull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με τον αμέσως μικρότερο λοβό του διαγράμ-ματος ακτινοβολίας

bull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με όλους τους υπόλοιπους του διαγράμματοςακτινοβολίας

bull Λόγος κύριου προς επόμενο μεγαλύτερο λοβό (Side-Lobe Level) ορίζεται ως ο λόγος

του μεγίστου του κυρίως λοβού προς τον αμέσως μικρότερο πλευρικό λοβό (SLL = MainLobeMaxSideLobe

dB)

και είναι ένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά μίας κεραίας Πολλές φορές αναφέρεται και ώς επίπεδο

πλευρικών λοβών

Τα χαρακτηριστικά μίας κεραίας μπορούν να υπολογιστούν και να περιγραφούν όχι μόνο βάσει του

19

διαγράμματος ακτινοβολίας της Μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της μετρώντας και υπολο-

γίζοντας κατάλληλα μεγέθη και κάνοντας χρήση γνωστών μαθηματικών τύπων

bull Συνολική ακτινοβολούμενη ενέργεια η συνολική (ή μέσος όρος) ενέργεια που ακτινο-

βολεί μία κεραία και υπολογίζεται από τον τύπο

Prad = Pav =

lsaquoS

~Wrad middot d~s =

lsaquoS

~Wav middot n middot da =1

2

lsaquoS

lt( ~E times ~H) middot d~s (31)

όπου Wrad=πυκνότητα ακτινοβολίας

bull ΄Ενταση ακτινοβολίας η ενέργεια που εκπέμπεται από μία κεραία ανά μονάδα στερεάς γωνίας

U = r2 middotWrad (32)

όπου r=απόσταση

bull Κατευθυντικότητα είναι ο λόγος της ακτινοβολούμενης ενέργειας σε μία συγκεκριμένη κα-

τεύθυνση προς το μέσο όρο εκπεμπόμενης ακτινοβολίας σε όλες τις κατευθύνσεις ΄Η αλλιώς

η ένταση προς μία συγκεκριμένη κατεύθυνση προς την αντίστοιχη τιμή της αν ακτινοβολούσε

ισοτροπικά

D =U

Uo=

4pU

Prad(33)

΄Αν δεν ορίζεται κατεύθυνση σαν κατευθυντικότητα αναφέρεται η μέγιστη κατευθυντικότητα μίας

κεραίας

bull Κέρδος αν και συνδέεται με την κατευθυντικότητα είναι μία παράμετρος της κεραίας που λαμ-

βάνει υπόψιν και την αποδοτικότητα της κεραίας αλλά και τις δυνατότητες κατευθυντικότητας

Απόλυτο κέρδος κεραίας (σε συγκεκριμένη κατεύθυνση) ορίζεται ο λόγος της έντασης ακτινοβο-

λίας προς την ένταση ακτινοβολίας που θα είχε στη συγκεκριμένη κατεύθυνση άν όλη η ενέργεια

εισόδου της κεραίας εκπεμπόταν ισοτροπικά

κέρδος = 4π middot ένταση ακτινοβολίας

συνολική εισερχόμενη ενέργεια= 4π

U(θ φ)

Pinputrarr

G = 4π U(θφ)Pinput (ιδανικής ισοτροπικής πηγής)

(34)

bull Απόδοση κεραίας είναι ένας δείκτης που λαμβάνει υπόψιν τις απώλειες ενέργειας από την

είσοδο στην έξοδο της κεραίας λόγω πολλών φαινομένων Γενικά η συνολική απόδοση μίας

κεραίας δίνεται από τον τύπο

eo = er middot ec middot ed (35)

όπου eo είναι η συνολική απόδοση er είναι η απόδοση λόγω απωλειών ανακλάσεων (λόγω κακής

προσαρμογής) (= 1minus|Γ|2) ec είναι η απόδοση λόγω απωλειών αγωγιμότητας ed είναι η απόδοση

που οφείλεται στο διηλεκτρικό και Γ ο συντελεστής ανάκλασης τάσης

bull Απόδοση δέσμης είναι μία παράμετρος ποιότητας μίας κεραίας και ορίζεται από το λόγο της

ενέργειας που ακτινοβολείται από τον κύριο λοβό της κεραίας (με το λοβό σε γωνία θ0) προς τη

συνολική

BE =

acute 2π0

acute θ0U(θ φ)sin(θ)dθdφacute 2π

0

acute π0U(θ φ)sin(θ)dθdφ

(36)

όπου θ1 είναι η γωνία μισής ισχύος ΄Αν θεωρήσουμε το θ1 στην κατεύθυνση του πρώτου μηδενι-

σμού τότε θα έχουμε το λόγο της ισχύος του κυρίως λοβού προς τη συνολική

bull Εύρος σαν εύρος μιας κεραίας ορίζεται το εύρος των συχνοτήτων (bandwidth) στις οποίες

μπορεί να λειτουργήσει αποδοτικά βάσει κάποιων χαρακτηριστικών της πχ να έχει εύρος κύριου

λοβού εντός συγκεκριμένων ορίων διατηρώντας μία ελάχιστη τιμή SLL

20

33 Κατηγορίες κεραιών

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω οι κεραίες χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με τα μορ-

φολογικά αλλά και λειτουργικά χαρακτηριστικά τους Βάσει του τρόπου με τον οποίο εκπέμπουν ή

λαμβάνουν ή αλλιώς βάσει του διαγράμματος ακτινοβολίας τους χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες

bull Ισοτροπικές μία ισοτροπική κεραία ορίζεται ως μία υποθετική (ιδανική) κεραία η οποία ακτινο-

βολεί το ίδιο προς όλες τις κατευθύνσεις Δεν έχει κάποια πραγματική εφαρμογή στα τηλεπικοι-

νωνιακά συστήματα γιατί η ισχύς της εκπέμπεται προς όλες τις κατευθύνσεις το ίδιο προκαλώντας

μεγάλες απώλειες ισχύος σε ανεπιθύμητες κατευθύνσεις ΄Εχει μόνο θεωρητική αξία στη μελέτη

κεραιών και στον ορισμό κάποιων παραμέτρων των κεραιών όπως το κέρδος που είδαμε παραπάνω

bull Κατευθυντικές μία κατευθυντική κεραία ορίζεται ως η κεραία που έχει την ικανότητα να

εκπέμπει ή να λαμβάνει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αποτελεσματικότερα προς κάποιες κατευ-

θύνσεις Είναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κεραίες και η εξέλιξη αυτών είναι οι έξυπνες

κεραίες που ανάλογα με τις ανάγκες της κάθε συσκευής και τα χαρακτηριστικά του χώρου που

βρίσκεται μπορούν να αλλάξουν τη γωνία μέγιστης εκπομπής κάνοντας βέλτιστη χρήση της α-

κτινοβολούμενης ισχύος της

bull Πανκατευθυντικές μία πανκατευθυντική κεραία είναι μία κεραία η οποία ακτινοβολεί σαν

κατευθυντική εκτός από ένα επίπεδο στο οποίο εκπέμπει ή λαμβάνει ισοτροπικά Η χρήση τους

είναι κυρίως στα μέσα μαζικής επικοινωνίας όπου χρειάζεται κάλυψη του χώρου 360 μοιρών στο

οριζόντιο επίπεδο αλλά πολύ μικρής γωνίας στο κάθετο

Βάσει των μορφολογικών χαρακτηριστικών τους χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες Η κάθε

κατηγορία έχει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της που την καθιστούν κατάλληλη για κάποια

εφαρμογή και ακατάλληλη για κάποια άλλη Παρακάτω αναφέρονται οι κατηγορίες αυτές των κεραιών

με τα βασικά χαρακτηριστικά της κάθε μίας

bull Κεραίες σύρματος Είναι απλές κεραίες κατασκευασμένες από αγώγιμο υλικό συνήθως

κυκλικής διατομής Πολλές φορέα σχηματίζονται από πολλούς αγωγούς κατάλληλα συζευγμένους

μεταξύ τους σε πλέγματα διαφόρων σχημάτων που είτε δημιουργούν μία επιφάνεια είτε μία γραμμική

κεραία Η απλούστερη γραμμική κεραία είναι η κεραία διπόλου τα χαρακτηριστικά της οποίας είναι

ανάλογα με το σχετικό μήκος της ως προς το μήκος κύματος της ακτινοβολίας για την οποία προορίζε-

ται7 Οι συγκεκριμένες είναι πολύ απλές στην κατασκευή πολύ συχνά απλά συρμάτινες Αποτελείται

από ένα δίπολο του οποίου (συνήθως) η τροφοδοσία8είναι στη μέση Πλεονεκτήματα των κεραιών

αυτών είναι το κόστος το μέγεθος και η δυνατότητα κάλυψης μεγάλης περιοχής συχνοτήτων ενώ

έχουν το μειονέκτημα της χαμηλής απόδοσης λόγω των διαστάσεων τους Καλύτερα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης έχουν οι διπολικές κεραίες των οποίων το μήκος είναι της τάξης του μήκους κύματος

Σχήμα 35 Κεραία διπόλου

Μία κεραία σύρματος χαρακτηρίζεται ως rdquoλεπτήrdquoόταν η διάμε-

τρος του αγωγού είναι μικρότερη από 001λ Ανάλογα με το σχήμα

της χαρακτηρίζεται ως ευθύγραμη κεραία V ή πτυσσόμενη Στο

διπλανό σχήμα () φαίνονται μία ευθύγραμμη και μία πτυσσόμενη

διπολική κεραία Στις πτυσσόμενες σημαντική είναι η γωνία που

σχηματίζουν οι βραχίονες τους έχοντας βρεθεί ότι η μέγιστη

κατευθυντικότητα επιτυγχάνεται για γωνία α = 60λh

+ 380

όπου h είναι το μήκος του βραχίονα και λ το μήκος κύματος τη

ακτινοβολίας και ότι Dmax = 12 + 23hλ9

7Μία κεραία χαρακτηρίζεται ως ηλεκτρικά μικρή όταν οι διαστάσεις της είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος

της ακτινοβολίας8Με τον όρο τροφοδοσία εννοούμε το υπόλοιπο σύστημα το οποίο τροφοδοτεί η κεραία με το σήμα που λαμβάνει στην

περίπτωση κεραίας λήψης ή από το οποίο τροφοδοτείται με το σήμα που θα εκπέμψει στην περίπτωση κεραίας εκπομπής

9Η σχέση αυτή είναι εμπειρική και ισχύει για 05 lt h

λ lt 3

21

Σχήμα 36 Κεραία Yagi-Uda

Μία εξέλιξη των παραπάνω κεραιών είναι οι κεραίες Yagi-Udaπου ένα διάγραμμα ακτινοβολίας τέτοιας κεραίας παρατέθηκε

παραπάνω () Είναι ευθύγραμμες διπολικές κεραίες που α-

ποτελούνται από πέραν του ενός δίπολα τα οποία όμως δεν

τροφοδοτούνται όλα Τα μη τροφοδοτούμενα δίπολα ονομάζονται

παρασιτικά και τροφοδοτούνται επαγωγικά από τα υπόλοιπα Οι

κεραίες αυτές παρουσιάζουν αυξημένη κατευθυντικότητα σχετικά

με τις μη παρασιτικές κεραίες διπόλων Η πρώτη τέτοια κεραία

κατασκευάστηκε το 1926 και αποτελούταν από τρία δίπολα ένα

ενεργό και δύο παρασιτικά Στην περίπτωση που το παρασιτικό

δίπολο έχει μεγαλύτερο μήκος από του ενεργού ονομάζεται

ανακλαστήρας ενώ αν έχει μικρότερο ονομάζεται κατευθυντήρας

Μία γενική μορφή τέτοιας κεραίας φαίνεται στο διπλανό σχήμα με LR το μήκος του ανακλαστήρα και

LD το μήκος του κατευθυντήρα

bull Στοιχειοκεραίες Μία εξέλιξη των συρμάτινων κεραιών είναι οι στοιχειοκεραίες Οι

στοιχειοκεραίες αποτελούνται από πολλές κεραίες διπόλων τα στοιχεία τα οποία ενώνονται όλα σε

μία κοινή τροφοδοσία και αυτή είναι η βασική τους διαφορά από τις Yagi-Uda που έχουν παρασιτικά

στοιχεία και ο λόγος που οι τελευταίες δε θεωρούνται στοιχειοκεραίες Συστοιχείες λοιπόν πολλών

κεραιών φτιάχνουν τις στοιχειοκεραίες Ανάλογα με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της συστοιχίας

υπάρχουν κάποια είδη στοιχειοκεραιών όπως είναι οι γραμμικές (μία συστοιχία σε ευθεία γραμμή) και

οι επίπεδες (συστοιχείες συστοιχείων) Λόγω της ταυτόχρονης χρήσης πολλών κεραιών μπορούν να

συνδυάσουν τα χαρακτηριστικά τους δίνοντας δυνατότητα πολύπλοκων κατευθυντικών διαγραμμάτων

καθιστώντας τες κατάλληλες για πολλές εφαρμογές Συγκριτικά με μία κεραία μεγάλου μήκους που

θα έχει τα ίδια κατευθυντικά χαρακτηριστικά παρουσιάζει το πλεονέκτημα της εύκολης τροφοδο-

σίας της μηχανικής αντοχής και του μικρού κόστους εγκατάστασης και λειτουργίας Τέλος με

κατάλληλη τροφοδοσία του κάθε στοιχείου της μπορούμε να αλλάξουμε τα κατευθυντικά χαρακτηρι-

στικά της ΄Εχουν πολλές γεωμετρικές μορφές αλλά και είδη που θα αναφερθούν σε επόμενη παράγραφο

bull Κεραίες βρόχου ή πλαισίου Μία κεραία βρόχου αποτελείται από έναν κλειστό αγωγό σε

σχήμα βρόχου (ή και βρόχων) ο οποίος τροφοδοτείται σε ένα σημείο του Χωρίζονται σε κεραίες μικρού

και μεγάλου βρόχου συγκριτικά με το μήκος κύματος στο οποίο χρησιμοποιούνται10

Οι μικρού

βρόχου έχουν χαμηλή απόδοση και χρησιμοποιούνται κατά κόρον σε δέκτες χαμηλών συχνοτήτων

Εκτός από τους ραδιοφωνικούς δέκτες των αυτοκινήτων στους οποίους γίνεται μεγάλη χρήση των

κεραιών μικρού βρόχου το μεγαλύτερο ποσοστό των δεκτών AM χρησιμοποιούν τέτοιες κεραίες

Οι μεγάλου βρόχου έχουν ευρεία χρήση στους δέκτες VHF και UHF έχοντας και το επιπλέον

χαρακτηριστικό της μεταβλητής περιφέρειας δίνοντας δυνατότητα μεγαλύτερου εύρους συχνοτήτων

Γενικά οι κεραίες βρόχου είναι κεραίες με μεγάλη κατευθυντικότητα κάτι που τις κάνει ιδανικές σε

εφαρμογές εύρεσης κατεύθυνσης σήματος

bull Ελικοειδής κεραίες Μία ελικοειδής κεραία αποτελείται από έναν αγωγό που έχει τη μορφή

έλικας στον οποίο η τροφοδοσία είναι στο ένα του άκρο Αποτελεί συνδυασμό κεραίας βρόχου και

γραμμικής κεραίας οπότε μπορεί να εκπέμπει με δύο τρόπους (ρυθμούς) αξονικά και κάθετα στον άξονα

της έλικας κάτι που της δίνει βελτιωμένα χαρακτηριστικά συγκριτικά με τις δύο αυτές κατηγορίες

Χρησιμοποιείται κατά κόρον όπου απαιτείται κυκλική πόλωση σήματος σαν πομπός ή σε σήματα που

έχουν κυκλική πόλωση σαν δέκτης και έχει αρκετά μεγάλο εύρος ζώνης συχνοτήτων Ανάλογα με τα

χαρακτηριστικά που πρέπει να έχει μία ελικοειδής κεραία μπορεί να είναι ομοιόμορφη (όλες οι έλικες

ίδια διάμετρο) αυξανόμενης ελαττούμενης και αυξο-ελαττούμενης διαμέτρου ελίκων

bull Δικωνικές κεραίες ΄Αν δύο V ενωθούν κατακορυφήν σχηματίζεται μία δικωνική κεραία οι

οποίες έχουν αυξημένο εύρος συχνοτήτων Πολλές δικωνικές κεραίες έχουν τη δυνατότητα μεταβολής

10Σαν κεραία μικρού βρόχου θα χαρακτηριστεί η κεραία της οποίας η περιφέρεια θα είναι ίση ή μικρότερη από το ένα

δέκατο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας

22

του μήκους του βραχίονα τους δίνοντας ακόμα μεγαλύτερο εύρος Αν μία από τις δύο V κεραίες

αντικατασταθεί από μία αγώγιμη επιφάνεια σε σχήμα δίσκου έχουμε τη δισκωνική κεραία στην οποία

ο δίσκος λειτουργεί ως ανακλαστήρας Είναι κεραίες μικρής κατευθυντικότητας και χαμηλού κέρδους

και χρησιμοποιούνται πολύ σαν κεραίες ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών εκπομπών

bull Σπειροειδής κεραίες Οι σπειροειδής κεραίες είναι κεραίες με μεγάλο εύρος ζώνης

συχνοτήτων και μεγάλης κατευθυντικότητας Αποτελούνται από μία ή δύο αγωγούς που έχουν σχήμα

σπείρας και όσο μικρότερη γωνία ανοίγματος σπείρας έχουν τόσο μεγαλύτερη κατευθυντικότητα

Μπορεί να είναι επίπεδες ή κωνικές και η πόλωση του σήματος που λαμβάνουν ή εκπέμπουν είναι

ανάλογη με τη φορά των σπειρών Το εύρος συχνοτήτων τους δίνεται από το λόγο μεγαλύτερης προς

μικρότερης διαμέτρου άν και στην πραγματικότητα είναι λίγο μικρότερο του λόγου αυτού Μία αρκετά

διαδεδομένη σπειροειδής κεραία είναι η rdquoσπειροειδής του Αρχιμήδηrdquoη οποία αποτελείται από δύο σπε-

ίρες με r1 = r0φ και r2 = r0(φminusπ) οι οποίες συνήθως κατασκευάζονται πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα11

bull Κεραίες χοάνης Οι κεραίες χοάνης αποτελούνται από έναν αγωγό ο οποίος είναι από το

ένα άκρο του ανοιχτός και διεγείρεται από το άλλο του άκρο Με σωστή ρύθμιση έχουν μεγαλύτερη

απόδοση από τις συρμάτινες Ανάλογα με το σχήμα του αγωγού μπορεί να υπάρχουν αρκετά είδη

τέτοιων κεραιών τρία εκ των οποίων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα () Η κατευθυντικότητα της

είναι ανάλογη της γωνίας ανοίγματος της Στην πράξη συναντούμε ελάχιστες κεραίες χοάνης μόνες

τους αλλά σε συνδυασμό με έναν ανακλαστήρα έχουν πολύ διαδεδομένη χρήση λόγω της πολύ μεγάλης

κατευθυντικότητας που προσφέρουν ειδικά στις περιπτώσεις που ο ανακλαστήρας είναι παραβολικός

όπου υπάρχει η δυνατότητα παραγωγής πολύ στενής δέσμης υψηλού κέρδους και χαμηλού θορύβου

Χρησιμοποιούνται πολύ στις δορυφορικές επικοινωνίες και η πιο συνηθισμένη τους μορφή είναι τα umlπιάταrsquo

που χρησιμοποιούνται για τη λήψη δορυφορικών σημάτων

Σχήμα 37 Κεραίες χοάνης α)τομέας β)πυραμοειδής και γ)κωνική

bull Λογαριθμικές περιοδικές κεραίες Είναι κεραίες των οποίων τα μορφολογικά χα-

ρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με την απόσταση από την αρχή της κεραίας Υπάρχει ένα

επαναλαμβανόμενο στοιχείο κεραίας το οποίο μεγαλώνει όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της

κεραίας Μπορεί να είναι μία πλάκα με οδοντώσεις το μέγεθος των οποίων μεταβάλλεται ένα σύρμα

11Οι κεραίες που είναι κατασκευασμένες πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα ή αλλιώς σε μικροταινίες ανήκουν και στην

κατηγορία των μικροταινιακών κεραιών πολύ διαδεδομένη στις ηλεκτρονικές φορητές συσκευές που λειτουργούν στην

περιοχή των μικροκυμάτων (λόγω διαστάσεων κεραιών είναι ιδανικές για την περιοχή αυτή)

23

Σχήμα 38 Λογαριθμική περιοδική κεραία

το οποίο διπλώνεται κατάλληλα και το μέγεθος της κάθε δίπλωσης μεταβάλλεται ή ακόμα και από

δίπολα το μήκος των οποίων μεταβάλλεται Πολλές κεραίες που ανήκουν σε παραπάνω κατηγορίες είναι

λογαριθμικές μπορεί να είναι λογαριθμικές αν η μεταβολή των επαναλαμβανόμενων στοιχείων ακολουθεί

το συγκεκριμένο πρότυπο Μία τέτοια φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () η οποία ανήκει στην

κατηγορία των στοιχειοκεραίων Λόγω των επαναλαμβανόμενων στοιχείων των οποίων συνδυάζουν τα

χαρακτηριστικά μπορούν να έχουν πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων και συγκεκριμένα εύρος μίας τάξης

μεγέθους επιτυγχάνεται εύκολα και μπορούν να έχουν και αρκετά μεγάλη κατευθυντικότητα Βρίσκουν

πολλές εφαρμογές στις επικοινωνίες υψηλών συχνοτήτων και ειδικά στα τηλεοπτικά σήματα αφού με

μία κεραία μπορεί κάποιος να λαμβάνει ικανοποιητικά όλα τα διαθέσιμα κανάλια χωρίς καμία προσαρμογή

34 Στοιχειοκεραίες

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω η μορφή του διαγράμματος εκπομπής και λήψης των κεραιών

εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της κεραίας Σε πολλές εφαρμογές απαιτούνται κεραίες μεγάλου

κέρδους ή αλλιώς μεγάλης κατευθυντικότητας Μία κεραία για να έχει μεγάλη κατευθυντικότητα

θα πρέπει να έχει πολύ μεγάλο μέγεθος Το πρόβλημα αυτό λύνεται φτιάχνοντας σύνθετες κεραίες

Κεραίες που αποτελούνται από μικρότερες κεραίες είτε όμοιες μεταξύ τους είτε ανόμοιες Τέτοιες

συστοιχίες κεραιών όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ονομάζονται στοιχειοκεραίες Το κάθε στοιχείο

μίας στοιχειοκεραίας μπορεί να είναι οποιασδήποτε μορφής κεραία (σύρματος οπής κλπ) με βασικό

χαρακτηριστικό όλα τα στοιχεία να έχουν κοινή τροφοδοσία Το συνολικό πεδίο θα είναι το διανυ-

σματικό άθροισμα των πεδίων κάθε στοιχείου ξεχωριστά Οπότε μπορούμε να έχουμε το επιθυμητό

πεδίο φτιάχνοντας την κεραία μας έτσι ώστε στα σημεία που θέλουμε μεγάλο κέρδος να συμβάλουν

εποικοδομητικά τα πεδία των στοιχείων της κεραίας και στα σημεία που δεν θέλουμε να ακτινοβολεί να

έχουμε καταστροφική συμβολή

Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας θα εξαρτάται από τους εξείς παράγοντες

bull Τη γεωμετρία της στοιχειοκεραίας ( γραμμικήκυκλικήορθογώνια σφαιρική κλπ)

bull Την απόσταση μεταξύ των στοιχείων της κεραίας

bull Την ένταση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

bull Τη φάση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

24

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Κεφάλαιο 3

Κεραίες

31 Γενικά

Με τον όρο umlκεραίαrsquo αναφερόμαστε σε μία διάταξη που είναι σχεδιασμένη να δέχεται ηκαι να εκπέμπει

ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Είναι μία διάταξη η οποία μετατρέπει ηλεκτρομαγνητική ενέργεια που

οδεύει σε μια γραμμή μεταφοράς ή ένα κυματοδηγό σε ηλεκτρομαγνητικό κύμα στο χώρο και viceversa Οι κεραίες είναι είτε παθητικές

1 είτε τροφοδοτούμενες

2

Λόγω της μεγάλης ανάπτυξης των τηλεπικοινωνιών και των πολλών συστημάτων που χρησιμοποιούν-

ται3 έχει αναπτυχθεί μια τεράστια ποικιλία κεραιών ώστε να καλύπτουν τις ειδικές ανάγκες διαφόρων

εφαρμογών και να διευκολύνεται η κατασκευή και ένταξή τους στο φυσικό και δομημένο περιβάλλον

Η μεγάλη αυτή ποικιλία συστημάτων κεραιών επιβάλει τον διαχωρισμό τους σε κατηγορίες βάσει της

μορφής τους και της αρχής λειτουργίας τους Αλλά σε όποια κατηγορία και να ανήκει μία κεραία έχει

κάποια βασικά χαρακτηριστικά

32 Χαρακτηριστικά κεραιών

Σε μία κεραία αυτό που μας ενδιαφέρει είναι το πώς εκπέμπει ή λαμβάνει στο χώρο ή αλλιώς οι ιδιότητες

ακτινοβολίας (μακρινού πεδίου4) Η γραφική παράσταση των ιδιοτήτων αυτών γίνεται με το διάγραμμα

ακτινοβολίας της Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας κεραίας είναι δηλαδή η τρισδιάστατη γραφική

παράσταση των ιδιοτήτων ακτινοβολίας της κεραίας Βρίσκεται με μετρήσεις κάποιου μεγέθους με

τη μετατόπιση μίας πρόμπας γύρω από την κεραία Παριστάνει τη γωνιακή κατανομή του μέτρου της

έντασης του πεδίου της πυκνότητας ισχύος ή της έντασης ακτινοβολίας Επειδή θέλουμε το διάγραμμα

ακτινοβολίας να δίνει τη γενική συμπεριφορά της κεραίας σε οποιοδήποτε σήμα μπορεί να λάβει ή να

εκπέμψει οι τιμές είναι κανονικοποιημένες5

Τα διαγράμματα ακτινοβολίας σχεδιάζονται και για

την ικανότητα εκπομπής και λήψης μίας κεραίας και για συγκεκριμένη είναι τα ίδια (εκπομπής και λήψης)

Από τα διαγράμματα ακτινοβολίας βλέπουμε σε ποια σημεία του χώρου η κεραία εκπέμπει (ή αν

1Αποτελούνται μόνο από παθητικά στοιχεία απλά μετατρέπουν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα σε ηλεκτρομαγνητική ενέρ-

γεια χωρίς κάποια επεξεργασία του σήματος2΄Εχουν και ενεργά στοιχεία τα οποία μπορούν να κάνουν ενίσχυση σήματος ή ακόμα και επεξεργασία σήματος όπως

πχ μεταβολή συχνότητας3Από τις πιο μικρές ηλεκτρονικές συσκευές πχ πομποί GPS (Global Positioning System) μέχρι μεγάλα συστήματα

πχ δορυφόροι οπουδήποτε εφαρμόζεται ασύρματη επικοινωνία απαραίτητο εξάρτημα είναι μία κεραία4Ο χώρος γύρω από μία κεραία ως προς την κεραία χωρίζεται σε μακρινό και κοντινό πεδίο Στο κοντινό πεδίο

το διάγραμμα επηρεάζεται έντονα από τις επαγωγικές και χωρητικές συνιστώσες που εμφανίζονται στην κεραία κατά τη

ροή του ρεύματος ενώ στο μακρινό όχι και γι΄ αυτό το διάγραμμα του μακρινού πεδίου είναι σταθεροποιημένο ενώ του

κοντινού όχι Τα διαγράμματα που δίνουν οι κατασκευαστές είναι διαγράμματα μακρινού πεδίου Διάκριση μεταξύ μακρινού

και κοντινού πεδίου γίνεται βάσει της απόστασης από την κεραία όπου για R gt 2lowastD2

λ θεωρούμε μακρινό πεδίο όπου λ

είναι το μήκος κύματος D η διάμετρος της κεραίας και R η απόσταση από αυτήν5Λόγω των κανονικοποιημένων τιμών του διαγράμματος ακτινοβολίας το διάγραμμα πυκνότητας ισχύος και έντασης

ακτινοβολίας είναι ταυτόσημα

17

είναι διάγραμμα λήψης λαμβάνει) τη μεγαλύτερη και σε ποια τη μικρότερη ισχύ Το τρισδιάστατο

της περιγραφής επιτυγχάνεται με το συνδυασμό δύο διαγραμμάτων το κάθετο (κάθετη τομή στον

τρισδιάστατο χώρο) και το οριζόντιο (οριζόντια τομή) Η κεραία θεωρείται στο κέντρο του διαγράμματος

και το διάγραμμα συνδέει στην ουσία τον χώρο με την ακτινοβολούμενη ισχύ ή με την ικανότητα

λήψης ισχύος για διάγραμμα εκπομπής και λήψης αντίστοιχα και είναι όπως προαναφέρθηκε η

γραφική αναπαράσταση της συμπεριφοράς της κεραίας στο χώρο Μας δείχνει σε ποιες περιοχές του

χώρου εκπέμπει και πόση ισχύ ή αντίστοιχα από ποιες περιοχές του χώρου και πόση ισχύ μπορεί

να λάβει η κεραία Είτε επειδή δε θέλουμε σπατάλη ισχύος σε rdquoαδιάφορεςrdquoπεριοχές είτε επειδή δεν

θέλουμε να παρεμβάλλουμε δημιουργώντας θόρυβο σε άλλες κεραίες κατά την εκπομπή και είτε επειδή

θέλουμε να λαμβάνουμε τη μέγιστη δυνατή ισχύ αν ξέρουμε από που λαμβάνουμε και να μειώνουμε

το θόρυβο από τις άλλες πηγές τα διαγράμματα ακτινοβολίας είναι πολύ χρήσιμα στο σχεδιασμό μίας

κεραίας Τέλος μία άλλη χρήση είναι η σύγκριση κεραιών είτε γενικά είτε για συγκεκριμένες εφαρμογές

Σχήμα 31 Διάγραμμα ακτινοβολίας

Στο διπλανό σχήμα () φαίνεται ένα τυπικό και αρκετά

απλοποιημένο διάγραμμα ακτινοβολίας Σε αυτό διακρίνουμε

τον κύριο λοβό που είναι το τμήμα η μεγαλύτερη κλειστή

καμπύλη που διακρίνεται από το γεγονός ότι έχει τη μέγιστη

τιμή στο διάγραμμα Συνήθως τα διαγράμματα ακτινοβολίας

είναι πολικά όπως αυτό του σχήματος 31 με βαθμονόμηση

από 0μέχρι 360

και ο κύριος λοβός στη γενική περίπτωση

τοποθετείται στις 0 Ο λοβός που βρίσκεται στις 180

ονο-

μάζεται οπίσθιος λοβός και οι υπόλοιποι λοβοί ονομάζονται

πλευρικοί Ανάλογα με την περίπτωση οι υπόλοιποι εκτός του

κύριου είναι ανεπιθύμητοι είτε επιθυμητοί και προσπαθούμε

αντίστοιχα να τους καταστείλουμε ή να τους ενισχύσουμε

Οι πλευρικοί λοβοί οφείλονται σε φαινόμενα καταστροφικής

ή εποικοδομητικής συμβολής των κυμάτων που εκπέμπονται

από τη κεραία Η κλίμακα στο διάγραμμα είναι σε deciBellκαι τα μεγέθη είναι κανονικοποιημένα

6 ΄Ετσι η μέγιστη τιμή θα είναι στα 0 db και οι υπόλοιπες

σε αρνητικές τιμές Τα διαγράμματα αυτά έχουν τέτοια βαθμονόμηση γιατί θέλουμε να εκφράζουν

ποιοτικά τη συμπεριφορά της κεραίας αλλά και γιατί οι τιμές έντασης ή ισχύος που θέλουμε να αναπα-

ραστήσουμε είναι πολλών τάξεων μεγέθους και θα θέλαμε πολύ μεγάλα διαγράμματα για κανονικές τιμές

΄Ενα πιο αναλυτικό διάγραμμα ακτινοβολίας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () και είναι διάγραμμα

μίας κεραίας Yagi-Uda Οι κύκλοι που φαίνονται στο διάγραμμα αντιστοιχούν στις τιμές -3 -10 -20

-30 και -40 dB και είναι χωρισμένοι σε τμήματα των 10 Οι κύκλοι αυτοί δείχνουν τα σημεία που

έχει μειωθεί το μέγεθος στο 50 στο 10 στο 1 στο 01 και στο 001 αντίστοιχα Η

γωνία των σημείων στα οποία ο κύριος λοβός τέμνει τον πρώτο κύκλο ονομάζεται γωνία ημίσειας ισχύος

Σχήμα 32 Καρτεσιανό διάγραμμα

Εκτός των πολικών διαγραμμάτων υπάρχουν και τα καρτεσιανά

τα οποία είναι η καρτεσιανή προβολή των πολικών Παράδειγμα

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () όπου φαίνεται το άνοιγμα μισής

ισχύος και το επίπεδο του πρώτου πλευρικού λοβού Επειδή τα

διαγράμματα ακτινοβολίας σχηματίζονται όπως προαναφέρθηκε

και αφορούν τη χωρική συμπεριφορά μίας κεραίας στο μακρινό

πεδίο οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε την κεραία ως σημείο

τα καρτεσιανά διαγράμματα δεν έχουν καλή αναπαράσταση της

πραγματικότητας Αλλά είναι αρκετά χρήσιμα στη μελέτη κεραιών

και στην καλύτερη εποπτεία των χαρακτηριστικών της από τα πολικά και για το λόγο αυτό σχεδιάζονται

και χρησιμοποιούνται κατά κόρον

6΄Ενα κανονικοποιημένο διάγραμμα έχει την ίδια μορφή με ένα μη κανονικοποιημένο με μόνη αλλαγή την κλίμακα και

ότι τα μεγέθη είναι ο λογάριθμος του λόγου της τιμής προς τη μέγιστη

18

Σχήμα 33 Διάγραμμα ακτινοβολίας Yagi-Uda κεραίας

Από ένα διάγραμμα ακτινοβολίας μπορούμε να βρούμε τα παρακάτω χαρακτηριστικά μίας κεραίας (ή

και παραμέτρους του διαγράμματος όπως αναφέρονται συχνά)

Σχήμα 34 Ισοτροπική και μη

bull Κατευθυντικότητα δείκτης της ικανότητα της κεραίας να

συγκεντρώσει την ακτινοβολία εκπομπής προς μία συγκεκριμένη

κατεύθυνση και βρίσκεται αναφορικά με μία ιδανική (ισοτροπική)

κεραία Η σύγκριση την όποιας κεραίας με μία ισοτροπική φαίνεται

στο διπλανό σχήμα () Τα εμβαδά είναι ίσα οπότε εκπέμπουν

και οι δύο την ίδια ισχύ αλλά στην επιθυμητή κατεύθυνση η μη

ισοτροπική στέλνει μεγαλύτερη ισχύ Η κατευθυντικότητα λοιπόν

είναι η διαφορά σε dB των δύο διαγραμμάτων στην κατεύθυνση

του μεγίστου Είναι αντιστρόφως ανάλογη με το εύρος του κυρίως

λοβού

bull Εύρος δέσμης μισής ισχύος οριζόντιου και κάθετου επιπέδου ( HPBW )

αναφέρεται στην ενεργό περιοχή κάλυψης της κεραίας και ορίζεται ώς η γωνία μεταξύ των σημείων

του κύριου λοβού όπου η ισχύς είναι μισή της μέγιστης ή σε dB 3dB κάτω από την μέγιστη και

προσδιορίζει την περιοχή που εμφανίζεται μέγιστη εκπομπή ενώ εκτός της περιοχής αυτής η ισχύς

μειώνεται πολύ γρήγορα

bull Εύρος δέσμης επίπεδο (dB) πρώτων σημείων μηδενισμού οριζόντιου καικάθετου επιπέδου (FNBW) ορίζεται ως η γωνία μεταξύ των δύο πρώτων μηδενισμών του

μεγέθους εκατέρωθεν του κύριου λοβού

bull Λόγος κύριου προς οπίσθιο λοβό (FB)

bull Επίπεδα (dB) και εύρος γωνιών πλευρικών λοβών και οπίσθιων λοβώνbull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με τον αμέσως μικρότερο λοβό του διαγράμ-ματος ακτινοβολίας

bull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με όλους τους υπόλοιπους του διαγράμματοςακτινοβολίας

bull Λόγος κύριου προς επόμενο μεγαλύτερο λοβό (Side-Lobe Level) ορίζεται ως ο λόγος

του μεγίστου του κυρίως λοβού προς τον αμέσως μικρότερο πλευρικό λοβό (SLL = MainLobeMaxSideLobe

dB)

και είναι ένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά μίας κεραίας Πολλές φορές αναφέρεται και ώς επίπεδο

πλευρικών λοβών

Τα χαρακτηριστικά μίας κεραίας μπορούν να υπολογιστούν και να περιγραφούν όχι μόνο βάσει του

19

διαγράμματος ακτινοβολίας της Μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της μετρώντας και υπολο-

γίζοντας κατάλληλα μεγέθη και κάνοντας χρήση γνωστών μαθηματικών τύπων

bull Συνολική ακτινοβολούμενη ενέργεια η συνολική (ή μέσος όρος) ενέργεια που ακτινο-

βολεί μία κεραία και υπολογίζεται από τον τύπο

Prad = Pav =

lsaquoS

~Wrad middot d~s =

lsaquoS

~Wav middot n middot da =1

2

lsaquoS

lt( ~E times ~H) middot d~s (31)

όπου Wrad=πυκνότητα ακτινοβολίας

bull ΄Ενταση ακτινοβολίας η ενέργεια που εκπέμπεται από μία κεραία ανά μονάδα στερεάς γωνίας

U = r2 middotWrad (32)

όπου r=απόσταση

bull Κατευθυντικότητα είναι ο λόγος της ακτινοβολούμενης ενέργειας σε μία συγκεκριμένη κα-

τεύθυνση προς το μέσο όρο εκπεμπόμενης ακτινοβολίας σε όλες τις κατευθύνσεις ΄Η αλλιώς

η ένταση προς μία συγκεκριμένη κατεύθυνση προς την αντίστοιχη τιμή της αν ακτινοβολούσε

ισοτροπικά

D =U

Uo=

4pU

Prad(33)

΄Αν δεν ορίζεται κατεύθυνση σαν κατευθυντικότητα αναφέρεται η μέγιστη κατευθυντικότητα μίας

κεραίας

bull Κέρδος αν και συνδέεται με την κατευθυντικότητα είναι μία παράμετρος της κεραίας που λαμ-

βάνει υπόψιν και την αποδοτικότητα της κεραίας αλλά και τις δυνατότητες κατευθυντικότητας

Απόλυτο κέρδος κεραίας (σε συγκεκριμένη κατεύθυνση) ορίζεται ο λόγος της έντασης ακτινοβο-

λίας προς την ένταση ακτινοβολίας που θα είχε στη συγκεκριμένη κατεύθυνση άν όλη η ενέργεια

εισόδου της κεραίας εκπεμπόταν ισοτροπικά

κέρδος = 4π middot ένταση ακτινοβολίας

συνολική εισερχόμενη ενέργεια= 4π

U(θ φ)

Pinputrarr

G = 4π U(θφ)Pinput (ιδανικής ισοτροπικής πηγής)

(34)

bull Απόδοση κεραίας είναι ένας δείκτης που λαμβάνει υπόψιν τις απώλειες ενέργειας από την

είσοδο στην έξοδο της κεραίας λόγω πολλών φαινομένων Γενικά η συνολική απόδοση μίας

κεραίας δίνεται από τον τύπο

eo = er middot ec middot ed (35)

όπου eo είναι η συνολική απόδοση er είναι η απόδοση λόγω απωλειών ανακλάσεων (λόγω κακής

προσαρμογής) (= 1minus|Γ|2) ec είναι η απόδοση λόγω απωλειών αγωγιμότητας ed είναι η απόδοση

που οφείλεται στο διηλεκτρικό και Γ ο συντελεστής ανάκλασης τάσης

bull Απόδοση δέσμης είναι μία παράμετρος ποιότητας μίας κεραίας και ορίζεται από το λόγο της

ενέργειας που ακτινοβολείται από τον κύριο λοβό της κεραίας (με το λοβό σε γωνία θ0) προς τη

συνολική

BE =

acute 2π0

acute θ0U(θ φ)sin(θ)dθdφacute 2π

0

acute π0U(θ φ)sin(θ)dθdφ

(36)

όπου θ1 είναι η γωνία μισής ισχύος ΄Αν θεωρήσουμε το θ1 στην κατεύθυνση του πρώτου μηδενι-

σμού τότε θα έχουμε το λόγο της ισχύος του κυρίως λοβού προς τη συνολική

bull Εύρος σαν εύρος μιας κεραίας ορίζεται το εύρος των συχνοτήτων (bandwidth) στις οποίες

μπορεί να λειτουργήσει αποδοτικά βάσει κάποιων χαρακτηριστικών της πχ να έχει εύρος κύριου

λοβού εντός συγκεκριμένων ορίων διατηρώντας μία ελάχιστη τιμή SLL

20

33 Κατηγορίες κεραιών

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω οι κεραίες χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με τα μορ-

φολογικά αλλά και λειτουργικά χαρακτηριστικά τους Βάσει του τρόπου με τον οποίο εκπέμπουν ή

λαμβάνουν ή αλλιώς βάσει του διαγράμματος ακτινοβολίας τους χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες

bull Ισοτροπικές μία ισοτροπική κεραία ορίζεται ως μία υποθετική (ιδανική) κεραία η οποία ακτινο-

βολεί το ίδιο προς όλες τις κατευθύνσεις Δεν έχει κάποια πραγματική εφαρμογή στα τηλεπικοι-

νωνιακά συστήματα γιατί η ισχύς της εκπέμπεται προς όλες τις κατευθύνσεις το ίδιο προκαλώντας

μεγάλες απώλειες ισχύος σε ανεπιθύμητες κατευθύνσεις ΄Εχει μόνο θεωρητική αξία στη μελέτη

κεραιών και στον ορισμό κάποιων παραμέτρων των κεραιών όπως το κέρδος που είδαμε παραπάνω

bull Κατευθυντικές μία κατευθυντική κεραία ορίζεται ως η κεραία που έχει την ικανότητα να

εκπέμπει ή να λαμβάνει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αποτελεσματικότερα προς κάποιες κατευ-

θύνσεις Είναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κεραίες και η εξέλιξη αυτών είναι οι έξυπνες

κεραίες που ανάλογα με τις ανάγκες της κάθε συσκευής και τα χαρακτηριστικά του χώρου που

βρίσκεται μπορούν να αλλάξουν τη γωνία μέγιστης εκπομπής κάνοντας βέλτιστη χρήση της α-

κτινοβολούμενης ισχύος της

bull Πανκατευθυντικές μία πανκατευθυντική κεραία είναι μία κεραία η οποία ακτινοβολεί σαν

κατευθυντική εκτός από ένα επίπεδο στο οποίο εκπέμπει ή λαμβάνει ισοτροπικά Η χρήση τους

είναι κυρίως στα μέσα μαζικής επικοινωνίας όπου χρειάζεται κάλυψη του χώρου 360 μοιρών στο

οριζόντιο επίπεδο αλλά πολύ μικρής γωνίας στο κάθετο

Βάσει των μορφολογικών χαρακτηριστικών τους χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες Η κάθε

κατηγορία έχει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της που την καθιστούν κατάλληλη για κάποια

εφαρμογή και ακατάλληλη για κάποια άλλη Παρακάτω αναφέρονται οι κατηγορίες αυτές των κεραιών

με τα βασικά χαρακτηριστικά της κάθε μίας

bull Κεραίες σύρματος Είναι απλές κεραίες κατασκευασμένες από αγώγιμο υλικό συνήθως

κυκλικής διατομής Πολλές φορέα σχηματίζονται από πολλούς αγωγούς κατάλληλα συζευγμένους

μεταξύ τους σε πλέγματα διαφόρων σχημάτων που είτε δημιουργούν μία επιφάνεια είτε μία γραμμική

κεραία Η απλούστερη γραμμική κεραία είναι η κεραία διπόλου τα χαρακτηριστικά της οποίας είναι

ανάλογα με το σχετικό μήκος της ως προς το μήκος κύματος της ακτινοβολίας για την οποία προορίζε-

ται7 Οι συγκεκριμένες είναι πολύ απλές στην κατασκευή πολύ συχνά απλά συρμάτινες Αποτελείται

από ένα δίπολο του οποίου (συνήθως) η τροφοδοσία8είναι στη μέση Πλεονεκτήματα των κεραιών

αυτών είναι το κόστος το μέγεθος και η δυνατότητα κάλυψης μεγάλης περιοχής συχνοτήτων ενώ

έχουν το μειονέκτημα της χαμηλής απόδοσης λόγω των διαστάσεων τους Καλύτερα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης έχουν οι διπολικές κεραίες των οποίων το μήκος είναι της τάξης του μήκους κύματος

Σχήμα 35 Κεραία διπόλου

Μία κεραία σύρματος χαρακτηρίζεται ως rdquoλεπτήrdquoόταν η διάμε-

τρος του αγωγού είναι μικρότερη από 001λ Ανάλογα με το σχήμα

της χαρακτηρίζεται ως ευθύγραμη κεραία V ή πτυσσόμενη Στο

διπλανό σχήμα () φαίνονται μία ευθύγραμμη και μία πτυσσόμενη

διπολική κεραία Στις πτυσσόμενες σημαντική είναι η γωνία που

σχηματίζουν οι βραχίονες τους έχοντας βρεθεί ότι η μέγιστη

κατευθυντικότητα επιτυγχάνεται για γωνία α = 60λh

+ 380

όπου h είναι το μήκος του βραχίονα και λ το μήκος κύματος τη

ακτινοβολίας και ότι Dmax = 12 + 23hλ9

7Μία κεραία χαρακτηρίζεται ως ηλεκτρικά μικρή όταν οι διαστάσεις της είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος

της ακτινοβολίας8Με τον όρο τροφοδοσία εννοούμε το υπόλοιπο σύστημα το οποίο τροφοδοτεί η κεραία με το σήμα που λαμβάνει στην

περίπτωση κεραίας λήψης ή από το οποίο τροφοδοτείται με το σήμα που θα εκπέμψει στην περίπτωση κεραίας εκπομπής

9Η σχέση αυτή είναι εμπειρική και ισχύει για 05 lt h

λ lt 3

21

Σχήμα 36 Κεραία Yagi-Uda

Μία εξέλιξη των παραπάνω κεραιών είναι οι κεραίες Yagi-Udaπου ένα διάγραμμα ακτινοβολίας τέτοιας κεραίας παρατέθηκε

παραπάνω () Είναι ευθύγραμμες διπολικές κεραίες που α-

ποτελούνται από πέραν του ενός δίπολα τα οποία όμως δεν

τροφοδοτούνται όλα Τα μη τροφοδοτούμενα δίπολα ονομάζονται

παρασιτικά και τροφοδοτούνται επαγωγικά από τα υπόλοιπα Οι

κεραίες αυτές παρουσιάζουν αυξημένη κατευθυντικότητα σχετικά

με τις μη παρασιτικές κεραίες διπόλων Η πρώτη τέτοια κεραία

κατασκευάστηκε το 1926 και αποτελούταν από τρία δίπολα ένα

ενεργό και δύο παρασιτικά Στην περίπτωση που το παρασιτικό

δίπολο έχει μεγαλύτερο μήκος από του ενεργού ονομάζεται

ανακλαστήρας ενώ αν έχει μικρότερο ονομάζεται κατευθυντήρας

Μία γενική μορφή τέτοιας κεραίας φαίνεται στο διπλανό σχήμα με LR το μήκος του ανακλαστήρα και

LD το μήκος του κατευθυντήρα

bull Στοιχειοκεραίες Μία εξέλιξη των συρμάτινων κεραιών είναι οι στοιχειοκεραίες Οι

στοιχειοκεραίες αποτελούνται από πολλές κεραίες διπόλων τα στοιχεία τα οποία ενώνονται όλα σε

μία κοινή τροφοδοσία και αυτή είναι η βασική τους διαφορά από τις Yagi-Uda που έχουν παρασιτικά

στοιχεία και ο λόγος που οι τελευταίες δε θεωρούνται στοιχειοκεραίες Συστοιχείες λοιπόν πολλών

κεραιών φτιάχνουν τις στοιχειοκεραίες Ανάλογα με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της συστοιχίας

υπάρχουν κάποια είδη στοιχειοκεραιών όπως είναι οι γραμμικές (μία συστοιχία σε ευθεία γραμμή) και

οι επίπεδες (συστοιχείες συστοιχείων) Λόγω της ταυτόχρονης χρήσης πολλών κεραιών μπορούν να

συνδυάσουν τα χαρακτηριστικά τους δίνοντας δυνατότητα πολύπλοκων κατευθυντικών διαγραμμάτων

καθιστώντας τες κατάλληλες για πολλές εφαρμογές Συγκριτικά με μία κεραία μεγάλου μήκους που

θα έχει τα ίδια κατευθυντικά χαρακτηριστικά παρουσιάζει το πλεονέκτημα της εύκολης τροφοδο-

σίας της μηχανικής αντοχής και του μικρού κόστους εγκατάστασης και λειτουργίας Τέλος με

κατάλληλη τροφοδοσία του κάθε στοιχείου της μπορούμε να αλλάξουμε τα κατευθυντικά χαρακτηρι-

στικά της ΄Εχουν πολλές γεωμετρικές μορφές αλλά και είδη που θα αναφερθούν σε επόμενη παράγραφο

bull Κεραίες βρόχου ή πλαισίου Μία κεραία βρόχου αποτελείται από έναν κλειστό αγωγό σε

σχήμα βρόχου (ή και βρόχων) ο οποίος τροφοδοτείται σε ένα σημείο του Χωρίζονται σε κεραίες μικρού

και μεγάλου βρόχου συγκριτικά με το μήκος κύματος στο οποίο χρησιμοποιούνται10

Οι μικρού

βρόχου έχουν χαμηλή απόδοση και χρησιμοποιούνται κατά κόρον σε δέκτες χαμηλών συχνοτήτων

Εκτός από τους ραδιοφωνικούς δέκτες των αυτοκινήτων στους οποίους γίνεται μεγάλη χρήση των

κεραιών μικρού βρόχου το μεγαλύτερο ποσοστό των δεκτών AM χρησιμοποιούν τέτοιες κεραίες

Οι μεγάλου βρόχου έχουν ευρεία χρήση στους δέκτες VHF και UHF έχοντας και το επιπλέον

χαρακτηριστικό της μεταβλητής περιφέρειας δίνοντας δυνατότητα μεγαλύτερου εύρους συχνοτήτων

Γενικά οι κεραίες βρόχου είναι κεραίες με μεγάλη κατευθυντικότητα κάτι που τις κάνει ιδανικές σε

εφαρμογές εύρεσης κατεύθυνσης σήματος

bull Ελικοειδής κεραίες Μία ελικοειδής κεραία αποτελείται από έναν αγωγό που έχει τη μορφή

έλικας στον οποίο η τροφοδοσία είναι στο ένα του άκρο Αποτελεί συνδυασμό κεραίας βρόχου και

γραμμικής κεραίας οπότε μπορεί να εκπέμπει με δύο τρόπους (ρυθμούς) αξονικά και κάθετα στον άξονα

της έλικας κάτι που της δίνει βελτιωμένα χαρακτηριστικά συγκριτικά με τις δύο αυτές κατηγορίες

Χρησιμοποιείται κατά κόρον όπου απαιτείται κυκλική πόλωση σήματος σαν πομπός ή σε σήματα που

έχουν κυκλική πόλωση σαν δέκτης και έχει αρκετά μεγάλο εύρος ζώνης συχνοτήτων Ανάλογα με τα

χαρακτηριστικά που πρέπει να έχει μία ελικοειδής κεραία μπορεί να είναι ομοιόμορφη (όλες οι έλικες

ίδια διάμετρο) αυξανόμενης ελαττούμενης και αυξο-ελαττούμενης διαμέτρου ελίκων

bull Δικωνικές κεραίες ΄Αν δύο V ενωθούν κατακορυφήν σχηματίζεται μία δικωνική κεραία οι

οποίες έχουν αυξημένο εύρος συχνοτήτων Πολλές δικωνικές κεραίες έχουν τη δυνατότητα μεταβολής

10Σαν κεραία μικρού βρόχου θα χαρακτηριστεί η κεραία της οποίας η περιφέρεια θα είναι ίση ή μικρότερη από το ένα

δέκατο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας

22

του μήκους του βραχίονα τους δίνοντας ακόμα μεγαλύτερο εύρος Αν μία από τις δύο V κεραίες

αντικατασταθεί από μία αγώγιμη επιφάνεια σε σχήμα δίσκου έχουμε τη δισκωνική κεραία στην οποία

ο δίσκος λειτουργεί ως ανακλαστήρας Είναι κεραίες μικρής κατευθυντικότητας και χαμηλού κέρδους

και χρησιμοποιούνται πολύ σαν κεραίες ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών εκπομπών

bull Σπειροειδής κεραίες Οι σπειροειδής κεραίες είναι κεραίες με μεγάλο εύρος ζώνης

συχνοτήτων και μεγάλης κατευθυντικότητας Αποτελούνται από μία ή δύο αγωγούς που έχουν σχήμα

σπείρας και όσο μικρότερη γωνία ανοίγματος σπείρας έχουν τόσο μεγαλύτερη κατευθυντικότητα

Μπορεί να είναι επίπεδες ή κωνικές και η πόλωση του σήματος που λαμβάνουν ή εκπέμπουν είναι

ανάλογη με τη φορά των σπειρών Το εύρος συχνοτήτων τους δίνεται από το λόγο μεγαλύτερης προς

μικρότερης διαμέτρου άν και στην πραγματικότητα είναι λίγο μικρότερο του λόγου αυτού Μία αρκετά

διαδεδομένη σπειροειδής κεραία είναι η rdquoσπειροειδής του Αρχιμήδηrdquoη οποία αποτελείται από δύο σπε-

ίρες με r1 = r0φ και r2 = r0(φminusπ) οι οποίες συνήθως κατασκευάζονται πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα11

bull Κεραίες χοάνης Οι κεραίες χοάνης αποτελούνται από έναν αγωγό ο οποίος είναι από το

ένα άκρο του ανοιχτός και διεγείρεται από το άλλο του άκρο Με σωστή ρύθμιση έχουν μεγαλύτερη

απόδοση από τις συρμάτινες Ανάλογα με το σχήμα του αγωγού μπορεί να υπάρχουν αρκετά είδη

τέτοιων κεραιών τρία εκ των οποίων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα () Η κατευθυντικότητα της

είναι ανάλογη της γωνίας ανοίγματος της Στην πράξη συναντούμε ελάχιστες κεραίες χοάνης μόνες

τους αλλά σε συνδυασμό με έναν ανακλαστήρα έχουν πολύ διαδεδομένη χρήση λόγω της πολύ μεγάλης

κατευθυντικότητας που προσφέρουν ειδικά στις περιπτώσεις που ο ανακλαστήρας είναι παραβολικός

όπου υπάρχει η δυνατότητα παραγωγής πολύ στενής δέσμης υψηλού κέρδους και χαμηλού θορύβου

Χρησιμοποιούνται πολύ στις δορυφορικές επικοινωνίες και η πιο συνηθισμένη τους μορφή είναι τα umlπιάταrsquo

που χρησιμοποιούνται για τη λήψη δορυφορικών σημάτων

Σχήμα 37 Κεραίες χοάνης α)τομέας β)πυραμοειδής και γ)κωνική

bull Λογαριθμικές περιοδικές κεραίες Είναι κεραίες των οποίων τα μορφολογικά χα-

ρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με την απόσταση από την αρχή της κεραίας Υπάρχει ένα

επαναλαμβανόμενο στοιχείο κεραίας το οποίο μεγαλώνει όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της

κεραίας Μπορεί να είναι μία πλάκα με οδοντώσεις το μέγεθος των οποίων μεταβάλλεται ένα σύρμα

11Οι κεραίες που είναι κατασκευασμένες πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα ή αλλιώς σε μικροταινίες ανήκουν και στην

κατηγορία των μικροταινιακών κεραιών πολύ διαδεδομένη στις ηλεκτρονικές φορητές συσκευές που λειτουργούν στην

περιοχή των μικροκυμάτων (λόγω διαστάσεων κεραιών είναι ιδανικές για την περιοχή αυτή)

23

Σχήμα 38 Λογαριθμική περιοδική κεραία

το οποίο διπλώνεται κατάλληλα και το μέγεθος της κάθε δίπλωσης μεταβάλλεται ή ακόμα και από

δίπολα το μήκος των οποίων μεταβάλλεται Πολλές κεραίες που ανήκουν σε παραπάνω κατηγορίες είναι

λογαριθμικές μπορεί να είναι λογαριθμικές αν η μεταβολή των επαναλαμβανόμενων στοιχείων ακολουθεί

το συγκεκριμένο πρότυπο Μία τέτοια φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () η οποία ανήκει στην

κατηγορία των στοιχειοκεραίων Λόγω των επαναλαμβανόμενων στοιχείων των οποίων συνδυάζουν τα

χαρακτηριστικά μπορούν να έχουν πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων και συγκεκριμένα εύρος μίας τάξης

μεγέθους επιτυγχάνεται εύκολα και μπορούν να έχουν και αρκετά μεγάλη κατευθυντικότητα Βρίσκουν

πολλές εφαρμογές στις επικοινωνίες υψηλών συχνοτήτων και ειδικά στα τηλεοπτικά σήματα αφού με

μία κεραία μπορεί κάποιος να λαμβάνει ικανοποιητικά όλα τα διαθέσιμα κανάλια χωρίς καμία προσαρμογή

34 Στοιχειοκεραίες

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω η μορφή του διαγράμματος εκπομπής και λήψης των κεραιών

εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της κεραίας Σε πολλές εφαρμογές απαιτούνται κεραίες μεγάλου

κέρδους ή αλλιώς μεγάλης κατευθυντικότητας Μία κεραία για να έχει μεγάλη κατευθυντικότητα

θα πρέπει να έχει πολύ μεγάλο μέγεθος Το πρόβλημα αυτό λύνεται φτιάχνοντας σύνθετες κεραίες

Κεραίες που αποτελούνται από μικρότερες κεραίες είτε όμοιες μεταξύ τους είτε ανόμοιες Τέτοιες

συστοιχίες κεραιών όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ονομάζονται στοιχειοκεραίες Το κάθε στοιχείο

μίας στοιχειοκεραίας μπορεί να είναι οποιασδήποτε μορφής κεραία (σύρματος οπής κλπ) με βασικό

χαρακτηριστικό όλα τα στοιχεία να έχουν κοινή τροφοδοσία Το συνολικό πεδίο θα είναι το διανυ-

σματικό άθροισμα των πεδίων κάθε στοιχείου ξεχωριστά Οπότε μπορούμε να έχουμε το επιθυμητό

πεδίο φτιάχνοντας την κεραία μας έτσι ώστε στα σημεία που θέλουμε μεγάλο κέρδος να συμβάλουν

εποικοδομητικά τα πεδία των στοιχείων της κεραίας και στα σημεία που δεν θέλουμε να ακτινοβολεί να

έχουμε καταστροφική συμβολή

Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας θα εξαρτάται από τους εξείς παράγοντες

bull Τη γεωμετρία της στοιχειοκεραίας ( γραμμικήκυκλικήορθογώνια σφαιρική κλπ)

bull Την απόσταση μεταξύ των στοιχείων της κεραίας

bull Την ένταση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

bull Τη φάση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

24

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

είναι διάγραμμα λήψης λαμβάνει) τη μεγαλύτερη και σε ποια τη μικρότερη ισχύ Το τρισδιάστατο

της περιγραφής επιτυγχάνεται με το συνδυασμό δύο διαγραμμάτων το κάθετο (κάθετη τομή στον

τρισδιάστατο χώρο) και το οριζόντιο (οριζόντια τομή) Η κεραία θεωρείται στο κέντρο του διαγράμματος

και το διάγραμμα συνδέει στην ουσία τον χώρο με την ακτινοβολούμενη ισχύ ή με την ικανότητα

λήψης ισχύος για διάγραμμα εκπομπής και λήψης αντίστοιχα και είναι όπως προαναφέρθηκε η

γραφική αναπαράσταση της συμπεριφοράς της κεραίας στο χώρο Μας δείχνει σε ποιες περιοχές του

χώρου εκπέμπει και πόση ισχύ ή αντίστοιχα από ποιες περιοχές του χώρου και πόση ισχύ μπορεί

να λάβει η κεραία Είτε επειδή δε θέλουμε σπατάλη ισχύος σε rdquoαδιάφορεςrdquoπεριοχές είτε επειδή δεν

θέλουμε να παρεμβάλλουμε δημιουργώντας θόρυβο σε άλλες κεραίες κατά την εκπομπή και είτε επειδή

θέλουμε να λαμβάνουμε τη μέγιστη δυνατή ισχύ αν ξέρουμε από που λαμβάνουμε και να μειώνουμε

το θόρυβο από τις άλλες πηγές τα διαγράμματα ακτινοβολίας είναι πολύ χρήσιμα στο σχεδιασμό μίας

κεραίας Τέλος μία άλλη χρήση είναι η σύγκριση κεραιών είτε γενικά είτε για συγκεκριμένες εφαρμογές

Σχήμα 31 Διάγραμμα ακτινοβολίας

Στο διπλανό σχήμα () φαίνεται ένα τυπικό και αρκετά

απλοποιημένο διάγραμμα ακτινοβολίας Σε αυτό διακρίνουμε

τον κύριο λοβό που είναι το τμήμα η μεγαλύτερη κλειστή

καμπύλη που διακρίνεται από το γεγονός ότι έχει τη μέγιστη

τιμή στο διάγραμμα Συνήθως τα διαγράμματα ακτινοβολίας

είναι πολικά όπως αυτό του σχήματος 31 με βαθμονόμηση

από 0μέχρι 360

και ο κύριος λοβός στη γενική περίπτωση

τοποθετείται στις 0 Ο λοβός που βρίσκεται στις 180

ονο-

μάζεται οπίσθιος λοβός και οι υπόλοιποι λοβοί ονομάζονται

πλευρικοί Ανάλογα με την περίπτωση οι υπόλοιποι εκτός του

κύριου είναι ανεπιθύμητοι είτε επιθυμητοί και προσπαθούμε

αντίστοιχα να τους καταστείλουμε ή να τους ενισχύσουμε

Οι πλευρικοί λοβοί οφείλονται σε φαινόμενα καταστροφικής

ή εποικοδομητικής συμβολής των κυμάτων που εκπέμπονται

από τη κεραία Η κλίμακα στο διάγραμμα είναι σε deciBellκαι τα μεγέθη είναι κανονικοποιημένα

6 ΄Ετσι η μέγιστη τιμή θα είναι στα 0 db και οι υπόλοιπες

σε αρνητικές τιμές Τα διαγράμματα αυτά έχουν τέτοια βαθμονόμηση γιατί θέλουμε να εκφράζουν

ποιοτικά τη συμπεριφορά της κεραίας αλλά και γιατί οι τιμές έντασης ή ισχύος που θέλουμε να αναπα-

ραστήσουμε είναι πολλών τάξεων μεγέθους και θα θέλαμε πολύ μεγάλα διαγράμματα για κανονικές τιμές

΄Ενα πιο αναλυτικό διάγραμμα ακτινοβολίας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () και είναι διάγραμμα

μίας κεραίας Yagi-Uda Οι κύκλοι που φαίνονται στο διάγραμμα αντιστοιχούν στις τιμές -3 -10 -20

-30 και -40 dB και είναι χωρισμένοι σε τμήματα των 10 Οι κύκλοι αυτοί δείχνουν τα σημεία που

έχει μειωθεί το μέγεθος στο 50 στο 10 στο 1 στο 01 και στο 001 αντίστοιχα Η

γωνία των σημείων στα οποία ο κύριος λοβός τέμνει τον πρώτο κύκλο ονομάζεται γωνία ημίσειας ισχύος

Σχήμα 32 Καρτεσιανό διάγραμμα

Εκτός των πολικών διαγραμμάτων υπάρχουν και τα καρτεσιανά

τα οποία είναι η καρτεσιανή προβολή των πολικών Παράδειγμα

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () όπου φαίνεται το άνοιγμα μισής

ισχύος και το επίπεδο του πρώτου πλευρικού λοβού Επειδή τα

διαγράμματα ακτινοβολίας σχηματίζονται όπως προαναφέρθηκε

και αφορούν τη χωρική συμπεριφορά μίας κεραίας στο μακρινό

πεδίο οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε την κεραία ως σημείο

τα καρτεσιανά διαγράμματα δεν έχουν καλή αναπαράσταση της

πραγματικότητας Αλλά είναι αρκετά χρήσιμα στη μελέτη κεραιών

και στην καλύτερη εποπτεία των χαρακτηριστικών της από τα πολικά και για το λόγο αυτό σχεδιάζονται

και χρησιμοποιούνται κατά κόρον

6΄Ενα κανονικοποιημένο διάγραμμα έχει την ίδια μορφή με ένα μη κανονικοποιημένο με μόνη αλλαγή την κλίμακα και

ότι τα μεγέθη είναι ο λογάριθμος του λόγου της τιμής προς τη μέγιστη

18

Σχήμα 33 Διάγραμμα ακτινοβολίας Yagi-Uda κεραίας

Από ένα διάγραμμα ακτινοβολίας μπορούμε να βρούμε τα παρακάτω χαρακτηριστικά μίας κεραίας (ή

και παραμέτρους του διαγράμματος όπως αναφέρονται συχνά)

Σχήμα 34 Ισοτροπική και μη

bull Κατευθυντικότητα δείκτης της ικανότητα της κεραίας να

συγκεντρώσει την ακτινοβολία εκπομπής προς μία συγκεκριμένη

κατεύθυνση και βρίσκεται αναφορικά με μία ιδανική (ισοτροπική)

κεραία Η σύγκριση την όποιας κεραίας με μία ισοτροπική φαίνεται

στο διπλανό σχήμα () Τα εμβαδά είναι ίσα οπότε εκπέμπουν

και οι δύο την ίδια ισχύ αλλά στην επιθυμητή κατεύθυνση η μη

ισοτροπική στέλνει μεγαλύτερη ισχύ Η κατευθυντικότητα λοιπόν

είναι η διαφορά σε dB των δύο διαγραμμάτων στην κατεύθυνση

του μεγίστου Είναι αντιστρόφως ανάλογη με το εύρος του κυρίως

λοβού

bull Εύρος δέσμης μισής ισχύος οριζόντιου και κάθετου επιπέδου ( HPBW )

αναφέρεται στην ενεργό περιοχή κάλυψης της κεραίας και ορίζεται ώς η γωνία μεταξύ των σημείων

του κύριου λοβού όπου η ισχύς είναι μισή της μέγιστης ή σε dB 3dB κάτω από την μέγιστη και

προσδιορίζει την περιοχή που εμφανίζεται μέγιστη εκπομπή ενώ εκτός της περιοχής αυτής η ισχύς

μειώνεται πολύ γρήγορα

bull Εύρος δέσμης επίπεδο (dB) πρώτων σημείων μηδενισμού οριζόντιου καικάθετου επιπέδου (FNBW) ορίζεται ως η γωνία μεταξύ των δύο πρώτων μηδενισμών του

μεγέθους εκατέρωθεν του κύριου λοβού

bull Λόγος κύριου προς οπίσθιο λοβό (FB)

bull Επίπεδα (dB) και εύρος γωνιών πλευρικών λοβών και οπίσθιων λοβώνbull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με τον αμέσως μικρότερο λοβό του διαγράμ-ματος ακτινοβολίας

bull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με όλους τους υπόλοιπους του διαγράμματοςακτινοβολίας

bull Λόγος κύριου προς επόμενο μεγαλύτερο λοβό (Side-Lobe Level) ορίζεται ως ο λόγος

του μεγίστου του κυρίως λοβού προς τον αμέσως μικρότερο πλευρικό λοβό (SLL = MainLobeMaxSideLobe

dB)

και είναι ένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά μίας κεραίας Πολλές φορές αναφέρεται και ώς επίπεδο

πλευρικών λοβών

Τα χαρακτηριστικά μίας κεραίας μπορούν να υπολογιστούν και να περιγραφούν όχι μόνο βάσει του

19

διαγράμματος ακτινοβολίας της Μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της μετρώντας και υπολο-

γίζοντας κατάλληλα μεγέθη και κάνοντας χρήση γνωστών μαθηματικών τύπων

bull Συνολική ακτινοβολούμενη ενέργεια η συνολική (ή μέσος όρος) ενέργεια που ακτινο-

βολεί μία κεραία και υπολογίζεται από τον τύπο

Prad = Pav =

lsaquoS

~Wrad middot d~s =

lsaquoS

~Wav middot n middot da =1

2

lsaquoS

lt( ~E times ~H) middot d~s (31)

όπου Wrad=πυκνότητα ακτινοβολίας

bull ΄Ενταση ακτινοβολίας η ενέργεια που εκπέμπεται από μία κεραία ανά μονάδα στερεάς γωνίας

U = r2 middotWrad (32)

όπου r=απόσταση

bull Κατευθυντικότητα είναι ο λόγος της ακτινοβολούμενης ενέργειας σε μία συγκεκριμένη κα-

τεύθυνση προς το μέσο όρο εκπεμπόμενης ακτινοβολίας σε όλες τις κατευθύνσεις ΄Η αλλιώς

η ένταση προς μία συγκεκριμένη κατεύθυνση προς την αντίστοιχη τιμή της αν ακτινοβολούσε

ισοτροπικά

D =U

Uo=

4pU

Prad(33)

΄Αν δεν ορίζεται κατεύθυνση σαν κατευθυντικότητα αναφέρεται η μέγιστη κατευθυντικότητα μίας

κεραίας

bull Κέρδος αν και συνδέεται με την κατευθυντικότητα είναι μία παράμετρος της κεραίας που λαμ-

βάνει υπόψιν και την αποδοτικότητα της κεραίας αλλά και τις δυνατότητες κατευθυντικότητας

Απόλυτο κέρδος κεραίας (σε συγκεκριμένη κατεύθυνση) ορίζεται ο λόγος της έντασης ακτινοβο-

λίας προς την ένταση ακτινοβολίας που θα είχε στη συγκεκριμένη κατεύθυνση άν όλη η ενέργεια

εισόδου της κεραίας εκπεμπόταν ισοτροπικά

κέρδος = 4π middot ένταση ακτινοβολίας

συνολική εισερχόμενη ενέργεια= 4π

U(θ φ)

Pinputrarr

G = 4π U(θφ)Pinput (ιδανικής ισοτροπικής πηγής)

(34)

bull Απόδοση κεραίας είναι ένας δείκτης που λαμβάνει υπόψιν τις απώλειες ενέργειας από την

είσοδο στην έξοδο της κεραίας λόγω πολλών φαινομένων Γενικά η συνολική απόδοση μίας

κεραίας δίνεται από τον τύπο

eo = er middot ec middot ed (35)

όπου eo είναι η συνολική απόδοση er είναι η απόδοση λόγω απωλειών ανακλάσεων (λόγω κακής

προσαρμογής) (= 1minus|Γ|2) ec είναι η απόδοση λόγω απωλειών αγωγιμότητας ed είναι η απόδοση

που οφείλεται στο διηλεκτρικό και Γ ο συντελεστής ανάκλασης τάσης

bull Απόδοση δέσμης είναι μία παράμετρος ποιότητας μίας κεραίας και ορίζεται από το λόγο της

ενέργειας που ακτινοβολείται από τον κύριο λοβό της κεραίας (με το λοβό σε γωνία θ0) προς τη

συνολική

BE =

acute 2π0

acute θ0U(θ φ)sin(θ)dθdφacute 2π

0

acute π0U(θ φ)sin(θ)dθdφ

(36)

όπου θ1 είναι η γωνία μισής ισχύος ΄Αν θεωρήσουμε το θ1 στην κατεύθυνση του πρώτου μηδενι-

σμού τότε θα έχουμε το λόγο της ισχύος του κυρίως λοβού προς τη συνολική

bull Εύρος σαν εύρος μιας κεραίας ορίζεται το εύρος των συχνοτήτων (bandwidth) στις οποίες

μπορεί να λειτουργήσει αποδοτικά βάσει κάποιων χαρακτηριστικών της πχ να έχει εύρος κύριου

λοβού εντός συγκεκριμένων ορίων διατηρώντας μία ελάχιστη τιμή SLL

20

33 Κατηγορίες κεραιών

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω οι κεραίες χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με τα μορ-

φολογικά αλλά και λειτουργικά χαρακτηριστικά τους Βάσει του τρόπου με τον οποίο εκπέμπουν ή

λαμβάνουν ή αλλιώς βάσει του διαγράμματος ακτινοβολίας τους χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες

bull Ισοτροπικές μία ισοτροπική κεραία ορίζεται ως μία υποθετική (ιδανική) κεραία η οποία ακτινο-

βολεί το ίδιο προς όλες τις κατευθύνσεις Δεν έχει κάποια πραγματική εφαρμογή στα τηλεπικοι-

νωνιακά συστήματα γιατί η ισχύς της εκπέμπεται προς όλες τις κατευθύνσεις το ίδιο προκαλώντας

μεγάλες απώλειες ισχύος σε ανεπιθύμητες κατευθύνσεις ΄Εχει μόνο θεωρητική αξία στη μελέτη

κεραιών και στον ορισμό κάποιων παραμέτρων των κεραιών όπως το κέρδος που είδαμε παραπάνω

bull Κατευθυντικές μία κατευθυντική κεραία ορίζεται ως η κεραία που έχει την ικανότητα να

εκπέμπει ή να λαμβάνει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αποτελεσματικότερα προς κάποιες κατευ-

θύνσεις Είναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κεραίες και η εξέλιξη αυτών είναι οι έξυπνες

κεραίες που ανάλογα με τις ανάγκες της κάθε συσκευής και τα χαρακτηριστικά του χώρου που

βρίσκεται μπορούν να αλλάξουν τη γωνία μέγιστης εκπομπής κάνοντας βέλτιστη χρήση της α-

κτινοβολούμενης ισχύος της

bull Πανκατευθυντικές μία πανκατευθυντική κεραία είναι μία κεραία η οποία ακτινοβολεί σαν

κατευθυντική εκτός από ένα επίπεδο στο οποίο εκπέμπει ή λαμβάνει ισοτροπικά Η χρήση τους

είναι κυρίως στα μέσα μαζικής επικοινωνίας όπου χρειάζεται κάλυψη του χώρου 360 μοιρών στο

οριζόντιο επίπεδο αλλά πολύ μικρής γωνίας στο κάθετο

Βάσει των μορφολογικών χαρακτηριστικών τους χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες Η κάθε

κατηγορία έχει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της που την καθιστούν κατάλληλη για κάποια

εφαρμογή και ακατάλληλη για κάποια άλλη Παρακάτω αναφέρονται οι κατηγορίες αυτές των κεραιών

με τα βασικά χαρακτηριστικά της κάθε μίας

bull Κεραίες σύρματος Είναι απλές κεραίες κατασκευασμένες από αγώγιμο υλικό συνήθως

κυκλικής διατομής Πολλές φορέα σχηματίζονται από πολλούς αγωγούς κατάλληλα συζευγμένους

μεταξύ τους σε πλέγματα διαφόρων σχημάτων που είτε δημιουργούν μία επιφάνεια είτε μία γραμμική

κεραία Η απλούστερη γραμμική κεραία είναι η κεραία διπόλου τα χαρακτηριστικά της οποίας είναι

ανάλογα με το σχετικό μήκος της ως προς το μήκος κύματος της ακτινοβολίας για την οποία προορίζε-

ται7 Οι συγκεκριμένες είναι πολύ απλές στην κατασκευή πολύ συχνά απλά συρμάτινες Αποτελείται

από ένα δίπολο του οποίου (συνήθως) η τροφοδοσία8είναι στη μέση Πλεονεκτήματα των κεραιών

αυτών είναι το κόστος το μέγεθος και η δυνατότητα κάλυψης μεγάλης περιοχής συχνοτήτων ενώ

έχουν το μειονέκτημα της χαμηλής απόδοσης λόγω των διαστάσεων τους Καλύτερα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης έχουν οι διπολικές κεραίες των οποίων το μήκος είναι της τάξης του μήκους κύματος

Σχήμα 35 Κεραία διπόλου

Μία κεραία σύρματος χαρακτηρίζεται ως rdquoλεπτήrdquoόταν η διάμε-

τρος του αγωγού είναι μικρότερη από 001λ Ανάλογα με το σχήμα

της χαρακτηρίζεται ως ευθύγραμη κεραία V ή πτυσσόμενη Στο

διπλανό σχήμα () φαίνονται μία ευθύγραμμη και μία πτυσσόμενη

διπολική κεραία Στις πτυσσόμενες σημαντική είναι η γωνία που

σχηματίζουν οι βραχίονες τους έχοντας βρεθεί ότι η μέγιστη

κατευθυντικότητα επιτυγχάνεται για γωνία α = 60λh

+ 380

όπου h είναι το μήκος του βραχίονα και λ το μήκος κύματος τη

ακτινοβολίας και ότι Dmax = 12 + 23hλ9

7Μία κεραία χαρακτηρίζεται ως ηλεκτρικά μικρή όταν οι διαστάσεις της είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος

της ακτινοβολίας8Με τον όρο τροφοδοσία εννοούμε το υπόλοιπο σύστημα το οποίο τροφοδοτεί η κεραία με το σήμα που λαμβάνει στην

περίπτωση κεραίας λήψης ή από το οποίο τροφοδοτείται με το σήμα που θα εκπέμψει στην περίπτωση κεραίας εκπομπής

9Η σχέση αυτή είναι εμπειρική και ισχύει για 05 lt h

λ lt 3

21

Σχήμα 36 Κεραία Yagi-Uda

Μία εξέλιξη των παραπάνω κεραιών είναι οι κεραίες Yagi-Udaπου ένα διάγραμμα ακτινοβολίας τέτοιας κεραίας παρατέθηκε

παραπάνω () Είναι ευθύγραμμες διπολικές κεραίες που α-

ποτελούνται από πέραν του ενός δίπολα τα οποία όμως δεν

τροφοδοτούνται όλα Τα μη τροφοδοτούμενα δίπολα ονομάζονται

παρασιτικά και τροφοδοτούνται επαγωγικά από τα υπόλοιπα Οι

κεραίες αυτές παρουσιάζουν αυξημένη κατευθυντικότητα σχετικά

με τις μη παρασιτικές κεραίες διπόλων Η πρώτη τέτοια κεραία

κατασκευάστηκε το 1926 και αποτελούταν από τρία δίπολα ένα

ενεργό και δύο παρασιτικά Στην περίπτωση που το παρασιτικό

δίπολο έχει μεγαλύτερο μήκος από του ενεργού ονομάζεται

ανακλαστήρας ενώ αν έχει μικρότερο ονομάζεται κατευθυντήρας

Μία γενική μορφή τέτοιας κεραίας φαίνεται στο διπλανό σχήμα με LR το μήκος του ανακλαστήρα και

LD το μήκος του κατευθυντήρα

bull Στοιχειοκεραίες Μία εξέλιξη των συρμάτινων κεραιών είναι οι στοιχειοκεραίες Οι

στοιχειοκεραίες αποτελούνται από πολλές κεραίες διπόλων τα στοιχεία τα οποία ενώνονται όλα σε

μία κοινή τροφοδοσία και αυτή είναι η βασική τους διαφορά από τις Yagi-Uda που έχουν παρασιτικά

στοιχεία και ο λόγος που οι τελευταίες δε θεωρούνται στοιχειοκεραίες Συστοιχείες λοιπόν πολλών

κεραιών φτιάχνουν τις στοιχειοκεραίες Ανάλογα με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της συστοιχίας

υπάρχουν κάποια είδη στοιχειοκεραιών όπως είναι οι γραμμικές (μία συστοιχία σε ευθεία γραμμή) και

οι επίπεδες (συστοιχείες συστοιχείων) Λόγω της ταυτόχρονης χρήσης πολλών κεραιών μπορούν να

συνδυάσουν τα χαρακτηριστικά τους δίνοντας δυνατότητα πολύπλοκων κατευθυντικών διαγραμμάτων

καθιστώντας τες κατάλληλες για πολλές εφαρμογές Συγκριτικά με μία κεραία μεγάλου μήκους που

θα έχει τα ίδια κατευθυντικά χαρακτηριστικά παρουσιάζει το πλεονέκτημα της εύκολης τροφοδο-

σίας της μηχανικής αντοχής και του μικρού κόστους εγκατάστασης και λειτουργίας Τέλος με

κατάλληλη τροφοδοσία του κάθε στοιχείου της μπορούμε να αλλάξουμε τα κατευθυντικά χαρακτηρι-

στικά της ΄Εχουν πολλές γεωμετρικές μορφές αλλά και είδη που θα αναφερθούν σε επόμενη παράγραφο

bull Κεραίες βρόχου ή πλαισίου Μία κεραία βρόχου αποτελείται από έναν κλειστό αγωγό σε

σχήμα βρόχου (ή και βρόχων) ο οποίος τροφοδοτείται σε ένα σημείο του Χωρίζονται σε κεραίες μικρού

και μεγάλου βρόχου συγκριτικά με το μήκος κύματος στο οποίο χρησιμοποιούνται10

Οι μικρού

βρόχου έχουν χαμηλή απόδοση και χρησιμοποιούνται κατά κόρον σε δέκτες χαμηλών συχνοτήτων

Εκτός από τους ραδιοφωνικούς δέκτες των αυτοκινήτων στους οποίους γίνεται μεγάλη χρήση των

κεραιών μικρού βρόχου το μεγαλύτερο ποσοστό των δεκτών AM χρησιμοποιούν τέτοιες κεραίες

Οι μεγάλου βρόχου έχουν ευρεία χρήση στους δέκτες VHF και UHF έχοντας και το επιπλέον

χαρακτηριστικό της μεταβλητής περιφέρειας δίνοντας δυνατότητα μεγαλύτερου εύρους συχνοτήτων

Γενικά οι κεραίες βρόχου είναι κεραίες με μεγάλη κατευθυντικότητα κάτι που τις κάνει ιδανικές σε

εφαρμογές εύρεσης κατεύθυνσης σήματος

bull Ελικοειδής κεραίες Μία ελικοειδής κεραία αποτελείται από έναν αγωγό που έχει τη μορφή

έλικας στον οποίο η τροφοδοσία είναι στο ένα του άκρο Αποτελεί συνδυασμό κεραίας βρόχου και

γραμμικής κεραίας οπότε μπορεί να εκπέμπει με δύο τρόπους (ρυθμούς) αξονικά και κάθετα στον άξονα

της έλικας κάτι που της δίνει βελτιωμένα χαρακτηριστικά συγκριτικά με τις δύο αυτές κατηγορίες

Χρησιμοποιείται κατά κόρον όπου απαιτείται κυκλική πόλωση σήματος σαν πομπός ή σε σήματα που

έχουν κυκλική πόλωση σαν δέκτης και έχει αρκετά μεγάλο εύρος ζώνης συχνοτήτων Ανάλογα με τα

χαρακτηριστικά που πρέπει να έχει μία ελικοειδής κεραία μπορεί να είναι ομοιόμορφη (όλες οι έλικες

ίδια διάμετρο) αυξανόμενης ελαττούμενης και αυξο-ελαττούμενης διαμέτρου ελίκων

bull Δικωνικές κεραίες ΄Αν δύο V ενωθούν κατακορυφήν σχηματίζεται μία δικωνική κεραία οι

οποίες έχουν αυξημένο εύρος συχνοτήτων Πολλές δικωνικές κεραίες έχουν τη δυνατότητα μεταβολής

10Σαν κεραία μικρού βρόχου θα χαρακτηριστεί η κεραία της οποίας η περιφέρεια θα είναι ίση ή μικρότερη από το ένα

δέκατο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας

22

του μήκους του βραχίονα τους δίνοντας ακόμα μεγαλύτερο εύρος Αν μία από τις δύο V κεραίες

αντικατασταθεί από μία αγώγιμη επιφάνεια σε σχήμα δίσκου έχουμε τη δισκωνική κεραία στην οποία

ο δίσκος λειτουργεί ως ανακλαστήρας Είναι κεραίες μικρής κατευθυντικότητας και χαμηλού κέρδους

και χρησιμοποιούνται πολύ σαν κεραίες ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών εκπομπών

bull Σπειροειδής κεραίες Οι σπειροειδής κεραίες είναι κεραίες με μεγάλο εύρος ζώνης

συχνοτήτων και μεγάλης κατευθυντικότητας Αποτελούνται από μία ή δύο αγωγούς που έχουν σχήμα

σπείρας και όσο μικρότερη γωνία ανοίγματος σπείρας έχουν τόσο μεγαλύτερη κατευθυντικότητα

Μπορεί να είναι επίπεδες ή κωνικές και η πόλωση του σήματος που λαμβάνουν ή εκπέμπουν είναι

ανάλογη με τη φορά των σπειρών Το εύρος συχνοτήτων τους δίνεται από το λόγο μεγαλύτερης προς

μικρότερης διαμέτρου άν και στην πραγματικότητα είναι λίγο μικρότερο του λόγου αυτού Μία αρκετά

διαδεδομένη σπειροειδής κεραία είναι η rdquoσπειροειδής του Αρχιμήδηrdquoη οποία αποτελείται από δύο σπε-

ίρες με r1 = r0φ και r2 = r0(φminusπ) οι οποίες συνήθως κατασκευάζονται πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα11

bull Κεραίες χοάνης Οι κεραίες χοάνης αποτελούνται από έναν αγωγό ο οποίος είναι από το

ένα άκρο του ανοιχτός και διεγείρεται από το άλλο του άκρο Με σωστή ρύθμιση έχουν μεγαλύτερη

απόδοση από τις συρμάτινες Ανάλογα με το σχήμα του αγωγού μπορεί να υπάρχουν αρκετά είδη

τέτοιων κεραιών τρία εκ των οποίων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα () Η κατευθυντικότητα της

είναι ανάλογη της γωνίας ανοίγματος της Στην πράξη συναντούμε ελάχιστες κεραίες χοάνης μόνες

τους αλλά σε συνδυασμό με έναν ανακλαστήρα έχουν πολύ διαδεδομένη χρήση λόγω της πολύ μεγάλης

κατευθυντικότητας που προσφέρουν ειδικά στις περιπτώσεις που ο ανακλαστήρας είναι παραβολικός

όπου υπάρχει η δυνατότητα παραγωγής πολύ στενής δέσμης υψηλού κέρδους και χαμηλού θορύβου

Χρησιμοποιούνται πολύ στις δορυφορικές επικοινωνίες και η πιο συνηθισμένη τους μορφή είναι τα umlπιάταrsquo

που χρησιμοποιούνται για τη λήψη δορυφορικών σημάτων

Σχήμα 37 Κεραίες χοάνης α)τομέας β)πυραμοειδής και γ)κωνική

bull Λογαριθμικές περιοδικές κεραίες Είναι κεραίες των οποίων τα μορφολογικά χα-

ρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με την απόσταση από την αρχή της κεραίας Υπάρχει ένα

επαναλαμβανόμενο στοιχείο κεραίας το οποίο μεγαλώνει όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της

κεραίας Μπορεί να είναι μία πλάκα με οδοντώσεις το μέγεθος των οποίων μεταβάλλεται ένα σύρμα

11Οι κεραίες που είναι κατασκευασμένες πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα ή αλλιώς σε μικροταινίες ανήκουν και στην

κατηγορία των μικροταινιακών κεραιών πολύ διαδεδομένη στις ηλεκτρονικές φορητές συσκευές που λειτουργούν στην

περιοχή των μικροκυμάτων (λόγω διαστάσεων κεραιών είναι ιδανικές για την περιοχή αυτή)

23

Σχήμα 38 Λογαριθμική περιοδική κεραία

το οποίο διπλώνεται κατάλληλα και το μέγεθος της κάθε δίπλωσης μεταβάλλεται ή ακόμα και από

δίπολα το μήκος των οποίων μεταβάλλεται Πολλές κεραίες που ανήκουν σε παραπάνω κατηγορίες είναι

λογαριθμικές μπορεί να είναι λογαριθμικές αν η μεταβολή των επαναλαμβανόμενων στοιχείων ακολουθεί

το συγκεκριμένο πρότυπο Μία τέτοια φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () η οποία ανήκει στην

κατηγορία των στοιχειοκεραίων Λόγω των επαναλαμβανόμενων στοιχείων των οποίων συνδυάζουν τα

χαρακτηριστικά μπορούν να έχουν πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων και συγκεκριμένα εύρος μίας τάξης

μεγέθους επιτυγχάνεται εύκολα και μπορούν να έχουν και αρκετά μεγάλη κατευθυντικότητα Βρίσκουν

πολλές εφαρμογές στις επικοινωνίες υψηλών συχνοτήτων και ειδικά στα τηλεοπτικά σήματα αφού με

μία κεραία μπορεί κάποιος να λαμβάνει ικανοποιητικά όλα τα διαθέσιμα κανάλια χωρίς καμία προσαρμογή

34 Στοιχειοκεραίες

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω η μορφή του διαγράμματος εκπομπής και λήψης των κεραιών

εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της κεραίας Σε πολλές εφαρμογές απαιτούνται κεραίες μεγάλου

κέρδους ή αλλιώς μεγάλης κατευθυντικότητας Μία κεραία για να έχει μεγάλη κατευθυντικότητα

θα πρέπει να έχει πολύ μεγάλο μέγεθος Το πρόβλημα αυτό λύνεται φτιάχνοντας σύνθετες κεραίες

Κεραίες που αποτελούνται από μικρότερες κεραίες είτε όμοιες μεταξύ τους είτε ανόμοιες Τέτοιες

συστοιχίες κεραιών όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ονομάζονται στοιχειοκεραίες Το κάθε στοιχείο

μίας στοιχειοκεραίας μπορεί να είναι οποιασδήποτε μορφής κεραία (σύρματος οπής κλπ) με βασικό

χαρακτηριστικό όλα τα στοιχεία να έχουν κοινή τροφοδοσία Το συνολικό πεδίο θα είναι το διανυ-

σματικό άθροισμα των πεδίων κάθε στοιχείου ξεχωριστά Οπότε μπορούμε να έχουμε το επιθυμητό

πεδίο φτιάχνοντας την κεραία μας έτσι ώστε στα σημεία που θέλουμε μεγάλο κέρδος να συμβάλουν

εποικοδομητικά τα πεδία των στοιχείων της κεραίας και στα σημεία που δεν θέλουμε να ακτινοβολεί να

έχουμε καταστροφική συμβολή

Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας θα εξαρτάται από τους εξείς παράγοντες

bull Τη γεωμετρία της στοιχειοκεραίας ( γραμμικήκυκλικήορθογώνια σφαιρική κλπ)

bull Την απόσταση μεταξύ των στοιχείων της κεραίας

bull Την ένταση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

bull Τη φάση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

24

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Σχήμα 33 Διάγραμμα ακτινοβολίας Yagi-Uda κεραίας

Από ένα διάγραμμα ακτινοβολίας μπορούμε να βρούμε τα παρακάτω χαρακτηριστικά μίας κεραίας (ή

και παραμέτρους του διαγράμματος όπως αναφέρονται συχνά)

Σχήμα 34 Ισοτροπική και μη

bull Κατευθυντικότητα δείκτης της ικανότητα της κεραίας να

συγκεντρώσει την ακτινοβολία εκπομπής προς μία συγκεκριμένη

κατεύθυνση και βρίσκεται αναφορικά με μία ιδανική (ισοτροπική)

κεραία Η σύγκριση την όποιας κεραίας με μία ισοτροπική φαίνεται

στο διπλανό σχήμα () Τα εμβαδά είναι ίσα οπότε εκπέμπουν

και οι δύο την ίδια ισχύ αλλά στην επιθυμητή κατεύθυνση η μη

ισοτροπική στέλνει μεγαλύτερη ισχύ Η κατευθυντικότητα λοιπόν

είναι η διαφορά σε dB των δύο διαγραμμάτων στην κατεύθυνση

του μεγίστου Είναι αντιστρόφως ανάλογη με το εύρος του κυρίως

λοβού

bull Εύρος δέσμης μισής ισχύος οριζόντιου και κάθετου επιπέδου ( HPBW )

αναφέρεται στην ενεργό περιοχή κάλυψης της κεραίας και ορίζεται ώς η γωνία μεταξύ των σημείων

του κύριου λοβού όπου η ισχύς είναι μισή της μέγιστης ή σε dB 3dB κάτω από την μέγιστη και

προσδιορίζει την περιοχή που εμφανίζεται μέγιστη εκπομπή ενώ εκτός της περιοχής αυτής η ισχύς

μειώνεται πολύ γρήγορα

bull Εύρος δέσμης επίπεδο (dB) πρώτων σημείων μηδενισμού οριζόντιου καικάθετου επιπέδου (FNBW) ορίζεται ως η γωνία μεταξύ των δύο πρώτων μηδενισμών του

μεγέθους εκατέρωθεν του κύριου λοβού

bull Λόγος κύριου προς οπίσθιο λοβό (FB)

bull Επίπεδα (dB) και εύρος γωνιών πλευρικών λοβών και οπίσθιων λοβώνbull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με τον αμέσως μικρότερο λοβό του διαγράμ-ματος ακτινοβολίας

bull Διαφορά σε dB του κύριου λοβού με όλους τους υπόλοιπους του διαγράμματοςακτινοβολίας

bull Λόγος κύριου προς επόμενο μεγαλύτερο λοβό (Side-Lobe Level) ορίζεται ως ο λόγος

του μεγίστου του κυρίως λοβού προς τον αμέσως μικρότερο πλευρικό λοβό (SLL = MainLobeMaxSideLobe

dB)

και είναι ένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά μίας κεραίας Πολλές φορές αναφέρεται και ώς επίπεδο

πλευρικών λοβών

Τα χαρακτηριστικά μίας κεραίας μπορούν να υπολογιστούν και να περιγραφούν όχι μόνο βάσει του

19

διαγράμματος ακτινοβολίας της Μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της μετρώντας και υπολο-

γίζοντας κατάλληλα μεγέθη και κάνοντας χρήση γνωστών μαθηματικών τύπων

bull Συνολική ακτινοβολούμενη ενέργεια η συνολική (ή μέσος όρος) ενέργεια που ακτινο-

βολεί μία κεραία και υπολογίζεται από τον τύπο

Prad = Pav =

lsaquoS

~Wrad middot d~s =

lsaquoS

~Wav middot n middot da =1

2

lsaquoS

lt( ~E times ~H) middot d~s (31)

όπου Wrad=πυκνότητα ακτινοβολίας

bull ΄Ενταση ακτινοβολίας η ενέργεια που εκπέμπεται από μία κεραία ανά μονάδα στερεάς γωνίας

U = r2 middotWrad (32)

όπου r=απόσταση

bull Κατευθυντικότητα είναι ο λόγος της ακτινοβολούμενης ενέργειας σε μία συγκεκριμένη κα-

τεύθυνση προς το μέσο όρο εκπεμπόμενης ακτινοβολίας σε όλες τις κατευθύνσεις ΄Η αλλιώς

η ένταση προς μία συγκεκριμένη κατεύθυνση προς την αντίστοιχη τιμή της αν ακτινοβολούσε

ισοτροπικά

D =U

Uo=

4pU

Prad(33)

΄Αν δεν ορίζεται κατεύθυνση σαν κατευθυντικότητα αναφέρεται η μέγιστη κατευθυντικότητα μίας

κεραίας

bull Κέρδος αν και συνδέεται με την κατευθυντικότητα είναι μία παράμετρος της κεραίας που λαμ-

βάνει υπόψιν και την αποδοτικότητα της κεραίας αλλά και τις δυνατότητες κατευθυντικότητας

Απόλυτο κέρδος κεραίας (σε συγκεκριμένη κατεύθυνση) ορίζεται ο λόγος της έντασης ακτινοβο-

λίας προς την ένταση ακτινοβολίας που θα είχε στη συγκεκριμένη κατεύθυνση άν όλη η ενέργεια

εισόδου της κεραίας εκπεμπόταν ισοτροπικά

κέρδος = 4π middot ένταση ακτινοβολίας

συνολική εισερχόμενη ενέργεια= 4π

U(θ φ)

Pinputrarr

G = 4π U(θφ)Pinput (ιδανικής ισοτροπικής πηγής)

(34)

bull Απόδοση κεραίας είναι ένας δείκτης που λαμβάνει υπόψιν τις απώλειες ενέργειας από την

είσοδο στην έξοδο της κεραίας λόγω πολλών φαινομένων Γενικά η συνολική απόδοση μίας

κεραίας δίνεται από τον τύπο

eo = er middot ec middot ed (35)

όπου eo είναι η συνολική απόδοση er είναι η απόδοση λόγω απωλειών ανακλάσεων (λόγω κακής

προσαρμογής) (= 1minus|Γ|2) ec είναι η απόδοση λόγω απωλειών αγωγιμότητας ed είναι η απόδοση

που οφείλεται στο διηλεκτρικό και Γ ο συντελεστής ανάκλασης τάσης

bull Απόδοση δέσμης είναι μία παράμετρος ποιότητας μίας κεραίας και ορίζεται από το λόγο της

ενέργειας που ακτινοβολείται από τον κύριο λοβό της κεραίας (με το λοβό σε γωνία θ0) προς τη

συνολική

BE =

acute 2π0

acute θ0U(θ φ)sin(θ)dθdφacute 2π

0

acute π0U(θ φ)sin(θ)dθdφ

(36)

όπου θ1 είναι η γωνία μισής ισχύος ΄Αν θεωρήσουμε το θ1 στην κατεύθυνση του πρώτου μηδενι-

σμού τότε θα έχουμε το λόγο της ισχύος του κυρίως λοβού προς τη συνολική

bull Εύρος σαν εύρος μιας κεραίας ορίζεται το εύρος των συχνοτήτων (bandwidth) στις οποίες

μπορεί να λειτουργήσει αποδοτικά βάσει κάποιων χαρακτηριστικών της πχ να έχει εύρος κύριου

λοβού εντός συγκεκριμένων ορίων διατηρώντας μία ελάχιστη τιμή SLL

20

33 Κατηγορίες κεραιών

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω οι κεραίες χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με τα μορ-

φολογικά αλλά και λειτουργικά χαρακτηριστικά τους Βάσει του τρόπου με τον οποίο εκπέμπουν ή

λαμβάνουν ή αλλιώς βάσει του διαγράμματος ακτινοβολίας τους χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες

bull Ισοτροπικές μία ισοτροπική κεραία ορίζεται ως μία υποθετική (ιδανική) κεραία η οποία ακτινο-

βολεί το ίδιο προς όλες τις κατευθύνσεις Δεν έχει κάποια πραγματική εφαρμογή στα τηλεπικοι-

νωνιακά συστήματα γιατί η ισχύς της εκπέμπεται προς όλες τις κατευθύνσεις το ίδιο προκαλώντας

μεγάλες απώλειες ισχύος σε ανεπιθύμητες κατευθύνσεις ΄Εχει μόνο θεωρητική αξία στη μελέτη

κεραιών και στον ορισμό κάποιων παραμέτρων των κεραιών όπως το κέρδος που είδαμε παραπάνω

bull Κατευθυντικές μία κατευθυντική κεραία ορίζεται ως η κεραία που έχει την ικανότητα να

εκπέμπει ή να λαμβάνει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αποτελεσματικότερα προς κάποιες κατευ-

θύνσεις Είναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κεραίες και η εξέλιξη αυτών είναι οι έξυπνες

κεραίες που ανάλογα με τις ανάγκες της κάθε συσκευής και τα χαρακτηριστικά του χώρου που

βρίσκεται μπορούν να αλλάξουν τη γωνία μέγιστης εκπομπής κάνοντας βέλτιστη χρήση της α-

κτινοβολούμενης ισχύος της

bull Πανκατευθυντικές μία πανκατευθυντική κεραία είναι μία κεραία η οποία ακτινοβολεί σαν

κατευθυντική εκτός από ένα επίπεδο στο οποίο εκπέμπει ή λαμβάνει ισοτροπικά Η χρήση τους

είναι κυρίως στα μέσα μαζικής επικοινωνίας όπου χρειάζεται κάλυψη του χώρου 360 μοιρών στο

οριζόντιο επίπεδο αλλά πολύ μικρής γωνίας στο κάθετο

Βάσει των μορφολογικών χαρακτηριστικών τους χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες Η κάθε

κατηγορία έχει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της που την καθιστούν κατάλληλη για κάποια

εφαρμογή και ακατάλληλη για κάποια άλλη Παρακάτω αναφέρονται οι κατηγορίες αυτές των κεραιών

με τα βασικά χαρακτηριστικά της κάθε μίας

bull Κεραίες σύρματος Είναι απλές κεραίες κατασκευασμένες από αγώγιμο υλικό συνήθως

κυκλικής διατομής Πολλές φορέα σχηματίζονται από πολλούς αγωγούς κατάλληλα συζευγμένους

μεταξύ τους σε πλέγματα διαφόρων σχημάτων που είτε δημιουργούν μία επιφάνεια είτε μία γραμμική

κεραία Η απλούστερη γραμμική κεραία είναι η κεραία διπόλου τα χαρακτηριστικά της οποίας είναι

ανάλογα με το σχετικό μήκος της ως προς το μήκος κύματος της ακτινοβολίας για την οποία προορίζε-

ται7 Οι συγκεκριμένες είναι πολύ απλές στην κατασκευή πολύ συχνά απλά συρμάτινες Αποτελείται

από ένα δίπολο του οποίου (συνήθως) η τροφοδοσία8είναι στη μέση Πλεονεκτήματα των κεραιών

αυτών είναι το κόστος το μέγεθος και η δυνατότητα κάλυψης μεγάλης περιοχής συχνοτήτων ενώ

έχουν το μειονέκτημα της χαμηλής απόδοσης λόγω των διαστάσεων τους Καλύτερα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης έχουν οι διπολικές κεραίες των οποίων το μήκος είναι της τάξης του μήκους κύματος

Σχήμα 35 Κεραία διπόλου

Μία κεραία σύρματος χαρακτηρίζεται ως rdquoλεπτήrdquoόταν η διάμε-

τρος του αγωγού είναι μικρότερη από 001λ Ανάλογα με το σχήμα

της χαρακτηρίζεται ως ευθύγραμη κεραία V ή πτυσσόμενη Στο

διπλανό σχήμα () φαίνονται μία ευθύγραμμη και μία πτυσσόμενη

διπολική κεραία Στις πτυσσόμενες σημαντική είναι η γωνία που

σχηματίζουν οι βραχίονες τους έχοντας βρεθεί ότι η μέγιστη

κατευθυντικότητα επιτυγχάνεται για γωνία α = 60λh

+ 380

όπου h είναι το μήκος του βραχίονα και λ το μήκος κύματος τη

ακτινοβολίας και ότι Dmax = 12 + 23hλ9

7Μία κεραία χαρακτηρίζεται ως ηλεκτρικά μικρή όταν οι διαστάσεις της είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος

της ακτινοβολίας8Με τον όρο τροφοδοσία εννοούμε το υπόλοιπο σύστημα το οποίο τροφοδοτεί η κεραία με το σήμα που λαμβάνει στην

περίπτωση κεραίας λήψης ή από το οποίο τροφοδοτείται με το σήμα που θα εκπέμψει στην περίπτωση κεραίας εκπομπής

9Η σχέση αυτή είναι εμπειρική και ισχύει για 05 lt h

λ lt 3

21

Σχήμα 36 Κεραία Yagi-Uda

Μία εξέλιξη των παραπάνω κεραιών είναι οι κεραίες Yagi-Udaπου ένα διάγραμμα ακτινοβολίας τέτοιας κεραίας παρατέθηκε

παραπάνω () Είναι ευθύγραμμες διπολικές κεραίες που α-

ποτελούνται από πέραν του ενός δίπολα τα οποία όμως δεν

τροφοδοτούνται όλα Τα μη τροφοδοτούμενα δίπολα ονομάζονται

παρασιτικά και τροφοδοτούνται επαγωγικά από τα υπόλοιπα Οι

κεραίες αυτές παρουσιάζουν αυξημένη κατευθυντικότητα σχετικά

με τις μη παρασιτικές κεραίες διπόλων Η πρώτη τέτοια κεραία

κατασκευάστηκε το 1926 και αποτελούταν από τρία δίπολα ένα

ενεργό και δύο παρασιτικά Στην περίπτωση που το παρασιτικό

δίπολο έχει μεγαλύτερο μήκος από του ενεργού ονομάζεται

ανακλαστήρας ενώ αν έχει μικρότερο ονομάζεται κατευθυντήρας

Μία γενική μορφή τέτοιας κεραίας φαίνεται στο διπλανό σχήμα με LR το μήκος του ανακλαστήρα και

LD το μήκος του κατευθυντήρα

bull Στοιχειοκεραίες Μία εξέλιξη των συρμάτινων κεραιών είναι οι στοιχειοκεραίες Οι

στοιχειοκεραίες αποτελούνται από πολλές κεραίες διπόλων τα στοιχεία τα οποία ενώνονται όλα σε

μία κοινή τροφοδοσία και αυτή είναι η βασική τους διαφορά από τις Yagi-Uda που έχουν παρασιτικά

στοιχεία και ο λόγος που οι τελευταίες δε θεωρούνται στοιχειοκεραίες Συστοιχείες λοιπόν πολλών

κεραιών φτιάχνουν τις στοιχειοκεραίες Ανάλογα με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της συστοιχίας

υπάρχουν κάποια είδη στοιχειοκεραιών όπως είναι οι γραμμικές (μία συστοιχία σε ευθεία γραμμή) και

οι επίπεδες (συστοιχείες συστοιχείων) Λόγω της ταυτόχρονης χρήσης πολλών κεραιών μπορούν να

συνδυάσουν τα χαρακτηριστικά τους δίνοντας δυνατότητα πολύπλοκων κατευθυντικών διαγραμμάτων

καθιστώντας τες κατάλληλες για πολλές εφαρμογές Συγκριτικά με μία κεραία μεγάλου μήκους που

θα έχει τα ίδια κατευθυντικά χαρακτηριστικά παρουσιάζει το πλεονέκτημα της εύκολης τροφοδο-

σίας της μηχανικής αντοχής και του μικρού κόστους εγκατάστασης και λειτουργίας Τέλος με

κατάλληλη τροφοδοσία του κάθε στοιχείου της μπορούμε να αλλάξουμε τα κατευθυντικά χαρακτηρι-

στικά της ΄Εχουν πολλές γεωμετρικές μορφές αλλά και είδη που θα αναφερθούν σε επόμενη παράγραφο

bull Κεραίες βρόχου ή πλαισίου Μία κεραία βρόχου αποτελείται από έναν κλειστό αγωγό σε

σχήμα βρόχου (ή και βρόχων) ο οποίος τροφοδοτείται σε ένα σημείο του Χωρίζονται σε κεραίες μικρού

και μεγάλου βρόχου συγκριτικά με το μήκος κύματος στο οποίο χρησιμοποιούνται10

Οι μικρού

βρόχου έχουν χαμηλή απόδοση και χρησιμοποιούνται κατά κόρον σε δέκτες χαμηλών συχνοτήτων

Εκτός από τους ραδιοφωνικούς δέκτες των αυτοκινήτων στους οποίους γίνεται μεγάλη χρήση των

κεραιών μικρού βρόχου το μεγαλύτερο ποσοστό των δεκτών AM χρησιμοποιούν τέτοιες κεραίες

Οι μεγάλου βρόχου έχουν ευρεία χρήση στους δέκτες VHF και UHF έχοντας και το επιπλέον

χαρακτηριστικό της μεταβλητής περιφέρειας δίνοντας δυνατότητα μεγαλύτερου εύρους συχνοτήτων

Γενικά οι κεραίες βρόχου είναι κεραίες με μεγάλη κατευθυντικότητα κάτι που τις κάνει ιδανικές σε

εφαρμογές εύρεσης κατεύθυνσης σήματος

bull Ελικοειδής κεραίες Μία ελικοειδής κεραία αποτελείται από έναν αγωγό που έχει τη μορφή

έλικας στον οποίο η τροφοδοσία είναι στο ένα του άκρο Αποτελεί συνδυασμό κεραίας βρόχου και

γραμμικής κεραίας οπότε μπορεί να εκπέμπει με δύο τρόπους (ρυθμούς) αξονικά και κάθετα στον άξονα

της έλικας κάτι που της δίνει βελτιωμένα χαρακτηριστικά συγκριτικά με τις δύο αυτές κατηγορίες

Χρησιμοποιείται κατά κόρον όπου απαιτείται κυκλική πόλωση σήματος σαν πομπός ή σε σήματα που

έχουν κυκλική πόλωση σαν δέκτης και έχει αρκετά μεγάλο εύρος ζώνης συχνοτήτων Ανάλογα με τα

χαρακτηριστικά που πρέπει να έχει μία ελικοειδής κεραία μπορεί να είναι ομοιόμορφη (όλες οι έλικες

ίδια διάμετρο) αυξανόμενης ελαττούμενης και αυξο-ελαττούμενης διαμέτρου ελίκων

bull Δικωνικές κεραίες ΄Αν δύο V ενωθούν κατακορυφήν σχηματίζεται μία δικωνική κεραία οι

οποίες έχουν αυξημένο εύρος συχνοτήτων Πολλές δικωνικές κεραίες έχουν τη δυνατότητα μεταβολής

10Σαν κεραία μικρού βρόχου θα χαρακτηριστεί η κεραία της οποίας η περιφέρεια θα είναι ίση ή μικρότερη από το ένα

δέκατο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας

22

του μήκους του βραχίονα τους δίνοντας ακόμα μεγαλύτερο εύρος Αν μία από τις δύο V κεραίες

αντικατασταθεί από μία αγώγιμη επιφάνεια σε σχήμα δίσκου έχουμε τη δισκωνική κεραία στην οποία

ο δίσκος λειτουργεί ως ανακλαστήρας Είναι κεραίες μικρής κατευθυντικότητας και χαμηλού κέρδους

και χρησιμοποιούνται πολύ σαν κεραίες ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών εκπομπών

bull Σπειροειδής κεραίες Οι σπειροειδής κεραίες είναι κεραίες με μεγάλο εύρος ζώνης

συχνοτήτων και μεγάλης κατευθυντικότητας Αποτελούνται από μία ή δύο αγωγούς που έχουν σχήμα

σπείρας και όσο μικρότερη γωνία ανοίγματος σπείρας έχουν τόσο μεγαλύτερη κατευθυντικότητα

Μπορεί να είναι επίπεδες ή κωνικές και η πόλωση του σήματος που λαμβάνουν ή εκπέμπουν είναι

ανάλογη με τη φορά των σπειρών Το εύρος συχνοτήτων τους δίνεται από το λόγο μεγαλύτερης προς

μικρότερης διαμέτρου άν και στην πραγματικότητα είναι λίγο μικρότερο του λόγου αυτού Μία αρκετά

διαδεδομένη σπειροειδής κεραία είναι η rdquoσπειροειδής του Αρχιμήδηrdquoη οποία αποτελείται από δύο σπε-

ίρες με r1 = r0φ και r2 = r0(φminusπ) οι οποίες συνήθως κατασκευάζονται πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα11

bull Κεραίες χοάνης Οι κεραίες χοάνης αποτελούνται από έναν αγωγό ο οποίος είναι από το

ένα άκρο του ανοιχτός και διεγείρεται από το άλλο του άκρο Με σωστή ρύθμιση έχουν μεγαλύτερη

απόδοση από τις συρμάτινες Ανάλογα με το σχήμα του αγωγού μπορεί να υπάρχουν αρκετά είδη

τέτοιων κεραιών τρία εκ των οποίων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα () Η κατευθυντικότητα της

είναι ανάλογη της γωνίας ανοίγματος της Στην πράξη συναντούμε ελάχιστες κεραίες χοάνης μόνες

τους αλλά σε συνδυασμό με έναν ανακλαστήρα έχουν πολύ διαδεδομένη χρήση λόγω της πολύ μεγάλης

κατευθυντικότητας που προσφέρουν ειδικά στις περιπτώσεις που ο ανακλαστήρας είναι παραβολικός

όπου υπάρχει η δυνατότητα παραγωγής πολύ στενής δέσμης υψηλού κέρδους και χαμηλού θορύβου

Χρησιμοποιούνται πολύ στις δορυφορικές επικοινωνίες και η πιο συνηθισμένη τους μορφή είναι τα umlπιάταrsquo

που χρησιμοποιούνται για τη λήψη δορυφορικών σημάτων

Σχήμα 37 Κεραίες χοάνης α)τομέας β)πυραμοειδής και γ)κωνική

bull Λογαριθμικές περιοδικές κεραίες Είναι κεραίες των οποίων τα μορφολογικά χα-

ρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με την απόσταση από την αρχή της κεραίας Υπάρχει ένα

επαναλαμβανόμενο στοιχείο κεραίας το οποίο μεγαλώνει όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της

κεραίας Μπορεί να είναι μία πλάκα με οδοντώσεις το μέγεθος των οποίων μεταβάλλεται ένα σύρμα

11Οι κεραίες που είναι κατασκευασμένες πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα ή αλλιώς σε μικροταινίες ανήκουν και στην

κατηγορία των μικροταινιακών κεραιών πολύ διαδεδομένη στις ηλεκτρονικές φορητές συσκευές που λειτουργούν στην

περιοχή των μικροκυμάτων (λόγω διαστάσεων κεραιών είναι ιδανικές για την περιοχή αυτή)

23

Σχήμα 38 Λογαριθμική περιοδική κεραία

το οποίο διπλώνεται κατάλληλα και το μέγεθος της κάθε δίπλωσης μεταβάλλεται ή ακόμα και από

δίπολα το μήκος των οποίων μεταβάλλεται Πολλές κεραίες που ανήκουν σε παραπάνω κατηγορίες είναι

λογαριθμικές μπορεί να είναι λογαριθμικές αν η μεταβολή των επαναλαμβανόμενων στοιχείων ακολουθεί

το συγκεκριμένο πρότυπο Μία τέτοια φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () η οποία ανήκει στην

κατηγορία των στοιχειοκεραίων Λόγω των επαναλαμβανόμενων στοιχείων των οποίων συνδυάζουν τα

χαρακτηριστικά μπορούν να έχουν πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων και συγκεκριμένα εύρος μίας τάξης

μεγέθους επιτυγχάνεται εύκολα και μπορούν να έχουν και αρκετά μεγάλη κατευθυντικότητα Βρίσκουν

πολλές εφαρμογές στις επικοινωνίες υψηλών συχνοτήτων και ειδικά στα τηλεοπτικά σήματα αφού με

μία κεραία μπορεί κάποιος να λαμβάνει ικανοποιητικά όλα τα διαθέσιμα κανάλια χωρίς καμία προσαρμογή

34 Στοιχειοκεραίες

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω η μορφή του διαγράμματος εκπομπής και λήψης των κεραιών

εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της κεραίας Σε πολλές εφαρμογές απαιτούνται κεραίες μεγάλου

κέρδους ή αλλιώς μεγάλης κατευθυντικότητας Μία κεραία για να έχει μεγάλη κατευθυντικότητα

θα πρέπει να έχει πολύ μεγάλο μέγεθος Το πρόβλημα αυτό λύνεται φτιάχνοντας σύνθετες κεραίες

Κεραίες που αποτελούνται από μικρότερες κεραίες είτε όμοιες μεταξύ τους είτε ανόμοιες Τέτοιες

συστοιχίες κεραιών όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ονομάζονται στοιχειοκεραίες Το κάθε στοιχείο

μίας στοιχειοκεραίας μπορεί να είναι οποιασδήποτε μορφής κεραία (σύρματος οπής κλπ) με βασικό

χαρακτηριστικό όλα τα στοιχεία να έχουν κοινή τροφοδοσία Το συνολικό πεδίο θα είναι το διανυ-

σματικό άθροισμα των πεδίων κάθε στοιχείου ξεχωριστά Οπότε μπορούμε να έχουμε το επιθυμητό

πεδίο φτιάχνοντας την κεραία μας έτσι ώστε στα σημεία που θέλουμε μεγάλο κέρδος να συμβάλουν

εποικοδομητικά τα πεδία των στοιχείων της κεραίας και στα σημεία που δεν θέλουμε να ακτινοβολεί να

έχουμε καταστροφική συμβολή

Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας θα εξαρτάται από τους εξείς παράγοντες

bull Τη γεωμετρία της στοιχειοκεραίας ( γραμμικήκυκλικήορθογώνια σφαιρική κλπ)

bull Την απόσταση μεταξύ των στοιχείων της κεραίας

bull Την ένταση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

bull Τη φάση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

24

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

διαγράμματος ακτινοβολίας της Μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της μετρώντας και υπολο-

γίζοντας κατάλληλα μεγέθη και κάνοντας χρήση γνωστών μαθηματικών τύπων

bull Συνολική ακτινοβολούμενη ενέργεια η συνολική (ή μέσος όρος) ενέργεια που ακτινο-

βολεί μία κεραία και υπολογίζεται από τον τύπο

Prad = Pav =

lsaquoS

~Wrad middot d~s =

lsaquoS

~Wav middot n middot da =1

2

lsaquoS

lt( ~E times ~H) middot d~s (31)

όπου Wrad=πυκνότητα ακτινοβολίας

bull ΄Ενταση ακτινοβολίας η ενέργεια που εκπέμπεται από μία κεραία ανά μονάδα στερεάς γωνίας

U = r2 middotWrad (32)

όπου r=απόσταση

bull Κατευθυντικότητα είναι ο λόγος της ακτινοβολούμενης ενέργειας σε μία συγκεκριμένη κα-

τεύθυνση προς το μέσο όρο εκπεμπόμενης ακτινοβολίας σε όλες τις κατευθύνσεις ΄Η αλλιώς

η ένταση προς μία συγκεκριμένη κατεύθυνση προς την αντίστοιχη τιμή της αν ακτινοβολούσε

ισοτροπικά

D =U

Uo=

4pU

Prad(33)

΄Αν δεν ορίζεται κατεύθυνση σαν κατευθυντικότητα αναφέρεται η μέγιστη κατευθυντικότητα μίας

κεραίας

bull Κέρδος αν και συνδέεται με την κατευθυντικότητα είναι μία παράμετρος της κεραίας που λαμ-

βάνει υπόψιν και την αποδοτικότητα της κεραίας αλλά και τις δυνατότητες κατευθυντικότητας

Απόλυτο κέρδος κεραίας (σε συγκεκριμένη κατεύθυνση) ορίζεται ο λόγος της έντασης ακτινοβο-

λίας προς την ένταση ακτινοβολίας που θα είχε στη συγκεκριμένη κατεύθυνση άν όλη η ενέργεια

εισόδου της κεραίας εκπεμπόταν ισοτροπικά

κέρδος = 4π middot ένταση ακτινοβολίας

συνολική εισερχόμενη ενέργεια= 4π

U(θ φ)

Pinputrarr

G = 4π U(θφ)Pinput (ιδανικής ισοτροπικής πηγής)

(34)

bull Απόδοση κεραίας είναι ένας δείκτης που λαμβάνει υπόψιν τις απώλειες ενέργειας από την

είσοδο στην έξοδο της κεραίας λόγω πολλών φαινομένων Γενικά η συνολική απόδοση μίας

κεραίας δίνεται από τον τύπο

eo = er middot ec middot ed (35)

όπου eo είναι η συνολική απόδοση er είναι η απόδοση λόγω απωλειών ανακλάσεων (λόγω κακής

προσαρμογής) (= 1minus|Γ|2) ec είναι η απόδοση λόγω απωλειών αγωγιμότητας ed είναι η απόδοση

που οφείλεται στο διηλεκτρικό και Γ ο συντελεστής ανάκλασης τάσης

bull Απόδοση δέσμης είναι μία παράμετρος ποιότητας μίας κεραίας και ορίζεται από το λόγο της

ενέργειας που ακτινοβολείται από τον κύριο λοβό της κεραίας (με το λοβό σε γωνία θ0) προς τη

συνολική

BE =

acute 2π0

acute θ0U(θ φ)sin(θ)dθdφacute 2π

0

acute π0U(θ φ)sin(θ)dθdφ

(36)

όπου θ1 είναι η γωνία μισής ισχύος ΄Αν θεωρήσουμε το θ1 στην κατεύθυνση του πρώτου μηδενι-

σμού τότε θα έχουμε το λόγο της ισχύος του κυρίως λοβού προς τη συνολική

bull Εύρος σαν εύρος μιας κεραίας ορίζεται το εύρος των συχνοτήτων (bandwidth) στις οποίες

μπορεί να λειτουργήσει αποδοτικά βάσει κάποιων χαρακτηριστικών της πχ να έχει εύρος κύριου

λοβού εντός συγκεκριμένων ορίων διατηρώντας μία ελάχιστη τιμή SLL

20

33 Κατηγορίες κεραιών

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω οι κεραίες χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με τα μορ-

φολογικά αλλά και λειτουργικά χαρακτηριστικά τους Βάσει του τρόπου με τον οποίο εκπέμπουν ή

λαμβάνουν ή αλλιώς βάσει του διαγράμματος ακτινοβολίας τους χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες

bull Ισοτροπικές μία ισοτροπική κεραία ορίζεται ως μία υποθετική (ιδανική) κεραία η οποία ακτινο-

βολεί το ίδιο προς όλες τις κατευθύνσεις Δεν έχει κάποια πραγματική εφαρμογή στα τηλεπικοι-

νωνιακά συστήματα γιατί η ισχύς της εκπέμπεται προς όλες τις κατευθύνσεις το ίδιο προκαλώντας

μεγάλες απώλειες ισχύος σε ανεπιθύμητες κατευθύνσεις ΄Εχει μόνο θεωρητική αξία στη μελέτη

κεραιών και στον ορισμό κάποιων παραμέτρων των κεραιών όπως το κέρδος που είδαμε παραπάνω

bull Κατευθυντικές μία κατευθυντική κεραία ορίζεται ως η κεραία που έχει την ικανότητα να

εκπέμπει ή να λαμβάνει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αποτελεσματικότερα προς κάποιες κατευ-

θύνσεις Είναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κεραίες και η εξέλιξη αυτών είναι οι έξυπνες

κεραίες που ανάλογα με τις ανάγκες της κάθε συσκευής και τα χαρακτηριστικά του χώρου που

βρίσκεται μπορούν να αλλάξουν τη γωνία μέγιστης εκπομπής κάνοντας βέλτιστη χρήση της α-

κτινοβολούμενης ισχύος της

bull Πανκατευθυντικές μία πανκατευθυντική κεραία είναι μία κεραία η οποία ακτινοβολεί σαν

κατευθυντική εκτός από ένα επίπεδο στο οποίο εκπέμπει ή λαμβάνει ισοτροπικά Η χρήση τους

είναι κυρίως στα μέσα μαζικής επικοινωνίας όπου χρειάζεται κάλυψη του χώρου 360 μοιρών στο

οριζόντιο επίπεδο αλλά πολύ μικρής γωνίας στο κάθετο

Βάσει των μορφολογικών χαρακτηριστικών τους χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες Η κάθε

κατηγορία έχει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της που την καθιστούν κατάλληλη για κάποια

εφαρμογή και ακατάλληλη για κάποια άλλη Παρακάτω αναφέρονται οι κατηγορίες αυτές των κεραιών

με τα βασικά χαρακτηριστικά της κάθε μίας

bull Κεραίες σύρματος Είναι απλές κεραίες κατασκευασμένες από αγώγιμο υλικό συνήθως

κυκλικής διατομής Πολλές φορέα σχηματίζονται από πολλούς αγωγούς κατάλληλα συζευγμένους

μεταξύ τους σε πλέγματα διαφόρων σχημάτων που είτε δημιουργούν μία επιφάνεια είτε μία γραμμική

κεραία Η απλούστερη γραμμική κεραία είναι η κεραία διπόλου τα χαρακτηριστικά της οποίας είναι

ανάλογα με το σχετικό μήκος της ως προς το μήκος κύματος της ακτινοβολίας για την οποία προορίζε-

ται7 Οι συγκεκριμένες είναι πολύ απλές στην κατασκευή πολύ συχνά απλά συρμάτινες Αποτελείται

από ένα δίπολο του οποίου (συνήθως) η τροφοδοσία8είναι στη μέση Πλεονεκτήματα των κεραιών

αυτών είναι το κόστος το μέγεθος και η δυνατότητα κάλυψης μεγάλης περιοχής συχνοτήτων ενώ

έχουν το μειονέκτημα της χαμηλής απόδοσης λόγω των διαστάσεων τους Καλύτερα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης έχουν οι διπολικές κεραίες των οποίων το μήκος είναι της τάξης του μήκους κύματος

Σχήμα 35 Κεραία διπόλου

Μία κεραία σύρματος χαρακτηρίζεται ως rdquoλεπτήrdquoόταν η διάμε-

τρος του αγωγού είναι μικρότερη από 001λ Ανάλογα με το σχήμα

της χαρακτηρίζεται ως ευθύγραμη κεραία V ή πτυσσόμενη Στο

διπλανό σχήμα () φαίνονται μία ευθύγραμμη και μία πτυσσόμενη

διπολική κεραία Στις πτυσσόμενες σημαντική είναι η γωνία που

σχηματίζουν οι βραχίονες τους έχοντας βρεθεί ότι η μέγιστη

κατευθυντικότητα επιτυγχάνεται για γωνία α = 60λh

+ 380

όπου h είναι το μήκος του βραχίονα και λ το μήκος κύματος τη

ακτινοβολίας και ότι Dmax = 12 + 23hλ9

7Μία κεραία χαρακτηρίζεται ως ηλεκτρικά μικρή όταν οι διαστάσεις της είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος

της ακτινοβολίας8Με τον όρο τροφοδοσία εννοούμε το υπόλοιπο σύστημα το οποίο τροφοδοτεί η κεραία με το σήμα που λαμβάνει στην

περίπτωση κεραίας λήψης ή από το οποίο τροφοδοτείται με το σήμα που θα εκπέμψει στην περίπτωση κεραίας εκπομπής

9Η σχέση αυτή είναι εμπειρική και ισχύει για 05 lt h

λ lt 3

21

Σχήμα 36 Κεραία Yagi-Uda

Μία εξέλιξη των παραπάνω κεραιών είναι οι κεραίες Yagi-Udaπου ένα διάγραμμα ακτινοβολίας τέτοιας κεραίας παρατέθηκε

παραπάνω () Είναι ευθύγραμμες διπολικές κεραίες που α-

ποτελούνται από πέραν του ενός δίπολα τα οποία όμως δεν

τροφοδοτούνται όλα Τα μη τροφοδοτούμενα δίπολα ονομάζονται

παρασιτικά και τροφοδοτούνται επαγωγικά από τα υπόλοιπα Οι

κεραίες αυτές παρουσιάζουν αυξημένη κατευθυντικότητα σχετικά

με τις μη παρασιτικές κεραίες διπόλων Η πρώτη τέτοια κεραία

κατασκευάστηκε το 1926 και αποτελούταν από τρία δίπολα ένα

ενεργό και δύο παρασιτικά Στην περίπτωση που το παρασιτικό

δίπολο έχει μεγαλύτερο μήκος από του ενεργού ονομάζεται

ανακλαστήρας ενώ αν έχει μικρότερο ονομάζεται κατευθυντήρας

Μία γενική μορφή τέτοιας κεραίας φαίνεται στο διπλανό σχήμα με LR το μήκος του ανακλαστήρα και

LD το μήκος του κατευθυντήρα

bull Στοιχειοκεραίες Μία εξέλιξη των συρμάτινων κεραιών είναι οι στοιχειοκεραίες Οι

στοιχειοκεραίες αποτελούνται από πολλές κεραίες διπόλων τα στοιχεία τα οποία ενώνονται όλα σε

μία κοινή τροφοδοσία και αυτή είναι η βασική τους διαφορά από τις Yagi-Uda που έχουν παρασιτικά

στοιχεία και ο λόγος που οι τελευταίες δε θεωρούνται στοιχειοκεραίες Συστοιχείες λοιπόν πολλών

κεραιών φτιάχνουν τις στοιχειοκεραίες Ανάλογα με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της συστοιχίας

υπάρχουν κάποια είδη στοιχειοκεραιών όπως είναι οι γραμμικές (μία συστοιχία σε ευθεία γραμμή) και

οι επίπεδες (συστοιχείες συστοιχείων) Λόγω της ταυτόχρονης χρήσης πολλών κεραιών μπορούν να

συνδυάσουν τα χαρακτηριστικά τους δίνοντας δυνατότητα πολύπλοκων κατευθυντικών διαγραμμάτων

καθιστώντας τες κατάλληλες για πολλές εφαρμογές Συγκριτικά με μία κεραία μεγάλου μήκους που

θα έχει τα ίδια κατευθυντικά χαρακτηριστικά παρουσιάζει το πλεονέκτημα της εύκολης τροφοδο-

σίας της μηχανικής αντοχής και του μικρού κόστους εγκατάστασης και λειτουργίας Τέλος με

κατάλληλη τροφοδοσία του κάθε στοιχείου της μπορούμε να αλλάξουμε τα κατευθυντικά χαρακτηρι-

στικά της ΄Εχουν πολλές γεωμετρικές μορφές αλλά και είδη που θα αναφερθούν σε επόμενη παράγραφο

bull Κεραίες βρόχου ή πλαισίου Μία κεραία βρόχου αποτελείται από έναν κλειστό αγωγό σε

σχήμα βρόχου (ή και βρόχων) ο οποίος τροφοδοτείται σε ένα σημείο του Χωρίζονται σε κεραίες μικρού

και μεγάλου βρόχου συγκριτικά με το μήκος κύματος στο οποίο χρησιμοποιούνται10

Οι μικρού

βρόχου έχουν χαμηλή απόδοση και χρησιμοποιούνται κατά κόρον σε δέκτες χαμηλών συχνοτήτων

Εκτός από τους ραδιοφωνικούς δέκτες των αυτοκινήτων στους οποίους γίνεται μεγάλη χρήση των

κεραιών μικρού βρόχου το μεγαλύτερο ποσοστό των δεκτών AM χρησιμοποιούν τέτοιες κεραίες

Οι μεγάλου βρόχου έχουν ευρεία χρήση στους δέκτες VHF και UHF έχοντας και το επιπλέον

χαρακτηριστικό της μεταβλητής περιφέρειας δίνοντας δυνατότητα μεγαλύτερου εύρους συχνοτήτων

Γενικά οι κεραίες βρόχου είναι κεραίες με μεγάλη κατευθυντικότητα κάτι που τις κάνει ιδανικές σε

εφαρμογές εύρεσης κατεύθυνσης σήματος

bull Ελικοειδής κεραίες Μία ελικοειδής κεραία αποτελείται από έναν αγωγό που έχει τη μορφή

έλικας στον οποίο η τροφοδοσία είναι στο ένα του άκρο Αποτελεί συνδυασμό κεραίας βρόχου και

γραμμικής κεραίας οπότε μπορεί να εκπέμπει με δύο τρόπους (ρυθμούς) αξονικά και κάθετα στον άξονα

της έλικας κάτι που της δίνει βελτιωμένα χαρακτηριστικά συγκριτικά με τις δύο αυτές κατηγορίες

Χρησιμοποιείται κατά κόρον όπου απαιτείται κυκλική πόλωση σήματος σαν πομπός ή σε σήματα που

έχουν κυκλική πόλωση σαν δέκτης και έχει αρκετά μεγάλο εύρος ζώνης συχνοτήτων Ανάλογα με τα

χαρακτηριστικά που πρέπει να έχει μία ελικοειδής κεραία μπορεί να είναι ομοιόμορφη (όλες οι έλικες

ίδια διάμετρο) αυξανόμενης ελαττούμενης και αυξο-ελαττούμενης διαμέτρου ελίκων

bull Δικωνικές κεραίες ΄Αν δύο V ενωθούν κατακορυφήν σχηματίζεται μία δικωνική κεραία οι

οποίες έχουν αυξημένο εύρος συχνοτήτων Πολλές δικωνικές κεραίες έχουν τη δυνατότητα μεταβολής

10Σαν κεραία μικρού βρόχου θα χαρακτηριστεί η κεραία της οποίας η περιφέρεια θα είναι ίση ή μικρότερη από το ένα

δέκατο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας

22

του μήκους του βραχίονα τους δίνοντας ακόμα μεγαλύτερο εύρος Αν μία από τις δύο V κεραίες

αντικατασταθεί από μία αγώγιμη επιφάνεια σε σχήμα δίσκου έχουμε τη δισκωνική κεραία στην οποία

ο δίσκος λειτουργεί ως ανακλαστήρας Είναι κεραίες μικρής κατευθυντικότητας και χαμηλού κέρδους

και χρησιμοποιούνται πολύ σαν κεραίες ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών εκπομπών

bull Σπειροειδής κεραίες Οι σπειροειδής κεραίες είναι κεραίες με μεγάλο εύρος ζώνης

συχνοτήτων και μεγάλης κατευθυντικότητας Αποτελούνται από μία ή δύο αγωγούς που έχουν σχήμα

σπείρας και όσο μικρότερη γωνία ανοίγματος σπείρας έχουν τόσο μεγαλύτερη κατευθυντικότητα

Μπορεί να είναι επίπεδες ή κωνικές και η πόλωση του σήματος που λαμβάνουν ή εκπέμπουν είναι

ανάλογη με τη φορά των σπειρών Το εύρος συχνοτήτων τους δίνεται από το λόγο μεγαλύτερης προς

μικρότερης διαμέτρου άν και στην πραγματικότητα είναι λίγο μικρότερο του λόγου αυτού Μία αρκετά

διαδεδομένη σπειροειδής κεραία είναι η rdquoσπειροειδής του Αρχιμήδηrdquoη οποία αποτελείται από δύο σπε-

ίρες με r1 = r0φ και r2 = r0(φminusπ) οι οποίες συνήθως κατασκευάζονται πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα11

bull Κεραίες χοάνης Οι κεραίες χοάνης αποτελούνται από έναν αγωγό ο οποίος είναι από το

ένα άκρο του ανοιχτός και διεγείρεται από το άλλο του άκρο Με σωστή ρύθμιση έχουν μεγαλύτερη

απόδοση από τις συρμάτινες Ανάλογα με το σχήμα του αγωγού μπορεί να υπάρχουν αρκετά είδη

τέτοιων κεραιών τρία εκ των οποίων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα () Η κατευθυντικότητα της

είναι ανάλογη της γωνίας ανοίγματος της Στην πράξη συναντούμε ελάχιστες κεραίες χοάνης μόνες

τους αλλά σε συνδυασμό με έναν ανακλαστήρα έχουν πολύ διαδεδομένη χρήση λόγω της πολύ μεγάλης

κατευθυντικότητας που προσφέρουν ειδικά στις περιπτώσεις που ο ανακλαστήρας είναι παραβολικός

όπου υπάρχει η δυνατότητα παραγωγής πολύ στενής δέσμης υψηλού κέρδους και χαμηλού θορύβου

Χρησιμοποιούνται πολύ στις δορυφορικές επικοινωνίες και η πιο συνηθισμένη τους μορφή είναι τα umlπιάταrsquo

που χρησιμοποιούνται για τη λήψη δορυφορικών σημάτων

Σχήμα 37 Κεραίες χοάνης α)τομέας β)πυραμοειδής και γ)κωνική

bull Λογαριθμικές περιοδικές κεραίες Είναι κεραίες των οποίων τα μορφολογικά χα-

ρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με την απόσταση από την αρχή της κεραίας Υπάρχει ένα

επαναλαμβανόμενο στοιχείο κεραίας το οποίο μεγαλώνει όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της

κεραίας Μπορεί να είναι μία πλάκα με οδοντώσεις το μέγεθος των οποίων μεταβάλλεται ένα σύρμα

11Οι κεραίες που είναι κατασκευασμένες πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα ή αλλιώς σε μικροταινίες ανήκουν και στην

κατηγορία των μικροταινιακών κεραιών πολύ διαδεδομένη στις ηλεκτρονικές φορητές συσκευές που λειτουργούν στην

περιοχή των μικροκυμάτων (λόγω διαστάσεων κεραιών είναι ιδανικές για την περιοχή αυτή)

23

Σχήμα 38 Λογαριθμική περιοδική κεραία

το οποίο διπλώνεται κατάλληλα και το μέγεθος της κάθε δίπλωσης μεταβάλλεται ή ακόμα και από

δίπολα το μήκος των οποίων μεταβάλλεται Πολλές κεραίες που ανήκουν σε παραπάνω κατηγορίες είναι

λογαριθμικές μπορεί να είναι λογαριθμικές αν η μεταβολή των επαναλαμβανόμενων στοιχείων ακολουθεί

το συγκεκριμένο πρότυπο Μία τέτοια φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () η οποία ανήκει στην

κατηγορία των στοιχειοκεραίων Λόγω των επαναλαμβανόμενων στοιχείων των οποίων συνδυάζουν τα

χαρακτηριστικά μπορούν να έχουν πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων και συγκεκριμένα εύρος μίας τάξης

μεγέθους επιτυγχάνεται εύκολα και μπορούν να έχουν και αρκετά μεγάλη κατευθυντικότητα Βρίσκουν

πολλές εφαρμογές στις επικοινωνίες υψηλών συχνοτήτων και ειδικά στα τηλεοπτικά σήματα αφού με

μία κεραία μπορεί κάποιος να λαμβάνει ικανοποιητικά όλα τα διαθέσιμα κανάλια χωρίς καμία προσαρμογή

34 Στοιχειοκεραίες

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω η μορφή του διαγράμματος εκπομπής και λήψης των κεραιών

εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της κεραίας Σε πολλές εφαρμογές απαιτούνται κεραίες μεγάλου

κέρδους ή αλλιώς μεγάλης κατευθυντικότητας Μία κεραία για να έχει μεγάλη κατευθυντικότητα

θα πρέπει να έχει πολύ μεγάλο μέγεθος Το πρόβλημα αυτό λύνεται φτιάχνοντας σύνθετες κεραίες

Κεραίες που αποτελούνται από μικρότερες κεραίες είτε όμοιες μεταξύ τους είτε ανόμοιες Τέτοιες

συστοιχίες κεραιών όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ονομάζονται στοιχειοκεραίες Το κάθε στοιχείο

μίας στοιχειοκεραίας μπορεί να είναι οποιασδήποτε μορφής κεραία (σύρματος οπής κλπ) με βασικό

χαρακτηριστικό όλα τα στοιχεία να έχουν κοινή τροφοδοσία Το συνολικό πεδίο θα είναι το διανυ-

σματικό άθροισμα των πεδίων κάθε στοιχείου ξεχωριστά Οπότε μπορούμε να έχουμε το επιθυμητό

πεδίο φτιάχνοντας την κεραία μας έτσι ώστε στα σημεία που θέλουμε μεγάλο κέρδος να συμβάλουν

εποικοδομητικά τα πεδία των στοιχείων της κεραίας και στα σημεία που δεν θέλουμε να ακτινοβολεί να

έχουμε καταστροφική συμβολή

Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας θα εξαρτάται από τους εξείς παράγοντες

bull Τη γεωμετρία της στοιχειοκεραίας ( γραμμικήκυκλικήορθογώνια σφαιρική κλπ)

bull Την απόσταση μεταξύ των στοιχείων της κεραίας

bull Την ένταση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

bull Τη φάση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

24

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

33 Κατηγορίες κεραιών

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω οι κεραίες χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με τα μορ-

φολογικά αλλά και λειτουργικά χαρακτηριστικά τους Βάσει του τρόπου με τον οποίο εκπέμπουν ή

λαμβάνουν ή αλλιώς βάσει του διαγράμματος ακτινοβολίας τους χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες

bull Ισοτροπικές μία ισοτροπική κεραία ορίζεται ως μία υποθετική (ιδανική) κεραία η οποία ακτινο-

βολεί το ίδιο προς όλες τις κατευθύνσεις Δεν έχει κάποια πραγματική εφαρμογή στα τηλεπικοι-

νωνιακά συστήματα γιατί η ισχύς της εκπέμπεται προς όλες τις κατευθύνσεις το ίδιο προκαλώντας

μεγάλες απώλειες ισχύος σε ανεπιθύμητες κατευθύνσεις ΄Εχει μόνο θεωρητική αξία στη μελέτη

κεραιών και στον ορισμό κάποιων παραμέτρων των κεραιών όπως το κέρδος που είδαμε παραπάνω

bull Κατευθυντικές μία κατευθυντική κεραία ορίζεται ως η κεραία που έχει την ικανότητα να

εκπέμπει ή να λαμβάνει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αποτελεσματικότερα προς κάποιες κατευ-

θύνσεις Είναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κεραίες και η εξέλιξη αυτών είναι οι έξυπνες

κεραίες που ανάλογα με τις ανάγκες της κάθε συσκευής και τα χαρακτηριστικά του χώρου που

βρίσκεται μπορούν να αλλάξουν τη γωνία μέγιστης εκπομπής κάνοντας βέλτιστη χρήση της α-

κτινοβολούμενης ισχύος της

bull Πανκατευθυντικές μία πανκατευθυντική κεραία είναι μία κεραία η οποία ακτινοβολεί σαν

κατευθυντική εκτός από ένα επίπεδο στο οποίο εκπέμπει ή λαμβάνει ισοτροπικά Η χρήση τους

είναι κυρίως στα μέσα μαζικής επικοινωνίας όπου χρειάζεται κάλυψη του χώρου 360 μοιρών στο

οριζόντιο επίπεδο αλλά πολύ μικρής γωνίας στο κάθετο

Βάσει των μορφολογικών χαρακτηριστικών τους χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες Η κάθε

κατηγορία έχει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της που την καθιστούν κατάλληλη για κάποια

εφαρμογή και ακατάλληλη για κάποια άλλη Παρακάτω αναφέρονται οι κατηγορίες αυτές των κεραιών

με τα βασικά χαρακτηριστικά της κάθε μίας

bull Κεραίες σύρματος Είναι απλές κεραίες κατασκευασμένες από αγώγιμο υλικό συνήθως

κυκλικής διατομής Πολλές φορέα σχηματίζονται από πολλούς αγωγούς κατάλληλα συζευγμένους

μεταξύ τους σε πλέγματα διαφόρων σχημάτων που είτε δημιουργούν μία επιφάνεια είτε μία γραμμική

κεραία Η απλούστερη γραμμική κεραία είναι η κεραία διπόλου τα χαρακτηριστικά της οποίας είναι

ανάλογα με το σχετικό μήκος της ως προς το μήκος κύματος της ακτινοβολίας για την οποία προορίζε-

ται7 Οι συγκεκριμένες είναι πολύ απλές στην κατασκευή πολύ συχνά απλά συρμάτινες Αποτελείται

από ένα δίπολο του οποίου (συνήθως) η τροφοδοσία8είναι στη μέση Πλεονεκτήματα των κεραιών

αυτών είναι το κόστος το μέγεθος και η δυνατότητα κάλυψης μεγάλης περιοχής συχνοτήτων ενώ

έχουν το μειονέκτημα της χαμηλής απόδοσης λόγω των διαστάσεων τους Καλύτερα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης έχουν οι διπολικές κεραίες των οποίων το μήκος είναι της τάξης του μήκους κύματος

Σχήμα 35 Κεραία διπόλου

Μία κεραία σύρματος χαρακτηρίζεται ως rdquoλεπτήrdquoόταν η διάμε-

τρος του αγωγού είναι μικρότερη από 001λ Ανάλογα με το σχήμα

της χαρακτηρίζεται ως ευθύγραμη κεραία V ή πτυσσόμενη Στο

διπλανό σχήμα () φαίνονται μία ευθύγραμμη και μία πτυσσόμενη

διπολική κεραία Στις πτυσσόμενες σημαντική είναι η γωνία που

σχηματίζουν οι βραχίονες τους έχοντας βρεθεί ότι η μέγιστη

κατευθυντικότητα επιτυγχάνεται για γωνία α = 60λh

+ 380

όπου h είναι το μήκος του βραχίονα και λ το μήκος κύματος τη

ακτινοβολίας και ότι Dmax = 12 + 23hλ9

7Μία κεραία χαρακτηρίζεται ως ηλεκτρικά μικρή όταν οι διαστάσεις της είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος

της ακτινοβολίας8Με τον όρο τροφοδοσία εννοούμε το υπόλοιπο σύστημα το οποίο τροφοδοτεί η κεραία με το σήμα που λαμβάνει στην

περίπτωση κεραίας λήψης ή από το οποίο τροφοδοτείται με το σήμα που θα εκπέμψει στην περίπτωση κεραίας εκπομπής

9Η σχέση αυτή είναι εμπειρική και ισχύει για 05 lt h

λ lt 3

21

Σχήμα 36 Κεραία Yagi-Uda

Μία εξέλιξη των παραπάνω κεραιών είναι οι κεραίες Yagi-Udaπου ένα διάγραμμα ακτινοβολίας τέτοιας κεραίας παρατέθηκε

παραπάνω () Είναι ευθύγραμμες διπολικές κεραίες που α-

ποτελούνται από πέραν του ενός δίπολα τα οποία όμως δεν

τροφοδοτούνται όλα Τα μη τροφοδοτούμενα δίπολα ονομάζονται

παρασιτικά και τροφοδοτούνται επαγωγικά από τα υπόλοιπα Οι

κεραίες αυτές παρουσιάζουν αυξημένη κατευθυντικότητα σχετικά

με τις μη παρασιτικές κεραίες διπόλων Η πρώτη τέτοια κεραία

κατασκευάστηκε το 1926 και αποτελούταν από τρία δίπολα ένα

ενεργό και δύο παρασιτικά Στην περίπτωση που το παρασιτικό

δίπολο έχει μεγαλύτερο μήκος από του ενεργού ονομάζεται

ανακλαστήρας ενώ αν έχει μικρότερο ονομάζεται κατευθυντήρας

Μία γενική μορφή τέτοιας κεραίας φαίνεται στο διπλανό σχήμα με LR το μήκος του ανακλαστήρα και

LD το μήκος του κατευθυντήρα

bull Στοιχειοκεραίες Μία εξέλιξη των συρμάτινων κεραιών είναι οι στοιχειοκεραίες Οι

στοιχειοκεραίες αποτελούνται από πολλές κεραίες διπόλων τα στοιχεία τα οποία ενώνονται όλα σε

μία κοινή τροφοδοσία και αυτή είναι η βασική τους διαφορά από τις Yagi-Uda που έχουν παρασιτικά

στοιχεία και ο λόγος που οι τελευταίες δε θεωρούνται στοιχειοκεραίες Συστοιχείες λοιπόν πολλών

κεραιών φτιάχνουν τις στοιχειοκεραίες Ανάλογα με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της συστοιχίας

υπάρχουν κάποια είδη στοιχειοκεραιών όπως είναι οι γραμμικές (μία συστοιχία σε ευθεία γραμμή) και

οι επίπεδες (συστοιχείες συστοιχείων) Λόγω της ταυτόχρονης χρήσης πολλών κεραιών μπορούν να

συνδυάσουν τα χαρακτηριστικά τους δίνοντας δυνατότητα πολύπλοκων κατευθυντικών διαγραμμάτων

καθιστώντας τες κατάλληλες για πολλές εφαρμογές Συγκριτικά με μία κεραία μεγάλου μήκους που

θα έχει τα ίδια κατευθυντικά χαρακτηριστικά παρουσιάζει το πλεονέκτημα της εύκολης τροφοδο-

σίας της μηχανικής αντοχής και του μικρού κόστους εγκατάστασης και λειτουργίας Τέλος με

κατάλληλη τροφοδοσία του κάθε στοιχείου της μπορούμε να αλλάξουμε τα κατευθυντικά χαρακτηρι-

στικά της ΄Εχουν πολλές γεωμετρικές μορφές αλλά και είδη που θα αναφερθούν σε επόμενη παράγραφο

bull Κεραίες βρόχου ή πλαισίου Μία κεραία βρόχου αποτελείται από έναν κλειστό αγωγό σε

σχήμα βρόχου (ή και βρόχων) ο οποίος τροφοδοτείται σε ένα σημείο του Χωρίζονται σε κεραίες μικρού

και μεγάλου βρόχου συγκριτικά με το μήκος κύματος στο οποίο χρησιμοποιούνται10

Οι μικρού

βρόχου έχουν χαμηλή απόδοση και χρησιμοποιούνται κατά κόρον σε δέκτες χαμηλών συχνοτήτων

Εκτός από τους ραδιοφωνικούς δέκτες των αυτοκινήτων στους οποίους γίνεται μεγάλη χρήση των

κεραιών μικρού βρόχου το μεγαλύτερο ποσοστό των δεκτών AM χρησιμοποιούν τέτοιες κεραίες

Οι μεγάλου βρόχου έχουν ευρεία χρήση στους δέκτες VHF και UHF έχοντας και το επιπλέον

χαρακτηριστικό της μεταβλητής περιφέρειας δίνοντας δυνατότητα μεγαλύτερου εύρους συχνοτήτων

Γενικά οι κεραίες βρόχου είναι κεραίες με μεγάλη κατευθυντικότητα κάτι που τις κάνει ιδανικές σε

εφαρμογές εύρεσης κατεύθυνσης σήματος

bull Ελικοειδής κεραίες Μία ελικοειδής κεραία αποτελείται από έναν αγωγό που έχει τη μορφή

έλικας στον οποίο η τροφοδοσία είναι στο ένα του άκρο Αποτελεί συνδυασμό κεραίας βρόχου και

γραμμικής κεραίας οπότε μπορεί να εκπέμπει με δύο τρόπους (ρυθμούς) αξονικά και κάθετα στον άξονα

της έλικας κάτι που της δίνει βελτιωμένα χαρακτηριστικά συγκριτικά με τις δύο αυτές κατηγορίες

Χρησιμοποιείται κατά κόρον όπου απαιτείται κυκλική πόλωση σήματος σαν πομπός ή σε σήματα που

έχουν κυκλική πόλωση σαν δέκτης και έχει αρκετά μεγάλο εύρος ζώνης συχνοτήτων Ανάλογα με τα

χαρακτηριστικά που πρέπει να έχει μία ελικοειδής κεραία μπορεί να είναι ομοιόμορφη (όλες οι έλικες

ίδια διάμετρο) αυξανόμενης ελαττούμενης και αυξο-ελαττούμενης διαμέτρου ελίκων

bull Δικωνικές κεραίες ΄Αν δύο V ενωθούν κατακορυφήν σχηματίζεται μία δικωνική κεραία οι

οποίες έχουν αυξημένο εύρος συχνοτήτων Πολλές δικωνικές κεραίες έχουν τη δυνατότητα μεταβολής

10Σαν κεραία μικρού βρόχου θα χαρακτηριστεί η κεραία της οποίας η περιφέρεια θα είναι ίση ή μικρότερη από το ένα

δέκατο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας

22

του μήκους του βραχίονα τους δίνοντας ακόμα μεγαλύτερο εύρος Αν μία από τις δύο V κεραίες

αντικατασταθεί από μία αγώγιμη επιφάνεια σε σχήμα δίσκου έχουμε τη δισκωνική κεραία στην οποία

ο δίσκος λειτουργεί ως ανακλαστήρας Είναι κεραίες μικρής κατευθυντικότητας και χαμηλού κέρδους

και χρησιμοποιούνται πολύ σαν κεραίες ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών εκπομπών

bull Σπειροειδής κεραίες Οι σπειροειδής κεραίες είναι κεραίες με μεγάλο εύρος ζώνης

συχνοτήτων και μεγάλης κατευθυντικότητας Αποτελούνται από μία ή δύο αγωγούς που έχουν σχήμα

σπείρας και όσο μικρότερη γωνία ανοίγματος σπείρας έχουν τόσο μεγαλύτερη κατευθυντικότητα

Μπορεί να είναι επίπεδες ή κωνικές και η πόλωση του σήματος που λαμβάνουν ή εκπέμπουν είναι

ανάλογη με τη φορά των σπειρών Το εύρος συχνοτήτων τους δίνεται από το λόγο μεγαλύτερης προς

μικρότερης διαμέτρου άν και στην πραγματικότητα είναι λίγο μικρότερο του λόγου αυτού Μία αρκετά

διαδεδομένη σπειροειδής κεραία είναι η rdquoσπειροειδής του Αρχιμήδηrdquoη οποία αποτελείται από δύο σπε-

ίρες με r1 = r0φ και r2 = r0(φminusπ) οι οποίες συνήθως κατασκευάζονται πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα11

bull Κεραίες χοάνης Οι κεραίες χοάνης αποτελούνται από έναν αγωγό ο οποίος είναι από το

ένα άκρο του ανοιχτός και διεγείρεται από το άλλο του άκρο Με σωστή ρύθμιση έχουν μεγαλύτερη

απόδοση από τις συρμάτινες Ανάλογα με το σχήμα του αγωγού μπορεί να υπάρχουν αρκετά είδη

τέτοιων κεραιών τρία εκ των οποίων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα () Η κατευθυντικότητα της

είναι ανάλογη της γωνίας ανοίγματος της Στην πράξη συναντούμε ελάχιστες κεραίες χοάνης μόνες

τους αλλά σε συνδυασμό με έναν ανακλαστήρα έχουν πολύ διαδεδομένη χρήση λόγω της πολύ μεγάλης

κατευθυντικότητας που προσφέρουν ειδικά στις περιπτώσεις που ο ανακλαστήρας είναι παραβολικός

όπου υπάρχει η δυνατότητα παραγωγής πολύ στενής δέσμης υψηλού κέρδους και χαμηλού θορύβου

Χρησιμοποιούνται πολύ στις δορυφορικές επικοινωνίες και η πιο συνηθισμένη τους μορφή είναι τα umlπιάταrsquo

που χρησιμοποιούνται για τη λήψη δορυφορικών σημάτων

Σχήμα 37 Κεραίες χοάνης α)τομέας β)πυραμοειδής και γ)κωνική

bull Λογαριθμικές περιοδικές κεραίες Είναι κεραίες των οποίων τα μορφολογικά χα-

ρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με την απόσταση από την αρχή της κεραίας Υπάρχει ένα

επαναλαμβανόμενο στοιχείο κεραίας το οποίο μεγαλώνει όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της

κεραίας Μπορεί να είναι μία πλάκα με οδοντώσεις το μέγεθος των οποίων μεταβάλλεται ένα σύρμα

11Οι κεραίες που είναι κατασκευασμένες πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα ή αλλιώς σε μικροταινίες ανήκουν και στην

κατηγορία των μικροταινιακών κεραιών πολύ διαδεδομένη στις ηλεκτρονικές φορητές συσκευές που λειτουργούν στην

περιοχή των μικροκυμάτων (λόγω διαστάσεων κεραιών είναι ιδανικές για την περιοχή αυτή)

23

Σχήμα 38 Λογαριθμική περιοδική κεραία

το οποίο διπλώνεται κατάλληλα και το μέγεθος της κάθε δίπλωσης μεταβάλλεται ή ακόμα και από

δίπολα το μήκος των οποίων μεταβάλλεται Πολλές κεραίες που ανήκουν σε παραπάνω κατηγορίες είναι

λογαριθμικές μπορεί να είναι λογαριθμικές αν η μεταβολή των επαναλαμβανόμενων στοιχείων ακολουθεί

το συγκεκριμένο πρότυπο Μία τέτοια φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () η οποία ανήκει στην

κατηγορία των στοιχειοκεραίων Λόγω των επαναλαμβανόμενων στοιχείων των οποίων συνδυάζουν τα

χαρακτηριστικά μπορούν να έχουν πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων και συγκεκριμένα εύρος μίας τάξης

μεγέθους επιτυγχάνεται εύκολα και μπορούν να έχουν και αρκετά μεγάλη κατευθυντικότητα Βρίσκουν

πολλές εφαρμογές στις επικοινωνίες υψηλών συχνοτήτων και ειδικά στα τηλεοπτικά σήματα αφού με

μία κεραία μπορεί κάποιος να λαμβάνει ικανοποιητικά όλα τα διαθέσιμα κανάλια χωρίς καμία προσαρμογή

34 Στοιχειοκεραίες

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω η μορφή του διαγράμματος εκπομπής και λήψης των κεραιών

εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της κεραίας Σε πολλές εφαρμογές απαιτούνται κεραίες μεγάλου

κέρδους ή αλλιώς μεγάλης κατευθυντικότητας Μία κεραία για να έχει μεγάλη κατευθυντικότητα

θα πρέπει να έχει πολύ μεγάλο μέγεθος Το πρόβλημα αυτό λύνεται φτιάχνοντας σύνθετες κεραίες

Κεραίες που αποτελούνται από μικρότερες κεραίες είτε όμοιες μεταξύ τους είτε ανόμοιες Τέτοιες

συστοιχίες κεραιών όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ονομάζονται στοιχειοκεραίες Το κάθε στοιχείο

μίας στοιχειοκεραίας μπορεί να είναι οποιασδήποτε μορφής κεραία (σύρματος οπής κλπ) με βασικό

χαρακτηριστικό όλα τα στοιχεία να έχουν κοινή τροφοδοσία Το συνολικό πεδίο θα είναι το διανυ-

σματικό άθροισμα των πεδίων κάθε στοιχείου ξεχωριστά Οπότε μπορούμε να έχουμε το επιθυμητό

πεδίο φτιάχνοντας την κεραία μας έτσι ώστε στα σημεία που θέλουμε μεγάλο κέρδος να συμβάλουν

εποικοδομητικά τα πεδία των στοιχείων της κεραίας και στα σημεία που δεν θέλουμε να ακτινοβολεί να

έχουμε καταστροφική συμβολή

Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας θα εξαρτάται από τους εξείς παράγοντες

bull Τη γεωμετρία της στοιχειοκεραίας ( γραμμικήκυκλικήορθογώνια σφαιρική κλπ)

bull Την απόσταση μεταξύ των στοιχείων της κεραίας

bull Την ένταση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

bull Τη φάση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

24

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Σχήμα 36 Κεραία Yagi-Uda

Μία εξέλιξη των παραπάνω κεραιών είναι οι κεραίες Yagi-Udaπου ένα διάγραμμα ακτινοβολίας τέτοιας κεραίας παρατέθηκε

παραπάνω () Είναι ευθύγραμμες διπολικές κεραίες που α-

ποτελούνται από πέραν του ενός δίπολα τα οποία όμως δεν

τροφοδοτούνται όλα Τα μη τροφοδοτούμενα δίπολα ονομάζονται

παρασιτικά και τροφοδοτούνται επαγωγικά από τα υπόλοιπα Οι

κεραίες αυτές παρουσιάζουν αυξημένη κατευθυντικότητα σχετικά

με τις μη παρασιτικές κεραίες διπόλων Η πρώτη τέτοια κεραία

κατασκευάστηκε το 1926 και αποτελούταν από τρία δίπολα ένα

ενεργό και δύο παρασιτικά Στην περίπτωση που το παρασιτικό

δίπολο έχει μεγαλύτερο μήκος από του ενεργού ονομάζεται

ανακλαστήρας ενώ αν έχει μικρότερο ονομάζεται κατευθυντήρας

Μία γενική μορφή τέτοιας κεραίας φαίνεται στο διπλανό σχήμα με LR το μήκος του ανακλαστήρα και

LD το μήκος του κατευθυντήρα

bull Στοιχειοκεραίες Μία εξέλιξη των συρμάτινων κεραιών είναι οι στοιχειοκεραίες Οι

στοιχειοκεραίες αποτελούνται από πολλές κεραίες διπόλων τα στοιχεία τα οποία ενώνονται όλα σε

μία κοινή τροφοδοσία και αυτή είναι η βασική τους διαφορά από τις Yagi-Uda που έχουν παρασιτικά

στοιχεία και ο λόγος που οι τελευταίες δε θεωρούνται στοιχειοκεραίες Συστοιχείες λοιπόν πολλών

κεραιών φτιάχνουν τις στοιχειοκεραίες Ανάλογα με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της συστοιχίας

υπάρχουν κάποια είδη στοιχειοκεραιών όπως είναι οι γραμμικές (μία συστοιχία σε ευθεία γραμμή) και

οι επίπεδες (συστοιχείες συστοιχείων) Λόγω της ταυτόχρονης χρήσης πολλών κεραιών μπορούν να

συνδυάσουν τα χαρακτηριστικά τους δίνοντας δυνατότητα πολύπλοκων κατευθυντικών διαγραμμάτων

καθιστώντας τες κατάλληλες για πολλές εφαρμογές Συγκριτικά με μία κεραία μεγάλου μήκους που

θα έχει τα ίδια κατευθυντικά χαρακτηριστικά παρουσιάζει το πλεονέκτημα της εύκολης τροφοδο-

σίας της μηχανικής αντοχής και του μικρού κόστους εγκατάστασης και λειτουργίας Τέλος με

κατάλληλη τροφοδοσία του κάθε στοιχείου της μπορούμε να αλλάξουμε τα κατευθυντικά χαρακτηρι-

στικά της ΄Εχουν πολλές γεωμετρικές μορφές αλλά και είδη που θα αναφερθούν σε επόμενη παράγραφο

bull Κεραίες βρόχου ή πλαισίου Μία κεραία βρόχου αποτελείται από έναν κλειστό αγωγό σε

σχήμα βρόχου (ή και βρόχων) ο οποίος τροφοδοτείται σε ένα σημείο του Χωρίζονται σε κεραίες μικρού

και μεγάλου βρόχου συγκριτικά με το μήκος κύματος στο οποίο χρησιμοποιούνται10

Οι μικρού

βρόχου έχουν χαμηλή απόδοση και χρησιμοποιούνται κατά κόρον σε δέκτες χαμηλών συχνοτήτων

Εκτός από τους ραδιοφωνικούς δέκτες των αυτοκινήτων στους οποίους γίνεται μεγάλη χρήση των

κεραιών μικρού βρόχου το μεγαλύτερο ποσοστό των δεκτών AM χρησιμοποιούν τέτοιες κεραίες

Οι μεγάλου βρόχου έχουν ευρεία χρήση στους δέκτες VHF και UHF έχοντας και το επιπλέον

χαρακτηριστικό της μεταβλητής περιφέρειας δίνοντας δυνατότητα μεγαλύτερου εύρους συχνοτήτων

Γενικά οι κεραίες βρόχου είναι κεραίες με μεγάλη κατευθυντικότητα κάτι που τις κάνει ιδανικές σε

εφαρμογές εύρεσης κατεύθυνσης σήματος

bull Ελικοειδής κεραίες Μία ελικοειδής κεραία αποτελείται από έναν αγωγό που έχει τη μορφή

έλικας στον οποίο η τροφοδοσία είναι στο ένα του άκρο Αποτελεί συνδυασμό κεραίας βρόχου και

γραμμικής κεραίας οπότε μπορεί να εκπέμπει με δύο τρόπους (ρυθμούς) αξονικά και κάθετα στον άξονα

της έλικας κάτι που της δίνει βελτιωμένα χαρακτηριστικά συγκριτικά με τις δύο αυτές κατηγορίες

Χρησιμοποιείται κατά κόρον όπου απαιτείται κυκλική πόλωση σήματος σαν πομπός ή σε σήματα που

έχουν κυκλική πόλωση σαν δέκτης και έχει αρκετά μεγάλο εύρος ζώνης συχνοτήτων Ανάλογα με τα

χαρακτηριστικά που πρέπει να έχει μία ελικοειδής κεραία μπορεί να είναι ομοιόμορφη (όλες οι έλικες

ίδια διάμετρο) αυξανόμενης ελαττούμενης και αυξο-ελαττούμενης διαμέτρου ελίκων

bull Δικωνικές κεραίες ΄Αν δύο V ενωθούν κατακορυφήν σχηματίζεται μία δικωνική κεραία οι

οποίες έχουν αυξημένο εύρος συχνοτήτων Πολλές δικωνικές κεραίες έχουν τη δυνατότητα μεταβολής

10Σαν κεραία μικρού βρόχου θα χαρακτηριστεί η κεραία της οποίας η περιφέρεια θα είναι ίση ή μικρότερη από το ένα

δέκατο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας

22

του μήκους του βραχίονα τους δίνοντας ακόμα μεγαλύτερο εύρος Αν μία από τις δύο V κεραίες

αντικατασταθεί από μία αγώγιμη επιφάνεια σε σχήμα δίσκου έχουμε τη δισκωνική κεραία στην οποία

ο δίσκος λειτουργεί ως ανακλαστήρας Είναι κεραίες μικρής κατευθυντικότητας και χαμηλού κέρδους

και χρησιμοποιούνται πολύ σαν κεραίες ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών εκπομπών

bull Σπειροειδής κεραίες Οι σπειροειδής κεραίες είναι κεραίες με μεγάλο εύρος ζώνης

συχνοτήτων και μεγάλης κατευθυντικότητας Αποτελούνται από μία ή δύο αγωγούς που έχουν σχήμα

σπείρας και όσο μικρότερη γωνία ανοίγματος σπείρας έχουν τόσο μεγαλύτερη κατευθυντικότητα

Μπορεί να είναι επίπεδες ή κωνικές και η πόλωση του σήματος που λαμβάνουν ή εκπέμπουν είναι

ανάλογη με τη φορά των σπειρών Το εύρος συχνοτήτων τους δίνεται από το λόγο μεγαλύτερης προς

μικρότερης διαμέτρου άν και στην πραγματικότητα είναι λίγο μικρότερο του λόγου αυτού Μία αρκετά

διαδεδομένη σπειροειδής κεραία είναι η rdquoσπειροειδής του Αρχιμήδηrdquoη οποία αποτελείται από δύο σπε-

ίρες με r1 = r0φ και r2 = r0(φminusπ) οι οποίες συνήθως κατασκευάζονται πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα11

bull Κεραίες χοάνης Οι κεραίες χοάνης αποτελούνται από έναν αγωγό ο οποίος είναι από το

ένα άκρο του ανοιχτός και διεγείρεται από το άλλο του άκρο Με σωστή ρύθμιση έχουν μεγαλύτερη

απόδοση από τις συρμάτινες Ανάλογα με το σχήμα του αγωγού μπορεί να υπάρχουν αρκετά είδη

τέτοιων κεραιών τρία εκ των οποίων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα () Η κατευθυντικότητα της

είναι ανάλογη της γωνίας ανοίγματος της Στην πράξη συναντούμε ελάχιστες κεραίες χοάνης μόνες

τους αλλά σε συνδυασμό με έναν ανακλαστήρα έχουν πολύ διαδεδομένη χρήση λόγω της πολύ μεγάλης

κατευθυντικότητας που προσφέρουν ειδικά στις περιπτώσεις που ο ανακλαστήρας είναι παραβολικός

όπου υπάρχει η δυνατότητα παραγωγής πολύ στενής δέσμης υψηλού κέρδους και χαμηλού θορύβου

Χρησιμοποιούνται πολύ στις δορυφορικές επικοινωνίες και η πιο συνηθισμένη τους μορφή είναι τα umlπιάταrsquo

που χρησιμοποιούνται για τη λήψη δορυφορικών σημάτων

Σχήμα 37 Κεραίες χοάνης α)τομέας β)πυραμοειδής και γ)κωνική

bull Λογαριθμικές περιοδικές κεραίες Είναι κεραίες των οποίων τα μορφολογικά χα-

ρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με την απόσταση από την αρχή της κεραίας Υπάρχει ένα

επαναλαμβανόμενο στοιχείο κεραίας το οποίο μεγαλώνει όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της

κεραίας Μπορεί να είναι μία πλάκα με οδοντώσεις το μέγεθος των οποίων μεταβάλλεται ένα σύρμα

11Οι κεραίες που είναι κατασκευασμένες πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα ή αλλιώς σε μικροταινίες ανήκουν και στην

κατηγορία των μικροταινιακών κεραιών πολύ διαδεδομένη στις ηλεκτρονικές φορητές συσκευές που λειτουργούν στην

περιοχή των μικροκυμάτων (λόγω διαστάσεων κεραιών είναι ιδανικές για την περιοχή αυτή)

23

Σχήμα 38 Λογαριθμική περιοδική κεραία

το οποίο διπλώνεται κατάλληλα και το μέγεθος της κάθε δίπλωσης μεταβάλλεται ή ακόμα και από

δίπολα το μήκος των οποίων μεταβάλλεται Πολλές κεραίες που ανήκουν σε παραπάνω κατηγορίες είναι

λογαριθμικές μπορεί να είναι λογαριθμικές αν η μεταβολή των επαναλαμβανόμενων στοιχείων ακολουθεί

το συγκεκριμένο πρότυπο Μία τέτοια φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () η οποία ανήκει στην

κατηγορία των στοιχειοκεραίων Λόγω των επαναλαμβανόμενων στοιχείων των οποίων συνδυάζουν τα

χαρακτηριστικά μπορούν να έχουν πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων και συγκεκριμένα εύρος μίας τάξης

μεγέθους επιτυγχάνεται εύκολα και μπορούν να έχουν και αρκετά μεγάλη κατευθυντικότητα Βρίσκουν

πολλές εφαρμογές στις επικοινωνίες υψηλών συχνοτήτων και ειδικά στα τηλεοπτικά σήματα αφού με

μία κεραία μπορεί κάποιος να λαμβάνει ικανοποιητικά όλα τα διαθέσιμα κανάλια χωρίς καμία προσαρμογή

34 Στοιχειοκεραίες

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω η μορφή του διαγράμματος εκπομπής και λήψης των κεραιών

εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της κεραίας Σε πολλές εφαρμογές απαιτούνται κεραίες μεγάλου

κέρδους ή αλλιώς μεγάλης κατευθυντικότητας Μία κεραία για να έχει μεγάλη κατευθυντικότητα

θα πρέπει να έχει πολύ μεγάλο μέγεθος Το πρόβλημα αυτό λύνεται φτιάχνοντας σύνθετες κεραίες

Κεραίες που αποτελούνται από μικρότερες κεραίες είτε όμοιες μεταξύ τους είτε ανόμοιες Τέτοιες

συστοιχίες κεραιών όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ονομάζονται στοιχειοκεραίες Το κάθε στοιχείο

μίας στοιχειοκεραίας μπορεί να είναι οποιασδήποτε μορφής κεραία (σύρματος οπής κλπ) με βασικό

χαρακτηριστικό όλα τα στοιχεία να έχουν κοινή τροφοδοσία Το συνολικό πεδίο θα είναι το διανυ-

σματικό άθροισμα των πεδίων κάθε στοιχείου ξεχωριστά Οπότε μπορούμε να έχουμε το επιθυμητό

πεδίο φτιάχνοντας την κεραία μας έτσι ώστε στα σημεία που θέλουμε μεγάλο κέρδος να συμβάλουν

εποικοδομητικά τα πεδία των στοιχείων της κεραίας και στα σημεία που δεν θέλουμε να ακτινοβολεί να

έχουμε καταστροφική συμβολή

Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας θα εξαρτάται από τους εξείς παράγοντες

bull Τη γεωμετρία της στοιχειοκεραίας ( γραμμικήκυκλικήορθογώνια σφαιρική κλπ)

bull Την απόσταση μεταξύ των στοιχείων της κεραίας

bull Την ένταση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

bull Τη φάση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

24

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

του μήκους του βραχίονα τους δίνοντας ακόμα μεγαλύτερο εύρος Αν μία από τις δύο V κεραίες

αντικατασταθεί από μία αγώγιμη επιφάνεια σε σχήμα δίσκου έχουμε τη δισκωνική κεραία στην οποία

ο δίσκος λειτουργεί ως ανακλαστήρας Είναι κεραίες μικρής κατευθυντικότητας και χαμηλού κέρδους

και χρησιμοποιούνται πολύ σαν κεραίες ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών εκπομπών

bull Σπειροειδής κεραίες Οι σπειροειδής κεραίες είναι κεραίες με μεγάλο εύρος ζώνης

συχνοτήτων και μεγάλης κατευθυντικότητας Αποτελούνται από μία ή δύο αγωγούς που έχουν σχήμα

σπείρας και όσο μικρότερη γωνία ανοίγματος σπείρας έχουν τόσο μεγαλύτερη κατευθυντικότητα

Μπορεί να είναι επίπεδες ή κωνικές και η πόλωση του σήματος που λαμβάνουν ή εκπέμπουν είναι

ανάλογη με τη φορά των σπειρών Το εύρος συχνοτήτων τους δίνεται από το λόγο μεγαλύτερης προς

μικρότερης διαμέτρου άν και στην πραγματικότητα είναι λίγο μικρότερο του λόγου αυτού Μία αρκετά

διαδεδομένη σπειροειδής κεραία είναι η rdquoσπειροειδής του Αρχιμήδηrdquoη οποία αποτελείται από δύο σπε-

ίρες με r1 = r0φ και r2 = r0(φminusπ) οι οποίες συνήθως κατασκευάζονται πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα11

bull Κεραίες χοάνης Οι κεραίες χοάνης αποτελούνται από έναν αγωγό ο οποίος είναι από το

ένα άκρο του ανοιχτός και διεγείρεται από το άλλο του άκρο Με σωστή ρύθμιση έχουν μεγαλύτερη

απόδοση από τις συρμάτινες Ανάλογα με το σχήμα του αγωγού μπορεί να υπάρχουν αρκετά είδη

τέτοιων κεραιών τρία εκ των οποίων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα () Η κατευθυντικότητα της

είναι ανάλογη της γωνίας ανοίγματος της Στην πράξη συναντούμε ελάχιστες κεραίες χοάνης μόνες

τους αλλά σε συνδυασμό με έναν ανακλαστήρα έχουν πολύ διαδεδομένη χρήση λόγω της πολύ μεγάλης

κατευθυντικότητας που προσφέρουν ειδικά στις περιπτώσεις που ο ανακλαστήρας είναι παραβολικός

όπου υπάρχει η δυνατότητα παραγωγής πολύ στενής δέσμης υψηλού κέρδους και χαμηλού θορύβου

Χρησιμοποιούνται πολύ στις δορυφορικές επικοινωνίες και η πιο συνηθισμένη τους μορφή είναι τα umlπιάταrsquo

που χρησιμοποιούνται για τη λήψη δορυφορικών σημάτων

Σχήμα 37 Κεραίες χοάνης α)τομέας β)πυραμοειδής και γ)κωνική

bull Λογαριθμικές περιοδικές κεραίες Είναι κεραίες των οποίων τα μορφολογικά χα-

ρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με την απόσταση από την αρχή της κεραίας Υπάρχει ένα

επαναλαμβανόμενο στοιχείο κεραίας το οποίο μεγαλώνει όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της

κεραίας Μπορεί να είναι μία πλάκα με οδοντώσεις το μέγεθος των οποίων μεταβάλλεται ένα σύρμα

11Οι κεραίες που είναι κατασκευασμένες πάνω σε τυπωμένα κυκλώματα ή αλλιώς σε μικροταινίες ανήκουν και στην

κατηγορία των μικροταινιακών κεραιών πολύ διαδεδομένη στις ηλεκτρονικές φορητές συσκευές που λειτουργούν στην

περιοχή των μικροκυμάτων (λόγω διαστάσεων κεραιών είναι ιδανικές για την περιοχή αυτή)

23

Σχήμα 38 Λογαριθμική περιοδική κεραία

το οποίο διπλώνεται κατάλληλα και το μέγεθος της κάθε δίπλωσης μεταβάλλεται ή ακόμα και από

δίπολα το μήκος των οποίων μεταβάλλεται Πολλές κεραίες που ανήκουν σε παραπάνω κατηγορίες είναι

λογαριθμικές μπορεί να είναι λογαριθμικές αν η μεταβολή των επαναλαμβανόμενων στοιχείων ακολουθεί

το συγκεκριμένο πρότυπο Μία τέτοια φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () η οποία ανήκει στην

κατηγορία των στοιχειοκεραίων Λόγω των επαναλαμβανόμενων στοιχείων των οποίων συνδυάζουν τα

χαρακτηριστικά μπορούν να έχουν πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων και συγκεκριμένα εύρος μίας τάξης

μεγέθους επιτυγχάνεται εύκολα και μπορούν να έχουν και αρκετά μεγάλη κατευθυντικότητα Βρίσκουν

πολλές εφαρμογές στις επικοινωνίες υψηλών συχνοτήτων και ειδικά στα τηλεοπτικά σήματα αφού με

μία κεραία μπορεί κάποιος να λαμβάνει ικανοποιητικά όλα τα διαθέσιμα κανάλια χωρίς καμία προσαρμογή

34 Στοιχειοκεραίες

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω η μορφή του διαγράμματος εκπομπής και λήψης των κεραιών

εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της κεραίας Σε πολλές εφαρμογές απαιτούνται κεραίες μεγάλου

κέρδους ή αλλιώς μεγάλης κατευθυντικότητας Μία κεραία για να έχει μεγάλη κατευθυντικότητα

θα πρέπει να έχει πολύ μεγάλο μέγεθος Το πρόβλημα αυτό λύνεται φτιάχνοντας σύνθετες κεραίες

Κεραίες που αποτελούνται από μικρότερες κεραίες είτε όμοιες μεταξύ τους είτε ανόμοιες Τέτοιες

συστοιχίες κεραιών όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ονομάζονται στοιχειοκεραίες Το κάθε στοιχείο

μίας στοιχειοκεραίας μπορεί να είναι οποιασδήποτε μορφής κεραία (σύρματος οπής κλπ) με βασικό

χαρακτηριστικό όλα τα στοιχεία να έχουν κοινή τροφοδοσία Το συνολικό πεδίο θα είναι το διανυ-

σματικό άθροισμα των πεδίων κάθε στοιχείου ξεχωριστά Οπότε μπορούμε να έχουμε το επιθυμητό

πεδίο φτιάχνοντας την κεραία μας έτσι ώστε στα σημεία που θέλουμε μεγάλο κέρδος να συμβάλουν

εποικοδομητικά τα πεδία των στοιχείων της κεραίας και στα σημεία που δεν θέλουμε να ακτινοβολεί να

έχουμε καταστροφική συμβολή

Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας θα εξαρτάται από τους εξείς παράγοντες

bull Τη γεωμετρία της στοιχειοκεραίας ( γραμμικήκυκλικήορθογώνια σφαιρική κλπ)

bull Την απόσταση μεταξύ των στοιχείων της κεραίας

bull Την ένταση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

bull Τη φάση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

24

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Σχήμα 38 Λογαριθμική περιοδική κεραία

το οποίο διπλώνεται κατάλληλα και το μέγεθος της κάθε δίπλωσης μεταβάλλεται ή ακόμα και από

δίπολα το μήκος των οποίων μεταβάλλεται Πολλές κεραίες που ανήκουν σε παραπάνω κατηγορίες είναι

λογαριθμικές μπορεί να είναι λογαριθμικές αν η μεταβολή των επαναλαμβανόμενων στοιχείων ακολουθεί

το συγκεκριμένο πρότυπο Μία τέτοια φαίνεται στο παρακάτω σχήμα () η οποία ανήκει στην

κατηγορία των στοιχειοκεραίων Λόγω των επαναλαμβανόμενων στοιχείων των οποίων συνδυάζουν τα

χαρακτηριστικά μπορούν να έχουν πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων και συγκεκριμένα εύρος μίας τάξης

μεγέθους επιτυγχάνεται εύκολα και μπορούν να έχουν και αρκετά μεγάλη κατευθυντικότητα Βρίσκουν

πολλές εφαρμογές στις επικοινωνίες υψηλών συχνοτήτων και ειδικά στα τηλεοπτικά σήματα αφού με

μία κεραία μπορεί κάποιος να λαμβάνει ικανοποιητικά όλα τα διαθέσιμα κανάλια χωρίς καμία προσαρμογή

34 Στοιχειοκεραίες

΄Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω η μορφή του διαγράμματος εκπομπής και λήψης των κεραιών

εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της κεραίας Σε πολλές εφαρμογές απαιτούνται κεραίες μεγάλου

κέρδους ή αλλιώς μεγάλης κατευθυντικότητας Μία κεραία για να έχει μεγάλη κατευθυντικότητα

θα πρέπει να έχει πολύ μεγάλο μέγεθος Το πρόβλημα αυτό λύνεται φτιάχνοντας σύνθετες κεραίες

Κεραίες που αποτελούνται από μικρότερες κεραίες είτε όμοιες μεταξύ τους είτε ανόμοιες Τέτοιες

συστοιχίες κεραιών όπως αναφέρθηκε και παραπάνω ονομάζονται στοιχειοκεραίες Το κάθε στοιχείο

μίας στοιχειοκεραίας μπορεί να είναι οποιασδήποτε μορφής κεραία (σύρματος οπής κλπ) με βασικό

χαρακτηριστικό όλα τα στοιχεία να έχουν κοινή τροφοδοσία Το συνολικό πεδίο θα είναι το διανυ-

σματικό άθροισμα των πεδίων κάθε στοιχείου ξεχωριστά Οπότε μπορούμε να έχουμε το επιθυμητό

πεδίο φτιάχνοντας την κεραία μας έτσι ώστε στα σημεία που θέλουμε μεγάλο κέρδος να συμβάλουν

εποικοδομητικά τα πεδία των στοιχείων της κεραίας και στα σημεία που δεν θέλουμε να ακτινοβολεί να

έχουμε καταστροφική συμβολή

Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας θα εξαρτάται από τους εξείς παράγοντες

bull Τη γεωμετρία της στοιχειοκεραίας ( γραμμικήκυκλικήορθογώνια σφαιρική κλπ)

bull Την απόσταση μεταξύ των στοιχείων της κεραίας

bull Την ένταση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

bull Τη φάση της διέγερσης του κάθε στοιχείου

24

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

bull Το διάγραμμα του κάθε στοιχείου

Θεωρώντας στοιχειοκεραία δύο στοιχείων στοιχειωδών διπόλων και θεωρώντας ότι δεν υπάρχει

σύζευξη μεταξύ τους το πεδίο της στοιχειοκεραίας θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων

των διπόλων

~Er = ~E1 + ~E2 = aθjηkIol

4π

[εminusj(kr1minus(

β2)

r1 cos θ1+εminusj(kr2minus(

β2))

r2 cos θ2

](37)

όπου β=διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων ω = kc = 2πf = 2πT

= κυκλική συχνότητα k =2πλ =κυματάριθμος λ = cf Η διέγερση των στοιχείων είναι ίδια Για το μακρινό πεδίο θα ισχύουν

οι σχέσεις

θ1 asymp θ2 asymp θ(r1 asymp rminusd

2 cos θ

r2 asymp r+d2 cos θ

)για μεταβολές στη φάση

r1 asymp r2 asymp r για μεταβολές στο πλάτος

οπότε η παραπάνω εξίσωση () γίνεται

~Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ

[ε+j

(kd cos θ+β)2 + εminusj

(kd cos θ+β)2

]rarr

Er = aθjηkIole

minusjkr

4πcos θ middot 2 middot cos

[1

2(kd cos θ + β)

](38)

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι το πεδίο θα είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου τοποθετημένο στην

πηγή πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα ο οποίος ονομάζεται παράγοντας διάταξης ή παράγοντας

δομής (αρραψ φαςτορ) Οπότε για το συγκεκριμένο παράδειγμα των δύο στοιχείων ο παράγοντας

διάταξης θα είναι

AF = 2 cos

[1

2(kd cos θ + β)

](39)

και σε κανονικοποιημένη μορφή

(AF )n = cos

[1

2(kd cos θ + β)

](310)

Ο παράγοντας διάταξης είναι μία συνάρτηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης και

της φάσης της διέγερσης Ορίζοντας κατάλληλα τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να τροπο-

ποιήσουμε προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα τον παράγοντα διάταξης και το συνολικό πεδίο της διάταξης

Για διατάξεις με μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων η θεωρία είναι η ίδια αλλά με λίγο διαφορετική

θεώρηση Γενικεύουμε λοιπόν τη μέθοδο

Θεωρούμε αρχικά ότι έχουμε μία συστοιχία Ν στοιχείων ΄Ολα τα στοιχεία έχουν το ίδιο πλάτος

διέγερσης αλλά διαφορετική φάση με τη φάση να αποτελεί μία αριθμητική ακολουθία όπου η φάση

του n+ 1 είναι η φάση του n συν β (φ(n+ 1) = φ(n) + β) Μία συστοιχία με τα χαρακτηριστικά αυτά

ονομάζεται ομοιόμορφη συστοιχία ΄Αν τα στοιχεία δεν είναι ισοτροπικές πηγές το συνολικό πεδίο

μπορεί να υπολογιστεί με πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης των ισοτροπικών πηγών με το πεδίο

ενός στοιχείου

Στη συνέχεια μελετάμε το πεδίο συστοιχιών όμοιων στοιχείων Ο παράγοντας διάταξης για αυτή την

περίπτωση θα δίνεται από τη σχέση

AF = 1 + e+j(kd cos θ)+β) + e+j2(kd cos θ)+β) + + e+j(Nminus1)(kd cos θ)+β) rarr

AF =Nsumn=1

e+j(nminus1)(kd cos θ)+β) (311)

25

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

η οποία σχέση μπορεί να γραφτεί και

AF =Nsumn=1

ej(nminus1)ψ (312)

όπου ψ = kd cos θ + β

Σχήμα 39 Παραστατικοί μιγάδες

Η παραπάνω σχέση () μιας και δίνει τον συ-

νολικό παράγοντα διάταξης της ομοιόμορφης συ-

στοιχίας σαν το διανυσματικό άθροισμα Ν φασι-

κών παραγόντων (παραστατικοί μιγάδες) μοναδια-

ίου πλάτους και μεταξύ τους διαφοράς φάσης ψ

μπορεί γραφικά να αναπαρασταθεί με το διπλα-

νό σχήμα ΄Οπως φαίνεται από τη σχέση αλ-

λά και από το σχήμα () το πλάτος και η φάση

του παράγοντα διάταξης μπορεί να διαμορφωθεί α-

νάλογα με τις ιδιαιτερότητες του εκάστου προ-

βλήματος σχεδιασμού ομοιόμορφης στοιχειοκερα-

ίας απλά επιλέγοντας κατάλληλα τον παράγοντα

ψ (τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχε-

ίων)12

Μία πιο εύχρηστη και συμπαγής μορφή του παραπάνω παράγοντα διάταξης μπορεί να βρεθεί με τον

παρακάτω τρόπο

bull Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης () με ejψ οπότε παίρνουμε το απο-

τέλεσμα

(AF ) middot ejψ = ejψ + e2jψ + e3jψ + e4jψ + + e(Nminus1)jψ + eNjψ (313)

bull και αφαιρώντας τη σχέση από την σχέση παίρνουμε

AF (ejψ minus 1) = AF (minus1 + ejNψ) (314)

bull από την οποία ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφτεί ώς

AF = |ejNψ minus 1

ejψ minus 1| = ej[

Nminus12

]ψ

[ej

N2ψ minus eminusjN2 ψ

ej12ψ minus eminusj 12ψ

](315)

bull και με χρήση της υπερβολικής σχέσης ejω minus eminusjω = sinω

AF = ejNminus1

2ψ

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](316)

bull και άν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της συστοιχίας τότε η σχέση γίνεται

AF =

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](317)

bull με τις κανονικοποιημένες τιμές της να δίνονται από τη σχέση

(AF )n =1

N

[sin(N

2ψ)

sin(12ψ)

](318)

12Για μη ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες η διαφορά φάσης και το πλάτος του κάθε στοιχείου μπορούν να οριστούν κα-

τάλληλα ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή μορφή του παράγοντα διάταξης

26

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Στα σημεία μηδενισμού θα ισχύει (AF )n = 0 οπότε μπορούμε να βρούμε τα σημεία μηδενισμού από

τη σχέση

sin(N

2ψ) = 0rarr N

2ψ|θ=θn = plusmnnπ rarr θn = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2n

Nπ)

](319)

όπου n = 1 2 3 και n 6= N 2N 3N γιατί για τιμές n = N 2N 3N έχουμε ldquoανεπιθύμηταrdquoμέγιστα αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει σε μορφή 00 Οι τιμές του n καθορίζουν την τάξη του

μηδενισμού Φυσικά για να υπάρχει μηδενισμός θα πρέπει να μην είναι το όρισμα του cosminus1 μεγαλύτερο

της μονάδος Οπότε ο αριθμός των μηδενισμών θα είναι συνάρτηση των d και β Τα μέγιστα βρίσκονται

από τη σχέση

ψ

2=

1

2(kd cos θ + b)|θ=θm = plusmnmπ rarr θm = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2mπ)

](320)

όπου m = 0 1 2 3

Το σημείο των 3-dB δηλαδή η γωνία ημισείας ισχύος εμφανίζεται όταν ισχύει η σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θh = plusmn1391rarr θh = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](321)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θh =π

2minus sinminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 2782

N)

](322)

και το εύρος δέσμης ημισείας ισχύος μπορεί να υπολογιστεί αφού βρεθεί η γωνία του πρώτου μέγιστου

και η γωνία ημισείας ισχύος για συμμετρικά διαγράμματα από τη σχέση Θh = 2 lowast |θm minus θh|

Για τον παραπάνω παράγοντα διάταξης υπάρχουν και δευτερεύοντα μέγιστα τα οποία θα εμφανίζονται

στις γωνίες για τις οποίες ο αριθμητής θα παίρνει τις μέγιστες τιμές του Οπότε

sin

[N

2(kd cos θ + β)

]|θ=θs asymp plusmn rarr

N

2(kd cos θ + β) asymp plusmn(

2s+ 1

2)π rarr

θs = cosminus1[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](323)

η οποία μπορεί να γραφτεί

θs =π

2minus cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn (

2s+ 1

N))

](324)

όπου s = 1 2 3

Αντίστοιχα με τα παραπάνω το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος μεγίστου μπορεί να βρεθεί από

τη σχέση

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + b)|θ=θs = plusmn(

3π

2)rarr θs = cosminus1

[λ

2πd(minusβ plusmn 3π

2)

](325)

και χρησιμοποιώντας την προσεγγιστική σχέση για τον παράγοντα διάταξης (όταν το ψ είναι πολύ μικρό)

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

](326)

βρίσκουμε ότι

(AF )n =

[sin(N

2ψ)

N2ψ

]|(θ=θss=1 ) =

2

3π= 0212 (327)

το οποίο σε dBείναι ίσο με

(AF )n = 20log10(2

3π) = minus1346dB (328)

27

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

οπότε το μέγιστο του πρώτου δευτερεύοντος λοβού θα είναι 1346 dB κάτω από το μέγιστο του κυρίως

λοβού

Η παραπάνω ανάλυση μπορεί ανάλογα να γίνει και για στοιχειοκεραίες δύο διαστάσεων (επίπεδες)

35 Κατηγορίες στοιχειοκεραιών

Βάσει των χαρακτηριστικών του διαγράμματος ακτινοβολίας τους οι στοιχειοκεραίες χωρίζονται σε

τρεις κύριες κατηγορίες Κάθε κατηγορία έχει κάποια κύρια χαρακτηριστικά και κάποια πλεονεκτήματα

και μειονεκτήματα οπότε ανάλογα με την εφαρμογή επιλέγονται οι παράμετροι της κεραίας ώστε να

έχουμε το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας

Ευρύπλευρες ή μετωπικές στοιχειοκεραίες (Broadside array)

Σχήμα 310 Διάγραμμα

ακτινοβολίας μετωπικής

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε το μέγιστο της κεραίας να είναι

κάθετο στον άξονά της Οι κεραίες αυτές ονομάζονται ευρύπλευ-

ρες ή μετωπικές Για την επίτευξη του στόχου πρέπει και το μέγι-

στο κάθε στοιχείου αλλά και το μέγιστο του παράγοντα διάταξης

να είναι σε γωνία θ = 90o (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας

κεραίας με έξι στοιχεία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ

φαίνεται στο διπλανό σχήμα () ΄Οσον αφορά τα μεμονωμένα

στοιχεία αυτό μπορεί να επιτευχθεί με επιλογή του κατάλληλου

στοιχείου Για τον παράγοντα διάταξης αυτό μπορεί να επιτευχθεί

με κατάλληλη επιλογή της απόστασης και της διέγερσης των στοι-

χείων Οπότε για μία ομοιόμορφη διάταξη για το μέγιστό του θα

ισχύει ότι ψ=0 οπότε αφού θέλουμε να είναι σε γωνία θ = 90oθα πρέπει

ψ = kd cos θ + β|θ=90o = β (329)

κάτι που επιβάλει όλα τα στοιχεία να έχουν την ίδια διαφορά φάσης μεταξύ τους (β = 0o) Η απόσταση

των στοιχείων δεν επηρεάζει το μέγιστο αλλά θα πρέπει να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος ή και μεγαλύτερη του γιατί θα προκαλούνται ανεπιθύμητα μέγιστα όπως έχει προαναφερθεί

σε παραπάνω ανάλυση Γενικά για αποφυγή ανεπιθύμητων μεγίστων θα πρέπει η μέγιστη απόσταση

μεταξύ των στοιχείων που επιλέξουμε να είναι μικρότερη από το μήκος κύματος (dmax lt λ)

Αξονικά Ακτινοβολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)

Σχήμα 311 Διάγραμμα

ακτινοβολίας ακροπυροδοτικής

στοιχειοκεραίας

Οι κεραίες των οποίων ο κύριος λοβός είναι παράλληλος με τον

άξονά τους (θ = 0o ή θ = 180o) ονομάζονται Αξονικά Ακτινο-

βολούσες ή Ακροπυροδοτικές Στοιχειοκεραίες (End-fire Array)(Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας με πέντε στοιχε-

ία και απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ φαίνεται στο διπλανό

σχήμα () Το συνηθισμένο είναι να είναι μία από τις δύο γωνίες

επιθυμητή Οπότε ανάλογα με την περίπτωση επιθυμητής γωνίας

μεγίστου

28

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

bull Για την περίπτωση θ = 0o

ψ = kd cos θ + β|θ=0o = kd+ β = 0rarr β = minuskd (330)

bull Για την περίπτωση θ = 180o

ψ = kd cos θ + β|θ=180o = kd+ β = 0rarr β = kd (331)

Στην περίπτωση που η d = λ2 θα έχουμε μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις (θ = 0o και θ = 180o) γιατί

στην περίπτωση αυτή θα έχουμε klowastd = π = β Ακόμα όταν το d είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους

κύματος εκτός από τα μέγιστα και στις δύο κατευθύνσεις θα έχουμε και μέγιστα κάθετα στον άξονα

της κεραίας γιατί τότε k lowast d = 2nπ = β οπότε θα έχουμε τέσσερα μέγιστα (θ = 0oθ = 90oθ = 180o

και θ = 270o) Για την αποφυγή των παραπάνω θα πρέπει η μέγιστη απόσταση που θα επιλέξουμε να

είναι μικρότερη τουλ2(dmax lt

λ2)

Ακροπυροδοτική κεραία Hansen - Woodyard

Μία ακροπυροδοτική κεραία με αυξημένη κατευθυντικότητα χωρίς όμως να υπολείπεται σε

κάποιο άλλο από τα χαρακτηριστικά που είδαμε παραπάνω είναι η Ακροπυροδοτική κεραία Hansen ndashWoodyard Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της συγκεκριμένης κεραίας είναι ότι η απαιτούμενη διαφορά

φάσης μεταξύ στοιχείων τα οποία βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους για στοιχειοκεραίες

πολλών στοιχείων θα δίνεται από τις σχέσεις

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 0o

β = minus(kd+292

N) asymp minus(kd+

π

N) (332)

bull για μέγιστο στη γωνία θ = 180o

β = +(kd+292

N) asymp +(kd+

π

N) (333)

οι οποίες σχέσεις είναι γνωστές ώς συνθήκες Hansen ndash Woodyard για ακροπυροδοτική εκπομπη

και λήψη ακτινοβολίας Οδηγούν στο σχεδιασμό κεραιών με μεγαλύτερη κατευθυντικότητα από

την γενική περίπτωση όχι όμως κατά ανάγκη τη μέγιστη δυνατή Ακόμα μπορεί το μέγιστο να

μην είναι καν στις γωνίες θ = 0o ή θ = 180o ή ακόμα ο δευτερεύον λοβός να είναι 1346 dB κάτω

από τον κύριο Και τα μέγιστα αλλά και οι πλευρικοί λοβοί θα εξαρτώνται από το πλήθος των στοιχείων

Συγχρονισμένες Στοιχειοκεραίες (Σάρωσης) (Phased (Scanning) Array)

Σχήμα 312 Διάγραμμα

ακτινοβολίας συγχρονισμένης

στοιχειοκεραίας

Σε πολλές χρήσεις των στοιχειοκεραιών θέλουμε τον κύριο λο-

βό να βρίσκεται σε μία τυχαία γωνία Η θεώρηση και η εύρεση

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας θα είναι ανάλογη με τις παρα-

πάνω περιπτώσεις (Διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας κεραίας

29

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

με τέσσερα στοιχεία απόσταση μεταξύ των στοιχείων 05λ και ε-

πιθυμητή γωνία μεγίστου θ = 60o φαίνεται στο διπλανό σχήμα ()

Για γωνία κύριου λοβού 0o lt θo lt 180o θα έχουμε

ψ = kd cos θ + β|θ=θ0 = kd cos θ0 + β = 0rarr β = minuskd cos θ0(334)

οπότε ελέγχοντας την προοδευ-

τική διαφορά φάσης μεταξύ των

στοιχείων ο κύριος λοβός μπο-

ρεί να είναι στραμμένος προς

οποιαδήποτε επιθυμητή διεύθυν-

ση

Για την εύρεση της γωνίας ημισείας ισχύος και του εύρους μισής ισχύος χρησιμοποιούμε όπως και

στα παραπάνω τον εξής τύπο

N

2ψ =

N

2(kd cos θ + β)|θ=θ0 = plusmn1391 (335)

και χρησιμοποιώντας το αρνητικό πρόσημο για να παραστήσουμε τη μία γωνία ημισείας ισχύος και το

θετικό για την άλλη το εύρος μισής ισχύος του κυρίως λοβού θα δίνεται από τη σχέση

θh = cosminus1[λ

2πd(kd cos θ0

minus2782

N)

]minus cosminus1

[λ

2πd(kd cos θ0 +

2782

N)

]= cosminus1(cos θ0 minus

2782

Nkd)minus cosminus1(cos θ0 +

2782

Nkd) (336)

΄Εστω L το μήκος της στοιχειοκεραίας Τότε N = L+dd

και με χρήση της σχέσης k = 2πλ η παραπάνω

σχέση γίνεται

θh = cosminus1(cos θ0 minus 0443λ

N + d)minus cosminus1(cos θ0 + 0443

λ

N + d) (337)

Η παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του HPBW των μετωπικών

στοιχειοκεραιών αλλά όχι για τις ακροπυροδοτικές

30

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Κεφάλαιο 4

Σχεδίαση κεραίας

41 Διατύπωση του προβλήματος

Η σχεδίαση μίας κεραίας αρχίζει πάντα από τις επιθυμητές παραμέτρους της και τα χαρακτηριστικά

εκπομπής και λήψης της ή αλλιώς τη μορφή του διαγράμματος ακτινοβολίας της ώστε να γίνει η

κατάλληλη επιλογή του είδους της κεραίας που θα χρησιμοποιηθεί Στην περίπτωση που μελετάμε

θέλουμε μίας κεραία η οποία να έχει τη δυνατότητα να εκπέμπει με δύο τρόπους αλλάζοντας μόνο

την τροφοδοσία της Η κατηγορία κεραιών που έχει τη δυνατότητα αυτή είναι η κατηγορία των

στοιχειοκεραιών ΄Εχοντας επιλέξει την κατηγορία αρχίζουμε να προσδιορίζουμε τα μορφολογικά της

χαρακτηριστικά βάσει των απαιτούμενων χαρακτηριστικών

Οι απαιτήσεις του προβλήματος είναι να μπορεί να εκπέμπει1με δύο τρόπου Στη μία περίπτωση

να έχει στενό κύριο λοβό HPBW = 8o και SLL=-25 dB και στην άλλη να έχει πιο πλατύ κύριο

λοβό με χαρακτηριστικά HPBW = 26o και SLL=-25 dB2 Λόγω των παραπάνω απαιτήσεων

επιλέχθηκε να σχεδιαστεί μία γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία Μία τέτοια κεραία μπορεί άνετα

να ανταπεξέλθει στις συγκεκριμένες απαιτήσεις Ο κύριος λοβός θέλουμε να είναι κάθετος στο επίπεδο

της κεραίας ή αλλιώς σε γωνία 90o άρα η κεραία που θα σχεδιαστεί θα είναι μετωπική Βάσει

της θεωρίας των μετωπικών κεραιών [1] [2] [3] και κάποιων αρχικών δοκιμών επιλέγουμε κεραία 20

στοιχείων με απόσταση μεταξύ τους d = λ2 Για να μην γίνει πολύ πολύπλοκο το σύστημα τροφοδοσίας

της η εναλλαγή των ρυθμών ακτινοβολίας θα γίνονται με αλλαγή των φάσεων της διέγερσης του

κάθε στοιχείου διατηρώντας σταθερές τις τιμές της έντασης της ΄Αρα το πρόβλημα ανάγεται στον

προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τροφοδοσίας του κάθε στοιχείου

Η περίπτωση του στενού κύριου λοβού μπορεί να επιτευχθεί με μηδενική διαφορά φάσης μεταξύ

των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Τέτοιου τύπου είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας που παρατέθηκε

παραπάνω στο σχήμα Οπότε για την πρώτη περίπτωση εκπομπής της κεραίας αρκεί να βρεθούν οι

τιμές της έντασης του ρεύματος για κάθε στοιχείο βάσει των απαιτήσεων του προβλήματος ΄Εχοντας

προσδιορίσει τις τιμές αυτές έχει επιτευχθεί κατά το ήμισυ η σχεδίαση της κεραίας Για το δεύτερο

ρυθμό εκπομπής λοιπόν πρέπει να προσδιορίσουμε τις φάσεις της διέγερσης του κάθε στοιχείου

Αλλάζοντας τη διαφορά φάσης μεταξύ των στοιχείων μπορούμε να αλλάξουμε τα χαρακτηριστικά του

διαγράμματος ακτινοβολίας της κατά το δοκούν

Στο σημείο αυτό έχουν προσδιοριστεί τα μορφολογικά χαρακτηριστικά της κεραίας και πρέπει να

υπολογιστούν οι διεγέρσεις του καε στοιχείου Για την επίτευξη του σκοπού αυτού σχεδιάστηκε ένα

πρόγραμμα με χρήση της γλώσσας μαθηματικού προγραμματισμού MatLab Επειδή όμως η λύση του

προβλήματος δεν μπορεί να γίνει άμεσα χρησιμοποιήθηκαν ευρετικές μέθοδοι λύσης του Για την λύση

του επιλέχθηκε η χρήση του BBO αλγόριθμου του Dan Simon[9] οι επιδόσεις του οποίου στη συνέχεια

συγκρίθηκαν με τους υπόλοιπους αλγόριθμους βελτιστοποίησης που παρουσιάστηκαν παραπάνω

1Επειδή όπως αναφέρθηκα παραπάνω το διάγραμμα εκπομπής είναι ταυτόσημο με το διάγραμμα λήψης θα αναφέρεται

μόνο η εκπομπή στα παρακάτω αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τη λήψη2Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται με το όνομα pencil beam και η δεύτερη με το όνομα sector beam

31

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

42 Το πρόγραμμα σχεδίασης

΄Οπως αναφέρθηκε παραπάνω οι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης δημιουργούν ομάδες λύσεων τις οποίες

στη συνέχεια εξελίσσουν μέχρι την επίτευξη του καθορισμένου στόχου Αρχικά λοιπόν πρέπει να

προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του προβλήματος και τα κριτήρια ποιότητας της κάθε λύσης Να

γίνει δηλαδή η αρχικοποίηση του και ο σχεδιασμός της συνάρτησης κόστους

Για να έχουμε μία κεραία με τα βασικά χαρακτηριστική που απαιτούνται η οποία να μπορεί να

υλοποιηθεί σε οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές των ρευμάτων πρέπει να είναι κανονικοποιημένες ενώ οι

τιμές των φάσεων δεν έχουν κάποιο περιορισμό Θέτουμε λοιπόν I isin [0 1] και τις τιμές των φάσεων

φ isin [minus180o 180o] Λόγω της διαφορετικής φύσης του κάθε μεγέθους και της αδυναμίας του αλγόριθμου

βελτιστοποίησης να επεξεργάζεται δύο διαφορετικά μεγέθη το πρόγραμμα που σχεδιάστηκε εκτελείται

σε δύο μέρη Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των ρευμάτων ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές

του pencil beam ρυθμού ακτινοβολίας και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές

υπολογίζονται οι τιμές της φάσης του κάθε στοιχείου ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές του sectorbeam Για την αρχικοποίηση των πληθυσμών χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλες ψευδοτυχαίες μέθοδοι

προσδιορισμού των αρχικών τιμών Κάθε μέλος του πληθυσμού περιέχει 10 τιμές3

Στη συνέχεια σε κάθε μέλος του πληθυσμού πρέπει να αποδοθεί μία τιμή η οποία να rdquoορίζειrdquoτηνποιότητά της συγκεκριμένης λύσης Η συνάρτηση rdquoκόστουςrdquoπου σχεδιάστηκε

4είναι

5

P = (SLLdminus SLL)2 + (HPBWdminusHPBW )2 (41)

όπου SLLd και HPBWd είναι οι επιθυμητές τιμές και SLL και HPBW οι τιμές που αντιστοιχούν

στις τιμές κάθε μέλους του πληθυσμού αντίστοιχα για κάθε περίπτωση Οπότε για κάθε μέλος του

πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του HPBW και SLL οι οποίες στη συνέχεια συγκρίνονται βάσει του

παραπάνω τύπου με τις επιθυμητές Για να γίνουν όμως τα παραπάνω πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο

παράγοντας διάταξης που umlδίνειrsquo κάθε μέλος Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιούμε τον τύπο [8]

F (u) = 2Nsumn=1

(αn cosφn)eiϕn (42)

όπου

φn =2π

λ(nminus 05)du (43)

και

bull n ο αριθμός του στοιχείου

bull λ το μήκος κύματος

bull ϕn η φάση που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο

bull αn η ένταση του ρεύματος του κάθε στοιχείου

bull ι φανταστική μονάδα

bull u = sin θ

bull θ η γωνία του χώρου γύρω από την κεραία θ isin [0 180o]

3Λόγω συμμετρικής τροφοδοσίας των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών για κεραία 20 στοιχείων αρκεί να βρεθούν 10

τιμές ρευμάτων και φάσεων4Ο matlab κώδικας κάθε προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε παρατίθεται στο παράρτημα5Λόγω κατάλληλης επιλογής του πλήθους των στοιχείων της κεραίας το κόστος στην πρώτη περίπτωση ήταν από την

πρώτη δοκιμή πολύ μικρό Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα και να επηρεάζεται πιο έντονα ο αλγόριθμος από μικρές

μεταβολές των ρευμάτων στην περίπτωση αυτή το κόστος πολλαπλασιάζεται επί 10

32

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

bull d η απόσταση μεταξύ των στοιχείων

Αφού υπολογιστεί η συνάρτηση κόστους (σχέση 11) για κάθε μέλος του πληθυσμού γίνεται η

επεξεργασία του πληθυσμού από τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την παραγωγή της επόμενης

γενιάς Οι μηχανισμοί με τους οποίους γίνεται η επεξεργασία του πληθυσμού είναι οι μηχανισμοί των

εξελικτικών αλγορίθμων που περιγράφτηκαν παραπάνω Επιπλέον μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται

είναι ο έλεγχος καταλληλότητας του κάθε μέλους βάσει των διαστημάτων στα οποία μπορούν να πάρουν

τιμές οι μεταβλητές ώστε να σιγουρέψουμε ότι η τελική λύση θα είναι αποδεκτή όπως και έλεγχος

διπλών μελών ώστε να έχουμε μεγαλύτερη περιοχή εξεταζόμενων λύσεων

Ο τερματισμός του αλγόριθμου γίνεται όταν επιτευχθεί κάποιο κριτήριο ποιότητας ή μετά από

συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Για να γίνει καλύτερη σύγκριση των ποικίλων αλγορίθμων

επιλέχθηκε να τερματίζουν μετά από συγκεκριμένο πλήθος επαναλήψεων Μετά από αρκετές δοκιμές ο

αριθμός αυτός προσδιορίστηκε στις 30 για την εύρεση των τιμών ρευμάτων και στις 400 για την εύρεση

των τιμών φάσεων

43 Αποτελέσματα από τον BBO αλγόριθμο και διερεύνη-

ση περιπτώσεων

Λόγω της πιθανοκρατικής φύσης των αλγορίθμων βελτιστοποίησης η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε

ένα πρόβλημα απαιτεί να εκτελεστεί αρκετές φορές ο αλγόριθμος ώστε να επιλεχθεί η καλύτερη λύση

για ένα πρόβλημα Σημαντικό είναι να οριστούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους του αλγόριθμου6

Αυτές είναι εκτός του αριθμού γενεών και του μεγέθους του κάθε μέλους του πληθυσμού το πλήθος

των μελών του πληθυσμού σε κάθε γενιά και η πιθανότητα μετάλλαξης τους7 Αρχικά η πιθανότητα

μετάλλαξης ορίστηκε 005 και κάθε πληθυσμός είχε 40 μέλη (τετραπλάσιο από το μέγεθος κάθε

μέλους) Μετά λοιπόν από 20 εκτελέσεις του όπως και όλες οι επόμενες αφορούν 20 εκτελέσεις του

BBO αλγορίθμου8 η καλύτερη λύση στο σχεδιαστικό μας πρόβλημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα(11)

Από το σχήμα αυτό (11) βλέπουμε ότι η λύση είναι πολύ ικανοποιητική βάσει των παραμέτρων του

προβλήματος Οι τιμές των ρευμάτων και των φάσεων για κάθε στοιχείο παρατίθενται στον πίνακα

11 Από τον πίνακα 12 μπορούμε να αξιολογήσουμε και rdquoποσοτικάrdquoτην απόδοση του αλγορίθμου

Παρατίθενται η τιμή των SLL και HPBW της τελικής βέλτιστης λύσης η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

κόστους (Min Cost) η μέση τιμή (Mean Cost) η μέγιστη τιμή (Max Cost) και η τυπική απόκλιση

των τιμών της συνάρτησης κόστους (StDev)και για τις δύο περιπτώσεις για όλον τον κύκλο του

αλγορίθμου ΄Οπως μπορούμε παρατηρήσουμε οι τιμές των SLL και HPBW και για τις δύο περιπτώσεις

έχουν πολύ μικρή απόκλιση από τις επιθυμητές κάτι που φαίνεται και από τις ίδιες τις τιμές9αλλά και

από τις τιμές του ελάχιστου κόστους που ειδικά στην περίπτωση του sector beam είναι μηδενική10

Τέλος στο διάγραμμα 12αʹ φαίνεται η ελάχιστη τιμή κόστους κάθε γενιάς κατά των υπολογισμό

των ρευμάτων και στο διάγραμμα 12βʹ κατά τον υπολογισμό των φάσεων ΄Οπως παρατηρούμε στη

συγκεκριμένη φορά εκτέλεσης η μετάβαση προς τη βέλτιστη λύση για τα ρεύματα ήταν σταδιακή και η

επιλογή των 30 γενεών ήταν καλή ενώ για τις φάσεις έγινε πολύ γρήγορα (αρκετά πριν τις πρώτες 100

επαναλήψεις κατέληξε στη βέλτιστη λύση) Παρόλα αυτά η διακύμανση του ελάχιστο κόστους είναι

6Ο μέγιστος ρυθμός μετανάστευσης από και προς μία περιοχή ορίστηκαν ίσοι με 1 Μικρότερες τιμές απλά

rdquoδυσκολεύουνrdquoτην εύρεση βέλτιστης λύσης γιατί δίνουν μικρότερη κινητικότητα στα στοιχεία των μελών ενός πληθυ-σμού και στις ανταλλαγές rdquoκαλώνrdquoχαρακτηριστικών από περιοχή σε περιοχή προκαλώντας καθυστέρηση στον αλγόριθμο7Θεωρητικά με άπειρες εκτελέσεις με οιοδήποτε συνδυασμό τιμών παραμέτρων μπορεί να βρεθεί μία βέλτιστη λύση

πολύ ικανοποιητική Εδώ εξετάζουμε τον καλύτερο συνδυασμό για βέλτιστη λύση στο μικρότερο δυνατό χρόνο8Με το πρόγραμμα manytimesmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτελεί έναν

συγκεκριμένο αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα αποτελέσματα σε

ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες9Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 002 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 0012 και HPBW=0034

10Και για την περίπτωση pencil beam μπορούμε να τη θεωρήσουμε πολύ κοντά στο μηδέν μιας και το κόστος για τη

συγκεκριμένη περίπτωση είναι 10 φορές πάνω από την rdquoπραγματικήrdquoτου τιμή

33

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Σχήμα 41 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=005)

μεγάλη γιατί στην περίπτωση των φάσεων το αρχικό κόστος είναι πολύ μεγάλο

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0506 0482 0436 0368 0357 0256 0196 0069 0039 0005φ -1570 -1396 -1227 -900 -534 -170 221 716 816 -761

Πίνακας 41 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων(Popsize=40 mutation=005)

Time3093 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24993 7849 0230 0357 0427 0076Sector beam -24997 26009 0000 14718 487379 60611

Πίνακας 42 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 42 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=005)

34

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

431 Αριθμός στοιχείων κεραίας

Αρχικά εξετάζουμε την σωστή επιλογή των μορφολογικών χαρακτηριστικών της κεραίας και συγκε-

κριμένα τον αριθμό των στοιχείων Εκτελώντας λοιπόν τον αλγόριθμο για κεραία 18 στοιχείων και

διατηρώντας το πλήθος των μελών του πληθυσμού στο τετραπλάσιο11 βλέπουμε από το διάγραμμα

13 ότι έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση από το επιθυμητό διάγραμμα από την προηγούμενη περίπτωση

(διάγραμμα 11)

Σχήμα 43 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=36 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 14 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό12

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση στην περίπτωση του pencil beamόπου έχουμε μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 12 στο

επιθυμητό εύρος κύριου λοβού οπότε παρόλο που έχουμε καλές τομές για τα υπόλοιπα η λύση αυτή

απορρίπτεται)

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0868 0770 0756 0735 0520 0499 0447 0286 0206φ 62 -196 -531 -754 -1066 -1428 -1640 1775 1736

Πίνακας 43 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=36 mutation=005)

Time2816 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25202 6989 10624 487545 2087311 526036Sector beam -25042 26009 0002 28270 513970 81666

Πίνακας 44 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=36 mutation=005)

11ψάχνουμε για 9 τιμές άρα το μέγεθος του πληθυσμού είναι 36

12Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 08 και HPBW=12 και για sector beam SLL= 016 και HPBW=0034

35

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Στην περίπτωση που επιλέξουμε 22 στοιχεία πάλι κρατώντας τις αναλογίες στοιχείων-μεγέθους πλη-

θυσμού έχουμε ακόμα χειρότερα αποτελέσματα όπως φαίνεται και από το διάγραμμα 14 Η απόκλιση

από το επιθυμητό διάγραμμα είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 44 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=44 mutation=005)

Αυτό φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 16 όπου βλέπουμε ότι έχουμε

μεγαλύτερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό13

σε σχέση με την προηγούμενη

περίπτωση με την περίπτωση του pencil beamνα έχει πάλι μία μεγάλη απόκλιση της τάξης του 21

ακόμα μεγαλύτερη από την προηγούμενη φορά στο επιθυμητό εύρος κύριου λοβού Οπότε και τη λύση

αυτή πρέπει να την απορρίψουμε

n 1112 1013 914 815 716 617 518 419 320 221 122I 0869 0856 0872 0816 0444 0456 0390 0388 0231 0153 0157φ 487 615 737 957 1369 -1766 -1413 -1096 -785 -612 -178

Πίνακας 45 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=44 mutation=005)

Time3774 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24668 6302 29944 712832 1855461 584447Sector beam -24002 26410 1163 32940 558945 77191

Πίνακας 46 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=44 mutation=005)

432 Μέγεθος πληθυσμού

Οι χρόνοι ολοκλήρωσης του αλγορίθμου σε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι

πάνε αναλογικά με τον αριθμό των στοιχείων Στην ουσία όμως πάνε αναλογικά με το μέγεθος του

13Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 13 και HPBW=212 και για sector beam SLL= 39 και HPBW=15

36

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

πληθυσμού Το μέγεθος του πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους του αλγόριθμου

Λόγω του πιθανοκρατικού χαρακτήρα των ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης από όσο μεγαλύτερο

δείγμα μπορεί να επιλέξει μία μέθοδος (μέγεθος πληθυσμού) τόσο μεγαλύτερη πιθανότητα έχει να

rdquoανακαλύψειrdquo14 μία βέλτιστη Οπότε μικραίνοντας το δείγμα στο οποίο ο αλγόριθμος μπορεί να ψάξει

για λύσεις (μέγεθος πληθυσμού=20) μικραίνουμε την πιθανότητα εύρεσης της βέλτιστης δυνατής

Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 15 όπου παρατηρούμε ειδικά για το sector beam χειρότερη

λύση βάσει των επιθυμητών τιμών από την προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 11)

Σχήμα 45 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=20 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 18 βλέπουμε ότι έχουμε μεγαλύτερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό15

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση ειδικά

στην περίπτωση του sector beam Μόνη βελτίωση ήταν ο χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας η

οποία βελτίωση όμως δεν μπορεί να αντισταθμίσει τα παραπάνω

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0824 0815 0742 0708 0412 0386 0346 0192 0046 0019φ -890 -698 -342 -81 306 588 789 853 583 -1379

Πίνακας 47 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=20 mutation=005)

Στη συνέχεια μεγαλώσαμε το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=60) οπότε μεγα-

λώνουμε την πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης16

Αναμένουμε να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα

από την πρώτη περίπτωση Αυτό φαίνεται ποιοτικά στο διάγραμμα 17 όπου παρατηρούμε καλύτερα

αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11)

14΄Οπως προαναφέρθηκε δημιουργείται ένας τυχαίος αρχικός πληθυσμός ο οποίος εξελίσσεται με πιθανοκρατικές διαδι-

κασίες (βάσει κάποιων κριτηρίων) Οπότε στην ουσία κάθε αλγόριθμος βελτιστοποίησης προσπαθεί μέσα από ένα τυχαίο

δείγμα λύσεων να ανακαλύψει την καλύτερη)15Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 007 και HPBW=26 και για sector beam SLL= 45 και HPBW=19

16Στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

37

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Time1883 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25183 7791 0769 1222 4681 0937Sector beam -23863 25493 1550 17943 335690 43703

Πίνακας 48 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=20 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 46 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=20 mutation=005)

Σχήμα 47 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=60 mutation=005)

Ποσοτικά συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 12 και 110 βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη

απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το επιθυμητό17

σε σχέση με την πρώτη περίπτωση και όπως

παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 12βʹ καταλήγει και γρηγορότερα στη βέλτιστη

λύση ΄Οπως όμως ήταν αναμενόμενο έχουμε μεγαλύτερο χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου κατά

10 μιας και σε κάθε γενιά πρέπει να δημιουργήσει και να εξετάσει 50 μεγαλύτερους πληθυσμούς18

17Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 006 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 0024 και

HPBW=003418΄Οχι όμως αναλογικά μεγαλύτερο χρόνο γιατί δεν γίνονται οι ίδιες διαδικασίες σε όλους τους πληθυσμούς σε κάθε

κύκλο

38

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0851 0724 0621 0467 0480 0335 0229 0144 0049 0024φ 621 516 192 -136 -558 -685 -885 -947 -1133 1339

Πίνακας 49 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=60 mutation=005)

Time3351 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24985 8020 0006 0043 0070 0029Sector beam -24994 26009 0000 21520 413855 61069

Πίνακας 410 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=60 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 48 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=60 mutation=005)

Μεγαλώνοντας κι άλλο το μέγεθος του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=80) μεγαλώνουμε και την

πιθανότητα εύρεσης βέλτιστης λύσης19

οπότε αναμένουμε να έχουμε ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

Στο διάγραμμα 19 μπορούμε να παρατηρήσουμε καλύτερα αποτελέσματα βάσει των επιθυμητών τιμών

από την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα 11) αλλά δε φαίνεται η καλυτέρευση από την προηγούμενη

περίπτωση (διάγραμμα 17)

Τη βελτιωμένη απόδοση του αλγόριθμου την διαπιστώνουμε συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες

110 και 112 από όπου βλέπουμε ότι έχουμε μικρότερη απόκλιση σε αυτή την περίπτωση από το

επιθυμητό20

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση αλλά χωρίς να έχουμε rdquoγρηγορότερηrdquoλύση όπωςπαρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 18βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης είχε μία αύξηση της

τάξης του 8 που για τη δική μας περίπτωση προβλήματος δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη αλλά σε κάποιο

διαφορετικό και πιο απαιτητικό πρόβλημα μπορεί και να είναι Η αύξηση των επιδόσεων άν συγκριθεί με

την αύξηση στο χρόνο δεν δικαιολογεί τη χρήση τόσο μεγάλου πληθυσμού στην προκειμένη περίπτωση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0997 0893 0782 0618 0537 0405 0362 0164 0067 0006φ -1394 -1183 -894 -551 -308 53 198 280 1124 -1401

Πίνακας 411 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=80 mutation=005)

Περαιτέρω αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού (μέγεθος πληθυσμού=100) άν και συνεπάγεται

αύξηση της πιθανότητας εύρεσης βέλτιστης λύσης21

δεν έφερε περαιτέρω βελτίωση στη βέλτιστη

λύση Κάποια βελτίωση υπήρξε στις επιμέρους λύσεις που είχαμε πιο πολλές κοντά στη βέλτιστη

19Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

20Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 004 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=0034

21Και στην περίπτωση αυτή ορίστηκαν 200 γενιές

39

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Σχήμα 49 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=80 mutation=005)

Time3635 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24989 7963 0015 0293 3010 0561Sector beam -24997 26009 0000 23735 381631 62505

Πίνακας 412 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=80 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 410 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=80 mutation=005)

Το διάγραμμα ακτινοβολίας της βέλτιστης λύσεις (διάγραμμα 111) είναι σχηματικά καλύτερο από την

προηγούμενη περίπτωση (διάγραμμα 19) αλλά στα ποσοτικά του χαρακτηριστικά δεν διαφέρει πολύ

Συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 114 και 112 βλέπουμε ότι έχουμε μικρές αλλαγές σε αυτή

την περίπτωση22

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση έχοντας και rdquoγρηγορότερηrdquoλύση 23

όπως παρατηρούμε συγκρίνοντας τα διαγράμματα 112βʹ και 110βʹ Ο χρόνος ολοκλήρωσης όμως είχε

μία αύξηση της τάξης του 41 που είναι μεγάλη συγκριτικά με τη βελτίωση των χαρακτηριστικών

22Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 008 και HPBW=025 και για sector beam SLL= 025 και HPBW=0034

23Σχετικά με τη γενιά στην οποία βρέθηκε η βέλτιστη λύση

40

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Σχήμα 411 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=100 mutation=005)

ακτινοβολίας

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0984 0784 0794 0669 0606 0277 0244 0162 0090 0043φ 1495 1314 1027 712 462 92 -348 -581 -650 -1121

Πίνακας 413 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=100 mutation=005)

Time6224 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25022 8020 0009 0013 0015 0003Sector beam -24937 26009 0004 23341 311472 60327

Πίνακας 414 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=100 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 412 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=100 mutation=005)

41

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Η μεγάλη βελτίωση που μπορεί να φέρει η αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού του αλγορίθμου

φαίνεται και στην περίπτωση των 18 στοιχείων Στην περίπτωση αυτή διπλασιάζοντας το μέγεθος

πληθυσμού από την προηγούμενη περίπτωση και συγκρίνοντας τα διαγράμματα 113 και 13 παρατηρούμε

μία βελτιωμένη λύση

Σχήμα 413 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=72 mutation=005)

Η βελτίωση αυτή φαίνεται καλύτερα συγκρίνοντας τις τιμές στους πίνακες 116 και 14 από όπου

παρατηρούμε μία γενικά καλύτερη λύση24

σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση Μπορεί να

χειροτέρεψαν συνολικά αλλά η απόκλιση της τάξης του 12 που είχαμε παραπάνω δεν υπάρχει

Η μεγαλύτερη απόκλιση είναι 48 με τα υπόλοιπα μεγέθη να έχουν αποκλίσεις μικρότερες του

2 Οπότε η λύση αυτή θεωρείται περισσότερο αποδεκτή από την προηγούμενη Πάλι όμως πα-

ρατηρούμε την αδυναμία εύρεσης καλύτερης λύσης λόγω του αριθμού των στοιχείων μιας και έχει

καταλήξει στη βέλτιστη λύση του αρκετά πριν ολοκληρωθούν οι μισές επαναλήψεις του αλγορίθμου

Τέλος ο χρόνος στον οποίο εκτελέστηκε ο αλγόριθμος δείχνει ότι μάλλον είχε πολλές αλλαγές

πληθυσμών (με τους μηχανισμούς ελέγχου καταλληλότητας που αναφέρθηκαν) κάτι που ενισχύει την

άποψη περί ακαταλληλότητας του πλήθους των στοιχείων για τις συγκεκριμένες παραμέτρους σχεδίασης

n 910 811 712 613 514 415 316 217 118I 0960 0908 0888 0790 0699 0422 0186 0297 0095φ -740 -933 -1225 -1461 -1787 1478 1056 623 476

Πίνακας 415 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=72 mutation=005)

433 Μετάλλαξη

Μία ακόμα σημαντική παράμετρος του αλγόριθμου είναι η πιθανότητα μετάλλαξης του πληθυσμού

΄Οπως αναφέρθηκε στη παράγραφο η μετάλλαξη αντιπροσωπεύει τις κατακλυσμιαίες αλλαγές που

24Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 18 και HPBW=18 και για sector beam SLL= 48 και HPBW=11

42

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Time62087 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -24548 7849 2270 443899 1789769 585496Sector beam -23800 26295 1527 16499 418814 53569

Πίνακας 416 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=72 mutation=005)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 414 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=72 mutation=005)

μπορεί να γίνουν σε ένα περιβάλλον Στον αλγόριθμο υλοποιείται ως η πιθανότητα να αλλάξει κάποιο

μέλος του πληθυσμού τυχαία Σαν μέγεθος πιθανότητας το πεδίο τιμών της είναι από 0 στην

περίπτωση αυτή απενεργοποιούμε στην ουσία το μηχανισμό αυτό μέχρι 1 στην οποία περίπτωση όλα

τα μέλη ενός πληθυσμού θα μεταλλάσσονται Στα παραπάνω παραδείγματα η πιθανότητα αυτή ήταν

005 Στα επόμενα θα μελετήσουμε τις επιπτώσεις της αύξησης της συγκριτικά πάντα με το παράδειγμα

αναφοράς που είναι η πρώτη περίπτωση

Παρακάτω φαίνεται η βέλτιστη λύση για μέγεθος πληθυσμού 40 και πιθανότητα μετάλλαξης 02

Παρατηρούμε ότι είναι αρκετά ισάξια η λύση αυτή (διάγραμμα 115) με την πρώτη περίπτωση (διάγραμμα

11)

Τη σύγκριση μπορούμε να την κάνουμε καλύτερα μέσω των πινάκων 12 και 118 Βλέποντας τα

επιμέρους χαρακτηριστικά25

παρατηρούμε σημαντική βελτίωση στην απόκλιση του HPBW η τιμή

της οποίας υποτριπλασιάστηκε ΄Ομως στις υπόλοιπες τιμές έχουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από τις

επιθυμητές Ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από

την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της πρώτης περίπτωσης είναι καλύτερη αυτής Εκτός των

παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε από τα διαγράμματα 12αʹ και 116αʹ αλλά και τα διαγράμματα

12βʹ και 116βʹ ότι στην περίπτωση που μελετάμε τώρα ο αλγόριθμος αργεί πιο πολύ να καταλήξει

στην τελική βέλτιστη λύση

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0872 0739 0716 0586 0482 0463 0210 0106 0095 0010φ 1582 1730 -1601 -1242 -902 -706 -368 -208 -07 1326

Πίνακας 417 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=02)

Time2074 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25008 7963 0014 0018 0019 0002Sector beam -24816 25894 0045 69061 508049 116619

Πίνακας 418 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=02)

25Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 0032 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 07 και HPBW=04

43

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Σχήμα 415 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=02)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 416 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=02)

Μεγαλώνοντας περαιτέρω την πιθανότητα μετάλλαξης (mutation=04) και βρίσκοντας τη βέλτιστη

λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 117) Και αυτή είναι μία πολύ καλή λύση που

ανταπεξέρχεται πολύ ικανοποιητικά στις απαιτήσεις σχεδίασης του προβλήματος

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 120 και των αποκλίσεων τους από τις επιθυμητές26

παρατηρούμε ότι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση σε κάποια χαρακτηριστικά υστερεί (όπως η

δεκαπλάσια απόκλιση του SLL για pencil beamκαι σε κάποια άλλα υπερέχει (όπως η μηδενική απόκλιση

του SLL για sector beam) Επειδή είναι αρκετά μικρές οι αποκλίσεις της μίας από την άλλη λύση πάλι

πρέπει να κριθεί η κάθε μία ανάλογα με τις ανάγκες της εφαρμογής μία λύση θα μπορεί να θεωρηθεί

καλύτερη από την άλλη Αλλά καθαρά ποσοτικά η λύση της περίπτωσης αυτής είναι καλύτερη από της

πρώτης Τέλος παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή η λύση επετεύχθει περίπου στην ίδια γενιά με

την πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό των φάσεων (διαγράμματα 12βʹ και 118βʹ) αλλά συγκριτικά

αρκετά αργότερα για την περίπτωση των ρευμάτων (διαγράμματα 12αʹ και 118αʹ)

Χρήσιμο είναι να μελετήσουμε και μία περίπτωση μεγάλης τιμής της πιθανότητας μετάλλαξης

26Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 029 και HPBW=046 και για sector beam SLL= 0 και HPBW=018

44

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Σχήμα 417 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=04)

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 419 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=04)

Time3308 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25073 7963 0067 1567 3936 1486Sector beam -25000 25952 0002 11920 333454 45443

Πίνακας 420 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=04)

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 418 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=04)

(mutation=08) Βρίσκοντας τη βέλτιστη λύση παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα (διάγραμμα 119)

Μία εξίσου καλή λύση όπως θα φανεί και παρακάτω ποσοτικά

Συγκρίνοντας τις τιμές των πινάκων 12 και 122 και μελετώντας τις αποκλίσεις της περίπτωσης

45

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Σχήμα 419 Διάγραμμα ακτινοβολίας(Popsize=40 mutation=08)

αυτής27

παρατηρούμε ότι γενικά έχουν παρόμοιες τιμές οπότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε κάποια σαν

καλύτερη

Βλέποντας τις παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα για το ρόλο

και την επίδραση που έχει ο μηχανισμός αυτός στη λειτουργία του αλγορίθμου Γενικά και μόνο

από τον ορισμό του μεγαλώνει το ρόλο του τυχαίου στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος Οι

υποψήφιες λύσεις μπορούν να αλλάξουν με τυχαίο τρόπο κάτι που μπορεί να καλυτερεύσει αλλά και

να χειροτερέψει μία λύση Αυτό φάνηκε στα αποτελέσματα από τις 20 φορές που εκτελέστηκε ο

αλγόριθμος που παρόλο που έδωσε μία πολύ καλή λύση οι υπόλοιπες είχαν πολύ μεγάλες αποκλίσεις

Υπήρχαν αρκετές καλές αλλά και αρκετές οι οποίες ήταν τελείως εκτός των προδιαγραφών του

προβλήματος

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120I 0992 0895 0755 0612 0485 0289 0120 0172 0150 0079φ -710 -783 -999 -1357 -1743 1460 1171 389 -97 -30

Πίνακας 421 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων (Popsize=40 mutation=08)

Time3206 sec SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDevPencil beam -25012 8078 0062 0114 0236 0078Sector beam -25003 26009 0000 23751 424651 69214

Πίνακας 422 Στοιχεία απόδοσης BBO(Popsize=40 mutation=08)

27Αποκλίσεις για Pencil beam SLL= 005 και HPBW=09 και για sector beam SLL= 001 και HPBW=003

46

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

(αʹ) Ρεύματα (βʹ) Φάσεις

Σχήμα 420 Ελάχιστο κόστος ανά γενιά (Popsize=40 mutation=08)

44 Σύγκριση αλγορίθμων

Χρησιμοποιώντας το πρόβλημα που μελετήθηκε παραπάνω μπορεί να γίνει σύγκριση πολλών

αλγορίθμων Στην παρούσα εργασία γίνεται για τους αλγόριθμους που αναφέρθηκαν στην παράγραφο

28

Εκτελέστηκαν οι αλγόριθμοι για πλήθος επαναλήψεων 30 για την εύρεση της έντασης των

τροφοδοσιών των στοιχείων και 400 για την εύρεση των φάσεων των στοιχείων Ο κάθε πληθυσμός

καθορίστηκε να έχει 50 μέλη Οι επιθυμητές τιμές των παραμέτρων της κεραίας είναι HPBW = 8o

και SLL=-25 dB για pencil beam και HPBW = 26o και SLL=-25 dBγια sector beam ΄Οπως

φαίνεται από τα αποτελέσματα στον πίνακα 124 την καλύτερη προσέγγιση στο επιθυμητό διάγραμμα

είχε ο BBO αλγόριθμος δίνοντας στη βέλτιστη λύση του HPBW = 8078o και SLL=-2504 dBγια pencil beam και HPBW = 25894o και SLL=-24155 dBγια sector beam Η πολύ καλή

προσέγγιση του φαίνεται και από το διάγραμμα ακτινοβολίας (124) Οι τιμές των ρευμάτων και των

φάσεων για τη βέλτιστη αυτή λύση φαίνονται στον πίνακα 123 Επόμενη καλύτερη λύση έδωσε ο

GA διάγραμμα 127 ο οποίος όπως φαίνεται και σχηματικά (127) αλλά και από τον πίνακα με τα

αποτελέσματα (124) έχει μικρές αποκλίσεις από το επιθυμητό (HPBW = 7677o και SLL=-25026dB για pencil beam και HPBW = 25379o και SLL=-24358 dBγια sector beam) Συγκρίνοντας

τους δύο αυτούς αλγόριθμους λοιπόν διακρίνουμε μία υπεροχή στον BBO γιατί και καλύτερη είναι η

λύση που κατέληξε (άν και είχε αρχίσει και από καλύτερη όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε από τη

μικρότερη απόκλιση που έχει) και γρηγορότερα επέλεξε τη βέλτιστη λύση και στις δύο περιπτώσεις

όπως φαίνεται από τα διάγραμμα ελάχιστου κόστους ανά γενιά 121 για τα ρεύματα και 122 για τις φάσεις

Βλέποντας γενικότερα το πρόβλημα που επεξεργάστηκαν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι

αλγόριθμοι έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα για το πρώτο του κομμάτι αποτυγχάνοντας όμως

οι πιο πολλοί στο δεύτερο Αυτό δικαιώνει την επιλογή των περισσότερων επαναλήψεων για τον

υπολογισμό των φάσεων καθιστώντας το κομμάτι αυτό του προβλήματος rdquoμέτρο ποιότηταςrdquoγια τη

σύγκριση των αλγορίθμων Τη μεγαλύτερη αστοχία είχε ο αλγόριθμος PBIL Αυτό ήταν κάπως

αναμενόμενο γιατί όπως αναφέρθηκε και στην παρουσίαση του στην παράγραφο ο αλγόριθμος αυτός

δεν εξελίσσει τις λύσεις που δημιουργούνται αλλά το μοντέλο που τις δημιουργεί Αυτό το χαρακτηρι-

στικό του δίνει μεν το πλεονέκτημα ότι μπορεί και λύνει πιο εύκολα συγκριτικά με άλλους κάποιων

ειδών προβλήματα του προσδίδει δε το μειονέκτημα της μεγαλύτερης εξάρτησης από τυχαίες διαδικασίες

28Με το πρόγραμμα manymethodsmτου οποίου ο κώδικας φαίνεται στο παράρτημα και είναι σχεδιασμένο να εκτε-

λεί όλους τους αλγόριθμους σειριακά για τη βελτιστοποίηση του προβλήματος όσες φορές ορίζουμε τυπώνοντας τα

αποτελέσματα σε ένα αρχείο κειμένου και τα διαγράμματα σαν εικόνες

47

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

n 1011 912 813 714 615 516 417 318 219 120

ACOI 0942 0934 0658 0604 0315 0268 0259 0177 0139 0064φ 86 231 453 81 1254 -1717 -1484 -93 -959 -46

BBOI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

DEI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

ESI 0979 0818 0659 0622 0502 0364 0187 0158 0102 0018φ -1045741 -1057 -1311598 -1602 1567 1131 87 265 77 -834

GAI 0951 0933 0614 0608 0419 0304 0257 0185 016 0053φ -1571 -1454 -1217 -868 -505 -188 56 297 496 696

PBILI 1 0996 1 1 0962 0522 0523 0296 0377 0185φ -635 -1799 -1799 -1192 -532 734 1519 180 -1412 -999

StudGAI -1324 -1043 -536 -204 65 137 168 173 -87 -669φ 1722 -1756 -1526 -1204 -881 -494 -274 402 981 1294

Πίνακας 423 Ρεύματα και φάσεις στοιχείων

SLL HPBW Min Cost Mean Cost Max Cost StDev

ACOPencil beam -25168 7849 0510 0510 0510 0000Sector beam -22737 29102 14744 19255 298289 16698

BBOPencil beam -24914 8078 0134 0482 1504 0445Sector beam -24999 26009 0000 11997 402544 54160

DEPencil beam -24906 7906 0177 1430 2605 1234Sector beam -20372 26754 21984 117801 474001 112665

ESPencil beam -24989 8020 0005 0284 2147 0648Sector beam -20335 25665 21875 85617 492440 79510

GAPencil beam -25026 7677 1052 1468 2439 0581Sector beam -24358 25379 0798 5338 463956 24987

PBILPencil beam -23700 6588 36822 377328 769023 278085Sector beam -11067 29274 36822 377328 769023 278085

StudGAPencil beam -249 81 0130 1393 3562 1463Sector beam -22 25 8992 13962 454280 30382

Πίνακας 424 Στοιχεία απόδοσης αλγορίθμων

45 Συμπεράσματα

Βάσει των παραπάνω μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τον BBO αλγόριθμο [9] πολύ αποτελεσματικό

στο συγκεκριμένο πρόβλημα ΄Ενα πρόβλημα βέβαια αρκετά απλό και καλά ορισμένο

Πολύ σημαντικό στη λύση ενός τέτοιου προβλήματος με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο είναι η επιλογή

των παραμέτρων του Οι ρυθμοί μετανάστευσης από και προς μία περιοχή επηρεάζουν την ταχύτητα

και την ποιότητα εύρεσης της βέλτιστης λύσης Μεγάλη σημασία έχει η σωστή επιλογή τιμής για το

μέγεθος του πληθυσμού αντισταθμίζοντας το χρόνο εκτέλεσης του αλγόριθμου με την ποιότητα της

βέλτιστης λύσης Τέλος η μετάλλαξη είναι μέτρο της τυχαιότητας των διαδικασιών του αλγόριθμου Η

μηδενική τιμή της οδηγεί σε απλές διαδικασίες ανταλλαγής χαρακτηριστικών προς εύρεση της βέλτιστης

λύσης ενώ όσο αυξάνεται η τιμή της τόσο πιο τυχαίες γίνονται οι μεταβολές των λύσεων

Συγκρίνοντας τον BBO αλγόριθμο με τους υπόλοιπους που παρουσιάστηκαν είδαμε αυξημένη απόδο-

ση και σε ποιότητα βέλτιστης λύσης αλλά και σε χρόνο ολοκλήρωσης του αλγορίθμου Επόμενος σε

ποιότητα λύσης ήταν ο GA ενώ αποτυχία λύσης παρουσίασε ο PBIL κάτι που ήταν κάπως αναμενόμενο

βάσει της φύσης των διαδικασιών στις οποίες βασίζεται

48

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Σχήμα 421 Ελάχιστο κόστος για ρεύματα

Σχήμα 422 Ελάχιστο κόστος για φάσεις

49

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Σχήμα 423 Διάγραμμα ακτινοβολίας ACO

Σχήμα 424 Διάγραμμα ακτινοβολίας BBO

50

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Σχήμα 425 Διάγραμμα ακτινοβολίας DE

Σχήμα 426 Διάγραμμα ακτινοβολίας ES

51

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Σχήμα 427 Διάγραμμα ακτινοβολίας GA

Σχήμα 428 Διάγραμμα ακτινοβολίας PBIL

52

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Σχήμα 429 Διάγραμμα ακτινοβολίας StudGA

53

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54

Βιβλιογραφία

[1] Ι Ν Σάχαλου rdquoΚεραίεςrdquo 1989

[2] Κωνσταντίνος Α Μπαλάνης rdquoAntenna Theory Analysis and Designrdquo Δεύτερη έκδοση 1997

[3] Robert J Mailloux rdquoPhased Array Antenna Handbookrdquo Δεύτερη έκδοση 2005

[4] Ευστράτιος Φ Γεωργόπουλος Σπυρίδων Δ Λυκοθανάσης rdquoΕισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθ-

μουςrdquo 1999

[5] Gareth Jones rdquoGenetic and Evolutionary Algorithmsrdquo Απρίλιος 2002

[6] Σωτήριος Κ Γούδος rdquoΣχεδίαση και βελτιστοποίηση μικροκυματικών διατάξεων και στοιχειοκεραιών

με χρήση διαφορικής εξέλιξης rdquo Θεσσαλονίκη 2011

[7] Σωτήριος Κ Γούδος Αικατερίνη Σιακαβάρα Θεόδωρος Σαμαράς Ηλίας Ε Βαφειάδης Ιωάννης Ν

Σάχαλος rdquoSelf-Adaptive Differential Evolution Applied to Real-Valued Antenna and MicrowaveDesign Problemsrdquo IEEE Transactions on Antennas and propagation Vol 59 No 4 Απρίλιος 2011

[8] G K Mahanti S Das and A Chakraborty Senior Member IEEE rdquoDesign ofPhase-Differentiated Reconfigurable Array Antennas With Minimum Dynamic Range RatiordquoIEEE Antennas and wireless propagation letters Vol 5 2006

[9] Dan Simon rdquoBiogeography-Based Optimizationrdquo IEEE Transactions on EvolutionaryComputation Vol 12 No 6 Δεκέμβριος 2008

[10] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoReconfigurable arrays by phase-only controlrdquoCH2864-2880000-0142 lSSS IEEE

[11] OM Bucci G Mazzarella G Panariello rdquoAntenna Pattern Synthesis A New GeneralApproachrdquo Proceedings of the IEEE Vol 82 No 3 Μάρτιος 1994

54