68

Dulu sekitar tahun 1880an, Galton menemukan bahwa

setiap orang sangat berbeda imajinasi mentalnya. Beberapa

orang seperti dirinya sendiri, memiliki imajinasi visual

yang kuat; yang tidak memilikinya, berpikir melalui kata-

kata. Inilah yang terjadi selama ini; dan ada juga

individu yang dapat melakukan keduanya, berpikir untuk

menentukan pilihan pada beberapa kemampuan. (hal ini

tidak benar, bagaimanapun juga, mudah untuk memutuskan

imajinasi apa yang digunakan orang itu, atau bahkan

mereka memiliki keduanya, imajinasi visual dan imajinasi

verbal.) Dalam bab ini kita akan mempertimbangkan dua

jenis simbol yang digunakan dalam matematika, visual dan

verbal; keduanya merupakan imajinasi mental, dan hal lain

yang ditandai dengan simbol.

Simbol Visual dan Simbol Verbal

Pertama, penggunaan istilah simbol perlu penjelasan

lebih lanjut; karena ketika kata-kata dituliskan kata-

kata itu menjadi sesuatu yang dilihat, bukan didengar.

Namun demikian kata-kata adalah simbol yang berhubungan

68

dengan pendengaran, dan cara mengkomunikasikannya adalah

ucapan, bukan tulisan. Jadi simbol verbal dapat kita akan

artikan sebagai kata yang diucapkan dan kata yang

dituliskan.

Simbol visual jelas dicontohkan dengan diagram,

khususnya gambar bentuk-bentuk geometri. Tetapi ke dalam

kategori mana kita harus meletakkan simbol aljabar

seperti ini?

Pada dasarnya ini adalah stenografi lisan. Tulisan

ini dapat dibaca dengan jelas, atau dikomunikasikan tanpa

melihat bentuk visual. Yang pertama dibaca sebagai

”Integral a sampai b dari sin x dx”; dan yang kedua sebagai

”himpunan semua nilai x sedemikian hingga x2 lebih besar atau sama

dengan nol”. Keuntungan dari notasi-notasi aljabar tersebut

adalah, pertama, singkatan ini – menghemat waktu dan

mengurangi kesalahan serta menambah kejelasan dan

kekuatan karena ide-ide yang dipertahankan muncul dalam

waktu yang singkat. Tetapi singkatan ini lebih

bermanfaat. Mungkin ada sedikit kecenderungan untuk

membacanya; kemudian memberikan aspek visual. Tetapi

dalam pembicaraan yang sering digunakan, simbol aljabar

dan simbol verbal biasa digunakan daripada diagram dan

68

gambar geometri. Contoh pernyataan yang sesuai, adalah

“Jika p adalah bilangan prima, dan atau ” (“jika p adalah

bilangan prima, dan p membagi habis ab maka p membagi habis a atau p

membagi habis b”).

Kedua simbol, visual dan verbal digunakan dalam

matematika secara bersamaan maupun terpisah. Oleh karena

itu, kita menemukan diagram-diagram dengan penjelasan

verbal dan, bentuk perhitungan-perhitungan trigonometri;

kita menemukan kurva disertai persamaannya; tetapi kita

juga menemukan bentuk aljabar tanpa gambar atau diagram.

Hal itu terlihat seolah-olah simbol verbal (termasuk

aljabar) sangat diperlukan , tetapi simbol visual tidak.

Meskipun terkadang simbol-simbol tidak dibutuhkan,

namun tidak ada keraguan bahwa simbol visual sangat

berguna dan mungkin simbol visual lebih dapat dimengerti

daripada simbol verbal dalam bentuk aljabar.

Sudah sepantasnya jika fungsi-fungsi yang

disimbolkan dengan dua cara yang berbeda, mungkin saling

melengkapi. Ingat pada pembahasan simbol di Bab V,

tentang manfaat simbol. Pada bagian yang membahas fungsi

simbol matematika ini yang penting sekali. Sehingga,

beberapa sajian tentang bagaimana memilih dan menggunakan

simbol dan menemukan satu yang baru akan memberikan nilai

sangat baik.

68

Simbol visual kelihatannya menjadi dasar, paling

tidak dalam menyajikan bentuk yang sederhana untuk

menunjukkan obyek yang sesungguhnya. Seperti yang

ditunjukkan Piaget, sekalipun persepsi kita terhadap

sebuah obyek termasuk di dalamnya sebuah bentuk konsep.

Ketika kita melihat beberapa obyek dari sudut pandang

tertentu dalam kesempatan tertentu, pengalaman ini

menimbulkan ingatan pada pengalaman-pengalaman yang lalu

sebagai sebuah abstraksi terhadap sesuatu. Kita mengakui

pada saat kita menemukan sebuah obyek baru tidak

berdasarkan pada data masukan tetapi pada konsep obyek

yang diperoleh. Jadi sebuah gambaran visual, atau sebuah

representasi, dari sebuah obyek lebih baik digambarkan

sebagai simbol; walaupun konsep obyek ini merupakan

aturan yang digunakan dalam matematika. Berdasarkan sifat

visual dari sebuah obyek kita lebih mudah

menggambarkannya selama digambarkan oleh simbol visual

daripada simbol verbal.

Untuk contoh matematika, pertimbangkan diagram ini,

yang mewakili sebuah blok tinggi pada flats yang berdiri

di atas tanah. Untuk tujuan saat ini kami hanya tertarik

dalam bentuk dan tingginya.

68

Selanjutnya kita merepresentasikan pengamatan

seorang surveyor. Dari sudut ketinggian dari atap

bangunan, diambil pada jarak 100 meter dari bawah. Yang

menarik untuk dicatat adalah surveyor itu sendiri adalah

observasinya direpresentasikan oleh simbol tertentu

(titik dan garis) pada saat pengukuran, dan tinggi yang

tidak diketahui diwakili oleh simbol aljabar verbal.

h

300

100 m

Tentu saja kita membutuhkan kedua, dan sesegera melakukan

perhitungan lalu melengkapinya .

h = 100 tan 300

Meskipun demikian diagram sangat membantu untuk mewakili

keseluruhan struktur masalah. Itu memberikan konteks

darimana perhitungan secara khusus diperlukan untuk

diabstraksikan.

Meskipun lebih mendasar, gambaran visual lebih sulit

dikomunikasikan daripada yang lain. Untuk yang terakhir,

68

yang harus kita lakukan adalah mengubah pemikiran vokal

kita ke dalam ucapan. Tetapi untuk mengkomunikasikannya

kita harus menggambar, melukis atau membuat sebuah film.

Ini memberikan pemikiran verbal lebih memberi keuntungan

dari pada visual. Lebih jauh lagi, sebuah pemikiran

sangat berhubungan dengan penggunaan simbol. Pemikiran

yang sama diperoleh bersamaan dengan kesadaran, tentu

saja, simbol yang digunakan mempunyai perkiraan arti yang

sama untuk keduanya. Jadi ketika membicarakan pemikiran

kita kepada orang lain, kita juga mengkomunikasikan

pemikiran tersebut kepada diri kita sendiri.

Pemikiran yang disosialisasikan

Dari sini dapat dikatakan bahwa pemikiran verbal

kita lebih mudah untuk disosialisasikan, hal itu

memperluas hasil akhir tidak hanya pemikiran kita tetapi

juga hal lain, dan interaksi keduanya. Untuk melihat

sesuatu, secara harafiah, dari sudut pandang orang lain,

seharusnya kita berdiri di tempatnya, atau menerima

gambaran darinya, mengingat dia dapat mengatakan pada

kita apa yang dia lihat, dan kita dapat mendengar suara

yang sama pada saat berdiri pada tempat yang berbeda dan

melihat arah yang berbeda. Pada sesuatu yang nyata,

penglihatan bersifat individu, pendengaran bersifat

kolektif. Dan ini menarik untuk diperhatikan, ketika kita

68

sangat berharap untuk menegaskan aspek individu daripada

aspek kolektif, kita berbicara tentang sebuah ”sudut

pandang”. Bahkan ”aspek” adalah sebuah perubahan visual.

Jadi perbedaan antara dua jenis simbol ini, adalah

sebagai berikut:

Visual: lebih sulit diutarakan, lebih individual.

Verbal: lebih mudah diutarakan, lebih kolektif.

Manusia adalah makhluk sosial; dan manfaat dari

komunikasi sangatlah besar, adapun keunggulannya,

sebagaimana dinyatakan sebelumnya, dari pemikiran verbal

dapat dijelaskan berdasarkan pada dasar-dasar di atas.

Tapi manfaat dari komunikasi merupakan hal yang kebetulan

(kita memiliki loudspeaker, tapi tidak memiliki proyektor

gambar) dan tidak timbul dengan sendirinya secara alami

simbol-simbol itu. Memang, kadangkala dikatakan bahwa

”sebuah gambar sama dengan seribu kata”. Jika memang demikian,

maka dari pada menulis buku (sekitar 90.000 kata),

penulis akan lebih baik menghabiskan waktu dengan membuat

90 gambar. Dengan teknik reproduksi modern, maka

publikasi tidak memiliki kesulitan apapun. Lebih lanjut,

kata-kata yang ditulis kehilangan manfaat dari interaksi

antara, pendengar dan pembicara. Jadi apakah menulis buku

dan membacanya, bukannya menggambarnya dan melihat

gambaran tersebut, hanyalah sekedar kebiasaan yang

diambil dari kebiasaan percakapan dan diskusi? Ataukah

68

juga terdapat manfaat-manfaat intrinsik di dalam simbol

jenis verbal-aljabar?

Simbol-simbol visual di dalam geometri

Geometri menunjukkan bahwa dirinya merupakan konteks

yang menguntungkan untuk menyelidiki pertanyaan, karena

merupakan salah satu cabang matematika dimana diagram

tampaknya merupakan bagian yang penting. Kita harus

mencatat bahwa simbol yang dilibatkan disini lebih

abstrak daripada representasi visual dari sebuah objek.

Bahkan foto dari sebuah objek hanya menunjukkan aspek

tunggal, dan untuk memperluas hal tersebut akan

membangkitkan konsep dari objek sebagai sesuatu dari

keseluruhan, dapat dijelaskan sebagai sebuah simbol untuk

objek. Abstrak presentasi lainnya lebih lanjut, biasanya

menunjukkan bentuk, warna, tekstur, ukuran. Tingkat

abstraksi lainnya dapat ditemukan di dalam gambaran yang

mewakili, bukan sebuah objek secara khusus.

Sebuah perbedaan penting antara kedua jenis simbol,

foto dan kata, adalah yang satu lebih tampak sebagai

objek tipikal dari set/rangkaian yang diwakilinya, dimana

yang satunya lagi tidak tampak seperti itu. Jadi simbol

visual ini, pada tingkat apapun, memiliki hubungan yang

lebih erat dengan konsep daripada dengan simbol verbal.

68

Hal yang sama berlaku bagi simbol-simbol geometris.

Berikut ini adalah simbol geometris:

Simbol verbal dari simbol geometris diatas adalah

lingkaran. Persamaan simbol geometris dengan konsepnya

memiliki kelebihan dan kekurangan. Manfaatnya adalah

menimbulkan sifat-sifat konsep. Hal ini terjadi ketika

kita menggambarkan secara visual beberapa konsep secara

bersama-sama. Diagram tersebut menjelaskan pada kita

hubungan antara konsep daripada representasi verbal dari

konsep yang sama dengan lebih jelas.

Sebuah lingkaran demgan dua garis singgung dari

suatu titik diluar lingkaran; dan jari-jari melalui

titik-titik singgung dari kedua garis singgung tersebut.

Sebuah ketidakuntungan karena simbol visual harus

digambarkan supaya dapat dikomunikasikan. Ingat, bahwa

simbol itu tidak menyajikan suatu lingkaran tertentu,

68

garis singgung dan lain-lain. Tetapi menyajikan variabel-

variabel suatu lingkaran. Bukan pula sebuah lingkaran

dengan jari-jari dan diameter seperti yang terlihat.

Alasan-alasan penyajian secara Visual

Contoh berikut menyatakan bahwa mungkin saja kita tetap

menggunakan simbol visual dengan keuntungannya lebih dari

yang kita lakukan dalam penyajian. Dengan beberapa

konvensi sederhana, diagram tersebut tersampaikan dengan

jelas dan nyata.

1. Garis singgung lingkaran dari suatu titik yang berada di luar

lingkaran adalah sama panjangnya. (Perhatikan bahwa

diagram juga menunjukkan bagian-bagian dari garis

singgung yang kita maksudkan).

2. Sudut luar dari sebuah segitiga adalah jumlah dari sudut-sudut

dalam yang berhadapan. (ini pernyataan umum. Kita

mengatakan “obyek”, dan “ukuran obyek” adalah

gagasan berbeda. Di dalam diagram, sudut ditampilkan

68

oleh sepasang garis, dan ukurannya dengan huruf. Dan

siapa yang akan tahu sudut yang mana yang kita

maksud dengan 'eksterior’ dan 'interior yang

berlawanan tanpa diagram? Di sini pernyataan lisan

lebih rendah dari pernyataan visual .)

3. Kita dapat juga menunjukkan teorema dan konversnya.

Sudut di dalam setengah lingkaran adalah sudut siku-siku

Di sini,=> berarti 'implikasi'. Gambar bagian

kiri menunjukkan data yang menggunakan kesepakatan

dimana suatu titik yang digambarkan di pusat

lingkaran sesungguhnya mewakili pusat. Gambar bagian

kanan mewakili kesimpulan yang diperoleh dengan

menggunakan teorema dari data yang ada.

b

a a + b

68

Konvers dari teorema ini juga benar. Jika

talibusur suatu lingkaran yang berhadapan dengan

suatu sudut siku-siku pada keliling lingkaran,

talibusur itu adalah diameter. (lihat Diagram pada

bagian atas halaman 103.)

Dengan penggunaan tanda untuk biimplikasi, kita

dapat menghadirkan secara bersamaan teorema dan

konversnya.

Sejauhmana, pernyataan visual lebih jelas dan

singkat. Berbagai kesulitan muncul ketika ingin

melakukan lebih dari dua hal memberi bukti logis,

dan mengarahkan perhatian ke bagian-bagian tertentu

68

dari diagram. Teorema diatas merupakan kasus kecil

berikut.

4. Ukuran sudut pada pusat lingkaran dua kali ukuran sudut pada

keliling yang menghadap pada busur yang sama.

a. Tanda bukti teorema menunjukkan agar kita

mempertimbangkan

garis ini

b. Seperti sudut dengan ukuran 2 siku-siku, yang

mempunyai

puncak disini

pada tengah-tengah lingkaran.

c. Teorema memberi tahukan kita bahwa sudut ini

a

2a

68

adalah dua kali sudut ini.

d. Tetapi ukuran sudut ini dua kali sudut siku-siku

Jadi ukuran pada sudut ini adalah salah satu

sudut siku-siku.

5. Penggunaan kata-kata yang lain mengisyaratkan

klasifikasi baru kepada pembaca; sebagai contoh,

bahawa suatu garis lurus boleh dianggap sebagai

sudut khusus. Ini dapat juga ditunjukkan secara

visual.

Itu langkah lebih panjang, tetapi lebih jelas. Ada suatu

kemiripan tertentu gambar kartun ; dan jika seseorang

mempunyai bekal untuk maju setahap demi setahap dan

membuat gambar yang bergerak, seperti melihat acara

televisi, maka penyajian secara visual dapat memberikan

68

keuntungan-keuntungan. Apakah yang menjadi tahap-tahap

dari animasi seperti itu? Berikut adalah salah satu

kemungkinan. Perhatikan gambar pertama yang menunjukkan

data.

Untuk perbandingan, disini ada bukti konvensional pada

teorema yang sama.

Data : AOB adalah diameter pada lingkaran, dengan

titik pusat O.

P adalah titik pada keliling lingkaran.

a

2a

a

2a

2a

a

O

P

A B

68

Untuk membuktikan bahwa : APB = 1 < siku-siku

Bukti :

AOB = 2 <APB (<pusat = dua kali < keliling

lingkaran)

Tetapi AOB = 2 < siku-siku (karena AOB adalah suatu

garis lurus)

Jadi <APB = 1 < siku-siku (TERBUKTI)

Disini kita menggunakan huruf sebagai petunjuk.

Ketika huruf ditemukan di dalam bukti verbal-

algebraic, kemudian kita menjumpai huruf ini di

dalam diagram, untuk menujukkan kepada kita mana

yang harus dilihat. Ini lebih baik dibanding

menggunakan panah pada halaman 104, dan menghemat

penggambaran diagram. Mana yang lebih mudah untuk

diikuti, pembaca harus memilih. Bagaimana

pendekatan ”gambar-paralel” memecahkan bukti lebih

rumit?

6. Satu contoh lebih lanjut; sebuah bukti pada teorema

yang lebih umum dari yang sudah kita sebutkan

terdahulu .

Teorema:

x

2x

68

Pembuktian:

b

a a

b a + b

a a ● 2a

●

a b

a b

2a 2b

●

a b

a b

2a 2b

b a a + b

x●2x

68

Apakah ini lebih jelas daripada pembuktian verbal –

aljabar , atau apakah pada kasus lain memang tidak ada

kata yang bisa digunakan untuk pembuktian? Dewasa ini,

sistem yang terakhir lebih mendominan; dan tujuan utama

dari uraian diatas adalah menjawab pertanyaan mengenai

“keadaan yang dihadapi”(fait acompli), dan menguji

kontribusi tertentu dari simbolisme visual.

Dua Sistem Dalam Konjungsi

Menurut sejarah, sebuah penggabungan dua sistem ini

berasal dari Descartes. Sebarang titik pada sebuah bidang

ditentukan oleh jarak dua garis (pada umumnya tegak

lurus); yang dituliskan sebagai sebuah pasangan.

Koordinat adalah sebutannya, mungkin positif atau

negatif.

Titik variabel dihubungkan dengan sepasang variabel

numerik, dan suatu himpunan dengan properti karakteristik

yang ditentukan, jarak mereka selalu sepadan dengan r,

direpresentasikan semua persamaan yang dipenuhi oleh

P

0 P memiliki koordinat (5, 2)

68

pasangan koordinat (x, y). Rata-rata kurva ini sulit

ditampilkan secara aljabar: bentuk lonjong/elips, bentuk

garis edar planet yang mengelilingi matahari, parabola,

bentuk reflektor memberi berkas cahaya paralel (seperti

lampu depan mobil); atau sinar jauh yang terkonsentrasi

sampai batas (seperti teleskop radio).

Dan himpunan titik-titik dengan syarat yang

diberikan yaitu jarak titik-titik itu dari O selalu sama

dengan r digambarkan dengan sebuah persamaan yang

memenuhi semua pasangan koordinat (x,y).

Ini berarti kurva-kurva dapat dinyatakan secara

aljabar, yang sulit digambarkan dengan tepat misalnya

P y

0 y

P memiliki koordinat (x, y)

r

P

x2 + y2 = r2

68

sebuah elips, bentuk dari orbit planet yang mengelilingi

matahari.

Sifat umum dan metris keduanya dapat diselesaikan

dengan cara ini: sifat umum, dengan menggunakan relasi-

relasi umum antara koordinat-koordinat variabel; dan

sifat-sifat metris, dengan memberi nilai-nilai

kuantitatif tertentu pada variabel ini. Apa kelebihan

dari perlakuan secara aljabar pada geometri adalah

kekuataan besar dari manipulasi, dan melebihi ketepatan

yang dapat dicapai dengan menggambar secara akurat dengan

skala dan pengukuran gambar itu. Tetapi kita masih

memerlukan gambar untuk menunjukkan bagaimana bentuk

secara keseluruhan. Sebagai contoh, tidak jelas dari

persamaan kurva yang ditampilkan oleh y2 = 4ax menghilang

di kejauhan, di dalam dua arah; atau yang ditampilkan

68

bergabung kembali dengan dirinya sendiri; atau

suatu perubahan tanda sederhana yang akan memberi kita

pengetahuan yang berbeda.

Tidak ada penyajian yang lebih baik yang ditunjukkan

oleh fakta kalau kita sering menggunakan metode yang

terbalik. Tidak hanya dengan kurva, tapi kita dapat mulai

dengan konsep aljabar, yang berupa fungsi, dan

menghadirkannya dengan jelas.

y2 = 4 ax

122

2

2

by

ax

68

Ide mengenai suatu fungsi matematika adalah fungsi

yang menyatakan bagaimana benda-benda dalam suatu

himpunan berkorespondensi dengan yang lain; sebagai

contoh, bagaimana kita menemukan jarak tempuh suatu obyek

jika kita mengetahui waktu; bagaimana arus dari suatu

sirkuit dapat ditentukan jika kita mengetahui voltasenya.

Fungsi dapat ditampilkan dalam berbagai cara, mencakup

grafik dan persamaan.

Karena temuan individu memiliki keterkaitan,

persamaan sangatlah tepat. Misal, jika d meter adalah

jarak yang ditempuh oleh seseorang dalam kondisi terjun

bebas di bawah pengaruh gaya gravitasi (dengan

mengabaikan resistensi udara), dan t waktu sekon saat

jatuh, maka d = 4.9 t2. Sehingga jarak jatuh setelah 1

detik/second adalah 49 x 1 meter, setelah 2 detik adalah

49 X 1 meter, dan seterusnya. Dengan mengambil (t, d)

sebagai koordinat Cartesian kita dapat menunjukkan secara

grafis fungsi secara keseluruhan. 1tu dibahas secara

lebih panjang di dalam Bab 14.

d

t

t

68

Perbandingan Dua Jenis Simbol

Pada saat tertentu kita melakukan rangkuman

perbandingan, dan secara garis besar sifat-sifat dari

kedua jenis symbol tersebut saling melengkapi.

Verbal Visual Sifat abstrak yang

bebas dari konfigurasi

spasial, seperti

misalnya bilangan.

Lebih mudah

dikomunikasikan.

Dapat mewakili pemikiran

sosial.

Analitis, menunjukkan

detail.

Sekuensial (berurutan).

Logis.

Sifat spasial abstrak,

seperti misalnya bentuk,

kedudukan.

Lebih sulit

dikomunikasikan.

Dapat mewakili pemikiran

yang lebih individual.

Integratif, menunjukkan

struktur.

Simultan (serempak).

Intuitif.

d

t

t

68

Sifat-sifat yang dapat dikomunikasikan dan

disosialisasikan, dari sistem aljabar verbal ialah

memberikan suatu kontribusi pada keunggulannya dibanding

sistem visual. Namun mana kala kita ingin menyajikan

struktur secara keseluruhan dari beberapa pokok bahasan,

argumen, atau situasi, simbolisasi visual kembali

dipakai, seperti dalam struktur organisasi (dari

perusahaan hingga tim sepak bola), diagram alir, dan

asal-usul/pohon keluarga. Nilai dari simbolisasi visual

juga ditunjukkan dengan cara menyatakan secara gamblang

dalam simbol aljabar, dalam wujud pengaturan ruang dari

lambang tertulis. Ketika dituliskan, maka simbol-simbol

itu muncul secara serempak dan pengatura urutannya

dikembalikan dengan membaca sepintas dalam suatu urutan

yang telah disepakati. Kita dapat melihat permulaan dan

kesimpulan dari suatu argumentasi, sebelum melakukan

pengamatan secara rinci. Kita dapat menyimpulkan kapan

pun kita ingin, dan ini seringkali menjadi lebih penting

ketika argumentasi dilibatkan. Dengan kata lain,

verbal/lisan, ketika sudah dituliskan, menunjukkan

keseluruhan struktur tambahan pada implikasi rangkaian –

logika di dalam struktur; dan dapat diteliti dengan cara-

cara lain selain cara konvensional dari kiri ke kanan,

dari atas ke bawah.

68

Simbolisme spasial mengungkapkan caranya ke dalam setiap

rincian verbal – sistem aljabar.

1. Posisi dari angka 2 7

3

membantu menunjukkan angka 2 ratusan, 7

puluhan, 3 satuan.

yang diwakilinya.

2. Posisi menunjukkan angka mana yang didapatkan dari ,

9 — 5

atau dibagi dengan

3. Posisi menunjukkan hubungan antara dua set, 1 2

3 4 5

seperti dalam proporsi ini. 4 8

12 16 20

4. Pengaturan spasialnya adalah properti penting dari

sebuah matriks.

a1 a2 a3 a4

b1 b2 b3 b4

c1 c2 c3 c4

banyak contoh lain bisa diberi.

Sebelum penutupan, dapat ditarik kesimpulan bahwa

perbedaan individu dalam perumpamaan yang dicatat oleh

Galton, dan disebutkan di permulaan. Jika kita berpikir

bahwa perumpamaan visual yang paling baik adalah pada

68

pengintegrasian gagasan; dan bukanlah suatu kebetulan

ketika kita pertama kali sadar bagaimana gagasan

berhubungan satu dengan yang lain, kita mengacu pada

pengalaman, bukan sebagai tambahan; kemudian kita membuat

hipotesa bahwa orang menyumbangkan pemahaman matematika

dan pemahaman ilmiah akan menggunakan visual bukannya

perumpamaan auditoris.

Analisa, argumentasi logis, dan pemikiran yang

disosialisaikan sudah pada tempatnya, banyak dihargai di

dalam matematika; tetapi kita juga memerlukan individu

yang berpikir, pengertian yang mendalam, dan sintesis.

Taraf tertentu yang terdahulu sepertinya mampu memberikan

pengajaran, sekarang hanya dapat dicari. Jika kita dapat

menemukan lebih banyak tentang fungsi dari dua jenis

lambang yang dibahas di dalam bab ini, dan menjadi lebih

terampil dalam memilih dan menggunakannya, kekuatan ini

cukup baik untuk membantu kita mengembangkan dan

menghubungkan dua aspek komplementer dari pemikiran

matematika kita ini.