Control de procesos.

Tema: “Control Optimo y Multivariable.”

Profesor: Ulises Enrique Chávez Plasencia.

Integrantes del equipo:

Jose Manuel Bautista Saldaña - 11310040

Juan Pablo Fernández Zúñiga - 11310120

Carlos Eduardo Marín Robles - 11310259

Eduardo Daniel Martínez Martínez - 9310230

CONTROL ÓPTIMO

CENTRO DE ENSEÑANZA INDUSTRIALPLANTEL COLOMOS

Nueva Escocia No. 1885, Colonia Providencia5ª Sección, Guadalajara, Jalisco, México

Introducción

El control óptimo es una rama del control moderno que se relacionacon el diseño de controladores para sistemas dinámicos tal que seminimice una función de medición que se denomina índice dedesempeño o costo del sistema.

En términos más formales, su objetivo principal de la teoría decontrol optimo es determinar las señales de control que causan aun proceso el satisfacer las restricciones físicas que se tengan yasimismo minimizar o maximizar según sea el caso cierto criteriode desempeño deseado.

La solución de algunos problemas de control no es posibleobtenerla usando métodos de control clásicos. Esto puede ser yasea debido a su complejidad, o que se requieran satisfacer ciertosparámetros relacionados con su desempeño. Un ejemplo típico deesto es el diseño de un sistema de control de altitud para unanave espacial que minimice el gasto de combustible.

El problema de control óptimo se puede representar matemáticamenteen las siguientes partes:

1. La descripción del proceso a controlar (modelo del sistema).

2. La descripción de las restricciones físicas.

3. La descripción del objetivo buscado.

4. La descripción de algún criterio para describir el desempeño´optimo (´índice de desempeño).

Problema típico de control optimo

Como se ha mencionado, hay tres partes principales que se debenconsiderar en un problema de control óptimo. El modelo matemáticodel sistema dinámico, las restricciones a las que está sujeto elsistema, y el ´índice de desempeño que se desea evaluar. Acontinuación se estudia un problema particular analizando estastres partes principales.

Modelo Matemático

Descripción matemática sencilla o simplificada de un sistemafísico, que en forma adecuada describe la respuesta del sistemareal a una o varias entradas. La siguiente es una representación

de un modelo de un sistema dinámico como ecuaciones diferencialesen términos de variables de estado:

x˙ (t) = f(x(t), u(t), t); x ∈ Rn, u ∈ Rm

Donde el vector de estados del sistema se define como:

Ejemplo.

Un automóvil está inicialmente en reposo. Después del tiempoinicial, este se pone en movimiento en línea recta hasta detenersea una distancia e.

Para identificar y definir los elementos del sistema de controlloptimo, el problema se puede plantear de la siguiente manera:

Definir las variables del problema.

Se sabe qué y (t) es la distancia o desplazamiento recorrido delauto desde 0 en el tiempo t.

De los conocimientos básicos de física, es posible conocer que laderivada de la variable anterior

y˙ (t) = dy (t)/dt es la velocidad del auto en el tiempo actual t.

Asimismo, la aceleración del auto se representa por la derivada dela velocidad, lo cual también es la segunda derivada deldesplazamiento dy˙(t)/dt = y¨(t) = d2y(t)/dt2.

Simplificando el modelo podemos representar el automóvil como unamasa que puede acelerar o desacelerar utilizando el freno, lo cualse puede expresar por la siguiente ecuación diferencial:

Donde α es la aceleración y β a la desaceleración debido alfrenado.

Seleccionando variables de estado como posición y velocidadtenemos:

Y el control está dado como:

De donde u1 y u2 representa la aceleración y desaceleración, respectivamente.

Las ecuaciones de estado

Expresadas en forma matricial se representan como

Sabiendo de antemano que el intervalo de tiempo es t ∈ [t0, tf]

Restricciones físicas

De acuerdo al enunciado de nuestro ejemplo, sabemos queinicialmente el auto se encuentra en 0 y su posición final será elpunto e, por lo tanto:

Además, como inicialmente se encuentra en reposo y asimismo sedetiene en su estado final, tenemos que:

De forma matricial, estas condiciones de frontera se expresan como:

Asumiendo que el automóvil no puede ir en reversa, tenemos además la restricción adicional:

En otras palabras, esto significa que no puede haber velocidadesnegativas.

Restricciones de aceleración impuesta en las entradas de controlaceleración depende de la capacidad del motor del automóvil.Aceleración depende de los parámetros del sistema de frenado

Si consideramos que la aceleración máxima y la desaceleraciónmáxima son M1 y M2 respectivamente, los controles deben satisfacerlas siguientes condiciones:

Asimismo, se debe considerar que el automóvil comienza con unacantidad G de combustible y no hay forma de abastecerlo de máscombustible en el trayecto. El gasto decombustible de acuerdo a las es:

Lo cual asume que la razón de gasto de combustible es proporcionala la aceleración y velocidad y sus constantes de proporcionalidadk1 y k2.

CONTROL MULTIVARIABEIdentificación en línea para el caso multivariable

La identificación de sistemas es la determinación de un sistemaque pretende representar un fenómeno, a partir de la observación

de la respuesta de dicho fenómeno ante excitaciones sobre elmismo. De este modo se busca caracterizar un sistema a partir deun conjunto de observaciones, esto permite integrar a laidentificación estrategias avanzadas de control basados enmodelos. Un modelo de estos es una representación de un sistema enel cual, la salida actual puede representarse como una combinaciónlineal de las entradas y sus salidas pasadas.

Sistemas de control multivariable

Son procesos en los cuales la salida (variable controlada) estácontrolada por una sola entrada (variable manipulada) seclasifican como sistemas de una entrada una salida (SISO). Sinembargo debe señalarse, que la mayoría de los procesos eningeniería tiene más de un lazo de control. De hecho, cada procesorequiere normalmente el control de al menos dos variables.

Los Sistemas con más de un lazo se clasifican como sistemas demúltiples entradas múltiples-salidas (MIMO) o sistemasmultivariables. Un sistema de control multivariable MIMO permitealcanzar el objetivo de mantener un conjunto de variables en unvalor deseado a diferencia del control de sistemas SISO que solopermite controlar una variable al tiempo.

Sistema siso

Los sistemas S.I.S.O. son aquellos que cuentan simplemente con unaentrada y una única salida, de esta manera es lógico pensar que

para mantener la salida deseada del sistema deben hacerse losajustes necesarios a la entrada y de esta forma se lograría elpropósito de control, sin embargo, existe la necesidad de observarconstantemente cómo es la respuesta ante las variaciones en laentrada, por ello surge la necesidad de cerrar el lazo de controlpara monitorear de manera permanente la salida del sistema ycompararla con una señal de referencia o salida deseada.

En la ingeniería de control por lo general se refiere a una únicay simple variable de sistema de control con una entrada y unasalida. Los Sistemas SISO suelen ser menos complejos que lossistemas MIMO (Multiple-Input Multiple-Output), Por lo general,también es más fácil de hacer orden de magnitud o predicciones. Esclaro, entonces que los sistemas de control SISO son aquellos quetienen una sola entrada y una salida, tal como se muestra en lafigura 6.

Modelo SISO.

Si el sistema se supone, además determinista, invariante en eltiempo, de una entrada y una salida (SISO), el modelo de entrada-salida es:

Donde u (k), y (k) representa el par de entrada-salida en eltiempo k. Los enteros positivos n y m son el número de salidaspasadas (también llamado el orden del sistema) y el número de

entradas pasadas. En la práctica m es, normalmente, menor o igualque n. f puede ser cualquier función no-lineal definida desde elespacio de entradas y salidas pasadas hasta el espacio de salidasfuturas.

Sistema MIMO Hasta el momento se ha hecho referencia a un sistemade control sencillo, lo que implica que se utilice en procesos demenor complejidad; razón por la cual es preciso el mencionar queen la práctica se debe usar un sistema más complejo y esprecisamente a este al que se le ha denominado MIMO, el cual tienemás de dos entradas y por ende diversas salidas, lo que haceposible el controlar diversas variables.

Modelo MIMO

La mayoría de las técnicas para el diseño de sistemas de controlse basan en un buen entendimiento de la planta bajo estudio y suambiente. Sin embargo, en un número de tareas, la planta a sercontrolada es muy compleja y los procesos básicos internos en ellano se entienden del todo. Debido al poco conocimiento que se puedetener de un sistema, se hace necesario el uso de técnicasadaptivas que permitan controlar el sistema. La mayoría de losprocesos en ingeniería tiene más de un lazo de control. Cadaproceso requiere normalmente el control de al menos dos variables

Consideraremos un sistema MIMO con m entradas y n salidas, el cualse representa por el modelo básico de función de transferencia

donde es el vector de variables controladas dedimensión es el vector de variables manipuladas de

dimensión es la matriz de funciones de transferencia dedimensiones n×m, o en forma matricial se tiene:

En control de procesos es común encontrar sistemas con variasentradas y salidas, siendo el caso 2x2 uno de los más estudiadosporque corresponde a procesos típicos reales. En la figuras 4.5 y4.6 se muestra una de las posibles estrategias, el controlcentralizado, bajo dos enfoques diferentes: el primero de elloscombina una red de desacoplo, formada por cuatro elementos conun controlador descentralizado, compuesto por los dos elementos

y el segundo utiliza una red de controladores, formada por

los cuatro elementos con filosofía centralizada

Básicamente la técnica de control se fundamenta en una estimaciónparamétrica en línea del sistema, modelo al cual se le puedeimplementar diferentes tipos de control, generando así variastécnicas de control adaptivo

Un sistema discreto multivariable con m salidas y r entradas conoperador de retardo q se puede representar así:

Donde el polinomio A esta representada por

Y el polinomio B está:

Para hacer la identificación de los parámetros es convenientedefinir la ecuación como:

Siendo θ el vector de parámetros desconocidos, definido por:

Siendo el vector de regresión que consiste en medicionesentrada/salida dado por:

Es claro, que para el manejo de los sistemas de control se hacenecesario el tener técnicas de diseño, las cuales son denominadasadaptativas. Estas para su idónea aplicabilidad deben estarsujetas a los parámetros de técnicas de identificaciónparamétrica, las cuales son diversas, pero entre las másutilizadas se encuentran la de proyección, la proyecciónortogonal, mínimos cuadrados y el Filtro de Kalman, los cuales sonde gran importancia, ya que al final el idóneo desempeño de uncontrol adaptativo depende de una buena estimación de losparámetros que se encargan de realizar el algoritmo deidentificación.