RELACIONES Y ÁLGEBRA - EL MAESTRO EN CASA

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RELACIONES Y ÁLGEBRAMatemática - EL MAESTRO EN CASA

DISTRIBUCIÓN SEGÚN HABILIDADES Y CONOCIMIENTOSÁREA 1: RELACIONES Y ÁLGEBRA

CONOCIMIENTOS HABILIDADES ESPECÍFICASFuncionest Función cuadrática

1. Identificarsituacionesdadasquepuedenser expresadas algebraicamente en laformay=ax2+bc+c.

2. Representartabular,algebraicaygráfica-menteunafuncióncuadrática.

Expresiones algebraicast Factorización

t Divisióndepolinomios

t Operacionesconexpresionesalgebraicasfraccionarias.

t Racionalización.

3. Factorizarysimplificarexpresionesalge-braicas.

4. Expresarx2+px+qcomo(x+h)2 + k.5. Efectuardivisióndepolinomios.6. Efectuar operaciones con expresiones

algebraicasfraccionarias.7. Racionalizareldenominadoronumerador

deexpresionesalgebraicas.

Ecuaciones

t Ecuaciones de segundo grado con unaincógnita

- Raíces

- Discriminante

8. Plantearyresolverproblemasutilizandoecuacionesdesegundogradoconunaincógnita.

9. Resolverecuacionesquesereducenaecuacionesdesegundogradoconunaincógnita.

Funciones

t Función cuadrática

10. Trazarlagráficadeunafuncióncuadrá-ticacuyocriterioesy=ax2+bx+c.

11. Analizarlainfluenciadelosparámetrosa,b,cenlagráficadey=ax2+bx+c,utilizandosoftware.

12. Plantearyresolverproblemasutilizan-doecuacionesdesegundogradoconincógnita.


192

193


ÁlgebraAsícomolaaritméticasurgiódelanecesidadqueteníanlospueblosprimitivos

demedireltiempoydecontarsusposesiones,elorigendelálgebraesmuyposte-riorpuestoquedebierondetranscurrirmuchossiglosparaqueelhombrellegaraalconceptoabstractodenúmeroqueeselfundamentodelálgebra.Elgrandesarrolloexperimentadoporelálgebrasedebiósobretodoalosmatemáticosárabesy,muyenparticular,aAl–Hwarizmi(SigloIXd.C.),quesentólasbasesdelálgebratalcomolaconocemoshoyendía.

Elálgebraeslapartedelasmatemáticasquetienenporobjetogeneralizartodaslascuestionesquesepuedenproponersobrelascantidades.

Elconceptoalgebraicodecantidadesmuchomásamplioqueelaritmético,puestoquemientrasenaritméticalascantidadesserepresentanmediantenúme-rosqueexpresanvaloresdeterminados,enálgebralascantidadesserepresentanmedianteletrasquepuedenrepresentarcualquiervalorqueselesasigne.

Notación algebraica

Lossímbolosqueseempleanenálgebrapararepresentarcantidadespuedenserdedostipos:númerosyletras.Donde,losnúmerosseempleanpararepre-sentarcantidadesconocidasyperfectamentedeterminadas.

Lasletrasseutilizanpararepresentartodotipodecantidadestantoconocidascomodesconocidas.Engeneral,lascantidadesconocidasserepresentanutilizandolasprimerasletrasdelalfabeto:a,b,c,d…,mientrasquelascantidadesdescono-cidasserepresentanutilizandolasúltimasletrasdelalfabeto:x,y,z…

Unamismaletrapuederepresentardistintosvaloresquesediferencianme-dianteelusodecomillas;porejemploa’,a’’,a’’’queseleenaprima,asegunda,atercera,otambiénpormediodesubíndices:a1,a2,a3,queseleenasubuno,asubdos,asubtres.

Consecuenciadelageneralizaciónqueimplicalarepresentacióndelascan-tidadespormediodeletrassonlasfórmulasalgebraicas.Unafórmulaalgebraicaeslarepresentación,pormediodeletras,deunareglaodeunprincipiogeneral.

Signos algebraicos de operación, de relación y de agrupación

Conlascantidadesalgebraicasseefectúanlasmismasoperacionesqueconlasaritméticas,esdecir:sumaoadición,resta,multiplicaciónoproducto,división,potenciación,radicaciónyencursosposterioreslalogaritmación,etc.


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Signos de operación

t Enlasumaseutilizaelsigno(+).Así,porejemplosx+yseleerá“equismásye”.

t Enlarestaseutilizaelsigno(–).Así,porejemplox–yseleerá“equismenosye”.

t En lamultiplicaciónseutilizael símbolomultiplicadopor (x)ó (×).Así, porejemploxxy=x× yseleerá“equismultiplicadoporye”.

Elsignosueleomitirsecuandolosfactoresestánindicadosporletrasobienporletrasynúmeros.Porejemploxxyxz=x×y×z=xyz

t En la división se utiliza el signo dividido entre (:)(÷) ó (/).Así, por ejemplo x:y=x/y=x÷yyseleerá“equisdivididoentreye”.

t En lapotenciaciónseutilizaunsuperíndicedenominadoexponentequesesitúaarribayaladerechadeunacantidadllamadabaseporsímisma.Así,porejemplox4=x×x×x×x…(4veces)yseleerá“equiselevadoalaye”.Enelcasodequeunaletranolleveexponentesesobreentiendequeelexponenteesuno.

t Enlaradicaciónseutilizaelsignoradical( ),debajodelcualsecolocalacantidadalaqueseleextraelaraíz.Así,por x ,seleerá“raízcuadradadeequis”; x3 “raízcúbicadeequis”yasísucesivamente.

Signos de relación

Lossignosderelaciónseutilizanparaindicarlarelaciónquehayentredoscantidades.

t Elsigno=seleeiguala.x=yseleerá“equisigualaye”.

t Elsigno≠seleediferentede.x≠ yseleerá“equisdiferentedeye”.

t Elsigno>seleemayorque.x>yseleerá“equismayorqueye”.

t Elsigno<seleemenorque.x<yseleerá“equismenorqueye”.

t Elsigno≥seleemayorqueoigual.

t Elsigno≤seleemenorqueoigual.

Signos de agrupación

Lossignosdeagrupaciónmásutilizadosson:losparéntesis(),loscorchetes[]ylasllaves{}.Lossignosdeagrupaciónindicanquelaoperaciónencerradaensuinteriordebeefectuarseenprimerlugar.

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Antes estudiamos un tipo especial de fun-ciones,lasfuncioneslineales;apartirdeahora,estudiaremoslasfuncionescuadráticas,lascualessonfuncionespolinómicasdegrado2.

f(x)=ax2+bx+c

Lasecuacionesdeéstetipodefuncionesyalashemosutilizadoanteriormente.EnestaseccióndellibroMatemáticaZapandí,ademásdelestudiopormenorizado de esta función, conoceremosalgodelahistoriadelaMatemáticaenlaquesefundamentósudesarrollo.

Losmatemáticosára-bes hicieron importantescontribucionesalaMate-máticaenlaépocallama-da “la Edad de Oro” delmundo musulmán, entreelaño700yel1200d.C.aproximadamente.

Lograron preservarel legadomatemático delos griegos, tradujeron y

divulgaronlosconocimientosmatemáticosdelaIndia y asimilando ambas corrientes, aportaronmuchoalÁlgebrayalaTrigonometría.

FUNCIONES

ElmásrecordadodelosmatemáticosárabesdeesaépocaesMohammedibnMusaalKhwarizmi,quienescribióvarioslibrosdeGeografía,Astrono-míayMatemáticas.

EnsutratadosobreÁlgebra,alkhwarizmiex-plicalamaneraderesolverecuacionescuadráticasdevariostipos.Tantoelplanteamiento,comolasolucióndelasecuacioneseradadoconpalabras,puesnoseutilizabanaúnsímbolosalgebraicoscomohoyendía.

Fuemuchodespués,en el siglo XVI, cuandocomenzaronintroducirselossímbolosquehoyseutilizan en el plantea-miento de ecuaciones.UnodelosmatemáticosquemayorinfluenciatuvoenestecambiofavorableparaeldesarrollodelÁlgebra,fueFrancoisViète(1540-1603).Conelusodesímbolosparaexpresarlaincógnitayloscoeficientesdeunaecuación,seimpulsoenormementeeldesarrollodelÁlgebra,puessefacilitóelestudiodeecuacionesdegrado2,3y4.

Asícomoeldesplazamientodeunciclistaqueviajaavelocidadconstante,atravésdeltiempo,sepuededescribirmedianteunafunción lineal,existenotrosfenómenosquesedescribenmate-máticamenteatravésdelasfuncionescuadráticas.Estassontodaslasfuncionesquetienenlaformasiguiente:

f(x) = ax2 + bx + c

dondea, byc(llamadostérminos)sonnúmerosrealescualesquierayaesdistintodecero(puede


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sermayoromenorquecero,peronoigualquecero).Elvalordebydecsípuedesercero.

En laecuacióncuadráticacadaunodesustérminostieneunnombre.

Así: ax2eseltérminocuadrático

bxeseltérminolineal

ceseltérminoindependiente

Tambiénsedaelcasoqueselellametrinomio cuadrático.

Si hay un tema que podemos llamar "muyimportante"enlaMatemática,eseltemadelasfuncionescuadráticas.

TalcomolovimoseneltemafuncionesyenfunciónlinealenellibrodeMatemáticaUjarrás,sinosedicelocontrario,suponemos,oconvenimos,queestamos trabajandocon todos losnúmerosreales.

Porejemplo

Un ejemplo de un fenómeno que se puededescribira travésdeuna funcióncuadrática,eselsiguiente:

Se lanza una pelota, desde el suelo, haciaarriba.Sequiereconocerlaalturaalcanzadaporlapelotaencadasegundocontandoapartirdelmomentoenquefuelanzada.

Lafunciónquepermiteobtenerlaalturadelapelotaencadasegundo,esunafuncióncuadráticaquedependedelainclinaciónconlacualselanzóydelafuerzaqueseleimprimióallanzamiento,deacuerdoaciertasleyesdelaFísica.

Siseobtiene,enuncasoespecífico,lafunciónf(x)=–2x2+8x.

Entonces,enel instante inicial (0segundostranscurridos)lapelotaestáenelsuelo,esdecir,tienealturaigualacero:

f(0)=–2(0)2+8(0) =0+0 =0

Parasabercuáles laaltura(enmetros,porejemplo,enestecaso)delapelotaenelinstanteenquehatranscurrido1segundo,sehacex=1ysecalcula

f(1)=–2(1)2+8(1) =–2+8 =6

Ycuandohantranscurrido2segundos:

f(2)=–2(2)2+8(2) =–8+16 =8

También, podemos calcular cuando x = 3, x = 4 de igualmanera. Es así como se puedeconstruirlasiguientetabladevalores.

x f(x)0 0 1 62 83 64 0

↑ ↑ tiempo altura

Delaanteriortabladevalores,sepuedeninferirvarias cosas acerca del fenómeno en cuestión:entreellas:

1) Lapelotavuelveacaeralsueloalos4segun-dosdehabersidolanzada.

2) Laalturamáximalaalcanzaalhabertranscu-rrido2segundosapartirdesulanzamiento.

3) Lavelocidaddelapelotavadisminuyendodes-dequeeslanzadahastaquellegaa8metrosdealtura(alos2segundosdesulanzamiento).

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Estatabladevaloresnospermiteconstruirlasiguientegráficaasí:

Observe

t Entrelossegundos2y3,lapelotacomienzaadescenderyrecorreexactamente2metros.

f(2)–f(3)=8–6=2metros

t Entrelossegundo3y4sevuelvearecorrerladistanciaquerecorrióenelprimersegundo:

f(3)–f(4)=6–0=6metros

Otros ejemplos

1. Elpropietariodeunedificiotienealquilado52apartamentosdelmismoalvalorendólaresde266almescadauno.Porcada7dólaresqueaumenteelalquilerdecadapisopierdeuninquilinoyporlotantoquedaelcorrespondienteapartamentosinalquiler.

¿Cuálseráelalquiler,quemásbeneficioledéalpropietario?

¿Cuáleslacantidadmáximaquepuederecibirelpropietario?

DATOS ACTUAL FUTURONo de

apartamentos alquilados

52 52 −x7

Precio por apartamento

(mensual)266 266 + x

Beneficio total

52 • 226 = 13 832 52 −x7

266 + x( ) = ____

Conlasfuncionescuadráticaspodemosplan-tearyresolverproblemasdeestetipo.

En la columna datos tenemos los títulos (Nodeapartamentosalquilados),Precioporapartamento(mensual)ybeneficiototal.

Enlacolumna actual,setienequeelnúmerodeapartamentosalquiladosson52a razónde266dólaresyproducenunbeneficiomen-sualtotalde52multiplicadopor266,osea, 13832dólares.

En lacolumna futurosetiene laexpresión52 −

x7 ,porquéestoasí,porquesiseaumenta

7dólares,setieneque52menos“x”entre7es52menos7entre7,queeslomismoque,52menos1queesiguala51.Pierdeuninquilino,ylequedaunapartamentosinalquiler.

Laexpresión266 + xnosindicaquelosapar-tamentos a estemomento tienen un preciode266máselincrementode7ó14omás.Yqueelbeneficiototaldelpropietariosecalcularesolviendo 52 −

x7

266 + x( ) = ____ .

2. Lacorrespondenciamediantelacualacadacírculoderadio“r”,conr∈ R+selehacecorres-pondersuáreaA,esunafuncióncuadrática,pueslaimagendecadaelementor∈ R+ viene dadaporA(r)=πr2.


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3.Unagricultortienepostesparaconstruir1000metrosdeunacercayunterrenomuygrande.Eláreadelacercaconformaderectángulocondimensionesxmetrosy500–xmetrospuededescribirseconunafunción.

Elcasoencuestiónrefierealusodelasfun-cionescuadráticas f(x)=ax2+bx+c paraindicar que a cada rectángulo conmedidasx,500–xselehacecorrespondersuárea“y”, donde y = x(500 – x) = – x2 + 500x (m2:metroscuadrados).

4. En una región deÁfrica, considerada comoreservaecológica, ungrupodebiólogoshaobtenidodatossobrelarelaciónquehayentreelnúmerodeanimalesherbívorosyelnúmerodeanimalesdepredadores,yloshagraficado.

Ellosdeseanconstruirunmodelomatemáticoqueseajustealosdatosquehanobtenido.

x y50 060 18080 420100 500120 420140 180150 0

Comolospuntosdelagráficatienenunadis-posiciónparabólica,setrazalaparábolaquemejorseajustealaseriedepuntos.Lacurvacortaalejexenx=50yx=150,demodoqueestosvaloresdexdebensersolucionesdelaecuaciónf(x)=0.Ademáselvértice(100,500)

Porlotanto,lafunciónqueseajustaalosdatosobtenidoses:

f(x) = − 15x2 + 40x − 1500

Muchas son las situacionesque sepuedenpresentaryresolverconlasecuacionesquerepresentanlasfuncionescuadráticas.

Laecuacióncorrespondienteaesta funciónes:

y=ax2+bx+c(a≠0),cona,b,c∈ℝ

Sonejemplosdefuncionescuadráticas:

y=2x2–3x–1 dondea=2,b=–3,c=–1

y=–x2+3 dondea=–1,b=0,c=3

y= 3 x2+x–5 dondea= 3 ,b=1,c=–5

y =38x2 −

25x +

12

dondea =38, b = −

25, c =

12

y=x2 dondea=1,b=0,c=0 Eldominiode toda funcióncuadráticaesel

conjuntoℝ.

Representación gráfica de una función cuadrática

Cuandorepresentamosenunagráfica"todos"lospuntos(x, f(x)) de una función cuadrática,seobtieneunacurvallamadaparábola.Esdecir,una0

0

100

10050 150

200

200 250

300

400

500

199


parábola es la representación gráfica de una función cuadrática.

Porejemplo.

Lafiguradeterminadaporunpuenteesunaparábolaobien,eslafiguradeterminadamedianteuna función cuadrática.

Dichaparábolatendráalgunascaracterísticaso elementos bien definidos dependiendode losvaloresdelaecuaciónquelageneran.

Estascaracterísticasoelementosson:

t Orientaciónoconcavidad(ramasobrazos)

t Puntosdecorteconelejedeabscisas(raíces)

t Puntodecorteconelejedeordenadas

t Ejedesimetría

t Vértice

Orientación o concavidadUnaprimeracaracterísticaeslaorientación

oconcavidaddelaparábola.

Hablamosdeparábola cóncavasisusramasobrazosseorientanhaciaarribayhablamosdeparábola convexa sisusramasobrazosseorien-tanhaciaabajo.

Estadistintaorientaciónestádefinidaporelvalor(elsigno)quetengaeltérminocuadrático (ax2):

t Sia>0(positivo)laparábolaescóncavaoconpuntashaciaarriba,comoen

t Sia<0(negativo)laparábolaesconvexaoconpuntashaciaabajo,comoen

Además,cuantomayorsea(a)máscerradaeslaparábola.

7 m2 m

9.6 m4.416 m

1

1

2

2 3

3

4

45

5

6

6 7

7

8

8

9

9-1

-1-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6

-6

-7

-7

-8

-8

-9

-9

1

1

2

2 3

3

4

45

5

6

6 7

7

8

8

9

9-1

-1-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6

-6

-7

-7

-8

-8

-9

-9


200

Puntos de corte en el eje de las abscisas (raíces o soluciones) (eje de las X)

Otra característica o elemento fundamentalparagraficarunafuncióncuadráticaladáelvaloro los valores que adquiera x, los cuales debencalcularse.

Ahora,paracalcularlasraíces(soluciones)decualquierfuncióncuadráticacalculamos,f (x) = 0.

Estosignificaquelasraíces(soluciones)deunafuncióncuadráticasonaquellosvalores de x paraloscualeslaexpresiónvale0;esdecir,losvalores de x tales que y = 0;quees lomismoque f(x) = 0.

Entonceshacemos,ax² + bx + c = 0

Lasraícesosolucionesdelaecuacióncua-dráticanosindicanlospuntosdeinterseccióndelaparábolaconeleje de las X (abscisas).

Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)

Enelejedeordenadas(Y)laprimeracoorde-nadaescero,porloqueelpuntodecorteenelejedelasordenadaslomarcaelvalordec (0, c).

Eje de simetría o simetría

Otracaracterísticaoelementodelaparábolaessuejedesimetría.

Elejedesimetríadeunaparábolaesunarectaverticalquedividesimétricamentealacurva;esdecir,intuitivamentelaseparaendospartescon-gruentes.Sepuedeimaginarcomounespejoquereflejalamitaddelaparábola.

Vértice

Comopodemosverenelgráficoanterior,elvérticedelaparábolaeselpuntodecorte(opuntodeintersección)delejedesimetríaconlaparábola.

Paraunafuncióncuadráticay=ax2+bx+c,lacoordenadaxdelvérticeessiempre −b

2a.Como

elejedesimetríasiemprepasaporelvértice,sig-nificaqueelejedesimetríaesunalíneavertical x= −b

2a.Cambiandolosvaloresdeaybenlagráfica

siguientesepuedeverdóndeestánelvérticeylalíneadesimetría.

Las gráficas de las funciones cuadráticas

Como recordaremos cuando se estudio enel libro de Matemática Ujarrás para obtener lagráficade la funcióny = – 2x + 5,porejemplo,seprocedeatabular,esdecir,sedanvaloresalavariableindependientexysebusca(pormediodelasoperacionesindicadas)elvalordelavariabledependientey,comoseilustraacontinuación.

Función: y = – 2x + 5

x y PUNTOS1 3 A(1,3) y=–2(1)+5=–2+5=32 1 B(2,1) y=–2(2)+5=4+5=13 –1 C(3,1) y=–2(3)+5=–6+5=–14 –3 D(4,–3) y=–2(4)+5=–8+5=–35 –5 E(5,–5 y=–2(5)+5=–10+5=–5

Ramas de la parábola

Eje de simetría

Vértice

201


Unavezquelosvaloressehantabulado,seprocedearepresentarlosgráficamente.

Lagráficadeunafuncióndeprimergradosellamatambiénfunciónlinealporquesugráficaessiempreunalínearecta.

Generalizando,unafunciónlinealodeprimergradoesde la formay = mx + b,dondemyb puedentenervalorespositivosonegativos.

Respectodelafuncióncuadráticaodesegundogrado,éstasecaracterizaportenereltérminoxconexponente2;ejemplosdeestafunciónson: y=x2+5;y=–3x2+1;y=4x2–1;y=(x–3)2,etcétera.

Representación tabular y gráficamente de una función cuadrática

PRIMER CASO:

Paraobtenerlagráficadelafuncióncuadráticay = ax2 + bx + c,seprocede primeroatabular,esdecir,seconstruyeuna tablasemejantea layautilizadaparaconstruirgráficasde funciones

lineales.Sedanvaloresalavariableindependiente“x” y,resolviendolasoperacionesindicadas,sevanobteniendolosvaloresdelavariabledepen-diente “y”.

Porejemplo.

Representegráficamentelafuncióncuadráticadadapory=x2–6x+9

Solución:

1º Construimosunatablasemejanteaesta:

x y PUNTOS y = ax2 + bx + c

2º Lacompletamos.

Con los números “x” que son cualquier valorrealylosnúmeros“y”quesonnúmerosqueseobtienenalsustituirelvalorde“x”enlaecuacióndelafuncióncuadráticay=ax2+bx+c.Conestosvaloresseformanlos puntos quecorres-pondenalosparesordenados(x,y)formadosporlosvaloresde“x”ysuscorrespondientesde“y”.Así.

x y PUNTOS y = x2 – 6x + 9

1 4 A(1,4) y=(1)2–6(1)+9=4

2 1 B(2,1) y=(2)2–6(2)+9=1

3 0 C(3,0) y=(3)2–6(3)+9=0

4 1 D(4,1) y=(4)2–6(4)+9=1

5 4 E(5,4) y=(5)2–6(5)+9=6

0 1

1

2

2 3

3

4

4

5

5

6

6 7

7

-1-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6

-6

A

B

C

D

E


202

3º Unaveztabuladoslosvalores,éstosserepre-sentangráficamentedelasiguientemanera:

Lautilidaddelasfuncioneslinealesycuadrá-ticasencuentrauncampofértil.Enlacienciaylatécnica,justificandoconello,ladimensiónquelaherramientamatemáticahaalcanzadoenestasáreas.

SEGUNDO CASO:

Representación gráfica

Podemosconstruirunaparábolaapartirdeestospuntos:

1. Vértice

xv = −b2a

yv = f −b2a

v −b

2a, f −b

2a

Porestepuntopasaeleje de simetría de la parábola.

Laecuacióndeleje de simetría es: xv = −b2a

2. PuntosdecorteconelejeOX.

Enelejedeabscisaslasegundacoordenadaescero,porloquetendremos:ax² + bx +c = 0

Aquíhacemosusodelaecuación:

x = −b ± b2 − 4ac2a

dondetenemosque:

Resolviendolaecuaciónpodemosobtener:

t Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b²–4ac>0

t Unpuntodecorte:(x,0)sib²–4ac=0

t Ningúnpuntodecortesib²–4ac<0

3. PuntodecorteconelejeOY.

Enelejedeordenadaslaprimeracoordenadaescero,porloquetendremos:

f(0) = a • 0² + b • 0 + c = c (0,c)

Por ejemplo:

Representarlafunciónf(x)=x²–4x+3

1. Vértice

xV = −b2a

=− −4( )2 1( ) = 4

2= 2

Parahallarelvalordeyvsustituimosxv

yv=2²–4(2)+3=–1

ElvérticeesV(2,-1)

2. Puntosdecorteenelejedelasabscisas(Raí-cesosoluciones)(ejedelasX),ejeOX.

ParahallarlospuntosdelejedelasX,hacemosusodelaexpresión:

x = −b ± b2 − 4ac

2a

0 1

1

2

2 3

3

4

4

5

5

6

6 7

7

-1-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6

-6

AB

C

D E

203


Como x² – 4x + 3 = 0, aquí tenemos que a=1,b=–4yc=3

Ycomob2 –4ac >0, tienedospuntosde corteenel ejede lasabscisas,puestoqueb2–4ac=4.

x = 4 ± 16 − 122

x1 = 4 + 42

= 4 + 22

= 62

= 3

x2 = 4 − 42

= 4 − 22

= 22

= 1

Lospuntosdecorteconelejedelasabscisasson(3, 0), (1, 0).

3. PuntodecorteconelejeOY

Estepuntosehallasustituyendoenlaecuacióndelafuncióncuadráticay=x²–4x+3.

y=x²–4x+3

(0)2–4(0)+3=0–0+3=3

Elpuntodecorteconelejedelasordenadases(0, 3)

Gráfica:

Recuerde

La gráfica de una función cuadrática es una curva con forma de U llamada parábola.

Puede ser trazada dibujando soluciones de la ecuación, encontrando el vértice y usando el eje de simetría para graficar puntos seleccionados, o encontrando las raíces y el vértice.

La forma estándar de una ecuación cua-drática es y = ax2 + bx + c. Esta forma nos permite encontrar fácilmente el vértice de la parábola y el eje de simetría usando la fórmula para la coordenada x del vértice, x = −b

2a.

A. Selección

1) Auncartónrectángularcuyosladosmiden4cmy5cmseleharecortadoencadaesquinauncuadradodeladox.Delassiguientesexpresio-nesalgebraicas,¿cuálpermitecalculareláreaydelcartónsinlasesquinas?

A)y=(5–2x)(4–2x)

B)y=(5+2x)(4+2x)

C)y=4x2–18x–20

D)y=–4x2–18x+20

TRABAJO INDIVIDUAL 1

x

0 1-1

1

2

2 3

3

4

4

5

6

-1

-2


204

2)Sedeseaconstruirunacajademetal,apartirdeunaláminacuadradade2mdelado.Paraelloserecortancuatrocuadradosdelado“x”,unodecadaesquina.

Delassiguientesexpresiones.¿Cuálpermitecalcularelárea“y”apartirdelvalor“x”?

A) y=4x2–8x–4

B) y=4x3–8x+4x

C) y=4x2–8x+4

D) y=4x2+8x+4

3) Elanchodeunrectánguloessieteunidadesmenorqueellargoyeláreaesiguala588m2,¿cuáleslaecuaciónquerepresentacorrecta-menteestasituación?

A) x(x–7)=588

B) x–7+x=588

C) x2+7x+588=0

D) x2–7x+588=0

4) Latablamuestralaalturaquevaalcanzandounbalóndefútboldespuésdeserdespejado.

Tiempo (en segundos

Altura alcanzada por el balón (en

metros)

0 0

1 5

2 8

3 9

4 8

5 5

¿Cuáldelasopcionescorrespondealagrá-ficaasociadaalarelaciónentrelaalturaquealcanzaelbalónyeltiempo?

A)

B)

C)

D)

Altu

ra

Tiempo0

5

5

10

10

Altu

ra

Tiempo0

5

5-5

10

Altu

ra

Tiempo0

5

5-5

10

Altu

ra

Tiempo0

5

5-5

10

15

205


B. Resuelvacadaunodelosproblemassiguientesenformaordenada.

1) Setieneuncuadradoquetieneporladoxcm,¿cuáleslaexpresiónalgebraicaquepermitedeterminarelárea(A)?

Medida de un lado del cuadrado Área del cuadrado

2cm 4cm2

3cm 9cm2

5cm 25cm2

xcm ¿?

Respuesta:

2) Sialcuadradoanterior,seleaumentan2cmenunadelasdimensionesy3cmenlaotradimensión,¿cuáles laexpresiónalgebraicaquedeterminaelárea(A)delrectánguloquesehaformado?

Respuesta:

3) EnlaescuelaseorganizóuntorneodeVoleibol.Antesdeiniciarunpartidoentredosequiposde10integrantescadauno,losjugadoresdecadaequiposaludaránatodosloselementosdelequipocontrario.

a) ¿Cuántossaludosserealizanentotal?

Respuesta:

b) Siunodelosequipostienenueveintegrantes,¿cuántossaludosserealizaranentotal?

Respuesta:

c) ¿Qué expresión algebraica permite obtenereltotaldesaludos(y),siunodelosequipostienexcantidaddeintegrantesyotrotieneunjugadormenos?

Respuesta:

4) Setieneunrectánguloquetieneunperímetrode30m,elcual tieneun ladode longitudxmetros.Escribanunaexpresiónalgebraicaquerepresentelavariacióndelárea(y)enfuncióndex.

Respuesta:

5) El parque demi barrio está ubicado en unterreno cuadrado. Una parte cuadrada delterrenode50mporladoseocupacomoes-tacionamientoyelrestoeslazonaverdeconunáreade14400m2.

¿Cuáleslafuncióncuadráticaenfunciónde“x”quenospermiteidentificaralasituaciónanterior?

Respuesta:

50

50

x

x


206

6) Laalturaquealcanzaunapelotaarrojadaha-ciaarribaenfuncióndeltiemposerepresentamediantelagráficasiguiente:

a) ¿Cuáleslavariableindependienteycuáleslavariabledependiente?

Respuesta:

b) ¿Cuáles laalturamáximayenqué tiempoocurre?

Respuesta:

Altura (m)

T (s)0 4

4

1

1

2

2

3

3

c) ¿Enquéintervalodetiempolafuncióncreceyencuáldecrece?

Respuesta:

C.Deacuerdoalasiguienteinformaciónindiquelafuncióncuadráticaqueresuelvecadaunodelosproblemassiguientes:

1)¿Cuáleseláreadeunrectángulocuyabasemidex+2ysualturax-2?

Respuesta:

2) ¿Cuáleseláreadeun triángulocuyabasemide2x+1ysualtura2x+2?

Respuesta:

207


Si dos expresiones algebraicas (monomios,binomios,…,polinomios)semultiplicanobtenemoscomoproductootraexpresiónalgebraica(mono-mios,binomios,…,polinomios).

Apartirdeestemomento,estudiaremosvariosprocedimientos que nos permitirán determinarlos factores de una expresión algebraica dada,cuandoexistan.

Pero antes, recordemos algunos conceptosimportantes:

❖ SidosexpresionesalgebraicasAyBsemul-tiplicanysuproductoesC,cadaunadelasexpresionesAyBsedicequeesunfactorodivisordeC.

Ejemplos:

1. Puestoque2(x+1)=2x+2,diremosque2 yx + 1sonfactoresodivisoresde2x+2.

2. Delmismomodo(x+4)(x+3)=x2+7x+12.Luego(x+4),(x+3)sonfactoresodivisoresdex2+7x+12.

❖ Amenudo,resultaconvenientedeterminarlosfactoresdeunaexpresiónalgebraicadada.Laoperaciónqueconsisteenhallarestosfactoressedenominafactorizaciónodescomposiciónenfactoresdelaexpresión.

Seguidamenteestudiaremosalgunosprocedi-mientosparafactorizardeterminadasexpresionesalgebraicas.

A. Factorización por factor común1. Factor común monomio

Por ejemplo, si queremos descomponer enfactoresoseafactorizarlaexpresiónma + mb,lo

FACTORIZACIÓN

podemosrealizaraplicandolapropiedaddistributivadelamultiplicaciónconrespectodelasuma,delamanerasiguiente:

ma + mb = m ( a + b )

Enestecasosedicequehemos extraídoelfactorcomúnm enlaexpresiónma+mb,yaquedichofactorapareceencadaunodelostérminosdelaexpresióndada.

Engeneraltenemosque:

Si en una expresión algebraica dada exis-te un factor que sea común a todos sus términos, ésta se puede descomponer en el producto de dicho factor común por el polinomio que resulta al dividir cada uno de los términos de la expresión dada por ese factor común.

Ejemplos de este tipo de factorización.

a)Factorizar4+8a=4 (1 + 2a)

Solución:

Sepuedeobservarque4y8a contienencomofactorcomúnal4.Elotrofactorestaráformadoporelcocientede(4 + 8a) ÷ 4 = 1 + 2a,yaque4 ÷ 4 = 1;y8a ÷ 4 = 2a.

Luego,tendremosque

4+8a=4(1+2a)

b) Factorizar6a2b–9ab2+3ab=3ab (2a – 3b + 1)

Solución:

En este caso tenemos que existe un factornuméricoyunfactorliteral.


208

Comofactornuméricotenemosalnúmero3,puestoqueesteesdivisorde6,9y3alavez.

Además, como factor literal tenemos a lasletrasa ybconelexponente1,entonceselfactorcomúnes3ab.

Luegoeltrinomiosepuedeexpresar

6a2b – 9ab2 + 3ab = 3ab( 2a – 3b +1),puestoque

(6a2b) ÷ (3ab) = 2a

(– 9ab2) ÷ (3ab) = –3b

(3ab) ÷ (3ab) = 1

c) Factorizar10b2–5b+15b3

Solución:

Sepuedeobservarqueelfactorliteraleselfactorb.

Para encontrar el factor común numérico,tomamos los coeficientes 10, 5 y 15 y lossimplificamoshastasabercuáleselmáximocomúndivisorentreellos.Asíprocedemos:

10 5 15 5

2 1 3

Luego,dividimoselpolinomioentreelfactorcomúnquetenemos:

10b2

5b= 2b

5b5b

= 1

15b3

5b= 3b2

Porlotanto,10b2–5b+15b3=5b(2b+1+3b2)

=5b(3b2+2b+1)

d) Factorizar259xy2 −

3021

x2y

Solución:

Losfactoresliteralescorrespondenalosfac-toresxeycomunesdelpolinomio.

Paraencontrarelfactornuméricodelosco-

eficientes259 y 30

21 ; obtenemos primero el

factor común de los numeradores así:

25 30 5

5 6

Segundoobtenemosel factorcomúnde losdenominadoresasí:

9 21 3

3 7

Juntandoambosfactores,formamosunanue-vafracciónquevaaserel factorcomún, lamismatienecomonumeradorelfactorcomúndelosnumeradoresycomodenominadorelfactorcomúndelosdenominadores,entoncestenemosque

259

xy2 −3021

x2y =53

xy 53

y −67

x

Observe:elfactorqueposeeparéntesisenelresultadodedividircadaunodelostérminosdelpolinomiooriginalentre 5

3xy .

e) Factorizarx2y2 +x3y2 +xy

Solución:

Elfactorcomúnesxey…

209


x2y2

xy= xy; x3y2

xy= x2y; xy

xy= 1

Porlotanto:

x2y2 +x3y2 +xy=xy(xy+x2y+1)

ACTIVIDAD 1

1. 120a + 20b + 120 =

2. 9a2x − 18ax2 =

3. x2 + x3 − x4 =

4. ab2 − a3b + ab =

5. 4a3 + 30a2 − 50a =

6. 21c4 + 7b2c − 14b3 =

7. 12xy2 − 18y3x2 + 16xy =

8. b3c2 − 21c2 + 14bc2 =

9. 112mn4 + 120m5n − 126m2n2 =

10. a4b + a2b4 + a5 + a3b3 =

11. 15y2 + 20y3 − 30y4 + 40y5 =

12. −hk2 + 2hk + h2 =

13. m3 + mn2 − mn4 + m =

14. a3b2 + a3b =

15. 5ab +103

a2b −157b4 =

16. 25x2y + 30xy3 + 20x =

17. − x2y + y3 − xy4 − 4y =

18. 259xy −

159xy2 −

109x3y =

19. 215

a3b2 −3

20a2b3 −

15

a =

20. 203x4 +

152x3y + 30xy2 =

Factoricelossiguientespolinomiosutilizandoelmétododelfactorcomún.

12. 42ab2 2 218ab7 ab3− 30+ =

13. −hk2 + 2hk + h2 =

14. m3 + mn2 − mn4 + m =

15. a3b2 + a3b =

16. 5ab +103

a2b −157b4 =

17. 25x2y + 30xy3 + 20x =

18. − x2y + y3 − xy4 − 4y =

19. 259xy −

159xy2 −

109x3y =

20. 215

a3b2 −3

20a2b3 −

15

a =

21. 203x4 +

152x3y y + 30xy2 22 =


210

2. Factor común polinomio

CuandofactorizamosporelmétododelFac-torComúnenalgunoscasoselfactorcomúnseráunpolinomio.Paraestassituacionesseprocederádelasiguientemanera:

a) Factorizar4(x+y)–7(x+y) Solución:

Observandolaexpresiónnosdamoscuentaquelosdostérminosdelamismatienendefactorcomúnelbinomio(x+y);asíentoncespodemosrealizarlosiguiente:

4 (x + y)(x + y)

= 4

7 (x + y)(x + y)

= 7

ytendremosentoncesque

4(x+y)–7(x+y)=

(4–7)(x+y)=–3(x+y)

b) Factorizar2x(a–1)–3(a–1) Elfactorcomúnes(a–1)

Asíentoncesdividimoslostérminosentreestefactorcomúnyobtendremos

2x(a − 1)(a − 1)

= 2x; − 3 (a − 1)(a − 1)

= − 3

Entoncestendremoscomoresultadofinal:

2x(a–1)–3(a–1)=(a–1)(2x–3)

c) Descomponer:2a(m+3)+m+3 Solución:

Estaexpresiónaunqueenaparienciadiferentealasdemássepuedeescribirasí:

2a(m+3)+m+3=2a(m+3)+(m+3)

=2a(m+3)+1(m+3)

Elfactorcomúnes(m+3);poresosi:

2a(m + 3)(m + 3)

= 2a y 1(m + 3)(m + 3)

= 1

tenemoscomoresultadoque

2a(m+3)+m+3=(m+3)(2a+1)

d) Factorizar5x(2+b)–2–b Solución:

Vamosaacomodarestaexpresiónrealizandolospasossiguientes:

5x(2+b)–2–b=

5x(2+b)–(2+b)=

5x(2+b)–1(2+b)

Luego, tenemos que el factor común es (2+b)yque5x(2+b)–2–b=(2+b)(5x–1)

Recuerdeque:

–a–b=–(a+b) –a+b=–(a–b)

enamboscasosestasexpresionessonpro-ductodelusodelaleydistributivadelamulti-plicaciónconrespectodelasuma.

e) Factorizar(x–5)(y+2)+3(y+2) Solución:

Elfactorcomúnes(y+2).Sidividimoscadatérminoporestetenemosque:

(x − 5)(y + 2)(y + 2)

= x − 5 3(y + 2)(y + 2)

= 3

Luego(x–5)(y+2)+3(y+2)=(y+2)(x–5+3) =(y+2)(x–2)

211


A. Factoricelassiguientesexpresiones.

ACTIVIDAD 2

1. a(x + 1) + 8(x + 1)

2. − 5(2n + 3) + p(2n + 3)

3. 2a(x − 3) − 11(x − 3)

4. 2x(m – n) + 3(m – n)

5. 4(x + 5) + n(x + 5)

6. x(3 + 5y) + 3 + 5y

7. m(1− x) + 1− x

8. 4x(m − 2) + m − 2

9. 1− x + 2a(1− x)

10. x2 + 1− b(x2 + 1)

11. x(m + 7) − m − 7

12. 12(b + c) − b − c

13. 2y(x + 2) − x − 2

14. −13

− b + x(13

+ b)

15. −2x − 3 + m(2x + 3)

9. 1− x + 2a(1− x)

10. x2 + 1− b(x2 +1)

11. x(m + 7) − m − 7

12. 12(b + c) − b − c

13. 2y(x + 2) − x − 2

14. − 3 − b + x( + b)

15. −2x − 3 + m(2x + 3)

B. Factorice:

a) m(a–9)+(a–9)

b) 3x(x–2)–2y(x–2)

c) a(n+2)+n+2

d) x(a+1)–a–1

e) –x–1–7y(x+1)

f) –1+7x+2a(1–7x)

g) x–8+x(x–8)

h) –5(2a+b+3)–2a–b–3

i) (x–6)(n+1)–3(n+1)

j) (x+1)(x–2)+3y(x–2)

k) (a+3)(a+1)–4(a+1)


212

B. Factorización de una diferencia de dos cuadrados

Unaexpresiónalgebraicacuyostérminosseandoscuadrados,unodeellosconsignonegativo,puede relacionarse inmediatamente con el pro-ductonotablecorrespondientealadiferenciadedoscuadrados.

Enefecto,estaexpresiónsepuededescom-poner fácilmente en factores buscando la raízcuadradadecadatérminoyformandounanuevaexpresiónquecontengalasumaporladiferenciadetalesraíces.

a2–b2=(a+b)(a–b)

Identificación de la diferencia de dos cuadrados

Paraqueunaexpresiónsealadiferencia de dos cuadrados, sedebencumplirdoscondiciones.

1. Debehaberdostérminos,amboscuadradosparaextraerlaraízcuadradaexacta.

2. Debe haber un signo menos entre los dostérminos.

Analicemoslossiguientescasos:

EJEMPLO 1

¿Es16a2–49ladiferenciadedoscuadrados?

Elprimertérminodelbinomioesuncuadrado16a2=(4a)2entonces 16a2 = (4a)2 = 4a

Elsegundotérminodelbinomioesuncuadrado49=(7)2entonces 49 = (7)2 = 7

Existeunsignomenosentreellos.

Entoncestenemosunadiferenciadedoscua-drados.

EJEMPLO 2

¿Es–4x2+16unadiferenciadedoscuadrados?

–4x2 +16=16–4x2 Loescribimosenformadediferencia.

16=(4)2 y4x2 =(2x)2 Lostérminossoncuadrados.

16 = 4 y 4x2 = 2x Poseenraízcuadradaexacta.

Yaquehayunsignomenosentre16y4x2,tenemosunadiferenciadedoscuadrados.

Recuerde:

La diferencia de dos cuadrados se des-compone en el producto de la suma por la diferencia de las bases de estos cuadrados, esto es, de las raíces cuadradas de estos.

Ensímbolos:

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

Ejemplos

A. Descomponerenfactores

a) x2–25 Solución:

Cómox2–25esunadiferenciadecuadradostal que x2 = x; 25 = 5 . Entonces la des-composiciónofactorizaciónes(x+5)(x–5)

Portantox2–25=(x+5)(x–5)

213


b) 14

− 0,49a2

Solución:

Como 14

− 0,49a2 esunadiferenciadecua-

dradosycomo

14

= 14

= 12 además 0,49a2 = (0,7a)2 = 0,7a

setieneque

14− 0,49a2 =

12+ 0,7a 1

2− 0,7a

B. Factorizar

1. 9a4–25

Solución:

Tenemosque9a4–25esunadiferenciade

cuadradosyademás

9a4 = (3a2 )2 = 3a2

25 = 52 = 5

Multiplicamos la suma de las raíces por ladiferenciaentrelaraízdelminuendoyladelsustraendo(3a2+5)(3a2–5).

Portanto9a4–25=(3a2+5)(3a2–5)

2. a2

4−

19

Solución:

Como a2

4−

19esunadiferenciadecuadradosy

a2

4=

a2

4=

a2

19

=19

=13

Importante

amn = am÷ n = a

mn

Ejemplo : x6 = x6 ÷ 2 = x3

3. –a8 + 1

Como–a8+1=1–a8,elbinomioesunadi-ferenciadecuadradosyademás

1 = 1

a8 = a8 ÷ 2 = a4

Multiplicamoslasumadelasraícescuadradasporladiferenciaentrelaraízdelminuendoyladelsustraendo(1+a4)(1–a4)

Pero observe, el segundo término de estafactorización (1–a4)siguesiendounadife-renciadecuadradosperfectos,porloqueesnecesariofactorizadodenuevo:

1 = 1

a4 = a42 = a2

Asítenemosque(1+a2)(1–a2)=1–a4

Otra veztenemosqueelfactor(1–a2)tambiénsiguesiendounadiferenciadecuadrados,elcualsedescomponecomo(1+a)(1–a);portanto:

–a8+1=1–a8=(1+a4)(1+a2)(1+a)(1–a)


214

4. (a+5)2–9

Solución:

(a+5)2–9 =((a+5)+3)((a+5)–3)

=(a+5+3)(a+5–3)

=(a+8)(a+2)

ACTIVIDAD 3

A. Factoricelassiguientesexpresionesutilizandoelmétododeladiferenciadecuadrados.

1. n2 − 1

2. x2 − 25

3. 1− 4m2

4. 16 − y2

5. 4x2 − 9

6. 4x2 − 81

7. 100 – m4

8. 25 − 4n2

9. −16 + 4b2

10. 14

− 9a2

11. a2

36−

1625

12. 121100

−y2

81

13. 1−a2

4

14. b2 −14

15. 100 −1

16a4

16. 64a2 −1

25

17. (7x + 1)2 − 81

18. (a + 4)2 − (a + 3)2

19. (3a + 6)2 − (4a − 5)2

20. (1+ 6c)2 − (− 1− c)2

1. n2 − 1

2. x2 − 25

3. 1− 4m2

4. 16 − y2

5. 4x2 − 9

6. 4x2 − 81

7. 100 – m4

8. 25 − 4n2

9. −16 + 4b2

10. 14

− 9a2

11. a2

36−

1625

12. 121100

−y2

81

13. 1−a2

4

14. b2 −14

15. 100 −1

16a4

16. 64a2 −1

25

17. (7x + 1)2 − 81

18. (a + 4)2 − (a + 3)2

19. (3a + 6)2 − (4a − 5)2

20. (1+ 6c)2 − (− 1− c)2

215


B.Factorice.

a) 162–9y2 _______ b) 16a2–9 _______

c) 25x2 –4 _______ d) 25m2–49 _______

e) 64y4–81 _______ f) –16+a12 _______

g) 121a8–100 _______ h) 50a10–72 _______

i) x4–1 _______ j) 4x4 –64 _______

k) 16–y4 _______ l) 5x4–80 _______

Trinomio cuadrado perfecto

Cuando estudiamos los productos notablesse observó que el cuadrado de un binomio esuntrinomio,talestrinomiossellamantrinomios cuadrados perfectos.

Porejemplo:

(x+5)2=x2+10x+25

(x–5)2=x2–10x+25

Lostrinomiosx2+10x+25yx2–10x+25sontrinomioscuadrados,porquesoncuadradosdeunbinomio.

Los siguientes puntos ayudan a identificarun trinomiocuadradocomo a2+2ab+b2 ó a2–2ab+b2.

❖ Dosdesustérminossoncuadradosperfectos,a2yb2.

❖ Nodebedehabersignomenosena2oenb2.

❖ Simultiplicamosaybyduplicamoselresul-tado,obtenemoseltercertérmino,2ab,osuopuesto,–2ab.

EJEMPLO 1

¿Esx2+8x+16untrinomiocuadrado?

Observequeestetrinomiocontienedostérmi-noscuadradosperfectos(x2y16),cuyasraícescuadradassonxy4respectivamente.

El doble producto de estas raíces es 2•x•4=8xquecoincideconeltérminorestantedeltrinomio.

Comodichotérminotienesignopositivo,en-tonceseltrinomiosedescomponeenelcuadradodeunasuma.

Luego,resulta:

x2+8x+16=(x+4)2

Porconsiguiente,x2+8x+16eselcuadradodelbinomio(x+4).

EJEMPLO 2

¿Esx2+6x+11untrinomiocuadrado?

Larespuestaesnoporquesólohayuntérminoalcuadrado.

¿Cuáles?

EJEMPLO 3

¿Es16a2–56a+49untrinomiocuadrado?

Sí.

❖ Dosdesustérminossoncuadradosperfectos.

16a2 =(4a)2

49 =(7)2


216

❖ Nohaysignomenosantesde16a2 ni de 49

❖ Si multiplicamos "4a y 7" y duplicamos elresultado, obtenemos el tercer término, 2•4a•7=56a

Porconsiguiente,16a2–56a+49es (4a–7b)2

C. Factorización de trinomios cuadradosParafactorizartrinomioscuadradospodemos

utilizarlasrelacionessiguientes.

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

EJEMPLOS

a) x2+6x+9=x2+2•x•3+32=(x+3)2

x3

2•x•3➠ El signo del término medio es positivo

b) 9a2–6a+1=(3a)2–2•3a•1+12=(3a–1)2

3a 1

2•3a•1➠ El signo del término medio es negativo.

c) 1–16x2+64x4=12–2•1•8x2+(8x2)2

18x2

2•1•8x2 ➠ El signo del término medio es negativo.

luego1–16x2+64x4=(1–8x2)2

d) 27 + 72n + 48n2=3(9 + 24n + 16n2) =3(3+4n)2

e) (y+3)2+2(y+3)+1

(y+3) 1

2•(y+3)•1➠ El signo del término medio es positivo.

Luego(y+3)2+2(y+3)+1=(y+3+1)2=(y+4)2

f) (y–2)2 –2(y–2)+1

(y–2) 1

2•(y–2)•1➠El signo del término medio es negativo.

Luego(y–2)2 –2(y–2)+1=(y– 2 –1)2=(y–3)2

A.¿Cuálesdelossiguientessontrinomioscua-dradosperfectos?

a) x2+8x+16 b) x2 –10x+25

c) x2–12x+4 d) 4x2+20x+25

e) 9x2–14x+16 f) 16x2+40x+25

B.Factoricecompletamentecadatrinomio.

a) x2+16x+64 b) x2 +14x+49

c) x2–2x+1 d) 1 –4y+4y2

e) 2x2–4x+2 f) x3–18x2+81x

g) 20x2 +100x+125 h) 5y4+10y2 + 5

i) 9x10+12x5+4 j) 1–2a3 + a6

k) 49(x+1)2–42(x+1)+9 l) (x+7)2–4x–24

m) (a+4)2–6a–15 n) 4–4(1–x)+(1–x)2

ACTIVIDAD 4

217


D. Factorización completa combinando el factor común y los productos notables

Hagamosotrosejemplos.

Silostérminosdelaexpresióntienenunfactorcomún,primerosacamoselfactorcomún.Luegocontinuamosconlafactorización.

Factorizar.

a) 49x4–9x6 =x4(49–9x2) =x4[(7)2–(3x)2] =x4(7+3x)(7–3x)

Sacamos el factor común x4.Factoriza la diferencia de cuadrados.

b)18a2–50a6=2a2(9–25a4) =2a2[(3)2–(5a2)2] =2a2(3–5a2)(3+5a2)

Sacamos el factor común 2a2.Factoriza la diferencia de cuadrados.

c)1–16x12=(1)2–(4x6)2

=(1–4x6)(1+4x6) =[(1)2–(2x3)2](1+4x6) =(1–2x3)(1+2x3)(1+4x6)

d)3x2 –42x–147=3(x2–14x+49)

x 7 =3(x–7)2

e) 20x2 +60x+45 =5(4x2 +12x+9)

2x 3

=5(2x+3)2

A. Descompongaenfactores.

a) a2(a–1)–9(a–1)=_________________

b) 49(x+2)–x2 (x+2)=_________________

c) b2(b–3)–(b–3)=________________

d) 3(x+3)2–27=___________________

e) 2(y–5)2 –72=___________________

f) 5(2y–7)2–20=_________________

g) 2x2 –12x+18=_________________

h)27x2+18x+3=_________________

i)3x–6x3+3x5=_________________

j)(x+2)2 +3x(x+2)2 =_________________

k)(2–3x)2 –(3x+2)2 =_________________

l)(2–3x)2 –(3x+2)2 =___________________

ACTIVIDAD 5


218

B.Determinarelmayorfactorcomúndecadapolinomio.

1) 2a2+12a 2) 9b2–81b

3) 12c2–6 4) 9d2 + 27

5) e2+9 6) 2f2–7

7) 3x2–12x+18 8) 18n2–27n+9

9) 2x4+6x3–10x2 10) 9y5–66y4+3y3

C.Factorizar

1) 3x2+12y2 2) 18x2–12y

3) x2+7x 4) 3x2–21x3

5) 6x2–4x 6) b3 +b2+b

7) a2b+ab2 8) 15a2c–3c

9) 25r2s–10rs2 10) –12x2–6x

D.Factorizarlassiguientesexpresiones

1) y(y–1)+2(y–1) 2) a(a–8)+9(a–8)

3) (4c+5)x–(4c+5) 4) (x+1)(2x+3)–(x+1)

5) (x–y)2+(x+y)(x–y) 6) 2m(m–n)–(m+n)(m–n)

7) (1–3c)+(1–3c)y2 8) –(1–2y)–8(2y–1)

219


1. Encuentreelfactorcomún,siexistealguno.

a)6a3 + 30a2;9a3 + 27 a2+9a Respuesta:_____________

b)24a4–15a3+6a;16a4 + 24a3–48a2–32a Respuesta:_____________

c)12b6–480b4;144b8+72b2 Respuesta:_____________

d)27x5–81x2+9x;8x4–16x+4 Respuesta:_____________

2. Halleelfactorcomúnenlassiguientesexpresiones.

a) 54a4b3 − 36a3b4

b) 30x2y − 24xy2 + 18x2y2

c) 28a3b2 + 42a4b2 − 56a5b3

d) 15a2x2 − 3a2x3 + 75a2x4 − 9a2x5

e) 12a2b3 − 30a3b2 − 42a4b + 18a2b4

f) 6xy + 6x + 6 + 6y

3.Halleelfactorcomúnyexpresecomoproductoslasexpresionessiguientes:

a)ab+ac= ____________ b)b2–2b= ____________

c)3m–3n= ____________ d)2c+8= ____________

e)2xy–10x= ____________ f)5y2+15y3= ____________



220

g)8m2–12mn= ____________ h)9a3x2–18ax3= ____________

i)x3+x2+2x= ____________ j)4a2–8a+2= ____________

k)2a2+4ab–6ac= ____________ l)6m3n2–12m2n+3m= ____________

m)9a5–6a2x+3a3x2= ____________ n)6a2b3–9ab+12b2= ____________

4.Factoricelassiguientesexpresiones:

a)4a+4b=

b)x2–xy=

c)b2c2+3bc3=

d)6x2–4xy=

e)1b2y2

2− 1b2y

2=

f)24x+28x3–56x4 =

5.Descompongaenfactores.

a)4(a+3)x–(a+3)=_______ d)3t(p–6)+(p–6)=_______ b)2m(b–5)+(b–5)=_______ e)–5(a–10)+x(a–10)–2(a–10)=_______

c)(2a–1)–(2a–1)3q=_______ f)7c(b2 +1)+3(b2+1)=_______

221



1.¿Cuálesdelossiguientessontrinomioscuadradosperfectos?

a)x2–14x+49 _______________ f)x2+2x+4 _______________

b)x2–16x+64 _______________ g)8x2+40x+25 _______________

c)x2+16x–64 _______________ h)9x2+18x+9 _______________

d)x2–14x–49 _______________ i)36m2–24m+16 _______________

e)x2–6x+9 _______________ j)16–56y+49y2 _______________

2.Transformeenproductoslostrinomiossiguientes:

a)x2+2x+1 _______________ b) n2–2n+1 _______________

c)a2+8a+16 _______________ d) y2–12y+36 _______________

e)m2 +14m+49 _______________ f) b2–3b+ 94

_______________ g)81+18p+p2 _______________ h) b2–10b+25 _______________

i)a4 + 8a2+16 _______________ j) 1–1,6y+0,64y2 _______________

3.Factorice.Recuerdequeprimerohayquebuscarunfactorcomún.

a)2x2–4x+2 _______________ e) 20x2+100x+125 _______________

b)2x2–40x+200 _______________ f) 12x2+36x+27 _______________

c)x3–18x2+81x _______________ g) 5y4+10y2 + 5 _______________

d)x3+24x2+144x _______________ h) 2a–4a4 + 2a7 _______________

4.Determinesicadaexpresiónesunadiferenciadedoscuadrados.

a)x2–4 _______________ e)x2–35 _______________

b)x2–36 _______________ f)x2–50 _______________


222

c)x2 + 36 _______________ g)–25+16x2 _______________

d)x2 + 4 _______________ h)–1+36x2 _______________

5. Factoricelossiguientespolinomios.

a) 24x4 + 60x3 − 18x2

b) 45x11 + 60x3 + 20x5

c) 4x2 − 9

d) 6x6 − 96x2

e) 12x9 − 36x6 + 27x3

f) x4 + 16 − 8x2

g) 8x4 − 84x3 + 18x2

h) 18x7 + 8x + 29x4

a) 24x4 + 60x3 − 18x2

b) 45x11 + 60x3 + 20x5

c) 4x2 − 9

d) 6x6 − 96x2

e) 12x9 − 36x6 + 27x3

f) x4 + 16 − 8x2

g) 8x4 − 84x3 + 18x2

h) 18x7 + 8x + 29x4

6.Factorice.

a)4x2–25 _______________ e)64y4–81 _______________

b)9a2–16 _______________ f)36x–49x3 _______________

c)100x2–1 _______________ g)81y6–25y2 _______________

d)16x6–25 _______________ h)8x2–98y2 _______________

7.Factorice.Observelosejemploseyfdelapágina216.

a)(y–2)2+2(y–2)+1= ___________________

b)4(x+5)2+20(x+5)+25= ___________________

c)(h+7)2–10(h+7)+25= ___________________

d)(b+4)2–2(b+4)+1= ___________________

e)49(a+1)2–42(a+1)+9= ___________________

223


Factorización de un trinomio que no es un cuadrado perfecto

Sitenemosuntrinomioenelcualnopuedenhallarse dos términos que correspondan, cadauno,auncuadradoperfectoyuntercertérminoquecorrespondaaldobleproductodelasbasesdeloscuadradosperfectos,entonceseltrinomionoserácuadradoperfectoylosmétodosqueseusanparafactorizarlosondiferentes.

Para verificar si es factorizable un trinomio ax2+bx+c,quenoescuadradoperfectoseobtieneloquesehadadoporllamarel discriminante.

Sellamadiscriminante del trinomio de se-gundo grado ax2+bx+c,alnúmeroqueresultadecalcular(b2–4ac)elcualselesimbolizacon∆ = b2 – 4ac, dondelasletrasa, bycrepresentannúmerosrealesfijosy∆lacuartaletradelalfabetogriego.

Ejemplos.

Calculemoseldiscriminantedelostrinomiosdesegundogrado.

Veamos.

A. Parax2+7x+12,setienequea=1,b=7, c=12.

Recuerde x2 = 1 • x2

Entonces ∆=b2–4ac=(7)2–4(1)(12)

=49–48

∆=1

B. En el caso x2 – x – 20 si a = 1, b = –1 y c=–20,tenemosque

∆=b2–4ac=(–1)2–4(1)(–20)

=1+80

∆=81

C. Parax2+8x+19,tenemosquea=1,b=8yc=19,luegoeldiscriminante

∆=b2–4ac=(8)2–4(1)(19) =64–76 ∆=–12

Comopodemosobservarlostrinomiosquenosoncuadradosperfectosposeenundiscriminanteque puede ser negativo, igual a cero o bien mayor que cero.

Enconsecuenciasetieneque:

1. Sieltrinomioax2+bx+cestalquesudis-criminanteesunnúmerorealmenorquecero(negativo),sedicequeenestecasoqueeltrinomionoesfactorizableenℝ,esdecir,esirreducibleenℝ.

2. Lostrinomiosquenosoncuadradosperfectos,ysudiscriminanteesmayorquecerooigualacero,comoporejemplo:

4x2+12x+9

tenemosqueb2–4ac=(12)2–4(4)(9) =144–144 ∆=0

Lafactorizaciónserealizavariandolosproce-dimientosanteriores.

A continuación estudiaremos el caso de trinomios que no son cuadrados perfectos pero que son trinomios de segundo grado con una

sola variable y de la forma ax2 + bx + c.

Factorización por inspecciónCaso 1

Estudiaremosahora,elcasoenelqueeltrino-mioax2+bx+cquenoesuncuadradoperfecto,tienediscriminantepositivo(mayorquecero)que


224

sepuededescomponerenlaforma(x+p)(x+q)endondelasletraspyqrepresentanrealesfijosyademáselcoeficientea,quemultiplicaalavariablecuandoestáelevadoalcuadrado,es igual a 1.

Comorecordaránparamultiplicar(x+3)por(x+7)seresuelvedelamanerasiguiente:

x+3 x+px+7 x+qx2+3x x2+px7x+21 qx+pqx2+10x+21 x2+(p+q)x+pq

Estamanerademultiplicar nosproporcionauna forma general para factorizar situacionessemejantes.

Nótesequelosfactoresdex2+10x+21son(x+3)y(x+7)ylosdex2+(p+q)y(x+q).

Engeneral,untrinomiodelaformaax2+bx+csepuededescomponerenfactores,elprimertérminodecadafactoresx,ylossegundostérminospyqsondosnúmeroscuyasumaesbycuyoproductoesc.

Esdecir;

Susumaesigualab;p+q=b

Suproductoesigualac;p•q=c

A. Veamoselejemplocuandoeltérminoconstanteespositivo.

1. Factorizarx2 + 7x + 12

En este trinomio a = 1 y el discriminante ∆=1,tambiéncomob=7yc=12,eltrinomiosepuedeexpresarcomo

x2+7x+12=(x+p)(x+q)

Parafactorizarx2+7x+12comopodemosapreciarelprimertérminodecadafactoresx.

(x+_____)(x+_____)

Acontinuaciónbuscamosdosnúmeroscuyoproductoes12ycuyasumaes7.

Producto 12 Suma2,6

12,1

3,4

8

13

7

Los números que necesitamos son 3 y 4.

Portantox2+7x+12=(x+3)(x+4)

2. Factorizarx2 – 8x + 12

Enestecaso tenemosquea=1yademásposeeundiscriminante∆=16.¡Verifíquelo!

Sabemosqueeltrinomiosepuededescom-ponerenlaforma(x+_____)(x+_____)

Ahorabuscaremosdosnúmeroscuyoproductoes12ycuyasumaes–8.Comoelcoeficientedel términomedioesnegativo,necesitamosdosnúmerosnegativoscuyoproductosea12ycuyasumasea–8.

Producto 12 Suma–1,–12

–2,–6

–3,–4

–13

–8

–7

Los números que necesitamos son – 2 y – 6.

Portantox2–8x+12=(x–2)(x–6)

3. Factorizara2 + 7ab + 10b2

Yaseaa2eselproductodeaya,b2eselpro-ductodebyb,buscamosdosbinomiosdelaforma.

(a+___b)(a+___b)

225


Buscamos dos números cuya suma es 7 ycuyoproductoes10.

Producto 10 Suma

1,10

2,5

11

7

Los números que necesitamos son 2 y 5.

a2+7ab+10b2=(a+2b)(a+5b)

B. Veamosejemploscuandoel término cons-tante es negativo.

Algunasveceseltérminoconstantedeuntri-nomioesnegativo.Enestecaso,el término mediopuedeserpositivoonegativo.

1. Factorizarx2 – 8x – 20.

Encontrardosnúmeroscuyasumasea–8ycuyoproductosea–20.

Producto – 20 Suma

–1,201,–20–2,102,–104,–5–4,5

19–19

8–8–11

Losnúmerosquenecesitamosson2y–10.

Portantox2–8x–20=(x+2)(x–10)

También podemos considerar en este casosituacionescomolasiguiente:

2. Factorizara2 + ab – 6b2.

Buscamosdosbinomiosdelaforma(a__b)(a__b).Esdecir,debemosencontrardosnúmeroscuyasumasea1ycuyoproductosea–6.

Producto – 6 Suma

1,–6–1,62,–3–2,3

–55–11

Los números que necesitamos son –2 y 3.

Luegoa2+ab–6b2=(a–2b)(a+3b)

A. Obtenereldiscriminantedecadaunodelossiguientestrinomios.

1. x2+5x+6 6. x2–7x+12

2. x2+6x+5 7. x2–8x–9

3. x2+10x+24 8. x2+9x+14

4. x2–6x–16 9. x2–1

5. x2+x–6 10. x2+2x–48

B. Factorizar.

1. x2+7x+12 8. m2+8mm+15n2

2. x2+13x+36 9. a2+5ab+6b2

3. x2–8x+15 10. p2+6pq+8q2

4. x2–7x+12 11. a2+5ab–14b2

5. x2+4x–12 12. x2–xy–30y2

6. x2–21x–100 13. 4x2+40x+100

7. x2–21x–72 14. 120y2–23xy+x2

ACTIVIDAD 6


226

Caso 2

Supongamosqueelcoeficienteprincipala de un trinomionoes1.Consideremos la siguientemultiplicación.

(2x+5)(3x+4)=6x2+8x+15+20

=6x2+23x+20

Parafactorizarlostrinomiosax2+bx+ccomoelhalladoanteriormentebuscamoslosbinomios(__x+___)(__x+___)dondelosproductosdelosnúmerosquevanenlosespaciossoncomosigue.

1. Losnúmerosdeprimerespaciodecadabino-miodanelproductoa.

2. Losnúmerosdelúltimoespaciodecadabino-miodanelproductoc.

3. Losproductosexterioreinteriordanlasumab.

Ejemplos

1. Factorizar3x2 + 5x + 2

Primerobuscamosunfactorcomúnatodoslostérminos.Nohayninguno.Ahorabuscamosdosnúmeroscuyoproductosea3.

1,3ó–1,–3

Ahorabuscamosnúmeroscuyoproductosea2.

1,2ó–1,–2

Yaqueelúltimotérminodeltrinomioespositivo,los signosde los segundos términosdebenser iguales.Aquí tenemosalgunas posiblesfactorizaciones.

(x+1)(3x+2)ó(x+2)(3x+1)

(x–1)(3x–2)ó(x–2)(3x–1)

Cuandomultiplicamos,elprimerotérminoserá3x2yelúltimoserá2encadacaso.Solo laprimeramultiplicacióndaeltérminode5x.

3x2+5x+2=(x+1)(3x+2)

2. Factorizar2x2 + 5x – 12

Primeros términos: Encontrar dos númeroscuyoproductosea2.

Últimostérminos:Encontrardosnúmeroscuyoproductosea–12

(2x + 3)(x – 4) (2x – 2)(x + 6) (2x – 1)(x + 12)

(2x – 3)(x + 4) (2x + 2)(x – 6) (2x – 12)(x + 1)

Elproductoexteriormáselproducto interiordebeseriguala5x.

2x2+5x–12=(2x–3)(x+4)

3. Factorizar8m2 + 8m – 6

8m2+8m–6=2(4m2+4m–3)

Primeros términos: Encontrar dos númeroscuyoproductosea4.

Últimostérminos:Encontrardosnúmeroscuyoproductosea–3.

(4m + 3)(m – 1) (4m – 3)(m + 1) (2m + 3)(2m – 1)

(4m – 1)(m + 3) (4m + 1)(m – 3) (2m – 3)(2m + 1)

Elproductoexteriormáselproducto interiordebeseriguala4m.

8m2+8m–6=2(4m2+4m–3)

=2(2m+3)(2m–1)

Factorizar

a) 6x2+7x+2 b) 8x2+10x–3

c) 6x2–41x–7 d) 3x2–21x+36

e) 8x2–2 f) 9a2–15a–6

Facto

rizac

iones

po

sibles

Facto

rizac

iones

po

sibles

ACTIVIDAD 7

227


g) 2x2+4x–6 h) 4a2+2a–6

i) 6m2+15mn–9n2 j) 20+6x–2x2

k) 2x2+x–1 l) 30b2–b–20

Factorización por el método de completar cuadradosCaso 1

Estemétodoseutilizaenelcasodequeeltrinomionoesuncuadradoperfecto.

Ejemplos

A. Consideremoselcasode4x2–20x+9.Aquítenemosque (4x2) esuncuadradoperfectocuyabasees2x,yaque

(2x)2=4x2

y por otra parte, (–20x) es un término quecorrespondeaunproductoenelcual(2x)esunfactor,yaque

–20x=(2x)(–10)

Porlotantoseconservaninvarianteslostérmi-nos(4x2)y(–20x)ydebemossumar y restar un término que sea un cuadrado perfecto yqueunidoa(4x2)ya(–20x)constituyanuntrinomiocuadradoperfecto.

Paraobtenerestetérmino,sedivideelsumando(–20x),poreldobledelabasedelcuadradoperfectoquesehamantenidoinvariante:

−20x2(2x)

= −5

yelresultadodeestadivisiónelevadoalcua-dradoeseltérminobuscado,estoes,

(–5)2=25

Deesta forma,sumandoyrestando25a laexpresiónoriginal,setiene

4x2–20x+9=4x2–20x+9+25–25

=(4x2–20x+25)+(9–25)

=(4x2–20x+25)+(–16)

Sumamos y restamos 25 para no alterar.

Conmutamos al 9 con el 25.

Segundo producto notable a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

Factorizandoelprimersumando(primerpa-réntesis)comountrinomiocuadradoperfectosetiene

4x2–20x+9=(2x–5)2+(–16)

=(2x–5)2–(16)

=(2x–5)2–(4)2

Comopodemosobservar,laúltimaexpresióndelmiembrodeladerechacorrespondeaunadiferencia de cuadradosque,comohemosvisto,sepuedefactorizarcomolasumaporladiferenciadelasbases,lascualesenestecasoson(2x–5)y4,porlotanto,

4x2–20x+9=(2x–5)2–(4)2

=(2x–5+4)(2x–5–4)

=(2x–1)(2x–9)

Porlotantolafactorizacióncompletade

4x2–20x+9=(2x–1)(2x–9)

B. Factorizar9a2 + 12a – 5

Semantieneinvarianteelcuadradoperfecto(9a2)yeltérmino(12a).


228

Paracalculareltérminoquesedebesumaryrestarsetiene

12a2(3a)

= 2

Luego,como(2)2=4,el términoasumaryrestares4,

9a2+12a–5=9a2+12a–5+4–4 =(9a2+12a+4)+(–5–4) =(9a2+12a+4)+(–9) =(9a2+12a+4)–(9) =(3a+2)2–(3)2

=(3a+2+3)(3a+2–3) =(3a+5)(3a–1)

C. Factorizarx2 – 5x + 4 Estenoesuntrinomiocuadradoperfecto,pues

eltérminocentraldebeser–2(1x)(2)=–4x.Observe que los términos extremos si soncuadradosperfectos,x2=(x)2y4=(2)2.

Siguiendo el mismo procedimiento anterior,tenemosque −5x

2(1x)= −5

2

Como −52

= 25

4,eltérminoasumaryrestar

es 254

x2 − 5x + 4 = x2 − 5x + 4 + 254

− 254

= x2 − 5x + 254

+ −254

+ 4

= x − 52

2

+ −25 + 164

= x − 52

2

− 94

= x − 52

+ 32

x − 5

2− 3

2

= x − 22

x − 8

2

= (x − 1)(x − 4)

Portantox2–5x+4=(x–1)(x–4)

A. Completarloscuadradosydarelequivalentecuadradodeunbinomio.

a) x2+14x+49=(x+7)2

b) x2–20x+_____=_____

c) x2+5x+_____=_____

d) y2 + 43y+_____=_____

e) x2+6x+_____=_____

f) x4–8x2+_____=_____

g) 25x2–10x+_____=_____

h) x2–5x+_____=_____

B. Factorizarutilizandoelmétododecompletarcuadrados.

a) x2–x–6=

b) y2–8y+15=

c) x2+5x–14=

d) c2+5c–24=

e) x2–3x–28=

f) a2+12a+35=

g) b2–7b+10=

h) a2 − 56

a + 16=

ACTIVIDAD 8

229


CASO 2

Cuando no es posible factorizar el trinomiocuadradoperfectosecompletaconlaúnicafinalidaddepoderfactorizaraltrinomioresultante.

Recordemosquealelevarunbinomioalcua-dradoseproduceuntrinomiocuadradoperfecto.

(a+b)2=a2+2ab+b2

ó

(a–b)2=a2–2ab+b2

Porloque,alfactorizaruntrinomiocuadradoperfecto,obtenemosunbinomioalcuadrado:

a2+2ab+b2=(a+b)2

ó

a2–2ab+b2=(a–b)2

Loqueharemosacontinuaciónseráagregarel término independiente representado por “b2”paraque,alestarcompletoeltrinomiocuadradoperfecto,obtengamosunaexpresiónsemejantealasiguiente:

a2+px+q=(x+h)2 + k

Paracompletareltrinomiocuadradoperfectoyasífactorizarloscomobinomiosalcuadradoserealizaelsiguienteprocedimiento:

Ejemplos

Expresardelaformaa2+px+q=(x+h)2 + k eltrinomiosiguiente:x2+12x–3

Recuerdeque:

Eltérminocuadráticoesx2

Eltérminolineales+12x

Eltérminoindependientees–3

Elcoeficientedeltérminolineal (el 12) se divideentredosyesecocienteseelevaalcuadrado.

122

2

= 62 = 36

Elresultadovaacomple-tar el trinomio para queseauntrinomiocuadradoperfecto.Paranomodifi-carlaexpresiónmatemá-tica,sesumaytambiénserestaestenúmero.

x2+12x+36–36–3

(x2+12x+36)–39

Parafactorizareltrinomiocuadradoperfectoseob-tiene la raíz del términocuadráticoydel términoindependiente.

x2 = x 36 = 6

Conlaliteral“x”,elnúme-royelsignodeltérminolineal del trinomio cua-dradoperfectose formael binomio al cuadrado,queeslafactorizacióndex2+12x–3.

(x+6)2–39

Expresardelaformaa2+px+q=(x+h)2+keltrinomiosiguiente:x2–8x+4

Recuerdeque:


Eltérminolineales–8x

Eltérminoindependientees+4

Elcoeficientedeltérminolineal(el8)sedivideentredos y ese cociente seelevaalcuadrado.

82

2

= 42 = 16

1

2


230


x2–8x+16–16+4

(x2–8x+16)–12

Parafactorizareltrinomiocuadradoperfectoseob-tiene la raízdel términocuadráticoydeltérminoindependiente.

x2 = x 16 = 4

Conlaliteral“x”,elnúme-royelsignodeltérminolineal del trinomio cua-dradoperfectoseformael binomio al cuadrado,queeslafactorizacióndex2–8x+4.

(x–4)2–12

Expresardelaforma,a2+px+q=(x+h)2 + k eltrinomiosiguiente:x2+x–1

Recuerdeque: Eltérminocuadráticoesx2

Eltérminolineales+1x Eltérminoindependientees–1Elcoeficientedeltérminolineal(el1)sedivideentredos y ese cociente seelevaalcuadrado.

12

2

= 12

22 = 14


x2 + x + 14

− 1

4− 1

x2 + x + 14

− 5

4

3

Parafactorizareltrinomiocuadradoperfectoseob-tiene la raízdel términocuadráticoydeltérminoindependiente.

x2 = x 14

= 12

Conlaliteral“x”,elnúme-royelsignodeltérminolineal del trinomio cua-dradoperfectoseformael binomio al cuadrado,que es la factorizacióndex2+x–1.

x + 12

2

− 54

Expresardelaformaa2+px+q=(x+h)2 + k eltrinomiosiguiente:x2–3x+8

Recuerdeque:


Eltérminolineales–3x

Eltérminoindependientees8

Elcoeficientedeltérminolineal(el3)sedivideentredos y ese cociente seelevaalcuadrado.

32

2

= 32

22 = 94


x2 − 3x + 94

− 9

4+ 8

x2 − 3x + 94

+ 23

4

Parafactorizareltrinomiocuadradoperfectoseob-tiene la raízdel términocuadráticoydel términoindependiente.

x2 = x 94

= 32

4

231


Conlaliteral“x”,elnúme-royelsignodeltérminolineal del trinomio cua-dradoperfectoseformael binomio al cuadrado,queeslafactorizacióndex2+12x–3.

x − 32

2

+ 234

Transformecadaunodelossiguientestrino-miosentrinomioscuadradosperfectosalaforma:a(x–h)2 + k.

a) x2+8x–1=

b) x2–6x+2=

c) x2+10x+10=

ACTIVIDAD 9

d) x2–x+5=

e) x2–5x–1=

f) x2+11x+11=

En el libro de Matemática 1 volveremos a considerar a esta forma de factorizar un trinomio debido a que completar el cuadrado es una herramienta útil cuando convertimos una ecuación cuadrática que está en la forma estándar de una ecuación cuadrática y = ax2 + bx + c a una que está en la forma vértice de una ecuación cuadrática, o y = a(x – h)2 + k.

En la forma vértice, el punto (h, k) será el vértice, el cual es el punto más bajo de una parábola (si el valor de a es positivo y la parábola se abra hacia arriba) o el punto más alto (si el valor de a es negativo y la parábola se abre hacia abajo).


232

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Otradelasoperacionesquesepuederealizarcon polinomios es la división, puesto que pararealizaroperacionesconpolinomiosseutilizanlaspropiedadesdelosnúmerosrealesyademáslasleyessobrelaspotenciasyautilizadasMatemáticaUjarrás2016.

Muchassonlasjustificacionesquesepuedendarsobreelusoydesarrollodeestaoperación;podemosdecir,quesuorigenesnetamenteprác-tico,yqueenlamayoríadeloscasosloquesepretendeesresolverunanecesidadinmediata:uncasoconcreto.Tambiénveremoscasosdondeyanosonsituacionesnormalesparanosotros,sinoquesumanejonosvaapermitirdesarrollardes-trezasmatemáticas,otrodelosobjetivosdeestelibroMatemáticaZapandí2016.

Peroantesrecordemoslosiguientesobreladivisióndepotencias.

1. Sielexponentedelnumeradores mayor que elexponentedeldenominadorseconservalabaseyselerestaelmenordelosexponentesalmayor.

Si mesmayorquen

am ÷ an=am–n

Ejemplos

a) x7

x6 = x7−6 = x1 = x

b) y12 ÷y6=y12–6=y6

2. Silosexponentessoniguales,setratadeladivisióndeunnúmeroporsímismo,elcocientevaldrá1.

Si mesigualquen

am ÷ an=a0 =1

Ejemplos:

a) 52 ÷ 52 = 52

52 = 2525

= 1

b) a2 ÷ a2 = a2

a2 = a2−2 = a0 = 1

3. Sielexponentedeldenominadores el mayor, elcocienteseráotrafraccióndenumerador1 ydenominadorlabaseelevadaaladiferenciadelosexponentes.

Si mesmenorquenam ÷ an = 1

an − m

Ejemplos:

a) a2

a6 =1

a6 − 2 =1

a4

b) a2

a4 =1

a4 − 2 =1

a2

Otras de las expresiones algebraicas que se pueden simplificar son los productos notables

a )(a + b)3

(a + b)= (a + b)3 −1 = (a + b)2

b)(7x + 1)4

(7x + 1)2= (7x + 1)4 − 2 = (7x + 1)2

a )(a + b)3

(a + b)= (a + b)3 −1 = (a + b)2

b)(7x + 1)4

(7x + 1)2= (7x + 1)4 − 2 = (7x + 1)2

233


Tengapresentequelabaseseconservayserestan losexponentes;enelcasode (a + b)elexponenteeselnúmero1.

☞ IMPORTANTE:EnÁlgebra ladivisiónseindicageneralmenteporlalíneafraccionaria.

Veamos otros ejemplos de división de polinomios, en este caso división de monomios entre monomios

a) Dividir–8(x3y)4 entre2(x2y2)3

− 8(x3y)4 entre 2(x2y2 )3 =− 8(x3y)4

2(x2y2 )3

=− 8x12y4

2x6y6

=− 4 • 2x12 − 6

2y6 − 4

=− 4x6

y2

Importante:❖ Paradividirestetipodemonomiosconparénte-

sis,aplicamoslaleydepotencias: para elevar a potencia un producto: (ambn)x = am•xbn•x .

❖ Para obtener el cociente − 4x6

y2 utilizamos

lasleyesdesignosestudiadasdedivisióndepotenciasdeigualbase.

b) Dividir4a3b2entre–2ab

Solución: 4a3b2 ÷ − 2ab

4a3b2

− 2ab=

− 2a2b

c) Dividir–5a4b3entre–a2b8

Solución:

d) Dividir–20x2y3 entre4x6y7

Solución:

− 20x2y3 ÷ 4x6y7 =− 20x2y3

4x6y7 =

− 5x2 − 6y3 − 7 =

− 5x− 4y− 4 =− 5x4y4

Recuerde:

Si dividen o simplifican el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el que tiene en el divisor. El signo estará dado por la ley de signos.

b−5 = 1b5


234

ACTIVIDAD 1

Efectúelassiguientesdivisiones.

1. (x2x3 )4

(x4 )3= __________

2. 3(x2y3 )2

−18(xy)4= __________

3. −(a2b3 )4

3ab4 = __________

4. −(2m6n3 )5

4(−3m2n3 )2= __________

5. −6(p2q3 )2

12p7q2 = __________

6. 2(x4y3 )2

−3(xy)5= __________

I. División de un binomio por un monomio

Elcocientedeunbinomioporunmonomioeslasumadeloscocientes,queresultandedividircadaunodelostérminosdelbinomioporelmonomio.

Veamoscuáleslarazón.

Unaformadesimplificarlaexpresiónnumérica(12+9)÷3esusarlaspropiedadesconocidas.

Así.

(12+9)÷3=12÷ 3 + 9 ÷3=4+3=7

Oasí.

12 + 93

=123

+93

= 4 + 3 = 7

Estotambiénsecumpleenladivisióndelosbinomiosporlosmonomios.

Engeneral:

a + bx

=ax

+bx

Dondex esunmonomiodistintodecero.

Consideremos algunos ejemplos.

Ejemplo 1

Dividir 15a3b2 –9abentre3ab

15a3b2 − 9ab

3ab=

15a3b2

3ab−

9ab3ab

=

5a2b − 3

Ejemplo 2

Dividir–81m4n8+108m8n4entre–9m3n3

− 81m4n8 + 108m8n4

− 9m3n3 =

− 81m4n8

− 9m3n3 +108m8n4

− 9m3n3 =

9mn5 − 12m5n

235


Determineloscocientes.

1. 3x2 + 9x3x

= ____________

2. 5y + 1510

= ____________

3. 35p4m + 75p2m3

5p2m= ____________

4. 35m4q3 − 15m5q2

−5m3 = ____________

5. 64a2b3 − 48a4b3

− 4a2b2 = ____________

6. 5a2b2 − a2b2

ab2 = ____________

7. 4a2b3 − 6a2b5

24ab2 = ____________

8. − 2a6b3 − 16a2b3

− 6ab= ____________

II. División de un trinomio por un monomio

Paradividirun trinomioporunmonomiosedividencadaunodelostérminosdeltrinomioporel monomio separando los cocientes parcialesconsuspropiossignos,loquerepresentalaLeyDistributivadeladivisión.

ACTIVIDAD 2

ACTIVIDAD 3

Ejemplos:

1. Dividir(3a3 –6a2b+9ab2)entre3a

2. Dividir(6a8b8 –3a6b6–a2b3)÷3a2b3

6a8b8 − 3a6b6 − a2b3( ) ÷ 3a2b3 =

6a8b8 − 3a6b6 − a2b33

3a2b3 =

6a8b8

3a2b3 −3a6b6

3a2b3 −a2b3

3a2b3 =

2a6b5 − a4b3 −13

Determineloscocientesde

1. x3 + 10x2 − 8x( ) entre −2x

2. 4x3 + 6x − 5( ) entre 2

3. 3a3 − 5ab2 − 6a2b3( ) entre −2a

4. x3 − 4x2 + x( ) entre x

5. 4x8 − 10x6 − 5x4( ) entre 2x3

6. 6m3 − 8m2n + 20mn2( ) entre − 2m

7. x4 − 5x3 + 15x( ) entre − 5x

8. − 2m2n3 − 14mn3 − 6mn( ) entre −8mn


236

1. x3 + 10x2 − 8x( ) entre −2x

2. 4x3 + 6x − 5( ) entre 2

3. 3a3 − 5ab2 − 6a2b3( ) entre −2a

4. x3 − 4x2 + x( ) entre x

5. 4x8 − 10x6 − 5x4( ) entre 2x3

6. 6m3 − 8m2n + 20mn2( ) entre − 2m

7. x4 − 5x3 + 15x( ) entre − 5x

8. − 2m2n3 − 14mn3 − 6mn( ) entre −8mnIII. División de un binomio entre un binomio

Cuando estudiamos la operación división,nunca pensamos que llegaríamos a dividir otracosaquenofueran"números".

Casossemejantesa37÷4eranmuyfamiliares.

37 4 -36 9 1Esdecir37=9•4+1

Unasituaciónsimilarsepresenteconlospo-linomiosdeunasolavariable,talescomox2 –1,x2 –7x+1ymuchosotrosmás.

Dividirx2–1entrex+1

Solución Procedimientox2 –1x+1 1. Seordenanlosbinomios

enformadescendente.x2____–1x+1 2. Sedejaelespaciopara

eltérminodegrado1(x)x2_____–1 x+1 x

3. Sedivideelprimertérmi-nodeldividendoporelprimertérminodeldivisor(x2÷x=x).

x2–1x+1–(x2 +x) x–x–1

4. Semultiplicaesteprimertérminodelcocienteporelbinomiodivisor; x(x+1)=x2 +x.Esteresultadoserestadeldividendo(x2 –1).

x2–1 x+1–x2–x x–1–x–1

5. Sedivideelprimertérmi-nodelresiduoparcial (–x–1)porelprimertérminodeldivisor (x+1);así(x÷–x=–1

x2–1 x+1–x2–x x–1–x–1–(x+1) 0

6. Semultiplicaestesegun-dotérminodelcocienteporeldivisor; –1(x+1)=–x–1.Luegoserestadeldividendoparcial.Observequecadatérminodelproduc-tocambióasuopuesto.Debidoaestotenemoselresiduo0.

Deacuerdoalprocedimientoanteriorsetienequedividirx2–1entrex+1esigualax–1.

Otro ejemplo

Dividor(4x2 –1)entre(2x+3)

Solución:

Loordenamosdescendentementeasíobsérvesequehayquedejar el espacioparael polinomioausentexenelbinomiodividendo(4x2 –1)

4x2–1 2x+3–(4x2 +6x) 2x–3–6x–1–(–6x–9) 81. Dividimos(4x2)÷(2x)=2x.

2. Multiplicamos2x(2x+3)=4x2+6x.

3. Elresultadoanteriorlorestamosde (4x2–1).

4. Dividimoselprimer términodel residuopar-cial(–6x–1)porelprimertérminodeldivisor (2x+3)

(–6x)÷(2x)=–3

237


5. Multiplicamos–3(2x+3)=–6x–9yselorestamosa–6x–1.

6. Obtenemosunresiduoparcial8.

Asíentoncestenemosquedividir

4x2–1entre2x+3esigualalcociente2x–3yunresiduo8

Observe

–6x–1 esigual –6x–1 estoes –6x–1–(–6x–9) +6x+9 +6x+9 0 + 8 8

Divida.

1. (2–4b2)entre(1+b)

2. (25–36x4)entre(5–6x2)

3. (1–x2)entre(1–x)

4. (2x2–18)entre(x+3)

5. (9–x4)entre(3–x2)

6. (10x2–6)entre(2x+8)

7. (3x2–2)entre(x–4)

8. (x2–9)entre(x+5)

IV. División de un trinomio por un binomio

Anteriormentehemosdivididounbinomioporunbinomio,tambiénpodemosdividiruntrinomioporunbinomio.Consideremoslossiguientes:

ACTIVIDAD 4

Dividir (x2 – 5x + 7)porx + 1

Solución Procedimientox2–5x+7x+1 1. Seordenanlospoli-

nomiosenformadescendente.

x2–5x+7x+1x

2. Sedivideelprimertérminodeldivi-dendoporelprimertérminodeldivisor(x2÷x=x)

x2–5x+7x+1–(x2+x)x–6x+7

3. Semultiplicaesteprimertérminodelcocienteporelpoli-nomiodivisor; x(x+1)=x2+x.Eseresultadoserestadeldividendo (x2–5x+7).

x2–5x+7x+1–x2–xx–6–6x+7

4. Sedivideelprimertérminodelresiduoparcialporelprimertérminodeldivisor(–6x÷x=–6)

x2–5x+7x+1–x2–xx–6–6x+7+6x+6 13

5. Semultiplicaestesegundotérminodelcocienteporeldivisor;–6(x+1)=–6x–6.Luegoserestadeldividendoparcial.Recuerdequecadatérminodelproductocambiaporsuopues-to.Debidoaestotenemoselresiduo13.

Observequehemostransformadoelpolinomio.

x2–5x+7=(x+1)(x–6)+13 dividendo divisor cociente residuo


238

Veamosotrosejemplos.

2. Dividir(x2 + x3 + 2)por1 + x2

Paradividirdospolinomiosordenamosaambosenformadescendente:

x3+x2+2porx2 + 1

Colocamos lospolinomiosyaordenadosenformadescendente, como lo hacemosparaunadivisióndenúmerosreales:

divisor

(x3+x2+2)÷(x2+1) dividendo

Dividimoslapotenciademayorexponentedeldividendoporlamayorpotenciadeldivisor.

Así:x3 ÷x2=x, x3+x2+2x2 + 1 x

Semultiplicaesteprimertérminodelcocien-teporelpolinomiodivisorx(x2+1)=x3+x

Restamosesteresultadodeldividendo:

x3+x2+0x+2 x2 + 1 –x3–x xx2–x+2

Repetimoselproceso,dividimoslapotenciademayorexponentedelpolinomiox2–x+2porlapotenciademayorexponentedeldivisorx2+1,esdecir:x2 ÷ x2=1.

x3+x2+0x+2 x2 + 1 –x3–x x+1x2–x+2

Multiplicamos1•(x2+1)=x2+1ycolocamosesteresultadodebajodeldividendo,respetandoel

ordendelaspotencias,yconsentidocontrariouopuestoenelresutladodelproducto..

x3+x2+0x+2 x2 + 1 –x3–x x+1x2–x+2 –x2–1

Restamosx2+1dex2–x+2

x3+x2+0x+2 x2 + 1 –x3– x x+1x2–x+2cociente –x2–1 –x+1 residuo

Recuerde:

Dejamos de dividir cuando el grado del residuo (– x + 1) es menor que el grado de divisor (x2 + 1)

Por lo tanto

x3 + x2 + 2 = (x2 + 1) (x + 1) + (– x + 1)

dividendo divisor cociente residuo

3.Vamosadividir:(x3 – 2x – 35) ÷ (x + 5)

Colocamoslospolinomiosordenadosenpo-tenciasdemayoramenor:

x2–2x–35x+5

Dividimoslapotenciademayorexponentedeldividendoporlapotenciademayorexponentedeldivisor:

239


Así, x2–2x–35x+5 x

x2÷x=x

Multiplicamoselresultadoporeldivisor: x(x+5)=x2+5x

Colocamosesteresultadodebajodeldividen-do, respetandoelordende las potenciasyconsignoopuestoal resultadodelproducto x(x+5)=x2+5xestoes–x2–5x.

x2–2x–35x+5 –(x2+5x) x

Restamosesteresultadodeldividendo:

x2–2x–35x+5 –x2–5xx –7x–35

Repetimoselproceso,dividimoslapotenciademayorexponentede–7x–35porlapotenciademayorexponentedeldivisor:–7x÷x=–7

x2–2x–35x+5 –(x2+5x)x–7 –7x–35

Multiplicamos–7(x+5)=–7x–35ycolo-camosesteresultadorespetandoelordendelaspotenciasyconsignoopuesto,7x+35.

x2–2x–35x+5 –x2+5xx–7 –7x–35 +7x+35

Restamos: x2–2x–35x+5 –x2–5xx–7 –7x–35cociente +7x+35 0

residuo

En este caso, hemos obtenido un residuoigualacero.

Decimosentoncesqueelpolinomio x2–2x–35esdivisibleporelpolinomiox+5

Porlotanto,tenemosque

x2–2x–3=(x+5)(x–7)

División sintéticaA. Divisióndeuntrinomioentreunbinomiodela

forma(x-a),siendoa unnúmeroreal.

1. Analicemosladivisiónsiguiente:

x2–5x+7 x+1 –x2–x x–6 –6x+7+6x+6 13

Pararesolverestetipodedivisionessecreóunmétodomásrápidoysencillodondeseutilizasololoscoeficientes.

Enlugardeescribirtodoslospasos,veamoselsiguientearreglodenúmeros.


240

coeficientes del Siempre consideramosdividendo del binomio (x – a) el valor opuesto

de a o bien lo podemos hacer así: x – a = 0 cuando x = a

1 – 5 7 –1 De donde podemos decir que

– 1 6 (x2 – 5x + 7) ÷ (x + 1) = x – 6

1 – 6 13 con un residuo (r) de 13 1(–1) + –5 –6 (–1) + 7

coeficiente residuo del cociente

Observe:

a)Elgradodelcocientees un grado menorqueelgradodeldividendo.(x–6)

b)Elprimercoeficienteesigualalprimercoefi-cientedeldividendo(1)

c)Cadaunodelosdemáscoeficientesdelcocienteseobtienemultiplicandoelcoeficienteanteriorporelopuestode"a"ysumandoesteproductoalcoeficientesiguientedeldividendo.

1(–1)+— 5=–6y–6(–1)+7=13

d)Elresiduo(13)esigualalproductodelúltimocoeficientedelcocientemáseltérminocons-tantedeldividendo.

Recuerde

Como el grado del residuo ha de ser inferior al del divisor que es 1, el residuo en estas divisiones es siempre un número real.

Si al ordenar el polinomio en forma des-cendente falta un término, se completa este con un cero.

2. Divida (5x2 + 2 + 7x)por (2 + x)

Antesdecomenzaradividirutilizandodivisiónsintética, ordenamosel polinomiodividendo5x2 + 2 + 7x en la forma descendente, así5x2 + 7x + 2. Lo mismo con el polinomio 2 + x = x + 2.

Utilizamos los coeficientes del dividendo y el valoropuestodelnúmeroconstantedelpolinomiodivisor.

Deestamanera:

5 7 2 –2

–10 6

5 –3 8

Recuerde:

El coeficiente del cociente es un grado menor: 5x – 3

El residuo es el último número donde se encuentra ubicado el cociente. Residuo = 8

Entonces, 5x2 + 7x + 2 = (5x – 3)(x + 2) y un residuo 8.

2. Divida (3x2 + 6x – 7)por(x – 1)

Utilizandoloscoeficientesdeldividendoyelvaloropuestodelnúmeroconstantedelpoli-nomiodivisortenemosque:

3 6 –7 1

3 9

3 9 2

Cociente:3x+9 Residuo:2 Entonces 3x2+6x–7=(3x+9)(x–1)+2

241


Residuo

Residuo

B. Divisióndeuntrinomioentreunbinomiodelaforma(ax+b)

1. Dividir4x2–9x+1por2x+3

Solución:

Paso1.Tomamoseldivisor2x+3yloigua-lamosacero;así:

2x + 3 = 02x = − 3

x =− 32

Consideramosloscoeficientesdelpolinomio(trinomio)así:

4 – 9 1 −32

− 122

= − 6 452

4 − 15 472

4x–15

Importante

Losnúmeros4y–15excluyendoelresiduo 472

debenserdivididosporelcoeficientedeldivisor(2x+3).Asítenemosque 4

2= 2, − 15

2=

− 152

,

porlotanto,elcocientede(4x2–9x+1)÷(2x+3) esc:2x–15

2yelresiduo 47

2

Verifiquemosque:

4x2 − 9x + 1 = 2x + 3( ) 2x −152

+ 472

= 4x2 −302x + 6x −

452

+472

= 4x2 − 15x + 6x +22

= 4x2 − 9x + 1

2. Dividir–3x2+4x+15entre(3x+5)

Solución:

Eldivisores(3x+5);esteloigualamosaceroasí:

3x + 5 = 03x = − 5

x =− 53

Considerandoloscoeficientesdelpolinomioasí:

− 3 4 15 − 53

153

= 5 − 453

− 3 9 0 –3x+9

Recuerde

Losnúmeros–3y9,excluyendoelre-siduo0;debeserdividoporcoeficientedeldivisor(x+5);así;

Porlotantoalrealizarladivisiónsintéticade–3x2+4x+15entre3x+5seobtienecomocociente:–x+3yresiduor:0

Dividapordivisiónsintética.

a) x2 + 5x + 6x + 2

=

b) x2 − 15x + 56x − 7

=

c) n2 − 7n − 9( ) ÷ n + 1( ) =

d) 4 − 8n + 3n2( ) ÷ 3n − 2( ) =

e) x2 − 7x + 5( ) entre (x − 3) =

f) x2 − x − 6( ) entre (x − 3) =

g) a2 − 5a + 1( ) entre a + 2( ) =

h) 2x2 − 7x + 1( ) entre x − 4( ) =

i) 3x2 + 5x + 1( ) entre 2x − 1( ) =

j) 10x2 + 8 − 7x( ) entre − 3 + 5x( ) =

k) 11− 7x + x2( ) entre 4x + 1( ) =

l) 2x4 − 7x − 6( ) entre 2x + 1( ) =

m) 7x2 − 29x + 1( ) entre 4x + 1( ) =

ACTIVIDAD 5


242

a) x2 + 5x + 6x + 2

=

b) x2 − 15x + 56x − 7

=

c) n2 − 7n − 9( ) ÷ n + 1( ) =

d) 4 − 8n + 3n2( ) ÷ 3n − 2( ) =

e) x2 − 7x + 5( ) entre (x − 3) =

f) x2 − x − 6( ) entre (x − 3) =

g) a2 − 5a + 1( ) entre a + 2( ) =

h) 2x2 − 7x + 1( ) entre x − 4( ) =

i) 3x2 + 5x + 1( ) entre 2x − 1( ) =

j) 10x2 + 8 − 7x( ) entre − 3 + 5x( ) =

k) 11− 7x + x2( ) entre 4x + 1( ) =

l) 2x4 − 7x − 6( ) entre 2x + 1( ) =

m) 7x2 − 29x + 1( ) entre 4x + 1( ) =

a) x2 + 5x + 6x + 2

=

b) x2 − 15x + 56x − 7

=

c) n2 − 7n − 9( ) ÷ n + 1( ) =

d) 4 − 8n + 3n2( ) ÷ 3n − 2( ) =

e) x2 − 7x + 5( ) entre (x − 3) =

f) x2 − x − 6( ) entre (x − 3) =

g) a2 − 5a + 1( ) entre a + 2( ) =

h) 2x2 − 7x + 1( ) entre x − 4( ) =

i) 3x2 + 5x + 1( ) entre 2x − 1( ) =

j) 10x2 + 8 − 7x( ) entre − 3 + 5x( ) =

k) 11− 7x + x2( ) entre 4x + 1( ) =

l) 2x4 − 7x − 6( ) entre 2x + 1( ) =

m) 7x2 − 29x + 1( ) entre 4x + 1( ) =

Así como puede observar, la divisiónqueustedconocedesdelaprimariahaevo-lucionadograndemente,comotambiénlohahecholahumanidad;esporesoquedebemosponerleatenciónparanoquedarnosatrásenelconocimientohumano.Tengamospresentequeelvaloryutilidadquetuvoensumomentoladivisiónqueconocióenprimariason losmismosquetieneenelpresenteestaformadedivisión.

División de un trinomio por un trinomio

ComorecordaremosdadounpolinomioP(x)(polinomiodividendo)yotroD(x)≠0 (polinomiodivisor),siempreexistenysonúnicosotrosdospolinomiosC(x)(polinomiocociente)yR(x)(polino-mioresto)talque:P(x)=D(x)•C(x)+R(x)donde:gradoR(x)<gradoD(x)óR(x)=0.

Esdecirquesidividimoscomoconrealeslanotaciónsimbólicarepresentaestadivisión:

P(x) D(x)

R(x) C(x)

Ladivisióndepolinomios,enestecasountrinomioporuntrinomio,engeneralserealizadeformasemejantealadenúmerosdevariascifras,aunquelasoperacionesquerealizamosrápidamen-teconlosnúmeros,conlospolinomioslasvamosindicando.Elprocesoeselsiguiente:

1. Dividir 4x3 – 3x2 + 3 entre x2 – x + 1

Solución:

Observe:Conlospolinomiosdividendoydivisororde-

nadosdemayoramenorgrado:

t Sedivideelprimertérminodeldividendoentreelprimerodeldivisor,dando lugaralprimertérminodelcociente.

243


t Semultiplicadichotérminoporeldivisorysecoloca debajo del dividendo con los signoscontrarios,cuidandoquedebajodecadatér-minosecoloqueotrosemejante

t Se suman los polinomios colocados al efecto,obteniéndose un polinomio de gradomenor alinicial.

t Secontinuaelprocesohastaqueelrestoyanosepuedadividirentreeldivisorporserdemenorgrado.

Normalmentesedividenpolinomiosconunasolavariable(x) tantoeneldividendocomoeneldivisor.

Respuesta: Comosevesehaobtenidodeco-cienteC(x)=4x+1yderestoR(x)=–3x+2.

2. Dividir x3 + 2x + 1 entre x2 + x + 1

Solución:

x3+2x+1÷ x2+x+1

x3+0x2+2x+1 x2+x+1–x3–x2–x x+1 –x2+x2 + 1 –x2–x–1 0

Respuesta: C(x)=x+1yderestoR(x)=0

3. Dividir 6x3 – 16x2 – 8 entre 3x2 + x + 4

Solución:

6x3–16x2–8÷3x2+x+4

6x3–16x2–8 3x2+x+4–6x3–2x2–8x 2x+6–18x2–8x–8 18x2+6x+24 –2x–16

Respuesta:C(x)=2x–6yderestoR(x)=–2x+16

Realicelassiguientesdivisiones:

a) (2x4+11x2–3)÷(3x3–5x+3)=___________

b) (4x3+8x–4)÷(2x2–4x+1)=___________

c) (x3–x2–x)÷(x2+x+1)=___________

d) (6x3–5x2+x)÷(x2–2x–1)=___________

ACTIVIDAD 6


244


1 Resuelvalassiguientesdivisiones.

a) − 3a6b6 − a2b3( ) entre 3a2b3( ) = ___________

b) − 10m7n4 + 12m3n8( ) entre 2m2( ) = ___________

c) 5x3 − 2x2 + 6x3x2 = ___________

d) − 7x5 − 4x4 + 3x3

3x2 = ___________

e) 6x3 − 10x2 + 8x2x

= ___________

f) − 108a7b6 − 14a2b3 + 2b6

− a2b6 = ___________

2. Simplifiquelasexpresionessiguientes:

a) − 3a6b6 − a2b3( ) entre 3a2b3( ) = ___________

b) − 10m7n4 + 12m3n8( ) entre 2m2( ) = ___________

c) 5x3 − 2x2 + 6x3x2 = ___________

d) − 7x5 − 4x4 + 3x3

3x2 = ___________

e) 6x3 − 10x2 + 8x2x

= ___________

f) − 108a7b6 − 14a2b3 + 2b6

− a2b6 = ___________

a) (2 − 7x)2

4(2 − 7x)= _________________

b) (a2b − 7b)2

2(a2b − 7b)= _________________

c) (x2y2 − 1)4

5(x2y2 − 1)2= _________________

d) −3(a2 −b)4

5(a2 −b)4= _________________

e) x − y( )3

4 x − y( )4 = _________________

f)− 4 a2 − c( )4

3 a2 − c( )3 = _________________

g)− 2 a4b + 2( )4

a4b + 2( )2 = _________________

h) 28x2y2

7x= _________________

i) 25 a +b( )a +b( )2 = _________________

j) 2x + 3y( ) x + y( )x + y( ) 3x + 2y( ) = _________________

k) x2 + 5x + 6x + 3

= _________________

a) (2 − 7x)2

4(2 − 7x)= _________________

b) (a2b − 7b)2

2(a2b − 7b)= _________________

c) (x2y2 − 1)4

5(x2y2 − 1)2= _________________

d) −3(a2 −b)4

5(a2 −b)4= _________________

e) x − y( )3

4 x − y( )4 = _________________

f)− 4 a2 − c( )4

3 a2 − c( )3 = _________________

g)− 2 a4b + 2( )4

a4b + 2( )2 = _________________

h) 28x2y2

7x= _________________

i) 25 a +b( )a +b( )2 = _________________

j) 2x + 3y( ) x + y( )x + y( ) 3x + 2y( ) = _________________

k) x2 + 5x + 6x + 3

= _________________

245


3.Dividapora cadabinomio.

a)ax+ay= __________

b)3a–7ab= ___________

c)a2y–3a5= ___________

4.Efectúelassiguientesdivisiones:

a)px2+pporp ___________

b)3ax2–8ax2pora ___________

c)mp–7mporm ___________

d)–ax+aypora __________

e)–ax+aypor–a __________

f)am2–5apora __________

5.Efectúelassiguientesdivisiones

a ) 75a5b4 – 65a 3b4

– 5a 3b3 = ________ b) – 81m4n8 + 108m8n4

– 9m3n3 = ________

c) – 4b2 – 6b + 8b3

–2ab= ________ d) – 9nx3 + 15n2x2 – 3n

– 3n= ________

6.¿Cuáleselprimertérminodelcocientede

a) x2–5x+6divididoporx–3?

b) x2–5x+6divididoporx–2?

c) 8m2–10m–3divididopor4m+1?

d) 8–10n–3n2divididopor2–3n?


246

7.Dividaporelmétododeladivisiónsintética.

a) a2+3a+2pora+1 ___________ b) b2+5b+4porb+1 ___________

c) c2+8c+12porc+2 ___________ d) x2–3x–40porx+5 ___________

e) x2+4x+4entrex+2 ___________ f) (–9x2+3+x)÷(x+3) ___________

g)12 + 5x − 2x

4 − x ___________ h) 7 − 9x + 8x2

3x − 1 ___________

8. Divida por la forma las siguientes expresiones (D: dividendo, d: divisor, c: cociente; r: residuo)

a) 23 − 11x2 + 2x3

2x − 3= ___________ b) (3x2–7x+2)÷(3x–1)= ___________

c) 2x2+3x–5entre–2x–5= ___________ d) d2–5d–24entred–3= ___________

e) 1+c–6c2entre1+3c= ___________

9. Dividaporlaforma: lassiguientesexpresiones.

a) p3–8p–3dividoporp2+5p–2

b) p3–8p–10divididoporp2+2p+1

c) x4+2x+1divididoporx2+x+3

d) 6x3–x+3divididopor3x2+2x+4

D dr c

247


Antescuandoestudiamosnúmerosracionalesusamosfraccionesdeuntipomuysencillo,aque-llascuyonumeradorydenominadorerannúmerosenteros.Enlaantigüedadyaseempleabanestasfraccionessencillas:lapalabra«fracción»procededellatín«fractus»quequieredecir«roto»,«quebra-do».Losromanosconsiderabanunafraccióncomountodoroto,talcomounapartedeunbastónodeunpastel,losromanos,comolosbabiloniosantesqueellos,dividíanuntodo,ounidad,ensesenta-vosyllamabanaestaspartes«partesminutiae primae»quesignifica«partecitasprimeras»yporunasegundadivisióncadaunadeestaspartessesubdividíaenotrassesenta«partesminutiae secundae» o «segundas partecitas». Este dioorigenconeltiempoaqueun«minuto»fueralasesentavapartedeunahoraodeungradoyel«segundo»lasesentavapartedeunminutoo 1

3600dehoraodegrado.

Tambiénsolíanlosromanossubdividiruntodoen12partesllamadascadauna«uncial»dedon-desederivanlapalabraonzaylainglesa«inch»(pulgada).EnelsistemainglésdemedidasTroy,lalibraestásubdivididaen12onzas.

Fracción algebraica racional

Llamamosfracciónalgebraicaracionalatodaexpresióndelaforma

ab (asobreb),dondeaob,

oambos,sonpolinomiosyademáseldenominadoresunpolinomiononulo.

Porejemplo,x2 + 3x − 10

3x + 2

significa(x2+3x–10)÷(3x+2)

EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS

Además.

a2 − 71

esuna fracciónalgebraica racionaldondeelnumeradoresa2–7yeldenominadores1.Noolvidequeunaconstanteesunpolinomiodegrado

cero,conlaexcepcióndel0.

Las expresiones algebraicas racionales tie-nen las mismas propiedades que los númerosracionales.

Porejemploconsideremoslassiguientesfrac-cionesalgebraicas.

“a”nodebeser0.Estaobservaciónnosindicaquelaexpresiónracionalquecorres-pondealdenominadordebeestardefinidopara todos losnúmerosrealesmenoselcero;asíℝ–{0}

“y” no debe ser – 4. Esta observaciónnosindicaquelaexpresiónracionalquecorresponde al denominador debe estardefinido para todos los números realesmenosel–4,asíℝ–{–4}

“x”nodebeseriguala3.Estaobservaciónnosindicaquelaexpresiónracionalquecorresponde al denominador debe estardefinido para todos los números realesmenosel3,asíℝ–{3}

RECUERDE

En adelante y salvo indicación en con-trario supondremos que los valores de la variable o variables que aparezcan en un denominador son tales que no anulen dicho denominador.

2a2

xy + 4

x + yx − 3

2a2

xy + 4

x + yx − 3

2a2

xy + 4

x + yx − 3


248

También,enunafracciónalgebraica,aligualqueunafracciónnumérica,esposiblemultiplicarodividir el numerador yel denominadorpor unmismofactor(diferentedecero),obteniéndoseasíunafracciónequivalentealafraccióndada.

En laprácticasepresentamuchasveces lanecesidad de simplificar fracciones algebraicas.Paraellodebetenerpresenteque:

Simplificar una fracción algebraica consisteendividirelnumeradoryeldenominadorporunmismofactorqueseacomúnaambos.

Ejemplos

Simplificarlasfraccionesalgebraicassiguientes:

A) 16x2y2x2y3

Parasimplificaresta fracciónalgebraica,di-vidimoselnumeradoryeldenominadorpor2x2y(queeselmayorfactorcomúnaambos).Luegoresulta

Recuerde

B) 2(b + 5)4b + 20

Comosepuedeobservar,nosepuedereali-omosepuedeobservar,nosepuedereali-zardirectamenteningunasimplificación.Sinembargopodemosfactorizarporfactorcomúneldenominadorasí:4b+20=4(b+5)

2(b + 5)4b + 20

=2(b + 5)4(b + 5)

=24

= 12

C) a2 − b2

a2 + ab Aquí tampoco podemos simplificar directa-

mente;portantoprocedemospreviamenteadescomponeren factoreselnumeradoryeldenominador.Debemoscombinarlosmétodosdefactorización:porproductonotableyfactorcomún.

a2 – b2 = (a − b)(a + b)

a2 + ab = a(a + b)

Luego tenemos a2 − b2

a2 + ab=(a − b)(a + b)

a (a + b)=

a − ba

D) 2x2 − 3x − 2x2 + 3x − 10

Factorizandoambostrinomiostenemosporelmétododeinspección.

2x2 − 3 − 2x2 + 3x − 10

=(2x + 1)(x − 2)(x + 5)(x − 2)

=2x + 1x + 5

Observe:

Elnumeradoryeldenominadorenlaexpre-siónracionalofracciónalgebraica x − 4

4 − xparecen

notenerningúnfactorcomúndiferentede1.Sinembargo,yaque(x–4)y(4–x)soninversosaditivos, podemos reescribir uno de ellos comoinversodelotro.

249


Asítenemosqueparaprocederasimplificarestaexpresiónhacemos

1) x − 44 − x

=−1 (4 − x)(4 − x)

= −1

2) 3x − 62 − x

=3(x − 2)

2 − x

= 3(x − 2)−1(x − 2)

=3

−1= −3

Otrosejemplossemejantesaeste.1) x − 4

4 − x =

−1 (4 − x)(4 − x)

= −1

2) 3x − 62 − x

=3(x − 2)

2 − x

= 3(x − 2)−1(x − 2)

=3

−1= −3

3) 1− y2 y2 − 4y + 3

=(1− y)(1+ y)(y − 1) (y − 3)

=−1 (y − 1)(1+ y)(y − 1)(y − 3)

=−1(1+ y)y − 3( )

=−1− yy − 3( )

Observe:

Como 2 = 0,4 x 5

tenemos que (5n + 2) = (5n + 0,4 x 5)

= 5 (n + 0,4)

6)SeanA=3x3+9x2yB=x2+6x+9

a)Calculeysimplifique

b)HalleelvalornuméricodeCcuandox=–5

c)¿Paraquévaloresdex(x∈ ℝ)estádefinidalaexpresiónC?

Solución

a) C =3x3 + 9x2

x2 + 6x + 9=

3x2 (x + 3)(x + 3)(x + 3)

=3x2

x + 3

c) Los valores donde está definida C =AB

sontodosℝ–{–3}

7. Por cual expresión debe amplificarse x − 15

paraobtenercomoresultado x

2 − 15x + 5

?

Solución

Comosedicequeelresultadoes x2 − 1

5x + 5;

Podemosaplicar la operación inversade laamplificación (la simplificación) es procesonosindicarálaexpresiónparaamplificar.

Se factoriza el numerador2 – x = –(– 2 + x) = – 1(x – 2)

Combinamos métodos de factorización.

Simplificamos


250

Veamos:

x2 − 15x + 5

=(x − 1)(x + 1)

5(x + 1)

=x − 1

5

Entonces,podemosdecirquex+1eslaex-presiónqueamplificaa x − 1

5paraobtener

x2 − 15(x + 1)

Respuesta:Debeampliarsepor(x+1)

x2 – 1 es una diferencia de cuadrados

5x + 5 = 5(x + 1) se factoriza por factor común.

A)Diga para qué valores están definidas lasfraccionesalgebraicassiguientes.

ACTIVIDAD 1

g) 2a − 3(a − 7)2

_________

h) x + 3x(x + 2)

_________

i) b + 1b2 − 9

_________

j) 3cc2 − 7c − 18

_________

B)Simplifiquetantocomoseaposible:

251


22) 4c2 + 7c − 15c2 + 12c + 27

= ____________

23) 3x2 − 7x − 202x2 − 5x − 12

= ____________

24) 4y2 + 20y + 252y3 + 3y2 − 5y

= ____________

C. SeanA=3a2+2a–8yB=9a2–16.

1) CalcularysimplificarC =AB

2) HallarelvalornuméricodeCcuandoa=–4

3) ¿Paraquévaloresdea(a∈ ℝ)estádefinidalaexpresiónC?

D. ¿Porcuálexpresióndebeamplificarsem + n2

paraobtenercomoresultado m2 − n2

2m − 2n?

E. Laexpresión x + 4x − 1

seobtieneal simplificar

unafraccióncuyo

numeradorerax2+5x+4.¿Cuáleralafracciónoriginal?

F. Laexpresión 2a − 33a + 1

seobtienealsimplificar

unafraccióncuyodenominadorera6a2 + 11a + 3. ¿Cuáleralafracciónoriginal?

Suma y resta de fracciones algebraicasDenominadores iguales

Parasumaryrestarfraccionesalgebraicascondenominadoresiguales,sumamosorestamoslosnumeradores yescribimos la sumaodiferenciasobreeldenominadorcomún.


252

A. EJEMPLOSSumarysimplificar.

1. 4x3

+5x3

=4x + 5x

3

=9x3

= 3x

2. 6a2

a + 2+

4a2

a + 2=

6a2 + 4a2

a + 2

=10a2

a + 2

3. 2x2 + 3x − 72x + 1

+x2 + x − 8

2x + 1=

2x2 + 3x − 7 + x2 + x − 82x + 1

=3x2 + 4x − 15

2x + 1

=(x + 3)(3x − 5)

2x + 1Se factoriza para buscar posibles factores comunes.

B. EJEMPLOS.Restarysimplificar.

1. 3mm + 2

−m − 4m + 2

=3m − (m − 4)

m + 2

=3m − m + 4m + 2

=2m + 4m + 2

=2(m + 2)(m + 2)

= 2

Los paréntesis son necesarios orque se debe restar el numerador completo.

Simplificamos.

Se escribe la suma sobre el denominador común.

Sumamos los términos semejantes del numerador.

Simplificamos

2. 2y2 + 4y − 3y + 3

−y2 − 2y − 12

y + 3=

2y2 + 4y − 3 − (y2 − 2y − 12)y + 3

=2y2 + 4y − 3 − y2 + 2y + 12

y + 3

=y2 + 6y + 9

y + 3

=(y + 3)(y + 3)

(y + 3)= y + 3

Podemos sumar o restar cualquier númerodeexpresionescondenominadorescomunessu-mandoorestandolosnumeradoresycolocandoelresultadosobreeldenominadorcomún.

Efectuar cada una de las operaciones indi-cadas.

a) 3a5

+ 2a5

= ____________

b) 6m11

+ 8m11

= ____________

c) 7x10

− 2x10

= ____________

d) 18xy7

− 11xy7

= ____________

e) 4x + 3x + 2

+ 3x + 4x + 2

= ____________

f) −6mm− 5

+ m− 10m− 5

= ____________

ACTIVIDAD 2

253


Suma y resta de fracciones algebraicasDenominadores diferentes

Mínimo común denominador (mcd)

Parasumarfraccionesalgebraicasracionalescondenominadoresdiferentes,primeroesnece-sario encontrar el mínimo común denominadordeéstas.

Cómo encontrar el mínimo común de-nominador (mcd)

Para encontrar el mcd de dos o más ex-presiones algebraicas,

1. Factorizamos cada expresión.

2. Formamos el producto usando cada factor el mayor número de veces que aparece.

EJEMPLOS

1. Encontrarelmcdde 8x2y2 y 12xy3

8x2y2=2•2•2•x•x•y•y12xy3=2•2•3•x•y•y•ymcd = 2•2•2•3•x•x•y•y•y =24x2y3

2. Encontrarelmcd de x2 + 5x – 6 y x2 – 1

x2+5x–6=(x+6)(x–1)x2–1=(x–1)(x+1)mcd =(x+6)(x+1)(x–1)

3. Encontrarelmcddex2 +4yx+1

Comoestasexpresionesnosonfactorizables,elmcdessuproducto,(x2+4)(x+1).

Suma con denominadores diferentes

Parasumarexpresionesracionalescondeno-minadoresdiferentes,1. Encontramoselmcmdelosdenominadores.2. Escribimoscadaexpresiónracionalcomouna

expresiónequivalenteconel(mcd).Paraes-cribirunaexpresiónequivalente,multiplicamosporunaexpresiónequivalentea1.

3. Sumamos los numeradores. Escribimos lasumasobreel(mcd).

EJEMPLOS Sumarysimplificar.

a) 5x2

8+

7x12

=5x2

2 • 2 • 2+

7x2 • 2 • 3

=5x2

2 • 2 • 2• 3

3+ 7x

2 • 2 • 3• 2

2

=15x2 + 14x

24

=x(15x + 14)

24El mcm de los denominadores es 2 • 2 • 2 • 3 = 24

Multiplicamos cada térnino por una forma del número 1 = 22 para

obtener el mcd.


254

b)3

x + 1+

5x − 1

=3

x + 1•x − 1x − 1

+5

x − 1•x + 1x + 1

=3(x − 1) + 5(x + 1)(x + 1)(x − 1)

=3x − 3 + 5x + 5 (x + 1)(x − 1)

=8x + 2

(x + 1)(x − 1)

=2(4x + 1)

(x + 1)(x − 1)

El mcd es (x + 1)(x – 1)

Comoelnumeradorydenominadornotienenfactorcomún,diferentede1,nopodemossimpli-ficarmás.

c) Resolverx − 1x2 − 1

+2x

x2 − 2x + 1 Solución

x − 1x2 − 1

+2x

x2 − 2x + 1=

1x + 1

+2xx − 1( )2

=x – 1( )2 + 2x x + 1( )x + 1( ) x – 1( )2

=x2 – 2x + 1+ 2x2 + 2x

x + 1( ) x − 1( )2

=3x2 + 1

x + 1( ) x − 1( )2

Factorizamos cada uno de los denominadores

x2 – 1 = (x + 1)(x – 1)

x2 – 2x + 1 = (x – 1)2

mcd = (x + 1)(x – 1)2

d) Resolver3

x − 1+

xx + 1

+x + 1x2 − 1

Solución

3x − 1

+x

x + 1+x + 1x2 − 1

=3

x − 1+

xx + 1( ) +

x + 1x − 1( ) x + 1( )

=3 x + 1( )

x − 1( ) x + 1( ) +x x − 1( )

x − 1( ) x + 1( ) +x + 1

x − 1( ) x + 1( )

=3x + 3 + x2 − x + x + 1

x − 1( ) x + 1( )

=x2 − 2x + 1+ 2x2 + 2x

x + 1( ) x − 1( )2

=x2 + 3x + 4x + 1( ) x − 1( )

Resta con denominadores diferentes

EJEMPLOSRestarysimplificar

1)x + 2x − 4

−x + 1x + 4

=x + 2x − 4

•x + 4x + 4

−x + 1x + 4

•x − 4x − 4

=(x + 2)(x + 4)(x − 4)(x + 4)

−(x + 1)(x − 4)(x + 4) (x − 4)

=(x + 2)(x + 4) − [(x + 1)(x − 4)]

(x + 4)(x − 4)

=x2 + 6x + 8 − (x2 − 3x − 4)

(x − 4)(x + 4)

=x2 + 6x + 8 − x2 + 3x + 4

(x − 4)(x + 4)

=9x + 12

(x − 4)(x + 4)

mcd = (x – 4)(x + 4)

Restamos los numeradores.

255


3) 2x + 6x2 − 3x

−x + 5

x2 − 4x + 3Solución:Sefactorizanlosdenominadores

x2 –3x=x(x–3)x2 –4x+3=(x–3)(x–1)

Elmínimocomúnmúltiploósencillamenteelmínimodenominadorcomúnesx(x–3)(x–1).Porlotanto:

Para sumar o restar fracciones algebraicas hay que obtener el común denominador.

Después igual que con los números, basta sumar o restar los numeradores.

Elmínimocomúndivisores4(n+3)(n+3)

A.Encontrarelmínimocomúnmúltiplo(mcm).

1. c2d,cd2

2. 2x2,6xy

3. a–b,a+b

4. m–6,m+6

5. 3(a–3),6(3–a)

6. 4(b–1),8(1–b)

7. x+2,x–2

ACTIVIDAD 3


256

8. x+3,x–3

9. x2–4,x2+5x+6

10. x2+3x+2,x2–4

11. t3 + 4t2+4t,t2–4t

12. y3–y2,y4–y2

13.a+1,a2–1

14. x2–y2,x2+2xy+y2

15. m2–5m+6,m2–4m+4

16.2x2+5x+2,2x2–x–1

B. Reduzcaacomúndenominador.

a )x + 2x

y x + 3x2

b)2x + 6x − 1

y x

x2 + x + 2

c)1

x2 + x − 2 y

4x + 2

d) 5

v 2 + 2v + 1 y

vv 2 − 3v − 4

e) 1

x 4 − x2 , x + 2

x2 + 2x + 1 y

1x

f)1

b3 + b2 − 6b,

1b3 − 6b2 y

bb − 2

g)1

x2 − 10x + 25,

xx2 − 25

y 1

x2 + 10x + 25

h)1

c2 + c,

cc2 + 2c + 1

y 1

c2 − 1

i)1

x2 + 2x − 3,

x − 2x2 − 4x + 3

y x − 3x2 − 9

a )x + 2x

y x + 3x2

b)2x + 6x − 1

y x

x2 + x + 2

c)1

x2 + x − 2 y

4x + 2

d) 5

v 2 + 2v + 1 y

vv 2 − 3v − 4

e) 1

x4 − x2 , x + 2

x2 + 2x + 1 y

1x

f)1

b3 + b2 − 6b,

1b3 − 6b2 y

bb − 2

g)1

x2 − 10x + 25,

xx2 − 25

y 1

x2 + 10x + 25

h)1

c2 + c,

cc2 + 2c + 1

y 1

c2 − 1

i)1

x2 + 2x − 3,

x − 2x2 − 4x + 3

y x − 3x2 − 9

C.Sumarysimplificar.

1. a2

2+

3a2

8= _____________

2. 8y10

+2y5

= _____________

3. 4x15

+8x25

= _____________

4. 2x

+5x2 = _____________

5. 56a

+7

8a= _____________

6. x + yxy 2 +

3x + yx2y

= _____________

7. 3x − 2

+3

x + 2= _____________

8. 3x + 1

+23x

= _____________

9. x + 4x

+x

x + 4= _____________

10. xx − 5

+x − 5x

= _____________

257


11. xx2 + 2x + 1

+ 1x2 + 5x + 4

= _____________

12. 7a2 + a − 2

+ 5a2 − 4a + 3

= _____________

D.Restarysimplificar.

1. 5x + 3y2x2y

− 3x − 4yxy2 = ____________

2. 5x + 5

− 3x − 5

= ____________

3. xx2 + 2x + 1

− 2x2 + 3x + 2

= ____________

4. xx2 + 11x + 30

− 5x2 + 9x + 20

= ____________

E.Determinar,entrelassiguientesexpresiones,lasquesonequivalentes.

Multiplicación de fracciones algebraicas

Como vimos anteriormente, el producto denúmeros racionalessecalculamultiplicando losnumeradoresylosdenominadores.

34• 5

6=

3 • 54 • 6

=1524

Tambiénmultiplicamosfraccionesalgebraicasdelamismamanera.

Ejemplos

Efectuarlasmultiplicacionessiguientesysim-plificarelproducto.

a) 5a3

4• 2

5a=

5a3 • 24 • 5a

= 10a3

20a

= a2

2

b) 3a3b10

• 15b6a2b3

Solución:Tanto losnumeradores como losdenominadores monomios se multiplicancomoanteslohicimos.Luego,procedemosasimplificar.

3a3b10

• 15b6a2b3 =

3 •15 • a3 • b • b10 • 6 • a2b3

= 45 a3 b2

60 a2b3

= 3a 4b

c) 18x2yx2 − y2 •

x + y6xy

=

Multiplicamos los numeradores y los denominadores

Se simplifica


258

Solución: Aquíprimeramentedebemosfacto-rizarladiferenciadecuadradosqueapareceenelprimerdenominadoryluegosesimplificalaexpresión.

18x2yx2 − y2 •

x + y6xy

=18x2y

(x + y)(x − y)• (x + y)

6xy• 3xx − y

d) 3x2 − 11x + 108x2 • 2x

x2 − 2x=

(3x − 5)(x − 2)8x2 • 2x

x(x − 2)= 3x − 5

4x2 Solución: Enestecasosefactorizaporins-pecciónelnumeradordelprimerfactoryporfactor común el denominador del segundofactor.d) 3x2 − 11x + 10

8x2 • 2xx2 − 2x

=

(3x − 5)(x − 2)8x2 • 2x

x(x − 2)= 3x − 5

4x2

Otrosejemplosdondesecombinandiferentesmétodosdefactorizacióneselsiguiente

Efectúelasmultiplicacionessiguientesysim-plifiquetantocomoseaposible

ACTIVIDAD 4

259


División de fracciones algebraicasPodemosdividirfraccionesalgebraicasconel

mismoprocedimientoqueutilizamosparadividirdosnúmerosracionales.Paradividirfraccionesalgebraicas, multiplicamos la primera expresiónporelrecíprocodeldivisor.

EJEMPLOS. Dividirysimplificar.

1.8n5

3÷

2n2

9=

8n5

3•

92n2

=72n5

6n2

= 12n3

Multiplicamos por el recíproco de divisor.Multiplicamos los numeradores y los denominadores.Simplificamos

2. 2x + 83

÷x + 4

9=

2x + 83

• 9x + 4

=(2x + 8)(9) 3 (x + 4)

=2(x + 4)(9)3 (x + 4)

= 6

Multiplicamos por el recíproco del divisor.MultiplicamosFactorizamos y simplificamos.

3. x + 1x + 2

÷x + 1x + 3

=x + 1x + 2

• x + 3x + 1

=(x + 1)(x + 3)(x + 2)(x + 1)

=x + 3x + 2

Multiplicamos por el recíproco del divisor.Multiplicamos y simplificamos.

Factorizamos e identificamos los factores comunes.Simplificamos

5. x + 2

3

4

÷x + 2

2

2

=x + 2( )4

34 ÷x + 2( )2

22

=x + 2( )4

81•

4x + 2( )2

=481

x + 2( )2

Elevando a potencia una fracción algebráica

Simplificamos utiliando división de potencias

(x + 2)4

(x + 2)2= (x + 2)4 − 2

6) x2 x − 1( )x2 + 5x + 6

÷x2 + xx2 + 9

=x2 x − 1( )x2 + 5x + 6

• x2 − 9

x2 − x

=x2 x − 1( ) • x − 3( ) x + 3( )x + 3( ) x + 2( )x x − 1( )

=x x − 3( )x + 2


260

A. Hallarelresultadode2xx + 1

÷x2 + xx + 5

B. Hallarelresultadode 5x + 10x2 − 1

÷3x + 6x + 1

C. Efectúelassiguientesdivisionesysimplifique.

Operaciones combinadas con fracciones algebraicasA. Sin signos de agrupación

Ejemplo 1.Resolver5u − 3

a2u−

2 + ua2u

+4u − 5

a2u Solución

En esta expresión algebraica se tiene quelos términos que la forman son fracciones“algebraicas”queserestanysesuman,ellasposeenelmismodenominador.Esclaroqueelresultadoseráunanuevafracciónalgebraicaendondeeldenominadorseráelmismo.

(5u − 3)− (2 + u)+ (4u − 5a2u

= 5u − 3 − 2 − u + 4u − 5a2u

= 8u − 10a2u

ACTIVIDAD 5

261


IMPORTANTE

Enestetipodeoperacionescuandotienequeeliminar paréntesis que le antecede el signo+ no produce cambiosensustérminos,porejemplo en (5u – 3), en cambio, el términos (2+u)leantecedeelsigno–poresocolocamos–2–u; enrealidad,aplicamos lapropiedaddistributivadelamultiplicaciónconrespectodelasumaconel–1.

Porlotanto 5u − 3a2u

−2 + ua2u

+4u − 5

a2u=

8u − 10a2u

Ejemplo 2.Resolver 6n2 − 7n + 2

+n

3n + 6−

n − 16

Solución

Enestaexpresiónalgebraicasetienequelostérminosque la formanson fracciones “ale-gebraicas” que se restan y se suman,ellasposeenundistintodenominador.Aquídebemosencontrar un mínimo común denominador(m.c.d)de(n+2),(3n+6)y6quees6(n+2).

Así:

Recuerde:

Dividimos el mcd por cada denominador y luego el resultado lo multiplicamos por el numerador de cada uno.

Porlotanto

6n2 − 7n + 2

+n

3n + 6−

n − 16

=35n2 + n − 40

6(n + 2)

Ejemplo 3.Resolver 4xx2 + x − 6

+2

x + 3−

7x − 32x2 − 8

Solución

Enestaexpresiónalgebraicasetienequelostérminosquelaformansonfracciones“algebrai-cas”queserestanysesuman,ellasposeenundistintodenominador.Aquídebemosencontrarun mínimo común denominador (m.c.d) de (x2+x–6),(x+3)y(2x2–8);peroantesobserveque(x2+x–6)=(x+3)(x–2).Conrespectode(x+3)nohaynadaquehacer.Porúltimo, (2x2–8)=2(x2–4)peroesteesunadiferenciadecuadrados,asíqueaplicamoselmétododelafactorizaciónpordiferenciadecuadrados;porestosetiene(2x2–8)=2(x2–4)=2(x–2)(x+2).

Asítenemosqueelmínimocomúndivisores:

(x2+x–6) (x+3) (2x2–8)(x+3)(x–2) (x+3) 2(x–2)(x+2)

m.c.d=2(x+3)(x–2)(x+2)


262

Entonces

Porlotanto,

4xx2 + x − 6

+2

x + 3−

7x − 32x2 − 8

=5x2 − 2x − 7

2(x + 3)(x − 2)(x + 2)

B. Con signos de agrupación

Ejemplo 1:Resolver1

1+ x+

2x1− x2

• 1−

1x

Solución

Cuandoresolvemosoperacionesalgebraicasconsignosdeagrupación,asaber,parénte-sisredondos(),paréntesiscuadrados[]yparéntesisdellaves{};sedeberesolvercadaparéntesisenordendeaparición.Aquícomen-

zamoscon 11+ x

+2x

1− x2

yluegocon 1−

1x

alfinalcolocamoslosresultadossimplificadoscompletamente.

Comencemoscon

11+ x

+2x

1− x2

= 1

1+ x+

2x(1− x)(1+ x)

.

Factorizamosporlafórmuladediferenciadecuadrados1–x2 =(1–x)(1+x).

Elmínimocomúndenominadores(1–x)(1+x).

(1 − x)(1 + x)1 + x

= 1 − x( ) (1 − x)(1 + x)(1 − x)(1 + x)

= 1

(1 − x) 1( ) 1( ) 2x( )1

1 + x+

2x1 − x2 =

(1 − x) 1( ) + 1( ) 2x( )(1 − x)(1 + x)

=1 − x + 2x(1 − x)(1 + x)

= 1 + x

(1 − x)(1 + x)

Entoncessetieneque 11+ x

+2x

1− x2

= 1+ x

(1− x)(1+ x)

Sigamosresolviendo 1−1x

,mínimocomún

denominadoresxporestosetieneque

1−1x

=x − 1x

263


Entoncestenemosque

11+ x

+2x

1− x2

• 1−

1x

1+ x(1− x)(1+ x)

• x − 1x

= 1+ x( ) x − 1( )x(1− x)(1+ x)

= − 1 1+ x( ) 1− x( )x(1− x)(1+ x)

=− 1x

Porlotanto 11+ x

+2x

1− x2

• 1−

1x

=− 1x

Ejemplo 2:Resolverx2

y− y

÷ 1+xy

Solución

Cuandoresolvemosoperacionesalgebraicasconsignosdeagrupación,asaber,parénte-sis redondos ( ), paréntesis cuadrados [ ]y paréntesis de llaves { }; se debe resolvercadaparéntesisenordendeaparición.Aquí

comenzamoscon x2

y− y

yluegocon 1+

xy

alfinalcolocamoslosresultadossimplificadoscompletamente.

Comcencemoscon x2

y− y

.Esclaroqueel

mínimocomúndenominadores“y”.Poresto

setieneque x2

y− y

= x2 − y2

y .Ycomoelnu-

meradoresunadiferenciadecuadradosse

tieneque x2

y− y

=x2 − y2

y=(x − y)(x + y)

y

Sigamosresolviendo 1+xy

,mínimocomún

denominadores“y”porestosetieneque

1+xy

=y + xy

Entoncestenemosque x2

y− y

÷ 1+xy

=

x2

y− y

÷ 1+xy

=(x − y)(x + y)

y÷y + xy

=(x − y)(x + y)

y• yx + y

=y (x − y)(x + y)

y x + y( )= x – y( )

Porlotantosetieneque

x2

y− y

÷ 1+xy

= x − y( )

Ejemplo 3: Resolver 1x − 1

+ 1

• 3x −

3x

Solución

Comenzaremos con 1x − 1

+ 1

y luego con

3x −3x

al final colocamos los resultados

simplificadoscompletamente.

Comencemoscon 1x − 1

+ 1

.Esclaroqueel

mínimocomúndenominadores“x–1”.

Porestosetieneque

1x − 1

+ 1

=1+ 1( ) x − 1( )

x − 1=

1+ x − 1( )x − 1( ) =

xx − 1

Recuerde:ab

÷cd

=ab• d

c

y + x = x + y


264

Sigamosresolviendo 3x −3x

,mínimocomún

denominadores“x”porestosetieneque

3x – 3x

=3x2 − 3

x=

3 x2 − 1( )x

=3 x − 1( ) x + 1( )

x

Entoncessetieneque

1x − 1

+ 1

• 3x −

3x

=x

x − 1• 3 x − 1( ) x + 1( )

x

=3x(x – 1)(x + 1)

x x − 1( )= 3(x + 1)

Porlotantosetieneque

1x – 1

+ 1

• 3x −

3x

= 3(x + 1)

A. En las expresiones siguientes, efectúe lasoperacionesindicadasysimplifique:

1) 1x

+ 1− xx2 + 2x

− 2x + 1

= _____________

2) x2x2 − x − 1

− 31− 2x + x2 + 2 = _____________

3) 1x2 + 4x + 3

+ 3x2 − 1

− 2x + 3

= _____________

4) 29x2 − 6x + 1

− 3x + 1

+ 13x2 + 2x − 1

= _____________

B. Efecuarlassiguientesoperaciones.

a) x − 2x2 − 4

+ x + 2x2 − x − 6

•

x2 − 94x − 10

= _____________

b) x − 2x2 − 4

+ x + 2x2 − x − 6

• x2 − 94x − 10

= _____________

c) 2x + 6x2 − 9

• x + 3x − 7

+ x

x + 7÷ x − 7

5

= _____________

1. Los siguientes ejercicios corresponden amultiplicacionesydivisionesdeexpresionesfraccionarias.Enellos se sugiere factorizar,simplificaryfinalmente,efectuarlaoperaciónindicada.

ACTIVIDAD 6


265


2. Para resolverejerciciosdesumao restadeexpresiones fraccionarias es necesario sa-berdeterminarelmínimocomúnmúltiplodeexpresionesalgebraicas.EncadaunodelostríosdenúmerosodeexpresionesalgebraicassepidedeterminarelMCMcorrespondiente.

1) 28,49,21

2) 4a3b2,6a2b4,8ab3

3) a2–b2,a2–2ab+b2,2a+2b

4) x2–25,x2–2x–35,x2–14x+49

5) a–b,ab–b2,a2b–b2

3.Lossiguientesejercicioscorrespondenasu-mas o restas de expresiones fraccionarias.DeterminarencadaunoelMCMdesusde-nominadores y efectuar la(s) operación(es)correspondiente(s).


266

Cuando tenemos fracciones con radicalesen el denominador conviene obtener fraccionesequivalentesperoquenotenganradicaleseneldenominador.Aesteprocesoesaloquesellamaracionalizaciónderadicalesdelosdenominadores.

Segúneltipoderadicalolaformadelaexpre-siónqueapareceeneldenominador,elprocesoesdiferente.

Sepuedendarvarioscasos:

Racionalización de un monomio

A. Cuandoeldenominadoresuntérminosradicaldeíndice2ynotienecoeficiente,semultiplicaelnumeradoryeldenominadorporelradicaldeldenominador.

Este caso corresponde a los radicales de la

formaab ,aquípararacionalizarmultiplicamos

numeradorydenominadorpor b ,así:

ab

=a bb • b

=a bb2

=a bb

EJEMPLOS

1. Racionaliceeldenominadordecadaunadelassiguientesexpresiones:

a) 62

=62• 2

2=

6 • 22 • 2

=6 2

4=

6 22

= 3 2

b) 23

=23• 3

3=

2 • 33 • 3

=69

=6

3

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES Y NUMERADORES

Observequeenambos,utilizamoselhechodequeladivisióndeunnúmeroporsimis-moses1.

22

= 1 ; 33

= 1

B. Cuandoeldenominadoresuntérminoradicaldeíndice2quetienecoeficienteracional,seprocededelamanerasiguiente:semultiplicaelnumeradoryeldenominadorporelradicalsintomarencuentaelcoeficiente.

Estecasocorrespondealosradicalesdelaforma a

c b, aquí para racionalizarmultipli-

camosnumeradorydenominadorpor b ;elcocientesedejaigual.

ac b

=a b

c b b=

a bc b2

=a bcb

=a bb • c

EJEMPLOS:

Racionaliceeldenominadordecadaunadelassiguientesexpresiones.

a) 35 2

=3

5 2• 2

2=

3 • 25 2 • 2

=6

5 • 2=

610

multiplicamos por 1=22

b) 5xa x

=5x

a x• x

x=

5x • xa x • x

=5x x

ax=

5 xa

Observe x • x = x2 = x; 5xax

=5a

267


c)Determineunaexpresiónequivalentea 218

.

Solución:

Como18=2•32multiplicamosambostérminos;elnumeradoryeldenominadorpor 2 paraqueelexponentedel2sehagapar,estoes22.

Asípues,tenemosque:

218

=2 2

2 • 32 • 2=

2 222 • 32

=2 22 • 3

=2

3=

13

2

Racionalizareldenominador.

Racionalización de monomios con índices mayores que 2

Cuando el denominador es un radical deíndice tres omás, esto es, la forma

abmn , con

m<n,pararacionalizarmultiplicamosnumeradorydenominadorpor bn−mn ,sihubieracoeficientes,sedejaigual.

ACTIVIDAD 1

abmn

=abmn

• bn−mn

bn−mn=

a bn−mn

bnn=

a bn−mn

b

Observe:

Ejemplos:

Racionaliceeldenominadordecadaunadelassiguientesexpresiones.

a) 223

Solución:

Semultiplicanambostérminosdelafracciónpor 223 yseefectúanlasoperaciones:

b)2

3 33

Solución:

Semultiplicanambostérminosdelafracciónpor 323 ytenemos:

23 33

=2 • 323

3 33 • 323=

2 93

3 333=

2 93

3 • 3=

2 93

9=

29

93

c) 34 • x25

Solución:

34 • x25

= 34 • x25

•1

= 34 • x25

• x35

x35

= 3 x35

4 • x55

= 3 x35

4 • x

= 3 x35

4x

1= x35

x35

x25 • x35 = x55 = x


268

d)4

3• 23x2y65

Solución:

43• 23x2y65

= 43• 23x2y65

•1

= 43• 23x2y65

• 22x3y45

22x3y45

=4 22x3y45

3•2xy2

=4 4x3y45

3•2xy2

=2 4x3y45

3xy2

e) 7y432y103

Solución:

7y432y103

= 7y432y103

•1

= 7y2433y103

• 22y23

22y23

=7y 22y23

24+233y10+23

=7y 4y23

12y4

23x2y65 • 22x3y45 = 25x5y105 = 2xy2

1=22x3y45

22x3y45

1=22y23

22y23

2433y103 • w2y23 = 24+233y10+23 =

2633y123 = 22 •3y4 = 12y4

Racionalizareldenominadorde:

1. 52 43

= _________

2. 35 103

= _________

3. 333

= _________

4. 363

= _________

5. 753

= _________

6. 4163

= _________

7. 7113

= _________

8. 243

= _________

9. 123

= _________

10. 523

= _________

11. 993

= _________

12. 12 33

= _________

13. 1xy

= _________

14. 23 8x

= _________

15. 332x5y24

= _________

16. 224x3y157

= _________

ACTIVIDAD 2

43214448168421

3332222

432=24•33

269


1. 52 43

= _________

2. 35 103

= _________

3. 333

= _________

4. 363

= _________

5. 753

= _________

6. 4163

= _________

7. 7113

= _________

8. 243

= _________

9. 123

= _________

10. 523

= _________

11. 993

= _________

12. 12 33

= _________

13. 1xy

= _________

14. 23 8x

= _________

15. 332x5y24

= _________

16. 224x3y157

= _________

Racionalización de un binomio

Cuandoeldenominadoresunaexpresiónalge-braicadedostérminossemultiplicaelnumeradoryeldenominadorporelconjugadodeldenominadordelaexpresión.

Enesteúltimocaso,correspondealosradicalesdelaforma

ab + c o

ab + c con{a,b,c}⊂ℝ,

b>0,c>0,pararacionalizarmultiplicamosnume-radorydenominadorporlaexpresión conjugada deldenominadorasí:

ab + c

=a( b − c )

( b + c )( b − c )=

a( b − c )( b)2 − ( c )2

=a( b − c )

b − c

Ejemplos: Racionaliceeldenominadordecadaunadelassiguientesexpresiones.

a) 53 + 2

Para racionalizar este tipo de expresionesradicalesnosvaldremosdelafórmulanotable(a–b)(a+b)=a2 –b2.

Estimado estudiante: El tema de los productos notables se estudió en el libro de Matemática Ujarrás 2016 en la semana decimocuarta.

En efecto, para transformar una expresiónalgebraicaconunoodostérminosirracionaleseneldenominador,porsuequivalenteenexpre-sionesalgebraicasdedostérminosracionales,amplificamoscadaunadelasexpresionesporel conjugadodeldenominador.

Porejemplo:

Elconjugadode 3 + 2 es 3 − 2

Elconjugadode 2 − 3 es2 + 3

Elconjugadode 2 + 5 es 2 − 5

Siemprequetenemosunbinomiodelaformaa+b(aybsonnúmerosreales)decimosquesuconjugadoesa–b.

Ahorabien,

a )5

3 + 2=

5( 3 + 2 )

•( 3 − 2 )( 3 − 2 )

=5( 3 − 2 )( 3 )2 – ( 2 )2

=5( 3 − 2 )

3 − 2=

5( 3 − 2 )1

= 5 3 − 5 2

b)3

2 − 7=

3(2 − 7 )

•(2 + 7 )(2 + 7 )

=3(2 + 7 )22 − ( 7 )2

=3(2 + 7 )

4 − 7=

3 (2 + 7 )− 3

= −(2 + 7 ) = −2 − 7

c)3

2( 5 − 2)=

3( 5 + 2)2( 5 − 2)( 5 + 2)

=3( 5 + 2)

2 ( 5 )2 − (2)2

=3( 5 + 2)2(5 – 4)

=3( 5 + 2)

2 •1

=3( 5 + 2)

2


270

binomio conjugado

5 + 2( )

a )5

3 + 2=

5( 3 + 2 )

•( 3 − 2 )( 3 − 2 )

=5( 3 − 2 )( 3 )2 – ( 2 )2

=5( 3 − 2 )

3 − 2=

5( 3 − 2 )1

= 5 3 − 5 2

b)3

2 − 7=

3(2 − 7 )

•(2 + 7 )(2 + 7 )

=3(2 + 7 )22 − ( 7 )2

=3(2 + 7 )

4 − 7=

3 (2 + 7 )− 3

= −(2 + 7 ) = −2 − 7

c)3

2( 5 − 2)=

3( 5 + 2)2( 5 − 2)( 5 + 2)

=3( 5 + 2)

2 ( 5 )2 − (2)2

=3( 5 + 2)2(5 – 4)

=3( 5 + 2)

2 •1

=3( 5 + 2)

22

f) x − 13 2 − x + 1

=x − 1( ) 3 2 + x + 1( )

3 2 − x + 1( ) 3 2 + x + 1( )

= x − 1( ) 3 2 + x + 1( )3 2( )2

− x + 1( )2

= x −( ) 3 2 + x + 1( )

9 •2( ) − x + 1( )

= x − 1( ) 3 2 + x + 1( )

18 − x − 1

= x − 1( ) 3 2 + x + 1( )

17 − x

1. Racionaliceeldenominador.

2. Racionaliceeldenominadorencadaexpresión.


271


3. Racionaliceysimplifique 4. Determine el binomio conjugado en cada unodelossiguientescasos.

a) 3 + x ______________

b) 5 x + 2 − x ______________

c) 3 2 − x + 1 ______________

5. Racionalice.

a) 13

= _____________

b) 83

= _____________

c) 35

= _____________

d) xy

= _____________

6. Racionaliceeldenominador.

a) 23 3

= _____________

b) 3 66 2

= _____________

c) 5 23 5

= _____________

d) 3 155 32

= _____________


272

7. Racionaliceysimplifiqueelresultado.

0

Ejemplos

Racionaliceelnumeradordelasexpresionessiguientes, simplificando los resultadosen casodeserposible.

1. 3 + x − 3x

= 3 + x − 3x

•1

3 + x = 3( ) 3 + x + 3( )

x 3 + x + 3( ) =

3 + x( )2− 3( )2

x 3 + x + 3( ) =

3 + x − 3x 3 + x + 3( ) =

1x 3 + x + 3( )

2. 2 + x + 2x

= 2 + x + 2x

• 1

2 + x + 2( ) 2 + x − 2( )

x 2 + x − 2( ) =

2 + x( )2− 2( )2

x 2 + x − 2( ) =

2 + x − 2x 2 + x − 2( ) =

xx 2 + x − 2( ) =

12 + x − 2

Se podrá racionalizarel numerador, así comoel denominador de una

fracción.

273


3. x + 1− 2x − 3

= x + 1− 2x − 3

•1

x + 1− 2( ) x + 1+ 2( )x − 3( ) x + 1+ 2( ) =

x + 1( )2− 2( )2

x − 3( ) x + 1+ 2( ) =

x + 1− 4x − 3( ) x + 1− 1( ) =

x − 3x − 3( ) x + 1+ 2( ) =

1x + 1+ 2

4. x + 1+ 1x

= x + 1+ 1x

•1

x + 1+ 1( ) x + 1− 1( )x x + 1− 1( ) =

x + 1( )2− 1( )2

x x + 1− 1( ) =

x + 1− 1x x + 1− 1( ) =

1x x + 1− 1( )( )


Racionaliceelnumeradordelasexpresionessiguientes, simplificando los resultadosen casodeserposible.

1) x + 2 − 2x

= _____________

2) 4 − xx − 16

= _____________

3) 8 + x − 8x

= _____________

4) x + 2 − 5x − 23

= _____________


274

Enestetemaempezamosatrabajarconex-presionesmatemáticasenlasquefiguran,nosólonúmeros,sinotambiénletrasligadasconelsignodeigualdad.

Enlasecuaciones,lasletrasdesignanincógni-tas:cantidadesdesconocidas,cuyovalorestamosbuscando.

Enestaunidadvamosaresolverecuacionesdesegundoconunaincógnitaobien,ecuacionescuadráticas;lascualessondelaforma

ax2+bx+c=0,a≠0Consideraremosvariosmétodosparasufacto-

rizaciónysuposteriorsoluciónentreellostenemos:el factor común, por agrupamiento, por fórmulanotable,pordiferenciadecuadrados,métododeinspecciónylafórmulageneralentreotros.

También resolveremos problemas prácticoscotidianosquesepuedenresolverconestetipodeecuaciones.

− b ± b2 − 4ac2a

Las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado

Laexpresiónax2+bx+c=0,dondea,b,ycsonnúmerosrealescualesquieraya≠0,sellamaecuacióncuadráticaoecuacióndesegundogrado.

Lasecuacionesdesegundogradooecuacio-nescuadráticas,comootroslogrosmatemáticos,aparecenalrededordelaño2000antesdeCristo,enlastablillasaritméticasdelosbabiloniosyenlospapirosegipciosdelaño1650antesdeCristo.

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Losbabiloniosdemodosorprendenteresolvíanestasecuacionescompletandocuadradosyconelusodeciertasfórmulasgenerales.Losegipcios,porsuparte,lasresolvíanusandounprocedimientomuyengorroso,conocidocomométododefalsaposición.

EnelsigloVIantesdeCristo,laescueladePitá-gorasaplicabaparalaresolucióndeestasecuacio-nes,elafamadométodogriegodelÁlgebrageomé-tricayparaelloaplicabanelcálculodeáreas.DossiglosmástardelosdiscípulosdelfilósofoPlatón (424–347antesdeCristo)resolvíanlasecuacionescuadráticasutilizandoproporciones.

LoshinduesyenparticularBhaskara(1114–1185d.C.)utilizaronpararesolverlasecuacionescuadráticasnuevamenteelmétododecompletarelcuadrado.

Como podemos apreciar, muchos son losmetódosquesehanutilizadopararesolverdichasecuaciones. Nosotros resolveremos este tipo deecuaciones utilizando primeramente los métodosdefactorizaciónyaestudiadosyposteriormentelafórmula general de resolución de la ecuación desegundogradoax2 +bx+c=0.

− b ± b2 − 4ac2a

Pero antes recordemos estos conceptos que se encuentran en el libro de Matemática Ujarrás 2016, en la Semana Décimoquinta, titulada Ecuaciones.

Lasecuacionesylasfórmulaspuedenestarcompuestasyaseadeproposicionesverbalesobien,deproposicionesnuméricas.

275


La solucióndeunaecuacióneselnúmeroquehacequelaigualdadseaciertaalsustituirlaletrapordichonúmero

Porejemplo:

El valor x = 2 hace que la igualdad x2+3x–10=0seaciertaparadichonúmero.

1 g (2)2+3(2)–10=0 1 g (4)+3(2)–10=04+6–10=0

10–10=00=0

Conjunto solución

Sellamaconjuntosoluciónatodoslosnúmerosquesatisfacenlaigualdadenunaecuación.Eselcon-juntodetodaslasraícesoresultadosdelaecuación.

Paracomprobarsiunnúmeroessolucióndeunaecuación,sesustituyelaletraporelnúmeroysehacenlasoperaciones,siquedaelmismoresultadoaladerechayalaizquierdadeligualelnúmeroeslasolución.

Ecuación de segundo grado

Unaecuacióndesegundogradoocuadráticaesunaecuaciónpolinómicadondeelmayorexponenteesigualados.Normalmente,laexpresiónserefierealcasoenquesóloapareceunaincógnitayqueseexpresaenlaformacanónicaax2+bx+c=0,dondeaeselcoeficientecuadráticoodesegundogradoyessiempredistintodecero, beselcoeficientelinealodeprimergradoyceseltérminoindependiente.

Solución de ecuaciones de segundo grado por factorización

Comoyasabemos,elproductodedosomásnúmeroses0sialgunodelosfactoreses0.Más

aún,sielproductoes0,almenosunodelosfac-toresdebeser0.Engeneral,podemosestablecerelsiguienteprincipio:

Para cualquier par de números reales a y b, si ab = 0, entonces a = 0 ó b = 0, y si a = 0 ó b = 0 entonces ab = 0.

Esto es, a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0

Esteprincipiomatemáticonospermiteesta-blecerquesitenemosunaecuacióncon0enunlado yuna factorizaciónenel otro, lapodemosresolverencontrando losvaloresquehacen0alosfactores.

EJEMPLO 1

Resolvamoslaecuacióncuadrática (5x+1)(x–7)=0

Solución(5x + 1)(x − 7) = 05x + 1= 0 ó x − 7 = 05x = −1 ó x = 7

x =−15 ó x = 7

Verificación

x = −15

x = 7

5x + 1( )(x − 7) = 0 5x + 1( )(x − 7) = 0

/5 • −1/5

+ 1

−15

− 7

= 0 5 • 7 + 1( ) 7 − 7( ) = 0

−1+ 1( ) −15

− 7

= 0 35 + 1( ) 0( ) = 0

0( ) • −1− 355

= 0 36 • 0( ) = 0

0 = 0 0 = 0

Aplicamos el principioa • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0Resolvemos cada factor.


276

x = 7

(5x + 1)(x − 7) = 05 •7 + 1( ) 7 − 7( ) = 0

35 + 1( ) 0( ) = 0(36 •0) = 00 = 0

Porlotanto,lassolucionesdelaecuaciónson

x =−15

y x = 7 yelconjuntosoluciónes −15, 7

EJEMPLO 2

Resolvamoslaecuaciónx(2x–9)=0

Soluciónx(2x − 9) = 0x = 0 ó 2x − 9 = 0x = 0 ó 2x = 9

x = 0 ó x =92

La expresión comprende a la forma factorizada de la ecuación cuadrática: 2x2 – 9x = 0

Aplicamos el principio:

a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0

y resolvemos cada factor.

Verificación:con0 Verificacióncon 92

x(2x − 9) = 0 92• ( /2 • 9

/2− 9) = 0

0(2 • 0 − 9) = 0 92• 9 − 9( ) = 0

0 • (0 − 9) = 0 92• 0 = 0

0 • − 9 = 0 0 = 00 = 0

Por lo tanto, las coluciones de la ecuación

x(2x–9)=0sonx=0yx= 92yelconjunto

soluciónes 0, 92

Todaecuacióndelaformaax2 + bx + c = 0(a,b,c∈ ℝ, a≠0)sedenominaecuacióndesegundogradoocuadrática.Losanterioresejemplos,tambiénrepre-sentanecuacionescuadráticas.

(5x+1)(x–7)=0↔5x2 –34x–7=0 dondea=5,b=–34,c=–7

x(2x–9)=0↔2x2 –9x+0=0 dondea=2,b=–9,c=0.

EJEMPLO 3

Resolvamoslaecuación x2+5x=–6

Solución

x2+5x+6=0 Aplicamos el principio

(x+3)(x+2)=0 a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0

x+3=0óx+2=0 Resolvemos cada factor

x=–3óx=–2

Es una ecuación cuadrática donde a = 1, b = 5, c = 6

El trinomio x2 + 5x + 6 = 0, lo factorizamos por el método de inspección.

Verificación:con–3 Verificacióncon–2

(x+3)(x+2)=0 (x+3)(x+2)=0

(–3+3)(–3+2)=0 (–2+3)(–2+2)=0

(–3+3)(–3+2)=0 (–2+3)(–2+2)=0

0 g–1=0 1g0=0

0=0 0=0

Porlotantoelconjuntosolucióndelaecuaciónes{–3,–2}.

277


EJEMPLO 4

Resolvamoslaecuaciónx2–8x+16=0

Solución

x2–8x+16=0

(x–4)(x–4)=0

x–4=0óx–4=0

x=4x=4

Es una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática donde a = 1, b = – 8, c = 16 coeficientes de ax2 + bx +c = 0

Se factoriza por el método de factorización por fórmula notable: (a – b)2 = (a – b)(a – b)

= a2 – 2ab + b2

Aplicamos el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0

Comprobación

Verificación: con x = 4

x2–8x+16=0

(x–4)(x–4)=0

(4–4)(4–4)=0

0 g0=0

0=0

Porlotantolaúnicasoluciónes4,estoes,elconjuntosoluciónes{4}.

EJEMPLO 5

Resolvamoslaecuaciónx2=5x

Solución

x2=5xx2–5x=0x(x–5)=0

x=0óx–5=0x=0óx=5

Ordenamos la ecuación del trinomio ax2 + bx = 0, observe que el término c en este caso es c = 0.

Factorizamos por el método de factor común.


Resolvemos cada factor.

Verificamos estos resultados.

Verificación: con0 Verificación:con5

x2=5x x2=5xx(x–5)=0 x(x–5)=00(0–5)=0 5(5–5)=00 g–5=0 5g0=00=0 0=0

Porlotantoelconjuntosolucióneselconjunto{0,5}

EJEMPLO 6

Resolvamoslaecuacióncuadrática4x2=25

4x2=254x2–25=0(2x+5)(2x–5)=02x+5=0ó2x–5=02x=–5ó2x=5

x = − 52

ó x = 52

Se ordena el trinomio de segundo grado, ax2 + bx + c = 0, observe el término bx es cero.

Se factoriza por el método de la diferencia de cua-drados a2 – b2 = (a + b)(a – b)




278

Verificación

Porlotanto,elconjuntosolución − 52

,52

Ejemplo 7

Resolvamoslaecuacióncuadráticadadapor12x − 3

34x +

12

= 0

Solución

12x − 3

34x +

12

= 0

12x − 3

= 0 34x +

12

= 0

12x − 3 = 0 3

4x +

12

= 0

12x = 3 3

4x =

− 12

x =312

x =

− 1234

x =61

x =− 46

x = 6 x =− 23

Aplicando el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0

Resolvemos cada factor como una ecuación de primer grado.

Luego:x=6yx= − 23

Porlotantoelconjuntosoluciónes− 23, 6

Ejemplo 8

Resolvamoslaecuacióncuadráticadadapor53x −

25

12x − 1

= 0

Solución



Luegox= 625

yx=2

Porlotantoelconjuntosoluciónes 625

, 2

Ejemplo 9

Resolvamos la ecuación de segundo grado6x2+19x+10=0

Solución:

6x2+19x+10=0Como6•10=60

279


6x2 + 19x + 10 = 0Como 6 •10 = 60

15 • 4 = 6015 + 4 = 19

Es una ecuación de segundo grado donde a = 6, b = 19, c = 10, coeficientes de ax2 + bx + c = 0

Utilizamos el método de inspección con ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 1.

6x2 + 15 + 4( )x + 10 = 0

6x2 + 15x( ) + 4x + 10( ) = 0

3x 2x + 5( ) + 2 2x + 5( ) = 0

2x + 5( ) 3x + 2( ) = 0

2x + 5( ) = 0 3x + 2( ) = 02x + 5 = 0 3x + 2 = 02x = − 5 3x = − 2

x =− 52

x =− 23

Utilizamos el método de agrupamiento para encon-trar la factorización final.


Resolvemos cada factor como una ecuación de primer grado.

Lasoluciónsonlosvalores x =− 52

y x =− 23

y

x =− 52

y x =− 23

Porlotantoelconjuntosoluciónes − 52

, −23

A) Resolverlasecuacionessiguientes:

1. (x+8)(x+6)=0

2. (a–3)(a+5)=0

3. (x+12)(x–11)=0

4. x(x+5)=0

5. y(y–13)=0

6. 0=y(y+10)

7. (7x–28)(28x–7)=0

8. 2x(3x–2)=0

ACTIVIDAD 1


280

B) Determineelconjuntosolucióndelasecuacio-nessiguientes:

1. x2+6x+5=0

2. x2+7x+6=0

3. x2+7x–18=0

4. x2+4x–21=0

5. b2–8b+15=0

6. x2–9x+14=0

7. 16x–60x=x2

8. u2=182–u

9. 9x–5x2=0

10. X–3x2=0

11. 5x2 =–45

12. 12y2 +12y=–10

13. 12y2–5y=2

14. 5x2–2x–3=0

15. 10x2+7x–26=0

16. 20–4y=3y2

17. –9x2+x=0

18. –x2+6x=0

19. x2–49=0

20. 2x2–50=0

21. 9x2–16=0

22. x2–36=0.

23. 4x2+4x+1=0

24. 9x2–12x+4=0

25. 9x2–6x+1=0

26. 4x2+20x+25=0

27. 9x2+24x+16=0

28. 16x2–24x+9=0

Fórmula general de resolución de la ecuación de segundo grado

Yaconocemoscómo resolverunaecuacióndesegundogradoaplicandoladescomposicióndefactores;perohayecuacionescuadráticasdondeesteprocedimientonoesdefácilaplicación.

Porestarazónenestapartevamosaaprenderaresolverecuacionesdesegundogradoax2 +bx+c=0,utilizandolafórmulageneral.

− b ± b2 − 4ac2a

Solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita

En la resolución deunaecuación de segundogradoconunaincógnita,delaformaax2+bx+c=0,endondea,bycsonnúmerosreales,loscuales

281


jueganunpapelmuyimportantelaexpresión:b2 – 4ac, lacualrecibeelnombredediscriminante.

Discriminante

Se llama «discriminante» de la ecuación ax2 + bx + c = 0 a la expresión ∆ = b2 – 4ac

A. Consideremos cuando el discriminante esmayorquecero.

D = b2 – 4ac > 0

Si el discriminante es un número real mayor que cero (positivo), D > 0, entonces ∆ es un número real positivo y el conjunto solución de la ecuación tiene dos elementos, esto es

S =−b + D

2a, − b − D

2a

EJEMPLO 1:

Resolverlaecuación3x2–7x+2=0

Solución

Puestoquea=3,b=–7yc=2,podemoshallar el discriminante con la expresión ∆=b2–4ac.

Veamos:

D = b2 − 4ac

= (− 7)2 − 4(3)(2)= 49 − 24= 25

D > 0

Comoeldiscriminanteesmayorquecero,laecuaciónposeedossoluciones:

x1 =− b + D

2a=

− 7 + 256

=7 + 5

6

=126

= 2

x2 =− b − D

2a=

7 − 256

=7 − 5

6

=26

=13

Elconjuntosolucióndelaecuaciónes 13, 2

EJEMPLO 2:

Resolverlaecuación2x2–5x+1=0

Solución

Puestoquea=2,b=–5yc=1podemoshallar el discriminante con la expresión D=b2 –4ac.

Veamos:

D =b2 –4ac

=(–5)2–4(2)(1)

=25–8

=17D>0

Comoeldiscriminanteesmayorquecero,laecuaciónposeedossoluciones


282

x1 =− b + D

2a=

5 + 174

x2 =− b − D

2a=

5 − 174

Porlotanto,elconjuntosoluciónes

5 + 174

, 5 − 174

EJEMPLO 3:

Resolverlaecuaciónx2+x=0

Solución

Puestoquea=1,b=1yc=0podemoshallar el discriminante con la expresión D=b2 –4ac.

Veamos:

D =b2 –4ac =(1)2–4(1)(0) =1–0 =1

D >0

Como el discriminante es mayor que cero, laecuaciónposeedossoluciones

x1 =− b + D

2a=

− 1+ 12 •1

=− 1+ 1

2=

02

= 0

x2 =− b − D

2a=

− 1− 12 •1

=− 1− 1

2=

− 22

= − 1

Porlotanto,elconjuntosoluciónes{–1,0}

EJEMPLO 4:

Resolverlaecuaciónx(x+5)–3=2x(x–6)

Solución

Comox(x+5)–3=2x(x–6)

x2+5x–3=2x2–12x

x2–2x2+5x+12x–3=0

–x2+17x–3=0

x2–17x+3=0

Resolvemos esta operación hasta obtener una ecuación de segundo grado de la forma ax2 + bx + c = 0

En orden del grado trasladamos los términos al lado izquierdo y reducimos.

La ecuación se multiplica por (– 1) para quitar el signo menos del término de segundo grado

Puesto que a = 1, b = –17 y c = 3 pode-Puesto que a = 1, b = –17 y c = 3 pode-moshallareldiscriminantecon laexpresión D=b2 –4ac.

Veamos:

D =b2 –4ac =(–17)2–4(1)(3) =289–12 =277D>0


x1 =− b + D

2a=

− − 17( ) + 2772 •1

=17 + 277

2

x2 =− b − D

2a=

− − 17( ) − 2772 •1

=17 − 277

2

Observeque 277 noesunaraízexacta, 277=16,64331699…

283


Porestosetienequeelconjuntosolucióndelaecuación

x(x + 5) − 3 = 2x(x − 6) es 17 − 2772

, 17 + 2772

EJEMPLO 5:

Resolverlaecuación5x(x+2)=2x(x+1)

Solución:

Como5x(x+2)=2x(x+1)

5x2+10x=2x2+2x

5x2–2x2+10x–2x=0

3x2+8x=0

Puestoquea=3,b=8yc=0podemoshallareldiscriminanteconlaexpresiónD=b2 –4ac.

Veamos:

D =b2 –4ac

=(8)2–4(3)(0)

=64–0

=64

D>0


x1 =− b + D

2a=

− 8( ) + 642 • 3

=− 8 + 8

6=

06

= 0

x2 =− b − D

2a=

− 8( ) − 642 • 3

=− 8 − 8

6=

− 166

=− 83

Porestosetienequeelconjuntosolucióndelaecuaciónes

− 83,0

B. Consideremos cuando el discriminante esigualacero.

D = b2 – 4ac = 0

Si el discriminante es igual a cero,D = 0,entonces ∆ es también igual a cero y elconjuntosolucióndelaecuaciónesunitario,esdecir,tieneunúnicoelementoquees− b

2a,estoes

S =− b2a

EJEMPLO 1:

Resolverlaecuación4x2 – 20x + 25 = 0

Solución

Puestoquea=4,b=–20yc=25pode-moshallareldiscriminantecon laexpresión D=b2 –4ac.

Veamos:D=b2 –4ac =(–20)2–4(4)(25) =400–400 =0

EldiscriminanteD=0,luegolasoluciónvienedadaporlaexpresión

− b2a

=20

2(4)=

208

=52

Elconjuntosoluciónes 52

.

EJEMPLO 2:

Resolverlaecuación6x–x2–9=0

Solución

Ordenamosycambiamossignosmultiplicandopor–1aamboslados.

x2 –6x+9=0


284

Puestoquea=1,b=–6yc=9,podemoshallareldiscriminanteconlaexpresión∆=b2 –4ac.

Veamos:D=b2 –4ac =(–6)2–4(1)(9) =36–36 =0

EldiscriminanteD = 0, tambiénlasoluciónlapodemoshallarcon

x1 =− b + D

2a=

− b + D2a

=6 + 0

2 •1

=6 + 0

2

=62

= 3

x2 =− b − D

2a=

− b − D2a

=6 − 0

2 •1

=6 − 0

2

=62

= 3

Estoquieredecirqueelconjuntodesolucionesrealesdelaecuacióneselconjuntounitario{3}

EJEMPLO 3:

Resolverlaecuación9x2+12x+4=0

Solución

Puestoquea=9,b=12yc=4,podemoshallareldiscriminanteconlaexpresión∆=b2 –4ac.

Veamos:D=b2 –4ac

=(12)2–4(9)(4)

=144–144

=0

Lasolucióndeestaecuaciónseobtieneconlaexpresión

x =− b2a

S =

− b2a

=− 122 • 9

=− 1218

=− 46

=− 23

Porlotanto,lasolucióndelaecuación9x2 + 12x+4=0eselconjunto − 2

3

Importante:

Los resultados se tienen que factorizar al máximo, esto es, has su forma canónica.

EJEMPLO 4:

Resuelvalaecuacióncuadráticax–x2=1–x.

Solución

x–x2=1–x

x–x2–1+x=0

–x2+x+x–1=0

–x2+2x–1=0

x2–2x+1=0

Comoa=1,b=–2,c=1yeldiscriminantees∆=b2 –4ac.

∆=b2 –4ac

∆=(–2)2 –4(1)(1)

∆=4–4

∆=0

multiplicamos por (–1) ambos lados del igual

285


Puestoqueel∆=0,podemosencontrarlasolucióndeestaecuaciónconlaexpresión;lacual

esúnica x =− b2a

Porlotanto,lasolucióndex–x2=1–x.eselconjunto{1}.

C. Consideremos cuando el discriminante esmenorquecero.

D = b2 – 4ac < 0

Sieldiscriminanteesunnúmeromenorquecero(negativo),D<0,entonces ∆ carece desentidoenelconjuntoℝyaque,comosa-bemos,enℝnoexistenlasraícescuadradasdelosnúmerosnegativos.

Porlotantoelconjuntosolucióndelaecua-ción,enestecaso,esvacío,esdecir,notieneningúnelementoyporellodecimosque:

S = f

EJEMPLO 1:

Determinarelconjuntosolucióndelaecuación 2x2 + x + 8 = 0

Solución

Puestoquea=2,b=1yc=8podemoshallareldiscriminanteconlaexpresiónD=b2 –4ac.

Observe: D=b2 –4ac

D=(1)2–4(2)(8)

D=1–64

D=–63

Entonceseldiscriminanteesnegativo,D<0,porlotantoelconjuntosoluciónde2x2+x+8=0esS=∅ queeslomismoqueS={}.

EJEMPLO 2:

Determinarelconjuntosolucióndelaecuación x2 – x + 1 = 0

Solución

Puestoquea=1,b=–1yc=1podemoshallar el discriminante con la expresión D=b2 –4ac.

Observe: D=b2 –4ac

D=(–1)2–4(1)(1)

D=1–4

D=–3

Entonceseldiscriminanteesnegativo,D<0,porlotantoelconjuntosoluciónde

x2–x+1=0esf, esdecir,S={}óS=∅

RESUMIENDO:Paraunaecuacióndesegundogradocon

unaincógnitaax2 +bx+c=0condiscriminanteigualD,setiene:

I. D>0,tienedossolucionesrealesdistintas

S =− b − D

2a,− b + D

2a

II. D=0,tieneunasoluciónrealS =− b2a

III. D<0,ningunasoluciónrealS = f


286

Utilizando la fórmula general, determine elconjuntodesolucionesrealesdecadaunadelassiguientesecuaciones:

1) 6x2+x=2

2) x2 –4–3(x–2)2 =0

3) 3x2+8x–35=0

4) 4x(x–20)+5=0

5) 3x2+8x+3=0

6) 8x2+x=0

7) (x+4)(x–4)=8(x–2)

8) 5x(x–2)+6=0

9) 123x2 =0

10)2x2–8=0

11) 8x2=24x+2

12)3x2+12=0

13)x2+x+16=0

14)–3x2–x+4=0

15)x2=16x–63

16)x2=–15x–56

17)15x=24x2 + 2

18)x+11=10x2

19)–9x2+17x+2=0

20)x2=–15x–56

21)3x2+8x+3=0

22)3x2+8x–35=0

23)–v2–v=–1

24) 3m = 2m2 −98

25) 23x2 − 8x + 3

26)u2+u+1=0

27)2(3m–1)2+(3m–1)=1

28)4x(x–20)+5=0

29)(x+4)(x–4)=8(x–2)

30)5x(x–2)+6=0

31)–3x2–x+4

32)3y2+4y=y+5

ACTIVIDAD 2

287


Aplicaciones de las ecuaciones de segundo grado a la solución de problemas

Enlamismaformaaloyaestudiadoparaelcasodelasecuacionesdeprimergradoconunaincógnita,existenmuchosproblemascuyasoluciónrequieredelusodeecuacionesdesegundogradoconunaincógnita.

Sinembargo,enelcasodelosproblemasquese resuelvenmediante ecuaciones de segundogradoconunaincógnita,dadoqueelconjuntodesolucionesrealesenéstastienen,alosumo,doselementos;resultaque,enmuchoscasosespre-cisodescartarunodeesoselementos(¡yavecesambos!)comorespuestaalproblemaplanteado.Ahorabien,¿cómosabercuáldeloselementosdelconjuntodesolucionesrealesdebeserdes-cartadocomorespuesta?, talcosasehaceconbase en el enunciadomismo del problema, asíporejemplo,sielproblemanospreguntaporelnúmerodepersonaspresentesenunasaladecineyunodeloselementosdelconjuntodesolucionesdelacorrespondienteecuaciónes 2

3,entonces,

naturalmentedebeserdescartadocomorespuestapuesnopuedehabertalnúmerodepersonasenunasaladecine.

Deigualformasisenospidelaalturaenmetrosdeunárbolyunodeloselementosdelconjuntodesolucionesdelacorrespondienteecuaciónes–12,entonces,naturalmentedebeserdescartadocomorespuesta,pueslaalturadeunárbolenmetrosnopuedeserunnúmeronegativo.

Enresumen,alresolverunproblemamedianteunaecuacióndesegundogrado,sedebeprestarespecialatenciónparadeterminarsilasrespuestasnuméricastienensentidoenrelaciónconelenun-ciadodelproblema,afindedescartaraquellasque,porlanaturalezamismadelproblema,notienensignificado.

Problema 1

Lasumadedosnúmeroses10ylasumadesuscuadradoses58.Halleambosnúmeros.

Solución:

Primeroseasignalavariable xaunadelasincógnitasdelproblema.Haydosincógnitasquesonambosnúmeros,comoelproblemanohacedistinciónentreunoyotro,puedeasignarsexacualquieradelosdos,porejemplo:

x:primernúmero.

Como la suma de ambos es 10, entoncesnecesariamenteelotroserá:

10–x:segundonúmero

Conlacondiciónfinaldlproblemaseestablecequelasumadeloscuadradosdeambosnúmeroses58.Asíentoncestenemosque:

x2+(10–x)2=58 Esta es la ecuación a resolver

x2+(100–20x+x2)=58 Aplicamos la segunda fórmula notable con el término (10 – x)2 (a– b)2 = a2 – 2ab + b2

x2+100–20x+x2=58 Eliminamos el parén-tesis

2x2–20x+100–58=0 Resolviendo

2x2–20x+42=0 Dividimos por 2 a am-bos lados el trinomio obtenido

x2–10x+21=0

21=–7g–3 Utilizamos el método de inspección para a = 1

–10=–7+–3


288

(x–7)(x–3)=0

x–7=0óx–3=0 Aplicamos el principio

x=7x=3 a g b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0

obtenemos los valo-res de x.

Respuesta: Losnúmerosbuscadosson3y7.

Comprobación:

3+7=10

32 + 72=9+49=58

Problema 2

Ellargodeunasalarectangulares3metrosmayorqueelancho.Sielanchoaumenta3myellargoaumenta2m,eláreaseduplica.Halleeláreaoriginaldelasala.

Solución:

En este caso, si hay diferencia entre largoy ancho, así que hay que tener cuidado con laasignaciónysobretodo,conlainterpretacióndelavariable x.

Esteproblemapermitefácilmentequelaxsecoloqueencualquieradelasdosincógnitas,largooancho.

Asíquesupongamos:

x:anchodelasala//Ellargoes3metrosmayorqueelancho,asíque:

x+3:largodelasala//Eláreadeunrec-tánguloeslamultiplicacióndeambos:

x(x+3):áreadelasala(Estossonlosdatosiniciales)

Lascondicionesdelproblemaexplicanqueelanchoaumentaen3myellargoaumentaen2m,asíque,luegodelaumentoquedan:

x+3:nuevoanchodelasala

x+5:nuevolargodelasala

(x+3)(x+5):nuevaáreadelasala.

Lanuevaáreaeseldobledelaprimera,asíqueplanteamoslaecuación:

(x+3)(x+5)=2gx(x+3)

x2+5x+3x+15=2x2+6x Efectuamos las multiplicaciones

x2–2x2+8x–6x+15=0 y reducimos términos semejantes

–x2+2x+15=0

x2–2x–15=0 Multiplicamos por –1 ambos lados

–15=3g–5 aplicamos el método de inspección

–2=3+–5

(x+3)(x–5)=0

x+3=0óx–5=0 Aplicamos el principio

x=–3óx=5 a g b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0

Observandolasdossolucionesx=–3yx=5,tenemosquelasoluciónx=–3sedebedesechar,puestoquex es el anchodelasalaynopuedesernegativo.

289


Entonceslasoluciónx=5,debeserelanchooriginal.

Asíquex+3=5+3=8metrosdebeserellargo.

Porlotanto,eláreaoriginales8mg5m=40m2.

Problema 3

Calcular la medida de la hipotenusa de untriángulorectángulo,sabiendoquelasmedidasdesusladossontresnúmerosconsecutivos.

Solución

Podemosayudarnosdeundibujoparaplantearesteproblema

Sean:

x:unprimercateto

x+1:elsegundocateto

Recuerdelasmedidasdesusladossontresnúmerosconsecutivos

x+2:lahipotenusa

ConsiderandoelTeoremadePitágorastene-mos:

(x+2)2=(x+1)2+x2 En todo triángulo rec-tángulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadra-dos de los catetos.

x2+4x+4=x2+2x+1+x2 Desarrollamos cada cuadrado utilizando la primera fórmula notable: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

x2–x2–x2+4x–2x+4–1=0 Reducimos términos semejantes

–x2+2x+3=0

x2–2x–3=0 Multiplicamos por –1 a ambos lados.

(x+1)(x–3)=0 Factorizamos por el método de inspección.

¡Hágalo usted!

x+1=0óx–3=0 Aplicamos el principio

a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0

x=–1óx=3

Comox=–1noesunadelasrespuestas,puestoquelasmedidasnosonnegativas;tenemosquelamedidadeunodeloscatetoses3,elotroes4ylamedidadelahipotenusaes5.

Respuesta: Lamedidadelahipotenusaes5.

Problema 4

Cadagraduadodeungrupodenovenoañoescribe la dirección de los demás alumnos desuaula. Sien total secopian600direcciones,¿cuántosalumnostieneelgrupo?

Solución:

Sea nelnúmerodealumnosdelgrupo.

n – 1elnúmerodedireccionesque escribirácadaalumno.

600elnúmerototaldedirecciones.


290

Elnúmerodealumnosporelnúmerodedirec-cionesesiguala600

n(n–1)=600n2–n=600n2–n–600=0(n–25)(n+24)=0n–25=0ón+24=0n=25ón=–24

Lógicamentedejamosporfueralarespuestan=–24,puestoquenoesposible,luegosedicequeelgrupotiene25alumnos.

Problema 5

DavidesdosañosmayorqueFernandoylasumadeloscuadradosdeambasedadesesde130años.Hallarambasedades.

Solución

Siendox:laedaddeDavid

Entoncesx–2:laedaddeFernando

Segúnelproblema:

x2+(x–2)2=130 Utilizamos para desarrollar (x – 2)2

x2+x2–2(x)(2)+22=130 La fórmula notable: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

2x2–4x+4–130=0 Reducimos términos semejantes y dividimos por dos a ambos lados

x2–2x–63=0

(x–9)(x+7)=0 Factorizamos por inspección y aplicamos

a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0

x–9=0óx+7=0

x=9óx=–7 Resolvemos cada ecuación

Dejamosporfueralarespuestax=–7porquelaedaddeDavidnopuedeser–7años.

LuegotenemosquelaedaddeDavidserá9añosyporconsiguientelaedaddeFernandoesx–2=7años.

1. Hallartresnúmerosimparesconsecutivos,talesquesialcuadradodelmayorselerestanloscuadradosdelosotrosdosseobtienecomoresultado7.

Respuesta:

2. Laedaddeunpadreeselcuadradodeladesuhijo.Dentrode24añoslaedaddelpadreseráeldobledeladelhijo.¿Cuántosañostieneahoracadauno.

Respuesta:

ACTIVIDAD 3

291


3. Sialtripledeunnúmerosesumasucuadradoseobtiene88.¿Cuáleselnúmero?

Respuesta:

4. Hallarunnúmerocuyocuadradodisminuidoeneldobledelnúmeroresultan10unidadesmásdelséptuplodelnúmero.

Respuesta:

5. Halledosnúmeroscuyasumaes32ysupro-ductoes255.

Respuesta:

6. ¿Cuáleseláreayelperímetrodeltriángulorectánguloqueseindicaeneldibujo,sabiendoquelasdimensionesdadasestánenmetros?.

Respuesta:

7. Elnúmerodediagonalesdeunpolígonoden

ladosestádadoporD =n(n − 3)

2 Encontrarelpolígonoquetiene54diagonales.

Respuesta:

8. Lasumadelosprimeros n números

naturalesesS =n(n + 1)

2

¿Cuántos números naturales consecutivoscomenzandoconel1suman1275?

Respuesta:

9. ¿Cuáleselnúmerocuyocuadradomássutripleesiguala40?

Respuesta:

10.Elproductodedosnúmerosconsecutivospo-sitivoses210.¿Cuálessonesosnúmeros?

Respuesta:


292

A.Resuelvalossiguientesproblemasenformaordenada.

1. Sialcuadradodeunnúmerolerestamossutriple,obtenemos130.¿Cuáleselnúmero?

Respuesta:

2. Halledosnúmerosenterosconsecutivostalesquelasumadesuscuadradoses145.

Respuesta:

3. Sialproductodeunnúmeronaturalporsusiguientelerestamos31,obtenemoselquíntupledelasumadeambos.¿Dequénúmerosetrata?

Respuesta:

4. Calculelosladosdeunrectángulocuyadiagonalmide10cmyenelquelabasemide2cmmásquelaaltura.

Respuesta:


293


5. Loscatetosdeuntriángulorectángulosuman18cmysuáreaes40cm2.Halleloscatetosdeestetriángulo.

Respuesta:

6. Siseduplicaelladodeuncuadrado,suáreaaumentaen147cm2.¿Cuántomideelladodelcua-drado?

Respuesta:

7. Labasedeunrectángulomide5cmmásquelaaltura.Sidisminuimoslaalturaen2cm,eláreadelnuevorectánguloserá60cm2.Hallelosladosdelrectángulo.

Respuesta:

8. Elperímetrodeunrectángulomide100m,yelárea,600m2.Calculesusdimensiones.

Respuesta:


294

B. Escribalassiguientesecuacionesdesegundogradoordenadadeacuerdoconlaexpresióngeneral:ax2+bx+c=0

a) 3x•(x+4)=x2–5x+3

b) (x–3)2+1=2x–5

c) 4x2–3x=2x2+7x

d) (4x–8)•(6x–3)=0

295


Las funciones cuadráticas sonutilizadasenalgunas disciplinas como por ejemplo, Física,Economía,Biología,Arquitectura.Sonútilesparadescribirmovimientosconaceleraciónconstante,trayectoriasdeproyectiles,gananciasycostosdeempresa,variacióndelapoblacióndeunadeter-minadaespeciedeservivoyquerespondeauntipode función, y aobtenerasí información sinnecesidadderecurriralaexperimentación.

Ademásdeestascaracterísticasgeométricasdelaparábola,tenemosqueexistenotrasaplicaciones,comoenlosespejosparabólicosdelosfarosdeloscarros,enlostelescopiosastronómicos.Losradaresylasantenaspararadioastronomíaytelevisiónporsatélite,presentatambiénesetipodediseño.

Gráficas de funciones cuadráticasCuandoiniciamoselestudiodelasfunciones

y en especial de las funciones cuadráticas, lasrepresentamosenlaformatabular,gráficayalge-braicamente.Seidentificaronsituacionesdadasyquepuedenserexpresadasalgebraicamenteenlaformay = ax2 + bx + c.

Recordemos que las gráficas de todas lasfunciones cuadráticas son parábolas. El eje desimetríadetodaslasparábolassonparalelasalejeY,dondeelsignodelcoeficientedex2en lafunción y = ax2 + bx + cdeterminalaconcavidaddesugráfica.

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Cadaunodeestoselementosycomportamien-tosdelaparábolapuedenseridentificadosynospermitiránconstruirsugráficahallarsuexpresiónalgebraica y además obtener información de lafunciónengeneral.

Lamagnituddelcoeficienteprincipalnosvaadarinformaciónsobreel lado rectoyhaciadóndeabrelaparábola.

Coeficiente principal Efecto en la parábola

a<1 Longituddeladorectomayor

a>1 Longituddeladorectomenor

a<–1 Longituddeladorectomenor

a>–1 Longituddeladorectomayor

Positivo Abrehaciaarriba

Negativo Abrehaciaabajo

Veamoslassiguientesgráficas:

Ejemplo 1

LafunciónyA = 5x2tieneuncoeficienteprinci-pala=5,esdecir,esmayorqueunoypositivo.Porlotanto,sugráficatendráunalongituddeladorectomenor(estarámáscerrada)yabriráhaciaarriba.

La función yB = 12x2 tieneuncoeficienteprinci-

pala= 12 ,esdecir,esmenorqueunoypositivo,

Lado recto

Vértice de la parábola

Cero dela función

Cero dela función

Eje desimetría

La parábola abrehacia arriba


296

loqueindicaquetieneunalongituddeladorectomayor(estarámásabierta)ytambiénabriráhaciaarriba.

Ejemplo 2

LafunciónyC=–3(x–2)2+4tieneuncoefi-cienteprincipala=–3,esdecir,esmenorquemenos uno ynegativo.Por lo tanto, sugráficatendráunalongituddeladorectomenor(estarámáscerrada)yabriráhaciaabajo.

LafunciónyD=– 13(x–2)2+4tieneuncoefi-

cienteprincipala=– 13,esdecir,esmayorque

menos unoynegativo,loqueindicaquetieneunalongituddeladorectomayor(estarámásabierta)ytambiénabriráhaciaabajo.

Forma canónica o estándar de la función cuadrática

Ademásdelaformageneralópolinómicadelafuncióncuadráticay = ax2 + bx + c,dondelaparábolaquedadefinidapor losparámetros"a","b"y"c",existelallamada"formacanónica"queamenudoesmásútil,puesnospermitendeterminarlas coordenadasdel vértice (h, k) utilizando las

expresionesh = − b2a

y k = 4ac −b2 4a

.

Además se tiene que el factor "a" como lovimosanteriormentedefinelaformadelacurva.

Cuando estudiamos las expresiones alge-braicas transformamos ecuaciones de la forma y = ax2 + bx + calaformay=a(x+h)2+k,estolorealizamosconsiderandoelmétododecompletarcuadrados.

Ejemplos

1. Transformarlafuncióny=x2+14x+60asuformacanónicaoestándar.

Solución:

y=x2+14x+60

Comoa=1,b=14,c=60

h = − b2a

y k = 4ac −b2 4a

tenemosque

h = − 142 •1

= −7

k = 4ac −b2 4a

=4 1( ) 60( ) − 14( )2

4 1( ) = 240 − 196 4

= 11

Laformacanónicacorrespondea

y=1•(x+7)2 + 11

Siempre se debe escribir dentro del parén-tesis el valor opuesto del valor h obtenido.

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4-1-2-3-4

Y = 5x2

Y = x212

x

y

A

B

4

3

2

1

00

1 2 3 4 5 6 7-1-1

-2

-2

-3

-3

Y = -3(x-2)2 +4

Y = - (x-2)2+413

x

y

d

c

D

297


Paracomprobarnuestroresultadosimplementeinvertimoselproceso:

y=1•(x+7)2 + 11

y=1•(x2+14x+49)+11

y=x2+14x+49+11

y=x2+14x+60

Enconclusión,laformaestándarde y=x2+14x+60esy=1•(x+7)2 + 11

2. Transformarlafuncióny=–x2–8x–23asuformacanónicaoestándar.

Solución:

y=–x2–8x–23

y=–(x2+8x+23)

Comoa=1,b=8,c=23

h = − b2a

y k = 4ac −b2 4a

tenemosque

h = − 82 •1

= 82

= −4

k = 4ac −b2 4a

=4 1( ) 23( ) − 8( )2

4 1( ) = 92 − 64 4

= 7

Laformacanónicacorrespondea y=–1•(x+4)2–7

No olvidemos que el –1 es factor común del trinomio cuadrado.


y=–1•(x+4)2–7

y=–1•(x2+8x+16)–7

y=–x2–8x–16–7

y=–x2–8x–23

Enconclusión,laformaestándarde y=–x2–8x–23esy=–1•(x+4)2–7

3. Transformarlafuncióny=–x2+x+6asuformacanónicaoestándar.

Solución:

y=–x2+x+6

Comoa=–1,b=1,c=6

h = − b2a

k = 4ac −b2 4a

tenemosque

h = − 12 •−1

= − 1−2

= 12

k =4 −1( ) 6( ) − 1( )2

4 −1( ) = − 24 − 1− 4

= − 25− 4

= 254

Laformacanónicacorrespondea

y = −1• x − 1

2

2

+ 254


y = −1• x − 12

2

+ 254

y = −1• x2 − x + 14

2

+ 254

y = −x2 + x − 14

+ 254

y = −x2 + x + 6

Enconclusión,laformaestándarde

y=–x2+x+6es y = −1• x − 12

2

+ 254 .

– x2 – 8x – 23 =–1 • (x2 + 8x + 23)


298

Forma factorizada de la función cuadrática

Unaterceraformadeexpresióndeunafuncióncuadráticaeslaformafactorizada.Enellalostresparámetrosquedefinenalaparábolasonlasdosraícesx1yx2(cuandosonrealesydistintas)yelcoeficientecuadrático"a".

Forma factorizada de la parábola ➠ y = a(x – x1)(x – x2)

Esnaturalaceptarestaformadeexpresióndelafuncióncuadrática,puesseverificaquecuando"x"tomaelvalordelasraícesx1yx2lafunción“y”seanula.Ademástieneelcoeficiente"a"quedefinelaformadelacurva.Quedandodefinidalaformaylosdoscerosdelafunción, laparábolaquedatotalmentedefinida.

Ejemplos

1. Transformarlafuncióny=x2–3x–28asuformafactorizada.

Solución:

y=x2–3x–28

HaciendousodelmétododefactorizaciónporinspecciónCaso 1yaestudiadoanteriormente,yconsiderandoquea=1,tenemosque:

y=1•(x–7)(x+4)

Enconclusión,laformafactorizadade y=x2–3x–28esy=1•(x–7)(x+4)

2. Transformarlafuncióny=6x2–13x–5asuformafactorizada.

Solución:

y=6x2–13x–5

HaciendousodelmétododefactorizaciónporinspecciónCaso 2yaestudiadoanteriormente,yconsiderandoquea=6,tenemosque:

y = 6 • x − 52

x + 1

3

Enconclusión,laformafactorizadade

y=6x2–13x–5es y = 6 • x − 52

x + 1

3

3. Transformarlafuncióny=–x2+9x–8asuformafactorizada.

Solución:

y=–x2+9x–8

HaciendousodelmétododefactorizaciónporinspecciónCaso 1yaestudiadoanteriormente,yconsiderandoquea=–1,tenemosque:

y=–1•(x–8)(x–1)

Enconclusión,laformafactorizadade y=x2–3x–28esy=–1•(x–8)(x–1)

Las tres formas una función cuadrática

Forma Expresión Parámetros

Polinómica y=ax2+bx+c a,b,c

Canónica y=a(x+h)2 + k a,h,k

Factorizada y=a(x–x1)•(x–x2) a,x1,x2

299


Ejemplo

Forma polinómica Forma factorizada Forma canónica

y=ax2+bx+c y=a(x–x1)(x–x2) y=a(x+h)2 + k

Nospermitevisualizarlaordenadaalorigen

Nospermitevisualizarlasraícesdelafunción

Nospermitevisualizarlascoordenadasdelvérticev(–h,k)

Forma polinómica Forma factorizada Forma canónica

y=–2x2+8x–6 y=–2(x–1)(x–3) y=–2(x–2)2 + 2

ACTIVIDAD 1

1. Sif(x)=2x2–8x+5,expréseladelaforma f(x)=a(x–h)2 +k

2. Encuentrelaecuaciónestándardelaparábolay=–x2–3x+6

3. Encuentrelaecuaciónestándardelassiguien-tesparábolas.

a) y=3x2+6x–2

b) y=2x2–8x–4

c) y=–3x2+9x–7

d) y=–4x2–8x+3

4. Dadas lassiguientes funcionescuadráticas,expreseenlasrestantesformas.

a) y=–x2+6x–8

b) y=x2+4x

c) y=–x2 + 1

d) y=2(x–2)(x+3)

e) y=–2(x–4)2 + 8

Trazo de la gráfica de una función cuadrática cuyo criterio es y = ax2 + bx + c

Laformamássencilladetrazarunafuncióncuadráticaestabulando.

Estoeshaceruncuadroendondese ledévariosvaloresax(lavariableindependiente)paraobtenery(lavariabledependiente)yasíconva-riospares de coordenadasubicarlospuntosenunplanoparatrazarlagráficadelafunción.

Porejemplo:y = x2 – 4x + 3

Vamosatabular,asignándolevaloresax,paraserreemplazadosen lafunciónyasíobtenerelvalordey,loscualessonlosvaloresdef(x),yasíobtenerelpardecoordenadas:

y = x2 – 4x + 3x y

0 3

1 0

2 –1

3 0

4 3


300

Al llevar estos pares de coordenadas a lagráficaseobtiene:

Comopodemosobservardelagráficaanterior,lasparábolassiempretienenalgunascaracterís-ticasoelementosbiendefinidosdependiendodelosvaloresdelaecuaciónquelageneran.

tOrientaciónoconcavidad(ramasobrazos)

tPuntosdecorteconelejedelasabscisas(raícesoceros)

tPuntosdecorteconelejedelasordenadas

tEjedesimetría

tVértice

Apoyado en lo anterior vamos a realizar eltrazodefuncionescuadráticasencualquieradesusformas:polinómica,canónicaofactorizada.

Unadelascosasquequeremosdescubriraquíeselhechode“que tiene que ver el cambio que puede sufrir una gráfica en relación al cambio en la función algebraica”.

Esclaroquesidecimosqueunafunciónsemueveunpocohaciaarribaohaciaabajoobienhacia los lados sufre una translación. La figura

resultantees lahomoteciadeésta,esdecir,esotratransformacióngeométricaenelplanoporquecumplequelasparejasdepuntoshomotéticosestánalineadosauncentroOyademáslossegmentoshomotéticossonparalelos.Además,esobvio,quedelmismomodoqueéstasemueve,suexpresiónalgebraicatambiénsufreesoscambios.

Ahoravamosainterpretarlascurvasquenacendelafuncióny=ax².

Peroantes…

Traslación vertical

Sirealizamosunatraslación vertical de una función,lagráficasemoverádeunpuntoaotropuntodeterminadoenelsentidodelEjeY,esdecir,haciaarribaohaciaabajo.

Ejemplo:

Traslación horizontal

Si realizamosuna traslación horizontal de unafunción,lagráficasemoverádeunpuntoaotropuntodeterminadoenelsentidodelEjeX,esdecir,hacialaderechaohacialaizquierda.

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

y

d2d2

d1d1

Ceros X1 y X2Vértice V (Xv, Yv)

Eje de simetríax= Xv

Ordenadaal origen

Traslaciónhacia arriba

Función original

Traslaciónhacia abajo

x

y

301


Ejemplo:

Lastraslacionestantoverticalescomohori-zontales,estánligadasalconceptodeincremen-to o decremento de un valor constante (quedenominaremosc), por lo cual son únicamenteen forma de suma o diferencia, y se expresanmatemáticamentedelasiguienteforma:

Operación sobre la función

Traslación de una fun-ción con c > 0

y = f(x) Funciónoriginal

y = f(x + c)Setrasladaenformahori-zontal"c"unidadeshacialaizquierda.

y = f(x – c)Setrasladaenformahori-zontal"c"unidadeshacialaderecha.

y = f(x) + c Setrasladaenformavertical"c"unidadeshaciaarriba.

y = f(x) – c Setrasladaenformavertical"c"unidadeshaciaabajo.

Ejemplos

1. Lagráficadelafuncióncuadrática:y=x2 (a=1,b=0yc=0)es:

Observemosacontinuación,cómoesafectadalagráficacuandosumamosorestamosunaconstantealavariableindependiente(x)oalavariabledependiente(y).

i. Gráficadey=x2+1:Lagráficadeestafunciónsetrasladaunaunidadhaciaarriba.

Traslación haciala izquierda

Función original

Traslación haciala derecha

x

y

x

y

x

y

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3-3 -2 -1


302

ii. Gráficadey=x2–1:Lagráficadelaparábolasetrasladaunaunidadhaciaabajo.

iii. Gráficadey=(x–1)2:Lagráficadelapará-bolasetrasladaunaunidadhacialaderecha.

iv. Gráficadey=(x+1) 2:Lagráficadelapará-bolasetrasladaunaunidadhacialaizquierda.

2. Graficarlafunción:y=(x–1)2 + 2

Solución: Según lo visto anteriormente, elgráfico corresponde a una traslación de lagráficade laparábola y=x2,un lugara laderechaydosunidadeshaciaarriba.

3. Trasladarlafunciónf(x)=x2,dosunidadesaladerechay3unidadeshaciaarriba.

a) ¿Cuáleslarepresentacióngráfica?

b) Indiqueenlamismagráfica:elvérticeinicial,el vérticeposteriora la traslación,elejedesimetríadelagráficaoriginal,elejedesimetríadelagráficaposterioralatraslación.

c) ¿Cuáleselpuntodeintersecciónconelejeydelagráficatrasladada?

b) ¿Cuáleslaexpresiónalgebraica?

Solución:

x

y

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3-3 -2 -1

-1

x

y

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3-3 -2 -1

-1

x

y

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3-3 -2 -1

-1

x

y

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3-3 -2 -1

-1

x

y

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4-3-4 -2 -1-1

Función trasladada 2 unidades haciala derecha y 3 unidades hacia arriba

eje de simetríay = (x-2)2+3

eje de simetría f(x) = x2

f (x) = x2Función original

Vértice (2,3)

Vértice (0,0)

303


a) Gráficamente.

c) ElpuntodeintersecciónconelEjeyes(0,7),puestoque:

y=(x–2)2 + 3

y=(0–2)2 + 3

y=(2)2+3=7

d)Algebraicamente

4. Graficarlafunción:y=(x+2)2 + 3.

Solución:

Elvérticedeestafunciónestaráubicadoenlacoordenadas(–2,3)

IMPORTANTE

Todafuncióncuadráticay=f(x)=ax2+bx+csepuedeexpresardelaformay=f(x)=a(x–h)2 + k. Lagráficadeestaúltimafunciónesunatraslacióndelagráficaf(x)=ax2,desplazada“h”unidadeshorizontalmente,derechaoizquierda,y“k”unida-desverticalmente,arribaoabajo.

5. Representar gráficamente la parábola de laecuacióny=2x2–8x+7.

Solución:

Estas funcionessepueden representarme-diante traslaciones solo que expresándolasdelaformay=a(x–h)2 + k.

y=2x2–8x+7

y=2(x2–4x)+7sacamoselfactor2(coefi-cientedeltérminoax2)

y=2(x2–4x+4)–8+7dentrodelparéntesissumamosel4peroafuera

y=2(x–2) 2–1

Observequelagráficadey=2x2–8x+7=2(x–2) 2–1eslaparábolaobtenidaaltrasladarlafuncióny=2x2demodoquesuvérticeseaelpunto(2,–1).

x

y

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3-3-4 -2 -1

(-2, 3)

Ponemos un – 8 por el factor 2.

0 2

2

4

4

6

-2

-2

-4 x

y

y = 2x2


304

1.Representeportraslaciónlassiguientesfun-ciones:

a) y=x2 + 3

b) y=x2–2

c) y=(x+1)2

d) y=(x–4)2

2. Representeportraslaciónlassiguientesfun-ciones:

a) y=(x+1)2 + 3

b) y=(x–4)2–2

c) y=(x+1)2 –3

d) y=(x+4)2 –2

Un resultado importante

La formadeunaparáboladependeúnicayexclusivamentedelcoeficienteadex2,esdecir,cualquierparáboladeltipoy=ax2+bx+ctienelamismaformaquelaparábolay=ax2.

1. Obtengael vértice y la ecuacióndel eje desimetríadelassiguientesparábolas:

a) y=(x–1)2 + 1

b y=3(x–1)2 + 1

c) y=2(x–1)2–3

d) y=–3(x–2)2–5

e) y=x2–7x–18

f) y=3x2+12x–5

0 2

2

4

4

6

-2

-2

-4 x

y

y = 2x2- 8x+7

(2,-1)

2

ACTIVIDAD 2

2-2

2

4

4

6

6

8

(4,3)

y = 2x2 -16x+35y = 2x2


305


2. Identifiqueelejedesimetríaparacadaunadelassiguientesgráficas.

a) y=2(x+2)2–3

b) y=(x–3)2 + 1

c) y = − 12(x + 5)2 − 8

3. Dibujeenlacuadrículalagráficadelafuncióny=2x2yapartirdeellaobtengalassiguientesgráficas.

a) y=2x2–3

b) y=2(x+3)2

c) y=2(x–1)2 + 1

d) y=2(x+1)2 + 3

4. Halleelvérticeylaecuacióndelejedesimetríadelassiguientesparábolas.

a) y=–4(x+7)2–1

b) y=6(x–12)2 + 14

c) y=3(x–1)2 + 4

Observe

tElejedesimetríaeslarectaquepasaporelvérticedeunaparábolaqueladivideendosmitadescongruentes.


306

tLafuncióncuadráticaf(x)=a(x–h)2 + k tiene elejedesimetríax=h.

tLafuncióncuadráticaf(x)=ax2+bx+cdondea,bycsonnúmerosrealesya≠0,laparábolatienelassiguientespropiedades:

Elejedesimetríaeslarectax= −b2a

.

Elvérticeeselpunto−b2a

, f −b2a

.

ElpuntodeintersecciónconelejeYesC.

Aplicaciones de las funciones cuadráticas1. Una de las aplicaciones de la función cua-

drática,consisteendeterminar laalturah(t)quealcanzaunobjetodespuésdetranscurri-dostsegundos,cuandoeslanzadovertical-mentehaciaarribaconunarapidezinicialvo:

h(t) = v0t − 12gt2

Sisuponemosquelavelocidadiniciales10m/syquelaaceleraciónes10m/s2,entonceslaalturaes:h(t)=10t–5t2.

Sigraficamosestafunciónparaalgunosvaloresparat,obtenemos:

t h(t)0 01 51,5 3,752 0

Laintersecciónconelejedelasabscisas(ejehorizontal)seobtienereemplazandoh(t)=0enlafunción:

h(t)=10t–5t2

0=10t–5t2

0=5t(2–t)

t1=0ót2=2

Interpretandofísicamenteloanterior,podemosafirmarquealos0y2segundoslaalturadelobjetoescero,esdecir,estáenelsuelo.

Porotrolado,sepuedeobservarenelgráfi-coent=1segundoseencuentralamáximaaltura,ysireemplazamost=1enlafunción,obtenemosh(1)=10•1–5–12=5m

Estepuntodondesealcanzaelvalormáximodelafunciónsedenominavérticedelapará-bola.

2. Se lanza una pelota en un campo de jue-go. Su trayectoria está dada por la funciónf(x) = − 1

12x2 + 2x + 4 .

a) ¿Cuáleslaalturamáximaquealcanzalapelota?

b) ¿Aquédistanciahorizontaldelpuntodelanzamientoalcanzólaalturamáxima?

c) ¿Cuáleselvalormáximodelafunciónf.

Solución:

Expresamoslafunciónfenlaformaestandar.

h(t)5

3,75

01,5

1 2 t

307


f(x) = − 112

x2 + 2x + 4

f(x) = − 112

x2 − 24x( ) + 4

f(x) = − 112

x2 − 24x + 122 − 122( ) + 4

f(x) = − 112

x2 − 24x + 144( ) − 112

• −144( ) + 4

f(x) = 112

x − 12( )2 + 12 + 4

f(x) = 112

x − 12( )2 + 16

Larepresentacióngráficadefes

Observandolagráficapodemosindicarque:

a) Comolafunciónrepresentalaalturaqueviajalapelota,sualturamáximaesk=16.

b) Ladistanciahorizontaldelpuntodelanzamientoquealcanzólaalturamáximaesx=h=12.

c) Elvalormáximodelafunciónfsealcanzaenelpunto(12,16).

3.Encontrarlafórmuladelafuncióncuadráticafcuyagráficasemuestraacontinuación.

Solución:

Hayvariosmétodospararesponderalapre-guntaanterior,perotodosellostienenunaideaencomún:esnecesariocomprenderyluegoseleccionarlainformacióncorrectadelagráfica

Método 1:

LagráficatienedosraícesocerosenelEjeX(–3,0)y(–1,0)yintersecaalEjeYen(0,6).

LascoordenadasdelEjeXsepuedenusarparaescribirlaecuacióndelafunciónfcomosigue:f(x)=a(x+3)(x+1)

Como la intersección con el EjeY es (0,6)sabemosquef(0)=6

6=a(0+3)(0+1)=a(3)(1)=3a

a = 6

3= 2

Lafórmulaparalafuncióncuadráticafesdadopor:

f(x)=2(x+3)(x+1)=2x2+8x+6

Método 2

Laparábolatieneunvérticeen(–2,–2)ylaintersecciónconelEjeYen(0,6).La formaestandar(ovértice)deunafuncióncuadráticafpuedeescribirseasí:f(x)=a(x+2)2 –2.

112

•24 = 2412

= 2

242

2

= 122 = 144

− 112

•−144 = 14412

= 12

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

x

y

10

1

2

4

6

8

-5 -4-2

-2-3 -1


308

Como tenemos que f(0) = 6

6=a(0+2)2–2=4a–2–4a=6+2↔ 4a=8↔a=2

Lafórmulaparalafuncióncuadráticafesdadopor:f(x)=2(x+2)2–2=2x2+8x+6

1. Enlaparábolasiguientesetienequesupuntomáximo es (–1,49). Si la intersección en el EjeYes(0,40).¿Cuáleslafórmuladelafun-cióncuadrática?

A) f(x)=–9x2–18x+40

B) f(x)=9x2–18x+40

C) f(x)=–9x2+18x+40

D) f(x)=9x2+18x–40

2. Enlaparábolasiguientesetienequesupuntomínimoes 1

2,− 16

.Silaintersecciónenel

EjeYes(0,40).¿Cuáleslafórmuladelafun-cióncuadrática?

A) f(x)=–4x2–4x–63

B) f(x)=4x2–4x–63

C) f(x)=–4x2+4x–63

D) f(x)=4x2+4x–63

3. Unaparábolatienequesupuntomínimoen (3,–5)ylaintersecciónenelEjeYen–2¿Cuáleslaecuacióndelaparábola?

A) f(x) = 23x2 − 4x − 2

B) f(x) = 13x2 − 2x − 2

C) f(x) = 16x2 − x − 2

D) f(x) = 79x2 − 14

3x + 2

4.Unacompañíadeinvestigacióndemercadosestimaquenmesesdespuésdelaintroduccióndeunnuevoproducto,f(n)milesdefamiliaslousarán,endonde

f(n) = 10

9n• (12 − n), (0 ≤ n ≤ 12)

Estime el número máximo de familias queusaránelproducto.

Respuesta:


10

10

-10

-10

20

-20

30

-30

40

-40

0x

309


5.Seestudiaronlosefectosnutricionalessobreratasquefueronalimentadasconunadietaqueconteníaun10%deproteína.Laproteínacon-sistíaenlevadurayharinademaíz.Variandoelporcentajepdelevaduradelamezcladeproteínaseestimóqueelpesomedioganadoengramosdeunarataenunperiodofue

Encontrarelmáximopesoganado.

Respuesta:

6. Lacotizaciónenbolsadelasaccionesdelaempresavaaseguiren2016,aproximadamen-telaevoluciónsiguientef(t)=342+39t–3t2,dondeteseltiempoenmeses.

a)¿Enquémesalcanzalamáximacotización?

Respuesta:

b)Calculeelporcentajedebeneficiosquehabráobtenido.

Respuesta:

7.Elnúmerodepersonasatacadascadadíaporunadeterminadaenfermedadvienedadaporlafunción f(x)=–x2+40x+84,dondexrepre-sentaelnúmerodedíastranscurridosdesdequesedescubriólaenfermedad.Calcule:

a) ¿Cuántaspersonasenfermanelquintodía?

Respuesta:

b)¿Cuándodejadecrecerlaenfermedad?

Respuesta:

c)¿Cuándodesaparecerálaenfermedad?

Respuesta:

8.Undelfíntomaimpulsoysaltaporencimadela superficie del mar siguiendo la ecuación y–x2+6x+12dondeyesladistanciaalfondodelmar(enmetros)yxeltiempoempleadoensegundos.

a) Calculecuándosalealasuperficieycuándovuelveasumergirsesabiendoquelaprofun-didaddellugaresde20metros.

Respuesta:

b) ¿Cuántoduróelsalto?

Respuesta:

9. Laempresadeserviciotienecostosvariablespor mantenimiento del edificio, dada por lafunciónC(x)=60000+5x2–1000xycostosfijosde60000.

¿Cuántas personas se necesitan hospedarparaminimizarloscostos?

Respuesta:


310

10. Unfabricantedeterminaquesuingreso"R"ob-tenidoporlaproducciónyventade"x"artículosestádadaporlafunción:R(x)=350x–0,25x2.

a) Calcule el ingreso cuando se venden 100artículos.

b) Sielingresoobtenidoesde¢120000,deter-minelacantidaddeartículosvendidos.

Respuesta:

11.SupongamosquelatemperaturadeunciertodíadelaciudaddeSanJoséluegodethoraspasadalamedianocheestádadaporlafunción:

T(t) = − 1

4t2 + 4P + 10o

a) Graficarlatemperaturaenfuncióndeltiempo.

b) ¿Cuálfuelatemperaturaalas2delamañana.

c)¿Aquéhoralatemperaturafuemáxima?

Respuesta:

12. Las temperaturasentre las0hsy las2hsenunazona rural seajustanpor la funciónT(x) = − 1

10x − 12( )2 + 10 ,dondeTeslatem-

peraturaenºCy"x"eslahoradeldía.

a) ¿Cuálfuelatemperaturamáxima?

b) ¿Aquéhoradeldíaseregistró?

c) ¿Qué temperatura se registra a las 3 de latarde?

Respuestas:

13.Elarcodeunpuentequecruzaunrío,seadaptaa la función cuadrática h(x) = − 1

20x x − 20( )

donde"h"eslaalturadelarcoy"x"eselanchodelrío,ambosenmetros.

a) ¿Cuáleslaalturamáximaaqueseelevaráelarco?

b) ¿Aquédistanciadelmargendelríoalcanzaráelpuentelaalturamáxima?

c) Quéalturatendráelarcoa5mdelaorilla?

Respuestas:

311

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADMatemática - EL MAESTRO EN CASA

DISTRIBUCIÓN SEGÚN HABILIDADES Y CONOCIMIENTOSÁREA 4: ESTADÍSTICA Y PROBABLIDAD

CONOCIMIENTOS HABILIDADES ESPECÍFICASVariables cuantitativast Discretast Continuas

1. Establecerdiferenciasentrevariablescuantitativas:dis-cretasycontinuas.

2. Clasificarvariablescuantitativasendiscretasocontinuas.

Distribuciones de frecuenciat Clasesointervalost Frecuenciaabsolutat Frecuenciarelativayporcentualt Representacióntabulart Representacióngráfica

3 Histogramas3 Polígonosdefrecuencia

3. Reconocerlaimportanciadeagrupardatoscuantitativosenclasesointervalos.

4. Resumirungrupodedatoscuantitativospormediodelaelaboracióndeuncuadradodedistribucionesdefrecuenciaabsolutayrelativa(oporcentual).

5. Interpretarlainformaciónqueproporcionauncuadrodedistribucióndefrecuenciasalresumirungrupodedatoscuantitativos.

6. Resumirlainformaciónproporcionadaporunadistribucióndefrecuenciasmedianteunhistogramaounpolígonodefrecuencias(absolutasorelativas),einterpretarlainfor-maciónqueproporcionanestasrepresentacionesgráficas.

7. Utilizaralgúnsoftwareespecializadoounahojadecál-culoparaapoyarlaconstruccióndelasdistribucionesdefrecuenciaysusrepresentacionesgráficas.

Muestras aleatorias 1. Identificar la importancia del azar en los procesosdemuestreoestadístico.

Probabilidad frecuencialt Estimación de probabilidad:

empleodelafrecuenciarelativa(conceptofrecuencialoempírico)

t Introducciónalaleydelosgran-desnúmeros

2. Identificar eventos para los cuales su probabilidad nopuedeserdeterminadaempleandoelconceptoclásico.

3. Utilizarelconceptodefrecuenciarelativacomounaaproxi-maciónalconceptodeProbabilidad,eneventosenloscualeselespaciomuestralesinfinitooindeterminado.

4. Identificarquelaspropiedadesdelasprobabilidadesqueestánvinculadasconeventoseguro,probableeimposibletambiénsonválidasparalaidentificaciónfrecuencial.

5. Identificarque,parauneventoparticular,sufrecuenciarelativadeocurrenciaseaproximahacialaprobabilidadclásicaconformeelnúmerodeobservacionesaumenta.

6. Resolverproblemasvinculadosconfenómenosaleatoriosdentrodelcontextoestudiantil.


312

313


EstadísticaContinuamosconlaunidadEstadística y probabilidad en ellibrode

MatemáticaZapandí2016conladefinicióndealgunosconceptoselemen-talesybásicos,ysinembargopilares,paraunacomprensiónintuitivayrealdeloqueeslaEstadística.Sepretendeintroduciralestimadoestudianteenlosprimerospasossobreelusoymanejodedatosnuméricos:distinguiryclasificarlascaracterísticas,enseñarleaorganizarytabularlasmedidasobtenidasmediantelaconstruccióndetablasdefrecuenciayporúltimolosmétodosparaelaborarunaimagenqueseacapazdemostrargráficamenteunosresultados(histogramasypolígonosdefrecuencia)

Elaserto“unaimagenvalemásquemilpalabras”sepuedeaplicaralámbitodelaestadísticadescriptivadiciendoque“ungráficobienelaboradovalemásquemiltablasdefrecuencias”Cadavezesmáshabitualelusodegráficosoimágenespararepresentarlainformaciónobtenida.Noobstante,debemosserprudentesalconfeccionaro interpretargráficos,puestoqueunamismainformaciónsepuederepresentardeformasmuydiversas,ynotodasellassonpertinentes,correctasoválidas.

Nuestroobjetivo,consisteenestablecerloscriteriosynormasmínimasquedebenverificarseparaconstruiryrepresentaradecuadamentelosgráficosenelámbitodelaestadísticadescriptiva.


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315


Cuandocoloquialmentesehabladeestadística,sesuelepensarenunarelacióndedatosnuméricospresentadadeformaordenadaysistemática.Estaideaeslaconsecuenciadelconceptopopularqueexistesobreestetérminoyquecadavezestámásextendidodebidoalainfluenciadenuestroentorno,yaquehoydíaescasiimposiblequecualquiermediodedifusión,bienseaelperiódico,laradio,latelevi-siónyotrosnonosabordediariamenteconcualquiertipodeinformaciónestadísticasobreaccidentesdetráfico,índicesdecrecimientodepoblación,turismo,tendenciaspolíticas,etc.

Sólocuandonosadentramosenunmundomásespecíficocomoeselcampodelainvestigación,porejemplo,delasCienciasSociales:Medicina,Biolo-gía,Psicología,etc.seempiezaapercibirquelaEstadísticanosóloesalgomás,sinoqueseconvierteenlaúnicaherramientaque,hoyporhoy,permitedarluzyobtenerresultados,yportantobeneficios,encualquiertipodeestudio,cuyosmovimientosyrelaciones,porsuvariabilidadintrínseca,nopuedanser abordadosdesde laperspectivade las leyesdeterministas.Podríamos,desdeunpuntodevistamásamplio,definirlaestadísticacomolacienciaqueestudiacómodebeemplearselainformaciónycómodarunaguíadeacciónensituacionespracticasqueentrañanincertidumbre.

La Estadística se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir, hallar regularidades y analizar los datos, siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una causa intrínseca de los mismos; así como de realizar infe-rencias a partir de ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular predicciones.

¿QUÉ ES LA ESTADÍSTICA?

Podríamospor tantoclasificar laEstadísticaendescriptiva,cuandolosresultadosdelanálisisnopretendenirmásalládelconjuntodedatos,einferencialcuandoelobjetivodelestudioesderivarlasconclusionesobtenidasaunconjuntodedatosmásamplio.

Estadística descriptiva: Describe, analiza y representaungrupode

datos utilizando métodos numéricos y gráficosqueresumenypresentanlainformacióncontenidaenellos.

Estadística inferencial: Apoyándoseenelcálculodeprobabilidadesy

apartirdedatosmuéstrales,efectúaestimaciones,decisiones,prediccionesuotrasgeneralizacionessobreunconjuntomayordedatos.

Conceptos básicos sobre estadísticaAnteriormente en los libros de Matemática

TérrabayMatemáticaUjarrás2016conocimosyestudiamosestosconceptos,aquínuevamenteva-mosarepasarlosdebidoaqueharemosreferenciacontinuamentedeestosalolargodeldesarrollodelassiguientespáginas.

Población, elementos y variables estadísticas

Esobvioquetodoestudioestadísticohadeestarreferidoaunconjuntoocoleccióndepersonasocosas.Esteconjuntodepersonasocosasesloquedenominaremospoblación.


316

Laspersonasocosasqueformanpartedelapoblaciónsedenominanelementos.Ensentidoestadísticounelementopuedeseralgoconexis-tenciareal,comounautomóvilounacasa,oalgomásabstractocomolatemperatura,unvoto,ounintervalodetiempo.

Asuvez,cadaelementodelapoblacióntieneunaseriedecaracterísticasquepuedenserobjetodelestudioestadístico.Asíporejemplosiconsi-deramoscomoelementoaunapersona,podemosdistinguirenellalossiguientescaracteres:

Sexo,Edad,Niveldeestudios,Profesión,Peso,Altura,Colordepelo,Etc.

Luegoportantodecadaelementodelapo-blaciónpodremosestudiarunoomásaspectoscualidadesocaracteresquesellamanvariables estadísticas.

Lapoblaciónpuedesersegúnsutamañodedostipos:

t Población finita:elnúmerodeelementosquelaformanesfinito,porejemploelnúmerodealumnosdeunaescuelaprimaria.

t Población infinita:elnúmerodeelementosque la forman es infinito, o tan grande quepudiesen considerarse infinitos. Como porejemplosiserealizaunestudiosobrelopro-ductosquehayenelmercado.Haytantosydetantascualidadesqueestapoblaciónpodríaconsiderarseinfinita.

Ahorabien,normalmenteenunestudioesta-dístico,nosepuedetrabajarcontodosloselemen-tosdelapoblaciónsinoqueserealizasobreunsubconjuntodelamismaalquesellamamuestra,esdecir,undeterminadonúmerodeelementosdelapoblación.

Variables estadísticas

Comohemosvisto,loscaracteresdeunele-mentopuedenserdemuydiversostipos,por loquelospodemosclasificaren:dosgrandesclases:

a) Variables cuantitativas

Las variables cuantitativas son las que sedescribenpormediodenúmeros.

Porejemplo

Elpeso, laaltura, laedad,númerodehijosposibles:0,1,2,3,4,5,…

Asuvezestetipodevariablessepuededividirendossubclases:

t Cuantitativas discretas.Son aquellas quepueden tomarsolociertosvaloresenun in-tervalo, demanera que no admite un valorintermedioentredosvaloresconsecutivosfijos,porejmploelnúmerodehermanos,páginasdeunlibro,etc.

t Cuantitativas continuas:Son lasvariablesque puedenmedirse, cuantificarse o expre-sarsenuméricamente,ellasadmitencualquiervalorderangonuméricodeterminado(edad,peso,talla).

Noobstanteenmuchoscasoseltratamientohacequeavariablesdiscretas lastrabajaremoscomosifuerancontinuasyviceversa.

b) Variables cualitativas

Lasvariablescualitativassonaquelloscarac-teresqueparasudefiniciónprecisandepalabras,esdecir,nolepodemosasignarunnúmero.

Porejemplo

1. Supongamos que en una urna tenemos 20bolasdecolorrojo,15decolorazuly18de

317


colorblanco.Sacamosunabolaalazar,estoes sin mirar la urna. Si suponemos que lavariablees“elcolordelabolaextraídadelaurna”.Entonceslosvaloresposiblesdeestavariablesonelextraer{rojo,azul,blanco}.

2.El grupo sanguíneo tiene por modalidades:gruposanguíneoA,gruposanguíneoB,gruposanguíneoABygruposanguíneoO.

3.Siestudiamoselgradoderecuperacióndeunpacientealaplicarleuntratamiento,podemostenercomomodalidades:

Gradoderecuperación:Nada,Poco,Modera-do,Bueno,MuyBueno.

Avecesserepresentanestetipodevariablesenescalasnuméricas,porejemplo,puntuareldolorenunaescalade1a5.Debemosevitarsinem-bargorealizaroperacionesalgebraicasconestascantidades.¡Undolordeintensidad4nodueleeldoblequeotrodeintensidad2!

IMPORTANTE

Si la variable estadística es continua, y hay muchos valores entre sí, que en algunos casos se repiten, es con-veniente agrupar estos valores de la variable estadística en intervalos para poder manejar la información de forma más cómoda. Para ello dividimos todos los valores de la variable estadística en n partes iguales, y cada uno de los intervalos obtenidos se les llama intervalo de clase. La marca de clase (xi) es el punto medio de los intervalos de clase.

1. Digadelasvariablessiguientescuálesrepre-sentandatosdiscretosycualesdatosconti-nuos.

A.Censosanuales realizadospor el INEC(InstitutoNacionaldeEstadísticayCenso)

B. Temperaturas registradas del cráter delVolcánArenalcadahoraenunaestaciónsismográfica.

C.Longitudde20000llavesproducidasenunafábrica.

D.NúmerodejabonesvendidosenunodelossupermercadosenelCantóndeAserrí.

E.Lasmedidasdelosdiámetrosdelostorni-llosproducidosenundíaenunafábrica.

F. Las alturas de los estudiantes de unaescuela.

G. El número de hijos en cadaunade lasfamiliasque integran laEscuelaManuelHidalgoMoradeAserrí.

2.Digaquétipodevariablesson:

A. X=LospaísesdeCentroamérica.

B. T=Númerodelibrosenunodeloses-tantesenlarecepcióndeICER.

C. L=Númerodelitrosdeaguaenunapis-cina.

D. M=Elradiodeuncirculo.

E. Ñ=ElnúmerodepedacitosdeloteríavendidoscadadíaporDonAlejandro.

ACTIVIDAD 1


318

3. Indiquesi estamos tomandounamuestraotodalapoblaciónencadacaso:

a)Para hacer un estudio sobre el número dehermanosdelosestudiantesdelnivelZapandídelLiceodeAserrí,sepreguntaparaestoalosestudiantesdelZapandíC.

b)Para hacer un estudio sobre el número dehermanosyhermanasdelosestudiantesdelnivelZapandíCdelLiceodeAserrí,sepreguntaparaestoacadaunodelosestudiantesdelaclase.

4.Digaencadaunadelassiguientessituaciones,cuáleslavariableydequétipoes(cualitativa,cuantitativadiscretaocuantitativacontinua):

a)Tiempodeesperaparaentrarenlaconsultadeunmédico.

b)Colorfavorito.

c)NúmerodevecesalmesquevanalcinelosestudiantesdelaEscueladeBarrioCorazóndeJesúsdeAserrí.

d)EstaturadelosreciénnacidosenCostaRicaduranteelúltimoaño.

5.Clasifiquecadaunadelassiguientesvariablesencualitativasocuantitativas.Sisoncuan-titativasclasifíquelasasuvezendiscretasocontinuas.

a) ocupación

b) zonaderesidencia

c) peso

d) altura

e) númerodeautomóvilesquehaposeído

f) númerodehermanos

g) númerodeempleadosdeunafábrica

h) pesoenkgdelosreciénnacidosenundíaenlaprovinciadeLimón.

319


Tabla de distribución de frecuenciaA menudo en una investigación se recogen

grandes cantidadesdedatosnuméricos. Cuandoestoocurreesdifícilvisualizarunordenoestructuraqueayudeaanalizarlos.Paralograrloesnecesariocondensarlosdatosengruposdeacuerdoaciertasdivisionesdelarectanumérica(intervalosoclases).

Intervalo de clase: Intervalos empleados en las tablas de frecuencias estadísticas, capaz de contener diversas medidas de una variable. Consta de un límite inferior (Li) y un límite superior (Ls).

Otropuntoimportantequeelestadistadebedefinir,eslacantidaddeintervalosdeclasequeemplearáenlatabladefrecuencia.Estacantidadde intervalos no deberían ser muchos, debidoa que no se cumpliría el objetivo de resumir lainformación,ynotanpocosintervalos,yaqueseperderíamuchainformación.

Aunque con esta agrupación la informacióninicial sobre cada dato individual se pierde, esmásfácilvisualizarrápidamentelascaracterísticasprincipalesdelgrupototaldedatos.

Lafrecuenciadeunintervaloeselnúmerodedatosquecorrespondenaeseintervalo.

Unadistribucióndefrecuenciaesunatablaenlaqueaparecentodoslosintervalosylasfrecuen-ciasdedatoscorrespondientesacadaintervalo.Estaagrupacióndedatosnuméricosporintervalosoclasessellamaunadistribucióndefrecuenciaporque en ella se indica cuan frecuentementeaparecendatosencadaintervalo.

Aspectos importantes que se deben teneren cuenta cuando se crea una distribución defrecuencia

1. Rango o amplitud total (recorrido)

Esel límite dentro del cual están compren-didos todos losvaloresde laseriededatos,enotraspalabras,eselnúmerodediferentesvaloresquetomelavariableenunestudiooinvestigacióndada.Esladiferenciaentreelvalormáximodeunavariableyelvalormínimoqueéstatomaenunainvestigacióncualquiera.

Elrangoeseltamañodelintervaloenelcualseubicantodoslosvaloresquepuedentomarlosdiferentesdatosdelaseriedevalores,desdeelmenordeelloshastaelmayorestandoincluidosambosextremos.ElrangodeunadistribucióndefrecuenciasedesignaconlaletraR.

Rango=ValorMáximo–ValorMínimo

Observe:

ElrangoRgráficamentesepuedeinterpretardelamanerasiguiente:

2. Clase o intervalo de clase

Son divisiones o categorías en las cualesseagrupanunconjuntodedatosordenadosconcaracterísticascomunes.Enotraspalabras,sonfraccionamientosdelrangoorecorridodelaseriede valores para reunir los datos que presentanvalorescomprendidosentreloslímites.


320

Paraorganizarlosvaloresdelaseriededatoshayquedeterminarunnúmerodeclasesqueseaconveniente.Enotraspalabras,queesenúmerode intervalosnoorigineunnúmeropequeñodeclasesnimuygrande.Unnúmerodeclasespe-queñopuedeocultarlanaturalezadelosvaloresyunnúmeromuyaltopuedeprovocardemasiadosdetallescomoparaobservaralgunainformacióndegranutilidadeninvestigación.

Se recomienda que en una distribución defrecuencia no haya más de 15 ni menos de 5intervalos.

Noexisteunafórmula,niunosprincipiosúnicosparaestablecerelnúmerodeintervalos.Cuandoseanecesarioestableceremoselnúmerodeinter-valosNCcalculandolaraízcuadradadeltotaldeelementosconsideradosenelestudio.

Nc = n

Número de intervalos (Nc): Cantidad de intervalos con los cuales se compone una tabla de frecuencia.

3. Límites de los intervalos

Ellímiteinferiordeunintervalocorrespondealvalormínimoquepuedeincluirseenelintervalo.Ellímitesuperiordeunintervalocorrespondealvalormáximoquepuedeincluirseonoenelintervalo.

Porejemplo:

a)Puntuaciones Frecuencia200–299 2300–399 8400–499 6

Enelejemploanterior200esellímiteinferiory299esellímitesuperiordelprimerintervalo.

En este libro de Matemática Zapandí 2016, agruparemos los datos de variable continuas en clases o intervalos que incluyen todos los valores desde un número dado hasta otro número pero excluyendo a este número. Además aquí optaremos por manejar un número de intervalos solo entre 5 y 15.

b)Peso Frecuencia

100–bajo120 5120–bajo130 8130–bajo140 6

Lorepresentaremosasí:

Peso Frecuencia100–120 5120–130 8130–140 6

Enelejemploanterior100esellímiteinferiory120esellímitesuperiordelprimerintervalo.

4. Tamaño de los intervalos de clase

Los intervalos de clase pueden ser de trestipossegúneltamañoqueestospresentanenunadistribucióndefrecuencia:

a) clasesdeigualtamaño

b) clasesdesigualesdetamaño

c) clasesabiertas

5. Amplitud de los intervalos (A)

Se refiere al tamaño que debe tener cadaintervalodeclase.

Paradeterminarlaamplitud(A)delosintervalosdeunadistribuciónsedividelaamplitudoalcance

321


deladistribución:Rango(R)entreelnúmerodeintervalos(Nc).

A =RNc

El conjunto de intervalos debe incluir todoslosdatos.

Nodebehabertraslapodeintervalos.

6. Distribución de frecuencia absoluta

Enlatabladefrecuenciaabsoluta(fi)seseñala,paracadaintervalooclase,lacantidaddedatoscuyosvalorespertenecenalintervalo.

7. Distribución de frecuencia relativa

Lafrecuenciarelativa(hi)eslarazónqueseob-tienealdividirlafrecuenciaabsolutadeunintervaloentreelnúmerototaldedatosenladistribución.

t Lafrecuenciarelativa(hi)sepuedeexpresarcomounaproporciónocomounporciento.

t Ladistribuciónde frecuencia relativa (hi)esesencial paracomparardatosdedosdistri-bucionesdiferentes.

t Si la frecuencia relativa (hi) del intervalo semultiplica por 100 se obtiene el por cientocorrespondienteadichointervalo.

Estoeslafrecuenciaporcentual(%).

Porlogeneral,enlaspublicacionesnoespe-cializadas,seutilizamáslafrecuenciaporcentual(%)quelafrecuenicarelativa(hi).

Sinembargoestaseobtieneluegodehabercalculadolafrecuenciarelativa.

Ejemplo 1

UnsondeorealizadoenlafacultaddeAdminis-tracióndeunauniversidaddelpaíssobre30alumnosdel sexto semestre de Administración Industrial,pretendemostrarqueedadeslamásrepresentativa.

Lasedadesdelosalumnosfueron:

17 17 19 19 3121 18 27 21 2224 19 25 24 2423 20 29 21 1921 22 21 20 2019 19 23 20 21

Construya una tabla de distribución de fre-cuencias absolutas y relativas que resuma losresultadosobtenidos.

Solución:

PASO 1:Ordenamoslainformaciónenformacreciente

17 17 18 19 1919 19 19 19 2020 20 20 21 2121 21 21 21 2222 23 23 24 2424 25 27 29 31

PASO 2:Determinarelnúmerodeintervalos(Nc)

Comotenemos30datosvamosacalcularlaraízcuadradadeestenúmero(Nc = n )

Nc = n

(Nc= 30 =5,477≅6intervalos)

Se debe siempre aproximar el número deintervalosalenteromáspróximo,recordandoqueestevalornoserámenora5,niunvalormayora15.Nuestratablaestaráconstituidaporseisintervalos.

PASO 3:Determinarelanchodecadaintervalo.

Antesdehallarelanchodelosintervalosdeclase, debemos calcular el rango (R) comoprimeramedida.

Observando la tabla tenemos que el terminomenores17yelmayor31(R=31–17=14).


322

ConelRangoyelnúmerodeintervalos,po-dremoshallarelancho:

A =RNc

=146

A = 2,333

Elanchosedebeajustarparatrabajarconelmismonúmerodedecimalesqueenelconjuntodedatos tratados. Como losdatossonvaloresenteros,aproximamosalenterosuperior

A ≅ 3

Elajustedelanchonopodrásermenoralvalorobtenidoinicialmente.

PASO 4:DeterminarelnuevoRango(R’).

Enelmomentoderealizarelajustedelanchodelintervalo,elrangoseincrementaautomáticamente.Este“NuevoRango”lodenotaremoscomoR’:

R’=A•Nc

R’=3•6=18

Nuevo Rango ( R’): rango que es con-venido por el ancho de los intervalos a los decimales que son manejados en los datos objeto del estudio. Su cálculo se realiza multiplicando el ancho ajustado por el número de intervalos:

R’=A•Nc

El rangose incrementoencuatroaños. ElincrementoselesumaráalvalorMáximo(Xmax’)oserestaráalvalorMínimo(Xmin’).EnestecasooptaremosporaumentarelvalorMáximoyreducirelvalorMínimoendos.

Incremento=R’–R=18–14=4

(Xmax’)=31+2=33

(Xmin’)=17-2=15

PASO 5:Determinarlosintervalosdeclasesiniciales.

Conlosvaloresmáximosymínimos,yelancho,podremosarmarcadaintervalodeclase.Elprimerintervalopartedelvalormínimo,alcualleagregamoselancho.

Ni Li Ls1 15 18

Elsegundointervalopartedellímitesuperiordelintervaloanterior

Ni Li Ls1 15 182 18 21

•••

Seguimosrealizandoesteprocesohastaal-canzarelvalormáximo:

Ni Li Ls1 15 182 18 213 21 244 24 275 27 306 30 33

IMPORTANTE:

Observe que esta primera distribución pre-senta algunos inconvenientes al momento de repartir las frecuencias a cada intervalo de clase, por ejemplo, existen 6 personas del total de encuestados que tienen una edad de 21 años, los cuales podrían ser clasificados en el intervalo dos o en el tres.

Ni Li Ls2 18 213 21 24

323


Estecasoseleconocecomoel“Problema de la Ambigüedad”,yelcualdebesersolucio-nadoantesdeterminarlatabladefrecuencia.

En este libro de Matemática Zapandí 2016 realizaremos lo siguiente:

Se trabajan con intervalos cuyos límites superiores e inferiores tendrán un decimal adicional sobre el número de decimales manejados en los datos.

Porejemplo,sielLímiteSuperiordelprimerintervalo es 21 y los datos trabajados sonvaloresenteros,elnuevolímitesuperiorserá21,1.Silosdatostrabajanconundecimal,elnuevoLímiteSuperiorsería21,01.

El primer límite Inferior (Valor Mínimo) y el último límite Superior (Valor Máximo) se mantendrán sin modificación.

El problema quedaría solucionado de la si-guientemanera:

Ni Li Ls2 18,1 21,13 21,1 24,1

Lasseispersonasquetienen21añosqueda-ríanregistradasenelintervalonúmero2.

PASO 6:Determinarlosintervalosdeclasesreales.

Ni Li Ls1 15,0 18,12 18,1 21,13 21,1 24,14 24,1 27,15 27,1 30,16 30,1 33,0

PASO 7:Cuandoyasetienedefinidosquienessonlosintervalosreales,porconteo,yayudán-donosconlatablaobtenidaenelPASO1,obte-nemoslafrecuenciaabsolutadecadaintervalodeclase,osencillamenteclase.

Estimado estudiante.

Este procedimiento de conteo, lo estudia-mos en el libro de Matemática Térraba 2016.

Si posee alguna duda ahí puede volver a repasarlo.

Ni Li Ls Conteo1 15,0 18,1 ///2 18,1 21,1 /////////////3 21,1 24,1 //////4 24,1 27,1 //5 27,1 30,1 /6 30,1 33,0 /

PASO 8:LacolumnadefrecuenciasabsolutassecompletadeacuerdoalconteoobtenidoenelPASO7.

Ni Li Ls fi

1 15,0 18,1 32 18,1 21,1 163 21,1 24,1 74 24,1 27,1 25 27,1 30,1 16 30,1 33,0 1

Total 30

Observequeelnúmerototaldedatoscorres-pondea30.


324

PASO 9:Lacolumnadefrecuenciasrelativassecompletadeacuerdoalainformaciónob-tenidaenelPASO8.

Recuerdequelafrecuenciarelativadecadaclaseseobtienedividiendolafrecuenciaab-solutaporelnúmerototaldedatos,enestecasoN=30.

Ni Li Ls fi hi1 15,0 18,1 3 3÷30=0,102 18,1 21,1 16 16÷30=0,533 21,1 24,1 7 7÷30=0,234 24,1 27,1 2 2÷30=0,075 27,1 30,1 1 1÷30=0,036 30,1 33,0 1 1÷30=0,03

Total 30 1,00

PASO 10:Respuesta: la tablade frecuenciasabsolutas,frecuenciasrelativaseslasiguiente:

Ni Li Ls fi hi1 15,0 18,1 3 0,102 18,1 21,1 16 0,533 21,1 24,1 7 0,234 24,1 27,1 2 0,075 27,1 30,1 1 0,036 30,1 33,0 1 0,03

Total 30 1,00

2. Ejemplo de cálculo con frecuencias

Calcular losdatosquefaltanenlasiguientetabla:

Li Ls fi hi

0 10 60 h1

10 20 n2 0,4020 30 30 h3

30 40 n4 0,1040 50 n5 h5

total N=200

Solución:

Sabemosqueeltotaldelosdatos Nesigualaltotaldeobservaciones,luegoN = 200.

a) Calculemos h1

Comoh1 correspondealafrecuenciarelativa

delaprimeraclase,

b) Calculemos n2

Comon2 correspondealafrecuenciaabsolutadelsegundointervalodeclase,

n2

200= 0,40

n2 = 200 • 0,40n2 = 80

c) Calculemos h3

Comoh3 correspondealafrecuenciarelativadeltercerintervalodeclase,

d) Calculemos n4

Comon4 correspondealafrecuenciaabsolutadelcuartointervalodeclase,

n4

200= 0,10

n2 = 200 • 0,10n4 = 20

e) Calculemos n5

n5 corresponde a la frecuencia absoluta delquintointervalodeclase,puestoque

n1 + n2 + n3 + n4 + n5 = 200 donde n1 =60, n2 = 80, n3 = 30, n4 =20

325


setieneque60+80+30+20+n5=200

190 + n5 =200

n5 =200–190 n5 =10

f) Calculemos h5

h5 corresponde a la frecuencia relativa delquintointervalodeclase,puestoque

h1+h2 +h3+h4 +h5 = 1dondeh1 =0,30, h2 = 0,40; h3 = 0,15, h4 =0,10

setieneque

0,30+0,40+0,15+0,10+h5=1,00

0,95+h5 =1,00

h5 =1,00–0,95

h5 =0,05

Latablacompletacorrespondea

Li Ls fi hi

0 10 60 0,3010 20 80 0,4020 30 30 0,1530 40 20 0,1040 50 10 0,05total N=200

Recuerde:

Tablas de datos

Tabular datos consiste en confeccionar una tabla en la que aparecen bien organizados los valores de la variables que se están estudiando, junto con otros datos que ahora explicamos:

t Frecuencia absoluta fi es el número de individuos que toma cada valor.

t Frecuencia relativa hi =fi

N, resultado

de dividir la frecuencia absoluta entre el total de la población.

Representaciones gráficasHemosvistoque la tabladedistribuciónde

frecuenciasresumelosdatosquedisponemosdeunapoblación,deformaqueéstasepuedeanalizardeunamaneramássistemáticayresumida.Paradarnoscuentadeunsolovistazodelascaracterís-ticasdelapoblaciónresultaaúnmásesclarecedorelusodegráficosydiagramas,cuyaconstrucciónabordamosenMatemáticaUjarrás2016.

Gráficos para variables cuantitativas

Para lasvariablescuantitativas,seconside-randostiposdegráficos,enfuncióndequepararealizarlosseusan las frecuencias (absolutasorelativasoporcentuales)asaber:

Diagramas diferenciales: Son aquellos enlosquese representan frecuenciasabsolutasorelativas(porcentuales).Enellosserepresentaelnúmerooporcentajedeelementosquepresentaunamodalidaddada.

Diagramas integrales:Sonaquellosen losqueserepresentanelnúmerodeelementosquepresentan unamodalidad inferior o igual a unadada.Serealizanapartirdelasfrecuenciasacu-muladas,loquedalugaragráficoscrecientes,yesobvioqueestetipodegráficosnotienesentidoparavariablescualitativas.


326

Segúnhemosvistoexistendostiposdevaria-blescuantitativas:discretasycontinuas.

Veamosacontinuaciónlasdiferentesrepre-sentacionesgráficasquesepuedenrealizarparacadaunadeellasasícomolosnombresespecíficosquereciben.

Estimado estudiante:

Según hemos visto existen dos tipos de variables cuantitativas: discretas y conti-nuas. En el libro de Matemática Zapandí 2016 sólo vamos a considerar el tipo de gráficos para variables continuas en función de que para realizarlos se usen las frecuencias (absolutas, relativas o porcentuales) los cuales corresponden a los diagramas diferenciales.

Construcción y análisis de histogramas

Enmuchasocasioneslainformaciónpropor-cionadaenunatabladedistribucióndefrecuen-ciasestansingularoimportantequesedecidepresentar esos resultados de forma gráfica.Cuandosedecideutilizarelgráfico,estesustitu-yealatabla,nolacomplementa.Porellonosedebentenertantosgráficoscomotablas.Comosepresentasólounodelosdosseacostumbrareflejarlainformaciónnuméricaenelgráficoparaquenoseanecesarialatablacorrespondiente.Incluso,unnúmero innecesariamente grandedegráficoslepuederestarlucidezaltrabajoenlugardeproporcionarlecalidadorigorcientífico.Sedebelograrunbalanceentreestasdosformasdepresentaciónderesultados.

Los histogramas son una forma sencilla de mostrar datos que se han recolectado para su análisis, a partir de hojas de verificación u hojas de registro, o simplemente a partir de registros convencionales de datos.

Elobjetivobásicodeunhistogramaestransmitirlainformacióndeformatalquepuedasercaptadarápidamente, de un golpe de vista. Luego, unhistogramadebeserantetodosencilloyclaro,apesardesuaspectoartístico,yaqueseelaboraparaserincluidoenuntrabajocientífico.

Estetipodegráficoseusapararepresentarunadistribucióndefrecuenciasdeunavariablecuantitativacontinua.

Método de elaboración del histograma

1. Obtenerunamuestraylosvaloresdelava-riable que se estudia.Mínimo 30 datos. Esrecomendableutilizarunahojaderegistros.

2. Calcular el rango o amplitud de los datos(diferenciaentreelmayoryelmenordelosdatos).

3. Determinar el ancho de cada intervalo queserviráparaconstruir el histograma.Seob-tienedividiendoelrangocalculadoenelpasoanteriorenelnúmerodeintervalos:

c =

RNc

.

4. Acadabarracorrespondeunintervalodeclaseo“clase”.

Esrecomendablequeelhistogramatengade5a15barras.Unabuenaaproximacióndelnúmerodeintervalosaconsejableseobtienecalculando la raíz cuadrada del número dedatos.

327


Se aconseja que el tamaño o amplitud deintervalotengaungradodeaproximaciónnomayoraaquelconelqueseregistranlosdatos.

5. Establecerloslímitesofronterasdecadaclase,esdecir,losvaloresdeinicioyterminacióndecadaintervalo.

6. Construirlatabladefrecuencias.Latabladefrecuenciassepuedeconstruirdediferentesformasperohayquetenerencuentaqueelprimerintervalodebecontenerelmenordelosdatosyelúltimoelmayor.Asimismo,lapresen-tacióndelosdatosenlatabladefrecuenciasnodebegenerarconfusionesacercadelintervaloquecontienecadadato.Enloposible,todoslosintervalosdebentenerelmismoancho.

7. Esusualqueenlaprimeracolumnaseregistreelnúmerodeordendecadaclase,enlase-gundaseescribanlosintervalos,enlaterceralasmarcasdeclaseenlacuartalasfrecuen-ciasabsolutasyenlaquintalasfrecuenciasrelativas.

8. Graficarelhistograma.Enloposibledarunapresentacióntalquelaalturaseaaproxima-damente¾delanchodelagráfica.

El histograma de frecuencias en sí es unasucesión de rectángulos construidos sobre unsistemadecoordenadascartesianasdelamanerasiguiente:

t Lasbasesdelosrectángulosselocalizanenelejehorizontal,EjeX.Lalongituddelabaseesigualalanchodelintervalo.

t Las alturas de los rectángulos se registransobreelejevertical,EjeYycorrespondenalasfrecuenciasdelasclases.

t Lasáreasdelosrectángulossonproporcio-nalesalasfrecuenciasdelasclases.

t Loshistogramaspuedenestarreferidosalasfrecuenciasabsolutas,alasfrecuenciasrela-tivasoporcentuales.

Elanálisisdesuscaracterísticasnospuedecon-duciradiferentesconclusionesacercadelapoblacióndelacualsehatomadolamuestraenestudio.

Ejemplo 1

EnunaClasedeMatemáticasepesantodoslosestudiantespararealizarunaprácticadees-tadística.Losdatosobtenidosseresumenenlasiguientetablayestánexpresadosenkg.

66 59 53 65 72 64 62 69 56 54 57 51

58 69 57 60 53 61 58 66 49 59 68 61

62 60 56 55 62 65

Calcule:

a) Eltamañodelapoblación.

b) Construyaunatablaestadísticaasociadaconintervalosdeamplitudde3kg.

c) Construyaelhistogramadefrecuenciasabso-lutasasociadoaestatabla.

d) Construyaelhistogramadefrecuenciasrela-tivasasociadoaestatabla.

Solución:

a)Eltamañodelapoblaciónes30.

b) Para construir una tabla estadística de dis-tribuciónabsolutao simpleen intervalosdeamplitud3kgnecesita

PASO 1.Seordenanlosdatosdelatabladevaloresenformacreciente.Vertablasiguiente:

49 51 53 53 54 55 56 56 57 57 58 58

59 59 60 60 61 61 62 62 62 64 65 65

66 66 68 69 69 72


328

ElValorinferiores49yelValorsuperiores72.

PASO 2:Construimoslosintervalosconunaamplitudde3kg(esteesundatoprevio),así,noolvidemosqueelvalorinferiores49yelvalorsuperiores72.

Intervalos49 - 5252–5555–5858–6161–6464–6767–7070–73

PASO 3. Observando la tabla de valoresdelPASO1 y los intervalos construidos enel PASO2,podemosconstruirlacolumnadefre-cuenciasabsolutasdelosintervalosdeclase.

n Losdatos 49 51 estánenel intervalo49–52.

n Losdatos 53 53 54 estánenel in-tervalo52–55,observequeel55quedaafuera,recuerde,antessecombinoparaeste libro deMatemática Zapandí 2016queelextremosuperiordel intervalonoesunvalordeeste.

n Losdatos 55 56 56 57 57 estánenelintervalo55–58.

.

.

. Procediendodeigualmaneracompletamosla

siguientetablaconlasfrecuenciasabsolutas.

Intervalos Frecuenciaabsoluta

49 - 52 252–55 355–58 558–61 661–64 564–67 567–70 370–73 1Total 30

PASO 4. Deigualmanera,observandolatabladevaloresdelPASO1ylatabladefrecuenciasabsolutasconstruidasenelPASO3,podemosconstruirlacolumnadefrecuenciasrelativasdelosintervalosdeclase.

Recuerde que para obtener las frecuenciasrelativas debemos realizar la división de lafrecuenciaabsolutaentreeltotaldedatos,enestecasoesN=30.

IntervalosFrecuencia

absolutaFrecuencia

relativa

49 - 52 2 2÷30=0,06752 - 55 3 3÷30=0,10055 - 58 5 5÷30=0,16758 - 61 6 6÷30=0,20061 - 64 5 5÷30=0,16764 - 67 5 5÷30=0,16767 - 70 3 3÷30=0,10070 - 73 1 1÷30=0,033Total 30 1,00

Importante: Cuandoelpropósitodelatablaqueestamoscreandoesconstruirunpolígonoasociadoaella,necesitamoslacolumnadelasmarcasdeclaseopuntosmediosdelosinterva-

329


los.Paralasmarcasdeclasesolosenecesitalacolumnadelosintervalos.Perocomotodoestájunto,lavamosacolocardespuésdelacolumnadelasfrecuenciasrelativas.

Inte

rval

os

Frec

uenc

iaab

solu

ta

Frec

uenc

iare

lativ

a

Mar

cas

de

cla

se49–52 2 0,067 49 + 52

2= 50,5

52–55 3 0,10052 + 55

2= 53,5

55–58 5 0,16755 + 58

2= 56,5

58–61 6 0,20058 + 61

2= 59,5

61–64 5 0,16761+ 64

2= 62,5

64–67 5 0,16764 + 67

2= 65,5

67–70 3 0,10067 + 70

2= 68,5

70–73 1 0,03370 + 73

2= 71,5

Realizandoloanterior,tenemosquelatabladefrecuenciasestadísticaasociadaeslasiguiente:

TABLA 1: Peso (en kg) de los estudiantes de una clase de Matemática

Intervalos Frecuenciaabsoluta

Frecuenciarelativa

Marcas de clase

49 - 52 2 0,067 50,552–55 3 0,100 53,555–58 5 0,167 56,558–61 6 0,200 59,561–64 5 0,167 62,564–67 5 0,167 65,567–70 3 0,100 68,570–73 1 0,033 71,5Total 30 1,000

c)ElhistogramadefrecuenciasabsolutasasociadoaladistribucióndelaTabla1eselsiguiente:

Observe:

Habitualmente se representa la frecuenciaobservadaenelEjeY,estoes,lainformaciónreunidaenlacolumnadelasfrecuenciasabso-lutas,laescalaverticaloEjeYgeneralmentecomienzaencero.

Frecuenciaabsoluta

2

3

5

6

5

5

3

1

30

EnelEjeX,secolocalavariable,usualmentemidenlaamplituddelosintervalosdeclase,obien,loslímitesdecadaclaseaparecenenelejehori-zontal,elEjeXoescalahorizontalpuedeiniciarsecon cualquier número adecuado que convengacomopuntodepartidaparainiciarclases.

Laescaladelejecorrespondientealavaria-bleserotulaconloslímitesinferioresdenotacióndelasclasesconsideradasyseagregaalfinalelque lecorresponderíaaunaclasesubsiguienteinexistente.Enestecaso,lasfrecuenciasdebenresultarproporcionalesnoalaalturadelasbarras,sinoaláreadelasmismas,loquesignificaquelaobtencióndelasalturasdelasbarrasresultaunpocomáscomplejaqueenlosgráficosanteriores.


330

Recuerde:

Un histograma se emplea para ilustrar mues-tras agrupadas en intervalos. Está formado por rectángulos unidos a otros, cuyos vérti-ces de la base coinciden con los límites de los intervalos y el centro de cada intervalo es la marca de clase, que representamos en el eje de las abscisas, Eje X. La altura de cada rectángulo es proporcional a la frecuencia del intervalo respectivo.

d)ElhistogramadefrecuenciasrelativasasociadoaladistribucióndelaTabla1eselsiguiente.

Observe,enelEjeY,secolocalainformaciónreunidaenlacolumnadelasfrecuenciasre-lativasexpresadasenporcentajes.

FrecuenciaRelativa (%)

6,710,016,720,016,716,710,03,3100,0

EnelEjeX,secolocalavariable,usualmentemiden la amplitud de los intervalos de clase, obien,loslímitesdecadaclaseaparecenenelejehorizontal.

Ejemplo 2:

Elsiguiente dibujocorrespondeaunhisto-gramadefrecuenciasabsolutasdelasedadesde30obrerosdeunafábrica,observequeenelejehorizontalsetienecomoanchodelorectángulosel extremo inferior y el extremo superior de losdistintosintervalosdeclaseyenelejeverticaloEjeY,lafrecuenciaabsoluta.

Gráfico 1: Histograma de frecuencias absolutas

Peso (en kg) de los estudiantes de una clasede Matemática

Escala 3 : 2 Peso (kg)

Frec

uen

cia

abso

luta

Gráfico 2: Histograma de frecuencias relativas porcentuales

Peso (en kg) de los estudiantes de una clasede Matemática

Escala 3 : 2 Peso (kg)

Frec

uen

cia

rela

tiva


Edades (años) de los obreros de una fábrica

Edades (años)

Frec

uen

cia

abso

luta

331


Ejemplo 3:

Elsiguientedibujocorrespondeaunhistogramadefrecuenciasrelativasoporcentualesdelasedadesde30obrerosdeunafábrica,observequeenelejehorizontalsetienecomoanchodelorectánguloselextremoinferioryelextremosuperiordelosdistintosintervalosdeclaseyenelEjeverticaloEjeY, lafrecuenciadelosdatosdadosenporcentajes.

Polígonos de frecuenciaSeutiliza,aligualqueelhistograma,parare-

presentardistribucionesdefrecuenciasdevariablescuantitativascontinuas,perocomonoseutilizanbarrasensuconfecciónsinosegmentosderecta,deahíelnombredepolígono.Habitualmenteseusacuandosequieremostrarenelmismográ-ficomásdeunadistribuciónounaclasificacióncruzadadeunavariablecuantitativacontinuaconunacualitativaocuantitativadiscreta,yaqueporlaformadeconstruccióndelhistogramasólosepuederepresentarunadistribución.

Parasuconfección,unavezconstruidasyro-tuladaslasescalas,demaneraacomoserealizaparaunhistograma,losvaloresdealturasobtenidossemarcansobreelpuntomedioomarcadeclasedelosintervaloscorrespondientesyluegosepro-cedeauniresospuntosconsegmentosderecta.

Paraelaborarunpolígonodefrecuenciaparti-mosdeunatabladefrecuenciadada.Aligualque

con loshistogramas:histogramade frecuenciasabsolutasehistogramasdefrecuenciasrelativas,tambiénsetienepolígonosdefrecuenciasabso-lutasypolígonosdefrecuenciasrelativas.

Ejemplo 1:

Elsiguientepolígonoqueconstruiremosesunpolígonodefrecuenciasabsolutas.

Consideremos laTabla2sobre lavelocidad(kg/h)enunazonaescolar:

Li Ls Frecuenciaabsoluta

Marcas de clase

2,0 6,1 12 4,16,1 10,1 15 8,110,1 14,1 21 12,114,1 18,1 24 16,118,1 22,1 21 20,122,1 26,1 12 24,126,1 30,0 8 28,1

Total 113

PASO 1:Paracrearelpolígonodefrecuenciasabsolutas primero se debe crear el histograma defrecuenciasabsolutasdeacuerdoalaTabla2anterior:

Observe que ya lo tenemos construido, usted debe seguir todos los pasos que ya estudiamos anteriormente.

Gráfico 4: Histograma de frecuencias relativas o porcentuales

Edades (años) de los obreros de una fábrica

Edades (años)

Frec

uen

cia

rela

tiva


Velocidad (km/h) en zona escolar

Velocidad (km/h)

Frec

uen

cia

abso

luta


332

PASO 2: Trazarlossegmentosderectaentrelos puntos medios de los techos de columnascontiguas,partiendodesdeelpuntodeorigen(0,0)hastaelpuntofinaldefinidoenelejehorizontal

PASO 3:Nuestropolígonodefrecuenciassinelhistogramaquedaríadelasiguienteforma:

Características de los polígonos de frecuenciast Nomuestranfrecuenciasacumuladas

t Seprefiereparaeltratamientodedatoscuan-titativos.

t Elpuntoconmayoralturarepresentalamayorfrecuencia.

t Suelenutilizarsepara representar tablasdedatosagrupados.

t Eláreabajolacurvarepresentael100%delosdatos.

t Elpolígonodefrecuenciaestádiseñadoparamantenerlamismaáreadelascolumnas.

Consideremoslasiguienteporcióndeungrá-ficocualquieraparaprobarlaanteriorafirmación.

“El polígono de frecuencia está diseñado para mantener la misma área de las co-lumnas”.

Observequecadalíneacortaunaporcióndelacolumna,peroasuvez,agregaunaporciónadicional.Ambasporcionessoniguales(triángulosrectángulosiguales),manteniendoeláreaglobalenelgráfico.

Gráfico 5.1: Polígono e histograma de frecuencias absolutas

Velocidad (km/h) zona escolar

Velocidad (km/h)

Frec

uen

cia

abso

luta

Gráfico 5.2: Polígono de frecuencias absolutas

Velocidad (km/h) zona escolar

Velocidad (km/h)

Frec

uen

cia

abso

luta

333


IMPORTANTE:

Pararepresentarelpolígonodefrecuenciasenelprimeryúltimointervalo,suponemosqueadya-centesaestosrectángulosexistenotrosintervalosdelamismaamplitudyfrecuencianula,queseunenporuna línea rectaa lospuntosdelhistogramacorrespondientealasmarcasdeclase.Observeeldibujosiguiente,elpolígonodefrecuenciastieneencomúnconelhistogramaelquelasáreasdelasgráficassobreunintervalosonidénticas.Considereambasgráficasdiferencialesrepresentadasenlapartesuperiordelafigurasiguiente:

Ejemplo 2:

ConsiderelaTabla3defrecuenciasquecorres-pondealpesoenkilogramosde65personasadultas:

TABLA 3: Peso en kilogramosEjemplo de ilustración

Intervalos Marcas declase

Frecuenciaabsoluta

50–60 55 860–70 65 1870–80 75 1680–90 85 1490–100 95 10100–110 110 5110–120 115 2

Total:65

Construirunpolígonodefrecuenciasabsolutas.

Solución:

PASO 1: Paraconstruirunpolígonode fre-cuencias,sedebeconstruirprimeroelhistogramade frecuencias absolutas, no olvide, debemossuponerunrectánguloalinicioyadyacentealosobtenidos,tambiénalfinaldelosrectángulosconfrecuenciasnulas.

PASO 2: Enelhistogramaconstruido,marca-moslospuntosmediosdelosrectángulos,inclu-yendolosadyacentesalosdibujadosdeacuerdoconlatabladefrecuencias.


Peso (en kilogramos) de 65 personas adultas

Peso (kg)

Frec

uen

cia

rela

tiva

10

Gráfico 6: Histograma y polígono de frecuencias absolutas

Peso (en kilogramos) Nacimientos de bebés durante el mes de mayo en el Hospital de la Mujer

Peso (kg)

Frec

uen

cia

abso

luta

Gráfico 7.1: Histograma y polígono de frecuencias


Peso (kg)

Frec

uen

cia

abso

luta


334

PASO 3:Larespuestadebeserdadaretirándolelos triángulosydejandosolo los segmentosqueunenlospuntosmediosdelosintervalosdeclase.

Recuerde:

Un polígono de frecuencias es una gráfica de líneas de una distribución de frecuen-cias, en donde para el eje horizontal se anota las marcas de clase y en el eje vertical la frecuencia absoluta o relativa. También un polígono de frecuencias pue-de formarse colocando un punto sobre la mitad de la cúspide de cada rectángulo del histograma y luego uniendo dichos puntos por medio de una línea). Este representa curvas útiles para describir los datos.

1. Escribaelsignificadodecadaunadelassi-guientespalabras:

❖ Clase

❖ Intervalodeclase

❖ LímitesdeClase

❖ MarcadeClase

❖ Frecuenciadeclase

❖ Rangoorecorrido

❖ Frecuenciaabsoluta

❖ Frecuenciarelativa

2. Lossiguientespuntajesrepresentanelnúmerodetomatesrechazadosenundíaenunmer-cadomayorista.Lospuntajescorrespondena50díasseleccionadosaleatoriamente.

29 58 80 35 30 23 88 49 35 97

12 73 54 91 45 28 61 61 45 84

83 23 71 63 47 87 36 8 94 26

95 63 86 42 22 44 88 27 20 33

28 91 87 15 67 10 45 67 26 19

❖ Construya una tabla de frecuencias con 9clases.

❖ Construyaunhistogramadefrecuenciasab-solutasquecorrespondealatablaanterior.

3. La siguiente tabla registra la temperaturamáximaenunaciudaddurante20días.

Temperatura (°C)

Frecuenciafi

27–29 230–32 633–35 836–38 4

Gráfico 7.2: Polígono de frecuencias


Peso (kg)

Frec

uen

cia

abso

luta

ACTIVIDAD 2

335


¿Cuáleselhistogramacorrespondientealatablaanterior?Seleccionarentrea,byc.

a)

b)

c)

4. Enunaclasesepesantodoslosalumnosylosdatosobtenidosenkilogramosseresumenenlasiguientetabla.

66 59 53 65 72 64 62 69 56 54 57 51

58 69 57 60 53 61 58 66 49 59 68 61

62 60 56 55 62 65

Calcule:

a) Eltamañodelapoblación.

b) Construyeunatablaestadísticaasociada.

c) Construyaelpolígonodefrecuenciasasociadoaesatabla.

5.Organice los datos siguientes en intervalosde 10 cm desde 150 a 200.Construya unatabladefrecuenciasyelaboreunpolígonodefrecuenciassimple:

171 158 150 185 186 178 166 185 199183 175 173 175 164 173 178 179 164176 159 190 173 189 163 156 169

Resumiendo:

Elanálisisdeladistribucióndefrecuenciasenlasvariablescuantitativascontinuastieneelinterésdequelascategoríasmediantelasqueseordenaladistribuciónnovienedeterminadoporlavariable,sinoquedebeelegirse.Elprimerpasoparacons-truir latabladeladistribucióndefrecuenciasesdividirelrecorrido(conjuntodeposiblesvaloresdelavariable)enclasesointervalos(preferentementequenosesolapen).Alpuntocentraldecadaundeestosrecorridoslollamaremosmarcas de clase ylorepresentamosporMc.

Frec

uen

cia

abso

luta

Temperatura (°C)

Frec

uen

cia

abso

luta

Temperatura (°C)

Frec

uen

cia

abso

luta

Temperatura (°C)


336

Inte

rval

o

Cat

egor

ías

de la

var

iabl

e

Frec

uenc

ia

Abs

olut

a

Freu

enci

a R

elat

iva

l0,l1 Mc1 n1 h1 = n1

N… … … …

lf–1,lj Mcj nj hj = n1

N… … … …

lk–1,lk Mck nk hk = nk

NN 1

LamarcadeclasequedafijadaporMc =Li + Ls

2

dondeLiesellímiteinferiordelintervaloyLsesellímitesuperiordelintervalo.

Se llama amplitud del intervalo a la cantidad de unidades del recorrido de la variable que contiene un intervalo.

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Construyaunatabladefrecuenciaconlasiguientetabladedatos:

96,65 118,94 353,18 831,52 170,72 136,76546,56 949,14 717,34 189,10 226,96 888,39376,43 97,94 72,06 897,99 510,13 774,02358,48 835,14 146,19 992,42 722,36 56,06718,43 869,57 251,83 473,74 253,90 852,44859,76 950,77 742,90 243,41 558,50 965,75705,55 461,15 167,49 174,51 919,39 784,0173,16 673,45 137,28 490,94 87,95 763,32731,09 235,69 927,49 43,07 224,61 829,01

SOLUCIÓN

PASO1:Debemosordenarlatabladedatosenformacreciente

43,07 56,06 72,06 73,16 87,95 96,6597,94 118,94 136,76 137,28 146,19 167,49170,72 174,51 189,10 224,61 226,96 235,69243,41 251,83 253,90 353,18 358,48 376,43461,15 473,74 490,94 510,13 546,56 558,50673,45 705,55 717,34 718,43 722,36 731,09742,90 763,32 774,02 784,01 829,01 831,52835,14 852,44 859,76 869,57 888,39 897,99919,39 927,49 949,14 950,77 965,75 992,42

337


PASO 2: Determinarelnúmerodeintervalos(Nc).

Comotenemos54datosvamosacalcularlaraízcuadradadeestenúmero(Nc = n )

Nc = n

(Nc= 54 =7,348≅8intervalos)

PASO 3:Determinarelanchodecadaintervalo.

Peroantesdebemosdeterminarelrangocomoprimeramedidautilizando

Xmax=992,42

Xmin=43,07

R=992,42–43,07=949,35

ConelRangoyelnúmerodeintervalos,po-dremoshallarelancho:

A =RNc

=949,35

8A = 118,67

Elanchosedebeajustarparatrabajarconelmismonúmerodedecimalesqueenelconjuntodedatostratados,son dos decimales.

A ≅ 118,67

PASO 4:DeterminarelnuevoRango(R’).

Como el ancho fue ajustado, se procede ahallarelnuevorango(R’).

R’=A•Nc

R’=118,67•8=949,36

El incrementoentreelnuevorango(R’)yelrangoinicial(R),sereparteentreelvalormí-nimoyelvalormáximo.

Incremento=R’–R=949,36–949,35=0,01

(Xmax’)=992,42+0,005=992,425

(Xmin’)=43,07–0,005=43,065

PASO 5:Determinarlosintervalosdeclasesiniciales.

Observeconatenciónlosiguiente:

t LacolumnaNinosindicaelnúmerodelintervalooclase,paraestecasolovamosaincluir,perononecesariamentesehacetodoeltiempo.

t ElcolocarlacolumnaLiylacolumnaLsenalgunoscasoses relativamentemáscómoda.

t Seguidamentesedarálainformacióndelos intervalos de clase iniciales en dospresentaciones,ambassonequivalentes,ustedpuedeseleccionarlaqueleparezcamásconveniente.

PASO 6:Determinarlosintervalosdeclasesreales.

Observe

El límite inferior 43,065 (valor Mínimo) y elúltimolímiteSuperior992,425(ValorMáximo)sedebenmantenersinmodificación.

Ni Li Ls1 43,065 161,7352 161,735 280,4053 280,405 399,0754 399,075 517,7455 517,745 636,4156 636,415 755,0857 755,085 873,7558 873,755 992,425

Intervalos43,065–161,735161,735–280,405280,405–399,075399,075–517,745517,745–636,415636,415–755,085755,085–873,755873,755–992,425


338

Como el límite superior del primer intervalodelosintervalosoriginaleses161,735(tienetresdecimales)paracrearelprimerintervalodeclasesreales,sedebeagregaruncuartodecimaluno,así:161,7351yallímiteinferiordelprimerintervaloreal,siempremanteniéndolosincambiosseleagregauncero,así:43,0650,porestoelintervaloenlatablainiciaasí:

Ni Li Ls1 43,0650 161,7351

Haciendoelmismoprocedimientocreamoselúltimointervalodeclasesrealesasí:

8 873,7551 992,4250

Estos son los intervalos de clase reales endospresentaciones,ambassonequivalentes,ustedpuedeseleccionarlaqueleparezcamásconveniente.

Paso 7:Determinarlasfrecuenciasabsolutas.

Paraobtenerlafrecuenciaabsolutadecadaintervalodeclase,serealizaelconteodelosdatosubicadosenlatabladedatosqueper-tenecenendichointervalo.

Ni Li Ls fi

1 43,0650 161,7351 142 161,7351 280,4051 73 280,4051 399,0751 34 399,0751 517,7451 45 517,7451 636,4151 26 636,4151 755,0851 77 755,0851 873,7551 98 873,7551 992,4250 8

total 54

Paso 8:Determinarlasfrecuenciasabsolutas,frecuenciasrelativas.

Paraobtenerlafrecuenciarelativadividimoseltotaldelosdatosporlafrecuenciaabsolutadecadaintervalodeclase.

Ni Li Ls fi hi

1 43,0650 161,7351 14 0,262 161,7351 280,4051 7 0,133 280,4051 399,0751 3 0,064 399,0751 517,7451 4 0,075 517,7451 636,4151 2 0,046 636,4151 755,0851 7 0,137 755,0851 873,7551 9 0,178 873,7551 992,4250 8 0,15

total 54 1,00

Paso 9:Determinarlasfrecuenciasabsolutas,frecuenciasrelativasymarcasdeclases.

Paraobtenerlamarca de clase de cada inter-valosesumaellímiteinferioryellímitesuperior,alresultadodeestasumaseledividepordos.

Ni Li Ls fi hi MC1 43,0650 161,7351 14 0,26 102,402 161,7351 280,4051 7 0,13 221,073 280,4051 399,0751 3 0,06 359,674 399,0751 517,7451 4 0,07 339,745 517,7451 636,4151 2 0,04 577,086 636,4151 755,0851 7 0,13 704,827 755,0851 873,7551 9 0,17 814,428 873,7551 992,4250 8 0,15 933,09

total 54 1,00

Ni Li Ls1 43,0650 161,73512 161,7351 280,40513 280,4051 399,07514 399,0751 517,74515 517,7451 636,41516 636,4151 755,08517 755,0851 873,75518 873,7551 992,4250

Intervalos43,0650-161,7351161,7351-280,4051280,4051-399,0751399,0751-517,7451517,7451-636,4151636,4151-755,0851755,0851-873,7551873,7551-992,4250

339


2.Enelsiguienteconjuntodedatos,seproporcio-nanlospesos(redondeados)alibrasdeniñosyniñasnacidosenciertointervalodetiempo:

4 8 4 6 8 6 7 7 7 810 9 7 6 10 8 5 9 6 37 6 4 7 6 9 7 4 7 68 8 9 11 8 7 10 8 5 77 6 5 10 8 9 7 5 6 5

a) Construirunatabladedistribucióndefrecuenciaabsolutadeestospesos.

b) Luegoencontrarlasfrecuenciasrelativas

c) Construirunhistogramadefrecuenciasrela-tivasconlosdatosdelaspartesa)yb).

d) ¿Porquésehautilizadounhistogramapararepresentarestosdatos,enlugardeunagráficadebarras?

Solución:

a)Antesdecomenzaraconstruirlatabladefre-cuenciasdebemosordenarlosdatosenformacreciente:

3 4 4 4 4 5 5 5 5 56 6 6 6 6 6 6 6 6 77 7 7 7 7 7 7 7 7 77 8 8 8 8 8 8 8 8 89 9 9 9 9 10 10 10 10 11

Vamos a construir una columna con los 5intervalosdeclaserealesyamplitudde2ylacolumnadelasfrecuenciasabsolutas.

Intervalos hi

(%)2,0 4,1 10%4,1 6,1 28%6,1 8,1 42%8,1 10,1 18%

10,1,1 12,0 2%Total 100

b) Alatablaanterior,vamosaunirlelacolumnadelasfrecuenciasrelativas.

Intervalos fihi

(%)2,0 4,1 5 10%

4,1 6,1 14 28%

6,1 8,1 21 42%

8,1 10,1 9 18%

10,1,1 12,0 1 2%

Total 50 100

c) Construcción del histograma de frecuenciasrelativas

d) Interpretacióndelgráfico:Sepuedeobservarque lamayorcantidaddeniños tuvieronunpesode6a7libras.

Además,seutilizaunhistogramaenlugardeungráficodebarrasporquelavariablepesoesunavariablecuantitativacontinua.Alosefectosdefacilitarloscálculosselaredondea,perosunaturalezaigualsiguesiendocuantitativacontinua.


340

3.Setienelasiguientedistribucióndefrecuen-ciasdelossalarios(por1000colones)delos65obrerosdeunacompañíapurificadoradeagua.

SALARIOS (por 1000 colones)

NÚMEROS DE OBREROS

¢50,00-¢59,95 8

¢60,00-¢69,95 10

¢70,00-¢79,95 16

¢80,00-¢89,95 14

¢90,00-¢99,95 10

¢100,00-¢109,95 5

¢110,00-¢119,95 2

TOTAL:65

Construyalacolumnadefrecuenciasrelativasylacolumnadelasmarcasdeclasefaltantesyluegoconteste:

1.-Ellímiteinferiordelasextaclase.

2:-Ellímitesuperiordelacuartaclase.

3.-Lamarcadeclasedelaterceraclase.

4.-Loslímitesrealesdelaquintaclase.

5.-Tamañodelquintointervalodeclase.

6.-Frecuenciadelaterceraclase.

7.-Frecuenciarelativadelaterceraclase.

8.- Intervalodeclasequetienemayorfrecuen-cia.

B. Construyaunhistogramadefrecuenciasab-solutas.

C. Construyaunhistogramadefrecuenciasrela-tivas.

D. Construyaunpolígonodefrecuenciasabso-lutas.

E. Construyaunpolígonodefrecuenciasrelativa.

Solución:

1. Columna de las frecuencias relativas.

Paraobtenerlasfrecuenciasrelativas(hi)sedividelafrecuenciaabsoluta(fi)delintervalodeclase(númerodeobreros)poreltotaldedelosobrerosN=65

SALARIOS (por 1000 colones)

NÚMEROS DE

OBREROS

FRECUENCIAS RELATIVAS

(En tanto por ciento)

¢50,00 - ¢59,95 8865

= 0,123 = 12,3%

¢60,00 - ¢69,95 101065

= 0,154 = 15,5%

¢70,00 - ¢79,95 16 24,6

¢80,00 - ¢89,95 14 21,5

¢90,00 - ¢99,95 10 15,4

¢100,00 - ¢109,95 5 7,70

¢110,00 - ¢119,95 2 3,10

TOTAL: 65 TOTAL: 100,00%

2. Columna de las marcas de clase.

Paraobtenerlasmarcadeclase(Mc)sesumanlosextremosinferiorysuperiordelosintervalosdeclaseyluegosedividepordos.

341


SALARIOS(por 1000 colones)

NÚMEROSDE OBREROS

FRECUENCIASRELATIVAS

(En tanto por ciento)Marcas de

clase

¢50,00-¢59,95 8 12,3%50 + 59,95

2= 55

¢60,00-¢69,95 10 15,5%50 + 69,95

2= 65

¢70,00-¢79,95 16 24,6% 75

¢80,00-¢89,95 14 21,5% 85

¢90,00-¢99,95 10 15,4% 95

¢100,00-¢109,95 5 7,70% 105

¢110,00-¢119,95 2 3,10% 115

TOTAL: 65 100,00%

Respuesta 1: Ellímiteinferiordelasextaclase(¢100,00-¢109,95)es¢100,00.

Respuesta 2:Ellímitesuperiordelacuartaclase(¢80,00-¢89,95)es¢89,95.

Respuesta 3: Lamarcadeclasedelaterceraclase(¢70,00-¢79,95)es

12(¢70,00 + ¢79,95) = 74,95 . En

laprácticaseredondeaa¢75,00.

Respuesta 4:

Límite real inferior de la quinta clase:12(¢90,00 + ¢89,95) = 89,975

Límite real superior de la quinta clase:12(¢99,95 + ¢100,00) = 99,975

Respuesta 5: Tamañodelquintointervalodeclase(¢90,00–¢99,95)esigualallímiterealsuperiordelaquintaclasemenoslímiterealinferiordelaquintaclaseesigual¢99,975–¢89,975=¢10,00.

Respuesta 6:Lafrecuenciadelaterceraclase¢70,00-¢79,95es16

Respuesta 7:Lafrecuenciarelativadelaterceraclase¢70,00-¢79,95es 16

65=0,246=24,6%

Respuesta 8: Elintervalodeclasequetienemayorfrecuenciaes¢70,00–¢79,95.


342

B. Unhistogramadefrecuenciasabsolutas.

C. Unhistogramadefrecuenciasrelativasenporcentajes.

D. Unpolígonodefrecuenciasabsolutas.

Frec

uen

cia

abso

luta

2

55 65 75 85 95 105 115

5

8

10

FREC

UEN

CIA

SALARIOS ( en colones )

16

14

20

343


E. Unpolígonodefrecuenciasrelativas.

4. Sehacontroladoelpesode50reciénnacidos,obteniéndoselossiguientesresultados:

Peso (en kg) Número de niños2,5–3,0 63,0–3,5 233,5–4,0 124,0–4,5 9Total 50

A. Construyaunatabladefrecuenciasrelativas. Grafique:B.- ElhistogramadefrecuenciasabsolutasC.- Unpolígonodefrecuenciasrelativas.Solución:

A. Tabladefrecuenciasrelativas.

Estoseslomismoque:

Peso (en kg) fi hi

2,5–3,0 6 12%

3,0–3,5 23 46%

3,5–4,0 12 24%

4,0–4,5 9 18%

Total 50 100%

B.Histogramadefrecuenciasabsolutas.

Peso(enkg) fi hi

2,5–3,0 6 6÷50=0,120=12%

3,0–3,5 23 23÷50=0,460=46%

3,5–4,0 12 12÷50=0,240=24%

4,0–4,5 9 9÷50=0,180=18%

Total 50 50÷50=1,00=100%


344

C.Unpolígonodefrecuenciasrelativas.

1. Selespreguntóalosobrerosdeunafábricacuánto tiempo empleaban para trasladarsedesde su domicilio al lugar de trabajo.Conlosdatosobtenidosseconstruyólatabladefrecuenciasquesemuestraacontinuación.

Clase Frecuencia(fi)

Frecuenciarelativa porcentual (%)

45–55 4 3

55–65 16 11

65–75 36 24

75–85 60 40

85–95 31 20

95–105 0 0

105–115 3 2

Totales 150 100,00

POLÍGONO

Nú

mer

o d

e n

iño

s


Conbaseenlainformacióndelatablaanteriorcontestelassiguientespreguntas:

a) ¿Cuántosobrerosfueronconsultados?

Respuesta:

b) ¿Cuántosobrerosempleanentre65y75mi-nutosentrasladarsedesudomicilioallugardetrabajo?

Respuesta:

c) ¿Cuántosobrerosempleanentre55y75mi-nutosentrasladarsedesudomicilioallugardetrabajo?

Respuesta:

d) ¿Cuántosobrerosempleanentre95y105mi-nutosentrasladarsedesudomicilioallugardetrabajo?

Respuesta:

e) ¿Cuántosobrerosempleanmásde85minu-tosentrasladarsedesudomicilioallugardetrabajo?

Respuesta:

345


f) ¿Cuántosobrerosempleanmenosde75mi-nutosentrasladarsedesudomicilioallugardetrabajo?

Respuesta:

g) ¿Cuáleselporcentajedelosobrerosqueduranmástiempoentrasladarsedesudomicilioallugardetrabajo?

Respuesta:

2.Setienelasiguientetabladedistribucióndefrecuenciasqueindicaeltiempodeduraciónefectivodeunamuestrade400CD. Si seestablecequeelnúmerodeintervalosson9,completelacolumnadefrecuenciasrelativaylacolumnademarcasdeclase.

DURACIÓN (Horas)

NUMERO DE CD’S

FrecuenciasRelativas

Marcas declase

300 - 400 14

400 - 500 46

500 - 600 58

600 - 700 76

700 - 800 68

800 - 900 62

900 - 1000 48

1000 - 1100 22

1100 - 1200 6

TOTAL: 400

Determine:

A.-Límitesuperiordelaquintaclase.

B.-Limiteinferiordelaoctavaclase.

C.-Marcadeclasedelasétimaclase.

D.-Límitesrealesdelaúltimaclase.

E.-Tamañodelintervalodeclase.

F. Frecuenciadelacuartaclase.

G.-Frecuenciarelativadelasextaclase.

3. Elgerentedeunaagenciabancaria,deacuer-doaunestudiodeltiempodeesperadelosclientes,antesdeseratendidosporpartedelos cajeros, obtiene para un día laborablecualquieralasiguienteinformación:

Tiempo de espera(en minutos) N. de clientes

10 14 814 18 2018 22 3222 26 4026 30 2430 34 16

Total 140

Construyalacolumnadelasmarcasdeclaseylafrecuenciarelativa.


346

4. La siguiente información se refiere a unamuestrade120componenteselectrónicosysuduración.

DURACIÓN (en miles de horas)

Nº de Componentes

10 15 815 20 2420 25 4425 30 2830 35 16

Total 120

Construyalatabladedistribucióndefrecuen-ciasrelativas

5.Lashorasdeestudioque50universitariosde-dicaronalapreparacióndeunexamenfueron:

25,16,42,8,36,25,19,14,12,18,21,36,46,24,18,26,31,42,26,16,5,29,14,20,26,19,32,45,28,17,34,28,9,15,24,40,36,32,23,25,35,35,26,18,7,22,17,12,16,32

Agrupelosdatosencincointervalos,ycons-truyeunatabladefrecuenciasporcentuales.

6.Lossiguientesvalorescorrespondenalosíndi-cesdeproductividadde20establecimientos:

45,0 55,0 48,9 40,5 42,8

52,0 49,0 52,5 51,7 50,0

50,0 56,5 57,0 52,0 45,0

49,0 44,3 41,0 59,2 46,3

a) ¿Cuáleselvalorextremoinferior?

Resp./_____________________________

b) ¿Cuáleselvalorextremosuperior?

Resp./_____________________________

7. Lasiguientetablamuestradedistribucióndefrecuenciadelossalarios(enmilesdecolones)delos110obrerosdeunafábrica.

Salarios(en miles de colones)

Número de obreros

800–899 10

900–999 13

1000–1099 17

1100–1199 21

1200- 1299 22

1300–1399 15

1400–1499 9

1500–1599 3

Total 110

CONTESTE:

a) Lafrecuenciaporcentualcorrespondientealasegundaclasees:

A) 50

B) 12

C) 55

b) La frecuencia relativa correspondiente a laquintaclasees:

A) 22

B) 0,02

C) 0,2

c) Elvalormedioomarcadeclasecorrespon-dientealasextaclasees:

A) 1399

B) 1300

C) 1349,5

347


8.Considerelasiguientetabladefrecuencias:

Ni Lm Ls fi hi(%) Mc1 21,20 29,21 5 12,50 25,212 29,21 37,21 2 5,00 33,213 37,21 45,21 10 25,00 41,214 45,21 53,21 7 17,50 49,215 53,21 61,21 12 30,00 57,216 61,21 69,21 3 7,50 65,217 69,21 77,20 1 2,50 73,21

Total 40 100,00

a) ¿Cuáleselrango?

b) ¿Cuálesellímitesuperiordelsextointer-valo?

9.Debidoaungraveaccidente,elgerentedeunacompañíaconsultoraperdióinformacióndeunestudiodemercadoquerealizóaunaimpor-tantecompañíaanivelnacionaldegaseosas.Soloseconocealgunosdatosparcialessobreunaentrevistaqueseelaboróa150personas.

Nc Lm Ls fi hi Mc1 0,0 2,1 242 2,1 4,1 0,2463 4,1 6,1 354 6,1 8,1 0,1345 8,1 10,1 86 10,1 12,1 0,1077 12,1 14,0 13,05

Total 150 1,00

Reconstruyalatabladefrecuencia.

a) ¿Cuántaspersonastoman4gaseosasomenosporsemana?

b) ¿Cuántaspersonastoman6gaseosasa12porsemana?

10.Enunarevisiónsehapesadoaungrupode50alumnos,conlosresultados(enkilos)queseexponenenelcuadro.Completelatabladefrecuencias.

11. Lasestaturas(encentímetros)delossociosdeunclubdejóvenes,sonlassiguientes:

153 123 129 132 147 138 137 134 131 147138 128 134 148 125 139 146 145 148 135152 128 146 143 138 138 122 146 137 151145 124 132 138 144 141 137 146 138 146152 136 160 159 157 150 160 142 148 130

Conlosdatosdeestatabla,construyaunatabladedistribucióndefrecuenciascon6intervalos.

12.Apartirdelasiguientetabladefrecuenciascondatosparciales:

Ni Li Ls fi hi(%) Mc1 10 14 52 14 18 23 18 22 104 22 26 75 26 30 12

Total 36

a) Calculelasfrecuencias:hi(%)yMc.b) ¿Calculeelrango?

53 61 71 63 5866 65 54 67 7664 43 62 55 8158 72 60 61 7269 64 56 68 6360 50 62 45 6754 71 52 70 6170 61 65 56 7457 56 63 64 5973 69 66 74 48

Intervalos Frecuencias42,5-47,547,5-52,552,5-57,557,5-62,562,5-67,567,5-72,572,5-77,577,5-82,5

Total


348

13.Lossiguientesdatoscorrespondenalatempe-raturamedidaengradosCelsiusdurantetressemanaseneldistritodeLourdesdeMontesdeOcadelaprovinciadeSanJoséenciertaépocadelaño.

1º semana 14,9 14,3 15,2 22,8 16,8 19,0 18,72º semana 19,8 21,0 18,3 19,1 21,5 22,4 22,13º semana 20,9 20,6 18,8 18,9 17,2 16,1 15,6

Conbaseenelcuadroanterior,completelasiguientetabladefrecuenciasrelativas.

Temperatura (enGrados Celsius)

Marca de clase

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciarelativa

14,75 3

15,5 – 17,0

2

28,6

20,75

21,5 – 23,0

Total 21 100%

14.Latablamuestraunadistribucióndefrecuen-ciasdeladuraciónde400bombillosdeunafábrica.

Duración (horas) Número de tubos300–400 14400–500 46500–600 58600–700 76700–800 68800–900 62900–1000 481000–1100 221100–1200 6

Total N=400

Completarlatablaparaluegodeterminar:

a) Límitesuperiordelaquintaclase.

b) Límiteinferiordelaoctavaclase.

c) Marcadeclasedelasétimaclase.

d) Tamañodelintervalodeclase.

e) Frecuenciadelacuartaclase.

f) Frecuenciarelativadelasextaclase.

15.Antesdeconstruirunapresasobreunrío,seefectuaronunaseriedepruebasparamedirelflujodeaguaquepasaporellugardelapresa.Losresultadosdelaspruebasseusaronparaprepararlasiguientedistribucióndefrecuencia:

Flujo del río(miles de galones

por minuto)Frecuencia

1001–1051 71051–1101 211101–1151 321151–1201 491201–1251 581251–1301 411301–1351 271351–1401 11

Total 246

Con losdatosde la tablaanteriorconstruyaunadistribucióndefrecuenciasrelativas.

16.Lossiguientesdatoscorrespondenaladuraciónreal,enaños,de21bateríasparaautomóvil,loscualestienenunagarantíade3añosotorgadaporelfabricante:

3,62,33,13,74,11,73,43,74,73,33,92,64,83,93,32,93,54,44,03,23,8

349


Con base en esta información complete lasiguientetablayluegocontesteloquesepide:

Intervalo de clase

Marca de clase

Frecuenciade clase

Frecuencia de clase relativa

1,50 - 2,12 1,81

2,12 - 2,74

3,05

3,36 - 3,98 3,67

3,98 - 4,60

4,60 - 5,22 4,91

Totales

17. La siguiente tabla muestra las alturas (encentímetros) de todo el personal del ICER(profesoresyadministrativos).

1,81 1,76 1.21 1,58 1,66 1,65 1,69

1,69 1,62 1,16 1,24 1,71 1,65 1,60

1,50 1,66 1,50 1,21 1,64 1,50 1,83

1,55 1,75 1,44 1,68 1,54 1,64 1,93

1,61 1,56 1,40 1,84 1,60 1,71 1,67

1,75 1,62 1,52 1,74 1,51 1,50 1,63

1,69 1,34 1,53 1,66 1,61 1,73 1,61

1,83 1,30 1,45 1,67 1,66 1,65 1,60

1,45 1,31 1,41 1,61 1,38 1,77 1,57

1,58 1,31 1,28 1,69 1,61 1,68 1,60

Representeenunatablalosiguiente:

a) Ladistribucióndefrecuenciasabsolutas.

b) Ladistribucióndefrecuenciasrelativas.


1. Analice el histograma siguiente donde seespecificanlosañosdeserviciodelpersonaldocenteyadministrativodeunaescuela.

a) ¿Cuántosdocentesyadministrativosposeelaescuela?

b) ¿Cuántosdeellosllevanmásde20añosdelaborar?

2.Apartirdelossiguientesdatos,construyaunatabladefrecuenciaabsolutasquecontenga7intervalosdeclase,paralossiguientesdatos:

31,2 44,3 31,819,0 59,9 87,966,1 5,4 47,996,6 36,5 74,042,7 10,6 56,087,7 11,7 30,15,3 11,7 31,451,2 67,0 46,860,7 29,6 55,667,0 32,1 82,281,2 75,5 91,040,4 42,4 31,826,6 70,1 30,46,4 19,1 77,657,3 62,1 40,9


350

Además,construyaunhistogramadefrecuen-ciasabsolutas.

3.Selespreguntóalosobrerosdeunafábricacuánto tiempo empleaban para trasladarsedesdesudomicilioallugardetrabajo.Conlosdatosobtenidosseconstruyólatablaquesemuestraacontinuación.

Clase Frecuencia Frecuenciaporcentual (%)

45–55 4 355–65 16 1065–75 36 2475–85 60 4085–95 31 2195–105 0 0105–115 3 2Totales 150 100

Construya un histograma de frecuenciasabsolutas (histograma de frecuencias) y unhistogramadefrecuenciasporcentual(%).

4.Utilizandoelsiguientehistograma,completeenlatabladefrecuenciasrelativasdada,lacolumnademarcasdeclaseydibujeunpolígonodefrecuencias.

Intervalos Marca de clase

Frecuencia(fi)

30 - 40 640 - 50 1850 - 60 7660 - 70 7070 - 80 2280 - 90 8Total 200

5.Enunaempresasevienenreprogramandolostiemposdesalidayllegadadesusautobuses.Enparticularsetieneelproblemadedeterminareltiempoderecorridoentredosciudades;paraelloseacudealosarchivosdelosúltimostresmesesysetomanaleatoriamenteunamues-tra de 35 tiempos de recorridos entre talesciudades.Losdatos,enhoras,semuestranacontinuación:

3.49 3.59 3.69 3.42 3.31 3.60

3.66 3.57 3.51 3.61 3.40 3.53

3.50 3.57 3.53 3.67 3.51 3.24

3.58 3.54 3.52 3.04 3.69 3.48

3.61 3.61 3.24 3.63 3.61 3.51

3.70 3.70 3.50 4.40 3.58

a) Realiceunhistogramadefrecuenciasabso-lutasydescribaloquesepercibaenél.

b) Establezcaeltiempomáximodelos35datosde lamuestra.¿Esosignificaqueel tiempomáximo que hicieron los autobuses en losúltimostresmesesfueesevalor?Argumente.

Frec

uenc

ia ab

solu

ta

HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS

351


6. Considereelsiguientehistogramaycompletelasiguientetabladefrecuencias.

Intervalo Frecuencia Marca de clase

Frecuenciarelativa

7. Complete la tabla de frecuencias relativasporcentualesapartirdelsiguientehistograma.

Intervalo de clase

Marca de clase

Frecuencia relativa

porcentual (%)

8.EnunafincaproductoradepapasenTierraBlancadeCartagoserealizaunanálisissobrela producción anual del año anterior. Estemostrólossiguientesresultados:

a) ¿Cuálessonloscuatromesesdemayorproducción?

b) ¿Aquéporcentajeequivalenlostresmesesdemenorproducción?

c) ¿Quérecomendaciónharía?


352

9.Elsiguientegráficocorrespondealaprecipitaciónanual.

Conbaseenlainformaciónsuministrada:

a) ¿Encualesañossedieronlasmayoresprecipitaciones?

b) ¿Cuálfueelpromediodeprecipitaciónanualenlos10añosmostrados?

c) Elaboreunatabladedistribucióndefrecuenciasabsolutasqueresumaelgráficoanterior.

10.Enunapequeñafincaganaderaguanacastecasehanregistrado52nacimientosenochomeses,comosedescribeacontinuación:

a) ¿Cuáleselmesconmayoresnacimientos?

b) ¿Cuálelmenornúmerodenacimientosqueseregistróenunsolomes?

c) Elaboreunatabladefrecuenciasrelativasyotradefrecuenciasabsolutas.

353


11.Enunadeterminadaempresaserealizaunestudiosobrelacalidaddesuproducción.Ladistribuciónsiguienteinformasobreelnúmerodepiezasdefectuosasencontradasen100cajasexaminadascon50unidadescadaunadeellas:

N. de piezas defectuosas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10N. de cajas 6 9 10 11 14 16 16 9 4 3 2

Construyaelpolígonodefrecuenciasabsolutas.

12.Apartirdelossiguientesdatos,construyalacorrespondientetabladefrecuenciaygrafique:

6,42 66,49 72,7192,64 49,55 37,3364,86 9,80 36,3314,97 42,92 19,6013,22 5,32 85,4566,85 77,37 93,43

a) Unhistograma

b) Unpolígonodefrecuencia.

13.Acontinuaciónsedanlosresultadosobtenidosconunamuestrade50colegiales.Lacaracterísticaeseltiempodereacciónanteunestímuloauditivo:

0,110 0,110 0,126 0,112 0,117 0,113 0,135 0,107 0,122

0,133 0,098 0,122 0,105 0,103 0,119 0,100 0,117 0,113

0,124 0,118 0,132 0,108 0,115 0,120 0,107 0,123 0,109

0,117 0,111 0,012 0,101 0,112 0,111 0,119 0,103 0,100

0,108 0,120 0,099 0,102 0,129 0,115 0,121 0,130 0,134

0,118 0,106 0,128 0,094 0,114

a) ¿Cuáleslaamplitudtotaldeladistribucióndeladistribucióndelosdatos?

b) Obtengaladistribucióndefrecuenciasabsolutasyrelativas.

c) Dibujeelpolígonodefrecuenciasrelativas.


354

14.Lasiguientetablamuestralosdiámetrosenpulgadasdenuestramuestrade60cojinetesdebolasfabricadasporunacompañía.

0,738 0,729 0,743 0,740 0,736 0,741 0,735 0,731 0,726 0,737

0,728 0,737 0,736 0,735 0,724 0,733 0,742 0,736 0,739 0,735

0,745 0,736 0,742 0,740 0,728 0,738 0,725 0,733 0,734 0,732

0,733 0,730 0,732 0,730 0,739 0,734 0,738 0,739 0,727 0,735

0,735 0,732 0,735 0,727 0,734 0,736 0,732 0,741 0,736 0,744

0,732 0,737 0,731 0,746 0,735 0,735 0,729 0,734 0,730 0,740

Construirunatabladedistribucióndefrecuenciasrelativasdelosdiámetrosutilizandointervalosdeclase,luegoconstruya

a) Unhistogramadefrecuenciasabsolutas.

b) Unhistogramadefrecuenciasrelativas.

c) Unpolígonodefrecuenciasabsolutas.

d) Unpolígonodefrecuenciasrelativas.

15.Latablamuestralacantidaddematerialradiactivoqueseencuentraenelsuelodeáreasrecupe-radasdeminasdefosfato.Lasmedicionesdelascantidadesdeuranio238es25muestrasfueronlassiguientes(medidasenpicocuriesporgramo).

0,74 6,47 1,90 2,69 0,75

0,32 9,99 1,77 2,41 1,96

1,66 0,70 2,42 0,54 3,36

3,59 0,37 1,09 8,32 4,06

4,55 0,76 2,03 5,70 10,00

Constrúyaseunhistogramadefrecuenciasrelativasconestosdatosysurespectivopolígonodefrecuenciasrelativas.

355


16.SehapreguntadoalospacientesquehanacudidoundeterminadodíaalaClínicadeAserríacercadeltiempo(enminutos)quehanpasadoenlasaladeesperaantesdeentrarenlaconsulta.Seobtuvieronlossiguientesvalores:

28 4 12 35 2 26 45 22 6 2327 16 18 32 8 47 8 12 34 1528 37 7 39 15 25 18 17 27 15

a) Construyaunatabladefrecuenciasagrupandoestosdatosenlossiguientesintervalos:

0-10,10-20,20-30,30-40,40-50

b)Representelosdatosmedianteunhistogramadefrecuenciasabsolutas.

17.Enelsiguienteconjuntodenúmeros,seproporcionanlospesos(redondeadosalalibramáspróxi-ma)delosbebésnacidosduranteunciertointervalodetiempoenunhospital:

4,8,4,6,8,6,7,7,7,8,10,9,7,6,10,8,5,9,6,3,7,6,4,7,6,9,7,4,7, 6,8,8,9,11,8,7,10,8,5,7,7,6,5,10,8,9,7,5,6,5.

a.Construirunadistribucióndefrecuenciasdeestospesos.

b.Encontrarlasfrecuenciasrelativasporcentuales.

c.Dibujarunhistogramaconlosdatosdelaparte a.

d.¿Porquésehautilizadounhistogramapararepresentarestosdatos,enlugardeunagráficadebarras.

18.Uninvestigadormédicodeseaconocerlaeficaciadeuntratamientodediálisisencuantoalmejo-ramientodelosnivelesdecalcioenpacientesrenalesqueconcurrenhabitualmenteaciertaunidadhospitalaria.

Paraellomidiólosnivelesdecalciodeunamuestrade49pacientesantesdeltratamientoencues-tión.Lasmedicionesobtenidasfueronlassiguientes:

98 109 97 106 99 100 96 105 90100 91 96 97 90 90 103 101 9993 102 96 98 102 99 103 94 7283 77 81 84 83 86 82 81 8185 83 91 82 89 87 87 82 7375 86 88 87


356

a) Identificarlavariableenestudio,aquétipopertenece.

b) Construyaunatabladefrecuenciasparalasmedicionesefectuadas,considere10intervalosdeamplitud4.

c) Calculetodaslasfrecuenciasaprendidas

d) Grafiqueladistribución,histogramaypolígonodefrecuenciasabsolutas.

e) Extraigalasconclusionesquepuedaobtener.

357


Elestudiode laprobabilidad tienegran im-portanciaenlaactualidadalofrecernosunmododemedir y tratar la incertidumbre.Graciasa laprobabilidadsehanllegadoadesarrollarycom-prender diversosmétodos estadísticos que sondemúltipleutilidadencamposcomoelcientífico,profesionalysocial.

Estedesarrollohasupuestoqueseaesencialunconocimientobásicosobrelasprobabilidadesysobre tododelanálisisdedatospara llegaraser un ciudadano bien informado y además unconsumidorinteligente.

Laprobabilidad,enparticular,juegaunpapeldestacadoenlatomadedecisionesensituacionesqueinvolucranciertogradodeincertidumbre.

LaEstadísticaproveeunamaneraracionaldecuantificaresaincertidumbre,las probabili-dades.

AlfinaldelasemanadecimoctavadeMate-máticaUjarrásresolvimosproblemasdondeseutilizoelcálculodelaprobabilidad,deacuerdocon elenfoque clásico o laplaciano. El cualconsidera a la probabilidad como unamedidadelaincertidumbreasociadaalaocurrenciadeeventosoresultados.

INTRODUCCIÓN

Recordemos.

P(A) = número de resultados en los que se presenta el evento Anúmero total de resultados posibles

Donde cada uno de los eventos deben serigualmenteposibles,estoes“uneventoosucesoAesigualmenteprobablesilaprobabilidadesun12,estoes,P(A)= 1

2.

Porejemplo:

Enelexperimento,lanzarunamonedaalaire,loseventos:caercaraobiencaerescudo,tienenlamismaprobabilidad:

P(lanzar una moneda) = cae caranúmero total de resultados posibles

= cae escudonúmero total de resultados posibles

= 12

AntesiniciareldesarrollodeloscontenidosdeProbabilidadesdeestelibroMatemáticaZapandíesnecesariorecordarunpocodedondeprovienen.

Haytresformasdeestimarocalcularlapro-babilidad.

tLa primera forma es la definición clásica de proba-bilidad que fue una de las primeras que se dieron a principios del siglo XX y se le atribuye a Simón Laplace, también se le conoce como probabilidad a priori. Para calcular la probabilidad en este caso es necesario conocer, antes de realizar el experimento aleatorio, el espacio muestral y el número de resultados o sucesos elementales que entran a formar parte del suceso. Los sucesos o eventos son igualmente probables.


358

tLa segunda forma es la definición empírica, “a posteriori” o frecuencial que se basa en la fre-cuencia relativa de ocurrencia de un evento con respecto a un gran número de experimentos repetidos. Se le reconoce como probabilidad frecuencial o de Von Mises.

tLa tercera y ultima, la definición axiomática de probabilidad o definición de Kolmogorov la cual se basa en la frecuencia subjetiva de ocurrencia de un evento.

Seleccionarunodelostresenfoquesdepen-derádelanaturalezadelproblema.

Aquíeneste libroconsideraremoslaproba-bilidaddeacuerdoconladefiniciónempírica,“aposteriori”ofrecuencialqueconsideralafrecuenciarelativadepresentacióndeuneventodenotadaporfiyquecorrespondealarazónentreelnúmerodeveces(ni)queseobservauneventoiyelnúmerototal(n)derepeticionesdelexperimento fi = ni

n.

Esdecir,esteenfoqueproponequesecalculelaprobabilidadconbasea lafrecuenciarelativahistórica,observadaduranteungrannúmerodeexperimentos:

P(E) = número de veces que ocurre el evento Enúmero de veces que se realizó el experimento

Enseguidaharemosunbreverepasodealgu-nosejemplosquepermitieronidentificareventososucesosparaloscualessuprobabilidadpodíaserdeterminada empleando la definición clásica deLaplaceo“apriori”,paraluegorealizarelcálculodelasprobabilidadesdesucesosutilizandoladefiniciónempírica“aposteriori”oprobabilidadfrecuencial.

Ejemplo 1

Considere el experimento: se extrae unacartadeunpaquetede52cartasdelascuales26sonnegras(13espadasA, 2, 3,…, 10, J, Q, K;y

13trébolesA, 2, 3,…, 10, J, Q, K);y26sonrojas(13corazonesy13diamantes):

n Laprobabilidaddequelacartaseaunases

452

= 0,0769.

Porqueeleventode“extraer un as”constade4delos52resultadosigualmenteprobables.

n Laprobabilidaddequelacartaseanegraes

2652

= 0,50 .

n Laprobabilidaddequelacartaseauncorazón

negroes 1352

= 0,25.

Ejemplo 2

¿Cuáleslaprobabilidaddequeenunafamiliaquetienetreshijos,hayandosniñasyunniño,siseconsidera igualmenteprobableelnacimientodeunniñooniña?

Solución:

Usando“a”paraniñay“o”paraniño,elespaciomuestrales:

E={aaa,aoa,aoo,oaa,oao,ooa,ooo}⇒n(E)=8

Espadas Diamantes

Corazones Tréboles

359


P(E) =n E( )n E( ) = 8

8= 1

EleventoAenquehayadosniñasyunniñoes

A={aao,aoa,oaa}⇒n(A)=3

P(A) =n A( )n E( ) = 3

8= 0,3750

Recuerdesiempre0<P(A)<1,puestoque 0<n(A)<n(E).

Ejemplo 3

Enunmatrimonio,cadaunodesusmiembrosposeegenesparaojoscastañosyazules.Teniendoencuentaquecadaunotienelamismaprobabi-lidaddeaportarungenparaojoscastañosqueparaojosazulesyqueelgenparaojoscastañosesdominante,obtenerlaprobabilidaddequeunhijonacidodeestaparejatengalosojoscastaños.

Solución:

Gen de la madre Gen del padre

E={CC,CA,AC,AA}

Casosposibles={CC,CA,AC,AA}

Casosfavorables={CC,CA,AC}

P(ojoscastaños)= 34

Tambiéndebemosrecordarlosiguiente:

Clasificación de los sucesos o eventosSepueden clasificar los sucesosoeventos

segúnelnúmerodeelementosqueentrenafor-marparte:

t Sucesos simples, es cada uno de los re-sultadosposiblesdelexperimentoaleatorio.Lossucesossimplesoelementalessonsub-conjuntosdelespaciomuestralEconunsoloelemento.

t Sucesos compuestossonaquellossubcon-juntosdelespaciomuestralEqueconstandedosomássucesossimplesoelementales.

Distinguimos tres tipos de eventos o sucesos

n Evento seguro

Decimos que un evento es seguro cuandoel suceso aleatorio consta de todos los puntosmuestralesdelespaciomuestralE,esdecir,co-incideconE.

Seledenominaeventoseguroporqueocurresiempre.

Porejemplo:

a) Elexperimentodetirarundadoymirarelre-sultado,elsucesooevento “sacar un número menor o igual que 6” esunsucesoseguro.

E={1,2,3,4,5,6}

Puesto que, salga lo que salga, siempre elresultadoserámenoroigualque 6.

b) Sienunabolsahay10bolasverdes,alsacarunaboladelabolsa,elsuceso“quelabolaquesaqueseaverde”esuneventoseguro.

n Evento imposible

Decimosqueuneventoesimposiblecuandonopuededarseenelexperimento.SedenotaporØacualquiereventoimposible.

Porejemplo

a) Elsuceso A: “sacar un 7” altirarundadodeseiscaras,obien


360

b) El suceso B: “sacar una bola blanca” de un recipientequesólocontengabolasnegras.

Elúltimotipodeeventoqueestudiaremossedenominaevento o suceso probable.

n Evento probable

Decimosqueuneventoesprobablecuandorepresentanacontecimientosquepuedepresentarmásdeunresultado.

Porejemplo

a) Enelevento,cadanacimientoqueseregistrasolohaydosposibilidades:queelbebéquenazcaseahombreomujer.

b) Sienunabolsahaydiezbolas,variasverdesyvariasnegras,elsuceso “que labolaquesaqueseanegra”esuneventoprobable.

c) Enunabolsatenemostresbolasnumeradascomo1,2y3.

Elexperimentodeextraerunabolayanotarsunúmeroproducelossiguienteseventosprobables.

{},{1,2,3},{1,2},{1,3},{2,3},{1},{2},{3}

Haciendo uso de las probabilidades de uneventoosucesoAyconsiderandoqueelvalordeestasseencuentranenelintervaloP(A)∈[0,1],podemosconcluirque:

tUneventoosucesoAnopuedesucederoesimposiblesiP(A)=0.

tUneventoosucesoAsiempresucedeoessegurosiP(A)=1.

tUn evento o sucesoA es poco probable omenosprobablesilaprobabilidadesmenor que un 1

2,estoes,P(A)< 1

2.

tUneventoosucesoAesmuyprobablesilaprobabilidadesmayor que un 1

2, estoes,

P(A)> 12

.

tUneventoosucesoAesigualmenteprobablesilaprobabilidadesun 1

2,estoes,P(A)= 1

2.

Ordenedesdeelmenosprobablehastaelmásprobablelossiguienteseventos.Sihubieraeventosimposiblesyeventosseguros,señálelos.

a) Eldueñodelatienditavivirá105años.

b) Lapróximasemananotendrádíamartes.

c) EnelmesdeoctubrelloveráenlaprovinciadeSanJosé.

d) Elpróximo1ºdeenerocomenzaráotroaño.

e) Elpróximoanimalmamíferoqueveaenlacalleseráunperro.

f) Sitiroundadoobtendréun6.

g) ObtendrécalificaciónaprobatoriaenelexamendeMatemáticas.

h) Elpróximobebéquenazcaensufamiliaserávarón.

¡Pero si la experiencia es irregular!, ¿cómocalculamos la probabilidad de cada uno de lossucesosoeventos?

Probabilidad frecuencialEs el valor fijo que tienen las frecuencias

relativasdeocurrenciadeunevento,deacuerdoconlaregularidadestadística.Dichaprobabilidad

ACTIVIDAD 1

361


proporcionaresultadosaproximados,esdecir,pro-porcionaestimacionesynovaloresreales;además,losresultadosson“aposteriori”,puessenecesitarealizarelexperimentoparapoderobtenerlo.

Cuantomayoreselnúmerodepruebasreali-zadasmásseaproximaelvalorobtenidoalvalordesconocidodelaprobabilidadteórica.Elnúmerodepruebasarealizardependerádelexperimentoydelnúmerodesusposiblesresultados.

Porejemplo

Altirarunchinchepuedeserquecaigaconla“puntahaciaarriba”oconla“puntahaciaabajo”.

Paraasignarlaprobabilidadaestosdossu-cesosoeventosnosepuedeaplicarlaregladeLaplaceyaquenosonequiprobales,(puedequeelchinchecaigadelado),esporesto,quedebemosrecurriralaexperimentación.

Laprobabilidadfrecuencialesunamedidaqueseobtienedelaexperienciadealgúnfenómenooexperimentoaleatorioquepermitea futurouncomportamiento.

Sinembargotengamossiemprepresente,quenoesdefinitivaporloqueesimportantesaberin-terpretarlosresultadosqueseobtienen.Asípuestenemosque…

LaprobabilidadfrecuencialdeuneventoA,quesedenotaráP(A),seobtienedividiendoelnúmero

devecesqueocurreeleventoentreelnúmerototaldevecesqueserealizóelexperimento.

P(A) = Número de veces que ocurre el evento A Número de veces que se realizó el experimento

Comoelvalordelaprobabilidadeseldelafrecuenciarelativa,laprobabilidadesunnúmeroentre 0 y 1,quepuedeexpresarseenformadefracción,númerodecimaloporcentaje.

Veamosalgunosejemplos.

Ejemplo 1

Consideremoselexperimentoanteriordetirar1000veceselchincheconelsucesoqueestequedeconlapuntahaciaabajo.Sisuponemosquelosresultadosseresumenenlasiguientetabla:

Punta hacia abajo 7 31 67 309 623Nº de tiradas 10 50 100 500 1000

Seobservaqueconformeaumentaelnúmerodetiradaslafrecuenciarelativadelsuceso“caerconlapuntahaciaabajo”seaproximaa0,623.

Punta hacia abajo Nº de tiradas

= 710

= 0,70


= 3150

= 0,62


= 67100

= 0,67


= 309500

= 0,618


= 6231000

= 0,623

Laprobabilidad0,623es la probabilidaddequeelchinchecaigaconlapuntahaciaabajo,porlotanto,laprobabilidaddequeelchinchecaigahaciaarribaobiendeladoes1–0,623=0,377.


362

Recuerde

a) Las frecuencias relativas son mayores o iguales que cero.

b) La frecuencia relativa del espacio muestral es igual a la unidad.

Ejemplo 2

Siconsideramosquelamonedadelaimagenestádañadaenlacaradelescudosuprobabilidadyanoesigual.

Para verificar que la probabilidad ya no esigualconesteevento,podemospartirdelasfre-cuenciasrelativasobtenidascuandorepetimoselexperimentounbuennúmerodeveces.

Suponiendoqueserealizaelexperimentolan-zandoestamonedadañada200veces,losdatossepuedenresumir,porejemplo,así:

f fr

Cara 81 0,405

Escudo 119 0,595

Total 200 1,000

Laprobabilidaddecadaevento(caraoescudo)seobtienenmediantelasproporciones:

P(cara) = 81200

= 0,405

P(escudo) = 119200

= 0,595

Estosepuedeobservarenelsiguientegráficodebarras:

Estonosindicaquealgonoestábienconlamoneda,porlotantoseconcluirestádañada.

Tambiénmediantelaprobabilidadfrecuencialpodemosresolverproblemascomolossiguientes:

Ejemplo 3

Siunacaradeundadoestácargadadetalformaquelaprobabilidaddequeallanzareldadoescincovecesmásprobablesusalidaquecadaunadelasotrascaras.

¿Dequecarasetrata?,¿cuálessuprobabi-lidad?

Silanzamosdichodado1000vecesyanota-moscadaunadelassalidas,ylaresumimosenunatablacomolasiguiente:

Lanzadas f fr1 97 0,0972 501 0,5013 96 0,0964 97 0,0975 108 0,1086 101 0,101

Total 10000 1,000

C E

Frec

uenc

ia re

lati

va

1

363


Secompruebaqueeldadoestácargadoenlacara del número 2, calculando la frecuenciarelativa,estoes:

P(1) = 971000

= 0,097

P(2) = 5011000

= 0,501

P(3) = 961000

= 0,096

P(4) = 971000

= 0,097

P(5) = 1081000

= 0,108

P(6) = 1011000

= 0,101

Estosepuedeobservarmedianteelgráficodecolumnashorizontales

Ejemplo 4

Unamuestraaleatoriade10fábricasdeciertaindustriaqueempleanuntotalde10000personas,demostróqueocurrieron500accidentesdetrabajoduranteunperiodorecientede12meses.

a) Obtenga laprobabilidaddeunaccidentedetrabajoenunaindustriadeterminada.

b) Siseentrevistarona100personasenformaaleatoria,¿cuántaspersonasesprobablequesufrieronunaccidentedetrabajo?

Frec

uenc

ia r

elat

iva

1

1

2 3 4 5 6

cinco veces

Solución:

a) N=10000personasqueequivalealnúmerodevecesqueserepiteelexperimento.

SeaeleventoA:“unapersonaquesufrióunaccidentedetrabajodeciertaindustria”,en-toncesn(A)=500.

Porlotantosetieneque:

P(A) = n(A)

n= 500

10 000= 0,05

Laprobabilidadqueunapersonasufraunacci-dentedetrabajo,en12mesesenlaindustria,es0,05.

b) Laspersonasprobablesproductodelaentrevis-taquesufrieronunaccidentedetrabajoson5 (0,05x100)personas.

Observación

Aquísesuponeimplícitamentequelasnor-masdeseguridadnohancambiadodesdequeserealizóelmuestreoalas10industrias.

Ejemplo 5

Cuatropersonasigualmentecalificadashacensolicitud para ocupar dos puestos idénticos enunaempresa.Unysólounsolicitanteesmujer.Lospuestosse llenanalseleccionardosde lossolicitantesaazar.

a) Indiquelosposiblesresultadosparaesteex-perimento.

b) Asigneprobabilidadesrazonablesalospuntosmuestrales.

c) Encuentrelaprobabilidaddequelasolicitantedel grupo:mujer, sea seleccionadaparaunpuesto.


364

Solución:

a) Losposiblespostulanteslospodemosindicarcomo:P1,P2,P3,(hombres)yP4 (mujer).

Comolaempresanecesitadospersonasparapuestosidénticos,elespaciomuestrales:

E={(P1,P2),(P1,P3),(P1,P4),(P2,P3),(P2,P4),(P3,P4)}

Cuandoseutilicelaprobabilidadfrecuencial,cadaparordenadodepostulantesseconcibecomounexperimento.

E={E1,E2,E3,E4,E5,E6}

b) Lasprobabilidadesrazonablesdecadapuntomuestral,porlotantoserá:

P(Ei ) = 1

6; i = 1,2,3,4,5,6

c) Laprobabilidaddequelasolicitantedelgrupo:mujer, sea seleccionada para una posiciónocurreenelevento.

A={(P1,P4),(P2,P4),(P3,P4)}

A = E3,E5,E7{ } ⇒ P(A) = n(A)

n(E)= 3

6= 1

2

Porlotanto,tantolasmujerescomoloshombrestienenigualdaddeprobabilidadparapuestosidénticosendichaempresa.

Importante

Cuanto más grande es el número de veces que se realiza un experimento, la frecuen-cia relativa se aproxima a la probabilidad de ocurrencia de cada evento antes de-nominada probabilidad clásica.

ObservandoestoJacobBernoulli,genialma-temáticoycientíficosuizo,postuló la leyde losgrandesnúmeros,tambiénllamadaleydelazar,lacualafirma:

La probabilidad de un suceso es elnúmeroalqueseaproximasufrecuenciarelativacuandoelexperimentoserepiteungrannúmerodeveces.

1. Según laencuestadehogaresenelcantóncentraldeSanJosédelaño2000sehaobte-nidoelsiguienteresultado.

En3mesesdeobservaciónaunamuestrade16684personasentrevistadas,4955sufrieronunaenfermedadoaccidente.

Halle la probabilidad de elegir una personaquehasufridounaenfermedadoaccidente.

Resp/.

ACTIVIDAD 2

365


2. Silanzamosunamoneda1000vecesyhalla-mosque532vecesresultancaras,¿cuáleslaprobabilidaddesalidacaraycúaldeescudo?

Resp/.

3. EnlasiguientetablatenemoselresumendelsexodelosbebéscuyasmadresasistenalaClínicaMercedesChacóndeAserrí.

Elresumensehacedesdeunafechadeter-minadatomandosólolospartosdeunúnicofeto,(gemelosnoseconsideran).

Número de partos Niñas Niños

1ºparto 1 -

2ºparto 1 1

3ºparto 2 2

10ºparto 4 6

100ºparto 57 43

1000ºparto 545 455

Obtengalaprobabilidaddequeseaniño,¿cuáles la probabilidad de que sea niña? ¿Quéopiniónlemereceelresultado?

Resp/.

4. Tiramosundado40vecesyanotamosparacadavezcuandosalecara.

Completelatabladefrecuenciasparaeltotalde lanzamientos de acuerdo a la siguienteinformación:

Cara 1

Cara 2

Cara 3

Cara 4

Cara 5

Cara 6

Total

Calculelaprobabilidadfrecuencialparacadaevento.

Resp/.

5. Deunrecipientecon5bolinchasdediferentescolores,Anabellesacababolinchasdeunaenuna,regresandocadabolinchaantesdevolverasacarotra.

Enlasiguientetablaseregistraronlosresul-tadosdelexperimento.

Color de las bolinchas Veces que salió

Verde132

Rojo108

Anaranjado120

Amarillo126

Azul114


366

¿De qué color es la bolinchacuyoporcentajedeprobabilidaddesalirenesteexperimentoes2%menorquesuprobabilidadteóricadesalir?

Lapelotadecoloramarillo.

Lapelotadecolorrojo.

Lapelotadecolorverde.

Lapelotadecolorazul.

Resp/.

6. Tomeundado…,láncelo20veces.

t ¿Quécreequesuceda?

t ¿Quénúmerocaeráconmayorfrecuencia?

t ¿Quénúmerocaeráconmenorfrecuencia?

t ¿Quéprobabilidadtienedesalirun2?

t ¿Quéprobabilidadtienedesalirun3?

Considere sus resultados y complete la si-guientetabla

Totaldelanzamientos 20 2020

= 1 100%

SaleunoSaledosSaletresSalecuatroSalecincoSaleseis

t ¿Creeustedquesiserepiteelexperimentodelanzareldadoperoahora10vecesseobtendrálamismaprobabilidadfrecuencialparacadaunodeloseventos?¿Porqué?

¿Ypara30veces?

7. Seharealizadounaencuestaa400jóvenessobreelnúmerodelibrosleídosenlosúltimostresmeses; 60 han leído novelas, 265 hanleídolibrosderelatosyeldedistintostipos.Conestosdatos,completeelhistogramaylatabladefrecuencias.

Calculelaprobabilidaddelostrescasos.

Respuesta:

1% % %

367

RESPUESTASMatemática - EL MAESTRO EN CASA

ÁREA 1: NÚMEROS

NÚMEROS REALES

ACTIVIDAD 1, PÁGINA 9

1.

a) irracional

b) irracional

c) racional

d) irracional

e) irracional

f) racional

g) racional

h) racional

i) irracional

j) racional

k) racional

PÁGINA 10

2.


1. a 5.–7b

2. –b 6.a2

3. ab2 7. a

4. –b3 8. b b5


1.

NOTACIÓN GRÁFICA

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

ñ)

o)

NOTACIÓN DE INTERVALO

a) −2, 5 [ [c) −14

13 , 10

d) − 93 , +∞ e) − ∞ , − 4] ]g) − ∞ , 0] [i) 3

2, 9

j) − 4 , 6] ]l) − 1 , + ∞] [n) 0 , + ∞] [ñ) − ∞ , + ∞] [o) − 3 , 2 ] ]

NOTACIÓN POR COMPRENSIÓN

b) {x/x∈ℝ,–5<x≤8}

c) {x/x∈ℝ, −143

<x≤ 10 }

d) {x/x∈ℝ,x> − 93 }

f) {x/x∈ℝ,x>–2}

g) {x/x∈ℝ,x<0}

h) {x/x∈ℝ,3≤x≤7}

k) {x/x∈ℝ, − 2 <x< 5 }

m) {x/x∈ℝ,x≤0,5}

PÁGINA 26

2.1. ∈ 8. ∈2. ∉ 9. ∉3. ∉ 10. ∈4. ∈ 11. ∉5. ∉ 12. ∉6. ∉ 13. ∈7. ∈ 14. ∈

Núm

ero

42,171717…

54

2,365678…

−3 4−

9Natural?

sino

nono

nono

Entero?

sino

nono

nono

Racional?

sisi

nono

sino

Irracional?

nono

sino

nono

Real?

sisi

sisi

sino

368


TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 27

1.

a)

b)

c)

d)

e)

PÁGINA 28

2.

a) –5

b) 3

c) 3–3

d) 6

3.

a) < g) <

b) < h) >

c) > i) >

d)< j) =

e)> k) <

f)= l) >

PÁGINA 29

4.

5.

6.

a) verdadera b)falsa

c) verdadera d) verdadera

e) verdadera f) falsa

g) verdadera h) falsa

i) verdadera

PÁGINA 30

7.

1) ∉ 10) ∉2) ∈ 11) ∈3) ∈ 12) ∉4) ∉ 13) ∉5) ∉ 14) ∈6) ∈ 15) ∈7) ∈ 16) ∉8) ∈ 17) ∉9) ∈ 18) ∈

8.

9.

1) ⊄ 7) ⊄

2) ⊂ 8) ⊂

3) ⊄ 9) ⊂

4) ⊂ 10) ⊄

5) ⊄ 11) ⊂

6) ⊄ 12) ⊂

10.

1. verdadero

2. falso

3. verdadero

4. falso

5. verdadero

11.

a)> h)>

b)< i)>

NÚ

MER

O

–3

010

020%

0,333…

0,333

0,09

25 127

23+

4−

32 2−

32 225

3

Entero

positivo

X

Entero

negativo

XX

Número

racio

nal

XX

XX

XX

XX

XX

Número

irracional

XX

X

NÚME

RO7

10– 2

,081,1

2122

1222

1…5

- 2,24

24…

47 6

−8 2

NATU

RAL

SINO

NONO

SINO

SINO

NOEN

TERO

SINO

NONO

SINO

SINO

SIRA

CION

ALSI

NOSI

NOSI

SISI

SISI

IRRA

CION

ALNO

SINO

SINO

NONO

NONO

REAL

SISI

SISI

SISI

SISI

SI

369


PÁGINA 32

c)> j)=

d)< k)<

e)< l)=

f)= m)=

g)< n)=

12.

a)V e)V

b)V f)V

c)V g)V

d)V h)V

i)F j)V

PÁGINA 33

13. Resueltacomoejemplo.

14.

1.

a)

b) − ∞, 4] [c) {x/x∈ℝ,x>4}

2.

a)

b) 1, 3] ]

c) {x/x∈ℝ,1<x≤3}

3.

a)

b) − ∞, 34

c)

4.

a)

b) [2,4[

c) {x/x∈ℝ,2≤x<4}

5.

a)

b) ]–2,5[

c) {x/x∈ℝ,–2<x<5}

6.

a)

b) [–3,2[

c) {x/x∈ℝ,–3≤x<2}

7.

a)

b) ]–∞,+∞[

c) {x/x∈ℝ}

8.

a)

b)[11,+∞ [

c) {x/x∈ℝ,x≥11}

9.

a)

b) ]–∞,1[

c) {x/x∈ℝ,x<1}

10.

a)

b)13, 12

7

c)

11.

a)

b)[–8,–2[

c) {x/x∈ℝ,–8≤x<–2}

12.

a)

b)]–∞,0[

c) {x/x∈ℝ,x<0}

PÁGINA 34

15.

1.

a) ]–7,–2[

b) ]1,10[

c) [5,10]

d) [–2,9[

e) ]–5,+∞[

PÁGINA 35

16.

a) {x/x∈ℝ,–2<x<4}

b) {x/x∈ℝ,3≤x≤7}

c) {x/x∈ℝ,1≤x≤6}

d) {x/x∈ℝ,–4<x≤0}

370


e) {x/x∈ℝ,x≥0}

f) {x/x∈ℝ,x≤5}

PÁGINA 36

17.

1. C

2. B

3. D

4. A

CÁLCULO Y ESTIMACIONES


1.

a)1 0,01 0,0001

b) 4 0,04 0,0004

c) 9 0,09 0,0009

d) 16 0,16 0,0016

e) 25 0,25 0,0025

f) 36 0,36 0,0036

g) 49 0,49 0,0049

h) 64 0,64 0,0064

i) 81 0,81 0,0081

2.

a) 1 0,3162… 0,01

b) 3 0,3 0,03

c) 6 0,6 0,06

d) 8 0,8 0,08

e) 0,2 20 200

f) 4 40 0,04

g) 5 0,5 50

h) 0,7 70 0,07

i) 9 0,9 900

3.

a) 2( )12

b) 24 3( )4

c) 1252

π2

d) 115( )12

e) 3 • 54 572

f) a5x3y5z5

g) m5

a5n5p4x4

h) 1π6 • 37 • 3

4.

a) 243

b) 232

c) 735

d) 215

e) apa

f) yax

g) 335 a

65 b

35

h) 247 a

57 b

107

PÁGINA 42

5.

a ) 215

b) 3223

c ) 943

d) m3

e) (ab)34

f) x 6y 7z43

6.

b.NO

c. Si 6

d)No

e)No


1.

a) 2 d) 5

b) 5 e) 2,10

c) 8 f) 3,5

2.

a) 4 d) 1125

b) –2 e) –0,5

c) 7 f) 8

3.

c) t

d) 3x

e) –4d

f) x+3

g)12x

h) 15


1.

a) 8x3y yz

b) 3x2z4 2x3

c) 9a2c3 ab

d) 4a2c5 2a2b23

2.

a) 3x15

b) 2x2y xy28

c) 32x2y218

d) 2 x4

e) 4mn mn( )316

f) 38

g) 224

371


h) x23

i) 7x12

j) 24

k) 32

ab56

l) 23

ax12

m) 5n) 4

ñ) a 10


a) 2 23

b) 4

c) 5 xy

d) x3

e) 2x • x8

f) 125 abc6

g) 2 1830

h) 3 31330

i) − 3 2 a3 b26

j) a512

k) x56


1) 254 , 34

2) 25612 , 51212 , 72912

3) 62512 , 812 , 72912

4) 24320 , 25620 , 151020

5) 6418 , 2718 , 8118

6) 125 x36 , 16 x4y26 , a3b6

7) 2 a412 , 3 64b612 , 4 125x612

8) 218 a18x912 , 9a10m812

9) 32m5n515 , 27m6p315 , 5m3p215

10) 8y918 , x1218 , 25m1418


a) 4 2

b) 15 23

c) − 5

d) 3

e) 4a 3

f) a 3a

g) 5x 2x23


1. 3 2

2. 30 6

3. 6

4. 6ab a

5. 3a2 ax

6. 2x3

5y2

7. x 4x6

8. 24a 2ab24

9. 3x 9x3y26

10. 2a 27a5b1112

11. 5ab2 a9b710


a) 2 2

b) 56

13

c) 3

d) 3 25

e) 2

PÁGINA 60

f) cab2

g) 169

x3

210

h) 81x

6

i) 3125mn

j) 12y2z12

k) 8 2b2

a46

l) 2 12

6


a )2 5

5

b)3 7

7

c )3

9

d)3 2

4

e)25

5

f)34

6

g)13

5

h)98

10


1. 5 23

4

2. 3 1003

503. 93

4. 12

363

5. 7 253

56. 43

7. 7 1213

11

372


8. 23

9. 43

2

10. 5 43

211. 3 33

12. 93

6


1.

a) 5128 − 312

= 512

b) 2320

6

15 + 820

= 2320

c) 12 − 27 + 75 =

3•22 − 3•32 + 3•52 =

2 3 − 3 3 + 5 3 =

(2 − 3 + 5) 3 = 4 3

2.cyd

3.

a) 75; 2 48; − 5 27

25 • 3; 3 16 • 3 ; − 5 9 • 3

5 3; 12 3; − 15 3

b) 3 8a; 4 18a; 15

2a

3 4 • 2a ; 4 9 • 2a; 15

2a

6 2a; 12 2a; 15

2a

c) − 243 ; − 2 813 ; 33

− 8 • 33 ; − 2 27 • 33 ; 33

− 2 33 ; − 6 33 ; 33

d) x 147m3 ; m 75x2m; x 48m3

x 49 • 3m2m; m 25 • 3x2m; x 16 • 3m2m

7mx 3m; 5mx 3m; 4mx 3m

c) − 243 ; − 2 813 ; 33

− 8 • 33 ; − 2 27 • 33 ; 33

− 2 33 ; − 6 33 ; 33

d) x 147m3 ; m 75x2m; x 48m3

x 49 • 3m2m; m 25 • 3x2m; x 16 • 3m2m

7mx 3m; 5mx 3m; 4mx 3m

PÁGINA 68

4.

a) 11 3

b) − 8 5

c) 13 x

d) − 2 x

e) 5 4 • 2 + 15 2 =

10 2 + 15 2 =

25 2

f) 3 9 • 3 − 2 3 =

9 3 − 2 3 =

7 3

g) 7 25 • 2 − 3 2 =

35 2 − 3 2 =

32 2

h) 9 • 5 − 4 • 5 =

3 5 − 2 5 =

5

i) 9 • 4 • 2 + 49 • 2 =

3 • 2 2 + 7 2 =

13 2

j) 9 • 5 + 16 • 5 =

3 5 + 4 5 =

7 5

k) 2 29 • 23 − 23 • 53 • 23 =

2 • 23 23 − 2 • 5 23 =

16 23 − 10 23 =

6 23

l) 3 33 • 73 + 6 26 • 73 =

3 • 3 73 + 6 • 22 73 =

9 73 + 24 73 =

33 73

m) 8 • 33 + 27 • 33 =

2 33 + 3 33 =

5 33

n) 12

163 + 13

2503 =

12

8 • 23 + 13

125 • 23 =

22

23 + 53

23 =

83

23

l) 3 33 • 73 + 6 26 • 73 =

3 • 3 73 + 6 • 22 73 =

9 73 + 24 73 =

33 73

m) 8 • 33 + 27 • 33 =

2 33 + 3 33 =

5 33

n) 12

163 + 13

2503 =

12

8 • 23 + 13

125 • 23 =

22

23 + 53

23 =

83

23

5.

a) 573

b) 5136

c) m53n

53

d) a87b

37

e) 512 x

72

f) a72x

32

g) 617 a

27b

h) 215 a

65b

75

6.

a) 325

b) a117

c) 2a3

d) 3x24

e) a + b( )5

f) 323 • m47

373


PÁGINA 69

7.

a ) x3

b) x

c ) x6

d) p8 p

e) 3y − 24

f) 2 x + 5( )2

x + 5( )

g) 5y 10y

h) 15xy y

8.

9.

a) 10

b) 21

c) a3b34

d) a3b4c35

e) 24a4b67

10.

a) 5 6

b) 2 7

c) 2 10

d) 4b 3ab

e) 2a2b2 b

PÁGINA 70

11.

a) 3; 24 ; 225 =

3102 • 10 ; 254 • 5 ; 22 • 45 • 4 =

31020 ; 2520 ; 2820 '

b) 2a; 3a3 ; 4a4 =

26 a62 • 6 ; 34 a43 • 4 ; 22 • 3 a34 • 3 =

26 a612 ; 34 a412 ; 26 a312

c) 2 3 ; 24 ; 25 =

230 3 • 20 ; 2154 • 15 ; 2125 • 12 =

230 60 ; 21560 ; 21260

d) 2; 33 ; 44 =

26 2 • 6 ; 343 • 4 ; 434 • 3 =

26 12 ; 3412 ; 2612

12.

a) 3 3 • 2a4 =

34 3 • 4 • 23 a34 • 3 =

34 12 • 23 a312 =

648a3 12

b) a 3 • a2b4 • b25 =

a20 3 • 20 • a30b154 • 15 • b245 • 12 =

a20 • a30b15 • b24 60 =

a50 • b39 60

c) 2a3 • 4a4 • 2b5 =

220 a20 3 • 20 • 415 a154 • 15 • 212b125 • 12 =

220 a20 • 230 a15 • 212b12 60 =

262 a35 • b12 60 =

2 4 a35 • b12 60

Impor tan te : 415 = 22( )15= 230

d) a2b3 • ab54 =

a8b4 3 • 4 • a3b154 • 3 =

a8b4 • a3b15 12 =

a a11 • b7 12

13.

a) − 54

a

b) 2120

ab4 a

c) − 835

a5b5 b

d) − 35

a 6ab

e) 27

ab b

PÁGINA 71

14.

374


i) 25

= 25• 5

5= 10

52 = 105

= 15

10

j) − 19

= − 19• 9

9= − 9

92= − 1

99

= −39

= −13

k) − 125

= − 125

= − 25252

= −525

= −15

l) 3070

= 37• 7

7= 21

72= 21

7

15.

a) 13• 3

3= 3

9= 3

3

b) 83

= 83• 3

3= 24

9= 6 • 4

9= 2 6

3

c) 125

= 12 • 55 • 5

= 6025

= 22 •1525

= 2 155

d) 35

= 3 • 55 • 5

= 1525

= 1525

= 155

e) xy

= x • yy • y

= xyy2 =

xyy2

=xyy

PÁGINA 72

16.

a) 23 3

= 23 3

• 33

= 63 • 3

= 69

b) 3 66 2

= 3 66 2

• 22

= 3 126 • 22

= 3 22 • 36 • 22

= 12• 2

23 = 1

23

c) 5 23 5

= 5 23 5

• 55

= 5 103 52

= 5 103 • 5

= 13

10

d) 3 155 32

= 3 155 25

• 22

= 3 305 26

= 3 305 • 23 = 3

4030

e)

67

1263

=2 • 3 • 7 • 32

7 • 1• 22 • 3=

32

2=

9 • 22 • 2

=32

2

f)

2332

=2 • 23 • 3

=22

32 =23

g)714

=

7114

=7 • 41• 1

= 27

12=

21

7 = 2 7

e)

67

1263

=2 • 3 • 7 • 32

7 • 1• 22 • 3=

32

2=

9 • 22 • 2

=32

2

f)

2332

=2 • 23 • 3

=22

32 =23

g)714

=

7114

=7 • 41• 1

= 27

12=

21

7 = 2 7

e)

67

1263

=2 • 3 • 7 • 32

7 • 1• 22 • 3=

32

2=

9 • 22 • 2

=32

2

f)

2332

=2 • 23 • 3

=22

32 =23

g)714

=

7114

=7 • 41• 1

= 27

12=

21

7 = 2 7

h)3 1

55 3

=3 1

5

5 31

= 35

1•15 • 3

= 35

15• 1515

= 35

15152 = 3

51515

= 375

15 = 125

15

17.

a) 23 + 2

• 3 − 23 − 2

= 2 3 − 2

32 − 22

= 2 3 − 2

3 − 2

= 2 3 − 2( )

b) 4 35 − 3

• 5 + 35 + 3

= 4 15 + 4 32

52 − 32= 4 15 + 12

5 − 3= 2 15 + 6( )

c) 2 3a − b

• a + ba + b

=

2 3 a + b( )a2 − b2

=2 3 a + b( )

a − b

d) 3a + 2

• a − 2a − 2

=

3 a − 2( )a2 − 4

=3 a − 2( )

a − 4

e) 45 + a

• 5 − a5 − a

= 20 − 4 a

52 − a2= 20 − 4 a

25 − a

f) 35 + 3

• 5 − 35 − 3

=

3 5 − 3( )52 − 32

=3 5 − 3( )

5 − 3= 3

25 − 3( )

g) 2 3 − 55 + 2 3

• 5 − 2 35 − 2 3

= 2 15 − 4 9 − 25 + 2 15

52 − 4 9= 4 15 − 17

5 − 12= 4 15 − 17

−7= 17 − 4 15

7

h) 3 + 25 − 3

• 5 + 35 + 3

= 15 + 9 + 10 + 6

52 − 32= 15 + 3 + 10 + 6

5 − 3= 3 + 15 + 10 + 6

2

i) 42 3 − 5 3

= 4−3 3

• 33

= − 4 33 32

= − 4 39

j) 3 53 5 − 5 3

• 3 5 + 5 33 5 + 5 3

= 9 52 + 15 15

9 52 − 25 32= 9 • 5 + 15 15

9 • 5 − 25 • 3= 45 + 15 15

− 30= − 3 − 15

2

k) 58 − 3

• 8 + 38 + 3

=

5 8 + 3( )82 − 32

=5 8 + 3( )

8 − 3=

5 22 • 2 + 3( )5

= 2 2 + 3

l) 3 + 22 + 1

• 2 − 12 − 1

= 6 − 3 + 4 − 2

22 − 12= 6 − 3 − 2 + 2

2 − 1= 6 − 3 − 2 + 2

375


a) 23 + 2

• 3 − 23 − 2

= 2 3 − 2

32 − 22

= 2 3 − 2

3 − 2

= 2 3 − 2( )

b) 4 35 − 3

• 5 + 35 + 3

= 4 15 + 4 32

52 − 32= 4 15 + 12

5 − 3= 2 15 + 6( )

c) 2 3a − b

• a + ba + b

=

2 3 a + b( )a2 − b2

=2 3 a + b( )

a − b

d) 3a + 2

• a − 2a − 2

=

3 a − 2( )a2 − 4

=3 a − 2( )

a − 4

e) 45 + a

• 5 − a5 − a

= 20 − 4 a

52 − a2= 20 − 4 a

25 − a

f) 35 + 3

• 5 − 35 − 3

=

3 5 − 3( )52 − 32

=3 5 − 3( )

5 − 3= 3

25 − 3( )

g) 2 3 − 55 + 2 3

• 5 − 2 35 − 2 3

= 2 15 − 4 9 − 25 + 2 15

52 − 4 9= 4 15 − 17

5 − 12= 4 15 − 17

−7= 17 − 4 15

7

h) 3 + 25 − 3

• 5 + 35 + 3

= 15 + 9 + 10 + 6

52 − 32= 15 + 3 + 10 + 6

5 − 3= 3 + 15 + 10 + 6

2

i) 42 3 − 5 3

= 4−3 3

• 33

= − 4 33 32

= − 4 39

j) 3 53 5 − 5 3

• 3 5 + 5 33 5 + 5 3

= 9 52 + 15 15

9 52 − 25 32= 9 • 5 + 15 15

9 • 5 − 25 • 3= 45 + 15 15

− 30= − 3 − 15

2

k) 58 − 3

• 8 + 38 + 3

=

5 8 + 3( )82 − 32

=5 8 + 3( )

8 − 3=

5 22 • 2 + 3( )5

= 2 2 + 3

l) 3 + 22 + 1

• 2 − 12 − 1

= 6 − 3 + 4 − 2

22 − 12= 6 − 3 − 2 + 2

2 − 1= 6 − 3 − 2 + 2

CANTIDADES MUY GRANDES Y MUY PEQUEÑAS


1. 341archivosdemúsica

2. 1024fotos

3. 1Gb=106kb=1000000kb

El25%de1000000kbrepresenta250000kb

Elmapaesde280000kb

Nosepuedealmacenar,sobrepasalacanidaddealmacenamiento

4.

850 Tb = ? kb

850 Tb = 850 Tb• 1012b1 •Tb

• 1•kb103b

= 850 •1012 kb103

= 850 •109kb

Comosequierenalbergar 24000000000depáginas enlos850Tb

850Tb÷24000000000=

850•109kb÷24000000000

850kb÷24=

35,41kb

Eltamañodemediapáginaes17,705kb.

5. 50000000deusuariosdondecadaunorequiere2747Mb

50 000 000 •2747 Mb =

5 •107 •2747 Mb = 13 735 •107Mb 13 735 •107Mb

13 735 •107Mb = 13 735 •107Mb•1 • 106 b1 • MB

• Pb1015b

13 735 •107Mb = 13 735 •107 •1 • 106

1 • Pb1015

13 735 •107Mb = 13 735 •107 •1•106

1015 Pb

137,35 Pb

Respuesta:Paramantenerelser-viciosenecesita137,35Pb

6.Libre

ÁREA 2: GEOMETRÍA

TRIÁNGULOS


a) x2 = 52 + 62

x2 = 25 + 36 x = 61 x ≈ 7,81 b) 92 = 42 + x2

81 = 16 + x2

81 − 16 = x2

65 = x 8,06 ≈ x c) 122 = 72 + x2

144 = 49 + x2

144 − 49 = x2

95 = x2

95 = x 9,75 ≈ x d) x2 = 1202 + 502

x2 = 14 400 + 2500 x2 = 16 900 x = 16 900 x ≈ 130e) 2002 = x2 + 562

40 000 = x2 + 3136 40 000 − 3136 = x2

36 864 = x2

36 864 = x 192 ≈ x

a) x2 = 52 + 62

x2 = 25 + 36 x = 61 x ≈ 7,81 b) 92 = 42 + x2

81 = 16 + x2

81 − 16 = x2

65 = x 8,06 ≈ x c) 122 = 72 + x2

144 = 49 + x2

144 − 49 = x2

95 = x2

95 = x 9,75 ≈ x d) x2 = 1202 + 502

x2 = 14 400 + 2500 x2 = 16 900 x = 16 900 x ≈ 130e) 2002 = x2 + 562

40 000 = x2 + 3136 40 000 − 3136 = x2

36 864 = x2

36 864 = x 192 ≈ x


1.

a. 92 < 72 + 4,1( )2

81 < 49 + 16,81 81 < 65,81 acutángulo

b. 1,32 = 1,22 + 0,5( )2

1,69 = 1,44 + 0,25 1,69 = 1,69 rectángulo

c. 612 < 552 + 422

3721 < 3025 + 1764 3721 < 4789 acutángulo

d. 12 = 45

2

+ 35

22

1 = 1625

+ 925

1 = 2525

1 = 1 rectángulo

e. 2,5( )2 = 22 + 1,5( )2

6,25 = 4 + 2,25 6,25 = 6,25 rectángulo

376


a. 92 < 72 + 4,1( )2

81 < 49 + 16,81 81 < 65,81 acutángulo

b. 1,32 = 1,22 + 0,5( )2

1,69 = 1,44 + 0,25 1,69 = 1,69 rectángulo

c. 612 < 552 + 422

3721 < 3025 + 1764 3721 < 4789 acutángulo

d. 12 = 45

2

+ 35

22

1 = 1625

+ 925

1 = 2525

1 = 1 rectángulo

e. 2,5( )2 = 22 + 1,5( )2

6,25 = 4 + 2,25 6,25 = 6,25 rectángulo

2.

a)si

b)si

c)si

d)no

e)si

f)si


Parte A

a)si

b)no

PÁGINA 88

c)nod)noe)no

Parte B

a) 91b) x = 1,80 ; y = 3,354

c) x = 5 2d) x = 5 ; y = 5 ; z = 9,16

PÁGINA 89

Parte C

h a b17 15 841 9 4051 9 50,20

1 35

45

512

14

13

Parte DSi,puestoque372≠302 + 202

Parte ESi,puestoque(22,1)2≠142+(17,)2

PÁGINA 90Parte F Debetenerunalongitudde6,18m

aproximadamente.Parte G Ladiagonaldelacanchatienede

longitud122,06mParte H Eláreaesde60piescuadrados.Parte I Noesrectangular

ACTIVIDAD 4, PÁGINA 93Parte A

1) 2 2

2)cateto:17hipotenusa:17 23)cateto:5cateto:54)cateto:4cateto:4

PÁGINA 94Parte B

1)cateto: 3 hipotenusa:2

2)cateto:3hipotenusa: 2 3

3)cateto:2cateto: 2 34)cateto:1hipotenusa:2

5)cateto: 3 3 hipotenusa: 6 36)cateto:19hipotenusa:38

7)cateto: 3 ;cateto:3

8)cateto: 8 7 ;cateto: 8 21


1.a) correcta

b) incorrecta,debeser y2 = x2 + z2

c) incorrecta,debeser b2 = a2 + c2

d) correctae) correcta

f) incorrecta,debeser s = r2 + t2

g) correctah) correcta

PÁGINA 96

2.

a) x=5

b)x=25

c)x=8

d)x = 2 6

e)x = 19

f) x=4

3.a ) AB = 6

BC =3 6

2

AD = 3 3 + 3

Perímetro ABCD = 6 +3 6

2 +

2 22

+ 3 + 3 3

= 9 +3 6

2+

2 22

+ 3 3

Área D BCD =

3 22

•3 6

22

=

9 12221

=9 12

8=

9 34

PÁGINA 97

b) Respuestas:

LamedidadelsegmentoBCes2

Elperímetrodel triánguloACEes 4+4+4=12

EláreadelrectánguloABDEes

4 • 2 3 = 8 3 EláreadeltriánguloACEes

4 • 2 32

= 82

3 = 4 3

c) Respuestas: LamedidadeBCes6

377


LamedidadeRCes32

6

LamedidadeAQes34. a) BC=10b) AC=12

c) BC= 2 2

d) AC= 5

PÁGINA 98

e) BC= 5

f) AC= 2 65.a) mide55mb) mide185m

PÁGINA 99c) Lalongituddebeserde18,5md) Sicabenlasvarillasenlabodega.e) Nocaben,puesnidiagonalmente

sepuedenacomodar,yaqueestadiagonalmide2,6m.

PÁGINA 100f) Lamedidadelladomayores10y

tieneunperímetrode24.6. Ladistanciaes13m

PÁGINA 1017.a) Mideaproximadamente64,03mb) Mideaproximadamente11,66m8.1.x=6

2.x= 3 + 2 5


1. Respuesta: El lotemidede largo48m.

2.

a) Siporque 32 + 42 = 52

b) Siporque 62 + 2,5( )2 = 6,5( )2

c) Siporque 32 + 7,2( )2 = 7,8( )2

d) Noporque 42 + 62 ≠ 82

3.a) Midedeancho30mb) Midedeancho7m

PÁGINA 103c) Lalongituddelcabledebeserde2

veces15,02m(30,04m)d) Laalturaesde3,82maprox.4.a) x=4cmb) x=3,60cmc) x=5,2cmd) x=3,87cm

PÁGINA 1045.

a) AB=18;CA= 9 3

b) BC=6;CA= 6 3c)AB=12;CA=6

d)BC= 272;CA= 27

23

e) AB= 8 3 ;CA=12

f) AB= 203

3 ;BC=103

3

g) XZ= 6 2 ;YZ= 6 2

h) XY=6;YZ= 3 2

i) XY= 4 2 ;XZ=4

j) XZ=8;YZ=8


1. Libre

2.a) d = 20b) d = 37

3.a) A(1,1);B(3,3)

d = 8

b) A(–1,3);B(5,-3)

d = 12

c)A(–4,–2);B(0,–3)

d = 17

PÁGINA 1094. Resp.Elperímetrodelafiguraes:

5ul+2ul+6,71ul=13,71ul5. Resp.Elperímetrodelafiguraes

P=8+5+8,25+7=28,25ul6.

a) Perímetro:6+5+6+5=22ul

b) Puntosmedios: (4,4) 5 12,2

(1,

0),(–0,5,2)

c) Diagonal:9,85ul

Diagonalmenor:5

PÁGINA 110

7. Libre

8. Libre

9. Libre

10. Libre

(1, 4

)

(–0,5

, 2)

(5,5,

2)

(–2,

0)(1

, 0)

(4, 0

)

(4, 4

)(7

, 4)

–2

–1

0

1 2

3 4

5 6

7

5 4 3 2 1 0

378


ÁREA 2: GEOMETRÍATRIGONOMETRÍAACTIVIDAD 1, PÁGINA 1141.

a ) 60° = 60 •π

180=

π3

rad

b) 120° = 120 •π

180=

2π3

rad

c ) 210° = 210 •π

180=

7π6

rad

d) 135° = 135 •π

180=

3π4

rad

e) 330° = 330 •π

180=

11π6

rad

2.

a )π5

rad =π5•

180π

= 36°

b)3π7

rad =3π7

•180

π= 77°8 '34 "

c )7π3

rad =7π3•

180π

= 420°

d) 4πrad = 4π •180

π= 720°

e)11π

6rad =

11π6

•180

π= 330°

ACTIVIDAD 2, PÁGINA 117Libreparadiscusión.


1.

a) razón: 2040

= 12posición1

b) razón: 3060

= 12posición2

razón: 50100

= 12posición3

c) No2.

513125

1213

3.

(a)

sen A = ac

sen C = bc

cos A = bc

cos C = ac

tan A = ab

tan C = ba

cot A = ba

cot C = ab

(b)

sen A = np

sen B = mp

cos A = mp

cos B = np

tan A = mn

tan B = mn

cot A = nm

cot B = nm

(c)

sen A = ac

sen B = bc

cos A = bc

cos B = ac

tan A = ab

tan B = ba

cot A = ba

cot B = ab

PÁGINA 120

(d)

sen A = 67

sen B= 137

cos A = 137

cos B = 67

tan A = 613

tan B = 136

cot A = 136

cot B = 613

= 6 1313

(e)

sen A = 915

sen B = 1215

cos A = 1215

cos B = 915

tan A = 912

tan B = 129

cot A = 129

cot B = 912

4.

Razón α β

sen 574

= 6 7474

7 7474

cos 7 7474

5 7474

tan 57

75

cot 75

57

5.

a) a=9

b) b=15,33

c) a=8

PÁGINA 121

Complementario Ángulo90º–36º= 54º90º–14º= 76º90º–69º= 21º90º–85º= 5º

90º–47º15`= 42º45`

ACTIVIDAD 4, PAGINA 122

a)

sen α = 35

cos α = 45

tan α = 34

cot α = 43

sen β = 45

cos β = 35

tan β = 43

cot β = 34

b) Libreparadiscusión

c) Libreparadiscusión

379


PÁGINA 124

Libre


a)sen239º+cos239º=0,3961+0,6039=1sen289º+cos2 89º=0,9997+0,0003=1sen212º+cos2 12º=0,0432+0,9568=1sen217º+cos2 17º=0,0855+0,9145=1b)

c)


1.

cot A = 43

cot A = 125

cot B = 34

cot B = 512

tan A = 34

tan A = 512

tan B = 43

tan B = 125

sen A = 35

sen A = 513

sen B = 45

sen B = 1213

cos A = 45

cos A = 1213

cos B = 35

cos B = 513

PÁGINA 137

2.

Para hallar c

LafiguranosindicaquesenB= bc

. Comob=48;senB= 48

c.

Perocomolainformaciónquetene-mosesquesenB= 2

3.Podemos

comparar:

sen B =48c

=23despejamosc

c =3 • 48

2

c =144

2c = 72 cm

Para hallar a

EnestecasopodemosencontrarelvalordeautilizandoelteoremadePitágorasasí:

a2 + b2 = c2

a2 + 482 = 722

a2 = 722 − 482

a2 = 2880

a = 2880

a = 53,65 cm

a2 + b2 = c2

a2 + 482 = 722

a2 = 722 − 482

a2 = 2880

a = 2880

a = 53,65 cm3.

a)32

12

+11

=

1 + 2

2=

32

b)2 3 + 3 2

2

2 3

2+

32

=

3

1+

3 22

=

2 3 + 3 2

2=

2 3 + 3 22

PÁGINA 138

a)32

12

+11

=

1 + 2

2=

32

b)2 3 + 3 2

2

2 3

2+

32

=

3

1+

3 22

=

2 3 + 3 2

2=

2 3 + 3 22

4. tanA= 84tanB= 4

8

5. tan30º= 13

= 33

cot60º= 13

= 33

tan60º= 31

cot30º= 31

6.1.

a ) 3 + 2

b) 14

c ) 12

d) 4

sen2

5π 6

+

cos2

5π 6

=se

n2 150º

+cos2

150º

=0,

2500

+0,

7500

=1

sen2

3π 4

+

cos2

3π 4

=se

n2 135º

+cos2

135º

=0,

5000

+0,

5000

=1

sen2

π 12

+cos2

π 12

=se

n2 15º+

cos2

15º

=0,

0670

+0,

9330

=1

sen2

1,8 ra

d(

)+cos2

1,8 ra

d(

)=se

n2 103º

′75

′′7+

cos2

103º

′75

′′7=

0,94

84+

0,05

16=

1

sen2

3 7π

+cos

23 7π

=se

n2 77º

′83′′5

+cos

277º

′83′′5

= 1

sen2

9 13π

+c

os2

9 13π

=se

n2 124º

3′65

′′5+c

os2 12

4º3

′65′′5

=1

sen2

1 4π

+cos

21 4π

=

sen2 45

º+cos2

45º=

1

sen2

0,9 ra

d(

)+cos2

0,9 ra

d(

)=se

n2 51º

′75′′8

+cos

251º

′75′′8

=1

380


7.2.

a) 3 2 − 33

b) 1

c) 2 − 62

d) 3

e) 1− 2 32

f) 1

g) 3 − 14

h) 2

2 2 − 1( )PÁGINA 139g)

3 − 14

h) 2

2 2 − 1( )8.3.

a) 35

b) 45

c) 45

d) 35


1. sen22°= x30

30•sen22°=x

30•0,3746=x

11,238=x

Respuesta:Laalturadelárboles11,25maproximadamente.

2.

∆CDE ∆CFG ∆CHJ ∆CAB6

101220

1525

1830

810

1620

2025

2430

68

1216

1520

1824

3.

a) m

C=55°,AC=50,56mm

AB=41,42

b) m

P=71°,PQ=47,59mm

c) m

Y=35°,YZ=36,86dm

XZ=25,81dm

PÁGINA 143

4.

1.661

=6 61

614.

5 6161

2.5 61

615.

6 6161

3.65

6.56

5. Libre.

6.

a) Lasombramide41,40m

b)Ladistanciaes11,548m

c)Laescaleramide9,47m

d)Deberecorrer28,80cm

e)Necesitaavanzarelbuzo188,19m


Libreparadiscusión


1. α=40°

a=3,23

b=3,55

2. γ=40°

b=2,58

a=2,84

3. β=40°

a=3,25

b=4,27


1. Semejante al problema 4 de lapágina157,trabajoindividual2

Sugerenciapuedeplantear

sen 16h

= sen 66210

210 • sen 16sen 66

= h

Respuesta:Laalturadeledificioes63,36m

2.Planteelaecuación

34,5sen 57

= x + 34,5sen 63

34,5 • sen 63 = x • sen 57 + 34,5 • sen 5730,74 − 28,93 = x • sen 57

1,81sen 57

= x

2,16 = x

Respuesta: Laalturadelastaes2,16m

PÁGINA 152

3.Planteelaecuación

200sen 37

=x

sen 63=

ysen 80

x =200 • sen 63

sen 37= 296,11mm

y =200 • sen 80

sen 37= 327,28

Respuesta: Ladistanciaa travésdelríomascortaes296,11m

4. La distancia desde R hasta S es244,93mylam

RST=32

5.

a) Lasdistanciasson4,51kmy4,06km.

b)Laalturadelaviónes0,705km


1. Comom α + m β + m δ=180°entonces

m δ=180°–130°–20°

381


m δ=180°–150°

m δ=30°

2. Comom α + m β + m δ=180°entonces

m β=180°–57°–48°

m β=75°

3. b=35,46cm,c=53,29cm

PÁGINA 154

4. δ=65°,a=65,20cm,b=38

5. α=52°

c=51,24cm

b=24,47cm

6.

a) β=58°c=49,84cm,b=67,16cm

b) α =42°b=1395,50mm,c=1512,84mm

c) β=45°a=59,30cm,c=69,17cm

d) β=35°a=323,65dm,b=370,19dm

PÁGINA 155

7.

a) δ=80°a=20,16m,c=20,16m

b) α=92°b=3,01mm,c=3,89mm

c) δ=105°a=26,9cm,c=8,04cm

d) β=45°b=11,6m,c=11,6m

e) α=45°b=18,6dm,c=8,37dm

f) α=91°β=26°,a=15,82mm

g)α=24°β=141°,b=12,16m

h)α=59°δ=80°,a=44,39m

8. Libre


1. m β=90°–9°=81°

m δ=180°–64°–81°=35°

Paracalcularlalongituddelposte,esdecir,ellado adeltriánguloABC,seprocedecomosigue:

asen 64°

= 6,40sen 35°

↔ a • sen 35° = 6,40 • sen 64°

↔ a = 6,40 • sen 64°sen 35°

↔ a = 6,40 •0,89880,5736

↔ a = 5,752320,5736

↔ a = 10 m

Respuesta:Lalongitudaproximadadelpostees10m.

2. Como las rectas que pasan porsonparalelas,losángulos

alternosinternos PQRy QRS.miden25°.Porlotanto,

m PRQ=70°–25°=45°

Luego,tenemosqueeneltriánguloPQRelm QPR=180°–25°–45°=110°.

Aplicamoslaleydelossenos.

Para hallar la distancia recorrida,debemosencontrarlamedidasp,q.

Calculo de qq

sen 25°= 3,0sen 45°

q = 3,0 • sen 25°sen 45°

q = 3,0 • 0,42260,7071

q = 1,26780,7071

q = 1,80 km

Calculo de pp

sen 110°= 3,0sen 45°

sen 110° = sen 70°

p = 3,0 • sen 70°sen 45°

p = 3,0 • 0,93970,7071

p = 2,81910,7071

p = 4,0 km

Respuesta:Ladistanciaquereco-rrió,p+q=1,8+4,0=5,8kmaproximadamente.

PÁGINA 157

3. Como las rectas que pasan porBD yAC sonparalelas,entonces m DBC = m BCA. Entoncesel otro ángulo del triángulo es m B=180°–52°–40°=88°

Porlaleydelossenostenemosque:

asen 52°

=b

sen 88°=

csen 40°

yademásb=8

utilizamos asen 52°

=b

sen 88°

paracalculara

asen 52°

=b

sen 88° despejamos a b

sen 88°=

csen 40°

a =8 • sen 52°sen 88°

8sen 88°

=c

sen 40° despejamos c

a =8 • 0,7880

0,9994c =

8 • sen 40°sen 88°

a = 6,308 km c =8 • 0,6428

0,9994

c =5,14240,9994

c = 5,145

utilizamos bsen 88°

=c

sen 40°

paracalcularc

a

sen 52°=

bsen 88°

despejamos a bsen 88°

=c

sen 40°

a =8 • sen 52°sen 88°

8sen 88°

=c

sen 40° despejamos c

a =8 • 0,7880

0,9994c =

8 • sen 40°sen 88°

a = 6,308 km c =8 • 0,6428

0,9994

c =5,14240,9994

c = 5,145

Respuesta: La distancia total derecorrido es 8 km + 6,308 km +5,145km=19,453km

382


4. Sea hlaalturadeledificioqueestásobre lapendienteyconstruyaeltriángulorectánguloABC.

Ahora,m α+15°=42°entonces m α=42°–15°=27°

Comoel∆ABCesuntriángulorec-tángulo;m δ=90°–42°=48°

ConlaLeydelossenos,sesigueque

Respuesta:Laalturaaproximadadeledificioes6,72m

5. Lalongituddelalambremáscercanoaltubomide6,77m

PÁGINA 158

6. Ladistanciaes96,03m

7. Lalongituddelpostedeluzes 9,06m

8.

a) α=12

b) 9,30m

c) 290,3m

d) 42,60m

ÁREA 2: GEOMETRÍA

GEOMETRÍA DEL ESPACIO

ACTIVIDAD, PÁGINA 165

1. Áreaesde389.25cm²

2. Áreaesde10,83cm2.

Parael triángulode lado8cmsualturaes 4 3 cm

3. Parael triángulode lado8cmsualturaes 4 3 cm

4. Resueltoenlapágina165-166delibroMatemáticaZapandí2016

5. Resueltoenlapágina166delibroMatemáticaZapandí2016


A.

1. 20m2+20m2+12m2+12m2 + 15m2+15m2=94m2

25cmx25cm=0,25mx0,25m=0,0625m2

94m2÷0,00625m2=1505azulejos

2. 45m2+45m2+18m2+18m2 + 90m2=216m2

Eláreatotalapintarson216m2.

3. Elárealateralesde

756m2+756m2+756m2 + 756m2=3024m2

Eláreatotalesde

441m2+441m2+756m2+756m2 +756m2+756m2=3096m2

PÁGINA 172

4. Árealateral=Pbasexhprisma =(25cm+25cm+25cm)x40cm

=75cm2x40cm

=3000cm2

Áreabase=A(triánguloequilátero)

A =

2 • 34

A = 25 cm( )2 • 34

A = 625 cm2 • 34

A = 6254

3 cm2

Sondostriángulosequiláteros:

2 • 625

43 cm2

= 625

23 cm2

Respuesta:

Áreatotal=3000cm2 + 6252

3 cm2

5. Áreatotal= áreadelasbases+árealateral

= 2(0,8 m x 0,5 m) + 2(0,5 m x 0,7m)+2(0,8mx0,7m)

=0,8m2+0,7m2+1,12m2

=2,62m2

La madera cuesta a razón 1600coloneselm2.

2,62m2 x1600colones=4192

Respuesta:Elpreciodelcajóndeembalajecuesta4192colones.

6. Como posee una base triángularde 6 cm de lado es un triánguloequilátero


A =

2 • 34

A = 6 cm( )2 • 34

A = 36 cm2 • 34

A = 364

3 cm2 = 9 3 cm2


2 • 9 3 cm2( ) = 18 3 cm2

Árealateral=Pbasexhprisma =(6cm+6cm+6cm)x12cm

=18cmx12cm

=216cm2

Respuesta:

Áreatotal=216cm2 +18 3 cm2

7.

Áreatotal=2(Abase)+(Pbasexhprisma)

=2(2cm)2+{(4x2cm)x5cm}

=2(4cm2)+40cm2

=8cm2+40cm2

=48cm2

383


Respuesta:Eláreatotales de48cm2.

8. Como posee una base triángularde35cmdearistade labaseesuntriánguloequilátero


A =

2 • 34

A = 35 cm( )2 • 34

A = 1225 cm2 • 34

A = 12254

3 cm2


2 • 1225

43 cm2

= 1225

23 cm2

Árealateral=Pbasexhprisma =(35cm+35cm+35cm)x20cm

=105cm2x20cm

=2100cm2

Respuesta:

Áreatotal=2100cm2 + 12252

3 cm2

PÁGINA 173

9. Semejantealnúmero2,anterior.

10. Semejantealnúmero1,anterior.

11. Semejantealnúmero4ynúmero8anteriores.

B. Libreparadiscusión


1. Respuesta: ST= 87,71m2 apb=2,32cm.

2. Respuesta: a=12,16m;

ST=252,72m2.

3. RespuestaAreadelacaralateral:

3 cm2

Áreatotaldeltetraedroregular:

4 3 cm2 = 6,93 cm2

PÁGINA 182

4.Respuesta.

Areadelacaralateral: 3 cm2

Area total del tetraedro regular:4 3 cm2 = 6,93 cm2

PÁGINA 184

1.Respuesta.

Área lateral + Área de la base

15m2+6.25m2=21.25m2

2. Respuesta:

Elárealateralesde69,96dm2yeláreatotalesde105,96dm2

.

3. Respuesta:

Áreatotales96dm2

4. Respuesta:Eláreatotaldelapirá-mideesde121,5dm2.

5. Respuesta:Libreparadiscusión.

6. Respuesta:Eláreatotaldelapirá-midees756cm2.


1.

a)521,16cm2.

b)Libreparadiscusión.

c)Libreparadiscusión.

d)88228cm2.

2. Libreparadiscusión. (Semejantealnúmero2delapágina188)

3. Libreparadiscusión. (Semejantealnúmero2delapágina188)

4. Áreadelatorre: 400m2 +660m2=1060m2

5.

a)280cm2

b)352cm2

ÁREA 3: RELACIONES Y ÁLGEBRAFUNCIÓN CUADRÁTICATRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 203A. Selección1. A

PÁGINA 2042. C3. A4. C

PÁGINA 205B.Resuelva…1) A=x2

2) A=(x+2)(x+3)=x2+5x+63)a) 10x10=100saludos.b) 10x9=90saludosc) Laexpresiónalgebraicaquesederiva

deloqueheresueltoanteriormente: y=x(10–x)=10x–x2

4)x(15–x)=y↔y=15x–x2

5)x2–100x–11900=0

PÁGINA 2066.a) variableindependiente:t(s);va-

riabledependiente:alturab) alturamáxima:4m,tiempo:2segc) Intervalodetiempolafuncióncrece

[0,2[,yencuállafuncióndecrece]2,4]

Parte C1) Respuesta: A=bh A=(x+2)(x–2)=x2–42)Respuesta:

A = bh2

A =2x + 1( ) 2x + 2( )

2=

2x + 1( ) /2 x + 1( )/2

A = 2x + 1( ) x + 1( ) = 2x2 + 3x + 1

384



1. 20(6a+b+6)

2. 9ax(a–2x)

3. x2(1+x–x2)

4. ab(b2–a2+1)

5. 2a(2a2+15a–25)

6. 7(3c4+b2c–2b3)

7. 6xy(2y–3y2x+3)

8. c2(b3–21+14b)

9. 2mn(56n3+60m4–63mn)

10. a2(a2b+b4+a+ab3)

11. 5y2(3+4y–6y2+8y3)

12. 6a2b(7b–3a5+5ab)

13. –h(k2–2k–h)

14. m(m2 + n2–n4+1)

15. a3b(b+1)

16. 5b a + 23

a2 − 37b3

17. 5x(5xy+6y3+4)

18. –y(x2–y2+xy3+4)

19. 59xy(5 − 3y − 2x2 )

20. 15

a 23

a2b2 − 34

ab3 − 1

21. 5x2y 43x2 − 3

2xy + 6y


A.

1. (x+1)(a+8)2. (2n+3)(–5+p)3. (x–3)(2a–11)4. (2x+3)(m–n)5. (4+n)(x+5)6. (x+1)(3+5y)7. (1–x)(m+1)8. (m–2)(4x+1)9. (1–x)(1+2a)10. (x2+1)(1–b)11. (x–1)(m+7)

12. 11(b+c)13. (2y–1)(x+2)14. (3+b)(–1+x)15. (–1+m)(2x+3)B.a) (m+1)(a–9)b) (x–2)(3x–2y)c) (a+1)(n+2)d) (a+1)(x–1)e) (x+1)(–1–7y)=–(x+1)(1+7y)f) (1–7x)(–1+2a)g) (x–8)(1+x)h) (2a+b+3)(–5–1)=–6a(2a+b+3)i) (n+1)(x–9)j) (x–2)(x+3y+1)k) (a+1)(a–1)

ACTIVIDAD 3, PÁGINA 214A. 1. (n–1)(n+1)2. (x–5)(x+5)3. (1–2m)(1+2m)4. (4+y)(4–y)5. (2x+3)(2x–3)6. (2x+9)(2x–9)7. (10–m2)(10+m2)8. (5–2n)(5+2n)9. (–4+2b)(4+2b)

10. 12

− 3a

12

+ 3a

11. a6

− 45

a6

+ 45

12. a6

− 45

a6

+ 45

13. 1− a2

1+ a2

14. b + 12

b − 1

2

15. 10 − 14

a2

10 + 14

a2

16. 8a − 15

8a + 15

17. (7x–8)(7x+10)

18. 7(2a+7)

19. (7a+1)(–a+11)

20. 5c(2+7c)

PÁGINA 215

B.

a) (16–3y)(16+3y)b) (4a+3)(4a–3)c) (5x–2)(5x+2)d) (5m–7)(5m+7)e) (8y2–9)(8y2+9)f) (a6–4)(a6+4)=(a3–2)(a3+2)(a6+4)g) (11a4–10)(11a4+10)h) 2(25a10–36)=2(5a5–6)(5ª5+6)i) (x2+1)(x2–1)=(x2+1)(x–1)(x+1)j) 4(x4–16)=4(x2–4)(x2+4)

=4(x+2)(x–2)(x2+4)k) (4–y2)(4+y2)=(2–y)(2+y)(4+y2)l) 5(x4–16)=5(x2–4)(x2+4)

=5(x –2)(x –2)(x2+4)

PÁGINA 216A. a)b)d)f)B.a) (x+8)2

b) (x+7)2

c) (x–1)2

d) (1–2y)2

e) 2(x–1)2

f) x(x–9)2(x+9)=x(x–9)2

g) 5(4x+5)2

h) 5(y2+1)2

i) (3x5+2)2

j) (1–a3)2

k) (7x+4)2

l) (x+5)2

m) (a+1)2

n) (x+1)2

385



A.

a) (a–1)(a–3)(a+3)

b) a + 2( ) 23

− x

23

+ x

c) (b–3)(b+1)(b–1)

d) 3x(x+12)

e) 2(y+1)(y–11)

f) 5(2y–9)(2y–5)

g) 2(x–3)2

h) 3(3x+1)2

i) 3x(1–x2)2

j) (x+2)2(1+3x)

k) 2(1–5x)(1–10x)(3–10x)

l) –24x

PÁGINA 218

B.

1) 2a(a+6) Mayorfactorcomún:2a

2) 9b(b–9) Mayorfactorcomún:9b

3) 6(2c2–1) Mayorfactorcomún:6

4) 9(d2+3) Mayorfactorcomún:9

5) 1(e2+9) Mayorfactorcomún:1

6) 1(2f2–4) Mayorfactorcomún:1

7) 3(x2–4x+6) Mayorfactorcomún:3

8) 9(2n2–3n+6) Mayorfactorcomún:9

9) 2x2(x2+3x–13) Mayorfactorcomún:2x2

10)3y3(3y2–22y+1) Mayorfactorcomún:3y3

C.

1) 3(x2+4y2)

2) 6(3x2–2y)

3) x(x+7)

4) 3x2(1–7x)

5) 2x(3x–2)

6) b(b2+b+1)

7) ab(a+b)

8) 3c(5a2–1)

9) 5rs(5r–25)

10) –6x(2x+1)

D.

1) (y+2)(y–1)

2) (a+9)(a–8)

3) (4c+5)(x–1)

4) 2(x+1)2

5) 2x(x–y)

6) (m–n)2

7) (1–3c)(1+y)2

8) –7(2y–1)


1.

a)3a

b)a

c)12b2

d)1

2.

a) 6a3b3

b) 6xy

c) 14a3b2

d) 3a2x2

e) 6a2b

f) 6

3.

a) a(b+c)b) b(b–2)c) 3(m–n)d) 2(c+4)e) 2x(y–5)f) 5y2(1+3y)

PÁGINA 220

g) 4m(2m–3n)h) 9ax2(a2–2x)i) x(x2+x+2)j) 2(2a2–4a+1)k) 2a(a+2b–3c)l) 3m(2m2n2–4mn+1)m) 3a2(3a3–2x+ax2)n) 3b(2a2b2–3a+4b)4.

a) 4(a+b)b) x(x–y)c) bc2(b+3c)d) 2x(3x–2y)

e) 12b2y(y–b)

f) 4x(6+7x2–14x3)5.

a) (4x–1)(a+3)b) (b–5)(2m+1)c) (2a–1)(1–3q)d) (3t+1)(p–6)e) (a–10)(–7+x)f) (b2+1)(7c+3)


1.

a) si

b) si

c) no

d) no

e) si

f) si

g) no

h) si

i) no

j) si

2.

a) (x+1)2

386


b) (n–1)2

c) (a+4)2

d) (y–6)2

e) (m+7)2

f) (b– 32 )

2

g)(9+p)2

h)(b–5)2

i)(a2+4)2

j)(1–0,8y)2

3.

a)2(x–1)2

b)2(x–10)2

c)x(x–9)2

d)x(x+12)2

e)5(2x+3)2

f)3(2x+3)2

g)5(y2+1)2

h)2a(1–a3)2

4.

a)sí e)no

b)sí f)no

PÁGINA 222

c)no g)sí

d)no h)si

5.

a) 6x2(4x2+10x–3)

b) 5x3(9x8+12+4x2)

c) (2x–3)(2x+3)

d) 6x2(x2+4)(x–2)(x+2)

e) 3x3(2x3–3)2

f) (x–2)2(x+2)2

g) 2x2(4x2–42x+9)

h) x(18x6+8+29x3)

6.

a)(2x–5)(2x+5)b)(3a–4)(3a+4)c)(10x–1)(10x+1)

d)(4x3–5)(4x3+5)e)(8y2–9)(8y2+9)f)x(6–7x)(6+7x)g)y2(9y2–5)(9y2+5)h)2(2x–7y)(2x+7y)7.a) (y–1)2

b) (2x+15)2

c) (h+2)2

d) (b+5)2

e) (7a+4)2

ACTIVIDAD 6, PÁGINA 225A. 1. 12raíces2. 16 2raíces3. 4 2raíces4. 100 2raíces5. 25 2raíces6. 1 2raíces7. 85 2raíces8. 25 2raíces9. 4 2raíces10. 196 2raícesB. 1) (x+4)(x+3)2) (x+9)(x+4)3) (x–5)(x–3)4) (x–4)(x–3)5) (x+6)(x–2)6) (x–25)(x+4)7) (x–24)(x+3)8.(m+5n)(m+3n)9.(a+3b)(a+2b)10.(p+4q)(p+2q)11.(a+7b)(a–2b)12.(x–6y)((x+5y)13.4(x+5)(x+5)14.(x–8y)(x–5y)


a) (3x+2)(2x+1)

b) (4x–1)(2x+3)

c) (x–7)(6x+1)

d) 3(x–4)(x–3)

e) 2(2x–1)(2x+1)

f) 3(3a–1)(a–2)

PÁGINA 227

g)2(x+3)(x–1)

h)2(2a+3)(a–1)

i)3(2m–n)(m+3n)

j)2(5–x)(2+x)

k)(2x–1)(x+1)

l)(6b–5)(5b+4)


A.

b) 100 (x − 10)2

c) 254

x + 52

2

d) 49

y + 23

2

e) 9 (x + 3)2

f) 16 (x2 − 4)2

g) 254

x − 52

2

B.

a) (x–3)(x+2)

b) (y–5)(y–3)

c) (x+7)(x–2)

d) (c+8)(c–3)

e) (x–7)(x+4)

f) (a+7)(a+5)

g) (b–5)(b–2)

h) x − 12

a − 1

3

387



a)(x+4)2–17

b)(x–3)2–7

c)(x+5)2–15

d) x − 12

2

+ 194

e) x − 52

2

− 294

f) x + 112

2

− 774

ÁREA 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA


1. x8

2. −16y2

3. −13

a7b8

4. −89m26n9

5. −12q4

p3

6. −23x3y


1.x+3

2. 12

y + 3( ) = 12y + 3

23.7p2+15m2

4.–q2m(7q–3m)=–7q3+3m2q2

5.–4b(4–3a2)=–16b+12a2b

6. 4a

7. 16

ab − 14

ab3

8. 13

a5b2 − 83

ab2

ACTIVIDAD 3

1. −x2

2− 5x + 4

2. 2x3 + 3x − 52

3. −32

a2 + 52b2 + 3ab3

4. x2 − 4x + 1

5. 2x5 − 5x3 − 52x

6. −3m2 + 4mn − 10n2

7. − 15x3 + x2 − 3

PÁGINA 236

1. −x2

2− 5x + 4

2. 2x3 + 3x − 52

3. −32

a2 + 52b2 + 3ab3

4. x2 − 4x + 1

5. 2x5 − 5x3 − 52x

6. −3m2 + 4mn − 10n2

7. − 15x3 + x2 − 3


1. Cociente:–4b+4,residuo:–2

2. Cociente:6x2+5,residuo:0

3. Cociente:x+1,residuo:0

4. Cociente:2x–6,residuo:0

5. Cociente:x2+3,residuo:–2

6. Cociente:5x–20,residuo:154

7. Cociente:3x+12,residuo:46

8. Cociente:x-5,residuo:16


a) x2 + 5x + 6x + 2

1 5 6 –2 –2 –6 1 3 0

Cociente:x+3

Residuo:0

b) x2 – 15x + 56x − 7

1 –15 56 7 7 –56 1 –8 0

Cociente:x–8

Residuo:0

c) (n2–7n–9)÷(n+1)

1 –7 –9 –1 –1 8 1 –8 –1 Cociente:n–8

Residuo:–1

d) (4–8n+3n2)÷ (3n-2)

(3n2–8n+4)÷(3n-2)

3 –8 4 23

63

= 2 −123

= −4

3 –6 0 3n–6

Dividimos3y–6por3;así

33

=, − 63

= − 2

Porlotanto

Cociente:n–2

Residuo:0

e)(x2–7x+5)entre(x-3)

1 –7 5 3 3 –12 1 –4 –7 Cociente:x–4

Residuo:–7

f)(x2–x–6)entre(x–3)

1 –1 –6 3 3 6 1 2 0 Cociente:x+2

Residuo:0

g)(a2–5a+1)entre(a+2)

1 –5 1 –2 –2 14 1 –7 15

388


Cociente:a-7

Residuo:15

h)(2x2–7x+1)entre(x–4)

2 –7 1 4 8 4 2 1 5 Cociente:2x+1

Residuo:5

i) (3x2 +5x+1)entre(2x–1)

(3n2–8n+4)÷ (3n–2)

3 5 1 12

32

134

3 132

174

Noolvidemos,sedividenloscoefi-

cientes3y 132porelcoeficiente

deldivisor(2x–1)

Porlotanto

Cociente: 32x + 13

4

Residuo: 174

j)(10x2+8–7x)÷(–3+5x)

(10x2–7x+8)÷(5x–3)

10 –7 8 35

305

= 6 −35

10 –1 375

10x–1

Sedivide10y–1por5

Porlotanto

Cociente: 2x − 15

Residuo: 375

k) (11–7x+x2)entre(4x+1)

(x2–7x+11)entre(4x+1)

1 −7 11 −14

−14

2916

1 − 294

20516

10x–1

Sedivide1y −294

por4

Porlotanto

Cociente: 14x − 29

4

Residuo: 20516

l) Libre

m) Libre


a) 2x4 + 0x3 + 11x2 + 0x − 3 3x3 + 0x2 − 5x + 3

−2x4 + 0x3 + 103x2 + 2x 2

3x

433x2 − 2x

Respuesta:C(x)= 23xyelresto

R(x)= 433x2 − 2x

b) 4x3 + 0x2 + 8x − 4 2x2 − 4x + 1−4x3 + 8x2 − 2x 2x

8x2 + 6x − 4

Respuesta:C(x)=2xyelresto R(x)=8x2+6x–4

c) x3 − x2 − x x2 + x + 1−x3 − x2 − x x

− 2x2 − 2x

Respuesta:C(x)=xyelresto R(x)=–2x2–2x

d)Libre.


1.

a) −a4b3 − 13

b) −5m5n4 + 6mn8

c) 53x − 2

3 + 2

x

d) −73x3 − 4

3x2 + x

e) 3x2 − 5x + 4

f) 108a5 − 14b3 − 2

a2

2.

a) (2 − 7x)4

b) a2b − 7b2

c) (x2y2 − 1)2

5

d) −35

e) 14(x − y)

f) −43(a2 − c)

g) −2(a4b + 2)2

h) 4xy2

i) 25a +b

j) 2x + 3y3x + 2y

k) x + 2

PÁGINA 2453.a) x+yb) 3–7bc) ay–3a4

4.a) x2 + 1b) 3x2–8x2=–5x2

c) p–7d) –x+y

389


e) x–y

f) m2–5

5.

a) –15a2b+13b

b) 9mn5–12m5n

c) 2ba

+ 3a

− 4b2

ad)3x3–5nx2 + 1

6.

a)x

b)x

c)2m

d)n

PÁGINA 246

7. Libreparadiscusión

8.

b),c),d)ye)libreparadiscusión.

9.

b),c)yd)Libreparadiscusión.


EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS


A.Parte Aa) a ≠ 0 ↔ IR − {0}b) x ≠ 1 ↔ R − {1}c) m ≠ 0 ↔ IR − {0}d) ∀ x ∈ IR,e) b ≠ − 3 ↔ IR − {−3}

f) z ≠ −12 ↔ IR − −1

2{ }

g) a ≠ 7 ↔ IR − {7}h) x ≠ 0, x ≠ −2 ↔ IR − {−2, 0}i) b ≠ 3, b ≠ -3 ↔ IR − {−3, 3}j) c ≠ −2, c ≠ 9 ↔ IR − {−2, 9}

Parte B

1. 4c2

a2. − 5x

3. 3ax + 1

4. a3

(b − c)2

5. 2x − 12x

6. y

7. 3 + x2

8. a − 2b

9. 5 + 6x 2

10.m − 2m + 2

11.1

a − 4

12.1 − 4n

10

13.p

2p − q

14. x + 1

15 hasta 24 los estudiantes

PÁGINA 2518. a − 2b

9. 5 + 6x 2

10.m − 2m + 2

11.1

a − 4

12.1 − 4n

10

13.p

2p − q

14. x + 1


8. a − 2b

9. 5 + 6x 2

10.m − 2m + 2

11.1

a − 4

12.1 − 4n

10

13.p

2p − q

14. x + 1


Parte C

3. Para valores distintos de − 43

, o

seaa∈ℝ– 43

Parte D

Debeamplificarsepor(m–n)

Parte E

Lafracciónoriginales x2 + 5x + 4x2 − 1

Parte F

Lafracciónoriginalera4a2 − 9

6a2 + 11a + 13

PÁGINA 252

a) a

b) 14m11

c) 12 x

d) xy

e) 7(x + 1)x + 2

f) − 5(m + 2)m − 5

g) − 2

h) − 2(b − 6)b + 2

PÁGINA 253

a) a

b) 14m11

c) 12 x

d) xy

e) 7(x + 1)x + 2

f) − 5(m + 2)m − 5

g) − 2

h) − 2(b − 6)b + 2

390


i) (3n + 2)(n − 4)n + 4

j) 3x + 5k) x − 2

l) y2 + 4y + 15y + 1

PÁGINA 255

Parte A

1) c2d2

2) 6x2y3) (a - b)(a + b)4) (m - 6)(m + 6)5) − 6(a − 3)6) − 8(b − 1)

7) x2 − 4

8) x2 − 99) (x − 2)(x + 2)(x + 3)10) (x + 1)(x + 2)(x − 2)

11) t(t + 2)2 (t − 4)

12) y2 (y − 1)(y + 1) 13) (a + 1)(a − 1)

14) (x − y)(x + y)2

15) (m − 3)(m − 2)2 16) (x + 2)(2x + 1)(x − 1)

PÁGINA 256

1) c2d2

2) 6x2y3) (a - b)(a + b)4) (m - 6)(m + 6)5) − 6(a − 3)6) − 8(b − 1)

7) x2 − 4

8) x2 − 99) (x − 2)(x + 2)(x + 3)10) (x + 1)(x + 2)(x − 2)

11) t(t + 2)2 (t − 4)

12) y2 (y − 1)(y + 1) 13) (a + 1)(a − 1)

14) (x − y)(x + y)2

15) (m − 3)(m − 2)2 16) (x + 2)(2x + 1)(x − 1)

Parte B

Libre.

Parte C

1) 78 a2

2) 65 y

3) 4475 x

4) 2x + 5x2

5) 4124a

6) x2 + 4xy + y2

x2y2

7) 6xx2 − 4

8) 11x + 23x(x + 1)

9) 2x2 + 8x + 16x(x + 4)

1) 78 a2

2) 65 y

3) 4475 x

4) 2x + 5x2

5) 4124a

6) x2 + 4xy + y2

x2y2

7) 6xx2 − 4

8) 11x + 23x(x + 1)

9) 2x2 + 8x + 16x(x + 4)

10) 2x2 − 10x + 25x(x − 5)

11) x2 + 5x + 1x + 1( )2 (x + 4)

12) 12a − 11(a + 2)(a − 1)(a − 3)

PÁGINA 25710) 2x2 − 10x + 25x(x − 5)

11) x2 + 5x + 1x + 1( )2 (x + 4)

12) 12a − 11(a + 2)(a − 1)(a − 3)

Parte D

1) 13xy − 6x2 + 3y2

2x2y2

2) 2(x − 20)x2 − 25

3) x − 3(x + 3)(x + 1)

4) x − 6(x + 6)(x + 4)

Parte E

a) x4yx5y2 = 1

xy

b) x2 + 2x + 1x2 − 1

= (x + 1)(x + 1)(x − 1)(x + 1)

= (x + 1)(x − 1)

c) x2 + 3x + 2x2 + x − 2

= (x + 1)(x + 2)(x + 2)(x − 1)

= (x + 1)(x − 1)

d) xy(x + 1)x3y2 + x2y2 = xy(x + 1)

x2y2 (x + 1)= 1xy

Respuesta:Sonequivalentesaydylabyc.


a) ab

b) 2xy2

c) b+52b

d) 2(a − 9)e) c

f) 1p+7

g) 3(x − 4)h) 1

i) 2 x2 + y2( )j) 1

a) ab

b) 2xy2

c) b+52b

d) 2(a − 9)e) c

f) 1p+7

g) 3(x − 4)h) 1

i) 2 x2 + y2( )j) 1

k) − x − 2( ) x + 3( )x + 2( ) x − 3( )

l) x − 2( ) x + 1( )x − 1( )


Parte A

2(x + 5)(x + 1)2

Parte B

53(x − 1)

Parte C

391


p) 3(x–2)

q) x − 1( )x − 2( ) x − 4( )


Parte A

1. 1x

+ 1− xx(x + 2)

− 2x + 1

(x + 2)(x + 1) + (1− x)(x + 1) − 2(x)(x + 2)x x + 1( ) (x + 2)

x2 + x + 2x + 2 + x + 1− x2 − x − 2x2 − 4xx x + 1( ) (x + 2)

− 2x2 − x + 2x x + 1( ) (x + 2)

2) x2x2 − x − 1

− 31− 2x + x2 + 2

x(2x + 1)(x − 1)

− 3(x − 1)(x − 1)

+ 2

x(x − 1)(2x + 1)(x − 1)(x − 1)

− 3(2x + 1)(2x + 1)(x − 1)(x − 1)

+ 2(2x + 1)(x − 1)(x − 1)(2x + 1)(x − 1)(x − 1)

x2 − x − 6x − 3 + 4x3 − 6x2 + 2(2x + 1)(x − 1)(x − 1)

4x3 − 5x2 − 7x − 1(2x + 1)(x − 1)(x − 1)

3) Estudiante

4) Estudiante

Parte B

a) x − 2x2 − 4

+ x + 2x2 − x − 6

• x2 − 9

4x − 10

x − 2x − 2( ) x + 2( ) + x + 2

x − 3( ) x + 2( )

• x − 3( ) x + 3( )

2 2x − 5( )

x − 2( ) x − 3( ) + x + 2( ) x − 2( ) x − 3( ) x − 2( ) x + 2( )

• x − 3( ) x + 3( )

2 2x − 5( )

x2 − 3x − 2x + 6 + x2 − 2x + 2x − 4 x − 2( ) x + 2( )

• x + 3( )

2 2x − 5( )

2x2 − 5x + 2 x − 2( ) x + 2( )

• x + 3( )

2 2x − 5( )

2x − 1( ) x − 2( ) x − 2( ) x + 2( )

• x + 3( )

2 2x − 5( )

2x − 1( ) x + 3( ) 2 x + 2( ) 2x − 5( )

b) Estudiante

c) Estudiante


1) a −b( ) a +b( )3 a + b( ) • 2 a −b( )

a −b( ) a +b( ) = 23

2) x − 7( ) x − 6( )x − 7( ) x + 7( ) •

x + 7( ) x − 5( )x x − 5( ) = x − 6

x

3) x + 8( ) x + 7( )x − 8( ) x + 8( ) •

x − 8( ) x + 7( )x + 7( ) x − 5( ) ÷

x + 7( )x − 5( )

x + 8( ) x + 7( )x − 8( ) x + 8( ) •

x − 8( ) x + 7( )x + 7( ) x − 5( ) •

x − 5( )x + 7( ) = 1

PÁGINA 265

2.Libre

3.

1) a2 +b2 − 1ab

2) 3c − 2a +babc

3) a a −b( ) +b a +b( ) − a2 +b2( )

a -b( ) a +b( ) = a2 −b2 + ab +b2 − a2 −b2

a −b( ) a +b( ) = 0

4y5libre.

392



RACIONALIZACION DE DENOMINADORES Y NUMERADORES


a )2 5

5

b)3 7

7

c )3

9

d)3 2

4

e)25

5

f)34

6

g)13

5

h)98

10

ACTIVIDAD 2, PAGINA 268

1. 5 23

4

2. 3 1003

503. 93

4. 12

363

5. 7 253

56. 43

7. 7 1213

118. 23

9. 43

2

10. 5 43

211. 3 33

12. 93

6

13. xyxy

14. x6x

15. 3 8x3y24

4x2y

16. 2436x4y67

6xy3

TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 2701.

a) 3 xx

b)2yy

c) x57

x

d) 2 x25

x2

2.

a) 4 x − 2( )x − 4

b) 3 3 + 2 x( )

9 − 4x

c)3 3 + 2 x( )

9 − 2x

d)2 x − x + 2( )2

3x − 2

e) x + 1+ x − 12

PÁGINA 271

3.

a) 23 + 2

• 3 − 23 − 2

= 2 3 − 2

32 − 22

= 2 3 − 2

3 − 2

= 2 3 − 2( )

b) 4 35 − 3

• 5 + 35 + 3

= 4 15 + 4 32

52 − 32= 4 15 + 12

5 − 3= 2 15 + 6( )

c) 2 3a − b

• a + ba + b

=

2 3 a + b( )a2 − b2

=2 3 a + b( )

a − b

d) 3a + 2

• a − 2a − 2

=

3 a − 2( )a2 − 4

=3 a − 2( )

a − 4

e) 45 + a

• 5 − a5 − a

= 20 − 4 a

52 − a2= 20 − 4 a

25 − a

f) 35 + 3

• 5 − 35 − 3

=

3 5 − 3( )52 − 32

=3 5 − 3( )

5 − 3= 3

25 − 3( )

g) 2 3 − 55 + 2 3

• 5 − 2 35 − 2 3

= 2 15 − 4 9 − 25 + 2 15

52 − 4 9= 4 15 − 17

5 − 12= 4 15 − 17

−7= 17 − 4 15

7

h) 3 + 25 − 3

• 5 + 35 + 3

= 15 + 9 + 10 + 6

52 − 32= 15 + 3 + 10 + 6

5 − 3= 3 + 15 + 10 + 6

2

i) 42 3 − 5 3

= 4−3 3

• 33

= − 4 33 32

= − 4 39

j) 3 53 5 − 5 3

• 3 5 + 5 33 5 + 5 3

= 9 52 + 15 15

9 52 − 25 32= 9 • 5 + 15 15

9 • 5 − 25 • 3= 45 + 15 15

− 30= − 3 − 15

2

k) 58 − 3

• 8 + 38 + 3

=

5 8 + 3( )82 − 32

=5 8 + 3( )

8 − 3=

5 22 • 2 + 3( )5

= 2 2 + 3

l) 3 + 22 + 1

• 2 − 12 − 1

= 6 − 3 + 4 − 2

22 − 12= 6 − 3 − 2 + 2

2 − 1= 6 − 3 − 2 + 2

393


a) 23 + 2

• 3 − 23 − 2

= 2 3 − 2

32 − 22

= 2 3 − 2

3 − 2

= 2 3 − 2( )

b) 4 35 − 3

• 5 + 35 + 3

= 4 15 + 4 32

52 − 32= 4 15 + 12

5 − 3= 2 15 + 6( )

c) 2 3a − b

• a + ba + b

=

2 3 a + b( )a2 − b2

=2 3 a + b( )

a − b

d) 3a + 2

• a − 2a − 2

=

3 a − 2( )a2 − 4

=3 a − 2( )

a − 4

e) 45 + a

• 5 − a5 − a

= 20 − 4 a

52 − a2= 20 − 4 a

25 − a

f) 35 + 3

• 5 − 35 − 3

=

3 5 − 3( )52 − 32

=3 5 − 3( )

5 − 3= 3

25 − 3( )

g) 2 3 − 55 + 2 3

• 5 − 2 35 − 2 3

= 2 15 − 4 9 − 25 + 2 15

52 − 4 9= 4 15 − 17

5 − 12= 4 15 − 17

−7= 17 − 4 15

7

h) 3 + 25 − 3

• 5 + 35 + 3

= 15 + 9 + 10 + 6

52 − 32= 15 + 3 + 10 + 6

5 − 3= 3 + 15 + 10 + 6

2

i) 42 3 − 5 3

= 4−3 3

• 33

= − 4 33 32

= − 4 39

j) 3 53 5 − 5 3

• 3 5 + 5 33 5 + 5 3

= 9 52 + 15 15

9 52 − 25 32= 9 • 5 + 15 15

9 • 5 − 25 • 3= 45 + 15 15

− 30= − 3 − 15

2

k) 58 − 3

• 8 + 38 + 3

=

5 8 + 3( )82 − 32

=5 8 + 3( )

8 − 3=

5 22 • 2 + 3( )5

= 2 2 + 3

l) 3 + 22 + 1

• 2 − 12 − 1

= 6 − 3 + 4 − 2

22 − 12= 6 − 3 − 2 + 2

2 − 1= 6 − 3 − 2 + 2

4.

a ) 3 − x

b) 5 x + 2 + x

c ) 3 2 + x + 1

5.

a) 13• 3

3= 3

9= 3

3

b) 83

= 83• 3

3= 24

9= 6 • 4

9= 2 6

3

c) 125

= 12 • 55 • 5

= 6025

= 22 •1525

= 2 155

d) 35

= 3 • 55 • 5

= 1525

= 1525

= 155

e) xy

= x • yy • y

= xyy2 =

xyy2

=xyy

6.

a) 23 3

= 23 3

• 33

= 63 • 3

= 69

b) 3 66 2

= 3 66 2

• 22

= 3 126 • 22

= 3 22 • 36 • 22

= 12• 2

23 = 1

23

c) 5 23 5

= 5 23 5

• 55

= 5 103 52

= 5 103 • 5

= 13

10

d) 3 155 32

= 3 155 25

• 22

= 3 305 26

= 3 305 • 23 = 3

4030

7.Libreparadiscusión


1) 1x + 2 + 2

2) −14 + x

3) 18 + x + 8

4) 1x + 2 + 5


ECUACIONES CUADRÁTICAS


Parte A1. (x+8)(x+6)=0 x+8=0→x=–8 x+6=0→x=–6 S={–8,–6}

2. (a–3)(a+5)=0 a–3=0→a=3 a+5=0→a=–5 S={–5,3} 3. (x+12)(x–11)=0 x+12=0→x=–12 x–11=0→x=11 S={–12,11}

4. x(x+5)=0 x=0→x=0 x+5=0→x=–5S={–5,0}

5. y(y–13)=0 y=0→y=0 y–13=0→y=13 S={0,13}

6. 0=y(y+10) y=0→y=0 y+10=0→y=–10 S={–10,0}

7. (7x–28)(28x–7)=0

7x–28=0→7x=28→x= 287=

4

28x–7=0→28x=7→x= 728

= 14

S = 1

4, 4

8. 2x(3x–2)=0

2x=0→x= 02=0

3x–2=0→3x=2→x= 32

S = 2

3, 0

9) 12x

23x − 12

= 0

12x = 0 → x =

012

= 0

23x − 12 = 0 →

23x = 12 → x =

1223

=362 = 18

S = 0, 18{ }

10) 13

− 3x

15

− 2x

= 0

13

− 3x = 0 → −3x = −13

→ x =

−13

−3 = 1

9

15

− 2x = 0 → −2x = −15

→ x =

−15

−2= 1

10

S = 110

, 19

394


12)57

d

34

d − 6

= 0

57

d = 0 → d = 057

→ d = 0

34

d − 6 = 0 → 34

d = 6 → x =634

=243

= 8

S = 0, 8{ }

13) 13y − 2

3

14y − 3

2

= 0

13y − 2

3= 0 → 1

3y = 2

3→ y =

23

13

= 63

= 2

14y − 3

2= 0 → 1

4y = 3

2→ y =

32

14

= 122

= 6

S = 2, 6{ }

14) 74x − 1

12

23x − 12

11

= 0

74x − 1

12= 0 → 7

4x = 1

12→ x =

112

74

= 484

= 121

23x − 12

11= 0 → 2

3x = 12

11→ x =

1211

23

= 3622

= 1811

S = 1811

, 121

PÁGINA 280

Parte B

1)S={1,5}

2) S={–6,–1}

3) S={–9,2}

4) S={–7,3}

5) S={3,5}

6) S={2,7}

7) S={–15,4}

8) S={–14,13}

9) S = 95, 10

10)S = 0, 13

11) S={}

12)S = − 53

, − 12

13hasta28)Losestudiantes


1) S = −23, 1

2

2) S = 2, 4{ }

3) S = −5, 73

4) S = 20 - 3952

, 20 + 3952

5) S = ∅

6) S = −18, 0

7) S = 0, 8{ }8) S = ∅

9) S = 0{ }10) S = − 2, 2{ }

11) S = 3 − 102

, 3 + 102

12) S = { }13) S = { }

14) S = −1, 43

15) S = 7,9{ }16) S = − 8, − 7{ }

17) S = 15 − 12948

, 15 + 12948

18) S = − 1, 1110

10) S = − 2, 2{ }

11) S = 3 − 102

, 3 + 102

12) S = { }13) S = { }

14) S = −1, 43

15) S = 7,9{ }16) S = − 8, − 7{ }

17) S = 15 − 12948

, 15 + 12948

18) S = − 1, 1110

19hasta32)Losestudiantes


1. x,x+2,x+4

(x+4)2–x2–(x+2)2=7

Respuesta:Losnúmerosson5,7,9.

2. xedadhijo

x2edaddepadre

x2+24=2(x+24)

Respuesta:Elpadre60años

Elhijo30años

PÁGINA 291

3. xeselnúmero 3x+x2=88 Respuesta:Elnúmeroes8

4. xeselnúmero x2–2x=10+7x Respuesta:Elnúmeroes10

5. xprimernúmero 32–xsegundonúmero x(32–x)=255 Respuesta:losnúmerosson15y17

6. PorelTeoremadePitágorassetiene (x+3)2+(x–4)2=(2x–5)2

Elvalordex=18 Respuesta:Eláreatotalesde147. Elperímetrototalesde66.

395


7. Númerodelados

D = n(n − 3)2

54 = n(n − 3)2

108 = n2 − 3n

(n–12)(n+9)

n=12,n=–9

Resp./Elpolígonoesde12lados.

8. Sumadelosnúmerosconsecutivos

S =n(n + 1)

2

1275 =n(n + 1)

22550 = n2 + n

(n − 50)(n + 51) = 0

Respuesta: 50

9. xeselnúmero

x2+3x=40

Respuesta:Elnúmeroes5

10. x,x+1sonlosnúmeros

x(x+1)=210

Respuesta:Losnúmerosson14y15.


Parte A

1. xeselnúmerobuscado

Elnúmeropuedeser13ó–10.Haydossoluciones

2. Losnumerossonxyx+1.

Son8y9,obien,–9y–8.Haydossoluciones.

3. xeselnúmeroquebuscamos.

Haydossoluciones.Elnúmeropuedeser12,obien,–3;perounnúmeronaturales12.

4.

Laalturamide6cmylabase8cm.

PÁGINA 293

5.

Loscatetosmiden7cmy11cmrespectivamente.

396


6.

Elladodelcuadradomide7cm.

7.

Laalturamide7cm,ylabase,12cm.

8. x(50 − x) = 600 → x = 30; x = 20

El rectángulo mide 30 m de largo y 20mdeancho.

PÁGINA 294

Parte B.

Libreparadiscusión

ÁREA 3: RELACIONES Y ÁLGEBRAFUNCIÓN CUADRÁTICAACTIVIDAD 1, PÁGINA 2991. Respuesta:f(x)=2(x-2)2–3

2. Respuesta: y = − x + 32

2

+ 334

3. Considerelasanteriores. Libreparadiscusión4. a) y = −(x − 3)2 + 1 y = −(x − 2)(x − 4)b) y = (x + 2)2 − 4 y = x(x + 4)c) y = −x2 + 1 y = −(x + 1)(x − 1)

d) y = 2x2 + x − 12 y = 2 x + 12

2

− 252

e) y = −2x2 + 16x − 24 y = −2(x − 2)(x − 6)


1.

a)

b)

c)

d)

2.

a)

b)

c)

d)

x

y

1

1

0

x

y

1

1

0

x

y

1

1

0

x

y

1

1

0

x

y

1

1

0

x

y

1

1

0

x

y

1

1

0

x

y

1

1

0

397





3.

a)

b,cydsonparaelestudiante. (Puede utilizar el software libre

geogebra)4.Libreparadiscusión (Puede utilizar el software libre

geogebra)


1. A

2. B

3. B

4.

f(n) = 109

n 12 − n( )

f(n) = 1209

n − 109

n2

f(n) = −109

−12n + n2( )f(n) = −10

9n2 − 12n( )

-122

2

= (−6)2 = 36

f(n) = −109

n2 − 12n + 36( ) − −109

36

f(n) = −109

n − 6( )2 + 40 → (−h, k) = (6, 40)

Estonospermiteconcluirque:elmáximosíalcanzaunalos6meses.

Yelnúmerodefamiliasquecorrespondeaf(n)es40milesdefamilias,estoes40000familias.

PÁGINA 309

5.

f(n) = −150

p2 + 2p + 20

f(n) = −150

p2 − 100p( ) + 20

−1002

2

= (−50)2 = 2500

f(n) = −150

p2 − 100p + 2500( ) − −150

2500 + 20

f(n) = −150

p − 50( )2 + 70 → (−h, k) = (50, 70)

Esto nos permite concluir que el por-centajemáximodeporteínaesde50%.

Yelpesomáximoqueganará f(p)es70gramos.

6. Respuestaa:

f(t) = −3 t − 13

2

2

+ 18754

Amediadosdejunio Respuestab:468,75%

7. Respuestaa:259personas Respuestab:20días Respuestac:40días(simétrico)8. Respuestaa:y=–1(x–3)2 + 21.

Igualeaceroyfactorice. Desdequetomaimpulsodura1,58

segundos,vuelveasumergirsealos7,58segundos

Respuestab:6segundos9. Respuesta:

PÁGINA 310

10.Respuesta:Libre

11.Respuesta:Libre

12.

Respuestas:

a) 10ºC

b) 12hs

c) 9,1ºC

13.

Respuestas.

a) 5m

b) 10m

c) 3,75m

ÁREA 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

ESTADÍSTICA


1.

A. discretos

B. continuos

C. continuos

D. discretos

E. continuos

F. continuos

G. discretos

2.

A. discretos

B. discretos

C. continuos

D. continuos

E. discretos

PÁGINA 318

3.

a) Muestra

b) Muestra

0 2

2

4 5

5

1

1

13

3

4

6

78

-2 -1

-2

-3

-4 -3-5 x

y

f(x) = 2x2

g(x) = 2x2 - 3

17500

15000

12500

10000

7500

5000

2500

0 25 50 75 100 Personas

Valor

(100, 10000)

398


4.

a) cuantitativacontinua

b) cualitativa

c) cuantitativadiscretas

d) cuantitativacontinua

5.

a) cualitativas

b) cualitativas

c) cuantitivascontinuas

d) cuantitivascontinuas

e) cuantitativadiscretas

f) cuantitativadiscretas

g) cuantitativadiscretas

h) cuantitativacontinuas


1. Libreparadiscusión.

2. Ordenamosen formacreciente latabladedatos.

8 20 26 30 42 47 61 71 86 9110 22 27 33 44 49 63 73 87 9112 23 28 35 45 54 63 80 87 9415 23 28 35 45 58 67 83 88 9519 26 29 36 45 61 67 84 88 97

Construimoslatabladefrecuenciascon9clases

Intervalos Frecuencias absolutas

Marcas de clase

8–18 4 1318–28 8 2328–38 8 3338–48 6 4348–58 2 5358–68 7 6368–78 2 7378–88 6 8388–98 7 93Total 50

Construimoselhistogramadefre-cuenciasdelatablaanterior.

3.Seleccionarc)

PÁGINA 335

4.

a)Tamañodelapoblación30

b) Ordenamos los datos en ordencreciente

49 51 53 53 54 55 56 56 57 57 58 5859 59 60 60 61 61 63 63 63 64 65 6566 66 68 69 69 72

Intervalos Frecuencias Marcas de clase

48,5–52,5 2 50,552,5–56,5 6 54,556,5–60,5 8 58,560,5–64,5 6 62,564,5–68,5 5 66,568,5–72,5 3 70,5

Total 30

c)Elpolígonodefrecuencias


TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 3441.a) 150obrerosb) 36obrerosc) 52obrerosd) 0obrerose) 34obreros

PÁGINA 345f) 56obrerosg) 2%2.1.

DURA

CIóN

(h

oras

)

NúME

RO D

E CD

’ S

Frec

uenc

iasre

lativa

s

Marc

as d

ecla

se

300–400 14 0,035 350400 - 500 46 0,115 450500–600 58 0,145 550600–700 76 0,190 650700–800 68 0,170 750800 - 900 62 0,155 850

900 - 1000 48 0,120 9501000 - 1100 22 0,055 10501100–1200 6 0,015 1150

Total 400 1,000A. 800B. 1000C. 950D. 1200E. 100F. 76G. 0,155

3.

Tiempo de espera

(en minutos)

Nº de clientes

hi(%) Mc

10 14 8 5,71 1214 18 20 14,29 1618 22 32 22,86 2022 26 40 28,57 2426 30 24 17,14 2830 34 16 11,43 32

Total140 100

399


PÁGINA 346

4.

DURA

CIóN

(en

mile

s de

hora

s)

Nº. d

e co

mpo

nent

es

Frec

uenc

iaspo

rcen

tuale

s(%

)10 15 8 6,6715 20 24 20,0020 25 44 36,6725 30 28 23,3330 35 16 13,33

Total120 1005.Ordenamoslosdatos

5 7 8 9 12 12 14 14 15 1616 16 17 17 18 18 18 19 19 2021 22 23 24 24 25 25 25 26 2626 26 28 28 29 31 32 32 32 3435 35 36 36 36 40 42 42 45 46

Construimoslatabladefrecuenciasconlos5intervalosdeclase

Inte

rval

os

f i

Fr p

orce

ntua

l(%

)

Mar

cas

de c

lase

3- 12 4 8 7,5

12–21 16 32 16,5

21–30 15 30 25,5

30–39 10 20 34,5

39–48 5 10 43,5

Total 50 100

6.

a) Valordelextremoinferior40,50

b) Valordelextremosuperior59,20


PÁGINA 347

8.

a)Rango:77,20-21,20=56

b)Límitesuperiordelsextointervalo:69,21

9.

Nc Lm Ls fi hi Mc1 0,0 2,1 24 0,160 1,052 2,1 4,1 37 0,25 3,103 4,1 6,1 35 0,234 5,104 6,1 8,1 20 0,134 7,105 8,1 10,1 8 0,05 9,106 10,1 12,1 16 0,11 11,107 12,1 14,0 10 0,067 13,05

Total 150 1,00a)61personas

b)26personas

10.

Intervalos Frecuencias42,5–47,5 247,5–52,5 352,5–57,5 857,5–62,5 1162,5–67,5 1267,5-72,5 972,5-77,5 477,5–82,50 1

Total 30

11.

Intervalos fi hi

120 –127 4 0,080127–134 7 0,140134–141 14 0,280141–148 13 0,260148–155 8 0,160155–162 4 0,080

Total 50 1,000

12.

a)

Ni Li Ls fi hi(%) Mc1 10 14 5 13,89 122 14 18 2 5,55 163 18 22 10 27,78 204 22 26 7 19,00 245 26 30 12 34,00 28

Total 36 1,000

b)Rango:30–10=20

13.

Tem

pera

tura

(e

n gr

ados

grad

os

Celsi

us

Marc

a de

clase

Frec

uenc

iaab

solu

taFr

ecue

ncia

relat

iva

porc

entu

al (%

)

14–15,5 14,75 3 14,30

15,5–17,0 16,25 5 23,80

17,0–18,5 17,75 2 9,50

18,5–20,0 19,25 6 28,60

20,0–21,5 20,75 2 9,50

21,5–23,0 22,25 3 14,30

Total 21 100

14.

Dur

ació

n (h

oras

)

Núm

ero

de tu

bos

f i h i (%)

Mc

300–400 14 3,5 350

400–500 46 11,5 450

500–600 58 14,5 550

600–700 76 119,0 650

700–800 68 17,0 750

800–900 62 15,5 850

900–1000 48 12,0 950

1000–1100 22 5,5 1050

1100–1200 6 1,5 1150

Total 400 100

a) límitesuperiordelaquintaclase800

b) límiteinferiordelaoctavaclase1000

c) Marcadelaclasedelasétimaclase950

d) tamañodelintervalo100

e) frecuencia de la cuarta clase 76tubos

f) frecuenciarelativadelasextaclase15,5

400


15.

Fluj

o de

l rio

(mile

s de

ga

lone

spo

r min

uto)

Frec

uenc

ia

Frec

uenc

iare

lativ

as1001–1051 7 0,0281051 - 1101 21 0,0861101–1151 32 0,1301151 - 1201 49 0,1991201 - 1251 58 0,2361251–1301 41 0,1671301 - 1351 27 0,1101351–1401 11 0,044

Total 246 1,00

16.

Inte

rval

o de

cl

ase

Mar

ca d

e cl

ase

Frec

uenc

iade

cla

se

Frec

uenc

ia

de clas

e re

lativ

a

1,50–2,12 1,81 1 0,0476

2,12–2,74 2,43 2 0,0952

2,74–3,36 3,05 5 0,2380

3,36–3,98 3,67 8 0,3809

3,98–4,60 4,29 3 0,1428

4,60–5,22 4,91 2 0,0952

Totales 21 1,0000

PÁGINA 349

17. Libre


1.a)105b) 322.

a)

Intervalos fi1,8–15,8 615,8–29,8 429,8-43,8 1243,8–57,8 757,8–71,8 771,8–85,8 585,8–100,1 4

Total 45b)

PÁGINA 350

3.

a)

b)

4.

Inte

rval

os

Mar

ca d

ecl

ase

Frec

uenc

iaf i

Frec

uenc

ias

rela

tivas

30–40 35 6 0,03

40–50 45 18 0,09

50- 60 55 76 0,38

60–70 65 70 0,35

70–80 75 22 0,11

80–90 85 8 0,04

Totales 200 1,00

401


5.

1)

Intervalos fi Mc3,02–3,22 1 3,123,22–3,42 4 3,323,42–3,62 22 3,523,62–3,82 7 3,723,82–4,02 0 3,924,02–4,22 0 4,124,22–4,42 1 4,32

Total 352)

Seobservaqueeltiempomáximoco-rrespondealintervalo3,42–3,62,porpartede24unidadesdeautobuses

b)El tiempomáximodelos35datosdelamuestraloindicalamarcadeclasedelintervalo3,42–3,62conuntiempode3horascon52minutos.

6.

Inte

rval

o

Frec

uenc

ia

Mar

ca d

e cl

ase

Frec

uenc

iare

lativ

a

1–2 6 1,5 0,2612–3 10 2,5 0,4383- 4 4 3,5 0,1744–5 2 4,5 0,0875–6 1 5,5 0,043Totales 23 1,000

PÁGINA 351

6.

Inte

rval

o

Frec

uenc

ia

Mar

ca d

e cl

ase

Frec

uenc

iare

lativ

a

1–2 6 1,5 0,2612–3 10 2,5 0,4383- 4 4 3,5 0,1744–5 2 4,5 0,0875–6 1 5,5 0,043Totales 23 1,000

7.

Intervalo Marcade clase

Frecuenciarelativa

porcentual9,6–15,6 12,6 1015,6–21,6 18,6 1521,6–27,6 24,6 2527,6–33,6 30,6 1033,6–39,6 36,6 25

Total 1008.

a) julio,agosto,setiembre,noviembre

b)1,5+1,25+1,5=4,25toneladasdeenero,febreroymarzo

4,2531

= 13,71%

c) incrementarelriegoenestosmesesdeverano.

PÁGINA 352

9.

a) Las mayores precipitaciones sedieron en los años 2000 y 2001,2003y2004.

b)Elpromediodeprecipitaciónanualenlos10añoses

175 + 150 + 225 + 225 + 175 + 225 + 225 + 125 + 100 + 15010

= 177,50 cm

c)

Intervalos fi

1998–1999 1751999–2000 1502000–2001 2252001–2002 2252002–2003 1752003–2004 2252004–2005 2252005–2006 1252006–2007 1002007–2008 150

Total 177510.

a)abril

b)3nacimientos

c)

Intervalo fi hi

Marzo 6 0,115Abril 14 0,270Mayo 7 0,135Junio 5 0,096Julio 3 0,058Agosto 4 0,077

Setiembre 8 0,154Octubre 5 0,096Total 52 1,000

402


PÁGINA 353


12.

Intervalos fi Mc4,32–22,32 6 13,3222,32–40,32 2 31,3240,32–58,32 2 49,3258,32–76,32 4 67,3276,32–94,43 4 85,37

Total 18

a)

b)

13. Libreparadiscusión.

PÁGINA 354


15.

Intervalos fi hi Mc0,16–2,16 13 0,52 1,162,16–4,16 6 0,24 3,164,16–6,16 2 0,08 5,166,16–8,16 1 0,04 7,168,16–10,16 3 0,120 9,16

Totales 25 1,000

PÁGINA 355

16.

a)

Intervalos fi hi (%)0–10 6 2010–20 9 3020–30 8 26,630–40 5 16,640–50 2 6,6Total 30 100

b)

17.

a)yb)

Intervalos fiFrecuenciasporcentuales

3–5 5 105–7 14 287–9 21 429–11 10 20Totales 50 100

c)

d)Respuestalibreparadiscusión

18.

a)variabledeestudio:nivelesdecalcioenpacientesrenales.

Tipodevariable:continua

Escalademedición:intervalos

403


b)yc)

Intervalos fi hi Mc

72–76 3 0,060 74

76–80 1 0,020 78

80–84 9 0,183 82

84–88 7 0,142 86

88–92 7 0,142 90

92–96 2 0,040 94

96–100 10 0,204 98

100–104 7 0,142 102

104–108 2 0,040 106

108–112 1 0,020 110

Totales 49 1,000

d)

e)Estaalfinaldelapregunta.

ÁREA 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

PROBABILIDAD


Deahasta lahparadiscusiónde losestudiantes.


1. Solución:

N=16684eselnúmerodeper-sonasentrevistadas.

SeaeleventoA:“elegirunapersonaquehallasufridounaenfermedadoaccidente”,n(A)=4955. (Totaldepersonasquesufrieronalgunaenfermedad o accidente en lamuestra).

P(A) = n(A)n(S)

= 495516 684

= 0,297

Laprobabilidaddeelegirunaper-sonaquehayasufridoalgunaen-fermedadoaccidenteesde0,297.

PÁGINA 365

2. La probabilidad de una cara es532

1000= 0,632 ydeescudoes 368

1000.



5. Solución

Cálculode laprobabilidad teóricadequesalgaunabolinchadecadacolor.

Enestecasohaylamismacantidaddebolinchasdecadacolorpor loquelaprobabilidadteóricaesigualparatodaslasbolinchas.

Enestecasoelespacio muestralesde 5bolinchasyhay1bolinchadecadacolor.

15

= 0,20

Laprobabilidadteóricadequesalgaunabolinchaesde0,20.

Elporcentajedeprobabilidadteó-ricadequesalgaunabolinchaesde 0,20 x 100 = 20%

Cálculo del porcentaje de pro-babilidad de la bolincha que buscamos.

Enestecasobuscamosunabolin-chacuyaprobabilidadfrecuencialdesalirenesteexperimentoes2% me-nor que su probabilidad teórica de salir:

20% - 2% = 18%

Hayqueencontrarlabolinchaquetieneunporcentajedeprobabilidadfrecuencialdel18%desalirenesteexperimento.

Calculemos la cantidad total devecesqueserepitióelexperimento:

132 + 108 + 120 + 126 + 114 = 600

El experimento se repitió en to-tal600veces.

Cálculo de la probabilidad fre-cuencial de sacar una bolincha de color verdeenesteexperimento:

132600

= 0,22

Laprobabilidaddesacarunabolin-chadecolorverdeesde0,22.

0,22 x 100 = 22%

El porcentaje de probabilidad desacarunabolinchadecolorverdeesde22%.

Cálculo de la probabilidad fre-cuencial de sacar una bolincha de color rojoenesteexperimento:

108600

= 0,18

Laprobabilidaddesacarunabolin-chadecolorrojoesde0,18.

0,18 x 100 = 18%

El porcentaje de probabilidad desacarunabolinchadecolorrojoesde 18%.

Cálculo de la probabilidad fre-cuencial de sacar una bolincha de color anaranjado en esteexperimento:

404


120600

= 0,21

Laprobabilidaddesacarunabolin-Laprobabilidaddesacarunabolin-chadecoloranaranjadoesde0,20.

0,20 x 100 = 20%

El porcentaje de probabilidad desacar una bolincha de color ana-ranjadoesde20%.

Cálculo de la probabilidad fre-cuencial de sacar una bolincha de color amarilloenesteexperimento:

126600

= 0,21

Laprobabilidaddesacarunabolin-chadecoloramarilloesde0,21.

0,21x100=21%

Elporcientodeprobabilidaddesacarunabolinchadecoloramarilloesde 21%.

Cálculo de la probabilidad fre-cuencial de sacar una bolincha de color azulenesteexperimento:

114600

= 0,19

Laprobabilidaddesacarunabolin-chadecolorazulesde0,19.

0,19 x 100 = 19%

Elporcientodeprobabilidaddesacarunapelotadecolorazulesde19%.

Respuesta:Labolinchadecolorrojo



405

PROGRAMAMatemática - EL MAESTRO EN CASA

programa matemática zapandí (9º año)NÚMEROS

CONOCIMIENTOS HABILIDADES ESPECÍFICASNúmeros realest Números irracionalest Concepto de número realt Representacionest Comparaciónt Relaciones de ordent Recta numérica

1. Identificar números irracionales en diversos contextos.2. Identificar números con expansión decimal infinita no periódica.3. Realizar aproximaciones decimales de números irracionales.4. Reconocer números irracionales en notación decimal, en notación radical y otras

notaciones particulares.5. Comparar y ordenar números irracionales representados en notación decimal y radical.6. Identificar números reales (racionales e irracionales) y no reales en cualquiera de sus

representaciones y en diversos contextos.7. Representar números reles en la recta numérica, en aproximaciones apropiadas.

Cálculos y estimacionest Sumat Restat Multiplicaciónt Divisiónt Potenciast Radicales

8. Estimar el valor de la raíz de un número entero.9. Determinar números irracionales con representación radical entre dos números enteros

consecutivos.10. Utilizar la calculadora para resolver operaciones con radicales.

Cantidades muy grandes y muy pequeñas

11. Utilizar los prefijos del Sistema Internacional de Medidas para representar cantidades muy grandes y muy pequeñas.

12. Utilizar la calculadora o software de cálculo simbólico como recurso en la resolución de problemas que involucren las unidades.

GEOMETRÍATriángulosTeorema de Pitágoras

1. Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas en diferentes contextos.2. Encontrar la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano, aplicando el teorema

de Pitágoras.Trigonometríat Radianest Senot Cosenot Tangentet Razones trigonométricas de án-

gulos complementariost Ángulos de elevación y depresiónt Ley de senos

3. Convertir medidas angulares de grados a radianes y viceversa.4. Aplicar las razones trigonométricas básicas (seno, coseno, tangente) en diversos

contextos.5. Aplicar las relaciones entre tangente, seno y coseno.6. Aplicar seno, coseno y tangente de ángulos complementarios.7. Aplicar los conceptos de ángulos de elevación y depresión en diferentes contextos.8. Aplicar que la suma de los cuadrados del seno y coseno de un ángulo es 1.9. Aplicar la ley de senos en diversos contextos.10. Resolver problemas que involucren las razones trigonométricas, sus propiedades y

ángulos de elevación y de depresión.11. Plantear problemas contextualizados que utilicen razones trigonométricas para su

solución.

406


Geometría del espaciot Pirámide rectat Apotemat Prisma rectot Área lateralt Área total

12. Identificar y calcular la apotema de pirámides rectas cuya base sea un cuadrado o un triángulo equilátero.

13. Calcular el área lateral y el área total de una pirámide recta de base cuadrada, rec-tangular o triangular.

14. Calcular el área lateral y el área total de un prisma recto de base cuadrada, rectangular o triangular.

Relaciones y álgebraFuncionest Función cuadrática

1. Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas algebraicamente en la forma y = ax2 + bc + c.

2. Representar tabular, algebraica y gráficamente una función cuadrática.

Expresiones algebraicast Factorizaciónt División de polinomiost Operaciones con expresiones

algebraicas fraccionarias.t Racionalización.

3. Factorizar y simplificar expresiones algebraicas.4. Expresar x2 + px + q como (x + h)2 + k.5. Efectuar división de polinomios.6. Efectuar operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias.7. Racionalizar el denominador o numerador de expresiones algebraicas.

Ecuacionest Ecuaciones de segundo grado con

una incógnita- Raíces- Discriminante

8. Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

9. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

Funcionest Función cuadrática

10. Trazar la gráfica de una función cuadrática cuyo criterio es y = ax2 + bx + c.11. Analizar la influencia de los parámetros a, b, c en la gráfica de y = ax2 + bx + c, utili-

zando software.12. Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con incógnita.

Estadística y probabilidadESTADÍSTICAVariables cuantitativast Discretast Continuas

1. Establecer diferencias entre variables cuantitativas: discretas y continuas.

2. Clasificar variables cuantitativas en discretas o continuas.

Distribuciones de frecuenciat Clases o intervalost Frecuencia absolutat Frecuencia relativa y porcentualt Representación tabular

3. Reconocer la importancia de agrupar datos cuantitativos en clases o intervalos.

4. Resumir un grupo de datos cuantitativos por medio de la elaboración de un cuadrado de distribuciones de frecuencia absoluta y relativa (o porcentual).

5. Interpretar la información que proporciona un cuadro de distribución de frecuencias al resumir un grupo de datos cuantitativos.

407


t Representación gráfica

3 Histogramas

3 Polígonos de frecuencia

6. Resumir la información proporcionada por una distribución de frecuencias mediante un histograma o un polígono de frecuencias (absolutas o relativas), e interpretar la información que proporcionan estas representaciones gráficas.

7. Utilizar algún software especializado o una hoja de cálculo para apoyar la construcción de las distribuciones de frecuencia y sus representaciones gráficas.

PROBABILIDADMuestras aleatorias 1. Identificar la importancia del azar en los proesos de muestreo estadístico.

Probabilidad frecuencialt Estimación de probabilidad:

empleo de la frecuencia relativa (concepto frecuencial o empírico)

t Introducción a la ley de los grandes números

2. Identificar eventos para los cuales su probabilidad no puede ser determinada empleando el concepto clásico.

3. Utilizar el concepto de frecuencia relativa como una aproximación al concepto de Probabilidad, en eventos en los cuales el espacio muestral es infinito o indeterminado.

4. Identificar que las propiedades de las probabilidades que están vinculadas con evento seguro, probable e imposible también son válidas para la identificación frecuencial.

5. Identificar que, para un evento particular, su frecuencia relativa de ocurrencia se aproxima hacia la probabilidad clásica conforme el número de observaciones aumenta.

6. Resolver problemas vinculados con fenómenos aleatorios dentro del contexto estu-diantil.

408


RELACIONES Y ÁLGEBRA - EL MAESTRO EN CASA

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