RESUME RANGKAIAN LISTRIK II

Penyelesaian Persamaan Dengan Determinan (Minordan Kofaktor), Teorema Node Voltage, Teorema

Superposisi, Dan Teorema Thevenin

Kelompok 5 :

Rian Ari Wibowo (5115136238)

Ikhsan Tri Januar (5115131450)

Diarsyah Amarullah (5115131445)

M. Fajar Insan (5115131469)

Riky Tri Handoko (5115134284)

Apriyanto Sulistyo W. (5115134289)

Pulung Rejeki G. (5115131460)

PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA

JAKARTA

2014

Pendahuluan

Suatu rangkaian yang terhubung secara seri dan paralel yang kita pelajari sebelumnya merupakan contoh rangkaian yang sederhana pada rangkaian sederhana yang mengkombinasikan tahanan-tahanan dan sumber-sumber yang seri dan paralel dapat kita analisis dengan menggunakan prinsip pembagian arus dan tegangan sesuai hukum yang telah dipelajari yaitu hukum ohm dan hukum Kirchoff.

Didalam bab ini kita mempelajari Penyelesaian Persamaan DenganDeterminan (Minor dan Kofaktor), Teorema Node Voltage, Teorema Superposisi, Dan TeoremaThevenin. Untuk mencari sumber-sumber atau tahanan-tahanan menggunakan teorema node voltage,superposisi dan thevenin sebelumnyasudah dipelajari di rangkaian listrik I tetapi di rangkaian listrik II disini memakai impedansi sebagai tahanannya.

TUJUAN

1. Mahasiswa dapat menyederhanakan rangkaian dengan menggunakan analisis mesh 2. Mahasiswa dapat mengaplikasikan penggunaan teorema mesh dalam menyelesaikan Soal rangkaian listrik 3. Mahasiswa dapat memahami pengertian minor dan konfaktor serta dapat Menetapkanya dalam mencari determinan 4. Mahasiswa dapat menggunakan perhitungan matriks dengan baik

DETERMINAN SUATU MATRIX

Matriks kumpulan angka – angka yang tersusun dalam bentukpersegi panjang

A=a11 a12

a21 a22

Elemen yang terletak pada baris kedua, kolom pertama disimbolkan dengan (a21)

Determinan A atau ∆ A=(a11.a22 )−(a12.a21)

MINOR DAN KOFAKTOR

Minor dari elemen (a23 ) dari determinan orde n disimbolkan dengan (M23) , merupakan suatu determinan yang ordenya ( n-1)

Determinan M23 dengan menghilangkan

M23 = a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

=a11 a12a31 a32

Minor elemen dari a13 dari A :

M13 = a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

=a21 a22a31 a32

Kofaktor dari minor M31 disimbolkan dengan ∆31 :

∆31=(−1)3+1M31=+M31

Kofaktor dari minor M21 disimbolkan dengan ∆21 :

∆21=(−1)2+1M21=−M21

Contoh :

1. Tentukan determinan dari matriks B ,

ΔB 0 3 2

−1 0 −12 4 3

Jawaban

ΔB = a11.∆11+a12.∆12+a13.∆13

= a11.(−1)2+1M11+a12.(−1)1+2M12+a13.(−1)1+3M13 = a11.M11−a12.M12+a13.M13

maka :

ΔB = 0 0 −14 3

−3−1 −12 3

+2−1 02 4

ΔB = 0 ( 0 + 4 ) -3 ( -3 + 2 ) + 2 ( 4 + 0) = 0 + 3 – 8 = -5

TEOREMA NODE VOLTAGE

Persamaan rangkaian diperoleh dari hukum kirchof tentang arus pada titik cabang

Titik – titik pada suatu rangkaian dimana ujung – ujung dua elemen atau lebih saling bertemu disebut simpul

Simpul dari tiga elemen atau lebih disebut simpul utama Simpul utama dipilih sebagai simpul acuan Simpul acuan disebut juga simpul datum Pada suatu rangkaian terdapat simpul utama, maka akan

dihasilkan ( n-1 ) persamaan

Langkah penyelesaian :

1. Tentukan tegangan titik simpul 2. Tentukan arah arus 3. Tentukan besar arus

I1 + I2 – I3 = 0

I1 = VA−Vn

Z1

I2 = VB−Vn

Z2

I3 = Vn

Z3

4. Maka , Vn nya pun didapat

Contoh :

dari gambar disamping , diketahui : Z1 = +j2 Z2 = -j Z3 = 4 VA = 2 ∠ 0 VB = 6 ∠ 0

Penyelesaian :

2 j = 2 ∠90

2−Vn

J2 +6−Vn

J+Vn

4=0

x J2 – J – 4

−4J (2−Vn )+4J (6−Vn)– (−2J2 )Vn∠08J2

-4J ( 2 - Vn ¿+8J (6−Vn )–2Vn=0

−8J+4JVn+48J−8JVn−8J+48J=0

Vn (2−12J)+56J=0

Vn=56J

2−12J

TEOREMA SUPERPOSISI

Berpatokan VA . VB di short , besar arus yang mengalir ?

Zg1 = Z1 + Z2.Z3Z2+Z3

I1I =

VA

2g1

I2I =

Z3Z2+Z3

xI1'

I3I =

Z2Z2+Z3

xI1'

Berapatokan pada VB , VA di short besar arus yang mengalir?

Zg2 = Z2 + Z1.Z3Z1+Z3

IRII =

VB

Zg2

I3II =

Z1Z1+Z2

xI2''

I1II =

Z3Z1+Z3

xI2''

Besar arus yang mengalir tiap cabang jika I1

I > I1II maka I1 = I1

I - I1II

I2 = I2I – I2

II

I3 = I3I + I3

II

TEOREMA THEVENIN

Suatu rangkaian yang terdiri dari beberapa sumber tegangan dan impedansi, dapat diubah

1. Satu sumber arus pengganti thevenin ( VTH) 2. Satu impedansi pengganti thevenin yang tersusun secaraseri

Langkah penyelesaian :

1. Sumber arus dibuka dan sumber tegangan dihubung singkat 2. Lepaskan komponen bila akan dicari tegangan / arusnya ?3. Tentukan hambatan pengganti ( ZTH)

ZTh = Z1.Z2Z1+Z2

= 2J.−J2J−J = 2J

x−J−J

=−2J

4. Pasang kembali sumber tegangan , atau sumber arus dan tentukan besar Vth ? tentukan lebih dahulu Ith

jika VB > VA , maka

Ith = VB−VA

Z1+Z2

Vth = VB – Ith . Z2 atau Vth = VA – Ith . Z1

5. Rangkaian pengganti

examples : tentukan besar arus yang mengalir pada R2

jawab : lepaskan komponen R2 dan hubung singkat sumber arus

Zth = ZL1 ( R⃒⃒ 1 + Z C1 ) = +J220.(220+J100)

220+J120=212,15∠+36,95

tentukan besar Vn

Vth = Vab = I1 Zc1∨¿(R1+ZL1)

(R1+ZL1) . ZL1

= 0,01 ∠0o (−J100 ).(220+J220)

220+J120220+J120

. (J220)

= 0,8779 ∠ -28,61O volts

Contoh soal :

1.

tentukan masing – masing arus dengan menggunakan teorema superposisi ! Z1 = 4j VA = 10∠0Z2 = 4j VB = 5 ∠ 0Z3 = -3j Berpatokan pada VA , VB dishort

ZG1 = Z1 +Z2.Z3Z2+Z3

= 4j + 4j.−3j4j−3j

= 4j + 12j

= 4j-12j = -8j

I1I = VA / ZG1

= 10/-8j =10j/8 = 1,25j

I2I = Z3

Z2+Z3 . I1I

= −3JJ . 1,25J

= -3,75J

I3I = Z2

Z2+Z3 . I1I

= 4JJ . 1,25J

= 5J

Berpatokan pada VB , VA dishort

ZG2 = Z2 + Z1.Z3Z1+Z3

=4J + 4J.−3J4J−3J

= 4J -12J

= -8J

I2II = VB

ZG2

= 5/-8J

= 5J/8 = 0,625J

I3II = Z1

Z1+Z3 . I2’’

= Z1

Z1+Z3xI2

''= 4J4J−3J

x0,625J

= 4 x 0,625 J = 2,5 J

= Z3

Z1+Z3xI2

''= −3J4−3J

x0,625J

= -1,875 J

2.

tentukan tegangan pengganti VAB atau Vth pada titik A dan B ! Z1 = 6 + 8JZ2 = 4J – 3 Z3 = 7 – 5J

Berpatokan pada VA , VB di short

Zg1 = Z1 + Z2.Z3Z2+Z3

= 6 + 8J + (4J−3 ) (7−5J )4J−3+7−5J

= 6 + 8J + 28J−21−20J2+15J4−J

= 6 + 8J + 43J−14−J

= 6 + 8J + 43J−14−J

4+J4+J

= 6 + 8J + 172J−J+43J2−416−J2

= 6 + 8J + 171J−4717

= 6 + 8J + 10,05 J – 2,76

= 18,05 J + 3,24

I1I =

VA

Zg1= 1018,05J+3,24

= 1018,05J+3,24

x 18,05J−3,2418,05J−3,24

= 180,5J−32,4325,8J2−10,5

= 180,5J−32,4336,3

= 0,53J – 0,096

I2I =

Z3Z2+Z3

xI1'

= 7−5J4J−3+7−5J

x0,53J−0,096

= 7−5J−J+4

x0,53J−0,096

= 7−5J4−J

. 4+J4+J

x0,53J−0,096

= 28−5J2+4J−20J

16−J2 x0,53J−0,096

= 23−16J17x0,53J−0,096

= 1,35 – 0,94J x 0,53J−0,096

= 0,71 J – 0,5J2 – 0,13 + 0,09J = 0,8J + 0,37

I3I =

Z2Z2+Z3

xI1'

= 4J−34−J

x0,53J−0,096

= 4J−34−J

. 4+J4+J

x0,53J−0,096

= 16J+4J2−12−3J16−J2 x0,53J−0,096

= 13J−1617

x0,53J−0,096

= 0,76 J – 0,94 x 0,53J−0,096

= -0,4 -0,5J – 0,07J + 0,09

= -0,31 – 0,57J

Berpatokan VB , VA dishort

Zg2 = Z2 + Z1.Z3Z1+Z3

= 4J – 3 + ¿¿

= 4J – 3 + 42+56J−30J−40J213+3J

= 4J – 3 + 82+26J13+3J

x 13−3J13−3J

= 4J – 3 + 1066+3356J−24J−78J2

169−9J2

= 4J – 3 + 5,55 + 1,76J

= 5,76J + 2,55

I2II =

VB

Zg2=28,97+7,76J5,76J+2,55

x5,76J−2,555,76J−2,55

= 166,86J−19,78J+44,69−73,87−33,17−6,50

= 147,08J−29,1839,67

= 3,7J – 0,73

I3II =

Z1Z1+Z2

xI2'

= 6+8J

(6+8J)+(4J−3)x3,7J−0,73

= 6+8J3+12J

x3,7J−0,73

= 6+8J3+12J

x3−12J3−12J

x3,7J−0,73

= 18+24J−72J+969+144

x3,7J−0,73

= 114−48J153

x3,7J−0,73

= 0,74 – 0,31J x3,7J−0,73

= 2,73J + 1,14 – 0,54 + 0,22 J

= 2,95 J + 0,6

I1II =

Z3Z1+Z3

xI2''

= 7−5J6+8J+7−5J

xI2''

= 7−5J13+3J

x13−3J13−3J

x3,7J−0,73

= 91−57J−21J−15169+9

x3,7J−0,73

= 0,42 – 0,483J x 3,7J -0,73

= 1,55J + 1,78 – 0,3 + 0,35J

= 1,9J + 1,48

3.

Tentukan IR3 dengan menggunakan Theorema Thevenin!

Jawab :

ZTh=Z1∙Z2

Z1+Z2

ZTh=(2J)−J2J−J =

−2J2

J =2J Ω

ITh=VB−VA

Z1+Z2=4−32J

=1JA

VTh=VB−ITh∙Z2=4−1J (−J )=4+1=5Volt

IR2=VTh

ZTh+Z3=

52J

+4=

5J2+4J

=5∠90

4,47∠63,43

¿1,11∠26,57°

4.

Tentukan IR3 dengan menggunakan Theorema Thevenin!

Jawab :

ZTh=Z1∙Z2

Z1+Z2

ZTh=(2J)−J2J−J =

−2J2

J =2J Ω

ITh=VB−VA

Z1+Z2=6−22J

=4JA

VTh=VB−ITh∙Z2=6−4J (−J )=6+4=10Volt

IR2=VTh

ZTh+Z2=

102J−J

=10J3

=3,33J

¿3,33∠90°

DAFTAR PUSTAKA

Kemmerly, Jack E.. Jr, William H. Hayt. 2005. Rangkaian Listrik I

Jilid 2 Edisi Keenam. Jakarta: Erlangga.

Guntoro, Nanang Arif. 2013. Fisika Terapan. Jakarta: Rosda