Οι 2 Εικασίες του Goldbach’s

με την Απόδειξη

Κάθε άρτιος ακέραιος >2 είναι το άθροισµα δύο πρώτων

& η Ισοδύναµη

Κάθε ακέραιος περιττός >5 είναι το άθροισµα τριών πρώτων αριθµών

Mantzakouras Nikos

March 2015

Mια εισαγωγή στην εικασία του Goldbach’s

Το 1741 Goldbach[1] έκανε την πιο διάσημη συμβολή του στα μαθηματικά με την εικασία, ότι όλοι οι ζυγοί αριθμοί μπορεί να εκφραστούν ως το άθροισμα δύο πρώτων (επί του παρόντος, εικασία του αναφέρεται ως "όλοι οι ζυγοί αριθμοί μεγαλύτεροι από 2 μπορεί να εκφραστούν ως το άθροισμα- δύο πρώτων).Όμως ακόμη, καμία απόδειξη της Εικασίας του Γκόλντμπαχ έχει βρεθεί. Αυτή η υπόθεση φαίνεται να είναι σωστή για ένα μεγάλο πλήθος αριθμών που χρησιμοποιούν αριθμητικούς υπολογισμούς. Μερικά παραδείγματα είναι 10 = 3 + 7, 18 = 7 + 11, 100 = 3 + 97, και ούτω καθεξής. Αλλά Υπάρχει και ένα πλήθος αθροισμάτων πρώτων που ικανοποιούν ένα ζυγό αριθμό το οποίο θα έλεγα είναι ακανόνιστο, αλλά αυξάνεται με το μέγεθος του άρτιου αριθμού.Το ίδιο συμβαίνει και με έναν περιττό αριθμό όπως παράδειγμα ο 25, δηλ. 25=3+3+19=3+5+17= =3+11+11=5+7+13=7+7+11. Έχουμε δηλαδή μόνο 5 περιπτώσεις και μόνο αυτές ,που ικανοποιούν το σταθερό άθροισμα 25. Αποδεικνύεται αρχικά στο θεώρημα 3, ότι μπορεί να υπάρχει τουλάχιστον ένα ζευγάρι πρώτων, τέτοιοι ώστε το αθροισμά τους να ισούται με κάθε άρτιο αριθμό ,αλλά συγχρόνως αποκαλυπτεται και η μέθοδος εύρεσης όλων των ζευγαριών που ικανοποιούν την συνθήκη αυτή . Σύμφωνα με το θεώρημα 4,η 2η εικασία μεταπίπτει σε μορφή 1ης Εικασίας και για αυτό είναι πρωτίστως στοιχειώδες, να αποδειχθη η αλήθεια της 1ης. Ο εναλλακτικός τρόπος αλλά και ο παράπλευρος βοηθός, για να αποδειχθεί η Εικασία του Γκόλντμπαχ στην έρευνά αυτή, ήταν το πρόγραμμα Mathematica που αποτελει κύριο εργαλείο για τη συλλογή δεδομένων, αλλά και για την εύρεση όλων των βημάτων, έτσι ώστε να αποδειχθή κάθε τμήμα της απόδειξης. Πρέπει να αναφέρουμε ότι ο Vinogradov απέδειξε το1937 ,ότι για κάθε αρκετά μεγάλο αριθμό μπορεί να εκφραστεί, ότι είναι το άθροισμα τριών πρώτων. Και τελικώς ο

κινέζος μαθηματικός Chen Jing Run απέδειξε για μεγάλους πρώτους και για σταθερό αριθμό ότι

είναι το άθροισμα τριών πρώτων το 1966 [2].Τέλος, η έρευνα της Εικασίας του Γκόλντμπαχ έχει λειτουργήσει ως καταλύτης για τη δημιουργία και ανάπτυξη πολλών μεθόδων, οι οποίες είναι χρήσιμες, με πλήθος θεωρημάτων, οι οποίες βοηθούν και άλλους τομείς των μαθηματικών.

- Βασική θεωρία -

Ορισμός. Ένας φυσικός αριθμός p>1 καλείται πρώτος αριθμός αν και μόνο άν οι μόνοι διαιρέτες του είναι (+/-)1 και (+/-)p.Ένας φυσικός αριθμός n>1 που δεν είναι πρώτος θα καλείται σύνθετος.Συνεπώς ένας θετικός ακέραιος p>1 είναι πρώτος αν και μόνο αν για κάθε 1),( np ή

pnp ),( δηλαδή ο σχετικα πρώτος προς τον n ή ο p να διαιρεί τον n. O 2 είναι πρώτος ,αλλα εκτος

του 2 είναι περιττοί αριθμοί.Οι 25 πρώτοι αριθμοι είνα 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29, 31,37,41,43, 47, 53,61,67,71,73,79,83,89,97. Σημειώνουμε ότι ο αριθμός 1 δεν θεωρείται ούτε πρώτος ούτε σύνθετος.

Λήμμα.1 Καθε πρώτος αριθμός μεγαλύτερος του 1 ,είναι περιττός και γράφεται στην μορφή 12 k

και επομέμως το άθροισμα 2 πρώτων ειναι άρτιος αριθμός.

Απόδειξη..Εστω p ,πρώτος στο Ν.Υποθέτουμε kp , kp με , , kk pp τότε θα έχουμε

1)(212 kkpp kk )12(2 που είναι άρτιος όπως εύκολα φαίνεται.

Λήμμα 2. Το άθροισμα 3 πρώτων ειναι περιττός αριθμός.

Απόδειξη..Εστω p ,πρώτος στο Ν το σύνολο των Φυσικών αριθμών.Υποθέτουμε kp , kk pp , με

,,, kkk ppp τότε θα έχουμε 12212212 kkppp kkk

1)13(2 που είναι περιττός όπως προφανώς εδήχθει..

Θεώρημα.1 Αν έχουμε έναν ακέραιο άρτιο αριθμό n , ζηταμε να βρούμε το ανώτερο και κατώτερο όριο του αθροίσματος 2 περιττών, το οποίο να μας κάνει τον άρτιο n.

Απόδειξη.. Εστω

i.Απο Λήμμα.1 έχουμε 0,4

212/212/2)12(2

n

knknkn .

Ii .O μεγαλύτερος περιττός απο τους αριθμούς μας, θα πρέπει να είναι μικρότερος του 3n .Ας

υποθέσουμε λοιπόν ότι 2

4312

n

knk .Άρα τα όρια του πλήθους του συνόλου των

περιπτώσεων,θα είναι 2

4

4

2

nk

n.

2 Θεωρήματα Ύπαρξης 2 πρώτων αριθμών ,σταθερού αθροίσματος.

Θεώρημα 2. Για Nkknn ,2,2 και 21 ppn ,όπου 21, pp είναι πρώτοι αριθμοί ,και

υπάρχει θετικός ακέραιος j με kj 2 αν 2/n είναι περιττός και 12 kj άν 2/n είναι άρτιος,

τότε οι jn 2/ και jn 2/ είναι περιττοί και ενδεχομένως και πρώτοι αριθμοί.[8].

Απόδειξη..i)Yποθέτουμε ότι έχουμε 2 περιττούς και ενδεχομένως πρώτους αριθμούς 2/1 np

και 2/2 np με ε,μ να είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί.Επειδή

2/2/21 nnppn .

ii)Προηγούμενως απο την ( i) ,υποθέτουμε ότι υπάρχει ακέραιος 0j ώστε j , και

ακολούθως συνεπάγεται ότι 21 ppn με jnp 2/1

και jnp 2/1.Μπορούμε τώρα να

μετασχηματίσουμε την σχέση 21 ppn σύμφωνα με τα προηγούμενα ώς

122 )2/(2/ ppnnpn Λ 22 )2/(2/ pnpn . Απο την μαθηματική λογική προκύπτει οτι εάν

kj 2 με 2/n περιττός και 12 kj άν 2/n είναι άρτιος , οι 21, pp θα προκύπτουν πάντα

περιττοί αριθμοί .Βέβαια άν ενδεχομένως είναι πρώτοι, ώς γνωστόν θα είναι πάντα περιττοί

αριθμοί.Επομένως υπάρχει πάντα ένας ακέραιος θετικός j ,τέτοιος ώστε jn 2/ και jn 2/ να

είναι περιττοί αριθμοί και ενδεχομένως πρώτοι και να ισχύει ότι )2/()2/( jnjnn .

Ορίζουμε ως π(x) την συνάρτηση που καθορίζει το πλήθος τω πρώτων που ειναι μικρότεροι η

ισοι απο τον x.Συγεκριμένα ισχύει για το κόσκινο του Ερατοσθένους ότι ]2[ xk του ακέραιου

δηλαδή μέρους του x2 .Αποδεικνύουμε στην συνέχεια ότι μπορεί να υπάρχει τουλάχιστον

ένα ζευγάρι πρώτων 21, pp τέτοιοι ώστε το αθροισμά τους να ισούται με n.

1η Εικασία του Goldbach

Θεώρημα 3. Δίνεται άρτιος Nwhhnn ,,2,2 , )( nk και kp ,είναι πρώτος που

αντιστοιχεί σε δείκτη κ.Τότε υπαρχουν θετικοί ακέραιοι j ώστε να ισχύουν κατα περίπτωση οι

συνθήκες:

α.Αν 2/n είναι περιττός το wj 2 και

β.Άν 2/n είναι άρτιος, το 12 wj

έτσι ώστε να υπάρχει τουλάχιστον ένα ζευγάρι jn 2/ και jn 2/ ,για το οποίο έκαστος του

ζεύγους να ειναι πρώτος και να μην διαιρείται με κανέναν απο τους πρώτους 2,3,5,7,.., kp .

Απόδειξη..

Ξεκινάμε με το Nwhhhnn ,,0,2,2 απο το Θεώρημα 1,και Θεώρημα 2 προκύπτει ότι

υπάρχουν τότε οι jn 2/ και jn 2/ να είναι περιττοί και ενδεχομένως και πρώτοι αριθμοί με

wj 2 .Σε αυτήν την περίπτωση το μέγιστο πλήθος των τιμών του Nw ,θα προκύψει απο την

ανίσωση 32/2)32/(2

1322/ nwnwnwn .Όπως ειναι φανερό το σύνολο

λύσεων που αντιπτοσωπεύει όλες τις περιπτώσεις είναι για μεν n/2 =περιττός }32/,,,6,4,2,0{ nS ενώ όταν n/2 = άρτιος }32/,,,7,5,3,1{ nS .Tο σύνολο αυτό το παίρνουμε

και με την ανισότιμη mod 2, δηλαδή την )2(mod02/ jn . Συμφωνα με το κόσκινο του

Ερατοσθένους ισχύει ότι 2/],2[ nxxk επομένως )(]2/2[ nnk .Θα πρέπει αρχικά

δηλαδή απο το σύνολο S ,να αφαιρέσουμε ή να απορρίψουμε όλες τις περιπτώσεις των επιμέρους

συστημάτων modulo ....

1s)2(mod02/

)(mod02/ 2

jn

pjn

2s)2(mod02/

)(mod02/ 3

jn

pjn

……….. ……..... …….....

fs)2(mod02/

)(mod02/

jn

pjn k

H συνολική λύση της ομάδας αυτής των συστημάτων, αποτελεί ται απο την ένωση των επιμέρους

λύσεων του κάθε συστήματος fssss ,,,,, 321 , 11 kf και θα αποτελεί την μοναδική λύση της

ομάδας των συστημάτων, με αντίστοιχα σύνολα fS ,δηλαδή θα αντιπροσωπεύεται απο το σύνολο

i

f

i

SR 1

.Η καθαρή λύση όμως που εμεις αναζητάμε, θα είναι η διαφορά των συνόλων S και R ,

δηλαδή RS . Αρα η λύση που μας ενδιαφέρει ταυτίζεται και με την λύση τους

συστήματος ανισότιμων mod..

<MJ >

)(mod02/

...........

...........

)(mod02/

...........

...........

...........

)(mod02/

)(mod02/

)2(mod02/

3

2

k

i

pjn

pjn

pjn

pjn

jn

για το οποίο έκαστος του ζεύγους jn 2/ και jn 2/ να ειναι πρώτος και να μην διαιρείται με

κανέναν απο τους πρώτους 2,3,5,7, …, vp ,..., kp , με kv 1 .

Με την λογική επομένως αυτήν καθορίζουμε ότι το ενδεχόμενο οι jn 2/ και jn 2/ να είναι

πρώτοι αριθμοί, τώρα είναι ασφαλές ότι μπορεί να υπάρχει δηλαδή ,τουλάχιστον ένα ζευγάρι πρώτων ),( 21 pp ,τέτοιοι ώστε το αθροισμά τους να ισούται με n ,επειδή το σύνολο

δεν είναι ποτέ το κενό ,καθώς επίσης το S δεν είναι ποτε κενό σύνολο και το SR με SR .

Αν }:{}( xxN με {i =1,2,3,…,λ} όπου λ ο πληθάριθμος του συνόλου ,τότε με το N(Ω)

ορίζουμε τα στοιχεία του συνόλου .Τα ζευγάρια των πρώτων που προκύπτουν απο το σύνολο

,δίνονται απο τις σχέσεις ...

ii

ii

xnp

xnp

2/'

2/

1

1 με npp ii '11

Εν συνεχεία με τα προηγούμενα συμβολίζουμε ώς )}',),...(',),(',{()( 1121211111 ppppppP το

σύνολο των ζευγών δηλαδή, που αντιστοιχούν στο σνολο ,το οποίο προκύπτει απο το σύστημα ανισοτίμων mod (MJ) και που αποτελεί το πρώτο τμήμα του συνόλου λύσεων των ζευγαριών

των πρώτων )',( 11 ii pp με {i =1,2,3,…,λ} έτσι ώστε το αθροισμά τους να ισούται με n και

πληθάριθμο λ.Τέλος ορίζουμε σαν Τ={2,5,7,..., kp } τo σύνολο των πρώτων έτστι ώστε τα ζευγάρια

jn 2/ και jn 2/ ,που ειναι πρώτοι να μην διαιρούνται με κανέναν απο τους πρώτους 2,3,5,.., kp

όπως ορίστηκαν πιο πάνω ,πλήθους k .

Πιό συγκεκριμένα ορίζουμε ώς σύνολο των πρώτωνvvv pppTP 222 ):',{()( T και

)/(22 vvv mpp , m Z : )(mod02/{ vv pjn )}2(mod02/ jn

)}2(mod02/)(mod02/{ jnpjn i } με 2,1 kkv όπου v τα υπόλοιπα που

προκύπτουν απο το σύστημα )}2(mod02/)(mod02/{ jnpjn v με πληθάριθμο .

Τέλος το πλήρες σύνολο των ζευγών των πρώτων με άθροισμα n , θα είναι είναι το σύνολο

)()(2 TPPL όπως έχουν οριστεί προηγούμενα ,με πληθαριθμο .

2η Εικασία του Goldbach

Θεώρημα 4. Για Nhhnn ,12,2 και 321 pppn ,με 321 ,, ppp να είναι πρώτοι αριθμοί.

Δηλαδή κάθε περιττός αριθμός προκύπτει ώς το άθροισμα 3 πρώτων αριθμών.

Απόδειξη..

Σύμφωνα με την σχέση 321321 pnpppppn .Άν καλέσουμε iii pppn 321 στην

περίπτωση που έχουμε πολλές διαφορετικές τιμές ip3 αλλά και άλλων πρώτων,τότε μπορούμε να

καλέσουμε iiii pnppS 3212 τα αθροίσματα των 2 πρώτων iS2 .Σύμφωνα με το θεώρημα 3,

γνωρίζουμε τον πληθάριθμο των περιπτώσεων για τα iS2 ,μεii για κάθε περίπτωση των

ipn 3 με διαφορετικές τιμές των ip3 σύμφωνα με κάθε προκαθορισμένη επιλογή .Η μέθοδος

εύρεσης όλων των περιπτώσεων βρίσκεται ακριβως απο τις επελιγμένες τιμές των ip3 που είναι

ο πρώτος απο τον πρώτο μικρότερο του n έως τον μεγαλύτερο πρώτο απο τους δύο που είναι πιο

κοντά στην τιμή του 3/n .Το γεγονός αυτό οδηγεί την διάταξη της τριάδας των 321 ,, ppp σε σχέση

ώς προς 3/n .

i)Αν 321 3/ ppnp .Στην περίπτωση αυτή η τιμή του κάτω ορίου των επιλεγμένων τιμών του

ip3 θα είναι η τιμή του 3p που είναι προφανώς η δεύτερη κατα σειρά μεγαλύτερη τιμή πρώτου

αριθμού μετά την )3/(nRound . Στην γλώσα του mathematica θα ορίζουμε τον αριθμό αυτόν ώς

]]]3/[[Pr[Pr nRoundimeNextimeNext

ii)Αν 321321321 3/3/3/ pnpppnpppnpp . Στην περίπτωση αυτή η

τιμή του κάτω ορίου των επιλεγμένων τιμών του ip3 θα είναι η τιμή του 3p που είναι προφανώς η

αμέσως κατα σειρά μεγαλύτερη τιμή πρώτου αριθμού μετά την )3/(nRound .Στην γλώσα του

mathematica θα ορίζουμε τον αριθμό αυτόν ώς ]]3/[[Pr nRoundimeNext .

iii)Άν .3/ 321 pnpp H τιμή του κάτω ορίου των επιλεγμένων τιμών του ip3 θα είναι η τιμή

του 3p που είναι προφανώς η n/3= ).3/(nRound

Και για τις τρείς περιπτώσεις σε σχέση με την εκάστοτε διάταξη,ας συμβολίζουμε ως ελάχιστο

πρώτο τον min .

Τέλος ο μεγαλύτερος ip3 που είναι ο πρώτος απο τον πρώτο μικρότερο του n ,θα συμβολίζεται με

την γλώσσα του mathematica ως 1,6],[Pr nnimeNext και θα είναι ο μεγαλύτερος πρώτος

αριθμός πριν τον n , μικρότερος ή ισος με το n-6,τον οποίο τον συμβολίζουμε max . Αν τώρα

καλέσω τον πληθάριθμο των πρώτων με ]),([ maxmin , θα γνωρίζουμε πόσα αθροίσματα των

2 πρώτων iiii pnppS 3212 θα έχουμε,δηλαδή {i =1,2,3,…,δ} . Επομένως το σύνολο λύσεων

αθροισμάτων με 2 πρώτους θα είναι },...,,{ 222123 SSSL . Αν καλέσω τώρα iii λσκ με

{i =1,2,3,…,δ} απο Θεώρημα 3, το τελικο πλήθος των επι μέρους τριάδων tκ ,δηλ. το τελικό πλήθος

δ21t κ...κ θα αποτελεί το συνολικο πλήθος των ζευγαριών των πρώτων, για αθροίσματα

των 2 πρώτων iiii pnppS 3212 ,με δ πληθάριθμο και άρα το συνολικό πλήθος τριάδων να

ισούται με tκ ,χρησιμοποιόντας δ πλήθος αθροισμάτων με 2 πρώτους, κάνοντας έτσι δ-πολλαπλή

χρήση της μεθόδου του Θ.3 Οι επιτρεπτές περιπτώσεις επομένως των ,...,2,1,2 iS i θα αντιστοι-

χουν στο σύνολο... },...,,{ 222123 SSSL . Δηλαδή κάθε περιττός αριθμός προκύπτει ώς το

άθροισμα 3 πρώτων αριθμών, αφου αντίστοιχα μεταπίπτει σε πολλαπλά αθροίσματα 2 πρώτων -δ πλήθους- ,την ύπαρξη των οποίων διασφαλίζει πλήρως το Θ.3.

a).Για παράδειγμα αθροίσματος 2 πρώτων ας πάρουμε 83.171592 nn δηλαδή όταν ο

m=n/2 είναι περιττός και επομένως 7)( nk δηλαδή παίρνουμε για mod ,τους πρώτους

2,3,5,7,11,13,17 .Το αντίστοιχο πρόγραμμα με το mathematica και συμφωνα με την θεωρία θα

είναι:

# Program 1 #...

n/2 := 159;m:=n/2;

Cases[Reduce[ Mod[m + j, 17] 0 && Mod[m - j, 17] 0 &&

Mod[m + j, 13] 0 && Mod[m - j, 13] 0 &&

Mod[m + j, 11] 0 && Mod[m - j, 11] 0 &&

Mod[m + j, 5] 0 && Mod[m - j, 5] 0 &&

Mod[m + j, 3] 0 && Mod[m - j, 3] 0 &&

Mod[m + j, 7] 0 && Mod[m - j, 7] 0 &&

Mod[m + j, 2] 0 && Mod[m - j, 2] 0 &&

0 j (m - 3), {j}, Integers], Except[j]]

Αποτελέσματα:{j8,j20,j22,j32,j52,j70,j80,j92,j98,j112,j118,j122}είναι οι τιμές για το j.

To }122,118,112,98,92,80,70,52,32,22,20,8{}:{}( xxN με λ=12.Επομένως το σύνολο

ζευγών θα είναι )}',),...,(',),(',{()( 1121211111 ppppppP

{(37,281),(41,277),(47,271),(61,257),(67,251),(79,239),(89,229),(107,211),(127,191),(137,181),(139,179),

(151,167)} με ii

ii

xnp

xnp

2/'

2/

1

1 και {i =1,2,3,…,12}.Εν συνεχεία το Τ={2,5,7,..., 17} με κ=7 και κλείνουμε

αφου εξετάσουμε πόσες τιμές πρώτων δεχόμαστε απο το σύνολο Τ.

Το αντίστοιχο πρόγραμμα θα είναι σε mathematica σύμφωνα με την σχετική θεωρία..

# Program 2 #..

n:= 1592 ; m:=n;c:=IntegerPart[ m ];Cases[Table[Reduce[ Mod[m-p',k]==0 &&

Mod[m+p',2] 0 && Mod[m-p',2] 0 && p=<p’ && p=<c && 0<=p’<=(m-3) && p==m-p',{p,p'},Primes],{k,1,c}],Except[False]].

Tελικό αποτελέσμα: {(5,313),(7,311),(11,307)} με πληθάριθμο σ=3 . Άρα το σύνολο των ζευγών των πρώτων αριθμών, θα είναι λ+σ=12+3=15, σύμφωνα με τα θεωρήματα 3&4 που προαναφέραμε εάν m=159 δηλαδή όταν ο n/2=m=περιττός Κάτι αντίστοιχο θα συμβαίνει για παράδειγμα

όταν m=158 δηλαδή n/2=m=άρτιος με }135,111,105,99,75,69,21,9{}:{}( xxN και

λ=8, χρησιμοποιώντας τα ίδια προγράμματα 1,2 σε γλώσσα mathematica . Επομένως το σύνολο ζευγών θα είναι Ο{(23,293),(47,269),(53,263),(59,257),(83,233),(89,227),(137,179),(149,167))} και εν συνεχεία το Τ={2,5,7,..., 17} με κ=7 με τις τιμές πρώτων, για τις οποίες δεχόμαστε να είναι με πληθάριθμο σ=2, οι οποίες είναι {(5,311),(3,313)}. Άρα το σύνολο των ζευγών των πρώτων αριθμών, θα είναι λ+σ=8+2=10.

b).Για παράδειγμα αθροίσματος 3 πρώτων, εξετάζουμε την περίπτωση όταν το n=111. Σύμφωνα με το

θεώρημα 4, και για την iii περίπτωση, θα προκύπτει ότι το .373/min n Σύμφωνα με την γλώσσα

του mathematica ως 1,6],[Pr nnimeNext , με n=111 το μ=3 και επομένως ο μεγαλύτερος

πρώτος αριθμός πριν τον 111n , μικρότερος ή ισος με το n-6, θα είναι ο 103max .Αρα λοιπόν

αντίστοιχα ο 16]),([ maxmin ,δηλαδή 16 θα είναι το πλήθος των αθροισμάτων, που θα

εξετάσουμε για να βρούμε όλες τις τριάδες πρώτων, επαληθεύοντας την σχέση

16,...,2,1,3212 ipnppS iiii .Οι επιτρεπτές περιπτώσεις επομένως των 16,...,2,1,2 iSi θα

αντιστοιχουν στο σύνολο...

,67111,71111,73111,79111,83111,89111,97111,101111,103111{},...,,{ 222123 SSSL

}.74,70,68,64,58,52,50,44,40,32,28,22,14,10,8{}37111,41111,43111,47111,53111,59111,61111

απο Θεώρημα 4, με τελικό πλήθος των επι μέρους τριάδων ,το πλήθος tκ το οποίο θα προκύψει με

πολλαπλή χρήση του Θ.3, χωρίς τις επαναλήψεις,άρα

2223221κ...κ δ21t .36111243433

Το σχετικό πλήρες πρόγραμμα σε mathematica θα είναι:

# Program 3 #.. c:=111; SetSystemOptions["ReduceOptions"->{"BranchLinearDiophantine"->True}]; SetSystemOptions["ReduceOptions"->{"ExhaustiveSearchMaxPoints"->{10000000000,10000000000}}]; Reduce[p1+p2+p3==c && p1>2 && p2>2 && p3>2 && p1<=p2 && p2<=p3,{p1,p2,p3},Primes]//Timing Count[Reduce[p1+p2+p3==c && p1>2 && p2>2 && p3>2 && p1<=p2 && p2<=p3,{p1,p2,p3},Primes],Except[False]] Οι συνολικές 36 τριάδες επομένως θα είναι με αύξουσα σειρά:

)37,37,37(),43,37,31(),41,41,29(),53,29,29(

),47,41,23(),59,29,23(),61,31,19(),73,19,19(

),47,47,17(),53,41,17(),71,23,17(),61,37,13(

),67,31,13(),79,19,13(),53,47,11(),59,41,11(

7,29,11(),83,17,11(),89,11,11(),61,43,7(

),67,37,7(),73,31,7(),97,7,7(),53,53,5(

),59,47,5(),83,23,5(),89,17,5(),101,5,5(

),61,47,3(),67,41,3(),71,37,3(),79,29,3(

),89,19,3(),97,11,3(),101,7,3(),103,5,3(

321321321321

321321321321

321321321321

321321321321

321321321321

321321321321

321321321321

321321321321

321321321321

pppppppppppp

pppppppppppp

pppppppppppp

pppppppppppp

pppppppppppp

pppppppppppp

pppppppppppp

pppppppppppp

pppppppppppp

Με πλήθος περιπτώσεων 36. Συμπεράσματα.. Ο σκοπός αυτού του ερευνητικού έργου ήταν να επιλυθεί η Εικασία του Γκόλντμπαχ χρησιμοποιώντας την αντίστοιχη δήλωση: Για κάθε ακέραιο n ≥ 2, υπάρχει ένας ακέραιος j τέτοιος ώστε n/2 + j και n/2 - j να είναι πρώτοι αριθμοί. Οι δύο προσεγγίσεις έγιναν χρησιμοποιώντας αυτή τη δήλωση, που είχε ως αποτέλεσμα την ανάπτυξη και επίλύση των δύο εικασιών. Ας ελπίσουμε ότι αυτές οι εικασίες αποκαλύπτουν νέες προσεγγίσεις για την επίλυση του πρόβληματος και να κάνουν την επίλυση αυτού του προβλήματος απο παλιά, ένα πολύ πιο εύκολο έργο Από τότε που ο Goldbach έθεσε τις 2 εικασίες , έχουν περάσει 259 χρόνια. Αποδεικνύοντας αυτό το "ανεξιχνίαστο αίνιγμα», πολλοί μαθηματικοί και ερασιτέχνες απο πολλές χώρες, έχουν δαπανήσει μεγάλη ενέργεια. Όμως, μέχρι τώρα, κανείς δεν μπορεσε να βρει μια, κατάλληλη μέθοδο για την άσκηση αυτής της έρευνας,αφου η δυνατότητα για την απόδειξη αυτού του προβλήματος εξαρτάται μόνο από τις διαθέσιμες θεωρίες. Προφανώς, η διαθέσιμες θεωρίες δεν είναι πολύ αποτελεσματικές,γιατι δεν μπορούσαν να ληφθούν πλήρως για να αποδείξουν αυτο το πολύ περίπλοκο πρόβλημα ύπαρξης και κατανομής και επομένως δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αποδειχθεί η εικασία του Goldbach [3,4,5,6,7]. Ως εκ τούτου, πρέπει να ανοίξουμε ενεργά ένα νέο δρόμο, να βρουμε ένα νέο τρόπο και μέθοδο, προκειμένου να αναλύσουμε εκ νέου και μεθοδικά με την εύρεση και την επιλεκτική ένωση εκείνων των συνόλων ,που συνθέτουν αυτό το φαινομενικά απλό ,αλλα τόσο περίπλοκο πρόβλημα. Έτσι, με την νέα τεχνική φαίνεται καθαρά ότι η επιτυχία γίνεται πιο κατανοητή και επομένως ουσιατικά περισσότερο δυνατή.

Bibliography [1]. Mahoney, Michael S. “Goldbach, Christian.” Dictionary of Scientific Biography. Ed. Charles Coulston Gillipsie. New York: Scribner 1970-1980. [2]. Yuan, Wang. Goldbach Conjecture. World Scientific Publishing, 1984. [3]. Lou S. T., Wu D. H., Riemann hypothesis, Shenyang: Liaoning Education Press, ‘87. pp.152-154. [4].Chen J. R., On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes, Science in China, 16 (1973), No.2, pp. 111-128 [5]. Pan C. D., Pan C. B., Goldbach hypothesis, Beijing: Science Press, 1981. pp.1-18; pp.119-147. [6] .Hua L. G., A Guide to the Number Theory, Beijing: Science Press, 1957. pp.234-263. [7] .Chen J. R., Shao P. C., Goldbach hypothesis, Shenyang: Liaoning Education Press, 1987. pp.77-122; pp.171-205. [8]Two Approaches to ProvingGoldbach’s Conjecture, By Bernard Farley,Advised By Charles Parry May 3rd 2005