Bulletin of Society for Mathematical Services and Standards 1 © Bulletin of Society for...

Bulletin of Society for Mathematical Services and Standards ISSN: 2277-8020

Vol. 2 No. 4 (2013), pp. 01-20 www.ijmsea.com

1 © Bulletin of Society for Mathematical Services and Standards

The methods of solving equations with co-prime

, where are natural numbers, equal the two

only in one of the three possible cases.

The proof of Catalan's Conjecture

PROF. DR. K. RAJA RAMA GANDHI1, REUVEN TINT

2, MICHAEL TINT

3

Resource person in Math for Oxford University Press and Professor at BITS-Vizag1

Number Theorist, Israel2

Software Engineer, Israel3

Abstract. One of the principal problems of the Beal's conjecture, as we see that, is methods for

finding a pairwise coprime solution which is defined below. First found methods and identities,

allowing receiving infinite number solutions of equations as

for co-prime integers arranged in a pair are natural (whole) numbers, where a fixed

permutation corresponds to each of the permutations

Here we obtain also our method and identities of all not recurrent and not

co-prime solutions of the above type, part of which has already been published, in contrast to the

method of obtaining the recurrence not co-prime solutions of this type from [(1), W. Sierpiński, p.

21-25, 63]. As the solution of the main problem appeared additional problems that solved by

obtained appropriate identities. Given as two equal proofs of Catalan's Conjecture.

Solution

§ 1

Preliminary in this section we obtain some identities that are required in below to achieve the main

results.

1.1. Multiplying both sides of Pythagorean equation




by

Adding term by term, the following equation:

,

,

we obtain

1.2. We get three identities needed for the task.

1.2.1.

Here,

-are arbitrary natural numbers.

1.2.2.




1.2.3. Follows from for , where

§ 2

2.1. From we need some new notations and then we obtain the identity:

2.2. Let

Therefore,

and

2.3. Using W. Sierpiński [(1),p. 29-30] we get solutions in natural (whole) number of equations

types and, accordingly

2.3.1.

where

1)




2)

3)

4)

2.3.2. From

1)

2)

3)

and etc.




2.4. Infinite set of all pairwise co-prime solutions of equations and we obtain for odd

We have

and

where

In other words, if

then

and etc.

2.4.1. In general, if

then

and

where




2.5. Accordingly, thus recurrently, we obtain infinite set of all pairwise coprime solutions of .

§ 3

3.1. Let us give another version of getting all the solutions of equation

3.2. There is an identity:

With the upper signs in and

1)

2)

and etc , see 2.4. and 2.5.

3.3. Comment.

For

The identity using to prove the Catalan's Conjecture:

“The equation

has a unique solution

Proof.

3.3.1. We first prove that the equation

has a unique solution




Let from it follows that

then,

and

3.3.2. Using our proof in Bulletin of Mathematical Sciences & Applications ISSN: 2278-9634 Vol. 2

No. 3 (2013), pp. 53-60(2) exponent of one of the elements

can not be more than two in

3.3.3. Let

Then,

where

and

This completes the proof.

3.4. The second variant of the proof of Catalan's Conjecture

Proof.

3.4.1. Suppose

then,

where

Multiplying by . we obviously have,




from

Then, follows that using

Subtracting from the left and right sides of equation

We get,

and

3.4.2. To prove

is a unique solution of equation

for natural .

Let

then,

and

and

3.4.2.1.

Let us prove that, from for




and

3.4.2.2.

Unique solution

here

Similarly,

It is clear that - is a unique solution of equation for natural

3.4.3. Without loss of generality it can be assumed that from

This means that, from

3.4.4. Using W. Sierpiński [(1), p. 76,77] proved that the equation

In natural numbers >1, has only one solution

3.5. The application to the proof of Theorem Catalana. W. Sierpiński, "On solution of equations in

integers" (Russian), Fizmatgiz, Moscow, 1961, p.76-77

INTERNET LIBRARY: http://ilib.mccme.ru/djvu/serp-int_eq.htm

§ 4

4.1. From for we have:

Let

4.1.1. It follows from and




4.1.2. From and with respect to 4.1.1.

For

is unique pairwise coprime solution to this version. Other solutions to this version are not pairwise

coprime , - are arbitrary natural (integer) numbers.

For

and etc.

4.2. Let be

We obtain:

and

Since we have

Therefore,

where

It follows that,




Remove in the denominator, after appropriate substitutions; we obtain the identity of the type

§ 5

Using the methods outlined and possible variants (with , , , , , , ), we get infinite

set of solutions of equations of type

in natural numbers as pairwise co-prime, and not co-prime.

References:

1. W. Sierpiński, "On solution of equations in integers" (Russian), Fizmatgiz, Moscow,

1961.

INTERNET LIBRARY: http://ilib.mccme.ru/djvu/serp-int_eq.htm

2. PROF. DR. K. RAJA RAMA GANDHI, REUVEN TINT, “THE PROOF OF THE

INSOLUBILITY IN NATURAL NUMBERS FOR THE FERMAT'S LAST THEOREM

AND BEAL'S CONJECTURE FOR CO-PRIME INTEGERS ARRANGED IN A PAIR

IN THE EQUATIONS”

(ELEMENTARY ASPECT) 2013

Bulletin of Mathematical Sciences & Applications ISSN: 2278-9634 Vol. 2 No. 3




О методах решения уравнений во взаимно простых

,где -натуральные числа, равные двум только в

одном из трех возможных случаев.

Доказательство теоремы Каталана

PROF. DR. K. RAJA RAMA GANDHI

1, REUVEN TINT

2, MICHAEL TINT

3

Resource person in Math for Oxford University Press and Professor at BITS-Vizag1

Number Theorist, Israel2

Software Engineer, Israel3

Аннотация. Одной из главной проблем гипотезы Била, как мы считаем, являются методы

нахождения попарно взаимно простых решений описанных ниже уравнений. Впервые

найдены методы и тождества, позволяющие получать бесчисленное множество решений

уравнений типа

в попарно взаимно простых натуральных (целых) числах, где фиксированной

перестановке соответствует каждая из перестановок

Предложены также нами метод и тождества не рекуррентного получения всех не взаимно

простых решений уравнений указанного выше типа, часть из которых уже опубликована, в

отличие от метода получения рекуррентных не взаимно простых решений уравнений этого

типа из [(1), В. Серпинский, стр. 21-25, 63]. По мере решения основной задачи возникали

дополнительные проблемы, которые решались полученными нами подходящими

тождествами. Приведено также два равноценных доказательства теоремы Каталана.

Решение

§ 1

Предварительно в этом параграфе получим ряд тождеств, необходимых в нижеизложенном

для достижения основных результатов работы.

1.2. Умножим обе части пифагорова уравнения




на

Сложив почленно следующие уравнения:

,

,

получим

1.2. Получим ещѐ три тождества, необходимых для решения поставленной задачи.

1.2.1.

Здесь,

-произвольные натуральные числа

1.2.2.

1.2.3. Из при , где

§ 2

2.1. Из при новых обозначениях и получим тождество:




2.2. Пусть

Тогда,

и

2.3. По В. Серпинскому [(1),стр. 29-30] получаем рекуррентно все решения в натуральных

(целых) числах уравнений типов и соответственно

2.3.1.

где

5)

6)

7)

8)

2.3.2. Из

1)




2)

3)

и т.д. и т.п.

2.4. Бесчисленное множество всех попарно взаимных простых решений уравнений типа

и получаем при нечѐтных

Имеем

и

где

т.е. если

то

и т.д.

2.4.1. В общем случае, если

то

и

где




2.5. Соответственно, таким образом, рекуррентно получим бесчисленное множество всех

попарно взаимно простых решений уравнения .

§ 3

3.1. Приведѐм другой вариант получения всех решений уравнения

3.2. Получено тождество:

При верхних знаках в и

3)

4)

и т.д. и т.п. , как в п.п. 2.4. и 2.5.

3.3. Примечание.

При

Тождество используем для доказательства теоремы Каталана:

“Уравнение

имеет единственное решение

Доказательство.

3.3.1. Докажем вначале, что уравнение

имеет единственное решение

Пусть из

Тогда,

и




3.3.2. Согласно доказательству в Bulletin of Mathematical Sciences & Applications ISSN: 2278-

9634 Vol. 2 No. 3 (2013), pp. 53-60(2) показатель степени одного из элементов

не может быть большем двух в

3.3.3. Пусть

Тогда,

где

и

что и требовалось доказать. Доказательство полностью завершено.

3.4. Второй вариант доказательства теоремы Каталана.

Доказательство

3.4.1. Должно быть

Тогда,

где

Умножим на . Откуда,

Из

Тогда, из с учѐтом

Отнимем от левой и правой частей равенства

Тогда,

и

3.4.2. Докажем, что

единственное решение уравнения

для натуральных ,больших единицы.

Пусть

тогда,

и




и

3.4.2.1.

Тогда, из при

и

3.4.2.2.

Единственное решение

т.е.

Откуда,

т.е. - единственное решение уравнения для натуральных

,больших единицы.

3.4.3. Поэтому из

Откуда, из

3.4.4. По В. Серпинскому [(1), стр. 76,77] доказано, что уравнение

в натуральных числах больших единицы, имеет только одно решение

3.5. Приложение к доказательству теоремы Каталана. В. Серпинский, “О решение уравнений

в целых числах”, Физматгиз, Москва, 1961, стр.76-77.

ИНТЕРНЕТ БИБЛИОТЕКА: http://ilib.mccme.ru/djvu/serp-int_eq.htm

§ 4

4.1. Из при имеем:

Пусть

4.1.1. Из и




4.1.2. Из и п. 4.1.1.

При

-единственное попарно взаимно простое решение в этом варианте. Остальные решения в этом

варианте не попарно взаимно простые , -произвольные натуральные

(целые) числа.

При

и т.д.

4.2. Пусть из

Получено тождество:

и

Из примем

Тогда,

где

Отсюда,

Избавившись в от знаменателя после соответствующих подстановок, получим тождество

типа

§ 5

Используя изложенные методы и возможные варианты (с , , , , , , ),

получим бесчисленное множество решений уравнений типа




в натуральных числах как попарно взаимно простых, так и не взаимно простых.

Литература:

3. В. Серпинский, “О решении уравнений в целых числах”, Физматгиз, Москва 1961.

4. PROF. DR. K. RAJA RAMA GANDHI, REUVEN TINT, Доказательство о

неразрешимости в натуральных числах для “Великой” теоремы Ферма и гипотезы

Била для попарно взаимно простых в уравнениях...(элементарный аспект) 2013

Bulletin of Mathematical Sciences & Applications ISSN: 2278-9634 Vol. 2 No. 3 (2013),

pp. 53-60(2)

Bulletin of Society for Mathematical Services and Standards 1 © Bulletin of Society for...

Documents

Transcript of Bulletin of Society for Mathematical Services and Standards 1 © Bulletin of Society for...