IBILCE

BRUNA GUIMARÃES

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E “DIVISORES EM LINHA”:

POSSIBILIDADES PARA A AULA DE DIVISORES

São José do Rio Preto

2012

BRUNA GUIMARÃES

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E “DIVISORES EM LINHA”:

POSSIBILIDADES PARA A AULA DE DIVISORES

Monografia apresentada à Universidade Estadual Paulista

“Júlio de Mesquita Filho”, Instituto de Biociências, Letras e

Ciências Exatas, Curso de Graduação em Matemática,

como requisito para a obtenção do título de Licenciado em

Matemática, sob a orientação da Prof.ª Dr.ª Rita de Cássia

Pavani Lamas.

São José do Rio Preto

2012

Dedico este trabalho aos meus pais Maria Teresa e João, a minha irmã

Aline, que me apoiaram durante toda minha graduação, e me incentivaram a

driblar todos os obstáculos, também ao meu afilhado Erick que com um simples

sorriso me inspira.

Agradecimentos

Agradeço primeiramente a Deus por ter me dado forças em toda minha

trajetória para realizar este trabalho, a toda minha família, a meu namorado

Paulo Henrique pelo apoio, e especialmente a professora Rita orientadora

deste trabalho pela generosidade, contribuições e paciência.

RESUMO

Este trabalho é baseado em alguns autores de Educação Matemática e no PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais) de matemática para o terceiro e quarto ciclo do ensino fundamental, onde o foco é em Resolução de Problemas como metodologia de ensino de matemática e o uso de jogos matemáticos na perspectiva dessa metodologia. Após apresentar a fundamentação teórica, a metodologia de Resolução de Problemas é adotada na prática escolar demonstrando uma possibilidade de diálogo entre professor-aluno, ocorrido na sala de aula para a introdução do critério de divisibilidade por 2. Também é possível encontrar a aplicação do jogo “divisores em linha” através da perspectiva dessa metodologia bem como seus resultados favoráveis para a aprendizagem dos alunos. Ou seja, após o estudo teórico feito para a realização deste trabalho, é mostrado como uma aula que seria abordada de maneira tradicional pode ser mais dinâmica contendo a ativa participação dos alunos, contribuindo para sua aprendizagem. Visto que nessa metodologia o aluno é levado a construir seu próprio conhecimento. Palavras-chave: Resolução de Problemas; Jogos Matemáticos; Metodologia de Resolução de Problemas; Aprendizagem.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Tabuleiro do jogo Divisores em Linha............................................23

Figura 2 – Tabuleiro do jogo usado pelo aluno A............................................25

Figura 3 – Tabuleiro do jogo usado por Paula.................................................26

Figura 4 – Tabuleiro do jogo usado por Breno.................................................27

SUMÁRIO

1. Introdução...............................................................................................8

2. Fatos Históricos da Metodologia de Resolução de Problemas

e o uso de Jogos Matemáticos..............................................................11

2.1. A Resolução de Problemas no ensino de Matemática......................11

2.2. A Resolução de Problemas como metodologia de ensino................13

2.3. Jogos matemáticos na perspectiva da Resolução de

Problemas..........................................................................................16

3. Metodologia da Resolução de Problemas e Jogos no ensino de

divisores..................................................................................................19

3.1. Metodologia de Resolução de Problemas: A construção de um

diálogo...............................................................................................19

3.2. O jogo “Divisores em Linha” em sala de aula e seus resultados.....23

4. Conclusão e Resultados.........................................................................28

5. Referências Bibliográficas......................................................................30

8

1 – INTRODUÇÃO

Para o ensino de matemática, temos que considerar dois lados em um

deles ficam os alunos que por falta de motivação e compreensão dos conceitos

matemáticos ensinados, muitas vezes de forma tradicional, não conseguem ter

um “bom” rendimento escolar; do outro está o professor que por falta de

interesse por parte dos alunos gerado pela falta de motivação em aprender o

conteúdo matemático, não consegue alcançar seus objetivos em sala de aula.

Para reverter essa circunstância encontrada no cenário escolar do

ensino fundamental de matemática entendo que é necessária uma mudança de

postura de ambos os lados. A matemática é considerada por muitos estudantes

do ensino fundamental como “um bicho de sete cabeças”. Com a falta de uma

base sólida, eles vão tendo dificuldades em acompanhar os novos conceitos

que vão sendo abordados ao longo das séries escolares.

Uma metodologia que vem sido utilizada como válvula de escape para a

situação descrita acima é a metodologia de Resolução de Problemas, que

consiste em fazer com que o professor seja um facilitador do conhecimento, e

que o aluno seja ativamente participativo em sua aprendizagem.

Segundo Van de Walle (2001 apud ONUCHIC; ALLEVATO, 2004, p.

221) para o professor ensinar matemática através da Resolução de Problema

não basta propor um problema esperando acontecer um milagre. O professor é

extremamente importante para motivar o aluno a resolver o problema.

O uso de jogos matemáticos através da perspectiva da Resolução de

Problemas é uma outra alternativa de ensino para a obtenção de uma melhora

no ensino-aprendizagem de matemática (BRASIL, 1998).

Segundo Borin (1998), quando o aluno considera o jogo como uma

situação-problema ele é levado a analisar e cogitar estratégias, executar a sua

estratégia, e quando se ganha ou perde uma partida ele estará verificando se

9

sua estratégia foi a melhor ou não, com isso o aluno estará de certa forma nas

condições das etapas de Polya (2006).

Fatos como os descritos anteriormente, motivaram o uso da metodologia

de Resolução de Problemas e o uso de jogo matemático na perspectiva dessa

metodologia no ensino de divisores no 6º ano do ensino fundamental na Escola

Municipal Paul Percy Harris de São José do Rio Preto – SP.

O segundo capítulo é destinado à fundamentação teórica relacionada à

metodologia de Resolução de Problemas para o ensino de matemática,

apoiado em alguns autores de Educação Matemática e no PCN (Parâmetros

Curriculares Nacionais) de matemática para o terceiro e quarto ciclo do ensino

fundamental. O enfoque é dado a fatos relevantes da metodologia de resolução

de problemas e jogos para o ensino da matemática.

Ressalta-se, por exemplo, a publicação dos standarts no qual sua ideia

foi utilizada para criar os PCN de matemática (ONUCHIC, ALLEVATO, 2004, p.

217).

Ainda no segundo capítulo são abordadas as etapas consideradas

importantes para um bom desempenho na resolução de qualquer problema

(POLYA, 2006).

Já no terceiro capítulo é exposto como a metodologia de Resolução de

Problemas foi adotada na prática escolar no 6º ano do ensino fundamental da

Escola Municipal Paul Percy Harris, relatando o diálogo ocorrido na aula, com o

objetivo de resolver o problema e despertar o interesse dos alunos, mostrando

como uma aula que seria abordada de maneira tradicional pode ser

transformada em uma aula com a participação ativa dos alunos, através dessa

metodologia.

Também é apresentado o jogo “divisores em linha”, o qual foi utilizado

para fixar o conteúdo de divisores, descrevendo uma observação curiosa que

ocorreu em sua aplicação e as situações-problema explorada no final do jogo.

Desta forma, esse jogo é classificado como jogo de treinamento segundo Borin

(1998), assim sua aplicação na perspectiva da metodologia de Resolução de

10

Problemas é primordial para diagnosticar as dificuldades dos alunos em

relação ao conteúdo abordado pelo jogo.

Por fim são mostrados resultados e conclusão, após ter estudado e

empregado à metodologia de Resolução de Problemas juntamente com a

utilização dos jogos nessa perspectiva, analisando sua contribuição para o

ensino matemático nos dias atuais.

11

2 - FATOS HISTÓRICOS DA METODOLOGIA DE RESOLUÇÃO

DE PROBLEMAS E O USO DE JOGOS MATEMÁTICOS

2.1 – A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA

O ensino da matemática, em vários países entre os anos de 1960 e

1970, foi marcado por um movimento chamado de Matemática Moderna.

Dentro de uma política de modernização econômica este movimento

educacional visava que a matemática a ser ensinada era aquela adquirida

como lógica, e deveria ser compreendida desde suas estruturas (BRASIL,

1998).

Ainda segundo o PCN de Matemática BRASIL (1998), foi a partir dessa

época que os formuladores dos currículos tiveram preocupação com a didática

da matemática, intensificando assim, as pesquisas nessa área. No Brasil, este

movimento estava diretamente ligado aos livros didáticos; e teve rejeição

quando houve constatação de que seus princípios eram inadequados e por

distorções ocorridas na sua fundação.

Nos Estados Unidos, o NCTM − National Council of Teachers of Mathematics (Conselho Nacional de Professores de Matemática) respondeu aquela preocupação com uma série de recomendações para o progresso da Matemática escolar nos anos 80, no documento An Agenda for Action (NCTM, 1980). Foram chamados para colaborar neste trabalho todos os interessados, pessoas e grupos, para, juntos num esforço cooperativo massivo buscar uma melhor Educação Matemática para todos. A primeira dessas recomendações diz “resolver problemas deve ser o foco da matemática escolar para os anos 80”. Havia, entre os educadores matemáticos, um interesse crescente em fazer da Resolução de Problemas um foco do currículo de Matemática. (ONUCHIC; ALLEVATO, 2004, p. 215 – 216).

Assim com a preocupação de tornar o ensino mais acessível para o

aluno poder compreender os conceitos e algoritmos, surge a Resolução de

Problemas como uma opção do ensino de Matemática. Nessa época foram

12

desenvolvidos vários recursos, tais como: coleções de problemas, listas de

sugestões de atividades, para orientar e ajudar os professores a fazerem da

resolução de problemas o foco central de seu trabalho em sala de aula

(ONUCHIC; ALLEVATO, 2004, p. 216).

Porém houve muita divergência sobre o que seria ensinar através da

Resolução de Problemas. “O que se observou é que, a essa época, ainda

havia muitos estudantes que não sabiam Matemática apesar de haver bons

resolvedores de problemas.” (ONUCHIC; ALLEVATO, 2004, p. 216).

Segundo Onuchic e Allevato (2004) no fim dos anos 1980, o NCTM,

publicou alguns Standards onde o principal objetivo era motivar pais, alunos,

professores, políticos, conselhos estudantis, entre outros, para melhorar os

programas de Matemática no âmbito escolar.

No Brasil o surgimento do PCN se deu baseado nas ideias dos

Standards do NCTM (ONUCHIC; ALLEVATO, 2004, p. 217). A partir daí, com

essas ideias, nos anos de 1980 a 1995, algumas propostas elaboradas em

vários países para a reforma na educação, tiveram alguns pontos em

concordância, como destacadas no PCN de Matemática (BRASIL, 1998) como

exemplos. São eles:

Focar o ensino fundamental não apenas em preparação de

estudos para os anos anteriores, mas também em formar um cidadão;

O papel ativo dos alunos para a construção do seu conhecimento;

Ensinar matemática através da resolução de problemas, utilizando

problemas do cotidiano e interdisciplinaridade;

Incluir já no ensino fundamental elementos de estatística,

probabilidade, e combinatória, atendendo assim a necessidade social

que exige o enfoque desses assuntos;

Fazer com que o aluno entenda a necessidade do uso de

Tecnologias para poderem acompanhar a renovação permanente

do mundo a sua volta.

Mas até hoje, no Brasil, há discussões sobre essas ideias, e algumas

aparecem dando suporte as propostas curriculares de Secretarias de Estado e

13

de Municípios da Educação, tendo boas experiências que afirmam sua

produtividade. (BRASIL, 1998).

Ou seja, a metodologia de Resolução de Problemas surge a partir da

necessidade de transformar o ensino de matemática mais compreensível pelos

alunos, descentralizando o ensino a partir de memorizações de conceitos e

algoritmos, tornando-o mais dinâmico, possibilitando ao aluno ser o próprio

construtor de seu conhecimento, tornando o professor um facilitador do

conteúdo a ser ensinado, proporcionando a aprendizagem dos alunos por meio

da compreensão, e desenvolvendo a habilidade de resolver problemas.

2.2 - A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO METODOLOGIA DE ENSINO

Quando pensamos em resolução de problemas, frequentemente imaginamos um texto escrito com uma pergunta; o aluno terá que aplicar um algoritmo para achar a resposta correta, algoritmo treinado em uma série de exercícios. Mas, na realidade, os problemas vão muito além disso. Há várias situações do cotidiano da escola, da sala de aula nas quais se está trabalhando com resolução de problemas sem necessariamente esses problemas estarem escritos na lousa, no livro ou no caderno. (CARVALHO, 2010, p. 14)

Uma das metodologias que merece atenção especial dos professores de

matemática é a resolução de problemas, por ter a capacidade de motivar os

alunos a enfrentar e conseguir resolver diversas situações problemas aliados

com os algoritmos e conceitos matemáticos.

“Não basta fazer mecanicamente as operações de adição, subtração,

multiplicação e divisão. É preciso saber como e quando usá-las

convenientemente na resolução de situações-problemas.” (DANTE, 1991). Ou

seja, o professor sempre que possível deve relacionar os algoritmos e

conceitos ensinados na sala de aula com problemas do cotidiano do aluno,

quando isso não for possível, trabalhar o conteúdo de forma não isolada,

mostrando para o aluno a aplicação dentro da própria matemática.

Atualmente há muitos estudos e pesquisas sobre o ensino de

matemática através da metodologia de resolução de problema, porém inseri-la

14

na educação não é uma tarefa simples, exige grande dedicação por parte do

professor, mas quando bem empregada os benefícios da aprendizagem dos

alunos é notável. Pois o aluno não estará aprendendo apenas algoritmos e

conceitos, mas também conseguirá compreender e resolver problemas que

envolvam os mesmos.

Segundo Van de Walle (2001 apud ONUCHIC; ALLEVATO, 2004)

ensinar matemática através da resolução de problemas, significa muito mais

que passar um problema e esperar que os alunos resolvam, o professor tem o

papel de estimular o aluno e fazer com que as aulas sejam interessantes e

produtivas.

A resolução de problemas permite que o aluno tenha um papel ativo nas

aulas, e os levam a criar uma estratégia para buscar a resposta correta.

Ensinar através da resolução de problemas faz com que os alunos busquem

em seus conhecimentos já adquiridos e/ou percebam que os faltam para

chegar à resposta certa, estimulando seu raciocínio e sua criatividade, além de

despertar o interesse para o conhecimento que esta faltando.

Sem dúvida, ensinar matemática através da Resolução de Problemas é uma abordagem consistente com as recomendações do NCTM e dos PCN, pois conceitos e habilidades matemáticos são aprendidos no contexto da Resolução de Problemas. (ONUCHIC; ALLEVATO, 2004 p. 222).

“O real prazer de estudar matemática está na satisfação que surge

quando o aluno, por si só, resolve um problema.” (DANTE, 1999). Um dos

objetivos de ensinar através dessa metodologia é proporcionar aulas que

permitam aos alunos esta satisfação que Dante cita, pois com problemas que

desafiam os alunos na “dose certa”, é possível tornar as aulas mais

interessantes e motivadoras para eles.

Segundo Polya (2006) para que o professor desenvolva nos alunos a

capacidade de resolver problemas, ele deve despertar nos alunos o interesse

pelos problemas e dar a oportunidade de imitar e praticar. Assim o professor

deve ser o incentivador de estratégias, e ideias para a solução do problema.

15

Para a obtenção de um melhor desempenho na resolução de um

problema Polya (2006) sugere:

1- Compreender o problema - Para resolver um problema é

necessário compreendê-lo, ou seja, após ler e interpretar, ser capaz de

identificar seus dados, suas incógnitas, e sobre quais condições suas

incógnitas se encontram.

2- Elaborar um plano - É hora de traçar uma estratégia para resolver

o problema, relacionando sempre seu raciocínio com os dados do

problema.

3- Executar o plano - Agora o aluno resolve o problema, ou seja,

coloca sua estratégia em prática.

4- Retrospecto – Nesta etapa o aluno tem a possibilidade de verificar

não só se sua solução esta realmente correta, mas se o todo o plano

traçado foi o melhor.

O mais importante de resolver problemas em sala de aula é o diálogo

desenvolvido entre professor-aluno que surge no desenrolar das etapas

propostas por Polya (2006) para tornar a compreensão dos alunos o mais

natural possível, fazendo com que eles mesmos sejam capazes de questionar

suas estratégias e soluções não só para o problema sugerido em sala de aula,

mas também como nas situações-problema do dia-a-dia.

Devemos incentivar os alunos a “pensarem alto”. Assim, nossa função de orientador e facilitador da aprendizagem se realizará mais facilmente, pois poderemos perceber como eles estão pensando, como estão encaminhando a solução do problema, que estratégia está tentando usar, que dificuldades tentam superar etc. (DANTE, 1991, p. 59).

Resolvendo problemas através dessas etapas em forma de diálogo entre

professor-aluno permite ao aluno a possibilidade de verificar que existem

outros métodos para se chegar a uma mesma solução, visto que cada um

pensa diferente, e que às vezes a estratégia que o colega traçou não foi à

mesma que a dele, e quando cada um defende seu plano traçado para chegar

à solução, permite explorar todo o seu conhecimento sobre o assunto em

16

questão, e desenvolver o seu raciocínio lógico. Por isso, as aulas apresentam

mais interesse quando o aluno é estimulado a raciocinar em “voz alta”,

podendo gerar uma discussão saudável, contribuindo para a sua

aprendizagem.

Para Dante (1991, p. 46) as principais características que um problema

deve apresentar para ser considerado “bom” são:

Ser desafiador para o aluno;

Estar relacionado com a realidade do aluno;

Despertar o interesse do aluno;

Ser o elemento desconhecido de um problema desconhecido;

Não ser apenas aplicação direta de uma ou mais operações

aritméticas;

Ter um nível adequado de dificuldade.

Ensinar através dessa metodologia, faz com que as aulas de matemática

ganhem um novo sentido aos alunos, principalmente os que apresentam mais

dificuldades em aprender com as aulas expositivas, pois cada aluno tem seu

momento para aprender, e com Resolução de Problemas as aulas se tornam

mais interessantes, e o aluno é levado a construir o seu próprio conhecimento.

2.3 – JOGOS MATEMÁTICOS NA PERSPECTIVA DA RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS

A principal característica do uso de jogos na perspectiva de resolução de

problemas é motivar e minimizar os bloqueios que a maioria dos alunos possui

com relação à matemática. Propondo de uma maneira mais interessante um

problema, e permitindo ao aluno estratégias de resolução de modo mais

natural, aguçando principalmente sua criatividade (BORIN, 1998).

Através da vontade de vencer o jogo, o aluno é levado a desenvolver o

raciocínio lógico, pois para poder ganhar é preciso colocar em pratica algumas

habilidades adquiridas após passar por algumas etapas exigidas pelo jogo, tais

como: tentar, analisar, conjecturar. Estimulando sempre o aprendizado do

17

aluno, pois antes de qualquer estratégia a ser executada, ele precisa “dominar”

o conceito abordado pelo jogo matemático (BORIN, 1998).

Os jogos contribuem para a formação de atitude dos alunos, pois eles os

levam a buscar uma solução, criar estratégias, e tornam-se críticos; além de

poder reverter resultados não satisfatórios no ensino da matemática (BRASIL,

1998).

De fato, analisamos o comportamento e a atividade mental de um jogador disposto a ganhar, verificamos que a postura é a mesma de um cientista em busca de solução para um problema. Os dois, inicialmente, partem para uma experimentação ou tentativa para conhecer o que defrontam, sem muita ordem ou direção. Após essa fase, como numa investigação científica, coletam os dados que podem influenciar ou alterar as várias situações e formulam hipóteses que precisarão ser testadas. Estabelecida uma hipótese, partem para a experimentação ou jogada e observam o que acontece. Se for necessário, reformulam as hipóteses feitas e realizam nova verificação [...] (BORIN, 1998, p. 8).

Isso caracteriza o jogo na perspectiva da metodologia da Resolução de

Problemas. Ainda, o aluno, ao tentar corrigir sua estratégia fracassada, é

levado a organizar suas ideias, elaborar outro plano e colocá-lo em prática,

com isso ele estará desenvolvendo as etapas de Polya para a resolução de

problemas como afirma (BORIN, 1998).

Para que isso ocorra o professor não pode utilizar em sala de aula o jogo

pelo jogo, ele tem um papel fundamental em sua aplicação. É importante o

professor estudar o jogo antes de aplica-lo em sala de aula. Um dos principais

cuidados que o professor deve ter é nunca levar para a sala de aula um jogo

que ele não sabe jogar, não testou previamente as possíveis jogadas, ou até

mesmo aplicar o jogo só porque não preparou a matéria do dia (BORIN, 1998).

As aulas com o uso de jogos devem ser planejadas, pois o enriquecedor

para os alunos além das discussões no decorrer das jogadas entre eles, é com

a intervenção do professor, esclarecendo algumas dúvidas que possam surgir,

18

ou até mesmo questionando o porquê de cada jogada. Tais questões são

conhecidas como situações-problema.

Os jogos são classificados por Borin (1998 p. 15) como:

Jogos de estratégias – Onde seu principal objetivo é

desenvolver o raciocínio lógico. São caracterizados por obterem uma

estratégia vencedora a ser desvendadas pelos jogadores, logo a sorte

nada tem a ver com a vitória de um jogador na partida. O aluno ao jogar

esse tipo de jogo precisa encontrar uma estratégia vencedora.

Jogos de Treinamento – São utilizados geralmente para a

introdução ou fixação de certos conceitos matemáticos, ótimos para

serem usados como reforço de certo conteúdo matemático. A sorte pode

ter influência na vitória no jogo.

O jogo “divisores em linha” escolhido e aplicado em sala de aula nas

regências realizadas junto à disciplina de Metodologias de Ensino de

Matemática e Estágio Curricular Supervisionado II será exposto no próximo

capítulo. Segundo a classificação abordada é um jogo de treinamento. A sua

aplicação na perspectiva de Resolução de Problemas foi primordial, visto que

nesses “tipos” de jogos o fator sorte às vezes influência a vitória, então para

diagnosticar se o aluno está compreendendo o jogo, o professor deve criar

algumas situações-problema para poder questionar e verificar se ele tem

alguma dúvida quanto ao jogo ou até mesmo no conteúdo abordado pelo jogo.

19

3 – METODOLOGIA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E

JOGOS NO ENSINO DE DIVISORES.

3.1 – METODOLOGIA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: A

CONSTRUÇÃO DE UM DIÁLOGO

Durante a realização das regências realizadas em um 6º ano do ensino

fundamental da Escola Municipal Paul Percy Harris, foi possível trazer no

presente trabalho a experiência vivida em sala de aula com a utilização da

metodologia exposta no mesmo.

Pretendendo ensinar alguns conceitos abrangentes do conteúdo de

divisores, utilizando como metodologia de ensino a Resolução de Problemas,

descrevo a seguir uma aula para a introdução dos critérios de divisibilidade,

ilustrando um diálogo ocorrido nessa aula, para mostrar que com essa

metodologia podemos transformar uma aula que seria normalmente abordada

de maneira expositiva sem a ativa participação dos alunos, em uma aula onde

o aluno participa ativamente.

Continuando com o conteúdo de divisores, o objetivo da aula era a

introdução dos critérios de divisibilidade, onde para despertar o interesse por

um modo mais “fácil” de saber quando um número natural é ou não divisível

por 2, foi proposto o problema a seguir:

No final do ano, uma papelaria vai realizar uma grande promoção para

vender 3.180 cadernos que estão no estoque. O gerente pretende fazer

pacotes com a mesma quantidade de cadernos sem que sobrem cadernos. É

possível que cada pacote contenha:

a-) 2 cadernos? b-) 3 cadernos?

c-) 5 cadernos? d-) 6 cadernos?

e-) 8 cadernos?

20

Com o conceito de divisores estudado na aula anterior, busquei um

problema que houvesse a possibilidade de inicialmente resolver com os

conhecimentos já adquiridos e também que fosse possível voltar para resolvê-

lo com os conceitos estudados em aulas posteriores, fazendo com que eles

percebessem o sentido de estudar os critérios de divisibilidade, ou seja, que

notassem sua praticidade.

Entreguei para cada aluno o problema xerocado, e em seguida pedi para

um deles ler o problema em voz alta, e para que os demais prestassem

atenção no colega. Após a leitura, eles começaram a resolver.

Durante a aula passando pelas carteiras, percebi que a maioria dos

alunos estava elaborando uma estratégia para resolver, mas que alguns tinham

dificuldades em elaborar sua estratégia. Começamos então um diálogo para

expor as estratégias traçadas pelos alunos que estavam resolvendo o

problema, e também para esclarecer as dúvidas dos outros que estavam com

dificuldades. O diálogo entre professor-aluno ocorreu da seguinte maneira:

Professora: O que o problema está pedindo?

Alunos: Pacotes que contenham a mesma quantidade de cadernos, sem

que sobrem cadernos.

Professora: Que dados o problema nos fornecem?

Alunos: Temos que são 3.180 cadernos a serem vendidos.

Professora: Não temos mais nenhuma informação no problema?

Alunos: Sim, temos que verificar se cada pacote pode conter 2, 3, 5, 6

ou 8 cadernos.

Professora: Muito bem, agora como vamos fazer isso?

Alunos: Dividindo a quantidade de cadernos a serem vendidas pela

quantidade de cadernos por pacotes, ou seja, verificando se 3180 é divisível

pelos números dados.

Professora: O que precisamos verificar ao fazer estas divisões?

21

Alunos: Se o resto em cada divisão é zero. Se for então é possível que

os pacotes contenham esta quantidade, se for diferente de zero não, pois

sobrarão cadernos fora dos pacotes.

Professora: Agora que o problema está mais claro para todos, vamos

elaborar um plano para resolvê-lo?

Alunos: Primeiramente devemos dividir 3.180 por 2 e verificar se sobrará

algum resto, se sim então, não poderemos ter pacotes com 2 cadernos em

cada, ou seja, 3.180 não é divisível por 2, agora caso contrário, poderemos ter

pacotes com 2 cadernos em cada, neste caso 3.180 é divisível por 2 e assim

com todos os números dos outros itens.

Assim cada aluno fez em seu caderno as divisões, e verificou que é

possível que os pacotes contenham 2 cadernos, 3 cadernos, 5 cadernos e 6

cadernos.

Professora: Vamos verificar se a solução está correta?

Alunos: Sim, como queremos que não sobre nenhum caderno fora dos

pacotes, devemos ter divisões exatas, ou seja, divisões sem nenhum resto.

Podemos verificar se as contas de dividir estão corretas.

Para instigar os alunos a estudar os critérios de divisibilidade, fiz a

seguinte pergunta para eles:

Professora: Há uma maneira mais prática para verificarmos se o número

3.180 é divisível pelos números dados?

Uma curiosidade que ocorreu após essa pergunta é a resposta em

particular de uma aluna recém-chegada a essa turma, que foi:

“Sim, professora no caso do número 2, sabemos se um número é

divisível por ele se o número for par. Podemos perceber que todo número da

tabuada do 2 é par.” (Aluna A).

Os demais alunos não sabiam me responder. No entanto, esse era o

assunto a ser ainda estudado. A pergunta que foi feita, era exatamente para

ver se algum aluno já conhecia o critério de divisibilidade por 2.

22

E juntamente com a resposta da aluna A para que os alunos pudessem

concluir o critério de divisibilidade por 2, foi proposta a atividade a seguir, com

resultado positivo, onde foi possível retirar dos alunos a conclusão do critério

de divisibilidade por 2.

1-) Complete a tabela a seguir:

Número

Número ÷ 2 Resto

10 23 67 124 876

2-) Responda:

a-) Quais desses números são divisíveis por 2? Por quê?

b-) Analisando os números que são divisíveis por 2, complete:

Um número é divisível por 2 quando ele é ___________.

Analisando o problema inicial puderam concluir que não havia

necessidade de fazer a divisão por 2, para verificar se 3.180 é divisível por 2.

Bastava saber que esse número é par.

Em seguida, já no final da aula para continuarmos na próxima aula a

estudar o critério de divisibilidade por 3, a seguinte pergunta foi deixada para

gerar curiosidade.

Pergunta: Qual será o critério de divisibilidade por 3? Será que basta o

número ser ímpar para ser divisível por 3?

A Resolução de Problemas faz com que os alunos tenham uma

interação maior com o conceito a ser estudado, pelo fato de despertar neles a

vontade de adquirir novos conhecimentos e permitindo uma aprendizagem de

forma participativa, fazendo com que eles mesmos construam seus saberes.

23

Buscando o interesse em conhecer o conceito que seria ainda abordado,

facilitou a compreensão dos alunos, e fez com que a aula fosse mais

agradável, pois com os alunos envolvidos em toda a aula, permitiu-se um

melhor aproveitamento para à aprendizagem. Neste diálogo foi possível

envolver todos os alunos, permitindo a construção de seus conhecimentos.

3.2 – O JOGO “DIVISORES EM LINHA” EM SALA DE AULA E SEUS

RESULTADOS

Para fixar a ideia de divisor e estimular o cálculo mental das divisões e

multiplicações, o jogo “divisores em linha”, foi aplicado juntamente com as

situações-problema descrita logo mais.

Inicialmente a turma foi separada em duplas. Foi mostrado o jogo e eles

conheceram todos os seus “elementos”. O objetivo e as regras do jogo foram

lidas e discutidas, até esclarecer as dúvidas que iam surgindo pelos alunos.

Assim, foi possível jogar uma primeira vez para poderem conhecer o jogo.

Jogo - Divisores em Linha.

Material: Dois tabuleiros, dois dados e marcadores.

Figura 1: Tabuleiros do jogo.

24

Objetivo: Colocar 4 marcadores seguidos na horizontal, vertical ou

diagonal.

Como Jogar:

1. Cada jogador (ou dupla) escolhe um dos tabuleiros.

2. Cada jogador, alternadamente, lança dois dados, um de cada vez,

sendo o primeiro algarismo da dezena e o segundo da unidade.

3. Em seguida, o jogador põe um marcador sobre um dos números do

seu tabuleiro, que seja divisor do número obtido no lançamento dos dois

dados.

4. O jogador perde a vez quando:

• Colocar o seu marcador em uma das casas do tabuleiro com um

número que não é divisor do número obtido nos dados, ou

• Se não houver possibilidades de marcar um número no tabuleiro.

5. Ganha o jogo quem colocar 4 marcadores seguidos, na horizontal,

vertical ou diagonal.

No decorrer da aplicação observando as jogadas das duplas, pude ir

verificando quem estava com dificuldade em “encontrar” os divisores dos

números obtidos, e até de perceber a facilidade que certos alunos tinham em

utilizar os critérios de divisibilidade já estudados.

Um fato interessante que ocorreu ao fazer essa observação foi relativo a

uma explicação que um dos alunos estava dando para o seu colega de dupla,

justificando uma de suas jogadas. Era em relação à “comutatividade” da

multiplicação, o tabuleiro do aluno que estava explicando sua jogada já

estavam marcados os dois números 2, 3 e 6 presentes em seu tabuleiro, como

mostrado a seguir:

25

Figura 2: Tabuleiro do jogo usado pelo aluno A.

Após a jogada do outro que iria questioná-lo, ele obteve o número 42,

pensando em voz alta ele disse:

“42 é divisível por 6, pois ele é divisível por 2 e por 3, mas como já

marquei todos os 2, 3 e 6 no tabuleiro, posso marcar o número 7, pois olhando

para a tabuada do 6 temos que 42 = 6×7.” (Aluno A).

“Não acho correto marcar o número 7, você deve marcar o número 6,

pois o 42 está presente na tabuada do 6”. (Aluno B).

“Mas é claro que posso marcar o número 7, pois 42 é divisível por 6, e

por 7, pois 6×7 = 42 e 7×6 = 42. Ou seja, o número 42 está presente tanto na

tabuada do 6 como na do 7.” (Aluno A).

Tendo em vista que o aluno B, já apresentava dificuldades nas

operações fundamentais de multiplicação e divisão, aproveitando a observação

desse questionamento expliquei para eles o fato da multiplicação ser

“comutativa”, esclarecendo para o que tinha dificuldade essa propriedade da

multiplicação, que neste momento para esse aluno que já apresentava uma

dificuldade nas operações de multiplicação e divisão, parecia ser algo

descoberto naquele momento.

Essa intervenção foi ótima para a professora da turma poder encaminhar

o aluno a frequentar o reforço de matemática desenvolvido na escola, podendo

ser realizado com ele um reforço diferenciado, trabalhado as operações

fundamentais, ensinando e esclarecendo suas dúvidas.

Os alunos jogaram em média duas partidas, e então foram entregue

para eles algumas situações-problema contendo perguntas relacionadas com o

26

jogo, para poder diagnosticar se eles conseguiram entender o jogo, e

consequentemente o conteúdo envolvido pelo jogo.

As situações-problema aplicadas foram:

1- Para você, qual é o objetivo do jogo?

2- Se você tirar o número 1 no dado e o número 6 em seguida,

quais são os números do tabuleiro que você poderá marcar?

3- E se você formar o número 32. Quais números do tabuleiro você

pode marcar?

4- Paula e Breno estão jogando Divisores em Linha. Na sua vez de

jogar, Paula formou o número 40. Observando o tabuleiro a seguir, marque um

número que Paula poderá marcar no seu tabuleiro.

Figura 3: Tabuleiro do jogo usado por Paula.

Já Breno, na sua vez, formou o número 12. Marque um número que

Gustavo poderá marcar no seu tabuleiro. É possível que Breno ganhe, após ter

formado o número 12? Explique.

27

Figura 4: Tabuleiro do jogo usado por Breno.

Com a aplicação dessas situações-problema, e com as observações

feitas ao longo de toda a aplicação do jogo foi possível verificar qual aluno tinha

realmente compreendido o conceito de divisores, e possuía facilidade em fazer

divisões mentalmente. Através das dificuldades foi detectado o que era

necessário reforçar relacionado ao conteúdo trabalhado, até mesmo conteúdos

para serem trabalhados em paralelo nos reforços.

28

4 – CONCLUSÃO E RESULTADOS

Quando surgiu a proposta de ensinar matemática através da

metodologia de Resolução de Problemas, houve algumas discordâncias sobre

como era esse “ensinar” através dessa metodologia. Mas ao passar do tempo,

com vários estudos e com conhecimento por parte dos professores, ela vem

ganhando espaço e se tornando uma metodologia de destaque no ensino da

matemática.

As pesquisas e estudos sobre ensinar matemática através da

metodologia da Resolução de Problemas são recentes, porém cada vez mais

encontramos resultados positivos quanto ao emprego dessa metodologia em

sala de aula, pois o aluno passa a construir seu próprio saber.

Atualmente essa metodologia ainda é encarada como um “desafio” por

parte dos professores. Ela exige dedicação e um maior cuidado no preparo das

aulas. No contexto dessa metodologia, os alunos são o foco das aulas e estão

buscando cada vez mais por conhecimento.

A principal característica dessa metodologia é ensinar matemática de

uma forma mais dinâmica, fazendo com que o aluno tenha papel de destaque

nas aulas e o professor seja o mediador do conhecimento, motivando e

despertando nos alunos o interesse de enfrentar e resolver não só os

problemas propostos na aula, como também as situações problemas de seu

cotidiano que de certa forma tenha algum conceito matemático por trás.

O rico diálogo baseado em Polya (2006) é capaz de tornar a aula mais

envolvente para os alunos. Quando eles se sentem motivados a aprendizagem

flui de forma mais produtiva. E com aulas interessantes e acessíveis para os

alunos essa aprendizagem é possível.

Como mostrado no capítulo anterior, podemos perceber que uma aula

através da metodologia de Resolução de Problemas, faz com que o aluno seja

participativo e é envolvido pela resolução de problemas há construir o seu

próprio conhecimento, fazendo com que a aula seja mais dinâmica e produtiva.

Tendo um resultado positivo tanto para o professor como para o aluno,

estimulando o professor a tornar as aulas interessantes, despertando nos

alunos a vontade de aprender.

29

O uso de jogos no ensino da matemática na perspectiva da metodologia

de Resolução de Problemas é uma excelente ferramenta para reforçar ou

introduzir um conteúdo.

O jogo tem como principal característica motivar e minimizar os

bloqueios que a maioria dos alunos possui com relação à matemática (BORIN,

1998). Ou seja, o aluno, principalmente com mais dificuldade em matemática,

porém com certa habilidade em estratégia de jogo, ganhará estimulo para

aprender o conceito matemático por trás do jogo, fazendo com que ele supere

muitas vezes suas dificuldades sobre certos conteúdos matemáticos.

Porém, o professor tem que estar preparado e sempre planejar sua aula

de aplicação do jogo. Isso é, deve jogar, saber quais as possíveis jogadas; as

dúvidas que poderão surgir, quais questões são interessantes de serem

colocadas sobre o conteúdo abordado.

Ao aplicar o jogo divisores em linha na perspectiva da metodologia de

Resolução de Problemas o resultado obtido foi positivo graças aos

questionamentos aos alunos sobre as jogadas relacionada com o conteúdo,

podendo através do jogo estar fixando o conteúdo, e diagnosticando as

dificuldades ocorridas ao longo das partidas.

Os questionamentos foram feitos durante as partidas, e ao final do jogo

foram propostas algumas situações-problema para que os alunos resolvessem,

facilitando a verificação de compreensão ou não dos alunos com relação ao

uso do jogo visando à fixação do conteúdo, obtendo um método para analisar o

desempenho do aluno de modo geral, tanto em relação às regras do jogo

quanto ao conteúdo.

30

5 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BORIN, J, Jogos e Resolução de Problemas: Uma estratégia para as salas

de aulas de matemática. São Paulo: IME – USP, 1998.

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares

Nacionais: Matemática / Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília: MEC

/ SEF, 1998.

CARVALHO, M, Estratégia de Resolução de Problemas Matemáticos em

sala de aula. 4 ed. – Petrópolis, RJ: Vozes, 2010.

DANTE, L. R. Tudo é matemática. 4 ed. São Paulo: Editora Ática, 2009.

DANTE, L. R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. 7 ed.

São Paulo: Editora Ática, 1991.

ONUCHIC, L.R., ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o Ensino da

Matemática através da Resolução de Problemas. In Educação Matemática:

Pesquisa em movimento. / Maria Aparecida Viggiane Bicudo / Marcelo de

Carvalho Borba (orgs). São Paulo: Cortez. 2004. p. 213-231.

POLYA, George. A arte de resolver problemas. Tradução de Heitor Lisboa de

Araújo. Rio de Janeiro: Editora Interciência, 2006.

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA laboratório de matemática de São

José do Rio Preto: Jogos no ensino de matemática, 2012. Apresenta alguns

jogos e regras para confecção e uso. Disponível em

<http://www.mat.ibilce.unesp.br/laboratorio/pages/jogos_6ao9.htm>. Acesso em

13 out. 2012.