On the computation of high order pseudospectral derivatives

12

Transcript of On the computation of high order pseudospectral derivatives

�� ��� ��������� � ���� �����

������������ �����������

����� �������

� ��� �����

������������ � �������� �� ��� ���� �������� �� �� ����� ���� � � �

���� �� ��� �!"!�! #$%&��%' � (��) �! "��� �* ������������� ��

�� + � � , ���� � ���-���� ��� (�.� �� +��� �/� ��+ ����� �-� �����

#%$#! "��� �* ��������� ���� ������

��������

� ����� �� ����� �� � ����������� �� ����������� ����������� ������

�� �� �������� ����� � ���� ��������� ���������� ����������� ���

��������� � �������� ����� �� � ����������� ������ � ������� ��

� ������ �� ��� �� � ����������� ����� ��� � � �� � � � �� �� ����� ���� � ��� ������ �� � ������� ������ � �� �� ������� ���� �� � �����

��� �� ���� ����� ������ � �� ��������� � �� �� �����������

������ � ����� �� � ���� �� !����������� ������ � � ������ �

���� ����� ������ � �� ���� ������� � " ��� � ��� ���� �����������

�� ��� �������� ��� �� ������������ � �� �� � ������ ����

0�/ .��* ��������� �����������# $�� � !���������� %����#

&������ �

� ����������

���� ����� �� ��� ��� ����� �������� �� ����������� �� ������� ����������� ��� � ��� ��� � �����! ��" ��" �#�$ �� � ���� �� ��%�� &�� ��� ������ � � ���� &��� ��� �� ������ � � �� � ����� �' ����� � � ��������" (� �������! ��� �������� �' ���)���� ���������� ������� ��� �� � ������ � � �' � �� ������$! &�� � � � ��� � �� �' ��� ��� ��� � ���� ������ �� �" *� � ������ ���� ��� ��� �� ��� �������� ������� ����' � ��� � � � ��� �� � ���� �+�$"

� '������ �� ���� ��� �� '& ()*+�()�,�+,-+� '������ �� ���� ��� .'� !%'�(/+-**(

�������� ������� � �������� �������� �� ����� ����

*� �,�! ��� ��� -�������� ���&�� ��& �� ������� ��� �� ������ &���� ������ ������ � � '� ��� ���)���� ���������� ������! ������� ����.���� '� ����� '� ��� ��� ������� ��� ��� ������ ����� ��� �����/����� �� �������� �� � �� �����" 0�� &� %� �' 1��� ��� -���� �2� ��� ���'� ��+3� � ����� ��� ��� '� ����� �� � '� ��� ���������� �' ��� ��� ���������� ��� �' �� ��� �)��� �' ���������� �����! ��&��� ��� ���� ��������&�� ������� �� ��� �����) ��� ���� ��) ������� � ��� ��������� �' ������ ��� ��������" *� ��� ���� ! &� � ����� ����� ��� ���� ��� ��� ������ ���� '� �������� ��� ��� �� �' ��� ��� ������� ��� ��� '� ��� �� ������ ��� ��� &��� %��&� 4� ���� *��� ������� '� �������" 0�� ���)���� ��� 4���� � ���������� ������� �������) ���� � ����������� � ��� �' ��� ������ ����"

*� ������ �! �� �� ������� �� ��� 4� ���� ��� ������� '� ���� ����� �� ����� � ���" �� ���� ����� �� ��� �������� '� ������� ��������� �������� �' ��� ��� ������� ��� ��� � ����� ���� ��� ��/�������������� � � ���� �������� ���� ����)" 5� �.�������� � ��� � ������ #'� &�) ��� �������� ������ �� ���� ������ �' ��� �.���� '� ���� ��� ���� ��� ��� �" 0�� ��� ��� '� ���� '� ��� ��� ������� ��� ��� �' ��� � �� � ��� � ������ ," -��� ��� ����/��� ����������� 5�� �������� �6�$ � ���� ���������� ���� � ��� �� ��� ��� ���� �����! � ��� ���'� ���� '� ������� ��� ���� ��� ��� ��� ������� ��� ��� �' ��� � �� � � ���� �� ��� � ������ 7"

� � �� �� � �������� ��� �� ������� ���

*� ��� ������! &� �� ����� ��� &��� %��&� 4� ���� *��� ������� '� ������� �� ��� �������" 0�� ���� � �'� �� �� �7� '� ������"

4�� ��+ 8 �� � �� � � � � � ���� � �� 8 +� �� � ��� �' � 9 + ������ ���/������� ����� ��� ��$��$ �� � ��� �� 4� ���� ��� ������� ���)������' �� �� � ��� ������ ��� '������ ��$ �� ��! "�"

��$��$ 8�����

���$���$ � ���$ 8� ��$

� ����$��� ��$� �+$

&��

� ��$ 8�����

��� ��$ ��� � ���$ 8�����

������� ���

��� ��$ � ��$

���$ � � ���)����� �' �� �� � ��� ����$ 8 ��! ��$���$ 8 ���$ '� 8 3� � � � � � "

������� ��� �

0� ������� ��� : �� �� ����� �' ��� ��$ �� ��! ��� ��� �� 4� ������� ������� '� ���� �+$ � ��� ������� )����

����$���$ 8

�����

������$ 8 ��� � �#$

&�� � ��� 8 �����$" � � ��� �� 9 +$� �� 9 +$ ��� ������� ��� . ��� ��� ��� ����� &�� �� � 8 ��$���$"

*' &� ������

�� 8 � ����$ 8��

����� ���

��� � ��$ � �,$

���� ��� : �� �� ����� �' ���$ ���

����$ 8+

�� ��

�� ���$

��� ���$

�� �7$

0�� ��� �� �' ��� ��� ������� ��� . � �������

��� 8

�����

������� � ��$

�� � �8 ������ ������ � ��$

�� � 8 � �;$

&�� � ��� ������ �������� � � �������� ��� ��� 4<1������ ��� �� �7$"

��� �� �

(� �� � ����� �' � ! ������ � � &�� ���� �� � ��� ���������� �' ��� ��� ��

��� �;$ ��� �� ��� '��� ���� ��� �� �� ����� � �� � � ��� �����������

&��� ��� ���� �' ��� �=" 0� ���� ��� � �����! ��� ��� ���������� ��

�������� ��

�� 8��

����� ���

�������$� ���$�$ ���

��8 ��+$��������� � �6$

#

0�� ����� ����� �' � � &��� ��� ������ '� ������� ���������� �� ����

������� �� ��� ��� ��� ��� ���� ����� �' ��� ������� " (� �������! ���*>? -�� &�� ��� ��� ������ � ����� ��� ��� �������� �� ��������� �'� �� ��+3���$! ��� � ���� � &���� �� � ���� 7+�/;,3 '� ��� 4���� �/�����/4������ �����"

� ������ ��� �� ��� � ��� � ��������

(� ����:� �)��� �' ���������� ����� � ������ '� � '� ���� '� ��� �������������� �' ��� ��� ������� ��� . ��� �� ������� �.�����)" (� �.�����!'� ��� ���)����/�����/4������ ���������� �����! ��� ������ ��������� � ��� �)

��� 8 ���� 8���� 9 +$

;� ��� 8 �

��

��+� ���$� � 8 +� � � � � � � + �

*� ��� ������ &� ����) � �������� �� ������� ��� ������ �������� ���� �'

��� ��� ������� ��� . �' � �� �! &��� ������� �' ��'� �� ��� '��� ������� �& ��� �' ��� ��� ������� ��� ��� ���� �� �� � �;�! "�"

�����

���� 8 3 � � 8 3� � � � � � � � + � �@$

&�� � ��� ���� �� �� ��$ ������� ��� ��� ������� ��� . '� ��� � ���� �����"

( �� ���! ��� ������ ������� ���� ��� �� �������� ��

���� 8 �

������� ���

���� � � 8 3� � � � � � � � + � �2$

=�� ��� ��������! >�������� � �� ��" �@� ���&�� ���� ����) ���� ��� ������ � � �&�� '� ���)���� ���������� ������� � �' � �� �����$!&�� � � � ��� ������ �� �" -��� ������ '� ��� 4���� � ���������� ����/��� &�� ���� ���&� �) >�������� � �� ��" �� ���� ������������$" 0����* ���&� ��� �������� ��.��� � � '� ��� : �� ��� ������ �� ����� �'��$ 8 �����$ ��� ��� -����� � 4���� � ��������� �-4 $ �������! 4�/ ���� '� ������� �;$ ��� 4� ���� '� ������� �;$ &�� ��� �������������� ��� �������� ���� �� �� �2$" 5�� �� �� ��� ���� � � ����� ��

,

���� 0

�� � �� � � � ������� �� ���1*�2 ����� �����3������������ �������

� 4 , � 4 *

� 1'�"2 1)2 1)251(2 1'�"2 1)2 1)251(2

6* +�,*��,+ +�7/��,* +�77��,6 +�7)��8 +�))��,+ +�68��,+

)7 +�*8��,+ +�(-��,, +�/7��,* +�-*��/ +�*6��/ +�,+��8

,*8 +�)8��8 +�,+��( +�,)��,+ +�6)��7 +�8/��) +�-(��/

*-) +�*7��) +�,)��8 +�-7��,, +�-,��* +�*8��7 +�-,��)

-,* +�86��) +�*6��/ +�77��( +�-8��, +�*,��* +�*+��7

,+*7 +�,(��7 +�7)��) +�-7��( +�)-�9, +�/8��, +�,)��6

��� 4���� �/�����/4������ �����" *� � ���� ' �� ��� ����� ����! ������� �� �� ��� ����! ��� 4� ���� '� ������� �;$ &�� ������� �2$ � ������� ���� ��� '� ������� &��� ��� -����� � 4���� � ��������� ��������-4 $ � ��� &� ��"

0�� ����� ������� '� ��� ��� �������� � ���� ��� ��� ������� �' � ���/����� '������ ���� �� ����� �� 3" 1�&��� ! ��� ������ �' ����)� ��� '� �����2$ �� '������� ���� ���� ��� �������� ���� )�� �� �� ������" A��� ����.�� ����� &�� ���� �� ���� '������� ����� �� ����� � ��� ��� �' ��� ����/����" 5� '� �� &� %��&! �� ����'���� ) � ��' �' ��� �����) �' ��� ����������� ���� ��� � ��� ��� ��� �" 1� �! &� ����� � ����� �.�������� �' &�)��� ��& � &� %"

4��<� ��:�� � ��& '������ ����$ 8 ��$ � �� ��� �� 8 � 8 ���$ � ��������� ������� �� �" 0�� '������ ����$ ��� ��� � ��� �) ���� �����$ 8 3"

(� ���� :.�� � ��� � 8 3� � � � � � � � +! &� ����

�������$8

�����

���� �����$ 8

������� ���

���� �����$ ����� �����$ 8 3$

8��

����� ���

���� ���$�

������� ���

���� ���$

�����$8

�����

���� ���$

8��

����� ���

���� ���$ 9 �

��� ���$

7

-��� ���� ���� � �������� ' �� ��$ ���� ��� ���� �� �� ������!

��� ���$ 8 ����$ �

��� 8 �

������� ���

���� �

�����

���� 8 3 �

'� ��) '������ ��$ ������ ��� �������� '������"

0�� ��������� '� ��� �@$ � �! �����)! ��� ������� �' ������ � � ������������� '� ���� '� ������� ��� ������ �������� ��� ��� � �������'� ����"

0�� �������� �' ���� � � �� ��� �� ��� �' ����� ���.�� � 8 �� +� �� �9+"

>) ������ � 8 �! ��� ������ �������� ��� �� �������� ��� �2$" -��������$ 8 3! ��� �� � ������ � � ���� ����� ' �� ��� ������ ��������������� �� �"

1����! �� ��� �� ��� ��/������ �������� �' ��� ��� ������� ��� . � ��������� ���� ����)! ��� ������ �������� �������� ���� �� �� �2$ )�������� ������ � � � ��� ��� ������� � �����"

��� ���! � ����) ����:��! ���� ��� ��� ����� ��� ��� ��� �� �� ���'� �� ������ �' ���)����� ��� ������� �� ���&� � ��.� ������"

� ��� ���� ���! �!�� "����� �

0� ������� ��� � �� �� ����� �' ��� ��$ �� ��! ��� ��� �� 4� ������� ������� '� ���� �+$ � ��� ������� � ���� )����

����$���$ 8

�����

���� ���$ 8 ���� � �+3$

&�� � ���� 8

�� ���$" �

� � ��� �� 9+$� �� 9+$ ��� ������� ��� . �'� �� � ��� �� � ��� ����� �� � 8 ��$���$"

0�� �.� ����� � �7$ ��� �� ����) ��� ����� �� )��� � ��� ��� '� ���� '� �� ������ �' ��� � �� ! �����)

�� ��$ 8

+

�� ��

�� ���$

����

���� ��$

�� �++$

=�� ��� 4<1������ ���! � ���� )����

;

�� ���$ 8

+

����9 +$� ������$ � � ����$ 8 ���

���� ���$ � �+�$

�#� ��� � �������� � � �8

�� ���$8

+

�� � ��

�� ����$

����

���� ���$

8�

�� � ��

���

������ ���$�

���� ���$

��

(����)! ��� �;$! &� �����

���� 8 �

������ ��� � ��� � ��$

��������

�� � �8 � �+#$

0�� ��� ��� � ���������) ��� ���� �� ��� ��� �� ��� � �2!+3�! ��&��� !��� �� ����� ��� ������ ��� ��� '� ���� �' �2� � � ��� �� ���� �� ��� ������ �� �! ���� ��� � ��� ������ �������� � � ��� : �� ���� �� �� ��������!�� �� ��� � ����� �' ��� ��� ��� ��� ��� �� � ����������"

� ��� � �������� � � 8

*� � �� �� ������� ��� ������ �������� �' ��� � �� � �� �� ����� ��/� . �

��� ! ��� ����� �� ������� ��� �� 9 +$ �� �� ����� �' ��� ���)�����

� ��$ � ������� �+�$! &��� � ��� �� ���) ���% �� �� �����������" *� �+3�!��� ������ �������� � 8 � � �������� : �� ��� ���� ���� '� ��� ��/� ��� ��/������ ��������" 1� � &� � ������ ������ �� ������� �� ����� �������� ������� ��� ���� �� ��� �� �� ������ ��� �� ������� ����������� �������"

��� �� �

� 5� ���� ����� �.� ����� '� ������� ��� ������ �������� � ����)���� 8

���� �

���� �

����� �� � �2! ���" #"+#�" 0�� � ��� �� ���� ��� '� ����/

��� ���� � ������� � ����� �' '� � �%� ������$��������$

�� � � � ������� �� � ������ � � '� �� � � ��� �"

� A��� ���� ��� ��� ��� '� ���� '� ������� �� � �� ��� ���������� ��� �

��� � � � + ������� ���) ���� ���� �

����� �"

� *' ��� � ����� �� � � ��� ���)���� ������! B���� � 4������$ �����! �� ������ � �����) ������ �� ���� '� ������� ��� �� �� �� � �� �����+�$" 0�� � �� ���� ������ � � ��� �� ��� ���� ����� �' �&� ����� �&��� � � �� ) ����� �� ���� ���� "

6

� 0�� ����$/���� ��)���� ) � ��� �) �' ��� ��� ������� ��� ���

��������� 8 ��+$

���� � � 8 3� � � � �

� 8 3� � � � � �

������ ���� �� ���� &��� ��������� ���� �+�$"

$������� �

� (� � 8 +! ������� ��� �������� �' ��� : �� ��� ������� ��� . ��� ������ ��� �� ������� �) ��%� ��� �' �;$ ��� �2$"

� (� � � +! �+#$ � ���� �� ������� ��� ��/������ �������� ���� � � �8

&��� �2$ � ���� �� ������� ��� ������ �������� ���� �' ��� � �� � ��

��� ������� ��� ��� "

% &�� �!�� �� ���������� $�������

*� ��� ������! � '� ���� � �� ��� '� ��� ����) ������ ��� �� � �� ��� ������� ��� ��� �' ��� ����/��� ����������� ����$ 5�� ���&��� ��� : �� � �� ��� ������� ��� ��� �� 8 +$ ��� ��� ��� ���� ������ ���) ��������" (� � ������� �������� �' ��� ����/��� �����������5�� ���! ��� �6�"

0�� ��� 5�� ��� � �������� �' �� �� �����C

(� � 8 3� � � � � ��

� ��� ����� ��� � ���������� ��� �� ���� ���� ��� ��� ���� �� ��C

�� 8���� 9 ���$ � �� 8

���� � ���$ �

� ��� � �� �� ������ �' ���� ��� ���� � � �������� �) ������)� ����

&�� ��� ��� �� ��� �� &�� ��� �� ���� ��� �

��� ���������)! ��

��� 8

���

���

���� �� � �

�� 8

���

���

���� �� �

&�� � ���� ��� �

��� � � ������� ' �� ��� �������� ��

�� �' ��� � ������ ������� ��� ."

� ��� � � ����� ����� ' �� ��

�� � ��� ��

�� �C

�� 8 ��

�� 9 �

�� $ �

���� 8 ��+$

������ � �

�� $ �

@

�!�� �� �� ������� ��� ' ���� � ���� ���

*� ��� '����&� ��������!� � ������� �� �� �� ��� ����� " 0�� ������������ ���� �� ��� ���� �' ���� � &�� �� �������� &��� � �"

4��<� ������

� 8 � � � �� 8

�����

��

' � � ���

��� + ' � � ����

���� ��� ��� 5�� ��� )���� �&����9 +� �

�9 +

��� ������� ��� ���

�� ��� ��! &�� ��� ��

���� 8 �

��� 9 �

���

���� 8 �

��� � �

���

� � 8 3� � � � ��

� 8 3� � � � � �� � � + � �+,$

� *' � � �� ���� ����� !

��

���

8 ��

���

��

���

8 3� � 8 3� � � � �

�� � + � �+7$

0�� �� ���'� &� � &�) �' ������� ���� ��� �

��� � �� '� � ��� ��� �� �'

��� '��� ��� ������� ��� ��� ���� ��� ��� ������� �������� � -������

� ��� , ���� &�� �������� �+,$ ��� �+7$" 0�� &���� ��� � �.� � ��� ����� ����������"

0�� ���� ����� &�) � �� '� � ����� ��� ��� ��� ����) �� &�� ��� '������ ���"

"�� � 8 + �

(� ��� ��/������ �������� � � 8 3� � � � � ��

� � �8 �������� �;$ � ����

�� ������� ����� ��� �

������� ���%� ��� �' ��� '��� ���� ���� 8 ���$! ��������

�+,$ ��� �+7$ ��� ���� �� ���� �� ������� ����� ��� �

���� "

0�� ������ �������� ����� ��� �

���� ��� �� �������� ��� ��3$ ��� ��+$

���������) �� �������� ���� � ��� ������ ���� ������ �������� ����&$"

2

"�� � � + �

�� ��:��

���� 8 �

��� 9 �

��� � ��� 8 ��� � ��$

�� � ��� 8 ��� 9 ��$�� �+;$

&�� �

� 8

������

�� Æ 8

�����+ ' � 8 �

�+ ' � 8 ��

�#� ��� � �������� � � �8

( �� ������� �+#$! &� ����

���� 8 �

������ ��� � ����

�����

�� �+6$

0���! ����)� �+6$ �� ���� � �+;$! &� �����

���� 8 �

������ ��� �

�����

����� 9 ����

�����

�� �+@$

'� � 8 3� � � � � �� � 8 3� � � � � ��"

� *' � � �� ���� ����� ! ��� �� � '� � 8 ������ �� �������� ���

���� 8 �

����� ��� �

�����

����� 9 ����

�����

�� �+2$

'� � 8 ��

� 8 3� � � � � ��" �

� ��� � �������� � � 8

5��������) �� ��� �� � �� ��� ������� ��� ��� � ������ ,! ��� �������������� ��� �� ����) �������� ��� ��� � ��� ��� �' ��� �& ��� �' ������ ��� �� ��� ��"

(� �������! ��) �� ����� �' ��� ���� '������ + �������! )���� ��� � ��/� �) ���� ��� ��� �' ��� �������� �' ��) �& �' �� � ����� �� �� �! "�"! '� � 8 3� � � � � �

+3

���� 8 �

���

����� ���

���� � � � + � ��3$

0�� �������� � ��� �) '� ��� ��� .�� � ��� '��� ���� ���� �� �� ������' ��� ��� '������ � ����:��! '� � 8 3� � � � � ��

����� 8�

+

��

���

���

����� ���

����� �� � +

���

���� 8�

+

��

���

����� ���

���� �� � � + ��+$

� *' � � �� ���� ����� ! ���� 8 3 � � 8 �

�" �

��� �� �

� ������ ��� �

����� � �������� �+@$ ��� �+2$ ������ �� �������� ��� �+,$!

"�"

������ 8 �

���

����� 9�

����� $

������ 8 �

���

����� � �

����� $ �

� 0�� ��� ��� '� ������� �' ��� ��� ��� ������� ��� ��� �' � �� ����) ������� ��� ���� ���� �

����� � �

����� "

� *' � � �� ���� ����� !

� ������� �+7$ ���� �� ������ ��'� � ��� �������� ��3$ ��� ��+$ ��������� ��� ������ �������� '� ��� : �� � �� �� 8 +$ ���� ��� ���

��� ������� ��� . ����� ��� �

���� "

� ��

���

8 3 � � 8 3� � � � � ��"

� *' � � ���� ����$! ��) ��� �����$ '������ ���

8 ����

8 3 ����� ����

�����8 3 ��

����8 3$ � 8 3� � � � � �

�" �

$���(���������

0�� : �� ����� &�� ����� ��� �) ��� ����� A-( �?-/2637��2 ��� �)��� ���� �� '��� �' *����� =��� ��)" 0�� ������ ����� ���'���) ��%��&�/���� ��������� &�� D" �" >� �� ��� B" >�������� � �� ��� ���E��� �� ���� * �-51�?<2@ ���'� ����" B���� �� ����� � '� ��� ������ ����� &��� ����� �) 5(�-B 2;�3/2;/+/3+73"

++

���������

�+� �� �� ��� ��� � ���������! ������� ��� ���� �� ������������ �������� ����������� ���������! -*5? D" -�" ���! �)! A�" ;! ��"+�7#/+�;@! +227

��� �� ������ ��� �� ������! �������� ������ �� ������� �����C!���� ��� �����������! -*5?! ����������! +266"

�#� �� ������� � ����������� �� �� �������� ��� �� ����! ������� ����� �� "���� �������! -� �� /F� ��! A�& G� %! +2@@"

�,� �� �� ��� ��� � ���������! ������� #���������� �� $����%�������� ���� �������� ����������� ��� � ������ !�����&��!-*5?! D�� ��� �' -����:� ������! �*! A�" ,! +226

�7� �" D" ���� '����������� ��� ����(�������! ���� ���������� *��"�+267$

�;� � �!���� � ���� ��� � "� ���#�$�#!! )������ #� ����������� %�������� ���� ��� �������� %������������ ���(! D" ���" ��)" ��)! ��" #@3/#@# �+227$

�6� � ���������! � ��� �������� �� ������ �������������! D" ��/���" ��)�" +*! ��" +6,H+66 �+22�$

�@� %� �����&����� ��� "� '� �����! !�� �� �� �������������� ����������� ������������� ������ �� �������� *�� +�����������! =��� �I� �� ( ��� �-����$! *������ �� ?���I�������� �+226$

�2� �� ����� ��� �� �� ����! !�� ����������� ������ �� ���������������� ���������� ������! D" ���" ��)" ���! ��" #22/,32 �+22,$

�+3� � �� ������! *�������� �� ����������� ������������� ������'! -*5? D" A��� " 5���" ��! ��" +;,3/+;76 �+226$

+�