Normalização de Noether
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Preliminares Normaliza¸c˜ ao de Noether Normaliza¸c˜ ao de Noether Hugo Santos Nunes Universidade Federal de Alagoas - UFAL Apresenta¸ c˜ ao Hugo Nunes UFAL Normaliza¸c˜ ao de Noether
Transcript of Normalização de Noether
Preliminares Normalizacao de Noether
Normalizacao de Noether
Hugo Santos Nunes
Universidade Federal de Alagoas - UFAL
Apresentacao
Hugo Nunes UFAL
Normalizacao de Noether
Preliminares Normalizacao de Noether
Definicoes importantes
Definicoes Importantes
Primeiramente vamos falar um pouco sobre Modulo sobre um anel e ElementosInteiros.
Modulo sobre um anel
Seja M um conjunto e A um anel comutativo com unidade. Assim, (M,A) e ummodulo se dado x , y , z ∈ M, (M,+) e um grupo abeliano.
x + y ∈ M
x + (y + z) = (x + y) + z
x + y = y + x
∃0 ∈ M, x + 0 = x
∀x ∃ − x | x + (−x) = 0
Em M temos uma nocao de multiplicacao por elementos de A. Assim ∀a, b ∈ A,∀x , y ∈ M:
ax ∈ M
(a + b)x = ax + bx
a(x + y) = ax + ay
1A · x = x
a(bx) = (ab)x
Hugo Nunes UFAL
Normalizacao de Noether
Preliminares Normalizacao de Noether
Definicoes importantes
Definicoes Importantes
Primeiramente vamos falar um pouco sobre Modulo sobre um anel e ElementosInteiros.
Modulo sobre um anel
Seja M um conjunto e A um anel comutativo com unidade. Assim, (M,A) e ummodulo se dado x , y , z ∈ M, (M,+) e um grupo abeliano.
x + y ∈ M
x + (y + z) = (x + y) + z
x + y = y + x
∃0 ∈ M, x + 0 = x
∀x ∃ − x | x + (−x) = 0
Em M temos uma nocao de multiplicacao por elementos de A. Assim ∀a, b ∈ A,∀x , y ∈ M:
ax ∈ M
(a + b)x = ax + bx
a(x + y) = ax + ay
1A · x = x
a(bx) = (ab)x
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Preliminares Normalizacao de Noether
Definicoes importantes
Definicoes Importantes
Primeiramente vamos falar um pouco sobre Modulo sobre um anel e ElementosInteiros.
Modulo sobre um anel
Seja M um conjunto e A um anel comutativo com unidade. Assim, (M,A) e ummodulo se dado x , y , z ∈ M, (M,+) e um grupo abeliano.
x + y ∈ M
x + (y + z) = (x + y) + z
x + y = y + x
∃0 ∈ M, x + 0 = x
∀x ∃ − x | x + (−x) = 0
Em M temos uma nocao de multiplicacao por elementos de A. Assim ∀a, b ∈ A,∀x , y ∈ M:
ax ∈ M
(a + b)x = ax + bx
a(x + y) = ax + ay
1A · x = x
a(bx) = (ab)x
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Definicoes importantes
Definicoes Importantes
Primeiramente vamos falar um pouco sobre Modulo sobre um anel e ElementosInteiros.
Modulo sobre um anel
Seja M um conjunto e A um anel comutativo com unidade. Assim, (M,A) e ummodulo se dado x , y , z ∈ M, (M,+) e um grupo abeliano.
x + y ∈ M
x + (y + z) = (x + y) + z
x + y = y + x
∃0 ∈ M, x + 0 = x
∀x ∃ − x | x + (−x) = 0
Em M temos uma nocao de multiplicacao por elementos de A. Assim ∀a, b ∈ A,∀x , y ∈ M:
ax ∈ M
(a + b)x = ax + bx
a(x + y) = ax + ay
1A · x = x
a(bx) = (ab)x
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Primeiramente vamos falar um pouco sobre Modulo sobre um anel e ElementosInteiros.
Modulo sobre um anel
Seja M um conjunto e A um anel comutativo com unidade. Assim, (M,A) e ummodulo se dado x , y , z ∈ M, (M,+) e um grupo abeliano.
x + y ∈ M
x + (y + z) = (x + y) + z
x + y = y + x
∃0 ∈ M, x + 0 = x
∀x ∃ − x | x + (−x) = 0
Em M temos uma nocao de multiplicacao por elementos de A. Assim ∀a, b ∈ A,∀x , y ∈ M:
ax ∈ M
(a + b)x = ax + bx
a(x + y) = ax + ay
1A · x = x
a(bx) = (ab)x
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Primeiramente vamos falar um pouco sobre Modulo sobre um anel e ElementosInteiros.
Modulo sobre um anel
Seja M um conjunto e A um anel comutativo com unidade. Assim, (M,A) e ummodulo se dado x , y , z ∈ M, (M,+) e um grupo abeliano.
x + y ∈ M
x + (y + z) = (x + y) + z
x + y = y + x
∃0 ∈ M, x + 0 = x
∀x ∃ − x | x + (−x) = 0
Em M temos uma nocao de multiplicacao por elementos de A. Assim ∀a, b ∈ A,∀x , y ∈ M:
ax ∈ M
(a + b)x = ax + bx
a(x + y) = ax + ay
1A · x = x
a(bx) = (ab)x
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Primeiramente vamos falar um pouco sobre Modulo sobre um anel e ElementosInteiros.
Modulo sobre um anel
Seja M um conjunto e A um anel comutativo com unidade. Assim, (M,A) e ummodulo se dado x , y , z ∈ M, (M,+) e um grupo abeliano.
x + y ∈ M
x + (y + z) = (x + y) + z
x + y = y + x
∃0 ∈ M, x + 0 = x
∀x ∃ − x | x + (−x) = 0
Em M temos uma nocao de multiplicacao por elementos de A. Assim ∀a, b ∈ A,∀x , y ∈ M:
ax ∈ M
(a + b)x = ax + bx
a(x + y) = ax + ay
1A · x = x
a(bx) = (ab)x
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Primeiramente vamos falar um pouco sobre Modulo sobre um anel e ElementosInteiros.
Modulo sobre um anel
Seja M um conjunto e A um anel comutativo com unidade. Assim, (M,A) e ummodulo se dado x , y , z ∈ M, (M,+) e um grupo abeliano.
x + y ∈ M
x + (y + z) = (x + y) + z
x + y = y + x
∃0 ∈ M, x + 0 = x
∀x ∃ − x | x + (−x) = 0
Em M temos uma nocao de multiplicacao por elementos de A. Assim ∀a, b ∈ A,∀x , y ∈ M:
ax ∈ M
(a + b)x = ax + bx
a(x + y) = ax + ay
1A · x = x
a(bx) = (ab)x
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Primeiramente vamos falar um pouco sobre Modulo sobre um anel e ElementosInteiros.
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Seja M um conjunto e A um anel comutativo com unidade. Assim, (M,A) e ummodulo se dado x , y , z ∈ M, (M,+) e um grupo abeliano.
x + y ∈ M
x + (y + z) = (x + y) + z
x + y = y + x
∃0 ∈ M, x + 0 = x
∀x ∃ − x | x + (−x) = 0
Em M temos uma nocao de multiplicacao por elementos de A. Assim ∀a, b ∈ A,∀x , y ∈ M:
ax ∈ M
(a + b)x = ax + bx
a(x + y) = ax + ay
1A · x = x
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Primeiramente vamos falar um pouco sobre Modulo sobre um anel e ElementosInteiros.
Modulo sobre um anel
Seja M um conjunto e A um anel comutativo com unidade. Assim, (M,A) e ummodulo se dado x , y , z ∈ M, (M,+) e um grupo abeliano.
x + y ∈ M
x + (y + z) = (x + y) + z
x + y = y + x
∃0 ∈ M, x + 0 = x
∀x ∃ − x | x + (−x) = 0
Em M temos uma nocao de multiplicacao por elementos de A. Assim ∀a, b ∈ A,∀x , y ∈ M:
ax ∈ M
(a + b)x = ax + bx
a(x + y) = ax + ay
1A · x = x
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Primeiramente vamos falar um pouco sobre Modulo sobre um anel e ElementosInteiros.
Modulo sobre um anel
Seja M um conjunto e A um anel comutativo com unidade. Assim, (M,A) e ummodulo se dado x , y , z ∈ M, (M,+) e um grupo abeliano.
x + y ∈ M
x + (y + z) = (x + y) + z
x + y = y + x
∃0 ∈ M, x + 0 = x
∀x ∃ − x | x + (−x) = 0
Em M temos uma nocao de multiplicacao por elementos de A. Assim ∀a, b ∈ A,∀x , y ∈ M:
ax ∈ M
(a + b)x = ax + bx
a(x + y) = ax + ay
1A · x = x
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Primeiramente vamos falar um pouco sobre Modulo sobre um anel e ElementosInteiros.
Modulo sobre um anel
Seja M um conjunto e A um anel comutativo com unidade. Assim, (M,A) e ummodulo se dado x , y , z ∈ M, (M,+) e um grupo abeliano.
x + y ∈ M
x + (y + z) = (x + y) + z
x + y = y + x
∃0 ∈ M, x + 0 = x
∀x ∃ − x | x + (−x) = 0
Em M temos uma nocao de multiplicacao por elementos de A. Assim ∀a, b ∈ A,∀x , y ∈ M:
ax ∈ M
(a + b)x = ax + bx
a(x + y) = ax + ay
1A · x = x
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Primeiramente vamos falar um pouco sobre Modulo sobre um anel e ElementosInteiros.
Modulo sobre um anel
Seja M um conjunto e A um anel comutativo com unidade. Assim, (M,A) e ummodulo se dado x , y , z ∈ M, (M,+) e um grupo abeliano.
x + y ∈ M
x + (y + z) = (x + y) + z
x + y = y + x
∃0 ∈ M, x + 0 = x
∀x ∃ − x | x + (−x) = 0
Em M temos uma nocao de multiplicacao por elementos de A. Assim ∀a, b ∈ A,∀x , y ∈ M:
ax ∈ M
(a + b)x = ax + bx
a(x + y) = ax + ay
1A · x = x
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Definicoes Importantes
Definicoes Importantes
Exemplo:
1 K [x1, · · · , xn]
2 A[x1, · · · , xn]
3 Todo espaco vetorial para um modulo
Desta forma, M e um modulo sobre A ou A-modulo. Dizemos que M e finitamentegerado sobre A se ∃x1, · · · , xn ∈ M com ∀y ∈ M
y = a1x1 + · · ·+ anxn
Elementos Inteiros
Sejam R ⊆ S (R subanel de S) dois aneis. Um elemento a ∈ S e dito inteiro sobre Rse existe um polinomio monico nao-nulo p(x) ∈ R[X ] tal que p(a) = 0. Dizemos queS e inteiro sobre R se todo elemento de S for inteiro sobre R.
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Exemplo:
1 K [x1, · · · , xn]
2 A[x1, · · · , xn]
3 Todo espaco vetorial para um modulo
Desta forma, M e um modulo sobre A ou A-modulo. Dizemos que M e finitamentegerado sobre A se ∃x1, · · · , xn ∈ M com ∀y ∈ M
y = a1x1 + · · ·+ anxn
Elementos Inteiros
Sejam R ⊆ S (R subanel de S) dois aneis. Um elemento a ∈ S e dito inteiro sobre Rse existe um polinomio monico nao-nulo p(x) ∈ R[X ] tal que p(a) = 0. Dizemos queS e inteiro sobre R se todo elemento de S for inteiro sobre R.
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Exemplo:
1 K [x1, · · · , xn]
2 A[x1, · · · , xn]
3 Todo espaco vetorial para um modulo
Desta forma, M e um modulo sobre A ou A-modulo. Dizemos que M e finitamentegerado sobre A se ∃x1, · · · , xn ∈ M com ∀y ∈ M
y = a1x1 + · · ·+ anxn
Elementos Inteiros
Sejam R ⊆ S (R subanel de S) dois aneis. Um elemento a ∈ S e dito inteiro sobre Rse existe um polinomio monico nao-nulo p(x) ∈ R[X ] tal que p(a) = 0. Dizemos queS e inteiro sobre R se todo elemento de S for inteiro sobre R.
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Exemplo:
1 K [x1, · · · , xn]
2 A[x1, · · · , xn]
3 Todo espaco vetorial para um modulo
Desta forma, M e um modulo sobre A ou A-modulo.
Dizemos que M e finitamentegerado sobre A se ∃x1, · · · , xn ∈ M com ∀y ∈ M
y = a1x1 + · · ·+ anxn
Elementos Inteiros
Sejam R ⊆ S (R subanel de S) dois aneis. Um elemento a ∈ S e dito inteiro sobre Rse existe um polinomio monico nao-nulo p(x) ∈ R[X ] tal que p(a) = 0. Dizemos queS e inteiro sobre R se todo elemento de S for inteiro sobre R.
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Exemplo:
1 K [x1, · · · , xn]
2 A[x1, · · · , xn]
3 Todo espaco vetorial para um modulo
Desta forma, M e um modulo sobre A ou A-modulo. Dizemos que M e finitamentegerado sobre A se ∃x1, · · · , xn ∈ M com ∀y ∈ M
y = a1x1 + · · ·+ anxn
Elementos Inteiros
Sejam R ⊆ S (R subanel de S) dois aneis. Um elemento a ∈ S e dito inteiro sobre Rse existe um polinomio monico nao-nulo p(x) ∈ R[X ] tal que p(a) = 0. Dizemos queS e inteiro sobre R se todo elemento de S for inteiro sobre R.
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Exemplo:
1 K [x1, · · · , xn]
2 A[x1, · · · , xn]
3 Todo espaco vetorial para um modulo
Desta forma, M e um modulo sobre A ou A-modulo. Dizemos que M e finitamentegerado sobre A se ∃x1, · · · , xn ∈ M com ∀y ∈ M
y = a1x1 + · · ·+ anxn
Elementos Inteiros
Sejam R ⊆ S (R subanel de S) dois aneis.
Um elemento a ∈ S e dito inteiro sobre Rse existe um polinomio monico nao-nulo p(x) ∈ R[X ] tal que p(a) = 0. Dizemos queS e inteiro sobre R se todo elemento de S for inteiro sobre R.
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Exemplo:
1 K [x1, · · · , xn]
2 A[x1, · · · , xn]
3 Todo espaco vetorial para um modulo
Desta forma, M e um modulo sobre A ou A-modulo. Dizemos que M e finitamentegerado sobre A se ∃x1, · · · , xn ∈ M com ∀y ∈ M
y = a1x1 + · · ·+ anxn
Elementos Inteiros
Sejam R ⊆ S (R subanel de S) dois aneis. Um elemento a ∈ S e dito inteiro sobre Rse existe um polinomio monico nao-nulo p(x) ∈ R[X ] tal que p(a) = 0.
Dizemos queS e inteiro sobre R se todo elemento de S for inteiro sobre R.
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Exemplo:
1 K [x1, · · · , xn]
2 A[x1, · · · , xn]
3 Todo espaco vetorial para um modulo
Desta forma, M e um modulo sobre A ou A-modulo. Dizemos que M e finitamentegerado sobre A se ∃x1, · · · , xn ∈ M com ∀y ∈ M
y = a1x1 + · · ·+ anxn
Elementos Inteiros
Sejam R ⊆ S (R subanel de S) dois aneis. Um elemento a ∈ S e dito inteiro sobre Rse existe um polinomio monico nao-nulo p(x) ∈ R[X ] tal que p(a) = 0. Dizemos queS e inteiro sobre R se todo elemento de S for inteiro sobre R.
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Definicoes importantes
Definicoes Importantes
Definicoes Importantes
O grau de transcendencia de uma extensao de corpo L|K e uma certa medidabastante grosseira do tamanho da extensao. Especificamente, ele define a maiorcardinalidade de um subconjunto algebricamente independente de L sobre K .
Dizemos que x1, · · · , xn ∈ L sao algebricamente dependentes se existir umpolinomio nao constante tal que f (x1, · · · , xn) = 0.
Se x1, · · · , xn sao algebricamente independentes, o subanel k[x1, · · · , xn] queeles geram sobre k e isomorfo ao anel de polinomios em n variaveis.
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O grau de transcendencia de uma extensao de corpo L|K e uma certa medidabastante grosseira do tamanho da extensao. Especificamente, ele define a maiorcardinalidade de um subconjunto algebricamente independente de L sobre K .
Dizemos que x1, · · · , xn ∈ L sao algebricamente dependentes se existir umpolinomio nao constante tal que f (x1, · · · , xn) = 0.
Se x1, · · · , xn sao algebricamente independentes, o subanel k[x1, · · · , xn] queeles geram sobre k e isomorfo ao anel de polinomios em n variaveis.
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O grau de transcendencia de uma extensao de corpo L|K e uma certa medidabastante grosseira do tamanho da extensao. Especificamente, ele define a maiorcardinalidade de um subconjunto algebricamente independente de L sobre K .
Dizemos que x1, · · · , xn ∈ L sao algebricamente dependentes se existir umpolinomio nao constante tal que f (x1, · · · , xn) = 0.
Se x1, · · · , xn sao algebricamente independentes, o subanel k[x1, · · · , xn] queeles geram sobre k e isomorfo ao anel de polinomios em n variaveis.
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Normalizacao de Noether:
Seja R um domınio de integridade, finitamente gerado sobre um corpo k.
Se R temum grau de transcendencia n sobre k, entao existe elementos x1, · · · , xn ∈ R,algebricamente independentes sobre k, tais que R e integralmente independente nosubanel k[x1, · · · , xn] gerada pelos x ′s.
R e um domınio finitamente gerado sobre K e o grau de transcendencia de R sobre Ke n. Existem x1, · · · xn ∈ R algebricamente independentes sobre K tal queR|K [x1, · · · , xn] e inteira.
OBS: K [Y1, · · · ,Ym]ψ−→ K [x1, · · · , xn], Kerψ = 0. Temos que K [x1, · · · , xn] e
isomorfo a um anel de polinomios em n variaveis.
Prova: ∃m y1, · · · , ym ∈ R que geram R sobre K . Tome o homomorfismo:
K [y1, · · · , yn]ψ−→ R
y1 7−→ yi
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Normalizacao de Noether:
Seja R um domınio de integridade, finitamente gerado sobre um corpo k. Se R temum grau de transcendencia n sobre k, entao existe elementos x1, · · · , xn ∈ R,algebricamente independentes sobre k, tais que R e integralmente independente nosubanel k[x1, · · · , xn] gerada pelos x ′s.
R e um domınio finitamente gerado sobre K e o grau de transcendencia de R sobre Ke n. Existem x1, · · · xn ∈ R algebricamente independentes sobre K tal queR|K [x1, · · · , xn] e inteira.
OBS: K [Y1, · · · ,Ym]ψ−→ K [x1, · · · , xn], Kerψ = 0. Temos que K [x1, · · · , xn] e
isomorfo a um anel de polinomios em n variaveis.
Prova: ∃m y1, · · · , ym ∈ R que geram R sobre K . Tome o homomorfismo:
K [y1, · · · , yn]ψ−→ R
y1 7−→ yi
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Seja R um domınio de integridade, finitamente gerado sobre um corpo k. Se R temum grau de transcendencia n sobre k, entao existe elementos x1, · · · , xn ∈ R,algebricamente independentes sobre k, tais que R e integralmente independente nosubanel k[x1, · · · , xn] gerada pelos x ′s.
R e um domınio finitamente gerado sobre K e o grau de transcendencia de R sobre Ke n. Existem x1, · · · xn ∈ R algebricamente independentes sobre K tal queR|K [x1, · · · , xn] e inteira.
OBS: K [Y1, · · · ,Ym]ψ−→ K [x1, · · · , xn], Kerψ = 0. Temos que K [x1, · · · , xn] e
isomorfo a um anel de polinomios em n variaveis.
Prova: ∃m y1, · · · , ym ∈ R que geram R sobre K . Tome o homomorfismo:
K [y1, · · · , yn]ψ−→ R
y1 7−→ yi
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Seja R um domınio de integridade, finitamente gerado sobre um corpo k. Se R temum grau de transcendencia n sobre k, entao existe elementos x1, · · · , xn ∈ R,algebricamente independentes sobre k, tais que R e integralmente independente nosubanel k[x1, · · · , xn] gerada pelos x ′s.
R e um domınio finitamente gerado sobre K e o grau de transcendencia de R sobre Ke n. Existem x1, · · · xn ∈ R algebricamente independentes sobre K tal queR|K [x1, · · · , xn] e inteira.
OBS: K [Y1, · · · ,Ym]ψ−→ K [x1, · · · , xn], Kerψ = 0. Temos que K [x1, · · · , xn] e
isomorfo a um anel de polinomios em n variaveis.
Prova: ∃m y1, · · · , ym ∈ R que geram R sobre K . Tome o homomorfismo:
K [y1, · · · , yn]ψ−→ R
y1 7−→ yi
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Seja R um domınio de integridade, finitamente gerado sobre um corpo k. Se R temum grau de transcendencia n sobre k, entao existe elementos x1, · · · , xn ∈ R,algebricamente independentes sobre k, tais que R e integralmente independente nosubanel k[x1, · · · , xn] gerada pelos x ′s.
R e um domınio finitamente gerado sobre K e o grau de transcendencia de R sobre Ke n. Existem x1, · · · xn ∈ R algebricamente independentes sobre K tal queR|K [x1, · · · , xn] e inteira.
OBS: K [Y1, · · · ,Ym]ψ−→ K [x1, · · · , xn], Kerψ = 0. Temos que K [x1, · · · , xn] e
isomorfo a um anel de polinomios em n variaveis.
Prova: ∃m y1, · · · , ym ∈ R que geram R sobre K .
Tome o homomorfismo:
K [y1, · · · , yn]ψ−→ R
y1 7−→ yi
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Seja R um domınio de integridade, finitamente gerado sobre um corpo k. Se R temum grau de transcendencia n sobre k, entao existe elementos x1, · · · , xn ∈ R,algebricamente independentes sobre k, tais que R e integralmente independente nosubanel k[x1, · · · , xn] gerada pelos x ′s.
R e um domınio finitamente gerado sobre K e o grau de transcendencia de R sobre Ke n. Existem x1, · · · xn ∈ R algebricamente independentes sobre K tal queR|K [x1, · · · , xn] e inteira.
OBS: K [Y1, · · · ,Ym]ψ−→ K [x1, · · · , xn], Kerψ = 0. Temos que K [x1, · · · , xn] e
isomorfo a um anel de polinomios em n variaveis.
Prova: ∃m y1, · · · , ym ∈ R que geram R sobre K . Tome o homomorfismo:
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Temos que ψ e sobrejetivo, logo ∃P = Kerψ ideal de K [y1, · · · , yn] tal que
R ∼=K [y1, · · · , yn]
P,
P ideal primo. Note que m ≥ n.
1o caso: m = n
Se m = n os Y ′i s em R devem ser algebricamente independentes, entao P = (0) e
assim, tome xi = Yi donde R = K [x1, · · · , xn]
2o caso: m > n
Segue por inducao em m. Basta mostra que existe um subanel S ⊆ R gerado porm − 1 elementos tal que R|S e inteiro, pois como R|S e inteira, S e gerado por m − 1elementos e o deg tr(S |K) = n. Logo, podemos aplicar a hıpotese de inducao emS |K . Assim, existem x1, · · · , xn ∈ S tal que S|K [x1, · · · , xn] inteiro.
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Normalizacao de Noether
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Temos que ψ e sobrejetivo, logo ∃P = Kerψ ideal de K [y1, · · · , yn] tal que
R ∼=K [y1, · · · , yn]
P,
P ideal primo.
Note que m ≥ n.
1o caso: m = n
Se m = n os Y ′i s em R devem ser algebricamente independentes, entao P = (0) e
assim, tome xi = Yi donde R = K [x1, · · · , xn]
2o caso: m > n
Segue por inducao em m. Basta mostra que existe um subanel S ⊆ R gerado porm − 1 elementos tal que R|S e inteiro, pois como R|S e inteira, S e gerado por m − 1elementos e o deg tr(S |K) = n. Logo, podemos aplicar a hıpotese de inducao emS |K . Assim, existem x1, · · · , xn ∈ S tal que S|K [x1, · · · , xn] inteiro.
Hugo Nunes UFAL
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Preliminares Normalizacao de Noether
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Temos que ψ e sobrejetivo, logo ∃P = Kerψ ideal de K [y1, · · · , yn] tal que
R ∼=K [y1, · · · , yn]
P,
P ideal primo. Note que m ≥ n.
1o caso: m = n
Se m = n os Y ′i s em R devem ser algebricamente independentes, entao P = (0) e
assim, tome xi = Yi donde R = K [x1, · · · , xn]
2o caso: m > n
Segue por inducao em m. Basta mostra que existe um subanel S ⊆ R gerado porm − 1 elementos tal que R|S e inteiro, pois como R|S e inteira, S e gerado por m − 1elementos e o deg tr(S |K) = n. Logo, podemos aplicar a hıpotese de inducao emS |K . Assim, existem x1, · · · , xn ∈ S tal que S|K [x1, · · · , xn] inteiro.
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Temos que ψ e sobrejetivo, logo ∃P = Kerψ ideal de K [y1, · · · , yn] tal que
R ∼=K [y1, · · · , yn]
P,
P ideal primo. Note que m ≥ n.
1o caso: m = n
Se m = n os Y ′i s em R devem ser algebricamente independentes, entao P = (0) e
assim, tome xi = Yi donde R = K [x1, · · · , xn]
2o caso: m > n
Segue por inducao em m. Basta mostra que existe um subanel S ⊆ R gerado porm − 1 elementos tal que R|S e inteiro, pois como R|S e inteira, S e gerado por m − 1elementos e o deg tr(S |K) = n. Logo, podemos aplicar a hıpotese de inducao emS |K . Assim, existem x1, · · · , xn ∈ S tal que S|K [x1, · · · , xn] inteiro.
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R ∼=K [y1, · · · , yn]
P,
P ideal primo. Note que m ≥ n.
1o caso: m = n
Se m = n os Y ′i s em R devem ser algebricamente independentes, entao P = (0) e
assim, tome xi = Yi donde R = K [x1, · · · , xn]
2o caso: m > n
Segue por inducao em m. Basta mostra que existe um subanel S ⊆ R gerado porm − 1 elementos tal que R|S e inteiro, pois como R|S e inteira, S e gerado por m − 1elementos e o deg tr(S |K) = n. Logo, podemos aplicar a hıpotese de inducao emS |K . Assim, existem x1, · · · , xn ∈ S tal que S|K [x1, · · · , xn] inteiro.
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Temos que ψ e sobrejetivo, logo ∃P = Kerψ ideal de K [y1, · · · , yn] tal que
R ∼=K [y1, · · · , yn]
P,
P ideal primo. Note que m ≥ n.
1o caso: m = n
Se m = n os Y ′i s em R devem ser algebricamente independentes, entao P = (0) e
assim, tome xi = Yi donde R = K [x1, · · · , xn]
2o caso: m > n
Segue por inducao em m. Basta mostra que existe um subanel S ⊆ R gerado porm − 1 elementos tal que R|S e inteiro, pois como R|S e inteira, S e gerado por m − 1elementos e o deg tr(S |K) = n. Logo, podemos aplicar a hıpotese de inducao emS |K . Assim, existem x1, · · · , xn ∈ S tal que S|K [x1, · · · , xn] inteiro.
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R ∼=K [y1, · · · , yn]
P,
P ideal primo. Note que m ≥ n.
1o caso: m = n
Se m = n os Y ′i s em R devem ser algebricamente independentes, entao P = (0) e
assim, tome xi = Yi donde R = K [x1, · · · , xn]
2o caso: m > n
Segue por inducao em m.
Basta mostra que existe um subanel S ⊆ R gerado porm − 1 elementos tal que R|S e inteiro, pois como R|S e inteira, S e gerado por m − 1elementos e o deg tr(S |K) = n. Logo, podemos aplicar a hıpotese de inducao emS |K . Assim, existem x1, · · · , xn ∈ S tal que S|K [x1, · · · , xn] inteiro.
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R ∼=K [y1, · · · , yn]
P,
P ideal primo. Note que m ≥ n.
1o caso: m = n
Se m = n os Y ′i s em R devem ser algebricamente independentes, entao P = (0) e
assim, tome xi = Yi donde R = K [x1, · · · , xn]
2o caso: m > n
Segue por inducao em m. Basta mostra que existe um subanel S ⊆ R gerado porm − 1 elementos tal que R|S e inteiro, pois como R|S e inteira, S e gerado por m − 1elementos e o deg tr(S |K) = n.
Logo, podemos aplicar a hıpotese de inducao emS |K . Assim, existem x1, · · · , xn ∈ S tal que S|K [x1, · · · , xn] inteiro.
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Temos que ψ e sobrejetivo, logo ∃P = Kerψ ideal de K [y1, · · · , yn] tal que
R ∼=K [y1, · · · , yn]
P,
P ideal primo. Note que m ≥ n.
1o caso: m = n
Se m = n os Y ′i s em R devem ser algebricamente independentes, entao P = (0) e
assim, tome xi = Yi donde R = K [x1, · · · , xn]
2o caso: m > n
Segue por inducao em m. Basta mostra que existe um subanel S ⊆ R gerado porm − 1 elementos tal que R|S e inteiro, pois como R|S e inteira, S e gerado por m − 1elementos e o deg tr(S |K) = n. Logo, podemos aplicar a hıpotese de inducao emS |K .
Assim, existem x1, · · · , xn ∈ S tal que S|K [x1, · · · , xn] inteiro.
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R ∼=K [y1, · · · , yn]
P,
P ideal primo. Note que m ≥ n.
1o caso: m = n
Se m = n os Y ′i s em R devem ser algebricamente independentes, entao P = (0) e
assim, tome xi = Yi donde R = K [x1, · · · , xn]
2o caso: m > n
Segue por inducao em m. Basta mostra que existe um subanel S ⊆ R gerado porm − 1 elementos tal que R|S e inteiro, pois como R|S e inteira, S e gerado por m − 1elementos e o deg tr(S |K) = n. Logo, podemos aplicar a hıpotese de inducao emS |K . Assim, existem x1, · · · , xn ∈ S tal que S|K [x1, · · · , xn] inteiro.
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Temos que ψ e sobrejetivo, logo ∃P = Kerψ ideal de K [y1, · · · , yn] tal que
R ∼=K [y1, · · · , yn]
P,
P ideal primo. Note que m ≥ n.
1o caso: m = n
Se m = n os Y ′i s em R devem ser algebricamente independentes, entao P = (0) e
assim, tome xi = Yi donde R = K [x1, · · · , xn]
2o caso: m > n
Segue por inducao em m. Basta mostra que existe um subanel S ⊆ R gerado porm − 1 elementos tal que R|S e inteiro, pois como R|S e inteira, S e gerado por m − 1elementos e o deg tr(S |K) = n. Logo, podemos aplicar a hıpotese de inducao emS |K . Assim, existem x1, · · · , xn ∈ S tal que S|K [x1, · · · , xn] inteiro.
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Prova: Como m > n, existe f ∈ K [Y1, · · · ,Ym] tal que f (y1, · · · , ym) = 0, ondeYi = yi .
Temos que R e gerado por y1, · · · , ym. Tome:
z2 = y2 − y r21
z3 = y3 − y r31
...
zm = ym − y rm1
Assim, ∃f 6= 0 tal que f (y1, · · · , ym) = 0, com
f =∑
aI ybII ,
onde aI ∈ K , yI = y1, · · · ym e bI = (b1, · · · , bm).
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Prova: Como m > n, existe f ∈ K [Y1, · · · ,Ym] tal que f (y1, · · · , ym) = 0, ondeYi = yi . Temos que R e gerado por y1, · · · , ym.
Tome:
z2 = y2 − y r21
z3 = y3 − y r31
...
zm = ym − y rm1
Assim, ∃f 6= 0 tal que f (y1, · · · , ym) = 0, com
f =∑
aI ybII ,
onde aI ∈ K , yI = y1, · · · ym e bI = (b1, · · · , bm).
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Prova: Como m > n, existe f ∈ K [Y1, · · · ,Ym] tal que f (y1, · · · , ym) = 0, ondeYi = yi . Temos que R e gerado por y1, · · · , ym. Tome:
z2 = y2 − y r21
z3 = y3 − y r31
...
zm = ym − y rm1
Assim, ∃f 6= 0 tal que f (y1, · · · , ym) = 0, com
f =∑
aI ybII ,
onde aI ∈ K , yI = y1, · · · ym e bI = (b1, · · · , bm).
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Prova: Como m > n, existe f ∈ K [Y1, · · · ,Ym] tal que f (y1, · · · , ym) = 0, ondeYi = yi . Temos que R e gerado por y1, · · · , ym. Tome:
z2 = y2 − y r21
z3 = y3 − y r31
...
zm = ym − y rm1
Assim, ∃f 6= 0 tal que f (y1, · · · , ym) = 0, com
f =∑
aI ybII ,
onde aI ∈ K , yI = y1, · · · ym e bI = (b1, · · · , bm).
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Prova: Como m > n, existe f ∈ K [Y1, · · · ,Ym] tal que f (y1, · · · , ym) = 0, ondeYi = yi . Temos que R e gerado por y1, · · · , ym. Tome:
z2 = y2 − y r21
z3 = y3 − y r31
...
zm = ym − y rm1
Assim, ∃f 6= 0 tal que f (y1, · · · , ym) = 0, com
f =∑
aI ybII ,
onde aI ∈ K , yI = y1, · · · ym e bI = (b1, · · · , bm).
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Exemplo: Seja
y1y32 y4
3 = y1(z1 + y r21 )3(z3 + y r3
1 )4 e y1y2y53 = y1(z1 + y r2
1 )(z3 + y r31 )5
Assim, podemos representar da forma
y1+3r2+4r31 e y1+r2+5r3
1 (+ grau menor)
Olhando para
f (Y1,Z2 + Y r21 , · · · ,Zm + Y rm
1 ) =∑finita
aI Y b11 (Z2 + Y r2
1 )b2 · · · (Zm + Y rm1 )bm
Isso implica que a equacao f (y1, z2 + y r21 , · · · , zm + y rm
1 ) = 0, entao y1 e integralmentedependente em k[x2, · · · , xm], assim y2, · · · , ym tambem o e. Portanto R eintegralmente dependente no subanel S = K [x2, · · · , xm]. �
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y1y32 y4
3 = y1(z1 + y r21 )3(z3 + y r3
1 )4 e y1y2y53 = y1(z1 + y r2
1 )(z3 + y r31 )5
Assim, podemos representar da forma
y1+3r2+4r31 e y1+r2+5r3
1 (+ grau menor)
Olhando para
f (Y1,Z2 + Y r21 , · · · ,Zm + Y rm
1 ) =∑finita
aI Y b11 (Z2 + Y r2
1 )b2 · · · (Zm + Y rm1 )bm
Isso implica que a equacao f (y1, z2 + y r21 , · · · , zm + y rm
1 ) = 0, entao y1 e integralmentedependente em k[x2, · · · , xm], assim y2, · · · , ym tambem o e. Portanto R eintegralmente dependente no subanel S = K [x2, · · · , xm]. �
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3 = y1(z1 + y r21 )3(z3 + y r3
1 )4 e y1y2y53 = y1(z1 + y r2
1 )(z3 + y r31 )5
Assim, podemos representar da forma
y1+3r2+4r31 e y1+r2+5r3
1 (+ grau menor)
Olhando para
f (Y1,Z2 + Y r21 , · · · ,Zm + Y rm
1 ) =∑finita
aI Y b11 (Z2 + Y r2
1 )b2 · · · (Zm + Y rm1 )bm
Isso implica que a equacao f (y1, z2 + y r21 , · · · , zm + y rm
1 ) = 0, entao y1 e integralmentedependente em k[x2, · · · , xm], assim y2, · · · , ym tambem o e. Portanto R eintegralmente dependente no subanel S = K [x2, · · · , xm]. �
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y1y32 y4
3 = y1(z1 + y r21 )3(z3 + y r3
1 )4 e y1y2y53 = y1(z1 + y r2
1 )(z3 + y r31 )5
Assim, podemos representar da forma
y1+3r2+4r31 e y1+r2+5r3
1 (+ grau menor)
Olhando para
f (Y1,Z2 + Y r21 , · · · ,Zm + Y rm
1 ) =∑finita
aI Y b11 (Z2 + Y r2
1 )b2 · · · (Zm + Y rm1 )bm
Isso implica que a equacao f (y1, z2 + y r21 , · · · , zm + y rm
1 ) = 0, entao y1 e integralmentedependente em k[x2, · · · , xm], assim y2, · · · , ym tambem o e. Portanto R eintegralmente dependente no subanel S = K [x2, · · · , xm]. �
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